supersymmetric domain walls2013/01/25 · contents はじめに 分析1 susy domain walls...
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押し掛け文献紹介 @ 名古屋大学 2013年1月25日
Supersymmetric Domain Walls
Eric A. Bergshoeff, Axel Kleinschmidt, and Fabio Riccioni
Phys. Rev. D86 (2012) 085043 (arXiv:1206.5697)
木村 哲士 (立教大学)
Contents
はじめに
分析1
SUSY Domain Walls と Wess-Zumino 項
分析2
変形された極大超重力理論
Embedding Tensor Formalism
まとめ
登場人物紹介
p-branes : D次元時空に存在する、空間方向に p次元広がった物体'
&
$
%
p ≤ D − 4 : standard branes
p = D − 3 : defect branes
p = D − 2 : Domain Walls
張力は Tp ∼ (gs)+α で特徴付けられる (ls = 1)'
&
$
%
α = 0 : fundamental
α = −1 : Dirichlet
α = −2 : solitonic
Sp-brane = Tp
∫(時空を這う部分の体積) + (時空上の場とbrane上の場の結合)
Dirac-Born-Infeld type Wess-Zumino type
SUSY Domain Walls - 3 -
良く知っている例:D = 10 IIA/IIB 型超弦理論
D = 10 p = 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 p = 8 p = 9
α = 0 F1IIA/IIB
α = −1 D0IIA D1IIB D2IIA D3IIB D4IIA D5IIB D6IIA (D7)IIB (D8)IIA (D9)IIB
α = −2 NS5IIA/IIB
SUSY Domain Walls - 4 -
良く知っている例:D = 10 IIA/IIB 型超弦理論
D = 10 p = 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 p = 8 p = 9
α = 0 F1IIA/IIB
α = −1 D0IIA D1IIB D2IIA D3IIB D4IIA D5IIB D6IIA (D7)IIB (D8)IIA (D9)IIB
α = −2 NS5IIA/IIB
p ≤ 6 については、力学的なテンソル場の sources である:
F1 ∼ B(2), NS5 ∼ B(6), Dp ∼ C(p+1) (p ≤ 3), Dp′ ∼ C(p′+1) (p′ > 4)
dB(2) = ∗10dB(6), dC(p+1) = ∗10dC(7−p) ≡ ∗10dC(p′+1)
'
&
$
%
Dp = standard branes (p ≤ 6) ∼ RR potentials C(p+1)
D7 = defect branes ∼ scalar fields (+α)
D8 = Domain Walls ∼ Romans’ mass (変形パラメータ)
D9 = spacetime-filling branes ∼ I型超弦理論へ
SUSY Domain Walls - 5 -
動 機� �
低次元超重力理論における Domain Walls の役割は何か?
(10次元では D8-brane ∼ Romans mass だった)� �
Motivation
極大超重力理論 = 32個(最大)の超対称生成子を持つ重力理論
重力場・グラビティーノ・ベクトルゲージ場・テンソルゲージ場・スピノル場・スカラー場
超対称性によって、スカラー場が住む空間が coset space G0/H に定まっている
D U-duality G0 R-対称性 H dim(G0/H) T-duality
11 1 1 0 1
IIA R+ 1 1 1
IIB SL(2,R) SO(2) 2 1
9 GL(2,R) SO(2) 3 SO(1, 1)
8 SL(3,R)× SL(2,R) SO(3)× SO(2) 7 SL(2,R)× SL(2,R)
7 SL(5,R) Sp(2) 14 SL(4,R)
6 SO(5, 5) Sp(2)× Sp(2) 25 SO(4, 4)
5 E6(6) USp(8) 42 SO(5, 5)
4 E7(7) SU(8) 70 SO(6, 6)
3 E8(8) SO(16) 128 SO(7, 7)
SUSY Domain Walls - 7 -
Motivation
�
�
�
�Domain Walls は極大超重力理論にどのような変形をもたらすか?
• D8-brane in 10-dim.
Ramond-Ramond potential C(9) の源
∗10dC(9) = m (定数) を与え、IIA型超重力理論を変形する
→ Romans’ massive IIA SUGRA
SUSY Domain Walls - 8 -
Motivation
�
�
�
�Domain Walls は極大超重力理論にどのような変形をもたらすか?
• D8-brane in 10-dim.
Ramond-Ramond potential C(9) の源
∗10dC(9) = m (定数) を与え、IIA型超重力理論を変形する
→ Romans’ massive IIA SUGRA
• (D − 2)-branes in D-dim.
各次元にいくつの SUSY Domain Walls が存在するのか?
超重力理論における Domain Walls の役割は何か?
SUSY Domain Walls - 9 -
分 析 1� �
SUSY Domain Walls と Wess-Zumino 項
7次元理論における Domain Walls� �
D8-brane in 10D
D8-brane 解
ds210 = H98(y) dy2 +H
18(y) ds29 計量
eϕ = H54(y) dilaton
C012···8 = ± 1
H(y), m = ±∂yH(y) RR potential (Romans mass)
“mass” m = 0 のため、RR potentials のゲージ変換が変更される'
&
$
%
δB2 = dΣ1 , δC1 = −mΣ1
→ F2 ≡ dC1 +mB2 : Stuckelberg pairing
gauging C1 B2 C3 C5 B6 C7
m eaten massive massless massless eaten massive
SUSY Domain Walls - 11 -
D8-brane in 10D
D8-brane に関する場とゲージ変換 (D8 からの back reaction がないとして)
δC9 = dλ8 +H3 ∧ λ6 : RR tensor in bulk
δB2 = dΣ1 : NSNS tensor in bulk
δX = 0 : transverse scalar
δbµ = dΣ0 − Σ1 : D8-brane 上にのみ住む「ゲージ場」'
&
$
%この D8-brane 上には SUSY 多重項が乗っている{X, bµ;ψ} : on-shell (8boson + 8fermion) 自由度
これらを用いて、ゲージ不変でSUSY不変な相互作用項を構成する: Wess-Zumino 項
LWZ = C9 + C7 ∧ F2 + . . . =(C ∧ eF2
)9
F2 = db1 +B2 , H3 = dB2
(注意) 本当は m = 0 で具体的に記述したいが…
SUSY Domain Walls - 12 -
D次元理論での SUSY DWs を探す
D次元理論における “Wess-Zumino” 項
LWZ ≡ (A ∧ eF)D−1
A : D次元時空を伝播するテンソル場 (超重力理論)
F : Domain Walls 上を伝播するテンソル場
A, F は共に D次元理論のU-duality G0 に対して変換する
1. どの表現に従う (A,F) の組が SUSY 多重項を持ち得るか
2. SUSY多重項が乗る Domain Walls はいくつあるか
SUSY Domain Walls - 13 -
U-duality G0 における各 form fields の表現
D U-duality G0 1-forms 2-forms 3-forms 4-forms 5-forms 6-forms 7-forms 8-forms 9-forms 10-forms
IIA R+ 1 1 1 − 1 1 1 1 1 1⊕ 1
IIB SL(2,R) − 2 − 1 − 2 − 3 − 4⊕ 2
9 GL(2,R) 2⊕ 1 2 1 1 2 2⊕ 1 3⊕ 1 3⊕ 2 4⊕ 2⊕ 2 –
8 SL(3,R)× SL(2,R) (3,2) (3,1) (1,2) (3,1) (3,2)(8,1)⊕(1,3)
(6,2)⊕(3,2)
(15,1)⊕(3,3)⊕(3,1)⊕(3,1)
– –
7 SL(5,R) 10 5 5 10 24 40⊕ 1570⊕45⊕5
– – –
6 SO(5, 5) 16 10 16 45 144320⊕126⊕10
– – – –
5 E6(6) 27 27 78 3511728⊕27 – – – – –
4 E7(7) 56 133 9128645⊕133 – – – – – –
3 E8(8) 248 3875⊕ 1147250⊕3875⊕248
– – – – – – –
F.Riccioni, D.Steele and P.West, arXiv:0906.1177
SUSY Domain Walls - 14 -
U-duality G0 における各 form fields の表現
D U-duality G0 1-forms 2-forms 3-forms 4-forms 5-forms 6-forms 7-forms 8-forms 9-forms 10-forms
IIA R+ 1 1 1 − 1 1 1 1 1 1⊕ 1
IIB SL(2,R) − 2 − 1 − 2 − 3 − 4⊕ 2
9 GL(2,R) 2⊕ 1 2 1 1 2 2⊕ 1 3⊕ 1 3⊕ 2 4⊕ 2⊕ 2 –
8 SL(3,R)× SL(2,R) (3,2) (3,1) (1,2) (3,1) (3,2)(8,1)⊕(1,3)
(6,2)⊕(3,2)
(15,1)⊕(3,3)⊕(3,1)⊕(3,1)
– –
7 SL(5,R) 10 5 5 10 24 40⊕ 1570⊕45⊕5
– – –
6 SO(5, 5) 16 10 16 45 144320⊕126⊕10
– – – –
5 E6(6) 27 27 78 3511728⊕27 – – – – –
4 E7(7) 56 133 9128645⊕133 – – – – – –
3 E8(8) 248 3875⊕ 1147250⊕3875⊕248
– – – – – – –
Domain walls に結合するテンソル場: (D − 1)-forms
F.Riccioni, D.Steele and P.West, arXiv:0906.1177
SUSY Domain Walls - 15 -
U-duality G0 における各 form fields の表現
D U-duality G0 1-forms 2-forms 3-forms 4-forms 5-forms 6-forms 7-forms 8-forms 9-forms 10-forms
IIA R+ 1 1 1 − 1 1 1 1 1 1⊕ 1
IIB SL(2,R) − 2 − 1 − 2 − 3 − 4⊕ 2
9 GL(2,R) 2⊕ 1 2 1 1 2 2⊕ 1 3⊕ 1 3⊕ 2 4⊕ 2⊕ 2 –
8 SL(3,R)× SL(2,R) (3,2) (3,1) (1,2) (3,1) (3,2)(8,1)⊕(1,3)
(6,2)⊕(3,2)
(15,1)⊕(3,3)⊕(3,1)⊕(3,1)
– –
7 SL(5) 10 5 5 10 24 40⊕ 1570⊕45⊕5
– – –
6 SO(5, 5) 16 10 16 45 144320⊕126⊕10
– – – –
5 E6(6) 27 27 78 3511728⊕27 – – – – –
4 E7(7) 56 133 9128645⊕133 – – – – – –
3 E8(8) 248 3875⊕ 1147250⊕3875⊕248
– – – – – – –
7次元理論で議論しよう
F.Riccioni, D.Steele and P.West, arXiv:0906.1177
SUSY Domain Walls - 16 -
7次元理論での SUSY DWs
7次元理論での Domain Walls = 5-branes
7Dテンソル場 A G0 = SL(5,R) の表現
A1,[MN ] 1-form 10
AM2 2-form 5
A3,M 3-form 5
A[MN ]4 4-form 10
A5,MN 5-form 24 (adjoint)
A6,(MN) ⊕A[MN ],P6 6-forms 15⊕ 40
(M,N = 1, . . . , 5 of SL(5,R))
SUSY Domain Walls - 17 -
7次元理論での SUSY DWs
15表現:
L 15WZ ∼ A6,(MN) +A5,(M
P ∧ F1,N)P +A3,(M ∧ F3,N) + . . .
5-brane上の場:
F3,N = db2,N +A3,N 自己双対テンソル場
F1,NP = db0,NP +A1,NP スカラー場
Xy スカラー場
SUSY Domain Walls - 18 -
7次元理論での SUSY DWs
15表現:
L 15WZ ∼ A6,(MN) +A5,(M
P ∧ F1,N)P +A3,(M ∧ F3,N) + . . .
5-brane上の場:
F3,N = db2,N +A3,N 自己双対テンソル場
F1,NP = db0,NP +A1,NP スカラー場
Xy スカラー場
SUSY Domain Walls - 19 -
7次元理論での SUSY DWs
15表現:
L 15WZ ∼ A6,(MN) +A5,(M
P ∧ F1,N)P +A3,(M ∧ F3,N) + . . .
5-brane上の場:
F3,N = db2,N +A3,N 自己双対テンソル場
F1,NP = db0,NP +A1,NP スカラー場
Xy スカラー場
• M = N(= 1) case : SUSY多重項を持つ5-branesは5通り
b2,N=1 : 4C2/2 = 3
b0,[N=1,P ] : 1× 4 = 4
Xy : 1
←8boson + 8fermion ← 1
2-SUSY!
各 M = 1, . . . , 5 において成立
SUSY Domain Walls - 20 -
7次元理論での SUSY DWs
15表現:
L 15WZ ∼ A6,(MN) +A5,(M
P ∧ F1,N)P +A3,(M ∧ F3,N) + . . .
5-brane上の場:
F3,N = db2,N +A3,N 自己双対テンソル場
F1,NP = db0,NP +A1,NP スカラー場
Xy スカラー場
• M = N(= 1) case : SUSY多重項を持つ5-branesは5通り
b2,N=1 : 4C2/2 = 3
b0,[N=1,P ] : 1× 4 = 4
Xy : 1
←8boson + 8fermion ← 1
2-SUSY!
各 M = 1, . . . , 5 において成立
• M = N case : SUSY多重項を持つ5-branesはない
boson 自由度の和が4の倍数にならない → SUSY 多重項を組めない
SUSY Domain Walls - 21 -
7次元理論での SUSY DWs
15表現:
L 15WZ ∼ A6,(MN) +A5,(M
P ∧ F1,N)P +A3,(M ∧ F3,N) + . . .
5-brane上の場:
F3,N = db2,N +A3,N 自己双対テンソル場
F1,NP = db0,NP +A1,NP スカラー場
Xy スカラー場
• M = N(= 1) case : SUSY多重項を持つ5-branesは5通り
b2,N=1 : 4C2/2 = 3
b0,[N=1,P ] : 1× 4 = 4
Xy : 1
←8boson + 8fermion ← 1
2-SUSY!
各 M = 1, . . . , 5 において成立5 < 15
Elementary SUSY DWs
• M = N case : SUSY多重項を持つ5-branesはない
boson 自由度の和が4の倍数にならない → SUSY 多重項を組めない
SUSY Domain Walls - 22 -
7次元理論での SUSY DWs
40表現:
L 40WZ ∼ A
[MN ],P6 +A5,Q
P ∧ F1,RS ϵMNQRS +A
[MN ]4 ∧ FP
2 − (· · · )[MNP ] + . . .
5-brane上の場:
FP
2 = dbP1 +AP2 ベクトル場
F1,RS = db0,RS +A1,RS スカラー場
Xy スカラー場
SUSY Domain Walls - 23 -
7次元理論での SUSY DWs
40表現:
L 40WZ ∼ A
[MN ],P6 +A5,Q
P ∧ F1,RS ϵMNQRS +A
[MN ]4 ∧ FP
2 − (· · · )[MNP ] + . . .
5-brane上の場:
FP
2 = dbP1 +AP2 ベクトル場
F1,RS = db0,RS +A1,RS スカラー場
Xy スカラー場
SUSY Domain Walls - 24 -
7次元理論での SUSY DWs
40表現:
L 40WZ ∼ A
[MN ],P6 +A5,Q
P ∧ F1,RS ϵMNQRS +A
[MN ]4 ∧ FP
2 − (· · · )[MNP ] + . . .
5-brane上の場:
FP
2 = dbP1 +AP2 ベクトル場
F1,RS = db0,RS +A1,RS スカラー場
Xy スカラー場
• P =M(= 1 = N) case : SUSY多重項を持つ5-branesは20通り
bP1 : 4
b0,[RS] : 1× 3 = 3
Xy : 1
←8boson + 8fermion ← 1
2-SUSY!
各 M において成立 (5C2 = 20)
• P =M = N case : SUSY多重項を持つ5-branesはない
boson 自由度の和が4の倍数にならない → SUSY 多重項を組めない
SUSY Domain Walls - 25 -
7次元理論での SUSY DWs
40表現:
L 40WZ ∼ A
[MN ],P6 +A5,Q
P ∧ F1,RS ϵMNQRS +A
[MN ]4 ∧ FP
2 − (· · · )[MNP ] + . . .
5-brane上の場:
FP
2 = dbP1 +AP2 ベクトル場
F1,RS = db0,RS +A1,RS スカラー場
Xy スカラー場
• P =M(= 1 = N) case : SUSY多重項を持つ5-branesは20通り
bP1 : 4
b0,[RS] : 1× 3 = 3
Xy : 1
←8boson + 8fermion ← 1
2-SUSY!
各 M において成立 (5C2 = 20)
• P =M = N case : SUSY多重項を持つ5-branesはない
boson 自由度の和が4の倍数にならない → SUSY 多重項を組めない
SUSY Domain Walls - 26 -
7次元理論での SUSY DWs
40表現:
L 40WZ ∼ A
[MN ],P6 +A5,Q
P ∧ F1,RS ϵMNQRS +A
[MN ]4 ∧ FP
2 − (· · · )[MNP ] + . . .
5-brane上の場:
FP
2 = dbP1 +AP2 ベクトル場
F1,RS = db0,RS +A1,RS スカラー場
Xy スカラー場
• P =M(= 1 = N) case : SUSY多重項を持つ5-branesは20通り
bP1 : 4
b0,[RS] : 1× 3 = 3
Xy : 1
←8boson + 8fermion ← 1
2-SUSY!
各 M において成立 (5C2 = 20)20 < 40
Elementary SUSY DWs
• P =M = N case : SUSY多重項を持つ5-branesはない
boson 自由度の和が4の倍数にならない → SUSY 多重項を組めない
SUSY Domain Walls - 27 -
Elementary SUSY DWs の数
fundamental Dirichlet solitonic (brane’s tension) ∼ (gs)+α
D U T # of EDWs α = 0 α = −1 α = −2 α = −3 α = −4 α = −5
IIA R+ 1 1 1
9 GL(2,R) SO(1, 1) 2 ⊂ 3U 1 – 1
8SL(3,R)×SL(2,R)
SL(2,R)×SL(2,R) 6 ⊂ (6,2)U (1,2)T – 4 ⊂ (3,2)T
7 SL(5,R) SL(4,R)20 ⊂ 40U 4T 4 ⊂ 10T 12 ⊂ 20T
5 ⊂ 15U 4 ⊂ 10T – 1T
6 SO(5, 5) SO(4, 4) 80 ⊂ 144U 8S|T 32 ⊂ 56C|T 32 ⊂ 56S|T 8C|T
5 E6(6) SO(5, 5) 216 ⊂ 351U 16T 80 ⊂ 120T 80 ⊂ 144T 40 ⊂ 45T
4 E7(7) SO(6, 6) 576 ⊂ 912U 32T 160 ⊂ 220T 192 ⊂ 352T 160 ⊂ 220T 32T
3 E8(8) SO(7, 7) 2160 ⊂ 3875U
1T 64T 280 ⊂ 364T 448 ⊂ 832T560 ⊂ 1001T
14 ⊂ 104T448 ⊂ 832T
(α ≤ −6) 280 ⊂ 364T,−6 64T,−7 1T,−8
D = 3, 4, 6 の時のみ S-dual branes あり α′ = −α− 4(D − 1)
D − 2D = 3, 4, 6 の時のみ S-dual branes あり
by D-dim. S-duality (g′µν)S = e−8ϕ/(D−2)(gµν)S((gs)
α
∫dD−2x [NG(gµν)] = (gs)
α′∫
dD−2x [NG(g′µν)]
)
SUSY Domain Walls - 28 -
String theory origin of Domain Walls in D-dim.
fundamental Dirichlet solitonic α′ = −α− 4(D − 1)
D − 2via S-duality
D α = 0 α = −1 α = −2 α = −3 α = −4 α = −5 α = −6 α = −7 α = −8
IIA C9 [D8]
9 C8 [D7] E9,1,1 [7(0,1)3 ]
8 C7 [D6] E9,2,1 [6(1,1)3 ]
7 C6 [D5]
D6 [NS5]
D7,1 [KK5]
D8,2 [522]
E9,3,1 [5(2,1)3 ] F9,3 [534]
6 C5 [D4] E9,4,1 [4(3,1)3 ] F9,4,1 [4
(3,1)4 ]
5 C4 [D3] E9,5,1 [3(4,1)3 ] F9,5,2 [3
(3,2)4 ]
4 C3 [D2] E9,6,1 [2(5,1)3 ] F9,6,3 [2
(3,3)4 ]
G9,6,2m
G9,6,2m+1
3 B2 [F1] C2 [D1] E9,7,1 [1(6,1)3 ]
F9,7,4 [1(3,4)4 ]
F9,7,1,1 [1(6,0,1)4 ]
G9,7,2m,1
G9,7,2m+1,1H9,7,4+n,n (S3(C2)) (S3(B2))
AD−T,I1+I2,I2-forms : “mixed-symmetry tensors” ↔ p(I1,I2)α -branes
T + p+∑
i Ii = D − 1 with T = 1 : transverse, p : spatial, Ii : isometry directions
E.A. Bergshoeff et al, arXiv:1108.5067, arXiv:1210.1422
SUSY Domain Walls - 29 -
Elementary SUSY DWs の縮退度
Z(a) : a-form central charge
D R-対称性 H Z(1) Z(2) # of EDWs 縮退度
9 SO(2) 1 2 2
8 SO(3)× SO(2) (1,2) 6 3
7 Sp(2) 5+ 1 20 + 5 4(V), 5(T)
6 Sp(2)× Sp(2) (4,4) 80 5
5 USp(8) 36 216 6
4 SU(8) 36+ + 36− 576 8
3 SO(16) 135 2160 16
# of EDWs =
{(10−D) + 1} · (# of Z(2)) 5 ≤ D ≤ 9
8 D = 4
16 D = 3
(注意) standard branes と central charges とは「1対1」対応
SUSY Domain Walls - 30 -
Elementary SUSY DWs ではないもの
D # of (D − 1)-forms # of EDWs # of non-EDWs
9 3⊕ 2 2 + 0 1 + 2
8 (6,2)⊕ (3,2) 6 + 0 6 + 6
7 40⊕ 15 20 + 5 20 + 10
6 144 80 64
5 351 216 135
4 912 576 336
3 3875⊕ 1 2160 + 0 1715 + 1
Elementary SUSY DWs (EDWs) と結合しない (D − 1)-forms は、
EDWs の束縛状態な (D − 2)-branes と結合する(詳細省略)#
"
!複数の EDWs が同じ 1
2-SUSY 条件の時 → threshold bound states of EDWs
複数の EDWs が異なる 12-SUSY 条件の時 → non-threshold bound states of EDWs
SUSY Domain Walls - 31 -
分 析 2� �
変形(ゲージ化)された極大超重力理論
Embedding Tensor Formalism� �
極大超重力理論
極大超重力理論� �重力場・グラビティーノ・ベクトルゲージ場・テンソルゲージ場・スピノル場・スカラー場� �超対称性によって、スカラー場が住む空間が coset space G0/H に定まっている
D U-duality G0 R-対称性 H dim(G0/H) T-duality
11 1 1 0 1
IIA R+ 1 1 1
IIB SL(2,R) SO(2) 2 1
9 GL(2,R) SO(2) 3 SO(1, 1)
8 SL(3,R)× SL(2,R) SO(3)× SO(2) 7 SL(2,R)× SL(2,R)
7 SL(5,R) Sp(2) 14 SL(4,R)
6 SO(5, 5) Sp(2)× Sp(2) 25 SO(4, 4)
5 E6(6) USp(8) 42 SO(5, 5)
4 E7(7) SU(8) 70 SO(6, 6)
3 E8(8) SO(16) 128 SO(7, 7)
ゲージ場はスカラー場やスピノル場と結合していない
SUSY Domain Walls - 33 -
Embedding tensor formalism
ゲージ化:embedding tensor ΘMα を導入して、共変微分化
TM ≡ ΘMα tα
tα ∈ LieG0 global
TM ∈ LieG local
∂µ −→ Dµ ≡ ∂µ − gAMµ TM
SUSY Domain Walls - 34 -
Embedding tensor formalism
ゲージ化:embedding tensor ΘMα を導入して、共変微分化
TM ≡ ΘMα tα
tα ∈ LieG0 global
TM ∈ LieG local
∂µ −→ Dµ ≡ ∂µ − gAMµ TM
[TM , TN ] = −TMNP TP , TMN
P ≡ ΘMα(tα)N
P
[Dµ,Dν] ≡ −gFMµν TM
FMµν ≡ ∂µA
Mν − ∂νAM
µ + gT[NP ]M AN
µ APν
ゲージ群 : 0 = fαβγ ΘM
αΘNβ + (tα)N
PΘMαΘP
γ
SUSY Domain Walls - 35 -
Embedding tensor formalism
T(MN)PΘP
α = 0
[TM , TN ] = −TMNPTP でも T(MN)
P = 0 である必要はない
δFMµν = 2D[µδA
Mν] − 2g T(PQ)
M AP[µδA
Qν]
ゲージ変換 δAMµ = DµΛ
M に対して共変ではない
tensor gauge fields B(NP )µν を導入して共変化→ “Stuckelberg pairing”
HMµν ≡ FM
µν + g T(NP )MB(NP )
µν
SUSY Domain Walls - 36 -
Embedding tensor formalism
超対称性 : ΘMα の自由度 dimG× dimG0 に制限が課される(Dµ = ∂µ − gAM
µ ΘMα tα
)添字 M は極大超重力理論にあるゲージ場の数 ← G0 のある表現に属す
SUSY Domain Walls - 37 -
Embedding tensor formalism
超対称性 : ΘMα の自由度 dimG× dimG0 に制限が課される(Dµ = ∂µ − gAM
µ ΘMα tα
)添字 M は極大超重力理論にあるゲージ場の数 ← G0 のある表現に属す
D U-duality G0 constraints on R(M)⊗R(α)
9 GL(2,R) (2⊕ 1)⊗ (3⊕ 1) = ��1⊕ 2 ⊕ ��2⊕ 3 ⊕ ��4
8 SL(3,R)⊗ SL(2,R) (3, 2)⊗ [(1, 3)⊕ (8, 1)] = (3, 2) ⊕�����(3, 2)⊕
�����(3, 4)⊕ (6, 2) ⊕ ������(15, 2)
7 SL(5,R) 10⊗ 24 = ���10⊕ 15 ⊕ 40 ⊕ ����175
6 SO(5, 5) 16⊗ 45 = ���16⊕ 144 ⊕ ����560
5 E6(6) 27⊗ 78 = ���27⊕ 351 ⊕ �����1728
4 E7(7) 56⊗ 133 = ���56⊕ 912 ⊕ �����6480
3 E8(8) 248⊗ 248 = 1 ⊕ ����248⊕ 3875 ⊕ ������27000⊕ ������30380
F.Riccioni, D.Steele and P.West, arXiv:0906.1177
SUSY Domain Walls - 38 -
ΘMα は D次元理論の(D − 1)-form場の表現に等しい
SUSY Domain Walls - 39 -
U-duality G0 における各 form fields の表現
D U-duality G0 1-forms 2-forms 3-forms 4-forms 5-forms 6-forms 7-forms 8-forms 9-forms 10-forms
IIA R+ 1 1 1 − 1 1 1 1 1 1⊕ 1
IIB SL(2,R) − 2 − 1 − 2 − 3 − 4⊕ 2
9 GL(2,R) 2⊕ 1 2 1 1 2 2⊕ 1 3⊕ 1 3⊕ 2 4⊕ 2⊕ 2 –
8 SL(3,R)× SL(2,R) (3,2) (3,1) (1,2) (3,1) (3,2)(8,1)⊕(1,3)
(6,2)⊕(3,2)
(15,1)⊕(3,3)⊕(3,1)⊕(3,1)
– –
7 SL(5,R) 10 5 5 10 24 40⊕ 1570⊕45⊕5
– – –
6 SO(5, 5) 16 10 16 45 144320⊕126⊕10
– – – –
5 E6(6) 27 27 78 3511728⊕27 – – – – –
4 E7(7) 56 133 9128645⊕133 – – – – – –
3 E8(8) 248 3875⊕ 1147250⊕3875⊕248
– – – – – – –
(D − 1)-forms: Embedding Tensors の表現はこれと一致
F.Riccioni, D.Steele and P.West, arXiv:0906.1177
SUSY Domain Walls - 40 -
ΘMα は D次元理論の(D − 1)-form場の表現に等しい
(D − 1)-form場は DWs に結合する
↓↓↓Elementary SUSY DWs に相当する ΘM
α を選定して
極大超重力理論の変形の様子を理解する
SUSY Domain Walls - 41 -
ΘMα は D次元理論の(D − 1)-form場の表現に等しい
(D − 1)-form場は DWs に結合する
↓↓↓Elementary SUSY DWs に相当する ΘM
α を選定して
極大超重力理論の変形の様子を理解する
SUSY Domain Walls - 42 -
ゲージ化された9次元極大超重力理論
ゲージ場: A1, A1,a, A2,a, A3 (a = 1, 2 of GL(2,R))
SUSY Domain Walls - 43 -
ゲージ化された9次元極大超重力理論
ゲージ場: A1, A1,a, A2,a, A3 (a = 1, 2 of GL(2,R))
embedding tensors:Θa in 2, Θab in 3 ; with constraints
ΘaΘbc ϵab = 0 , Θ(aΘbc) = 0
SUSY Domain Walls - 44 -
ゲージ化された9次元極大超重力理論
ゲージ場: A1, A1,a, A2,a, A3 (a = 1, 2 of GL(2,R))
embedding tensors:Θa in 2, Θab in 3 ; with constraints
ΘaΘbc ϵab = 0 , Θ(aΘbc) = 0
Stuckelberg pairing
δA1 = dλ0 −Θaλ1,a
δA1,a = dλ0,a − ϵabΘbcλ1,c
δA2,a = dλ1,a − ϵabΘbλ2
δA3 = dλ2
→
F2 = dA1 +ΘaA2,a
F2,a = dA1,a + ϵabΘbcA2,c
F3,a = dA2,a + ϵabΘbA3
F4 = dA3
SUSY Domain Walls - 45 -
ゲージ化された9次元極大超重力理論
ゲージ場: A1, A1,a, A2,a, A3 (a = 1, 2 of GL(2,R))
embedding tensors:Θa in 2, Θab in 3 ; with constraints
ΘaΘbc ϵab = 0 , Θ(aΘbc) = 0
Stuckelberg pairing
δA1 = dλ0 −Θaλ1,a
δA1,a = dλ0,a − ϵabΘbcλ1,c
δA2,a = dλ1,a − ϵabΘbλ2
δA3 = dλ2
→
F2 = dA1 +ΘaA2,a
F2,a = dA1,a + ϵabΘbcA2,c
F3,a = dA2,a + ϵabΘbA3
F4 = dA3
Minimal Gauging を探す (Θa,Θab による最小の変形)
Gauging A1 A1,a=1 A1,a=2 A2,a=1 A2,a=2 A3
Θ1 = 1,Θ2 = 0,Θab = 0 eaten massless massless massive eaten massive –
Θa = 0,Θ11 = 1,Θ22 = ±1 massive eaten eaten massive massive massless –
Θa = 0,Θ11 = 1,Θ22 = 0 massive massless eaten massive massless massless 2通り
SUSY Domain Walls - 46 -
ゲージ化された8次元極大超重力理論
ゲージ場: A1,Ma, AM2 , A3,a (M = 1, 2, 3 of SL(3,R), a = 1, 2 of SL(2,R))
SUSY Domain Walls - 47 -
ゲージ化された8次元極大超重力理論
ゲージ場: A1,Ma, AM2 , A3,a (M = 1, 2, 3 of SL(3,R), a = 1, 2 of SL(2,R))
Minimal gauging を与えるもの: (ΘMa in (3,2) に対応する EDWs はないので考えない)
ΘMNa = {Θ11
1,Θ112,Θ22
1,Θ222,Θ33
1,Θ332} in (6,2): 6通り
SUSY Domain Walls - 48 -
ゲージ化された8次元極大超重力理論
ゲージ場: A1,Ma, AM2 , A3,a (M = 1, 2, 3 of SL(3,R), a = 1, 2 of SL(2,R))
Minimal gauging を与えるもの: (ΘMa in (3,2) に対応する EDWs はないので考えない)
ΘMNa = {Θ11
1,Θ112,Θ22
1,Θ222,Θ33
1,Θ332} in (6,2): 6通り
ΘMN1 に着目する (ΘMN
2 = 0)'
&
$
%
ΘMN1 = diag(1p,−1q, 0r) with p+ q + r = 3
↓CSO(p, q, r) with fMN
P = ϵMNQΘPQ
[T 1, T 2] = Θ331T 3 , [T 2, T 3] = Θ11
1T 1 , [T 3, T 1] = Θ221T 2
Minimal:Θ221 = Θ33
1 = 0 → CSO(1, 0, 2) = Heisenberg algebra
(i = 2, 3)Gauging A1,11 A1,12 A1,i1 A1,i2 A1
2 Ai2 A3,a
Θ111 = 1, others = 0 massless eaten massive massless massive massless massless (i = 2, 3)
SUSY Domain Walls - 49 -
ゲージ化された7次元極大超重力理論
ゲージ場: A1,MN , AM2 (M = 1, 2, . . . , 5 of SL(5,R))
SUSY Domain Walls - 50 -
ゲージ化された7次元極大超重力理論
ゲージ場: A1,MN , AM2 (M = 1, 2, . . . , 5 of SL(5,R))
embedding tensors Θ[MN ],P ≡ v[MwN ]P in 40: 20通り#
"
!wNP = diag(1p,−1q, 0r) with p+ q + r = 4
→ minimal gauging = CSO(1, 0, 3)
Gauging A1,ij A1,12 A1,1i A1,2i A12 A2
2 Ai2
Θ12,1 = 1, others = 0 massive eaten massless massless massive massless massless (i = 3, 4, 5)
embedding tensors Θ(MN) in 15: 5通り#
"
!ΘMN = diag(1p,−1q, 0r) with p+ q + r = 5
→ minimal gauging = CSO(1, 0, 4)
Gauging A1,1i A1,ij A12 Ai
2 A3,1
Θ11 = 1, others = 0 massive massless eaten massless massive (i = 2, 3, 4, 5)
SUSY Domain Walls - 51 -
極小ゲージ化された極大超重力理論
minimal gauging される極大超重力理論は
elementary SUSY Domain Walls によって与えられる
non-minimal gauging な極大超重力理論は
(non)-threshold bound states of EDWs によって与えられる
SUSY Domain Walls - 52 -
まとめ
まとめ
D次元時空の Domain Walls (DWs) は不思議な物体
��� 12-SUSY 多重項を持つ DWs (EDWs) の数は、U-dualityのある表現の一部だけ
��� non-EDWs (EDWs の束縛状態)が残りの部分を補完する
��� Central charges との数勘定がズレている (ある一定のルールに従う)
EDWs は極大超重力理論を minimal gauging 変形する
Non-EDWs は極大超重力理論を non-minimal gauging 変形する
SUSY Domain Walls - 54 -
Elementary SUSY DWs の数
D U T # of EDWs α = 0 α = −1 α = −2 α = −3 α = −4 α = −5
IIA R+ 1 1 1
9 GL(2,R) SO(1, 1) 2 ⊂ 3U 1 – 1
8SL(3,R)×SL(2,R)
SL(2,R)×SL(2,R) 6 ⊂ (6,2)U (1,2)T – 4 ⊂ (3,2)T
7 SL(5,R) SL(4,R)20 ⊂ 40U 4T 4 ⊂ 10T 12 ⊂ 20T
5 ⊂ 15U 4 ⊂ 10T – 1T
6 SO(5, 5) SO(4, 4) 80 ⊂ 144U 8S|T 32 ⊂ 56C|T 32 ⊂ 56S|T 8C|T
5 E6(6) SO(5, 5) 216 ⊂ 351U 16T 80 ⊂ 120T 80 ⊂ 144T 40 ⊂ 45T
4 E7(7) SO(6, 6) 576 ⊂ 912U 32T 160 ⊂ 220T 192 ⊂ 352T 160 ⊂ 220T 32T
3 E8(8) SO(7, 7) 2160 ⊂ 3875U
1T 64T 280 ⊂ 364T 448 ⊂ 832T560 ⊂ 1001T
14 ⊂ 104T448 ⊂ 832T
(α ≤ −6) 280 ⊂ 364T,−6 64T,−7 1T,−8
D R-対称性 H Z(1) Z(2) # of EDWs 縮退度
9 SO(2) 1 2 2
8 SO(3)× SO(2) (1,2) 6 3
7 Sp(2) 5+ 1 20 + 5 4(V), 5(T)
6 Sp(2)× Sp(2) (4,4) 80 5
5 USp(8) 36 216 6
4 SU(8) 36+ + 36− 576 8
3 SO(16) 135 2160 16
SUSY Domain Walls - 55 -
Embedding tensor を用いてゲージ化された超重力理論
D 32-SUSY 16-SUSY 8-SUSY
9 arXiv:1105.1760 (unknown) –
8 arXiv:1203.6562 (unknown) –
7 hep-th/0506237 (unknown) –
6 arXiv:0712.4277 (unknown) arXiv:1012.1818
5 hep-th/0412173 hep-th/0702084 (unknown)
4 arXiv:0705.2101 hep-th/0602024 arXiv:1107.3305
3 hep-th/0103032 arXiv:0806.2584 arXiv:0807.2841
SUSY Domain Walls - 56 -
おしまい
Defect branes
U-duality G0 における各 form fields の表現
D U-duality G0 1-forms 2-forms 3-forms 4-forms 5-forms 6-forms 7-forms 8-forms 9-forms 10-forms
IIA R+ 1 1 1 − 1 1 1 1 1 1⊕ 1
IIB SL(2,R) − 2 − 1 − 2 − 3 − 4⊕ 2
9 GL(2,R) 2⊕ 1 2 1 1 2 2⊕ 1 3⊕ 1 3⊕ 2 4⊕ 2⊕ 2 –
8 SL(3,R)× SL(2,R) (3,2) (3,1) (1,2) (3,1) (3,2)(8,1)⊕(1,3)
(6,2)⊕(3,2)
(15,1)⊕(3,3)⊕(3,1)⊕(3,1)
– –
7 SL(5,R) 10 5 5 10 24 40⊕ 1570⊕45⊕5
– – –
6 SO(5, 5) 16 10 16 45 144320⊕126⊕10
– – – –
5 E6(6) 27 27 78 3511728⊕27 – – – – –
4 E7(7) 56 133 9128645⊕133 – – – – – –
3 E8(8) 248 3875⊕ 1147250⊕3875⊕248
– – – – – – –
(D − 2)-forms: U-duality group G0 の随伴表現
F.Riccioni, D.Steele and P.West, arXiv:0906.1177
SUSY Domain Walls - 59 -
Wess-Zumino terms for 7-branes in 10D
L WZi ∼ A8,i + F2ΓiA6 + . . .
A8,i : 8-forms in bulk
Γi : SO(2, 1) ∼ SL(2,R) ガンマ行列 (i = +,−, 3)
F2 = (db1, S(db1)) : curvatures of DBI vector and its S-dual / spinor repr. of SO(2, 1)
A6 = (B(6), C(6)) : 6-forms in bulk / spinor repr. of SO(2, 1)
• i = + もしくは i = − のとき
7-brane 上のベクトルかその S-dual を project-out できる
• i = 3 のとき
できない
SUSY Domain Walls - 60 -
Wess-Zumino terms for defect branes in D-dim.
Defect branes ∼ (D − 2)-form potentials ∼ scalar fields
U-duality group G0 の随伴表現を、T-duality group (と R+) で分解する
d = 10−D fundamental Dirichlet solitonic
U T α = 0 α = −1 α = −2 α = −3 α = −4
D ≥ 5 Ed+1(d+1) SO(d, d) Adj|U − spinor|T (Adj+ singlet)|T conj. spinor|T −
D = 4 E7(7) SO(6, 6) Adj|U singlet|T spinor|T (Adj+ singlet)|T conj. spinor|T singlet|T
D = 3 E8(8) SO(7, 7) Adj|U vector|T spinor|T (Adj+ singlet)|T conj. spinor|T vector|T
α′ = −α− 4
by D-dim. S-duality (g′µν)S = e−8ϕ/(D−2)(gµν)S((gs)
α
∫dD−2x [NG(gµν)] = (gs)
α′∫
dD−2x [NG(g′µν)]
)
E.A. Bergshoeff et al, arXiv:1009.4657, arXiv:1102.0934, arXiv:1108.5067
SUSY Domain Walls - 61 -
Defect branes (co-dim. 2) の場合
solitonic defect brane (α = −2) の全てが supersymmetric になるわけではない
fundamental Dirichlet solitonic (brane’s tension) ∼ (gs)+α
D # of SUSY defect branes α = 0 α = −1 α = −2 α = −3 α = −4
IIB 2 ⊂ 3 1 − 1
9 2 ⊂ 33 1 − 1
86 ⊂ (8,1) (2,1) 2 ⊂ (3,1) (2,1)
2 ⊂ (1,3) 2 ⊂ (1,3)
7 20 ⊂ 24 4 12 ⊂ 15 4
6 40 ⊂ 45 8V 24 ⊂ 28 8V
5 72 ⊂ 78 16 40 ⊂ 45 16
4 126 ⊂ 133 1 32 60 ⊂ 66 32 1
3 240 ⊂ 248 14 64 84 ⊂ 91 64 14
E.A. Bergshoeff et al, arXiv:1009.4657, arXiv:1102.0934, arXiv:1108.5067
SUSY Domain Walls - 62 -
String theory origin of defect branes in D-dim.
fundamental Dirichlet solitonic SD-dual of (Dirichlet) SD-dual of (fundamental)
D α = 0 α = −1 α = −2 α = −3 α = −4
IIB C8 [D7] E8 = S10(C8) [73]
9 C7 [D6] E8,1 = S9(C7) [613]
8 C6 [D5]
D6 [NS5]
D7,1 [KK5 = 512]
D8,2 [522]
E8,2 = S8(C7) [523]
7 C5 [D4] E8,3 = S7(C5) [433]
6 C4 [D3] E8,4 = S6(C4) [343]
5 C3 [D2] E8,5 = S5(C3) [253]
4 B2 [F1] C2 [D1] E8,6 = S4(C2) [163] F8,6 = S4(B2) [1
64]
3 [P] C1 [D0] E8,7 = S3(C1) [073] F8,7,1 [0
(6,1)4 ]
p(I1,I2)α -brane� �
AD−T,I1+I2,I2 ↔ (T, p, I1, I2)α with T + p+∑
i Ii = D − 1
Mass(T,p,I1,I2)α = R1 · · ·Rp(Rp+1 · · ·Rp+I1)2(Rp+I1+1 · · ·Rp+I1+I2)
3(gs)α
� �
SUSY Domain Walls - 63 -
Defect branes (co-dim. 2) の場合
D G0/H nP nD nS
IIB SL(2,R)/SO(2) 3 2 2
9 SL(2,R)/SO(2)× R+ 3 + 1 2 + 0 2 + 1
8 SL(3,R)/SO(3)× SL(2,R)/SO(2) 8 + 3 6 + 2 5 + 2
7 SL(5,R)/SO(5) 24 20 14
6 SO(5, 5)/[SO(5)× SO(5)] 45 40 24
5 E6(6)/Sp(8) 78 72 42
4 E7(7)/SU(8) 133 126 70
3 E8(8)/SO(16) 248 240 128
nP = dimG0 : # of (D − 2)-form potentials
nD = dimG0 − rankG0 : # of SUSY defect branes (rankG0 = rankT + 1)
nS = dimG0 − dimH : # of coset scalars in D-dim. maximal SUGRA
SUSY Domain Walls - 64 -
Defect branes (co-dim. 2) の場合
Z(a) : a-form central charge
D R-対称性 H Z(0) Z(1) Z(2) Z(3) nD 縮退度
IIB SO(2) 1 2 2
9 SO(2) 1 2 2
8 SO(3)× SO(2) 3+ 1 6 + 2 2
7 Sp(2) 10 20 2
6 Sp(2)× Sp(2) (10,1)+ + (1,10)− 40 2
5 USp(8) 36 72 2
4 SU(8) 63 126 2
3 SO(16) 120 240 2
SUSY Domain Walls - 65 -
CSO(p, q, r)
CSO(p, q, r) とは、とても粗っぽく言えば jump
CSO(p, q, 0) = SO(p, q)
CSO(p, q, 1) = ISO(p, q)
CSO(p, q, r) ⊃ SO(p, q)× U(1)r(r−1)
2 for r ≥ 2
C.M. Hull, PL 142B (1984) 39, PL 148B (1984) 297, NPB 253 (1985) 650
L. Andrianopoli et al, hep-th/0009048, etc.
SUSY Domain Walls - 66 -