Spieltheorie

Winter 2013/14

Professor Dezsö Szalay

� Sprechstunde: Freitags 12-14:00 (Bitte unbedingtper email einen Termin vereinbaren)

� email: szalay(at)uni-bonn.de

� Büro 0.16 Juridicum

Literatur:

Robert Gibbons (1992) �A primer in Game Theory�,Harvester Wheatsheaf;

Osborne (2004) �An Introduction to Game Theory�Ox-ford University Press)

Fortgeschrittene Texte (die man vielleicht lesen möchte,nachdem man einen einführenden Text gelesen hat)

Fudenberg and Tirole (1991) �Game Theory�, MIT Press,

Osborne and Rubinstein (1994) �A Course in Game The-ory�MIT Press,

Tutoren:

Benjamin Enke

Vladislav Gounas

Wie sind Sie erfolgreich in diesem Kurs:

� Spieltheorie lernen Sie nur, wenn Sie selbst Aufgabenlösen und die Lösungskonzepte selbstständig hinter-fragen.

� D.h. versuchen Sie die Aufgaben zu lösen bevor Sieins Tutorium gehen.

� Stellen Sie Fragen, wenn Sie welche haben!

� Fragen während der Vorlesung sind willkommen!

1.1 Motivation: warum Spieltheorie

� Womit befasst sich die Spieltheorie?

� Ist das überhaupt seriös? Eine Theorie, wie manspielt?

� Lernen wir hier, wie wir Schach spielen, pokern, oderandere Spiele spielen?

� Antwort: die Anwendung auf diese Spiele überlasseich Ihnen, aber im Prinzip schon...

Spieltheorie im Gegensatz zu Entscheidungstheorie

In der Standard Haushaltstheorie (und Firmentheorie) derMikroökonomie ist jeder Akteur vernachlässigbar kleinrelativ zum Ganzen. Z.B. nimmt jeder die Preise alsgegeben an und geht davon aus, dass das eigene Ver-halten die Preise nicht beein�usst.

Spieltheorie ist befasst mit Situationen, in denen der Einzelnewichtig ist. D.h. die Entscheidungen von einem Akteurbeein�ussen den Nutzen (oder Gewinn) eines anderen Ak-teurs.

Wichtiger: die relative Attraktivität vorhandener Hand-lungsalternativen hängt davon ab, was andere machen.

Ein Beispiel

Zwei Zeitungsverleger (Time Magazine und Economist)überlegen sich, welche story sie abdecken wollen.

Haushaltskrise in den USA oder Abhörskandal?

Der Abhörskandal ist für sich genommen interessanter.Aber wenn der andere auch darüber schreibt, dann mussman sich die Leser teilen.

Der wichtige Aspekt dieses Beispiels: der Zusammen-hang zwischen der eigenen Aktion und dem resultieren-den Nutzen hängt auch davon ab, was ein anderer Akteurmacht. Das ist der entscheidende Unterschied zwischeneinem Spiel und einer Entscheidungssituation.

Formal gesprochen besteht ein Spiel aus

1. einer Menge an Spielern

2. einer Menge an Strategien, die den Spielern zur Ver-fügung stehen (nicht notwendigerweise dieselben fürjeden Spieler)

3. und einer Menge an Auszahlungen (payo¤s); d.h. fürjeden Spieler eine Auszahlung, die er oder sie in jedermöglichen Strategienkonstellation erhält.

Einige weitere Beispiele

� Elfmeterschiessen

� Bach oder Strawinsky

� Matching Pennies

� Hirsch oder Hase

1.2 Formalisierung von Spielen

Es gibt zwei Arten, Spiele darzustellen: die extensiveForm and Normalform. Die extensive Form wird auchals Spielbaum Darstellung bezeichnet.

Die extensive Form brauchen wir, wenn die Reihenfolgevon Entscheidungen relevant ist.

Die Normalform ist angebracht, wenn die Spieler entwedergleichzeitig Entscheidungen tre¤en oder zumindest dieEntscheidung des/der anderen Spieler/in nicht beobachtenkönnen, bevor sie die eigene Entscheidung tre¤en müssen.

Die Normalform-Darstellung eines Spiels (mit 2 Spiel-ern)

Spieler 2L R

Spieler 1 O 5,5 3,6U 6,3 4,4

In dieser (Spiel)-situation gibt es zwei Spieler. Spieler einshat zwei mögliche Strategien, oben oder unten. Spielerzwei hat ebenfalls zwei mögliche Strategien, links oderrechts. Die Zellen in der Matrix geben die Nutzen derSpieler an für jede mögliche Strategienkombination. AlsKonvention: der erste Eintrag gibt den Nutzen des Rei-henspielers (hier Spieler 1), der zweite Eintrag den Nutzendes Kolonnenspielers (hier Spieler 2).

Wichtig (daher nochmals): in Normalformspielen wählendie Spieler ihre Strategien simultan. Oder eben zumindestin Unwissenheit der Strategienwahl anderer Spieler.

Formalisierung: Sei Si Spieler i0s Strategienmenge mittypischem Element si: Sei ui Spieler i0s payo¤ Func-tion. D.h., ui (s1; :::; sn) ist die Auszahlung des Spielersi wenn die Spieler den Vektor von Strategien (s1; :::; sn)wählen: Das Spiel insgesamt ist somit

G = fS1; :::; Sn;u1; :::; ung :

Nun, da wir wissen was ein Spiel ist:

� Was ist das richtige Lösungskonzept für ein Spiel?

� Wie sollten sich Spieler verhalten in strategischenSituationen?

� Was für Verhaltensmuster sollten wir in der Praxisbeobachten?

1.3 Lösungskonzepte für statische Spiele: dominanteStrategien, dominierte Strategien und Nash-Gleichgewicht

1.3.1 Dominante Strategien und Gleichgewicht indominanten Strategien

� Wenn ein Spieler eine Strategie besitzt, die - wennder Spieler diese Strategie wählt - immer zu einerstrikt höheren Auszalung führt als andere Strategien,dann sollte dieser Spieler diese Strategie spielen. Im-mer bedeutet: ganz egal, was die anderen Spielertun.

� Wenn alle Spieler solche Strategien besitzen, dannsollten wir erwarten zu beobachten, dass alle Spielerdiese Strategien spielen.

Illustration: the prisoner�s dilemma

Zwei Verdächtige werden von der Polizei angehalten undauf der Wache verhört. Die beiden werden verdächtigt einrelativ schlimmes Verbrechen begangen zu haben. Aberder Polizei fehlt bisher der Beweis; ein Geständnis vonmindestens einem der beiden wäre ein ausreichender Be-weis. Die Polizei verhört die beiden in jeweils getrenntenRäumen. Die Beamten erklären den beiden ihre Situationwie folgt:

i Wenn beide dabei bleiben, das Verbrechen nicht be-gangen zu haben, dann kann man den beiden nur eingeringfügiges Vergehen nachweisen und beide wer-den für eine kurze Zeit (1 Jahr) ins Gefängnis ges-perrt.

ii Wenn beide geständig sind, dann gehen beide für 6Jahre ins Gefängnis.

iii Wenn nur einer geständig ist, kommt dieser in denGenuss einer Kronzeugenbehandlung und wird freige-lassen; der andere geht für 9 Jahre ins Gefängnis.

Normalform Representation des Gefangenendilem-mas

Gefangener 2Schweigen Singen

Gefangener 1 Schweigen -1,-1 -9,0Singen 0,-9 -6,-6

Behauptung: dieses Spiel hat ein Gleichgewicht in domi-nanten Strategien. Das Gleichgewicht ist fSingen,Singeng :

Beachte: ein Gleichgewicht wird immer in Strategien beschrieben.Das Gleichgewicht ist nicht (�6;�6) ; das ist das Ergeb-nis (outcome) des Spiels.

Überlegung: wenn Spieler 2 Schweigen spielt, dann erhältSpieler 1 0 wenn er singt und�1 wenn er schweigt. WennSpieler 2 singt, dann erhält Spieler 1 �6 wenn er singtund �9 wenn er schweigt. Egal was Spieler 2 tut, Spieler1 erhält immer eine höhere Auszahlung wenn er selbstsingt. Das Spiel ist symmetrisch: dieselbe Argumentationgilt analog auch für Spieler 2.

Beachte dass die Strategienkombination fSchweigen,Schweigengeinen strikt höheren Nutzen für beide generieren würde.

Das Gefangenendilemma �ndet nicht nur Anwendung inGefängnissen. Es ist eine Metapher für eine Situation.In Märkten mit unvollständigem Wettbewerb z.B. beiKartellen (siehe Übung).

Formalisierung:

De�nition: In einem strategischen Spiel dominiert Spieleri0s Strategie s00i strikt die Strategie s

0i wenn

ui�s1; :::; s

00i ; :::; sn

�> ui

�s1; :::; s

0i; :::; sn

�für alle möglichen Kon�gurationen von Aktionen (Strate-gien) der anderen Spieler, d.h. für alle Vektoren

(s1; :::si�1; si+1; :::; sn) :

Eine Strategie, die andere Strategien strikt dominiert,nennen wir eine strikt dominante Strategie.

Notation: Wenn wir den Vektor der Strategien der an-deren Spieler (ausser Spieler i) bezeichnen wollen, dannschreiben wir kurz s�i:

Ist das Konzept kontrovers?

Beachte, dass wir genau dasselbe Verhalten unterstellenwie in der Standard-Haushaltstheorie. Jeder maximiertseinen Nutzen.

Wir setzen nicht Egoismus voraus. Wir können auch Al-truismus abbilden. Wir nehmen die Präferenzen einfachals gegeben an.

Der Vorteil des Konzepts ist somit: man kann ohne grosseVerhaltensannahmen Aussagen tre¤en, was man in derPraxis beobachten sollte.

Der Nachteil des Konzepts ist: es hat nicht immer genugBiß! Nicht alle Spiele haben Gleichgewichte in dominan-ten Strategien.

Daher brauchen wir Konzepte um solche Spiele zu analysieren:

1.3.2 Dominierte Strategien, iterierte Eliminierungvon dominierten Strategien, Gleichgewicht nach Eli-minierung von dominierten Strategien.

Betrachte das folgende Spiel:

Spieler 2L C R

T 1,1 2,0 1,1Spieler 1 M 0,0 0,1 0,0

B 2,1 1,0 2,2

Kein Spieler besitzt eine dominante Strategie. Wie siehtes aus mit Strategien, die dominiert werden?

De�nition: (Dominierte Strategie) Seien s0i und s00i zwei

mögliche Strategien für Spieler i im Normalformspiel G:Strategie s0i ist strikt dominiert durch Strategie s

00i wenn

für alle möglichen Kombinationen von Strategien der an-deren Spieler, der Nutzen von Spieler i wenn er Strategies00i wählt, strikt höher ist als der Nutzen wenn er Strate-gie s0i wählt. Formal

ui�s1; :::; s

0i; :::; sn

�< ui

�s1; :::; s

00i ; :::; sn

�für alle

�s1; :::; si�1; si+1;:::; sn

�2 S1�S2 ����Si�1�

Si+1 � � � �Sn:

Sollten wir erwarten, dass dominierte Strategien gespieltwerden?

� Wenn Spieler rational sind, dann sollten sie keinedominierten Strategien spielen.

� Wenn Spieler glauben, dass andere rational sind undselbst auch rational sind, dann sollten sie keine Strate-gien spielen, die dominiert sind nachdem die do-minierten Strategien der anderen Spieler eliminiertwurden.

� Wenn Spieler denken, andere Spieler halten sie selbstfür rational und zudem denken, andere Spieler seienrational und diese Spieler zudem selbst rational sind,dann sollten diese Spieler keine Strategien spielen,die dominiert sind nach zwei Runden der Eliminierungvon dominanten Strategien.

� Wenn Spieler i denkt, Spieler �i denkt, dass Spieleri denkt Spieler �i sei rational, ...

Illustration:

Runde 1: Sei Spieler 1 rational. Dann sollte er nicht Mspielen:

Spieler 2L C R

T 1,1 2,0 1,1Spieler 1 M 0,0 0,1 0,0

B 2,1 1,0 2,2

Runde 2: wenn Spieler 2 glaubt, Spieler 1 sei rational(und somit dass dieser nicht M spielt), dann sieht dasSpiel eigentlich wie folgt für ihn aus:

Spieler 2L C R

T 1,1 2,0 1,1Spieler 1 B 2,1 1,0 2,2

Wenn Spieler 2 glaubt, Spieler 1 sei rational und zudemselbst rational ist, dann sollte Spieler 2 nicht C spielen:

Runde 3: Wenn Spieler 1 glaubt, Spieler 2 glaube, dasser (Spieler 1) rational sei und zudem glaubt, dass Spieler2 rational ist und natürlich selbst rational ist (Spieler 1),dann sieht das Spiel eigentlich so aus für Spieler 1:

Player 2L R

T 1,1 1,1Player 1 B 2,1 2,2

Aber dann sollte Spieler 1 nicht T spielen:

Runde 4: Wenn Spieler 2 glaubt, dass Spieler 1 glaubt,Spieler 2 glaube, dass Spieler 1 rational sei, ausserdemglaubt, dass Spieler 1 rational sei und selbst rational ist,dann sieht das Spiel eigentlich so aus:

Spieler 2L R

Spieler 1 B 2,1 2,2

Aber dann sollte Spieler 2 nie L spielen:

Das Gleichgewicht nach iterierter Eliminierung von striktdominierten Strategien is somit fB;Rg :

Nachteile des Verfahrens:

1. Jeder Schritt erfordert eine stärkere Annahme wasdie Spieler über die Rationalität des anderen Spielers wis-sen (oder besser glauben). Wenn wir den Prozess füreine arbiträre Anzahl von Runden anwenden wollen, dannmüssen wir de facto annehmen dass jeder Spieler ratio-nal ist, jeder Spieler weiss dass alle Spieler rational sind,jeder Spieler weiss dass alle Spieler wissen, dass alle ra-tional sind, etc ad in�nitum.

Diese unendliche Kette wird als Annahme der �commonknowledge�der Rationalität bezeichnet.

2. Nicht bei jedem Spiel gelangt man durch diesen Prozessdes iterierten Eliminierens von Strategien zu einem ein-deutigen Strategien-paar (tuple). Also besitzt nicht jedesSpiel ein Gleichgewicht nach iteriertem Eliminieren vonStrategien.

Eine Anwendung

Bertrand Wettbewerb in Preisen mit homogenen Gütern.Gegeben seien zwei Firmen mit konstanten Einheitskostenc: Die Firmen konkurieren in Preisen; und diese Preisemüssen in einer kleinsten Einheit " darstellbar sein (z.B.1, 5, or 10 Cent). Es sei angenommen dass c" keine ganzeZahl ist. Ausserdem sei angenommen dass (p� c)D (p)ein eindeutiges Maximum hat bei pm (c) : D (p) ist einedi¤erenzierbare Funktion von p und " ist klein. Finde dieMenge der Preise p1 und p2; die den Prozess der striktenEliminierung von strikt dominierten Strategien überleben.

Was wenn iteriertes Eliminieren von Strategien keine ein-deutige Vorhersage ergibt was die Spieler tun sollten? Wirbrauchen ein Gleichgewichtskonzept, das immer - d.h. füralle Spiele einer gewissen Klasse - eine Vorhersage macht.

1.3.3 Nash Gleichgewicht

De�nition: In einem n-Spieler Spiel G; formen die Strate-gien

�s�i ; s

��i�ein Nash-Gleichgewich wenn für jeden Spieler

i; s�i eine beste Antwort ist auf die Strategien der anderenSpieler, s��i: Formal, für jeden Spieler i

ui�s�i ; s

��i�� ui

�si; s

��i�8si 2 Si

Beispiel 1:

Spieler 2L C R

T 1,1 2,0 1,1Spieler 1 M 0,0 0,1 0,0

B 2,1 1,0 2,2

Beispiel 2:

Spieler 2L C R

T 2,1 2,2 0,1Spieler 1 M 1,1 1,1 1,1

B 0,1 0,0 2,2

Beispiel 3: The Battle of the Sexes

Spieler 2Opera Fight

Spieler 1 Opera 2,1 0,0Fight 0,0 1,2

� Vorteil des Konzepts: die �meisten� Spiele besitzenmindestens ein Nash-Gleichgewicht.

� Nachteil: viele Spiele haben mehr als ein Nash-gleichgewicht.

Weitere Beispiele:

1) Bertrand Wettbewerb zwischen zwei Firmen, die einhomogenes Gut verkaufen. Beide Firmen haben kon-stante Einheitskosten c und müssen Preise setzen, dieMultiple von " sind.

2) Bertrand Wettbewerb zwischen zwei identischen Fir-men mit Einheitskosten c; die ein homogenes Gut verkaufen.Diesmal sind alle Preise in R zugelassen. Zwei Ansätze,Nash Gleichgewichte zu berechnen:

i) Beste Antworten berechnen und dann Schnittpunkteder besten Antworten suchen.

ii) Starte mit einem Kandidaten für ein Gleichgewicht.Beweise, dass der Kandidat tatsächlich einem Gleichgewichtentspricht. Beweise dann dass keine andere Konstellationeinem Gleichgewicht entspricht.

3) Mengenwettbewerb zwischen Firmen, illustriert am Beispielvon Firmen mit konstanten Einheitskosten c und einer lin-earen Nachfragekurve.

4) Bertrand Wettbewerb zwischen Firmen, die di¤eren-zierte Produkte verkaufen.

Was ist der Zusammenhang zwischen den verschiedenenGleichgewichtskonzepten?

Proposition A: Betrachte ein SpielG = fS1; :::; Sn;u1; :::; ungmit n Spielern. Wenn iteriertes Eliminieren von strikt do-minierten Strategien alle Strategien eliminiert bis auf dieStrategien

�s�1; :::; s

�n

�; dann entspricht die Strategien-

konstellation�s�1; :::; s

�n

�dem eindeutigen Nash-Gleichgewicht

des Spiels G:

Proposition B: Betrachte ein SpielG = fS1; :::; Sn;u1; :::; ungmit n Spielern. Wenn die Strategien

�s�1; :::; s

�n

�ein

Nash-Gleichgewicht darstellen, dann überleben diese Strate-gien den Prozess der iterierten Eliminierung von striktdominierten Strategien.

Was ist das Nash-Gleichgewicht des folgenden Spiels?

Zwei Leute spielen matching pennies. Wenn beide pen-nies Kopf zeigen, dann bekommt Spieler 1 beide Pennies.Wenn beide Pennies unterschiedliche Symbole zeigen (alsoeiner Zahl, der andere Kopf, oder umgekehrt), dann bekommtSpieler 2 beide Pennies.

Die Normalform Darstellung des Spiels:

Player 2Head Tails

Player 1 Head 1,-1 -1,1Tails -1,1 1,-1

Gibt es hier ein Nash-Gleichgewicht wie wir es eben de�nierthatten?

Wenn Spieler 1 glaubt, Spieler 2 zeige Kopf, dann sollteSpieler 1 ebenfalls Kopf spielen. Aber die beste Antwortvon Spieler 2 auf Kopf ist Zahl...

Ein analoges Argument kann man aus Sicht von Spieler1 machen.

Also kann hier kein Gleichgewicht in reinen Strategienexistieren.

Formal gesehen liegt das Problem daran, dass wir nichtüber eine konvexe Menge optimieren.

Wie könnte man die Strategieräume konvexi�zieren?

Betrachte die Menge der Wahrscheinlichkeitsverteilungenüber die Aktionen (reinen Strategien) Head und Tails.

Sei p = prob (s1 = H) ; und 1 � p = prob (s1 = T ) ;

wobei H = Heads und T = Tails

Sei P = fp : p 2 [0; 1]g : Beachte dass P eine konvexeMenge ist.

Ebenso, sei q = prob (s2 = H) und 1�q = prob (s2 = T ) :

Die Menge Q ist de�niert als Q = fq : q 2 [0; 1]g :

Jetzt können wir die Strategien der Spieler als eine Wahlvon p und q; respektive, au¤assen.

Beachte dass p 2 f0; 1g und q 2 f0; 1g den reinenStrategien entsprechen.

Was sind die erwarteten Payo¤s der Spieler wenn sie dieWahrscheinlichkeiten p und q spielen?

Der erwartete payo¤ von Spieler 1 kann geschrieben wer-den als

U1 (p; q)

= p fqu1 (H;H) + (1� q)u1 (H;T )g+(1� p) fqu1 (T;H) + (1� q)u1 (T; T )g

Unter Zuhilfenahme der tatsächlichen Payo¤matrix habenwir

U1 (p; q) = p fq � (1� q)g+ (1� p) f�q + (1� q)g

Vereinfachung ergibt

U1 (p; q) = p f2q � 1g+ (1� p) f1� 2qg

Eine optimale Wahl einer Strategie von Spieler 1 löstdamit das Problem

maxp[p f2q � 1g+ (1� p) f1� 2qg]

Wie sieht die Lösungsmenge zu diesem Problem aus?

Beachte dass die Payo¤ funktion linear in p ist. Daher

nimmt die Lösung folgende Form an:

B1 (q) =

8>><>>:f0g if q < 1

2p : 0 � p � 1 if q = 1

2f1g if q > 1

2

Die Korrespondenz B1 (q) (eine mengenwertige �Funk-tion�) wird als Beste-Antwort-Korrespondenz bezeichnet.

Wir können für Spieler 2 ebenso vorgehen:

U2 (q; p)

= q fpu2 (H;H) + (1� p)u2 (T;H)g+(1� q) fpu2 (H;T ) + (1� p)u2 (T; T )g

Unter Zuhilfenahme der konkreten Payo¤matrix:

U2 (q; p) = q f�p+ (1� p)g+ (1� q) fp� (1� p)g

Daher löst Spieler 2 das Problem

maxq[q f1� 2pg+ (1� q) f2p� 1g]

Die Lösung sieht wie folgt aus:

B2 (p) =

8>><>>:f1g if p < 1

2q : 0 � q � 1 if p = 1

2f0g if p > 1

2

Wann sind diese besten Antworten konsistent miteinan-der?

Schnittpunkte der besten Antwort Korrespondenzen sindNash-Gleichgewichte.

De�nition von Nash-Gleichgewicht für gemischte Strate-gien. Sei �i eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über Spieleri0s reine Strategien. Dann ist ein Pro�l von Strategien einNash-Gleichgewicht in gemischten Strategien wenn

Ui (��) � Ui

��i;�

��1�

für alle gemischten Strategien �i von Spieler i:

Beachte dass die Präferenzen der Spieler durch die Funk-tion Ui (�) beschrieben werden: Diese Art Präferenzen zubeschreiben wird von Neumann Morgenstern Präferenzengenannt.

Resultat 1: (Existenz) Jedes strategische Spiel mit vNMPräferenzen in dem jeder Spieler endlich viele Aktionenhat besitzt mindestens ein Gleichgewicht in gemischtenStrategien.

Characterisierung von Gleichgewichten:

Wie können wir die Menge aller Gleichgewichte beschreiben?

Wir können schreiben:

Ui (�) =Xsi2Si

�i (si)Ei (si;��i)

wobei �i (si) die Wahrscheinlichkeit ist, dass die reineStrategie si gewählt wird.

Ei (si;��i) ist der erwartete Payo¤ resultierend aus derreinen Strategie si wenn die anderen Spieler das Pro�land gemischten Strategien ��i spielen:

Resultat 2 (Characterisierung) Ein gemischtes Strate-gien Pro�l �� in einem strategischen Spiel mit vNM Präferen-zen in dem jeder Spieler eine endliche Anzahl von reinenStrategien besitzt ist ein gemischtes Nash-Gleichgewichtwenn und nur wenn für jeden Spieler i gilt:

� der erwartete Payo¤, gegeben ���i; aus jeder reinenStrategie si; auf die die gemischte Strategie ��i einepositive Wahrscheinlichkeit legt, ist derselbe, und

� der erwartete Payo¤, gegeben ���i; aus jeder reinenStrategie, auf die die gemischte Strategie ��i Wahrschein-lichkeit Null legt, ist höchstens so hoch wie der er-wartete Payo¤ aus den reinen Strategien, die mitpositiver Wahrscheinlichkeit gespielt werden.

� Der erwartete Payo¤ jedes Spielers ist im Gleichgewichtgleich dem erwarteten Payo¤ resultierend aus jederreinen Strategie, die der Spieler mit positiver Wahrschein-lichkeit spielt.