soal dan pembahasan isometri
DESCRIPTION
Geometri TransformasiTRANSCRIPT
Soal dan Pembahasan Isometri 1
SOAL HALAMAN 42
1. Diketahui garis g dan h seperti dapat dilihat pada gambar. Dengan menggunakan jangka
dan penggaris lukislah garis g’=Mh(g) dengan Mh sebuah pencerminan pada garis h.
Jawab :
2. Diketahui garis-garis s, t, u dan titik A,B seperti dapat dilihat pada gambar di bawah ini.
T adalah sebuah isometri dengan B = T(A) dan u = T(s). Kalau t s, lukislah t’=T(t).
Jawab:
3. Diketahui garis t, lingkaran l dengan pusat D dan segitiga ABC seperti pada gambar.
a) Lukislah Mt(
b) Hubungan apakah antara dan Mt( ?
c) Lukislah Mt(l)
g’
h
g
o
o
Diketahui : dan
,
Karena maka
Karena dan T isometri, maka
.
Jadi, untuk melukis t’ buat garis t’
melalui B yang tegak lurus u.
A
B
u
s
t
Soal dan Pembahasan Isometri 2
Jawab:
a)
b) Perhatikan ∆ABC dan ∆A’B’C’
Karena A’=Mt(A)⇒OA’=OA dan A’P = AP
B’=Mt(B)⇒OB’=OB
C’=Mt(C)⇒OC’=OC
Diperoleh m( ∠ ABC)= m( ∠ A’B’C’)
AB=OA+OB=OA’+OB’=A’B’
m( ∠ BAC)= m( ∠ B’ A’C’).
Berdasarkan teorema, (Sd S Sd) maka ∆ABC ≅ ∆A’B’C’.
c)
4. Diketahui garis t.
a) Lukislah sebuah ∆ABC sehingga Mt(∆ABC) = ∆ABC (artinya : oleh Mt, ∆ABC
dan hasil refleksi pada t berimpit).
b) Lukislah sebuah lingkaran yang berimpit dengan petanya oleh Mt.
c) Lukislah sebuah segi empat yang berimpit dengan petanya oleh Mt.
B
C
A
t
B’
A’
C’
P
O
D’
D
Soal dan Pembahasan Isometri 3
Jawab:
a)
b)
c)
5. Diketahui garis g = {(x,y) |x + 2y = 1} dan h = {(x,y) |x = -1}.
Tulislah sebuah persamaan garis g’ = Mh(g).
Jawab:
g
Y
X A(1,0)
B(0, 2
1)
C
g’
h:x = -1
A’(-3,0) D
Untuk melukis ∆ABC yang berhimpit dengan Mt(∆ABC),
maka segitiga ∆ABC haruslah merupakan segitiga samakaki
dengan AO sebagai sumbu simetri, t berhimpit dengan AO,
sehingga BO = OC.
Mt(A) = A’ = A
Mt(B) = B’ = C
Mt(C) = C’ = B
Jadi Mt(∆ABC) = ∆A’B’C’ = ∆ABC
l=l’
O=O’
t
Untuk melukis lingkaran l yang berhimpit dengan Mt(l),
maka titik pusat lingkaran l haruslah berada pada sumbu
refleksi t sehingga Mt(l) = l’= l.
t
Untuk melukis segiempat yang berhimpit dengan petanya
oleh Mt, maka haruslah cermin t harus berhimpit dengan
sumbu simetri segiempat tersebut.
A=A’
B=C’ C=B’
t O
Soal dan Pembahasan Isometri 4
Karena Mh sebuah refleksi pada h, maka merupakan isometri.
Jadi, menurut teorema ”sebuah isometri memetakan garis menjadi garis”, dan
Mh(g) = g’, maka g’ adalah sebuah garis.
Titik A(1,0) merupakan titik potong antara garis g dan sumbu X.
Titik C merupakan titik potong antara garis g dan h.
Jadi C∈g dan C∈h.
Karena C∈h maka Mh(C) = C
Jadi g’ akan melalui titik C, dan g’ akan melalui A’ = Mh(A).
♣ Koordinat titik C
g ≡ x + 2y = 1 � x + 2y – 1 = 0,
h ≡ x = -1
substitusikan x = -1 ke persamaan garis g ≡ x + 2y = 1, diperoleh :
-1 + 2y – 1 = 0 � 2y =2 � y = 1
Jadi C(-1,1)
♣ Kordinat A’ = Mh(A)
Titik D(-1,0) adalah titik potong h dengan sumbu X.
AD = xA – xD = 1- (-1) = 2
Karena isometri maka D A’ = AD = 2
Jadi, AA’ = AD + DA’ = 2 + 2 = 4
Misal titik A’(x’,y’)
Absis titik A’ adalah 1 - 4 = -3
Diperoleh x’ = -3 dan y’ = y = 0
Jadi, A’(-3,0)
Jadi, g’ melalui titik C(-1,1) dan A’(-3,0)
Persamaan garis g’: 10
1
12
1
12
1
−
−⇔
−
−=
−
− y
xx
xx
yy
yy
)1(3
)1(
−−−
−−=
x
1
1
−
−⇔
y=
2
1
−
+x
1−⇔ y = 2
1+x
y⇔ = 12
1
2
1++x
Soal dan Pembahasan Isometri 5
y⇔ = 2
3
2
1+x
032 =+−⇔ yx
Jadi, g’ = {(x,y) | x - 2y + 3 = 0}
6. Diketahui garis g = {(x,y) |3x - y + 4= 0} dan h = {(x,y) |y = 2}.
Tulislah persamaan garis g’ = Mh(g).
Jawab:
Karena Mh sebuah refleksi pada h, maka merupakan isometri.
Jadi, menurut teorema ”sebuah isometri memetakan garis menjadi garis”, dan
Mh(g) = g’, maka g’ adalah sebuah garis.
Titik A(4,0) merupakan titik potong antara garis g dan sumbu Y.
Titik C merupakan titik potong antara garis g dan h.
Jadi C∈g dan C∈h.
Karena C∈h maka Mh(C) = C
Jadi g’ akan melalui titik C, dan g’ akan melalui A’ = Mh(A)
♣ Koordinat titik C
g ≡ 3x - y + 4= 0, h ≡ y = 2
substitusikan y = 2 ke persamaan garis g ≡ 3x - y + 4= 0, diperoleh:
3x – 2 + 4= 0 � 3x = -2 � x = 3
2−
Jadi C (3
2− ,2)
♣ Koordinat A’ = Mh(A)
Titik D (0,2) adalah titik potong h dengan sumbu Y.
X B(
3
4− ,0)
A’(0,0)
A(0,4)
C D
Y g
h
Soal dan Pembahasan Isometri 6
AD = yA – yD = 4� 2 = 2
Karena isometri maka D A’ = AD = 2
Jadi, AA’ = AD + DA’ = 2 + 2 = 4
Misal titik A’(x’,y’)
Ordinat titik A’ adalah 4 �4 = 0
Diperoleh y’ = 0 dan x’ = x = 0
Jadi, A’(0,0)
Jadi, g’ melalui titik C(3
2− ,2) dan A’(0,0)
Persamaan garis g’: 20
2
12
1
12
1
−
−⇔
−
−=
−
− y
xx
xx
yy
yy
)3
2(0
)3
2(
−−
−−
=
x
2
2
−
−⇔
y=
3
23
2+x
2−⇔ y = -2 )12
3( +x
y⇔ = -3x -2 +2
y⇔ = -3x
03 =+⇔ yx
Jadi, g’ = {(x,y) | 03 =+ yx }
7. Diketahui garis-garis g = {(x,y) | y = 0}, h = {(x,y) |y = x}, dan k = {(x,y) |x = 2}.
Tulislah persaman garis-garis berikut;
a). Mg(h) b). Mh(g)
c). Mg(k) d). Mh(k)
Jawab:
a).
1
g: y=0 h’: y=-x
h: y=x
Y
X
A(1,1)
A’(1,-1)
Soal dan Pembahasan Isometri 7
Karena Mg sebuah refleksi pada g maka merupakan isometri.
Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan Mg(h) =
h’, maka h’ adalah sebuah garis.
Titik O(0,0) merupakan titik potong antara garis g dan h.
Jadi, O∈g dan O∈h.
Karena O∈g maka Mg(O) = O
Jadi h’ akan melalui titik O(0,0)
Ambil sebarang titik di h, misal A(1,1), maka h’ juga akan melalui A’ = Mg(A).
A(x,y) gM
→ A’(x,-y) , g = {(x,y) | y = 0}
Jadi, A(1,1) gM
→ A’(1,-1)
Jadi, garis h’ melalui titik O(0,0) dan A’(1,-1)
Persamaan garis h’:
01
0
12
1
12
1
−−
−⇔
−
−=
−
− y
xx
xx
yy
yy
01
0
−
−=
xxy −=⇔
Jadi, h’ = {(x,y) | y = -x}.
b).
Karena Mh sebuah refleksi pada h maka merupakan isometri.
Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan Mh(g) =
g’, maka g’ adalah sebuah garis.
Titik O(0,0) merupakan titik potong antara garis g dan h.
Jadi, O∈g dan O∈h.
Y
X = g:y=0
h: y=x
C’(0,1)
C(1,0)
g’: x=0
Soal dan Pembahasan Isometri 8
Karena O∈h maka Mh(O) = O
Jadi g’ akan melalui titik O(0,0)
Ambil sebarang titik di g, misal C(1,0), maka g’ juga akan melalui C’ = Mh(g).
C(x,y) gM
→ C’(y,x)
Jadi, C(1,0) gM
→ C’(0,1)
Jadi, garis g’ melalui titik O(0,0) dan C’(0,1)
Persamaan garis g’:
01
0
12
1
12
1
−
−⇔
−
−=
−
− y
xx
xx
yy
yy
00
0
−
−=
x 0=⇔ x
Jadi, g’ = {(x,y) | x = 0}.
c).
Karena Mg sebuah refleksi pada g maka merupakan isometri.
Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan Mg(k) =
k’, maka k’ adalah sebuah garis.
Titik P(2,0) merupakan titik potong antara garis g dan k.
Jadi, P∈g dan P∈k.
Karena P∈g maka Mg(P) = P, maka k’ akan melalui titik P(2,0)
Ambil sebarang titik di k, misal B(2,2
1), maka k’ juga akan melalui B’ = Mg(B).
B(x,y) gM
→ B’(x’,y’) = B’(x,-y)
Jadi, B(2,2
1)
gM
→ B’(2,-2
1)
Jadi, garis k’ melalui titik P(2,0) dan B’(2,-2
1)
O g:y=0
B(2, �
�)
P(2,0)
k : x=2 Y
X
B’(2,- �
�)
k'
’
Soal dan Pembahasan Isometri 9
Jadi, k’ = k = {(x,y) | x = 2}.
d).
Karena Mh sebuah refleksi pada h maka merupakan isometri.
Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan Mh(k) =
k’ , maka k’ adalah sebuah garis.
Titik A(2,2) merupakan titik potong antara garis h dan k.
Jadi, A∈h dan A∈k.
Karena A∈h maka Mh(A) = A
Jadi k’ akan melalui titik A(2,2)
Ambil sebarang titik di k, misal B(2,0), karena h: y = x maka Mh(B) = (0,2) = B’.
Jadi k’ melalui A dan B’
Persamaan garis k’:
22
2
12
1
12
1
−
−⇔
−
−=
−
− y
xx
xx
yy
yy
02
0
−
−=
x2=⇔ y
Jadi, g’ = {(x,y) | y=2}.
8. Jika g = {(x,y) | y = x} dan h = {(x,y) |y = 3 – 2x}, tentukan persamaan garis Mg(h).
Jawab:
Y
X
g: y=x
C’(0,2
3)
B(0,3)
C(2
3,0)
B’(3,0) A
k’: y=2
Y
X B(2,0)
A(2,2) B’(0,2)
k: x=2 h: y=x
Soal dan Pembahasan Isometri 10
Karena Mg sebuah refleksi pada h maka merupakan isometri.
Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan
Mg(h)=h’, maka h’ adalah sebuah garis.
Titik A merupakan titik potong antara garis g dan h.
Jadi, A∈g dan A∈h.
Karena A∈g maka Mg(A) = A
Jadi h’ akan melalui titik A
Ambil titik B(0,3) dan C(2
3,0) karena g: y = x maka Mg(B) = B’ dan Mg(C)=C’.
Jadi h’ melalui B’ dan C’
Persamaan garis h’:
02
3
0
12
1
12
1
−
−⇔
−
−=
−
− y
xx
xx
yy
yy
30
3
−
−=
x
2
9
2
33 −=−⇔ xy
936 −=−⇔ xy
0963 =−+⇔ yx
Jadi, h’ = {(x,y) | 0963 =−+ yx }.
9. Jika g = {(x,y) | y = -x} dan h = {(x,y) |3y = x + 3}, selidikilah apakah A(-2,-4) terletak
pada garis h’ = Mg(h).
Jawab:
Y
X B(-3,0) C’
C(0,1)
B’(0,3)
D
g: y=-x
h: 3y=x+3
Soal dan Pembahasan Isometri 11
Karena Mg sebuah refleksi pada h maka merupakan isometri.
Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan
Mg(h)=h’ , maka h’ adalah sebuah garis.
Titik D merupakan titik potong antara garis g dan h.
Jadi, D∈g dan D∈h.
Karena D∈g maka Mg(D) = D
Jadi h’ akan melalui titik D
Ambil titik B(-3,0) dan C(0,1) karena g: y = - x maka Mg(B) = B’ dan Mg(C)=C’.
Jadi h’ melalui B’ dan C’
Persamaan garis h’:
03
0
12
1
12
1
−
−⇔
−
−=
−
− y
xx
xx
yy
yy
)1(0
)1(
−−
−−=
x3)1( +=⇔ xy 33 +=⇔ xy
Jadi, h’ = {(x,y) | 33 += xy }
Akan diselidiki apakah A(-2,-4) terletak pada garis h’ = Mg(h)
Substitusikan A(-2,-4) pada h’: y = 3x + 3
Maka h’ : -4 = 3(-2) + 3
�-4 = -3 ( pernyataan yang salah)
Diperoleh A(-2,-4) tidak memenuhi persamaan h’: y = 3x + 3, artinya A(-2,-4)
tidak terletak pada garis h’ = Mg(h)
10. Diketahui lingkaran l= ( ) ( ) ( ){ }432:,22
=−+− yxyx
T sebuah isometri yang memetakan titik A(2,3) pada A’(1,-7). Tentukan persamaan
himpunan T(l). Apakah peta l juga lingkaran?
Jawab:
l = ( ) ( ) ( ){ }432:,22
=−+− yxyx
A’=T(A) dengan A(2,3) dan A’(1,-7).
L adalah lingkaran dengan pusat (2,3) dan jari-jari=2.
Karena A adalah pusat lingkaran l, maka A’=(1,-7) adalah pusat lingkaran l’=T(l).
Sehingga T(l)=l’= ( ) ( ) ( ){ }471:,22
=++− yxyx
Peta l yaitu l’ adalah lingkaran karena isometri T mengawetkan besarnya sudut
yaitu 360o.
Soal dan Pembahasan Isometri 12
11. Diketahui lima garis g, g’, h, h’, dan k sehingga g’=Mk(g), dan h’=Mk(h). Apabila
g’//h’ buktikan bahwa g//h.
Jawab:
Dipunyai g’//h’.
Adt g//h
Andaikan g tidak sejajar h, maka menurut teorema, bahwa isometri Mk
mengawetkan kesejajaran 2 garis, diperoleh g’ tidak sejajar dengan h.
Padahal dipunyai g’//h’, maka pengandaian harus dibatalkan.
artinya, g//h.
12. Diketahui garis-garis g, h, dan h’ sehingga h’=Mg(h). Apakah ungkapan-ungkapan
di bawah ini benar?
a) Jika h’//h, maka h//g.
b) Jika h’=h maka h=g.
c) Jika h’ ∩ h={A}, maka A g.
Jawab:
a) Benar
b) Benar
c) Benar
13. Buktikan sifat berikut: Apabila g h maka Mh(g)=g. Apakah ini berarti bahwa
apabila P g maka Mh(P)=P?
Jawab:
Dipunyai g h.
Adt Mh(g)=g.
Karena Mh mengawetkan besarnya dua sudut yaitu sudut antara g dan h sebesar
90o, maka sudut antara g’ dan h juga 90
o. Sehingga g’ merupakan pelurus g. Jadi, g’
berimpit dengan g sehingga Mh(g)=g.
g h’ h
h
h’
g
h
A
h'
g
P
h
g P’
Soal dan Pembahasan Isometri 13
Kasus I. P g, P h maka Mh(P)=P.
Kasus II. P g, P∉h. Karena Mh isometri maka OP=OP’. Diperoleh P=P’.Jadi,
Mh(P) ≠ P.
15. Jika g = {(x,y) | y = 2x + 3} dan h = {(x,y) |y = 2x + 1}, tentukan persamaan garis
h’ = Mg(h).
Jawab:
Karena Mg sebuah refleksi pada h maka merupakan isometri.
Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan Mg(h) =
h’ , maka h’ adalah sebuah garis.
Titik A(- 2
1,0 ) merupakan titik potong antara garis h dengan sumbu X.
Titik B(0,1) merupakan titik potong antara garis h dengan sumbu Y.
Titik C(- 2
3,0 ) merupakan titik potong antara garis g dengan sumbu X.
Titik D(0,3) merupakan titik potong antara garis h dengan sumbu Y.
Sehingga AC =1, BD =1
Diperoleh h’ memotong sumbu X di titik F(-2
5,0)
h’ memotong sumbu Y di titik E(0,5)
Persamaan garis h’ melalui F dan E sehingga persamaan g’:
P
h
g P’
Y
X
D(0,3)
C
,1)
A
B(0,1)
h: y=2x+1
g: y=2x+3 h’
E
F
Soal dan Pembahasan Isometri 14
05
0
12
1
12
1
−
−⇔
−
−=
−
− y
xx
xx
yy
yy
)2
5(0
)2
5(
−−
−−=
x
)2
5(5
2
5+=⇔ xy 25105 +=⇔ xy
052 =−−⇔ xy
Jadi, h’ = {(x,y) | 052 =−− xy }
16. Suatu transformasi T ditentukan oleh T(P)=(x+1,2y) untuk semua P(x,y).
a) Jika A(0,3) dan B(1,-1) tentukan A’=T(A) dan B’=T(B). Tentukan pula
persamaan AB dan ''BA .
b) Apabila C(c,d) AB selidiki apakah C’=T(C) AB
c) Apabila D’(e,f) AB selidiki apakah D AB dengan D’=T(D).
d) Menurut teorema, disebutkan bahwa jika transformasi T suatu isometric maka
peta sebuah garis adalah suatu garis. Apakah kebalikannya benar?
Jawab:
T(P)=(x+1,2y) ∀ P(x,y)
a) A(0,3), B(1,-1)
A’=T(A)=(0+1,2x3)=(1,6)
B’=T(B)=(1+1,2x(-1))=(2,-2)
034
441
1
1
4
1
10
1
)1(3
)1(
12
1
12
1
=−+⇔
−=−−⇔
−
−=
+⇔
−
−=
−−
−−⇔
−
−=
−
−⇒
xy
xy
xy
xy
xx
xx
yy
yyAB
0148
1682
1
2
8
2
21
2
)2(6
)2(
''12
1
12
1
=−+⇔
−=−−⇔
−
−=
+⇔
−
−=
−−
−−⇔
−
−=
−
−⇒
xy
xy
xy
xy
xx
xx
yy
yyBA
Soal dan Pembahasan Isometri 15
b) C(c,d) AB
Akan diselidiki C’=T(C) ''BA
Karena A’=T(A), B’=T(B), maka ''BA merupakan peta dari AB .
Sehingga jika C AB maka C’=T(C) ''BA
c) D’(e,f) AB diselidiki apakah D AB dengan D’=T(D).
Karena ''BA merupakan peta AB maka jika D’ AB pasti D AB .
d) Dipunyai h’ adalah garis.
Akan ditunjukkan h adalah garis dengan h’=T(h).
Andaikan h bukan garis maka h’=T(h) bukan garis.
Padahal dipunyai h’ garis.
Maka pengandaian harus dibatalkan. Artinya, h suatu garis .
Jadi, jika h’ garis maka h juga garis dengan h’=T(H).
18. Ada berapa refleksi garis dengan sifat berikut:
a) Sebuah segitiga sama kaki direfleksi pada dirinya sendiri?
b) Sebuah persegi panjang direfleksi pada dirinya sendiri?
c) Sebuah segiempat beraturan direfleksi pada dirinya sendiri?
Jawab:
a) 1 refleksi
b) 2 refleksi
c) 4 refleksi
Soal dan Pembahasan Isometri 16
SOAL HALAMAN 47
1. Pada gambar 4.10, ada tiga titik tidak segaris, yaitu P, Q, R; T dan S adalah isometri-
isometri dengan P’ = T(P), Q
’ = T(Q), R
’ = T(R) sedangkan P
’’ = S(P), Q
’’ = S(Q),
R’’ = S(R). Termasuk golongan manakah T dan S itu?
Jawab :
Jadi :
T merupakan isometri lawan dan S merupakan isometri langsung.
2.Isometri T memetakan A pada X; B pada Y dan C pada Z. Apabila T sebuah isometri
lawan tentukan titik Z.
3. Sebuah isometri S memetakan D pada W, E pada Z dan F pada U. Apabila S sebuah
isometri langsung, tentukan U.
Jawab:
P
Q
R
P’
R’
Q’
R’’
Q’
’
P’’
P
Q
R
P’
R’
Q’
R’’
Q’
’
P’’
D Z
W
F
E
B
A
C
Y
X
Z
Soal dan Pembahasan Isometri 17
4. Diketahui sebuah titik A dan dua transformasi T dan S yang didefinisikan sebagai
berikut: T(A)=A, S(A)=A. Jika P ≠ A, T(P)=P’ dan S(P)=P’’. P’ adalah titik tengah
ruas garis AP sedangkan A titik tengah ''PP . Termasuk golongan manakah masing-
masing trnsformasi S dan T itu?
Jawab:
T(A)=A, S(A), jika P ≠ A⇒T(P)=P’,S(P)=P”
Ilustrasi:
Dari gambar diperoleh S isometri berlawanan karena APPA "−=
Dan T isometri langsung karena APPA '=
5. Tentukan koordinat-koordinat titik P pada sumbu X sehingga BPXAPO ∠=∠ .
Diketahui bahwa A=(0,3) dan B=(6,5).
Jawab:
A=(0,3) dan B=(6,5).
Misal P(x,0)
6. Sebuah sinar mamancar dari titik A(6,4) dan diarahkan ke titik P(2,2) pada sebuah
cermin yang digambar sebagai garis g = {(x,y) |y = x}. Ada sebuah garis h = {(x,y)
P A P’ P”
β α
6-x x P
B(6,5)
A(0,3)
Agar BPXAPO ∠=∠ maka,
4
9
8
18
5318
6
53
tantan
=
=⇔
=−⇔
−=⇔
=
x
xx
xx
βα
Jadi, agar BPXAPO ∠=∠ maka
P(9/4,0)
6
5
Y
X
Soal dan Pembahasan Isometri 18
|x = -1}. Sinar yang dipantulkan memotong garis h pada sebuah titik Z. Tentukan
koordinat- koordinat titik Z.
Jawab:
7. Diketahui garis-garis g dan h dan titik-titik P dan R.
Diketahui bila bahwa P’=Mg(P), P”=Mh(P’), R’=Mg(R), dan R”=Mh(R).
a. Lukislah P’ dan R”
b. Bandingkan jarak PR dan P”R”
Jawab:
a.
b. Karena PR = P’R
’ (isometri mengawetkan jarak)
Maka jarak P’ dengan h = jarak P
’’ dengan h
Jarak R’ dengan h = jarak R
’’ dengan h
Jadi jarak P’R
’ = jarak P
’’R
’’
Y
X
h: x=-1
g; y=x
A(6,4)
P(2,2)
A’
Z
Koordinat A’(4,6)
Persamaan sinar A’P
0442
164122
)4(4)6(2
42
4
62
6
12
1
12
1
=+−⇔
+−=+−⇔
−−=−−⇔
−
−=
−
−⇔
−
−=
−
−
xy
xy
xy
xy
xx
xx
yy
yy
Jika x = -1 maka 2y + 4 +4 =0
Jadi, y = -4
Jadi, koordinat Z(-1,-4)
P
R
h
g
R’
P”
P’
R”
Soal dan Pembahasan Isometri 19
Karena jarak PR = jarak P’R
’ dan jarak P
’R
’ = jarak P
’’R
’’, maka jarak PR = jarak
P’’R
’’.
8. Diketahui bahwa T dan S adalah padanan- padanan sehingga untuk semua titik P
berlaku T(P) = P’ dan S(P’) = P’’.
W adalah sebuah fungsi yang didefinisikan untuk semua P sebagai W(P) = P’’.
Apakah W suatu transformasi?.
Jawab:
W suatu fungsi sehingga ∀ titik P ∃P”∈S ∋ W(P) = P”.
♣ Ditunjukkan W surjektif
Pikirkan sebarang titik A(x,y)
Jelas A(x,y) T
→ A’(x’,y’) S
→ A”(x”,y”), atau
A(x,y) W
→ A”(x”,y”)
Jadi, ∀ titik A ∃A”∈S ∋ W(P) = P”.
Jadi, W surjektif.
♣ Ditunjukkan W injektif
Pikirkan sebarang titik B(x,y) dan C dengan B≠C.
Jelas B W
→ B” = W(B)
C W
→ C” = W(C) , dengan W(B) ≠ W(C)
Jadi, ∀ titik B dan C dengan B ≠ C berlaku W(B) ≠ W(C).
Jadi, W injektif.
Jadi, karena W surjektif dan injektif maka W merupakan transformasi.
9. R adalah suatu transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P��, �sebagai
R�=���, �
a) Selidiki apakah R suatu isometri
b) Jika R sebuah isometri, apakah isometri langsung atau isometri lawan?
Jawab :
R transformasi
∀ P��, �, R�=���, �
a) Apakah R isometri
Ambil P1��, �, P2��,
R�P1=���, �=1′
Soal dan Pembahasan Isometri 20
R�P2=���, =2′
Akan ditunjukkan P1P2= 1′ 2′
P1P2=��� � �2 � �� � 2
� ��� � 2�� � �� � �� � 2 � � �
1′ 2′ = ���� � �� �2 � �� � �2
= ���� � 2 � �� � �2
� ��� � 2 � � � � �� � 2�� � ��
� ��� � 2�� � �� � �� � 2 � � �
Diperoleh P1P2= 1′ 2′
Jadi, R mengawetkan jarak, sehingga R merupakan isometri.
b) Apakah R isometri langsung atau isometri lawan
Ambil sebarang titik P, Q, S tidak segaris.
Misalkan P��, , Q��, �, dan S��, �. Maka ′�� , �, �′���, �, dan �′���, � dengan R�=′, R��=�′, dan
R��=�′
10. Diketahui sebuah garis g dan titik A, A’ dan B sehingga Mg(A) = A’ dan garis >−−<
AB
// g. Dengan menggunakan suatu penggaris saja tentukan titik B’ = Mg(B)
Jawab:
g
B’
B A
A’
X
Y
�′���, �
′�� ,�
Q��, �
�′���, �
P��,
S��, �
Soal dan Pembahasan Isometri 21