suprun11 problemas matematicas especiales 1

URSSСодержание

От автора................................................................................... 4

Раздел 1. Метод функциональной подстановки ...................................... 5

Раздел 2. Метод тригонометрической подстановки ............................... 41

Раздел 3. Методы, основанные на использовании численных неравенств............................................................... 61

Раздел 4. Методы, основанные на использовании монотонности функций ............................................................. 107

Раздел 5. Методы решения функциональных уравнений....................... 121

Раздел 6. Методы, использующие понятие вектора ............................... 146

Раздел 7. Комбинированные методы........................................................ 163

Раздел 8. Методы, основанные на использовании ограниченности функций .......................................................... 199

Раздел 9. Методы решения симметрических систем уравнений ........... 235

Раздел 10. Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа .......................................................... 256

Рекомендуемая литература.................................................... 267

URSS

Жизнь хороша тем, что в ней можно заниматься математикой

Леонард Эйлер

От автора

В учебном издании предлагаются нестандартные методы решения уравнений и неравенств из различных разделов математики (алгебра, три-гонометрия и геометрия). Их применение требует от абитуриентов не-сколько необычных рассуждений. Незнание и непонимание нестандарт-ных методов существенно уменьшает область успешно решаемых задач по математике. Тем более, что такие методы, как правило, не изучаются в общеобразовательной школе.

При решении задач, предлагаемых на вступительных конкурсных письменных экзаменах по математике, разрешается применение любых известных абитуриентам нестандартных методов. Поэтому настоящее учебное издание будет полезно, прежде всего, абитуриентам при подго-товке к поступлению в вуз.

Знание нестандартных методов и приемов решения задач повышен-ной сложности способствует развитию у школьников и абитуриентов не-стандартного математического мышления, что является необходимым ус-ловием для последующего успешного изучения высшей математики в ву-зах с углубленным изучением математики.

Многие из приведенных в пособии задач предлагались в течение ряда последних лет на вступительных экзаменах по математике в Белорусском государственном университете.

Настоящее издание представляет собой исправленное и переработан-ное переиздание учебного пособия автора «Математика для старшекласс-ников. Нестандартные методы решения задач» (Минск: Аверсэв, 2003). Переработка коснулась объема пособия (добавлено более 40 новых задач), а также изменения методов решения части задач, приведенных в настоя-щем пособии.

Пособие адресовано школьникам, абитуриентам, учителям математики общеобразовательных школ, руководителям школьных математических кружков и преподавателям вузов, принимающим вступительные конкурс-ные экзамены по математике.

URSS

РАЗДЕЛ 1

Метод функциональной подстановки

Метод функциональной подстановки является, пожалуй, самым рас-пространенным методом решения сложных задач школьной математики. Суть метода состоит во введении новой переменной ( )y f x= , примене-ние которой приводит к более простому выражению. Частным случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка (см. раздел 2).

Основная трудность решения задач методом функциональной под-становки заключается в том, что зачастую трудно угадать вид самой под-становки и вид уравнений (или неравенств), где эту подстановку можно использовать. В настоящем разделе предлагаются наиболее часто встре-чающиеся уравнения и неравенства, которые эффективно решаются мето-дом функциональной подстановки.

Задачи и решения

1.1. Решить уравнение

2 2 22 7 2 2 21x x x x x x .− + + − + = − + (1.1)

Решение. Введем новую переменную 2 2x x y− + = , тогда из (1.1)

вытекает уравнение 5 2 17y y y+ + = + , где 0y ≥ . Поскольку обе части данного уравнения неотрицательны, то после

возведения в квадрат обеих его частей получаем равносильное уравнение 22 5 5 2 17y y y y y+ + + + = + . Отсюда следует

URSSРаздел 1 6

2 5 6y y+ = , 2 5 36 0y y+ − = и 1 9y = − , 2 4y = .

Так как 0y ≥ , то для нахождения корней уравнения (1.1) необходимо

рассмотреть уравнение 2 2 4x x− + = , корнями которого являются 1 1x = − и 2 2x = .

♦ Ответ: 1 1x = − , 2 2x = .


2 2 5 2 3 2 5 7 2x x x x− + − + + + − = . (1.2)

Решение. Обозначим 2 5x y− = (очевидно, что 0y ≥ ). Тогда y2 =

2 5x= − или 2 52

yx += . В таком случае

2 25 12 2 5 22 2

y ( y )x x y+ +− + − = − + = ,

( )22 352 3 2 5 2 32 2

yyx x y++

+ + − = + + =

и из (1.2) получаем уравнение 1 3

7 22 2

y y+ ++ = или

1 3 14y y+ + + = . (1.3)

Поскольку 0y ≥ , то 1 1| y | y+ = + , 3 3| y | y+ = + . В этой связи урав-нение (1.3) принимает вид 1 3 14y y+ + + = . Отсюда получаем 5y = ,

2 5 5x − = и 1 15x = .

♦ Ответ: 1 15x = .


( ) ( )2 4 3 24 45 6 5 5x x x x x+ + = ⋅ + . (1.4)

Решение. Нетрудно видеть, что 0x ≥ и при этом 1 0x = является кор-нем уравнения (1.4).

URSSМетод функциональной подстановки 7

Пусть теперь 0x ≠ , тогда обе части уравнения (1.4) разделим на 4 3x и получим

2

4 45 55 6 0x xx x+ +⎛ ⎞ − ⋅ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠. (1.5)

Если обозначить 4 5x yx+

= , то уравнение (1.5) принимает вид квад-

ратного уравнения 2 5 6 0y y− + = , корнями которого являются 1 2y = и

2 3y = .

Рассмотрим уравнения 4 5 2xx+

= и 4 5 3xx+

= , откуда следует, что

213

x = и 31

16x = .

♦ Ответ: 1 0x = , 213

x = , 31

16x = .


2 22 2

12 1212 0x xx x

− − + − = . (1.6)

Решение. Обозначим 2x y= . Так как 21212 0x

− ≥ и 22

12 0xx

− ≥ , то

4 12x ≥ или 2 3y ≥ . В таком случае уравнение (1.6) принимает вид

12 1212 y yy y

− = − − . (1.7)

Так как 2 3y ≥ , то обе части уравнения (1.7) могут принимать толь-ко неотрицательные значения. Поэтому после возведения в квадрат обеих частей уравнения получаем равносильные уравнения

212 12 1212 2y y y yy y y

− = − − + − ,

2 1212 2y y y yy

+ − = − .


Если обе части уравнения разделить на y , а затем обозначить

12y zy

− = , то получаем 12 121 2y yy y

+ − = − или 2 1 2z z+ = . Отсюда

следует, что 1 1z = , 12 1yy

− = или 1 4y = .

Поскольку 2x y= , то 2 4x = , т. е. 1 2x = − и 2 2y = .

♦ Ответ: 1 2x = − , 2 2x = .


22 3 1 2 2 5 3 3 16x x x x x+ + + = + + + − . (1.8)

Решение. Перепишем уравнение (1.8) в виде

( )( ) ( ) ( )2 3 1 2 2 3 1 2 3 1 20x x x x x x+ + + = + + + + + + − . (1.9)

Положим, что 2 3x u+ = и 1x v+ = , тогда из (1.9) получим урав-нение 2 22 20u v uv u v+ = + + − , где 0u ≥ и 0v ≥ .

Из уравнения 2 22 20u v uv u v+ = + + − получаем квадратное уравне-ние относительно u v+ вида ( ) ( )2 20 0u v u v+ − + − = . Отсюда следует, что 4u v+ = − и 5u v+ = . Так как 0u ≥ и 0v ≥ , то 5u v+ = .

Так как 2 3x u+ = и 1x v+ = , то 2 22 1u v− = . Следовательно, по-лучаем систему уравнений

2 2

5

2 1

u v ,

u v .

+ =⎧⎪⎨⎪ − =⎩

(1.10)

Корнями системы уравнений (1.10) являются 1 3u = , 1 2v = и 2 17u = ,

2 12v = − . Поскольку 0u ≥ и 0v ≥ , то 3u = .

Однако 2 3u x= + , поэтому 3 2 3x= + или 1 3x = .

♦ Ответ: 1 3x = .


2

22

81 409xx

( x )+ =

+. (1.11)


Решение. Для преобразования левой части уравнения (1.11) восполь-зуемся очевидным равенством ( )22 2 2a b a b ab+ = − + . Тогда из уравне-

ния (1.11) вытекает 2 29 18 40

9 9x xx

x x⎛ ⎞− + =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

или

22 218 40 0

9 9x x

x x⎛ ⎞

+ − =⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠. (1.12)

Если в уравнении (1.12) положить 2

9x y

x=

+, то получим уравнение

2 18 40 0y y+ − = , корни которого равны 1 20y = − и 2 2y = . Таким обра-

зом, необходимо рассмотреть два уравнения 2

209

xx

= −+

и 2

29

xx

=+

,

т. е. 2 20 180 0x x+ + = и 2 2 18 0x x− − = . Первое уравнение действитель-ных корней не имеет, а из второго получаем 1 2 1 19,x = ± .

♦ Ответ: 1 1 19x = + , 2 1 19x = − .


2 2

22 2

x xx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠. (1.13)

Решение. Для преобразования левой части уравнения будем исполь-зовать равенство ( )22 2 2a b a b ab+ = + − . В таком случае уравнение (1.13)

примет вид 2

2 22 2 2 2

x x x xx x x x

⎛ ⎞+ − ⋅ ⋅ =⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠ или

22 2

2 22 2 2

4 4x x

x x

⎛ ⎞− ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

. (1.14)

В уравнении (1.14) положим, что 2

22

4x y

x=

−, и получим квадратное

уравнение 2 2 0y y− − = , корнями которого являются 1 1y = − и 2 2y = .

Так как 2

22

4x y

x=

−, то рассмотрим два уравнения.


1. Если 1 1y = − , то 2

22 1

4x

x= −

−, 23 4x = или 1 2

2 33,x = ± .

2. Если 2 2y = , то 2

22 2

4x

x=

−. Очевидно, данное уравнение корней не

имеет.

♦ Ответ: 12 3

3x = , 2

2 33

x = − .


2

248 410

3 3x x

xx⎛ ⎞+ = ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

. (1.15)

Решение. Введем новую переменную 43xy

x= − . Поскольку левая

часть уравнения (1.15) строго положительна, то 0y > .

Так как 2 2

22

4 8 163 9 3x xy

x x⎛ ⎞= − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

или 2

22

48 3 83x y

x+ = + , то урав-

нение (1.15) можно переписать как 23 8 10y y+ = или

23 10 8 0y y− + = . (1.16)

Квадратное уравнение (1.16) имеет два положительных корня 143

y =

и 2 2y = . Так как 43xy

x= − , то для получения корней уравнения (1.15)

необходимо рассмотреть совокупность двух уравнений относительно пе-

ременной x , вида 4 43 3x

x− = и 4 2

3x

x− = или 2 4 12 0x x− − = и

2 6 12 0x x− − = . Отсюда получаем четыре корня уравнения (1.15) вида 1 2x = − , 2 6x = ,

3 3 21x = − и 4 3 21x = + .

♦ Ответ: 1 2x = − , 2 6x = , 3 3 21x = − , 4 3 21x = + .


Примечание. Рассмотрим несколько иной метод решения уравнения (1.15). Для этого обе части уравнения разделим на 3 и получим

2

216 10 4

9 3 3x x

xx⎛ ⎞+ = ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

. (1.17)

Как и при решении уравнения (1.11) воспользуемся равенством

( )22 2 2a b a b ab+ = − + и уравнение (1.15) перепишем в виде 24 4 10 42

3 3 3 3x x x

x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + ⋅ ⋅ = ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

или

24 10 4 8 0

3 3 3 3x x

x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − ⋅ − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. (1.18)

Если ввести новую переменную 43xy

x= − , то из уравнения (1.18) получаем

известное уравнение (1.16).


4 3 28 17 8 1 0x x x x− + − + = . (1.19)

Решение. Нетрудно убедиться, что подбором найти корни уравне-ния (1.19) практически невозможно. Также очевидно, что 0x ≠ (в про-тивном случае после подстановки 0x = в уравнение (1.19) получили бы противоречие).

Так как 0x ≠ , то обе части уравнения (1.19) разделим на 2x и преоб-разуем его к виду

22

1 18 17 0x xxx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠. (1.20)

Положим, что 1x yx

+ = , тогда 2 22

1 2x yx

+ = − и из (1.20) получаем

квадратное уравнение 2 8 15 0y y− + = , корнями которого являются 1 3y = и 2 5y = .

Далее, рассмотрим два уравнения 1 3xx

+ = и 1 5xx

+ = , т. е. x2 – 3х +

+ 1 = 0 и 2 5 1 0x x− + = . Корнями первого из этих уравнений являются

1 23 5

2,x ±= , а второго — 3 4

5 212,x ±

=


♦ Ответ: 13 5

2x += , 2

3 52

x −= , 3

5 212

x += , 4

5 212

x −= .

Примечание. Уравнения вида (1.19) называются симметрическими урав-нениями четвертой степени.


4 3 22 3 3 3 2 0x x x x+ − − + = . (1.21)

Решение. Первоначально убедимся в том, что 0x = не является корнем исходного уравнения, а затем разделим обе части уравнения (1.21) на 2x и получим равносильное уравнение

22

1 12 3 3 0x xxx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠. (1.22)

Обозначим 1x yx

− = , тогда 2 22

1 2x yx

+ = + и из (1.22) получаем

квадратное уравнение относительно переменной y вида 22 3 1 0y y+ + = ,

корнями которого являются 112

y = − и 2 1y = − . Далее, рассмотрим два

случая.

1. Если 1 12

xx

− = − , тогда 22 2 0x x+ − = и 1 21 17

4,x − ±= .

2. Если 1 1xx

− = − , тогда 2 1 0x x+ − = и 3 41 5

2,x − ±= .

♦ Ответ: 11 17

4x − += , 2

1 174

x − −= , 3

1 52

x − += , 4

1 52

x − −= .

Примечание. Уравнения вида (1.21) называются возвратными уравне-ниями четвертой степени.


( )

4

2

1 41151

xx x

+=

+. (1.23)


Решение. Поскольку 0x ≠ , то числитель и знаменатель левой части уравнения (1.23) можно разделить на 2x . Тогда

22

141

1 15

xx

xx

+=

+. (1.24)

Если положить 1x yx

+ = , то 2 22

1 2x yx

+ = − и из (1.24) получаем

2 2 4115

yy−

= или 215 41 30 0y y− − = . Корнями последнего уравнения яв-

ляются 1103

y = и 235

y = − .

Так как 1y xx

= + , то согласно неравенству Коши (см. раздел 3), име-

ем 2y ≥ . Поэтому при решении данного примера необходимо рассмот-

реть только одно уравнение 1 103

xx

+ = , т. е. 23 10 3 0x x− + = , корнями ко-

торого являются 1 3x = и 213

x = .

♦ Ответ: 1 3x = , 213

x = .


3 26 20 12 0x x x− − + = . (1.25)

Решение. Если левую часть уравнения (1.25) умножить на 12

x + , то

получим симметрическое уравнение четвертой степени

4 3 2416 2 2 6 02

x x x x+ − + + = . (1.26)

Так как 0x = не является корнем уравнения (1.26), то обе его части разделим на 2x и получим

22

1 1 416 2 02

x xxx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠. (1.27)


Положим 1x yx

+ = , тогда 2 22

1 2x yx

+ = − и из (1.27) следует урав-

нение 212 4 65 0y y+ − = , корнями которого являются 1136

y = и 252

y = − .

Рассмотрим два случая.

1. Если 1 136

xx

+ = , то 26 13 6 0x x− + = и 132

x = , 223

x = .

2. Если 1 52

xx

+ = − , то 22 5 2 0x x+ + = и 3 2x = − , 412

x = − .

Уравнение третьей степени (1.25) может иметь не более трех дей-ствительных корней. Поэтому хотя бы одно из найденных значений

1 2 3 4x , x , x , x является лишним.

Так как при значении 12

x = − сомножитель 12

x + обращается в ноль,

то корень 412

x = − является для уравнения (1.25) посторонним.

♦ Ответ: 132

x = , 223

x = , 3 2x = − .


6 5 4 3 23 2 3 2 3 1 0x x x x x x− + − + − + = . (1.28)

Решение. Первоначально убедимся, что 0x = не является корнем уравнения (1.28). Положим 0x ≠ и разделим обе части уравнения (1.28) на 3x . Тогда получим

3 23 2

1 1 13 2 3 0x x xxx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + + − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠. (1.29)

Пусть 1x yx

+ = , тогда

33 3

31 1 13 3x x x y y

x xx⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + − ⋅ + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

22 2

21 1 2 2x x y

xx⎛ ⎞+ = + − = −⎜ ⎟⎝ ⎠


и уравнение (1.29) принимает вид ( )3 23 3 2 2 3 0y y y y− − − + − = ,

3 23 3 0y y y− − + = или ( )( )2 1 3 0y y− − = . Отсюда получаем корни куби-

ческого уравнения 1 2 1,y = ± и 3 3y = .

Так как 1y xx

= + , то согласно неравенству Коши (см. раздел 3) име-

ет место неравенство 2y ≥ . В этой связи необходимо рассмотреть толь-

ко одно уравнение, а именно 1 3xx

+ = или 2 3 1 0x x− + = . Корнями по-

следнего уравнения являются 1 23 5

2,x ±= .

♦ Ответ: 13 5

2x += , 2

3 52

x −= .

Примечание. Уравнения вида (1.28) называются симметрическими урав-нениями шестой степени.


6 5 4 3 22 6 4 6 2 1 0x x x x x x− − + + − − = . (1.30)

Решение. Так как 0x ≠ (в этом можно легко убедиться), то обе части уравнения (1.30) можно разделить на 3x . Тогда

3 23 2

1 1 12 6 4 0x x xxx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − − + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠. (1.31)


− = , тогда

33 3

31 1 13 3x x x y y

x xx⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − + ⋅ − = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

22 2

21 1 2 2x x y

xx⎛ ⎞+ = − + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

и уравнение (1.31) принимает вид ( )3 23 2 2 6 4 0y y y y+ − + − + = или

3 22 3 0y y y− − = . Корнями последнего уравнения являются 1 0y = ,


2 3y = и 3 1y = − . Рассмотрим три уравнения относительно переменной x

вида 1 0xx

− = , 1 3xx

− = и 1 1xx

− = − . Корнями уравнений 2 1 0x − = ,

2 3 1 0x x− − = и 2 1 0x x+ − = являются, соответственно, 1 2 1,x = ± ,

3 43 13

2,x ±= и 5 6

1 52,x − ±

= .

♦ Ответ: 1 1x = , 2 1x = − , 33 13

2x +

= , 43 13

2x −

= , 51 5

2x − +

= ,

61 5

2x − −

= .

Примечание. Уравнения вида (1.30) называются возвратными уравне-ниями шестой степени.


8 7 6 5 4 3 27 4 21 6 21 4 7 1 0x x x x x x x x− + − + − + − + = . (1.32)

Решение. Поскольку 0x = не является корнем уравнения (1.32) (в этом легко убедиться), то обе части уравнения (1.32) можно разделить на 4x и после этого получить равносильное уравнение

4 3 24 3 2

1 1 1 17 4 21 6 0x x x xxx x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + + − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠. (1.33)


+ = , тогда

22 2

21 1 2y x xx x

⎛ ⎞= + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

, 3

3 33

1 1 13y x x xx xx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

и

44 4 2

4 21 1 14 6y x x xx x x

⎛ ⎞⎛ ⎞= + = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Отсюда получаем 2 22

1 2x yx

+ = − , 3 33

1 3x y yx

+ = − и 44

1xx

+ =

( )4 2 4 24 2 6 4 2y y y y= − − − = − + .

В этой связи уравнение (1.33) принимает вид


( ) ( ) ( )4 2 3 24 2 7 3 4 2 21 6 0y y y y y y− + − − + − − + = .

Отсюда вытекает уравнение 4 37 0y y− = , корнями которого являют-

ся 1 0y = и 2 7y = . Так как 1y xx

= + , то согласно неравенству Коши

(см. раздел 3) имеем 2y ≤ − или 2y ≥ . Следовательно, требуется рассмот-

реть только одно уравнение 1 7xx

+ = , которое имеет корни 1 27 3 5

2,x ±= .

♦ Ответ: 17 3 5

2x += , 2

7 3 52

x −= .

Примечание. Уравнения вида (1.32) называются симметрическими урав-нениями восьмой степени.


( )22 3 24 8 3 14 24 0x x x x x+ + + + + = . (1.34)


( ) ( )22 2 24 8 3 4 8 2 0x x x x x x+ + + + + + = . (1.35)

Так как 0x = не является корнем уравнения (1.35), то разделим обе части уравнения (1.35) на 2x и получим равносильное ему уравнение

22 24 8 4 83 2 0x x x x

x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +

+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. (1.36)

Введем новую переменную 2 4 8x xy

x+ +

= и из уравнения (1.36) по-

лучим уравнение 2 3 2 0y y+ + = , корнями которого являются 1 1y = − и

2 2y = − . Рассмотрим два уравнения относительно переменной x ,

т. е. 2 4 8 1x x

x+ +

= − и 2 4 8 2x x

x+ +

= − . Первое уравнение действительных

корней не имеет, а второе уравнение имеет два корня 1 2x = − и 2 4x = − .

♦ Ответ: 1 2x = − , 2 4x = − .


Примечание. Уравнение вида (1.35) называется однородным уравнением второй степени.


( ) ( )22 26 9 4 9x x x x x− − = − − . (1.37)

Решение. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что 0x = не является корнем уравнения (1.37).

Пусть 0x ≠ , тогда разделим обе части уравнения (1.37) на 2x и по-лучим

29 96 4x x

x x⎛ ⎞− − = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

. (1.38)


− − = , тогда уравнение (1.38) принимает вид

2 2y y= + , откуда получаем 1 1y = − и 2 2y = .

Так как 96x yx

− − = и 1 1y = − , 2 2y = , то необходимо рассмотреть

два уравнения 96 1xx

− − = − и 96 2xx

− − = . Первое уравнение имеет корни

1 25 61

2,x ±= , а корнями второго уравнения являются 3 1x = − и 4 9x = .

♦ Ответ: 15 61

2x += , 2

5 612

x −= , 3 1x = − , 4 9x = .


( )( )( )( ) 21 2 4 8 10x x x x x− − − − = . (1.39)

Решение. Преобразуем левую часть уравнения (1.39) следующим об-разом:

( )( )( )( )

( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( )2 2

1 2 4 8

1 8 2 4

9 8 6 8

x x x x

x x x x

x x x x .

− − − − =

= − − ⋅ − − =

= − + − +


Следовательно, уравнение (1.39) равносильно уравнению

( )( )2 2 29 8 6 8 10x x x x x .− + − + = (1.40)

Поскольку 0x = не является корнем уравнения (1.40), то обе его час-ти можно разделить на 2x . Тогда

8 89 6 10x x .x x

⎛ ⎞⎛ ⎞− + − + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Пусть 89x yx

− + = , тогда ( )3 10y y + = или 2 3 10 0y y+ − = . Корня-

ми последнего уравнения являются 1 2y = и 2 5y = − . Рассмотрим два уравнения относительно переменной x ,

т. е. 89 2xx

− + = и 89 5xx

− + = − . Отсюда получаем два квадратных урав-

нения 2 11 8 0x x− + = и 2 4 8 0x x− + = . Корнями первого уравнения явля-

ются 1 211 89

2,x ±= , а второе уравнение корней не имеет.

♦ Ответ: 111 89

2x += , 2

11 892

x −= .


2 22 13 6

2 5 3 2 3x x .

x x x x+ =

− + + + (1.41)

Решение. Первоначально убедимся, что 0x = не является корнем уравнения (1.41). Далее, положим 0x ≠ и разделим на x числитель и зна-менатель обеих дробей левой части уравнения. Тогда получим уравнение

2 13 63 32 5 2 1

.x x

x x

+ =− + + +

(1.42)

Введем новую переменную 32x yx

+ = . Тогда из (1.42) следует урав-

нение 2 13 65 1y y+ =

− +, которое равносильно квадратному уравнению


22 13 11 0y y− + = . Корнями последнего уравнения являются 1112

y = и

2 1y = . Для нахождения корней уравнения (1.41) необходимо рассмотреть

два уравнения 3 1122

xx

+ = и 32 1xx

+ = , которые можно переписать в бо-

лее удобном для решения виде, т. е. 24 11 6 0x x− + = и 22 3 0x x− + = .

Корнями первого уравнения являются 1 2x = и 234

x = , а второе уравнение

корней не имеет.

♦ Ответ: 1 2x = , 234

x = .


( ) ( )2 2 3 23 329 1 7 30 29x x x x .− + − = − − + (1.43)


( ) ( ) ( )( )2 23 3 329 1 7 29 1x x x x .− + − = − − − (1.44)

Если обозначить 3 29x u− = и 3 1x v− = , то отсюда и из уравнения (1.44) следует система уравнений

3 3

2 2

28

7

u v ,

u v uv.

⎧ − = −⎪⎨⎪ + = −⎩

(1.45)

Из первого уравнения системы (1.45) получаем уравнение

( )( )2 2 28u v u uv v− + + = − . Если принять во внимание второе уравнение

системы, то ( )( )7 28u v uv uv− − + = − или 4u v− = − . Следовательно, имеет место 4v u= + . Подставим выражение 4v u= +

во второе уравнение системы (1.45) и получим

( ) ( )22 4 7 4u u u u ,+ + = − +

т. е. 2 4 3 0u u+ + = и 1 3u = − , 2 1u = − .

Так как 3 29x u− = и 1 3u = − , 2 1u = − , то требуется рассмотреть два

уравнения относительно переменной x , т. е. 3 29 3x − = − и 3 29 1x − = − . Отсюда нетрудно получить 1 2x = и 2 28x = .


♦ Ответ: 1 2x = , 2 28x = .


31 2 6 2x x .+ − − = (1.46)

Решение. Введем новые переменные u и v следующим образом: 1x u+ = и 3 2 6x v− = . В таком случае уравнение (1.46) принимает вид

2u v− = , где 0u ≥ . Так как 2 1u x= + и 3 2 6v x= − , то 3 22 8v u− = − . Следовательно, имеем систему уравнений

3 2

2

2 8

u v ,

v u ,

− =⎧⎪⎨⎪ − = −⎩

(1.47)

где 0u ≥ . Из первого уравнения системы (1.47) следует 2u v= + . Тогда из вто-

рого уравнения получаем кубическое уравнение относительно перемен-ной v вида 3 22 8 0v v v− − = , корнями которого являются 1 0v = , 2 2v = − и 3 4v = . Так как 2u v= + , то 1 2u = , 2 0u = и 3 6u = , т. е. требуемое не-

равенство 0u ≥ выполняется. Поскольку 1x u+ = , то 2 1x u= − и 2

1 1 1 3x u= − = , 22 2 1 1x u= − = − , 2

3 3 1 35x u= − = .

♦ Ответ: 1 3x = , 2 1x = − , 3 35x = .


( ) ( )3 3

3 3

34 1 1 3430

34 1x x x x

.x x

− + − + −=

− − + (1.48)

Решение. Введем новые переменные 3 34 x u− = и 3 1x v+ = , тогда

из уравнения (1.48) имеем u v≠ и 3 3

30u v uvu v−

=−

или ( ) 30uv u v⋅ + = .

Так как 3 34u x= − и 3 1v x= + , то 3 3 35u v+ = . Известно, что

( ) ( )3 3 3 3u v u v uv u v+ = + + ⋅ + . Отсюда с учетом, что 3 3 35u v+ = и

( ) 30uv u v⋅ + = , получаем ( ) ( )3 3 3 3 35 3 30 125u v u v uv u v+ = + + ⋅ + = + ⋅ = , т. е. 5u v+ = .


Поскольку ( ) 30uv u v⋅ + = и 5u v+ = , то 6uv = . Корнями системы

уравнений 5

6

u v ,

uv

+ =⎧⎪⎨

=⎪⎩ являются 1 2u = , 1 3v = и 2 3u = , 2 2v = . Очевидно,

что здесь неравенство u v≠ выполняется. Так как 3 34 x u− = и 1 2u = , 2 3u = , то 3 34 2x− = и 3 34 3x− = .

Отсюда получаем 1 26x = и 2 7x = .

♦ Ответ: 1 26x = , 2 7x = .


24 4 16 62

x x x x .− + += + − − (1.49)

Решение. Областью допустимых значений переменной x в уравне-нии (1.49) являются 4x ≥ .

Пусть 4 4y x x= − + + , тогда 2 22 2 16y x x= + − и уравне-

ние (1.49) принимает вид 2 12y y= − или 2 12 0y y− − = . Отсюда получа-

ем 1 4y = и 2 3y = − . Так как 4 4y x x= − + + , то 0y > и 1 4y = .

Следовательно, имеем уравнение 4 4 4x x− + + = . После возведе-

ния в квадрат обеих его частей получаем 22 2 16 16x x+ − = или 2 16 8x x− = − . Отсюда следует, что 8x ≤ . Так как 4x ≥ , то корни урав-

нения (1.49) лежат на отрезке 4 8x≤ ≤ .

Возведем в квадрат обе части уравнения 2 16 8x x− = − и получим уравнение ( )22 16 8x x− = − . Отсюда следует 16 80x = или 1 5x = .

♦ Ответ: 1 5x = .


3 33 364 63

1 2x x .x x+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(1.50)

Решение. Обозначим 341

x ux+

⋅ =−

и 32

x vx+

=+

, тогда уравнение (1.50)

принимает вид


3 3 63u v .− = (1.51) Кроме того, имеем

( ) ( )( )( )

23 34 1 331 2 1 2 4

x uvu v x .x x x x

+⎛ ⎞− = + − = =⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠

В таком случае

( )( )

( ) ( )( )

3 3 2 2

2 22 3 93 3 63

4 16

u v u v u uv v

uv u vu v u v uv uv .

− = − + + =

⎛ ⎞= − ⋅ − + = ⋅ + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Пусть y uv= , тогда уравнение (1.51) можно переписать как

23 9 3 634 16y y y

⎛ ⎞⋅ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, 23 7

4 16y y y⎛ ⎞⋅ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, ( )23 16 448y y y+ = ,

3 23 16 448 0y y+ − = . (1.52)

Единственным корнем уравнения (1.52) является 1 4y = . Так как y uv= ,

341

xux+

= ⋅−

и 32

xvx+

=+

, то ( )

( )( )

24 34

1 2x

x x+

=− +

и 1115

x = − .

♦ Ответ: 1115

x = − .


24 4 4x x x .+ − = + (1.53)

Решение. Областью допустимых значений переменной x в уравне-нии (1.53) являются 0 2x≤ ≤ .

Перепишем уравнение (1.53) в виде 24 4 4x x x− = − + или

( )224 2x x .− = − (1.54)

Пусть x y= , тогда 0 2y≤ ≤ и после возведения в квадрат обеих

частей уравнения (1.54) получаем ( )444 2y y− = − или ( )4 42 4y y− + = .


Введем новую переменную ( )2

12

y yz y

− += = − . Тогда уравнение

( )4 42 4y y− + = принимает вид ( ) ( )4 41 1 4z z− + + = . Отсюда следует

биквадратное уравнение 4 26 1 0z z+ − = , корнями которого являются 2 10 3z = − или 1 2 10 3,z = ± − .

Так как 0 2y≤ ≤ и 1z y= − , то 1 2 1z− ≤ ≤ − . Поэтому необходи-мо убедиться в том, что найденные значения 1z и 2z удовлетворяют ус-

ловию 1 2 1z− ≤ ≤ − .

Покажем, что 10 3 2 1− ≤ − . Для этого возведем в квадрат обе части требуемого неравенства. Тогда 10 3 3 2 2− ≤ − , 10 6 2 2≤ − , 10 36 24 2 8≤ − + , 12 2 17≤ или 288 289≤ . Таким образом, получили очевидное неравенство. Следовательно, 1 2 1z ≤ − .

Теперь убедимся в том, что 2 1z ≥ − . Неравенство 10 3 1− − ≥ −

равносильно неравенствам 10 3 1− ≤ , 10 3 1− ≤ или 10 4≤ . Послед-нее неравенство очевидно.

Поскольку 1y z= + и 2x y= , то 1 2 1 10 3,y = ± − и х1,2 =

10 2 2 10 3= − ± − .

♦ Ответ: 1 10 2 2 10 3x = − + − , 2 10 2 2 10 3x = − − − .


2 6 2 18x x x .+ + + = (1.55)

Решение. Пусть 2x y+ = , тогда 0y ≥ и 2 2x y= − . В таком случае

уравнение (1.55) принимает вид ( ) ( )2 22 1 6 18y y y− − + = .

Отсюда получаем 4 23 6 16 0y y y− + − = , ( ) ( )4 16 3 2 0y y y− − − = ,

( ) ( ) ( ) ( )2 4 2 2 3 2 0y y y y y+ + − − − = или

( )( )3 22 2 8 0y y y y .− + + + = (1.56)


Поскольку 0y ≥ , то 3 22 8 0y y y+ + + > . В этой связи из уравне-

ния (1.56) следует, что 1 2y = . Так как 2x y+ = , то 2 2x + = или 1 2x = .

♦ Ответ: 1 2x = .

Примечание. Уравнение (1.55) можно решить другим способом, используя для этого свойства монотонности аналитических функций (см. раздел 4).

Поскольку 2 0x + ≥ , то 2x ≥ − . Пусть 2 0x− ≤ ≤ . Тогда 2 4x ≤ , 0x ≤ , 6 2 6 2x + ≤ и

2 6 2 4 6 2 18x x x+ + + ≤ + < ,

т. е. уравнение (1.55) на отрезке 2 0x− ≤ ≤ корней не имеет. Пусть теперь 0x > . Рассмотрим функцию ( ) 2f x x x= + + 6 2x + .

Очевидно, что на положительной числовой полуоси OX функция ( )y f x=

является непрерывной и возрастающей. Следовательно, уравнение ( ) 18f x = не может иметь более одного положительного корня.

Непосредственным подбором находим единственный положительный корень уравнения (1.55) вида 1 2x = .


( ) ( )( )2 98 7 4 3 12

x x x .+ + + = (1.57)

Решение. Если обе части уравнения (1.57) умножить на 16, то полу-чим ( ) ( )( )28 7 8 6 8 8 72x x x+ + + = .

Положим, что 8 7x y+ = . Тогда приведенное выше уравнение при-

нимает вид ( )( )2 1 1 72y y y− + = или 4 2 72 0y y− − = . Отсюда получаем 2 9y = или 1 3y = , 2 3y = − .

Так как 8 7x y+ = и 1 3y = , 2 3y = − , то 18 7 3x + = , 28 7 3x + = − или

112

x = − , 254

x = − .

♦ Ответ: 112

x = − , 254

x = − .


1.28. Решить уравнение ( )( )2 2 22 2 2 2x x x x x .+ + + + = (1.58)

Решение. Непосредственной подстановкой 0x = в уравнение (1.58) устанавливаем, что 0x = не является его корнем.

Пусть теперь 0x ≠ . Тогда обе части уравнения (1.58) разделим на 2x и получим уравнение

2 21 2 2x x .x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ⋅ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(1.59)

Введем новую переменную 2x yx

+ = , тогда уравнение (1.59) принимает

вид ( )( )1 2 2y y+ + = или 2 3 0y y+ = . Отсюда получаем 1 0y = и 2 3y = − . Рассмотрим два уравнения относительно переменной x .

Если 2 0xx

+ = , то 2 2 0x + = и уравнение корней не имеет.

Если 2 3xx

+ = − , то 2 3 2 0x x+ + = и 1 1x = − , 2 2x = − .

♦ Ответ: 1 1x = − , 2 2x = − .


1 1x x x .+ − − = (1.60)

Решение. Если ввести новые переменные u x= , 1v x= − и w x v= − , то из уравнения (1.60) получаем систему из трех уравнений относительно переменных u,v,w следующим вида:

2 2

2 2

1

1

u w ,

v u ,

w u v ,

+ =⎧⎪⎪ = −⎨⎪⎪ = −⎩

(1.61)

где 0u ≥ , 0v ≥ и 0w ≥ . Из первого и третьего уравнений системы (1.61) следует ( )21 u− =

= 2u v− или 2 1v u= − . Если полученное выражение 2 1v u= − подставить


во второе уравнение системы (1.61), то ( )2 22 1 1u u− = − и 1 0u = , 245

u = .

Однако 1 0u = является посторонним корнем, поскольку при этом

1 12 1 1 0v u= − = − < , а это противоречит определению переменной v .

Так как u x= и 45

u = , то 11625

x = .

♦ Ответ: 11625

x = .


3 1 22 1 2 12 2 1

x xx x .− −+ +− = (1.62)

Решение. Введем новую переменную 2 1x y+ = , тогда 3 12 1

xx−

=+

= 3 5 3 52 2 2y

y y−

= − и 2 5 5 12 1 2 2 2

x yx y y− −

= = −+

. Если при этом еще обозначить

52

zy= , то уравнение (1.62) можно переписать как

3 12 22 2 1

z z− −− = . Пусть

2z u= , тогда получаем уравнение 2 2 12

uu

− = или

2 2 4 0u u ,+ − = (1.63) где 0u > .

Положительным корнем уравнения (1.63) является 1 2u = . Так как

2logz u= , 52

yz

= и 12

yx −= , то 1

12

z = , 1 5y = и 1 2x = .

♦ Ответ: 1 2x = .

Примечание. Существует более простое решение уравнения (1.62). Для этого

надо заметить, что 3 1 2 12 1 2 1

x xx x− −

+ =+ +

. Если при этом обозначить 3 12 1

x yx−

=+

,

то 2 12 1

x yx−

= −+

и уравнение (1.62) примет вид 12 2 1y y−− = . Отсюда легко

получить 2 2y = или 1 1y = .


Поскольку 3 12 1

x yx−

=+

и 1 1y = , то 1

1

3 1 12 1

xx−

=+

или 1 2x = .


2 2 2 44 10 2 2 0x x x x .− +− ⋅ + = (1.64)

Решение. Поскольку 22 0x > , то разделим обе части уравнения (1.64) на 22 x и получим равносильное уравнение

2 22 4 22 10 2 16 0x x x x .− −− ⋅ + = (1.65)

Если положить 2 22x x y− = , то уравнение (1.65) принимает вид квад-

ратного уравнения 2 10 16 0y y− + = , которое имеет положительные корни

1 2y = и 2 8y = .

Так как 2 22x x y− = , то необходимо рассмотреть два уравнения отно-

сительно переменной x вида 2 2 1 0x x− − = и 2 2 3 0x x− − = , решая кото-рые получаем четыре корня исходного уравнения (1.64), а именно

1 2 1 2,x = ± , 3 1x = − и 4 3x = .

♦ Ответ: 1 1 2x = + , 2 1 2x = − , 3 1x = − , 4 3x = .


( ) ( )34 3

2 1log 2 1 1 log 2 .xx x x x++ = + + (1.66)

Решение. Из уравнения (1.66) следует, что 0x > и 1x ≠ . Преобразуем левую и правую части уравнения следующим образом:

( ) ( )3

2 1

3log 2 1 3 log 2 1 ,logxx

xx x

x++ = ⋅ + =

( ) ( )4 3 32 1 2 1 2 1

2 12 1

1 log 2 1 log 2 1 log

3 3 log 3 6 log .

x x x

xx

x x x x

x x

+ + +

++

+ + = + + + =

= + ⋅ = + ⋅

Таким образом, уравнение (1.66) принимает вид

2 12 1

3 3 6 log .log x

xx

x ++

= + ⋅ (1.67)


Введем новую переменную 2 1log x x y+ = , тогда из уравнения (1.67)

следует 3 3 6yy= + или 22 1 0y y+ − = . Корнями квадратного уравнения

являются 1 1y = − и 212

y = .

Так как 2 1log xy x+= и 1 1y = − , 212

y = , то требуется рассмотреть два

уравнения 12 1

xx

=+

, 2 1x x= + или 22 1 0x x+ − = , 2 2 1 0x x− − = .

Решая приведенные выше уравнения и отбирая при этом только по-

ложительные корни, получаем 112

x = и 2 1 2x = + .

♦ Ответ: 112

x = , 2 1 2x = + .

1.33. Решить уравнение ( ) ( )log 2 log 5 6 5 2 .xx x x x x+ − = − + − (1.68)

Решение. Из условия следует, что областью определения переменной x в уравнении (1.68) являются 0x > и 1x ≠ .

Пусть 2y x x= + − . Тогда уравнение (1.68) принимает вид log x y =

( )log 5 6x y= − или ( )2log log 5 6x xy y= − , где 65

y > . Отсюда получаем

квадратное уравнение 2 5 6 0y y− + = , корнями которого являются 1 2y = и 2 3y = .

Так как 2y x x= + − , то рассмотрим совокупность двух уравнений

2 2

2 3

x x ;

x x .

⎡ + − =⎢⎢ + − =⎣

(1.69)

Пусть 0 1x< < или 1 2x< < , тогда 2 2x x− = − + и из первого уравнения совокупности (1.69) получаем очевидное тождество 2 2= , т. е. 0 1x< < и 1 2x< < являются корнями уравнения (1.68).

Пусть 2x ≥ , тогда 2 2x x− = − и из совокупности уравнений (1.69)

получаем 2 2x x+ − = и 2 3x x+ − = , т. е. 1 2x = и 252

x = .


Следовательно, корнями уравнения (1.68) являются произвольные зна-

чения x из интервалов 0 1x< < и 1 2x< ≤ , а также 252

x = .

♦ Ответ: 0 1x< < , 1 2x< ≤ , 252

x = .


2 2sin 2 sin sin 2 sin 3.x x x x+ − + ⋅ − = (1.70)

Решение. Выполним замену переменных, пусть sin x u= и 22 sin x v− = . Так как 1 1u− ≤ ≤ и 1v ≥ , то 0u v+ ≥ . Кроме того, имеем

2 2 2u v+ = . В таком случае из уравнения (1.70) получаем систему уравнений

2 2

3

2

u v uv ,

u v .

+ + =⎧⎪⎨⎪ + =⎩

(1.71)

Если положить u v r+ = и uv s= , то система уравнений (1.71) при-

нимает вид 2

3

2 2

r s ,

r s .

+ =⎧⎪⎨⎪ − =⎩

Поскольку 0u v+ ≥ , то 0r ≥ . Отсюда получаем

2r = и 1s = . Следовательно, имеет место 2u v+ = , 1uv = и 1 1 1u v= = .

Поскольку sinu x= и 1 1u = , то sin 1x = и 1 22

x kπ π= + , где k —

целое число.

♦ Ответ: 1 22

x kπ π= + , где k — целое число.

Примечание. При решении уравнения (1.70) можно выполнить более слож-

ную замену переменных 2sin 2 sinx x y+ − = . Так как

2 2 2 2 2sin 2sin 2 sin 2 sin 2 2sin 2 siny x x x x x x= + ⋅ − + − = + ⋅ − ,

то 2

2 2sin 2 sin2

yx x −⋅ − = и уравнение (1.70) принимает вид

2 2 32

yy −+ = или 2 2 8 0y y+ − = , где 0 2y≤ ≤ .


Подходящим корнем данного уравнения является 1 2y = .

Рассмотрим уравнение 2sin 2 sin 2x x+ − = . Отсюда нетрудно полу-

чить sin 1x = и 1 22

x kπ π= + , где k — целое число.


2 2 3 3tg ctg tg ctg tg ctg 6.x x x x x x+ + + + + = (1.72)

Решение. Пусть tg ctgx x y+ = , тогда 2 2 2tg ctg 2x x y+ = − , 3tg x +

+ 3 3ctg 3x y y= − и уравнение (1.72) принимает вид кубического уравнения

относительно переменной y , т. е. 3 2 2 8 0y y y+ − − = . Так как 3 2y y+ –

( )( )22 8 2 3 4y y y y− − = − + + и 2 3 4 0y y+ + > , то 2 0y − = или 1 2y = .

Так как tg ctg 2x x+ = или 1tg 2tg

xx

+ = , то tg 1x = и 1 4x kπ π= + , где

k — целое число.

♦ Ответ: 1 4x kπ π= + , где k — целое число.


( )32sin 3sin 60 .2x x= + (1.73)

Решение. Пусть 2x y= , тогда 2x y= и уравнение (1.73) примет вид

( )2sin 3 3sin 2 60y y= + . Если положить 30y z+ = , то отсюда получим

последовательность равносильных уравнений

( )2sin 3 90 3sin 2z z− = , 2cos 3 3sin 2z z− = ,

3sin 2 2cos 3 0z z+ = , 3sin cos cos 3 0z z z⋅ + = , 33sin cos 4cos 3cos 0z z z z⋅ + − = ,

( )2cos 3sin 4cos 3 0z z z⋅ + − = , ( )2cos 4sin 3sin 1 0z z z⋅ − − = .


Отсюда следует, что необходимо рассмотреть два уравнения.

1. Если cos 0z = , то 1 90 180z n= + , где n — целое число.

2. Если 24sin 3sin 1 0z z− − = , то sin 1z = и 1sin4

z = − . Так как из ус-

ловия cos 0z = следует sin 1z = (а случай cos 0z = был рассмотрен

выше), то ( ) 12

11 arcsin 1804

kz k+= − + , где k — целое число.

Поскольку 30y z= − и 2x y= , то

1 60 180y n= + , ( ) 12

11 arcsin 30 1804

ky k+= − − + ,

1 120 360x n= + , ( ) 12

11 2arcsin 60 3604

kx k+= − − + .

♦ Ответ: 1 120 360x n= + , ( ) 12

11 2arcsin 60 3604

kx k+= − − + , где

n, k — целые числа.

1.37. Решить неравенство

( ) 168 3 82 8 10

xx x .x+

+ − + <+ −

(1.74)

Решение. Из неравенства (1.74) следует, что 8x ≥ − . Введем новую переменную 8x y+ = . Тогда

( ) ( )228 3 8 8 8 8 16 8 16 4x x x x y y y .+ − + = + − + + = − + = −

Так как 8x y+ = , то 28x y+ = , 216 8x y+ = + и неравенство (1.74) принимает вид

2 84

2 10yy .y+

− <−

(1.75)

Поскольку 4 0y − ≥ , то из неравенства (1.75) следует, что 2 8 0

2 10yy+

>−

, 2 10 0y − > или 5y > . В таком случае 4 4y y− = − и нера-

венство (1.75) принимает вид


2 84

2 10yy .y+

− <−

(1.76)

Если 5y > , то 2 10 0y − > и из неравенства (1.76) получаем ( )4y − ×

× ( ) 22 10 8y y− < + или 2 18 32 0y y− + < , решением которого являются 2 16y< < . Однако 5y > , тогда 5 16y< < .

Однако 8y x= + , тогда 2 8x y= − и 17 248x< < .

♦ Ответ: 17 248x< < .


( )211 1 2 1

2 4 8xxx x .++

− + < − + (1.77)

Решение. Областью допустимых значений переменной x в неравен-

стве (1.77) являются 12

x ≥ . Обозначим 12

x u− = и 14

x v+= . Поскольку

12

x ≥ , то 0u ≥ и 0v ≥ .

В этой связи из неравенства (1.77) следует

2 22 2u v u v .+ < + (1.78) Поскольку 0u v+ ≥ , то можно возвести в квадрат обе части нера-

венства (1.78) и при этом получить равносильное неравенство 2 2 2 22 2 2u uv v u v+ + < + или ( )2 0u v− > . Последнее неравенство верно

всегда, кроме случая, когда u v= .

Пусть u v≠ , т. е. 1 12 4

xx +− ≠ . Отсюда получаем неравенство

2 14 9 0x x− + ≠ или 7 2 10x ≠ ± .

Так как 12

x ≥ , то решением неравенства (1.77) являются 12

x≤ <

7 2 10< + и 7 2 10x > + .

♦ Ответ: 1 7 2 102

x≤ < + , 7 2 10x > + .



25 3 21

33 2

xx

x x .−⋅ ⎛ ⎞≥ + ⎜ ⎟

⎝ ⎠− (1.79)

Решение. Первоначально числитель и знаменатель дроби в левой час-

ти неравенства (1.79) разделим на 2x . Затем обозначим 32

x

y⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

и пере-

пишем неравенство (1.79) в виде ( )5 11

9 1y

y y⋅

≥ +−

. Отсюда следует, что

1y > и

( )

24 9 01

y .y y

−≤

− (1.80)

Решая неравенство (1.80) с учетом того, что 1y > , получаем

312

y< ≤ . Поскольку 32

x

y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, то 3 312 2

x⎛ ⎞< ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

или 0 1x< ≤ .

♦ Ответ: 0 1x< ≤ .


6 22 23 log 7 log .x x− + < + (1.81)

Решение. Обозначим 22log x y= . Тогда неравенство (1.81) принима-

ет вид 7 3 3y y ,+ > − (1.82) где 7y ≥ − .

Представим неравенство (1.82) в виде ( )7 3 7 24y y+ > + − . Если

обозначить 7y z+ = , то имеем неравенство 23 24z z> − , где 0z ≥ .

Решением неравенства 23 24 0z z− − < при условии, что 0z ≥ , явля-

ются 0 3z≤ < . Так как 7y z+ = и 3z < , то 7 3y + < или 2y < .

Итак, имеем 7 2y− ≤ < . Поскольку 22log x y= , то 2

27 log 2x− ≤ <

или 21 4128

x≤ < . Отсюда следует 2216

x− < ≤ − и 2 216

x≤ < .


♦ Ответ: 2216

x− < ≤ − , 2 216

x≤ < .

1.41. Решить систему уравнений

( ) ( )23 2 2

xy x y ,

x y x y .

= −⎧⎪⎨⎪ − = +⎩

(1.83)

Решение. Нетрудно видеть, что 1 10 0x , y= = − корни системы (1.83). Положим, что 0x ≠ и 0y ≠ . Тогда для поиска других корней системы уравнений (1.82) перемножим левые и правые части обоих уравнений дан-ной системы. Тогда получим уравнение

( ) ( )( )23 2 2xy x y x y x y ,− = − +

которое равносильно уравнению

3 2 2 32 4 2 0x x y xy y .− + − = (1.84) Так как 0y ≠ , а уравнение (1.84) является однородным уравнением

третьей степени, то разделим на 3y обе части уравнения (1.84), а затем

обозначим x zy= .

Тогда получим 3 22 4 2 0z z z− + − = или ( )( )22 1 2 0z z− + = . Так как

2 2 0z + > , то 2 1 0z − = или 112

z = .

Поскольку x zy= и 1

12

z = , то 12

xy= . Подставим 2y x= в первое

уравнение системы (1.83) и получим 22 2x x x= − или ( )2 1 0x x + = . Од-

нако 0x ≠ , тогда 212

x = − и 2 22 1y x= = − .

♦ Ответ: 1 10 0x ,y= = ; 2 21 12

x ,y= − = − .


2

2

72

36

x y xy ,

y x xy .

⎧ + =⎪⎨⎪ + =⎩

(1.85)


Решение. Непосредственной подстановкой в уравнения системы (1.85) нетрудно убедиться, что 0x ≠ и 0y ≠ . Далее, умножим второе уравнение

на 2 и вычтем его из первого уравнения, тогда 2 22x y xy y+ − −

2 0x xy− = . Так как 0xy ≠ , то разделим полученное уравнение на xy. Тогда получаем

2 2 0x y y x .y x x y+ − − = (1.86)

Пусть x zy= , тогда из (1.86) получаем уравнение четвертой степени

относительно z вида 4 32 2 0z z z− + − = , которое равносильно уравнению

( )( )32 1 0z z− + = . Поскольку x zy= и 0x ≠ , то 0z > . В этой связи

3 1 0z + > и 1 2z = .

Следовательно, имеем 2xy= и 4x y= . Затем подставим выражение

4x y= во второе уравнение системы (1.85), тогда 2 24 4 36y y y+ = или

2 8 36y y | y | .+ = (1.87)

Если 0y > , то из (1.87) получаем 29 36y = и 1 2y = . Если 0y < , то

| y | y= − и уравнение (1.87) принимает вид уравнения 27 36y− = , которое не имеет корней.

Поскольку 4x y= и 1 2y = , то 1 8x = . Подстановкой найденных зна-чений x и y в уравнения системы (1.85) убеждаемся в том, что 1 8x = и

1 2y = являются ее корнями.

♦ Ответ: 1 8x = , 1 2y = .

Примечание. Равенство 4x y= при решении системы уравнений (1.85) можно получить проще. Для этого данную систему необходимо представить

в виде ( )( )

72,

36,

x x x y y

y x x y y

⎧ + =⎪⎨⎪ + =⎩

а затем первое уравнение системы разделить

на второе уравнение. Тогда получим 2xy= или 4x y= .



1 3 1 5 3

5 5 5 3 5

x y x ,

y y x .

⎧ − − = −⎪⎨⎪ − + − =⎩

(1.88)

Решение. Выполним замену переменных по следующему правилу: 1 3x u− = , 5 3y x v− = и 5 5y w− = . Тогда из системы уравнений

(1.88) следует 1u v= + и 5w v= − , где 0 0u , v≥ ≥ и 0w ≥ .

Так как 2 2 2 1 3 5 3 5 5 4u v w x y x y− − = − − + − + = − и 1u v= + , 5w v= − ,

то получаем ( ) ( )2 221 5 4v v v+ − − − = − , 2 12 20 0v v− + = и 1 2v = , 2 10v = . Если 1 2v = , то 1 3u = и 1 3w = . Отсюда получаем систему уравнений

1 3 9

5 3 4

x ,

y x ,

− =⎧⎪⎨

− =⎪⎩ корнями которой являются 1

83

x = − и 145

y = − . Подста-

новкой убеждаемся, что найденная пара значений 1x и 1y удовлетворяет системе уравнений (1.88).

Если 2 10v = , то 2 11u = и 2 5w = − . Так как 2 0w < , то в этом случае корней нет.

♦ Ответ: 183

x = − , 145

y = − .


3 32 2 3

2 7

x y x y ,

x y .

⎧ + + − + =⎪⎨⎪ + =⎩

(1.89)

Решение. Обозначим 3 2x y u+ = и 3 2x y v− + = . Тогда 3 3u v+ = = 2 2 2 2 9x y x y x y+ + − + = + + = и систему уравнений (1.89) можно пе-реписать в виде

3 3

3

9

u v ,

u v .

+ =⎧⎪⎨⎪ + =⎩

(1.90)

Корнями системы уравнений (1.90) являются 1 11 2u , v= = и 2 2u ,=

2 1v = .


Так как 3 2x y u+ = и 1 21 2u , u= = , то 2 1x y+ = и 2 8x y+ = . Если принять во внимание второе уравнение системы (1.89), то получаем две системы уравнений относительно переменных x,y вида

2 1

2 7

x y ,

x y ,

+ =⎧⎪⎨

+ =⎪⎩

2 8

2 7

x y ,

x y .

+ =⎧⎪⎨

+ =⎪⎩

Первая из двух систем имеет корни 1133

x = , 153

y = − , а из второй

системы получаем 2 2x = , 2 3y = .

♦ Ответ: 1133

x = , 153

y = − ; 2 2x = , 2 3y = .


3 34 4

1 2

3 2

x y ,y x x y

x y x y .

⎧+ = +⎪⎪

⎨⎪⎪ + =⎩

(1.91)

Решение. Очевидно, что 0x ≠ и 0y ≠ . Причем значения перемен-ных x,y имеют одинаковые знаки. В левой части второго уравнения сис-

темы (1.91) вынесем за скобки 2 24 x y xy= , тогда

44

1 2

3 2

x y ,y x x y

x yx y .y x

⎧+ = +⎪

⎪⎪⎨⎪ ⎛ ⎞

⋅ + =⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

(1.92)

Введем новые переменные 4 x uy= и x y v= . Тогда систему урав-

нений (1.92) можно переписать как

22

1 1 2

1 3 2

u ,vu

v u ,u

⎧ + = +⎪⎪⎨

⎛ ⎞⎪ ⋅ + =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

(1.93)

где 0u > и 0v > .


Возведем в квадрат второе уравнение системы (1.93) и воспользуемся первым уравнением, тогда

22 1 18v u

u⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, 2 22

12 18v uu

⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

,

2 1 4 18vv

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

или 24 18 0v v+ − = .

Так как 0v > , то подходящим корнем уравнения 24 18 0v v+ − = яв-ляется 1 2v = . Если найденное значение v подставить во второе уравне-

ние системы (1.93), то получим уравнение 22 3 2 2 0u u− + = и 12

2u = ,

2 2u = .

Так как 4xuy

= и v xy= , то необходимо рассмотреть две системы

уравнений

4 22

2

x ,y

x y

⎧=⎪⎪

⎨⎪

=⎪⎩

и 4 2

2

x ,y

x y .

⎧=⎪⎪

⎨⎪

=⎪⎩

Отсюда получаем относительно простые системы уравнений относи-тельно переменных x и y вида

14

4

x ,y

x y

⎧ =⎪⎨⎪ =⎩

и 4

4

x ,y

x y .

⎧ =⎪⎨⎪ =⎩

Нетрудно установить, что корнями системы уравнений (1.91) являются 1 11 4x , y= − = − ; 2 21 4x , y= = ; 3 34 1x , y= − = − и 4 44 1x , y= = .

♦ Ответ: 1 11 4x , y= − = − ; 2 21 4x , y= = ; 3 34 1x , y= − = − ; 4 44 1x , y= = .


3 3 3

3 3 3

3 3 3

11 0

21 0

3 0

x y z xyz ,

x y z xyz ,

x y z xyz .

⎧ + − − + =⎪⎪ − + − − =⎨⎪⎪ − + + − − =⎩

(1.94)


Решение. Если сложить уравнения системы (1.94), то 3 3 3x y z+ + = 3 13xyz= + . Если затем из полученного уравнения вычесть последова-

тельно третье, второе и первое уравнения системы (1.94), то получим рав-носильную систему уравнений

3

3

3

5

4

12

x xyz ,

y xyz ,

z xyz .

⎧ = +⎪⎪ = −⎨⎪⎪ = +⎩

(1.95)

Перемножим соответственно левые и правые части уравнений систе-мы (1.95) и при этом обозначим xyz u= . Тогда получим уравнения

( )( )( )3 5 4 12u u u u= + − + или 213 8 240 0u u− − = . Корнями квадратного

уравнения являются 1 4u = − и 26013

u = .

Если 1 4u = − , то 1 1 1 4x y z = − и из системы уравнений (1.95) получаем 31 4 5 1x = − + = , 3

1 4 4 8y = − − = − , 31 4 12 8z = − + = или 1 1x = , 1 2y = − , 1 2z = .

Если 26013

u = , то 2 2 26013

x y z = и из системы уравнений (1.95) следует

2 3513

x = , 2 3213

y = , 2 3613

z = .

♦ Ответ: 1 1x = , 1 2y = − , 1 2z = ; 2 3513

x = , 2 3213

y = , 2 3613

z = .

URSS

РАЗДЕЛ 2

Метод тригонометрической подстановки

К числу нестандартных методов решения алгебраических уравнений относится метод, основанный на применении тригонометрической под-становки. Использование такого метода целесообразно в том случае, ко-гда искомые уравнения напоминают известные тригонометрические фор-мулы. Это относится преимущественно к уравнениям (системам уравне-ний), решение которых обычными приемами весьма затруднительно, и которые после введения тригонометрических подстановок сводятся к не-сложным тригонометрическим уравнениям. Суть тригонометрической подстановки состоит в замене неизвестной переменной x тригонометри-ческой функцией, например, cosx ω= или tgx ω= , а также в замене x некоторой функцией, зависящей от sinω , cosω или tgω .

Полученные корни тригонометрических уравнений позволяют нахо-дить корни исходных уравнений, как в тригонометрической, так и в ал-гебраической форме. Следует особо отметить, что тригонометрические уравнения имеют, как правило, бесконечное число корней, а исходные ал-гебраические уравнения — конечное их число.

ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ


( )2 21 2 2 1x x x+ − = − . (2.1)

Решение. Так как областью допустимых значений переменной x в уравнении (2.1) являются 1 1x− ≤ ≤ , то можно сделать замену cosx ω= , где 0 ω π≤ ≤ . В таком случае уравнение (2.1) принимает вид


2cos | sin | 2(2cos 1).ω ω ω+ = − (2.2)

Поскольку 0 ω π≤ ≤ , то sin 0ω ≥ и | sin | sinω ω= . В этой связи из (2.2) получаем

cos sin 2 cos 2ω ω ω+ = ,

( )( )cos sin 2 cos sin cos sinω ω ω ω ω ω+ = + − ,

( )( )cos sin 2 cos 2 sin 1 0ω ω ω ω+ − − = .

Пусть cos sin 0ω ω+ = , тогда tg 1ω = − и 4

nπω π= − + , где n — це-

лое число. Однако 0 ω π≤ ≤ , поэтому 134πω = .

Пусть 2 cos 2 sin 1 0ω ω− − = , тогда

2 2 1sin cos2 2 2

ω ω− = − , 1cos sin sin cos4 4 2π πω ω− = − ,

1sin4 2πω⎛ ⎞− = −⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Отсюда следует ( ) 114 6

k kπ πω π+− = − + или ( ) 114 6

k kπ πω π+= + − + ,

где k — целое число. Так как 0 ω π≤ ≤ , то 2 12πω = .

Поскольку cosx ω= , то 13 2cos4 2

x π= = − и 2

6 2cos12 4

x π += = .

♦ Ответ: 12

2x = − , 2

6 24

x += .


( )( )2 4 28 2 1 8 8 1 1x x x x ,− − + = (2.3)

причем требуются найти только такие корни, которые лежат на интер-вале ( )0 1; .

Решение. Так как 0 1x< < , то можно положить cosx ω= , где

02πω< < . В таком случае уравнение (2.3) можно преобразовать следую-

щим образом:

URSSМетод тригонометрической подстановки 43

( )( )2 4 28cos 2cos 1 8cos 8cos 1 1ω ω ω ω− − + = ,

( )2 28cos cos 2 8cos sin 1 1ω ω ω ω− + = ,

( )28cos cos 2 1 2sin 2 1ω ω ω− = ,

8cos cos 2 cos 4 1.ω ω ω⋅ ⋅ = (2.4)

Далее, умножим обе части уравнения (2.4) на sinω (это можно сде-

лать, так как 02πω< < ) и получим равносильные уравнения

8sin cos cos 2 cos 4 sinω ω ω ω ω⋅ ⋅ ⋅ = ,

4sin 2 cos 2 cos 4 sinω ω ω ω⋅ ⋅ = ,

2sin 4 cos 4 sinω ω ω⋅ = , sin 8 sinω ω= .

Если sin 8 sinω ω= , то ( )8 1 n nω ω π= − + , где n — целое число. Рас-смотрим два случая.

1. Если 2n k= , то 8 2 kω ω π= + или 27

kω π= , где k — целое число.

Поскольку 02πω< < , то 1k = и 1

27πω = .

2. Если 2 1n k= + то ( )8 2 1kω ω π= − + + или ( )2 1

9k π

ω+ ⋅

= , где k —

целое число. Так как 02πω< < , то 0k = , 1k = и 2 9

πω = , 3 3πω = .

Следовательно, уравнение (2.3) имеет лишь три корня, которые лежат

на интервале ( )0 1; , а именно 12cos7

x π= , 2 cos

9x π

= и 31cos

3 2x π= = .

♦ Ответ: 12cos7

x π= , 2 cos

9x π

= , 312

x = .


38 6 1 0x x .− − = (2.5)

Решение. Поскольку 0x = не является корнем уравнения (2.5), то разделим обе его части на 2x . Тогда


2 14 32

x .x

= + (2.6)

Если 1x < − или 1x > , то левая часть уравнения (2.6) будет больше 4, а правая его часть — меньше 4. Следовательно, корни уравнения (2.5) на-ходятся на отрезке 1 1x− ≤ ≤ .

Пусть cosx ω= , где 0 ω π≤ ≤ . Тогда уравнение (2.5) принимает вид три-

гонометрического уравнения 38cos 6cos 1 0ω ω− − = , 3 14cos 3cos2

ω ω− =

или 1cos32

ω = .

Корнями уравнения 1cos32

ω = являются ( )6 19

nπω = ± , где n — це-

лое число. Однако 0 ω π≤ ≤ , поэтому 1 9πω = , 2

59πω = и 3

79πω = . Од-

нако cosx ω= , поэтому 1 cos9

x π= , 2

5cos9

x π= , 3

7cos9

x π= .

♦ Ответ: 1 cos9

x π= , 2

5cos9

x π= , 3

7cos9

x π= .


2

2

512 1

x x .x

+ − =+

(2.7)

Решение. Произведем тригонометрическую замену tgx ω= , где

2 2π πω− < < . В таком случае 2 11

cosx

ω+ = (так как

2 2π πω− < < , то

cos 0ω > ) и уравнение (2.7) принимает вид тригонометрического уравне-

ния 1 5tg coscos 2

ω ωω− = .

Отсюда получаем ( )251 sin 1 sin2

ω ω− = − , 25sin 2sin 3 0ω ω− − = ,

sin 1ω = и 3sin5

ω = − .

Однако 2 2π πω− < < , поэтому 1 sin 1ω− < < . Если 3sin

5ω = − , то

4cos5

ω = и 3tg4

ω = − . Следовательно, имеем 13tg4

x ω= = − .


♦ Ответ: 134

x = − .


2

35121

xx .x

+ =−

(2.8)

Решение. Нетрудно видеть, что 2

0

1

x ,

x

>⎧⎪⎨⎪ >⎩

или 1x > . Выполним замену

1sin

xω

= , где 02πω< < . В таком случае левая часть уравнения (2.8) при-

нимает вид

2

11 1 1sin

sin sin cos1 1sin

ωω ω ω

ω

+ = +−

,

а из уравнения (2.8) вытекает тригонометрическое уравнение вида

( )12 sin cos 35sin cosω ω ω ω⋅ + = ⋅ (2.9)

Сделаем еще одну замену переменных, пусть sin cosz ω ω= + , тогда 2 1sin cos2

zω ω −⋅ = и из (2.9) получаем квадратное уравнение относи-

тельно переменной z , т. е. 235 24 35 0z z− − = , корнями которого являют-

ся 175

z = и 257

z = − . Так как sin cosz ω ω= + и 02πω< < , то 0z > и

7sin cos5

ω ω+ = . С учетом того, что 2 1 12sin cos2 25

zω ω −= = , получаем

систему тригонометрических уравнений

7sin cos ,5

12sin cos .25

ω ω

ω ω

⎧ + =⎪⎪⎨⎪ ⋅ =⎪⎩

(2.10)


Из уравнений системы (2.10) составим квадратное уравнение относи-

тельно sinω вида 225sin 35sin 12 0ω ω− + = и получаем 3sin5

ω = и

4sin5

ω = . Так как 1sin

xω

= , то 153

x = и 254

x = .

♦ Ответ: 153

x = , 254

x = .


2 31 4 3x x x.− = − (2.11)

Решение. Областью допустимых значений уравнения (2.11) являются 1 1x− ≤ ≤ . В этой связи можно воспользоваться тригонометрической под-

становкой cosx ω= , где 0 ω π≤ ≤ . Тогда из уравнения (2.11) следует 2 31 cos 4cos 3cosω ω ω− = − или sin cos3ω ω= . Поскольку 0 ω π≤ ≤ ,

то sin 0ω ≥ и sin cos3ω ω= .

Уравнение равносильно уравнению cos3 cos2πω ω⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

. Отсюда сле-

дует, что 3 22

nπω ω π⎛ ⎞= ± − +⎜ ⎟⎝ ⎠

, где n — целое число.


1. Если 3 22

nπω ω π= − + , то 8 2

nπ πω = + . Так как 0 ω π≤ ≤ , то 1 8πω =

и 258πω = .

2. Если 3 22

nπω ω π= − + + , то 4

nπω π= − + . Однако 0 ω π≤ ≤ , по-

этому 334πω = .

Поскольку cosx ω= , то уравнение (2.11) имеет три корня, значения которых вычисляются по следующим формулам:

1 11 1 2 1cos cos 1 cos 1 2 2

8 2 4 2 2 2x π πω

⎛ ⎞⎛ ⎞= = = ⋅ + = ⋅ + = ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠,


2 25 1 5cos cos 1 cos8 2 4

1 1 2 11 cos 1 2 22 4 2 2 2

x π πω

π

⎛ ⎞= = = − ⋅ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞= − ⋅ − = − ⋅ − = − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 33 2cos cos cos4 4 2

x π πω= = = − = − .

♦ Ответ: 11 2 22

x = + , 21 2 22

x = − − , 32

2x = − .


2 21 2 1 2 1x x x x .− = − + − (2.12)

Решение. Из условия задачи следует, что 1 1x− ≤ ≤ . Положим cosx ω= , где 0 ω π≤ ≤ . Тогда уравнение (2.14) принимает вид

2 21 cos 2cos 1 2cos 1 cosω ω ω ω− = − + ⋅ − или

22 sin 2cos 1 2cos sin .2ω ω ω ω⋅ = − + ⋅ (2.13)

Так как 0 ω π≤ ≤ , то sin sin2 2ω ω

= и sin sinω ω= . В таком случае из

уравнения (2.13) получаем 2 sin cos 2 sin 22ω ω ω= + или 2 sin

2ω=

= 2 sin 24πω⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Поскольку sin 2 sin4 2π ωω⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠, то ( )2 1

4 2n nπ ωω π+ = − ⋅ + , где n —

целое число. Рассмотрим два случая.

1. Если 2n k= , то 2 24 2

kπ ωω π+ = + или 46 3

kπ πω = − + , где k — це-

лое число. Поскольку 0 ω π≤ ≤ , то среди 46 3

kπ πω = − + корней

уравнения (2.13) нет.


2. Если 2 1n k= + , то ( )2 2 14 2

nπ ωω π+ = − + + или 3 410 5

kπ πω = + , k —

целое число. С учетом того, что 0 ω π≤ ≤ , отсюда получаем корень

уравнения (2.13) вида 1310πω = .

Следовательно, единственным корнем уравнения (2.12) является 0

13cos cos5410

x π= = .

Ответ можно оставить в тригонометрической форме, а можно выра-зить в радикалах. Однако для этого необходимо показать, что 0sin18 =

= 6 2 54− , 0 10 2 5cos18

4+

= и 0 10 2 5sin 364−

= . Тогда 01 cos54x = =

= 0 10 2 5sin 364−

= .

♦ Ответ: 110 2 5

4x −= .


2

21 2 1 2 12

x x x .+ −+ = (2.14)

Решение. Поскольку 2 1x ≤ , то положим cosx ω= , где 0 ω π≤ ≤ . Тогда sin 0ω ≥ и уравнение (2.17) принимает вид

21 2sin cos 1 2cos2ω ω ω+

= − (2.15)

или

( )2 2sin cos 2 sin cosω ω ω ω+ = − . (2.16)

Левая часть уравнения (2.15) неотрицательна, поэтому имеем 21 2cos 0ω− ≥ и 2 1cos

2ω ≤ . Так как при этом 0 ω π≤ ≤ , то 3

4 4π πω≤ ≤

и sin cos sin cosω ω ω ω+ = + . Следовательно, из (2.16) получаем

( )( )sin cos 1 2 sin 2 cos 0ω ω ω ω+ − + = .


Пусть sin cos 0ω ω+ = , тогда tg 1ω = − . Так как 34 4π πω≤ ≤ , то

134πω = и 1 1

3 2cos cos cos4 4 2

x π πω= = = − = − .

Пусть 1 2 sin 2 cos 0ω ω− + = , т. е.

2sin cos .2

ω ω− = (2.17)

Так как на отрезке 34 4π πω≤ ≤ имеем sin cosω ω≥ , то левая часть

уравнения (2.17) является неотрицательной. Поэтому после возведения в квадрат обеих его частей получаем равносильные уравнения

11 2sin cos2

ω ω− = или

1sin 22

ω =.

Отсюда следует ( )112 2

n nπ πω = − + , где n — целое число. Условие

34 4π πω≤ ≤ выполняется только при 1n = , т. е. 0

25 7512πω = = и

( )0 0 02

2 3 1 6 2cos 75 cos 30 45 .2 2 2 4

x⎛ ⎞ −

= = + = ⋅ − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Можно показать также, что 22 3

2x −

= .

♦ Ответ: 12

2x = − , 2

6 24

x −= .


( )

2

2 2

111 1

x x .x x

+ + =+ +

(2.18)

Решение. Выполним тригонометрическую подстановку вида tgx ω= ,

где 2 2π πω− < < . Тогда уравнение (2.18) можно переписать в виде триго-

нометрического уравнения


21 tg cos cos .cos

ω ω ωω

+ = ⋅ (2.19)

Так как 2 2π πω− < < , то cos 0ω > и cos cosω ω= . Тогда уравнение

(2.19) принимает вид 31 sin coscos

ω ωω

+= . Отсюда получаем

41 sin cosω ω+ = , ( )2 21 sin 1 sinω ω+ = − ,

( ) ( ) ( )( )21 sin 1 1 sin 1 sin 0ω ω ω+ ⋅ − − ⋅ − = или

( ) ( )2sin 1 sin sin sin 1 0ω ω ω ω⋅ + ⋅ − − = .

Если sin 0ω = , то 1 0ω = и 1 1tg 0x ω= = . Поскольку 2 2π πω− < < , то

1 sin 0ω+ > . Подходящим корнем уравнения 2sin sin 1 0ω ω− − = является

21 5sin

2ω −

= . В таком случае 25 1cos2

ω −= , 2

5 1tg2

ω −= − и

2 25 1tg2

x ω −= = − .

♦ Ответ: 1 0x = , 25 12

x −= − .


2

2

5 6 1 21

x x x .x

− ⋅ − =−

(2.20)

Решение. Областью допустимых значений переменной x в уравне-нии (2.20) являются 1 1x− < < .

Обозначим cosx ω= , где 0 ω π< < . В таком случае уравнение (2.20)

примет вид 5cos 6cos sin 2sin

ω ω ωω

− ⋅ = . Поскольку 0 ω π< < , то sin 0ω > ,

sin sinω ω= и 5cos 6cos sin 2sin

ω ω ωω

− ⋅ = . Отсюда получаем


2 25cos 6cos sin 2sin sin cos

ω ω ωω ω ω

⋅− =

+, 2

6ctg5ctg 21 ctg

ωωω

− =+

или

3 25ctg 2ctg ctg 2 0.ω ω ω− − − = (2.21)

Кубическое уравнение (2.21) имеет один действительный корень

ctg 1ω = . Следовательно, 4

nπω π= + , где n — целое число. Так как

0 ω π< < , то 1 4πω = . Поскольку cosx ω= , то 1 1

2cos2

x ω= = .

♦ Ответ: 12

2x = .


2 2 2 x x.+ − + = (2.22)

Решение. Для определения области допустимых значений перемен-

ной x в уравнении (2.22) рассмотрим систему неравенств 2

2 2 0

x ,

x .

⎧ ≥⎪⎨⎪ − + ≥⎩

Отсюда следует, что 2 2x≤ ≤ .

Поскольку 2 2x≤ ≤ , то обозначим 2cosx ω= , где 04πω≤ ≤ . В та-

ком случае для левой части уравнения (2.22) имеет место следующая це-почка равносильных выражений:

2

22

2 2 2 2 2 2 2cos

2 2 4cos 2 2 2cos2 2

2 4sin 2 2sin 2 sin cos4 4 8 8

2 sin cos 2 cos8 8 8 4

x ω

ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω π

+ − + = + − + =

= + − = + − =

⎛ ⎞= + = + = ⋅ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + = ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


При выполнении приведенных выше преобразований использовался

тот факт, что 04πω≤ ≤ . В данном случае cos 0

2ω≥ , sin 0

4ω≥ и

sin cos 08 8ω ω+ ≥ .

Следовательно, имеем уравнение 2 cos 2cos8 4ω π ω⎛ ⎞⋅ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

, из которо-

го следует, что 28 4

nω πω π⎛ ⎞= ± − +⎜ ⎟⎝ ⎠

, где n — целое число. Так как

04πω≤ ≤ , то 1

29πω = и уравнение (2.22) имеет единственный корень

1 12cos cos9

x πω= = .


x π= .

2.12. Доказать неравенство

( ) 22 22 1 2 1 2x x x ,⋅ − + − ≤ (2.23)

где 1 1x− ≤ ≤ .

Доказательство. Поскольку 1 1x− ≤ ≤ , то можно положить cosx ω= , где 0 ω π≤ ≤ . В таком случае неравенство (2.23) можно переписать в виде

( )222cos | sin | 2cos 1 2.ω ω ω⋅ + − ≤ (2.24)

Так как 0 ω π≤ ≤ , то sin 0ω ≥ , sin sinω ω= и неравенство (2.24)

равносильно неравенству ( )2sin 2 cos 2 2ω ω+ ≤ . Полученное неравен-

ство является очевидным, поскольку sin 2 cos 2 2 sin 24πω ω ω⎛ ⎞+ = ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠,

а 2sin 2 14πω⎛ ⎞+ ≤⎜ ⎟

⎝ ⎠.

2.13. Доказать двойное неравенство

( ) ( )( ) ( )2 2

11 12 21 1

x y xy.

x y

+ ⋅ −− ≤ ≤

+ ⋅ + (2.25)


Доказательство. Пусть tgx α= и tgy β= , где 2 2π πα− < < и

2 2π πβ− < < . В таком случае

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2

1 tg tg 1 tg tg

1 1 1 tg 1 tg

sin cos1cos cos cos cos sin cos sin 2

1 1 2cos cos

x y xy

x y

α β α β

α β

α β α βα β α β α β α β α β

α β

+ ⋅ − + ⋅ − ⋅= =

+ ⋅ + + ⋅ +

+ +⋅

⋅ ⋅= = + ⋅ + = ⋅ +

⋅

Так как ( )1 1 1sin 22 2 2

α β− ≤ ⋅ + ≤ , то неравенство (2.25) доказано.


2

2

2

2

2

2

x x y y,

y y z z,

z z x x.

⎧ + =⎪⎪ + =⎨⎪⎪ + =⎩

(2.26)

Решение. Преобразуем уравнения системы (2.26) к виду

2

2

2

21

21

21

xy ,x

yz ,y

zx .z

⎧=⎪

−⎪⎪⎪ =⎨

−⎪⎪⎪ =⎪⎩ −

(2.27)

Положим, что tgx ω= , где 2 2π πω− < < . В таком случае из системы

уравнений (2.27) следует, что tg2y ω= , tg4z ω= и tg8x ω= . Так как tgx ω= и tg8x ω= , то tg tg8ω ω= . Отсюда следует, что

8 kω ω π= + , т. е. 7

kπω = , где k — целое число. Поскольку 2 2π πω− < < ,

то { }3 2 1 0 1 2 3k , , , , , ,∈ − − − .


Следовательно, система уравнений (2.26) имеет следующие корни:

tg7

2tg7

4tg7

x k ,

y k ,

z k ,

π

π

π

⎧ =⎪⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪⎪ =⎪⎩

где { }3 2 1 0 1 2 3k , , , , , ,∈ − − − .

♦ Ответ: см. выше.


2

2

1 1

1 3

x y ,

y x .

⎧ + − =⎪⎨⎪ + − =⎩

(2.28)

Решение. Так как 1 1x− ≤ ≤ и 1 1y− ≤ ≤ , то можно обозначить

cosx ϕ= и cosy ψ= , где 0 ϕ π≤ ≤ и 0 ψ π≤ ≤ . В таком случае 21 x− =

= sinϕ , 21 siny ψ− = и система (2.28) принимает вид системы тригоно-метрических уравнений

cos sin 1,

cos sin 3.

ϕ ψ

ψ ϕ

+ =⎧⎪⎨⎪ + =⎩

(2.29)

Из системы уравнений (2.29) имеем ( )22cos 1 sinϕ ψ= − и 2sin ϕ =

= ( )23 cosψ− . Поскольку 2 2sin cos 1ϕ ϕ+ = , то

( ) ( )

( )

2 2

2 2

1 3 cos 1 sin

3 2 3 cos cos 1 2sin sin

5 2 sin 3 cos ,

ψ ψ

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ

= − + − =

= − + + − + =

= − +

т. е. sin 3 cos 2ψ ψ+ = или sin 13πψ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠.


Отсюда получаем 26

nπψ π= + , где n — целое число. Поскольку

0 ψ π≤ ≤ , то 1 6πψ = и 1

3cos6 2

y π= = .

Поскольку 13cos

2ψ = и 0 ψ π≤ ≤ , то 1

1sin2

ψ = и из первого уравне-

ния системы (2.29) получаем 1 11 1cos 1 sin 12 2

ϕ ψ= − = − = . Так как cosx ϕ= ,

то 1 11cos2

x ϕ= = .

♦ Ответ: 112

x = , 13

2y = .


( )2

2 2

4 2 1 1

1

xy x ,

x y .

⎧ − =⎪⎨⎪ + =⎩

(2.30)

Решение. Поскольку 2 2 1x y+ = , то обозначим sinx ϕ= и cosy ϕ= , где π ϕ π− ≤ ≤ .

В таком случае первое уравнение системы (2.30) можно записать, как

( )24sin cos 2sin 1 1ϕ ϕ ϕ⋅ ⋅ − = , ( )2sin 2 cos 2 1ϕ ϕ⋅ − = или sin 4 1ϕ = − . Кор-

нями уравнения sin 4 1ϕ = − являются ( )4 18 2 8

n nπ π πϕ = − + = − , где n —

целое число.

Так как π ϕ π− ≤ ≤ , то 158πϕ = − , 2 8

πϕ = − , 338πϕ = и 4

78πϕ = .

С учетом того, что sinx ϕ= и cosy ϕ= , получаем 15sin8

x π= − ,

15cos8

y π= , 2 sin

8x π

= − , 2 cos8

y π= , 3

3sin8

x π= , 3

3cos8

y π= , 4

7sin8

x π=

и 47cos8

y π= .




( )

( )

2

2

2

2

2

1

1

2 1

1 2

11

yx ,

y

z xy ,

z

yz .y

⎧ +⎪ =⎪ +⎪⎪ −⎪ =⎨

−⎪⎪

−⎪ =⎪ +⎪⎩

(2.31)

Решение. Пусть tgy ω= , где 2 2π πω− < < . Тогда из первого и третьего

уравнения системы (2.31) следует ( )2

2

tg 11 sin 2

tg 1x

ωω

ω

+= = +

+ и

2

21 tgtg 1

z ωω

−=

+=

cos 2ω= . Если тригонометрические выражения для переменных x,y,z подставить во второе уравнение системы (2.31), то

( )2 2

2cos 2 1 sin 2 1 2sin 2 cos 2tg tg41 2cos 2 1 2cos 2

ω ω ω ωω ωω ω

⋅ + − ⋅= = = −

− −.

Отсюда следует tg tg4 0ω ω+ = , sin 5 0ω = и 5nπω = , где n — целое

число. Поскольку 2 2π πω− < < , то 1

25πω = − , 2 5

πω = − , 3 0ω = , 4 5πω = и

525πω = .

Так как 1 sin 2x ω= + , tgy ω= и cos 2z ω= , тогда корнями системы

уравнений (2.33) являются 141 sin5

x π= − , 1

25

y π= − , 1

4cos5

z π= ;

221 sin5

x π= − , 2 tg

5y π

= − , 22cos5

z π= ; 3 1x = , 3 0y = , 3 1z = ;

421 sin5

x π= + , 4 tg

5y π

= , 42cos5

z π= ; 5

41 sin5

x π= + , 5

2tg5

y π= ,

54cos5

z π= .




2 21 1 1,

42arcsin 3arcsin .3

x y y x

x y π

⎧ − + − =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩

(2.32)

Решение. Поскольку 1 1x− ≤ ≤ и 1 1y− ≤ ≤ , то положим sinx α= и siny β= , тогда arcsin xα = и arcsin yβ = . Отсюда следует, что

2 2π πα− ≤ ≤ и

2 2π πβ− ≤ ≤ . В таком случае cos 0α ≥ , cos 0β ≥ и сис-

тема уравнений (2.32) принимает вид

sin cos cos sin 1,

42 3 .3

α β α β

α β π

+ =⎧⎪⎨

+ =⎪⎩

(2.33)

Из первого уравнения системы (2.33) получаем ( )sin 1α β+ = . По-

скольку π α β π− ≤ + ≤ , то 2πα β+ = . Следовательно, имеет место сис-

тема уравнений 2

42 33

,

,

πα β

α β π

⎧ + =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩

корнями которой являются 1 6πα = и

1 3πβ = . Так как sinx α= и siny β= , то 1

12

x = и 13

2y = .

♦ Ответ: 112

x = , 13

2y = .


( ) ( )6 63 3

2 2

4 3 4 3 1

1

x x y y ,

x y .

⎧ − + − =⎪⎨⎪ + =⎩

(2.34)

Решение. Так как 2 2 1x y+ = , то представим sinx ω= и cosy ω= , где

0 2ω π≤ < . Однако 3sin 3 4sin 3sinω ω ω= − + и 3cos3 4cos 3cosω ω ω= − ,


поэтому из первого уравнения системы (2.34) получаем тригонометриче-ское уравнение 6 6sin 3 cos 3 1ω ω+ = .

Приведенное выше уравнение преобразуем следующим образом:

( ) ( )

( )

2 2 4 2 2 4

22 2 2 2

2 2

sin 3 cos 3 sin 3 sin 3 cos 3 cos 3 1 ,

sin 3 cos 3 3sin 3 cos 3 1 ,

sin 3 cos 3 0

ω ω ω ω ω ω

ω ω ω ω

ω ω

+ ⋅ − ⋅ + =

+ − ⋅ =

⋅ =

или sin 6 0ω = .

Если sin 6 0ω = , то 6

nπω = , где n — целое число. Так как

0 2ω π≤ < , то 1 0ω = , 2 6πω = , 3 3

πω = , 4 2πω = , 5

23πω = , 6

56πω = ,

7ω π= , 876πω = , 9

43πω = , 10

32πω = , 11

53πω = и 12

116πω = .

Поскольку sinx ω= и cosy ω= , то 1 0x = , 1 1y = ; 212

x = , 23

2y = ;

33

2x = , 3

12

y = ; 4 1x = , 4 0y = ; 53

2x = , 5

12

y = − ; 612

x = , 63

2y = − ;

7 0x = , 7 1y = − ; 812

x = − , 83

2y = − ; 9

32

x = − , 912

y = − ; 10 1x = − ,

10 0y = ; 113

2x = − , 11

12

y = и 1212

x = − , 123

2y = .


2.20. Числа a,b,c,d таковы, что 2 2 1a b+ = , 2 2 1c d+ = и 0ac bd+ = . Вычислить ab cd+ .

Решение. Так как 2 2 1a b+ = и 2 2 1c d+ = , то положим sina α= , cosb α= , sinc β= и cosd β= , где 0 2α π≤ ≤ и 0 2β π≤ ≤ . В таком случае ( )sin sin cos cos cosac bd α β α β α β+ = ⋅ + ⋅ = − . Одна-

ко, по условию 0ac bd+ = , поэтому ( )cos 0α β− = . Поскольку


( ) ( ) ( )

sin cos sin cos

1 sin 2 sin 2 sin cos2

ab cd α α β β

α β α β α β

+ = ⋅ + ⋅ =

= + = + ⋅ −

и ( )cos 0α β− = , то 0ab cd+ = .

♦ Ответ: 0ab cd+ = .

2.21. Числа a,b,c,d таковы, что 2 2 9a b+ = , 2 2 16c d+ = , 12ad bc+ ≥ . Доказать, что 5 5b d− ≤ + ≤ .

Доказательство. Так как 2 2 9a b+ = и 2 2 16c d+ = , то обозначим 3sina α= , 3cosb α= , 4sinc β= и 4cosd β= , где 0 2α π≤ ≤ и

0 2β π≤ ≤ . Тогда ( )12sin cos 12cos sin 12sinad bc α β α β α β+ = ⋅ + ⋅ = + . По ус-

ловию 12ad bc+ ≥ , однако ( )12sin 12α β+ ≤ . Отсюда следует, что

( )12sin 12α β+ = или ( )sin 1α β+ = . Следовательно, 22

nπα β π+ = + ,

где n — целое число. В таком случае

( )

( )

3cos 4cos

3cos 4cos 2 3cos 4sin2

3 45 cos sin 5 cos cos sin sin5 5

5 cos ,

b d

n

α β

πα π α α α

α α ω α ω α

α ω

+ = + =

⎛ ⎞= + + − = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⋅ −

где 3arccos5

ω = .

Так как ( )5 5 cos 5α ω− ≤ ⋅ − ≤ , то 5 5b d− ≤ + ≤ .

2.22. Числа a,b,c таковы, что 1ab ac bc+ + = . Доказать, что

( )( ) ( )2 2 2 2 2 2

41 1 1 1 1 1

a b c abc .a b c a b c

+ + =− − − − − −

(2.35)


Доказательство. Из школьного курса тригонометрии известно сле-дующее утверждение: если x y z π+ + = , то

tg tg tg tg tg tg 1.2 2 2 2 2 2x y x z y z⋅ + ⋅ + ⋅ =

В этой связи из условия задачи 1ab ac bc+ + = можно сделать вывод

о том, что существуют такие числа x, y, z , что tg2xa = , tg

2yb = ,

tg2zc = и x y z π+ + = . Тогда

2 2 2 2

tg sin cos sin tg2 2 22cos 21 1 tg cos sin

2 2 2

x x xa x x

x x x xa

⋅= = = =

− − −

и равенство (2.35) принимает вид tg tg tg tg tg tg42 2 2 2 2 2x y z x y z+ + = ⋅ ⋅ ⋅ или

tg tg tg tg tg tg ,x y z x y z+ + = ⋅ ⋅ (2.36)

где x y z π+ + = .

Так как x y z π+ + = , то ( )z x yπ= − + и выражение (2.36) можно преобразовать следующим образом:

( )( ) ( )( )tg tg tg tg tg tgx y x y x y x yπ π+ + − + = ⋅ ⋅ − + ,

( ) ( )tg tg tg tg tg tgx y x y x y x y+ − + = − ⋅ ⋅ + ,

( )tg tg tg( ) tg tg tgx y x y x y x y+ = + − ⋅ ⋅ + ,

( )( )tg tg tg 1 tg tgx y x y x y+ = + − ⋅

или

( ) tg tgtg1 tg tg

x yx yx y+

+ =− ⋅

.

Поскольку в результате несложных преобразований получили из-вестную формулу тангенса суммы двух углов, то справедливость форму-лы (2.36) доказана. Следовательно, равенство (2.35) также имеет место.

URSSРАЗДЕЛ 3

Методы, основанные на применении численных неравенств

Нестандартными методами в математике являются также методы, в основу которых положено использование известных в математике чис-ленных неравенств (Коши, Бернулли и Коши—Буняковского), изучению которых в общеобразовательной школе не уделяется или почти не уделя-ется никакого внимания. Однако многие математические задачи (особен-но задачи повышенной сложности) эффективно решаются именно такими методами. В этой связи незнание последних может существенно ограни-чить круг успешно решаемых задач.

Первоначально приведем формулировки неравенства Коши, неравен-ства Бернулли и неравенства Коши—Буняковского, а затем проиллюстри-руем их применение на примерах, многие из которых взяты из програм-мы вступительных экзаменов по письменной математике в Белгосуни-верситете.

Неравенство Коши Пусть 1 20, 0, , 0na a a≥ ≥ … ≥ , тогда

1 21 2 ,n n

na a a

a a an

+ +…+≥ … (3.1)

где 2n ≥ . Причем неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда 1 2 na a a= =…= .

В частности, если в (3.1) положить 2n = , то

1 21 2 .

2a a a a+

≥ (3.2)

Это неравенство чаще всего встречается при решении школьных за-дач по математике.


Если в (3.2) положить 1a a= и 21aa

= , где 0a > , то

1 2.aa

+ ≥ (3.3)

Здесь неравенство равносильно равенству лишь при 1a = . Следует отметить, что имеется аналог неравенства (3.3) для отрица-

тельных значений a , а именно, если 0a < , то

1 2aa

+ ≤ − (3.4)

Данное неравенство превращается в равенство при 1a = − .

Неравенство Бернулли

Наиболее распространенным является неравенство Бернулли, которое формулируется в следующей форме: если 1x > − , то для любого нату-рального n имеет место

( )1 1 .nx nx+ ≥ + (3.5)

Причем равенство в (3.5) достигается при 0x = или 1n = . Наряду с (3.5) существует более общее неравенство Бернулли, кото-

рое содержит в себе два неравенства: если 0p < или 1p > , то

( )1 1 ,px px+ ≥ + (3.6)

если 0 1p< < , то

( )1 1 ,px px+ ≤ + (3.7)

где 1x > − . Следует отметить, что равенства в (3.6) и (3.7) имеют место толь-

ко при 0x = . Верно также и обратное утверждение.

Неравенство Коши—Буняковского

Для произвольных 1 2, , , nx x x… и 1 2, , , ny y y… имеет место

( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2 ,n n n nx y x y x y x x x y y y+ +…+ ≤ + +…+ + +…+ (3.8)

где 2n ≥ .

URSSМетоды, основанные на применении численных неравенств 63

Причем равенство в (3.8) достигается в том и только в том случае, ко-гда числа kx и ky пропорциональны, т. е. существует константа a ( )0a ≠ такая, что для всех 1, 2, ,k n= … выполняется равенство k kx ay= .

На основе использования неравенства Коши—Буняковского (3.8) можно доказать неравенство

( ) ( )12 ,n n n na b a b−+ ≤ + (3.9)

которое справедливо для произвольных ( )0a a ≥ , ( )0b b ≥ и натурально-го числа n .

Примечание. Доказательство неравенств (3.1), (3.5), (3.8) и (3.9) приведено, в частности, в учебном пособии Супруна В. П. «Математика для старшекласс-ников: задачи повышенной сложности» (М.: УРСС, 2008). Доказательство обобщенного неравенства Бернулли (3.6), (3.7) (а также дока-зательство других численных неравенств) можно посмотреть в статье Соро-кина Г. А. «Экстремум и неравенства» («Математика в школе», 1997, № 1).



( )( )( )2 2 16 ,a b a b ab+ + + ≥ (3.10)

где 0a ≥ и 0b ≥ .

Доказательство. Используя неравенство Коши (3.1), можно запи-сать 2 2 2a a+ ≥ , 2 2 2b b+ ≥ и 2a b ab+ ≥ .

В таком случае имеет место

( )( )( )2 2 2 2 2 2 2 16a b a b a b ab ab+ + + ≥ ⋅ ⋅ = ,

т. е. неравенство (3.10) доказано.


( ) ( )( )3 3 33 .a b c a b c ab ac bc+ + ≥ + + + + (3.11)

Доказательство. Применяя неравенство Коши (3.1) при 3n = , полу-чаем последовательность неравенств

3 3 3 3a b c abc+ + ≥ , 3 3 3 3a b c abc+ + ≥ ,


3 3 3 3a b c abc+ + ≥ , 3 3 3 23a a b a b+ + ≥ , 3 3 3 23a b b ab+ + ≥ , 3 3 3 23a a c a c+ + ≥ ,

3 3 3 23a c c ac+ + ≥ , 3 3 3 23b b c b c+ + ≥ , 3 3 3 23b c c bc+ + ≥ . Если просуммировать левые и правые части всех приведенных выше

неравенств, то получаем

( ) ( )( )( )

3 3 3 2 2 2 2 2 29 3 3

3 ,

a b c abc a b ab a c ac b c bc

a b c ab ac bc

+ + ≥ ⋅ + + + + + + =

= ⋅ + + + +



( ) ( )( )3 3 3 2 2 23 ,a b c a b c a b c+ + ≥ + + + + (3.12)

Доказательство. Как и при доказательстве предыдущего неравенст-ва, воспользуемся неравенством Коши (3.1) при 3n = , тогда можно напи-сать

3 3 3 23a a b a b+ + ≥ , 3 3 3 23a b b ab+ + ≥ , 3 3 3 23a a c a c+ + ≥ , 3 3 3 23a c c ac+ + ≥ , 3 3 3 23b b c b c+ + ≥ , 3 3 3 23b c c bc+ + ≥ .

Отсюда получаем

( ) ( )3 3 3 2 2 2 2 2 26 3 .a b c a b ab a c ac b c bc+ + ≥ + + + + +

Если к обеим частям приведенного выше неравенства прибавить вы-ражение ( )3 3 33 a b c+ + , то получим

( ) ( )( )( )

3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2

2 2 2

9 3

3 ,

a b c a b c a b ab a c ac b c bc

a b c a b c

+ + ≥ + + + + + + + + =

= + + + +

и тем самым неравенство (3.12) доказано.

3.4. Доказать, что

3 3 3 2 2 2 .a b c a bc b ac c ab+ + ≥ ⋅ + ⋅ + ⋅ (3.13) где 0a ≥ , 0b ≥ и 0c ≥ .


Доказательство. Используя (трижды) неравенство Коши (3.1) при 6n = , получаем

63 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 26 6a a a a b c a a a a b c a bc+ + + + + ≥ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ , 3 3 3 3 3 3 26a b b b b c b ac+ + + + + ≥ ⋅ ⋅ , 3 3 3 3 3 3 26a b c c c c c ab+ + + + + ≥ ⋅ ⋅ .

Если сложить левые и правые части приведенных выше неравенств, то докажем справедливость неравенства (3.13).


5 5 5 5

,a b c dabcda b c d+ + +

≤+ + +

(3.14)

где 0a ≥ , 0b ≥ , 0c ≥ , 0d ≥ и 0a b c d+ + + > .

Доказательство. Так как 0a ≥ , 0b ≥ , 0c ≥ и 0d ≥ , то можно при-менить неравенство Коши (3.1) при 5n = . Тогда

55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 25 5a a b c d a a b c d a bcd+ + + + ≥ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = , 5 5 5 5 5 25a b b c d ab cd+ + + + ≥ , 5 5 5 5 5 25a b c c d abc d+ + + + ≥

и 5 5 5 5 5 25a b c d d abcd+ + + + ≥ . Если сложить приведенные выше неравенства, то

( ) ( )5 5 5 5 2 2 2 25 5a b c d a bcd ab cd abc d abcd+ + + ≥ + + + или

( )5 5 5 5 .a b c d abcd a b c d+ + + ≥ + + + (3.15)

Поскольку 0a b c d+ + + > , то из неравенства (3.15) вытекает требуе-мое неравенство (3.14).

3.6. Доказать, если 1abc = , то

2 2 21 1 1 .a b ca b c

+ + ≥ + + (3.16)

Доказательство. Согласно неравенству Коши (3.2) имеем 2 21 1a b

+ ≥

2ab

≥ . Так как по условию 1 abс cab ab

= = , то 2 21 1 2ca b

+ ≥ . Аналогично

можно показать, что 2 21 1 2ba c

+ ≥ и 2 21 1 2a

b c+ ≥ . Следовательно,


2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 2 2 2 .a b ca b a c b c

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + ≥ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Отсюда вытекает справедливость неравенства (3.16).


4 3 22 1 2 .a a a+ ≥ + (3.17)

Доказательство. Согласно неравенству Коши (3.1) имеем 4 21 2a a+ ≥ и 44 4 4 4 4 4 31 4 1 4a a a a a a a+ + + ≥ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = .

Если сложить приведенные выше неравенства, то получим (3.17).


2 6 31 2 3 .a b ab ab+ + ≥ + (3.18)

Доказательство. Для доказательства (3.18) воспользуемся (дважды) неравенством Коши (3.1) и получим следующие два соотношения:

2 6 2 6 32 2a b a b ab+ ≥ ⋅ = , 2 2 2 6 2 2 2 661 1 6 1 1 6a a a b a a a b ab+ + + + + ≥ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ,

откуда следует 2 6 32a b ab+ ≥ и 2 62 3 6a b ab+ + ≥ . Если сложить приве-денные выше неравенства, то получим неравенство (3.18).


3 2 ,n n n

na b b c c ac a b+ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ≥ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

где 0, 0, 0a b c> > > .

Доказательство. Согласно неравенству Коши (3.1) при 3n = имеем

( ) ( ) ( )

3

33 3

3

2 2 2 83 3 3 3 2 .

n n n n n n

nn nn

a b b c c a a b b c c ac a b c a b

a b b c c a ab bc ca abcabc abc abc

+ + + + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ≥ ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟= ≥ = = ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠



2 2 2

4 4 4 2 2 21 1 1 ,

1 1 1 1 1 1a b c

a b c a b c+ + ≤ + +

+ + + + + + (3.19)

где 2 2 2 3a b c+ + ≤ .

Доказательство. Оценим левую часть неравенства (3.19), используя неравенство Коши (3.3). Имеет место

2 2 2

4 4 4 2 2 22 2 2

1 1 1 1 1 1 3 .1 1 1 2 2 2 21 1 1

a b ca b c a b c

a b c

+ + = + + ≤ + + =+ + + + + +

Для правой части неравенства (3.19) можно записать

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 22 2 23

1 1 11 1 1

3 9 .31 1 1

a b c

a b ca b c

+ + ≥+ + +

≥ ≥+ + ++ + +

Поскольку 2 2 2 3a b c+ + ≤ , то из последнего неравенства получаем

2 2 2 2 2 21 1 1 9 9 3 .

3 3 21 1 1 3a b c a b c+ + ≥ ≥ =

++ + + + + +

Так как левая часть неравенства (3.19) меньше или равна 32

, а правая

часть — не меньше 32

, то неравенство (3.19) доказано.

Примечание. При доказательстве неравенства

2 2 21 1 1 3

21 1 1a b c+ + ≥

+ + +

было использовано неравенство 2

1 2 1 2

1 1 1

n n

na a a a a a+ + + ≥

+ + +…

…,

которое доказывается путем двукратного применения к его левой части не-равенства Коши (3.1).


3.11. Доказать, если 2 2 2 1a b c+ + = , то

( ) 2 ,2

a b c+ ≤ (3.20)

где 0, 0, 0a b c≥ ≥ ≥ .

Доказательство. Согласно неравенству Коши (3.2) имеем 2

2

2a b+ ≥

2ab≥ и 2

2 22

a c ac+ ≥ . Тогда

( )2 2

2 2 2 2 21 2 2 2 .2 2

a aa b c b c ab ac a b c= + + = + + + ≥ + = +

Отсюда следует справедливость неравенства (3.20).


2 2 2 2 2 2 2 2.− + + + + < (3.21)

Доказательство. Преобразуем левую часть неравенства (3.21), ис-пользуя для этого неравенство Коши—Буняковского (3.8), т. е.

( ) ( )

2

2

2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 2 2 1 2 2 2

1 1 2 2 2 2 2 2 2 4 8.

⎛ ⎞− + + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⋅ − + + ⋅ + + ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

≤ + ⋅ − + + + + = ⋅ =

Отсюда следует неравенство

2 2 2 2 2 2 2 2.− + + + + ≤ (3.22) Для доказательства строгого неравенства (3.21) необходимо показать,

что в (3.22) равенства быть не может. Предположим, что

2 2 2 2 2 2 2 2.− + + + + = Это возможно лишь в том случае, когда неравенство Коши—Буня-

ковского (3.8) превратилось в равенство. А это возможно лишь в том слу-

чае, когда 1 1

2 2 2 2 2 2=

− + + +.


Очевидно, что данное равенство неверно (поскольку числители дро-бей совпадают, а знаменатели — нет). Следовательно, неравенство (3.21) доказано.

Примечание. Неравенство (3.21) можно доказать также при помощи нера-венства Бернулли (см. пример 3.25 с более общим условием).


4

4 4 41 1 2 2 ,a b a b+ ≥

+ (3.23)

где 0a > и 0b > .

Доказательство. При доказательстве неравенства (3.23) неравенства будем применять неравенство Коши (3.2).

Имеет место 2a b a b+ ≥ , т. е. 44 82a b ab+ ≥ ⋅ или

4

48

1 2 .ab a b

≥+

(3.24)

Если к левой части неравенства (3.23) применить неравенство Коши (3.2), а затем воспользоваться неравенством (3.24), то получим требуемое

неравенство (3.23), т. е. 4

4 4 48

1 1 2 2 2a b ab a b+ ≥ ≥

+.


2 2

2 2,a ba b+

≥−

(3.25)

где a b> и 1ab = .

Доказательство. Так как a b> , то 0a b− > . Применим к левой час-ти неравенства (3.25) неравенство Коши (3.2). Тогда с учетом того, что

1ab = , получим

( ) ( ) ( )

( )

2 22 2 2 2 2

22 2 2.

a b ab a ba b a ba b a b a b a b

a ba b

− + − ++= = = − + ≥

− − − −

≥ ⋅ − ⋅ =−



2 2

8,1 1

a bb a

+ ≥− −

(3.26)

где 1a > и 1b > .

Доказательство. Пусть 1a x− = и 1b y− = . Так как 1a > и 1b > , то 0, 0x y> > и требуемое неравенство (3.26) можно переписать как

( ) ( )2 21 1

8,x y

y x+ +

+ ≥ (3.27)

где 0x > и 0y > . Поскольку 0x > , то для доказательства неравенства (3.27) можно вос-

пользоваться неравенством Коши (3.2) и при этом получить неравенства 1

2x x+

≥ или ( )21 4x x+ ≥ . Аналогично имеет место ( )21 4y y+ ≥ . Кро-

ме того, известно (3.3), что 2x yy x+ ≥ .

Следовательно, левую часть неравенства (3.27) можно оценить снизу:

( ) ( )2 21 1 4 4 4 4 2 8.x y x y x y

y x y x y x+ + ⎛ ⎞

+ ≥ + = ⋅ + ≥ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Отсюда следует справедливость неравенств (3.27) и (3.26).

3.16. Доказать, если 1a b+ = и 0a > , 0b > , то

2 21 1 25 .

2a b

a b⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.28)

Доказательство. Предварительно запишем два вспомогательных не-

равенства, а именно, ( )22 2 12

x y x y+ ≥ + и ( )2

4x y

xy+

≤ . Оба эти нера-

венства вытекают из неравенства Коши (3.2). Кроме того, эти неравенства можно легко доказать методом от противного.

В таком случае


( )

2 2 2

22 2

2

1 1 1 1 12

1 1 1 1 4 251 1 ,2 2 2 2

a b a ba b a b

a ba bab ab a b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + ≥ ⋅ + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟= ⋅ + + = ⋅ + ≥ ⋅ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



1 11 1 9,a b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.29)

где 0a > , 0b > и 1a b+ = .

Доказательство. Так как 0a > , 0b > и 1a b+ = , то из неравенства

Коши (3.2) вида 2

a b a b+≥ следует, что 1

2a b ≤ или 1 4

a b≥ .

С учетом того, что 1a b+ = и 1 4a b

≥ , преобразуем левую часть не-

равенства (3.29) следующим образом: 1 1 1 1 1 11 1 1 1

1 1 21 1 1 2 4 9.

a ba b a b ab ab ab

ab ab ab

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ + = + + + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + + = + ≥ + ⋅ =



11 1 2 ,n n

na bb a

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

где 0a > и 0b > Доказательство. Воспользуемся (трижды) неравенством Коши (3.2).

Имеет место следующая цепочка преобразований:

1

1 1 2 2

2 2 2 2 .

n nn n

n nn

a b a bb a b a

a bb a

+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + ≥ ⋅ + ⋅ ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟≥ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠



1 1 11 1 1 1,a b cb c a

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞− + − + − + ≤⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.30)

где 0, 0, 0a b c> > > и 1abc = .

Доказательство. Поскольку 1abc = , то переменные , ,a b c можно

представить в виде xay

= , ybz

= и zcx

= . В таком случае неравенство (3.30)

будет равносильно неравенству ( )( )( ) ,x y z y z x z x y xyz− + − + − + ≤ (3.31)

где 0, 0, 0x y z> > > . Введем новые переменные u x y z= − + , v y z x= − + и w z x y= − + ,

тогда 2

u vx += ,

2v wy +

= , 2

u wz += и неравенство (3.31) принимает вид

( )( )( ) 8 ,u v v w u w uvw+ + + ≥ (3.32)

где 0, 0, 0u v w> > > . Справедливость неравенства (3.32) легко следует из неравенства Ко-

ши (3.2), так как 2u v uv+ ≥ , 2v w vw+ ≥ и 2u w uw+ ≥ . Следовательно, требуемое неравенство (3.30) доказано.

Примечание. Доказательство неравенств (3.31), (3.32) могут представлять собой самостоятельные задачи.

3.20. Доказать, если 3 1a b+ = , то

2 2 13 ,4

a b+ ≥ (3.33)

3 3 13 ,16

a b+ ≥ (3.34)

4 4 13 .64

a b+ ≥ (3.35)

Доказательство неравенств (3.33), (3.34), (3.35) будем вести на ос-нове применения неравенства Коши—Буняковского (3.8).

Имеет место


( ) ( )

( )( ) ( )

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 3 1 1 1 1

1 1 1 1 4 3 .

a b a a a b

a a a b a b

= + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ≤

≤ + + + + + + = +

Таким образом, справедливость неравенства (3.33) доказана.

Используя доказанное неравенство 2 2 134

a b+ ≥ , запишем

( )

( )( ) ( )( )

21 3 1 3 1 3 1 322 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

1 316

3 3

a b a a a a a a b b

a a a b a a a b a b a b

⎛ ⎞⎜ ⎟≤ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

≤ + + + + + + = + +

Так как 3 1a b+ = , то отсюда следует неравенство (3.34). Далее, с уче-том неравенства (3.33) получаем

( ) ( )

( ) ( )

2 22 2 2 2 2 2

4 4 4 4 4 4

1 3 1 1 1 116

4 4 3

a b a a a b

a a a b a b

≤ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ≤

≤ + + + = +

т. е. справедливость неравенства (3.35) также доказана.

3.21. Доказать, что если 2 3 3 4x y x y+ ≥ + , то

3 3 2,x y+ ≤ (3.36) где 0x ≥ и 0y ≥ .

Доказательство. Для оценки сверху выражения 3 3x y+ применим неравенство Коши—Буняковского (3.8), т. е.

( ) ( ) ( )23 3

23 3 2 3 4 3 22 2 .x y x x y y x y x y⎛ ⎞⎜ ⎟+ = ⋅ + ⋅ ≤ + ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.37)

Поскольку по условию 3 4 2 3x y x y+ ≤ + , то из (3.37) следует

( ) ( )( )23 3 2 3 3 2x y x y x y+ ≤ + + . Теперь применим неравенство Коши (3.2),

тогда ( )22 3 3 223 3

2x y x yx y

⎛ ⎞+ + ++ ≤ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠.


Отсюда вытекает неравенство 3 3 2 2x y x y+ ≤ + . Далее, согласно неравенству (3.8), имеем

( ) ( ) ( )23 1 3 1

22 2 3 32 2 2 2 .x y x x y y x y x y⎛ ⎞⎜ ⎟+ = ⋅ + ⋅ ≤ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.38)

Так как 3 3 2 2x y x y+ ≤ + , то из неравенства (3.38) получаем 2 2x y x y+ ≤ + .

Затем опять воспользуемся неравенством Коши—Буняковского (3.8). Имеет место

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 2 .x y x y x y x y+ = ⋅ + ⋅ ≤ + ⋅ + = + (3.39)

Однако 2 2x y x y+ ≤ + и 0x y+ ≥ , тогда из (3.39) следует 2x y+ ≤ .

Так как 3 3 2 2x y x y+ ≤ + , 2 2x y x y+ ≤ + и 2x y+ ≤ , то неравенство (3.36) доказано.

3.22. Доказать, что для любого натурального n выполняется неравенство

( ) 2 12 1 ! .nn n −− ≤ (3.40)

Доказательство. Преобразуем левую часть неравенства (3.40), ис-

пользуя неравенство Коши (3.2), записанное в виде 2

2a bab +⎛ ⎞≤ ⎜ ⎟

⎝ ⎠.


( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2

12 2 1

2 1 ! 1 2 2 1

1 2 1 2 2 2 3 2 3 1 1

1 2 1 2 2 2 3 2 3 1 12 2 2 2

.n n

n n

n n n n n n

n n n n nn

n n n− −

− = ⋅ ⋅…⋅ − =

= ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − … − ⋅ + ⋅ ≤

+ − + − + − − + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ⋅ ⋅ ⋅…⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ⋅ =

Примечание. Если 2n ≥ , то неравенство в выражении (3.40) будет строгим.



10 10 105 6 7 .+ < (3.41)

Доказательство. Так как имеет место 10 10 105 6 2 6+ < ⋅ , то для дока-зательства неравенства (3.41) достаточно показать, что

10 102 6 7 .⋅ < (3.42) С помощью неравенства Бернулли (3.6) можно записать

10 107 1 101 1 2.6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ≥ + >⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Отсюда следует справедливость неравенства (3.42). Следовательно, требуемое неравенство (3.41) доказано.


5 55 5 55 5 2 5.a a− + + ≤ (3.43) Доказательство. Воспользуемся неравенством Бернулли (3.7), тогда

получаем 1 1

5 55 55 55 5 5 5

5 55 5 5

5 5 5 1 5 15 5

5 1 5 1 2 5.25 25

a aa a

a a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + = ⋅ − + ⋅ + ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ⋅ − + ⋅ + = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠



( ) ( ) 2 ,kk ka F x a F x a− + + < (3.44)

где 0 ( )F x a< < .

Доказательство. Преобразуем левую часть неравенства (3.44) с ис-пользованием неравенства (3.7), т. е.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1

1 1 2 .

k kk kk k

k k

F x F xa F x a F x a a

a a

F x F xa a

ak ak

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + = ⋅ − + ⋅ + ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞≤ − + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠


Так как по условию ( ) 0F x ≠ , то равенства в неравенстве Бернулли (3.7) не будет, поэтому доказано строгое неравенство (3.44).

3.26. Доказать, если 1 1x > , 2 1x > , …, 1nx > , то

2 11

2 3 1

1 1 1 11 1 1 1 2 .n nx xx x

n

nx x x x

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ + ⋅…⋅ + ⋅ + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Доказательство. Для получения нижней оценки левой части требуе-мого неравенства первоначально воспользуемся неравенством Бернулли (3.6), а затем неравенством Коши (3.2), тогда

2 11

2 3 1

11 2

2 3 1

11 2

2 3 1

1 1 1 11 1 1 1

1 1 1 1

2 2 2 2 2 .

n nx xx x

n

n n

n

nn n

n

x x x x

x xx xx x x x

x xx xx x x x

−

−

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ + ⋅…⋅ + ⋅ + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞≥ + ⋅ + ⋅…⋅ + ⋅ + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

≥ ⋅ ⋅…⋅ ⋅ =

Следовательно, требуемое неравенство доказано.


( ) ( ) ( )100200 20016 1 1 16 .x y xy+ ⋅ + = (3.45)

Решение. Используя неравенство Коши (3.2), можно записать 200 200 10016 1 2 16 8x x x+ ≥ = и 200 200 1001 2 2y y y+ ≥ = , т. е. имеет место

неравенство ( ) ( ) ( )100200 20016 1 1 16x y xy+ ⋅ + ≥ ⋅ .

Отсюда и из уравнения (3.45) следует, что приведенные выше нера-венства Коши обращаются в равенства. А это возможно лишь в том слу-

чае, когда 20016 1x = и 200 1y = . Следовательно, имеем 5012

x = ± и 1y = ± .

♦ Ответ: 1 501

2x = , 1 1y = ; 2 50

1

2x = , 2 1y = − ; 3 50

1

2x = − , 3 1y = и

4 501

2x = − , 4 1y = − .



( )23 325 2 9 4 .x x xx

⋅ + = + (3.46)


( )4 2 23 25 2 9 4 3.x x x⋅ + = + (3.47)

Применим к левой части уравнения (3.47) неравенство Коши (3.1) при 3n = . Тогда

( ) ( )2 2 24 2 23

5 5 2 925 2 9 4 3.

3

x x xx x x

+ + +⋅ + ≤ = +

Если полученное неравенство сравнить с уравнением (3.47), то видно, что примененное выше неравенство Коши превратилось в равенство. А это возможно, когда 2 25 2 9x x= + , т. е. 3x = ± .

Непосредственной проверкой убеждаемся, что найденные значения

1 3x = и 2 3x = − являются корнями уравнения (3.46).

♦ Ответ: 1 3x = , 2 3x = − .


36 2

34 9 4 .2 3

x x x⎛ ⎞+ +⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.48)

Решение. Из уравнения (3.48) следует, что 0x > . Если обе части урав-нения (3.48) разделить на 3x , то

6 32 3 4.

2 3x x

xx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (3.49)

Так как 0x > , то согласно неравенству Коши (3.3) имеем 2 22x

x+ ≥

и 3 23x

x+ ≥ . Отсюда следует, что

6 36 32 3 2 2 72.

2 3x x

xx⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + ≥ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠


Следовательно, уравнение (3.49), а вместе с ним и уравнение (3.48), корней не имеют.

♦ Ответ: корней нет.


21 3 2 1.x x x x+ + − = + (3.50)

Решение. Применим неравенство Коши—Буняковского (3.8) к левой уравнения (3.50) воспользуемся. Тогда

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 3 1 1 3 4 1 .x x x x x x x+ + − ≤ + ⋅ + + − = +

Отсюда следует неравенство 21 3 2 1x x x x+ + − ≤ + . Если полу-ченное неравенство сравнить с уравнением (3.50), то видно, что приме-ненное выше неравенство Коши—Буняковского превращается в равенст-во. А это возможно только в том случае, когда выполняется равенство

11 3x x

x+

=−

. Отсюда следует, что 0 3x< < . Далее, после возведения в

квадрат обеих частей уравнения 3 1x x x− = + получаем

3 23 1 0.x x x− + + = (3.51) Первый корень уравнения (3.51) легко находится подбором и этот

корень равен 1 1x = . Так как ( ) ( )3 2 23 1 1 2 1x x x x x x− + + = − − − , то ос-

тальными корнями уравнения (3.51) являются 2,3 1 2x = ± . Однако 0 3x< < . Поэтому уравнение (3.50) будет иметь только два

корня, а именно, 1 1x = и 2 1 2x = + .

♦ Ответ: 1 1x = , 2 1 2x = + .


4 42 21 1 1 1 4.x x x x− + + + − + + = (3.52)

Решение. Воспользуемся неравенством Бернулли (3.7), тогда левую часть уравнения (3.52) можно переписать в виде


( ) ( ) ( ) ( )1 11 1

2 24 42 2

2 2

1 1 1 1

1 1 1 1 4.2 2 4 4

x x x x

x x x x

− + + + − + + ≤

≤ − + + + − + + =

Если полученное неравенство сравнить с (3.52), то видно, что нера-венство Бернулли обратилось в равенство, а это в данном примере воз-можно лишь только в том случае, когда 0x = .

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что 1 0x = — корень уравнения (3.52).

♦ Ответ: 1 0x = .


4 6

61 1 1 1 .3 24 36x x xx ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.53)

Решение. Применим к левой части уравнения (3.53) неравенство Бер-нулли (3.7), а к правой части — неравенство (3.6), тогда

( )1

126 61 1 1 1 1 1 23 3 6 6x x x xx x⎛ ⎞− + + = − + + ≤ − + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

и 4 6

1 1 1 1 224 36 6 6x x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + ≥ − + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Отсюда следует, что неравенства Бернулли, примененные к обеим час-тям уравнения (3.53), обращаются в равенство, а это возможно лишь в том случае, когда 1 0x = .

♦ Ответ: 1 0x = .


4 42 21 1 1 1 2.x x+ − + − − = (3.54)

Решение. Применим к слагаемым левой части уравнения (3.54) нера-венство Бернулли (3.7) и получим


( ) ( )1 1

4 42 2 2 24 4

2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

1 11 1 2.4 4

x x x x

x x

+ − + − − = + − + − − ≤

− −≤ + + + =

Если полученное неравенство сравнить с уравнением (3.54), то видно, что примененное выше неравенство Бернулли (3.7) обращается в равенст-

во, следовательно, имеем 21 0x− = или 1x = ± .

♦ Ответ: 1 1x = , 2 1x = − .


22 sin 3 cos 3sin 5 cos3 4 cos .x x x x x⋅ + ⋅ = + (3.55)

Решение. Обозначим ( ) 2sin 3 cos 3sin 5 cos3f x x x x x= + и ( )g x =

= 24 cos x+ . Применяя неравенство Коши—Буняковского (3.8), получаем

( ) ( )2 2 2 2 2( ) sin 3 cos 3 4cos 9sin 5 13f x x x x x≤ + ⋅ + ≤ . Отсюда следует, что

( )13 13f x− ≤ ≤ . С другой стороны, имеет место ( ) 4 13g x ≥ > . Так как

( ) ( )f x g x< для любых x , то уравнение (3.55) корней не имеет.



( )2

8 2 2 28 2

1 1sin cos 2 4cos .4sin cos 2

x x xx x

π⎛ ⎞+ ⋅ + = −⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.56)

Решение. Оценим снизу левую часть уравнения (3.56), используя для этого неравенство Коши (3.2). Тогда получаем

( )8 28 2

8 2

8 2

1 1sin cos 2sin cos 2

22 sin cos 2 4.sin cos 2

x xx x

x xx x

⎛ ⎞+ + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

≥ ⋅ ⋅ =⋅


Таким образом, показано, что левая часть уравнения (3.56) больше или равна 4. Так как при этом правая его часть не превосходит 4, получа-ем систему уравнений

( )8 28 2

22 2

1 1sin cos 2 4,sin cos 2

4cos 4.4

x xx x

xπ

⎧ ⎛ ⎞+ + =⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪

⎨⎪

− =⎪⎩

(3.57)

Первое уравнение системы (3.57) свидетельствует о том, что приме-ненное выше неравенство Коши превращается в равенство. В этой связи систему (3.57) можно переписать как

8 2

22 2

sin cos 2 ,

4cos 4.4

x x

xπ

⎧ =⎪⎪⎨⎪ − =⎪⎩

(3.58)

Рассмотрим второе уравнение системы (3.58), из которого следует 2

2cos 14

xπ− = ± или

2

2 ,4

x kπ π− = (3.59)

где { }0, 1, 2, .k ∈ … Возведем в квадрат обе части уравнения (3.59), тогда получим

22 2 2

4x kπ π− = или 2 2 21

4x kπ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠. Так как левая часть равенства может

принимать только неотрицательные значения, то из всех { }0, 1, 2, ...k ∈

здесь допустимо лишь значение 0k = , т. е. 2

x π= ± . Непосредственной

подстановкой в первое уравнение системы (3.57) убеждаемся в том, что

2x π= ± — корни системы уравнений (3.57) и исходного уравнения (3.56).

♦ Ответ: 1 2x π= − , 2 2

x π= .


4 4cos 16sin 8cos sin 2.x y x y+ = ⋅ − (3.60)


Решение. Применим неравенство Коши (3.2) к левой части уравнения (3.60). Тогда

4 4 4 4 2 2cos 16sin 2 16cos sin 8cos sinx y x y x y+ ≥ ⋅ = ⋅ . Отсюда, принимая во внимание уравнение (3.60), получаем неравен-

ство 2 28cos sin 2 8cos sinx y x y⋅ − ≥ ⋅ , из которого следует неравенство

( )22cos sin 1 0x y⋅ − ≤ . Полученное неравенство справедливо лишь тогда, когда

1cos sin .2

x y⋅ = (3.61)

Преобразуем уравнение (3.60) с учетом равенства (3.61) следующим образом:

( )22 2 2 2cos 4sin 8cos sin 8cos sin 2x y x y x y+ − ⋅ = ⋅ − ,

( )22 2 1 1cos 4sin 8 8 24 2

x y+ − ⋅ = ⋅ − ,

( )22 2cos 4sin 4x y+ = , 2 2cos 4sin 2x y+ = ,

( )2cos 2sin 4cos sin 2x y x y+ − ⋅ = ,

( )2 1cos 2sin 4 22

x y+ − ⋅ = , cos 2sin 2x y+ = ± .

Рассмотрим две системы уравнений cos 2sin 2,

1cos sin2

x y

x y

+ =⎧⎪⎨

⋅ =⎪⎩

и cos 2sin 2,

1cos sin .2

x y

x y

+ = −⎧⎪⎨

⋅ =⎪⎩

Из первой системы получаем cos 1,

1sin2

x

y

=⎧⎪⎨

=⎪⎩

или ( )

1

1

2 ,

1 ,6

k

x n

y k

π

π π

=⎧⎪⎨

= − +⎪⎩

а из второй системы следует

cos 1,

1sin2

x

y

= −⎧⎪⎨

= −⎪⎩

или ( )

2

12

(2 1) ,

1 ,6

k

x n

y k

π

π π+

= +⎧⎪⎨

= − +⎪⎩

где ,n k — целые числа.


♦ Ответ: ( )

1

1

2 ,

1 ,6

k

x n

y k

π

π π

=⎧⎪⎨

= − +⎪⎩

( )

2

12

(2 1),

1 .6

k

x n

y k

π

π π+

= +⎧⎪⎨

= − +⎪⎩


4 4sin cos 2 4sin cos .x y x y+ + = ⋅ (3.62)

Решение. Согласно неравенству Коши (3.2), имеет место 4cos x + + 4 2 2cos 2sin cosy x y≥ ⋅ . В таком случае из (3.62) получаем неравенст-

во 2 24sin cos 2 2sin cosx y x y⋅ ≥ + ⋅ . Отсюда следует, что 2 2sin cosx y⋅ −

– 2sin cos 1 0x y⋅ + ≤ , ( )2sin cos 1 0x y⋅ − ≤ или sin cos 1x y⋅ = . Таким обра-зом, из уравнения (3.62) вытекает система уравнений

4 4sin cos 2,

sin cos 1.

x y

x y

⎧ + =⎪⎨⎪ ⋅ =⎩

Из этой системы уравнений следует, что 44

1sin 2sin

xx

+ = . Если при-

нять во внимание неравенство Коши (3.3), то 4sin 1x = или sin 1x = ± . Так как sin 1x = ± и sin cos 1x y⋅ = , то имеем две системы уравнений

sin 1,

cos 1

x

y

=⎧⎪⎨

=⎪⎩ и

sin 1,

cos 1.

x

y

= −⎧⎪⎨

= −⎪⎩

Корнями приведенных выше систем уравнений являются

1

1

(4 1),2

2

x n

y k

π

π

⎧ = +⎪⎨⎪ =⎩

и 2

2

(4 1),2

(2 1),

x r

y l

π

π

⎧ = −⎪⎨⎪ = +⎩

где , , ,n k r l — целые числа.



( )4 4 2 2 2tg tg 2 ctg ctg 3 sin .x y x y x y+ + ⋅ = + + (3.63)


Решение. Для оценки снизу левой части уравнения (3.63) воспользу-емся (дважды) неравенством Коши (3.2), тогда

4 4 2 2 4 4 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

tg tg 2ctg ctg 2 tg tg 2ctg ctg

2 tg tg 2ctg ctg 4 tg tg ctg ctg 4.

x y x y x y x y

x y x y x y x y

+ + ⋅ ≥ ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ ≥ ⋅ ⋅ ⋅ =

Поскольку ( )23 sin 4x y+ + ≤ , то равенство в уравнении (3.63) может быть только в том случае, когда обе его части равны 4. А это возможно лишь при выполнении следующих условий

( )

4 4

2 2 2 2

2

tg tg ,

tg tg ctg ctg ,

sin 1.

x y

x y x y

x y

⎧ =⎪⎪ ⋅ = ⋅⎨⎪⎪ + =⎩

(3.64)

Система уравнений (3.64) равносильна системе

( )

tg tg ,

tg tg 1,

sin 1

x y

x y

x y

⎧ = ±⎪⎪ ⋅ = ±⎨⎪⎪ + = ±⎩

или

,4 2

,4 2

,2

x n

y m

x y l

π π

π π

π π

⎧ = +⎪⎪⎪⎪ = +⎨⎪⎪⎪ + = +⎪⎩

где , ,n m l — целые числа.

Из последней системы уравнений имеем ( )2 2

x y n mπ π+ = + + и

2x y lπ π+ = + . Отсюда следует, что n m+ — четное целое число,

т. е. 2n m k+ = . Тогда корнями уравнения (3.63) являются

( )1 2 1 ,4 2 4

x n nπ π π= + = +

( ) ( )1 2 4 2 14 2 4 2 4

y m k n k nπ π π π π= + = + − = − + ,

где , ,n m k — целые числа.




sin 2sin 2 3 sin 3 .x x x+ = + (3.65)

Решение. Преобразуем уравнение (3.65) следующим образом:

sin sin 2 sin 2 sin 3 3x x x x+ + − = ,

3 52sin cos 2cos sin 32 2 2 2

x xx x ⎛ ⎞⋅ + ⋅ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

,

3 5 3sin cos cos sin2 2 2 2 2

x xx x⋅ − ⋅ = (3.66)

Оценим левую часть уравнения (3.66), используя для этого неравен-ство Коши—Буняковского (3.8). Имеет место

2

2 2 2 2

3 5sin cos cos sin2 2 2 2

3 5sin cos cos sin 2 1 2.2 2 2 2

x xx x

x xx x

⎛ ⎞⋅ − ⋅ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ + ⋅ + ≤ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Отсюда следует, что 3 5sin cos cos sin 22 2 2 2

x xx x⋅ − ⋅ ≤ . Так как 322

< ,

то уравнение (3.66), а вместе с ним и уравнение (3.65), корней не имеет.



( )2 1 sin .2

x xyx+

= (3.67)

Решение. Неравенство Коши, представленное посредством формул

(3.3) и (3.4), можно записать как 1 2aa

+ ≥ , где 0a ≠ .

Поскольку 2 1 1 12 2

x xx x+ ⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠, то

2 1 12

xx+

≥ . Вместе с тем известно,

что ( )sin 1xy ≤ . В этой связи из уравнения (3.67) получаем две системы

уравнений


( )

2 1 1,2

sin 1

xx

xy

⎧ += −⎪⎪

⎨⎪

= −⎪⎩

и

( )

2 1 1,2

sin 1.

xx

xy

⎧ +=⎪⎪

⎨⎪

=⎪⎩

Корнями приведенных выше систем уравнений являются 1 1x = − ,

1 22

y nπ π= + и 2 1x = , 2 22

y nπ π= + , где n — целое число.


3.41. Доказать, если o o0 90x< < , то

1 11 1 5.sin cosx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ + >⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.68)

Доказательство. Так как o o0 90x< < , то sin 0x > и cos 0x > . При-меним (дважды) неравенство Коши (3.2) к левой части неравенства (3.68).

Тогда 1 1 4 4 21 1sin cos sin cos sin 2x x x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ + ≥ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠. Поскольку sin 2 1x ≤

и 4 2 5> , то 4 2 5sin 2x

> и неравенство (3.68) доказано.


135 7 13 5 ,2

x x+ + − < (3.69)

где 7 135 5

x− ≤ ≤ .

Доказательство. Так как 5 7 0x + ≥ и 13 5 0x− ≥ , то условие 7 135 5

x− ≤ ≤ является областью допустимых значений переменной x в

неравенстве (3.69). Для оценки сверху левой части неравенства (3.69) вос-пользуемся неравенством Коши—Буняковского (3.8).

В таком случае имеет место

( ) ( )

( ) ( )

2 2

22 2

5 7 13 5 1 5 7 1 13 5

131 1 5 7 13 5 40 42, 25 .2

x x x x

x x

+ + − = ⋅ + + ⋅ − ≤

⎛ ⎞≤ + ⋅ + + − = < = ⎜ ⎟⎝ ⎠




2 21 1sin cos 22 2

n n

x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.70)

для любого x .

Доказательство. Воспользуемся неравенством (3.9), из которого следует, что ( ) ( )12 nn n na b a b−+ ≥ ⋅ + . Тогда

2 2 1 2 21 1 1 1sin cos 2 sin cos 22 2 2 2

n n nnx x x x−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + ≥ ⋅ + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠,



2 6 27sin cos .256

x x⋅ ≤ (3.71)

Доказательство. Нетрудно показать, что неравенство (3.71) равно-

сильно неравенству 2 64 33 sin cos4

x x⋅ ≤ , доказательство которого будем

вести с использованием неравенства Коши (3.1) при 4n = . Имеет место

2 6 2 2 2 24 4

2 2 2 2

3 sin cos 3 sin cos cos cos

3 sin cos cos cos 3 .4 4

x x x x x x

x x x x

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ≤

+ + +≤ =


3 3sin cos sin cos sin cos .2 2

x y y z z x− ≤ ⋅ + ⋅ + ⋅ ≤ (3.72)

Доказательство. Воспользуемся неравенством Коши—Буняковско- го (3.8), тогда

( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2 2 2 2 2

22 2 2 2

sin cos sin cos sin cos

sin sin cos cos cos sin

sin 2 91 sin 1 cos 2 sin cos 2 .4 4

x y y z z x

x y x y z z

yy y y y

⋅ + ⋅ + ⋅ ≤

≤ + + ⋅ + + =

= + ⋅ + = + ⋅ = + ≤

Отсюда следует справедливость двойного неравенства (3.72).



( ) ( )2 2cos sin2 2 21sin cos 1 sin 2 .

2x x

x x x+ ≤ + (3.73)

Доказательство. Нетрудно видеть, если 2

x kπ= (где k — целое

число), то обе части неравенства (3.73) равны 1, т. е. в таком случае нера-венство (3.73) справедливо.

Пусть теперь 2

x kπ≠ , тогда 20 sin 1x< < и 20 cos 1x< < . Тогда ле-

вую часть неравенства (3.73) можно оценить сверху, используя для этого неравенство Бернулли (3.7). Имеет место

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2cos sin cos sin2 2 2 2

4 4

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

sin cos 1 cos 1 sin

1 cos 1 sin

1 cos 1 cos 1 sin 1 sin

sin 1 cos cos 1 sin

1sin cos 2sin cos 1 sin 2 .2

x x x xx x x x

x x

x x x x

x x x x

x x x x x

+ = − + − ≤

≤ − + − =

= − ⋅ + + − ⋅ + =

= + + + =

= + + = +

Таким образом, неравенство (3.73) доказано.


2 28 25 .x x x− − − ≥ (3.74)

Решение. Областью допустимых значений переменной x в неравен-стве (3.74) являются 2 2 2 2x− ≤ ≤ .

Неравенство (3.74) равносильно неравенству

2 28 25 .x x x− − ≥ − (3.75)

Оценим левую часть неравенства (3.75) с помощью неравенства Ко-ши—Буняковского (3.8). Имеет место

( ) ( )( )( )2

22 2 2 28 1 1 8 16.x x x x− − ≤ + − − + =


Отсюда следует, что левая часть неравенства (3.75) меньше или

равна 4. Однако, если 2 2 2 2x− ≤ ≤ , то 225 25 8 17 4x− ≥ − = > , т. е. правая часть неравенства (3.75) будет строго больше 4.

Отсюда следует, что неравенство (3.74) противоречиво.

♦ Ответ: решений нет.


2 225 7 3.x x x− + + > (3.76)

Решение. Для определения области допустимых значений перемен-ной x в неравенстве (3.76) рассмотрим систему неравенств 225 0x− ≥ и

2 7 0x x+ ≥ , откуда следует, что 0 5x≤ ≤ . Для решения неравенства (3.76) воспользуемся очевидным неравен-

ством (которое можно легко доказать самостоятельно методом от против-ного) вида

( )2 2 2 ,a b a b+ ≥ + (3.77)

где 0a b⋅ ≥ . Причем неравенство (3.77) обращается в равенство тогда и только тогда, когда 0a b⋅ = .


( ) ( ) ( )2

2 2 2 225 7 25 7 25 7 .x x x x x x x− + + ≥ − + + = +

Так как 0 5x≤ ≤ , то ( )22 225 7 25x x x− + + ≥ , т. е. на области до-

пустимых значений переменной x выполняется более сильное неравенст-

во, а именно, 2 225 7 5x x x− + + ≥ . Приведенное выше неравенство означает, что неравенство (3.76)

справедливо для любых x из области ее допустимых значений.

♦ Ответ: 0 5x≤ ≤ .


2 2 23 2 14 23 8 17 25 8.x x x x x x+ + + + ≤ + + (3.78)

Решение. Первоначально заметим, что


( ) ( )2 2 23 2 14 23 8 17 25 8.x x x x x x+ + + + = + +

Отсюда следует, что для определения области допустимых значений переменной x в неравенстве (3.78) необходимо рассмотреть систему не-

равенств 2

2

3 2 0,

14 23 8 0,

x x

x x

⎧ + ≥⎪⎨⎪ + + ≥⎩

из которой следует, что искомой областью

являются 87

x ≤ − или 0x ≥ .

Применим к левой части неравенства (3.78) неравенство (3.77), тогда

( )22 2 23 2 14 23 8 17 25 8x x x x x x+ + + + ≥ + +

или

2 2 23 2 14 23 8 17 25 8.x x x x x x+ + + + ≥ + + .

Если полученное неравенство сравнить с неравенством (3.78), то вид-но, что примененное неравенство (3.77) превратилось в равенство, а это оз-

начает, что ( ) ( )2 23 2 14 23 8 0x x x x+ ⋅ + + = .

Решая уравнения 23 2 0x x+ = и 214 23 8 0x x+ + = , получаем

123

x = − , 2 0x = , 387

x = − и 412

x = − .

Так как областью допустимых значений переменной x в неравенст-

ве (3.78) являются 87

x ≤ − или 0x ≥ , то неравенство (3.78) имеет только

два корня 2 0x = и 387

x = − .

♦ Ответ: 2 0x = , 387

x = − .

3.50. Доказать, если 2xy z< , то

log log ,z yx z< (3.79)

где 0x > , 0y > , 1y ≠ и 1z > .


Доказательство. Рассмотрим функцию от переменных , ,x y z вида log

( , , ) log loglog

zz z

y

xf x y z x yz

= = ⋅ . Применим к представлению функции

( , , )f x y z неравенство Коши (3.2) и получим

( ) ( )22 loglog log, , .

2 4zz z xyx yf x y z +⎛ ⎞≤ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.80)

Так как 2xy z< и 1z > , то ( ) 2log log 2z zxy z< = . Отсюда и из (3.80) следует, что ( , , ) 1f x y z < . Следовательно, неравенство (3.79) доказано.


2 3 4 10,

1 2 3 4 10,

x y z t

x y z t

+ + + =⎧⎪⎨

+ + + =⎪⎩

(3.81)

где 0, 0, 0, 0x y z t> > > > .

Решение. Если сложить левые и правые части обоих уравнений сис-темы (3.81), то получим

1 1 1 12 3 4 20.x y z tx y z t

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.82)

Поскольку 0, 0, 0, 0x y z t> > > > , то можно воспользоваться нера-венством Коши (3.3). Тогда

1 2xx

+ ≥ , 1 2yy

+ ≥ , 1 2zz

+ ≥ , 1 2.tt

+ ≥ (3.83)

Отсюда получаем неравенство

1 1 1 12 3 4 20.x y z tx y z t

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + ≥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Если полученное неравенство сравнить с уравнением (3.82), то видно, что все неравенства (3.83) превращаются в равенства, а это означает, что

1x y z t= = = = .

♦ Ответ: 1 1x = , 1 1y = , 1 1z = , 1 1t = .



2

1,

1 4 2.

x y

x y z

=⎧⎪⎨⎪ + + − =⎩

(3.84)

Решение. Поскольку 22 1 4 2x y z+ = − − ≤ , то 1 2x y≤ + ≤ . Так как по условию 1xy = , а 1 2x y≤ + ≤ , то можно сделать вывод о том, что

0x > и 0y > . Если затем воспользоваться неравенством Коши (3.2), то получим

неравенство 2x y xy+ ≥ . Однако 1xy = , поэтому 2x y+ ≥ . Ранее было установлено, что 1 2x y≤ + ≤ . Следовательно, имеет ме-

сто уравнение 2x y+ = .

Если 2x y+ = и 1xy = , то 1 2xx

+ = . Отсюда получаем 2 2 1 0x x− + = ,

( )21 0x − = или 1 1x = . Так как 1xy = и 1 1x = , то 1 1y = . В таком случае из второго уравне-

ния системы (3.84) следует 21 4 0z− = или 12

z = ± .

♦ Ответ: 1 1 111, 1,2

x y z= = = ; 2 2 211, 1,2

x y z= = = − .

Примечание. Систему уравнений (3.84) можно решить другим способом. Повторяя приведенные выше рассуждения, имеем систему

2,

1,

x y

x y

+ ≤⎧⎪⎨

=⎪⎩ (3.85)

где 0x > и 0y > . Если первое уравнение системы (3.85) возвести в квадрат, а второе

уравнение — умножить на 4− , то получим

2 22 4,

4 4.

x xy y

x y

⎧ + + ≤⎪⎨− = −⎪⎩

(3.86)

Если сложить уравнения системы (3.86), то получим неравенство 2 22 0x xy y− + ≤ или ( )2 0x y− ≤ . Отсюда следует ( )2 0x y− = или x y= .

Так как 2x y+ = и x y= , то 1 1x = и 1 1y = . В таком случае из урав-

нения 21 4 2x y z+ + − = получаем, что 1,212

z = ±



2

3,

95 .4

x y

xy z

+ =⎧⎪⎨

− =⎪⎩

(3.87)

Решение. Поскольку 29 54

xy z= + , то 94

xy ≥ . Отсюда и из первого

уравнения системы (3.87) следует, что 0x > и 0y > . Согласно неравенству Коши (3.2), имеет место неравенство

2x y xy+ ≥ . Однако 3x y+ = , поэтому 2 3xy ≤ или 94

xy ≤ . Ранее бы-

ло показано, что 94

xy ≥ . Следовательно 94

xy = . В таком случае из второ-

го уравнения системы (3.87) получаем 1 0z = . Для нахождения значений x и y рассмотрим систему уравнений

3,

9 ,4

x y

xy

+ =⎧⎪⎨

=⎪⎩

откуда получаем 1 132

x y= = .

♦ Ответ: 1 1 13 3, , 02 2

x y z= = = .

Примечание. Приведем другой способ решения системы уравнений (3.87), основная идея которого была использован при решении системы уравне-ний (3.85).

Имеет место система

3,

9 ,4

x y

xy

+ =⎧⎪⎨

≥⎪⎩

(3.88)

где 0x > и 0y > . Возведем в квадрат первое уравнение системы (3.88) и умножим

второе уравнение на 4− . Тогда получим

2 22 9,

4 9.

x xy y

x y

⎧ + + =⎪⎨⎪− ≤ −⎩

(3.89)


Если сложить уравнения системы (3.89), то получим неравенство 2 22 0x xy y− + ≤ или ( )2 0x y− ≤ . Отсюда следует ( )2 0x y− = или

x y= .

Так как 3x y+ = и x y= , то 132

x = и 132

y = . В таком случае из

уравнения 2 954

xy z− = получаем, что 1 0z = .

3.54. Решить систему

2 2 2 1,

2 2 3.

x y z

x y z

⎧ + + =⎪⎨⎪ + + ≥⎩

(3.90)

Решение. Используя неравенство Коши—Буняковского (3.8), полу-чаем ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 22 2 1 2 2 9x y z x y z+ + ≤ + + ⋅ + + = . Отсюда следует, что

2 2 3x y z+ + ≤ . С учетом неравенства из системы (3.90) получаем равенство

2 2 3x y z+ + = . Другими словами, примененное выше неравенство (3.8) обратилось в равенство, а это означает, что существует константа a та-кая, что x a= , 2y a= и 2z a= . Отсюда и из равенства 2 2 3x y z+ + = получаем уравнение относительно переменной a вида ( ) ( )2 2 2 2a a a+ + =

= 9 3a = , т. е. 13

a = . Следовательно, получаем 113

x = и 1 123

y z= = .

Непосредственной подстановкой в уравнение системы (3.90) убежда-емся, что найденные значения , ,x y z являются ее корнями.

♦ Ответ: 113

x = , 123

y = , 12 .3

z =


2

2

2

2

2

2

2 ,1

2 ,1

2 .1

x zy

y xz

z yx

⎧=⎪

+⎪⎪⎪⎪ =⎨

+⎪⎪⎪ =⎪ +⎪⎩

(3.91)


Решение. Поскольку левая часть каждого из уравнений системы (3.91) не может быть отрицательной, то 0, 0, 0x y z≥ ≥ ≥ .

Нетрудно заметить, что 1 1 10, 0, 0x y z= = = являются корнями системы уравнений (3.91).

Положим, что 0xyz ≠ . Если перемножить уравнения системы, то

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2

8 .1 1 1

x y z xyzx y z

⋅ ⋅=

+ ⋅ + ⋅ + (3.92)

Так как 0xyz ≠ , то обе части уравнения (3.92) можно разделить на xyz . Тогда получим уравнение

( )( )( )2 2 21 1 1 8 .x y z xyz+ + + = (3.93)

Используя неравенство Коши (3.2) получаем цепочку неравенств 21 2x x+ ≥ , 21 2y y+ ≥ , 21 2z z+ ≥ и ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 8x y z xyz+ ⋅ + ⋅ + ≥ . Если

полученное неравенство сравнить с уравнением (3.93), то видно, что все примененные выше неравенства Коши превращаются в равенства, а это означает, что 2 2 21, 1, 1x y z= = = .

♦ Ответ: 1 1 10, 0, 0x y z= = = ; 2 2 21, 1, 1x y z= = = .


( ) ( )1 1 2 ,

1 1 .

x y y x xy

x y y x xy

⎧ − + − =⎪⎨⎪ − + − =⎩

(3.94)

Решение. Из второго уравнения системы следует, что 1x ≥ и 1y ≥ .

Воспользуемся неравенством Коши (3.2). Имеет место 1y − =

= ( ) 1 11 12 2y yy + −

− ≤ = и 12xyx y − ≤ . Аналогично получаем 1y x − ≤

2xy

≤ и тогда 1 1x y y x xy− + − ≤ . Если полученное неравенство срав-

нить со вторым уравнением системы (3.94), то можно сделать вывод о том, что примененные выше неравенства Коши превратились в равенства, а это возможно только тогда, когда 1 1y= − и 1 1x= − , т. е. 1 2x = и

1 2y = .


Подставляя полученные значения x и y в первое уравнение систе- мы (3.94) убеждаемся, что 1 2x = и 1 2y = являются корнями системы уравнений (3.94).

♦ Ответ: 1 2x = , 1 2y = .

3.57. Решить систему неравенств

1 2 1

4

4 3 4 2,

3 2 log 3.

x y y

x y

+ − −⎧ + ⋅ ≤⎪⎨⎪ + ≥ −⎩

(3.95)

Решение. Оценим левую часть первого неравенства системы (3.95), используя для этого неравенство Коши (3.2) и второе неравенство систе-мы. Имеет место

( )4

1 2 1 1 2 1 3 2

2 log 3 2

4 3 4 2 4 3 4 2 3 4

2 3 4 2.

x y y x y y x y+ − − + − − + −

− −

+ ⋅ ≥ ⋅ ⋅ = ⋅ ≥

≥ ⋅ =

Из полученного неравенства следует, что оба неравенства систе- мы (3.95) обращаются в равенства. Кроме того, обращается в равенство и примененное выше неравенство Коши. Следовательно, имеет место сис-тема уравнений

1 2 1

4

4 3 4 ,

3 2 log 3.

x y y

x y

+ − −⎧ = ⋅⎪⎨⎪ + = −⎩

(3.96)

Если прологарифмировать по основанию 4 первое уравнение систе- мы (3.96), то 41 log 3 2 1x y y+ − = + − или 4log 3y x= − . В таком случае из второго уравнения системы (3.96) следует

( )4 43 log 3 2 log 3x x+ − = − ,

44 2 2log 3x = + или ( )1 4 41 1 log 3 log 2 32 2

x = + ⋅ = .

Так как

4log 3y x= − , то 1 4 41 1 2log 3 log .2 2 3

y = − ⋅ =

♦ Ответ: ( )1 4log 2 3x = , 1 42log3

y = .



( )

6 3 2 2 2

23 3 2

2 ,

14 2 1 2 .2

y y x xy x y

xy y x x y

⎧ + + = −⎪⎪⎨⎪ + + = + + −⎪⎩

(3.97)

Решение. Поскольку 2 2 0xy x y− ≥ , то 0 1xy≤ ≤ . Воспользуемся не-равенством Коши (3.2), тогда

( ) ( )2 2 1 112 2

xy xyxy x y xy xy

+ −− = ⋅ − ≤ =

и из первого уравнения системы (3.97) получаем неравенство

6 3 2 12 .2

y y x+ + ≤ (3.98)

Так как ( )21 2 1x y+ − ≥ , то из второго уравнения системы (3.97)

следует 3 3 214 2 12

xy y x+ + ≥ + или

2 3 3 12 4 .2

x xy y− − ≤ − (3.99)

Если сложить неравенства (3.98) и (3.99), то получим в левой части

полный квадрат 6 3 24 4 0y xy x− + ≤ , т. е. ( )23 2 0y x− ≤ .

Однако ( )23 2 0y x− ≥ , поэтому 3 2 0y x− = и 3 2y x= . В таком слу-

чае неравенства (3.98) и (3.99) можно переписать в виде 2 16 22

x x+ ≤ и

2 16 22

x x− − ≤ − , откуда получаем 2 16 22

x x+ = или 212 4 1 0x x+ − = . Кор-

нями квадратного уравнения являются 112

x = − и 216

x = . Так как

3 2y x= , то 1 1y = − и 2 313

y = .

Непосредственной проверкой убеждаемся, что система уравнений (3.97)

имеет единственные корни 112

x = − и 1 1y = − .

♦ Ответ: 112

x = − , 1 1y = − .


Примечание. При решении системы уравнений (3.97) неравенство (3.99) об-ратилось в равенство, т. е.

2 3 3 12 42

x xy y− − = − или 3 3 214 2 12

xy y x+ + = + .

В таком случае из второго уравнения системы (3.97) следует, что

( )21 2 1x y+ − = или 2y x= . Поскольку значения 216

x = и 2 313

y = не

удовлетворяют условию 2y x= , то пара 2 2,x y не является корнями систе-мы уравнений (3.97).

Другими словами, система уравнений (3.97) равносильна системе уравнений

2

3

12 4 1 0,

2 ,

2 ,

x x

y x

y x

⎧ + − =⎪⎪ =⎨⎪

=⎪⎩

которая имеет единственные корни 112

x = − и 1 1y = − .


2 2 2

,6

a b cS + +≤ (3.100)

где , ,a b c − стороны треугольника, а S — его площадь.

Доказательство. Известно, что sin2

a bS ϕ⋅= , где ϕ — угол между

сторонами a и b . Поскольку sin 1ϕ ≤ , то 2

abS ≤ .

Из неравенства Коши (3.2), следует, что 2 2

2a bab +

≤ . В таком случае

2 2

4a bS +

≤ .

По аналогии получаем еще два неравенства 2 2

4a cS +

≤ и 2 2

4b cS +

≤ .

Следовательно,


2 2 2 2 2 2 2 2 23

4 2a b a c b c a b cS + + + + + + +

≤ = .


3.60. Доказать, что для площади S треугольника со сторонами , ,a b c справедливо неравенство

( )2

.16

a b cS

+ +≤ (3.101)

Доказательство. Согласно формуле Герона площадь S треугольни-ка со сторонами , ,a b c вычисляется по формуле

( )( )( ),S p p a p b p c= − − − (3.102)

где p — полупериметр треугольника. Используя неравенство Коши (3.1) при 4n = и формулу (3.102), по-

лучаем

( )( )( )4 .4 4

p p a p b p c a b cS p p a p b p c + − + − + − + += − − − ≤ =


3.61. Доказать, что для площади S треугольника со сторонами , ,a b c справедливо неравенство

2 2 2 4 3 .a b c S+ + ≥ ⋅ (3.103)

Доказательство. Воспользуемся теоремой косинусов, согласно ко-торой 2 2 2 2 cosc a b ab ω= + − , где ω — угол между сторонами ,a b , не-

равенством Коши (3.2) 2 2 2a b ab+ ≥ и формулой для вычисления площа-

ди треугольника sin2

abS ω= . Тогда

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 cos

2 cos 2 2 cos

42 2 cos 2 cos .sin

a b c a b a b ab

a b ab ab ab

Sab

ω

ω ω

ω ωω

+ + = + + + − =

= + − ≥ − =

= ⋅ − = ⋅ −


Отсюда следует, что для доказательства неравенства (3.103) надо по-казать, что

2 cos 3.sin

ωω

−≥ (3.104)

Поскольку sin 16πω⎛ ⎞+ ≤⎜ ⎟

⎝ ⎠, то 3 1sin cos 1

2 2ω ω+ ≤ или

3 sin cos 2ω ω+ ≤ , т. е. неравенство (3.104) справедливо. Отсюда следует, что неравенство (3.103) доказано.


6 3 ,a b c r+ + ≥ ⋅ (3.105)

где , ,a b c — стороны треугольника, а r — радиус окружности, вписан-ной в треугольник.

Доказательство. Из формулы Герона (3.102) следует, что

( )( )( )2 ,S p p a p b p c= − − − (3.106)

где ( )12

p a b c= + + .

Согласно неравенству Коши (3.1), где 3n = , имеет место

( )( )( )33 p a p b p c p a p b p c p⋅ − − − ≤ − + − + − =

или ( )( )( )3

27pp a p b p c− − − ≤ .

Отсюда и из формулы (3.106) получаем 4

2

27pS ≤ . Так как S pr= , где

r — радиус окружности, вписанной в рассматриваемый треугольник, то 4

2 2

27pp r⋅ ≤ или 3 3p r≥ ⋅ . Так как ( )1

2p a b c= + + , то неравенство

(3.105) доказано.

Примечание. Из доказанного выше неравенства 4

2

27pS ≤ следует, что

2

3 3pS ≤ . Доказательство данного неравенства представляет собой самостоя-

тельную задачу.


3.63. Доказать, что для прямоугольного треугольника

( )1 2h r≤ + ⋅ , (3.107)

где h — высота, проведенная к гипотенузе, и r — −r радиус вписанной окружности.

Доказательство. Пусть , ,a b c — катеты и гипотенуза прямоуголь-ного треугольника соответственно.

Применяя неравенство Коши—Буняковского (3.8), можно записать

( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 2a b a b a b c+ = ⋅ + ⋅ ≤ + + = или 2a b c+ ≤ ⋅ .

Известно, что 2

c hS ⋅= и

3a b cS r+ +

= ⋅ . Отсюда и из неравенства

2a b c+ ≤ ⋅ следует, что

( )2 2 2 13

S a b c c ch r r rc c

+ + ⋅ += = ⋅ ≤ ⋅ = + ⋅ .


Примечание. Равенство ( )1 2h r= + ⋅ имеет место только в том случае, ко-

гда прямоугольный треугольник является равнобедренным.

3.64. Доказать, что для площади S произвольного треугольника со сто ронами , ,a b c справедливо неравенство

2 327 ,2

S r R≥ ⋅ (3.108)

где r — радиус вписанной в треугольник окружности, а R — радиус ок-ружности, описанной вокруг треугольника.

Доказательство. Известно, что ( )

2r a b c

S⋅ + +

= . Отсюда и из нера-

венства Коши 3

3a b c abc+ +

≥ следует неравенство 332

r abcS ⋅≥ или

3

3 27 .8

r abcS ⋅≥ (3.109)

Поскольку 4abcS

R= , то 4abc RS= и из неравенства (3.109) вытекает

требуемое неравенство (3.108).


3.65. Пусть , ,a b c — стороны треугольника и p — полупериметр. Доказать, что

( )( )( ) 1 .8

p a p b p c abc− − − ≤ ⋅ (3.110)

Доказательство. Используя (трижды) неравенство Коши (3.2), по-лучаем

( ) ( )2 2

2 2p a p b cp a p b − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ − ≤ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠,

( ) ( )2 2

2 2p a p c bp a p c − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ − ≤ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠,

( ) ( )2 2

2 2p b p c ap b p c − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ − ≤ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Путем перемножения приведенных выше неравенств получаем

( ) ( ) ( )2

2 2 2 .8

abcp a p b p c ⎛ ⎞− − − ≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Отсюда следует неравенство (3.110).

3.66. Доказать, что 9 ,a b ch h h r+ + ≥ ⋅ (3.111)

где , ,a b ch h h — высоты произвольного треугольника, а r — радиус ок-ружности, вписанной в этот треугольник.

Доказательство. Первоначально докажем вспомогательное соотно-шение между , ,a b ch h h и r вида

1 1 1 1 .a b ch h h r+ + = (3.112)

Известно, что площадь S треугольника со сторонами , ,a b c вычис-

ляется по формулам 1 1 12 2 2a b cS ah bh ch pr= ⋅ = ⋅ = ⋅ = , где p — полупери-

метр, а r — радиус вписанной окружности. Отсюда следует, что


1 1 1 1 .2 2 2a b c

a b c ph h h S S S S r

+ + = + + = =

Используя неравенство Коши (3.1) при 3n = , можно записать, что

33a b c a b ch h h h h h+ + ≥ ⋅ и 3

1 1 1 3

a b c a b ch h h h h h+ + ≥ , тогда

( ) 1 1 1 9.a b ca b c

h h hh h h

⎛ ⎞+ + ⋅ + + ≥⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.113)

Непосредственно из неравенства (3.113) и равенства (3.112) следует 9 9 9 ,

1 1 1 1a b c

a b c

h h h r

h h h r

+ + ≥ = =+ +


3.67. Пусть S — площадь четырехугольника, вписанного в окружность, и p — периметр четырехугольника. Доказать, что

4

4pS ≤ . (3.114)

Доказательство. Поскольку искомый четырехугольник вписан в ок-ружность, то его площадь S вычисляется по формуле

( )( )( )( )S p a p b p c p d= − − − − ,

где , , ,a b c d — стороны четырехугольника. Отсюда следует, что

( )( )( )( )4S p a p b p c p d= − − − − .

Если воспользоваться неравенством Коши (3.1) при 4n = , то из по-следнего равенства получим

( ) ( ) ( ) ( )4 2

p a p b p c p d pS− + − + − + −

= = .

Отсюда следует требуемое неравенство (3.114).

3.68. Доказать, что для всякого прямоугольного параллелепипеда с реб рами , ,a b c и диагональю d имеет место неравенство

3.a b c d+ + ≤ (3.115)


Доказательство. Применим неравенство Коши—Буняковского (3.8), тогда

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1

1 1 1 3 .

a b c a b c

a b c a b c

+ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ ≤

≤ + + ⋅ + + = + +

Поскольку в прямоугольном параллелепипеде 2 2 2 2a b c d+ + = , то

( ) ( )2 2 2 2 23 3a b c a b c d+ + ≤ + + = . Отсюда следует справедливость нера-

венства (3.115).

Примечание. Равенство в (3.115) достигается тогда и только тогда, когда прямоугольный параллелепипед является кубом.

3.69. Определить объем прямоугольного параллелепипеда, если его раз меры , ,a b c удовлетворяют соотношению 3 4 10 500a b c+ + = , а диа-

гональ d равна 20 5 .

Решение. Для прямоугольного параллелепипеда имеет место 2 2a b+ + 2 2c d+ = . Поскольку 20 5d = , то 2 2 2 2000a b c+ + = . Применим неравенство Коши—Буняковского (3.8), тогда

( ) ( ) ( )2 2 2 23 4 10 9 16 100 125 2000 250000.a b c a b c+ + ≤ + + ⋅ + + = ⋅ =

Так как по условию задачи 3 4 10 500a b c+ + = , то примененное выше неравенство Коши—Буняковского превратилось в равенство, поэтому вы-

полняется цепочка равенств 3 4 10a b c= = . Если обозначить

3 4 10a b c k= = = ,

то 3a k= , 4b k= , 10c k= . В таком случае из равенства 3 4 10a b c+ + = = 500 следует, 9 16 100 500k k k+ + = или 4k = . Следовательно, 12a = ,

16b = , 40c = и объем параллелепипеда 7680V abc= = .

♦ Ответ: объем параллелепипеда 7680V = .

3.70. Пусть M — точка, лежащая внутри прямоугольника ABCD , и S — его площадь. Доказать, что

.S AM CM BM DM≤ ⋅ + ⋅ (3.116)


Решение. Через точку M , лежащую внутри прямоугольника ABCD , проведем EG AB⊥ и FH BC⊥ . Обозначим AE DG a= = , BE CG b= = , AH BF c= = и CF DH d= = .

В таком случае ( ) ( )S a b c d ac ad bc bd= + ⋅ + = + + + , 2 2AM a c= + , 2 2BM b c= + , 2 2CM b d= + , 2 2DM a d= + и требуемое неравенство

(3.116) принимает вид

2 2 2 2 2 2 2 2 .ac ad bc bd a c b d b c a d+ + + ≤ + ⋅ + + + ⋅ + (3.117) Используя неравенство Коши—Буняковского (3.8), можно записать

два неравенства

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2ac bd a d b c+ ≤ + ⋅ + и ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 .ad bc a c b d+ ≤ + ⋅ +

Следовательно, имеет место 2 2 2 2ac bd a d b c+ ≤ + ⋅ + и ad bc+ ≤ 2 2 2 2a c b d≤ + ⋅ + . Суммируя приведенные выше неравенства, получа-

ем неравенство (3.117).

3.71. Найти минимальное значение функции

( )6 3

35 5 .

1x xf x

x+ +

=+

Решение. Представим функцию ( )y f x= в виде

( ) 3 33 31 14 1 3.

1 1f x x x

x x⎛ ⎞= + + = + + +⎜ ⎟

+ +⎝ ⎠

Используя неравенство Коши (3.3), получаем неравенство 3 1x + +

+ 31 2

1x≥

+. Поэтому имеет место нижняя оценка функции ( )y f x= ви-

да ( ) 5f x ≥ . Поскольку ( )0 5f = , то полученная нижняя оценка дости-жима, т. е. min 5f = .

♦ Ответ: min 5f = .


( )2 2

2 21 sin 1 cos ,

sin cos

n nx xf x

x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ += +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

где n — натуральное число.


Решение. Оценим снизу функцию ( )y f x= , используя неравенство Коши (3.2), следующим образом:

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

1 sin 1 cos 1 11 1sin cos sin cos

1 12 1 1sin cos

1 1 12 1sin cos sin cos

2 82 1 2 1sin cos sin 2

n n n n

n

n

n

x xx x x x

x x

x x x x

x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟≥ ⋅ + ⋅ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⋅ + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛= ⋅ + = ⋅ +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⋅⎝ ⎠ ⎝

( )2 1 8 2 3 .n

n n⎞≥ ⋅ + = ⋅⎟⎜ ⎟

⎠

Теперь покажем, что min 2 3nf = ⋅ . Для этого необходимо найти такое x ,

при котором функция ( )y f x= принимает минимальное значение 2 3n⋅ .

Нетрудно видеть, что если ( ) 2 3nf x = ⋅ , то примененные выше нера-

венства Коши обращаются в равенства, и поэтому равенство ( ) 2 3nf x = ⋅ равносильно системе уравнений

2 2

2

sin cos

sin 2 1

x x

x

⎧ =⎪⎨⎪ =⎩

,

одним из корней которой является 1 4x π= .

Тогда

1 11 12 2 3 3 2 3 .

1 142 2

n n

n n nf π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ = + = + = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Следовательно, доказано, что min 2 34

nf f π⎛ ⎞= = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

.

♦ Ответ: min 2 3nf = ⋅ .

URSS

РАЗДЕЛ 4

Методы, основанные на использовании монотонности функций

При решении уравнений типа ( ) ( )f x g x= в ряде случаев весьма эффективным является метод, который использует монотонность функ-ций ( )y f x= и ( )y g x= . Если функция ( )y f x= непрерывна и возрас-

тает (убывает) на отрезке a x b≤ ≤ , а функция ( )y g x= непрерывна и

убывает (возрастает) на этом же отрезке, то уравнение ( ) ( )f x g x= на отрезке a x b≤ ≤ может иметь не более одного корня.

Напомним, что функция ( )y f x= называется возрастающей (или убывающей) на отрезке a x b≤ ≤ , если для любых 1x и 2x , удовлетво-ряющим неравенствам 1 2a x x b≤ < ≤ , выполняется неравенство

( ) ( )1 2f x f x< (соответственно, неравенство ( ) ( )1 2f x f x> ). Если

функция ( )y f x= является непрерывной и возрастающей (или убываю-щей) на отрезке a x b≤ ≤ , то она называется монотонной на этом отрезке.

В этой связи при решении уравнения ( ) ( )f x g x= необходимо ис-

следовать функции ( )y f x= и ( )y g x= на монотонность, и если одна из этих функций на отрезке a x b≤ ≤ непрерывно убывает, а другая функция — непрерывно возрастает, то необходимо или попытаться подбором найти единственный корень уравнения, или показать, что такого корня не суще-ствует. Если, например, функция ( )y f x= непрерывна и возрастает, а

функция ( )y g x= непрерывна и убывает на отрезке a x b≤ ≤ и при этом


( ) ( )f a g a> , то на данном отрезке уравнение ( ) ( )f x g x= корней не имеет.

Особенно такой метод эффективен в том случае, когда обе части уравнения ( ) ( )f x g x= представляют собой весьма «неудобные» для со-вместного исследования функции.

Кроме того, если функция ( )y f x= является возрастающей (или убы-

вающей) на отрезке a x b≤ ≤ и уравнение ( )f x c= (где c — некоторая константа) на данном отрезке имеет корень, то этот корень единственный.

Для установления монотонности непрерывных функций ( )y f x=

можно использовать понятие производной. Функция ( )y f x= является возрастающей (убывающей) на отрезке a x b≤ ≤ , если на данном отрезке

( )/ 0f x > (соответственно ( )/ 0f x < ).



2 18 4 3 15.x x+ + − = (4.1)

Решение. Областью допустимых значений переменной x в уравне-

нии (4.1) являются 34

x ≥ .

Так как на области допустимых значений функция ( ) 2 18f x x= + +

4 3x+ − является непрерывной и возрастающей, то уравнение (4.1) име-ет не более одного корня. Этот единственный корень 1 7x = находится подбором.

♦ Ответ: 1 7x = .


33 1 5 2 7.x x+ + + = (4.2)

Решение. Из уравнения (4.2) следует, что 13

x ≥ − . Так как функция

( ) 33 1 5 2f x x x= + + + при условии, что 13

x ≥ − , является непрерывной

URSSМетоды, основанные на использовании монотонности функций 109

и возрастающей, то уравнение (4.2) не может иметь более одного корня. Подбором находим, что 1 5x = — единственный корень уравнения (4.2).

♦ Ответ: 1 5x = .


3 3 33 2 3 3 2 5 3 0.x x x⋅ + + − + ⋅ + = (4.3)

Решение. Так как функция ( ) 3 3 33 2 3 3 2 5 3f x x x x= ⋅ + + − + ⋅ + яв-ляется непрерывной и возрастающей на всей числовой оси OX , то урав-нение (4.3) имеет не более одного корня. Искомым корнем является

1 2x = − .

♦ Ответ: 1 2x = − .


3 42 3 2 1 3 4.x x x⋅ + + − = − + (4.4)

Решение. Область допустимых значений переменной x в уравнении (4.4) составляют 1 3x≤ ≤ . На данном отрезке функция ( ) 32 3 2f x x= ⋅ + +

4 1x+ − является непрерывной и возрастающей, а функция ( )g x =

= 3 4x− + — непрерывной и убывающей. В этой связи уравнение (4.4) может иметь только один корень (если он есть). Подбором находим един-ственный корень уравнения 1 2x = .

♦ Ответ: 1 2x = .


3 7 5 4 1 5.x x x+ − − = − + (4.5)


нии (4.5) являются 7 53 4

x− ≤ ≤ .

Уравнение (4.5) перепишем в виде

3 7 5 1 5 4 .x x x+ + + = + − (4.6)


Пусть ( ) 3 7 5f x x x= + + + и ( ) 1 5 4g x x= + − . Нетрудно видеть,

что на отрезке 7 53 4

x− ≤ ≤ функция ( )y f x= является непрерывной и

возрастающей, а функция ( )y g x= — непрерывной и убывающей. По-этому уравнение (4.6) может иметь только один корень. Искомым корнем является 1 1x = − .

♦ Ответ: 1 1x = − .


84 18 2 2.x x− − − = (4.7)

Решение. Первоначально устанавливаем, что областью допустимых значений переменной x в уравнении (4.7) являются 2 18x≤ ≤ .

Уравнение (4.7) равносильно уравнению

84 18 2 2.x x− = − + (4.8)

Рассмотрим функции ( ) 4 18f x x= − и ( ) 8 2 2g x x= − + . Нетрудно

видеть, что функция ( )y f x= является непрерывной и возрастающей на

отрезке 2 18x≤ ≤ , а функция ( )y g x= — непрерывной и убывающей. В такой связи уравнение (4.8) может иметь только один корень. Подбором нетрудно определить, что 1 2x = является корнем уравнений (4.8) и (4.7).

♦ Ответ: 1 2x = .


5 3 1 3 4 0.x x x+ − − + = (4.9)

Решение. Уравнение (4.9) равносильно уравнению

5 3 4 1 3 .x x x+ + = − (4.10)

Функция ( ) 5 3 4f x x x= + + является непрерывной и возрастающей

на всей числовой оси OX , а функция ( ) 1 3g x x= − определена только

для 13

x ≤ . На области определения функции ( )y g x= левая часть урав-


нения (4.10) представляет собой непрерывную и возрастающую функцию, а левая часть уравнения — непрерывную и убывающую функцию. В этой связи уравнение (4.10) имеет не более одного корня. Легко видеть, что

1 1x = − является его единственным корнем.

♦ Ответ: 1 1x = − .


3 317 3 5 8.x x x+ = − + + (4.11)

Решение. Преобразуем уравнение (4.11) следующим образом: 3 317 8 3 5,x x x+ − + = −

( ) ( )3 3 3 3

3 3

17 8 17 83 5,

17 8

x x x xx

x x

+ − + ⋅ + + += −

+ + +

( )3 3

3 3

17 83 5,

17 8

x xx

x x

+ − += −

+ + +

3 3

9 3 5.17 8

xx x

= −+ + +

(4.12)

Отметим, что левая часть уравнения (4.12) является непрерывной и убывающей функцией, а правая часть — непрерывной и возрастающей функцией на всей оси OX . В этой связи уравнение (4.12) может иметь только один корень. Этот единственный корень можно найти подбором, а именно, 1 2x = .

♦ Ответ: 1 2x = .


2 2 2 2 204 24 3 21 2 16 9 .4

x x x xx

− + − + − + − =−

(4.13)

Решение. Поскольку левая часть уравнения (4.13) может принимать

только неотрицательные значения, то 20 04x≥

− или 4x > .

Если 4x > , то левая часть уравнения (4.13) представляет собой не-прерывную и возрастающую функцию, а правая часть — непрерывную


убывающую функцию. Поэтому уравнение (4.13) имеет не более одного корня. Подбором находим единственный корень уравнения 1 5x = .

♦ Ответ: 1 5x = .


2 2 23 18 25 4 24 29 6 4.x x x x x x− + + − + = − − (4.14)

Решение. Представим уравнение (4.14) в равносильном виде

( ) ( ) ( )2 2 23 3 2 4 3 7 5 3 .x x x− − + − − = − − (4.15)

Если обозначить ( )23x y− = , то из уравнения (4.15) получаем

3 2 4 7 5 ,y y y− + − = − (4.16)

где 0y ≥ .

Так как функция ( ) 3 2 4 7f y y y= − + − на своей области опреде-

ления 74

y ≥ является непрерывной и возрастающей, а функция ( )g y =

5 y= − будет непрерывной и убывающей на всей числовой оси OY , то уравнение (4.16) не может иметь более одного корня. Подбором убедимся, что таким единственным корнем уравнения (4.16) является 1 2y = .

Так как ( )23x y− = , то ( )23 2x − = или 3 2x − = ± . Следовательно,

1 3 2x = − и 2 3 2x = + .

♦ Ответ: 1 3 2x = − , 2 3 2x = + .


1 1 9.2 4

x x x+ + + + = (4.17)

Решение. Из уравнения (4.17) следует, что 1 9.4

x− ≤ ≤

Рассмотрим функцию

( ) 1 1 .2 4

f x x x x= + + + +


Нетрудно убедиться в том, что функция ( )y f x= при условии

1 94

x− ≤ ≤ является непрерывной и возрастающей. Следовательно, урав-

нение ( ) 9f x = может иметь не более одного корня.

Подбором находим единственный корень уравнения (4.17) вида 1 6x = .

♦ Ответ: 1 6x = .


22 3 1 3 2 2 5 3 16.x x x x x+ + + = + + + − (4.18)

Решение. Введем новую переменную 2 3 1y x x= + + + . Так как 2 23 4 2 2 5 3y x x x= + + + + , то уравнение (4.18) принимает вид 2 20y y= −

или 2 20 0y y− − = . Поскольку 0y ≥ , то подходящим корнем уравнения 2 20 0y y− − = является 1 5y = .

Следовательно, необходимо рассмотреть уравнение

2 3 1 5.x x+ + + = (4.19)

Так как функция ( ) 2 3 1f x x x= + + + при 1x ≥ − является непре-рывной и возрастающей, то уравнение (4.19) не может иметь более одного корня.

Подбором устанавливаем, что 1 3x = — корень уравнения (4.19).

♦ Ответ: 1 3x = .


3 4 5 6 .x x x x+ + = (4.20)

Решение. Разделим обе части уравнения (4.20) на 5x и получим рав-носильное уравнение

3 4 61 .5 5 5

x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4.21)


Пусть ( ) 3 4 15 5

x x

f x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

и ( ) 65

x

g x ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. Поскольку 3 15< , 4 1

5<

и 6 15> , то функция ( )y f x= для любого x является непрерывной и

убывающей, а функция ( )y g x= — непрерывной и возрастающей. Сле-довательно, уравнение (4.21), а вместе с ним и уравнение (4.20), имеет единственный (если он есть) корень. Этот корень 1 3x = несложно найти из уравнения (4.20).

♦ Ответ: 1 3x = .


2 1 4 13 5 7 2 19.x x+ +⋅ − ⋅ = (4.22)

Решение. Перепишем уравнение (4.22) в виде 2 415 5 14 2 19x x⋅ − ⋅ =

или

2 215 5 14 4 19.x x⋅ = ⋅ + (4.23)

Если разделить обе части уравнения (4.23) на 24 x , то получим

2 25 115 14 19 .

4 4

x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4.24)

Поскольку левая часть уравнения (4.24) является непрерывной и воз-растающей функцией, а правая его часть — непрерывной и убывающей функцией, то уравнение (4.24) может иметь только один корень, которым

является 112

x = .

♦ Ответ: 112

x = .


( ) ( ) ( )4 15 4 15 2 2 .x x x

− + + = (4.25)


Решение. Разделим обе части уравнения (4.25) на ( )2 2x

. Тогда

4 15 4 15 1.2 2 2 2

x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4.26)

Подбором нетрудно установить, что 1 2x = является корнем уравне-ния (4.26). Покажем, что других корней это уравнение не имеет.

Обозначим 4 152 2

u−= и 4 15

2 2v+

= . Очевидно, что 0 1u v< < < .

Следовательно, каждая из функций xy u= и xy v= является непрерывной

и убывающей и при этом 2 2 1u v+ = . Если 2x < , то 2xu u> , 2xv v> и 2 2 1x xu v u v+ > + = . Если 2x > , то

2xu u< , 2xv v< и 2 2 1x xu v u v+ < + = . Следовательно, если 2x < или 2x > , то уравнение (4.26) корней не

имеет.

♦ Ответ: 1 2x = .

Примечание. Поскольку 4 150 12 2−

< < , 4 150 12 2+

< < и

2 24 15 4 15 1,2 2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

то можно положить 4 15 sin2 2

ω−= и 4 15 cos

2 2ω+

= , где 02πω< < .

В таком случае уравнение (4.26) принимает вид sin cos 1x xω + = . Однако из-вестно, что уравнение sin cos 1x xω + = имеет единственный корень 1 2x = .

4.16. Решить уравнение ( )2log 7 1.x x− = − (4.27)

Решение. Областью допустимых значений переменной x в уравне-нии (4.27) являются 7x < .

Рассмотрим функции ( )2( ) log 7f x x= − и ( ) 1g x x= − . Известно, что функция ( )y f x= при 7x < является непрерывной и убывающей, а функ-


ция ( )y g x= — непрерывной и возрастающей. В этой связи уравнение (4.27) может иметь только один корень, т. е. 1 3x = , который легко находится подбором.

♦ Ответ: 1 3x = .


( )2 3log 1 log .x x+ = (4.28)

Решение. Введем новую переменную 3logy x= . Тогда 3yx = ,

1 1 ( 3)yx+ = + и уравнение (4.28) принимает вид

( )1 3 2 .y y+ = (4.29)

Уравнение (4.29) имеет очевидный корень 1 2y = . Покажем, что дру-

гих корней нет. Для этого разделим обе части уравнения (4.29) на ( )3y

,

тогда

1 21 .3 3

y y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4.30)

Так как 1 13< , а 2 1

3> , то левая часть уравнения (4.30) является

непрерывной и убывающей функцией, а правая часть — непрерывной и возрастающей функцией. Поэтому уравнение (4.30) если имеет корень, так только один. Ранее было установлено, что 1 2y = — корень уравне- ния (4.29). Следовательно, этот корень единственный.

Таким образом, имеем 3 1log 2x = . Тогда единственным корнем урав-нения (4.28) является 1 9x = .

♦ Ответ: 1 9x = .


13 5 4.xx x+⋅ = + (4.31)

Решение. Первоначально убедимся, что 0x = не является корнем уравнения (4.31). Пусть теперь 0x ≠ . Тогда обе части уравнения разделим на x и получим уравнение


1 43 5 .x

x+ = + (4.32)

Пусть ( ) 13xf x += и ( ) 45g xx

= + . Первая из этих функций является

непрерывной и возрастающей на всей числовой оси OX , а вторая функ-ция — убывающая, но не является непрерывной, так как функция ( )g x =

= 45x

+ не определена в точке 0x = . Поэтому необходимо рассмотреть

два случая, а именно, 0x < и 0x > . Если 0x < , то обе функции являются непрерывными и одна из них

возрастающая, а другая — убывающая. Поэтому уравнение (4.32) имеет не более одного отрицательного корня. Этот корень 1 1x = − находим под-бором.

Если 0x > , то по аналогии с рассмотрением предыдущего случая де-лаем вывод о том, что уравнение (4.32) имеет не более одного положи-тельного корня. Этим корнем является 2 1x = .

♦ Ответ: 1 1x = − , 2 1x = .


2log 3 21 .x x+ = (4.33)

Решение. Областью допустимых значений переменной x в уравне-нии (4.33) являются 0x > . Поскольку 0x > , то можно обозначить 2yx = , где y — любое число. В таком случае уравнение (4.33) принимает вид

( ) ( )2log 3 22 1 2y y+ = или 3 1 4y y+ = . Последнее уравнение имеет корень

1 1y = . Этот корень единственный, так как уравнение 3 1 4y y+ = равно-

сильно уравнению 1 413 3

y y⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, в котором левая часть представляет

собой непрерывную и убывающую на всей числовой оси OY функцию, а правая часть — непрерывную и возрастающую функцию.

Так как 2yx = и 1 1y = , то 1 2x = .

♦ Ответ: 1 2x = .



( )12 1 1 .2 2

x x x− = + + − (4.34)

Решение. Для раскрытия модулей в правой части уравнения (4.34) необходимо рассмотреть три случая.

1. Если 1x < − , то x x= − , 1 1 1 1 2x x x x x+ + − = − − − + = − и уравне-

ние (4.34) принимает вид 22

x x= − . Пусть ( ) 2xf x = и ( )

2xg x = − .

Первая из этих функций при 1x < − непрерывно возрастает, а вторая

функция непрерывно убывает. Однако 1 1( 1) ( 1)2 2

f g− = < − = , по-

этому уравнение 22

x x= − корней не имеет.

2. Если 1 1x− ≤ ≤ , то из (4.34) получаем уравнение 122

x− = , из кото-

рого следует 12

x = или 1,212

x = ± .

3. Если 1x > , тогда 22

x x− = . По аналогии с первым случаем можно

установить, что это уравнение корней не имеет.

♦ Ответ: 1 21 1,2 2

x x= − = .


( )

( ) ( )5

2 2

log 3

2 3 10 log 2 3 ,

3 1.

x

y

y x x y

x −

⎧ ⋅ + ⋅ = + +⎪⎨⎪ + =⎩

(4.35)

Решение. Областью допустимых значений переменных x и y в сис-теме уравнений (4.35) являются 0x > , 1x ≠ и 3y < .

Поскольку 0x > , то 3 3x + > и из второго уравнения системы (4.35) следует, что ( )5log 3 0y− = , 3 1y− = или 1 2y = .


Подставляя значение 1 2y = в первое уравнение системы (4.35), по-

лучаем ( ) 24 3 10 log 2 12x x x+ ⋅ = + + , 240 log 2x x x⋅ = + или

2 240log .x

x x=

+ (4.36)

Пусть 2( ) logf x x= и 240( )g x

x x=

+. Поскольку при 0x > функция

( )y f x= является непрерывной и возрастающей, а функция ( )y g x= — непрерывной и убывающей, то уравнение (4.36) может иметь только один корень. Так как (4) 2f = и (4) 2g = , то 1 4x = — искомый корень урав-нения (4.36).

♦ Ответ: 1 4x = , 1 2y = .


11 5 1.x x− > − (4.37)


стве (4.37) являются 115

x ≤ .

Пусть ( ) 11 5f x x= − и ( ) 1g x x= − . Рассмотрим уравнение ( )f x =

= ( )g x . Функция ( )y f x= на области допустимых значений x является непрерывной и убывающей, а функция ( )y g x= — непрерывной и воз-растающей. Поскольку уравнение ( ) ( )f x g x= имеет корень 1 2x = (ко-торый легко найти подбором), то этот корень является единственным. Следовательно, решением неравенства ( ) ( )f x g x> являются любые зна-чения x , для которых 2x < .

♦ Ответ: 2x < .


33 3 .x x+ > − (4.38)

Решение. Областью допустимых значений переменной x в неравен-стве (4.38) являются 3x ≥ − .


Пусть ( ) 3f x x= + и 3( ) 3g x x= − . Нетрудно показать, что непре-рывная функция ( )y f x= на области допустимых значений переменной x возрастает, а непрерывная функция ( )y g x= — убывает. В этой связи уравнение ( ) ( )f x g x= может иметь только единственный корень, кото-рой легко найти подбором, т. е. 1 1x = .

Поскольку функция ( )y f x= возрастающая, а функция ( )y g x= убы-вающая, то при 1x > справедливы неравенства ( ) (1)f x f> и ( ) (1)g x g< . С учетом того, что (1) (1)f g= , отсюда получаем неравенство ( ) ( )f x g x> для всех 1x > .

♦ Ответ: 1x > .


4 42 3 2 .x x x− + − > − (4.39)

Решение. Областью допустимых значений переменной x в неравен-стве (4.39) являются 3 16x≤ ≤ .

Пусть ( ) 4 2 3f x x x= − + − и ( ) 42g x x= − . Нетрудно видеть,

что ( )3 1f = и ( ) 43 2 3 1g = − < . Поскольку на области допустимых зна-

чений переменной x функция ( )y f x= непрерывно возрастает, а функция

( )y g x= непрерывно убывает, то ( ) ( )3 1f x f> = и ( ) ( )3 1g x g< < . От-

сюда следует, что неравенство ( ) ( )f x g x> имеет место для любых x из отрезка 3 16x≤ ≤ .

♦ Ответ: 3 16x≤ ≤ .

URSSРАЗДЕЛ 5

Методы решения функциональных уравнений

К числу наиболее сложных задач на вступительных конкурсных эк-заменах по математике относятся задачи, решение которых сводится к рассмотрению функциональных уравнений вида

( )( )( )( )n раз

f f f x x… … = (5.1)

или ( )( ) ( )( ) ,f g x f h x= (5.2)

где ( ) ( ) ( ), ,f x g x h x — некоторые функции и 2n ≥ . Методы решения функциональных уравнений (5.1), (5.2) основаны на

использовании следующих теорем.

Теорема 1 Корни уравнения ( )f x x= являются корнями уравнения (5.1).

Доказательство. Пусть 0x x= — корень уравнения ( )f x x= , т. е.

0 0( )f x x= . Тогда справедливы равенства

( )( ) ( )0 0 ,f f x f x=

( )( ) ( )0 0( ) ( ) ,f f f x f f x=

. . . . . . .

( )( )( )( ) ( )( )( )( )0 0

1n раз n раз

f f f x f f f x

−

… … = … … .


Отсюда следует, что

( )( )( )( )0 0 ,

n раз

f f f x x… … =

т. е. 0x x= является корнем уравнения (5.1).

Теорема 2 Если ( )y f x= — возрастающая функция на отрезке a x b≤ ≤ и ( )a f x b≤ ≤ , то на данном отрезке уравнения (5.1) и ( )f x x= равно-

сильны.

Доказательство. Пусть 0x x= является корнем уравнения (5.1), т. е.

( )( )( )( )0 0.

n раз

f f f x x… … =

Предположим, что 0x x= не является корнем уравнения ( )f x x= , т. е. 0 0( )f x x≠ . Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что

0 0( )x f x< . Тогда в силу возрастания функции ( )y f x= справедливы не-равенства

( ) ( )( ) ( )( )( )( )0 0 0 0 .

n раз

a x f x f f x f f f x b≤ < < <…< … … ≤

Так как

( )( )( )( )0 0 ,

n раз

f f f x x… … =

то из приведенных выше неравенств следует, что 0 0x x< . Таким образом, получили ложное неравенство. А это означает, что 0 0( )f x x= .

Отсюда и из теоремы 1 следует справедливость теоремы 2.

Следствие 1 Если функция ( )y f x= возрастает для любого x , то уравнения

(5.1) и ( )f x x= равносильны.

Следствие 2 Если функция ( )y f x= возрастает на своей области определения,

то уравнения (5.1) и ( )f x x= равносильны.

URSSМетоды решения функциональных уравнений 123

Более сложным является решение уравнения (5.1) в том случае, когда на некотором отрезке a x b≤ ≤ функция ( )y f x= является убывающей.

В данном случае имеет место аналоги теоремы 1 и двух следствий только при условии, что в уравнении (5.1) значение n нечетное.

Теорема 3 Если ( )y f x= — убывающая функция на отрезке a x b≤ ≤ , n —

нечетное и ( )a f x b≤ ≤ , то на данном отрезке уравнения (5.1) и ( )f x x= равносильны.

Доказательство. Пусть 0x x= является корнем уравнения (5.1), т. е.

( )( )( )( )0 0.

n раз

f f f x x… … =

Предположим, что 0x x= не является корнем уравнения ( )f x x= , т. е. 0 0( )f x x≠ . Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что

0 0( )a x f x b≤ < ≤ . Тогда в силу убывания функции ( )y f x= на от-

резке a x b≤ ≤ получаем неравенства ( )0 0( ) ( )f x f f x> , ( )( )0f f x <

( )( )( )0f f f x< , ( )( ) ( )( )( )0 0( ) ( )f f f x f f f f x> и т.д.

Так как n — нечетное, то

( )( )( )( ) ( )( )( )( )0 0

1n раз n раз

f f f x f f f x

−

… … < … … .

Поскольку

( )( )( )( )0

n раз

f f f x… … ,

то из последнего неравенства получаем

( )( )( )( )0 0

1n раз

f f f x x

−

… … < .

Так как ( )y f x= — убывающая функция, то

( )( )( )( ) ( )0 0

n раз

f f f x f x… … > ,


т. е. ( )0 0x f x> . Получили противоречие тому, что по предположению

0 0( )x f x< . Следовательно, 0 0( )f x x= . Отсюда с учетом теоремы 1 следует справедливость теоремы 3.

Следствие 3 Если функция ( )y f x= убывает для любого x и n — нечетное,

то уравнения (5.1) и ( )f x x= равносильны.

Следствие 4 Если функция ( )y f x= убывает на области определения и n —

нечетное, то уравнения (5.1) и ( )f x x= равносильны. Так как в рассмотренных выше случаях функция ( )y f x= является

убывающей, то уравнение ( )f x x= может иметь только один корень. По-скольку уравнение (5.1) с убывающей функцией ( )y f x= и нечетным зна-чением n равносильно уравнению ( )f x x= , то уравнение (5.1) также име-ет не более одного корня.

Если в уравнении (5.1) ( )y f x= — убывающая функция, а n — чет-ное, то в общем случае уравнения (5.1) и ( )f x x= не являются равно-

сильными. Например, уравнение 1 1 x x− − = имеет три корня 1 0x = ,

2 1x = , 31 5

2x − +

= и только третий корень удовлетворяет уравнению

1 x x− = . В данном случае для поиска корней уравнения (5.1) необходимо про-

водить дополнительные исследования.

Теорема 4 Если ( )y f x= — возрастающая (или убывающая) функция, то

уравнения (5.2) и ( ) ( )g x h x= равносильны на области допустимых значений переменной x в уравнении (5.2).

Доказательство. 1. Пусть 0x — корень уравнения (5.2), т. е. 0 0( ( )) ( ( ))f g x f h x= .

Предположим, что 0x не является корнем уравнения ( ) ( )g x h x= , т. е. 0 0( ) ( )g x h x≠ . Не нарушая общности рассуждений, будем счи-тать, что 0 0( ) ( )g x h x< . Отсюда в зависимости от того, какой является


функция ( )y f x= на области допустимых значений уравнения (5.2) воз-

растающей или убывающей, получаем неравенство ( ) ( )0 0( ) ( )f g x f h x<

или ( ) ( )0 0( ) ( )f g x f h x> , соответственно. В каждом из двух случаев

имеем ложное неравенство. Значит, 0 0( ) ( )g x h x= .

2. Пусть 0x — корень уравнения ( ) ( )g x h x= , т. е. 0 0( ) ( )g x h x= . Отсю-да следует 0 0( ( )) ( ( ))f g x f h x= .

Следствие 5 Если ( )y f x= — возрастающая (или убывающая) функция на

множестве значений функций ( )y g x= и ( )y h x= , то уравнения (5.2) и ( ) ( )g x h x= равносильны.

Также следует отметить, что при решении функционального уравне-ния (5.2) необходимо внимательно рассматривать случай, когда функция

( )y f x= является четной.

Теорема 5 Если четная функция ( )y f x= определена отрезке a x a− ≤ ≤ и

возрастает (или убывает) при 0 x a≤ ≤ , то на данном отрезке урав-нение (5.2) равносильно совокупности уравнений ( ) ( )g x h x= и

( ) ( )g x h x= − при условии, что ( )a g x a− ≤ ≤ и ( )a h x a− ≤ ≤ .

Доказательство проводится по аналогии с доказательством преды-дущей теоремы. При этом используется четность функции ( )y f x= , т. е.

если ( )( ) ( )( )f g x f h x= , то ( )( ) ( )( )f g x f h x= − .

Анализ функцииI ( )y f x= на монотонность удобно осуществлять с помощью производной: если функция ( )y f x= непрерывна и диффе-

ренцируема на отрезке a x b≤ ≤ и ( )/ 0f x > ( )( )/ 0f x < , то функция

( )y f x= является возрастающей (убывающей) на данном отрезке.

Примечание. Для более глубокого изучения методов решения уравнений (5.1), (5.2) и функциональных уравнений других типов можно обратиться к статье Чучаева И. И. и Мещеряковой С. И. «Уравнения вида ( )( ) ( )( )f g x f h x= и нестандартные методы решения» («Математика в школе», 1995, № 3).




2 2 2 2 ,x x= + + +… + (5.3)

где квадратный корень берется n раз ( )2n ≥ .

Решение. Из уравнения (5.3) следует, что 2x ≥ . Введем функцию ( ) 2f x x= + . Тогда уравнение (5.3) принимает вид функционального

уравнения (5.1). Так как функция ( ) 2f x x= + возрастает при 0x ≥ , то

уравнение (5.1) равносильно уравнению ( )x f x= (см. Теорему 2), т. е. урав-

нение (5.3) равносильно уравнению 2x x= + , которое имеет единствен-ный положительный корень 1 4x = .

♦ Ответ: 1 4x = .


3 36 6.x x− = + (5.4)


33 6 6.x x= + + (5.5)

Пусть ( ) 3 6f x x= + , тогда уравнение (5.5) принимает вид

( )( )f f x x= . Поскольку функция ( )y f x= возрастает на всей числовой

оси OX , то уравнение ( )( )f f x x= равносильно уравнению ( )f x x= ,

т. е. уравнение (5.5) равносильно уравнению 3 6x x+ = или 3 6 0x x− − = .

Так как ( )( )3 26 2 2 3x x x x x− − = − + + и 2 2 3 0x x+ + > , то уравнение

3 6 0x x− − = имеет единственный корень 1 2x = .

♦ Ответ: 1 2x = .


1 1.x x+ = − (5.6)


Решение. Областью допустимых значений переменной x в уравне-нии (5.6) являются 1x ≥ . Уравнение (5.6) равносильно уравнению

1 1 .x x+ + = (5.7)

Пусть ( ) 1f x x= + . Тогда уравнение (5.7) принимает вид функцио-

нального уравнения ( )( )f f x x= . Так как функция ( )y f x= является

возрастающей на области допустимых значений переменной x , то уравне-ние ( )( )f f x x= равносильно уравнению ( )f x x= , т. е. уравнение (5.7)

равносильно уравнению 1 x x+ = , из которого получаем 11 5

2x +=

или 13 5

2x += .

♦ Ответ: 13 5

2x += .


( ) ( )22 24 2 4 4 2 2 .x x x x x+ + + + + + = (5.8)

Решение. Областью допустимых значений переменной x в уравне-нии (5.8) является числовая ось OX .

Пусть ( ) 2 4 2f x x x= + + , тогда уравнение (5.8) можно переписать в

виде функционального уравнения ( )( )f f x x= . Однако на всей области

допустимых значений переменной x функция ( ) 2 4 2f x x x= + + не являет-

ся монотонной. Поэтому уравнения ( )( )f f x x= и ( )f x x= в общем случае

не являются равносильными, т. е. переход от уравнения ( )( )f f x x= к

уравнению ( )f x x= может сопровождаться потерей части корней. В этой связи будем действовать следующим образом. Рассмотрим уравнение ( )f x x= , корни которого являются корнями

уравнения ( )( )f f x x= (см. Теорему 1), т. е. уравнение

2 3 2 0.x x+ + = (5.9)


Решая уравнение (5.9), получаем 1 2x = − и 2 1x = − . Естественно, что

1 2,x x — корни уравнения (5.8). Для поиска остальных корней уравнения (5.8) представим его левую

часть в виде многочлена четвертой степени путем раскрытия скобок, т. е.

4 3 28 24 31 14 0.x x x x+ + + + = (5.10) Так как 1 2x = − и 2 1x = − являются корнями уравнения (5.10), то для

поиска остальных корней уравнения (5.10) необходимо разделить много-член 4 3 28 24 31 14x x x x+ + + + последовательно на 2x + и 1x + , т. е. раз-делить на выражение ( )( ) 22 1 3 2x x x x+ + = + + . В результате таких дейст-

вий получим квадратное уравнение 2 5 7 0x x+ + = , которое действитель-ных корней не имеет.

♦ Ответ: 1 2x = − , 2 1x = − .


9 6 3 36 12 6 2 .x x x x− + − = − (5.11)

Решение. Преобразуем уравнение (5.11) следующим образом: 9 6 3 36 12 8 2 2x x x x− + − = − − ,

( )33 32 2 2x x− = − − , ( )33 32 2 2x x− = − − .

Отсюда получаем уравнение

3 3 32 2 2 .x x= − − − (5.12)

Пусть 3( ) 2f x x= − , тогда уравнение (5.12) принимает вид

( )( )( ) .f f f x x= (5.13)

Поскольку функция 3( ) 2f x x= − является убывающей на всей чи-словой оси OX и при этом n − нечетное (см. Теорему 3), то уравнение (5.13) равносильно уравнению ( )f x x= , т. е. уравнение (5.12) равносиль-

но уравнению 3 2 x x− = или 3 2 0x x+ − = . Уравнение 3 2 0x x+ − = име-ет единственный действительный корень 1 1x = .

♦ Ответ: 1 1x = .



6 2 6 2 .x x− − = (5.14)

Решение. Пусть ( ) 6 2f x x= − . Тогда уравнение (5.14) принимает

вид ( )( )x f f x= . Так как функция ( ) 6 2f x x= − на области определе-ния 3x ≤ является убывающей и при этом n − четное (см. Теорему 3), то вопрос о равносильности уравнений (5.14) и 6 2x x− = остается откры-тым.

В этой связи целесообразно решать уравнение (5.14) другими мето-дами, не рассматривая его как функциональное уравнение. Проиллюстри-руем решение уравнения (5.14) одним из таких методов.

Обозначим 6 2x y− = . Тогда из уравнения (5.14) получаем систему уравнений

6 2 ,

6 2 .

y x

x y

⎧ − =⎪⎨⎪ − =⎩

(5.15)

Из системы уравнений (5.15) следует, что 0 6x≤ ≤ и 0 6y≤ ≤ . Возведем в квадрат оба уравнения системы (5.15), а затем из первого уравнения вычтем второе. Тогда получим 2 22 2x y x y− = − или

( )( )2 0.x y x y− + − = (5.16)

Пусть 0x y− = . Так как 6 2y x= − , то получили уравнение x =

= 6 2x− , где 0 6x≤ ≤ . Уравнение 6 2x x= − равносильно уравнению 2 2 6 0x x+ − = , подходящим корнем которого является 1 1 7x = − + .

Пусть 2 0x y+ − = . Тогда имеет место уравнение 6 2 2x x− = − , из которого следует, что 2x ≤ . Отсюда получаем квадратное уравнение

2 2 2 0x x− − = , которое имеет два корня 2,3 1 3x = ± . Ранее было уста-новлено, что 0 2x≤ ≤ . Поэтому значения 2x и 3x не могут быть корнями уравнения (5.14).

♦ Ответ: 1 1 7x = − + .


( )ln ln 1 1.x x+ = − (5.17)


Решение. Уравнение (5.17) можно переписать как ( )ln ln 1 1x x+ + = .

Пусть ( ) ln 1f x x= + , тогда уравнение (5.17) принимает вид функцио-

нального уравнения ( )( )f f x x= . Поскольку функция lny x= является

непрерывной и возрастающей при 0x > , то уравнение ( )( )f f x x= равно-

сильно уравнению ( )f x x= , т. е. уравнение (5.17) равносильно уравнению ln 1 .x x+ = (5.18)

Очевидно, что 1 1x = является корнем уравнения (5.18). Покажем, что этот корень единственный.

Для этого рассмотрим функцию ( ) ln 1g x x x= + − , заданную на ин-

тервале 0 x< < ∞ . Известно, что ( )1 0g = . Кроме того, имеет место

( )/ 1 11 xg xx x

−= − =

Пусть 0 1x< < , тогда ( )/ 0g x > . Следовательно, функция ( )y g x=

возрастает и поэтому ( ) ( )1 0g x g< =

Пусть 1x > , тогда ( )/ 0g x < и функция ( )y g x= является убываю-

щей, т. е. ( ) ( )1 0g x g< = .

Отсюда следует, что ( ) 0g x < для любого 0x > и 1x ≠ . Значит, уравнение (5.17) имеет единственный корень 1 1x = .

♦ Ответ: 1 1x = .


1,

1,

1.

x y

y z

z x

⎧ − =⎪⎪ − =⎨⎪⎪ − =⎩

(5.19)

Решение. Перепишем систему следующим образом:

1,

1,

1.

x y

y z

z x

⎧ = +⎪⎪ = +⎨⎪⎪ = +⎩

(5.20)


Из первого уравнения системы (5.20) следует, что 1x ≥ . Введем в рассмотрение функцию ( ) 1f x x= + , определенную для 1x ≥ . Тогда из системы уравнений (5.20) получаем ( )x f y= , ( )y f z= и ( )z f x= . От-сюда вытекает функциональное уравнение

( )( )( ) .f f f x x= (5.21)

Так как функция ( ) 1f x x= + на области определения является возрастающей, то уравнение (5.21) равносильно уравнению ( )f x x= ,

т. е. 1x x+ = или 1x x= − . Так как 1x ≥ , то после возведения в квадрат обеих частей уравнения

1x x= − получаем равносильное квадратное уравнение 2 3 1 0x x− + = ,

которое имеет два корня 1,23 5

2x ±

= . Однако только один его корень

удовлетворяет неравенству 1x ≥ , т. е. 13 5

2x += .

Поскольку получили единственное значение переменной x , которое удовлетворяет системе уравнений (5.19), и уравнения заданной системы являются симметрическими относительно вхождения переменных x , y и

z , то 1 13 5

2y z += = .

♦ Ответ: 13 5

2x += , 1

3 52

y += , 1

3 52

z += .


2

2

2

1,

1,

1.

x y

y z

z x

⎧ = −⎪⎪ = −⎨⎪⎪ = −⎩

(5.22)

Решение. Перепишем систему уравнений (5.22) в виде

2

2

2

1,

1,

1.

x z

y x

z y

⎧ = +⎪⎪ = +⎨⎪⎪ = +⎩

(5.23)


Отсюда следует, что 1x ≥ . Пусть 2( ) 1f x x= + , тогда из (5.23) полу-чаем функциональное уравнение ( )( )( ) .f f f x x= (5.24)

Так как функция 2( ) 1f x x= + при 1x ≥ является возрастающей, то-гда вместо уравнения (5.24) можно рассматривать уравнение ( )f x x= ,

т. е. 2 1x x+ = . Нетрудно убедиться в том, что уравнение 2 1 0x x− + = не имеет корней (дискриминант уравнения отрицательный), поэтому задан-ная система уравнений (5.22) также не имеет корней.



( )( )( )

1 2;

1 2;

1 2.

x y

y z

z x

⎧ + =⎪⎪⎪ + =⎨⎪⎪ + =⎪⎩

(5.25)

Решение. Областью допустимых значений переменных x , y и z в сис- теме уравнений (5.25) являются 0, 0, 0x y z> > > .

Систему уравнений (5.25) перепишем в равносильном виде

2 ;1

2 ;1

2 .1

xy

yz

zx

⎧ =⎪ +⎪⎪⎪ =⎨

+⎪⎪⎪ =⎪ +⎩

(5.26)

Пусть ( ) 21

f xx

=+

, где 0x > . Тогда из системы уравнений (5.26)

получаем функциональное уравнение ( )( )( )f f f x x= . Так как функция

( ) 21

f xx

=+

является убывающей, то уравнение ( )( )( )f f f x x= рав-

носильно уравнению ( )f x x= , т. е. 21

xx=

+.


Отсюда получаем 2 0x x x+ − = или

( )( )1 2 2 0.x x x− + + = (5.27)

Так как 0x > , то 2 2 0x x+ + > и из уравнения (5.27) следует, что 1 0x − = или 1 1x = . Проведя аналогичные рассуждения относительно

переменных y и z , получаем 1 1y = и 1 1z = .

♦ Ответ: 1 1x = , 1 1y = , 1 1z = .

Примечание. Приведем еще один способ решения системы уравнений (5.25), который не использует понятие функционального уравнения.

Нетрудно заметить, что 1 1x = , 1 1y = , 1 1z = является корнями системы уравнений (5.25). Покажем, что других корней нет.

Если 1x > . Так как ( )1 2x y+ = , то 1 2y+ < или 1y < . Однако,

( )1 2y z+ = . Поскольку 1y < , то 1 2z+ > или 1z > . Далее, 1z > и

( )1 2z x+ = , тогда 1 2x+ < или 1x < . Получили противоречие, так как

по предположению 1x > .

Если 1x < , то по аналогии с предыдущими рассуждениями получим, что 1y > , 1z < и 1x > . Следовательно, здесь также имеет место противоречие.


2

2

2

2

2

2

4 ,1 4

4 ,1 4

4 .1 4

zxz

xyx

yzy

⎧=⎪

+⎪⎪⎪

=⎨+⎪

⎪⎪ =⎪ +⎩

(5.28)

Решение. Из системы уравнений (5.28) следует, что 0 1x≤ < , 0 1y≤ < и 0 1z≤ < .

Введем в рассмотрение функцию ( )2

24

1 4xf x

x=

+. Тогда систему урав-

нений (5.28) можно представить в виде ( )x f z= , ( )y f x= и ( )z f y= ,

т. е. ( ) ( )( ) ( )( )( )x f z f f y f f f x= = = .


Поскольку ( ) 211

1 4f x

x= −

+, то функция ( )

2

24

1 4xf x

x=

+ является

возрастающей при условии, что 0 1x≤ < . В этой связи уравнение

( )( )( )x f f f x= равносильно уравнению ( )x f x= . Следовательно, име-

ем уравнение 2

24

1 4xx

x=

+. Отсюда получаем ( )22 1 0x x − = и 1 0x = ,

212

x = . Если найденные значения переменной x подставить в уравнения

системы (5.28), то получим 1 1 0y z= = и 2 212

y z= = .

♦ Ответ: 1 0x = , 1 10, 0y z= = ; 212

x = , 2 21 1,2 2

y z= = .


3 2

3 2

3 2

2 2 ,

2 2 ,

2 2 .

x x x y

y y y z

z z z x

⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪⎪ + + =⎩

(5.29)

Решение. Обозначим 3 2( ) 2 2f x x x x= + + . Тогда из системы уравне-ний (5.29) получаем ( )f x y= , ( )f y z= и ( )f z x= . Отсюда следует, что

( )( )( )f f f x x= .

Поскольку

( )2

/ 2 2 23 4 2 3 0,3 3

f x x x x⎛ ⎞= + + = + + >⎜ ⎟⎝ ⎠

то функция ( )y f x= возрастает на всей числовой оси OX x и поэтому

уравнение ( )( )( )f f f x x= равносильно уравнению ( )f x x= . Корнями

уравнения 3 22 2x x x x+ + = являются 1 0x = и 2 1x = − . Если значения 1x и 2x подставить в уравнения системы (5.29), то получим 1 10, 0y z= = и

2 21, 1y z= − = − .

♦ Ответ: 1 0x = , 1 10, 0y z= = ; 2 1x = − , 2 21, 1y z= − = − .



3

3

3

6 8 ,

6 8 ,

6 8 .

x x y

y y z

z z x

⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪⎪ + + =⎩

(5.30)

Решение. Пусть ( )31( ) 68

f x x x= + + , тогда систему уравнений (5.30)

можно переписать в виде функционального уравнения

( )( )( ) .f f f x x= (5.31)

Так как функция ( )31( ) 68

f x x x= + + является непрерывной и воз-

растающей на всей числовой оси OX , то уравнение (5.31) равносильно

уравнению ( )f x x= , т. е. ( )31 68

x x x+ + = или 3 7 6 0x x− + = . Корнями

кубического уравнения являются 1 1x = , 2 2x = и 3 3x = − . Используя уравнения системы (5.30), нетрудно вычислить значения переменных y и .z

♦ Ответ: 1 1x = , 1 1y = , 1 1z = ; 2 2x = , 2 2y = , 2 2z = ; 3 3x = − , 3 3y = − ,

3 3z = − .


( ) ( ) ( )2 22 1 1 2 1 7 1 7 0.x x x x⎛ ⎞+ + + + + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.32)

Решение. Пусть ( ) ( )21 7f x x x= + + . Тогда уравнение (5.32) при-

нимает вид ( ) ( )2 1 0f x f x+ + = или ( ) ( )2 1f x f x+ = − . Так как функция

( )2( ) 1 7f x x x= + + является нечетной, то ( ) ( )f x f x− = − .

В этой связи уравнение (5.32) принимает вид функционального урав-нения ( )( ) ( )( )f g x f h x= , где ( ) 2 1g x x= + и ( )h x x= − . Так как функ-

ция ( )y f x= возрастает на всей числовой оси OX , то вместо уравнения


( )( ) ( )( )f g x f h x= можно рассматривать уравнение ( ) ( )g x h x= (см. Тео-

рему 4), т. е. 2 1x x+ = − . Тогда 113

x = − .

♦ Ответ: 113

x = − .


2

4 3 2

3 34 .1 8 16 1

x xx x x

− =+ − + +

(5.33)


( ) ( ) ( )22 2 24 1 4 1 3 1 ( 3) 1 .x x x x⎛ ⎞

− + − + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.34)

Поскольку правая часть уравнения (5.34) является положительной, то 24 0x x− > или 0 4x< < .

Пусть ( )2( ) 1 1f x x x= + + . Тогда уравнение (5.34) можно переписать

как

( ) ( )24 3 .f x x f− = (5.35)

где 0 4x< < . Так как функция ( )y f x= является непрерывной и возрастающей на

всей числовой оси OX , то уравнение (5.35) равносильно уравнению 24 3x x− = . Отсюда получаем уравнение 2 4 3 0x x− + = , корнями ко-

торого являются 1,2 2 4 3x = ± − . Поскольку 10 4x< < и 20 4x< < , то корнями уравнения (5.33) явля-

ются 1 2,x x .

♦ Ответ: 1 2 4 3x = + − , 2 2 4 3x = − − .


4 2 2 22 2 1 1 4 4 .x x x x x− + − + = + (5.36)


Решение. Уравнение (5.36) можно переписать как

( ) ( )2 22 21 2 1 2 2 2 .x x x x− + − = + (5.37)

Пусть ( ) 2 2f x x x= + , тогда уравнение (5.37) принимает вид функ-ционального уравнения (5.2), а именно

( )( ) ( )( ) ,f g x f h x= (5.38)

где ( ) 2 1g x x= − и ( ) 2h x x= .

Отметим, что функция ( )y f x= является четной, так как ( )f x− =

= ( )f x . Нетрудно видеть, что при 0x ≥ функция ( ) 2 2f x x x= + являет-ся непрерывной и возрастающей, а при 0x < — непрерывной и убываю-щей. В этой связи (согласно Теореме 5) уравнение (5.38) равносильно со-вокупности уравнений ( ) ( )g x h x= и ( ) ( )g x h x= − .

Уравнение ( ) ( )g x h x= принимает вид 2 1 2x x− = или 2 2 1 0x x− − = .

Тогда 1 1 2x = + , 2 1 2x = − . Из уравнения ( ) ( )g x h x= − вытекает урав-

нение 2 1 2x x− = − или 2 2 1 0x x+ − = . Отсюда получаем 3 1 2x = − + и

4 1 2x = − − .

♦ Ответ: 1 1 2x = + , 2 1 2x = − , 3 1 2x = − + , 4 1 2x = − − .


( )32 2 32 2x x x x+ − + − = . (5.39)

Решение. Представим уравнение (5.39) в виде

( )32 2 32 2x x x x x x+ − + + − = + . (5.40)

Пусть ( ) 3f x x x= + , ( ) 2 2g x x x= + − и ( )h x x= , тогда уравне- ние (5.40) представляет собой функциональное уравнение вида (5.2), т. е. ( )( ) ( )( )f g x f h x= .

Поскольку функция ( ) 3f x x x= + является непрерывной и возрастаю-щей на всей числовой оси OX , то (согласно Теореме 4) уравнение


( )( ) ( )( )f g x f h x= равносильно уравнению ( ) ( )g x h x= , т. е. уравне-

ние (5.40) равносильно уравнению 2 2x x x+ − = или 2 2x = . Отсюда по-лучаем 1 2x = − и 2 2x = .

♦ Ответ: 1 2x = − , 2 2x = .


2 21sin sin 0.

1 2x

x x x+ =

+ + + (5.41)

Решение. Обозначим ( ) sinf x x= , ( ) 2 1xg x

x=

+ и ( ) 2

12

h xx x

=+ +

,

тогда уравнение (5.41) можно записать в виде функционального уравне-ния ( )( ) ( )( ) 0f g x f h x+ = . Поскольку функция ( ) sinf x x= является не-

четной, то ( )( ) ( )( )f h x f h x− = − .

В таком случае уравнение ( )( ) ( )( ) 0f g x f h x+ = будет равносильно

уравнению ( )( ) ( )( )f g x f h x= − .

Известно, что функция ( ) sinf x x= на промежутке 2 2

xπ π− < < яв-

ляется возрастающей. Так как ( )1 12 2

g x− ≤ ≤ и ( ) 407

h x< ≤ , то можно

утверждать, что функция ( ) sinf x x= возрастает на множестве значений

функций ( ) 2 1xg x

x=

+, ( ) 2

12

h xx x

=+ +

и поэтому уравнение ( )( )f g x =

= ( )( )f h x− равносильно уравнению ( ) ( )g x h x= − , т. е.

2 21

1 2x

x x x= −

+ + +.

Отсюда получаем кубическое уравнение 3 22 2 1 0x x x+ + + = , которое имеет единственный действительный корень 1 1x = − .

♦ Ответ: 1 1x = − .



( )4 21 4 4 4x x x x− + − = + . (5.42)

Решение. Областью допустимых значений переменной x в уравне-нии (5.42) являются 0x ≥ .

Уравнения (5.42) равносильно уравнению

( ) ( )4 21 4 1 4x x x x− + − = + ,

которое можно переписать в виде функционального уравнения ( )( )f g x =

= ( )( )f h x , где ( ) 4 4f x x x= + , ( ) 1g x x= − и ( )h x x= .

Так как ( )/ 34 4f x x= + , то функция ( ) 4 4f x x x= + возрастает при условии, что 1x ≥ − . Поскольку на области допустимых значений пере-менной x выполняются неравенства ( ) 1g x ≥ − и 0x ≥ , то можно ут-

верждать, что функция ( ) 4 4f x x x= + возрастает на множестве значений

функций ( )y g x= и ( )y h x= . В этой связи (см. Следствие 5) уравнение

( )( ) ( )( )f g x f h x= равносильно уравнению ( ) ( )g x h x= .

Из уравнения 1x x− = получаем 1 52

x += или 1

3 52

x += .

♦ Ответ: 13 5

2x += .


6 2 3sin 3sin cos 2 3cos 2x x x x− = − . (5.43)

Решение. Перепишем уравнение (5.43) в виде функционального уравне-ния ( )( ) ( )( )f g x f h x= . Для этого положим ( ) 3 3f x x x= − , ( ) 2sing x x=

и ( ) cos 2h x x= .

Поскольку ( )/ 23 3f x x= − и 0 ( ) 1g x≤ ≤ , 1 ( ) 1h x− ≤ ≤ , то функция 3( ) 3f x x x= − убывает на множестве значений функций ( )g x , ( )h x , т. е. на

отрезке 1 1x− ≤ ≤ . В таком случае уравнение ( ( )) ( ( ))f g x f h x= равно-

сильно уравнению 2sin cos 2x x= , из которого следует


1 cos 2 cos 22

x x−= или 1cos 2

3x = .

Отсюда получаем корни уравнения (5.43)

11 1arccos2 3

x nπ= ± + ,

где n — целое число.

♦ Ответ: 11 1arccos2 3

x nπ= ± + , где n — целое число.


2 23 1 3 12 3 4 9x x x x x x− + − − −− = − . (5.44)

Решение. Перепишем уравнение (5.44) в виде равносильного уравне-ния

( )22 3 13 1 2 22 3 2 3x xx x x x− − +− + −− = − . (5.45)

Положим ( ) 2 3x xf x −= − , ( ) 2 3 1g x x x= − + и ( ) 2h x x= . Тогда урав-

нение (5.45) принимает вид функционального уравнения ( )( )f g x =

= ( )( )f h x .

Так как ( )/ ln 2 2 ln 3 3 0x xf x −= ⋅ + ⋅ > , то функция ( ) 2 3x xf x −= − яв-ляется возрастающей на всей числовой оси OX . Тогда уравнение (5.45) равносильно уравнению ( ) ( )g x h x= , т. е. 2 3 1 2x x x− + = . Квадратное

уравнение 2 5 1 0x x− + = имеет два корня 15 21

2x −= и 2

5 212

x += .

♦ Ответ: 15 21

2x −= , 2

5 212

x += .


( ) ( )2 228 log 5 3 5x x x x⋅ − + = − + . (5.46)

Решение. Из уравнения (5.46) следует, что область допустимых зна-чений переменной x совпадает с множеством всех действительных чисел.


Перепишем уравнение (5.46) в виде

( )2

2

2

log 5 385

x x

x x

− +=

− + (5.47)

и положим ( ) 2log xf xx

= , ( ) 2 5g x x x= − + , ( ) 8h x = . Отметим, что здесь

( )21 19 4

2 4g x x⎛ ⎞= − + >⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Нетрудно заметить, что уравнение (5.47) имеет вид функционального уравнения ( )( ) ( )( )f g x f h x= , где ( ) 4g x > и ( ) 8h x = .

Поскольку ( )/ 2 22

log loge xf xx−

= , то ( )/ 0f x < при x e> . Отсюда

следует, что функция ( ) 2log xf xx

= убывает на множестве значений

функций ( )y g x= и ( )y h x= , т. е. убывает на интервале 4x > . Поэто-

му уравнение (5.47) равносильно уравнению 2 5 8x x− + = . Отсюда по-

лучаем уравнение 2 3 0x x− − = , которое имеет два корня 11 13

2x −= и

21 13

2x +

= .

♦ Ответ: 11 13

2x −= , 2

1 132

x += .


( ) ( )2 22 32 2 3

log 2 2 log 2 3x x x x++− − = − − . (5.48)

Решение. Если разделим на 2 обе части уравнения (5.48), то, исполь-

зуя свойство логарифмов 1log logn bba a

n= ⋅ , получим уравнение

( ) ( )2 28 4 3 7 4 3log 2 2 log 2 3x x x x+ +− − = − − . (5.49)

Обозначим 2 2 3x x a− − = и 7 4 3 b+ = , тогда уравнение (5.49) мож-но переписать в виде ( )1log 1 logb ba a+ + = . Полученное уравнение преоб-разуем как


( )( )

log 1log

log 1b

bb

aa

b+

=+

,

( ) ( )log 1

log 1logb

bb

ab

a+

= + или ( ) ( )log 1 log 1a ba b+ = + .

Пусть ( ) ( )log 1zf z z= + . Вычислим производную функции

( )y f z= . Тогда

( ) ( ) ( )( )

/2

ln 1 ln 1

1 ln

z z z zf x

z z z

⋅ − + ⋅ +=

⋅ + ⋅.

Очевидно, что ( )/ 0f x < для любых z из области определения функ-

ции ( )y f z= . Следовательно, функция ( )y f z= убывает при 0 1z< < и

1z > . В этой связи уравнение ( ) ( )f a f b= равносильно уравнению a b= . Равносильность данных уравнений следует из того факта, что 1b > .

Так как 2 2 3a x x= − − и 7 4 3b = + , то получаем уравнение 2x −

– 2 3 7 4 3x − = + , которое имеет два корня 1 1 11 4 3x = − + и 2x =

= 1 11 4 3+ + .

♦ Ответ: 1 1 11 4 3x = − + , 2 1 11 4 3x = + + .


( )2 12 2 9

x xx x

+ ++ + = . (5.50)

Решение. Поскольку 2 2 1x x+ + > при всех x , то областью допусти-мых значений переменной x в уравнении (5.50) является множество всех действительных чисел.

Положив ( ) 1xf x x −= , ( ) 2 2g x x x= + + и ( ) 3h x = , увидим, что урав-

нение (5.50) принимает вид ( )( ) ( )( )f g x f h x= , где ( ) 1g x > и ( ) 3h x = .

Так как из двойного неравенства 1 21 x x< < следует, что

( ) ( )1 2 21 1 11 21 1 2

x x xf x x x x f x− − −= < < = ,

то функция ( ) 1xf x x −= является возрастающей на множестве значений

функций ( )y g x= и ( )y h x= . В этой связи уравнение (5.50) равно-


сильно уравнению 2 2 3x x+ + = , которое имеет два корня 11 5

2x − −=

и 21 5

2x − +

= .

♦ Ответ: 11 5

2x − −= , 2

1 52

x − += .


5 4 10 6

6 2 3

,

8 2 .

x xy y y

x x y y

⎧ + = +⎪⎨⎪ + = +⎩

(5.51)

Решение. Нетрудно установить, что 1 10, 0x y= = являются корнями системы уравнений (5.51).

Пусть теперь 0y ≠ . Разделим обе части первого уравнения системы

(5.51) на 5y и перепишем систему уравнений (5.51) в виде

( ) ( )

55

3 32 2

,

2 2 .

x x y yy y

x x y y

⎧⎛ ⎞⎪ + = +⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎨⎪⎪ + = +⎩

(5.52)

Пусть ( ) 5f z z z= + и ( ) 3g z z z= + . Тогда система уравнений (5.52) принимает вид

( )

( ) ( )2

,

2 .

xf f yy

g x g y

⎧ ⎛ ⎞=⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎨

⎪=⎪⎩

(5.53)

Поскольку функции ( ) 5f z z z= + , ( ) 3g z z z= + являются возрас-тающими на всей оси OZ , то из системы (5.53) получаем

2

,

2

x yy

x y

⎧ =⎪⎪⎨⎪

=⎪⎩

или 2

2

,

2 .

x y

x y

⎧ =⎪⎨⎪ =⎩


Так как 0y ≠ , то корнями последней системы уравнений являются 3

2 4x = и 32 2y = .

Следовательно, система уравнений (5.51) имеет две пары корней:

1 10, 0x y= = и 32 4x = , 3

2 2y = .

♦ Ответ: 1 10, 0x y= = ; 32 4x = , 3

2 2y = .


2 2

2 2

7 7 ,

2 2 .

y y x x

x x y y

⎧− + + − =⎪⎪

⎨⎪ + + + + =⎪⎩

(5.54)

Решение. Рассмотрим функцию ( )f z a z= + , где a — некоторый параметр. Очевидно, что эта функция является возрастающей на сво-

ей области определения. Поскольку ( )( )f f z a a z= + + , то урав-

нение ( )( )f f z z= (согласно Следствию 2) равносильно уравнению

( )f z z= , которое имеет вид a z z+ = .

Положив z x= и 2 7a y= − , получим, что первое уравнение системы (5.54) равносильно уравнению

2 7y x x+ − = . (5.55)

Если z y= и 2 2a x= + , то окажется, что второе уравнение системы (5.54) равносильно уравнению

2 2x y y+ + = . (5.56)

Возведем в квадрат левые и правые части уравнений (5.55) и (5.56), тогда получим систему уравнений

2 2

2 2

7 ,

2 .

y x x

x y y

⎧ + − =⎪⎨⎪ + + =⎩

(5.57)

Если сложить уравнения системы (5.57), то 5 0x y+ − = или 5y x= − .

Подставим 5y x= − в первое уравнение системы (5.57), тогда ( )25 x− +

+ 27x x− = или 1 2x = . Так как 5y x= − , то 1 3y = .


Непосредственной подстановкой в (5.54) убеждаемся в том, что 1 2x = и 1 3y = — корни системы уравнений (5.54).

♦ Ответ: 1 2x = , 1 3y = .


2 2

,

12.

y xx y e e

x xy y

⎧ − = −⎪⎨⎪ + + =⎩

(5.58)

Решение. Из первого уравнения системы (5.58) получаем уравнение x yx e y e+ = + . Пусть ( ) xf x x e= + , тогда имеем функциональное уравне-

ние ( ) ( )f x f y= . Известно, что функция ( ) xf x x e= + возрастает на всей числовой оси OX , поэтому уравнение ( ) ( )f x f y= равносильно равенст-ву x y= . В этой связи из второго уравнения системы (5.58) получаем

23 12x = или 1,2 2x = ± . Так как x y= , то корнями системы уравнений (5.58) являются

1 12, 2x y= − = − и 2 22, 2x y= = .

♦ Ответ: 1 12, 2x y= − = − ; 2 22, 2x y= = .

URSS

РАЗДЕЛ 6

Методы, использующие понятие вектора

Недостаточное внимание в общеобразовательной школе уделяется применению векторов для решения уравнений и неравенств. Тем не ме-нее, как будет показано ниже, в ряде случаев применение свойств векто-ров позволяет эффективно решать довольно-таки сложные уравнения и неравенства.

Вектор a в трехмерном пространстве характеризуется тремя коорди-натами 1 2 3, ,a a a и модуль (длина) вектора a вычисляется по формуле

2 2 21 2 3a a a a= + + .

Суммой (разностью) двух векторов ( )1 2 3; ;a a a a и ( )1 2 3; ;b b b b на-

зывается вектор ( )1 2 3; ;c c c c , координаты которого вычисляются как

1 1 1c a b= + , 2 2 2c a b= + , 3 3 3c a b= + (соответственно, 1 1 1c a b= − ,

2 2 2c a b= − , 3 3 3c a b= − ). Два отличных от нуля вектора называются коллинеарными, если они

лежат на одной прямой или на параллельных прямых. У коллинеарных век-торов соответствующие координаты пропорциональны. Верно и обратное утверждение: если у двух векторов соответствующие координаты пропор-циональны, то векторы коллинеарные.

Для векторов ( )1 2 3; ;a a a a и ( )1 2 3; ;b b b b справедливо неравенство

a b a b± ≥ ± , т. е.

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

22 21 1 2 2 3 3

a a a b b b

a b a b a b

+ + + + + ≥

≥ ± + ± + ± (6.1)

URSSМетоды, использующие понятие вектора 147

Формула (6.1) обобщается на случай суммы (или разности) трех и бо-лее векторов. Геометрический смысл (6.1) состоит в том, что длина ломан-ной линии, соединяющей две точки трехмерного пространства, больше или равна длине отрезка прямой, проведенного между этими точками. Форму-ла (6.1) иначе называется неравенством треугольника.

Следует особо отметить, что равенство в (6.1) достигается тогда и только тогда, когда векторы a и a коллинеарные. В частности, из равен-

ства в (6.1) следует, что 31 2

1 2 3

aa ab b b

= = .

Причем равенство a b a b+ = + имеет место тогда и только тогда,

когда векторы a и b сонаправлены, т. е. 31 2

1 2 30

aa ab b b

= = > .

В свою очередь, равенство a b a b+ = − свидетельствует о том, что

векторы a , b противоположно направлены и 31 2

1 2 30

aa ab b b

= = < .

Скалярным произведением a b векторов ( )1 2 3; ;a a a a и ( )1 2 3; ;b b b b называется число (скаляр), которое вычисляется по формуле

cosa b a b ω= ⋅ ⋅ , (6.2)

где ω — угол, образованный векторами a и b . Из формулы (6.2) вытекает неравенство a b a b≤ ⋅ .

Для вычисления скалярного произведения двух векторов a и b , за-данных в координатной форме, существует еще одна формула

1 1 2 2 3 3a b a b a b a b= + + . (6.3)

Из формул (6.2) и (6.3) легко получить формулу для вычисления ко-синуса угла ω между векторами a и b , т. е.

1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

cosa b a b a b

a a a b b bω

+ +=

+ + ⋅ + +. (6.4)

Из формулы (6.2) следует, что векторы a , b являются коллинеарными тогда и только тогда, когда a b a b= ⋅ .

Отметим, что формулы (6.1)–(6.4) обобщаются на случай векторов a и b , заданных в n — мерном пространстве (где 2n ≥ ).



6.1. Доказать, если 2 2 2 1x y z+ + = , то

4 4 41 1 1 10x y z+ + + + + ≥ . (6.5)

Доказательство. Введем в рассмотрение три вектора на плоскости

( )2 ;1a x , ( )2 ;1b y и ( )2 ;1c z . Тогда 4 1a x= + , 4 1b y= + и c =

= 4 1z + . Если положить d a b c= + + , то

( ) ( )2 22 2 2 1 1 1 10d x y z= + + + + + = .

В таком случае неравенство (6.1) принимает вид a b c d+ + ≥ . Ес-

ли в данное неравенство подставить выражения для , ,a b c и d , то по-

лучим неравенство (6.5).

6.2. Доказать, если 1 2 ... nx x x n+ + + = , то

2 2 21 21 1 1 2nx x x n+ + + +…+ + ≥ , (6.6)

где 2n ≥ .

Доказательство. Пусть ( )1 1;1a x , ( )2 2;1a x , …, ( ); 1n na x , тогда 2

1 1 1a x= + , 22 2 1a x= + , …, 2 1n na x= + . Введем в рассмотрение век-

тор 1 2 na a a a= + +…+ .

Так как 1 2 nx x x n+ +…+ = , то вектор a имеет координаты ( );n n и

2a n= . Поскольку 1 2 na a a a= + +…+ , то неравенство треугольника


1 2 na a a a+ +…+ ≥ . (6.7)

Если в неравенство (6.7) подставить выражения для 1a , 2a , …, na

и a , то получим требуемое неравенство (6.6).



2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 n nx y x y x y p q+ + + +…+ + ≥ + , (6.8)

где 1 2 nx x x p+ +…+ = и 1 2 ny y y q+ +…+ = ,

Доказательство. Пусть векторы 1a , 2a , …, na имеют координаты

( )1 1;x y , ( )2 2;x y , …, ( );n nx y соответственно, тогда 2 21 1 1a x y= + ,

2 22 2 2a x y= + , …, 2 2

n n na x y= + . Пусть 1 2 na a a a= + +…+ . По усло-

вию задачи 1 2 nx x x p+ +…+ = и 1 2 ny y y q+ +…+ = , поэтому ( );a p q и 2 2a p q= + . Отсюда с учетом неравенства треугольника 1 2a a+ +…+

na a+ ≥ следует справедливость неравенства (6.8).

6.4. Пусть 1 2 ... 3nx x x+ + + = , 1 2 ... 4ny y y+ + + = и 1 2 ... 5nz z z+ + + = . Доказать, что

2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2 ... 5 2n n nx y z x y z x y z+ + + + + + + + + ≥ . (6.9)

Доказательство. Рассмотрим в трехмерном пространстве n векто-ров ka с координатами ( ); ;k k kx y z , где 1, 2, ,k n= … . Тогда ka =

= 2 2 2k k kx y z+ + .

Пусть 1 2 na a a a= + +…+ . Тогда

( ) ( )1 2 1 2 1 2; ; 3; 4; 5n n na x x x y y y z z z a+ +…+ + +…+ + +…+ =

и 2 2 23 4 5 5 2a = + + = .

Так как в рассматриваемом примере неравенство (6.1) принимает вид

1 2 na a a a+ +…+ ≥ , то после подстановки в него выражений для 1a , _

2| |a , …, _

| |na и _

| |a , получаем неравенство (6.9).


2 2 2 2 2 21 1 2 2 1n nx y x y x y+ + + +…+ + ≥ , (6.10)

если 1 2 ... sinnx x x ω+ + + = и 1 2 cosny y y ω+ +…+ = .


Доказательство проводится по аналогии с задачей 6.3. При этом полагается, что sinp ω= и cosq ω= . Кроме того, здесь используется из-

вестное равенство 2 2sin cos 1ω ω+ = .


2 2(6 ) 4 ( 2) 1 5x x− + + − + ≤ . (6.11)

Решение. Пусть на плоскости вектор a имеет координаты (6 ; 2)x− ,

а вектор b — координаты ( )2;1x − . Тогда имеем ( )26 4a x= − + и

( )22 1b x= − + . Пусть c a b= + , тогда координаты вектора ( )1 2;c c c

будут вычисляться по формулам 1 1 1 6 2 4c a b x x= + = − + − = и 2c =

= 2 2 2 1 3a b+ = + = . Отсюда следует, что 2 23 4 5c = + = . Поскольку

c a b= + , то имеет место неравенство треугольника a b a b+ ≥ + . Ес-

ли в последнее неравенство подставить выражения для ,a b и c , то по-

лучим неравенство 2 2(6 ) 4 ( 2) 1 5x x− + + − + ≥ . Отсюда и из (6.11) сле-дует равенство

2 2(6 ) 4 ( 2) 1 5x x− + + − + = . (6.12)

Равенство (6.12) означает, что a b a b+ = + . Отсюда следует, что

векторы ( )6 ; 2a x− и ( )2;1b x − коллинеарные. Используя основное свой-

ство коллинеарных векторов, получаем уравнение 6 22 1x

x−

=−

, откуда выте-

кает 1103

x = .

♦ Ответ: 1103

x = .

Примечание. Неравенство (6.11) можно задать в более усложненном виде,

т. е. 2 212 40 4 5 5x x x x− + + − + ≤ .



1 2 3 50 3 12x x x+ + − + − ≤ . (6.13)


стве (6.13) являются 3 502 3

x≤ ≤ .

Рассмотрим в трехмерном пространстве два вектора ( )1;1;1a и

( )1; 2 3; 50 3b x x x+ − − .

Поскольку 1 2 3 50 3a b x x x= + + − + − , 3a = и

1 2 3 50 3 48 4 3b x x x= + + − + − = = , то известное неравенство a b ≤

a b≤ ⋅ принимает вид неравенства (6.13). Отсюда делаем вывод о том,

что неравенство (6.13) справедливо для любого x из области допустимых значений.

Следовательно, решением неравенства (6.13) являются 3 502 3

x≤ ≤ .

♦ Ответ: 3 502 3

x≤ ≤ .


4 4sin 1 cos 1 5x x+ + + ≤ . (6.14)

Решение. Введем в рассмотрение три вектора ( )2sin ;1a x ,

( )2cos ;1b x и c a b= + . Тогда 4sin 1a x= + , 4cos 1b x= + , c =

= ( ) ( )2 22 2sin cos 1 1 5x x+ + + = и неравенство треугольника (6.1) при-

нимает вид 4 4sin 1 cos 1 5x x+ + + ≥ . Отсюда и из неравенства (6.14)

получаем равенство 4 4sin 1 cos 1 5x x+ + + = , из которого следует, что векторы a и b коллинеарные.


Следовательно, имеет место 2

2sin 1cos

xx= или tg 1x = ± . Корнями по-

следнего уравнения являются 1 (2 1)4

x kπ= + , где k — целое число.

♦ Ответ: 1 (2 1)4



21 3 2 1x x x x+ + − = + . (6.15)

Решение. Введем в рассмотрение два вектора ( ;1)a x и

( )1; 3b x x+ − . Тогда 2 1a x= + , ( ) ( )1 3 2b x x= + + − = и, согласно

формуле (6.3), 1 3a b x x x= + + − . Принимая во внимание уравнение (6.15), получаем равенство

a b a b= ⋅ , наличие которого свидетельствует о том, что векторы a и

b являются коллинеарными. Следовательно, имеет место уравнение

11 3

xx x

=+ −

. (6.16)

Отсюда следует, что 0 3x< < . Если возвести в квадрат обе части

уравнения (6.16), то получим уравнение 3 23 1 0x x x− + + = , которое имеет следующих три корня: 1 1x = и 2,3 1 2x = ± . Поскольку 0 3x< < , то кор-

нями уравнения (6.15) являются 1 1x = и 2 1 2x = + .

♦ Ответ: 1 1x = , 2 1 2x = + .

Примечание. В разделе 3 (см. задачу 3.30) предлагается решение уравнения (6.15) на основе применения неравенства Коши—Буняковского.


22 1 2 1 1 2 3x x x x x x− + − = + − ⋅ + . (6.17)


Решение. Пусть ( ); 1a x x − и ( )2 1;2b x − . Тогда 2 1a x x= + − ,

2 3b x= + и формула (6.3) принимает вид 2 1 2 1a b x x x= − + − .

В таком случае из уравнения (6.17) следует равенство a b a b= ⋅ ,

наличие которого свидетельствует о том, что векторы a и b коллинеар-ные.

Следовательно, имеем уравнение

122 1

x xx

−=

−, (6.18)

где 1x ≥ . Возведем в квадрат обе части уравнения (6.18), тогда 2 1

2 1 4x xx

−=

− или 22 3 1 0x x+ − = .

Корнями квадратного уравнения являются 1,23 17

4x − ±

= . Однако

ранее было отмечено, что 1x ≥ . Так как 3 17 14

− ±< , то уравнение (6.17)

корней не имеет.



( ) ( )22 1 5 4 24x x x x− + = + ⋅ + . (6.19)

Решение. Областью допустимых значений переменной x в уравне-нии (6.19) являются 1x > .

Пусть ( )2;a x и ( )1;5b x − . Тогда 2 1 5a b x x= − + и a b⋅ =

= ( ) ( )2 4 24x x+ ⋅ + . Следовательно, уравнение (6.19) представляет собой

равенство a b a b= ⋅ . Отсюда следует, что векторы a и b являются

коллинеарными. В этой связи можно записать уравнение

251x

x=

−. (6.20)


Обозначим ( ) 21

f xx

=−

и ( )5xg x = . Функция ( )y f x= является

непрерывной и убывающей при 1x > , а функция ( )y g x= — непрерыв-ной и возрастающей на всей числовой оси OX . Поэтому уравнение (6.20) имеет не более одного корня. Подбором находим его единственный ко-рень 1 5x = .

♦ Ответ: 1 5x = .


( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2

22

2 1 2 1 9

9 2 1 16.

x y x y y x y

y x

+ + − + + − + + + =

= + + + (6.21)

Решение. Положим ( ); 2 ;1a x y x y+ − и ( )2 ; 1; 3b y x y− + . Тогда

( ) ( )2 22 1a x y x y= + + − + и ( ) ( )2 22 1 9b y x y= − + + + . Пусть c =

= a b+ , тогда ( )3 ; 2 1; 4c y x + и ( )229 2 1 16c y x= + + + .

В таком случае из уравнения (6.21) вытекает равенство a b+ =

= a b+ . Следовательно, векторы a и b являются коллинеарными. В этой

связи имеет место 2 12 1 3x y x yy x y+ −

= =− +

. Отсюда получаем систему урав-

нений 1 ,

2 3

2 11 3

x yy x

x yy

+⎧ =⎪ −⎪⎨

−⎪ =⎪ +⎩

или 4 0,

6 4 1.

x y

x y

+ =⎧⎪⎨

− =⎪⎩

Корнями последней системы уравнений являются 1122

x = и 12

11y = − .

♦ Ответ: 1122

x = , 12

11y = − .



15 12cos 7 4 3 sin 4x x− + − = . (6.22)

Решение. Введем в рассмотрение векторы ( )3 sin ; 2 3 3 cosa x x−

и ( )2 3 sin ; 3 cosb x x− , тогда 15 12cosa x= − и 7 4 3 sinb x= − .

Пусть c a b= + . В таком случае вектор ( )1 2;c c c имеет координаты

1 3 sin 2 3 sin 2c x x= + − = и 2 2 3 3 cos 3 cos 2 3c x x= − + = , а его

длина равна 4 12 4c = + = .

Нетрудно видеть, что уравнение (6.22) представляет собой равенство a b a b+ = + . Следовательно, векторы a и b коллинеарные, а еще точ-

нее, сонаправленые. А этот факт означает, что их одноименные координа-ты пропорциональны и их отношение больше нуля, т. е. имеет место сис-тема

3 sin 2 3 3 cos ,2 3 sin 3 cos

3 sin 0.2 3 sin

x xx x

xx

⎧ −=⎪

−⎪⎨⎪

>⎪−⎩

(6.23)

Из уравнения системы (6.23) следует 3 sin cos 2x x+ = , 3 sin2

x +

+ 1 cos 12

x = , sin 16

x π⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

и ( )1 6 13

x nπ= + , где n — целое число.

Так как 3 sin 2x < , то из неравенства 3 sin 02 3 sin

xx>

− получаем не-

равенство sin 0x > , которое выполняется для ( )1 6 13

x nπ= + , где n — целое

число. Следовательно, найденные значения x удовлетворяют системе (6.23).

♦ Ответ: ( )1 6 13

x nπ= + , где n — целое число.


6.14. Решить в положительных числах систему уравнений

2 3

2 3 4

3 4 5

2,

4,

8.

x y z

x y z

x y z

⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪⎪ + + =⎩

(6.24)

Решение. Рассмотрим два вектора ( ); ;a x y z z и ( )2 2; ;b x x y z z .

Тогда с учетом первого и третьего уравнений системы (6.24) можно опре-

делить 2 3 2a x y z= + + = и 3 4 5 8 2 2b x y z= + + = = .

Вычислим косинус угла ω , образованного векторами a и b по фор-муле (6.4), т. е.

_ _2 3 4

_ _4cos 142 2 2| | | |

a b x y z

a bω + +

= = = =⋅⋅

.

Отсюда следует, что векторы a и b коллинеарные, а это означает,

что их одноименные координаты пропорциональны, т. е. 2x x y

yx= =

= 2

z zz z

или x y z= = . В таком случае система уравнений (6.24) прини-

мает вид

2 3

2 3 4

3 4 5

2,

4,

8.

x x x

x x x

x x x

⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪⎪ + + =⎩

(6.25)

Так как ( )2 3 21 0x x x x x x+ + = + + > и 21 0x x+ + > , то 0x > . Кроме

того, из первого уравнения системы (6.25) следует, что 1x < , поскольку в противном случае 2 3 3x x x+ + ≥ . В тоже время из второго уравнения этой системы получаем 1x > , так как иначе 2 3 4 3x x x+ + ≤ .

Следовательно, система уравнений (6.25) несовместна, т. е. система уравнений (6.24) не имеет корней.




( ) ( )2 22 2

2 2

2 2 4,

6 5 0.

x y x y

x y x

⎧ + + + − + =⎪⎨⎪ + − + =⎩

(6.26)

Решение. Пусть векторы a , b имеют координаты ( )2;x y+ и

( )2;x y− , соответственно. Тогда ( )2 22a x y= + + и ( )2 22b x y= − + .

Пусть c a b= − . Тогда координатами вектора c являются ( )4; 0 и 4c = .

В таком случае из первого уравнения системы (6.26) следует, что a b c+ = , а это означает, что векторы a и b коллинеарные.

Так как векторы a и b коллинеарные, то 22

x yx y+

=−

. Если при этом

0y ≠ , то соотношение 2 12

xx+

=−

противоречиво.

Пусть 0y = . Тогда из (6.26) получаем систему уравнений

2

2 2 4,

6 5 0,

x x

x x

⎧ + + − =⎪⎨⎪ − + =⎩

которая имеет единственный корень 1 1x = .

Поскольку a b a b+ = − , то векторы a и b противоположно на-

правленные. Следовательно, при 1 1x = должно выполняться неравенство 2 02

xx+

<−

. Легко можно убедиться, что это действительно так.

♦ Ответ: 1 1x = , 1 0y = .


2 2 2

13,

1 4 9 7.

x y z

x y z

⎧ + + =⎪⎨⎪ + + + + + =⎩

(6.27)


Решение. Пусть ( );1a x , ( ); 2b y , ( ); 3c z и s a b c= + + . Тогда, с уче-

том первого уравнения системы (6.27) имеем ( )13; 6s и 13 36 7s = + = .

Так как при этом 2 1a x= + , 2 4b y= + и 2 9c z= + , то из второго

уравнения системы (6.27) следует равенство a b c s+ + = , где s a b c= + + .

Из равенства a b c s+ + = следует, что векторы , ,a b c и s являют-

ся коллинеарными, т. е. 131 2 3 6x y z= = = . Отсюда получаем 1

136

x = ,

1133

y = , 1132

z = .

♦ Ответ: 1136

x = , 1133

y = , 1132

z = .


2 2 2 2

6,

1 4 9 16 8.

x y z t

x y z t

+ + + =⎧⎪⎨⎪ − + − + − + − =⎩

(6.28)

Решение. Определим на плоскости векторы a , b , c , d следующим

образом: ( )2, 1a x x− , ( )2, 4b y y− , ( )2, 9c z z− , ( )2, 16d t t− . В та-

ком случае ( )2 21 1a x x= − − = , 2b = , 3c = и 4d = .

Пусть a b c d s+ + + = , тогда из системы уравнений (6.28) следует, что координатами вектора ( )1 2;s s s являются 1 6s = и 2 8s = , т. е.

2 26 8 10s = + = . Поскольку a b c d s+ + + = , то

a b c d s+ + + ≥ . (6.29)

Ранее было установлено, что 1a = , 2b = , 3c = , 4d = и 10s = .

Отсюда следует, что неравенство (6.29) превращается в равенство. А это означает, что векторы a , b , c , d и s являются коллинеарными.

Следовательно, имеет место


2 2 2 2

341 4 9 16

x y z t

x y z t= = = =

− − − −. (6.30)

Корнями системы уравнений (6.30) являются 135

x = , 1115

y = , 1415

z =

и 1225

t = .

♦ Ответ: 135

x = , 1115

y = , 1415

z = , 1225

t = .


2 2 4,

1 1 2 2.

x y

x y y x x y

⎧ + =⎪⎨⎪ − + − = + −⎩

(6.31)

Решение. Из системы уравнений (6.31) имеем 1x > . Пусть ( ),a x y и

( )1, 1b y x− − . Тогда 2 2 2a x y= + = и 2b x y= + − . Вычислим

скалярное произведение векторов a и b , тогда 1 1a b x y y x= − + − .

Так как 2 2a b x y⋅ = + − , то из второго уравнения (6.31) следует,

что a b a b= ⋅ , а это равенство означает, что векторы a и b являются

коллинеарными. Следовательно, 1 1

x yy x

=− −

или 1 1x x y y− = − .

Введем в рассмотрение функцию ( ) 1f x x x= − . Тогда получаем функциональное уравнение ( ) ( )f x f y= (методы решения функциональных

уравнений приведены в разделе 5). Поскольку функция ( ) 1f x x x= − является возрастающей при 1x > , то из уравнения ( ) ( )f x f y= следует x y= . В таком случае первое уравнение системы (6.31) принимает вид

2 2 4x x+ = , откуда следует 1,2 2x = ± . Так как 1x > , то окончательно

получаем 1 1 2x y= = .

♦ Ответ: 1 12 , 2x y= = .


6.19. Пусть ( )2;1;1a , ( )1; 2;1b , ( )1;1; 2c и ( )7; 8; 9d . Выразить вектор d

через векторы a , b и c .

Решение. Будем искать представление вектора d в виде

1 2 3d x a x b x c= + + . (6.31)

Принимая во внимание координаты векторов a , b , c , d и формулу (6.31), получаем систему уравнений

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 7,

2 8,

2 9,

x x x

x x x

x x x

+ + =⎧⎪⎪ + + =⎨⎪

+ + =⎪⎩

решая которую получаем 1 1x = , 2 2x = , 3 3x = .

В таком случае формула (6.31) принимает вид 2 3d a b c= + + .

♦ Ответ: 2 3d a b c= + + .

6.20. Векторы a , b и c лежат в одной плоскости и образуют попарно друг с другом угол o120 . Разложить вектор a по векторам b и c , если 3a = , 2b = и 1c = .

Решение. Требуется найти представление вектора a в виде

a pb qc= + . (6.32)

Вектор a , представленный посредством (6.32), умножим скалярно сначала на вектор b , а затем на вектор c , тогда

,

.

a b pb b qb c

a c pb c qc c

⎧ = +⎪⎨⎪ = +⎩

(6.33)

Поскольку векторы a , b , c образуют попарно друг с другом угол o120 и 3a = , 2b = , 1c = , то

o 1cos120 3 2 32

a b a b ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

,


o 1cos120 2 1 12

b c b c ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

,

o 1 3cos120 3 12 2

a c a c ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

,

ocos 0 4b b b b= ⋅ ⋅ = и ocos 0 1c c c c= ⋅ ⋅ = .

В таком случае из системы (6.33) получаем систему уравнений отно-сительно неизвестных p и q следующего вида:

3 4 ,

3 .2

p q

p q

− = −⎧⎪⎨− = − +⎪⎩

(6.34)

Корнями системы уравнений (6.34) являются 132

p = − и 1 3q = − .

Следовательно, искомое разложение (6.32) имеет вид 3 32

a b c= − − .

♦ Ответ: 3 32

a b c= − − .


( ) 2 2 2 2, 4 2 5 6 4 13F x y x y x y x y x y= + − + + + + + − + .

Решение. Представим функцию ( ),F x y в виде

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2, 2 1 3 2F x y x y x y= − + + + + + − . (6.35)

Введем на плоскости векторы a , b с координатами ( )2; 1x y− + и

( )3; 2x y+ − , соответственно . Так как ( ) ( )2 22 1a x y= − + + и b =

= ( ) ( )2 23 2x y+ + − , то из формулы (6.35) следует, что ( ),F x y a b= + .

Пусть c a b= − , тогда координатами вектора c являются ( )5; 3− и 2 25 3 34c = + = .

Поскольку c a b= − , то a b a b+ ≥ − и ( ), 34F x y ≥ . Теперь необ-

ходимо показать, что полученная нижняя оценка функции ( ),F x y дости-


жима, т. е. существуют такие значения 1x x= и 1y y= , при которых функ-

ция ( ),F x y принимает значение 34 .

Если ( ), 34F x y = , то a b a b+ = − , т. е. векторы a и b коллине-

арные. Отсюда следует, что 2 13 2

x yx y− +

=+ −

или 1 53

yx −= . Положим 1 1y = − ,

тогда 11

1 52

3yx −

= = .

Если значения 1x и 1y подставить в (6.35), то ( )2, 1 34F − = . Следо-

вательно, минимальное значение функции ( ),F x y равно 34 .

♦ Ответ: min 34F = .

I Уточните правку - в раздел 4 (стр. 118) был вставлен абзац, по

смыслу аналогичный данному. Убрать этот отсюда?

URSSРАЗДЕЛ 7

Комбинированные методы

При решении сложных задач по математике используются самые раз-нообразные нестандартные методы, большинство из которых трудно под-дается классификации. Как правило, такие методы ориентированы на ре-шении относительно узкого круга задач, однако их знание и умение ими пользоваться весьма необходимо для успешного решения математических задач повышенной сложности. В настоящем разделе приведены задачи, решение которых базируется на применении оригинальных (эффективных, но сравнительно редко встречающихся) комбинированных методов.



( )3 22 1 2 0x x− + + = . (7.1)

Решение. Рассмотрим уравнение с параметром a вида

( )3 2 21 0x a x a− + + = , (7.2)

которое совпадает с уравнением (7.1) при условии, что 2a = . Представим уравнение (7.2) в виде квадратного уравнения относи-

тельно неизвестной переменной a , т. е. 2 2 3 2 0a ax x x− + − = . Решая квад-ратное уравнение, получаем

( )22 4 3 2

1,224 4

2 2x x xx x x xa

± −± − += = ,


или 21a x x= − , 2a x= .

Поскольку 2a = , то имеем два уравнения относительно перемен-

ной x вида 2 2 0x x− − = и 2x = . Отсюда нетрудно получить три кор-ня уравнения (7.1), т. е.

1,21 1 4 2

2x ± +

= и 3 2x = .

♦ Ответ: 11 1 4 2

2x + += , 2

1 1 4 22

x − += , 3 2x = .


4 22 3 3 3 0x x x− + + − = . (7.3)

Решение. Перепишем уравнение (7.3) в виде уравнения с параметром a ,

которое совпадает с (7.3) при 3a = , т. е. имеем 4 2 22 0x ax x a a− + + − = . Полученное уравнение является квадратным уравнением относительно параметра a , которое имеет вид

( )2 2 42 1 0a a x x x− + + + = . (7.4)

Квадратное уравнение (7.4) имеет два корня

( )2

1,22 1 2 1

2x x

a+ ± −

= ,

т. е. 21a x x= + и 2

2 1a x x= − + . Так как 3a = , то получаем два уравне-

ния относительно переменной x вида 2 3 0x x+ − = и 2 1 3 0x x− + − = , корнями которых являются

1,21 1 4 3

2x − ± +

= и 3,41 4 3 3

2x ± −

= .

♦ Ответ: 11 1 4 3

2x − + += , 2

1 1 4 32

x − − += , 3

1 4 3 32

x + −= ,

41 4 3 3

2x − −

= .

URSSКомбинированные методы 165


( )3 27 1 7 7 0x x x− + + + − = . (7.5)

Решение. Вместо уравнения (7.5) будем рассматривать уравнение

( )3 2 21 0x p x x p p− + + + − = ,

которое совпадает с уравнением (7.5) при 7p = . Перепишем данное уравнение в виде квадратного относительно пара-

метра p , т. е. в виде

( )2 2 3 21 0p p x x x x− + + − + = . (7.6)

Корнями уравнения (7.6) являются

( ) ( )

( ) ( )

22 2 3 2

1,2

42 222 4 3 2

1 1 4

2

1 1 1 11 4 6 4 1 .2 2 2

x x x x xp

x x x xx x x x x

+ ± + − − += =

+ ± − + ± −+ ± − + − += = =

Отсюда получаем 1p x= и 22 1p x x= − + . Так как 7p = , то 7x =

и 2 1 7 0x x− + − = . Отсюда получаем три корня уравнения (7.5),

т. е. 1 7x = , 21 4 7 3

2x + −

= и 31 4 7 3

2x − −= .

♦ Ответ: 1 7x = , 21 4 7 3

2x + −

= , 31 4 7 3

2x − −= .


35 2 45 2 5x x− − = − . (7.7)

Решение. Первоначально определим область допустимых значений пе-ременной x в уравнении (7.7). Имеет место

45 2 0,

35 2 45 2 0,

5 0,

x

x

x

− ≥⎧⎪⎪ − − ≥⎨⎪

− ≥⎪⎩


откуда следует, что 5 22,5x≤ ≤ .

Введем новую переменную 45 2y x= − , тогда 245

2yx −

= и уравне-

ние (7.7) принимает вид

22 35 2 35y y− = − , (7.8)

где 0 35y≤ ≤ . Возводить в квадрат обе части уравнения (7.8) нецелесо-образно, поскольку в таком случае получаем уравнение четвертой степени относительно переменной y .

Рассмотрим уравнение с параметром a вида

22 2a y a y− = − , (7.9)

которое совпадает с уравнением (7.8) при 35a = . После возведения в квадрат обеих частей уравнения (7.9) получаем уравнение второй степени относительно параметра a , т. е. ( )2 2 42 2 8 0a a y y y− + + + = или

( )

2 4 2 41,2

2 2 2

2 4 4 8

2 4 8 4 2 2 1 .

a y y y y y

y y y y y

= + ± + + − − =

= + ± − + = + ± −

Отсюда следует 21 2a y y= + и 2

2 2 4a y y= − + . Так как 35a = , то имеем совокупность двух уравнений относительно переменной ,y

т. е. 2 2 35 0y y+ − = и 2 2 31 0y y− − = , из которой получаем единствен-

ный ее корень 1 5y = , который удовлетворяет условию 0 35y≤ ≤ .

Так как 245

2yx −

= и 1 5y = , то 1 10x = .

♦ Ответ: 1 10x = .


3 3x x+ + = . (7.10)

Решение. Обозначим 3 x y+ = , тогда из уравнения (7.10) получим систему уравнений

3,

3 .

x y

x y

⎧ + =⎪⎨⎪ + =⎩

(7.11)


Из системы уравнений (7.11) следует, что 0 3 3x≤ ≤ − и 3y ≥ . Если

сложить оба уравнения системы (7.11), то получим 3 3x y x y+ + + = + ,

0x y x y− + + = или

( )( )1 0x y x y+ − + = . (7.12)

Поскольку 0x ≥ , 3y ≥ , то 0x y+ > . Следовательно, из урав-

нения (7.12) получаем 1 0x y− + = или 1y x= + . Отсюда следует

( ) 21y x= + или 2 1y x x= + + . Поскольку 3 x y+ = , то 3 x+ =

= 2 1x x+ + или 2 0x x+ − = , решая которое относительно переменной x , получаем 1x = или 1 1x = .

♦ Ответ: 1 1x = .

Примечание 1. Уравнение (7.10) можно решить методом введения пара-метра. Для этого необходимо решить относительно параметра a уравнение

x a x a+ + = , которое совпадает с уравнением (7.10) при 3a = .

Примечание 2. Имеется еще один метод решения уравнения (7.10). Пусть

( ) 3f x x x= + + , тогда нетрудно установить, что функция ( )y f x= являет-

ся непрерывной и возрастающей на области ее определения 0x ≥ . В этой связи уравнение (7.10) имеет не более одного корня. Подбором можно уста-новить, что 1 1x = является единственным корнем уравнения (7.10).


25 5x x− = − . (7.13)

Решение. Так как 5 0x− ≥ и 2 5 0x − ≥ , то областью допустимых зна-чений переменной x в уравнении (7.13) являются 5x ≤ − и 5 5x≤ ≤ .

Обозначим 5 x y− = , тогда 25 y x= + и уравнение (7.13) принимает

вид 2 2y x y x= − − , откуда получаем уравнение ( )( )1 0x y x y+ − − = . Рас-смотрим два случая.

1. Пусть 0x y+ = , тогда 5 0x x+ − = . Так как 5 0x− ≥ , то 0x ≤ и

5x ≤ − . Из уравнения 5 0x x+ − = получаем 2 5 0x x+ − = , от-


куда следует, что 1,21 21

2x − ±

= . Так как 5x ≤ − , то уравнение

5 0x x+ − = имеет единственный корень 11 21

2x − −= .

2. Пусть 1 0x y− − = , тогда 1 5x x− = − , где 5 5x≤ ≤ . Возведем обе части данного уравнения в квадрат и получим квадратное уравнение

2 4 0x x− − = , корнями которого являются 3,41 17

2x ±

= . Поскольку

5 5x≤ ≤ , то уравнение 1 5x x− = − имеет также единственный

корень 31 17

2x +

= .

♦ Ответ: 11 21

2x − −= , 3

1 172

x += .

Примечание. Уравнение (7.13) можно было решить методом введения пара-метра a (см. решение уравнений (7.1), (7.3), (7.5) и (7.8)).


3 18sincos sin

xx x

= + . (7.14)



x nπ≠ , где n — целое число.

Из уравнения (7.14) получаем

2 3 14sin cos sin cos2 2

x x x x⋅ = + , 2sin 2 sin cos3

x x x π⎛ ⎞⋅ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

,

cos cos3 cos3

x x x π⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

, cos cos cos33

x x xπ⎛ ⎞− − =⎜ ⎟⎝ ⎠

,

2sin sin cos36 6

x xπ π⎛ ⎞− − ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, cos3 sin 06

x x π⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

,

cos3 cos 02 6

x xπ π⎛ ⎞⎛ ⎞+ − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

, 2cos3 cos 03

x xπ⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

,

2cos cos 2 03 3

x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.


Рассмотрим совокупность из двух уравнений

2cos 03

x π⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

и cos 2 03

x π⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

,

корнями которых являются ( )1 6 16

x kπ= + и ( )2 6 5

12x mπ

= + , где ,k m —

целые числа.



2

2 2 5arcsin arccos32

x x π+ = . (7.15)

Решение. Обозначим arccos x y= , тогда 0 y π≤ ≤ . Известно, что

arcsin arccos2

x x π+ = , поэтому arcsin

2x yπ= − и из уравнения (7.15) по-

лучаем уравнение относительно переменной y вида 2 2

2 52 32

y yπ π⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎝ ⎠

или 2 264 32 3 0y yπ π− + = .

Решая последнее уравнение, получаем 138

y π= и 2 8

y π= . Таким об-

разом, имеет место

1 13arccos8

y x π= = и 2 2arccos

8y x π

= = .

Отметим, что найденные значения y удовлетворяют условию 0 y π≤ ≤ .

Следовательно, 13cos8

x π= и 2 cos

8x π

= .


x π= , 2 cos

8x π

= .


( ) ( )lg arctg lg arcctg 0x x+ = . (7.16)


Решение. Используя свойства логарифмов, уравнение (7.16) можно переписать в виде arctg arcctg 1x x⋅ = . (7.17)

Обозначим arctgx y= . Так как arctg2 2

xπ π− < < , а из уравнения (7.16)

следует arctg 0x > , то 02

y π< < .

Так как arctgx y= , то из уравнения (7.17) получаем 1arcctgxy

= . По-

скольку arctg arcctg2

x x π+ = , то 1

2y

yπ

+ = . Однако известно (см. неравен-

ство (3.3)), если 0y > , то 1 2yy

+ ≥ . В связи с тем, что 22π< , можно сде-

лать вывод о том, что уравнение 12

yy

π+ = корней не имеет.



2 23 5 7 3 7 2 3x x x x− + + − + = . (7.18)

Решение. Преобразуем уравнение (7.18), используя известное равен-

ство a ba ba b−

+ =−

, где 0a b− ≠ , тогда

2 2

2 2

3 5 7 3 7 2 33 5 7 3 7 2

x x x x

x x x x

− + − + −=

− + − − + или

2 2 2 53 5 7 3 7 23

xx x x x +− + − − + = . (7.19)

Если уравнение (7.18) сложить с уравнением (7.19), то получим урав-

нение 2 73 5 73

xx x +− + = . Поскольку левая часть уравнения неотрица-

тельна, то 7x ≥ − . Возведем обе части уравнения в квадрат, и получим

квадратное уравнение 226 59 14 0x x− + = , корнями которого являются


1 2x = и 2726

x = . Непосредственной подстановкой в (7.18) убеждаемся,

что найденные значения x являются его корнями.

♦ Ответ: 1 2x = , 2726

x = .

Примечание. Проверка в примере 7.10 требуется по той причине, что необ-ходимо убедиться в том, что при найденных значениях x подкоренные вы-ражения в уравнении (7.18) будут неотрицательны.

Кроме того, необходимо также убедиться, что 0a b− ≠ , т. е. 2 23 5 7 3 7 2 0x x x x− + − − + ≠ . Для этого достаточно значения 1x и 2x

подставить в правую часть равенства (7.19), которая после подстановки должна принимать значения, отличные от нуля.


2 2 2 23 7 3 3 5 1 2 3 4x x x x x x x− + − − − = − − − + . (7.20)

Решение. Преобразуем уравнение (7.20) на основе использования ра-

венства a ba ba b−

− =+

, где 0, 0a b≥ ≥ и 0a b+ > .

Тогда уравнение (7.20) принимает вид 2 2 2 2

2 2 2 2

3 7 3 3 5 1 2 3 4

3 7 3 3 5 1 2 3 4

x x x x x x x

x x x x x x x

− + − + + − − + −=

− + + − − − + − +.

Отсюда получаем уравнение

( ) ( )

2 2 2 2

2 2 3 2

3 7 3 3 5 1 2 3 4

x x

x x x x x x x

− − −=

− + + − − − + − +. (7.21)

Из уравнения (7.21) следует, что 1 2x = . Непосредственной подстанов-кой в (7.20) убеждаемся, что найденное значение x является его корнем.

Покажем, что других корней уравнение (7.20) не имеет. Пусть 2x ≠ . Тогда разделим обе части уравнения (7.21) на 2x − и получим

2 2 2 2

2 3

3 7 3 3 5 1 2 3 4x x x x x x x

−=

− + + − − − + − +. (7.22)


Поскольку левая часть уравнения (7.22) может принимать только от-рицательные значения, а правая часть — только положительные значения, то уравнение (7.22) корней не имеет.

♦ Ответ: 1 2x = .


( )( )21 1 1 7x x x x x= + + + + + − . (7.23)

Решение. Областью допустимых значений переменной x в урав-нении (7.23) являются 1x ≥ − . Умножим обе части уравнения (7.23) на

1 1x + − , тогда получим

( ) ( )( )( )21 1 1 1 1 1 1 7x x x x x x x+ − = + + + − + + + − ,

( )( )21 1 1 1 7x x x x x x x+ − = + − + + + − ,

3 21 1 7x x x x x x x x+ − = + + + − ,

3 2 6 0x x x+ − = . (7.24) Корнями уравнения (7.24) являются 1 0x = , 2 3x = − и 3 2x = . Однако

1 0x = — посторонний корень для уравнения (7.23), поскольку при этом значении x его левая часть уравнения равна 0, а правая часть меньше 0. Так как 1x ≥ − , то 2 3x = − не может быть корнем уравнения (7.23). В этой связи 3 2x = − единственный корень уравнения (7.23).

♦ Ответ: 3 2x = .


3 33 33 31 1x x x x x x+ − + = + + − . (7.25)

Решение. Возведем в куб обе части уравнения (7.25) и при этом вос-пользуемся формулой ( ) ( )3 3 3 3a b a b ab a b+ = + + + . Тогда получим

( ) ( )( )( ) ( )

33 3 333

33 3 333

1 3 1 1

1 3 1 1 .

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

+ − + + ⋅ − + ⋅ + − + =

= + + − + ⋅ + − ⋅ + + −


Отсюда следует уравнение

( ) ( )( )( ) ( )

33 333

33 333

1 1

1 1 .

x x x x x x

x x x x x x

− + ⋅ + − + =

= + − ⋅ + + − (7.26)

Однако по условию 3 33 33 31 1x x x x x x+ − + = + + − , поэтому урав-нение (7.26) принимает вид

( ) ( )3 3 33 4 2 4 3 23 1 0x x x x x x x x x x+ − + ⋅ − + − + − − = .


1. Пусть 3 33 1x x x= − − + , тогда 3 1x x x= − + − или 3 1x = − . Следова-тельно, имеем 1 1x = − .

2. Пусть 3 34 2 4 3 2x x x x x x x− + = + − − . Отсюда получаем 3 2 0x x− = и 2 0x = , 3 2x = − , 4 2x = . Выполним проверку и убедимся в том, что все найденные значения

переменной x являются корнями уравнения (7.25).

♦ Ответ: 1 1x = − , 2 0x = , 3 2x = − , 4 2x = .


4 42 210 7 3x x x x+ + + − − = . (7.27)

Решение. Обозначим 4 210 x x u+ + = и 4 27 x x v− − = . Тогда из уравнения (7.27) вытекает система двух уравнений относительно пере-менных ,u v вида

4 4

3,

17,

u v

u v

+ =⎧⎪⎨⎪ + =⎩

(7.28)

где 0u ≥ и 0v ≥ . Преобразуем левую часть второго уравнения системы (7.28) следую-

щим образом:

( ) ( )( )22 24 4 2 2 2 2 2 22 2 2u v u v u v u v uv u v+ = + − = + − − .


Так как 3u v+ = , то имеем уравнение ( )2 2 29 2 2 17uv u v− − = . Отсюда получаем 2uv = и 16uv = .

Рассмотрим две системы

3,

2

u v

uv

+ =⎧⎪⎨

=⎪⎩ и

3,

16.

u v

uv

+ =⎧⎪⎨

=⎪⎩

Корнями первой системы являются 1 11, 2u v= = и 2 22, 1u v= = , а вторая система корней не имеет.

Следовательно, 4 210 1x x+ + = и 4 210 2x x+ + = . Отсюда получаем два уравнения относительно переменной x вида 2 9 0x x+ + = и 2 6x x+ − =

0= . Первое уравнение корней не имеет, а из второго следует 1 3x = − и

2 2x = .

♦ Ответ: 1 3x = − , 2 2x = .


( ) ( )5 52 3 1x x− − − = . (7.29)

Решение. Введем новые переменные 2u x= − и 3v x= − , тогда по-лучим систему уравнений относительно переменных u и v вида

5 5

1,

1.

u v

u v

− =⎧⎪⎨⎪ − =⎩

(7.30)

Для левой части второго уравнения системы (7.30) имеет место сле-дующая цепочка равносильных преобразований:

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

5 5 4 3 2 2 3 4

4 4 2 2

22 22 22 2 3 .

u v u v u u v u v uv v

u v u v uv u uv v

u v u v uv u v uv u v uv

− = − ⋅ + + + + =

= − ⋅ + + ⋅ + + =

⎛ ⎞= − ⋅ − + − + ⋅ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

Отсюда с учетом уравнений системы (7.30) получим уравнение ( ) ( )2 2 21 2 2 1 3 1uv u v uv uv+ − + + = или 2 25 5 0u v uv+ = . Отсюда следует, что 0uv = и 1uv = − . Рассмотрим два случая.


Если 0uv = и 1u v− = , то 1 0u = , 1 1v = − и 2 1u = , 2 0v = .

Если 1uv = − и 1u v− = , то имеем квадратное уравнение 2 1 0u u− + = , которое корней не имеет.

Поскольку 2u x= − , то 2x u= + и 1 1 2 2x u= + = , 2 2 2 3x u= + = .

♦ Ответ: 1 2x = , 2 3x = .


( )( ) ( )8 4 8 2 6x x x+ − − + = . (7.31)

Решение. Областью допустимых значений переменной x в уравне-нии (7.31) являются 8x ≥ . В таком случае 8 0x + > , 4 0x− < , 8x − + + 2 0> и, следовательно, левая часть уравнения (7.31) на области допус-тимых значений x является отрицательной. Поскольку левая часть уравне-ния (7.31) принимает положительное значение, то уравнение (7.31) корней не имеет.



2 1 2 2 3 3 1x x x x x x x+ + = + + + + + − + + + . (7.32)

Решение. Областью допустимых значений переменной x в уравне-нии (7.32) являются 2x ≥ − . Перепишем уравнение в виде

2 3 1 1 2 2 3x x x x x x x+ + + + + + = + + + + + . (7.33)

Нетрудно заметить, что для выражений, находящихся под знаком мо-дуля, имеет место равенство

( ) ( )2 3 1 1 2 2 3x x x x x x x+ + + + + + = + + + + + .

Поскольку из равенства a b a b+ = + следует, что 0ab ≥ , то из

уравнения (7.33) получаем неравенство ( ) ( )2 3 1 0x x x x+ + ⋅ + + + ≥ ,

которое равносильно совокупности двух систем

2 0,

3 1 0

x x

x x

⎧ + + ≥⎪⎨⎪ + + + ≥⎩

и 2 0,

3 1 0.

x x

x x

⎧ + + ≤⎪⎨⎪ + + + ≤⎩


Из первой системы неравенств получаем 1x ≥ − , а из второй системы следует 1 2x = − .

♦ Ответ: 1 2x = − , 1x ≥ − .


2 2

2 22 4 3 3

3 2 2x x x xx x+ + + +

=+ +

. (7.34)

Решение. Преобразуем уравнение (7.34), на основе использования сле-

дующего свойства пропорции: если a cb d= , то a c

a b c d=

− −.

В таком случае уравнение (7.34) принимает вид

2 2

2 22 4 3 3

1 1x x x xx x x x

+ + + +=

+ + + +. (7.35)

Поскольку 2 1 0x x+ + > , то из уравнения (7.35) получаем уравнение 2 22 4 3 3x x x x+ + = + + или 2 1x = , т. е. 1,2 1x = ± . Следовательно, корнями

уравнения (7.34) являются 1 1x = и 2 1x = − .

♦ Ответ: 1 1x = , 2 1x = − .

Примечание. Примененное выше свойство пропорции имеет более общую формулировку. Если

a cb d= , то na mb nc md

pa qb pc qd+ +

=+ +

,

где , , ,n m p q — произвольные действительные числа за тем лишь исклю-

чением, что 2 2 0p q+ ≠ .


2 2 21 1 8 6 1 10x x x x+ + − − = . (7.36)

Решение. Первоначально необходимо заметить, что

( )22 2 21 8 6 1 3 1x x x x x+ − − = − − .

В таком случае уравнение (7.36) принимает вид


2 23 1 10 1x x x− − = − . (7.37)

Отсюда следует, что 2

2

1,

10 1.

x

x

⎧ ≤⎪⎨⎪ ≥⎩

Таким образом, областью допустимых значений переменной x в урав-

нении (7.37) являются 1 110

x≤ ≤ .

Правую часть уравнения (7.37) можно представить в виде разности

двух квадратов ( ) ( )222 210 1 3 1x x x− = − − и поэтому из (7.37) следует

( )( )2 2 23 1 3 1 3 1x x x x x x− − = − − + − . (7.38)

Нетрудно видеть, что корни уравнения 23 1 0x x− − = являются

корнями уравнения (7.38). Из уравнения 21 3x x− = следует, что 0x ≥ .

Далее, 2 21 9x x− = или 110

x = ± . Однако 0x ≥ , поэтому корнем уравне-

ния (7.38) является 1110

x = .

Положим теперь 23 1 0x x− − ≠ , тогда из (7.38) получаем уравнение 23 1 1x x+ − = ± . Возведем обе части уравнения в квадрат, тогда

2 2 29 6 1 1 1x x x x+ − + − = или

2 24 3 1 0x x x+ − = . (7.39)

Так как 1 110

x≤ ≤ , то 0x ≠ и из (7.39) получаем уравнение

23 1 4x x− = − . Отсюда вытекает, что 0x < . Возведем в квадрат обе части

уравнения, тогда 225 9x = или 35

x = ± . Так как здесь 0x < , то 235

x = − —

второй корень уравнения (7.38).

♦ Ответ: 1110

x = , 235

x = − .



2 26 40 150 4 60 100 2 10x x x x x− + − − + = − . (7.40)

Решение. Обозначим 26 40 150x x y− + = и 24 60 100x x z− + = .

Тогда уравнение (7.40) принимает вид ( )2 5y z x− = − . Кроме того, имеет

место ( ) ( ) ( )22 2 2 26 40 150 4 60 100 10 5y z x x x x x+ = − + + − + = − .

Следовательно, получаем систему уравнений

( )

( )22 2

2 5 ,

10 5 ,

y z x

y z x

⎧ − = −⎪⎨⎪ + = −⎩

(7.41)

где 0y ≥ и 0z ≥ . Из системы уравнений (7.41) нетрудно получить квадратное уравне-

ние относительно переменных y и z вида 2 23 10 3 0y yz z− + = .

Пусть 0z = , тогда из уравнения 2 23 10 3 0y yz z− + = следует, что 0y = . Тогда из второго уравнения системы имеем 5x = . Однако под-

становкой найденного значения x в уравнение (7.40) убеждаемся в том, что это значение не является его корнем.

Пусть теперь 0z > . Тогда обе части уравнения 2 23 10 3 0y yz z− + =

разделим на 2z и получим уравнение 23 10 3 0k k− + = , где ykz

= . Кор-

нями уравнения 23 10 3 0k k− + = являются 1 3k = и 213

k = .


1. Если 1 3k = , то 3yz= или 3y z= . В таком случае имеем уравнение

2 26 40 150 3 4 60 100x x x x− + = − + или 23 50 75 0x x− + = . Корнями

последнего уравнения являются 1 15x = и 253

x = .

2. Если 213

k = , то 13

yz= или 3y z= . Тогда

2 23 6 40 150 4 60 100x x x x− + = − + или 25 3 125 0x x− + = .


Однако уравнение 25 3 125 0x x− + = действительных корней не имеет (его дискриминант отрицательный).

Для завершения решения задачи необходимо в уравнение (7.40) под-

ставить значения 1 15x = , 253

x = и убедиться в том, что они являются его

корнями.

♦ Ответ: 1 15x = , 253

x = .

Примечание. Рассмотрим другой метод решения уравнения (7.40). Для этого первоначально убедимся в том, что 5x = не является его корнем (непо-средственной подстановкой это просто сделать). Пусть 5x ≠ . Тогда обе части уравнения (7.40) разделим на 5x − и получим

( ) ( )

2 2

2 26 40 150 4 60 100 2

5 5x x x x

x x− + − +

− =− −

,

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 2 2 2

2 25 5 5 5 5 5

25 5

x x x x

x x

− + + − − +− =

− −,

2 25 55 5 2

5 5x xx x+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. (7.42)

Если положить 25

5x yx+⎛ ⎞ =⎜ ⎟−⎝ ⎠

, то уравнение (7.42) принимает вид 5 y+ −

– 5 2y− = , где 0y ≥ . Уравнение 5 2 5y y+ = + − имеет не более одного корня (поскольку на отрезке 0 5y≤ ≤ левая его часть представляет собой непрерывную возрастающую функцию, а правая часть — непрерывную убывающую функцию). Этим корнем является 1 4y = .

Так как 25

5x yx+⎛ ⎞ =⎜ ⎟−⎝ ⎠

, то 25 4

5xx+⎛ ⎞ =⎜ ⎟−⎝ ⎠

или 5 25

xx+

= ±−

. Рассматривая два слу-

чая, получаем корни заданного уравнения 1 15x = и 253

x = .


( ) ( )2 22 23 9 7 3x x x x+ + = + . (7.43)

Решение. Если левую часть уравнения (7.43) преобразовать по фор-муле ( )22 2 2a b a b ab+ = − + , то

( ) ( ) ( )2 22 23 3 2 3 3 7 3x x x x x x x+ − + ⋅ + ⋅ = +


или

( ) ( )24 26 3 7 3 0x x x x+ + − + = . (7.44)

Уравнение (7.44) относится к однородным уравнениям второй степе-ни. Поэтому для его решения необходимо вначале убедиться в том, что

3x = − не является его корнем, а затем обе его части разделить на

( )23x + .

Если при этом обозначить 2

3x y

x=

+, то в результате приведенных

выше действий получим квадратное уравнение относительно переменной y вида 2 6 7 0y y+ − = . Нетрудно видеть, что 1 7y = − и 2 1y = .

Так как 2

3x y

x=

+, то

27

3x

x= −

+ и

21

3x

x=

+. Отсюда получаем два

квадратных уравнения 2 7 21 0x x+ + = и 2 3 0x x− − = . Первое уравнение действительных корней не имеет (дискриминант уравнения отрицатель-

ный), а из второго уравнения следует 11 13

2x −= и 2

1 132

x += .

♦ Ответ: 11 13

2x −= , 2

1 132

x += .


2 2 12 4 6 ,

2 4.

x y x y

x y

⎧ + + = +⎪⎨⎪ − + =⎩

(7.45)

Решение. Представим систему уравнений (7.45) в равносильном виде

( ) ( )2 22 3 1,

2 4 .

x y

x y

⎧ − + − =⎪⎨⎪ − = −⎩

(7.46)

Из второго уравнения системы (7.46) следует, что 4y ≤ . Возведем в

квадрат обе его части и получим ( ) ( )2 22 4x y− = − . В таком случае из

первого уравнения получаем ( ) ( )2 24 3 1y y− + − = или 2 7 12 0y y− + = , корнями которого являются 1 4y = и 2 3y = .


Если значения 1 4y = и 2 3y = подставить во второе уравнение сис-темы (7.46), то 2 0x − = и 2 1x − = . Отсюда получаем 1 22, 1x x= = и

3 3x = . Так как 4 2y x= − − , то корнями системы уравнений (7.46) явля-ются 1 2x = , 1 4y = ; 2 1x = , 2 3y = и 3 3x = , 3 3y = .

♦ Ответ: 1 2x = , 1 4y = ; 2 1x = , 2 3y = ; 3 3x = , 3 3y = .


2 ,

1.

x y x y

y x y x

⎧ + + − =⎪⎨⎪ + − − =⎩

(7.47)

Решение. Рассмотрим первое уравнение системы (7.47) и при этом

воспользуемся известным равенством 2 2a ba ba b−

+ =−

, где a b≠ .

Тогда

( ) ( )

( )

2 2

22

x y x yx y x y

x y x y

x y x y y

x y x y x y x y

+ − −+ + − = =

+ − −

+ − −= = =

+ − − + − −

или

x y x y y+ − − = . (7.48) Если принять во внимание первое уравнение системы (7.47) и урав-

нение (7.48), то получим систему уравнений

2 ,

.

x y x y

x y x y y

⎧ + + − =⎪⎨⎪ + − − =⎩

(7.49)

Если сложить уравнения системы (7.49), то 2 2x y y+ = + . Воз-ведя в квадрат обе части данного уравнения, получаем 4 4x y− = .

Из второго уравнения системы (7.47) с помощью равенства a b− =

= 2 2a ba b−+

, где 0a b+ ≠ , получаем


( ) ( )

( )

2 2

2 1

y x y xy x y x

y x y x

y x y x x

y x y x y x y x

+ − −+ − − = =

+ + −

+ − −= = =

+ + − + + −

или

2y x y x x+ + − = . (7.50) Второе уравнение системы (7.47) и уравнение (7.50) образует систему

уравнений

1,

2 .

y x y x

y x y x x

⎧ + − − =⎪⎨⎪ + + − =⎩

(7.51)

Складывая уравнения системы (7.51), получаем уравнение 2 y x+ =

= 2 1x + , после возведения в квадрат обеих частей которого следует 4 4 1x y− = − .

Следовательно, имеет место система уравнений 4 4,

4 4 1,

x y

x y

− =⎧⎪⎨

− = −⎪⎩

корнями которой являются 11712

x = и 153

y = .

♦ Ответ: 11712

x = , 153

y = .

Примечание. Так как 0x = и 0y = не являются корнями системы урав-

нений (7.47), то 0x y x y+ − − ≠ и 0x y x y+ + − ≠ . По-этому приведенные выше преобразования уравнений системы (7.47) обоснованы.


2 2

2 2

5 4 2 6 2 0,

3 2 3 2 1 0.

x y xy x y

x y xy x y

⎧ + − + − + =⎪⎨⎪ − + − + − =⎩

(7.52)


Решение. Преобразуем первое уравнение системы (7.52) следующим образом:

2 25 4 2 6 2 0x y xy x y+ − + − + = ,

( ) ( ) ( )2 22 22 1 2 1 2 1 2 5 6 2 0x x y y y y y+ − + − − − + − + = ,

( )2 22 1 2 1 0x y y y− + + − + = , ( ) ( )2 22 1 1 0x y y− + + − = .

Отсюда следует, что первое уравнение системы (7.52) равносильно системе уравнений 2 1 0x y− + = и 1 0y − = , корни которой равны 1 1x = и

1 1y = . Подставляя найденные значения 1x и 1y во второе уравнение систе-

мы (7.52), убеждаемся в том, что 1 1x = , 1 1y = являются корнями системы уравнений (7.52).

♦ Ответ: 1 1x = , 1 1y = .


3 3

2 2

3 13,

6.

x y xy

x y xy x y

⎧ + − =⎪⎨⎪ + − − − =⎩

(7.53)

Решение. Воспользуемся равенством, которое нетрудно доказать пу-тем раскрытия скобок в правой его части, т. е.

( ) ( )3 3 3 2 2 23x y z xyz x y z x y z xy xz yz+ + − = + + ⋅ + + − − − . (7.54)

Если в равенство (7.54) подставить 1z = , то

( ) ( )3 3 2 21 3 1 1x y xy x y x y xy x y+ + − = + + ⋅ + + − − − . (7.55)

Перепишем систему уравнений (7.53) в равносильном виде следую-щим образом:

3 3

2 2

1 3 14,

1 7.

x y xy

x y xy x y

⎧ + + − =⎪⎨⎪ + + − − − =⎩

Отсюда и из уравнения (7.55) следует, что 1 2x y+ + = или 1y x= − .

Подставим 1y x= − во второе уравнение системы (7.53), тогда ( )22 1x x+ − −

– ( ) ( )1 1 6x x x x− − − − = или 2 2 0x x− − = .


Корнями уравнения 2 2 0x x− − = являются 1 2x = и 2 1x = − . Посколь-ку 1y x= − , то 1 1y = − и 2 2y = .

♦ Ответ: 1 2x = , 1 1y = − ; 2 1x = − , 2 2y = .


( )

( )

2

2

1 2 ,51

1 1 .21

y xy

y

x xy

x

⎧ −=⎪

+⎪⎨⎪ −

=⎪+⎩

(7.56)

Решение. Вычтем из второго уравнения системы (7.56) первое урав-нение, тогда

( )( ) ( )( )( )( )

2 2

2 2

1 1 1 1 1101 1

x xy y y xy x

x y

− + − − +=

+ +,

( )( )( )( )

2 2

2 2

1 1101 1

xy xy x yx y

x y

− + − −=

+ +

или

( ) ( )( )( )

2

2 2

1 1101 1

xy y x

x y

− −=

+ +. (7.57)

Из уравнений системы (7.56) следует, что ( )2 5 1

12

y xyy

−+ = и

( )2 1 2 1x x xy+ = − . Если выражения для 2 1x + и 2 1y + подставить в урав-нение (7.57), то получим

( ) ( )( )

2

2

2 1 11010 1

xy y x

xy xy

− −=

−,

( )21

y xxy−

= или 22

xyx

=−

.

Подставим выражение 22

xyx

=−

во второе уравнение системы (7.56),

тогда 2

2

2 12 1

21

xxx

x

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ =

+,

2222 1 1

2xx x

x⎛ ⎞

− = +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠,


( ) ( )( )2 22 2 2 1 2x x x x x− + = + − , 35 3 2 0x x− − = ,

( ) ( )35 5 3 3 0x x− − − = ,

( )( )21 5 5 2 0x x x− + + = . (7.58)

Если учесть, что 25 5 2 0x x+ + > , то из уравнения (7.58) следует, что

1 0x − = или 1 1x = . Поскольку 22

xyx

=−

, то 1 2y = .

♦ Ответ: 1 1x = , 1 2y = .


2 2 2

2 2 2

log log 3 log ,

log 72 log 2 log .

x y y x

x x y y

+ = ⋅ +⎧⎪⎨

⋅ + = +⎪⎩ (7.59)

Решение. Из условия задачи следует, что 0x > и 0y > . Используя свойства логарифмов, преобразуем систему уравнений (7.59) следующим образом:

2

2 3 ,

72 2

x y

x y

y x

x y

⎧ ⋅ = ⋅⎪⎨⎪ ⋅ = ⋅⎩

или 2 3 2

2 3 ,

3 2 2 .

x y

x x y

y x

x y

⎧ ⋅ = ⋅⎪⎨⎪ ⋅ ⋅ = ⋅⎩

Из второй системы после перемножения левых и правых частей обо-их уравнений получаем 2 4 23 2 3 2x x y yx y x y⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ . Так как 0x > и 0y > ,

то из последнего уравнения следует 212 12x y= или 2y x= .

Подставим выражение 2y x= в уравнение 2 3x yy x⋅ = ⋅ и получим 22 2 3x xx x⋅ = ⋅ . Поскольку 0x > , то 1 22 3x x+ = .

Полученное уравнение прологарифмируем по основанию 2, тогда

21 2 log 3x x+ = ⋅ или 12

12 log 3 1

x =−

.

Так как 2y x= , то имеем 12

22log 3 1

y =−

.

♦ Ответ: 12

12 log 3 1

x =−

, 12

22log 3 1

y =−

.



24 2

3 54 log 6 13 2cos 714 sin8

xxx

ππ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + + = +⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠. (7.60)

Решение. Первоначально оценим снизу левую часть уравнения (7.60), применяя для этого неравенство Коши (3.1) при 6n = . Так как

2 2 2 22 2 2 2

2 2 262 2 2

3 1 1 16 2 2 28 8 8 8

1 1 1 16 2 2 2 6 3,28 8 8

x x x xx x x x

x x xx x x

+ = + + + + + ≥

≥ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =

то 22

36 13 168

xx

+ + ≥ или 24 2

34 log 6 13 88

xx

⎛ ⎞⋅ + + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Далее, оценим сверху правую часть уравнения (7.60). Поскольку

1 sin 1xπ− ≤ ≤ , то 5 53 14 sin 13xπ π π

π≤ ≤

+. Известно, что функция cosy x=

на отрезке 02

x π≤ ≤ является непрерывно убывающей и поэтому

5 1cos cos14 sin 3 2x

π ππ

⎛ ⎞ ≤ =⎜ ⎟+⎝ ⎠. В этой связи 52cos 7 8

14 sin xππ

⎛ ⎞ + ≤⎜ ⎟+⎝ ⎠.

Следовательно, равенство в уравнении (7.60) достигается только в том случае, когда обе его части равны 8. А это означает, что примененное выше неравенство Коши обращается в равенство и, кроме того, sin 1xπ = .

Таким образом, имеем систему уравнений

2

212 ,

8sin 1.

xx

xπ

⎧ =⎪⎨⎪ =⎩

(7.61)

Из первого уравнения системы (7.61) получаем 1,212

x = ± . Однако

только 1,12

x = удовлетворяет второму уравнению системы (7.61).

♦ Ответ: 1,12

x = .


( ) ( )2 258 2 6 1 1 log 4 3 1x x x x x x− − + = ⋅ − ⋅ − + + . (7.62)


Решение. Для определения области допустимых значений перемен-ной x в уравнении (7.62) рассмотрим систему неравенств

2

2

8 2 6 0,

4 3 0,

0.

x x

x x

x

⎧ − − ≥⎪⎪ − + ≥⎨⎪

>⎪⎩

Нетрудно заметить, что приведенная выше система неравенств рав-носильна уравнению 2 4 3 0x x− + = , корнями которого являются 1 1x = и

2 3x = . Следовательно, в область допустимых значений переменной x входят только два значения 1 1x = и 2 3x = .

Непосредственной подстановкой в уравнение (7.62) убеждаемся, что только 1 1x = является его корнем.

♦ Ответ: 1 1x = .


9 99 x xx x

− < − − . (7.63)

Решение. Первоначально определим область допустимых значений переменной x в неравенстве (7.63). Для этого рассмотрим систему нера-венств

99 0,

9 0,

9 0,

0,

x

xx

x xx

x

⎧ − ≥⎪⎪⎪

− ≥⎪⎪⎨⎪⎪ − − >⎪⎪⎪ ≠⎩

из которой следует, что 3x ≥ . Возведем обе части неравенства (7.63) в квадрат, тогда

29 9 99 2x x x xx x x

− < − ⋅ − + −


или

( )2

2 99 2 xx x xx−

− + > ⋅ . (7.64)

Пусть 2 9x a− = и x b= . Тогда неравенство (7.64) принимает вид 2 2 22 aa b b

b+ > ⋅ или 2 2 2a b ab+ > , где 0a ≥ и 0b > .

Отсюда получаем неравенство ( )2 0a b− > , которое имеет место для любых a и b , удовлетворяющих условию a b≠ . Следовательно,

2 9x x− ≠ , 2 9 0x x− − ≠ или 1 372

x ±≠ .

Поскольку неравенство (7.63) определено только для 3x ≥ и при

этом 1 372

x ±≠ , то его решением является совокупность двух интерва-

лов

1 3732

x +≤ < и 1 37

2x +> .

♦ Ответ: 1 3732

x +≤ < и 1 37

2x +> .


1 1 11 xxx x x

−− − − > . (7.65)

Решение. Область допустимых значений переменной x в неравенст-ве (7.65) определяется системой неравенств

1 0,

11 0.

xx

x

⎧ − ≥⎪⎪⎨⎪ − ≥⎪⎩

(7.66)

Поскольку 11 0x

− ≥ или 1 0xx−

≥ , то из неравенства (7.65) получаем

1 11 0xx x

− − − > или 1 11xx x

− > − , т. е. 1x > .


Отметим, что 1x > удовлетворяет системе неравенств (7.66). Преобразуем неравенство (7.65) следующим образом:

1 1 11 1xx x x

− − − > − ,

( )( )1 1 1 11 1x x

x x x− +

− − > − ,

1 1 11 1 1 1xx x x

− ⋅ + − − > − . (7.67)

Поскольку 1x > , то 11 0x

− > . Тогда, если обе части неравенства

(7.67) разделить на 11x

− , то получим

11 1 1xx

+ − > − , ( )2

2 11 1 1xx

⎛ ⎞+ > + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠,

1 11 1 2 1 1xx x

+ > + − + − , 1 11 2 1xx x

− > − − ,

2 12 1 1x x xx

− > ⋅ − − , 2 22 1x x x x− > − − ,

( )22 1 0x x− − > .

Полученное неравенство выполняется на всей области допустимых

значений переменной x , кроме случая, когда 2 1x x− = .

Из неравенства 2 1x x− ≠ следует, что 2 1 0x x− − ≠ или 1 52

x ±≠ .

Так как 1x > , то решением неравенства (7.65) являются

1 512

x +< < и 1 5

2x +> .

♦ Ответ: 1 512

x +< < , 1 5

2x +> .



2 1 1

1 1x x x

x x− +

< +− −

, (7.68)

где 1x ≠ .

Решение. Поскольку 2

2 1 31 02 4

x x x⎛ ⎞− + = − + >⎜ ⎟⎝ ⎠

, то 2 21 1x x x x− + = − +

и неравенство (7.65) равносильно неравенствам 2 1 1

1 1x x x

x x− +

< +− −

, 2

1x x xx−

<−

, 2 1x x x x− < ⋅ −

или

2 2x x x x− < − . (7.69)

Поскольку правая часть неравенства (7.69) неотрицательна, то нера-венство (7.68) выполняется только для таких x , при которых левая его часть строго отрицательна, т. е. 2 0x x− < или ( 1) 0x x − < . Отсюда следует, что 0 1x< < .

♦ Ответ: 0 1x< < .


21 1 1

a b cbc ac ab

+ + ≤+ + +

, (7.70)

где 0 1a≤ ≤ , 0 1b≤ ≤ и 0 1c≤ ≤ .

Доказательство. Поскольку 0 1b≤ ≤ и 0 1c≤ ≤ , то ( )( )1 1 0b c− − ≥ , т. е. 1 0b c bc− − + ≥ или 1b c bc+ ≤ + .

Так как 0 1a≤ ≤ и 1 1bc + ≥ , то

2 21 1

a a abc a bc a b c

≤ ≤+ + + + +

.

По аналогии получим неравенства 2

1b b

ac a b c≤

+ + + и 2

1c c

ab a b c≤

+ + +.


Следовательно, для левой части неравенства (7.70) имеет место

2 2 2 21 1 1

a b c a b cbc ac ab a b c a b c a b c

+ + ≤ + + =+ + + + + + + + +

,



a b a bb a+ ≥ + , (7.71)

где 0a > и 0b > .

Доказательство. Предположим, что неравенство (7.71) не выполняет-ся, т. е. существуют такие значения a и b , при которых

a b a bb a+ < + . (7.72)

Если умножить на ab обе части неравенства (7.72), то

a a b b a b b a+ < + , ( ) ( ) 0a a b b a b− − − < ,

( )( ) 0a b a b− − < , ( )( )20a b a b+ − < .

Так как 0a b+ > и ( )20a b− ≥ , то ( )( )2

0a b a b+ − ≥ ,

т. е. получили противоречие. Этот факт свидетельствует о том, что не су-ществует таких чисел 0a > и 0b > , при которых выполнялось бы нера-венство (7.72). Следовательно, неравенство (7.71) справедливо для любых положительных a и b .


2 21 1 2

11 1 aba b+ ≥

−− −, (7.73)

где 1 1a− < < и 1 1b− < < .

Доказательство. Доказательство неравенства (7.73) будем вести ме-тодом от противного. Допустим, что существуют такие значения a и b , где 1 1a− < < и 1 1b− < < , при которых выполняется неравенство


2 21 1 2

11 1 aba b+ <

−− −. (7.74)

Из неравенства (7.74) получаем неравенство

( )( )

2 2

2 2

2 211 1

a baba b

− −<

−− −. (7.75)

Так как 1 1a− < < и 1 1b− < < , то 21 0a− > , 21 0b− > , 1 0ab− > и из неравенства (7.75) следует

( )( ) ( )( )2 2 2 22 1 2 1 1a b ab a b− − − < − − ,

( ) ( )2 2 2 2 2 1a b ab a b ab ab+ + + < + ,

( )( ) ( )2 2 1 2 1a b ab ab ab+ + < + ,

2 2 2a b ab+ < , ( )2 0a b− < .

Таким образом, получено очевидное противоречие, которое доказы-вает справедливость требуемого неравенства (7.73).


3 3 3 3 3 31 1 1 1

abca b abc a c abc b c abc+ + ≤

+ + + + + +, (7.76)

где 0a > , 0b > и 0c > .

Доказательство. Предварительно докажем вспомогательное не-равенство

( )3 3a b abc ab a b c+ + ≥ + + . (7.77)

Поскольку ( )2 0a b− ≥ , то 2 2a ab b ab− + ≥ ,

( )( ) ( )2 2a b a ab b a b ab+ − + ≥ + , 3 3 2 2a b a b ab+ ≥ + ,

3 3 2 2a b abc a b ab abc+ + ≥ + + или ( )3 3a b abc ab a b c+ + ≥ + + .

Принимая во внимание доказанное неравенство (7.77), можно запи-сать


( )3 31 1

ab a b ca b abc≤

+ ++ +.

По аналогии получаем

( )3 31 1

ac a b ca c abc≤

+ ++ + и

( )3 31 1

bc a b cb c abc≤

+ ++ +.

Следовательно, имеет место

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

3 3 3 3 3 31 1 1

1 1 1

1 .

a b abc a c abc b c abc

ab a b c ac a b c bc a b c

c b aabc a b c abc a b c abc a b c

a b cabc a b c abc

+ + ≤+ + + + + +

≤ + + =+ + + + + +

≤ + + =+ + + + + +

+ += =

+ +

Таким образом, неравенство (7.76) доказано.


2 2 2 2 2 2 3a ab b a ac c b bc c ab ac bc+ + + + + + + + ≥ + + , (7.78) где 0a > , 0b > и 0c > .

Доказательство. Предварительно покажем, что

( )2 2 32

a ab b a b+ + ≥ ⋅ + . (7.79)

Имеет место очевидное неравенство 2 22 0a ab b− + ≥ . Если к его обе-им частям прибавить трехчлен 2 23 6 3a ab b+ + , то получим неравенство

2 2 2 24 4 4 3 6 3a ab b a ab b+ + ≥ + + , из которого следует ( )2 24 a ab b+ + ≥

( )23 a b≥ + , т. е. неравенство (7.79) доказано. Аналогично доказывается справедливость неравенств

( )2 2 32

a ac c a c+ + ≥ + и ( )2 2 32

b bc c b c+ + ≥ + .


С учетом доказанных выше неравенств имеем

( )2 2 2 2 2 2 3a ab b a ac c b bc c a b c+ + + + + + + + ≥ + + .

Отсюда следует, что для доказательства справедливости неравенст- ва (7.78) осталось показать, что

( )3 3a b c ab ac bc+ + ≥ + + . (7.80)

Для доказательства неравенства (7.80) достаточно обе его части воз-вести в квадрат. Тогда

( ) ( )2 2 23 2 2 2 9a b c ab ac bc ab ac bc+ + + + + ≥ + + ,

2 2 2 0a b c ab ac bc+ + − − − ≥ или ( ) ( ) ( )2 2 2 0a b a c b c− + − + − ≥ .

Так как в результате равносильных преобразований получено оче-видное неравенство, то справедливость (7.80) доказана и тем самым нера-венство (7.78) имеет место.


( )12 3 1 1 1 1, , ,4

f a b c da b c d a b c d

⎛ ⎞≤ ≤ + + +⎜ ⎟+ + + ⎝ ⎠, (7.81)

где 1 1 1 1 1 1( , , , )f a b c d

a b a c a d b c b d c d= + + + + +

+ + + + + + и

0, 0, 0, 0.a b c d> > > >

Доказательство. Первоначально докажем вспомогательное неравен-ство

1 1 4x y x y+ ≥

+, (7.82)

где 0x > и 0y > .

Согласно неравенству Коши (3.2), имеем 2x y xy+ ≥ . Тогда

21 1 2 2 4

2

xyx yx yx y xy xy x yxy

++ = ≥ = ≥ =

+ +.

При доказательстве двойного неравенства (7.81) воспользуемся нера-венством (7.82).



( ) 1 1 1 1 1 1, , ,

4 4 4 12 .

f a b c da b c d a c b d a d b c

a b c d a b c d a b c d a b c d

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

≥ + + =+ + + + + + + + + + + +

Далее, можно записать

( )

1 1 1 13

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

4 4 4 4 4 4 4 , , , .

a b c d

a b a c a d b c b d c d

f a b c da b a c a d b c b d c d

⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + + + + + + + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

≥ + + + + + =+ + + + + +

Отсюда следует справедливость двойного неравенства (7.81).


32

a b cb c a c a b

+ + ≥+ + +

, (7.83)

где 0a > , 0b > и 0c > .

Доказательство. Введем новые переменные x b c= + , y a c= + и z a b= + . Тогда 2a x y z= − + + , 2b x y z= − + и 2c x y z= + − . В таком случае для левой части неравенства (7.83) получаем нижнюю оценку

2 2 2

33 2 2 2 3

2 2 2

x y z x y z x y zx y z

x y x z y zy x z x z y

− + + − + + −+ + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − + + +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ≥ =

На последнем шаге доказательства неравенства с учетом того, что 0x > , 0y > и 0z > , было трижды использовано неравенство Коши (3.3).

7.40. Доказать, если

( )( )2 21 1 1a a b b+ + + + = , (7.84)

то 0a b+ = .


Доказательство. Поскольку

( )( )2 21 1 1a a a a+ + + − = и ( )( )2 21 1 1b b b b+ + + − = ,

то из условия (7.84) получаем систему

( )( )( )( )

2 2 2

2 2 2

1 1 1 0,

1 1 1 0.

a a b b a a

b b a a b b

⎧ + + + + − + + =⎪⎪⎨⎪ + + + + − + + =⎪⎩

(7.85)

Так как 2 1 0a a+ + > и 2 1 0b b+ + > , то из системы (7.85) следует

2 2

2 2

1 1,

1 1.

a b a b

a b b a

⎧ + = + − +⎪⎨⎪ + = + − +⎩

Отсюда получаем требуемое равенство 0a b+ = .


( )( )( )3 3 3 125a b b c c a abc+ + + ≥ , (7.86)

где 2a ≥ , 2b ≥ и 2c ≥ .

Решение. Представим неравенство (7.86) в равносильном виде

2 2 2 125b c aa b ca b z

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

. (7.87)

Так как 2a ≥ , 2b ≥ и 2c ≥ , то

2 2 2ba aa a

+ ≥ + , 2 2 2cb bb b

+ ≥ + и 2 2 2ac cc c

+ ≥ + .

Рассмотрим функцию 2 2( )f x xx

= + , определенную на промежутке

2x ≥ . Поскольку производная ( )/2

22f x xx

= − на рассматриваемом про-

межутке положительна, то функция ( )y f x= является возрастающей и поэтому ( ) (2) 5f x f≥ = .

Отсюда получаем неравенства


2 5baa

+ ≥ , 2 5cbb

+ ≥ и 2 5acc

+ ≥ .

Следовательно, неравенства (7.87) и (7.86) доказаны.


5 102 7 8 2+ < . (7.88)

Доказательство. Рассмотрим неравенство, содержащее неизвест-ную переменную x , вида 2 8 7 0x x− + < , которое совпадает с неравенст- вом (7.88) при 10 2x = .

Так как решением неравенства 2 8 7 0x x− + < являются 1 7x< < и при этом 101 2 2< < , то неравенство (7.88) справедливо.

7.43. Доказать, если ( ) 0a a b c− + < , то

2 4b ac> (7.89)

Доказательство. Из условия следует, что 0a ≠ . Рассмотрим функ-

цию ( ) 2f x ax bx c= + + . Тогда ( )1f a b c− = − + и заданное неравенство

можно переписать как ( )1 0a f⋅ − < . Исследуем два случая.

1. Пусть 0a > и ( )1 0f − < . Так как 0a > , то ветви параболы y =

= 2ax bx c+ + направлены вверх. Однако ( )1 0f − < , поэтому парабо-

ла 2y ax bx c= + + пересекает ось OX в двух точках.

2. Пусть 0a < и ( )1 0f − > . По аналогии с предыдущим случаем дела-

ем вывод о том, что парабола 2y ax bx c= + + пересекает ось OX в двух точках. Поскольку в обоих случаях парабола 2y ax bx c= + + пересекает ось

OX в двух точках, то уравнение 2 0ax bx c+ + = имеем два различных корня. Следовательно, дискриминант данного уравнения строго больше нуля и поэтому имеет место неравенство (7.89).


7.44. Доказать равенство

( ) ( )2 2 21

2 3 4 5 6 7 3 1 3 3 1

1 1 1 ,1 2 3 1

n n n

n n n

+ + +…+ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +

= + +…++ + +

(7.90)

где 1n ≥ .

Доказательство. Преобразуем левую часть равенства (7.90) сле-дующим образом:

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

2 2 212 3 4 5 6 7 3 1 3 3 1

3 1 3 14 2 7 512 3 4 5 6 7 3 1 3 3 1

1 1 1 1 1 112 3 3 4 5 6 6 7 3 1 3 3 3 1

3 3 1 3 1 33 2 4 3 6 5 7 612 3 3 4 5 6 6 7 3 1 3 3 3 1

1 1 1 1 112 3 3 4 5

n n n

n nn n n

n n n n

n n n nn n n n

+ + +…+ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +

+ − −− −= + + +…+ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +

= + − + − +…+ − =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +

− − + −− − − −= + − + − +…+ − =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +

= + − − + +1 1 1 1 1 1 16 6 7 3 1 3 3 3 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 32 3 4 5 6 7 3 1 3 6 3

1 1 1 1 1 1 1 11 1 .2 3 3 1 2 1 2 3 1

n n n n

n n

n n n n n

− − + +…+ − − + =− +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + + +…+ − + +…+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + + +…+ − − −…− = + +…++ + + +

Таким образом, равенство (7.90) доказано.

URSS

РАЗДЕЛ 8

Методы, основанные на использовании ограниченности функций

Одним из эффективных методов решения уравнений или неравенств является метод, основанный на использовании ограниченности функций. К наиболее известным ограниченным функциям относятся, например, неко-торые тригонометрические функции; обратно тригонометрические функции; функции, содержащие модуль, степень, корень с четной степенью и т. д.

Приведем наиболее распространенные простейшие неравенства. Имеет место

( ) 0f x ≥ , 1 sin 1x− ≤ ≤ , 1 cos 1x− ≤ ≤ , arcsin2 2

xπ π− ≤ ≤ ,

0 arccos x π≤ ≤ , arctg2 2

xπ π− < < , 0 arcctgx π< < , ( ) 0f xa > ,

( ) ( )( )2 0nf x g x± ≥ , ( )2 0n h x ≥ , 1 2aa

+ ≥ , 1 2bb

+ ≤ −

и многие другие. Здесь n — натуральное число, ( ) 0h x ≥ , 0a > и 0b < . Кроме приведенных выше неравенств имеются и более сложные, в ча-

стности, тригонометрические неравенства

4 41 sin cos 12

x x≤ + ≤ , 6 61 sin cos 14

x x≤ + ≤

и 2 2 2 2sin cosa b a x b x a b− + ≤ + ≤ + , а также неравенства с модулями вида a b a b a b− ≤ ± ≤ + .

Следует также отметить, что при решении некоторых задач, приведен-ных в настоящем разделе, можно эффективно применять неравенства Ко-ши, Бернулли и Коши—Буняковского, описанные в разделе 3.




2 1 82 1x x+ = − . (8.1)

Решение. Оценим обе части уравнения (8.1). Имеет место 2 12x + =

= 2

2 2 2x⋅ ≥ и 81 1x− ≤ . Так как левая часть уравнения больше или рав-на 2, а правая ее часть не превосходит 1, то уравнение корней не имеет.



2 2 24 1 3 5x x x+ + + = − . (8.2)

Решение. Нетрудно видеть, что левая часть уравнения (8.2) 2 4x + +

+ 2 1 2 1 3x + ≥ + = , а правая его часть 23 5 3x− ≤ . Следовательно, получаем систему

2 2

2

4 1 3,

3 5 3.

x x

x

⎧ + + + =⎪⎨⎪ − =⎩

Корнем второго уравнения системы является 1 0x = . Подстановкой в первое уравнение убеждаемся, что 1 0x = является корнем системы урав-нений и уравнения (8.2).

♦ Ответ: 1 0x = .


22 4 6 11x x x x− + − = − + . (8.3)

Решение. Первоначально определим область допустимых значений переменной x в уравнении (8.3). Имеет место 2 4x≤ ≤ . Пусть теперь

( ) 2 4f x x x= − + − и 2( ) 6 11g x x x= − + . Тогда

URSSМетоды, основанные на использовании ограниченности функций 201

( ) ( )( )

( )

2 2

2

2 2 2 4 4 2 2 6 8

2 2 1 3 2 2 4,

f x x x x x x x

x

= − + − − + − = + − + − =

= + − − ≤ + =

т. е. ( ) 2f x ≤ . Одновременно с этим имеем

( )22( ) 6 11 3 2 2g x x x x= − + = − + ≥ .

Отсюда следует, что ( ) ( ) 2f x g x= = , т. е. получаем систему уравнений

2

2 4 2,

6 11 2.

x x

x x

⎧ − + − =⎪⎨⎪ − + =⎩

(8.4)

Из второго уравнения системы (8.4) получаем 1 3x = . Если значение 1x подставить в первое уравнение системы (8.4), то убедимся, что данное значе-ние x является корнем системы уравнений (8.4). Следовательно, 1 3x = яв-ляется корнем уравнения (8.3).

♦ Ответ: 1 3x = .

Примечание. Оценить сверху левую часть уравнения (8.3) можно на ос-нове использования неравенства Коши—Буняковского (3.8). Имеет место

( ) ( )( )2 2 22 4 1 1 2 4 4x x x x− + − ≤ + − + − = , Отсюда следует, что 2x − +

+| 4 2x− ≤ .


( )( )2 24 4 17 1 12x x x x+ + − + = . (8.5)

Решение. Поскольку

( )224 4 17 2 1 16 16x x x+ + = + + ≥ и 2

2 1 3 312 4 4

x x x⎛ ⎞− + = − + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

,

то ( ) ( )2 2 34 4 17 1 16 124

x x x x+ + − + ≥ ⋅ = .

Отсюда и из уравнения (8.5) следует, что равенство в уравнении (8.5) достигается только в том случае, когда одновременно выполняются два

равенства 24 4 17 16x x+ + = и 2 314

x x− + = . Корнем первого уравнения


является 112

x = − , а второго уравнения — 212

x = . Так как 1 2x x≠ , то

уравнение (8.5) корней не имеет.



( ) ( )24 5 1 8x x x x− + − = − − . (8.6)

Решение. Так как 4 0x − ≥ и 5 0x− ≥ , то областью допустимых зна-чений переменной x в уравнения (8.6) являются 4 5x≤ ≤ .

Так как 4 0x − ≥ и 5 0x− ≥ , то левая часть уравнения (8.6) явля-ется неотрицательной. В то же время, если 4 5x≤ ≤ , то 8 0x − < и

2( 1) ( 8) 0x x− − < , т. е. правая часть уравнения (8.6) на области допусти-мых значений строго меньше 0. В этой связи уравнение (8.6) корней не имеет.



2 42 2 2 1x x x− + = ⋅ − . (8.7)



x ≥ .

Применим к правой части уравнения (8.7) неравенство Коши (3.1), т. е.

( ) ( )4 41 1 1 2 1

2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 14

xx x x

+ + + −⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ≤ ⋅ = + .

Отсюда и из уравнения (8.7) получаем неравенство 2 2 1x x x− + ≤ + или ( )21 0x − ≤ . Однако для любых x всегда справедливо неравенство

( )21 0x − ≥ . Поэтому ( )21 0x − = или 1 1x = . Подставим найденное значение 1 1x = в уравнение (8.7) и убедимся

в том, что 1 1x = является его корнем.

♦ Ответ: 1 1x = .



2 410 3 1 5 3x x x+ − + ⋅ − = . (8.8)

Решение. Так как 2 1 0x − ≥ , то 210 3 1 10 3x+ − ≥ > . Если при

этом еще учесть, что 4 5 0x x⋅ − ≥ , то левая часть уравнения (8.8) строго больше 3, а это означает, что уравнение (8.8) корней не имеет.



2 2

4 1 3xx x x x x x

− =+ + − −

. (8.9)

Решение. Первоначально избавимся от иррациональности в знамена-теле обеих дробей левой части уравнения (8.9), т. е.

( )( ) ( )

22

2 2 2 2

4 3x x x x x xxx x x x x x

− + + −− =

− + − −.

Отсюда получаем 2 24 5 3x x x x x+ − − = + . Далее, возведем в квад-рат обе части последнего уравнения, тогда

2 4 2 2 216 16 8 25 30 9x x x x x x x x+ − − + − = + + ,

4 2 28 8 15 9 0x x x x− + + + = . (8.10)

Поскольку дискриминант уравнения 28 15 9 0x x+ + = меньше нуля, то 28 15 9 0x x+ + > . Кроме того, 4 28 0x x− ≥ . В этой связи левая часть

уравнения (8.10) принимает только положительные значения. Поэтому уравнение (8.10), а вместе с ним и уравнение (8.9), не имеет корней.



( )( )2 2 4 22 3 1 4x x x x x x+ + = + + + + . (8.11)


Решение. Так как 2 1 0x x+ + > и 4 2 4 4x x+ + ≥ , то

( )2 22 3 4 1x x x x+ + ≥ + + .

Отсюда получаем квадратное неравенство

23 2 1 0x x+ + ≤ . (8.12) Однако неравенство (8.12) является противоречивым, поскольку

22 1 23 2 1 3 0

3 3x x x⎛ ⎞+ + = + + >⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Следовательно, уравнение (8.11) корней не имеет.



2 2 22 2 3x y z z y x y− − − − − = + . (8.13)

Решение. Возведем в квадрат обе части уравнения (8.13), тогда

( )( )2 2 2 2 22 2 2 2 3 2 3x y z x y z z y z y x y− − − − − − − + − − = + ,

( )( )2 2 2 2 22 2 2 3 2 2 3x y z z y x y x y z z y− − − − − = + − + + − + + ,

( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 22 2 2 3 1 1 1x y z z y x y z− − − − − = − + + + − . (8.14)

Левая часть уравнения (8.14) меньше или равна 0, а правая часть яв-ляется неотрицательной. Поэтому равенство в уравнении (8.14) может быть только в том случае, что обе его части одновременно равны 0. А это воз-можно лишь тогда, когда 1 1x = , 1 1y = − и 1 1z = .

♦ Ответ: 1 1x = , 1 1y = − , 1 1z = .


2 2 23 4 2 4 9 16x x x x x x+ + = − − + − + . (8.15)

Решение. Уравнение (8.15) можно переписать как

2 2 23 4 4 9 16 2x x x x x x+ + − − + = − − . (8.16)


Поскольку 2 2 0x x− − ≥ , то из уравнения (8.16) получаем неравен-

ство 2 23 4 4 9 16 0x x x x+ + − − + ≥ . Отсюда следует 2 23 4 4 9 16x x x x+ + ≥ − + , 2 23 4 4 9 16x x x x+ + ≥ − + ,

23 12 12 0x x− + ≤ или ( )22 0x − ≤ .

Так как ( )22 0x − ≥ , то ( )22 0x − = или 1 2x = . Подстановкой в урав-нение (8.15) убеждаемся, что 1 2x = является корнем этого уравнения.

♦ Ответ: 1 2x = .


23 4 12 36

25

x x xx

x− + − +

= −−

. (8.17)

Решение. Так как 22x x= , то уравнение (8.17) можно переписать как

( )23 4 6

25

x xx

x− + −

= −−

. (8.18)

Так как ( )23 4 6 0x x− + − ≥ и 2 0x − ≥ , то из уравнения (8.18) сле-

дует, что 5 0x − > или 5x > . В таком случае 3 4 3 4x x− = − , x x= ,

2 2x x− = − и из уравнения (8.18) вытекает уравнение

( )23 4 62

5x x

xx

− + −= −

−,

которое имеет единственный корень 1 11x = .

♦ Ответ: 1 11x = .


2 2 23 9 4 16 5 25 120x x x x x x− + − + − = . (8.19) Решение. Областью допустимых значений переменной x в уравне-

нии (8.19) являются 5x ≥ . Перепишем уравнение (8.19) в виде


2 2 2 1203 9 4 16 5 25x x xx

− + − + − = . (8.20)

Пусть 2 2 2( ) 3 9 4 16 5 25f x x x x= − + − + − и 120( )g xx

= . Нетруд-

но видеть, что функция ( )y f x= является непрерывно возрастающей на области допустимых значений, а функция ( )y g x= — непрерывно убы-вающей. В этой связи уравнение (8.20) имеет не более одного корня. Этой единственно возможный корень 1 5x = нетрудно найти подбором.

♦ Ответ: 1 5x = .


4 2 28 2 2 1 3x x x− + − + = . (8.21)

Решение. Так как 4 28 2 0x − ≥ и

( )22 22 1 4 4 4 2 1 3 3x x x x x− + = − + = − + ≥ ,

то левая часть уравнения (8.21) больше или равна 3 . Отсюда и из урав-нения (8.21) следует система уравнений

( )

4 2

2

8 2 0,

2 1 3 3.

x

x

⎧ − =⎪⎨⎪ − + =⎩

Система уравнений имеет единственный корень 112

x = .

♦ Ответ: 112

x = .


2 81 5x x− < − . (8.22)

Решение. Областью допустимых значений переменной x в неравен-стве (8.22) являются 1 1x− ≤ ≤ .

Нетрудно видеть, что на области допустимых значений 21 1x− ≤ и 8 8 84 5 6x≤ − ≤ . Так как 81 4< , то неравенство (8.22) выполняется для


любых x из области допустимых значений, т. е. решением неравенст- ва (8.22) являются 1 1x− ≤ ≤ .

♦ Ответ: 1 1x− ≤ ≤ .


2 2322

1 13 1 911

x xxx

+ + + < − −++

. (8.23)

Решение. Поскольку, согласно неравенству Коши (3.3), имеет место неравенство

2

2

11 21

xx

+ + ≥+

,

то для левой части неравенства (8.23) справедлива нижняя оценка

2

2

13 1 3 2 51

xx

+ + + ≥ + =+

.

Перепишем правую часть неравенства (8.23) в виде

2 2332 21 19 10 1

1 1x x

x x⎛ ⎞− − = − + +⎜ ⎟

+ +⎝ ⎠.

Применим неравенство Коши (3.3) к правой части неравенства (8.23) и получим

2 2 3332 21 19 10 1 10 2 2

1 1x x

x x⎛ ⎞− − = − + + ≤ − =⎜ ⎟

+ +⎝ ⎠.

Поскольку 5 2> , то неравенство (8.23) решения не имеет.

♦ Ответ: решения нет.


3 5 4 625 3 9 5 450x x x x− + − − + −⋅ + ⋅ = . (8.24)

Решение. Воспользуемся неравенством a b a b+ ≥ − , тогда полу-

чим 3 5 2x x− + − ≥ , 4 6 2x x− + − ≥ и


3 5 4 6 2 225 3 9 5 25 3 9 5 450x x x x− + − − + −⋅ + ⋅ ≥ ⋅ + ⋅ = . Отсюда и из уравнения (8.24) получаем систему уравнений

3 5 2,

4 6 2.

x x

x x

⎧ − + − =⎪⎨

− + − =⎪⎩ (8.25)

Известно, что равенство a b a b+ = − равносильно неравенству 0a b⋅ ≤ . В этой связи корнями первого уравнения системы (8.25) являют-

ся произвольные значения x из отрезка 3 5x≤ ≤ , а корнями второго урав-нения — произвольные значения x из отрезка 4 6x≤ ≤ . Следовательно, корнями уравнения (8.24) будут произвольные значения x из отрезка 4 5x≤ ≤ .

♦ Ответ: 4 5x≤ ≤ .


2 23 3 3x x x− ++ = . (8.26)

Решение. Рассмотрим два случая, а именно, 0x ≤ и 0x > .

Пусть 0x ≤ , тогда 3 1x ≤ . Так как 2 0x − ≥ и 2 0x + ≥ , то 23 x− +

+ 2 0 03 3 3 2x+ ≥ + = . Поскольку 3 1x ≤ , то уравнение (8.26) среди 0x ≤ корней не имеет.

Пусть 0x > , тогда 2 0x − ≥ и 2 2x x+ = + . Поэтому левую часть уравнения (8.26) можно оценить как

2 2 0 23 3 3 3 1 9 3 .x x x x− + ++ ≥ + = + ⋅

Поскольку 3 0x > , то 1 9 3 3x x+ ⋅ > . Следовательно, и в данном случае уравнение (8.26) корней не имеет.



4 25 4 4 2 2 2 1 0x x xx x+ ⋅ + ⋅ − ⋅ + = . (8.27)

Решение. Преобразуем левую часть уравнения (8.27) путем выделе-ния полных квадратов и представим уравнение в виде


( ) ( )2 22 2 2 2 1 0x xx + ⋅ + − = . (8.28)

Так как ( ) 22 2 2 0xx + ⋅ ≥ и ( )22 1 0x − ≥ , то из уравнения (8.28) сле-

дует система двух уравнений

2 2 2 0,

2 1 0.

x

x

x⎧ + ⋅ =⎪⎨⎪ − =⎩

(8.29)

Корнем второго уравнения системы (8.29) является 1 0x = , однако под-становкой в первое уравнение убеждаемся, что 1 0x = не является корнем системы уравнений (8.29), т. е. уравнение (8.28) корней не имеет.


Примечание. Если уравнение (8.27) рассматривать как квадратное уравнение относительно 2x , то его дискриминант

( )24 4 5 4 2 2 1 2 14

x x x xD= ⋅ − ⋅ + ⋅ − = − −

принимает неотрицательное значение только в том случае, когда 0x = . Од-нако данное значение x не является корнем уравнения (8.27).


( ) ( )4 2 22 2log 1 log 1 0x x x+ + + + = . (8.30)

Решение. Поскольку 4 2 1 1x x+ + ≥ и 2 1 1x + ≥ , то

( )4 22log 1 0x x+ + ≥ и ( )2

2log 1 0x + ≥ .

Отсюда, принимая во внимание уравнение (8.30), получаем систему уравнений

( )( )

4 22

22

log 1 0,

log 1 0.

x x

x

⎧ + + =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩

(8.31)


Корнем системы уравнений (8.31), а также уравнения (8.30), является 1 0x = .

♦ Ответ: 1 0x = .


( )2 3 4 222

42 4 4 log 12 4

x x x xx x

+ + + = − + ++ +

. 8.32)

Решение. Очевидно, что областью допустимых значений переменной x в уравнении (8.32) являются числовая ось OX . Оценим обе части уравне-ния (8.32).

Используя неравенство Коши (3.3), получаем 2

2

2 2

4 2 4 22 4 2 422 4 2 4

x xx xx x x x

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟+ + + = ⋅ + ≥⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠

Поскольку 4 2 1 1x x+ + ≥ , то ( )3 4 22log 1 0x x+ + ≥ и правая часть урав-

нения (8.32) не превосходит 4. Отсюда следует, что равенство в уравнении (8.32) достигается только в том случае, когда обе его части равны 4.

Пусть ( )3 4 224 log 1 4x x− + + = , тогда ( )4 2

2log 1 0x x+ + = , 4 2 1x x+ + =

1= или ( )2 2 1 0x x + = . Следовательно, 1 0x = .

Подстановкой в уравнение (8.32) убеждается, что 1 0x = является его корнем.

♦ Ответ: 1 0x = .


( ) ( )2 2 11

log 1 log 1 log 2 0xx

x x +−

− − + + > . (8.33)

Решение. Нетрудно установить, что областью допустимых значений переменной x в неравенстве (8.33) являются 1x > .

Перепишем неравенство (8.33) в виде

2 11

1log log 2 01 x

x

xx +

−

−+ >

+. (8.34)


Пусть 11

xyx+

=−

. Поскольку 211

yx

= +−

и 1x > , то 1y > .

В таком случае из неравенства (8.34) следует

22

1log 0log

yy

− + >

или

22

2

log 10

logy

y−

< . (8.35)

Если 1y > , то 2log 0y > . Поэтому из неравенства (8.35) получаем

20 log 1y< < , 1 2y< < , 21 1 21x

< + <−

, 20 11x

< <−

, 1 2x − >

или 3x > .

♦ Ответ: 3x > .


( )2 222 log 4 2 1x x x− − ⋅ − − ≥ . (8.36)

Решение. Неравенство (8.36) равносильно неравенству

( ) 222log 4 2 2 xx x −− − ≥ . (8.37)

Так как ( )224 2 2 2 2x x x− − = − − ≤ , то ( )22log 4 2 1x x− − ≤ . По-

скольку 2 0x − ≥ , то | 2 | 02 2 1x− ≥ = . Следовательно, верхняя оценка ле-вой части уравнения (8.37) совпадает с нижней оценкой его правой части и равна 1. Поэтому имеет место система уравнений

( )

2

22

2 1,

log 4 2 1.

x

x x

−⎧ =⎪⎨⎪ − − =⎩

Система уравнений имеет единственный корень 1 2x = , который лег-ко найти из приведенных выше рассуждений.

♦ Ответ: 1 2x = .



2 5sin4

x x xπ = − + . (8.38)

Решение. Выделим полный квадрат в правой части уравнения (8.38), т. е.

22 5 1 1

4 2x x x⎛ ⎞− + = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠.


2 5 14

x x− + ≥ .

Так как при этом sin 1xπ ≤ , то из уравнения (8.38) получаем систему уравнений

2

sin 1,

5 1.4

x

x x

π =⎧⎪⎨

− + =⎪⎩

(8.39)

Единственным корнем второго уравнения системы является 112

x = .

Подстановкой в первое уравнение убеждаемся, что найденное значение x является корнем системы уравнений (8.39) и уравнения (8.38).

♦ Ответ: 112

x = .


( )2 2 sin 1 0x x xy+ ⋅ + = . (8.40)

Решение. Преобразуем левую часть уравнения (8.40) следующим об-разом:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2

2 sin 1 2 sin sin sin 1

sin cos .

x x xy x x xy xy xy

x xy xy

+ ⋅ + = + ⋅ + − + =

= + +

Таким образом, уравнение (8.40) равносильно уравнению

( )( ) ( )2 2sin cos 0x xy xy+ + = . (8.41)


Так как ( )( )2sin 0x xy+ ≥ и ( )2cos 0xy ≥ , то из уравнения (8.41) вы-текает система уравнений

( )

( )

sin ,

cos 0.

xy x

xy

= −⎧⎪⎨

=⎪⎩ (8.42)

Так как ( )cos 0xy = , то ( )sin 1xy = ± и из первого уравнения (8.42) получаем 1,2 1x = ± , а из второго уравнения следует cos 0y = .

В этой связи корнями уравнения (8.40) являются 1,2 1x = ± и

( )1 2 12

y kπ= + , где k — целое число.

♦ Ответ: 1,2 1x = ± , ( )1 2 12

y kπ= + , где k — целое число.

8.26. Решить уравнение sin cos tg ctgx x x x+ = + . (8.43)

Решение. С одной стороны, 2 sin cos 2x x− ≤ + ≤ . С другой, 1tg ctg tg

tgx x x

x+ = +

и согласно неравенству Коши (3.3), (3.4) справедливы неравенства tg ctg 2x x+ ≥ и tg ctg 2x x+ ≤ − . Следовательно, нет таких значений, кото-рые могут одновременно принимать левая и правая части уравнения (8.43), т. е. уравнение корней не имеет.



sin cos tg ctgx x x x+ = + . (8.44)

Решение. Для левой части уравнения (8.44) имеет место верхняя оценка вида sin cos 2x x+ ≤ . Из уравнения (8.44) следует, что tg 0x > . Поэтому, применяя неравенство Коши (3.3), для правой части уравнения (8.44) получаем нижнюю оценку вида

1tg ctg tg 2tg

x x xx

+ = + ≥ .


Следовательно, равенство в уравнении (8.44) может быть только в том случае, когда обе его части равны 2 , т. е. имеет место система урав-нений

sin cos 2,

tg ctg 2,

x x

x x

⎧ + =⎪⎨⎪ + =⎩

корнями которой являются 1 24

x nπ π= + , где n — целое число.

♦ Ответ: 1 24



3sin sin15 cos2

x x x+ ⋅ = . (8.45)

Решение. Поскольку sin15 1x ≤ и 2 sin cos 2x x− ≤ ± ≤ , то левую часть уравнения (8.45) можно оценить сверху, как

sin sin15 cos sin sin15 cos sin cos 2x x x x x x x x+ ⋅ ≤ + ⋅ ≤ + ≤ .

Так как 322

< , то 3sin sin15 cos2

x x x+ ⋅ < . Следовательно, уравне-

ние (8.45) корней не имеет.

♦ Ответ: корней нет. Примечание. Для получения верхней оценки правой части уравнения (8.45) можно использовать неравенство Коши—Буняковского (3.8). Тогда

( ) ( ) ( )2 2 2 2sin sin15 cos 1 sin 15 sin cos 2 1 2x x x x x x+ ⋅ ≤ + ⋅ + ≤ ⋅ = .

Отсюда следует, что sin sin15 cos 2x x x+ ⋅ ≤ .


5 sin 2sin cos8 cos2

xx x x −+ ⋅ = . (8.46)

Решение. По аналогии с решением уравнения (8.45) получаем верх-нюю оценку левой части уравнения (8.46) в виде


sin cos8 cos 2x x x+ ⋅ ≤ . Поскольку 1 sin 2 1x− ≤ ≤ , то имеет место нижняя оценка правой час-

ти уравнения (8.46) вида

5 sin 2 5 1 22 2

x− −≥ = .

Сравнивая оценки левой и правой частей уравнения (8.46), получаем систему уравнений

sin sin8 cos 2,

5 sin 2 2.2

x x x

x

⎧ + ⋅ =⎪⎪⎨ −⎪ =⎪⎩

(8.47)

Система уравнений (8.47), равносильна совокупности двух систем уравнений

cos8 1,

sin cos 2,

sin 2 1,

x

x x

x

= −⎧⎪⎪ − =⎨⎪

=⎪⎩

cos8 1,

sin cos 2,

sin 2 1.

x

x x

x

=⎧⎪⎪ + =⎨⎪

=⎪⎩

(8.48)

Так как sin 2 1x = , то cos 2 0x = и sin 4 2sin 2 cos 2 0x x x= ⋅ = . Далее, поскольку 2cos8 1 2sin 4x x= − , то cos8 1x = . Отсюда следует, что первая система уравнений (8.48) является несовместной, а вторая система равно-сильна системе уравнений

sin cos 2,

1sin cos .2

x x

x x

⎧ + =⎪⎨⎪ ⋅ =⎩

(8.49)

Решая систему уравнений (8.49), получаем 2sin2

x = и 2cos2

x = .

Отсюда следует, что ( )1 2 8 14 4

x n nπ ππ= + = ⋅ + , где n — целое число.

♦ Ответ: ( )1 8 14

x nπ= ⋅ + , где n — целое число.


5 5 4sin cos 2 sinx x x+ = − . (8.50)


Решение. Поскольку sin 1x ≤ и cos 1x ≤ , то левую часть уравнения (8.50) оценим как 5 5 2 2sin cos sin cos 1x x x x+ ≤ + = , т. е. 5 5sin cos 1x x+ ≤ . В тоже время 4sin 1x ≤ и поэтому 42 sin 1x− ≥ .

Следовательно, из уравнения (8.50) получаем систему уравнений

5 2

5 2

4

sin sin ,

cos cos ,

sin 1.

x x

x x

x

⎧ =⎪⎪ =⎨⎪⎪ =⎩

(8.51)

Из системы (8.51) следует, что sin 1x = и поэтому корнями уравне-

ния (8.50) являются ( )1 4 12


♦ Ответ: (4 1)2


8.31. Решить уравнение 2cos cos 4 cos 6 3x x x+ − = − . (8.52)

Решение. Так как ( )cos 4 cos 6 2sin 5 sinx x x x− = − ⋅ − , то уравнение

(8.52) равносильно уравнению ( )2cos 2sin 5 sin 3x x x− ⋅ − = − или

3cos sin 5 sin2

x x x+ ⋅ = − . (8.53)

Однако sin 5 1x ≤ и 2 sin cos 2x x− ≤ ± ≤ , поэтому

cos sin 5 sin cos sin 5 sin cos sin 2x x x x x x x x+ ⋅ ≥ − ⋅ ≥ − ≥ − .

Поскольку 322

− > − , то 3cos sin 5 sin2

x x x+ ⋅ > − и уравнение (8.53)

корней не имеет. Следовательно, исходное уравнение (8.52) также не име-ет корней.


Примечание. . Используя неравенство Коши—Буняковского (3.8), можно по-казать, что

( ) ( ) ( )2 2 2 2cos sin5 sin 1 sin 5 cos sin 2x x x x x x+ ⋅ ≤ + ⋅ + ≤ ,

т. е. 2 cos sin5 sin 2x x x− ≤ + ⋅ ≤ .



( )2sin 2 3 cos 2 5 cos 26

x x x π⎛ ⎞+ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

. (8.54)


1 3sin 2 3 cos 2 2 sin 2 cos 22 2

2 cos sin 2 sin cos 2 2sin 2 2,3 3 3

x x x x

x x xπ π π

⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ = + ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

то ( )2sin 2 3 cos 2 5 1x x+ − ≤ − . Так как cos 2 16

x π⎛ ⎞− ≥ −⎜ ⎟⎝ ⎠

, то из уравнения

(8.54) следует система уравнений

( )2sin 2 3 cos 2 5 1,

cos 2 1.6

x x

x π

⎧ + − = −⎪⎪⎨

⎛ ⎞⎪ − = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

Отсюда получаем систему уравнений

2sin 2 1,3

cos 2 1.6

x

x

π

π

⎧ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎨⎪ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

(8.55)

Корнями второго уравнения системы (8.55) являются 1712

x nπ π= + ,

где n — целое число. Подставим найденные значения x в первое урав-нение системы (8.55), тогда

2 2 27 3sin 2 sin 2 sin 13 6 3 2

x nπ π π ππ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Следовательно, корнями системы уравнений (8.55) является

1712

x nπ π= + ,


♦ Ответ: 1712




( )2 2cos 2 cos 4 4 cos 3x x x− = + . (8.56)

Решение. Так как 1 cos 2 1x− ≤ ≤ и 1 cos 4 1x− ≤ ≤ , то

2 cos 2 cos 4 2x x− ≤ − ≤ или ( )2cos 2 cos 4 4x x− ≤ .

Поскольку 2cos 3 0x ≥ , то 24 cos 3 4x+ ≥ . Отсюда следует вывод о том, что равенство в уравнении (8.56) возможно лишь в том случае, когда обе его части равны 4. Следовательно, из уравнения (8.56) получаем сис-тему уравнений

cos 2 cos 4 2,

cos3 0.

x x

x

⎧ − =⎪⎨

=⎪⎩ (8.57)

Система уравнений (8.57) равносильна совокупности двух систем уравнений

cos 2 1,

cos 4 1,

cos3 0

x

x

x

=⎧⎪⎪ = −⎨⎪

=⎪⎩

и

cos 2 1,

cos 4 1,

cos3 0.

x

x

x

= −⎧⎪⎪ =⎨⎪

=⎪⎩

(8.58)

Первая из систем (8.58) является несовместной, поскольку при cos 2 1x = имеем 2cos 4 2cos 2 1 2 1 1x x= − = − = , а это противоречит вто-рому уравнению этой системы.

Рассмотрим вторую систему уравнений (8.58). Пусть cos 2 1x = − , то-гда 2cos 4 2cos 2 1 2 1 1x x= − = − = . Следовательно, вторая система уравне-ний (8.58) равносильна системе уравнений

cos 2 1,

cos3 0.

x

x

= −⎧⎪⎨

=⎪⎩ (8.59)

Решая систему уравнений (8.59), получаем cos 0x = или 1 2x nπ π= + ,


♦ Ответ: 1 2x nπ π= + , где n — целое число.


( ) ( )2 4 4 1sin 2 sin 1 sin cos4

x x x x− + ⋅ + = . (8.60)


Решение. Оценим снизу левую часть уравнения (8.60). Для этого пре-образуем ее следующим образом:

( ) ( )

( )

2 4 4

2 22 2 2 2

22

sin 2 sin 1 sin cos

1 1sin sin cos 2sin cos22

1 1 1 1 1 1sin 1 sin 2 .2 2 2 2 42

x x x x

x x x x x

x x

− + ⋅ + =

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= − + ⋅ + − ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= − + ⋅ − ≥ ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

Так как нижняя оценка левой части уравнения (8.60) совпадает с его правой частью, то получаем систему уравнений

2

1sin ,2

sin 2 1.

x

x

⎧ =⎪⎨⎪

=⎩

(8.61)

Пусть 1sin2

x = , тогда

( )2 2 2 2 2 1 1sin 2 4sin cos 4sin 1 sin 4 1 12 2

x x x x x ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ − = ⋅ ⋅ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Другими словами, если 1sin2

x = , то 2sin 2 1x = . Значит система

уравнений (8.61) равносильна уравнению 1sin2

x = .

Следовательно, корнями системы уравнений (8.61), а также уравне-

ния (8.60), являются ( )1 14

nx nπ π= − + , где n — целое число.

♦ Ответ: ( )1 14

nx nπ π= − + , где n — целое число.


2 21 12 2 2sin

2x x yπ− −+ = . (8.62)


Решение. Оценим снизу левую часть уравнения (8.62) с помощью не-

равенства Коши (3.2), т. е. 2 2 2 21 1 1 12 2 2 2 2 2x x x x− − − −+ ≥ ⋅ = . Если учесть,

что 2sin 22yπ≤ , то отсюда получаем систему уравнений

2 21 12 2 2,

2sin 2.2

x x

yπ

− −⎧ + =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

(8.63)

Из первого уравнения системы (8.63) получаем 1,2 1x = ± . Из второго

уравнения системы (8.63) следует, что sin 12yπ= , 2

2 2y nπ π π= + или

1 1 4y n= + , где n — целое число.

♦ Ответ: 1,2 1x = ± , 1 1 4y n= + , где n — целое число.


( ) ( )2 222tg ctg 1

1xx y x y

xπ π+ + + = +

+. (8.64)

Решение. Применяя неравенство Коши (3.2) к левой части уравнения

(8.64), получаем 2 2 2 2tg ctg 2 tg ctg 2ω ω ω ω+ ≥ ⋅ = .

Известно, что 2 1 2x x+ ≥ . Поэтому 22 1

1x

x≤

+. Следовательно,

22 1 2

1x

x+ ≤

+.


( ) ( )2 2

2

tg ctg 2,

2 1 2.1

x y x y

xx

π π⎧ + + + =⎪⎪⎨⎪ + =⎪ +⎩

(8.65)

Корнем второго уравнения системы уравнений (8.65) является 1 1x = . Подставим найденное значение x в первое уравнение системы, тогда


( )2tg 1 1yπ + = , ( )tg 1 1yπ + = ± , ( ) ( )1 2 14

y nππ + = + или 12 3

4ny −

= ,


♦ Ответ: 1 1x = , 12 3

4ny −

= , где n — целое число.


( )2 2 2 3

2 2 2

1 sin 14sin cos 5cos 3 33

5arcsin arccos .4

x x x x x

x x π

− ⋅ − ⋅ − + =

= + − (8.66)

Решение. Областью допустимых значений переменной x в уравне-нии (8.66) являются 1 1x− ≤ ≤ .

Первоначально покажем, что функция

( ) 2 2 3sin 14sin cos 5cos 3 33f x x x x x= − ⋅ − +

при любых x может принимать только положительные значения.

Представим функцию ( )y f x= следующим образом:

( )

( )( )

23

23

3

1 3 33 14sin cos 6cos

3 33 2 14sin cos 3 2cos 1

3 33 2 7sin 2 3cos 2 .

f x x x x

x x x

x x

= + − ⋅ − =

= − − ⋅ − − =

= − − +

Поскольку 2 2 2 2sin 2 cos 2a b a x b x a b− + ≤ + ≤ + , то имеет место 58 7sin 2 3cos 2 58x x− ≤ + ≤ , т. е. ( ) 33 33 2 58f x ≥ − − .

Следовательно, для доказательства неравенства ( ) 0f x > , необходи-

мо показать, что 33 33 2 58> + . С этой целью возведем обе части данно-го неравенства в куб, тогда

27 33 8 12 58 6 58 58 58⋅ > + + ⋅ + ,

891 356 70 58> + , 535 70 58> , 107 14 58> ,

( ) ( )22107 14 58> , 11449 11368> .


Полученное численное неравенство свидетельствует о том, что

( ) 0f x > . Если при этом еще учесть, что 21 0x− ≥ , то левая часть урав-нения (8.66) неотрицательна.

Рассмотрим теперь правую часть уравнения (8.66). Поскольку

arcsin arccos2

x x π+ = , то

( )( )

22 2 2 2 2

2 2

5 5arcsin arccos arccos arccos4 2 4

2arccos arccos 2arccos arccos

x x x x

x x x x

ππ π

π π π π

⎛ ⎞+ − = − + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

= − − = + −

Однако известно, что 0 arccos x π≤ ≤ . Отсюда следует, что ( )( )2arccos arccos 0x xπ π+ − ≤ , т. е. правая часть уравнения (8.66) не превосходит 0. Ранее было доказано, что левая часть уравнения (8.66) не-отрицательна, поэтому равенство в (8.66) может быть только в том случае, когда обе его части равны 0, а это возможно лишь при 1 1x = − .

♦ Ответ: 1 1x = − .


( ) 22log 5 3cos 4 sin

4x x π⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠. (8.67)

Решение. Поскольку cos 4 1x ≥ − , то 5 3cos 4 2x+ ≥ и поэтому

( )2log 5 3cos 4 1x+ ≥ . С дугой стороны, имеет место 2sin 14

x π⎛ ⎞+ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

. В этой

связи равенство в (8.67) может быть только в том случае, когда обе части уравнения равны 1, т. е.

( )2

2

log 5 3cos 4 1,

sin 1.4

x

x π

⎧ + =⎪⎨ ⎛ ⎞+ =⎪ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩


cos 4 1,

sin 1.4

x

x π

= −⎧⎪⎨ ⎛ ⎞+ = ±⎪ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩

(8.68)


Из второго уравнения системы (8.68) получаем 1 4x nπ π= + , где n —

целое число. Подставим значения 1 4x nπ π= + в первое уравнение систе-

мы (8.68) и покажем, что найденные значения x являются его корнем. Имеет место ( )cos 4 cos 4 cos 1x nπ π π= + = = − . Отсюда следует, что

корнями системы уравнений (8.68) являются 1 4x nπ π= + , где n — целое

число.

♦ Ответ: 1 4x nπ π= + , где n — целое число.


( )22 2sin log 1 log

2x x xπ= + − . (8.69)

Решение. Областью допустимых значений переменной x в уравне-нии (8.69) являются 0x > . Используя свойства логарифмов, перепишем уравнение (8.69) как

21sin log

2x x

xπ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠. (8.70)

Поскольку 0x > , то согласно неравенству Коши (3.3) имеем

1 2xx

+ ≥ или 21log 1xx

⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Однако известно, что sin 12xπ≤ . Следовательно, равенство в (8.70)

достигается лишь в том случае, когда обе его части равны единице, т. е.

2

sin 1,2

1log 1.

x

xx

π⎧ =⎪⎪⎨

⎛ ⎞⎪ + =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

(8.71)

Корнем системы уравнений (8.71) является 1 1x = .

♦ Ответ: 1 1x = .



( )62

35 2 sin 7 sin 2sin

x yx

⎛ ⎞+ ⋅ − = +⎜ ⎟⎝ ⎠

. (8.72)


20 sin 1x≤ ≤ , то 235 8

sin x+ ≥ , 62 sin 1x− ≥ и ( )6

235 2 sin 8

sinx

x⎛ ⎞+ ⋅ − ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Однако sin 2 1y ≤ , поэтому 7 sin 2 8y+ ≤ . Отсюда следует, что обе части уравнения (8.72) равны 8, а это воз-

можно только тогда, когда 2sin 1x = и sin 2 1y = . Следовательно, корнями

уравнения (8.72) являются 1 2x nπ π= + и 1 4

y kπ π= + , где ,n k — целые

числа.

♦ Ответ: 1 2x nπ π= + , 1 4

y kπ π= + , где ,n k — целые числа.


( )31arccos 12

xx

π= − . (8.73)

Решение. Первоначально отметим, что для обратной тригономет-рической функции arccosy x= справедливы неравенства 1 1x− ≤ ≤ и 0 arccos x π≤ ≤ .

Следовательно, для уравнения (8.73) имеем 10 arccosx

π≤ ≤ . В этой

связи

( )30 12

xπ π≤ − ≤ , 30 1 2x≤ − ≤ , 31 1x− ≤ ≤ или 1 1x− ≤ ≤ .

Кроме того, здесь 11 1x

− ≤ ≤ . Отсюда и из двойного неравенства

1 1x− ≤ ≤ получаем 1 1x = − и 2 1x = .

♦ Ответ: 1 1x = − , 2 1x = .



2

236

4354cos 3 34

xxx

x⎛ ⎞− = +⎜ ⎟⎝ ⎠

. (8.74)

Решение. Используя неравенство Коши (3.2), можно записать

2 2

2 236 362 6

4 4x x

x x+ ≥ ⋅ ⋅ = . (8.75)

Если неравенство Коши применить к правой части уравнения (8.74),

то с учетом (8.75) получим 22 2

2 2 236 36 36

644 43 3 2 3 3 2 3 2 3 54xx x

x x x+

+ ≥ ⋅ ⋅ = ⋅ ≥ = .

Поскольку 354 cos 544x

x⎛ ⎞⋅ − ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

, то из уравнения (8.74) следует, что обе

его части равны 54, т. е.

2

2

3cos 1,4

36 .4

xx

xx

⎧ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎨⎪

=⎪⎩

Из второго уравнения системы получаем 2 12x = или 1 2 3x = ,

2 2 3x = − . Нетрудно убедиться, что 1 2 3x = и 2 2 3x = − удовлетворя-ют первому уравнению системы.

♦ Ответ: 1 2 3x = , 2 2 3x = −


( )4 2ctg 9 ctg 5 sin 3x x x+ = ⋅ − . (8.76)

Решение. Уравнение (8.76) будем рассматривать как квадратное урав-нение относительно 2ctg x , т. е. ( )4 2ctg ctg 5 sin 3 9 0x x x− ⋅ − + = . Это урав-нение будет иметь корни, если его дискриминант будет неотрицательным, т. е. ( )25 sin 3 36 0x− − ≥ или 5 sin 3 6x− ≥ .


Нетрудно видеть, что неравенство 5 sin 3 6x− ≥ выполняется только в том случае, когда sin 3 1x = − . Причем в этом случае неравенство пре-вращается в равенство.

Если подставить значение sin 3 1x = − в уравнение (8.76), то получим 4 2ctg 6ctg 9 0x x− + = , ( )22ctg 3 0x − = или ctg 3x = ± .

Следовательно, имеет место система уравнений

2

sin 3 1,

ctg 3.

x

x

= −⎧⎪⎨⎪ =⎩

(8.77)

Из второго уравнения системы получаем 2

21 sin 3

sinx

x−

= или 2 1sin4

x = .

Тогда первое уравнение системы (8.77) преобразуем следующим образом: 34sin 3sin 1x x− + = − , ( )2sin 4sin 3 1x x⋅ − = ,

1sin 4 3 14

x ⎛ ⎞⋅ ⋅ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

или 1sin2

x = − .

Отсюда следует, что система уравнений (8.77) равносильна уравне-

нию 1sin2

x = − . Значит, корнями уравнения (8.76) являются

( ) 11 1

6nx nπ π+= − + ,


♦ Ответ: ( ) 11 1

6nx nπ π+= − + , где n — целое число.

Примечание. Систему уравнений (8.77) можно построить, используя иные рассуждения.

1. Из уравнения (8.76) следует, что 2ctg 0x ≠ (в противном случае уравне ние (8.76) превращается в противоречивое неравенство). Тогда разделим обе части уравнения (8.76) на 2ctg x и получим уравнение

22

9ctg 5 sin3ctg

x xx

+ = − . (8.78)

Используя неравенство Коши (3.2), получаем

2 22 2

9 9ctg 2 ctg 6ctg ctg

x xx x

+ ≥ ⋅ ⋅ = .


Так как 1 sin3 1x− ≤ ≤ , то 4 5 sin3 6x≤ − ≤ . Следовательно, равенство в уравнении (8.78) достигается только в том случае, когда обе его части од-новременно равны 6. Это означает, что

22

9ctgctg

xx

= или 2ctg 3x = ,

а также sin3 1x = − . 2. Перепишем уравнение (8.76) в виде равносильного уравнения

( ) ( )22 2ctg 3 ctg 1 sin 3 0x x x− + ⋅ + = . (8.79)

Так как

( )22ctg 3 0x − ≥ и ( )2ctg 1 sin 3 0x x⋅ + ≥ ,

то равенство в уравнении (8.79) возможно только при условии, что 2ctg 3x = и sin3 1x = − .


( ) ( )2log 1 arcsin 22

xy y π+ + + = . (8.80)

Решение. Обозначим ( ) ( ), arcsin 2 xf x y y= + , тогда из определения

обратной тригонометрической функции ( ),f x y имеем ( ),2 2

f x yπ π− ≤ ≤

и 1 2 1x y− ≤ + ≤ .

Так как ( ),2

f x y π≤ , то из уравнения (8.80) следует неравенство

( )2log 1 0y + ≥ , т. е. 0y ≥ . Поскольку 2 1x y+ ≤ и 0y ≥ , то 2 1x ≤ и

0x ≤ . Однако 0x ≥ и поэтому 1 0x = .

Если 2 1x y+ ≤ и 1 0x = , то 0y ≤ . Так как ранее было установлено, что 0y ≥ , то 1 0y = .

♦ Ответ: 1 0x = , 1 0y = .


1 1,

1 1.

x y

x y

⎧ + + =⎪⎨⎪ + + =⎩

(8.81)


Решение. Областью допустимых значений переменных x и y в сис-теме уравнений (8.81) являются 0x ≥ и 0y ≥ .

Так как 0y ≥ , то 1 1y + ≥ или 1 1y + ≥ . С учетом того, что 0x ≥ ,

получаем неравенство 1 1x y+ + ≥ . Если полученное неравенство срав-

нить с первым уравнением системы уравнений (8.81), то 0x = и 1 1y + = . Отсюда следует 1 0x = и 1 0y = . Непосредственной подстанов-

кой во второе уравнение системы (8.81) убеждаемся в том, что 1 0x = ,

1 0y = является корнями заданной системы уравнений.

♦ Ответ: 1 0x = , 1 0y = .


2 2

3 2 2

1 1,

3 7 5 6.

x y x y

x y y x

⎧ + + − − =⎪⎨⎪ − − + =⎩

(8.82)

Решение. Так как 2 1 0x y− − ≥ , то 2 1 1x y≥ + ≥ или 1x ≥ . Посколь-

ку 1x ≥ , 2 0y ≥ и 2 1 0x y− − ≥ , то имеет место неравенство

2 2 1 1x y x y+ + − − ≥ . (8.83)

Сравнивая неравенство (8.83) с первым уравнение системы (8.82), по-

лучаем 1x = , 2 0y = и 2 1 0x y− − = . Отсюда следует 1 1x = и 1 0y = . Подставим найденные значения 1x и 1y во второе уравнение систе-

мы (8.82) и убедимся в том, что 1 1x = , 1 0y = являются корнями этой системы уравнений.

♦ Ответ: 1 1x = , 1 0y = .


2 11cos

y y xx

− − − ≥ . (8.84)

Решение. Так как 21 0y x− − ≥ , то 21 1y x≤ − ≤ или 1y ≤ . Если

учесть, что 21 0y x− − ≥ , то 21 1y y x− − − ≤ .


Однако cos 1x ≤ , поэтому 1 1cos x

≥ .

Следовательно, неравенство (8.84) имеет место лишь в том случае, когда обе его части равны между собой и равны 1, т. е.

2

1,

1 0,

cos 1.

y

y x

x

=⎧⎪⎪ − − =⎨⎪⎪ =⎩

(8.85)

Корнями системы уравнений (8.85) являются 1 0x = и 1 1y = .

♦ Ответ: 1 0x = , 1 1y = .


3 5sin cos4

x x+ > . (8.86)

Решение. Так как sin 1x ≤ , то 3 2sin sinx x≤ или

3 2sin cos sin cosx x x x+ ≤ + . (8.87) Рассмотрим вспомогательное неравенство

2 5sin cos4

x x+ > . (8.88)

Из неравенства (8.88) получаем

( )2 51 cos cos4

x x− + > , 2 1cos cos 04

x x− + < или 21cos 0

2x⎛ ⎞− <⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Получили противоречивое неравенство. Следовательно, неравенст-

во (8.88) не выполняется, т. е. для любых x имеет место 2 5sin cos4

x x+ ≤ .

Отсюда с учетом неравенства (8.87) можно записать, что 3sin x +

+ 5cos4

x ≤ . А это означает, что неравенство (8.86) не имеет решения.

♦ Ответ: решений нет.


( )2 224 3 log cos cos 2sin 1

2xx x x xπ⎛ ⎞− + ⋅ + + ≤ −⎜ ⎟

⎝ ⎠. (8.89)


Решение. Неравенство (8.89) равносильно неравенству


2xx x x xπ⎛ ⎞− + − ⋅ + + ≥⎜ ⎟

⎝ ⎠. (8.90)

Поскольку ( )22 4 3 1 2 1x x x− + − = − − ≤ , то 2 4 3 1x x− + − ≤ . Далее, имеет место

2 2 2cos cos 2sin cos 1 2sin 2sin cos 1 22 2 2x x xx x x xπ π π⎛ ⎞+ + = + − + = + ≤⎜ ⎟

⎝ ⎠,

т. е. 22log cos cos 2sin 1

2xx xπ⎛ ⎞+ + ≤⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Отсюда и из неравенства 2 4 3 1x x− + − ≤ вытекает неравенство


2xx x x xπ⎛ ⎞− + − ⋅ + + ≤⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Полученное неравенство свидетельствует о том, что неравенство (8.90) превращается в равенство. А это возможно только в том случае, когда одновременно выполняются следующие два условия: 2 4 3 1x x− + − = и

22log cos cos 2sin 1

2xx xπ⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠. Отсюда получаем единственное реше-

ние неравенства (8.89) вида 1 2x = .

♦ Ответ: 1 2x = .


( )312log 4 sin 3 cos

5xx− ≤ . (8.91)

Решение. Так как 4 sin 3 3x− ≥ , то ( )3log 4 sin 3 1x− ≥ . Отсюда и из

очевидного неравенства 12cos 15

x≤ , следует неравенство


5xx− ≥ . (8.92)

Из неравенств (8.91) и (8.92) получаем уравнение


5xx− = , (8.93)


которое имеет место только в том случае, когда обе его части равны 1, т. е.

( )3log 4 sin 3 1,

12cos 1,5

x

x

⎧ − =⎪⎨⎪ =⎩

или sin 3 1,

12cos 1.5

x

x

=⎧⎪⎨

=⎪⎩

Корнями каждого из уравнений последней системы являются

( )4 1 ,

6

5 ,6

x n

kx

π

π

⎧ = +⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

(8.94)

где ,n k — целые числа.

Для получения корней уравнения (8.93) необходимо построить пере-сечение системы корней (8.94).

Пусть ( ) 54 16 6

knπ π+ = или 4 1 5n k+ = . Поскольку левая часть равен-

ства нечетная, то k — нечетное, т. е. 2 1k u= + , где u — целое число. Тогда ( )4 1 5 2 1n u+ = + или 2 2 5n u− = . Так как левая часть последнего равенства является четной, то u — четное или 2u m= , где m — целое число. В таком случае получаем 2 2 10n m− = или 5 1n m= + . Если под-ставить 5 1n m= + в выражение для n из системы (8.94), то

( ) ( )( ) ( )54 1 4 5 1 1 4 16 6 6

x n m mπ π π= + = + + = + .

Следовательно, корнями уравнения (8.93), а также решением нера-

венства (8.91), являются ( )15 4 16

x mπ= + , где m — целое число.

♦ Ответ: ( )15 4 16

x mπ= + , где m — целое число.


2 2 2

2 3

2 0,

2 4 3 0.

x y x y

x x y

⎧ − + =⎪⎨⎪ − + + =⎩

(8.95)


Решение. Из первого уравнения системы (8.95) получаем уравнение

222

1xy

x=

+.

Так как 2( 1) 0x − ≥ или 2 1 2x x+ ≥ , то

222 1

1xy

x= ≤

+ или 1 1y− ≤ ≤ .

Представим второе уравнение системы (8.95) в виде

( ) ( )2 32 1 1 0x y− + + = . (8.96)

Поскольку 1 1y− ≤ ≤ , то 3 1 0y + ≥ . Так как при этом ( )21 0x − ≥ , то из уравнения (8.96) получаем

3

1 0 ,

1 0

x

y

− =⎧⎪⎨⎪ + =⎩

или 1

1

1 ,

1 .

x

y

=⎧⎪⎨

= −⎪⎩

Непосредственной подстановкой в первое уравнение системы (8.95) убеждаемся, что эта пара значений 1x и 1y является корнем этой системы.

♦ Ответ: 1 11, 1x y= = − .


( )2

2 1 3,

2 4 5.

y x y

y y y

⎧ − − + =⎪⎨⎪ + − + − =⎩

(8.97)

Решение. Из первого уравнения системы (8.97) получаем y = = 2 1 3x y− + + . Поскольку 2 1 0x y− + ≥ , то 3y ≥ . В этой связи .y y=

2 2y y− = − и второе уравнение системы (8.97) принимает вид 2y y+ − +

+ ( )24 5y − = , 2 6 9 0y y− + = или ( )23 0y − = . Отсюда получаем 1 3y = . Если подставить значение 1 3y = в первое

уравнение системы (8.97), то 3 6 1 3x− − + = или 1 5x = .

♦ Ответ: 1 5x = , 1 3y = .



( )

( )( )

3

2 2

3 3 2 ,

4 8 ,

2 3 5 16,

x y

z y y

z x x x

⎧ + = −⎪⎪

+ =⎨⎪⎪ − + = +⎩

(8.98)

при условии, что 0z ≥ .

Решение. Из второго уравнения системы (8.98) получаем 2z + + ( )24 1 4y − = или ( )22 4 4 1z y= − − . Отсюда следует, что 2 4z ≤ или

2 2z− ≤ ≤ . Так как по условию 0z ≥ , то 0 2z≤ ≤ . Перепишем третье уравнение системы (8.98) в виде квадратного урав-

нения относительно переменной x , т. е. ( )2 2 4 16 6 0x x z z+ − + − = . Для существования действительных корней приведенного выше

квадратного уравнения необходимо потребовать, чтобы его дискрими-нант принимал неотрицательные значения, т. е. ( )24 16 6 0z z− − + ≥ или

( )2 0z z − ≥ . Отсюда с учетом того, что 0 2z≤ ≤ , получаем 1 0z = и 2 2z = . Если найденные значения переменной z подставить в уравнения сис-

темы (8.98), то получим две системы уравнений

( )

( )

3

2

3 3 2 ,

4 8 ,

3 5 16

x y

y y

x x x

⎧ + = −⎪⎪

=⎨⎪⎪− + = +⎩

и

( )

( )( )

3

2

3 3 2 ,

4 4 8 ,

4 3 5 16.

x y

y y

x x x

⎧ + = −⎪⎪

+ =⎨⎪⎪ − + = +⎩

Корнями первой системы уравнений являются 1 4x = − , 1 2y = , а из второго уравнения получаем 2 2x = − , 2 1y = .

♦ Ответ: 1 4x = − , 1 2y = , 1 0z = ; 2 2x = − , 2 1y = , 2 2z = .


( )

cos arccos 1,

cos arcsin 1.

x y

y xπ

− =⎧⎪⎨

− = −⎪⎩ (8.99)

Решение. Из первого уравнения системы (8.99) получаем


cos 1 arccosx y= + . (8.100)

Поскольку cos 1x ≤ и arccos 0y ≥ , то из уравнения (8.100) следует, что

cos 1,

arccos 0.

x

y

=⎧⎪⎨

=⎪⎩

Отсюда получаем корни первого уравнения системы (8.99) вида 2x kπ= и 1 1y = , где k — целое число. Подставим значение 1 1y = во второе уравнение системы (8.99), тогда

cos arcsin 1xπ − = − или arcsin 0x = , т. е. 1 0x = .

♦ Ответ: 1 0x = , 1 1y = .

8.55. Решить систему

( )

255 4 log 2 3

2

5 2 ,

3 1 2 3.

x x y

y y y

− + − −⎧=⎪

⎨⎪ − + + − ≤⎩

(8.101)

Решение. Из уравнения системы (8.101) получаем 2

5

5 43

log 25 2

5

x xy

− +−= или

2 5 4 25 2x x y− + −= .

Так как 2 5 4 0x x− + ≥ , то 2 5 4

5 1x x− +

≥ . Отсюда следует, что 22 1y− ≥

или 2y ≥ . Поскольку установлено, что 2y ≥ , то y y= , 1 1y y+ = + и

неравенство из системы (8.101) принимает вид ( )23 1 2 3y y y− − + − ≤ или

( )2 0y y − ≤ , т. е. 0 2y≤ ≤ . С учетом того, что 2y ≥ , отсюда получаем 1 2y = .

Подставим значение 1y в уравнение системы (8.101), тогда 2 5 4

5 1x x− +

=

или 2 5 4 0x x− + = . Решая квадратное уравнение, получаем 1 1x = и 2 4x = . Следовательно, корнями системы (8.101) являются 1 1x = , 1 2y = и

2 4x = , 2 2y = .

♦ Ответ: 1 1x = , 1 2y = ; 2 4x = , 2 2y = .

URSSРАЗДЕЛ 9

Методы решения симметрических систем уравнений

В ряде случаев приходится решать системы уравнений с симметриче-ским вхождением переменных, слагаемых или сомножителей. Системы c таким свойством будем называть симметрическими. К таким системам уравнений относятся, в частности, системы вида

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

,

,

f x g x a

f x h x b

g x h x c

+ =⎧⎪⎪ + =⎨⎪⎪ + =⎩

(9.1)

и

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

,

,

.

f x g x a

f x h x b

g x h x c

⋅ =⎧⎪⎪ ⋅ =⎨⎪⎪ ⋅ =⎩

(9.2)

Метод решения системы (9.1) заключается в сложении левых и правых частей уравнений с целью формирования уравнения ( ) ( ) ( )f x g x h x+ + =

= ( )12

a b c+ + . Затем из данного уравнения поочередно вычитаются третье,

второе и первое уравнения системы (9.1), в результате чего получается система

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 ,2

1 ,2

1 .2

f x a b c

g x a b c

h x a b c

⎧ = + −⎪⎪⎪⎪ = − +⎨⎪⎪⎪ = − + +⎪⎩


При решении системы уравнений (9.2) необходимо перемножить ле-вые и правые части уравнений, тогда получаем ( ) ( ) ( )2 2 2f x g x h x abc⋅ ⋅ =

или ( ) ( ) ( )f x g x h x abc⋅ ⋅ = ± . Здесь необходимо потребовать, чтобы выполнялось условие 0abc ≥ .

Если затем полученное уравнение разделить поочередно на третье, второе и первое уравнения системы (9.2), то получаем две системы уравнений относительно ( ) ( ) ( ), ,f x g x h x вида

( )

( )

( )

,

,

abf xc

acg xb

bch xa

⎧=⎪

⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪⎪ =⎪⎩

и

( )

( )

( )

,

,

.

abf xc

acg xb

bch xa

⎧= −⎪

⎪⎪⎪ = −⎨⎪⎪⎪ = −⎪⎩

Полученные системы уравнений относительно ( ) ( ) ( ), ,f x g x h x до-пускают более простое решение по сравнению с решением систем урав-нений (9.1), (9.2). Следует отметить, что данный метод обобщается на слу-чай произвольного числа уравнений, содержащихся в симметрических сис-темах.

Кроме изложенного выше метода, существует еще довольно–таки мно-го других методов решения, которые учитывают специфику заданной сим-метрической системы уравнений.



3,

4,

5.

x y x z

x y y z

x z y z

⎧ + + + =⎪⎪ + + + =⎨⎪⎪ + + + =⎩

(9.3)

Решение. После сложения уравнений системы (9.3) получим 6x y x z y z+ + + + + = . Если из полученного уравнения вычесть по-

очередно уравнения системы (9.3), то получим систему уравнений

URSSМетоды решения симметрических систем уравнений 237

1,

2,

3.

x y

x z

y z

⎧ + =⎪⎪ + =⎨⎪⎪ + =⎩

(9.4)

Из системы уравнений (9.4) следует 1x y+ = , 4x z+ = и 9y z+ = . Отсюда получаем 7x y z+ + = и 1 2x = − , 1 3y = , 1 6z = .

♦ Ответ: 1 2x = − , 1 3y = , 1 6z = .


5,

8,

9.

xy xz

xy yz

xz yz

+ =⎧⎪⎪ + =⎨⎪

+ =⎪⎩

(9.5)

Решение. Путем сложения левых и правых частей уравнений систе-мы (9.5) получаем 11xy xz yz+ + = . Если из последнего уравнения вы-честь поочередно уравнения системы (9.5), то 2xy = , 3xz = , 6yz = . Если перемножить между собой три приведенные выше уравнения, то

2 2 2 36x y z = или 6xyz = ± . Рассмотрим два возможных случая. Если 6xyz = и 2xy = , 3xz = , 6yz = , то 1 1x = , 1 2y = и 1 3z = . Если 6xyz = − , то 2 1x = − , 2 2y = − и

2 3z = − .

♦ Ответ: 1 1x = , 1 2y = , 1 3z = ; 2 1x = − , 2 2y = − , 2 3z = − .


3 ,

4 ,

5 ,

y zxz y

x zyz x

x yzy x

⎧ = +⎪⎪⎪⎪ = +⎨⎪⎪⎪ = +⎪⎩

(9.6)

где 0, 0, 0x y z≠ ≠ ≠ .


Решение. Система уравнений (9.6) равносильна системе уравнений

3,

4,

5.

y zx z x y

x zy z x y

x yy z x z

⎧+ =⎪

⎪⎪⎪ + =⎨⎪⎪⎪ + =⎪⎩

(9.7)

Если сложить между собой уравнения системы (9.7), а затем обе его части разделить на 2, то получим

6x y zy z x z x y

+ + = . (9.8)

Далее, вычтем из уравнения (9.8) последовательно первое, второе и третье уравнения системы (9.7), тогда

3,

2,

1.

xy z

yx z

zx y

⎧=⎪

⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪⎪ =⎪⎩

(9.9)

Если перемножить между собой уравнения системы (9.9), то 16

xyz = .

Отсюда и из уравнений системы (9.9) получаем 2 12

x = , 2 13

y = и 2 16

z = ,

т. е. 22

x = ± , 33

y = ± и 66

z = ± .

Нетрудно убедиться, что корнями системы уравнений (9.6) являются

12

2x = , 1

33

y = , 16

6z = ; 2

22

x = − , 23

3y = − , 2

66

z = ; 32

2x = − ,

33

3y = , 3

66

z = − и 42

2x = , 4

33

y = − , 46

6z = − .




45,

40,

13,

y zxz y

x zyz x

x yzy x

⎧ ⎛ ⎞+ =⎪ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪⎪⎪ ⎛ ⎞+ =⎨ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪⎪

⎛ ⎞⎪ + =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

(9.10)

где 0, 0, 0x y z≠ ≠ ≠ . Решение. Раскрывая скобки в левых частях уравнений системы (9.10),

получаем систему уравнений вида (9.1), т. е.

45,

40,

13.

xy xzz y

xy yzz x

xz yzy x

⎧ + =⎪⎪⎪⎪ + =⎨⎪⎪⎪ + =⎪⎩

(9.11)

Если сложить левые и правые части уравнений (9.11), то получим

49xy xz yzz y x+ + = .

Если затем из полученного уравнения вычесть третье, второе и пер-вое уравнения системы (9.11), то

36,

9,

4.

xyz

xzy

yzx

⎧=⎪

⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪⎪ =⎪⎩

(9.12)

Система уравнений (9.12) имеет вид симметрической системы (9.2). Поэтому здесь необходимо перемножить левые и правые части уравне- ний (9.12). Тогда 1296xyz = . Затем разделим выражение 1296xyz = на

третье, второе и первое уравнения системы (9.12) и получим 2 324x = , 2 144y = и 2 36z = , т. е. 18x = ± , 12y = ± и 6z = ± .


Проверкой устанавливаем, что корнями системы уравнений (9.10) явля-ются 1 1 118, 12, 6x y z= = = ; 2 2 218, 12, 6x y z= = − = − ; 3 18,x = − 3 12,y =

3 6z = − и 4 4 418, 12, 6x y z= − = − = .



15,

12,

20,

xyx y

xzx z

yzy z

⎧ =⎪ +⎪⎪⎪ =⎨

+⎪⎪⎪ =⎪ +⎩

(9.13)

где 0, 0, 0x y z≠ ≠ ≠ .

Решение. Простым преобразованием уравнений системы (9.13) полу-чаем

1 ,15

1 ,12

120

x yxy

x zxz

y zyz

+⎧ =⎪⎪⎪ +⎪ =⎨⎪⎪ +⎪ =⎪⎩

или

1 1 1 ,15

1 1 1 ,12

1 1 1 .20

x y

x z

y z

⎧ + =⎪⎪⎪⎪ + =⎨⎪⎪⎪ + =⎪⎩


1 1 1 1 1 1 1215 12 20 5x y z

⎛ ⎞+ + = + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠ или 1 1 1 1

10x y z+ + = .

Тогда 1 1 1 110 20 20x

= − = , 1 1 1 110 12 60y

= − = , 1 1 1 110 15 30z

= − = или

1 20x = , 1 60y = и 1 30z = .

♦ Ответ: 1 20x = , 1 60y = , 1 30z = .



1,

2,

5.

xy x y

xz x z

yz y z

+ + =⎧⎪⎪ + + =⎨⎪

+ + =⎪⎩

(9.14)

Решение. Если к обеим частям каждого уравнения системы (9.14) прибавить 1, то получаем

1 2,

1 3,

1 6

xy x y

xz x z

yz y z

+ + + =⎧⎪⎪ + + + =⎨⎪

+ + + =⎪⎩

или

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

1 1 2,

1 1 3,

1 1 6.

x y

x z

y z

+ + =⎧⎪⎪ + + =⎨⎪⎪ + + =⎩

Из последней системы уравнений следует

( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 36x y z+ + + = или ( )( )( )1 1 1 6x y z+ + + = ± .


1. Пусть ( )( )( )1 1 1 6x y z+ + + = , тогда ( )( )

61 11 1

xy z

+ = =+ +

, 1y + =

= ( )( )

6 21 1x z

=+ +

, ( )( )

61 31 1

zx y

+ = =+ +

или 1 0x = , 1 1y = , 1 2z = .

2. Если ( )( )( )1 1 1 6x y z+ + + = − , то по аналогии с предыдущим случаем,

получаем 2 2x = − , 2 3y = − и 2 4z = − .

♦ Ответ: 1 0x = , 1 1y = , 1 2z = ; 2 2x = − , 2 3y = − , 2 4z = − .


2 2 2

18,

108.

x y z

x y z

+ + =⎧⎪⎨⎪ + + =⎩

(9.15)

Решение. Умножим на 12 обе части первого уравнения системы (9.15) и вычтем его из второго уравнения, тогда

2 2 212 12 12 108x x y y z z− + − + − = − .


Отсюда получаем уравнение ( ) ( ) ( )2 2 26 6 6 0x y z− + − + − = , корнями

которого являются 1 1 1 6x y z= = = . Найденные значения переменных , ,x y z подставим в оба уравнения системы (9.15) и убедимся в том, что эти зна-чения являются ее корнями.

♦ Ответ: 1 1 16, 6, 6x y z= = = .


2 2 2 12,

12.

x y z

xy xz yz

⎧ + + =⎪⎨⎪ + + =⎩

(9.16)

Решение. Из первого уравнения системы (9.16) вычтем второе урав-нение, тогда 2 2 2 0x y z xy xz yz+ + − − − = . Если обе части полученного уравнения умножить на 2, то после несложных преобразований получим

( ) ( ) ( )2 2 2 0x y x z y z− + − + − = , откуда следует, что x y z= = . В таком

случае из первого уравнения системы (9.16) получаем 23 12x = или 2x = ± . Поскольку x y z= = , то 1 1 1 2x y z= = = и 2 2 2 2x y z= = = − . Для за-

вершения решения системы уравнений (9.16) необходимо обязательно выполнить проверку.

♦ Ответ: 1 1 12, 2, 2x y z= = = ; 2 2 22, 2, 2x y z= − = − = − .


2 2

2 2

2 2

37,

28,

19.

x xy y

x xz z

y yz z

⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪⎪ + + =⎩

(9.17)

Решение. Нетрудно заметить, что x y≠ , x z≠ и y z≠ . Например, ес-ли бы x y= , то второе уравнение системы (9.17) противоречило бы треть-ему уравнению.

В таком случае система (9.17) равносильна системе


( )

( )

( )

3 3

3 3

3 3

37 ,

28 ,

19 .

x y x y

z x z x

y z y z

⎧ − = −⎪⎪

− = −⎨⎪⎪ − = −⎩

(9.18)

Если сложить, соответственно, левые и правые части уравнений сис-темы (9.18), то получим 37 37 28 28 19 19 0x y z x y z− + − + − = , откуда сле-дует 2x z y+ = .

Уравнение 2x z y+ = можно трактовать, как выполнение условия то-го, что значения переменных x , y и z образуют арифметическую про-грессию, разность которой равна d , где 0d ≠ . В таком случае x y d= − и z y d= + .

Далее, подставим выражения x y d= − и z y d= + , соответственно, в первое и третье уравнения системы (9.17) и получим

( ) ( )

( ) ( )

2 2

22

37,

19

y d y y d y

y y y d y d

⎧ − + − + =⎪⎨⎪ + + + + =⎩

или 2 2

2 2

3 3 37,

3 3 19.

y yd d

y yd d

⎧ − + =⎪⎨⎪ + + =⎩

Если из первого уравнения последней системы вычесть второе урав-нение, то

3yd = − и 2 2

3,

3 28,

yd

y d

= −⎧⎪⎨⎪ + =⎩

откуда следует 22

93 28yy

+ = , 4 23 28 9 0y y− + = или 2 9y = , 2 13

y = . От-

сюда с учетом того, что 3dy

= − , вытекает 1 3y = , 1 1d = − ; 2 3y = − ,

2 1d = ; 313

y = , 3 3 3d = − и 413

y = − , 4 3 3d = .

Далее, используя формулы x y d= − и z y d= + , получаем корни системы уравнений (9.17).

♦ Ответ: 1 4x = , 1 3y = , 1 2z = ; 2 4x = − , 2 3y = − , 2 2z = − ;

310

3x = , 3

13

y = , 383

z = − ; 410

3x = − , 4

13

y = − , 483

z = .



( )( )( )( )( )( )

2 2

2 2

2 2

15,

40,

65.

x y x y

x z x z

y z y z

⎧ + + =⎪⎪⎪ + + =⎨⎪⎪

+ + =⎪⎩

(9.19)

Решение. Первоначально отметим, что x y≠ , x z≠ и y z≠ . Если, на-пример, выполнялось бы равенство x y= , то левые части второго и третье-го уравнений системы (9.19) были бы равны, а правые части — нет. По-этому, умножив обе части первого уравнения на x y− , обе части второго уравнения на z x− и обе части третьего уравнения на y z− , получим рав-носильную систему уравнений

4 4

4 4

4 4

15 15 ,

40 40 ,

65 65 .

x y x y

z x z x

y z y z

⎧ − = −⎪⎪ − = −⎨⎪⎪ − = −⎩

Если затем сложить левые и правые части уравнений приведенной выше системы, то получим 15 15 40 40 65 65 0x y z x y z− + − + − = или 2y x z= + .

По аналогии с решением системы уравнений (9.17) здесь значения переменных , ,x y z также образуют арифметическую прогрессию, раз-ность которой обозначим через d . Тогда x y d= − и z y d= + .

Подставим выражения x и z в первое и третье уравнения системы (9.19), тогда после несложных преобразований получаем

3 2 2 3

3 2 2 3

4 6 4 15,

4 6 4 65.

y y d yd d

y y d yd d

⎧ − + − =⎪⎨⎪ + + + =⎩

(9.20)

Если сначала сложить (а затем вычесть) уравнения системы (9.20), то получим систему уравнений

3 2

2 3

10,

6 25.

y yd

y d d

⎧ + =⎪⎨⎪ + =⎩

(9.21)

Из второго уравнения системы (9.21) следует, что 0d ≠ . Кроме того, из уравнений системы (9.21) имеем


3 2

2 3256

y ydy d d+

=+

.

Поскольку 0d ≠ , то разделим числитель и знаменатель дроби на 3d и

после этого положим y ud= . Тогда

3

2256 1

u uu+

=+

или 3 25 12 5 2 0u u u− + − = .

Кубическое уравнение имеет единственный корень 1 2u = . Так как yud

= и 1 2u = , то 2y d= .

Подставим выражение 2y d= в первое уравнение системы (9.21), то-

гда ( )3 22 2 10d d d+ ⋅ = или 1 1d = . Следовательно, имеем 1 12 2y d= = ,

1 1 1 1x y d= − = и 1 1 1 3z y d= + = .

♦ Ответ: 1 1 11, 2, 3 .x y z= = =


( )

( )

( )

22

22

22

2,

3,

6.

x y z

y z x

z x y

⎧ = − +⎪⎪⎪ = − +⎨⎪⎪ = − +⎪⎩

(9.22)

Решение. Перепишем систему уравнений (9.22) в равносильном виде

( )

( )

( )

22

22

22

2,

3,

6

x y z

y z x

z x y

⎧ − − =⎪⎪⎪ − − =⎨⎪⎪ − − =⎪⎩

или

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

2,

3,

6.

x y z x y z

x y z x y z

x y z x y z

− + + − =⎧⎪⎪ + − − + + =⎨⎪⎪ − + + − + =⎩

(9.23)

Если перемножить левые и правые части уравнений системы (9.23), то получим ( )( )( ) 6x y z x y z x y z− + + − + + − = ± . Рассмотрим два случая.


Пусть ( ) ( )( ) 6x y z x y z x y z− + + − + + − = . Если разделить данное уравнение последовательно на уравнения системы (9.23), то получим сис-тему уравнений

3,

2,

1.

x y z

x y z

x y z

− + + =⎧⎪⎪ − + =⎨⎪

+ − =⎪⎩

(9.24)

После сложения уравнений системы (9.24) имеем уравнение 6x y z+ + = . Если из данного уравнения вычесть первое уравнение сис-

темы (9.24), то 2 3x = или 132

x = . Аналогично получаем 1 2y = и 152

z = .

Пусть теперь ( )( )( ) 6x y z x y z x y z− + + − + + − = − , тогда по аналогии с предыдущим случаем, получаем

6x y z+ + = − и 232

x = − , 2 2y = − , 252

z = − .

♦ Ответ: 132

x = , 1 2y = , 152

z = ; 232

x = − , 2 2y = − , 252

z = − .


6,

6,

6.

x yz

y zx

z xy

+ =⎧⎪⎪ + =⎨⎪

+ =⎪⎩

(9.25)

Решение. Если вычесть первое уравнение системы (9.25) из осталь-ных двух уравнений системы, то

( )( )

( )( )

6,

1 0,

1 0.

x yz

x y z

x z y

⎧ + =⎪⎪ − − =⎨⎪⎪ − − =⎩

Отсюда следует, что для отыскания корней системы уравнений сис-темы (9.25) необходимо рассмотреть четыре системы уравнений

6,

0,

0,

x yz

x y

x z

+ =⎧⎪⎪ − =⎨⎪

− =⎪⎩

6,

0,

1 0,

x yz

x y

y

+ =⎧⎪⎪ − =⎨⎪

− =⎪⎩

6,

1 0,

0,

x yz

z

x z

+ =⎧⎪⎪ − =⎨⎪

− =⎪⎩

6,

1 0,

1 0.

x yz

z

y

+ =⎧⎪⎪ − =⎨⎪

− =⎪⎩


Решая приведенные выше системы уравнений, получаем следующие корни:

1 1 13, 3, 3;x y z= − = − = − 2 2 22, 2, 2;x y z= = = 3 3 31, 1, 5;x y z= = =

4 4 41, 5, 1x y z= = = и 5 5 55, 1, 1x y z= = = .



( )( )3 31 1 56,

7.

x y

xy x y

⎧ + + =⎪⎨⎪ + + =⎩

(9.26)

Решение. Из системы уравнений (9.26) следует, что 1x ≠ − и 1y ≠ − (в этом нетрудно убедиться, если данные значения переменных x и y под-ставить в первое уравнение системы).

Преобразуем систему уравнений к виду

( )( )( )( )

3 31 1 56,

1 1 8.

x y

x y

⎧ + + =⎪⎨⎪ + + =⎩

(9.27)

Поскольку 1x ≠ − и 1y ≠ − , то можно разделить первое уравнение системы (9.27) на второе уравнение и получить равносильные системы уравнений

( )( )2 21 1 7,

7,

x x y y

xy x y

⎧ − + − + =⎪⎨⎪ + + =⎩

( )( ) ( ) ( )2 6,

7,

xy xy x y x y xy x y

xy x y

⎧ − + + + − + + =⎪⎨⎪ + + =⎩

( )( ) ( )2 13,

7.

xy xy x y x y

xy x y

⎧ − + + + =⎪⎨⎪ + + =⎩

(9.28)

Введем новые переменные x y u+ = , xy v= и перепишем систему уравнений (9.28) в виде


( ) 2 13,

7

v v u u

u v

⎧ − + =⎪⎨⎪ + =⎩

или 2 2 13,

7.

u v uv

u v

⎧ + − =⎪⎨⎪ + =⎩

Корнями последней системы уравнений являются 1 3,u = 1 4v = и

2 24, 3u v= = . Рассмотрим две системы

3,

4

x y

xy

+ =⎧⎪⎨

=⎪⎩ и

4,

3.

x y

xy

+ =⎧⎪⎨

=⎪⎩

Первая система уравнений корней не имеет, а из второй системы урав-нений получаем 1 1x = , 1 3y = и 2 3x = , 2 1y = .

♦ Ответ: 1 1x = , 1 3y = ; 2 3x = , 2 1y = .

Примечание. Симметрические системы двух уравнений, зависящих от пере-менных x и y , зачастую эффективно решаются с помощью стандартной за-мены переменных x y u+ = и xy v= .


( ) ( )( ) ( )

2 21 1 3,

1 1 6.

x x y y

x y

⎧ + + ⋅ + + =⎪⎨⎪ − ⋅ − =⎩

(9.29)

Решение. Представим систему уравнений (9.29) в виде равносильной системы

( ) ( ) ( )

( )

21 2,

5.

xy xy x y x y x y

xy x y

⎧ + + − + + + + =⎪⎨⎪ − + =⎩

(9.30)

Введем новые переменные x y u+ = и xy v= . Тогда систему уравне-ний (9.30) можно переписать, как

( ) 21 2,

5.

v v u u u

v u

⎧ + − + + =⎪⎨⎪ − =⎩

Из второго уравнения системы имеем 5v u= + . Если выражение 5v u= + подставить в первое уравнение системы, то получим квадратное


уравнение 2 5 6 0u u+ + = , корнями которого являются 1 3u = − и 2 2u = − . Поскольку 5v u= + , то 1 2v = и 2 3v = .

Так как x y u+ = и xy v= , то имеем совокупность двух систем урав-нений, относительно переменных x и y , вида

3,

2

x y

xy

+ = −⎧⎪⎨

=⎪⎩ и

2,

3.

x y

xy

+ = −⎧⎪⎨

=⎪⎩

Из первой системы уравнений получаем 1 1x = − , 1 2y = − и 2 2x = − ,

2 1y = − , а вторая система уравнений корней не имеет.

♦ Ответ: 1 1x = − , 1 2y = − ; 2 2x = − , 2 1y = − .


( ) ( )( )( )

2 21 1 10,

1 3.

x y

x y xy

⎧ + + =⎪⎨⎪ + − =⎩

(9.31)

Решение. Система уравнений (9.31) равносильна системе уравнений

( ) ( )

( )( )

2 21 10,

1 3.

x y xy

x y xy

⎧ + + − =⎪⎨⎪ + − =⎩

(9.32)

Пусть x y u+ = и 1xy v− = , тогда система уравнений (9.32) примет вид 2 2 10,

3.

u v

uv

⎧ + =⎪⎨⎪ =⎩

Корнями данной системы уравнений являются 1 1u = , 1 3v = ; 2 1u = − ,

2 3v = − ; 3 3u = , 3 1v = и 4 3u = − , 4 1v = − . Поскольку x y u+ = и 1xy v− = , то имеем четыре системы уравнений

относительно переменных x и y , т. е.

1,

4,

x y

xy

+ =⎧⎪⎨

=⎪⎩

1,

2,

x y

xy

+ = −⎧⎪⎨

= −⎪⎩

3,

2

x y

xy

+ =⎧⎪⎨

=⎪⎩ и

3,

0.

x y

xy

+ = −⎧⎪⎨

=⎪⎩

Первая система уравнений корней не имеет. Решая остальные систе-мы уравнений, получаем следующие корни: 1 1x = , 1 2y = − ; 2 2x = − ,

2 1y = ; 3 1x = , 3 2y = ; 4 2x = , 4 1y = ; 5 0x = , 5 3y = − и 6 3x = − , 6 0y = .



Примечание. Для того, чтобы система уравнений (9.31) была совместной не-обходимо, чтобы

( ) ( )( ) ( )2 2

11 12 21 1

x y xy

x y

+ ⋅ −− ≤ ≤

+ ⋅ +.

Это двойное неравенство было доказано в разделе 2 (см. задачу 2.13.). Уравнения системы (9.31) удовлетворяют приведенным выше условиям.


2 2 2

3 3 3

4,

24,

64.

x y z

x y z

x y z

+ + =⎧⎪⎪ + + =⎨⎪⎪ + + =⎩

(9.33)

Решение. Обозначим x y u+ = и xy v= . Тогда из первого уравнения системы (9.33) следует, что 4z u= − .

Преобразуем второе и третье уравнения системы (9.33) следующим образом:

( )

( ) ( )( )

2 2

2 3

2 24,

3 64,

x y xy z

x y x y xy z

⎧ + − + =⎪⎨⎪ + ⋅ + − + =⎩

( )

( ) ( )

22

32

2 4 24,

3 4 64,

u v u

u u v u

⎧ − + − =⎪⎨⎪ − + − =⎩

2

2

4 4 0,

12 3 48 0,

u v u

u uv u

⎧ − − − =⎪⎨⎪ − − =⎩

( )

2 4 4 0,

12 3 48 0.

u v u

u u v

⎧ − − − =⎪⎨⎪ − − =⎩

(9.34)

Из второго уравнения системы (9.34) следует необходимость рас-смотрения двух случаев.

1. Пусть 0u = . Тогда 4 4z u= − = , а из первого уравнения системы (9.34) получаем 4v = − . Так как x y u+ = и xy v= , то имеет место система

уравнений 0,

4,

x y

xy

+ =⎧⎪⎨

= −⎪⎩ из которой следует 1 12, 2x y= = − и 2 2,x = −

2 2y = , где 1,2 4z = .


2. Пусть 12 3 48 0u v− − = , тогда 4 16v u= − и второе уравнение систе- мы (9.34) будет равносильно квадратному уравнению 2 8 12 0u u− + = , которое имеет два корня 2u = и 6u = . Если 2u = , то 4 2z u= − = и из первого уравнения системы (9.34) получаем 8v = − . В таком случае

2

8

x y

xy

+ =⎧⎪⎨

= −⎪⎩ и 3 34, 2x y= = − , 4 42, 4x y= − = .

При этом 3,4 2z = . Если 6u = , то 4 2z u= − = − , 4 16 8v u= − = и

6;

8.

x y

xy

+ =⎧⎪⎨

=⎪⎩

Отсюда следует 5 52, 4x y= = и 6 64, 2x y= = . Здесь 5,6 2z = − .

♦ Ответ: 1 1 12, 2, 4x y z= = − = ; 2 2 22, 2, 4x y z= − = = ;

3 3 34, 2, 2x y z= = − = ; 4 4 42, 4, 2x y z= − = = ; 5 5 52, 4, 2x y z= = = − ;

6 6 64, 2, 2x y z= = = − .


2 2 2

4 4 4

3,

5,

17.

x y z

x y z

x y z

+ + =⎧⎪⎪ + + =⎨⎪⎪ + + =⎩

(9.35)

Решение. Система уравнений (9.35) равносильна системе

2 2 2

4 4 4

3 ,

5 ,

17 .

x y z

x y z

x y z

+ = −⎧⎪⎪ + = −⎨⎪⎪ + = −⎩

(9.36)

Возведем в квадрат первое уравнение системы (9.36) и вычтем из не-го второе уравнение. Тогда получим 2 3 2xy z z= − + . Далее, возведем в квадрат второе уравнение и вычтем из него третье уравнение, тогда


2 2 4 25 4x y z z= − + . Принимая во внимание оба полученных выше урав-нения, можно составить уравнение относительно переменной z вида

( )22 4 23 2 5 4z z z z− + = − + или 3 23 2 0z z z− + = . Отсюда получаем 1 0z = ,

2 1z = и 3 2z = . Подставляя полученные значения z в первое и второе уравнения систе-

мы (9.36), получаем три системы уравнений относительно переменных x и y вида

2 2

3,

5,

x y

x y

+ =⎧⎪⎨⎪ + =⎩

2 2

2 ,

4,

x y

x y

+ =⎧⎪⎨⎪ + =⎩

2 2

1,

1.

x y

x y

+ =⎧⎪⎨⎪ + =⎩

(9.37)

Совокупность систем уравнений (9.37) имеет шесть пар корней 1 1,x =

1 2y = ; 2 22, 1x y= = ; 3 30, 2x y= = ; 4 42, 0x y= = ; 5 50, 1x y= = ; 6 1,x =

6 0y = . Поскольку в процессе решения системы уравнений (9.36) использо-

валась операция возведения в квадрат обеих частей первого и второго уравнений системы (9.36), то требуется проверка найденных значений пе-ременных x , y и z .

Однако в силу симметрии вхождения переменных x , y и z в урав-нения системы (9.35) достаточно в уравнения этой системы подставить только значения 1 1 11, 2, 0x y z= = = и убедиться в том, что эта тройка яв-ляется ее корнями.

♦ Ответ: 1 1 11, 2, 0x y z= = = ; 2 2 12, 1, 0x y z= = = ;

3 3 20, 2, 1x y z= = = ; 4 4 22, 0, 1x y z= = = ; 5 5 30, 1, 2x y z= = = ;

6 6 31, 0, 2x y z= = = .


2 3 5 ,

2 3 5 ,

2 3 5 .

x x y

y y z

z z x

⎧ + =⎪⎪ + =⎨⎪⎪ + =⎩

(9.38)

Решение. Перепишем систему уравнений (9.38) в виде


( )( )( )

5

5

5

log 2 3 ,

log 2 3 ,

log 2 3 .

x x

y y

z z

y

z

x

⎧ = +⎪⎪⎪ = +⎨⎪⎪

= +⎪⎩

(9.39)

Пусть ( )5( ) log 2 3x xf x = + , тогда систему уравнений (9.39) можно

представить посредством функционального уравнения вида (5.1), т. е.

( )( )( )f f f x x= . (9.40)

Так как функция ( )y f x= является возрастающей на всей число-вой оси OX , то уравнение (9.40) равносильно уравнению ( )f x x= ,

т. е. ( )5log 2 3x x x+ = или 2 3 5x x x+ = . Последнее уравнение перепишем

как

2 3 15 5

x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. (9.41)

Левая часть уравнения (9.41) представляет собой непрерывную убы-вающую функцию, а правая ее часть является константой, поэтому урав-нение (9.41) может иметь не более одного корня, который легко находится подбором. Имеет место 1 1x = . Подставляя найденное значение x в урав-нения системы (9.38), получаем 1 1y = и 1 1z = .

♦ Ответ: 1 1x = , 1 1y = , 1 1z = .

Примечание. Методы решения функциональных уравнений рассмотрены в разделе 5, а методы решения уравнений, основанные на использование свой-ства монотонности функций, — в разделе 4 настоящего учебного пособия.


2 4 4

3 9 9

4 16 16

log log log 2,

log log log 2,

log log log 2.

x y z

y z x

z x y

+ + =⎧⎪⎪ + + =⎨⎪

+ + =⎪⎩

(9.42)

Решение. Используя свойства логарифмов, перейдем в каждом из уравнений системы (9.42) к одному основанию, т. е.


2 2 2

3 3 3

4 4 4

1 1log log log 2,2 2

1 1log log log 2,2 3

1 1log log log 2.2 2

x y z

y z x

z x y

⎧ + + =⎪⎪⎪⎪ + + =⎨⎪⎪⎪ + + =⎪⎩

Отсюда получаем

( )( )( )

2

3

4

log 2,

log 2,

log 2,

x yz

y xz

z xy

⎧ =⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

или

4,

9,

16.

x yz

y xz

z xy

⎧ =⎪⎪ =⎨⎪⎪ =⎩

(9.43)

Перемножим левые и правые части уравнений системы (9.43) и полу-чим 2 2 2 576x y z = или 24xyz = ± . Поскольку областью допустимых зна-чений переменных , ,x y z в уравнениях системы (9.43) являются 0x > ,

0y > и 0z > , то 24xyz = . Возведем в квадрат каждое из уравнений системы (9.43), а затем по-

лученные уравнения разделим на 24xyz = , тогда

123

x = , 1278

y = и 1323

z = .

♦ Ответ: 123

x = , 1278

y = , 1323

z = .


1 2 9 10

2 3 10 1

10 1 8 9

2 9 10 55,

2 9 10 55,

. . . . . . . . . . . .

2 9 10 55.

x x x x

x x x x

x x x x

+ +…+ + =⎧⎪⎪ + +…+ + =⎪⎨⎪⎪⎪ + +…+ + =⎩

(9.44)


Решение. Если сложить все уравнения системы (9.44), то 1 2 10 10x x x+ +…+ = . (9.45)

Если из второго уравнения системы (9.44) вычесть первое уравнение, то получим 1 2 109 0x x x− −…− = . Отсюда и из уравнения (9.45) следует, что 110 10x = или 1 1x = .

Проведя аналогичные рассуждения, получаем 2 10 1x x=…= = .

♦ Ответ: 1 2 10 1x x x= =…= = .

9.21. При каких значениях параметра a система неравенств

( )

( )

2

2

,x y a

y x a

⎧ ≥ −⎪⎨⎪ ≥ −⎩

(9.46)

имеет единственное решение ?

Решение. В систему неравенств (9.46) переменные ,x y входят сим-метрично, поэтому единственное ее решение необходимо искать в виде x c= и y c= , где 0c ≥ .

Подставим x y c= = в любое из неравенств системы (9.46), тогда

( )2c c a≥ − или ( )2 22 1 0c c a a− + + ≤ . Для того, чтобы квадратное нера-венство имело бы единственное решение, необходимо его дискриминант

приравнять нулю, т. е. ( )2 22 1 4 0a a+ − = , 4 1 0a + = или 14

a = − .

♦ Ответ: 14

a = − .

URSS

РАЗДЕЛ 10

Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа

К числу нестандартных относятся методы решения уравнений, кото-рые содержат целые и (или) дробные части действительных чисел. В про-грамме школьной математики методы решения таких уравнений не изу-чаются. В настоящем разделе применение существующих методов и прие-мов иллюстрируется на примерах решения ряда уравнений.

Целой частью действительного числа x (или антье) называется наи-большее целое число, не превосходящее x , и это число обозначается че-рез [ ]x . Очевидно, что [ ]x x≤ . Разность [ ]x x− называется дробной ча-

стью числа x (или мантисса) и обозначается через { }x . Из определения

следует, что { }0 1x≤ < .

Непосредственно из определения [ ]x и { }x следует, что

[ ] { }x x x= + (10.1)

и

[ ]0 1x x≤ − < . (10.2)

Например, имеет место [ ]6 6= , [ ]2, 45 2= , 3 1⎡ ⎤ =⎣ ⎦ , [ ]4,15 5− = − и

{ }5 0= , { }3,77 0,77= , { }4,15 0,85− = . Отметим некоторые свойства введенного выше понятия целой части

действительного числа.

URSSМетоды решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа 257

Для произвольных действительных чисел 1 2, , , nx x x… ( )1n ≥ имеет место неравенство

[ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2n nx x x x x x+ +…+ ≤ + +…+ .

Кроме того, для любого действительного числа x справедливо двой-ное неравенство

[ ] [ ] 1x x x≤ < + . (10.3)

Перейдем теперь к рассмотрению уравнений, содержащих целую и (или) дробную части неизвестной переменной.



2 5 7x x x⎡ ⎤− = +⎣ ⎦ . (10.4)

Решение. Поскольку 2 5x x⎡ ⎤−⎣ ⎦ является целым числом, то 7x + — то-

же целое число. Следовательно, число x также является целым. В таком

случае 2 25 5x x x x⎡ ⎤− = −⎣ ⎦ и уравнение (10.4) принимает вид 2 5x x− =

= 7x + или 2 6 7 0x x− − = . Целыми корнями последнего уравнения явля-ются 1 1x = − и 2 7x = .

♦ Ответ: 1 1x = − , 2 7x = .


2 1 13 2

x x− −⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦. (10.5)

Решение. Обозначим 12

x y−= . Тогда 2 1x y= + и уравнение (10.5)


4 13

y y+⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦, (10.6)


где y — целое число. Из уравнения (10.6), согласно формуле (10.2), получаем двойное не-

равенство 4 10 13

y y+≤ − < или 1 2y− ≤ < .

Поскольку y — целое число и 1 2y− ≤ < , то 1 1y = − , 2 0y = и

3 1y = . Однако 2 1x y= + , поэтому 1 1x = − , 2 1x = и 3 3x = .

♦ Ответ: 1 1x = − , 2 1x = , 3 3x = .


[ ] [ ]2 3x x+ = . (10.7)

Решение. Рассмотрим три случая. 1. Если [ ] 1x < , то [ ]2 2x < и [ ] [ ]2 3x x+ < , т. е. равенство в уравнении

(10.7) не выполняется. Значит, корнями уравнения (10.7) могут быть только 1x ≥ .

2. Пусть [ ] 1x = , тогда из уравнения (10.7) следует, что [ ] [ ]2 3 2x x= − = .

Так как [ ] 1x = и [ ]2 2x = , то получаем систему неравенств

1 2;

2 2 3.

x

x

≤ <⎧⎪⎨

≤ <⎪⎩

Решением системы неравенств являются 312

x≤ < .

3. Если [ ] 1x > , то [ ]2 2x > и [ ] [ ]2 3x x+ > . Следовательно, уравне-ние (10.7) не имеет корней при условии, что 2x ≥ .

Итак, корнями уравнения (10.7) являются 312

x≤ < .

♦ Ответ: 312

x≤ < .


[ ] { }2 4x x= + . (10.8)

Решение. Из уравнения (10.8) следует


{ } [ ] 42

xx

−= . (10.9)

Принимая во внимание двойное неравенство (10.2), получаем 0 ≤ [ ] 4

12

x −≤ < , [ ]0 4 2x≤ − < или [ ]4 6x≤ < . Поскольку [ ]x — целое чис-

ло, то из [ ]4 6x≤ < следует, что [ ]1 4x = и [ ]2 5x = .

Найденные значения [ ]1 4x = и [ ]2 5x = подставим в формулу (10.9), тогда

{ } [ ]11

40

2x

x−

= = и { } [ ]22

4 12 2

xx

−= = .

Поскольку [ ] { }x x x= + , то 1 4 0 4x = + = и 21 15 52 2

x = + = .

♦ Ответ: 1 4x = , 2 5,5x = .


[ ] { }7 4 3 8x x x− = + . (10.10)

Решение. Так как по определению [ ] { }x x x= + , то уравнение (10.10)

принимает вид [ ] { }( ) [ ] { }7 4 3 8x x x x+ − = + или

{ } [ ]8 34

xx

−= . (10.11)

Поскольку { }0 1x≤ < , то [ ]8 3

0 14

x−≤ < . Отсюда следует, что

[ ]0 8 3 4x≤ − < или [ ]4 83 3

x< ≤ . По определению [ ]x — целое число, по-

этому из двойного неравенства [ ]4 83 3

x< ≤ получаем [ ]1 2x = .

Если [ ]1 2x = подставить в формулу (10.11), то { }112

x = . Известно,

что [ ] { }x x x= + , поэтому 11 522 2

x = + = .

♦ Ответ: 152

x = .



{ }{ }2 2x x= . (10.12)

Решение. Из уравнения (10.12) следует, что 0 1x≤ < . Рассмотрим че-тыре случая.

1. Пусть 104

x≤ < . Тогда 10 22

x≤ < , { }2 2x x= , { }{ } { }2 2 4 4x x x= = и

уравнение принимает вид 4x x= . Отсюда получаем 1 0x = .

2. Пусть 1 14 2

x≤ < . В таком случае 1 2 12

x≤ < , { }2 2x x= и { }{ }2 2x =

={ }4x . Так как 1 4 2x≤ < , то { }4 4 1x x= − и уравнение можно пере-

писать как 4 1x x− = , т. е. 213

x = . Здесь следует отметить, что значе-

ние 2x принадлежит рассматриваемому промежутку.

3. Пусть 1 32 4

x≤ < . Тогда 31 22

x≤ < , { }2 2 1x x= − и { }{ } { }2 2 4 2x x= − .

Принимая во внимание тот факт, что 2 4 3x≤ < , получаем 0 4 2 1x≤ − < , { }4 2 4 2x x− = − и из уравнения следует 4 2x x− = . Отсюда вытекает

323

x = . Так как 31 32 4

x≤ < , то 3x — корень заданного уравнения.

4. Пусть 3 14

x≤ < . Так как 3 2 22

x≤ < , то { }2 2 1x x= − и { }{ }2 2x =

={ }4 2x − . Поскольку 3 4 4x≤ < и 1 4 2 2x≤ − < , то { }4 2 4 3x x− = − и уравнение принимает вид 4 3x x− = . Отсюда получаем 1x = . Одна-ко ранее было отмечено, что 0 1x≤ < . Поэтому 1x = не является кор-нем уравнения (10.12).

♦ Ответ: 1 0x = , 213

x = , 323

x = .


2 3 4 5 6x x x x xx ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

. (10.13)

Решение. Используя свойство (10.3), можно записать


12 2 2x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ < +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

, 13 3 3x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ < +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

и 16 6 6x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ < +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Так как 2 3 6x x x x+ + = , то после сложения приведенных выше двой-

ных неравенств получаем

32 3 6 2 3 6x x x x x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + ≤ < + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Отсюда, принимая во внимание уравнение (10.13), следует уравнение

0 34 5x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ + <⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

. (10.14)

Поскольку 5 4x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

, то из неравенств (10.14) следует, что 0 ≤

2 35x⎡ ⎤≤ ⋅ <⎢ ⎥⎣ ⎦

или 305 2x⎡ ⎤≤ <⎢ ⎥⎣ ⎦

. Так как 5x⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦ — целое число, то отсюда по-

лучаем, что 05x⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

и 15x⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

. Следовательно, имеем 0 10x≤ < .

Из уравнения (10.13) вытекает, что x — целое число. Так как 0 10x≤ < , то остается лишь проверить целые значения x от 0 до 9. Нетрудно установить, что корнями уравнения (10.13) являются 1 0x = ,

2 4x = и 3 5x = .

♦ Ответ: 1 0x = , 2 4x = , 3 5x = .


2 2 122

x x x⎡ ⎤⎡ ⎤− = +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦. (10.15)

Решение. Так как для любых x верно ( )21 0x − ≥ , то 22 1x x− ≤ .

Кроме того, очевидно, что 2 1 12 2

x + ≥ . В этой связи 22 1x x⎡ ⎤− ≤⎣ ⎦ ,

2 1 02

x⎡ ⎤+ ≥⎢ ⎥⎣ ⎦ и из уравнения (10.15) следует совокупность двух систем

уравнений


2

2

2 0,

1 02

x x

x

⎧⎡ ⎤− =⎣ ⎦⎪⎪⎨⎡ ⎤⎪ + =⎢ ⎥⎪⎣ ⎦⎩

и

2

2

2 1,

1 1.2

x x

x

⎧⎡ ⎤− =⎣ ⎦⎪⎪⎨⎡ ⎤⎪ + =⎢ ⎥⎪⎣ ⎦⎩

Отсюда получаем две системы неравенств 2

2

0 2 1,

10 12

x x

x

⎧ ≤ − <⎪⎨⎪ ≤ + <⎩

и

2

2

1 2 2,

11 2.2

x x

x

⎧ ≤ − <⎪⎨⎪ ≤ + <⎩

Решением первой системы неравенств являются 202

x≤ < , а из вто-

рой системы неравенств получаем единственный корень 1 1x = .

♦ Ответ: 202

x≤ < , 1 1x = .

10.9. Решить уравнение ( ) [ ] { }2 1x x x x− ⋅ = − . (10.16)

Решение. Из формулы (10.1) следует, что { } [ ]x x x= − . В этой связи

уравнение (10.16) можно переписать, как ( )[ ] [ ]2 1x x x x x− = − − . Отсюда следует уравнение

[ ] ( )21 1x x x⋅ − = − . (10.17)

Очевидно, что 1 1x = является корнем уравнения (10.17). Положим, что 1x ≠ . Тогда разделим обе части уравнения (10.17) на 1x − и получим уравнение [ ] ( )1 1x x⋅ − = . (10.18)

Если 0x < , то [ ] 1x ≤ − и 1 1x − < − . В таком случае [ ] ( )1 1x x⋅ − > .

Если 0 1x≤ < , то [ ] 0x = и [ ] ( )1 0x x⋅ − = .

Если 1 2x< < , то [ ] 1x = и 0 1 1x< − < , тогда [ ] ( )1 1x x⋅ − < .

Если 2x ≥ , то [ ] 2x ≥ , 1 1x − ≥ и [ ] ( )1 1x x⋅ − > . Отсюда следует, что уравнение (10.18) корней не имеет. Следовательно, уравнение (10.16) имеет единственный корень 1 1x = .

♦ Ответ: 1 1x = .



3cos6 6 2xπ π⎛ ⎞⎡ ⎤+ =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

. (10.19)

Решение. Решая тригонометрическое уравнение (10.19), получаем

26 6 6

kx

π π π π⎡ ⎤+ = ± +⎢ ⎥⎣ ⎦, (10.20)

где k — целое число. Из уравнения (10.20) получаем совокупность двух уравнений

26

kxπ π⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

и 26 3

kxπ π π⎡ ⎤ = − +⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Левые части обоих уравнений являются рациональными числами, в то время как их правые части (за исключением случая 0k = в первом уравнении) принимают иррациональные значения.

Следовательно, равенство в уравнениях совокупности может иметь место только в том случае, когда их правые части являются рациональ-ными (точнее, целыми) числами. А это возможно лишь в первом уравне-нии при условии, что 0k = . В таком случае получаем уравнение

06xπ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

,

откуда следует

0 16xπ

≤ < или 6

x π> .

♦ Ответ: 6

x π> .


[ ]22x x

x+ = , (10.21)

где 0x > .

Решение. Так как 0x > , то [ ]x n= , где n — целое неотрицательное

число. Тогда из уравнения (10.21) получаем 22x n

x+ = или


2 2 4 0x nx− + = . (10.22)

Корнями уравнения (10.22) являются 21,2 4x n n= ± − . Причем для

существования корней 1x и 2x необходимо потребовать, чтобы 2n ≥ .

Пусть 2n = , тогда 2 4 2x n n= ± − = . Значит, уравнение (10.21) имеет корень 1 2x = .

Если 3n ≥ , то 2 4 1n − > и поэтому 1 1x n> + , 2 1x n< − , а это означа-ет, что [ ]1x n> и [ ]2x n< . Однако каждое из этих неравенств противоречит тому, что [ ]x n= . Следовательно, данные значения 1x и 2x не могут быть корнями уравнения (10.21).

♦ Ответ: 1 2x = .


[ ]2 10 9 0x x− + = . (10.23)

Решение. Если 1x < , то [ ] 0x ≤ и тогда [ ]2 10 9 0x x− + > . Следова-тельно, корнями уравнения (10.23) могут быть только 1x ≥ . Если обозна-чить [ ]x k= , где k — целое число, то 1k ≥ .

Так как [ ]x k= , то уравнение (10.23) принимает вид 2 10 9 0x k− + = ,

откуда следует 10 9x k= − . Отсюда, согласно неравенству (10.2), полу-чаем двойное неравенство

10 9 1k k k≤ − < + , (10.24) где 1k ≥ . Если возвести в квадрат двойное неравенство (10.24), то

2

2

10 9 0,

8 10 0.

k k

k k

⎧ − + ≤⎪⎨⎪ − + >⎩

(10.25)

Решением системы неравенств (10.25) являются 1 4 6k≤ < − и 4 6 9k+ < ≤ . Поскольку здесь k — целое число, то 1 1k = , 2 7k = ,

3 8k = и 4 9k = . Если при этом учесть, что 10 9x k= − , то 1 1x = ,

2 61x = , 3 71x = и 4 9x = .

♦ Ответ: 1 1x = , 2 61x = , 3 71x = , 4 9x = .



3 23 2 2

6x x x x

⎡ ⎤− += −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦. (10.26)

Решение. Левая часть уравнения (10.26) принимает только целые зна-чения, поэтому число x является целым.

Так как ( )( )3 23 2 1 2x x x x x x− + = − − , то при любом целом x много-

член 3 23 2x x x− + представляет собой произведение трех последователь-но расположенных на числовой оси OX целых чисел, среди которых имеется хотя бы одно четное число и число, кратное трем. Следовательно,

многочлен 3 23 2x x x− + делится на 6 без остатка, т. е. 3 23 2

6x x x− + явля-

ется целым числом. В этой связи

3 2 3 23 2 3 26 6

x x x x x x⎡ ⎤− + − +=⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

и уравнение (10.26) принимает вид 3 23 2 2

6x x x x− +

= −

или

3 23 4 12 0x x x− − + = . (10.27)

Так как ( )( )3 2 23 4 12 3 4x x x x x− − + = − − , то корнями уравнения (10.27)

являются 1 3x = , 2 2x = − и 3 2x = .

♦ Ответ: 1 3x = , 2 2x = − , 3 2x = .

10.14. Доказать равенство

[ ] [ ]1 22

x x x⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦, (10.28)

где x — произвольное действительное число.

Доказательство. Для доказательства равенства (10.28) рассмотрим два возможных варианта представления числа x .


Рассмотрим два возможных случая.

1. Пусть x y a= + , где y — целое число и 102

a≤ < . Тогда

[ ] [ ]1 1 22 2

x x y a y a y y y⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + = + + + + = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ и [ ] [ ]2 2 2 2x y a y= + = .

2. Пусть 12

x y a= + + , где y — целое число и 102

a≤ < . Тогда

[ ] [ ] ( )1 1 1 1 2 12 2

x x y a y a y y y⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + = + + + + + = + + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

и [ ] [ ]2 2 2 1 2 1x y a y= + + = + .

Так как в обоих случаях равенство (10.28) выполняется, а других ва-риантов представления x не существует, то требуемое равенство доказа-но для произвольного числа x .

URSS

Рекомендуемая литература

1. Азаров А. И., Барвенов С. А., Федосенко В. С. Математика для стар-шеклассников. Методы решения задач с параметрами. Мн.: Аверсэв, 2003.

2. Амелькин В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами. Мн.: Асар, 2004. 3. Арлазаров В. В., Татаринцев А. В., Тиханина И. Г., Чекалкин Н. С. Сбор-

ник задач по математике для физико-математических школ. М.: Изда-тельство ЛКИ, 2007.

4. Горнштейн П. И., Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Экзамен по математике и его подводные рифы. М.: Илекса, 2004.

5. Готман Э. Г., Скопец З. А. Задача одна — решения разные: геометри-ческие задачи. М.: Просвещение, 2000.

6. Жуков А. В., Самовол П. И., Аппельбаум М. В. Элегантная математи-ка. Задачи и решения. М.: КомКнига/URSS, 2005.

7. Кушнир И. А. Шедевры школьной математики // Задачи с решениями: в 2 т. Киев: Астарта, 1995.

8. Олехник С. Н., Потапов М. К., Пасиченко П. И. Уравнения и неравен-ства. Нестандартные методы решения. М.: Дрофа, 2001.

9. Петраков И. С. Математика для любознательных. М.: Просвещение, 2000.

10. Седракян Н. М., Авоян А. М. Неравенства. Методы доказательства. М.: Физматлит, 2002.

11. Супрун В. П. Математика для старшеклассников. Нестандартные ме-тоды решения задач. Мн.: Аверсэв, 2003.

12. Супрун В. П. Математика для старшеклассников. Задачи повышенной сложности. М.: Издательство ЛКИ/URSS, 2008.

suprun11 problemas matematicas especiales 1

Technology