statika 1 - 4. prednáška vnitrní síly na prutech
TRANSCRIPT
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
Statika 14. prednáška
Vnitrní síly na prutech
Miroslav Voká[email protected]
CVUT v Praze, Fakulta architektury
11. dubna 2016
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
Vnitrní síly na prutech
Vnitrní síly – síly pusobící uvnitr telesa (desky, prutu), kterévznikají pusobením vnejšího zatížení a reakcí.
Ay
Ax
q
B
F
Ay
Ax
q
V
N
M
t
B
F
V
N
M
t
Vnitrní síly na prutech tvorívýslednice napetí v prurezutransformovaná do težište prurezu.
Oznacení vnitrních sil dleCSN ISO 3898:
1. V – Posouvající síla [N]
2. M – Ohybový moment [N m]
3. N – Normálová síla [N]
Ve všech rezech telesa pusobívnitrní síly, které jsou v rovnováze.
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
Konvence vnitrních sil
SmykKladný sm er posouvající síly
V
V
OhybKladný sm er ohybovéhomomentuKladný ohybový moment táhnedolní vlákna prurezu. M M
Tah & TlakKladný sm er normálové sílyKladná normálová síla jetahová.
N N
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
Podmínky ekvivalenceDefinice vnitrních sil na prutu
Mechanické nap etí – síla na jednotku plochy [Pa] = [ Nm2 ]
σ – normálové napetí v prurezuτ – smykové (tecné) napetí v prurezuOsa x leží ve strednici prutu.Osy y, z jsou hlavní centrální osy setrvacnosti.
ty
z
tτ
t
V
Smyk
V =
∫
A
τ dA
ty
z
tσ
t M
Ohyb
M =
∫
A
z σ dA
ty
z
tσ
tN
Tah & Tlak
N =
∫
A
σ dA
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
Výpocet vnitrních silPosouvající síla V
q
F
Ax
Ay B
◮ Posouvající síla v libovolném prurezu se vypocte jakosoucet všech sil kolmých ke strednici prutu v daném rezu,které se nacházejí na jedné strane od tohoto prurezu.
Kladný smer priscítání zleva
V
N
MV
N
M
Kladný smer priscítání zprava
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
Výpocet vnitrních silOhybový moment M
q
F
Ax
Ay B
◮ Ohybový moment v libovolném prurezu se urcí jako soucetohybových momentu všech sil nacházejících se na jednéstrane od daného prurezu k težišti tohoto prurezu.
Kladný smer priscítání zleva
V
N
MV
N
M
Kladný smer priscítání zprava
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
Výpocet vnitrních silNormálová síla N
q
F
Ax
Ay B
◮ Normálová síla v libovolném prurezu je soucet všech silrovnobežných se strednicí prutu v daném rezu, které senacházejí na jedné strane od tohoto prurezu.
Kladný smer priscítání zleva
V
N
MV
N
M
Kladný smer priscítání zprava
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
Vnitrní síly jako funkce
◮ Posouvající sílu, ohybový moment i normálovou sílu mohuurcit pro libovolný prurez prutu.
◮ Vnitrní síly mužeme vyjádrit jako funkci souradnice xa vynášíme je do grafu.
q
Fx
+−
V = V (x)
+M = M(x)
+N = N(x)
◮ Ohybové momenty vynášíme na stranu tažených vláken!
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
Prostý nosníkSíla uprostred & spojité zatížení na celé délce
1
2L 1
2L
F
R = 1
2F R
V+
−
+ 1
2F
− 1
2F
M+
+ 1
4FL
L
q
R = 1
2qL R
V+
−
+ 1
2qL
− 1
2qL
M+
+ 1
8qL2
2◦
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
KonzolaSíla na konci & spojité zatížení na celé délce
L
F
V
++F
M
−
−FL
L
q
V
+
+qL
M
−
− 1
2qL2
2◦
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
Vlastnosti vnitrních sil
◮ Na úseku, kde je spojité zatížení q = 0 platí:V (x) je konstantní funkce.M(x) je lineární funkce.
◮ Na úseku, kde q je nenulová konstantní funkce platí:V (x) je lineární funkce.M(x) je parabola (polynom 2◦).
◮ Na úseku, kde q je lineární funkce platí:V (x) je parabola (polynom 2◦).M(x) je kubická parabola (polynom 3◦).
Mezi funkcemi platí vztahy, které oznacujeme jakoSchwedlerova v eta:
V ′(x) = −q(x)
M ′(x) = V (x)
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
Vlastnosti vnitrních sil
Nespojitost funkce V (x)◮ Posouvající síla je nespojitá v bode, kde pusobí osamelá
síla. Osamelou silou je i reakce.◮ Rozdíl hodnot V vlevo a vpravo je roven velikosti této síly.◮ Graf ohybového momentu je v tomto bode zalomen,
protože je nespojitá jeho derivace.
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
Vlastnosti vnitrních sil
Umístení extrému ohybového momentu:
1. Pod osamelou silou, kde je V (x) nespojitá funkce a meníse v tomto bode znaménko.
2. V bode, kde je nulová hodnota posouvající síly, tj. v bode,kde platí M ′(x) = V (x) = 0.(U parabolického prubehu M(x) není treba kontrolovatkonkávnost, resp. konvexnost, v okolí tohoto bodu.)
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
Lomený nosník
Ax
Ay
F1
F2
B +
◮ Nejprve u svislých prutu volím „dolní vlákna“ vlevo nebovpravo (oznacím cárkovanou cárou).
◮ Vnitrní síly vypoctu podle konvence natocenéodpovídajícím smerem.
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
Lomený nosník
Ax
Ay
F1
F2
B +
Pri opa cné volb e dolních vláken:◮ Znaménko V a N se nezmení. Znaménko jednoznacne
urcuje smer V a N.◮ Znaménko M je opacné. Pri dodržení pravidla +M na
stranu „dolních vláken“ vynesu prubeh ohybovýchmomentu stejne. Pravidlo „M na stranu tažených vláken“jednoznacne urcuje smysl M.
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
Staticky urcitá soustava
q
Ax
Ay
Bx
By
q
Ax
Ay
Bx
By
Cy
Cy
Cx
Cx
+
K výpo ctu vnit rních sil v daném rezu mohu použít:◮ Statické schéma celé soustavy (rez v míste daného
prurezu musí rozdelit soustavu na 2 cásti).◮ Statické schéma jednotlivé desky nebo prutu.
Pri libovolné volbe zpusobu výpoctu musí vyjít stejný výsledek,protože konstrukce je ve statické rovnováze!
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
Staticky urcitá soustava
F
Ax
Ay B
F
Ax
Ay B
Cy Cy
Cx
Cx
D
D
+
V nekterých p rípadech nelze využít statické schéma celésoustavy , protože daný rez nerozdelí soustavu na2 samostatné celky.
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
PríkladPrímý nosník
F = 4kN
q = 4kN/m
Ay = 6,99 kN
Ax = 0,70 kN
B = 4,95 kN
2m 1m 1m
a bc d
αF = 80◦
+
Posouvající síly:Vac = Ay = 6,99 kNVc = Ay − q.2 = −1,01 kNVdc = Ay − q.2 = −1,01 kNVdb = Ay − q.2 − F sinαF = −4,95 kNVbd = Ay − q.2 − F sinαF = −4,95 kN
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
PríkladPrímý nosník
F = 4kN
q = 4kN/m
Ay = 6,99 kN
Ax = 0,70 kN
B = 4,95 kN
2m 1m 1m
a bc d
αF = 80◦
+
Ohybové momenty:Ma = 0 kN mMc = Ay .2 − 1
2 q.22 = 5,97 kN mMd = B.1 = 4,95 kN mMb = 0 kN m
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
PríkladPrímý nosník
F = 4kN
q = 4kN/m
Ay = 6,99 kN
Ax = 0,70 kN
B = 4,95 kN
2m 1m 1m
a bc d
αF = 80◦
+
Normálové síly:Nac = −Ax = −0,70 kNNc = −Ax = −0,70 kNNdc = −Ax = −0,70 kNNdb = −Ax + F cosαF = 0 kNNb = −Ax + F cosαF = 0 kN
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
PríkladPrímý nosník
F = 4kN
q = 4kN/m
Ay = 6,99 kN
Ax = 0,70 kN
B = 4,95 kN
2m 1m 1m
a bc d
αF = 80◦
+
+6,99
−1,01 −1,01−4,95 −4,95
+
−V
0 0
+4,95+5,97
+
M
2◦
−0,70 −0,70
0 0−
N
x
V (x) = Ay − qx = 0 ⇒ x = 1,75 mM(x) = Ay x − 1
2qx2 = 6,10 kN m
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
PríkladPrímý nosník
F = 4kN
q = 4kN/m
Ay = 6,99 kN
Ax = 0,70 kN
B = 4,95 kN
2m 1m 1m
a bc d
αF = 80◦
+
+6,99
−1,01 −1,01−4,95 −4,95
+
−V [kN]
0 0
+4,95+5,97
+
M [kNm]
2◦
−0,70 −0,70
0 0−
N [kN]
1,75m
+6,10
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
PríkladLomený nosník - kontrola rovnováhy ve stycníku
F1 = 2kN
F2 = 5kN
q = 4kN/m
1m 1m
1,5m
1m
b dc
a
+
+
−
V
[kN]
+2
−3
+4
0
−
+
−
M
[kNm]
−5
−2
+2
−2
0 2◦
−
−
N
[kN]
−2 0
−4
+
+
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
PríkladLomený nosník - kontrola rovnováhy ve stycníku - souctové podmínky
F1 = 2kN
F2 = 5kN
q = 4kN/m
1m 1m
1, 5m
1m
b dc
a
+
+
−
V
[kN]
+2
−3
+4
0
−
−
N
[kN]
−2 0
−4
+
+
Ncb = −2 kN Ncd = 0kN
Nca = −4 kN
Vcb = 0kN
Vcd = +4kNVca = +2kN
↑: Vcb − Vcd −Nca = 0
→: −Ncb +Ncd − Vca = 0
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
PríkladLomený nosník - kontrola rovnováhy ve stycníku - momentová podmínka
F1 = 2kN
F2 = 5kN
q = 4kN/m
1m 1m
1, 5m
1m
b dc
a
−
+
−
M
[kNm]
−5
−2
+2
−2
0 2◦
+
+
Mcb = 0kNm Mcd = −2 kNm
Mca = −2 kNm
x: −Mcb +Mcd −Mca = 0
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
Kontrolní otázka
Urcete, který prubeh posouvající síly V odpovídá danémuzatížení.
F F F
+
−
A) V
+
−
+B) V
+
−
+C) V
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
Kontrolní otázka
Urcete, který prubeh ohybových momentu M odpovídádanému zatížení.
F
q
−
+A) M
−
+B) M
2◦
−
+C) M
2◦
Statika 1
M. Vokác
Definování vnitrních sil
Prubehy a vlastnostivnitrních sil
Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách
Príklady
Kontrolní otázky
Konec prednášky
Dekuji za pozornost.
Vysázeno systémem LATEX.Obrázky vytvoreny v systému METAPOST.