superficies cuádricas - invariantes - trazas - 2010

8/3/2019 Superficies cudricas - invariantes - trazas - 2010

1/35

Superficies Cudricas


2/35

Ecuacin General

2 2 211 22 33 12 13

23 14 24 34 44

2 2

2 2 2 2 0

a x a y a z a xy a xz

a yz a x a y a z a


3/35

Ecuacin CannicaCudrica con eje de simetra:

Esfera, elipsoide, hiperboloide (1 y 2 hojas) y cono.

Cudrica sin eje de simetra:

Paraboloide elptico e hiperblico.

2 2 2

0Ax By Cz D

2 2 0Ax By Dz


4/35

Mtodos de reconocimiento

Invariantes: Se analizan parmetros

que no cambian con la rotacin otraslacin de la cudrica.

Trazas: resultan de interceptar lasuperficie cudrica con planos

coordenados.


5/35

Invariantes (, , S, T, E, h)

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

332211 aaaS

223213212332233112211 aaaaaaaaaT

E menor principal ,de mayor rango 0

h rango de la matriz


6/35

0 paraboloide

0

0

hiperblico

elptico

0

0y0 ST elipsoide

0

0 real

imaginario

Otros casos

ej: 0y0 ST hiperboloide

0

0

1 hoja

2 hojas

0


7/35

0

0 cono

0y0 ST imaginario

realOtros casos

ej: 0y0 ST

0

0T parablico

3h cilindro

0T hiperblico

0T

real0ES

imaginario0ES

realespropios0ES

imaginarios0ES

un plano

impropio0S 0T

2h Par deplanos

distintos

0T

Planos imaginarioscon arista real0T

Planosparalelosdistintos

Planos realessecantes

1h Planodoble

0S propio

0S impropio


8/35

ESFERA

x

z

y

x y z R 2 2 2 2


9/35

Corte con planosy=k

x

z

y

x y z R 2 2 2 2

x

z

Las intersecciones resultantes de cortar con planos y=k,son crculos paralelos al plano x-z. Para k=R, la traza es

un punto.


10/35

Cortes con: x=k,z=k

z

y

x x

z

y

En ambos casos las trazas son crculos anlogos al

mostrado para la traza y.

x y z R 2 2 2 2


11/35

ELIPSOIDE

x y z

a b c

2 2 2

2 2 21


12/35

Cortes con planosy=k

Las intersecciones resultantes de cortar con planosy=k, sonelipses paralelas al plano x-z. Si k


13/35

Cortes con: z = k , x = k

Para cortes con planosx=k y z=k, lasituacin es anloga con lo visto para los

cortesy=k.

x=k: si k


14/35

En ambos casos las trazas son elipses similares a la

mostrada para la trazay.

Cortes con: x=k , z=k

x

y

z

x

z

y

x y z

a b c

2 2 2

2 2 2

1


15/35

HIPERBOLOIDE DE

UNA HOJA

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x


16/35


12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

x

z

y

x

z

Las intersecciones resultantes de cortar con planos y=k,

son hiprbolas paralelas al planox-z.


17/35

Cortes con planosx=k

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Las intersecciones resultantes de cortar con planos x=k,

son hiprbolas paralelas al planoy-z.

y

z

x

y

z


18/35

Cortes con planosz=k

1

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Las intersecciones resultantes de cortar con planos z=k,

son elipses paralelas al planox-y.

x

y

x

z

y


19/35

HIPERBOLOIDE DE DOS

HOJAS

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x


20/35



son hiprbolas paralelas al planox-z.

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

x

z

y x

z


21/35



son hiprbolas paralelas al planoy-z.

y

z

1

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

x

y

z


22/35


12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

x

z

yx

y

Las intersecciones resultantes de cortar con planos z=k,son elipses paralelas al plano x-y. Para que existan trazasdebe ser .k c


23/35

CONO

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x


24/35


Las intersecciones resultantes de cortar con planos y=k, sonhiprbolas paralelas al plano x-z. En el caso de k=0, las

trazas son rectas asintticas a las hiprbolas antes

x

z

y

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

x

z


25/35


Las intersecciones resultantes de cortar con planos x=k, sonhiprbolas paralelas al plano y-z. En el caso de k=0, las

trazas son rectas asintticas a las hiprbolas antes

x

y

z2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

y

z


26/35


Las intersecciones resultantes de cortar con planos z=k, sonelipses paralelas al planox-y. Si k=0, la traza es un punto.

x

z

yx

y

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x


27/35

PARABOLOIDE

ELIPTICO

cz

by

ax

2

2

2

2


28/35

x

z

y


Las intersecciones resultantes de cortar con planos y=k,son parbolas paralelas al planox-z.

x

z

c

z

b

y

a

x

2

2

2

2


29/35


Las intersecciones resultantes de cortar con planos x=k,son parbolas paralelas al planoy-z.

y

z

x

y

zc

z

b

y

a

x

2

2

2

2


30/35


Las intersecciones resultantes de cortar con planos z=k,son elipses paralelas al plano x-y. Para k=0, la traza es un

punto. Debe ser k/c0 para que exista traza.

x

z

y

x

y

c

z

b

y

a

x

2

2

2

2


31/35

PARABOLOIDE

HIPERBOLICO

c

z

b

y

a

x

2

2

2

2


32/35



son parbolas paralelas al planox-z.

x

z

y

x

z

c

z

b

y

a

x

2

2

2

2


33/35

x

y

z



son parbolas paralelas al planoy-z.

y

z

c

z

b

y

a

x

2

2

2

2


34/35

Cortes con planos z=k

x

z

y

Las intersecciones resultantes de cortar con planos z=k, sonhiprbolas paralelas al plano x-y. Para k>0, las hiprbolas

tienen al eje y como eje de simetra.

x

y

K>0

c

z

b

y

a

x

2

2

2

2


35/35

c

z

b

y

a

x

2

2

2

2


x

y

K=0

x

y

K

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