statistika u farmaciji analiza varijanse - anova

12008/2009 S. Spasić

STATISTIKA U FARMACIJISTATISTIKA U FARMACIJI

Analiza varijanse - ANOVAAnaliza varijanse - ANOVA

22008/2009 S. Spasić

Testovi za dve i više populacijaTestovi za dve i više populacija

dvedve i više i više populacijapopulacija

varijansavarijansa

srednja srednja vrednostvrednost

F F ttestest

z-testz-testt-testt-test ANOVAANOVA

brojbrojuzorakauzoraka

22 nn

32008/2009 S. Spasić

F-test za odnos dve varijanseF-test za odnos dve varijanse

Parametarski testParametarski test

Testira razliku izmedju dve nezavisne populacione Testira razliku izmedju dve nezavisne populacione varijansevarijanse

Pretpostavka za test:Pretpostavka za test:

obe populacije su normalno distribuiraneobe populacije su normalno distribuirane

42008/2009 S. Spasić

F-test - postavljanje hipotezeF-test - postavljanje hipoteze

HipotezeHipoteze

HH00: : 1122 = = 22

22 i i HH11: : 1122 ≠≠ 22

22

Izračunava seIzračunava se

Dve grupe stepena slobodeDve grupe stepena slobode

dfdf11 = N = N11 - 1; - 1; df df22 = N = N22 - 1 - 1

Sledi F distribucijuSledi F distribuciju

22

212

2

21 SdSduslov,

Sd

SdF

52008/2009 S. Spasić

F-test - kritične vrednostiF-test - kritične vrednosti

00

odbacuje se Hodbacuje se H00

FF

αα/2/2αα/2/2


prihvata se Hprihvata se H00

FFlevolevo FFdesnodesno

1,01,0

62008/2009 S. Spasić

F-test - RešenjeF-test - Rešenje

SdSd11 = 1,30 Sd = 1,30 Sd22 = 1,16 = 1,16

HH00: : 1122 = = 22

22

HH11: : 1122 22

22

αα 0,05 0,05

dfdf11 2 222 dfdf22 24 24

HH00 se prihvata, nema značajne razlike izmedju Sd se prihvata, nema značajne razlike izmedju Sd1122 i Sd i Sd22

22

1,251,16

1,30F

2

2

FF

0,0250,0250,0250,025

2,002,00

72008/2009 S. Spasić

F-test - RešenjeF-test - Rešenje

φ1 φ2

1 2 3 ... 18 22

1 161,4 199,5 215,7 ... 247,3 248,6

2 18,51 19,00 19,16 ... 19,44 19,45

3 10,13 9,55 9,28 ... 8,67 8,65

4 7,71 6,94 6,59 ... 5,82 5,79

... ... ... ... ... ... ...

22 1,30 3,44 3,05 ... 2,10 2,05

23 4,28 3,42 3,03 ... 2,08 2,02

24 1,26 3,40 3,01 ... 2,05 2,00

25 1,24 3,39 2,99 ... 2,04 1,98

FF0,05, 20, 240,05, 20, 24 = 2,00 – 2,05 F = 2,00 – 2,05 Fizrizr = 1,25 F = 1,25 Fizrizr < F < F0,050,05

HH00 se prihvata, nema značajne razlike izmedju Sd se prihvata, nema značajne razlike izmedju Sd1122 i Sd i Sd22

22

82008/2009 S. Spasić

Testovi za dve i više populacijaTestovi za dve i više populacija

Analiza varijanseAnaliza varijanse (ANOVA) (ANOVA)

F-testF-test

Tukey-Tukey-SnedecorSnedecor

testtest

JednofaktorskaJednofaktorska ANOVAANOVA

DvofaktorskaDvofaktorska ANOVAANOVA

Efekat Efekat interakcijainterakcija

92008/2009 S. Spasić

Student t-testStudent t-test

Student tStudent t-test-test – testiranje razlike između srednjih vrednosti – testiranje razlike između srednjih vrednosti 2 grupe podataka2 grupe podataka HH00 : : μμ11 = = μμ22 HH11 : : μμ11 ≠ ≠ μμ22

αα = 0,05 (nivo značajnosti testa) = 0,05 (nivo značajnosti testa) 0,05 (5%) – verovatnoća da se odbaci ispravna nulta 0,05 (5%) – verovatnoća da se odbaci ispravna nulta

hipotezahipoteza

greška tip Igreška tip I – odbacivanje ispravne nulte hipoteze – odbacivanje ispravne nulte hipoteze greška tip IIgreška tip II – prihvatanje neispravne nulte hipoteze – prihvatanje neispravne nulte hipoteze

102008/2009 S. Spasić

Student t-testStudent t-test

Testiranje razlike između srednjih vrednosti više grupa Testiranje razlike između srednjih vrednosti više grupa podatakapodataka potrebno izvođenje t-testa više putapotrebno izvođenje t-testa više puta

Koliko je potrebno t-testova?Koliko je potrebno t-testova? 3 grupe podataka: A, B i C – 3 t-testa3 grupe podataka: A, B i C – 3 t-testa

poređenja: A:B, A:C i B:Cpoređenja: A:B, A:C i B:C 4 grupe podataka: A, B, C i D – 6 t-testova4 grupe podataka: A, B, C i D – 6 t-testova

poređenja: A:B, A:C, A:D, B:C, B:D i C:Dpoređenja: A:B, A:C, A:D, B:C, B:D i C:D

112008/2009 S. Spasić

Istovremeno izvođenje više t-testovaIstovremeno izvođenje više t-testova

Kod izvođenja više t-testova javlja se “Kod izvođenja više t-testova javlja se “FFamilywise error amilywise error rate” problem (FWER)rate” problem (FWER) FWERFWER – verovatnoća da se neispravno odbaci – verovatnoća da se neispravno odbaci

najmanje jedna nulta hipoteza u grupi poređenjanajmanje jedna nulta hipoteza u grupi poređenja FWER = 1 – (1 – FWER = 1 – (1 – αα))kk

αα – nivo značajnosti testa – nivo značajnosti testa k – broj t-testovak – broj t-testova

Za 6 t-testova:Za 6 t-testova: FWER = 1 – (1 – 0,05)FWER = 1 – (1 – 0,05)66 = 1 – 0,735 = 0,265 = 27% = 1 – 0,735 = 0,265 = 27% 27% verovatnoće da napravimo najmanje jednu grešku 27% verovatnoće da napravimo najmanje jednu grešku

tip Itip I

122008/2009 S. Spasić

ANOVAANOVA

Analiza varijanse omogućava istovremeno testiranje Analiza varijanse omogućava istovremeno testiranje razlika između više srednjih vrednostirazlika između više srednjih vrednosti

Ispituje se jedna ili više nezavisnih varijabliIspituje se jedna ili više nezavisnih varijabli – faktora – faktora uticaja na zavisnu varijabluuticaja na zavisnu varijablu

Jedan faktor uticaja – jednofaktorska ANOVAJedan faktor uticaja – jednofaktorska ANOVA

Više faktora uticaja – višefaktorska ANOVA (multipla Više faktora uticaja – višefaktorska ANOVA (multipla ANOVA – MANOVA)ANOVA – MANOVA)

Svaki faktor uticaja ima više kategorija (grupa)Svaki faktor uticaja ima više kategorija (grupa)

132008/2009 S. Spasić

Jednofaktorska ANOVA - hipotezeJednofaktorska ANOVA - hipoteze

HH00: : 11 = = 22 = = 33

Sve populacione srednje vrednosti su jednakeSve populacione srednje vrednosti su jednake

Faktor uticajaFaktor uticaja nema efekta nema efekta

HH11: : 11 22 33

HH11: : 11 = = 22 33

HH11: : 1 1 22 = = 33

HH11: : 1 1 == 33 22 HH11: : - - nisu sve jednakenisu sve jednake

Najmanje 1 srednja vrednost je različitaNajmanje 1 srednja vrednost je različita

Postoji efekat Postoji efekat faktora uticajafaktora uticaja

142008/2009 S. Spasić

Jednofaktorska ANOVAJednofaktorska ANOVA

Sve srednje vrednosti su jednakeSve srednje vrednosti su jednake::

Nulta hipoteza je ispravnaNulta hipoteza je ispravna ((nema efekta faktora uticajanema efekta faktora uticaja))

3210 μμμ:H

321 μμμ

jednakesveNisuμ:H1

152008/2009 S. Spasić

Najmanje jedna srednja vrednost je različitaNajmanje jedna srednja vrednost je različita::

Nulta hipoteza nije ispravnaNulta hipoteza nije ispravna ((postoji efekat faktora uticajapostoji efekat faktora uticaja))

321 μμμ 321 μμμ

iliili


3210 μμμ:H

jednakesveNisuμ:H1

162008/2009 S. Spasić

Logika Analize varijanseLogika Analize varijanse

VVariarijjaacija (varijansa) izmeđucija (varijansa) između grup grupaa upoređuje se saupoređuje se sa varivarijacijom (varijansom) unutar jacijom (varijansom) unutar grupgrupaa Varijacija između grupaVarijacija između grupa je varijacija (razlika) između je varijacija (razlika) između

srednjih vrednosti koja je posledica uticaja uzorka i srednjih vrednosti koja je posledica uticaja uzorka i uticaja faktora koji se ispituje (ako postoji)uticaja faktora koji se ispituje (ako postoji)

Varijacija unutar grupaVarijacija unutar grupa je varijacija koja je posledica je varijacija koja je posledica uticaja uzorkauticaja uzorka

Ukupna varijacijaUkupna varijacija je zbir varijacije između grupa i je zbir varijacije između grupa i varijacije unutar grupavarijacije unutar grupa

172008/2009 S. Spasić

Jednofaktorska ANOVA - osnovna idejaJednofaktorska ANOVA - osnovna ideja

Uporedjivanje Uporedjivanje dva tipa varijacijedva tipa varijacije da bi se ocenila razlika da bi se ocenila razlika izmedju srednjih vrednostiizmedju srednjih vrednosti

Baza za poredjenje je Baza za poredjenje je odnos varijansiodnos varijansi

Zašto ANOVA?Zašto ANOVA?

Test baziran na varijansama je osetljiviji nego test Test baziran na varijansama je osetljiviji nego test baziran na srednjim vrednostimabaziran na srednjim vrednostima

ANOVA ANOVA ima manji rizik za grešku tip Iima manji rizik za grešku tip I

ANOVA ANOVA ima manji rizik za grešku tip IIima manji rizik za grešku tip II

182008/2009 S. Spasić


Pretpostavke za testPretpostavke za test

Eksperimentalne jedinice su slučajno odabraneEksperimentalne jedinice su slučajno odabrane Populacije su normalno distribuiranePopulacije su normalno distribuirane Homogenost varijansiHomogenost varijansi - - Populacije imaju jednake varijansePopulacije imaju jednake varijanse Podaci su izraženi intervalnom ili skalom odnosaPodaci su izraženi intervalnom ili skalom odnosa

192008/2009 S. Spasić

VarijansaVarijansa

1N

xxSd

2i2

2i xx

1N

Suma kvadrata odstupanja od srednje Suma kvadrata odstupanja od srednje vrednosti (suma kvadrata, SK)vrednosti (suma kvadrata, SK)

VarijansaVarijansa

Broj stepena slobode Broj stepena slobode

202008/2009 S. Spasić

Razdvajanje varijacijeRazdvajanje varijacije

mN

SKV ug

ug

1m

SKV ig

ig

1N

SKV tot

tot

varijansa između grupavarijansa između grupa

varijansa unutar grupavarijansa unutar grupa

ukupna varijansaukupna varijansa

Mere varijacije se dobijaju “razdvajanjem” ukupne varijacijeMere varijacije se dobijaju “razdvajanjem” ukupne varijacije

212008/2009 S. Spasić

Jednofaktorska ANOVA – F testJednofaktorska ANOVA – F test

Stepeni slobodeStepeni slobode dfdf11 = = mm – 1 ( – 1 (mm = = broj grupabroj grupa)) dfdf22 = = NN – – mm ( (NN = = ukupan broj podataka u svim grupama zajednoukupan broj podataka u svim grupama zajedno))

ug

ig

V

VF

HH00: : μμ11= = μμ22 = … = … = = μμcc

HH11: : μμ – najmanje jedna srednja vrednost je različita– najmanje jedna srednja vrednost je različita

222008/2009 S. Spasić

Kritične vrednosti FKritične vrednosti F

Ako su srednje vrednosti jednake, Ako su srednje vrednosti jednake, FF = =VVigig//VVugug 1 1

Odbacuje se HOdbacuje se H00 samo za veliko F samo za veliko F

Uvek jednostrani test!Uvek jednostrani test!

0


F

prihvata se Hprihvata se H00

21 df,dfα,F

232008/2009 S. Spasić

Razdvajanje varijacijeRazdvajanje varijacije

UkupnaUkupna vari varijjaacciija (suma kvadrata odstupanja od srednje ja (suma kvadrata odstupanja od srednje vrednosti) može da se razdvoji u dva delavrednosti) može da se razdvoji u dva dela::

SSKKtottot = = ukupna suma kvadrata ukupna suma kvadrata

(ukupna(ukupna vari varijacija)jacija)

SSKKigig = = suma kvadrata između grupa suma kvadrata između grupa

(varijacija između grupa(varijacija između grupa))

SSKKugug = = suma kvadrata unutar grupa suma kvadrata unutar grupa

((varijacija unutar grupavarijacija unutar grupa))

SKtot = SKig + SKug

242008/2009 S. Spasić

Ukupna varijacijaUkupna varijacija

2i,n

2

2,1

2

1,1tot XXXXXXSKi

grupa 1 grupa 2 grupa 3

x

252008/2009 S. Spasić

Varijacija izmedju grupaVarijacija izmedju grupa

2cc

2

22

2

11ig XXnXXnXXnSK


x

1x2x

3x

262008/2009 S. Spasić

Varijacija unutar grupaVarijacija unutar grupa

2ii,n

2

12,1

2

11,1ug XXXXXXSKi


1x2x

3x

272008/2009 S. Spasić

Faktori koji utiču na zaključakFaktori koji utiču na zaključak

Razlika između Razlika između srednjih vrednostisrednjih vrednosti

Veličina uzorkaVeličina uzorka

Varijacija unutar Varijacija unutar grupagrupa

ANOVAANOVA F F

++

++

––

282008/2009 S. Spasić

Razlika između srednjih vrednostiRazlika između srednjih vrednosti

mala razlika između grupamala razlika između grupaNulta hipoteza se lako dokazujeNulta hipoteza se lako dokazuje

velika razlika između grupavelika razlika između grupaNulta hipoteza se teško dokazujeNulta hipoteza se teško dokazuje

292008/2009 S. Spasić

Veličina uzorkaVeličina uzorka

mali broj podataka u grupimali broj podataka u grupiNulta hipoteza se lako dokazujeNulta hipoteza se lako dokazuje

veliki broj podataka u grupiveliki broj podataka u grupiNulta hipoteza se teško dokazujeNulta hipoteza se teško dokazuje

302008/2009 S. Spasić

Varijacija unutar grupaVarijacija unutar grupa

velika varijacija unutar grupavelika varijacija unutar grupaNulta hipoteza se lako dokazujeNulta hipoteza se lako dokazuje

mala varijacija unutar grupamala varijacija unutar grupaNulta hipoteza se teško dokazujeNulta hipoteza se teško dokazuje

312008/2009 S. Spasić

ANOVA - izrazi za izračunavanjeANOVA - izrazi za izračunavanje

1N

xNΣxV

22

suma kvadrata odstupanja od suma kvadrata odstupanja od srednje vrednosti - SKsrednje vrednosti - SK

broj stepena slobode - dfbroj stepena slobode - df

N

ΣxΣx

N

ΣxNΣx

N

ΣxNΣx)x(NΣxSK

22

2

22

2222

C

322008/2009 S. Spasić

ANOVA - izrazi za izračunavanjeANOVA - izrazi za izračunavanje

igtotug

i

2i

2

22

1

21

ig

2tot

2

SKSKSK4.

Cn

Σx....

n

Σx

n

ΣxSK3.

CΣxSK2.

N

ΣxC1.

332008/2009 S. Spasić

ANOVA - sumarna tabelaANOVA - sumarna tabela

ug

ig

V

VF kritična vrednost Fkritična vrednost Fαα za df za df1 1 = m-1 i df= m-1 i df2 2 = N-m= N-m

342008/2009 S. Spasić

Jednofaktorska ANOVA- primerJednofaktorska ANOVA- primer

tip A tip B tip C

vreme (dani)

1,2 1,5 1,7 1,8 1,6 1,4

1,5 1,4 1,3 1,6 1,8 1,4

2,0 1,8 1,7 2,2 1,9 2,1

∑x 9,2 9,0 11,7

xsr 1,53 1,50 1,95

∑x2 14,34 13,66 22,99

Ispitivanje toksičnog delovanja leka na tri tipa ćelijaIspitivanje toksičnog delovanja leka na tri tipa ćelija

Prikazano je vreme (u danima) posle koga je ostalo 50% ćelijaPrikazano je vreme (u danima) posle koga je ostalo 50% ćelija

352008/2009 S. Spasić

Jednofaktorska ANOVA- primerJednofaktorska ANOVA- primer

0

0,5

1

1,5

2

2,5

grupe

dan

i

A B C

BxAx

Cx

x

HH00: : AA = = BB = = CC

HH11: : - - nisu sve nisu sve

jednakejednake

= = 00,,0505

dfdf1 1 = 2 i df= 2 i df2 2 = 15= 15

362008/2009 S. Spasić

ANOVA – primer 1ANOVA – primer 1

568333,0754445,0322778,1

754445,010,92,9

322778,1C99,50)99,2266,131

18

01,894,9

ug

222

ig

tot

2

SK4.

C-50,421667C6

,71

66SK3.

C4,34(SK2.

49,66722218

11,7)0(9,2C1.

372008/2009 S. Spasić


953,90,0379

0,3772F

FF0,050,05 = 3,68 za df = 3,68 za df1 1 = 2 i df= 2 i df2 2 = 15= 15

Nulta hipoteza se odbacuje, negde postoji Nulta hipoteza se odbacuje, negde postoji razlika izmedju srednjih vrednosti !razlika izmedju srednjih vrednosti !

F0 3,68

382008/2009 S. Spasić

ANOVA – Tukey-Snedecor test ANOVA – Tukey-Snedecor test

292,007947,0

07947,0

3,67D

6

0,03789S3,67Q6n

N

nN

1m

1n

n

VSQSD

x

2ug

xx

392008/2009 S. Spasić

ANOVA – Tukey-Snedecor testANOVA – Tukey-Snedecor test

xx

f(x)f(x)

μμAAμμBB μ μ33

CBCABA xxxxxx

402008/2009 S. Spasić

ANOVA – Tukey-Snedecor testANOVA – Tukey-Snedecor test

412008/2009 S. Spasić


grupa Agrupa A grupa Bgrupa B grupa Cgrupa C grupa Dgrupa D

2,512,51 2,492,49 2,502,50 2,522,52

2,512,51 2,502,50 2,492,49 2,522,52

2,522,52 2,532,53 2,482,48 2,532,53

2,522,52 2.502.50 2,482,48 2,512,51

2,502,50 2,502,50 2,472,47 2,522,52

2,532,53 2,522,52 2,482,48 2,532,53

2,522,52 2,522,52

2,522,52

nn 77 66 66 88

xxsrsr 2,5162,516 2,5072,507 2,4832,483 2,5212,521

ΣΣxx 17,6117,61 15,0415,04 14,914,9 20,1720,17

ΣΣxx22 44,302344,3023 37,701437,7014 37,002237,0022 50,853950,8539

HH00: : AA = = BB = = CC = = DD

HH11: : - - nisu sve jednake nisu sve jednake

= = 00,,0505

dfdf1 1 = 3 i df= 3 i df2 2 = 23= 23

422008/2009 S. Spasić

ANOVA - primerANOVA - primer

0,0025260,0054740,008SK4.

0,005474C8

20,17

6

14,9

6

15,04

7

17,61SK3.

0,00801C

SK2.

169,851827

20,17)14,9015,04(17,61C1.

ug

2222

ig

tot

2

)8539,50

0022,377014,373023,44(

432008/2009 S. Spasić

ANOVA - primerANOVA - primer

591,610,00011

0,001825F

FF0,050,05 = 3,03 za df = 3,03 za df1 1 = 3 i df= 3 i df2 2 = 23= 23

Nulta hipoteza se odbacuje, negde postoji Nulta hipoteza se odbacuje, negde postoji razlika izmedju srednjih vrednosti !razlika izmedju srednjih vrednosti !

F0 3.03

442008/2009 S. Spasić

ANOVA - Tukey-Snedecor testANOVA - Tukey-Snedecor test

0,0163,9260,00405D

0,004056,716

0,00011S3,926Q6,716n

N

nN

1m

1n

n

VSQSD

x

2ug

xx

452008/2009 S. Spasić


x

f(x)

μA=μB=μD μC

CDBA xxxx

462008/2009 S. Spasić


statistika u farmaciji analiza varijanse - anova

Documents