solucionario semana 1

1 LIC. RODOLFO CARRILLO VELÁSQUEZ / TRIGONOMETRÍA

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

PROBLEMA DE CLASE

1. Si se cumple :

222

2

222

11112

RCS

C

RCS

R

RCS

S

RCS

RCS

R

donde S, C y R son las medidas usuales del mismo ángulo; entonces R es igual a:

A) rad120

B) rad60

C) rad

40

D) rad30

E) rad

120

5

(1º EXAMEN SUMATIVO – CEPUNS 2012 III) SOLUCIÓN

Recordar:

222 2 bababa

Agrupando, tenemos:

222

2

222

11112

RCSC

RCSR

RCSS

RCS

RCSR

2222

2

222

2312 RCS

RCSRCSRCS

RCS

RCSR

512

R

60

R RESPUESTA B

2. Si los ángulos congruentes de un triángulo isósceles miden (6x)g y ( 5x + 4)° ,entonces el

complemento de la medida del tercer ángulo en el sistema radial es igual a:

A) rad10

B) rad5

C) rad12

D) rad20

E) rad8

SOLUCIÓN

Recordar: A + B+ C =180° ; A = B

Sea: A = (6x)g y B = (5x + 4)°

Resolviendo: trabajando en un solo sistema

Reemplazando: A = B=54° ⇒ C = 72°

⇒

RESPUESTA A

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LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 2

3. Si la diferencia de dos ángulos es 100g y su suma es 3 rad., entonces, las medidas

sexagesimales de dichos ángulos, respectivamente , son:

A) 315° y 225° B) 325° y 215° C) 300° y 240° D) 290° y 250° E) 315° y 235°

(Examen ordinario– UNS 2014 II) SOLUCIÓN

Según los datos: –

⇒ RESPUESTA A

4. Si las raíces de una ecuación cuadrática: 02 cbxax , son los números de grados

sexagesimales y centesimales de un ángulo . Entonces el número de radianes de dicho ángulo

solamente en términos de b y c es:

A)1

19

1800

b

c

B) bc19 C)

1

19800

19

b

c D)1

1800

19

c

b E)

b

c19

SOLUCIÓN

Recordar: La ecuación cuadrática tiene la siguiente forma: y las propiedades de

suma y producto de raíces

S = 9k ; C = 10K y

Resolviendo

⇒

…(1)

⇒

……….. (2)

Dividiendo (2): (1)

⇒

Calculando

(

)

(

)

RESPUESTA D

5. La suma de dos ángulos está dada por la siguiente igualdad: 111 baba g

Hallar dichos ángulos en el sistema sexagesimal si su diferencia es ba

A) 25° y 40° B) 45° y 27° C)40° y 38° D) 20° y 45° E) 10° y 25°

(1º EXAMEN SUMATIVO – CEPUNS 2009 II) SOLUCIÓN

Según la expresión 111 baba g , por ser una equivalencia de un centesimal y

sexagesimal, entonces el número en centesimal debe ser múltiplo de diez y el número

sexagesimal múltiplo de 9.

b = 1 y a = 8 7280 g

⇒

La diferencia entre los ángulos tiene que ser 18° RESPUESTA B

6. Sabiendo que: x + y + z = 61 ; Calcular: E = xºy’ + yºz’ + zºx’

A) 61º2’ B) 61º51’ C) 62º2’ D) 62º1’ E) 60º2’

[ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]

3 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ

SOLUCIÓN

Recordar:

Según los datos:

xºy’ +

yºz’

zºx’

62° 1´ RESPUESTA D

7. Si a y b son dos números reales positivos hallar el máximo número de radianes de un ángulo que

satisface la siguiente igualdad: 22

22

)()(

)()(

baba

babaSC

Si: S y C son lo conocido.

A)

380 B)

190 C)

19 D) 190

E) 380

SOLUCIÓN

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

⇒

Reduciendo la expresión: 22

219

ba

abk

,

⇒

Reemplazando:

(

)

RESPUESTA E

8. Siendo X, Y, y Z números enteros, cumplen la igualdad: ´ ´´. ZYXrad 32

; Calcular x XZY 5

A) 2 B) 4 C) 20 D) 5 E) 6 SOLUCIÓN

Recordar:

0

360060

cbacbacba ´ ´´º´ ´´º

Convirtiendo en un solo sistema

180

32´ ´´ ZYX

62558

45,´ ´´ ZYX ⇒

Reemplazando: x XZY 5 √

√ RESPUESTA A

9. Siendo S, C y R lo convencional para un mismo ángulo, calcule “R” siendo S y C las raíces de la

ecuación:

3x2 - 19x + 30 = 0



A) B) C) D) E) SOLUCIÓN

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

La ecuación cuadrática tiene la siguiente forma: y las propiedades de suma y producto de raíces

Resolviendo

⇒

…(1)

⇒ ……….. (2)

Dividiendo (2): (1)

⇒

Calculando

(

)

RESPUESTA E

10. Si S y C son la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal

respectivamente y cumplen:

. . .32

1111

CCCS

Calcular la medida circular de dicho ángulo


Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Resolviendo:

( . .

32

1111

CCC)

(

) ⇒

Calculando

RESPUESTA D

11. De la figura mostrada:

Calcular: “9-10”

A) 90 B) 180 C) 360 D) 900 E) 1800 SOLUCIÓN

Según el gráfico, convirtiendo en un solo sistema:

(

) ⇒ RESPUESTA D



12. Determine la medida circular de un ángulo que verifica:

S

Costérn

RRR

min""...........

2

11

1

11

11

A) radn

10

1)( B) 10

n C) 9

n D) 9

1n E) 9n

SOLUCIÓN

Recordar: S = 9k ; C = 10K Resolviendo

(

) (

) (

) (

)

⇒ (

)

RESPUESTA E

13. En el CEPUNS se ha creado un nuevo sistema de medición angular cuya unidad es “un grado

C” (1c). Si el ángulo recto mide 40c. Hallar la suma de los ángulos internos de un pentágono.

A) 80c B) 160c C) 200c D) 240c E) 320c SOLUCIÓN

Recordar:

Suma de ángulos internos de un polígono: ⇒

Según los datos

… (*6)

RESPUESTA D

14. Determinar la medida en el sistema centesimal para un ángulo cuyas medidas en los

sistemas convencionales cumplen la relación:

A) 20 B) 24 C) 28 D) 32 E) 36 SOLUCIÓN

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Resolviendo:

⇒

Calculando (

) RESPUESTA B

15. Si:

CC

CC

CC

SS

SS

SS

; Hallar el número de radianes de dicho ángulo.

(S y C son lo conocido)

A) 3600

441 B) 3600

551 C) 3600

361

D)

3600

641 E) 3600

241

SOLUCIÓN

Recordar:

⇒

⇒

⇒ (Proporcionalidad)

4 3 2S C 20R 12 3 2S C R9 10 5



S = 9k ; C = 10K y

Igualamos la expresión a un término “m” y resolvemos:

m

CC

CC

CC

SS

SS

SS

⇒

Aplicando proporcionalidad

m = 19

Calculando el número en grados sexagesimales y convirtiendo a radian:

⇒

⇒

RESPUESTA C

16. Siendo el número de radianes de un ángulo positivo, verifica la igualdad:

11.8.3

Hallar: . Si:

A) 9

32 B) 64

9 C) 32

9

D)

16

9 E) 9

64

SOLUCIÓN

Sea √

Haciendo cambio de variable y resolviendo:

√

√

⇒

RESPUESTA B

17. Si el ángulo AOC es obtuso, hallar los valores que puede tomar “”.

A) 18151215 ;; B) 15121518 ;; C) 15651518 ;; D) 15;12 E) 18;12

SOLUCIÓN

Recordar:

(obtuso) Reemplazando:



15121518 ;; RESPUESTA B

18. Resolver el siguiente sistema:

)2(...SC

)1...(S4C8,3

S6C2,4

1x

1x

47x

Siendo S y C los números de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo en

sentido antihorario.

Dar como respuesta la medida del ángulo en el sistema radial.

A) rad200

1048 B) rad200

9048 ,

C) rad

100

1048 D) rad2

9,048 E) rad300

1048

SOLUCIÓN

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Resolviendo ambas ecuaciones

Aplicamos proporcionalidad en (1)

⇒

Reemplazando (1) en (2)

√

⇒ √ √

⇒ √

(

√

) √

RESPUESTA B

19. Si C y R son los números que representan las medidas de un ángulo trigonométrico en los

sistemas centesimales y radial respectivamente, tal que:

Calcular la medida del ángulo en el sistema radial.

A)rad

210

,

B) rad

2101

,

C)

rad

21,0;rad

21,0

D)

rad2

1,01;rad2

1,01

E)

rad

2;rad

2

SOLUCIÓN

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Según los datos:

Resolviendo:



[ ]

⇒

√

√

RESPUESTA D

20. Siendo S, C, y R los convencionales para un ángulo trigonométrico donde S y C son las

soluciones de la ecuación: ; ℝ+

Calcule: m

n

1,36

A) 3

1 B) 6

1 C) 9

1 D) 3

2 E) 2

1

SOLUCIÓN La ecuación cuadrática tiene la siguiente forma: y las propiedades de suma y

producto de raíces

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Resolviendo ⇒ …(1)

⇒ ……….. (2)

Igualando el valor de K en (1) y (2):

√

√ ….. (3)

Calculando:

√

√

√

En (3)… √

√

RESPUESTA A

21. Calcular la medida de un ángulo en radianes desde “S” y “C” son los números de grados

sexagesimales y centesimales respectivamente y cumplen:

S = (x + 3) (x - 2)............ (i)

C = (x + 2) (x -1)............ (ii)


Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Según los datos tenemos:

⇒

Calculando

S= 54°⇒ (

)

RESPUESTA E



22. Si:

Calcular “x” donde S y C son lo convencional para un ángulo

A) 3 B) 4 C) 5 D) 8 E) 9 SOLUCIÓN

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y


√

⇒

√ → RESPUESTA E

PROBLEMA DE REPASO

1. Si: ; Calcular: K = b - a + 1

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 SOLUCIÓN

Convertimos en un solo sistema la expresión:

(

) °

Tenemos 11° y 0,25° que serán convertidos a minutos

0,25*60’=15’

→

RESPUESTA C

2. De la condición: ; Calcule:

A) 2 B) 4 C) 6 D)8 E)10 SOLUCIÓN


⇒

RESPUESTA B

3. Para un cierto ángulo se cumple que la suma del número de grados sexagesimales con el doble

del número de grados centesimales y con el triple del número de radianes es igual a 1740 + 9.

Calcule el número de radianes de dicho ángulo.

A) B) 2 C) 3 D) 4 E)5 SOLUCIÓN

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y


2x 10S ; C

27 x

rad aºb'16

5º radx

xº

g10



(

) ⇒

RESPUESTA C

4. Calcular:

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 SOLUCIÓN

Recordar: 1° = 60´ y 1g = 100m

Reemplazando √

⇒ √

M = 12 RESPUESTA C

5. Siendo S y C el número de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo que

cumple:

S = x - 1 .............. (i)

C = x + 2 ............ (ii)

Calcular la medida del ángulo en radianes


Recordar:

S = 9k ; C = 10K y


10x-10 = 9x+18

X = 28

Calculando

S= 27°⇒ (

)

RESPUESTA D

6. La suma del número de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo es 95. Calcule

la medida de dicho ángulo en el sistema internacional.


Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Por dato: ⇒

RESPUESTA E

g m2º2' 2 2M 18

m2' 2

10

3

10

5

18

3

20

2

25

rad12

rad

10

rad8

rad

6

rad

4



7. Determine la medida radial de un ángulo que cumple que la diferencia de los números de

minutos centesimales y sexagesimales de dicho ángulo es igual a 460.


Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Por dato: –

RESPUESTA D

8. Sea f la función definida por la regla

1

1

2

1x

x

C

S

Rxf )( , donde S, C y R

Son los números de las medidas de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial

respectivamente.

Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I.

137

co sco s ff

F

II.

119

senfsenf

F

III.

105

cscsec ff

v

A) VVV B) VFV C) VFF D) VVF E) FFV SOLUCIÓN

Reduciendo la función:

(

)

⇒

La expresión es una exponencial afín decreciente lo cual indica que a mayor valor de la variable

la función será menor, por lo tanto

I. La variable de función depende de una función coseno, que es decreciente en el primer

cuadrante, por lo tanto si el ángulo es mayor la variable será menor lo cual indica que la

expresión es falsa.

II. La variable de función depende de una función seno, que es creciente en el primer

cuadrante, por lo tanto si el ángulo es mayor la variable será mayor, lo cual indica que la

expresión es falsa.

III. La variable de función depende de una función secante y cosecante, la cosecante es mayor

que la secante entre 0° y 45° , lo cual indica que la expresión es Verdadera.

RESPUESTA E

rad5

rad

10

rad

15

rad

20

rad

40



9. La suma de las medidas de dos ángulos es 18° y la diferencia de los mismos 18g. Determinar la

medida circular del menor de los ángulos.


Según los datos:

⇒

RESPUESTA D

10. La medida de un ángulo en un sistema “M” es igual a la cuarta parte de la suma de su número

de grados centesimales y 3 veces su número de grados sexagesimales. ¿Cuántas unidades en el

sistema “M” le corresponden a un ángulo llano?

A) 75 B) 165 C) 180 D) 185 E) 215 SOLUCIÓN

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Según los datos:

⇒

Calculando k y resolviendo la ecuación:

…….dividimos entre 180 ambos términos

RESPUESTA D

11. Si se cumple que:

Siendo “θ” el número de radianes. Halle la medida de dicho ángulo.

A) 40g B) 90° C) 30° D) E) 200

g

SOLUCIÓN

Sea √

Haciendo cambio de variable y resolviendo:

√

√

⇒

RESPUESTA B

12. Siendo S y C los números de grados sexagesimales y centesimales de un ángulo que cumple

con:

rad2

rad

3

rad rad200

rad

300

24 5

2

rad

S 13 C 2x .

2 3

2x



Hallar el valor de:

A) 2 B) 3 C) 4 D)-1 E) 1 SOLUCIÓN

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Calculando k y resolviendo la ecuación:

⇒

⇒

Reemplazando

√

√ ⇒ RESPUESTA B

13. Señale la medida circular de un ángulo que verifique:

osmintér"n"

. . . . . .2S

11

1S

11

S

11

C

n2

Siendo S y C lo convencional para un mismo ángulo.

A) 180

n B) 200

n C)

225

n

D)

135

n E)

315

n

SOLUCIÓN

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Resolviendo

(

) (

) (

) (

)

⇒

(

)

RESPUESTA C

14. Señale la medida circular del ángulo cuyos números de grados sexagesimales y centesimales

se expresan como:

S = 1 + 3 + 5 + 7 + … ; C = 2 + 4 + 6 + 8 +…

Teniendo ambos igual cantidad de sumandos:

A) rad20

3 B) rad20

7 C) rad10

9

D) rad

20

9 E) rad23

5

SOLUCIÓN

Recordar:

Además tener en cuenta que la suma de números impares tiene que ser múltiplo de 9 y la

suma de números pares múltiplo de 10. ⇒

(

)

RESPUESTA D

15. Determine un ángulo en radianes si se cumple: 1b

aC1

b

aS

4x 1x



A) rad5

B) rad10

C) rad20

D) rad

25

E) rad50

SOLUCIÓN

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y


… por proporcionalidad

⇒

Calculando

S= 18°⇒ (

)

RESPUESTA B

16. El doble del número de grados sexagesimales de un ángulo disminuido en su número de

grados centesimales es a 8 como es 3 a 4. Calcular la medida radial del ángulo que cumple dicha

condición.

A) rad20

3 B) 40

3 C) 50

3

D)

80

3 E) 100

3

SOLUCIÓN

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Según el enunciado:

Resolviendo: ⇒

( )

RESPUESTA D

17. Se crea un nuevo sistema de medición angular “R” tal que su unidad (1R) es la 240ava parte

del ángulo de una vuelta.

Exprese en el sistema “R” un ángulo que mide rad4

.

A) 27R B) 30R C) 32R D) 36R E) 40R SOLUCIÓN

Según los datos:

RESPUESTA B

18. Calcular la medida radial de un ángulo para el cual se cumple:

27S + 13 = 81C

siendo S y C lo convencional para el mismo ángulo.

A) B) C) D) E)

SOLUCIÓN

Recordar:

5

3

20

5

12

2

9

3

10



S = 9k ; C = 10K y

Resolviendo: ⇒

⇒

RESPUESTA B

19. Sí mgCBA 9013 ´ ´´ , calcular: B

CA

A) 1.2 B) 1.4 C) 1.6 D) 1.8 E) 1.9 SOLUCIÓN

Recordar:

0

360060

cbacbacba ´ ´´º´ ´´º

Convirtiendo a un solo sistema: (

) 12,51°

Tenemos 12° quedando 0,51° los que se convertirán en minutos:

0,51 * 60 = 30,6’

Ahora tenemos 30° quedando 0,6’ los que se convertirán en segundos:

0,6 * 60 = 36’’ ⇒

RESPUESTA C

20. Siendo S, C y R lo convencional para un ángulo trigonométrico que cumplen:

Calcular: “R”


Recordar:

⇒

⇒

⇒

S = 9k ; C = 10K y

Aplicando proporcionalidad y reemplazando:

⇒

RESPUESTA A

21. Si:

Calcular: a + b + c

A) 9 B) 15 C) 18 D) 21 E) 24 SOLUCIÓN

Un número centesimal es múltiplo de 10 ⇒

⇒

RESPUESTA C

2S C 3R 2

2S C 3R 2

6

5

3

4

3

5

5

6

4

3

2S C 3R 2

2S C 3R 2

g o

x 2 x 1 x abc

solucionario semana 1

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