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UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA

FACOLTA DI INGEGNERIA

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCATRONICA

TESI DI LAUREA MAGISTRALE

STUDIO E SIMULAZIONE DI TECNICHE

PER LA LOCALIZZAZIONE DI TARGET

UMANI MEDIANTE RADAR

BISTATICI E MULTISTATICI

Relatore: Ch.mo Prof. ALESSANDRO SONA

Laureando: FABIO MENINI

Matricola 603198-IMC

ANNO ACCADEMICO 2010-2011

Alle persone a cui voglio bene

Sommario

Al giorno d’oggi la localizzazione di persone assume un ruolo molto importante nei diversi

ambiti nei quali puo trovare applicazione, come sicurezza sul lavoro a livello industriale,

dispositivi militari, civili e primo soccorso in situazioni di emergenza.

Uno dei mezzi piu utilizzati per la localizzazione di persone consiste nella tecnologia radar,

per via di una serie di vantaggi, che la rende ideale anche in condizioni di utilizzo non del

tutto favorevoli.

L’obiettivo di questo lavoro di tesi consiste nello studio e nella simulazione delle tecniche

per la localizzazione di persone mediante radar, analizzando in particolare un sistema per

la sorveglianza di una determinata area. L’elaborato presenta uno studio iniziale sulle

tecniche di stima di ritardo fra segnali, che si inseriscono successivamente, nel contesto piu

ampio della stima della posizione di una persona. Viene analizzato infine un particolare

caso applicativo, presente in un articolo scientifico di riferimento. Per meglio comprendere

lo studio teorico sono state realizzate e descritte numerose simulazioni.

v

Indice

Sommario v

Indice vii

Elenco delle tabelle xi

Elenco delle figure xiii

Introduzione xvii

1 Time Delay Estimation 1

1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Breve analisi matematica iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Non idealita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Classificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Metodi basati sulla cross-correlazione generalizzata . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Average squared difference function (ASDF) method . . . . . . . . . 8

1.2.3 Least mean square (LMS) adaptive filter method . . . . . . . . . . . 8

1.3 Metodi alternativi per il TDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2 Stimatori MSX e MXS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.3 Altri metodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Riferimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Presentazione delle simulazioni realizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.1 Prima simulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.2 Seconda simulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5.3 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Metodi di stima della posizione 25

2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 DOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.1 Metodi di stima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 TOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.1 Ranging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 TDOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.1 Multilaterazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.2 Metodo di Fang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.3 Metodo di Chan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.4 Serie di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.5 Metodi per la determinazione dell’errore . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.6 Considerazioni finali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

vii

viii INDICE

2.5 Riferimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.6 Simulazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6.1 Prima simulazione proposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38


2.6.3 Considerazioni finali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Human detection 45

3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.1 Proprieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Possibili realizzazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.1 Rilevamento mediante sistemi di visione . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.2 Rilevamento mediante sensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 Human detection mediante Radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3.2 Identificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3.3 Localizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4 Riferimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 Analisi di un sistema di localizzazione 59

4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1.1 Radar bistatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1.2 Equazione generale di un radar bistatico . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.1.3 Localizzazione per radar monostatici, bistatici e multistatici . . . . . 62

4.2 Panoramica sul sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.1 Clutter removal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2.2 Imaging e Detection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.3 Tracking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3 Aspetti generali sul sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3.1 Analisi geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3.2 Potenza trasmessa e ricevuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3.3 Analisi per un sistema multistatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3.4 Risultati presentati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4 Riferimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.5 Simulazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.5.1 Prima simulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82


4.5.3 Terza simulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.5.4 Quarta simulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.5.5 Quinta simulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.5.6 Sesta simulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.5.7 Settima simulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.5.8 Ottava simulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

INDICE ix

5 Considerazioni alternative e sviluppi futuri 93

5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.2 Variazione del minimo tempo misurabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.2.1 Simulazione con γ diversi, grafici tridimensionali . . . . . . . . . . . 93

5.2.2 Simulazione con γ diversi, grafici bidimensionali a parita di r . . . . 96

5.2.3 Simulazione con γ diversi, grafici bidimensionali a parita di θ . . . . 98

5.2.4 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.3 Applicazioni alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.3.1 Caratterizzazione per un’area quadrata . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.4 Applicazioni future . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Conclusioni 109

Ringraziamenti 111

Bibliografia 113

A Considerazioni geometriche 115

A.1 Ellisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

A.2 Ovale di Cassini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Elenco delle tabelle

1.1 Variazione del SNR di soglia per 12 prove . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1 Parametri fondamentali del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

xi

Elenco delle figure

1 Schematizzazione di un sistema anti-intrusione . . . . . . . . . . . . . . . . xvii

1.1 Schema di principio del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Schema ideale per il prefiltraggio prima della Correlazione . . . . . . . . . . 3

1.3 Schema per la valutazione della Cross-correlazione . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Schema per la valutazione della correlazione PHAT . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Segnale di partenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Rumore sovrapposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Segnali in analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8 Cross-correlazione CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9 Cross-correlazione PHAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.10 Cross-correlazione ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.11 Correlazione ASDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.12 Correlazione per i metodi CC, PHAT e ML in assenza di rumore . . . . . . 19

1.13 Primo segnale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.14 Secondo segnale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.15 SNR di soglia per CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.16 SNR di soglia per PHAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.17 SNR di soglia per ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1 Localizzazione grazie alla stima DOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Array di antenne lineare ed uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Esempio di spettro angolare ottenuto grazie ad un metodo di beamforming . 29

2.4 Esempio di spettro angolare ottenuto grazie all’algoritmo MUSIC . . . . . . 30

2.5 Situazione iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6 Situazione di partenza nella simulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.7 Impulso inviato dalla sorgente E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.8 Segnali ricevuti dal terzo ricevitore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.9 Segnali ricevuti dal terzo ricevitore, primo caso . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.10 Segnali ricevuti dal terzo ricevitore, secondo caso . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.11 Segnali ricevuti dal terzo ricevitore, terzo caso . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.12 Segnali ricevuti dal terzo ricevitore, quarto caso . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.13 Segnali ricevuti dal terzo ricevitore, quinto caso . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1 Caratteristiche statiche e dinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2 Spettrogramma per una persona che cammina . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3 PSD per un impulso UWB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4 Realizzazione di impulsi UWB ottenuti come derivata prima di un impulso

gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

xiii

xiv ELENCO DELLE FIGURE

3.5 Esempio di impulso UWB ottenuto come derivata terza di un impulso

gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.6 Possibili applicazioni della tecnologia radar UWB nella localizzazione di

persone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1 Geomatria di un radar bistatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2 Esempi di ovali, al variare di RM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3 Luoghi di punti localizzabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.4 Luoghi di punti localizzabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.5 Sistemi multipli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.6 Scenario del sistema di localizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.7 Caratterizzazione generale del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.8 Scansione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.9 Elisse caratteristica di un radar bistatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.10 Segnale trasmesso e ricevuto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.11 Ovale di Cassini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.12 Esempio di Ellisse equi-TOA (in grassetto) e di due Ovali di Cassini . . . . 70

4.13 Ovale di Cassini Massimo ed Ellisse minima . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.14 Zona di incertezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.15 Area A e disposizione del TX e degli RX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.16 Caratterizzazione geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.17 Impulsi inviati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.18 Percentuale di copertura dell’area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.19 Potenza minima richiesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.20 Area di incertezza nella localizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.21 Area di incertezza per r= 50 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.22 Area di incertezza per θ = π/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.23 Semplice realizzazione di in’ellisse equi-TOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.24 Segnali in esame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.25 Scenario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.26 Area A e posizione del target . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.27 Situazione presente per ogni ricevitore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.28 Stima della posizione del target . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.29 Ovali di Cassini Massimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.30 Situazione per r=40 m e θ= 15 gradi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.31 Punti per la realizzazione dell’algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.32 Percentuali di copertura dell’area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.33 Coefficiente K(r, θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.34 Potenza minima richiesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.35 Frequenza di ripetizione PRFmax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.1 Situazione per r = 40 m, θ = 15 gradi e γ = 10 ns . . . . . . . . . . . . . . 94

5.2 Copertura per γ = 1 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

ELENCO DELLE FIGURE xv




5.6 Copertura per r = 10 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.7 Copertura per r = 20 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.8 Copertura per r = 30 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.9 Copertura per r = 40 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.10 Copertura per θ = 10 gradi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99








5.18 Area A e B a confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.19 Ovali di Cassini Massimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.20 Copertura per un’area quadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.21 Coefficiente K(r, θ) per area quadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.22 Potenza minima richiesta per area quadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.23 Impulsi nel caso di target mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Introduzione

Molte aree ed infrastrutture critiche come serbatoi, impianti di potenza e zone militari

possono risultare problematiche per via della loro pericolosita in termini di sicurezza sul

lavoro (in un ambiente industriale) e per via della loro vulnerabilita in caso di attacco

esterno (in ambiente militare). In tutte queste applicazioni la realizzazione di un sistema

di localizzazione di una persona riveste un ruolo di fondamentale importanza per un cor-

retto monitoraggio dell’area in esame [1, 2].

I sensori classici, solitamente utilizzati, presentano problemi intrinseci che diminuiscono

la probabilita di rilevamento di una persona ed aumentano la probabilita di generazione

di un falso allarme. Il loro corretto funzionamento puo essere condizionato da innume-

revoli fattori non controllabili dall’uomo come condizioni atmosferiche non favorevoli ed

interferenze elettromagnetiche. I problemi precedentemente citati rendono necessaria la

realizzazione di sistemi ridondanti di sensori classici, aumentandone la complessita ed il

costo [2].

La tecnologia radar garantisce un’elevata immunita sia ai disturbi elettromagnetici sia alle

avverse condizioni atmosferiche, garantendo una buona stima della posizione della persona

da localizzare.

Per migliorare le prestazioni dei sistemi radar, si utilizzano spesso particolari segnali im-

pulsivi (UWB, Ultra Wide Band), con durata dell’ordine del nanosecondo. Essi possono

facilmente far risultare invisibili ostacoli intermedi come muri ed altri materiali da costru-

zione. Questa interessante proprieta puo essere favorevolmente sfruttata per la localizza-

zione di persone in alcune situazioni di emergenza [3, 4, 5].

La trattazione corrente descrive un sistema di localizzazione anti-intrusione costituito da

un radar multistatico, visibile in Figura 1 ed analizzato in dettaglio in un articolo di rife-

rimento [1].

Figura 1: Schematizzazione di un sistema anti-intrusione

Si dimostra come una variazione dei parametri geometrici relativi alla posizione dei rice-

vitori possa influenzare considerevolmente alcuni importanti aspetti come la percentuale

di copertura dell’area, la potenza minima necessaria per poter garantire la localizzazione

e l’accuratezza della stessa [1].

La parte critica in un sistema formato da uno o piu radar consiste nelle operazioni di signal

processing, nelle quali vengono trattati i segnali ricevuti e, dall’analisi di quest’ultimi, si

xvii

xviii Introduzione

estrapola l’informazione prima sull’eventuale presenza e successivamente sulla posizione

del target.

In questo contesto si inserisce la necessita di uno studio preliminare sulla stima del ri-

tardo fra segnali (TDE, Time Delay Estimation). Essa puo essere effettuata attraverso

alcune operazioni matematiche sui segnali, la piu comune di queste prende il nome di

cross-correlazione [6, 7].

La stima del ritardo fra segnali viene utilizzata in un ambito piu ampio per la deter-

minazione del luogo di punti di appartenenza del target, in relazione alla posizione del

trasmettitore e dei ricevitori [1]. La posizione viene calcolata grazie ad alcuni parametri

temporali denominati TOA (Time of Arrival) e TDOA (Time Diffrence of Arrival) diret-

tamente dipendenti dal TDE.

Il lavoro di tesi presenta una panoramica sulle tecniche di localizzazione di persone me-

diante radar, a partire dalla operazione preliminari di stima del ritardo fra segnali fino

all’analisi di un sistema di sorveglianza di un’area descritto nell’articolo scientifico di rife-

rimento.

Per poter meglio comprendere gli argomenti svolti, sono state realizzate numerose simula-

zioni. Le prime riguardano i metodi di stima del TDE e del TDOA mentre quelle successive

riguardano la simulazione di un’area di sorveglianza, nelle quali sono presenti codici che

riproducono alcuni grafici descritti nell’articolo di studio, con l’aggiunta di considerazioni

alternative.

L’obiettivo del lavoro di tesi consiste quindi nello studio e nella simulazione di tecniche

per la localizzazione di persone mediante sistemi radar, analizzando un particolare caso

applicativo.

Il documento e strutturato come segue. Il primo capitolo descrive ampiamente il proble-

ma del TDE, dandone una caratterizzazione matematica, classificandone i vari metodi di

calcolo ed elencando i vantaggi degli uni rispetto agli altri.

Il secondo capitolo descrive i metodi di stima della posizione presenti in letteratura, legati

direttamente ad alcune variabili come il DOA (Direction of Arrival), il TOA ed il TDOA

precedentemente citati.

Il terzo capitolo presenta l’human detection ovvero il rilevamento di una persona. Ven-

gono analizzate le varie fasi che la compongono ed i mezzi tecnologici che la realizzano,

giustificando l’utilizzo la tecnologia radar.

Il quarto capitolo analizza in dettaglio un particolare caso applicativo, ovvero un sistema

radar multistatico basato su tecnologia UWB per la sorveglianza di un’area circolare, in

riferimento ad un particolare articolo scientifico di riferimento [1].

Il quinto capitolo mostra i risultati delle simulazioni ottenute variando alcune caratteri-

stiche del sistema presentato nel quarto capitolo.

Ogni capitolo presenta una sezione dei riferimenti con una breve sintesi degli articoli scien-

tifici citati all’interno del capitolo stesso, ed eventualmente una sezione con la descrizione

delle simulazioni svolte.

La parte delle conclusioni termina la trattazione dell’elaborato e getta le basi per eventuali

sviluppi futuri.

Capitolo 1

Time Delay Estimation

1.1 Introduzione

La stima della differenza temporale di arrivo di un segnale comune su due sensori, ognuno

dei quali con un proprio rumore sovrapposto non correlato, e un problema di interesse

comune cosı come sostenuto da Ianiello [6, 8]. La differenza temporale in esame, spesso

viene indicata in letteratura con il nome TDE (Time Delay Estimation, stima del ritardo

fra segnali).

Charles H. Knapp e G. Clifford Carter [7] hanno descritto il problema in termini mate-

matici, considerando un generico segnale proveniente da una sorgente remota s(t), che si

propaga e viene ricevuto da due sensori localmente spaziati r1(t) e r2(t):

r1(t) = s(t) + n1(t) ,

r2(t) = αs(t−D) + n2(t) ,(1.1.1)

dove n1(t) e n2(t) rappresentano il rumore di tipo Gaussiano sui due sensori, assunto per

ipotesi non correlato al segnale di partenza, α e un coefficiente che indica un’eventuale

attenuazione e D e il ritardo.

Uno studio condotto dal Department of Electrical and Computer Engineering The Univer-

sity of Auckland [9] descrive, ad esempio, il fenomeno in termini acustici, come indicato

in Fig. 1.1.

Fig. 1.1: Schema di principio del problema

Ci sono molti metodi per stimare il ritardo D. Il piu semplice e realizzare una funzione di

cross-correlazione Rr1r2(τ) fra i due segnali e individuare l’argomento (τ) al quale corri-

sponde il massimo della funzione stessa Rr1r2(τ) [7]. Per migliorare la ricerca del picco e

la conseguente stima del ritardo possono essere utilizzati filtri o funzioni di peso.

1

2 Time Delay Estimation

La stima del ritardo e ottenuta pesando l’intervallo di tempo che massimizza la funzione

di cross-correlazione in relazione alla versione filtrata dei due segnali ricevuti. Questa

tecnica, che utilizza una particolare funzione peso e stata proposta da Knapp e Carter [7]

nel 1976 e prende il nome di cross-correlazione generalizzata.

1.1.1 Breve analisi matematica iniziale

Cross-correlazione e cross-spettro

Dati due segnali ricevuti r1(t) e r2(t), descritti dalla (1.1.1) ed ipotizzando α = 1 la

cross-correlazione e data dalla formula:

Rr1r2(τ) = E [r1(t)r2(t− τ)] , (1.1.2)

dove E denota l’aspettazione.

Knapp e Carter hanno osservato come il cross-spettro Gr1r2(f) e legato direttamente all’in-

formazione di potenza dei due segnali ed e relazionato alla cross-correlazione dall’analisi

di Fourier [7]. La (1.1.2) diviene cosı:

Rr1r2(τ) =

∫ ∞−∞

Gr1r2(f)ej2πfτdf . (1.1.3)

La cross-correlazione puo essere valutata anche nei seguenti termini:

Rr1r2(τ) = Rss(τ −D) +Rn1n2(τ) . (1.1.4)

Nella (1.1.4) il termine Rss(τ) rappresenta la funzione di auto-correlazione del segna-

le s1(t). La trasformata di Fourier della cross-correlazione restituisce il cross-spettro,

Gr1r2(f) come sottolineato precedentemente nella (1.1.2).

Gr1r2(f) = Gss(f)e−j2πfD +Gn1n2(f) . (1.1.5)

Si ipotizza ora che i rumori n1(t) e n2(t) siano Gaussiani non correlati, con questa ipotesi

Gn1n2(f) = 0.

Ricordando inoltre che una moltiplicazione nel dominio della frequenza corrisponde ad

una convoluzione nel tempo, la (1.1.5) si puo esprimere come:

Rr1r2(τ) = Rss(τ)⊗ δ(t−D) . (1.1.6)

La cross-correlazione generalizzata, citata precedentemente, e espressa dalla formula:

Rr1r2(τ) =

∫ ∞−∞

ψg(f)Gr1r2(f)ej2πfτdf , (1.1.7)

dove il termine ψg rappresenta una particolare funzione peso che verra valutata caso per

caso.

Knapp fa riferimento al fatto che i due segnali ricevuti devono essere filtrati [7]. Tuttavia

al fine della trattazione corrente e possibile ipotizzare, in prima approssimazione, che i

1.1 Introduzione 3

due segnali r1(t) e r2(t) siano limitati in banda.

La (1.1.7) si puo esprimere quindi con la seguente formula:

Rr1r2(τ) =

∫ +∞

−∞r1(t)r2(t− τ)dt . (1.1.8)

1.1.2 Non idealita

Un problema importante nel TDE e l’intervallo di osservazione, che ovviamente non puo

essere infinito come richiederebbe l’analisi teorica sopra descritta [7]. In pratica il cross-

spettro Gr1r2(f) e ottenuto da un periodo di osservazione finito di r1(t) e r2(t) e deve

essere stimato: Gr1r2(f). Questo, deriva dal fatto che la (1.1.8) non puo essere calcolata,

ma solo stimata:

Rr1r2(τ) =1

T

∫ T

0r1(t)r2(t− τ)dt , (1.1.9)

0 < τ < T ,

dove T rappresenta l’intervallo finito di osservazione. La (1.1.7) diviene quindi:

Rr1r2(τ) =

∫ ∞−∞

ψg(f)Gr1r2(f)ej2πfτdf . (1.1.10)

La stima del cross-spettro Gr1r2(f) puo presentare degli errori se l’intervallo di osservazione

e breve. Tuttavia se si ipotizza che il ritardo sia costante (come spesso accade) un intervallo

di osservazione finito non incide piu di tanto sulla stima del cross-spettro stesso.

Al fine di migliorare la stima del ritardo D i segnali ricevuti r1(t) e r2(t) andrebbero

filtrati, attraverso due filtri H1(f) e H2(f) come mostrato in Fig. 1.2.

Fig. 1.2: Schema ideale per il prefiltraggio prima della Correlazione

Se si ritiene necessario filtrare i segnali, la (1.1.7) diventa:

Ry1y2(τ) =

∫ ∞−∞

ψg(f)Gr1r2(f)ej2πfτdf . (1.1.11)

La relazione fra il cross-spettro dei segnali pre-filtrati e post-filtrati e il seguente:

Gy1y2(f) = H1(f)H∗2 (f)Gr1r2(f) , (1.1.12)

con:

ψg(f) = H1(f)H∗2 (f) . (1.1.13)


Se si ipotizza che i segnali ricevuti siano limitati in banda e quindi non e necessario nessun

filtraggio (H1(f) = H2(f) = 1), la stima del picco avviene determinando a quale valore

dell’ascissa si ha un picco nella funzione di cross-correlazione.

Un ulteriore problema riguarda la stima del SNR (signal to noise ratio, rapporto segnale-

rumore), che e associato all’intervallo di osservazione T ed interviene quindi sul TDE [6, 8].

Rumori aggiuntivi e riverbero del segnale possono portare ad una diminuzione del SNR

[9]. Se tale valore e grande, l’intervallo di osservazione per la stima di Gr1r2 puo essere

contenuto, viceversa l’intervallo deve essere molto piu lungo.

Molto spesso nella pratica e conveniente determinare un valore di soglia per l’ SNR e

dividere l’ascissa in intervalli a seconda se il SNR locale sia maggiore o minore della soglia.

Nel primo caso vi saranno solamente errori ti tipo locale, mentre nel secondo il TDE sara

completamente errato [9]. In [6] e descritto il comportamento “a soglia” appena descritto,

nella sezione riguardante le simulazione e possibile osservare quanto appena indicato.

1.2 Classificazione

1.2.1 Metodi basati sulla cross-correlazione generalizzata

I metodi basati sulla cross-correlazione generalizzata vengono applicati a partire dalla

(1.1.11) nella quale si ha una diversa funzione peso ψg(f) a seconda dei casi.

Cross-correlation method

E il piu semplice modo per stimare il ritardo, in quanto si parte dalla (1.1.11) e si ipotizza

che H1(f) = H2(f) = 1 ∀f , ovvero si assume che la funzione peso ψg(f) sia unitaria lungo

tutto l’intervallo di frequenza in esame. Il valore della correlazione fra i segnali r1(t) e

r2(t) e funzione del ritardo τ e indicato nella (1.1.9).

Per stimare il ritardo D bisogna calcolare iterativamente l’indice di correlazione seguente,

fino al raggiungimento del picco. Assumendo che la stima sia esatta si perviene a:

Rr1r2(τ) =1

T

∫ T

0r1(t)r2(t− τ)dt , (1.2.1)

0 < τ < T ,

dove T rappresenta l’intervallo di osservazione.

Il ritardo stimato DCC attraverso l’operazione di cross-correlazione avviene semplicemente

determinando il valore dell’ascissa τ al valore di picco di Rr1r2(τ)

DCC = argmax[Rr1r2(τ)] . (1.2.2)

La Fig. 1.3 mostra una possibile implementazione di un diagramma a blocchi per la

realizzazione della cross-correlazione.

1.2 Classificazione 5

Fig. 1.3: Schema per la valutazione della Cross-correlazione

Roth Processor

E il primo esempio di cross-correlazione generalizzata. Presenta la favorevole caratteristica

di eliminare la regione di frequenza dove la densita spettrale di potenza del rumore Gn1n1(f)

e Gn2n2(f) e alta e la stima del cross-spettro Gr1r2(τ) e quindi errata [7].

La funzione peso assume la forma:

ψg(f) =1

Gr1r1(f). (1.2.3)

La (1.1.10) diviene:

Rr1r2(τ) =

∫ ∞−∞

Gr1r2(f)

Gr1r1(f)ej2πfτdf . (1.2.4)

L’equazione (1.2.4) stima la risposta impulsiva di un particolare filtro Hm(f):

Hm(f) =Gr1r2(f)

Gr1r1(f), (1.2.5)

che approssima la mappatura di r1(t) in r2(t).

The Smoothed Coherence Transform (SCOT)

Il processo SCOT sopprime le zone di frequenza con rumore alto e assegna un peso pari a

zero alla regione dove Gs1s1(f) = 0. La funzione peso diviene:

ψg(f) =1√

Gr1r1(f)Gr2r2(f). (1.2.6)

La (1.1.11) assume quindi la forma:

Rr1r2(τ) =

∫ ∞−∞

Gy1y2(f)√Gr1r1(f)Gr2r2(f)

ej2πfτdf . (1.2.7)


Il metodo SCOT puo essere interpretato come un filtraggio di entrambi i segnali ricevuti,

come indicato nella Fig. 1.2, seguito da una cross-correlazione.

H1(f) =1√

Gr1r1(f), H2(f) =

1√Gr2r2(f)

. (1.2.8)

Se Gr1r1(f) = Gr2r2(f) la funzione peso SCOT diventa del tutto equivalente alla funzione

peso Roth.

Phase transform (PHAT) method

E il terzo esempio di cross-correlazione generalizzata in quanto si utilizza una funzione

peso, come descritto nella (1.1.7).

ψp(f) =1

|Gr1r2(f)|. (1.2.9)

La (1.1.10) assume quindi la forma:

Rr1r2(τ) =

∫ ∞−∞

Gr1r2(f)

|Gr1r2(f)|ej2πfτdf . (1.2.10)

Per il modello (1.1.1) ipotizzando rumore non correlato (i.e. Gn1n2(f) = 0) si perviene al

seguente risultato:

|Gr1r2(f)| = Gs1s1(f) . (1.2.11)

Idealmente nella zona di frequenza nella quale Gr1r2(f) uguaglia Gr1r2(f) si ha:

Gr1r2|Gr1r2(f)|

= ejϑ(f) = ej2πfD . (1.2.12)

Tale funzione ha modulo unitario ed e approssimabile ad un impulso:

Rr1r2(τ) = δ(τ −D) . (1.2.13)

Nella pratica tuttavia Gr1r2(f) 6= Gr1r2(f) e ϑ(f) 6= 2πfD quindi Rr1r2(τ) non sara una

funzione ad impulso, ma presentera comunque un picco corrispondente ad una ben precisa

ascissa temporale τ .

Gli errori maggiori si hanno nelle regioni di frequenza dove Gr1r2(f) ' 0 in quanto la fase

ϑ(f) tende ad essere indefinita. Per questo motivo ψp(f) deve tenere conto della possibile

assenza del segnale [7].

Il ritardo D viene determinato analogamente alla (1.2.2):

DPHAT = argmax[Rr1r2(τ)] . (1.2.14)

Il ritardoD e rappresentato dal massimo della funzione cross-correlazione (1.2.14), Gr1r2(f)

e il cross-spettro dei segnali ricevuti, come introdotto nella (1.1.3) mentre ψp(f) e la funzio-

ne peso per questo particolare caso. Ovviamente solo l’informazione sulla fase e mantenuta,

1.2 Classificazione 7

dopo che il cross-spettro viene diviso per il suo modulo [7, 9]. La Fig. 1.4 mostra una pos-

sibile implementazione di un diagramma a blocchi per la realizzazione della correlazione

PHAT [9].

Fig. 1.4: Schema per la valutazione della correlazione PHAT

Maximum likelihood (ML) method

Il metodo Maximum likelihood (massima verosimiglianza) e un ulteriore importante me-

todo nell’ambito della famiglia della cross-correlazione generalizzata (1.1.7) per la stime

del time-delay. La funzione peso ψML(f) e scelta per aumentare l’accuratezza della stima

attenuando il segnale nella regione spettrale dove il SNR e minore. Per un ottimo utilizzo

di questo metodo devono valere alcune ipotesi come:

• segnali gaussiani non correlati con rumore gaussiano;

• assenza di riverbero.

ψML(f) =1

|Gr1r2(f)||γ12(f)|2

1− |γ12(f)|2, (1.2.15)

dove:

|γ12(f)|2 =|Gr1r2(f)|2

Gr1r1(f) ·Gr2r2(f), (1.2.16)

e il termine di coerenza quadrato. Il termine fondamentale |γ12(f)|21−|γ12(f)|2 , pesa enormemente la

funzione correlazione nella banda di frequenze in cui il termine coerenza e vicino all’unita.

Il metodo ML pesa la fase del cross-spettro quando la varianza dell’errore di fase stimato

e la stessa.Gr1r2|Gr1r2(f)|

= ejϑ(f) . (1.2.17)

Nel caso pratico per stimare il ritardo bisogna sempre stimare, come al solito, dove la

funzione correlazione e massima (1.2.17).

DML = argmax[Rr1r2(τ)] . (1.2.18)


1.2.2 Average squared difference function (ASDF) method

Questo metodo consiste nel trovare la posizione del minimo errore quadratico medio fra i

due segnali rumorosi, tale posizione sara considerata come ritardo stimato [7, 10].

Tale metodo, in assenza di rumore, restituisce la stima esatta del ritardo D, a differenza

delle funzioni di correlazione [9]. Rispetto gli altri metodi, questo non richiede moltiplica-

zioni, e non e necessaria la conoscenza dello spettro d’ingresso, rendendolo particolarmente

utile nelle applicazioni e tempo discreto.

RASDF [τ ] =1

N

N−1∑n=0

[r1(n)− r2(n+ τ)]2 , (1.2.19)

DASDF = argmin[R12(τ)] . (1.2.20)

La (1.2.20) indica come il ritardo stimato D corrisponde al valore temporale dell’ascissa

associata al minimo della (1.2.19).

1.2.3 Least mean square (LMS) adaptive filter method

Il filtro adattativo LMS e un filtro a risposta impulsiva finita FIR (Finite Response Im-

pulse) che adatta i suoi coefficienti automaticamente per minimizzare la differenza media

al quadrato fra due ingressi, un segnale di riferimento e uno desiderato.

Assumendo che r1(n) sia il segnale di riferimento e r2(n) quello desiderato l’uscita del

filtro LMS y12(n) puo essere espressa come:

y12(n) = W T12(n)X12 , (1.2.21)

dove X12 = [r1(n), r1(n− 1), ...., r1(n−L+ 1)]T e lo stato del filtro che corrisponde ai piu

recenti campioni del segnale di riferimento. W12(n) e il vettore L-dimensionale dei pesi

del filtro all’istante n. L’errore di uscita, espresso con e12(n) e:

e12(n) = r2 −W T12(n)X12 . (1.2.22)

Il vettore dei pesi e implementato come segue:

W12(n+ 1) = W12(n) + µ12(n)X∗12(n) , (1.2.23)

dove * denota il complesso coniugato e µ e il coefficiente di retroazione che controlla il

grado di convergenza dell’algoritmo.

1.3 Metodi alternativi per il TDE 9

1.3 Metodi alternativi per il TDE

1.3.1 Introduzione

Considerando la (1.1.1) e ipotizzando α = 1:

r1(t) = s(t) + n1(t) ,

r2(t) = s(t−D) + n2(t) .(1.3.1)

La cross correlazione, descritta nella (1.1.9) e discretizzata per l’utilizzo di un programma

di calcolo, diviene:

Rr1r2[τ ] =1

N

N−1−τ∑n=0

[r1(n)r2(n+ τ)] . (1.3.2)

La (1.3.2) non e altro che una versione pratica della (1.2.1) nella quale i segnali r1(t) e

r1(t) sono stati discretizzati, ottenendo r1(n) e r1(n) al fine di avere un’equazione piu

adatta al controllo digitale. In particolare per entrambi, l’intervallo di osservazione e N-

dimensionale e gli istanti discreti n ∈ 0, 1, . . . , N − 1.

In assenza di ipotesi sul rumore la (1.3.2) si puo scrivere come sommatoria dei vari

componenti [10]:

Rr1r2[τ ] =1

N

N−1−τ∑n=0

[r1(n)r2(n−D + τ)]

=1

N

N−1−τ∑n=0

[s(n)s(n−D + τ)]

+1

N

N−1−τ∑n=0

[s(n)n1(n−D + τ)]

+1

N

N−1−τ∑n=0

[n2(n)s(n−D + τ)]

+1

N

N−1−τ∑n=0

[n1(n)n2(n−D + τ)] . (1.3.3)

Se, si ipotizza segnale limitato in banda e rumore scorrelato, i termini della (1.3.3) che

eseguono la correlazione fra il segnale e una delle componenti del rumore si annullano:

Rr1r2[τ ] =1

N

N−1−τ∑n=0

[s(n)s(n−D + τ)] = Rss[τ −D] . (1.3.4)

La (1.3.4) si puo considerare come una versione discretizzata della (1.1.6), vista preceden-

temente.

1.3.2 Stimatori MSX e MXS

I metodi precedentemente analizzati, basati sulla cross-correlazione semplice o generaliz-

zata si dimostrano ottimi quando il rapporto SNR e sopra un livello di soglia, mentre


possono portare ad una stima errata in caso contrario. In presenza di un ambiente rumo-

roso infatti la stima del delay diventa completamente errata.

Per ovviare a questo problema sono stati introdotti i stimatori MSX e MXS, come descrit-

to da K. Nandi nel suo articolo [10].

La (1.3.2), se il rumore non puo essere ipotizzato scorrelato dal segnale di riferimento

diventa:

E [Rr1r1(τ)] = E [1

N

N−1−τ∑n=0

(s(n)s(n+ τ))

+1

N

N+τ∑n=0

(n1(n)n2(n+ τ))]

= Rss(τ) + σ2n1δ(t) . (1.3.5)

Vale cosı che per ogni τ 6= 0,

E [Rr1r1] = Rss(τ) = E [Rr1s(τ +D)] . (1.3.6)

In modo simile per τ 6= D,

E [Rr1r2(τ)] = Rss(τ −D) = E [Rr1r1(τ −D)] . (1.3.7)

L’approccio MXS consiste nel scegliere un valore per τr1r2 e calcolare Rr1r2(τr1r2), resta

ora da determinare il valore di τ tale che Rr1r1(τ) sia il piu possibile vicino a Rr1r2(τr1r2).

Si determina successivamente un valore di τr1r1 tale che Rr1r2(τr1r2) = Rr1r1(τr1r1) usando

una formula di interpolazione quadratica, presente nell’articolo di K. Nandi [10]. Il ritardo

stimato DMXS assume quindi la forma:

DMXS = τr1r2 − τr1r1 . (1.3.8)

Gli autori descrivono la necessita di determinare piu valori di τr1r2 e quindi di DMXSe di

operare infine un media fra queste, al fine di ottenere una stima robusta del time delay D.

Il metodo MSX e molto simile al precedente. In questo caso l’ autocorrelazione Rr1r1(τ)

del primo segnale rumoroso e comparata con la cross-correlazione fra il segnale sorgente

s(t) e la sua versione ritardata e rumorosa r2(t) Rr2r1(τ).

E [1

N − τ

N−1−τ∑n=0

(s(n−D)s(n+ τ))] = Rr1r2(τ +D) , (1.3.9)

dove, per un dato τr2r1 viene determinato τr1r1 dall’interpolazione quadratica. Il ritardo

stimato DMSX assume quindi la forma:

DMSX = τr1r1 − τr2r1 . (1.3.10)

1.3 Metodi alternativi per il TDE 11

1.3.3 Altri metodi

Al giorno d’oggi, la ricerca riguardante nuovi metodi relativi al TDE avviene migliorando o

accostando i metodi di base, esistenti da molti anni con studi e ricerche attuali. Un nuovo

algoritmo puo, ad esempio si puo ottenere discretizzando la funzione ci cross-correlazione

generalizzata, elaborando i campioni di segnali ricevuti ed riportando il tutto nel dominio

del tempo [11]. Un’altra area di ricerca porta all’accostamento delle tecniche di subspace

decomposition per l’analisi del TDE nei sistemi MIMO [12].


1.4 Riferimenti

[6] John P. Ianniello. Threshold effects in time delay estimation via crosscor-

relation.1968

La stime del TDE per un segnale ricevuto da due sensori con rumore sovrapposto pre-

senta un valore di soglia, al di sotto del quale i risultati sono inattendibili. Se il valore

SNR diminuisce la probabilita che la stima sia errata aumenta in modo consistente. In

quest’articolo sono presentati i risultati sulla determinazione probabilistica di una stima

errata.

[7] C. G. Carter C. H. Knapp. The generalized correlation method for esti-

mation of time delay. 1976.

Descrive i metodi illustrati nel corso della trattazione, a partire da un sistema model-

lato secondo la (1.1.1). In particolare viene sucessivamente implementato uno stimatore

a massima verosimiglianza per un sistema a due sensori, costituito da un’azione di prefil-

traggio su entrambi i dispositivi seguita da una correlazione. Qualitativamente il ruolo dei

pre-filtri e quello di aumentare l’ampiezza del segnale alle frequenze alle quali il rapporto

segnale-rumore e piu alto, sopprimendo, contemporaneamente la potenza del rumore.

[8] John P. Ianniello. Time delay estimation via cross-correlation in the pre-

sence of large estimation error. 1982.

Quest’articolo presenta l’errore sulla stima del TDE dello stesso segnale ricevuto da due

sensori localmente spaziati, ognuno dei quali presenta un rumore sovrapposto non cor-

relato. E’ mostrato come dopo un’eventuale integrazione del segnale, in alcune zone di

frequenza il possibile errore sulla stima del TDE aumenta rapidamente.

[9] Walled H.Abdulla Yushi Zhang. A Comparative Study of Time-Delay Esti-

mation Techniques Using Microphone Arrays. Department of Electrical and

Computer Engineering The University of Auckland, 2005.

La stima del ritardo fra due segnali (TDE) ricevuti a due microfoni e utile per nume-

rose applicazioni. Sono presentati cinque metodi: cross-correlazione semplice (CC), phase

transform (PHAT), maximum likelihood estimator (ML), adaptative least mean square

filter (LMS) e average square difference function (ASDF). Sono presenti delle simulazioni,

al fine di comparare tali metodi in termini di onerosita computazionale, implementazione

hardwere, precisione ed accuratezza. Le prestazioni di tutti i metodi sono variabili in

funzione del rapporto segnale-rumore.

[10] K. Nandi. On the subsample time delay estimation of narrowband ul-

trasonic echoes. 1995

1.4 Riferimenti 13

La correlazione basata sul TDE, ottima in presenza di alcune condizioni, mostra un ben

noto effetto-soglia che ne peggiora le prestazioni in presenza di un basso rapporto segnale-

rumore. La presenza di un rumore elevato impedisce infatti la determinazione di un unico

picco e la conseguente stima corretta del ritardo. Vengono presentati in quest’articolo due

nuovi stimatori denominati MSX e MXS per segnali limitati in banda. Questi stimatori

la cross-correlazione e l’autocorrelazione e realizzata per un numero differente di campioni

per ottenere un numero di stime che vengono successivamente combinate per ottenere una

stima robusta del ritardo.

[11] Liyan Zhang and Li Jun Zhang. A gcc time delay estimation algorithm

based on wavelet transforml. 2010.

Quest’articolo introduce u nuovo algoritmo per la stima del TDE che applica una di-

scretizzazione per la cross.correlzaione generalizzata. Tale algoritmo prima prende in

considerazione i due segnali ricevuti dai sensori separatamente, poi applica separatamente

la GCC per stimare una soglia per la stima del TDE. Alla fine i risultati vengono riportati

nel dominio del tempo.

[12] Jafar Shalchian, Ali Khaki-Sedigh, and Alireza Fatehi. A subspace ba-

sed method for time delay estimationl. 2010

Le stime dei ritardi fra segnali e un aspetto comune nei processi industriali. Viene propo-

sto un metodo basato sulla stima dell funzione di trasferimento di un processo, a partire

dalla conoscenza dell’ingresso e dell’uscita. Questo avviene dalla combinazione di due noti

approcci: TDE, ricavato dalla risposta impulsiva e subspace decomposition. Tale metodo

puo essere facilmente implementato nei sistemi MIMO.


1.5 Presentazione delle simulazioni realizzate

1.5.1 Prima simulazione

Creazione dei segnali

La prima simulazione, presente nel file prima_TDE consiste nell’analizzare un particolare

segnale, traslarlo di una certa quantita temporale e realizzare un programma che determini

tale ritardo grazie ad alcuni metodi di Cross-correlazione analizzati nelle sezioni prece-

denti.

Si Consideri un segnale sorgente della libreria Matlab s(t), visibile in Fig. 1.5 ed indicato

nel codice Matlab con il nome signal1. Al fine della simulazione non e necessario indicare

l’orizzonte in termini temporali, per questo motivo l’ascissa viene discriminata in campioni

arbitrari.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

−2

−1

0

1

2

3

unità

arb

itrar

ia

campioni temporali

Primo segnale

Primo segnale

Fig. 1.5: Segnale di partenza

Traslando di una certa quantita il segnale signal1 si ottiene un nuovo segnale denominato

signal2, il ritardo fra i due puo essere impostato direttamente dall’utente agendo sulla

variabile delay che in questo caso e uguale a 325 campioni.

Per rendere i segnali piu vicini ad una caratterizzazione reale viene sommato ad entrambi

del rumore bianco di tipo gaussiano, indicato con noise1 e noise2. Nella Fig. 1.6 si puo

notare inoltre la caratterizzazione statistica che presenta un media pari a zero ed una

varianza unitaria.

Vengono ottenuti i segnali r1(t) e r2(t) visibili in Fig. 1.7 e presenti nel codice con il nome

noisysignal1 e noisysignal2.

1.5 Presentazione delle simulazioni realizzate 15

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

−0.2

0

0.2

Rumore bianco gaussiano

unità

arb

itrar

iacampioni temporali

−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.40

500

1000

1500Istogramma del rumore bianco gaussiano

Varianza

Cam

pion

i

Fig. 1.6: Rumore sovrapposto

0 1000 2000 3000 4000 5000

−2

−1

0

1

2

3Segnali in analisi

unità

arb

itrar

ia

campioni temporali

Primo segnaleSecondo segnale

Fig. 1.7: Segnali in analisi

Realizzazione delle funzioni di correlazione

La simulazione provvede a realizzare le funzioni di correlazione per i metodi CC, PHAT,

MLS, ASDF stimando il valore del ritardo.

La semplice cross-correlazione viene determinata semplicemente attraverso la funzione

xcorr e l’ausilio della semplice porzione di codice:

cccorrelation=xcorr(noisysignal1,noisysignal2); %metodo CC

[ccmaximum cctime]=max(cccorrelation);

ccestimation=abs(assumesignallength-cctime);

cccorrelation=cccorrelation/ccmaximum;


Il luogo dei punti cccorrelation rappresenta la cross-correlazione visualizzata sull’inter-

vallo di tempo assumesignallength e visibile in Fig. 1.8, l’ampiezza viene divisa per il

valore massimo ccmaximum in modo da poter essere espressa in forma normalizzata. Tale

operazione viene eseguita anche per le altre funzioni di correlazione generalizzata in modo

da poter eseguire un eventuale confronto in sede di commento.

280 290 300 310 320 330 340 350 360 370

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Cross−correlazione CC

cros

s−co

rrel

azio

ne

campioni temporali

CC

Fig. 1.8: Cross-correlazione CC

La correlazione mediante metodo PHAT viene realizzata grazie ad una funzione peso ψp(f)

descritto nella (1.2.9) e presente nel codice con la variabile phatfilter. La funzione ot-

tenuta viene denominata gcccorrelation ed e visibile in Fig. 1.9.

280 290 300 310 320 330 340 350 360 370

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Cross−correlazione PHAT

cros

s−co

rrel

azio

ne

campioni temporali

PHAT

Fig. 1.9: Cross-correlazione PHAT

La correlazione mediante metodo ML prevede la realizzazione di un funzione di coerenza

quadrata γ12(f) descritto nella (1.2.16) ed indicato con coherence. Tale variabile permet-


te di realizzare la funzione di correlazione vera e propria e visibile in Fig. 1.10, indicandola

con il nome mlcorrelation.

280 290 300 310 320 330 340 350 360 370

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Cross−correlazione ML

cros

s−co

rrel

azio

ne

campioni temporali

ML

Fig. 1.10: Cross-correlazione ML

La correlazione mediante il metodo ASDF viene realizzata eseguendo direttamente la

(1.2.19), visualizzando il valore dell’errore quadratico medio (error) ed osservando dove

questo e minimo. Il risultato e visibile in Fig. 1.11.

0 100 200 300 400 5000

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000Cross−correlazione ASDF

campioni temporali

erro

re q

uadr

atic

o

ASDF

Fig. 1.11: Correlazione ASDF

Il valore del ritardo stimato si ottiene osservando a quale valore dll’ascissa corrisponde il

massimo delle Fig. 1.8, 1.9, 1.10 e dal minimo della Fig. 1.11. Si puo notare inoltre come

il valore restituito sia uguale a quello impostato.

ccestimation =


325

gccestimation =

325

mlestimation =

325

asdfestiamtion =

325

Il codice determina anche il livello (in dB) del rapporto SNR che in questo particolare

caso e di 16, 36 dB.

snr =

16.3589

Nel prossimo paragrafo e nella seconda simulazione vengono ampiamente discussi i risultati

in base alla variazione di rumore.

Assenza di rumore

La simulazione precedente ha mostrato alcuni risultati per un certo valore di rumore.

Annullando il rumore mediante la semplice operazione:

noise1=zeros(signallength,1);

noise2=zeros(signallength,1);

i risultati per i metodi CC, PHAT ed ML sono visibili in Fig. 1.12 . La correlazione ASDF

non presenta sostanziali differenze rispetto al grafico Fig. 1.11, pertanto viene tralasciato.


280 290 300 310 320 330 340 350 360 3700

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Cross−correlazione CC

cros

s−co

rrel

azio

ne

campioni temporali

CC

280 290 300 310 320 330 340 350 360 370

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Cross−correlazione PHAT

cros

s−co

rrel

azio

ne

campioni temporali

PHAT

280 290 300 310 320 330 340 350 360 370

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Cross−correlazione ML senza rumore

cros

s−co

rrel

azio

ne

campioni temporali

ML

Fig. 1.12: Correlazione per i metodi CC, PHAT e ML in assenza di rumore

1.5.2 Seconda simulazione

Creazione dei segnali

La seconda simulazione vuole evidenziare l’effetto del rumore sulla stima del ritardo. Come

precedentemente discusso un valore troppo alto di rumore (corrispondente ad un fattore

SNR basso) puo causare una stima inesatta che rende i risultati inutilizzabili [9]. Per

questo motivo e bene determinare un valore del TDE di soglia [6], ampiamente descritto

nei paragrafi precedenti.

Il segnale originale e lo stesso della simulazione precedente (Fig. 1.5) denominato signal1,

il quale viene traslato dello stesso ritardo della simulazione precedente delay=325, al fine

di ottenere il segnale traslato signal2.

Ambedue i segnali vengono iterativamente ridotti, fino ad ottenere un’ampiezza pari al

0.20 dell’ampiezza iniziale con passi di 0.02 secondo il parametro scale che viene incre-

mentato da 0.2 a 1.scale=0.2:0.02:1.

Ad entrambi i segnali viene successivamente sommato un rumore bianco gaussiano del tut-

to simile a quello presente in Fig. 1.6. Poiche l’ampiezza dei segnali di partenza diminuisce

volta per volta mentre l’ampiezza del rumore resta immutata il valore SNR diminuisce dra-

sticamente fino ad arrivare a valori negativi. Nel caso di massima attenuazione i segnali

noisysignal1 e noisysignal2 sono visibili in Fig. 1.13 e 1.14.


0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

campioni temporali

unità

arb

itrar

ia

Primo segnale rumoroso (dopo la scalatura)

Primo segnale

Fig. 1.13: Primo segnale

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5Secondo segnale rumoroso (dopo la scalatura)

unità

arb

itrar

ia

campioni temporali

Secondo segnale

Fig. 1.14: Secondo segnale

Realizzazione dei grafici per la valutazione del SNR di soglia

Si procede successivamente a determinare il ritardo per i metodi CC, PHAT e ML per

ognuno dei segnali iterativamente creati, per una valore di SNR decrescenti.

I grafici riportati in Fig. 1.15, 1.16 e 1.17 presentano sulle ascisse la scala dei valori di

SNR, mentre sulle ordinate vi e la stima del ritardo in campioni, corrispondente ad ogni

valore di SNR.

E’ possibile notare come per ogni grafico vi e un valore di soglia al di spora del quale il

ritardo temporale in campioni e esatto (325), mentre al di sotto del quale la stima e com-

pletamente errata. Si puo affermare quindi che la correlazione stima il valore del ritardo

fino ad un certo valore del rumore [6].


−18 −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −20

50

100

150

200

250

300

350

SNR

cam

pion

i tem

pora

li

Valutazione del SNR di soglia

CC

Fig. 1.15: SNR di soglia per CC

−18 −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −20

100

200

300

400

500

600

SNR

cam

pion

i tem

pora

li


PHAT

Fig. 1.16: SNR di soglia per PHAT


−18 −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −20

100

200

300

400

500

600

700

SNR

cam

pion

i tem

pora

li


ML

Fig. 1.17: SNR di soglia per ML

I grafici presenti in Fig. 1.15, 1.16, 1.17 cambiano tuttavia caso per caso in quanto la

funzione randn() varia il rumore in modo casuale per ogni esecuzione del codice. La Tab.

1.1 elenca i risultati per 12 esecuzioni del codice.

Tab. 1.1: Variazione del SNR di soglia per 12 prove

CC PHAT ML

dB dB dB

-13 -8 -13

-15 -11 -9

-10 -8 -9

-11 -9 -8

-12 -10 -11

-9 -7 -9

-14 -9 -12

-13 -12 -10

-11 -9 -9

-13 -12 -10

-11 -9 -9

-13 -12 -9

Il livello di soglia medio per l’SNR per i tre metodi e:

• CC -12.1 dB;

• PHAT -9.5 dB;

• ML -9.9 dB.


1.5.3 Conclusioni

La prima simulazione ha mostrato come la correlazione PHAT sia adatta al fine di sop-

primere i picchi adiacenti a quello relativo alla stima del ritardo. Osservando la Fig. 1.9

si puo osservare infatti come l’effetto della pesatura ψp(f) intervenga in modo favorevole,

lasciando inalterato il picco corrispondente al valore temporale D. Negli altri due metodi

basati su cross-correlazione generalizzata (Fig. 1.8 e 1.10) vi sono dei picchi percentual-

mente molto piu alti.

In caso di assenza di rumore si puo osservare dalla Fig. 1.12 come la funzione di corre-

lazione PHAT sia un vero e proprio impulso δ(t − D), come descritto nella (1.2.13). La

correlazione di tipo ML, visibile in Fig. 1.10 mostra alcune zone con una valore alto, al-

ternate ad alcune zone con un valore molto basso. Questo comportamento e dovuto alla

funzione di coerenza γ12(f) che sopprime alcune zone di frequenza a discapito di altre [7].

Nella seconda simulazione si e visto come l’aumento di rumore abbia influito direttamente

sulla stima del ritardo D.

Per un ambiente simulato si puo osservare dalla Tab. 1.1 come il comportamento peg-

giore sia mediamente quello relativo al metodo PHAT in quanto il valore SNR di soglia

sia quello piu alto. Il metodo CC sembra avere una buona reiezione al rumore mentre il

comportamento del metodo ML varia caso per caso (talora buono, talora meno buono), al

variare del segnale rumoroso e della funzione γ12(f). Nel caso in esame (Fig. 1.17) l’ SNR

di soglia e il piu basso dei tre casi in esame ma ripetendo la simulazione con un diverso

rumore il comportamento puo talvolta essere peggiore.

Se l’ambiente fosse reale tuttavia il metodo PHAT sarebbe quello con un SNR piu basso

e con una funzione di correlazione sempre piu tendente ad un impulso δ(t − D) come se

non fosse presente nessun rumore [9]. Tale comportamento non e riscontrato con i metodi

CC ed ML nei quali al crescere del rumore crescono anche i picchi adiacenti a quello di

riferimento, fino a provocare un’errata stima poiche aumenta anche l’SNR di soglia [9].

Tale fenomeno e dovuto al fatto che l’ipotesi di rumore scorrelato non e sempre verificata.

In linea teorica si ha:

Rr1r2(τ) = Rss(τ) +Rsn1(τ) +Rsn2(τ) +Rn1n2(τ) . (1.5.1)

Poiche si puo assumere che il segnale ed i rumori siano scorrelati fra loro, si ha che:

Rsn1(τ) = Rsn2(τ) = 0. Non si puo tuttavia affermare la stessa cosa per i due rumori,

infatti il termine Rn1n2(τ) nel caso di ambiente reale non e mai nullo, a differenza di quello

simulato.

Nel metodo PHAT infatti solo la fase e preservata, un cambiamento di ambiente da normale

a piu rumoroso non incide piu di tanto sul TDE, ed il SNR di soglia non varia come negli

altri metodi. Anche il metodo ASDF presenta delle buone caratteristiche all’aumentare

del rumore, rendendolo adatto per applicazioni con proprieta computazionali non molto

elevate.

Capitolo 2

Metodi di stima della posizione

2.1 Introduzione

Nel capitolo 1, si sono studiati i metodi di stima del ritardo fra segnali e i vantaggi e gli

svantaggi degli uni rispetto agli altri. In questo capitolo vengono presentati alcuni con-

cetti di base per studiare come la stima del ritardo fra segnali possa essere utilizzata, al

fine di poter determinare la posizione di un’eventuale sorgente. Si inserisce il concetto di

localizzazione: ovvero la stima della posizione di un’elemento in un particolare sistema di

riferimento fissato e costante.

In generale la localizzazione puo interessare una sorgente acustica, una sorgente elettroma-

gnetica che emette direttamente il segnale (ad esempio GPS) o eventualmente un oggetto

che riflette una segnale (localizzazione di target per mezzo di radar).

2.2 DOA

Il termine DOA (Direction Of Arrival) determina la stima della direzione di una sorgente

da parte di un’array di antenne [13]. Questa caratteristica puo essere sfruttata realizzando

piu array localmente spaziati, i quali determinano ognuno una direzione. L’utilizzazione

di piu stime DOA da parte di piu sensori, aumenta ovviamente l’accuratezza della loca-

lizzazione, come visibile in Fig. 2.1.

E possibile osservare come un unico array di antenne possa determinare una direzione di

arrivo (DOA). Un sistema formato da tre componenti S1, S2, S3 di questo genere puo

determinare tre direzione d’arrivo, l’intersezione delle quali rappresenta la stima della po-

sizione della sorgente.

I metodi di stima del DOA vengono spesso utilizzati nel contesto delle telecomunicazioni

e nella tecnologia radar associandoli con altre tecniche, in modo da ottenere metodi di

stima delle posizione piu performanti.

25

26 Metodi di stima della posizione

Fig. 2.1: Localizzazione grazie alla stima DOA

2.2.1 Metodi di stima

Vi sono numerosi metodi di stima per il DOA, alcuni verranno riportati in seguito. Si

assuma un array di antenne lineare ed uniforme visibile in Fig. 2.2 e presente in [13].

Una schiera di antenne si definisce lineare ed uniforme quando i vari componenti sono

allineati lungo una stessa retta ed equispaziati di una stessa quantita.

Fig. 2.2: Array di antenne lineare ed uniforme

L’array, e composto da N antenne, visibili in Fig. 2.2 con la denominazione 1, 2, . . . , N .

I termini w1, . . . , wN sono i coefficienti di pesatura che verranno descritti in seguito. Le

2.2 DOA 27

elaborazioni realizzate dall’interfaccia per ogni antenna vengono processate da un’unita

finale Σ con l’obiettivo di determinare una stima della direzione di arrivo.

Il segnale, prodotto da una sorgente ed avente lunghezza d’onda λ, raggiunge le antenne in

tempi diversi. θ e l’angolo con cui il segnale incide sulle antenne, come visibile in Fig. 2.2.

Si consideri come riferimento l’antenna 1, con s(t) il segnale che la raggiunge, l’antenna

2 viene investita da una versione anticipata di s(t), con un anticipo che vale dsen(θ)c , con

c velocita di propagazione, lo si puo considerare come un ritardo di valore −dsen(θ)c , per

valori positivi di θ. I segnali raggiunti dalle varie antenne si possono considerare secondo

la trattazione seguente (escludendo per il momento il rumore):

s1(t) = s(t)

s2(t) = s(t− τ21) ,

s3(t) = s(t− τ31) ,

s4(t) = s(t− τ41) ,

.......................

sN (t) = s(t− τN1) ,

(2.2.1)

dove:

τij = −dijsen(θ)

c, (2.2.2)

rappresenta il time delay ovvero la differenza temporale fra i segnali al punto i e al punto

j e dij e la distanza fra l’antenna i-esima e quella j-esima, determinabili facilmente per via

dell’uniformita. Un array di antenne come quello illustrato nella Fig. 2.2 viene denominato

unilaterale, ovvero l’angolo θ puo essere determinato solamente se assume valori fra −π2 e

+π2 [13].

Adaptative Beamforming

La tecnica beamforming consiste nell’ottimizzare i segnali provenienti da una determinata

direzione e attenuare i segnali provenienti dalle altre [13, 14], la direzione che restituisce

la maggiore potenza d’uscita viene indicata come DOA del segnale. Tale principio viene

realizzato implementando un particolare algoritmo che pesa in modo diverso le porzioni

di segnali provenienti dalle varie direzioni (i pesi sono i termini w in Fig. 2.2 ).

Viene riportato in seguito un algoritmo denominato MVDR (Minimum Variance Distor-

sionless Response) presente in [13, 14].

Si consideri di nuovo la Fig. 2.2, costituita da N sensori equi-spaziati. Un numero M

di sorgenti di segnali, limitati in banda, raggiunge le varie antenne con angoli differenti,

denominati θi (con i = 1, 2, ....,M). Ad un particolare istante k il segnale x(t) puo essere

definito come [13, 14]:

x(t) =M∑m=1

a(θm)sm(t) , (2.2.3)

dove s(t) e un vettore M × 1 della forma d’onda sorgente, mentre a(θ) e un vettore N × 1

di risposte dell’array:

a(ϕ) = [1, e−jϕ, ..., e−jϕ(N−1)]T , (2.2.4)


dove ϕ e legato direttamente ai vari time delay τij visti nella (2.2.1).

x(t) si puo quindi esprimer in forma matriciale:

x(t) = As(t) , (2.2.5)

dove: A e la matrice caratteristica dell’array.

L’uscita dell’array consiste nel segnale x(t) piu il rumore n(t):

u(t) = x(t) + n(t) , (2.2.6)

Tale equazione puo essere espressa anche in forma matriciale:

U = AS + N , (2.2.7)

dove: U e la matrice M × K delle sorgenti d’onda mentre N e la matrice del rumore

N ×K.

In questo contesto si in inserisce il concetto di matrice di correlazione R del segnale

osservato u(t):

R = E [u(t)u(t)∗] , (2.2.8)

dove E rappresenta l’aspettazione. La (2.2.8) si puo esprimere come:

R = E [Au(t)u(t)∗A∗] + E [n(t)n(t)∗] . (2.2.9)

La massima potenza d’uscita, si ha quando il rumore e ortogonale al vettore in esame

della matrice A. Questa tecnica minimizza il contributo delle interferenze indesiderate,

massimalizzando invece la potenza di uscita lungo la direzione principale [13]. Deve cioe

avvenire:

minE|y(θ)|2] = min(w∗Rww∗A = 1) . (2.2.10)

Invertendo la (2.2.10) e possibile determinare la matrice di funzione peso ottima w. Si

giunge infine allo spettro angolare definito in [13, 14]. Esso rappresenta la distribuzione

della densita spettrale potenza (PSD, Power Spectral Density) su un’ascissa angolare θ. La

funzione descritta precedentemente viene denominata P (θ)MVDR e viene descritta come

segue:

P (θ)MVDR =1

A∗R−1A. (2.2.11)

La Fig. 2.3 mostra un grafico che raffigura uno spettro angolare per un metodo di beam-

forming.

La stima del DOA avviene direttamente determinando il massimo nel grafico della funzio-

ne P (θ)MVDR e osservando a quale valore di ascissa θ corrisponde.

Il grafico mostrato in Fig. 2.3 mostra come la DOA stimata sia attorno ai 30◦. Una stima

piu precisa richiede tuttavia l’utilizzo di algoritmi alternativi.

2.2 DOA 29

Fig. 2.3: Esempio di spettro angolare ottenuto grazie ad un metodo di beamforming

Algoritmo MUSIC

E’ un algoritmo ad elevata risoluzione (Multiples signal classification), che determina

numerose informazione sui segnali incidenti e DOA di ognuno [13, 15]. Se vi sono D

segnali incidenti, il vettore ricevuto da un array M-dimensionale e espresso nella forma:

u =D∑l=1

a(Φl)Sl + n = AS + n , (2.2.12)

dove A e la matrice dei vettori direzionali :

A = [a(Φ1), a(Φ2), .., a(ΦD)] , (2.2.13)

S e il vettore dei segnali ed n e il vettore del rumore sovrapposto. I vettori ricevuti e i

vettori direzionali possono essere visualizzati come una matrice M ×M . La matrice di

covarianza in ingresso [13] e pari a:

Ruu = E[uu∗] = ARssA∗ + σ2

n , (2.2.14)

dove σ2n e la covarianza del vettore-rumore e Rss e la matrice di autocorrelazione del

segnale.

Gli autovalori di Ruu appartengono ad uno dei due sottospazzi ortogonali, quello principale

(del segnale) di dimensione D o quello secondario (del rumore) di dimensione N −D. Il

piu piccolo autovalore di Ruu e uguale a σ2n e gli autovettori qi con i = D + 1...M . I

D vettori direzionali giacciono nel sottospazio del segnale e sono ortogonali a quello del

rumore.

Cercando in tutti i vettori direzionali dell’array quelli che sono ortogonali agli autovettori

del rumore qi si determinano le varie DOA Φ1,Φ2, ....,ΦD. Per formare il sottospazio

del rumore e necessario formare una matrice Vn contenente gli autovettori del rumore qi.

Quindi a∗(Φ)VnV∗na(Φ) rappresenta la DOA di un segnale proveniente da diverse direzioni.


Essa puo essere stimata nella pratica determinando il picco dello spettro angolare MUSIC

P (φ), visibile ad esempio in Fig. 2.4.

P (φ) = E[1

a∗(Φ)VnV∗na(Φ)] . (2.2.15)

Fig. 2.4: Esempio di spettro angolare ottenuto grazie all’algoritmo MUSIC

La Fig. 2.4 si riferisce alla stima del DOA per un unico segnale proveniente con un θ di 30◦

rispetto al riferimento. Rispetto a quanto visibile in Fig. 2.3 il minor intervallo angolare

relativo al picco massimo permette una miglior precisione nella stima.

Se fossero presenti piu segnali, ognuno incidente con un determinato θ lo spettro angolare

sarebbe costituito da piu picchi, ognuno dei quali rappresenterebbe il DOA stimato.

Stima del DOA mediante tecniche alternative

Le tecniche presentate precedentemente sono le piu utilizzate per la stima del DOA. In

letteratura sono presenti numerose tecniche alternative basate ad esempio su algoritmi

LMS (massima verosimiglianza) nel quale viene aggiornata passo-passo una matrice dei

pesi w (come visto in figura 2.2) [13] al fine di rendere un segnale di uscita uguale ad un

riferimento.

Altri metodi, secondari sono basati su un particolare utilizzo di una matrice di cross-

correlazione oppure vengono realizzati grazie varianti degli algoritmi visti precedentemente

[15]. In tutti questi viene determinato come ultimo passo uno spettro angolare PΦ (simile

a quello presente in Fig. 2.3 e 2.4) del quale bisogna determinare il picco e l’escissa cor-

rispondente (l’angolo θ). Per questo motivo spesso in letteratura oltre a DOA si parla di

AOA (Angle of Arrival). Le tecniche DOA sono molto utilizzate nella tecnologia wireless

e possono essere impiegate nella localizzazione di target mediante radar, in cooperazione

con altre tecniche di localizzazione.

2.3 TOA 31

2.3 TOA

Il termine TOA Time of Arrival indica la differenza temporale assoluta fra l’invio di un se-

gnale da parte di un trasmettitore e la sua ricezione da parte di un ricevitore. Tale termine

e molto utilizzato della comunicazione wireless, nella ricezione e nell’invio dati da parte

di sistemi di trasmissione e nella localizzazione in generale [16]. Tale tecnica viene molto

utilizzata nell’ambito dell’human detection mediante radar, nella fase di localizzazione.

2.3.1 Ranging

Il processo tramite il quale si ricava la distanza tra i nodi riferimento e il dispositivo di

posizione incognita prende il nome di ranging. Il funzionamento di tali tecniche si basa

sull’analisi di un segnale che si suppone abbia attraversato la distanza (o multipli di essa)

che si desidera stimare. Nella localizzazione si parla di metodi time based ranging nei quali

si stima la distanza a partire dal tempo di propagazione τ secondo la relazione:

d = τ · c , (2.3.1)

con c velocita di propagazione.

La stima di τ avviene misurando il ritardo fra segnale inviato e ricevuto. Nella comuni-

cazione wireless e necessario un clock accurato e sincronizzato da parte di trasmettitore e

ricevitore per poter determinare τ con la miglior precisione possibile.

Nel caso di localizzazione mediante radar, sono necessari una serie di passi di pulizia del

segnale ricevuto per poter applicare un algoritmo [16] che, in seguito alla stima di τ con-

senta la determinazione dei luoghi di punti di appartenenza dell’oggetto da localizzare. Il

termine TOA si inserisce quindi in entrambi in contesti.

2.4 TDOA

Il termine TDOA (Time Difference of Arrival) consiste nella differenza temporale fra due

segnali ricevuti, tale tecnica e molto utilizzata nell’identificazione della posizione di un

emettitore e nella tecnologia radar. Vi sono numerosi metodi per la stima del TDOA,

in seguito vengono riportati alcuni dei piu comuni presenti in letteratura [15]. Spesso il

TDOA consiste nella semplice differenza fra il TOA di due segnali ricevuti, come accade

ad esempio nella tecnologia radar. Un problema molto comune e presentato in Fig. 2.5,

dove un trasmettitore emette un segnale che si propaga e viene ricevuto da piu ricevitori.

Si consideri il vettore (di posizione), sconosciuto che indica la posizione del trasmettitore

E.

E = (x, y, z) . (2.4.1)

Si supponga vi siano N+1 sensori, di posizione nota P0, ..., Pi, ..., PN , ognuna delle quali e

caratterizzata da una terna:Pi = (Xi, Yi, Zi) ,

0 ≤ i ≤ N .(2.4.2)


Fig. 2.5: Situazione iniziale

La distanza R fra la sorgente ed uno dei ricevitori, in termini di coordinate e:

Ri = |~Pi − ~E| =√

(Xi − x)2 + (Yi − y)2 + (Zi − z)2 . (2.4.3)

Se considero la posizione del ricevitore P0 come riferimento, si ha Xi = Yi = Zi = 0.

Risulta quindi che la distanza R0 fra la sorgente E e la nuova origine diviene:

R0 =√

(x)2 + (y)2 + (z)2 . (2.4.4)

E conveniente solitamente scegliere come riferimento P0 la posizione del sensore piu vicino

alla sorgente E.

2.4.1 Multilaterazione

La distanza m-esima Ri presente nella (2.4.3) consiste nel prodotto fra la velocita di

propagazione c e il tempo impiegato Ti. L’equazione del TDOA per il ricevitore i e 0 e la

seguente:

c · τi = c · Ti − c · T0 ,

c · τi = Ri −R0 ,(2.4.5)

dove τi rappresenta la distanza temporale fra il segnale ricevuto dal sensore di riferimento

e quello ricevuto dal i-esimo sensore, T0 rappresenta il TOA, definito come tempo di

propagazione del segnale da E a P0 e Ti rappresenta il TOA al Pi.

2.4 TDOA 33

In questo contesto appare utile quindi il ruolo della stima del ritardo fra segnali (TDE),

in quanto si rende necessaria per la determinazione dei vari τi. Se si considera l’esempio

precedente con il segnale ricevuto dal sensore P0 (riferimento) e P1 si puo notare come

la stima del ritardo τ1 fra i due segnali possa essere determinata grazie ad un semplice

cross-correlazione. La distanza della sorgente dal riferimento puo essere ricondotta in un

sistema di equazioni lineari, a partire dalla (2.4.5).

0 = (cτi) + 2R0 +(R2

0 −R2i )

cτi. (2.4.6)

E possibile ora rimuovere il termine 2R0 sottraendo dalla (2.4.6) il termine relativo al

primo sensore i = 1 da tutti gli altri 2 ≤ i ≤ N .

0 = (cτ1) + 2R0 +(R2

0 −R21)

cτ1, (2.4.7)

0 = (cτi)− (cτ1) +(R2

0 −R2i )

cτi− (R2

0 −R21)

cτ1. (2.4.8)

Ri puo essere scritto come:

R2i = X2

i + Y 2i + Z2

i − 2xXi − 2yYi − 2zZi + x2 + y2 + z2 , (2.4.9)

R20 −R2

i = −X2i − Y 2

i − Z2i + 2xXi + 2yYi + 2zZi . (2.4.10)

Combinando le equazioni (2.4.10) e (2.4.8) e scrivendole in funzione della posizione scono-

sciuta x, y, z:

0 = xAi + yBi + zCi +Di , (2.4.11)

Ai =2Xi

cτi− 2X1

cτ1,

Bi =2Yicτi− 2Y1

cτ1,

Ci =2zicτi− 2z1

cτ1,

Di = cτi − cτ1 −X2i + Y 2

i + Z2i

cτi+X2

1 + Y 21 + Z2

1

cτ1.

I parametri Ai, Bi, Ci, Di vengono calcolati per ogni ricevitore 0 ≤ i ≤ N . Questo produce

un sistema di N-2 equazioni lineari omogenee. Una variante di questo metodo prende il

nome di metodo di Fang.

2.4.2 Metodo di Fang

Si consideri un problema bidimensionale con un sistema formato da tre ricevitori m=3,

per stimare la posizione di una sorgente (x, y) [15]. Il metodo di Fang stabilisce un sistema

di coordinate nel quale il ricevitore di riferimento ha coordinate (0, 0), il primo (X1, 0) ed

il secondo (X2, Y2). In generale, la distanza della sorgente dall’ i-esimo ricevitore e uguale


a: Ri e pari a:

Ri =√

(Xi − x)2 + (Yi − y)2

=√X2i + Y 2

i − 2Xix− 2Yiy + x2 + y2 , (2.4.12)

con:

Xi0 = Xi −X0 ,

Yi0 = Yi − Y0 .

La distanza fra il ricevitore di riferimento e quello i-esimo e la seguente:

Ri,0 = c · τi0 = Ri −R0

=√

(Xi − x)2 + (Yi − y)2 −√

(X0 − x)2 + (Y0 − y)2 . (2.4.13)

Considerando che la (2.4.12) si puo esprimere come:

R2i0 + 2R0Ri = X2

i + Y 2i0 − 2Xi0x− 2Yi0y + x2 + y2 . (2.4.14)

Applicando la (2.4.14) per i=1 ed i=2 e tenendo conto delle ipotesi descritte all’inizio del

paragrafo si perviene a [15]:

2R10R0 = R210 −X2

1 + 2X10x+ x2 + y2

2R20R0 = R220 − (X2

2 + Y 22 ) + 2X20x+ +2Y20y + x2 + y2 . (2.4.15)

Uguagliando i due termini della 2.4.14 si ottiene un’equazione nella forma:

y = gx+ h , (2.4.16)

dove:

g = {R20 − (X1/R10)−X2} /Y2 ,

h ={X2

2 + Y 22 +R10R20(1− (X1/R10)2)

}/2Y2 .

Sostituendo la (2.4.16) nella prima delle (2.4.15) si ottiene la seguente espressione, che

adatta il set di equazioni non lineari presente nella (2.4.13) in un set alternativo [15]:

dx2 + ex+ f = 0 , (2.4.17)

con:

d = −{

(1− (X1/R10)2)) + g2},

e = X1

{(1− (X1/R10)2))

}− 2gh ,

f = (R10/4)2{

(1− (X1/R10)2))}2− h2 ,

2.4 TDOA 35

Risolvendo la (2.4.17) si perviene a due soluzioni di x. Questa ambiguita non rappresenta

tuttavia un problema in quanto una delle soluzioni si trova al di fuori dell’area copribile.

Utilizzando l’altro valore si determina y dalla (2.4.16) [15].

2.4.3 Metodo di Chan

Il metodo di Chan e approssimabile ad un metodo di massima verosimiglianza ML [15].

Si consideri un sistema formato da tre ricevitori m=3, verranno stimare due TDOA x e y

che potranno essere risolte in termini di R0:

[x

y

]= −

[X10 X21

Y10 Y21

]−1

×{[

R10

R20

]R0 +

1

2

[R2

10 −K1 +K0

R220 −K2 +K0

]}, (2.4.18)

dove:

K0 = X20 + Y0 ,

K1 = X21 + Y1 ,

K2 = X22 + Y2 .

Quando la (2.4.12) viene inserita nella (2.4.18) con i = 0 viene prodotta l’equazione

quadratica con termine R0. Si possono trovare quindi due radici in quanto si ottiene

un’equazione di secondo grado 2.4.19, producendo quindi un’ambiguita. Il problema deve

essere risolto quindi a priori.

aR20 + bR0 + c = 0 . (2.4.19)

2.4.4 Serie di Taylor

Si un contesto bidimensionale. Sia P0 la posizione del ricevitore assunto come riferimento.

Il metodo basato sulla serie di Taylor linearizza il set di equazioni (2.4.13) e successiva-

mente implementa un procedimento iterativo [15]. All’inizio, l’algoritmo inizia con un set

(x0, y0) ed esegue le seguenti operazioni:

[∆x

∆y

]= (GT

t Q−1Gt)−1GtQ−1ht , (2.4.20)

dove il vettore ht e uguale a:

ht =

R10 − (R1 −R0)

R20 − (R2 −R0)...

Ri0 − (Ri −R0)

,


e Gt e una matrice dipendente dai parametri geometrici:

Gt =

(X0 − x)/R0 − (X1 − x)/R1 (Y0 − y)/R0 − (Y1 − y)/R1

(X0 − x)/R0 − (X2 − x)/R2 (Y0 − y)/R0 − (Y2 − y)/R2

......

(X0 − x)/R0 − (Xi − x)/Ri (Y0 − y)/R0 − (Yi − y)/Ri

.

Q e la matrice di covarianza dei TDOA stimati. Il sistema e inizializzato con x = x0 e

y = y0. All’iterazione successiva x0 e y0 vengono portati a x0 + ∆x e y0 + ∆y, l’intero

processo termina quando ∆x e ∆y sono sufficientemente piccoli [15]. L’inconveniente di

quest’algoritmo e che puo convergere ad un minimo locale e non ad un minimo assoluto,

restituendo una soluzione sbagliata [15].

2.4.5 Metodi per la determinazione dell’errore

Un metodo comune per stimare l’errore sulla posizione dell’ogetto e calcolare l’errore medio

fra la posizione reale e quella stimata secondo il termine MSE (Mean Squared Error) [15]:

MSE = ε = E[(x− x)2 + (y − y)2] , (2.4.21)

con (x, y) posizione del trasmettitore e (x, y) posizione stimata. Per ottenere un indice con

un’accuratezza si utilizza spesso il termine RMS (Root Mean Square), errore quadratico

medio [15]:

RMS =√ε =

√E[(x− x)2 + (y − y)2] . (2.4.22)

2.4.6 Considerazioni finali

I metodi fin qui visti sono quelli piu frequentemente utilizzati nell’ambito della localizza-

zione. In letteratura possono essere presenti tuttavia metodi ibridi AOA/TDOA caratte-

ristici delle comunicazione di tipo wireless e metodi alternativi per la stima del TDOA per

particolari applicazioni di algoritmi nella localizzazione.

2.5 Riferimenti 37

2.5 Riferimenti

[13] S. W. Varade , K. D. Kulate.Robust Algorithms for DOA Estimation and

Adaptive Beamforming for Smart Antenna.

L’articolo presenta i metodi piu comuni per la stima del DOA per un array di anten-

ne. Vengono presentati in dettaglio gli algoritmi MVDR e MUSIC, e riportata anche una

breve trattazione per un nuovo metodo di massima verosimiglianza. Vengono indicati in-

fine i risultati ottenuti da alcune simulazioni.

[14] M. A. Al-Nuaimi, R. M. Shubair, K. O. Al-Midfa. DOA Estimation in

Wireless Mobile Communications Using MVDR Response.

Descrive in dettaglio l’algoritmo MVDR, utilizzato nella comunicazione di tipo wireless.

Per dimostrarne l’accuratezza vengono riportati simulazioni e risultati al variare del nu-

mero di antenne ed al variare del numero di segnali sorgenti.

[15] H. ElKamchouchi, M. Abdelsalam Moffed. Direction of Arrival (DOA)

and Time Difference of Arrival (TDOA) Position Location Technique.

Sono presenti delle considerazioni generali per alcuni metodi di stima del DOA: alcuni

sistemi basati sull’analisi del sottospazio nei sistemi e l’algoritmo MUSIC. Vengono de-

scritti successivamente i metodi di stima del TDOA come il metodo di Fang, il metodo di

Chan e il metodo basato sulla serie di Taylor. Sono presenti dei collegamenti con i metodi

di stima del ritardo fra segnali TDE.

[16] C. Falsi, G. Dardari, L. Mucchi, Z.M. Win. Time of Arrival for UWB

Localizers in Realistic Enviroments.

Descrive un metodo di stima per il TOA per segnali di tipo UWB (Ultra Wide Band).

Sono presentati alcuni algoritmi per la determinazione del segnale principale (dal quale si

determina il TOA) dai segnali sovrapposti provocati dalle riflessioni multiple ambientali.


2.6 Simulazioni

2.6.1 Prima simulazione proposta

Inizializzazione della posizione dei componenti

La simulazione proposta consiste nella stima del TDOA con il metodo della multilate-

razione 3D, proposto precedentemente e presente nel file sim_TDOA1. Si consideri una

sorgente emettitrice E (2.4.1) e inizializzata nel codice con E=(1,1,1), ed un numero N di

sensori pari a 4 (P0, P1 . . . , P4). La posizione di questi ultimi e inizializzata direttamente

nel codice:

P0=(10,2,2),

P1=(12,3,3),

P2=(15,4,5),

P3=(20,5,5),

P4=(25,8,7).

La situazione iniziale e visibile in Fig. 2.6:

0

10

20

30

0

2

4

6

81

2

3

4

5

6

7

asse

z [m

]

asse x [m]asse y [m]

EP0P1−P2−P3−P4

Fig. 2.6: Situazione di partenza nella simulazione

Si consideri un impulso trasmesso dalla sorgente, che si propaga in tutte le direzioni, se-

condo quanto visto in Fig. 2.5. L’impulso costruito nel codice e visibile in Fig. 2.7.

Il segnale scelto e una derivata dell’impulso gaussiano, che viene preso in considerazione

nel capitolo 3 nell’ambito delle tecnologia UWB. Al fine della simulazione la forma di tale

segnale non e rilevante. Si e scelto un impulso cosı costituito esclusivamente per rendere

la simulazione piu vicina ad un caso reale.

Il segnale impulsivo, si propaga nello spazio, raggiungendo i vari ricevitori. Per la realiz-

zazione del metodo proposto, e necessario scegliere un ricevitore come riferimento, questo

sara P0 in quanto e il piu vicino alla sorgente.

Viene spostato il sistema di riferimento in modo che P0 sia inizializzato all’origine (0, 0, 0)

2.6 Simulazioni 39

0 2 4 6 8 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tempo [ns]

Am

piez

za [V

]

impulso trasmesso

Impulso trasmesso

Fig. 2.7: Impulso inviato dalla sorgente E

come descritto precedentemente. Le posizioni de ricevitori nel nuovo sistema di riferimento

sono indicati nel codice con P0T , P1T , P2T , P3T , P4T.

Determinazione del ritardo fra i segnali

I ricevitori P1, . . . , P4 oltre all’impulso ricevuto nelle rispettive posizioni ricevono anche

l’impulso in P0 di riferimento.

Al fine di poter calcolare il ritardo fra i due segnali, ogni ricevitore esegue una semplice

cross-correlazione, ipotizzando nessun’attenuazione e nessuna riflessione o rumore sovrap-

posto.

I segnali processati dal terzo ricevitore e la funzione di cross-correlazione eseguita e visibile

in Fig. 2.8, dove ovviamente la distanza fra i due impulsi variera caso per caso in funzione

della posizione dell’i-esimo ricevitore. Il programma restituisce 4 figure simili.

Il segnale ricevuto dal riferimento (segnale nero nella figura 2.8) viene denominato nel co-

dice con x_0 mentre i segnali ricevuti dagli altri sensori (blu) sono indicati rispettivamente

con x_1, x_2, x_3, x_4. La correlazione eseguita per stimare il ritardo far i due segnali e

di tipo semplice (CC), la si puo notare osservando il secondo grafico in figura 2.8. Essa e

eseguita nel codice grazie al comando:

cccorrelation3=xcorr(x_0,x_3) presente per ogni ricevitore.

La stima del ritardo per ogni coppia di segnali τ1 . . . τ4 avviene convertendo in ns il valore

in campioni restituito dopo la ricerca dell’ascissa alla quale appartiene il valore massimo

della funzione xcorr. I valori di ritardo sono indicati nel codice con tau1, tau2, tau3,

tau4.


30 40 50 60 70 80 90−2

−1

0

1

2

tempo [ns]

Am

piez

za n

orm

aliz

zata

Segnali ricevuti da RX3

riferimentoricevuto

26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

−100

−50

0

50

100

150

correlazione al RX3

ritardo [ns]

cros

s−co

rrel

azio

ne

CC

Fig. 2.8: Segnali ricevuti dal terzo ricevitore

Realizzazione dell’algoritmo

Il codice prevede ora la realizzazione dei passi presenti nella (2.4.11), determinando i

coefficienti Ai, Bi, Ci e Di con 2 ≤ i ≤ 4, calcolandoli in funzione di τ1. Tali valori sono

indicati con A2, B2, C2, D2, A3, B3, C3, D3, A4, B4, C4, D4. Il passo finale consiste nella

realizzazione dell’equazione (2.4.11) che viene realizzata in modo simbolico:

syms x y z

[x y z]=solve(A2*x+B2*y+C2*z+D2,A3*x+B3*y+C3*z+D3,A4*x+B4*y+C4*z+D4 );

E_est=[P0(1,1)+x,P0(1,2)+y,P0(1,3)+z];

Dopo aver determinato la posizione della sorgente [x,y,z] questa deve essere riportata

nel sistema di riferimento originale, determinando E_est. Il valore risultante e in questo

caso:

E_est=[1.0023,0.9881,1.0154]

che stima con buona approssimazione il valore reale impostato inizialmente E=[1,1,1]. So-

no state effettuate diverse prove per verificare la validita del codice, ad esempio impostando

E=[2,3,4] si ottiene:

E_est=[2.0024,3.0046,3.9946]


La seconda simulazione, presente nel file sim_TDOA2 presenta lo stesso codice della prima,

basato sulla multilaterazione ma aggiunge alcune non-idealita. Ad ogni segnale trasmesso

viene aggiunto un rumore bianco gaussiano, che viene amplificato o ridotto dall’utente

in modo inversamente proporzionale alla variabile noise_level. Viene calcolato anche

il valore di SNR corrispondente per uno dei quattro segnali (nel codice viene analizzato

2.6 Simulazioni 41

il terzo) al fine di migliorarne la comprensione. La porzione di codice che esegue quanto

appena descritto e visibile in seguito:

noise3=randn(length(x_tr),1);

noise=noise3/noise_level;

x_3=x_3_cl+noise;

signalpower=0;

noisepower=0; %Algoritmo per il calcolo di SNR

for n=1:length(x_3_cl);

signalpower=signalpower+(abs(x_3_cl(n)))^2;

noisepower=noisepower+(abs(noise(n)))^2;

end

signalpower=signalpower/(length(x_3_cl));

noisepower=noisepower/(length(noise));

SNR=10*log10(signalpower/noisepower);

SNR,

dove x_3_cl e il segnale pulito, noise e il rumore (ottenuto riducendo il valore noise3

per il valore noise_level) e x_3 e il segnale rumoroso.

Primo caso

La posizione del trasmettitore e E=[1,1,1]. Il valore impostato e noise_level=50, corri-

spondente ad un SNR=16.1191. L’algoritmo viene eseguito in modo analogo a quanto visto

nella prima simulazione, l’unica differenza consiste nel fatto che i segnali sono rumorosi.

I nuovi segnali ricevuti al terzo ricevitore e la funzione di correlazione sono visibili in Fig.

2.9.

30 40 50 60 70 80 90−2

−1

0

1

2

tempo [ns]

Am

piez

za n

orm

aliz

zata


riferimentoricevuto

26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

−100

−50

0

50

100

150

correlazione al RX3

ritardo [ns]

cros

s−co

rrel

azio

ne

CC

Fig. 2.9: Segnali ricevuti dal terzo ricevitore, primo caso

Il valore stimato di E e uguale a:


E_est=[1.0023,0.9881,1.0154]

Si puo osservare come un valore di rumore basso non influisce sulla stima.

Secondo caso

Il valore impostato e noise_level=25, corrispondente ad un SNR=10.2312. I segnali

presenti al terzo ricevitore sono visibili in Fig. 2.10.

30 40 50 60 70 80 90−2

−1

0

1

2

tempo [ns]

Am

piez

za n

orm

aliz

zata


riferimentoricevuto

26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

−100

−50

0

50

100

150

correlazione al RX3

ritardo [ns]

cros

s−co

rrel

azio

ne

CC

Fig. 2.10: Segnali ricevuti dal terzo ricevitore, secondo caso

Rispetto al caso precedente e visibile un sensibile aumento del rumore. Il valore stimato

di E sara pari a:

E_est=[1.7322,1.2212,1.1452]

E’ possibile quindi osservare un aumento dell’errore di stima della posizione.

Terzo caso

Il valore impostato e noise_level=10, corrispondente ad un SNR=10.2312. I segnali


Il valore stimato di E sara pari a:

E_est=[2.2801,1.3001,1.2325]

L’errore sulla stima della posizione comincia ad essere significativo.

2.6 Simulazioni 43

30 40 50 60 70 80 90−2

−1

0

1

2

tempo [ns]A

mpi

ezza

nor

mal

izza

ta


riferimentoricevuto

26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

−100

−50

0

50

100

150

correlazione al RX3

ritardo [ns]

cros

s−co

rrel

azio

ne

CC

Fig. 2.11: Segnali ricevuti dal terzo ricevitore, terzo caso

Quarto caso

Il valore impostato e noise_level=5, corrispondente ad un SNR=-3.6862. I segnali pre-

senti al terzo ricevitore sono visibili in Fig. 2.12.

30 40 50 60 70 80 90−2

−1

0

1

2

tempo [ns]

Am

piez

za n

orm

aliz

zata


riferimentoricevuto

26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

−100

−50

0

50

100

150

correlazione al RX3

ritardo [ns]

cros

s−co

rrel

azio

ne

CC

Fig. 2.12: Segnali ricevuti dal terzo ricevitore, quarto caso


E_est=[3.4960,1.6085,1.5145]

La stima presenta un’errore grossolano e non puo piu essere considerata valida.


Quinto caso

Il valore impostato e noise_level=2.5, corrispondente ad un SNR=-9.7991. I segnali


30 40 50 60 70 80 90−2

−1

0

1

2

tempo [ns]

Am

piez

za n

orm

aliz

zata

Segnali ricevuti da RX3 riferimentoricevuto

26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

−100

0

100

correlazione al RX3

ritardo [ns]

cros

s−co

rrel

azio

ne

CC

Fig. 2.13: Segnali ricevuti dal terzo ricevitore, quinto caso


E_est=[-0.1289,1.6420,0.7884]

Anche in quest’ultimo caso la stima presenta un errore grossolano e non puo piu essere

considerata valida.

2.6.3 Considerazioni finali

E’ stato dimostarato come l’accuratezza dell’algoritmo sia fortemente dipendente dal ru-

more. Questo e dovuto al fatto che la funzione di cross-correlazione dipende dal rumore

(come visto nel capitolo 1 e quindi sotto un livello di soglia non puo piu essere considerata

valida.

Una buona accuratezza della stima della localizzazione dipende quindi da un basso livello

di rumore che corrisponde ad un alto livello di SNR.

Capitolo 3

Human detection

3.1 Introduzione

Uno dei requisiti piu diffusi nell’ambito industriale e non e l’human detection ovvero il rile-

vamento di persone in una particolare ambiente che puo essere interno od esterno. Questo

concetto e utilizzato in diverse applicazioni che si inseriscono in svariati ambiti: sistemi

di sicurezza militari, sistemi di sorveglianza per particolari aree, rilevamento di pedoni,

sistemi per applicazioni mediche. Vi sono numerosi dispositivi in grado di effettuare il

rilevamento di persone, tuttavia i sistemi radar si dimostrano essere i piu vantaggiosi.

3.1.1 Proprieta

L’human detection puo comprendere un numero di proprieta spazio-temporali che possono

essere riassunte in [17]:

• presenza o assenza;

• conteggio;

• localizzazione;

• stima della traiettoria;

• identificazione.

Non tutti i sistemi che realizzano l’human detection eseguono tutte le operazioni preceden-

temente citate, ma puo essere presente anche solamente una di queste. Vengono riassunte

in seguito le caratteristiche principali per ognuna.

Presenza o assenza, (presence)

E’ la caratteristica piu semplice richiesta ad un sistema di rilevamento. Quest’ultimo

deve garantire informazioni sulla presenza o meno di una persona nell’area desiderata. La

tecnologia piu comune coinvolta in questo processo spazia dai sensori di prossimita all’

RFID (Radio Frequency Identification).

Conteggio, (count)

E’ un’operazione marginale consistente nella determinazione del numero di persone pre-

senti. Viene realizzata grazie all’impiego di reti dei sensori che coprono l’intera area di

interesse o per mezzo di telecamere.

45

46 Human detection

Localizzazione, (Localization)

Consiste nello stimare le coordinate spaziali della persona. Puo essere effettuata mediante

sistemi radar, sistemi GPS e mediante telecamere, a seconda dell’ampiezza della possibile

area di interesse.

Stima della traiettoria, (Tracking)

E’ l’operazione che consiste nell’inseguimento della traiettoria della persona nell’area. Vie-

ne realizzata mediante algoritmi sofisticati, in seguito alla stima della posizione in diversi

periodi di tempo. Il Tracking puo comprendere anche la stima della posizione futura grazie

ad esempio ad algoritmi di predizione.

Identificazione, (Identification)

Consiste nel rilevamento dell’identita di una persona precedentemente individuata, in mo-

do piu o meno completo. Tale operazione puo essere effettuata per mezzo di telecamere.

Nella realta industriale spesso e sufficiente discriminare gli esseri umani dagli altri esseri

viventi, tale operazione puo essere eseguita da alcuni tipi di radar, mediante l’analisi del

segnale ricevuto.

3.2 Possibili realizzazioni

In questa sezione viene riportata un breve panoramica riguardante la tecnologia piu comu-

ne utilizzata per la realizzazione dell’human detection indicando le tecnologie alternative

a quella radar.

In generale il rilevamento di una persone puo avvenire osservando alcune caratteristiche

che si possono dividere in statiche o dinamiche [17], visibili in Fig. 3.1.

Fig. 3.1: Caratteristiche statiche e dinamiche

Le caratteristiche statiche possono essere determinate quando una persona e ferma; ad esse

sono associati alcuni tipi di sensori [17]. Le due caratteristiche statiche principali rilevabili

sono il peso e la forma. Il primo puo essere stimato tramite un opportuno sensore di forza,

la seconda deriva dall’analisi delle onde elettromagnetiche riflesse dal corpo umano (laser

o radar).

La forma della sagoma umana puo essere determinata grazie anche all’utilizzo di sistemi

3.2 Possibili realizzazioni 47

di visione mentre in ambiti medici e utile l’identificazione del movimento involontario di

organi interni.

La caratteristiche dinamiche sono associate direttamente al moto di una persona. I sensori

piu utilizzati in quast’ambito sono quelli acustici (per localizzare ed identificare la voce

emessa) e quelli sismici, per il rilevamento della persona grazie alle vibrazioni prodotte

da una persona che cammina. In seguito vengono riportati i mezzi piu comuni utilizzati

nell’human detection.

3.2.1 Rilevamento mediante sistemi di visione

Un sistema di visione richiede l’utilizzo di una o piu telecamere per il rilevamento della

persona nell’area di interesse. Tali sistemi riescono ad ottenere una stima sulla posizione

della persona individuata, elaborando le sole sequenze di immagini provenienti dai sistemi

di acquisizione video. La sequenza di immagini puo provenire da una sola telecamera

(sistema di visione monoculare), o da due o piu telecamere (sistemi di visione multi-

camera).

Sistemi di visione monoculare

Nei sistemi di visione monoculare, si cerca di risalire alla posizione della persona estraendo-

ne inizialmente il profilo e cercando di trovare le corrispondenze con un modello tridimen-

sionale. Queste tecniche, associate ad un modello geometrico della telecamera, consentono

il passaggio dalle coordinate bidimensionali dell’immagine a quelle tridimensionali. Occor-

re notare che il solo modello geometrico della telecamera non e sufficiente a determinare

la posizione di un punto nello spazio. Infatti, oltre a conoscere le coordinate (u,v) nel

dominio dell’immagine, per avere un’unica soluzione occorre conoscere la distanza d che

separa il punto d’interesse dalla telecamera.

Sistemi di visione multi-camera

Nei sistemi di visione che impiegano piu di una telecamera, una stessa scena viene invece

ripresa da diverse angolazioni contemporaneamente. L’analisi di queste immagini permette

di ricavare la posizione dell’elemento che si sta tracciando, per mezzo di un processo di

triangolazione. Il vantaggio fondamentale rispetto al caso precedente consiste nella minore

difficolta nel ricavare la terza dimensione.

Identificazione

Prima di effettuare l’operazione di localizzazione, e necessario l’estrazione degli oggetti di

interesse (in questo caso le persone) dalle immagini che provengono dal sistema di acquisi-

zione video. Si e solito denominare foreground gli oggetti di interesse e con background gli

elementi esterni. Un metodo semplice per ottenere il foreground consiste nel sottrarre il

background direttamente dall’immagine scattata. Questa fase consiste implicitamente in

una prima identificazione in quanto vengono discriminati gli oggetti di interesse (le perso-

48 Human detection

ne) dagli altri. Si ha quindi una segmentazione dell’immagine in cui vengono individuate

le zone di foreground e di background della scena.

Localizzazione

La localizzazione, in un sistema di visione, consiste nell’estratte l’informazione di posizione

direttamente dalla sequenza di immagini scattate. Per questo motivo, e necessario, come

prima operazione determinare una relazione fra l’unita di misura dell’area da sorvegliare

e l’insieme di pixel che costituiscono l’immagine digitale.

Una volta identificati nelle immagini i pixel appartenenti ai soggetti da tracciare, il sistema

passa a proiettare tali punti (tramite un processo di stereo visione) nella terza dimensione

nel sistema di riferimento costituito dalle telecamere. Questi punti vengono quindi ripor-

tati in coordinate assolute al fine di costituire una nube di punti 3D (appartenenti ai soli

soggetti da tracciare) che puo essere inquadrata da qualsiasi posizione. In particolare,

viene generata una inquadratura virtuale della scena che riprende questi punti dall’alto.

Questa nuova inquadratura consente al sistema di ridurre al minimo il numero delle oc-

clusioni, permettendo quindi la localizzazione di ogni individuo all’interno della scena.

Il sistema puo essere in grado di calcolare alcune caratteristiche per ciascun oggetto al fine

di utilizzarle per identificare lo stesso individuo nei fotogrammi successivi a quello attuale.

La posizione di ogni individuo viene quindi stimata utilizzando il baricentro calcolato per

ogni nube di punti tridimensionali appartenenti all’individuo stesso. Per avere una miglio-

re approssimazione della posizione del soggetto, anche in presenza di possibili situazioni di

occlusione, il sistema puo essere dotato di particolari filtri, in grado di limitare il rumore

introdotto nella fase di misura della posizione.

Stima della traiettoria

Consiste nell’associare gli elementi individuati precedentemente con quelli attuali al fine

di identificare la traiettoria seguita da ognuno di questi elementi. Si rende necessario

collegare le informazioni estratte dalla foto scattata all’istante attuale τ con quelle legate

all’istante τ − 1.

Vantaggi e svantaggi

Un sistema di visione per la realizzazione dell’human detection presenta una serie di svan-

taggi legati alla difficolta nel riconoscimento degli elementi di interesse dagli altri. Cam-

biamenti repentini delle condizioni di illuminazione, oggetti in movimento di vario tipo,

eventuali ombre e condizioni meteorologiche non ideali (in ambienti esterni) sono fattori

che influiscono su una corretta identificazione delle persone a partire dall’immagine da ela-

borare. Per contro tali sistemi presentano il vantaggio di consentire un buon rilevamento

nelle brevi distanze.

3.2 Possibili realizzazioni 49

3.2.2 Rilevamento mediante sensori

L’human detection puo essere effettuata in alternativa attraverso l’utilizzo di sensori che

rilevano le caratteristiche statiche e dinamiche di una persona [17], come precedentemente

discusso.

Sensori sismici

Sono in grado di individuare le vibrazioni causate dai passi di una persona sul pavimento.

Nelle applicazioni in ambiente esterno, tali dispositivi vengono denominati sensori sismici

e possono rilevare una persona fino a distanze di 20 m. Solo recentemente, per mezzo di

sensori sismici innovativi la distanza determinabile puo essere di 40 m circa con una pro-

babilita di rilevamento corretta dell’80 per cento anche in presenza di rumore sovrapposto.

La localizzazione avviene per mezzo di metodi di triangolazione geometrici.

Il vantaggio dell’utilizzo di questo tipo di sensori consiste nella facilita delle operazioni

di signal processing rispetto agli altri tipi e ai sistemi di visione. Lo svantaggio consiste

nella scarsa accuratezza della stima della posizione e nella possibile errata identificazione

quando il sensore e distante dalla persona.

Sensori di campo elettrico

Sensori capacitivi possono essere utilizzati per rilevare la presenza di persone in un de-

terminato ambiente, con una buona accuratezza. Il funzione base di questo dispositivo

consiste nell’applicazione di un segnale alternato alla piastra trasmettitrice di un conden-

satore piano, il che portera alla formazione dello stesso segnale alla piastra ricevitrice.

L’effetto della presenza di una persona fra le due piastre causa una variazione della cor-

rente al ricevitore che puo essere misurata. Tali dispositivi vengono utilizzati solitamente

come sensori di tipo binario per determinare la presenza o l’assenza di una persona, non

sono quindi adatti alla localizzazione precisa e accurata per via dei numerosi fenomeni

di accoppiamento che possono insorgere nei diversi dispositivi. Trovano applicazione al

giorno d’oggi, ad esempio nei supermercati come comando per l’apertura automatica delle

porte.

Sensori laser

Sono basati sul principio dell’emissione e ascolto di echi riflessi di segnali impulsivi nel-

l’infrarosso. Il fatto di utilizzare frequenze molto elevate consente il vantaggio di una

accuratezza di rilevamento molto elevata. Rispetto ai metodi di localizzazione basati sui

radar sono molto piu immuni rispetto alle riflessioni degli oggetti presenti, tuttavia il lo-

ro utilizzo rimane limitato poiche solamente gli oggetti intersecanti il piano di scansione

possono essere rilevati.

Sensori ad ultrasuoni

Sfruttano lo stesso principio dei sensori laser e dei sensori radar, tuttavia le onde elettro-

magnetiche utilizzate appartengono al campo degli ultrasuoni (20-200 kHz). Consentono

50 Human detection

con buona accuratezza la localizzazione di persone a piu di 10 m di distanza e offrono

ottimi risultati nel caso di obiettivi piu vicini. Il costo e relativamente basso, tuttavia

tali sensori possono presentare difficolta nel rilevare il segnali riflesso qual’ora questo non

sia sulla stessa direzione dell’unita che trasmette. L’uso dei sensori ad ultrasuoni rimane

limitato per via del pessimo comportamento che presentano in condizioni meteorologiche

sfavorevoli. In aggiunta presentano notevoli difficolta nel localizzare target in movimento.

3.3 Human detection mediante Radar

3.3.1 Introduzione

I radar sono dispositivi che emettono un’onda radio ad altissima frequenza e che ricevono

eventuali echi riflessi. Misurando il tempo che intercorre tra il segnale inviato e ricevuto

il sistema provvede alla stima della posizione dell’oggetto da rilevare. Ogni radar ha una

circuiteria che ha il compito di trasformare i dati grezzi, cioe gli echi, nelle posizioni in cui

si trovano i vari oggetti, cosicche l’output che e fornito al sistema e solitamente costituito

da un insieme di punti che indicano dove si sono verificate le riflessioni piu evidenti.

Nell’ambito della tecnologia radar gli oggetti rilevabili vengono denominati target, per

questo motivo nel contesto dell’human detection si parla di human target ovvero target

umani.

I radar permettono un grandissimo vantaggio rispetto agli altri sensori presentati nella

sezione 3.2, come i sistemi di visione ed i sensori sismici: sono in grado di rilevare un

target umano a grande distanza, rendendosi indispensabili in tutte quelle applicazioni (di

sicurezza, militari) nelle quali risulta svantaggioso posizionare il sensore stesso a breve

distanza dalla possibile posizione del target [17, 18]. Per questo motivo l’human detection

mediante radar e diventata nel corso degli ultimi anni oggetto di ricerca sempre crescente,

soprattutto per quanto riguarda l’identificazione e la localizzazione [18]. I radar inoltre

non risentono delle condizioni ambientali e il loro utilizzo non e limitato dalla necessita di

piano di scansione intersecante il target.

3.3.2 Identificazione

Grazie ad alcuni tipi di radar ad onda continua si e reso possibile la realizzazione di par-

ticolari diagrammi, denominati spettrogrammi, che consentono un primo livello di iden-

tificazione [18]. Uno spettrogramma puo essere generato sommando i segnali riflessi da

alcune parti del corpo umano in movimento, il che lo rende perfettamente differenziabile

da uno ottenuto da un altro essere vivente. Il modello del corpo umano non e di semplice

realizzazione, in quanto le varie parti che lo compongono si muovono a diverse velocita

seguendo diverse traiettorie. Per questo motivo il corpo viene sintetizzato in 12 punti

corrispondenti al centro della parte in esame. Le grandezze delle stesse sono determinate

secondo una distribuzione statistica, presente in [18].

Il segnale inviato viene quindi riflesso dai 12 punti ognuno dei quali, muovendosi a velocita

diversa dagli altri ne fa variare la frequenza per effetto Doppler. Si riceve quindi un se-

gnale formato dalla sommatoria delle 12 riflessioni, ognuna delle quali presenta un fattore

3.3 Human detection mediante Radar 51

di attenuazione, una variazione di frequenza ed uno sfasamento.

Un diagramma risultante, per una persona che cammina e visibile in Fig. 3.2.

Fig. 3.2: Spettrogramma per una persona che cammina

Si puo osservare come il segnale ricevuto dal torso presenti un andamento oscillatorio

con bassa frequenza e ampiezza ridotta, mentre il piede presenta sempre un andamento

oscillatorio, ma con ampiezza piu elevata. Lo spettrogramma e molto importante nell’i-

dentificazione perche consente di distinguere un essere umano da qualunque altro essere

vivente [18]. Esso puo permette di discriminare anche il sesso di una persona in quanto le

caratteristiche geometriche del modello precedentemente citate sono differenti a seconda

se si parla di maschio o femmina.

3.3.3 Localizzazione

La localizzazione mediante radar si dimostra molto piu accurata rispetto a quanto visto

per gli altri sensori [17, 18]. In questo contesto, si preferisce l’utilizzo di radar funzionanti

ad impulsi, rispetto a quelli ad onda continua, utilizzati piu favorevolmente nell’identifi-

cazione.

La stima della posizione del target umano avviene direttamente dalla misura del ritardo

fra segnale inviato e ricevuto con metodi matematici riconducibili a quanto visto nei ca-

pitoli 1 e 2.

La quasi totalita dei sistemi di localizzazione di persone mediante radar utilizza segnali

formati da treni di impulsi di tipo UWB (Ultra Wide Band). La scelta di tale tipo di

segnale e giustificata da alcuni motivi fondamentali [3]:

• l’impulso presenta uno spettro di frequenza molto alto che puo facilmente risultare

invisibile agli ostacoli intermedi;

• la durata degli impulsi e molto ridotta, per questo motivo l’accuratezza nella stima

della posizione puo essere molto alta (centimetrica);

• la durata ridotta implica un basso contenuto energetico;

• consentono una buona immunita alle riflessioni multiple ambientali.

52 Human detection

Alcune di queste caratteristiche, dipendono direttamente dalla struttura base di un segnale

UWB.

Segnale UWB

Un segnale UWB e formato da un serie di impulsi che presentano una banda di frequenza

molto larga. Sulla base di questa caratteristica si definisce UWB un impulso la cui banda

frazionaria B, uguale a ∆f/fc (con ∆f larghezza di banda e fc frequenza centrale, Fig.

3.3) e maggiore di 0.2.

In particolare, per essere definito UWB deve soddisfare la relazione:

B = 2fh − flfh + fl

> 0.2 , (3.3.1)

dove: fh ed fl sono gli estremi della banda a -10 dB (Fig. 3.3).

La larghezza di banda presenta solitamente una valore minimo di 500 MHz ma puo rag-

giungere anche un valore di 7.5 GHz. Vista la breve durata, la densita spettrale di potenza

(Power Spectral Density, PSD) e distribuita in un range di frequenza molto elevato, a dif-

ferenza degli spettri dei segnali limitati in banda in uso per altre tecnologie come visibile

in Fig. 3.3.

Fig. 3.3: PSD per un impulso UWB

Il singolo impulso consiste nella derivata n-esima di una funzione gaussiana del tipo:

s(t) =1√

2πσ2e−

12

( tσ

)2 , (3.3.2)

dove σ interviene direttamente sulla larghezza dell’impulso e sull’ampiezza.

La durata di un impulso e molto ridotta, al massimo assume un valore di qualche ns.

La progettazione di un singolo impulso UWB deve rispettare delle norme, emesse da un

organismo denominato FCC (Federal Communications Commision).

Vengono posti cosı dei vincoli di potenza che un singolo impulso deve soddisfare. Un

impulso UWB puo essere quindi ampio ma di durata ridotta (segnale blu, Fig. 3.4), oppure


meno ampio ma con durata maggiore, (segnale rosso, Fig. 3.4) in modo da soddisfare i

requisiti.

Entrambi i segnali presenti in Fig. 3.4 sono ottenuti come derivata prima della (3.3.2) al

variare del parametro σ.

Un impulso UWB, puo essere realizzato anche come derivata do ordine piu elevato di un

impulso gaussiano descritto dalla (3.3.2). In Fig. 3.5 e visibile la derivata terza di un

impulso gaussiano, realizzata mediante Matlab.

0 2 4 6 8 10−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

tempo [ns]

Am

piez

za n

orm

aliz

zata

Esempi di impulsi UWB

Primo impulso UWBSecondo impulso UWB

Fig. 3.4: Realizzazione di impulsi UWB ottenuti come derivata prima di un impulsogaussiano

0 2 4 6 8 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tempo [ns]

Am

piez

za n

orm

aliz

zata

impulso UWB

singolo impulso UWB

Fig. 3.5: Esempio di impulso UWB ottenuto come derivata terza di un impulso gaussiano

54 Human detection

Possibili applicazioni per sistemi radar UWB nella localizzazione di persone

Uno dei vantaggi principali dell’utilizzo di segnali UWB nei radar e la capacita di essere

trasparenti ai piu comuni materiali in uso per costruzione di edifici, potendo quindi loca-

lizzare persone anche in presenza di muri fra esse ed il radar stesso [3].

Localizzazione di persone in situazioni di pericolo. Una possibile applicazione

che sfrutta la caratteristica citata precedentemente e l’individuazione di persone rimaste

intrappolate in un edificio distrutto, ad esempio da un terremoto [3, 5]. L’impiego di radar

con segnali UWB permette di realizzare una mappa approssimativa con la posizione delle

persone e delle zone vuote rimaste fra le macerie, per facilitare l’inizio delle ricerche [5].

Localizzazione di persone attraverso muri. Una seconda applicazione consiste nel-

l’utilizzo dei radar UWB per localizzare persone poste al di la di una parete [4]. Questo

puo ritenersi necessario ad esempio nelle applicazioni militari, per il disinnesco di bombe

e nelle operazioni antiterrorismo [4], Fig. 3.6 a).

Localizzazione nei sistemi anti-intrusione. I senali UWB permettono un’ottima

accuratezza e precisione nella localizzazione di una persona. Questa proprieta viene sfrut-

tata favorevolmente nei sistemi di localizzazione [1], utilizzati ad esempio come sistemi

anti-intrusione, per sorvegliare aree militari o aree pericolose nelle realta industriali (Fig.

3.6 b)).

Reti di sensori per la localizzazione in ambienti interni La grande risoluzione

che permette un sistema UWB radar puo favorevolmente essere sfruttata per la localiz-

zazione di una persona all’interno di una stanza. Cio puo essere sfruttato utilizzando un

sistema MIMO formato da piu radar posizionati in punti strategici in una stanza [19] (Fig.

3.6 c)).


a)

b)

c)

Fig. 3.6: Possibili applicazioni della tecnologia radar UWB nella localizzazione di persone

56 Human detection

3.4 Riferimenti

[1] E. Paolini, A. Giorgetti, M. Chiani, R. Minutolo, M. Montanari. Localiza-

tion Capability of Cooperative Anti-Introdurer Radar System

La tecnologia radar UWB puo essere utilizzata per realizzare sistemi anti-intrusione che

possono trovare impiego nella realta industriale come protezione di un’eventuale area pe-

ricolosa, o per la sorveglianza di una particolare zona. Il paper presenta un’analisi su un

sistema formato da radar multistatici con considerazioni e grafici della potenza richiesta

e della copertura minima dell’area al variare di alcuni parametri geometrici. E’ l’articolo

di riferimento per i capitoli 4 e 5.

[3] A. Yarovoy, L. Ligthart. UWB Radar for Human Being Detection.

Vengono elencati i motivi che giustificano l’utilizzo della tecnologia UWB nella localiz-

zazione di persona mediante radar, anche in ambienti complessi e in situazioni di pericolo.

[4] C. Liebe, A. Gaugue, J. Khamlichi, M. Menard. Radar UWB Detection

Throug a Wall.

Il rilevamento di persone posizionate dietro un muro e un interessante ramo di ricerca

nell’ambito militare (ad esempio nelle azioni anti-terrosrismo), industriale, e nell’indivi-

duazione in condizioni di emergenza. La tecnologia radar UWB permette numerosi van-

taggi se comparata con altri sistemi come l’elevata accuratezza nella localizzazione e la

reiezione nei confronti dei possibili disturbi presenti.

[5] J. J. Lee, S. Singh. Using UWB Radios as Sensor Disaster Recovery.

I segnali UWB presentano l’interessante caratteristica di risultare trasparenti ai muri ed

ai materiali di costruzione. Questo vantaggio puo essere favorevolmente utilizzato per la

localizzazione di persone e di aree vuote all’interno di un edificio distrutto.

[17] T. Teixera, G. Dublon, A. Savvides. A Survey of Human Sensing: Pre-

sence, Count, Location.

I sistemi automatici ed industriali richiedono sempre maggiori informazioni riguardanti

il rilevamento di persone in ambiente interno ed esterno. Vengono presentate le varie

caratteristiche che compongono il rilevamento: presenza, conteggio, localizzazione, stima

della traiettoria, identificazione. E’ descritta una panoramica generale sui sistemi in grado

di realizzare l’human detection indicando vantaggi e svantaggi di ognuno.

[18] S. Z. Gurbuz, W. L. Melvin, D. Williams.Detection and Identication for

Human Targets in Radar Data.

3.4 Riferimenti 57

I sistemi radar offrono grandi vantaggi rispetto agli altri sensori come quelli sismici o

i sistemi di visione, nell’ambito dell’human detection. L’articolo presenta il procedimento

principale per la realizzazione dell’identificazione mediante l’uso di radar ad onda conti-

nua, che consiste nella realizzazione di un diagramma denominato spettrogramma.

[19] G. Shingu, K. Takizawa, T. Ikegami. Human Body Detection using

MIMO-UWB Radar Sensor Network in an Indoor Environment

I sistemi radar basati sulla tecnologia UWB si dimostrano essere quelli che consentono

la miglior accuratezza nella stima della posizione di una persona. Viene illustrato un

sistema costituito da varie coppie trasmettitore-ricevitore per una piu corretta stima.

Capitolo 4

Analisi di un sistema di localizzazione

4.1 Introduzione

Nella sezione 3.3.3 si e giustificato l’utilizzo della tecnologia UWB nei sistemi di localiz-

zazione radar, presentando alcune possibili applicazioni.

In questo capitolo viene presentato in dettaglio l’analisi per un sistema anti-intrusione

con radar multi-statici [1], basato su tecnologia radio-radar UWB, con l’obiettivo di loca-

lizzare un eventuale intruso in un area di sorveglianza. Quest’applicazione trova utilizzo

nel monitoraggio di ambienti particolari come impianti di potenza, cisterne, serbatoi che

possono essere pericolosi per la sicurezza degli operai (in un contesto industriale), ed in-

frastrutture critiche che possono essere vulnerabili in caso di incidente o di attacco esterno

(in un contesto militare) [1, 2]. Il sistema, e costituito da un trasmettitore e tre o piu

ricevitori, questi devono essere collegati fra loro da una particolare rete wireless al fine di

elaborare le informazioni necessarie per la localizzazione.

La trattazione presentera due aspetti fondamentali di un sistema cosı costituito al variare

di alcuni parametri geometrici: copertura d’area, potenza trasmessa ed in secondo piano si

trattare marginalmente dell’incertezza sulla localizzazione [1]. In primo piano, nel conte-

sto della tecnologia radar assume importanza la definizione di radar bistatico al fine della

realizzazione di un sistema piu complesso multistatico.

I paragrafi seguenti presentano i concetti fondamentali per una piu semplice comprensione

del paper.

4.1.1 Radar bistatico

Un radar bistatico e costituito da un trasmettitore e da un ricevitore, che si trovano in

posizione diverse e poste ad una ben determinata distanza [20, 21]. Essi vengono utilizzati

per applicazioni militari, scientifiche e commerciali [20]. Nell’ambito dell’ human detection

sistemi con radar bistatici sono ideali per la stima della posizione del target.

Un tale sistema bistatico deriva dall’evoluzione del classico radar monostatico nel quale

trasmettitore e ricevitore possono trovarsi nella stessa unita funzionale o comunque essere

posti a distanza trascurabile. In quest’ultimo il segnale viene inviato dal trasmettitore,

viene riflesso dal target ed il processore elabora la risposta, stimando la posizione diret-

tamente dalla differenza temporale dei due segnali. Un grande inconveniente del radar

monostatico consiste nella possibilita di accoppiamento dei segnali visto la vicinanza fra

trasmettitore e ricevitore.

Una versione di radar bistatico, prevede la ricezione, di due segnali: quello diretto pro-

veniente dal trasmettitore (preso come riferimento) e quello riflesso dal target; avendo a

disposizione questi due segnali con un correlatore e possibile determinare il ritardo τ fra i

59

60 Analisi di un sistema di localizzazione

due segnali e quindi il luogo dei punti sul quale si trovera sicuramente il target.

Fig. 4.1: Geomatria di un radar bistatico

La Fig. 4.1 [20, 21] mostra le grandezze geometriche relative alla posizione di trasmettitore,

ricevitore e target, caratteristiche per un radar bistatico. Esse giacciono in una porzione di

piano denominata piano bistatico [20]; la figura risultante vista in Fig. 4.1 viene indicata

come triangolo bistatico. Le altre dimensioni sono riportate nell’elenco seguente:

• L e la distanza fra trasmettitore e ricevitore denominata linea base;

• RR e la distanza fra trasmettitore e target;

• RT e la distanza fra ricevitore e target;

• θT e θR sono rispettivamente gli angoli del trasmettitore e del ricevitore;

• β = θT − θR viene denominato angolo bistatico.

La distanza stimata da un radar bistatico e calcolata come RR + RT , essa puo essere

facilmente determinata dalla misura temporale dello sfasamento fra i due segnali ricevuti.

4.1.2 Equazione generale di un radar bistatico

Il campo di utilizzo di un radar bistatico, diversamente dal caso monostatico dipende

dai parametri geometrici descritti Fig. 4.1 [20, 21]. Se si considera solamente la riflessione

principale da parte del target, ignorando le altre riflessioni il range di osservazione dipende

solamente dai parametri geometrici. In questo contesto, si inserisce il concetto di Ovale di

Cassini [20].

Un Ovale di Cassini e un luogo di punti caratterizzato da un valore costante del prodotto

RR · RT , avente come fuochi le posizioni del trasmettitore e del ricevitore [20]. Fissate le

posizioni del trasmettitore e del ricevitore (L fissa e costante) un eventuale target che si

4.1 Introduzione 61

muove su un dato Ovale di Cassini non fa variare il prodotto RR ·RT , la potenza ricevuta

dopo la riflessione rimane cosı costante. Gli ovali possono essere considerati cosı delle

figure equi-potenziali.

Il massimo ovale rappresentabile indica delimita il limite estremo del range all’interno del

quale puo essere localizzato il target, esso e descritto dall’equazione:

RM =√RR ·RT , (4.1.1)

dove RM rappresenta il massimo range equivalente per un radar monostatico. L’equazione

generale per un radar-bistatico e la seguente:

(RR ·RT )max =

√Pavt0GTGRλ2σF 2

TF2R

(4π)3kT0Fn(E/N0)LTLR, (4.1.2)

dove:

• Pav e la potenza trasmessa media;

• t0 e il tempo di osservazione;

• GT e il guadagno di potenza del trasmettitore;

• GR e il guadagno di potenza del ricevitore;

• λ e la lunghezza d’onda;

• σ Radar Cross Section del radar bistatico;

• FT fattore di propagazione per il trasmettitore-target;

• FR fattore di propagazione per il target-ricevitore;

• k costante di Boltzmann (1, 38× 10−23J/K);

• T0 temperatura standard (290 K);

• Fn rumore ricevuto;

• E/N0 energia ricevuta su densita spettrale di rumore ricevuto;

• LT perdite in trasmissione (lineare);

• LR perdite in ricezione (lineare).

Nel caso di radar impulsivi t0 = n/fp dove n e il numero degli impulsi trasmessi e fp e la

loro frequenza di ripetizione.

Si consideri un L costante un RM definito nella (4.1.1) variabile. L’Ovale di Cassini puo

assumere varie forme, visibili nella Fig. 4.2, al variare di RM :

• L = 0, equivalente di un radar monostatico, l’ovale e una circonferenza visibile in

Fig. 4.2 a);


• L < 2RM , vi e un unico ovale, Fig. 4.2 b);

• L = 2RM , l’ovale e intrecciato, Fig. 4.2 c);

• L > 2RM , due ovali distinti, Fig. 4.2 d).

Per le aree di sorveglianza, come si analizzera in seguito, si ha a che fare con un unico

ovale, soddisfacente la condizione L < 2RM [20].

Fig. 4.2: Esempi di ovali, al variare di RM

4.1.3 Localizzazione per radar monostatici, bistatici e multistatici

Radar monostatico

La localizzazione e direttamente legata alla misura del ritardo temporale fra il segnale

riflettuto dal target ed il segnale ricevuto direttamente dal trasmettitore.

In presenza di un unico radar monostatico (L = 0, Fig. 4.3) non e possibile determinare

la posizione assoluta del target ma solamente una circonferenza, alla quale sicuramente

apparterra lo stesso a partire dal ritardo temporale τ fra segnale inviato e ricevuto. Indi-

cando con R la distanza del target dal radar, il luogo di punti da appartenenza ha raggio

R pari a:

R =τ · c

2, (4.1.3)

dove: c rappresenta la velocita di propagazione.

4.1 Introduzione 63

Fig. 4.3: Luoghi di punti localizzabili

Radar bistatico

In presenza di un radar bistatico il luogo di punti localizzazzabili e un elisse, denominata

anche ellisse equi-TOA. Ipotizzando posizione del trasmettitore e del ricevitore fisse, i

punti sull’ellisse presentano un valore di LR + LM costante. Un unico radar bistatico

quindi puo solamente determinare un’ellissi di appartenenza (Fig. 4.4) [2].

Fig. 4.4: Luoghi di punti localizzabili

Sistema multistatico

Per localizzare la posizione esatta del target e necessario disporre di piu radar bistatici o di

combinazioni di radar bistatici e monostatici. L’intersezione fra i luoghi di appartenenza

di ogni sistema da luogo alla stima della posizione, come si evidenzia nei due casi di Fig.

4.5 [2].

Nello schema superiore di figura 4.5 si puo notare un sistema formato da un radar mo-

nostatico ed uno bistatico mentre nello schema inferiore il sistema e formato da un radar

monostatico ed due bistatici.

Nei paragrafi successivi viene analizzato un sistema formato da radar multistatico: esso e

formato da un trasmettitore e piu ricevitori, formando quindi numerose coppie di radar bi-

statici. La stima della posizione del target avverra semplicemente eseguendo l’intersezione

fra le varie ellissi di ogni coppia di radar.


Fig. 4.5: Sistemi multipli

4.2 Panoramica sul sistema

Il sistema anti-intrusione di radar multi-statici [1, 22] in esame, e costituito da un tra-

smettitore (TX) ed N ricevitori (RX) con N ≥ 3, dove ogni coppia RX-TX puo essere vista

come un radar bistatico. Tali elementi, possono essere disposti, ad esempio, all’interno di

un’area circolare A, al fine di coprire il piu possibile la stessa e localizzare eventualmente

una persona in movimento all’interno (Fig. 4.6).

Fig. 4.6: Scenario del sistema di localizzazione

Il sistema prevede una rete wireless per trattare i dati relativi ai segnali ricevuti da ogni

elemento. Si rende necessaria quindi la presenza di un’unita centrale di elaborazione (de-

nominata anche fusion node [23]) che ha il compito di effettuare l’elaborazione dei dati

ricevuti da ogni noto per poter determinare una corretta stima della localizzazione del tar-

get [23]. Ogni nodo e costituito da una struttura complessa, per poter eseguire le diverse

operazioni che passo-passo vengono effettuate per poter trattare i segnali ricevuti in modo

efficiente. Uno schema piu indicativo viene presentato nella Fig. 4.7. [23, 24].

4.2 Panoramica sul sistema 65

Fig. 4.7: Caratterizzazione generale del sistema

Il sistema prevede l’utilizzo della tecnologia UWB per i segnali inviati e ricevuti per via

dei numerosi vantaggi [23]:

• consumo di potenza basso;

• accuratezza centimetrica nella localizzazione;

• robustezza alle riflessioni in ambienti interni.

L’operazione di localizzazione prevede una serie di passi eseguibili dal sistema [23], essi si

possono sintetizzare in:

• TOA estimation;

• clutter removal;

• detection;

• imaging;

• tracking.

I primi tre passi vengono solitamente eseguiti separatamente da ogni nodo mentre i restanti

da un’unita centrale [1, 23, 24]. A quest’ultima aspetta anche la decisione, eventualmente,

di generare un allarme qualora sia stata riscontrata la presenza di un intruso all’interno

dell’area di sorveglianza. Ogni ricevitore puo essere dotato di un’unita di elaborazione

autonoma in cui puo avvenire la prima pulizia del segnale con lo scopo di incrementarne

il rapporto segnale-rumore e di eliminare i contributi dovuti ai clutter [1, 23, 24]. L’unita

centrale di elaborazione svolge il compito finale ovvero l’individuazione del target e l’even-

tuale tracciamento della traiettoria.

La trattazione focalizza il proprio contenuto sulla stima del TOA e sulla successiva loca-

lizzazione del target a partire da quest’ultima, gli altri punti vengono descritti brevemente

in seguito per completezza.


4.2.1 Clutter removal

Viene denominato clutter qualsiasi oggetto presente nell’area di sorveglianza che non sia il

target, esso puo essere statico (se fermo) o non statico (se in movimento) [24]. Si ipotizzi

che il segnale inviato dal trasmettitore sia di tipo UWB, formato da un singolo (o da

una serie) di impulsi. Il ricevitore riceve un segnale formato da numerosissime riflessioni

dovute ai clutter ed una dovuta al target secondo la (4.2.1):

r(t) = A0g(t− τ0) +Nc∑i=1

Aig(t− τi) + n(t) , (4.2.1)

dove: A0g(t − τ0) e il segnale riflesso dal target,∑Nci=1Aig(t − τi) e la sommatoria dei

contributi dovuti ai clutter, n(t) e il rumore sovrapposto.

Un esempio di scansione e mostrato in Fig. 4.8 [24], il segnale blu rappresenta il risultato

in assenza di target, mentre il segnale rosso rappresenta la scansione con il target. E’

interessante notare come in un ambiente standard i due segnali siano difficilmente discri-

minabili e il l’effetto dei clutter e di gran lunga superiore a quello del target.

Fig. 4.8: Scansione

Si rendono necessari algoritmi appositi per la rimozione dell’effetto dei clutter, i due

principali, ad esempio, prendono il nome di Empty-room e Moving Target Indicator [23, 24].

Empty-room

E’ costituito da una fase di set-up durante la quale viene eseguita una scansione in assenza

del target seguita da una in presenza di target. La differenza fra le due scansioni e

il segnale pulito riflettuto dal target che nel nostro caso rappresenta il singolo impulso

UWB. Il sistema perde efficacia se vi sono repentine variazioni dell’ambiente in quanto

ogni variazione richiede una nuova fase di start-up [23].

4.2 Panoramica sul sistema 67

Moving Target Indicator

Si basa sulla variazione delle caratteristiche dell’eco di un impulso (ampiezza, ritardo), se

l’oggetto e in movimento. Prevede delle scansioni seguite da un successivo campionamento

del segnale. I risultati delle scansioni vengono inseriti in una riga di un apposita matrice.

Un filtraggio delle colonne da parte di un filtro FIR permette di recuperare le informazione

relative al segnale d’interesse, ovvero quello riflesso dal target [23].

4.2.2 Imaging e Detection

Consistono nella decisione sulla presenza o sull’assenza del target, a partire dal segnale

ricevuto da ogni nodo [24]. L’area di sorveglianza viene suddivisa in molti pixel di coordi-

nate (x, y). Il nodo comunica al fusion center l’informazione proveniente dalla correlazione

fra il segnale ricevuto e quello inviato, utilizzando una tecnica basata su alcune soglie pro-

babilistiche in seguito all’analisi del segnale riflesso ricevuto da ogni ricevitore. [23, 24].

Le due ipotesi prese in considerazione sono:

H0 : r(t) = n(t) ,

H1 : r(t) = Ap(t− τ) + n(t) , (4.2.2)

dove: n(t) e il rumore bianco gaussiano sovrapposto, p(t) e il segnale ricevuto, ritardato

di τ ed eventualmente attenuato di un fattore A (0 < A < 1 ).

La (4.2.2) indica come ogni ricevitore valuti l’assenza del segnale ricevuto (ipotesi H0

verificata, solo rumore) o la sua presenza (ipotesi H1 verificata) sulla base dell’analisi

del segnale ricevuto. Poiche il segnale puo essere attenuato, non sempre e possibile di-

stinguerlo chiaramente dal rumore sovrapposto, per questo motivo si rende necessaria la

trattazione matematica descritta in [23, 24].

I dati vengono successivamente inviati al fusion center il quale provvede alla decisione

finale sulla presenza o assenza effettiva del target (a partire ad esempio dalla logica mag-

gioranza di risposte affermative da parte di ogni ricevitore [23]) e della determinazione ef-

fettiva della posizione (P (x, y)). Nella sezione riguardante la simulazione viene presentata

la tecnica che utilizza la correlazione a partire dalla stima del ritardo fra i segnali.

4.2.3 Tracking

Per migliorare l’accuratezza e le performance di un tale sistema di localizzazione e utile

disporre di tecniche per la stima della traiettoria (tracking) del target all’interno dell’area

di sorveglianza (si veda la sezione 5.4).

Un modo per realizzare tale operazione consiste nel tentarre di predirre la posizione futura

del target a partire dall’ultima stima effettuata [23, 24], grazie all’utilizzo di un particolare

filtro. Denotando con [X(t), Y (t)] le coordinate generiche bidimensionali istantanee del

target, il filtro utilizzato e implementato al fine di assumere la posizione Xn all’istante nTf ,

con Xn = [X(nTf ), Y (nTf )]. Tale posizione e determinata a partire da quella dell’istante


precedente (n− 1)Tf dalla formula:

Xn = Xn−1 + ∆Xn , (4.2.3)

dove: ∆Xn e un processo random senza memoria in accordo con una caratterizzazione

statistica P∆(x) [23], che rappresenta una distribuzione Gaussiana.

L’assunzione di indipendenza statistica della variazione di posizione ∆Xn e particolarmen-

te appropriata per descrivere la variazione casuale di traiettoria di un target all’interno

dell’area [23]. Il vettore osservato Rn e nella forma:

Rn = fXn + Zn , (4.2.4)

dove Zn e un processo di rumore ed f(•) e una funzione deterministica.

L’uscita del filtro Bayesiano stimera la posizione n-esima xn a partire dalla posizione

precedente xn−1 e dalla distribuzione statistica P∆(x) [23].

4.3 Aspetti generali sul sistema

4.3.1 Analisi geometrica

Nella sezione 4.1.1 relativa ai radar bistatici si e ampiamente descritta la caratterizzazione

geometrica degli stessi. A partire dalla Fig. 4.1 si passi alla Fig. 4.9 presente nell’articolo

[1] e che mostra un trasmettitore e un ricevitore, distanziati di una quantita l, ed il luogo

di punti di appartenenza del target, ovvero l’ellisse.

Fig. 4.9: Elisse caratteristica di un radar bistatico

Si prenda in considerazione un radar bistatico, di tipo impulsivo che si basa su tecnologia

UWB. L’impulso, emesso dal trasmettitore (che per ipotesi si assume omnidirezionale) si

propaga e raggiunge il ricevitore percorrendo due vie: direttamente lungo il percorso l

ed indirettamente percorrendo la distanza l1 fra trasmettitore e target e successivamente,

dopo la riflessione, percorrendo la distanza l2 fra target e ricevitore.

A partire dal ritardo τ fra i due segnali ricevuti (si assuma per ipotesi che sia gia stata

effettuata l’operazione di clutter removal descritta precedentemente e via sia solo la com-

ponente relativa al target) e possibile stimare un’elissi equi-TOA con fuochi TX ed RX,

4.3 Aspetti generali sul sistema 69

secondo quanto spiegato in 4.1.3 e visibile in Fig. 4.9.

Fig. 4.10: Segnale trasmesso e ricevuto

Si osservi la Fig. 4.10, il ricevitore sara in grado di misurare il ritardo fra i due segnali τ

ad esempio grazie ad uno dei metodi di correlazione.

Il TOAdiretto rappresenta la distanza temporale dell’impulso che giunge direttamente al

ricevitore, esso e facilmente determinabile a partire dalla distanza l (fissa e nota) e dalla

velocita di propagazione c, secondo la (4.3.1):

TOAdiretto =l

c. (4.3.1)

Grazie alla conoscenza di questi due parametri sara possibile pervenire a l1 + l2 e quindi

ai parametri dell’elisse in maniera molto semplice:

TOAriflesso =l1 + l2c

= TOAdiretto + τ . (4.3.2)

A partire dalla (4.1.2) si puo notare come la potenza ricevuta per un radar bistatico sia

proporzionale a 1/(l1 ·l2)2. Il target quindi, muovendosi lungo l’elisse equi-TOA, non causa

nessuna variazione del ritardo fra i segnali τ ma provoca una variazione della potenza rice-

vuta. In particolare la potenza minima si ha quando il target si trova alla stessa distanza

fra TX ed RX.

In questo contesto si inserisce l’ovale di Cassini descritto precedentemente che rappresen-

ta una curva chiusa equipotenziale, in particolare il target muovendosi lungo l’ovale non

causa una variazione di potenza ricevuta, ma provoca un cambiamento del ritardo τ , Fig.

4.11. Sia l’ellisse equi-TOA sia l’ovale di Cassini ha fuochi in RX, TX. Se si ipotizza un

sistema cartesiano con RX (−1, 0) e TX (1, 0) una possibile schematizzazione e visibile in

Fig. 4.12.

E’ possibile osservare in Fig. 4.12 ad esempio un diagramma cartesiano con un’ellissi

equi-TOA (in grassetto) e due ovali di Cassini. E’ interessante notare come nella caratte-


Fig. 4.11: Ovale di Cassini

Fig. 4.12: Esempio di Ellisse equi-TOA (in grassetto) e di due Ovali di Cassini

rizzazione descritta per un sistema anti-intrusione l’ovale sia unico, come i due visibili in

Fig. 4.12 e come descritto in 4.1.2.

4.3.2 Potenza trasmessa e ricevuta

In un radar bistatico, ipotizzando di utilizzare impulsi limitati in banda, la potenza ri-

cevuta direttamente dal ricevitore, puo essere determinata a partire dalla formula di Frii

[1]:

P directr−NB =PtGtGrλ

2

l2(4π)2, (4.3.3)

dove: Pt e la potenza trasmessa, Gt e Gr sono i guadagni d’antenna del trasmettitore e

del ricevitore, λ e la lunghezza d’onda.

Si assuma che il target sia caratterizzato da un fattore RCS (Radar Cross Section) σ

definito come [1, 20]:

σ = 4πl22PsPi, (4.3.4)


dove: Pi e la densita di potenza incidente il target, Ps e la densita di potenza ricevuta.

La potenza ricevuta dal target e quindi pari a:

P targetr−NB =PtGtGrλ

2

(l1l2)2(4π)3, (4.3.5)

Le formule (4.3.3) e (4.3.5) sono valide per segnali limitati in banda con λ costante. Cio

non e piu vero se si utilizzano come nel caso di studio impulsi di tipo UWB. Le formule

precedenti devono essere rivisitate considerando la banda del segnale fra un valore minimo

e massimo [fL, fU ].

La (4.3.3) diventa cosı:

P directr−UWB =

∫ fL+B

fL

St(f)Gt(f)Gr(f)c2

l2(4π)2f2df , (4.3.6)

dove: Gt(f) eGr(f) sono i guadagni di antenna del trasmettitore e del ricevitore dipendenti

dalla frequenza,

St(f) e la densita spettrale di potenza.

La banda del segnale viene indicata con B = fU − fL, corrispondente agli estremi di

integrazione della (4.3.6). In maniera analoga la potenza riflettuta dal target diviene:

P directr−UWB =

∫ fL+B

fL

St(f)Gt(f)Gr(f)c2

(l1l2)2(4π)2f2df . (4.3.7)

Considerando costanti in frequenza i guadagni delle antenne e la densita spettrale di

potenza costanti nell’intervallo B la (4.3.6) diventa:

P directr−UWB =StGtGrc

2

l2(4π)2(

1

fL− 1

fL +B) , (4.3.8)

mentre la (4.3.7) diventa:

P directr−UWB =StGtGrc

2

(l1l2)2(4π)2(

1

fL− 1

fL +B) . (4.3.9)

Ogni coppia RX-TX presenta un renge massimo di copertura, direttamente legato alla po-

tenza ricevuta dal ricevitore. Nasce cosı il concetto di Ovale di Cassini Massimo denotato

con (l1 · l2)max e definito dalla (4.3.10):

(l1 · l2)max =

√StGtGrc2

Pth(4π)2(

1

fL− 1

fL +B) , (4.3.10)

dove Pth e la potenza minima, direttamente dipendente dalla densita spettrale di potenza

per singolo impulso e dalla frequenza di ripetizione degli impulsi.

La prima importante condizione per la localizzazione in un radar bistatico e di carattere

energetico, ovvero il target si deve trovare all’interno dell’Ovale di Cassini Massimo per

la coppia TX-RX in esame [1, 24].

Per ogni radar vi e un minimo valore l1 + l2 rilevabile direttamente dipendente dall’iden-


tificazione dei segnali da parte del ricevitore. Si consideri la Fig. 4.10: se la distanza

fra l’impulso ricevuto direttamente e quello riflettuto dal target fosse troppo piccolo, non

sarebbe possibile distinguerli e quindi non sarebbe possibile una corretta stima dei pa-

rametri. Denotando con γ il minimo intervallo misurabile, la posizione del target deve

verificare la seguente uguaglianza:

l1 + l2 ≥ l + γc . (4.3.11)

I parametri caratteristici del caso limite diventano cosı:

(l1 + l2)min = l + γc , (4.3.12)

dando vita ad un ellisse denominata Ellisse minima all’interno della quale i due impulsi

non sono piu essere discriminati ed il target quindi non puo piu essere localizzato.

Si perviene cosı un importante condizione geometrica per la localizzazione da parte di un

radar bistatico: il target deve trovarsi all’interno dell’Ovale di Cassini Massimo ma all’e-

sterno dell’Ellisse minima. L’are di copertura quindi e visualizzabile in Fig. 4.13. L’area

circoscritta dall’Ellisse minima rappresenta una zona cieca all’interno della quale il target

non puo essere localizzato.

Fig. 4.13: Ovale di Cassini Massimo ed Ellisse minima

Un’eventuale imperfetta stima del TOA causa un errore sulla stima dei parametri dell’elissi

equi-TOA. Il target quindi potra quindi trovarsi nella zona racchiusa fra due possibili elissi

come mostrato in figura:

In generale l’anello non ha uno spessore costante, in quanto l’errata stima dipende diret-

tamente dal SNR al ricevitore, la misura di quest’ultimo e inversamente proporzionale alla

zona di incertezza e vice-versa secondo la [1]. La radice quadratica media della stima della

distanza d e pari: √V ar(d) ≥ c

2√

2π√SNRβ

, (4.3.13)

dove β e un parametro definito come segue:

β2 =

∫∞−∞ f

2|P (f)|2∫∞−∞ |P (f)|2

df , (4.3.14)


Fig. 4.14: Zona di incertezza

dove P (f) e la trasformata di Fourier dell’impulso inviato. Il parametro SNR e posto pari a

10 dB, ovvero si ipotizza un caso di rumore abbastanza ampio. Nel resto della trattazione

e nelle simulazioni non viene presa in considerazione tale non-idealita, ipotizzando una

corretta stima del TOA.

4.3.3 Analisi per un sistema multistatico

Le considerazioni elencate nei paragrafi precedenti sono facilmente applicabili ad un siste-

ma multistatico, costituito da un trasmettitore ed N ricevitori. La trattazione si basa sullo

studio della percentuale di copertura del’area di sorveglianza A e sulla potenza trasmessa

richiesta per eseguire la localizzazione di un’eventuale intruso.

Per eseguire questo compito e necessario un numero minimo di 3 ricevitori, costituenti

3 coppie di radar bistatici RX-TX. La condizione necessaria per la localizzazione e che

il target si trovi all’interno dei tre Ovali di Cassini massimi e all’esterno delle tre ellissi

minime .

Se si avesse a che fare con un sistema con N = 4, l’unico vincolo sarebbe quello riguardan-

te l’inclusione negli ovali massimi, in quanto la copertura totale dell’area sarebbe sempre

garantita.

L’area da sorvegliare A e assunta circolare ed ha un raggio R. Anche la rete formata dal

trasmettitore e dai ricevitori e circolare con raggio r con (r ≤ R), analogamente a quanto

osservato nella Fig. 4.6. Per una miglior comprensione geometrica e utile immaginare le

due circonferenze disposte su un diagramma cartesiano con centro (0, 0), mentre l’unico

trasmettitore viene posto nel punto di coordinate (0, r), secondo la Fig. 4.15.

Gli N nodi sono posizionati simmetricamente rispetto all’asse y con N/2 nodi aventi ascis-

sa positiva ed N/2 aventi ascissa negativa. L’angolo RXi− ˆTX−RXi+1 viene denominato

θ (si veda la Fig. 4.6). Deve essere soddisfatta la condizione:

0 ≤ θ ≤ π

N − 1. (4.3.15)

Per θ = 0 tutti i ricevitori si trovano nella posizione (0,−r) mentre per θ = π/(N − 1)

essi si trovano nella posizione del TX. Ovviamente questi ultimi due casi rappresentano

solamente degli esempi matematici e non sono di nessuna utilita pratica.


Fig. 4.15: Area A e disposizione del TX e degli RX

Per ognuna delle N coppie TX-RX e interessante sottolineare la caratterizzazione geome-

trica al fine di determinare la potenza minima. Si consideri una generica coppia TX-RX

nella Fig. 4.16, dove P rappresenta il punto teoricamente piu lontano dove puo trovarsi il

target. L’Ovale di Cassini massimo per questa coppia dovra quindi tangere questo punto

in modo che la potenza minima sia comunque sufficiente per poter garantire la localizza-

zione.

Fig. 4.16: Caratterizzazione geometrica

Il cammino percorso da un impulso trasmesso dal TX, riflesso dal target in posizione P e


ricevuto dal RX e pari a:

(l1 + l2)max = 2

√R2 + r2 + 2Rr sin(

N − 1

2θ) . (4.3.16)

Il valore del prodotto (l1 · l2)max dal quale dipende la potenza e pari a:

(l1 · l2)max = R2 + r2 + 2Rr sin(N − 1

2θ) . (4.3.17)

La potenza minima, necessaria per poter localizzare in target in qualsiasi punto dell’area

A e quindi uguale a:

Ptmin = 10log(Pth[R2 + r2 + 2Rr sin(N−1

2 θ)]2(4π)3

GtGrσ[1/fL − 1/(fL +B)]c2) . (4.3.18)

Gli impulsi vengono trasmessi in serie, con una frequenza di ripetizione PRF [1, 24].

L’impulso riflesso dal target arriva naturalmente dopo quello trasmesso direttamente, esso

tuttavia non puo arrivare dopo il secondo impulso trasmesso direttamente altrimenti il

ricevitore non sarebbe piu in grado di distinguerli [24].

Fig. 4.17: Impulsi inviati

Osservando la Fig. 4.17 si possono osservare gli impulsi trasmessi direttamente (neri) con

un periodo di ripetizione Ti. La distanza temporale fra l’impulso ricevuto direttamente e

quello riflesso (blu) deve assumere un valore massimo τmax per non commettere errori nella

ricezione. Si deve garantire cosı che Ti > τmax il che equivale a dire che PRF < 1/τmax.

Si ha cosı la necessita di limitare superiormente la frequenza di ripetizione degli impulsi

PRFmax dipendentemente dalla caratterizzazione geometrica dell’area, secondo la 4.3.19.

PRFmax =1

2√R2 + r2 + 2Rr sin(N−1

2 θ). (4.3.19)

4.3.4 Risultati presentati

Per una migliore comprensione dei risultati, si veda la Tab. 4.1 [1] presente anche nell’ar-

ticolo che riporta i parametri principali del sistema. Il resto della trattazione presentera

alcuni importanti risultati per N = 3 ovvero con 3 coppie di radar bistatici al variare del


Tab. 4.1: Parametri fondamentali del sistema

Parametro Simbolo Valore

Raggio R 50 m

Minimo delay risolvibile γ 10 ns

SNR di soglia SNRth 10 dB

Frequenza inferiore fL 5 GHz

Banda del segnale B 500 MHz

Frequenza superiore fU 5.5 GHz

Frequenza di ripetizione degli impulsi PRF 1.5 MHz

Guadagno trasmettitore Gt 0 dB

Guadagno ricevitore Gr 0 dB

Radar Cross Section σ 1m2

Rumore addizionale F 7 dB

Temperatura antenna Ta 290 K

Perdite Λs 2.5 dB

parametro r e dell’angolo θ, definito nella (4.3.20) che diventera quindi:

0 ≤ θ ≤ π

2. (4.3.20)

Nell’articolo sono presenti anche alcuni risultati per N = 4.

Per r = 0 TX e i tre RX si trovano nella posizione (0, 0), per θ = 0 i quattro dispositivi

si trovano in (0,−r) mentre per θ = π/2 RX, TX1 e TX3 si trovano in (0, r) e TX2 in

(0,−r). La posizione stimata del target viene individuata grazie all’intersezione delle tre

Ellissi equi-TOA (ognuna per ogni coppia TX-RX).

Percentuale di copertura dell’area

La percentuale di copertura dell’area, e il primo parametro molto importante per l’analisi

di questo tipo di sistema.

Se si ipotizza di che la potenza minima Ptmin (definita nella (4.3.18)) garantisca la co-

pertura dell’intera area A (il che equivale a dire che l’Ovale di Cassini massimo definito

nella (4.3.17) sia tangente il punto piu lontano per ogni coppia TX-RX) il punto critico

riguardera l’area “non copribile”, costituita dalle tre Ellissi minime definite nella (4.3.12).

La copertura, varia quindi in funzione di θ e di r in quanto si modifica la posizione dei tre

RX e varia quindi l’area “non copribile” da parte del sistema.

L’analisi avviene variando θ in un intervallo che va da 0 ad 80 gradi, mentre il range

di r va da 0 a 50 metri. Il risultato puo essere presentato in un grafico tridimensionale

visibile in Fig. 4.18. La massima copertura dell’area si ha quando, r = 0m mentre quella

minima si ha per r = 50m, ovviamente tali limiti sono solamente matematici e non sono

di interesse.

I restanti valori vengono calcolati per coppie di (r, θ) negli intervalli sopra descritti.


Fig. 4.18: Percentuale di copertura dell’area

Potenza minima

La potenza minima Pth, definita precedentemente varia anch’essa in funzione di θ ed r.

Analogamente a quanto fatto precedentemente e possibile ottenere un grafico tridimensio-

nale visibile in Fig. 4.19. Tale funzione e crescente sia per θ sia per r.

Fig. 4.19: Potenza minima richiesta

Dal punto di vista della potenza trasmessa la migliore configurazione si ha per r = 0, che

rappresenta comunque, come nel caso della copertura dell’area A, solamente un estremo

matematico. E necessario quindi una scelta di compromesso fra θ ed r in seguito all’analisi

delle Fig. 4.18 e Fig. 4.19.


Incertezza sulla localizzazione

Vengono presentati alcuni risultati riguardanti l’incertezza sulla localizzazione, dovuta

alla non perfetta stima dell’Ellissi equi-TOA [1]. In questo caso infatti si ha un’area di

incertezza formata dall’intersezione delle tre elissi visibile in Fig. 4.20.

Fig. 4.20: Area di incertezza nella localizzazione

L’area di incertezza viene valutata approssimativamente al variare di θ e di r realizzando

diagrammi bidimensionali.

Fig. 4.21: Area di incertezza per r= 50 m

La Fig. 4.21 mostra come per θ −→ 0 l’area di incertezza cresca vertiginosamente. Nella

zona centrale, per θ = 40◦ l’area presenta un minimo mentre per θ −→ π/2 l’area cresce,

ma molto lentamente.

La Fig. 4.21 mostra come l’area di incertezza si in una funzione decrescente, che decresce,

al crescere di r.


Fig. 4.22: Area di incertezza per θ = π/2

Conclusioni

Le sezioni precedenti hanno dimostrato gli effetti principali al variare di θ e di r. Al fine di

massimalizzare la percentuale di copertura dell’area A e minimizzare la potenza minima

richiesta Ptmin si renderebbe necessaria una scelta di r −→ 0. Per un basso valore di r

la scelta di θ non incide in modo significativo, mentre all’aumentare di r e preferibile un

θ grande il piu possibile. Per minimizzare la Ptmin invece, al crescere di r si renderebbe

preferibile un θ −→ 0.

Dal punto di vista dell’area di incertezza, sarebbe preferibile una scelta di r −→ R che

contrasta con le considerazioni precedenti. Si rende quindi necessaria una scelta di com-

promesso di r e di θ, in funzione di quale aspetto si desidera ottimizzare fra copertura

dell’area, potenza minima richiesta e area di incertezza.


4.4 Riferimenti

[2] P. Withington, H. Fluhler, and S. Nag. Henanced Homeland Security with

Advanced UWB Sensor.

Impianti di potenza e particolari aree di sorveglianza possono risultare vulnerabili in caso

di attacco terroristico. Per questo motivo si rende necessario il rilevamento di intrusi non

autorizzati. Per questo motivo sono stato sviluppati sistemi radar UWB con l’obiettivo di

rilevari intrusi in una particolare erea di sorveglianza.

[20] M. Skolnik. Radar Handbook.

Il libro presenta una trattazione completa su tutti i tipi di radar e sulle loro applica-

zioni in ambito industriale e militare. E’ di particolare interesse la parte relativa ai radar

bistatici.

[21] M. C. Jackson. The Geometry of Bistatic Radar Systems.

Elenca le principali proprieta di un radar bistatico, comparandolo con quelle del radar

monostatico. Il radar bistatico trova impiego in alcune particolari applicazioni, nelle quali

risulta vantaggioso. L’ articolo presenta inoltre una caratterizzazione geometrica completa

con curve e diagrammi.

[22] S.Doughty and K. Woodbridge. Charaterization of a Multistatic Radar

Systems.

Presenta la caratterizzazione iniziale per un sistema radar multistatico. Il loro utilizzo

trova posto in situazioni di monitoraggio di alcune particolari aree di sorveglianza. Una

rete composta da un sistema radar multistatico consente numerosi vantaggi rispetto ad un

sistema composto da radar monostatici e bistatici indipendenti gli uni dagli altri.

[23] M. Chiani, A. Giorgetti, M. Mazzotti, R. Minutolo, and E. Paolini. Target

Detection Metrics and Tracking for UWB Radar Sensor Network.

Una rete di sensori radar e una rete formata da un trasmettitore e piu ricevitori con

l’obiettivo di rilevare e stimare la traiettoria di un target umano all’interno di una parti-

colare area da sorvegliare. Il sistema in esame utilizza la tecnologia UWB.

[24] E. Paolini, High Precision Passive Localization Through UWB Radar Sen-

sor Network.

Presenta le caratteristiche principali del sistema definito nell’articolo di riferimento [1]

espandendo la propria attenzione su operazioni di contorno come la rimozione dei clutter

4.4 Riferimenti 81

e la stima della traiettoria di un eventuale target in movimento.


4.5 Simulazioni

In questa sezione vengono presentati alcune simulazioni mediante Matlab in riferimento

ad alcuni risultati ottenuti nel paper ed esposti nei paragrafi precedenti.

4.5.1 Prima simulazione

In questa prima semplice simulazione (file sim_1) viene presentata la realizzazione geo-

metrica di un’Ellisse equi-TOA per un caratteristico radar bistatico, in posizione orizzon-

tale, come quella presente nella Fig. 4.9. Il codice visualizza un’interfaccia utente per

l’immissione dei parametri geometrici. Inserendo i seguenti parametri:

ascissa TX

2

ascissa RX

8.25

ordinata TX-RX

1

ascissa del TARGET

5

ordinata del TARGET

4

vengono fissati le posizioni del trasmettitore, del ricevitore e del target come: TX=(2,1),

RX=(8.25,1), TARGET=(5,4). Il codice provvede a visualizzate (Fig. 4.23) le posizioni di

questi ultimi elementi, l’Ellisse equi-TOA caratteristica e l’Ellisse minima definita dalla

(4.3.12) e con un γ = 1ns. In Appendice A sono presenti le equazioni dell’ellisse.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−2

−1

0

1

2

3

4

ascisse [m]

ordi

nate

[m]

Radar bistatico TXRXTargetEllisse equi−TOAEllisse−minimo

Fig. 4.23: Semplice realizzazione di in’ellisse equi-TOA

4.5 Simulazioni 83


La seconda simulazione (file sim_2) introduce un semplice esempio di sistema multistatico

realizzando una possibile interazione fra un TX e due RX, ognuno dei quali riceve un

segnale diretto dal trasmettitore stesso, ed un segnale riflesso dal target, come visto nella

Fig. 4.10. A partire dalla stima del ritardo, e conoscendo la posizione fisica del trasmetti-

tore e del ricevitore e possibile stimare le due Ellissi equi-TOA e quindi, la posizione del

target. Un’apposita interfaccia utente permette di inserire i parametri geometrici, e un

ipotetico ritardo (in ns) fra i due segnali ricevuti da ricevitore.

ascissa TX

1

ascissa RX

2

distanza TX-RX1 (in ascissa)

5

distanza TX-RX1 (in ordinata)

6

ritardi fra i due segnali ricevuti da RX1 (in ns)

3

ritardi fra i due segnali ricevuti da RX2 (in ns)

5

Vengono cosı creati i punti: TX=(1,2), RX1=(6,2), RX2=(1,-4). Il codice realizza un

impulso UWB che si propaga omni-direzionalmente verso i due ricevitori (Fig. 4.24, segnali

blu), quest’ultimo arriva direttamente (Fig. 4.24, segnali verdi) e dopo la riflessione (Fig.

4.24, segnali rossi) simulando uno andamento reale.

0 10 20 30 40 50 60−1

−0.5

0

0.5

1

tempo [ns]

Am

piez

za n

orm

aliz

zata

Segnali al RX1

Impulso trasmessoImpulso direttoImpulso riflesso

0 10 20 30 40 50 60−1

−0.5

0

0.5

1

tempo [ns]

Am

piez

za n

orm

aliz

zata

Segnali al RX2

Impulso trasmessoImpulso direttoImpulso riflesso

Fig. 4.24: Segnali in esame

Lo scenario sara visualizzato in Fig. 4.25.


−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

ascisse [m]

ordi

nate

[m]

Sistema con un trasmettitore e due ricevitori

TXRX1RX2Ellisse equi−TOA 1Ellisse equi−TOA 2Ellisse minima 1Ellisse minima 2

Fig. 4.25: Scenario

4.5.3 Terza simulazione

La terza simulazione (file sim_3) presenta una prima analisi del sistema in Fig. 4.6, pre-

sentato nel paper. Esso presuppone un’area circolare da sorvegliare A con raggio R ed una

rete di TX-RX con raggio r. L’interfaccia utente, oltre a questi due parametri richiede la

posizione del target.

Raggio area di monitoraggio [m]

50

Raggio rete di sensori [m]

40

Posizione del target in ascissa [m]

10

Posizione del target in ordinata [m]

15

La rete viene posizionata con una θ standard di 45 gradi, come visibile in Fig. 4.26. Si con-

sidera ora la caratterizzazione in termini di segnali. Un singolo impulso UWB trasmesso

dal trasmettitore all’istante iniziale (0 ns) e si propaga in ogni direzione (le antenne sono

ipotizzate omni-direzionali). Come discusso precedentemente, il segnale inviato si propaga

lungo l’area ed arriva al ricevitore sia nella versione diretta, sia nella versione riflessa dal

target

Per rendere la simulazione leggermente piu realistica il canale e stato modellato come un

rumore bianco di tipo gaussiano sovrapposto al segnale, grazie alla funzione randn(). Nel

codice i segnali ricevuti per ogni ricevitore sono denominati: x_diretto_1_noise,

x_diretto_2_noise,

x_diretto_3_noise,

mentre i segnali riflessi sono denominati: x_riflesso_1_noise,

4.5 Simulazioni 85

−60 −40 −20 0 20 40 60

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

ascisse [m]

ordi

nate

[m]

Area da sorvegliare

Area da sorvegliareRete TX−RXTXRX1−RX2−RX3targetEllissi minime

Fig. 4.26: Area A e posizione del target

x_riflesso_2_noise,

x_riflesso_3_noise.

La riflessione viene presentata come un riduzione dell’ampiezza del segnale stesso (con-

siderando solamente il path diretto e non le altre riflessioni solitamente presenti in un

ambiente reale).

Una simulazione cosı realizzata ha un interesse pratico esclusivamente didattico, infatti

solitamente la posizione del target non e nota, ma e l’incognita del nostro problema. Si

ragioni ora da qui in avanti sui due segnali ricevuti da ogni RX (diretto e riflesso) pro-

cedendo a ritroso ed andando a verificare che la posizione del target sia quella impostata

inizialmente.

Per realizzare le Ellissi equi-TOA e necessaria la conoscenza del ritardo temporale dei due

segnali ricevuti, τ come indicato nella (4.3.2). Per ottenere questo valore si e realizzata

semplicemente una correlazione dei due segnali, al fine di ottenere il ritardo. La Fig. 4.27

mostrano i segnali ricevuti da ogni ricevitore e la funzione di correlazione eseguita, grazie

alla funzione:

cccorrelation1=xcorr(x_diretto_1_noise,x_riflesso_1_noise). La stima delle tre

Ellissi equi-TOA porta al risultato visibile in Fig. 4.28. L’intersezione stima correttamente

la posizione indicata in partenza del target.


190 195 200 205 210 215 220−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

tempo [ns]

Am

piez

za n

orm

aliz

zata


DirettoRiflesso

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22−4

−2

0

2

4

Correlazione al RX1

ritardo [ns]

Cro

ss−

corr

elaz

ione

CC

260 265 270 275 280 285 290 295 300−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

tempo [ns]

Am

piez

za n

orm

aliz

zata


DirettoRiflesso

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28−4

−2

0

2

4

Correlazione al RX2

ritardo [ns]

Cro

ss−

corr

elaz

ione

CC

260 265 270 275 280 285 290 295 300−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

tempo [ns]

Am

piez

za n

orm

aliz

zata


DirettoRiflesso

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28−4

−2

0

2

4

Correlazione al RX2

ritardo [ns]

Cro

ss−

corr

elaz

ione

CC

Fig. 4.27: Situazione presente per ogni ricevitore

4.5 Simulazioni 87

−60 −40 −20 0 20 40 60

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

ascisse [m]

ordi

nate

[m]

Area da sorvegliare

Ellissi

Fig. 4.28: Stima della posizione del target

4.5.4 Quarta simulazione

In questa simulazione (file sim_4_cassini_massimo) e realizzato un semplice codice per

la realizzazione degli Ovali di Cassini massimi per ognuna delle coppie TX-RX. I vari

ricevitori sono in posizione fissa, sulla circonferenza della rete di r = 40 m e sono spaziati

di π/4 rad. Si puo notare come tutti gli ovali sono tangenti alla circonferenza di raggio R

= 50 m che rappresenta il limite dell’area di sorveglianza A. Nella Fig. 4.29 si possono

osservare gli ovali tangenti l’are di sorveglianza. In Appendice A sono presenti le equazioni

dell’Ovale di Cassini.

−100 −50 0 50 100

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

100

ascisse [m]

ordi

nate

[m]

Area da sorvegliare

Fig. 4.29: Ovali di Cassini Massimi


4.5.5 Quinta simulazione

L’obiettivo di questa simulazione (file sim_5_prova_area) e la costruzione della rete TX-

RX con un r ed un θ specificabili dall’utente. Inserendo θ = 15 gradi e r = 40 m si ottiene:

−60 −40 −20 0 20 40 60

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

ascisse [m]

ordi

nate

[m]

Area da sorvegliare

Fig. 4.30: Situazione per r=40 m e θ= 15 gradi

Nella simulazione e presente un algoritmo che permette di determinare l’area di coper-

tura in percentuale (COVERAGE). In questo scenario infatti un eventuale target puo essere

localizzato se si trova all’esterno delle tre ellissi minime rappresentate in figura. Per de-

terminare l’area comune degli ellissi si e pensato di realizzare quattro punti di appoggio,

visibili in Fig. 4.30 first giallo, second magenta, third rosso, fourth nero. Tali punti

Fig. 4.31: Punti per la realizzazione dell’algoritmo

vengono realizzati per determinare due poligoni visibili in Fig. 4.31 dei quali e semplice

determinare l’area, ovvero due triangoli. Dalla conoscenza di tali aree e si perviene alla

4.5 Simulazioni 89

percentuale di copertura solamente grazie a somme e sottrazioni di aree. Il parametro

AREA rappresenta l’area della superficie da controllare A, AREA_SUB rappresenta l’area in

comune fra le tre Ellissi minime mentre, AREA_NOT_COV rappresenta la somma delle aree

delle tre Ellissi minime. Eseguendo quindi il semplice segmento di codice seguente:

AREA_COV=AREA-AREA_NOT_COV+AREA_SUB;

COVERAGE=(AREA_COV/AREA)*100

Il codice restituisce inoltre la percentuale di copertura dell’area per i parametri specificati.

COVERAGE =

83.9711

4.5.6 Sesta simulazione

Questa parte finale e incentrata sulla simulazione dei grafici presenti nell’articolo e vi-

sti precedentemente in Fig. 4.18 e Fig. 4.19. E’ stata realizzata un funzione Matlab,

denominatacov.m a partire dal file (file sim_5_prova_area) a partire dall’impostazione di

r e di θ desiderati restituisce un valore corrispondente alla percentuale di copertura.

Tale funzione viene utilizzata nel file prova_1, nel quale viene iterativamente calcolato un

valore di copertura (restituito da cov.m) per valori di θ variabili di 0 a 80 gradi, con un

incremento di 2 gradi e valori di r da 50 a 0 metri con un incremento di 2 metri. I risultati

vengono messi in un matrice A, dove l’elemento Aij corrisponde alla copertura dell’area

corrispondente alla copertura per angolo i-esimo e raggio k-esimo. Viene visualizzato in

Fig. 4.32 il grafico tridimensionale ottenuto.

0 10 20 30 40 50 020

4060

8075

80

85

90

95

100

Angolo (gradi)

Copertura dell’area

Raggio (metri)

Cop

ertu

ra (

%)

Fig. 4.32: Percentuali di copertura dell’area

E’ possibile notare come il risultato ottenuto in Fig. 4.32 soddisfi con ottima approssima-

zione il risultato ottenuti nel paper e visibile in Fig. 4.18 [1].


4.5.7 Settima simulazione

In seguito si sono analizzati i risultati riguardanti la potenza minima. Considerando la

(4.3.18) e inserendo N = 3 essa diventa:

Ptmin(dBm) = 10log(Pth[R2 + r2 + 2Rr sin(θ)]2(4π)3

GtGrσ[1/fL − 1/(fL +B)]c2) . (4.5.1)

Come si puo osservare, la (4.5.1) e composta da termini variabili geometricamente e da

alcuni che rimangono costanti, essa si puo scomporre utilizzando le proprieta dei logaritmi:

Ptmin(dBm) = 10log(Pth(4π)3

GtGrσ[1/fL − 1/(fL +B)]c2) +K(r, θ) , (4.5.2)

dove il termine K(r, θ) dipende esclusivamente da termini geometrici, essendo pari a:

K(r, θ)(dBm) = 10log(R2 + r2 + 2Rr sin(θ))2 . (4.5.3)

Si e quindi dimostrato come l’andamento del grafico presente in Fig. 4.19 dipenda dal

termine K(r, θ).

Il file prova_potenza utilizza una particolare funzione, denominata kpotenza.m che ana-

logamente a quanto visto precedentemente crea una matrice A, dove l’elemento Aij corri-

sponde al termine K(r, θ) per angolo i-esimo e raggio k-esimo. Gli intervalli di variazione

sono gli stessi visti precedentemente.

Il grafico tridimensionale eseguito e visibile in Fig. 4.33.

010

2030

4050 0

20

40

60

8066

68

70

72

74

76

78

80

Angolo (gradi)

Coefficiente K(r,θ)

Raggio (metri)

K(r

,θ)

(dB

m)

Fig. 4.33: Coefficiente K(r, θ)

Il file crea anche una matrice B ottenuta grazie alla funzione pow che determina la potenza

minima, definita nelle (4.5.1), con i parametri indicati in Tab. 4.1. Il risultato ottenuto e

proposto in Fig. 4.34. Il grafico della potenza e rappresentato in Fig. 4.34, si puo osservare

chiaramente l’analogia con quanto presentato nel paper (Fig. 4.19).

4.5 Simulazioni 91

010

2030

4050 0

20

40

60

8032

34

36

38

40

42

44

46

Angolo (gradi)

Potenza minima necesaria

Raggio (metri)

Ptm

in (

dBm

)

Fig. 4.34: Potenza minima richiesta

4.5.8 Ottava simulazione

Quest’ultima simulazione e volta alla realizzazione di un grafico tridimensionale, che ri-

porta la frequenza massima di ripetizione PRFmax al variare di θ e di r, non presente

nell’articolo. Il file prova_impulsi utilizza la funzione impulsi.m per realizzare come

al solito una matrice A che contiene PRFmax, definita secondo la (4.3.19), al variare dei

parametri geometrici. Il grafico e visibile in Fig. 4.35.

010

2030

4050

020

4060

80

1.5

2

2.5

3

Raggio (m)

Frequnza degli impulsi PRF max

Angolo (gradi)

Fre

quen

za d

i rip

etiz

ione

impu

lsi (

MH

z)

Fig. 4.35: Frequenza di ripetizione PRFmax

Si puo osservare come la funzione sia decrescente per r −→ R, in quanto avvicinando la

rete di sensori agli estremi dell’area A e maggiore il tragitto che compiono gli impulsi.

La frequenza di ripetizione decresce inoltre per θ −→ π/2. Il sistema deve essere dimen-


sionato a partire dalla conoscenza di questi limiti, scegliendo una PRF in modo tale che

PRF ≤ PRFmax.

Capitolo 5

Considerazioni alternative e sviluppi futuri

5.1 Introduzione

Il capitolo 4, basato sull’analisi dell’articolo [1] ha elencato alcune condizione per poter

effettuare la localizzazione di un target umano all’interno di un’area circolare A. In questo

capitolo finale vengono presentate alcune simulazioni caratterizzate dalla variazione di

alcuni parametri rispetto ai risultanti in [1] con l’aggiunta di possibili sviluppi futuri.

5.2 Variazione del minimo tempo misurabile

Si e dimostrato come una condizione per la localizzazione di un target umano da parte

di un trasmettitore e tre ricevitori riguardi la non appartenenza dello stesso all’area com-

presa nelle tre elissi-minime. L’equazione di queste ultime dipende dal minimo ritardo

misurabile fra segnale diretto e riflesso, γ, descritto nella (4.3.12) che nel [1] e assunto pari

1ns.

La prima parte di quest’ultimo capitolo si concentra sulla simulazione dei risultati otteni-

bili con un γ via via maggiore. L’aumento di questo valore causa un incremento dell’area

sottesa da parte delle tre elissi minime con una successiva diminuzione della percentuale

di area cobribile rispetto a quanto visibile nella figura 4.32.

5.2.1 Simulazione con γ diversi, grafici tridimensionali

Il file sim1_1 e analogo al file sim_5_prova_area ma puo essere variato a piacere il γ.

Inserendo i seguenti parametri:

Angolo in gradi (da 0 a 80)

50

Raggio in metri (da 0 a 50)

40

Minimo delay rilevabile [ns]

10

Viene costruita una figura analoga a quella vista in Fig. 4.30 ma con le tre Ellissi minime

ovviamente ingrandite, per via dell’aumento di γ Fig. 5.1.

Come nel caso precedente, il codice restituisce la percentuale di copertura dell’area, che

risulta ovviamente minore rispetto al caso con γ = 1 ns.

COVERAGE =

56.9084

93

94 Considerazioni alternative e sviluppi futuri

−60 −40 −20 0 20 40 60

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

ascisse [m]

ordi

nate

[m]

Area da sorvegliare

Fig. 5.1: Situazione per r = 40 m, θ = 15 gradi e γ = 10 ns

Analogamente a quanto descritto nel capitolo precedente riguardante la funzione cov.m

che restituisce il valore di copertura dell’area per un γ pari a 1 ns, sono state realizzate le

funzioni cov2.m, cov5.m e cov10.m nel quale il γ assume rispettivamente i valori 2, 5, 10

ns.

Le prove sono state effettuate al variare di r e di θ considerando tuttavia solo gli intervalli

di utilizzo pratico, eliminando i valori che tendono verso i limiti matematici che non hanno

alcun interesse pratico: θ −→ π/2, θ −→ 0, r −→ 0.

E stato eliminato anche l’intervallo di r da 40 a 50 m in quanto la copertura e sempre

la minima, e l’algoritmo descritto nel capitolo precedente produrrebbe qualche risultato

errato per γ = 10 gradi.

Il file prova_2 realizza un grafico di copertura simile a quanto visto in 4.32 negli intervalli

indicati precedentemente. I valori di r vengono decrementati da 40 a 10 m con uno step

di 2 m, mentre gli angoli θ vengono incrementati da 10 a 80 gradi con uno step di 2 gradi.

Tali intervalli sono indicati nel codice: RAGGIO=[40:-2:10], ANGOLO=[10:2:80].

Il codice realizza quattro matrici A, B, C e D corrispondenti ai valori di γ pari a 1, 2, 5 e 10

ns. I risultati sono proposti in seguito dalla Fig. 5.2 alla 5.5. La Fig. 5.2 e l’equivalente

della Fig. 4.32, ma con un intervallo per r e θ ridotto, come spiegato precedentemente.

5.2 Variazione del minimo tempo misurabile 95

1020

3040 0

2040

608082

84

86

88

90

92

94

96

98

100

Angolo (gradi)

Copertura dell’area per γ= 1 ns

Raggio (metri)

Cop

ertu

ra (

%)

Fig. 5.2: Copertura per γ = 1 ns

1020

3040 0

2040

608075

80

85

90

95

100

Angolo (gradi)


Raggio (metri)

Cop

ertu

ra (

%)



1020

3040 0

2040

608060

65

70

75

80

85

90

95

100

Angolo (gradi)


Raggio (metri)

Cop

ertu

ra (

%)


1020

3040 0

2040

608040

50

60

70

80

90

100

Angolo (gradi)


Raggio (metri)

Cop

ertu

ra (

%)


5.2.2 Simulazione con γ diversi, grafici bidimensionali a parita di r

Si puo notare dai grafici come la copertura cali vistosamente all’aumentare di γ. Al fine

di meglio comprendere il calo di copertura, sono stati implementati due programmi che

realizzano delle curve equi-raggio ed equi-θ per ognuno del ψ presi in considerazione. La

funzione pari_raggio realizza un diagramma bidimensionale di copertura in funzione del-

l’angolo θ. Esso viene realizzato per 4 valori di r ovvero 10, 20, 30 e 40 m.

I risultati sono visibili nelle Fig. 5.6, 5.7, 5.8, 5.9. Si puo notare come in tutti i casi la

funzione copertura presenti un andamento sempre meno proporzionale al variare di r per

θ piccoli, il fenomeno e facilmente osservabile nel grafico di Fig. 5.9 soprattutto per γ =

10 ns e per γ = 5 ns.


Questa non idealita e dovuta alla difficolta di calcolare esattamente la funzione copertura

con l’algoritmo realizzato per grandi valori di γ e di r. Per bassi valori di r (Fig. 5.6) il

fenomeno non e piu presente.

10 20 30 40 50 60 70 8050

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

Angolo (gradi)

Cop

ertu

ra (

%)

Diagramma per r = 10 metri

γ = 1 nsγ = 2 nsγ = 5 nsγ = 10 ns

Fig. 5.6: Copertura per r = 10 m

10 20 30 40 50 60 70 8050

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

Angolo (gradi)

Cop

ertu

ra (

%)


γ = 1 nsγ = 2 nsγ = 5 nsγ = 10 ns



10 20 30 40 50 60 70 8050

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

Angolo (gradi)

Cop

ertu

ra (

%)


γ = 1 nsγ = 2 nsγ = 5 nsγ = 10 ns


10 20 30 40 50 60 70 8050

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

Angolo (gradi)

Cop

ertu

ra (

%)


γ = 1 nsγ = 2 nsγ = 5 nsγ = 10 ns


5.2.3 Simulazione con γ diversi, grafici bidimensionali a parita di θ

Il programma pari_theta realizza dei grafici bidimensionali equi-θ al variare del raggio.

Il valore di θ viene incrementato da 10 gradi ad 80 gradi con un intervallo di 10 gradi. In

questo caso, analogamente a quanto visto per il caso equi-raggio vi e un andamento non

lineare fra r e copertura al variare di γ, tale fenomeno e marcato per θ bassi (Fig. 5.10 e

5.11).


10 15 20 25 30 35 40 45 50

40

50

60

70

80

90

100

raggio (m)

Cop

ertu

ra (

%)

Diagramma per θ = 10 gradi

γ = 1 nsγ = 2 nsγ = 5 nsγ = 10 ns

Fig. 5.10: Copertura per θ = 10 gradi

10 15 20 25 30 35 40 45 50

40

50

60

70

80

90

100

raggio (m)

Cop

ertu

ra (

%)


γ = 1 nsγ = 2 nsγ = 5 nsγ = 10 ns



10 15 20 25 30 35 40 45 50

40

50

60

70

80

90

100

raggio (m)

Cop

ertu

ra (

%)


γ = 1 nsγ = 2 nsγ = 5 nsγ = 10 ns


10 15 20 25 30 35 40 45 50

40

50

60

70

80

90

100

raggio (m)

Cop

ertu

ra (

%)


γ = 1 nsγ = 2 nsγ = 5 nsγ = 10 ns



10 15 20 25 30 35 40 45 50

40

50

60

70

80

90

100

raggio (m)

Cop

ertu

ra (

%)


γ = 1 nsγ = 2 nsγ = 5 nsγ = 10 ns


10 15 20 25 30 35 40 45 50

40

50

60

70

80

90

100

raggio (m)

Cop

ertu

ra (

%)


γ = 1 nsγ = 2 nsγ = 5 nsγ = 10 ns


5.2.4 Conclusioni

Le simulazioni effettuate hanno mostrato come un aumento di γ porti ad una diminuzione

della percentuale di copertura, che varia in funzione di θ e di r. In caso di un γ eccessiva-

mente grande, per rendere l’algoritmo ancora utilizzabile e necessario scegliere un θ il piu

grande possibile con un r piu piccolo possibile. Bisogna pero ricordare che una variazione

di γ non influenza la potenza minima necessaria per la copertura dell’area, come descritto

nella (4.5.1) e quindi la scelta dei parametri geometrici θ ed r deve essere una scelta di

compromesso fra la copertura che si vuole avere e la potenza minima disponibile.

5.3 Applicazioni alternative 103

5.3 Applicazioni alternative

5.3.1 Caratterizzazione per un’area quadrata

Il paper di riferimento ha presentato i risultati per un’area supposta circolare A. In

generale l’area da controllare puo assumere qualsiasi forma, come ad esempio un’area

quadrata interna o esterna. Si supponga quindi che l’area da sorvegliare sia un’area con

lato pari a 100 m, B e la rete di trasmettitore-ricevitori a disposizione sia analoga a quella

di partenza, al variare di θ e di r, visibile in Fig. 5.18.

−60 −40 −20 0 20 40 60−60

−40

−20

0

20

40

60

ascisse [m]

ordi

nate

[m]

Aree da sorvegliare Rete, raggio rArea tonda, R= 50 mArea quadrata, L= 100 m

Fig. 5.18: Area A e B a confronto

La prima considerazione riguarda la potenza, strettamente legata al concetto degli Ovali di

Cassini, essi, per ogni coppia TX-RX devono essere tangenti al punto dell’area piu lontano.

La Fig. 5.19 mostra lo scenario descritto e gli ovali ottenuti con il file cassini_quadrata.

Essi sono molto piu ampi rispetto al caso analogo per area rotonda (si osservi la figura

4.29) in quanto i punti piu esterni da raggiungere sono piu distanti.


−100 −50 0 50 100−100

−50

0

50

100

ascisse [m]

ordi

nate

[m]

Area da sorvegliare

Fig. 5.19: Ovali di Cassini Massimi

Copertura

Un sistema con raggio r e ricevitori distanziati da un angolo θ e molto piu efficiente per

un’area quadrata con lato L = 100 m in quanto permette di coprire percentualmente

un’area piu grande. Il file prova_copertura_quadra permette di realizzare il grafico

tridimensionale della copertura, grazie alla funzione cov_quadra.m e visibile in Fig. 5.20.

0 10 20 30 40 50 020

4060

8082

84

86

88

90

92

94

96

98

100

Angolo (gradi)

Copertura per area quadrata con L=100 m

Raggio (m)

Cop

ertu

ra (

%)

Fig. 5.20: Copertura per un’area quadrata

Se si paragona il grafico presente in Fig. 5.20 con quello presente in Fig. 4.32 si puo notare

un aumento della copertura.

5.3 Applicazioni alternative 105

Potenza minima

Come accennato nell’introduzione, la potenza minima dovra essere piu grande per poter

garantire la localizzazione in tutti i possibili punti dell’area. La formula per la potenza

minima diviene cosı:

Ptmin(dBm) = 10log(Pth[l1maxl2max]2(4π)3

GtGrσ[1/fL − 1/(fL +B)]c2) . (5.3.1)

Analogamente a quanto visto per l’area rotonda, la 5.3.1 puo essere scomposta in una parte

K(r, θ) dipendente dalle caratteristiche geometriche e da una parte costante dipendente dai

parametri del segnale e delle antenne, presenti in tabella 4.1. Il file prova_potenza_quadrata

utilizza le funzioni kpotenzaquadra e pow_quadra per realizzare i grafici tridimensionali

al variare di θ e di r. Essi sono visibili rispettivamente in Fig. 5.21 e 5.22.

010

2030

4050 0

20

40

60

8086

87

88

89

90

91

Angolo (gradi)

Coefficiente K(r,θ) per area quadra

Raggio (metri)

K(r

,θ)

(dB

m)

Fig. 5.21: Coefficiente K(r, θ) per area quadrata

Confrontando i grafici presenti in Fig. 5.21 e 5.22 con quelli presentati in Fig. 4.33 e 4.34

si puo osservare un notevole aumento della potenza minima necessaria, dipendente dalla

variazione di geometria.


010

2030

4050 0

20

40

60

8050

51

52

53

54

55

56

Angolo (gradi)

Potenza minima necesaria per area quadra

Raggio (metri)

Ptm

in (

dBm

)

Fig. 5.22: Potenza minima richiesta per area quadrata

5.4 Applicazioni future

Nelle simulazione mostrate nei capitoli precedenti sono state rivolte alla localizzazione di

un target fermo all’interno dell’area di sorveglianza. Uno studio innovativo potrebbe por-

tare alla simulazione e realizzazione di tecniche per la determinazione della traiettoria e

stima della velocita di un eventuale target in movimento.

Tale problema e gia stato anticipato [24] ed e strettamente dipendente dal numero NS

di impulsi UWB trasmessi, come indicato in figura 5.23: Nell’ articolo [1] e presente la

Fig. 5.23: Impulsi nel caso di target mobile

condizione di frequenza di ripetizione massima degli impulsi PRFmax, che dipende θ ed

r, come indicato nella 4.3.19. Essa e visualizzabile nel grafico presente in Fig. 4.35. La

Fig. 4.17 mostra come la frequenza di ripetizione maggiore si abbia per r −→ 0m mentre

quella minore si ha per r −→ 50m e θ −→ 80 gradi. A partire dalla PRFmax ottenuta

a partire da r e di θ scelti in base alle esigenza di compromesso fra copertura e potenza

minima necessaria. A partire da tali considerazioni sara necessario scegliere in numero

degli impulsi NS del segnale inviato.

Uno studio futuro potra realizzare dei metodi di stima della variazione di posizione in

base agli impulsi ricevuti, implementando degli algoritmi di calcolo della velocita del tar-

get. Un’eventuale passo successivo potra consistere nella realizzazione di equazioni per

5.4 Applicazioni future 107

la predizione della stima della posizione futura sulla base della posizione precedente con

un’eventuale correzione della posizione precedente [24, 23].

Conclusioni

Il documento ha presentato un panoramica generale sulle tecniche per la localizzazione

di target umani mediante radar, studiando in dettaglio il caso applicativo di un sistema

anti-intrusione. Si e visto come la scelta dei parametri geometrici influisca sulle principali

caratteristiche come copertura dell’area, potenza minima richiesta ed accuratezza nella

stima della posizione.

La caratterizzazione geometrica sulla disposizione dei ricevitori, deve risultare come scelta

di compromesso al fine di ottimizzare il piu possibile una delle caratteristiche precedente-

mente elencate. In caso di applicazioni particolari, nelle quale si deve ottimizzare solamente

una di queste caratteristiche, la scelta puo essere fatta in modo piu semplice, si avra tut-

tavia un peggioramento delle prestazioni del sistema in merito alle altre caratteristiche.

Si e visto inoltre come la scelta di un sistema meno performante incida direttamente sulle

prestazioni del sistema anti-intrusione. Ad esempio un dispositivo che presenta un mini-

mo delay risolvibile maggiore di quello di riferimento (1 ns) determina un peggioramento

considerevole della percentuale di copertura dell’area.

Allo stesso modo, mediante simulazioni piu laboriose potrebbe essere dimostrato che una

stima piu incerta del TOA provochi un’area di incertezza piu grande, diminuendo di fatto

l’accuratezza sulla localizzazione. In base quindi alle prestazione desiderate del sistema, si

rendera necessario la scelta dei componenti hardware per la realizzazione dei dispositivi.

Il sistema multistatico presentato e costituito da un trasmettitore e tre ricevitori. Ovvia-

mente sarebbe possibile realizzare lo stesso sistema con piu ricevitori. In tal caso alcune

prestazioni migliorerebbero, ma ovviamente si avrebbe un costo ed una complessita mag-

giore.

Le simulazioni hanno dimostrato come la presenza di rumore sovrapposto intervenga di-

rettamente sulla stima del ritardo fra segnali (TDE) e causi un’errata stima della posizione

del target da localizzare. Ovviamente anche questo problema deve essere tenuto in consi-

derazione durante la progettazione di un sistema di localizzazione, in base all’ambiente in

cui esso andra ad operare. Nella trattazione si e giustificato ampiamente l’utilizzo della

tecnologia radar nella realizzazione di un sistema di localizzazione, per via dei numerosi

vantaggi che essa comporta. Non e da escludere tuttavia l’utilizzo di altri dispositivi in

caso di applicazione alternative o che richiedano determinati risultati.

Gli sviluppi futuri possono portare un miglioramento delle prestazioni di ogni dispositivo,

al fine di aumentarne le caratteristiche principali come l’accuratezza alla stima della po-

sizione. Anche la maggior reiezione possibile ai disturbi esterni e un’aspetto di primaria

importanza nel miglioramento della tecnologia radar come sottolineato precedente.

Un’ulteriore ramo molto importante riguarda la realizzazione di algoritmi per la determi-

nazione della velocita del target in movimento, con una stima della traiettoria dello stesso.

La localizzazione e la stima della traiettoria potranno essere associate direttamente all’i-

dentificazione della persona, in modo da ottenere un prodotto completo nell’ambito dell’

human detection.

109

Ringraziamenti

Il ringraziamento principale va senz’altro ai miei genitori, senza il loro sostegno economico

e morale non avrei mai raggiunto quest’obiettivo.

Un ringraziamento particolare va anche al Prof. Alessandro Sona, per la proposta di tesi

e per la disponibilita dimostrata in questi sei mesi.

Un grazie ad Andrea e Roberto, con i quali ho condiviso gran parte di questi mesi di

lavoro, il loro aiuto e la loro compagnia e stata di notevole importanza per me.

Ringrazio anche agli amici ed in particolare ad Ilaria, che mi ha sopportato ultimamente.

Un grazie va anche ai nonni ed ai parenti in generale, il loro supporto e stato molto im-

portante.

111

Bibliografia

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Capability of Cooperative Anti-Introdurer Radar System,” EURASIP Journal on

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[13] S. W. Varade and K. D. Kulate, “Robust Algorithms for DOA Estimation and

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113

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[24] E. Paolini, “High Precision Passive Localization Through UWB Radar Sensor

Network,” in Summer School on Localization in Wireless Comunication, Aalborg,

Danemark, Jun. 2010.

Appendice A

Considerazioni geometriche

A.1 Ellisse

Dato un diagramma cartesiano x-y, con origine in (0, 0) l’Ellisse con parametri a e b ed

origine in (x0, y0) ed asse maggiore inclinato di ϕ ha equazione in coordinate cartesiane:

x = acos(ϕ)cos(t)− bsin(ϕ)sin(t) + x0

y = asin(ϕ)cos(t) + bcos(ϕ)sin(t) + y0 (A.1.1)

A.2 Ovale di Cassini

Data una condizione simile a quanto spiegato al punto precedente l’Ovale di Cassini con

parametri a e b ha equazione:

x = acos(ϕ+ t)

√√√√cos(2t) +

√(b

a)4 − (

sin(2t)

a)2 + x0

y = asin(ϕ+ t)

√√√√cos(2t) +

√(b

a)4 − (

sin(2t)

a)2 + y0 (A.2.1)

115

studio e simulazione di tecniche per la …tesi.cab.unipd.it/28021/1/tesi.pdf · processing, nelle...

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