sur la détermination de la teneur en eau et de l´infiltration à partir de
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THESE DE DOCTORAT DE L’UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE
Spécialité
Géophysique Appliquée
Géosciences et Ressources Naturelles (ED398)
Présentée par
M. Mohamed Amine BECHKIT
Pour obtenir le grade de
DOCTEUR de l’UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE
Sujet de la thèse :
Sur la détermination de la teneur en eau et de l’infiltration à partir de mesures
passives de la température du sol
Soutenue le 11 février 2011
Devant le jury composé de :
M. Hocine Bendjoudi UPMC Examinateur M. André Chanzy INRA Avignon Rapporteur M. Roger Guérin UPMC Directeur de thèse M. Cyril Kao AgroParisTech Examinateur M. Pascal Sailhac EOST Strasbourg Rapporteur M. Alain Tabbagh UPMC Invité M. Christian Valentin IRD Examinateur et Président
1
Remerciements
Je tiens à remercier chaleureusement M. Roger Guérin et M. Alain Tabbagh qui sont à
l’origine du sujet pour leurs conseils, leur disponibilité, leur gentillesse, leur sympathie, et
surtout pour avoir accepté de diriger ce travail et d’en corriger le manuscrit.
Merci à M. Sébastien Flageul pour avoir conçu l’électronique des capteurs de température au
millième de degré, et à Mme Jeanne Tabbagh pour avoir réalisé l’interface informatique de ces
capteurs, sans leur travail, accueil et gentillesse, ce travail n’aurait pu aboutir.
Je remercie aussi tous les membres du Cemagref (Institut de recherche en sciences et
technologies pour l’environnement) pour leur soutien, pour les données qu’ils m’ont fournies,
notamment M. Patrick Ansart et Mme Gaëlle Tallec.
Merci aux personnels du programme d’échange algéro-français pour leur financement et leur
accueil.
Merci aux rapporteurs et examinateurs : M. Hocine Bendjoudi, M. André Chanzy, M. Cyril
Kao, M. Pascal Sailhac et M. Christian Valentin.
Merci à tous ceux qui m’ont aidé à finir ce travail de prés ou du loin, merci à tous les
personnes du laboratoire Sisyphe. Merci à tous mes amis et collègues Asal, Yasmine, Rémi,
Amine, Gonca, Solène, Samir, Quentin, Pauline, Sihem, Claire, Marie, Cyril, Hacen, Donia,
Laura, Khaled, Aimed, Ahmed, Nassim, Houda, Hanene, Sabrina, Diana, Aurélie… A tous
mes amis de Zouaghi et de Taher.
Je tiens très respectueusement à dédier ce modeste travail à mes chers parents pour l’amour et
l’affection qu’ils m’ont donnés. Je le dédie également à toute ma famille, du plus vieux
jusqu’à plus jeune, à mon frère Walid et mes sœurs Sihem, Soumia, et Asma.
A tous ceux qui me connaissement et qui m’aiment…
Merci à tous
i
Résumé
Ce mémoire est divisé en quatre chapitres. Le premier chapitre présente une synthèse
bibliographique des différents paramètres permettant de caractériser les sols et les milieux non
saturés, ainsi que des différentes propriétés physiques du sol en relation avec les propriétés
hydrodynamiques. Les différentes méthodes de mesure de la teneur en eau y sont analysées.
Le deuxième chapitre présente les différents modes de transfert de la chaleur dans le sol
et les équations correspondantes. Les méthodes de mesure de la température et en particulier
la métrologie du capteur de mesure choisi : un thermomètre à résistance de platine, sont
développées.
Dans le troisième chapitre est présenté le site de Boissy-le-Châtel, sa situation
géographique et son cadre géomorphologique. Les différentes mesures réalisées sur ce site
sont présentées ensuite, en commençant par les températures enregistrées à différentes
profondeurs : 12, 15, 18, 24, 32 et 34 cm. Les résultats du sondage électrique, les mesures de
pluie et d’évapotranspiration potentielle (ETP) et les valeurs de teneur en eau obtenues par
sonde TDR sont détaillés.
Le quatrième et dernier chapitre correspond au traitement des mesures de température,
enregistrées aux différentes profondeurs, en résolvant l’équation de la chaleur avec transferts
par conduction et par convection. Plusieurs méthodes permettant de déterminer la vitesse de
Darcy et la teneur en eau y sont présentées et testées. La première consiste à extraire les
amplitudes et les phases des variations sinusoïdales. Appliquée avec succès pour les variations
annuelles et pluriannuelles, les limitations de cette méthode intervenant pour la variation
diurne sont dues principalement à la modulation de cette variation diurne. Deux approches,
purement numérique sont abordées ensuite : une résolution directe en différence finies (DF) et
une en éléments finis (EF). Pour pouvoir déterminer la vitesse de Darcy, la connaissance de la
structure thermique du terrain s’avère indispensable : dans l’exemple de Boissy-le-Châtel en
définissant la position optimale d’une interface. Les tests sur les données synthétiques
permettent de conclure que les résultats pour le terme de diffusion sont plus fiables que ceux
pour le terme de convection. La confrontation avec les données de contrôle existantes (pluie,
ETP, teneur en eau à partir de mesures TDR) permet de mettre en évidence une bonne
corrélation entre les valeurs relatives de teneur en eau déterminées par exploitation des
variations relatives de la diffusivité et celles obtenues à partir des sondes TDR. La procédure
à mettre en œuvre pour déterminer la vitesse de Darcy est beaucoup plus lourde.
ii
Abstract
This thesis is divided into four chapters. The first chapter presents a review of different
parameters for characterizing the soil and the unsaturated medium, and different physical
properties of soil in relation to the hydrodynamic properties. Different methods for measuring
the water content are analyzed.
The second chapter presents the different modes of heat transfer in soil and the
corresponding equations. The methods for measuring the temperature and especially the
metrology of the chosen sensor: a platinum resistance thermometer, are developed.
The third chapter presents the site of Boissy-le-Chatel, its location and its
geomorphology. Then the various measurements made on this site are presented, starting with
the recorded temperatures at different depths: 12, 15, 18, 24, 32 and 34 cm. The results of the
electrical sounding, the measurements of rainfall and of the potential evapotranspiration and
values of water content obtained by TDR probe are detailed.
The fourth and last chapter corresponds to the processing of temperature measurements
recorded at different depths, by solving the equation with heat transfer by conduction and
convection. Several methods to determine the Darcy velocity and water content are presented
and tested. The first method consists to extract the amplitudes and phases of sinusoidal
variations. Successfully applied for annual and pluri-annual changes, the limitations of this
method for the diurnal variation is due mainly to the modulation of the diurnal variation. Two
numerical approaches (direct resolution by finite difference and by finite element) are then
discussed. To determine the Darcy velocity, knowledge of the thermal structure of the field is
essential: in the example of Boissy-le-Chatel, it consists to determine the optimal position of
an interface. Different tests on synthetic data allow to conclude that the results for the
diffusion term are more reliable than those for the convection term. The confrontation with
data from existing control (rain, potential evapotranspiration, water content from TDR
measurements) demonstrates a good correlation between the relative values of water content
determined by use of relative changes in diffusivity and those obtained from TDR probes. The
procedure to be implemented to determine the Darcy velocity is much heavier.
iii
Sommaire
Introduction ..................................................................................1
Chapitre I : Sol et eau dans le sol ..................................................5
I.A) Présentation du sol : milieu poreux................................................................................. 5
I.A.1) Propriétés physiques des sols (triphasiques) en relation avec les propriétés hydrodynamiques................................................................................................................ 6
I.A.1.a) Propriétés géométriques..................................................................................... 6
I.A.1.b) Propriétés hydrauliques (transport de fluide) .................................................... 7
I.A.2) Propriétés électriques des sols................................................................................ 13
I.A.2.a) Conductivité électrique .................................................................................... 13
I.A.2.b) Permittivité diélectrique................................................................................... 14
I.A.3) Propriétés thermiques des sols ............................................................................... 15
I.A.3.a) Capacité volumique ......................................................................................... 15
I.A.3.b) Conductivité thermique des milieux poreux.................................................... 16
I.A.3.c) Diffusivité thermique ....................................................................................... 18
I.A.3.d) Inertie thermique (anciennement appelée effusivité thermique) ..................... 19
I.A.3.e) Profondeur de pénétration................................................................................ 20
I.B) L’eau dans le sol et le sous-sol...................................................................................... 20
I.B.1) Rappels de base ...................................................................................................... 20
I.B.1.a) Zone saturée (ZS)............................................................................................. 21
I.B.1.b) Zone non saturée (ZNS) ou vadose.................................................................. 22
I.B.2) Ecoulement d’eau en milieu poreux ....................................................................... 24
I.B.2.a) Ecoulement d’eau en milieu saturé .................................................................. 24
I.B.2.b) Ecoulement d’eau en milieu non saturé ........................................................... 26
I.B.3) Méthodes de mesure de la conductivité hydraulique ou coefficient de perméabilité....................................................................................................................... 29
I.B.3.a) Mesure du coefficient de perméabilité en laboratoire...................................... 29
iv
I.B.3.b) Mesure du coefficient de perméabilité in situ.................................................. 30
I.C) Mesures non thermiques de la teneur en eau................................................................. 33
I.C.1) Méthodes utilisant la permittivité diélectrique ....................................................... 33
I.C.1.a) Temporelles (TD : Time Domain) ................................................................... 34
I.C.1.b) Fréquentielles (FD : Frequency Domain) : sondes capacitives ....................... 36
I.C.1.c) Spectroscopie d’impédance ou spectroscopie diélectrique (TDS)................... 37
I.C.1.d) Géoradar (GPR : Ground Penetrating Radar) .................................................. 38
I.C.2) Méthodes basées sur la résonance magnétique des protons (RMP) ....................... 39
I.C.3) Méthode neutronique (sonde à neutron)................................................................. 41
I.D) Mesure d’autres paramètres hydrauliques..................................................................... 43
I.D.1) Tensiomètre ............................................................................................................ 43
I.D.2) Mesures de K(h) à l’infiltromètre à disque ............................................................ 45
I.D.3) Lysimètre................................................................................................................ 46
Chapitre II : Transferts thermiques dans les sols, liens avec les transferts hydriques et capteurs de mesure haute précision de la température.........49
II.A) Transferts de chaleur dans les sols............................................................................... 49
II.A.1) Modes de transferts de chaleur.............................................................................. 49
II.A.1.a) La conduction ................................................................................................. 49
II.A.1.b) La convection ................................................................................................. 49
II.A.2) Régimes thermiques et équations gouvernant le transfert de chaleur................... 50
II.A.2.a) Régime stationnaire (permanent).................................................................... 50
II.A.2.b) Régimes variables........................................................................................... 51
II.B) Mesure in situ haute précision de la température......................................................... 56
II.B.1) Capteur réparti (fibre optique)............................................................................... 57
II.B.2) Capteurs ponctuels ................................................................................................ 57
II.B.2.a) Thermocouples................................................................................................ 58
v
II.B.2.b) Thermomètres à thermistance......................................................................... 58
II.B.2.c) Thermomètres à résistance métallique............................................................ 59
II.B.3) Enregistrement de la température.......................................................................... 63
II.B.3.a) Partie analogique............................................................................................. 64
II.B.3.b) Le convertisseur analogique numérique ......................................................... 64
II.B.3.c) Le microcontrôleur ......................................................................................... 64
II.B.4) Caractéristiques globales de l’instrument de mesure ............................................ 65
II.B.4.a) Etendue de mesure (dynamique)..................................................................... 66
II.B.4.b) Justesse (offset)............................................................................................... 66
II.B.4.c) Fidélité ............................................................................................................ 70
II.B.4.d) Sensibilité ....................................................................................................... 71
II.B.4.e) Résolution ....................................................................................................... 71
II.C) Systèmes de mesure avec excitation artificielle utilisés pour mesurer la teneur en eau et la vitesse d’écoulement ......................................................................................... 73
II.C.1) Sondes à choc thermique mesurant λ et/ou Cv ...................................................... 73
II.C.2) Mesures de la vitesse d’écoulement ...................................................................... 73
Chapitre III : Site expérimental et dispositifs de mesure .........75
III.A) Situation géographique et caractéristiques lithologiques du terrain........................... 75
III.B) Installation des capteurs et mesures de la température............................................... 76
III.C) Structure et propriétés du sol ...................................................................................... 79
III.D) Précipitations .............................................................................................................. 80
III.E) Evapo-transpiration potentielle................................................................................... 81
III.F) Mesures de la teneur en eau volumique avec des sondes TDR .................................. 82
III.G) Infiltration................................................................................................................... 83
III.H) Calcul de l’ETP (formule de Thornthwaite)............................................................... 84
Chapitre IV : Traitement des données température .................87
IV.A) Génération de données synthétiques .......................................................................... 89
vi
IV.A.1) Sinusoïde diurne et semi diurne .......................................................................... 90
IV.A.2) Termes transitoires superposés à une sinusoïde diurne et semi diurne ............... 90
IV.B) Traitement de données synthétiques : codes utilisés .................................................. 92
IV.B.1) Méthode de calcul analytique utilisant les variations sinusoïdales ..................... 92
IV.B.1.a) Rappel sur les calculs en sol homogène ........................................................93
IV.B.1.b) Méthode d’extraction des amplitudes et phases de la variation diurne et de ses harmoniques ........................................................................................ 95
IV.B.1.c) Rappel sur les effets de la non homogénéité du terrain (milieu tabulaire 1 D)................................................................................................................. 96
IV.B.1.d) Résultats obtenus avec des données synthétiques en terrain homogène ...................................................................................................................... 98
IV.B.1.e) Modulation .................................................................................................... 98
IV.B.2) Code en différences finies (DF)......................................................................... 100
IV.B.2.a) Principe........................................................................................................ 100
IV.B.2.b) Prise en compte (ou non) de la vaporisation/condensation de l’eau et de la variation de la diffusivité avec la profondeur..................................................... 101
IV.B.2.c) Calcul direct de l’infiltration à partir d’un schéma en DF .......................... 103
IV.B.2.d) Application de la méthode des moindres carrés.......................................... 106
IV.B.2.e) Application des codes DF sur des données synthétiques ............................ 107
IV.B.3) Code en éléments finis (EF) .............................................................................. 110
IV.B.3.a) Principe........................................................................................................ 110
IV.B.3.b) Schémas numériques utilisés ...................................................................... 111
IV.B.3.c) Application des schémas en EF sur des données synthétiques ................... 112
IV.C) Analyse spectrale des données réelles...................................................................... 113
IV.D) Calculs sur les données réelles................................................................................. 114
IV.D.1) Calcul par utilisation des rapports d’amplitude et des déphasages de la variation diurne ............................................................................................................... 114
IV.D.2) Calcul par schéma en EF - Détermination de la diffusivité en EF et suivi de la teneur en eau........................................................................................................... 116
vii
IV.D.3) Calculs à partir d’un schéma par DF - Détermination de la vitesse de Darcy............................................................................................................................... 118
IV.D.3.a) Choix des épisodes...................................................................................... 118
IV.D.3.b) Détermination de la structure thermique du terrain par recherche de la position optimale d’une interface ............................................................................ 119
IV.D.3.c) Vitesse de Darcy ......................................................................................... 122
IV.E) Bilan hydrologique ................................................................................................... 125
Conclusions et perspectives .......................................................129
viii
ix
Liste des tableaux
Tableau 1. 1 - Coefficients de corrélation entre les propriétés thermiques du sol et les fractions volumiques du sol...................................................................................................... 19
Tableau 1. 2 - Profondeur de pénétration des variations thermiques sinusoïdales .................. 20
Tableau 2. 1 - Erreur de justesse de l’électronique des différents capteurs de température............................................................................................................................... 67
Tableau 2. 2 - Etalonnage par comparaison au capteur 1......................................................... 69
Tableau 2. 3 - Ecart-type et coefficient de variation de chaque capteur .................................. 70
Tableau 2. 4 - Intervalle de confiance de chaque capteur ........................................................ 70
Tableau 3. 1 - Précipitations et températures moyennes mensuelles ....................................... 81
Tableau 3. 2 - Coefficient de correction F de la formule de Thornthwaite (Brochet and Gerbier 1968)..................................................................................................................... 85
Tableau 3. 3 - Valeur de la RFU pour un sol limono-argileux (Rieul and Ruelle 2003) ......... 86
Tableau 4. 1 - Erreur relative sur les valeurs de diffusivité thermique (pour u=10 mm j-1)........................................................................................................................... 109
Tableau 4. 2 - Erreur relative sur les valeurs de la vitesse de Darcy (pour u=8 mm j-1)........ 109
Tableau 4. 3 - Diffusivités apparentes en amplitude et en phase pour chacun des épisodes .................................................................................................................................. 114
Tableau 4. 4 - Bilan hydrique à la station de Boissy-le-Châtel, ETP (calculée selon Thornthwaite) à partir de la température de surface du sol.................................................... 126
Tableau 4. 5 - Bilan hydrique à la station de Boissy-le-Châtel, ETP (calculée selon Penman-Monteith) fournie par Météo-France........................................................................ 127
Tableau 4. 6 - Vitesse de Darcy moyenne en mm j-1 pour chaque mois à partir des enregistrements des capteurs situés à 12, 15 et 18 cm (sauf pour les mois de mai et juin : 15, 18 et 24 cm) et 24 cm.............................................................................................. 127
Tableau 4. 7 - Synthèse de tous les résultats des calculs à la station de Boissy-le-Châtel, selon l’ETP (calculée selon Thornthwaite et selon Penman-Monteith) et la RFU (50 ou 80 mm) utilisée................................................................................................... 128
x
Liste des figures
Figure 1. 1 - Porosités hydrogéologiques, concept de stockage d’eaux souterraines (modifié d’après de Marsily 1981 et Lubczynsk 2003)............................................................. 9
Figure 1. 2 - Tortuosité d’un milieu poreux............................................................................. 13
Figure 1. 3 - La conductivité thermique de quelques types de sols en fonction de la teneur en eau (Musy and Soutter 1991) ................................................................................... 17
Figure 1. 4 - Comparaison de la conductivité thermique équivalente prédite pour un sol limoneux (Muerth 2008)..................................................................................................... 18
Figure 1. 5 - Valeurs moyenne des conductivités thermiques et capacité calorifique pour chaque fraction (air, eau, solide)...................................................................................... 19
Figure 1. 6 - Schéma de la structure de l’eau souterraine au voisinage d’un grain. Interaction eau/roche (Polubrinova-Kochina 1962). ................................................................ 21
Figure 1. 7 - Zonalité sol/eau souterraine. 1, eau de rétention ; 2, eau gravitaire ; 3, eau capillaire (Castany 1982) ................................................................................................... 23
Figure 1. 8 - Flux de masse ...................................................................................................... 25
Figure 1. 9 - Principe de l’essai au perméamètre ..................................................................... 29
Figure 1. 10 - Schéma d’un réflectomètre sonde TDR ............................................................ 34
Figure 1. 11 - Signal enregistré par le réflectomètre................................................................ 35
Figure 1. 12 - Classification des appareils RMP (Legchenko 2001) ....................................... 40
Figure 1. 13 - Schéma fonctionnel du dispositif instrumental NUMIS (Boucher 2007) ......... 41
Figure 1. 14 - Sonde neutronique ............................................................................................. 42
Figure 1. 15 - Tensiomètre ....................................................................................................... 43
Figure 1. 16 - Schéma de l’infiltromètre à disque (Coquet et al. 2000)................................... 45
Figure 1. 17 - Schéma d’un lysimètre ...................................................................................... 46
Figure 2. 1 - Variations de température dans le sol à différentes profondeurs ........................ 51
Figure 2. 2 - Exemple d’écart des termes transitoires de la sinusoïde journalières ................. 56
Figure 2. 3 - Fibre optique........................................................................................................ 57
Figure 2. 4 - Principe du thermocouple.................................................................................... 58
xi
Figure 2. 5 - Vitesse de l’électron ............................................................................................ 60
Figure 2. 6 - Loi de transfert de la résistance de platine Pt 100 ............................................... 62
Figure 2. 7 - Tolérances des sondes à résistance Pt 100 suivant la norme CEI 751 ................ 62
Figure 2. 8 - Les différents types de raccordement électrique ................................................. 63
Figure 2. 9 - Schéma de l’électronique associée au capteur de température............................ 64
Figure 2. 10 - Quantifications des erreurs ................................................................................ 66
Figure 2. 11 - Résistances mesurées pour chaque capteur, par une résistance à
réponse constante à 100 Ω ....................................................................................................... 67
Figure 2. 12 - Etalonnage des capteurs de température dans un bain d’eau entre 0 et 20°C.......................................................................................................................................... 68
Figure 2. 13 - Enregistrements de températures brutes des capteurs dans un bain Marie ........................................................................................................................................ 68
Figure 2. 14 - Température étalonnée par rapport aux enregistrements de température du capteur 1 .............................................................................................................................. 69
Figure 2. 15 - La plus petite variation de la grandeur mesurée................................................ 72
Figure 3. 1 - Situation géographique du site d’étude ............................................................... 75
Figure 3. 2 - Installation des capteurs de mesures de température sur la parcelle de Boissy-le-Châtel ....................................................................................................................... 76
Figure 3. 3 - Mesures des températures obtenues aux différentes profondeurs (cas du 14 au 16 aout 2009).................................................................................................................. 77
Figure 3. 4 - Variation annuelle des températures du sol du 17 février 2009 au 8 mars 2010 (Boissy-le-Châtel) ........................................................................................................... 77
Figure 3. 5 - Épisode transitoire affectant les mesures entre le 19 et le 24 juillet 2009 .......... 78
Figure 3. 6 - Sondage électrique............................................................................................... 79
Figure 3. 7 - Précipitations et températures du sol mensuelles, entre février 2009 et février 2010 .............................................................................................................................. 80
Figure 3. 8 - Pluie annuelle moyenne depuis 1963 à 2009 ...................................................... 81
Figure 3. 9 - Evapotranspiration potentielle moyennes mensuelles en bleu et journalières en vert (mars 2009-février 2010) d’après la formule de Penman-Monteith ................................................................................................................................... 82
xii
Figure 3. 10 - Teneur en eau volumique du sol (à 5, 15, 25 et 35 cm) sec et humide ............. 83
Figure 3. 11 - Facteurs influençant l’infiltration ...................................................................... 84
Figure 3. 12 - Évapotranspiration potentielle calculée et corrigée par rapport à la latitude (d’après la formule de Thornthwaite).......................................................................... 85
Figure 4. 1 - Comparaison des valeurs de températures enregistrées avec un LSB au 1/1000 K et ceux au 1/10 K...................................................................................................... 88
Figure 4. 2 - Disparition complète de l’information pour des enregistrements effectués avec un LSB au 1/10 K (en rouge) ........................................................................... 89
Figure 4. 3 - Sinusoïdes diurnes comprenant une variation diurne et une variation semi diurne ............................................................................................................................... 90
Figure 4. 4 - Données synthétiques générées sur 10 jours ....................................................... 91
Figure 4. 5 - Données synthétiques avec une harmonique d’ordre 2 ....................................... 91
Figure 4. 6 - Variation transitoire sur quelques jours venant se superposer aux variations diurne et semi-diurne............................................................................................... 99
Figure 4. 7 - Maillage en différences finies ........................................................................... 100
Figure 4. 8 - Système à deux équations dans le temps (à gauche) et dans l’espace (à droite) ..................................................................................................................................... 103
Figure 4. 9 - Erreur relative maximale pour le terme de diffusivité en fonction de l’infiltration ou de l’exfiltration ............................................................................................. 108
Figure 4. 10 - Erreur de position des capteurs........................................................................ 108
Figure 4. 11 - Plaque métallique en laiton avec canons écartés de 3 cm ............................... 109
Figure 4. 12 - Épisode d’enregistrement des températures du 1er juillet 2009 au 30 septembre 2009 ...................................................................................................................... 113
Figure 4. 13 - Présence des harmoniques d’ordre 1 et 2 ........................................................ 114
Figure 4. 14 - Variation de Γph en fonction de la profondeur (1er octobre au 15 décembre 2009) ...................................................................................................................... 115
Figure 4. 15 - Précipitations mesurées - Variations de la teneur en eau (valeur moyenne entre 12 à 18 cm) calculées par EF à partir des mesures passives de température (en marron), et obtenues à partir des sondes TDR (à 5 cm : en vert, à 15 cm : en rouge et à 25 cm : en bleu) ................................................................................... 117
Figure 4. 16 - Episodes de traitement..................................................................................... 118
xiii
Figure 4. 17 - Exemple de maillage spatio-temporel pour M=5 (en temps) et I=6 (en profondeur)............................................................................................................................. 120
Figure 4. 18 - Comparaison entre les variations mesurées et calculées (du 18 au 26 janvier et du 6 au 14 aout 2009), en bleu les valeurs calculées, en rouge les mesures de température ........................................................................................................................ 121
Figure 4. 19 - Calcul (DF) de la vitesse de Darcy : résultats (épisode A), faible précipitation - forte variation de T ......................................................................................... 122
Figure 4. 20 - Calcul (DF) de la vitesse de Darcy : résultats (épisode B), forte précipitation - variation modérée de T ................................................................................... 123
Figure 4. 21 - Calcul (DF) de la vitesse de Darcy : résultats (épisode C), précipitation modérée – faible variation de T.............................................................................................. 123
Figure 4. 22 - Superposition d’un phénomène transitoire aux variations périodiques lors du réchauffement de février 2010 ................................................................................... 124
Figure 4. 23 - Pluie (en bleu) - vitesse de Darcy calculée via différentes configurations de capteurs...................................................................................................... 125
Figure 4. 24 - Episode de gel du sol entre le 5 et le 15 janvier 2010, température enregistrée à 12 cm de profondeur ......................................................................................... 128
xiv
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Liste des symboles
ρs masse volumique réelle du sol (kg m-3)
ρd masse volumique sèche (kg m-3)
ρb masse volumique humide (kg m-3)
Sp surface spécifique (m² kg-1)
Xi fractions volumiques du sol
n porosité totale
neff porosité efficace
nc porosité cinématique
e indice de vides
Vv volume des vides (m3)
Vair volume d’air (m3)
Veau volume d’eau (m3)
Vs volume des grains solides (m3)
Vt volume total (m3)
mw masse d’eau contenue dans l’échantillon de sol (kg)
ms masse de matière sèche de l’échantillon de sol (kg)
ω teneur en eau massique ou humidité pondérale
θ teneur en eau volumique ou humidité volumique du sol
Sw indice de saturation
As section (m²)
∆h perte de charge de l’eau (m)
K cœfficient de perméabilité (conductivité hydraulique) (m s-1)
L épaisseur (m)
V vitesse de filtration (m s-1)
k perméabilité intrinsèque en (m²)
µd viscosité dynamique (viscosité dynamique de l’eau à 20°C = 10-3 Pa s)
g accélération de la pesanteur (m s-2)
ρ masse volumique du fluide (kg m-3)
ρw masse volumique de l’eau (environ 1000 kg m-3)
∇P différence de pression (Pa)
σroche conductivité électrique de la roche (S m-1)
σfluide conductivité électrique du fluide (S m-1)
σsurface conductivité électrique de surface (S m-1)
F facteur de formation
m facteur de cimentation
ε permittivité diélectrique (F m-1)
xvi
ε0 permittivité diélectrique du vide = 8,854 10-12 F m-1
k′ permittivité diélectrique relative ou constante diélectrique
dQ quantité d’énergie à apporter par échange thermique (J)
Cv capacité calorifique (chaleur spécifique) volumique du sol triphasique (J K-1 m-3)
Cair capacité calorifique (chaleur spécifique) volumique de l’air = 0,0012 106 J K-1 m-3
Ceau capacité calorifique (chaleur spécifique) volumique de l’eau = 4,17 106 J K-1 m-3
Cms capacité calorifique (chaleur spécifique) volumique de la matrice solide (J K-1 m-3)
c chaleur massique (J K-1 kg-1)
λ conductivité thermique du sol triphasique (W m-1 K-1)
λ air conductivité thermique de l’air = 0,025 W m-1 K-1
λ eau conductivité thermique de l’eau = 0,59 W m-1 K-1
λ ms conductivité thermique de la matrice solide (W m-1 K-1)
Г diffusivité thermique (m2 s-1)
p profondeur de pénétration (m)
ω pulsation (rad s-1)
θmax capacité de rétention
θc capacité au champ
θs teneur en eau à saturation
θr teneur en eau résiduelle
H charge hydraulique (m)
u vitesse de Darcy (m s-1)
z cote (m)
ψp potentiel de succion matricielle (Pa)
ψz potentiel gravitaire (Pa)
t temps (s)
Ks conductivité hydraulique à saturation (m s-1)
D diamètre du forage (m)
T transmissivité (m2 s-1)
S(y) coefficient d’emmagasinement
s rabattement mesuré dans un piézomètre (m)
r distance du piézomètre à l’axe du puits (m)
Q débit (m3 s-1)
v vitesse de propagation d’une onde électromagnétique (m s-1)
cv vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide =3 108 m s-1
µ perméabilité magnétique (H m-1)
µr perméabilité magnétique relative (H m-1)
µ0 perméabilité magnétique du vide = 4 π 10-7 H m-1
d distance parcourue (m)
xvii
B0 champ magnétique (T)
N nombre d’impulsion neutronique pendant un intervalle de temps (taux de comptage)
N0 comptage standard (d’impulsion neutronique) dans un milieu référence très absorbant
(eau, paraffine…)
Pp pression d’eau dans les pores, au niveau de la bougie (Pa)
Px pression d’eau dans le capteur de pression en équilibre avec la bougie, relative à la
pression atmosphérique (Pa)
a distance verticale, entre le capteur de pression et la bougie (m)
h0 potentiel d’infiltration (m)
r rayon du disque (m)
α constante caractéristique du sol (m-1)
q∞ flux permanent émanant d’un disque (m s-1)
TJ
flux total de chaleur (W m-2)
DJ
flux de chaleur transférée par conduction ou diffusion thermique (W m-2)
VJ
flux convectif (W m-2)
Pe nombre de Péclet
d diamètre moyenne de pores (m)
Lλ′ conductivité thermique dans le sens de l’écoulement (W m-1 K-1)
T température (°C)
Tmoy température moyenne (°C)
T0 amplitude des variations de température à la surface du sol (°C)
zi profondeur des capteurs de température (m)
R(z1,z2) rapport des amplitudes des variations de température à deux profondeurs
φ phase des variations de température (rad)
∆φ(z1,z2) différence de phase des variations de température à deux profondeurs (rad) miτ valeurs approchées de la température T(z,t) au point (zi,tm)
Гamp diffusivité apparente en amplitude (m2 s-1)
Гph diffusivité apparente en phase (m2 s-1)
υ convection thermique (m s-1)
(0, )tφ flux de chaleur à la surface (W m-2)
H(t) fonction d’Heavside
(∂φ/∂τ) amplitude de la variation du flux de chaleur en échelon d’Heavside
τ durée des échelons d’Heavside en flux de chaleur (s)
TH(z,t) réponse à un flux unitaire en H(t) (°C)
R résistance électrique (Ω)
E champ électrique (N C-1)
Fe force électrostatique (N)
me masse effective (kg)
xviii
q charge électrique (C)
( )v t vitesse de l’électron (m s-1)
N nombre d’électron libre par unité de volume
j densité de courant (A m-2)
l longueur du fil (m)
S section du fil (m2)
ρ résistivité électrique (Ω m)
R0 résistance à 0°C ; pour une Pt 100 R0=100 Ω
R100 résistance à 100°C ; pour une Pt 100, R100=138,5 Ω
RT résistance à une température donnée (Ω)
X moyenne expérimentale
J erreur de justesse
Ti,j température du capteur j à la ième mesure
σ écart-type
S sensibilité
∆V différence de potentiel ou tension (V)
P pluie (mm)
ETP évapotranspiration potentielle (mm)
a exposant climatique en fonction de l’indice I
I indice thermique annuel (la somme des indices mensuels)
i indice thermique mensuel
ETR évapotranspiration réelle (mm)
RFU réserve facilement utilisable (mm)
RU réserve utile (mm)
A source de chaleur, représente la quantité de chaleur absorbée ou libérée (J m-3 s-1)
γ coefficient complexe d’amortissement (m-1)
ωd pulsation correspondant à la variation diurne (rad)
h pas d’espace (m)
k pas de temps (s)
Γi diffusivité thermique au niveau du capteur de température i (m2 s-1)
s somme des écarts quadratiques
1
Introduction
La zone non saturée est un milieu complexe qui joue un rôle majeur dans les stockages
et les transferts d’eau. La détermination de la teneur en eau liquide et de son évolution dans le
temps comme celle des transferts verticaux, ont donc fait et font toujours l’objet de
nombreuses études et des méthodes variées ont été développées pour mettre au point des
mesures quantitatives de ces phénomènes. A coté de la teneur en eau, facteur déterminant de
la croissance et de la survie de végétaux comme des propriétés mécaniques d’un sol, le
transfert vertical (infiltration, exfiltration) est en effet l’une des composantes principales du
bilan hydrique qui s’établit entre l’atmosphère et le sol mais elle est difficile à mesurer sur
toute l’étendue de la gamme de temps où on souhaiterait le connaître.
Parmi l’ensemble des nombreuses méthodes de mesures envisageables, l’analyse des
transferts thermiques offre de larges possibilités à la fois pour la détermination de la teneur en
eau et, simultanément, pour celle de l’infiltration. Toute variation de la teneur en eau modifie
en effet les propriétés thermiques, conductivité et chaleur volumique, et tout déplacement de
fluides introduit un transfert par convection qui vient se superposer au transfert par
conduction. La mesure des températures est par ailleurs relativement aisée : elle peut être
effectuée avec une grande sensibilité et les capteurs utilisés sont faciles à mettre en œuvre, de
faible coût et à faible consommation électrique. Elle est de ce fait couramment utilisée pour
les mesures de flux lents d’eau comme pour les mesures d’échange de chaleur.
Depuis la fin des années trente des études ont été réalisées pour établir les relations
entre les propriétés thermiques et la teneur volumique en chacun des constituants d’un sol,
elles ont abouti à la définition de formules empiriques simples appuyées à la fois sur un large
ensemble de données expérimentales et sur des modélisations théoriques. Plus tard, à partir
des années soixante, des études du suivi des mesures de température d’un profil vertical ont
été menées pour déterminer la composante verticale de la vitesse de Darcy en milieu non
saturé. Elles ont conduit à distinguer le cas de la zone peu profonde où les températures
dépendent de la profondeur mais aussi du temps (influence des changements de température
de surface), où le transfert doit être étudié dans ses deux dimensions z (profondeur) et t
(temps), du cas des couches profondes où un état stationnaire peut être considéré comme
établi. Dans ce second cas, Bredehoeft et Papadopoulos (1965) ont proposé une solution
analytique en régime stationnaire prenant en compte les transferts par conduction et par
convection, elle correspond à une variation exponentielle de la température avec la profondeur
2
où la courbure de l’exponentielle dépend de la vitesse de Darcy. Sous les mêmes hypothèses,
plusieurs auteurs (Stallman 1967 ; Sorey 1971 ; Boyle and Saleem 1979) ont comparé les flux
d’eau obtenus à ceux déduits de données hydrauliques, avec des résultats satisfaisants.
L’évaluation des flux d’eaux à partir des températures dans les couches superficielles,
est plus complexe du fait de la variation temporelle de la température. En considérant un
milieu saturé (riziculture) et des vitesses de percolation importantes Suzuki (1960) a le
premier élaboré une méthode permettant d’estimer la percolation à partir des variations
sinusoïdales de la température. Toujours à partir des variations sinusoïdales Stallman (1965)
proposa une solution analytique approximative qu’il appliqua aux milieux non saturés et aux
variations diurnes de la température mais avec une précision finale plus mauvaise que
1 mm j-1. Taniguchi (1993) a apporté plusieurs améliorations à cette approche en distinguant
infiltration et exfiltration mais, au contraire de Stallman, il a fait porter son calcul sur les
variations annuelles. Les solutions analytiques complètes au problème du transfert conductif
et convectif pour des variations temporelles sinusoïdales et transitoires ont finalement été
proposées par Tabbagh et al. (1999). Deux méthodes de calcul analytique pour des variations
sinusoïdales et transitoires ont d’abord été établies. Elles ont été appliquées aux variations
annuelles (Cheviron 2004 ; Cheviron et al. 2005) et aux variations transitoires (Bendjoudi et
al. 2005) ce qui a permis de montrer que, malgré le manque de précision (0,1 K) des capteurs
utilisés (existant dans les stations météorologiques, ou acquis dans le commerce), il était
possible de déterminer l’infiltration ou l’exfiltration sur des durées qui pouvaient être longues,
de plusieurs années, ou relativement courtes, sur une dizaine de jours, si l’importance de la
fluctuation thermique est suffisante. Ceci a notamment permis une estimation à long terme de
la recharge sur le Bassin de la Seine à partir des données des stations météorologiques
(Tabbagh et al. 2009), mais l’application de cette approche à de courtes durées en l’absence
de variations importantes de la température reste encore à réaliser.
Pour parvenir à exploiter des variations de courtes durées, deux limitations doivent être
levées : (1) les capteurs du commerce ont une sensibilité insuffisante, 0,1 K, (2) il faut
disposer de données acquises avec un pas de temps suffisamment court. La réalisation par
l’UMR Sisyphe de capteurs sensible à 1 m K et d’un système d’acquisition permettant un pas
de quelques minutes avec une autonomie supérieure au mois ouvre la possibilité de pallier ces
limitations. L’objectif de ce travail de thèse est de tester les outils et les méthodes permettant,
sur des durées de l’ordre de la journée (car un pas de temps plus fin n’a pas grande
signification in situ), de déterminer la teneur en eau, ou au moins ses variations, et
3
l’infiltration/exfiltration par des mesures passives utilisant les variations naturelles de la
température du sol observée sur un profil vertical.
En effet, l’exploitation des enregistrements de température du sol associés à d’autres
éléments de contrôle sont actuellement sous utilisées et n’ont pas encore réalisé leur plein
potentiel (Anderson 2005).
Ce mémoire est divisé en quatre chapitres.
Le premier chapitre présente d’abord les différentes propriétés physiques des milieux
tri-phasiques que sont les sols (géométriques, hydrauliques, électriques et thermiques) en
relation avec la présence et la circulation de l’eau. Nous décrivons ensuite la zone saturée et la
zone non saturée, les flux d’eau dans ces deux zones et les équations gouvernant les transferts
d’eau. Puis nous détaillons les différentes méthodes permettant de mesurer et de suivre la
teneur en eau dont celles qui vont être employées dans le cadre de notre travail.
Le deuxième chapitre est dédié à la présentation des mesures de la température. Après
un bref rappel des différents thermomètres, le capteur de mesure que nous avons choisi, un
thermomètre à résistance de platine, y est présenté en détail.
Dans le troisième chapitre est présenté le site d’étude, ses caractéristiques, l’installation
des capteurs de température, les données de contrôle dont nous avons disposé et les
caractéristiques principales des mesures de température obtenues.
Enfin dans le quatrième et dernier chapitre sont abordées les différentes méthodes
permettant de calculer l’infiltration et les variations de la teneur en eau, en particulier les
différents schémas numériques utilisés et une confrontation avec les données de contrôle
existantes est réalisée.
4
5
I) Chapitre I : Sol et eau dans le sol
Cette première partie est consacrée aux éléments de contrôle de notre étude, elle va nous
permettre de décrire les différentes propriétés physiques du sol en relation avec les propriétés
hydrodynamiques. Il s’agit des propriétés électriques et thermiques. Nous aborderons ensuite
les différentes méthodes de mesure de la teneur en eau.
I.A) Présentation du sol : milieu poreux
Le sol se forme par des processus lents à l’échelle humaine mais très rapides à l’échelle
géologique. Les roches s’altèrent au cours du temps sous l’action du climat et des êtres
vivants, microfaune comme macrofaune (y compris directement ou indirectement l’Homme),
avec modification des minéraux et formation de nouveaux composants. Progressivement les
sols acquièrent des structures définies, originales par rapport à celles que présentait la roche
mère. D’une manière générale, la structure d’un sol est définie comme le mode d’assemblage
des éléments constitutifs de la phase solide. Cet assemblage engendre la mise en place d’un
réseau d’espaces lacunaires. Le sol remplit deux rôles principaux vis à vis des écoulements
liquides : le stockage d’eau (et des substances nutritives nécessaires à la survie des végétaux)
et la filtration en profondeur de la fraction qui percole, par des voies préférentielles le plus
souvent, ce qui permet la recharge des nappes (et le transfert de produits toxiques contaminant
les réserves en eau). La structure du sol gouverne le transport d’eau et l’aération.
Toutes les grandeurs utilisées pour caractériser un sol sont basées sur le concept du
volume élémentaire représentatif (VER), différents d’une propriétés à une autres, essentiel
dans l’étude des milieux poreux, qui suppose que l’on peut affecter à un point dans l’espace
une perméabilité, une porosité ou tout autre variable macroscopique d’intérêt, permettant la
définition -éventuellement la mesure- de la propriété « moyenne » sur un « volume »
entourant ce point. Il s’agit donc d’une intégration dans l’espace (de Marsily 1981). Le VER
doit être assez grand pour contenir un nombre suffisant de pores afin de pouvoir définir une
propriété moyenne globale, et en même temps assez petit pour que les variations des
paramètres d’un domaine au domaine voisin puissent être décrites en les approchant par des
fonctions. On conçoit que la définition du VER, notamment quand un milieu est très
hétérogène, ne soit pas toujours possible. Les difficultés de l’étude des milieux multi-phasés
(comme le sol) proviennent principalement de la variété et de l’aspect aléatoire de leurs
microstructures internes et du couplage entre les composants des différentes phases. L’étude
des sols comporte en général la description du sol, en tant que système isolé, et l’analyse de
6
ses relations et interactions avec les autres éléments de l’écosystème. Les phénomènes
rapides, tels que les transferts d’eau, d’air, de chaleur ou de solutés, exercent en effet une
influence déterminante sur les conditions et les rythmes de croissance des végétaux qui à leur
tour peuvent en modifier la structure et les constituants. La physique du sol, en fournissant
une description de ces processus, constitue ainsi un instrument indispensable à une bonne
gestion des sols, non seulement du point de vue de l’amélioration de la production végétale,
mais également à l’égard de leur protection et de leur conservation (Musy and Soutter 1991).
Plusieurs propriétés physiques permettent la description d’un tel milieu.
I.A.1) Propriétés physiques des sols (triphasiques) en relation avec les propriétés hydrodynamiques
I.A.1.a) Propriétés géométriques
I.A.1.a.1) Texture
La texture est la proportion des particules minérales de différentes tailles qui composent
le sol. Elle est définie, en tant que critère de différenciation, comme étant la répartition
pondérale des particules élémentaires en fonction de leur géométrie (Musy and Soutter 1991).
I.A.1.a.2) Structure
La structure est le mode d’assemblage des particules de sol. Elle est définie comme
étant l’organisation de la phase solide du sol.
I.A.1.a.3) Masse volumique réelle du sol sρ
s
ss
Mmasse des particules de sol sec
volume des particules de sol sec Vρ = = , elle est toujours proche de 2,65 g/m3
(Hénin 1977). (I.1)
I.A.1.a.4) Masse volumique sèche dρ
s
dt
Mmasse sèche du sol
volume total de sol Vρ = = , elle aussi appelée abusivement densité apparente ds
du sol à l’état sec (bulk density en anglais), avec ds
eau
dρ
ρ= et 3 31000 / 1 /eau kg m g cmρ = = .
(I.2)
7
I.A.1.a.5) Masse volumique humide bρ
b
masse du sol
volume totalρ = (I.3)
I.A.1.a.6) Surface spécifique
La surface spécifique d’un milieu poreux, notéepS , est le rapport de la surface totale
des grains, soit sur le volume de l’échantillon (surface volumique), soit sur la masse (surface
massique) du solide.
' 'p p
surface totale des grains surface totale des grainsS ou S
volume de l échantillon masse de l échantillon= = (I.4)
Celle-ci est un facteur important des relations entre l’eau et l’encaissant. En effet la
proportion d’eau libre dépend de cette surface spécifique qui influence notamment :
La capacité d’échange des cations (CEC)
La sorption des substances chimiques
La rétention de l’eau aux faibles humidités
I.A.1.a.7) Fractions volumiques Xi du sol
Elle exprime le rapport du volume de la phase ou du constituant considéré au volume
total de sol.
i
volume du constituant considéréX
volume total= (I.5)
I.A.1.b) Propriétés hydrauliques (transport de fluide)
La description quantitative de la phase liquide (eau) dans le sol, repose sur la notion de
teneur en eau du sol (on réserve le terme d’humidité au rapport entre la tension de vapeur et la
tension de vapeur saturante). Celle-ci varie principalement en fonction de la structure de sol et
de sa porosité.
I.A.1.b.1) Les porosités et l’indice des vides
La porosité est la propriété d’un corps ou d’un milieu de comporter des vides, exprimée
quantitativement par le rapport du volume de ces vides au volume total du milieu. Elle
8
équivaut à la teneur en eau volumique du milieu saturé. Son inverse est la compacité. La
porosité totale, quantifie tous les vides présents dans le sol. Elle est la somme de la porosité
ouverte (ou connectée) et de la porosité fermée. La porosité totale n est donc:
v
t
Vvolume des videsn
volume total V= =
-1- 1-t s s d
t t s
V V Vn
V V
ρρ
= = = (I.6)
En prenant en compte la connexion entre les interstices, il a été distingué : la porosité
des vides ‘intercommunicants’ et celle des vides ‘non connectés’.
La porosité formée par les seuls vides intercommunicants est appelée porosité ouverte.
La porosité formée par les vides non interconnectés est la porosité close ou porosité
vacuolaire, dénommée aussi porosité résiduelle, qui ne peut entrer en compte dans la
perméabilité.
En hydrogéologie, les distinctions ne sont plus exclusivement géométriques mais se
réfèrent à l’eau contenue dans le milieu poreux, à ses liaisons physiques avec la matrice solide
et à ses mouvements possibles (Fig 1.1).
La porosité efficace effn (Castany 1982) est le rapport du volume d’eau gravitaire, que
le réservoir peut contenir à l’état saturé, puis libérer sous l’effet d’un égouttage complet, à son
volume total.
eff
'
volume d eau gravitairen
volume total= (I.7)
Elle équivaut en pratique au coefficient d’emmagasinement d’un aquifère à nappe libre.
Ce concept est dénommé aussi, suivant les auteurs : porosité effective, porosité de drainage,
porosité utile, porosité dynamique (Schoeller 1955), capacité d’écoulement, capacité de libre
d’écoulement (Schoeller 1955), coefficient d’écoulement, coefficient de restitution,
coefficient de stockage, absorption spécifique (Fourmarier 1939) ou capacité effective
d’absorption (Schoeller 1955). Elle représente ainsi le volume d’eau qui peut être drainée au
champ par l’action de la force gravitaire jusqu’à atteindre une saturation d’équilibre. Ce
volume d’eau quantifié par la porosité de drainage est différent du volume d’eau qui participe
réellement à l’écoulement en zone saturée. L’eau contenue dans les pores en cul de sac par
9
exemple, peut être drainée gravitairement alors qu’elle n’est pas mise en mouvement lors de
l’écoulement (Vouillamoz 2003).
Porosité totale (n)
Eau capillaire Eau gravifique
Eau mobile
Teneur en eau libreEau liée
Eau liéeP
oros
itécl
ose
(rés
idue
lle) o
u en
cul
-de-
sac
Capacité de rétention capillaire Porosité de drainage
Zone non saturée
Zone saturée
Porosité cinématique
Porosité totale (n)
Eau capillaire Eau gravifique
Eau mobile
Teneur en eau libreEau liée
Eau liéeP
oros
itécl
ose
(rés
idue
lle) o
u en
cul
-de-
sac
Capacité de rétention capillaire Porosité de drainage
Zone non saturée
Zone saturée
Porosité cinématique
Figure 1. 1 - Porosités hydrogéologiques, concept de stockage d’eaux souterraines (modifié
d’après de Marsily 1981 et Lubczynsk 2003)
La porosité cinématique (Castany 1982) est le rapport entre la vitesse de Darcy et la
vitesse de déplacement moyenne de l’eau en mouvement dans un milieu perméable.
' c
vitesse de Darcyn
vitesse moyenne de déplacement de l eau= (I.8)
Elle est aussi équivalente au rapport du volume des vides réellement parcourus par l’eau
gravitaire (en zone saturée sous l’action d’un gradient de charge) au volume total du milieu
(saturé ou non) : c’est la teneur en eau mobile.
'
c
volume d eau mobilen
volume total= (I.9)
Elle est dénommée aussi, suivant les auteurs : porosité effective cinématique, porosité
effective dynamique. Elle est équivalent à l’ « effective porosity » et dans la terminologie
américaine correspond à l’ « interconnected pore space volume available for fluid
transmission » différent de l’« effective porosity » de Meintzer, et équivalente à la porosité
« active » des auteurs russes.
10
Ce concept est proche de la porosité efficace, défini comme le rapport de volume. Pour
exprimer plus clairement la distinction entre ces deux concepts, l’un statique (teneur en eau
drainable, mobilisable), l’autre dynamique (teneur en eau mobile), les qualificatifs efficaces
ou effectifs attribués au premier ne sont peut être pas les plus appropriés : porosité de
drainage serait plus pertinent (de Marsily 1981).
Si l’on s’intéresse à la quantité d’eau que l’on peut extraire d’une roche par drainage,
c’est la porosité de drainage qu’il faut tâcher de mesurer.
Si c’est la quantité d’eau qui s’écoule dans une roche saturée, par exemple pour un
calcul de vitesse d’écoulement, c’est à la porosité cinématique qu’il faut penser.
L’indice de vides e, est le volume des vides vV contenus dans un échantillon ramené au
volume des grains solides sV de l’échantillon.
air eau t s v
s s s
V V V V Ve
V V V
+ −= = = (I.10)
L’indice des vides est généralement compris entre 0.3 et 2.0. Les relations entre indice
des vides et porosité sont les suivantes :
(1 ) 1v v t
s t v t
V V n V ne
V V V n V n= = = =
− − − et
( 1) 1v v s
t s v s
V V V e en
V V V V e e= = = =
+ + +
(I.11)
I.A.1.b.2) Coefficient d’emmagasinement spécifique
Le coefficient d’emmagasinement est défini comme le rapport du volume d’eau libérée
(ou emmagasinée), par unité de surface d’un aquifère. Dans les nappes libres, le coefficient
d’emmagasinement est égal à la porosité de drainage ; il est compris entre 0,2 et 0,01. Dans
les nappes captives, il est beaucoup plus petit, 0,001 à 0,0001. Il est mesuré sur le terrain par
des pompages d’essai qui rabattent la nappe.
I.A.1.b.3) Teneur en eau et indice de saturation
La teneur en eau du sol est exprimée, comme le rapport entre la masse d’eau
wm contenue dans l’échantillon de sol et la masse de matière sèche sm de cet échantillon, on
parle dans ce cas de teneur en eau massique ou humidité pondérale /eau sm mω = . (I.12)
11
Elle est exprimée d’une autre manière comme le rapport entre le volume d’eau eauV
contenue dans l’échantillon de sol et son volume initial echV , on parle dans ce cas de teneur
en eau volumique ou d’humidité volumique du sol /eau tV Vθ = (I.13)
Ces deux expressions sont liées par la masse volumique du sol dρ à l’état sec.
ds
eau
dρθ ω ω
ρ= = (I.14)
Dans un sol non saturé, la teneur en eau volumique d’un sol varie entre une valeur
minimale, la teneur en eau résiduelle rθ et une valeur maximale, la teneur en eau à saturation
sθ . Celle-ci est en principe égale à la porosité si l’ensemble de l’espace poral est occupé par
la solution du sol. Toutefois, dans les conditions naturelles, un sol ne parvient jamais à
saturation totale, car il reste toujours des poches d’air occlues ou des culs de sac ou l’air est
piégé, si bien que l’on fait parfois une distinction entre la teneur en eau à saturation et la
teneur en eau à saturation naturelle sθ (Musy and Soutter 1991).
La teneur en eau d’un sol peut également s’exprimer par un indice de saturation, wS ,
défini par le rapport du volume de cette phase liquide au volume de l’espace porale vV .
eauw
v
VS
V= (I.15)
Elle varie ainsi entre un minimum résiduel et la valeur de 100%. Dans les conditions
naturelles la présence d’air piégé empêche à nouveau d’atteindre un indice de saturation de
100%.
Toutefois, c’est la teneur en eau volumique qui est le plus généralement utilisée parce
qu’il est plus facile de s’imaginer ce qu’elle représente physiquement. Ainsi lorsque l’on parle
dans la suite de teneur en eau, sans autre précision, il s’agit implicitement de la teneur en eau
volumique.
I.A.1.b.4) Perméabilité et conductivité hydraulique
Différents paramètres hydrodynamiques sont utilisés pour la description de la
circulation de la phase liquide.
12
Darcy (1856) a établi expérimentalement que le débit d’eau (en m3 s-1) s’écoulant à
travers un massif de sable peut se calculer par (forme simple de la loi de Darcy) :
sQ A V= (I.16)
où
sA est la section du massif sableux en m² ;
V est la vitesse de filtration en m s-1.
Les causes du déplacement d’un fluide en milieu poreux sont les gradients de pression
créés par les forces extérieures, dont la gravité. Pour un fluide incompressible, on peut écrire
la forme différentielle de la loi de Darcy sous la forme :
- ( ) - ( )d d
k ku P g Z P gρ ρ
µ µ= ∇ + ∇ = ∇ −
(I.17)
où
k est la perméabilité intrinsèque en m² ;
dµ est la viscosité dynamique (la viscosité dynamique de l’eau à 20°C est de 10-3 Pa s) ;
g est l’accélération de la pesanteur en m s-2 ;
ρ est la masse volumique du fluide ;
P∇ est la différence de pression.
La perméabilité intrinsèque d’un matériau (une roche, un sol) est sa capacité à laisser
passer un fluide, c’est une caractéristique intrinsèque du matériau indépendante du fluide. On
appelle conductivité hydraulique (ou coefficient de perméabilité) le rapport entre cette
perméabilité intrinsèque et la viscosité du fluide (généralement le fluide est l’eau). Plus un
milieu est perméable plus le fluide s’écoulera vite.
Supposant que le fluide est incompressible, nous pouvons établir une relation entre la
perméabilité intrinsèque et le cœfficient de perméabilité en expriment le débit en fonction du
gradient de la charge hydraulique (de Marsily 1981) :
d
k gK
ρµ
= (I.18)
13
La perméabilité intrinsèque k s’exprime généralement en Darcy, qui correspond en
dimension à une surface (1 Darcy=0,987 10-12 m2), tandis que la conductivité hydraulique
s’exprime en m s-1.
I.A.2) Propriétés électriques des sols
I.A.2.a) Conductivité électrique
Pour une roche de faible surface spécifique et sans élément semi-conducteurs, la
conduction électrique est assurée par les ions présents dans le volume de l’eau. Ceci permet
de définir la conductivité de la roche, qui est proportionnelle à la conductivité du fluide, par
l’expression d’Archie (1942) :
fluideroche F
σσ = (I.19)
Le facteur de formation, F, est caractéristique de la topologie de l’espace poreux
connecté. Il est sans dimension, invariant par changement d’échelle (et indépendant du fluide
présent dans la roche).
Dans un milieu poreux de type sédimentaire sans argile F et n sont dépendants, ces
deux grandeurs sont reliées par la loi (empirique) d’Archie (1942) :
- mF n= , (I.20)
où m est appelé facteur de cimentation. Il dépend à la fois de la tortuosité du parcours des ions
et du volume d’eau qui participe effectivement à leur déplacement.
Si le parcours des ions était rectiligne on aurait m=1, la valeur m=2, permet de définir
une tortuosité (Fig 1.2).
Figure 1. 2 - Tortuosité d’un milieu poreux
21l
L n
≃
l
l
Lτ =
L
14
Si la conductivité de surface n’est pas négligeable (eau douce et roche avec argile), la
loi empirique de Waxman et Smits (1968) s’écrit :
fluideroche surfaceF
σσ σ= + (I.21)
Sachant que la conductivité de surface dépend de la surface spécifique, les argiles au
sens granulométrique sont à l’origine de cette conductivité de surface, dominante dans les
milieux continentaux superficiels.
I.A.2.b) Permittivité diélectrique
La permittivité diélectrique ε est une propriété physique qui décrit la polarisation d’un
milieu donnée en réponse à l’application d’un champ électrique. La permittivité est exprimée
en farad par mètre (F m-1).
Dans un milieu diélectrique réel, il existe toujours des retards à l’acquisition de la
polarisation. On parle alors de pertes diélectriques. On peut tenir compte de ces pertes en
définissant une permittivité complexe :
' ''iε ε ε= − (I.22)
Pour simplifier l’utilisation de cette propriété, on définit la constante diélectrique ou
permittivité diélectrique relative k′ , qui est le rapport de la permittivité diélectrique du milieu
sur la permittivité diélectrique du vide : 0
kεε
′ = (I.23)
avec 0ε , permittivité diélectrique du vide qui vaut 8,854 10-12 F m-1.
Le rôle des deux propriétés, conductivité et permittivité, dépend de la fréquence du
champ électrique appliqué (ω =2πf est la pulsation)
A basse fréquence dans les sols 'σ ωε>> , les courants de déplacement sont
négligeables devant les courants de conduction. Généralement pour les matériaux terrestres la
relation ( 'σ ωε>> ) est vérifiée aux fréquences inférieures à 105 Hz (=100 kHz). Dans ce
domaine la détermination de la permittivité est difficile.
A haute fréquence (pour des fréquences supérieures à 107 Hz=10 MHz) 'σ ωε<< , ce
sont les courants de déplacement qui dominent devant les courants de conduction. C’est le
15
régime de propagation. Si ' ''ε ε>> la propagation se fait pratiquement sans atténuation ni
dispersion on peut facilement déterminer la permittivité. Celle-ci est très dépendante de la
teneur en eau du fait que l’eau est une molécule polaire qui peut s’orienter sur le champ
appliqué, dont la permittivité relative propre, 80, est nettement supérieure à celle de la fraction
solide, entre 4 et 5.
Pour transformer la constante diélectrique k′ mesurée en teneur en eau, on utilise le
polynôme du troisième degré proposé par Topp et al. (1980).
-2 -2 -4 2 -6 3-5,3 10 2,92 10 -5,5 10 4,3 10k k kθ ′ ′ ′= + + (I.24)
I.A.3) Propriétés thermiques des sols
I.A.3.a) Capacité volumique
La capacité volumique vC d’un corps est une grandeur permettant de quantifier la
possibilité qu’a ce corps d’absorber ou de restituer de l’énergie par variation de sa
température.
v
dQC
dT= (I.25)
où dQ représente la quantité d’énergie à apporter par échange thermique pour élever de dT
la température de ce corps.
La capacité volumique vC d’un matériau est le produit de sa masse volumique ρ par sa
chaleur massique c . Pour la chaleur massique, qu’il convient d’appeler capacité thermique
massique ou capacité calorifique massique, on rencontre parfois le terme spécifique, dans le
même sens que massique (c’est un calque de l’anglais ‘specific heat’ correspondant au terme
français de chaleur massique). Elle est déterminée par la quantité de chaleur nécessaire pour
élever de 1 K la température de 1 kg du matériau, elle s’exprime en J K-1 kg-1.
La capacité thermique volumique d’un matériau est donc la quantité de chaleur mise en
réserve lorsque la température de 1 m3 du matériau augmente de 1 K. Elle s’exprime en J K-
1 m-3.
vC cρ= (I.26)
ρ étant la masse volumique, exprimée en kg m-3.
16
La capacité volumique vC du sol peut se calculer en utilisant le modèle de de Vries
(1963), qui fait intervenir la fraction volumique de chaque constituant et leur capacités
volumiques respectives.
( )v ms ms eau eau air airC X C X C X Cθ = + + (I.27)
où msX , eauX , airX sont les fractions volumiques de la matière solide (matrice), de l’eau et de
l’air respectivement. D’où on peut écrire :
( ) (1 ) ( )v ms eau airC n C C n Cθ θ θ= − + + − (I.28)
avec n porosité du sol et θ teneur en eau volumique.
Si on néglige la capacité volumique de l’air (environ mille fois inférieure à celle de
l’eau liquide ou de la matrice (Cosenza et al. 2003)), la capacité volumique du sol s’écrit :
( ) (1 )v ms eauC n C Cθ θ= − + (I.29)
I.A.3.b) Conductivité thermique des milieux poreux
La conductivité thermique λ est une grandeur physique caractérisant le comportement
des matériaux vis à vis du transfert de chaleur par conduction. C’est la capacité d’un milieu à
transmettre de la chaleur d’un point à un autre. Elle est définie comme le flux de chaleur, par
mètre carré, traversant un matériau d’un mètre d’épaisseur pour une différence de température
de 1 K entre les deux faces. Elle s’exprime en W m-1 K-1.
La conductivité thermique dépend non seulement de la porosité, du contenu
minéralogique et du contenu en fluide (sa teneur en eau) mais également de la géométrie des
pores, de l’arrangement et de la forme de ses particules constitutives, des liaisons entre ces
particules (ponts d’eau), ainsi que de sa teneur en air (faiblement conducteur) : à porosité
définie le sol sera d’autant plus conducteur de chaleur qu’il sera humide. La conductivité
thermique varie aussi dans le temps, notamment en fonction des évolutions de la teneur en eau
(Fig 1.3).
17
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0.1 0.2 0.3 0.4
Sable fin
Limon
Argile
Tourbeθ
λ (W m-1 K-1)
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0.1 0.2 0.3 0.4
Sable fin
Limon
Argile
Tourbeθ
λ (W m-1 K-1)
Figure 1. 3 - La conductivité thermique de quelques types de sols en fonction de la teneur en
eau (Musy and Soutter 1991)
Si la chaleur spécifique suit une loi de mélange simple (sommation de l’énergie
stockée). Il n’en est pas de même pour la conductivité thermique, pour laquelle les modèles
sont plus complexes. La conductivité thermique ne peut pas se calculer simplement à partir
des conductivités des composantes du sol et il n’y a pas de relation simple entre la
conductivité thermique λ d’un sol, et la teneur en eau θ , car la porosité n et la conductivité
thermique msλ de la matrice solide (très dépendant de la minéralogie du sol) ont une influence
dominante sur λ .
La littérature est très riche en modèles de calcul de la conductivité thermique
équivalente, on trouve un historique de ces modèles dans les travaux de Kunii et Smith (1960)
et Sun et Deng (1990). Plusieurs classifications des modèles sont possibles : modèle
théorique, modèle numérique, modèle analytique (sans et avec contact)… Il est intéressant de
noter que, quel que soit le modèle utilisé, la conductivité thermique du milieu est toujours
comprise entre deux valeurs extrêmes : la moyenne arithmétique et la moyenne harmonique.
Ces deux modèles (constituant les limites supérieures et inférieures) correspondent à
l’encadrement le plus large qu’il est possible d’obtenir pour les propriétés réelles d’un milieu.
On a choisi d’utiliser le modèle proposé par Cosenza et al (2003) issu d’une
modélisation numérique par la méthode des moments qui a permis d’utiliser une formule
linéaire reliant λ à θ .
(0,8908 -1,0959 ) (1,2236 - 0,3485 )msn nλ λ θ= + (I.30)
18
Cette relation est valable pour une conductivité thermique matricielle msλ (qui dépend
de la teneur en quartz et en matière organique) qui s’étend de 2 à 8 W m-1 K-1, pour une
porosité de 0,4 à 0,6 et pour une teneur en eau volumique de 0,1 à 0,4. Elle donne des
résultats proches (Cosenza et al. 2003) de la formule de CRIM (ou modèle quadratique
parallèle) : (1 ) (1 )QP eau ms w airn S nλ θ λ λ λ= + − + − (I.31)
Ce modèle a été utilisé dans une étude récente (Muerth 2008), en le comparant avec
deux autres modèles (modèle de Vries et modèle CRIM), (Fig 1.4).
Con
duct
ivité
ther
miq
ue W
m-1
K-1
0.40.2
0.6
1.00.8
1.21.4
1.6
1.8
0.15 0.2 0.30.25 0.40.35 0.550.50.45
modèle de de Vries (1952)modèle quadratique parallèle modèle de Cosenza et al. (2003)
Teneur en eau volumique en m3/m3
Con
duct
ivité
ther
miq
ue W
m-1
K-1
0.40.2
0.6
1.00.8
1.21.4
1.6
1.8
0.15 0.2 0.30.25 0.40.35 0.550.50.45
0.40.2
0.6
1.00.8
1.21.4
1.6
1.8
0.15 0.2 0.30.25 0.40.35 0.550.50.45
modèle de de Vries (1952)modèle quadratique parallèle modèle de Cosenza et al. (2003)
Teneur en eau volumique en m3/m3
Figure 1. 4 - Comparaison de la conductivité thermique équivalente prédite pour un sol
limoneux (Muerth 2008)
L’un des avantages qui encourage à choisir le modèle proposé par Cosenza, dans notre
étude, est sa facilité d’utilisation (Holt 2008).
I.A.3.c) Diffusivité thermique
Elle caractérise la facilité avec laquelle la chaleur diffuse par conduction, dans un corps.
Plus la valeur de la diffusivité thermique est faible, plus le front de chaleur mettra du temps à
traverser le milieu. Elle fait intervenir la conductivité thermique λ (qui s’exprime en W m-1
K-1) et la capacité thermique volumique vC (qui s’exprime en J K-1 m-3).
Г = λ/CV (I.32)
avec Г la diffusivité en m2 s-1. La diffusivité thermique devient importante quand la porosité
du sol diminue, donc quand la profondeur augmente.
19
Alors que la conductivité thermique intervient seule dans le régime stationnaire, c’est la
diffusivité thermique qui sera déterminée en régime variable et à partir de laquelle on déduira
la teneur volumique en eau.
Les travaux de Ochsner et al. (2001), donnent des coefficients de corrélation entre les
propriétés thermiques (conductivité thermique, capacité calorifique, diffusivité thermique) du
sol et les fractions volumiques du sol (teneur en eau, fraction volumique de la matrice solide,
fraction volumique d’air) pour 59 échantillons.
Conductivité thermique
Capacité calorifique
Diffusivité thermique
Eau Solide Air
Fractions volumiques
0,63
0,88
0,36
0,31
0,64
0,71 -0,74
-0,86
-0,93Conductivité thermique
Capacité calorifique
Diffusivité thermique
Eau Solide Air
Fractions volumiques
0,63
0,88
0,36
0,31
0,64
0,71 -0,74
-0,86
-0,93
Tableau 1. 1 - Coefficients de corrélation entre les propriétés thermiques du sol et les fractions volumiques du sol
En ce qui concerne la conductivité thermique on remarque une très forte dépendance à
la fraction volumique de l’air (avec un coefficient de corrélation de -0,93) par rapport aux
fractions volumique d’eau et de solide. Pour la capacité calorifique, on remarque que
l’influence de la fraction volumique de solide (avec un coefficient de corrélation de 0,31) est
moins marquée que celle des deux autres fractions.
λair λsolideλeau
3W m-1 K-1
0,025W m-1 K-1
0,59W m-1 K-1
λair λsolideλeau
3W m-1 K-1
0,025W m-1 K-1
0,59W m-1 K-1
Cair Csolide Ceau
2J m-3 K-1
4,17J m-3 K-1
0,0012J m-3 K-1
Cair Csolide Ceau
2J m-3 K-1
4,17J m-3 K-1
0,0012J m-3 K-1
106
Figure 1. 5 - Valeurs moyenne des conductivités thermiques et capacité calorifique pour chaque fraction (air, eau, solide)
La dominance de l’influence de la fraction volumique de l’air, qui réduit toutes les
propriétés, est bien mise en évidence aussi bien pour la diffusivité thermique (avec un
coefficient de corrélation de -0,74) que pour toutes les propriétés thermique du sol.
I.A.3.d) Inertie thermique (anciennement appelée effusivité thermique)
Elle indique la facilité avec laquelle une surface (le sol dans notre étude) qui reçoit un
flux de chaleur va modifier sa température. Une valeur d’inertie thermique faible par exemple,
20
indique une augmentation rapide de température en réponse à un apport de chaleur. Elle est
donnée par la formule suivante :
vP C
λλ= =Γ
(I.33)
I.A.3.e) Profondeur de pénétration
Lorsque la surface d’un demi-espace homogène reçoit un apport de chaleur sinusoïdal
de pulsation ω, la solution de l’équation de la chaleur montre un amortissement exponentiel,
en z pe− , des amplitudes des variations de température et de flux avec la profondeur, où :
2p
ωΓ= (I.34)
est appelée (comme en électromagnétisme) profondeur de pénétration.
En ce qui concerne le sol, les profondeurs de pénétration des variations diurne et
annuelle, si on considère que Γ (Fabry 1942) vaut en moyenne pour les sols 0,75 10-6 m2 s-1
sont données sur le tableau 1.2.
Tableau 1. 2 - Profondeur de pénétration des variations thermiques sinusoïdales
I.B) L’eau dans le sol et le sous-sol
Après avoir abordé quelques définitions qui permettent de caractériser le sol, sa capacité
à contenir de l’eau (porosité), son aptitude à laisser circuler l’eau (perméabilité)… nous allons
dans cette partie décrire les différentes zones traversées par cette eau, ainsi que les lois
associées à l’écoulement en milieu poreux dans chacune de ces zones.
I.B.1) Rappels de base
Un milieu poreux est un milieu continu, cohésif ou non qui présente intérieurement une
fraction de volume de vide accessible à un fluide. Dans ce milieu, on distingue la zone saturée
en eau (ZS) ou ‘nappe d’eau’, la zone non saturée (ZNS), où les pores sont remplis
partiellement d’eau et partiellement d’air, située au dessus de la ZS et une frange capillaire où
l’eau remonte de la ZS vers la ZNS, cette région constitue la transition entre la ZS et la ZNS.
Lorsque l’eau pénètre dans le sol, deux types de situation peuvent se présenter. Une première
possibilité est que cette eau soit retenue dans la tranche superficielle du sol (ZNS) et constitue
Période journalière Période annuelle
Profondeur de pénétration p ~14 cm ~2,70 m
21
la réserve hydrique. Une seconde possibilité est qu’elle ne soit pas retenue dans cette tranche
superficielle (ZNS), et qu’elle s’infiltre en profondeur constituant la recharge.
I.B.1.a) Zone saturée (ZS)
Afin de définir les caractéristiques hydrogéologiques d’un réservoir, il est possible de
distinguer deux grands types d’eau : l’eau gravitaire (libre) et l’eau de rétention liée (Fig 1.6).
molécules libres
Centre des vides
Eau Gravitaire
Eau de Rétention
Force d’attraction moléculaire
Grain
distance en µm
Eau adsorbée
Eau pelliculaire
0.1 0.5 1
molécules libres
Centre des vides
Eau Gravitaire
Eau de Rétention
Force d’attraction moléculaire
Grain
distance en µm
Eau adsorbée
Eau pelliculaire
0.1 0.5 1
Figure 1. 6 - Schéma de la structure de l’eau souterraine au voisinage d’un grain. Interaction
eau/roche (Polubrinova-Kochina 1962).
L’eau gravitaire ou eau libre
L’eau gravitaire est la fraction de l’eau souterraine libérée par la seule action de la force
de gravité. Cette fraction d’eau est dite mobilisable. Elle circule dans l’aquifère et alimente les
ouvrages de captage et les sources.
L’eau liée ou eau de rétention (eau pelliculaire et eau adsorbée)
C’est la fraction de l’eau souterraine, insensible à l’action de la gravité (non
mobilisable), attachée à la surface des grains par des forces d’attraction moléculaires
supérieures à celles de la gravité. Ces forces d’attraction décroissent, très rapidement, avec la
distance de la molécule d’eau au grain (de Marsily 1981).
En agronomie on distingue l’eau adsorbée de l’eau pelliculaire.
22
L’eau adsorbée (hygroscopique) est celle qui ne peut pas être extraite du sol par la
succion racinaire. Elle est retenue à la surface des particules. Elle constitue un film continu,
dont l’épaisseur est de l’ordre de quelques dizaines de molécules. Les forces d’attraction de
ces molécules atteignent plusieurs dizaines de milliers de bars, mais décroissent rapidement
avec la distance.
L’eau pelliculaire représente une pellicule de l’épaisseur de l’ordre du micron. Elle peut
se déplacer à la surface des grains sous l’action de l’attraction des molécules d’eau voisines.
La gravité n’est en revanche pas suffisante pour la déplacer. Elle peut être extraite par
centrifugation ou chauffage.
I.B.1.b) Zone non saturée (ZNS) ou vadose
Située dans la partie superficielle, la zone non saturée, (complexe dynamique à trois
phases : la phase solide, la phase liquide et la phase gazeuse) a une position particulière
comme interface entre l’atmosphère et la nappe phréatique. Cette zone occupe donc une
position clé dans les cycles globaux de matières. Elle se caractérise par rapport à la zone
saturée par la présence d’eau dite eau de rétention capillaire (de Marsily 1981), soumise à la
force de tension superficielle. Comme l’eau pelliculaire, cette eau de rétention capillaire est
assez fortement liée au sol pour échapper aux forces de la gravité, mais une large proportion
peut être extraite par l’évaporation et l’extraction racinaire (Cosandey and Robinson 2000).
L’ensemble de l’eau liée (section I.B.1.a) et de l’eau de rétention capillaire constitue
l’eau de rétention matricielle, qui correspond, à sa valeur maximale, à la capacité de rétention
maxθ du sol. Cette capacité de rétention est parfois confondue avec la capacité au champ cθ ,
qui est déterminée avant que le processus de drainage (drainage lent) par gravité soit
complètement achevé, il s’agit donc d’une valeur supérieure à la capacité de rétention maxθ .
Lorsque dans une situation donnée les deux valeurs sont disponibles, il est préférable de
retenir la valeur de la capacité au champ, car elle reflète en principe tout aspect de la réalité
(Musy and Soutter 1991), bien que la capacité de rétention reste une valeur caractéristique qui
permet de connaitre les réserves hydriques (θmax-θr) dont la végétation peut potentiellement
disposer (Cosandey and Robinson 2000).
Dans la zone non saturée, ou d’aération qui est caractérisée par le complexe
réservoir/eau de rétention matricielle/air, la quantité d’eau gravitaire est temporaire, en transit,
souvent nulle. En fonction des teneurs en eau ou de l’humidité qui croissent vers le bas, elle
23
est subdivisée en trois sous zones (Fig 1.7) : zone d’évapotranspiration, zone de transition et
frange capillaire.
piézomètre
Aquifère a nappe libre
Surface piézométrique
Frange Capillaire
Zone de transition
Zone d’évapotranspiration
1 2 3
5 15 25 30%
Surface de la nappe
Zone non
saturée
Zone saturée
Teneur en eau
Profile d’humidité
3
Profondeur (m)
4
1
2
piézomètre
Aquifère a nappe libre
Surface piézométrique
Frange Capillaire
Zone de transition
Zone d’évapotranspiration
1 2 3
5 15 25 30%
Surface de la nappe
Zone non
saturée
Zone saturée
Teneur en eau
Profile d’humidité
3
Profondeur (m)
4
1
2
Figure 1. 7 - Zonalité sol/eau souterraine. 1, eau de rétention ; 2, eau gravitaire ; 3, eau
capillaire (Castany 1982)
La zone d’évapotranspiration est soumise à des variations de teneur en eau importante
provoquées par l’infiltration et l’évapotranspiration. La teneur en eau après ressuyage y
oscille entre la capacité de rétention et le point de flétrissement surtout pour les couches
soumissent directement à l’évapotranspiration : c’est bien le lieu de stockage de la réserve
hydrique du point de vue des plantes. Il est à noter que l’évaporation directe de la surface d’un
sol nu peut provoquer un desséchement avec une teneur en eau au dessous de la valeur du
point de flétrissement.
La zone de transition (zone d’aération) est la zone où la teneur en eau est voisine de la
capacité de rétention. L’eau y circule librement sous la seule contrainte de la pesanteur. Dans
la mesure où cette tranche de sol est peu soumise à l’évaporation ou à l’extraction racinaire, sa
teneur en eau ne descend rarement en dessous de la capacité de rétention. De même, lorsque
le flux d’infiltration arrive de la surface, la variation de la teneur en eau n’est que transitoire,
puisque le sol est déjà à sa capacité de rétention (Cosandey and Robinson 2000).
La frange capillaire est alimentée par l’eau de la zone saturée remontant par ascension
capillaire. Si elle se situe à une profondeur suffisante, elle n’a pas de rôle hydrologique
particulier, en revanche elle peut être déterminante dans la production de certains écoulements
rapides lorsqu’elle est proche de la surface.
24
I.B.2) Ecoulement d’eau en milieu poreux
L’eau du sol est caractérisée par son état d’énergie. En considérant que l’eau est un
fluide incompressible, la charge hydrauliqueH en un point est définie par :
2
2
u pH z
g gρ= + + (I.35)
où
u est la vitesse du fluide en m s-1 ;
g est l’accélération de la pesanteur en m s-2 ;
p est la pression en eau en Pa ;
ρ est la densité de l’eau en kg m-3 ;
z est la cote en m.
En milieu poreux, où les vitesses sont très lentes, on néglige le terme de charge
dynamique, et l’on ne considère que la charge statique, ou cote piézometrique :
pH z
gρ= + (I.36)
I.B.2.a) Ecoulement d’eau en milieu saturé
Pour un milieu saturé homogène isotrope, et pour un fluide incompressible on utilise la
loi macroscopique (à l’échelle du VER) de Darcy :
u K H= − ∇
(I.37)
Cette équation dynamique (loi de Darcy) permet de déterminer le flux.
Mais pour décrire complètement le phénomène sur le plan quantitatif, il faut encore lui
adjoindre l’équation de continuité qui exprime le principe de conservation de la masse
(Fig 1.8).
25
( )
2x
x
u xu
x
ρρ ∂ ∆ − ∂ ( )
2x
x
u xu
x
ρρ ∂ ∆ + ∂
( )
2z
z
u zu
z
ρρ ∂ ∆ + ∂ ( )
2y
y
u yu
y
ρρ
∂ ∆+ ∂
( )
2z
z
u zu
z
ρρ ∂ ∆ − ∂
( )
2y
y
u yu
y
ρρ
∂ ∆− ∂
Figure 1. 8 - Flux de masse
Le bilan de masse selon la direction Ox s’exprime par la différence entre les flux entrant
et sortant, soit :
( ) ( ) ( )
2 2x x
x x
x
M u ux xu u y z
t x x
ρ ρρ ρ ∂ ∆ ∂ ∂∆ ∆ = − − + ∆ ∆ ∂ ∂ ∂
(I.38)
Après simplification :
( ) ( )x
x
M ux y z
t x
ρ ∂ ∆ ∂= − ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ (I.39)
La variation totale de la masse en additionnant les trois contributions selon les trois
directions est donnée par :
( ) ( )( ) ( )yx zuM u u
x y zt x y z
ρρ ρ∂∂ ∆ ∂ ∂= − + + ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ∂ (I.40)
et en utilisant une notion vectorielle : ( )
( )M
div u Vt
ρ∂ ∆
= − ∆∂
(I.41)
La masse contenue dans le volume V∆ , peut être exprimée par le produit de la masse
volumique d’eau et du volume effectif que celle-ci occupe, soit : sM Vρ θ∆ = ∆
En régime permanent, sans apport ni prélèvement extérieur, pour une nappe en
écoulement parallèle (ou uniforme), qui est une nappe où la vitesse est une constante (en
26
intensité et en direction) en tout point, la solution de l’équation de diffusivité (de Marsily
1981) est :
2( ) 0div H H∇ = ∇ =
(I.42)
avec 2 2 2
22 2 2x y z
∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂
L’équation générale des écoulements en milieu saturé s’exprime par dérivation du
potentiel total que constitue la charge hydraulique. Comme cette équation repose sur la loi de
Darcy généralisée, elle obéit aux mêmes hypothèses de validité, elle est donc définie pour des
conditions d’écoulement laminaire dans un milieu homogène, isotrope et continu.
I.B.2.b) Ecoulement d’eau en milieu non saturé
En condition saturée, le potentiel de succion matricielle est nul et la teneur en eau est
maximale. La conductivité hydraulique est alors constante, et sa valeur est maximale. En
condition non saturée, la conductivité hydraulique n’est plus une valeur constante, elle varie
en fonction de la teneur en eau du sol ou du potentiel matriciel du sol, entre une valeur
maximale, quand le sol est à saturation (la conductivité hydraulique à saturation), et une
valeur théoriquement nulle, quand la teneur en eau diminue jusqu’au coefficient
d’hygroscopicité rθ où l’eau n’est plus mobile en milieu naturel.
Si le potentiel matriciel du sol est uniforme, c’est la force de gravité qui génère
l’écoulement, tant qu’elle est supérieure aux forces de rétention (teneur en eau suffisamment
élevée). En revanche, lorsque ce potentiel varie d’un point à l’autre, des gradients
apparaissent et s’associent à la force de gravité afin de provoquer l’écoulement. La force
motrice de l’écoulement de l’eau en milieu non saturé est donc un gradient de potentiel total,
résultant de la somme des potentiels de succion matricielle pψ et du potentiel gravitaire zψ
(si le potentiel hydrique total est exprimé en unité de hauteur, et que le point de référence est
la surface du sol, on peut écrire z zψ = − , avec z mesuré positivement vers le bas). Ces forces
motrices de l’écoulement varient non seulement d’un point à l’autre du sol, mais également au
cours du temps. Il est, de plus, conditionné par un phénomène d’hystérésis (phénomène
d’hystérésis associé à la mouillabilité de la surface des grains).
27
En milieu non saturé, la charge de pression h est toujours négative ; on la remplace
fréquemment par la succion : hψ = (I.43)
La loi de Darcy, est définie pour les milieux saturés. Sa généralisation aux écoulements
non saturés implique l’introduction d’une conductivité hydraulique ( )K θ ou ( ( ))K h θ ,
fonction de la teneur en eau θ , ou du potentiel h.
( )u K h H= − ∇
ou ( )u K Hθ= − ∇
(I.44)
que l’on peut développer de la manière suivante :
[ ]( )u K h h z= − ∇ +
équation en h (I.45)
[ ]( ) ( )u K h zθ θ= − ∇ +
équation en θ (I.46)
Dans l’équation en h, la description des caractéristiques du sol repose sur la seule
relation ( )K h , synthèse des relations ( )K θ et ( )h θ . Il faut noter que la conductivité
hydraulique est affectée par un phénomène d’hystérésis et la relation ( )h θ est non univoque,
c’est-à-dire qu’une même teneur en eau θ peut correspondre à deux potentiels de pression
hydraulique, selon que l’on est en phase d’humidification ou d’assèchement.
La formulation du principe de conservation de la matière est identique dans le cas d’un
écoulement non saturé et dans celui d’un écoulement saturé, de ce fait on a :
( )( )
Mdiv u V
tρ
∂ ∆= − ∆
∂
(I.47)
En revanche, la masse de la phase liquide contenue dans le volume V∆ peut être
variable au cours du temps. A un instant t, cette masse s’écrit :
M Vρ θ∆ = ∆ (I.48)
Sa variation dans le temps, sous l’hypothèse de l’indéformabilité du volume, V∆ ,
s’écrit alors :
( )MV
t t
θρ∂ ∆ ∂= ∆
∂ ∂ (I.49)
L’équation de continuité (conservation) en milieu non saturé s’écrit finalement :
28
div ut
θ∂= −∂
(I.50)
Cette équation exprime le fait que la variabilité spatiale du flux correspond à une
variabilité temporelle de la teneur en eau, soit une variabilité temporelle d’emmagasinement
d’eau dans le petit volume V∆ .
L’équation générale de l’écoulement en milieu non saturé provient de la combinaison de
l’équation dynamique et de l’équation de continuité. On obtient deux expressions qui
constituent les deux formes de l’équation de Richards (1931).
div ut
θ∂= −∂
et
( )
( )
u K H
u K h H
θ = − ∇
= − ∇
(I.51)
Soit avec la teneur en eau comme variable principale :
( ( ) )div K Ht
θθ ∂∇ =∂
avec ( ) ( )H h zθ θ= + (I.52)
Si en revanche, c’est la charge qui est considérée comme variable principale, cette
équation devient :
( ( ) ) ( )h
div K h H c ht
∂∇ =∂
avec ( )c hh
θ∂=∂
(I.53)
où ( )c h est la capacité capillaire, soit la variation de la teneur en eau par unité de variation de
charge.
Même si on néglige l’effet du phénomène d’hystérésis, les tentatives de détermination
de la conductivité hydraulique ( )K θ d’après des grandeurs caractéristiques intrinsèques du sol
(texture et structure) n’ont pas débouché sur des résultats généraux simples. Il a donc été
nécessaire pour cela d’adopter des relations mathématiques empiriques ajustées aux
observations, telles que :
- Gardner (1958) : a , bet m étant des constantes empiriques.
( )( )m
aK h
b h=
+ − (I.54)
29
- Brooks and Corey (1964) : sK la conductivité hydraulique à saturation et n un
paramètre reflétant la porosité du sol.
3 2/
( )n
rs
s r
K Kθ θθθ θ
+ −= −
(I.55)
- Van Genuchten (1980) :
21/ 2 1/
( ) 1 1
mm
r rs
s r s r
K Kθ θ θ θθθ θ θ θ
− − = − − − −
(I.56)
I.B.3) Méthodes de mesure de la conductivité hydraulique ou coefficient de perméabilité
I.B.3.a) Mesure du coefficient de perméabilité en laboratoire
Le coefficient de perméabilité peut se mesurer avec un perméamètre. Il existe deux
types de perméamètres : l’un à charge constante (conseillé pour les matériaux perméables, de
perméabilité supérieure à 10-5 m s-1), l’autre à charge variable (conseillé pour les matériaux à
faible perméabilité, inférieure à 10-5 m s-1). La différence est que pendant les mesures, le
niveau de l’eau dans le tube est maintenu constant dans le premier cas. Dans le second cas,
l’eau descend dans le tube ; la charge est variable (Fig 1.9).
sol
∆h
L
∆h
L
Veau(t) Veau(t)
Écoulement Écoulement
Essai de perméabilité à charge constante Essai de perméabilité à charge variable
pierres poreuses
Figure 1. 9 - Principe de l’essai au perméamètre
30
I.B.3.b) Mesure du coefficient de perméabilité in situ
Les mesures se font généralement sur le terrain par deux types d’essais.
I.B.3.b.1) Essai ponctuel
Pour les formations meubles ou peu consolidées, on l’appelle l’essai Lefranc. Cet essai
est le plus simple à mettre en œuvre, tant pour le matériel que pour l’interprétation des
données de l’essai. L’essai Lefranc consiste à injecter de l’eau dans des couches perméables et
à mesurer le volume d’eau absorbé sous une charge hydraulique donnée.
Connaissant le volume injecté, le diamètre du forage (D) et la charge hydraulique
appliquée (H) en mètre, on peut calculer le coefficient de perméabilité qui est donné par
l’équation : /( )Q m K H D K Q m H D= ⇒ = , (I.57)
avec K coefficient de perméabilité en m s-1, m coefficient qui dépend de la forme de la
chambre (forage par exemple).
I.B.3.b.2) Essai de pompage
À l’inverse des essais ponctuels (essai Lefranc, essai Lugeon…) qui ne caractérisent que
des horizons perméables très limités, les essais de pompages s’intéressent à une zone autour
du puits suffisamment représentative que ce soit dans le cas d’un puits complet ou incomplet.
L’essai de pompage consiste à :
- Mesurer sur le terrain les paramètres hydrodynamiques : transmissivité et coefficient
d’emmagasinement ;
- Étudier qualitativement les caractéristiques particulières de l’aquifère (conditions aux
limites, hétérogénéités, drainance...) ;
- Suivre l’évolution de la charge hydraulique de la nappe dans le puits et/ou dans des
piézomètres proches en fonction du débit prélevé et du temps écoulé.
2 2( )2
2 2( ) .ySh h h
div gradh hx y T t
∂ ∂ ∂= ∇ = + =∂ ∂ ∂
(I.58)
avec t le temps en s, T la transmissivité en m2 s-1 et S(y) le coefficient d’emmagasinement dans
le cas d’un aquifère captif et la porosité de drainage dans le cas d’un aquifère libre.
31
L’évolution du rabattement en fonction du temps et du débit pompé permet d’estimer la
transmissivité T en résolvant de façon analytique l’équation de la diffusion.
Les méthodes de calcul analytique des écoulements souterrains s’effectuent
généralement en employant la formule de Dupuit pour des calculs en régime permanent et la
formule de Theis pour des calculs en régime transitoire. La solution de Theis (1935) suppose
que :
- La formation aquifère est homogène, isotrope et infinie ;
- Le puits capte toute la hauteur de l’aquifère et a un diamètre négligeable donc que
l’emmagasinement est négligeable dans le volume du puits ;
- Un seul puits de pompage à débit constant ;
- L’écoulement vers le puits est horizontal, dans des conditions de validité de la loi de
Darcy ;
- Lors du pompage, l’eau provenant de l’emmagasinement est libérée instantanément
avec la baisse de la charge hydraulique ;
- La transmissivité est constante dans le temps, c’est-le cas pour une nappe captive. Pour
une nappe libre : elle doit être peu rabattue (rabattement/charge initial<25%, (Boucher 2007)).
L’expression générale de Theis, applicable à tous les dispositifs de station d’essai, est :
4
u
u
Q es du
T uπ
∞ −
= ∫ où ( )4
QW u
Tπ avec
2
4
r Su
T t= (I.59)
Le terme ( )W u est une fonction exponentielle intégrale décroissante. C’est la fonction
du puits donnée par des tables.
2 3 4
( ) 0.5772161 ln ...2.2! 3.3! 4.4!
u u uW u u u= − − + − + − + (I.60)
où
s est le rabattement mesuré dans un piézomètre, en m.
r est la distance du piézomètre à l’axe du puits, en m.
32
t est le temps écoulé depuis le début de pompage, en secondes.
Q le débit en m3 s-1
Les termes du développement en série de la fonction exponentielle intégrale, deviennent
négligeables comparés au premier terme constant, lorsque le temps de pompage croit et que la
valeur de r décroît. D’où l’expression d’approximation logarithmique donnée par Jacob
(1950).
2
4(ln 0,577216)
4
Q T ts
T r Sπ= − (I.61)
d’où : 2
2,25(ln )
4
Q T ts
T r Sπ= (I.62)
Soit, en introduisent les logarithmes décimaux :
2
0,183 2,25ln
Q T ts
T r S= (I.63)
La transmissivité est calculée par la pente (rabattement exprimé en mètre de haut en bas,
sur un axe des ordonnées linéaire, et les temps de pompage en secondes sur un axe des
abscisses logarithmique) de la droite représentative. Au cours d’un module logarithmique,
noté c, la transmissivité est calculée par l’expression : 0,183QT
c= (I.64)
Le coefficient d’emmagasinement est obtenu par calcul avec le deuxième terme de
l’expression, ou plus simplement, avec t0 (temps à l’origine), d’où l’expression :
02
2,25T tS
r= (I.65)
Le principe de superposition et la méthode des images permettent de prendre en compte
les limites de l’aquifère (alimentée ou étanche) et les variations de débit.
Si le diamètre du puits n’est pas négligeable, on observe un effet (effet de capacité) de
retard des rabattements en début de pompage, la solution de Papadopoulos and Cooper (1967)
permet de le prendre en compte.
Neuman (1975) a proposé aussi une solution qui permet de prendre en compte le retard
dans le drainage du à la zone non saturée (cas de l’aquifère libre). Cette solution permet aussi
33
de corriger les effets liés à un puits incomplet, ou à un aquifère avec une anisotropie verticale-
horizontale.
I.C) Mesures non thermiques de la teneur en eau
A coté des mesures thermiques qui seront développées au chapitre suivant, différentes
méthodes géophysiques peuvent nous renseigner sur la présence de l’eau dans le sol. Les
méthodes électriques et électromagnétiques sont les plus employées pour l’hydrogéologie ;
non–destructives, elles permettent de déterminer la distribution verticale et horizontale des
propriétés électriques dans le sous-sol. Les sondes à neutron et les méthodes basées sur la
résonance magnétique des protons (RMP), sont directement sensibles à la présence
d’hydrogène donc d’eau, et permettent l’estimation de la teneur en eau dans le sol ainsi que le
suivi hydrique. Nous allons passer en revue les méthodes les plus importantes, qui servent à la
détermination de la teneur en eau surtout pour la zone non saturée.
I.C.1) Méthodes utilisant la permittivité diélectrique
L’eau joue un rôle important dans les propriétés électriques (conductivité électrique, et
permittivité diélectrique). Cependant, le paramètre conductivité a l’inconvénient d’être
d’abord dépendant de la présence d’argile et d’être corrélé à la teneur en eau par
l’intermédiaire de la salinité. On a alors en principe deux autres variables à déterminer avant
de pouvoir obtenir la teneur en eau. Nous ne détaillons donc pas ici les méthodes électriques
(sondage, profilage, cartographie et tomographie) ou les méthodes électromagnétiques basse
fréquence (slingram, very low frequency resistivity VLF-R, time domain ou transient
electromagnetism TDEM ou TEM). En revanche en hautes fréquences, la permittivité
diélectrique relative rε (la constante diélectrique k’) a l’avantage d’être quasiment
indépendante de la salinité de l’eau, tout en étant très sensible à la teneur en eau (cf. supra loi
de Topp).
Le sol est un ensemble complexe de particules de compositions chimiques différentes
dans une matrice d’air et d’eau. Alors que les différents grains solides ont une permittivité
située dans une fourchette de 3 à 7, celle de l’air et de l’eau sont respectivement de 1 et 80 et
la constante diélectrique est d’abord fonction de la teneur en eau que cette propriété permet
d’estimer.
On distingue deux grandes classes de méthodes : les méthodes temporelles et les
méthodes fréquentielles.
34
I.C.1.a) Temporelles (TD : Time Domain)
Il s’agit des méthodes de réflectométrie dans le domaine temporel (TDR). Les
réflectomètres (l’appareil TDR proprement dit) sont constitués d’un oscilloscope numérique
couplé à un générateur d’impulsion et connecté par l’intermédiaire d’un câble coaxial à un
guide d’onde (souvent 2 à 3 tiges métalliques parallèles d’une longueur de 15 à 30 cm que
l’on enfonce dans le sol) jouant le rôle de sonde (Fig 1.10).
Figure 1. 10 - Schéma d’un réflectomètre sonde TDR
Le générateur de signal émet une impulsion électrique de haute fréquence, qui se
propage via un câble coaxial le long des guides d’ondes, générant dans le sol un champ
électromagnétique autour de la sonde. Arrivé à l’extrémité des guides, le signal est réfléchi
vers l’oscilloscope qui enregistre les variations d’amplitude de l’onde en fonction du temps.
Le principe de mesure repose sur la mesure du temps de propagation t∆ dans le sol
d’une impulsion électromagnétique haute fréquence dans la gamme [1 MHz - 1 GHz]. Ce
temps est fonction de la constante diélectrique k’ du milieu, elle-même étroitement
dépendante de la teneur en eau.
Sous l’hypothèse d’un milieu homogène et sans pertes (parfait), la vitesse de
propagation d’une onde électromagnétique à haute fréquence est donnée par :
1v
µ ε= (I.66)
avec ε la permittivité diélectrique. La perméabilité magnétique µ permet de décrire le
comportement d’une matière soumise à un champ magnétique. Dans le vide, la perméabilité
magnétique µ0 vaut 4 π 10-7 H m-1. Or, µ = µr µ0 = (1+κ) µ0 (I.67)
35
avec µr la perméabilité magnétique relative, et κ la susceptibilité magnétique. Pour la plupart
des roches et des sols κ est inferieure à 10-2 on prend donc µ = µ0
La permittivité diélectrique 0ε dans le vide vaut 8,854 10-12 F m-1. La vitesse de
propagation vc des ondes électromagnétiques dans le vide est connue : cv=3 108 m s-1
0 01/vc µ ε= et 20 01/( )vcµ ε= (I.68)
Dans un milieu de constante diélectrique k’ on aura donc : vc dv
tk= =
′ (I.69)
où d la distance parcourue et t le temps de propagation, soit avec une sonde TDR :
2
vc tk
d =
' (I.70)
Pour déterminer la vitesse de propagation on doit connaître la longueur des guides
d’ondes et mesurer le temps de propagation t entre les réflexions sur le début et la fin de la
sonde (Fig 1.11).
Fin de la sonde
Début de la sonde
∆t
Temps (ns)
Sign
al e
nreg
istr
é
0 10
Fin de la sonde
Début de la sonde
∆t
Temps (ns)
Sign
al e
nreg
istr
é
0 10
Figure 1. 11 - Signal enregistré par le réflectomètre
Pour transformer la constante diélectrique k’ mesurée en teneur en eau, on utilise le
polynôme proposé par Topp et al. (1980).
Ce modèle n’est théoriquement utilisable que pour des sols ni trop argileux ni trop
sableux. Autrement (par exemple pour des sols ayant une fraction importante de matière
organique) il faut déterminer avec plusieurs points une relation d’étalonnage, ( ')kθ . On
trouvera dans Zakri (1997) une synthèse des modèles correspondants.
36
Dans les sols salins, des pertes d’énergie significatives limitent l’utilité de la méthode
TDR. De même dans les sols complètement gelés, la méthode TDR est inopérante parce que
les constantes diélectriques de la glace et des sols secs sont approximativement égales. Pour
plus d’informations sur cette méthode on peut se référer aux thèses de Pereira Dos Santos
(1997) et Todoroff (1998).
I.C.1.b) Fréquentielles (FD : Frequency Domain) : sondes capacitives
La méthode capacitive (Paquet 1965 ; Tran et al. 1970 ; Paquet 1971 ; Ambrosino
1972 ; Tran et al. 1972 ; Manière et al. 1974 ; Tran and Jallet 1974 ; Hamid and Mostowy
1976 ; Wobschall 1978 ; Kuraz 1981 ; Saxena and Tayal 1981 ; Bell et al. 1987 ; Dean et al.
1987 ; Campbell 1990 ; Gaudu et al. 1993) utilise, comme la réflectométrie dans le domaine
temporel, la constante diélectrique du sol comme mesure indirecte de sa teneur en eau. Mais
alors que la méthode TDR est basée sur une réflexion dans le domaine temporel (mesure d’un
temps de transit d’un signal électrique), la méthode capacitive est basée sur l’impédance dans
le domaine fréquentiel.
Une sonde capacitive est composée d’une source électrique (oscillateur électronique),
d’un fréquencemètre et de deux ou plusieurs électrodes que l’on introduit dans le sol. Les
électrodes et le sol adjacent forment un condensateur dont la capacité est fonction de la
constante diélectrique du sol et donc aussi de la teneur en eau du sol (due au fort contraste
entre la permittivité électrique de la plupart des minéraux et celle de l’eau) dans la gamme de
fréquence choisie, entre 1 à 100 MHz en général.
Cette capacité est donnée par :
0' C a k ε= (I.71)
où a est un coefficient qui ne dépend que de la géométrie de la sonde capacitive utilisée.
Plusieurs méthodes (appareils) peuvent être utilisées pour mesurer la capacité. Les
différents prototypes ou appareils du commerce se différencient d’une part par leur
électronique, et d’autre part, par le choix de la fréquence de fonctionnement. Divers
configurations sont disponibles suivant la géométrie des pôles : la teneur en eau peut être
mesurée à partir d’électrodes enterrées en contact direct avec le sol, ce type de mesure
nécessite un étalonnage à partir des mesures gravimétriques pour chaque sol et pour chaque
sonde. Dans une deuxième configuration les électrodes sont noyées dans un matériel connu
37
dont la teneur en eau s’équilibre avec celle du sol en place ; la mesure est alors (comme dans
les sondes de Bouyoucos) indirecte.
Généralement, ces sondes capacitives sont munies d’une procédure de correction de
température pour compenser les effets de la température sur la relation entre la teneur en eau
et la constante diélectrique.
L’avantage de cette méthode par rapport aux sondes TDR est d’avoir une électronique
moins coûteuse. En revanche, il existe un grand nombre de facteurs autres que la teneur en
eau influençant la mesure. Parmi ceux-ci, on peut retenir :
- la texture (Paquet 1965 ; Tran et al. 1970 ; Tran et al. 1972 ; Manière et al. 1974 ;
Kuraz 1981 ; Bell et al. 1987 ; Campbell 1990),
- la structure (Tran et al. 1970 ; Tran et al. 1972 ; Manière et al. 1974 ; Kuraz 1981),
- la température (Kuraz 1981 ; Campbell 1990),
- la salinité (Tran et al. 1970 ; Kuraz 1981),
- les capteurs doivent être mis en place très soigneusement afin d’assurer le bon contact
avec le sol (Dean et al. 1987 ; Robinson and Dean 1993).
Ces principales limitations ont été abordées par Gaudu et al (1993), ils ont conclu que
pour une texture donnée, les effets liés à la température peuvent être pris en compte par la
conception même du capteur en prévoyant un dispositif de correction thermique. Pour ce qui
concerne les effets liés à la salinité, le capteur fonctionne sans perturbation, jusqu’à des
valeurs de conductance électrique de l’ordre de 2 à 3 siemens. Dans le cas des effets liés à la
structure, les risques de mauvais contact apparaissent réels. Cela interdit l’utilisation de
relations d’étalonnage universelles, un étalonnage in situ s’impose alors.
Une autre limitation de cette technique de mesure est la faiblesse de sa sphère
d’influence (quelques centimètres), ce qui a comme conséquence supplémentaire, des mesures
particulièrement sensibles aux discontinuités locales et le fait que les sondes de profondeur ne
peuvent pas être déplacées, ce qui limite le nombre de mesures possibles.
I.C.1.c) Spectroscopie d’impédance ou spectroscopie diélectrique (TDS)
La mesure diélectrique de la teneur en eau par sondes capacitives ou TDR est
confrontée au problème de la dispersion (variation de la permittivité avec la fréquence) qui
38
peut apparaître dans les sols. Cela ce traduit par des écarts entre mesures opérées à des
fréquences différentes et, donc, par une perte de généralité des relations d’étalonnage. Pour
éviter cela, il était donc crucial d’avoir une bonne connaissance du comportement diélectrique
(partie réelle et imaginaire de la permittivité) sur toute la gamme de fréquence d’intérêt. Cette
caractérisation peut être appelée « spectrométrie diélectrique ». En fait, en physique, on
désigne par spectroscopie diélectrique l’ensemble des techniques de mesures des propriétés
diélectriques d’un milieu en fonction de la fréquence. Dans certain cas, on parle également de
spectroscopie d’impédance.
Ce type de mesure peut être effectué directement dans le domaine fréquentiel, à l’aide
d’un analyseur (scalaire ou vectoriel), ou indirectement, par le traitement fréquentiel des
signaux TDR. La méthode TDR a l’avantage de fournir une mesure rapide mais reste limitée
par rapport à la méthode TDS (Time-Domain Spectroscopy) en largeur de bande et dans la
qualité du rapport signal sur bruit.
L’application de la TDS sur les milieux poreux (Heimovaara 1994 ; Heimovaara et al.
1994 ; Heimovaara et al. 1996), elle fournit la permittivité relative complexe :
' ''iε ε ε= − et ' ''
0
( ) ( ) ( )k k ikεω ω ωε
= = − (I.72)
L’objectif de la spectrométrie diélectrique (TDS) à partir de mesure TDR, est de
connaitre l’évolution de la permittivité d’un milieu en fonction de la fréquence.
I.C.1.d) Géoradar (GPR : Ground Penetrating Radar)
A une fréquence telle que ω ε σ>> , l’essentiel de la transmission de l’énergie
s’effectue selon un mode de propagation, par courant de déplacement. C’est le domaine (haute
fréquence) d’application du radar géologique encore appelé géoradar ou GPR (Ground
Penetrating Radar). C’est un outil de prospection géophysique rapide et non destructive,
fondée sur l’analyse de la propagation et de la réflexion des ondes électromagnétique hautes
fréquence pour l’exploration des couches superficielles. Une antenne émettrice envoie dans le
sol des impulsions (signaux temporels d’une période de l’ordre de quelque dizaine de
nanosecondes) électromagnétiques à hautes fréquences dans la gamme [10 MHz – 2 GHz].
L’intensité des impulsions mesurées dépend à la fois des caractéristiques de l’antenne utilisée
et du pouvoir de rétrodiffusion de la cible rencontrée. Ces impulsions se propagent dans le
sous sol sous forme d’un front d’ondes. Quand ces ondes rencontrent des interfaces à
39
contraste de permittivité diélectrique, une partie de leur énergie est réfléchie, tandis que
l’autre pénètre plus profondément. Ces ondes réfléchies sont captées en surface par l’antenne
de réception. Le radar géologique mesure donc le temps de parcours et l’amplitude (Bano et
al. 2009) d’une onde entre l’émetteur et le réflecteur, mais ici aussi, la permittivité
diélectrique doit le plus souvent être considérée comme une grandeur complexe
(section I.A.2.b).
Avec un radar sol on peut ainsi déterminer selon le même principe qu’avec une sonde
TDR la permittivité diélectrique relative, mais on obtient aussi son évolution en fonction de la
profondeur en observant les réflexions successives. En utilisant la relation de Topp et al
(1980), liant expérimentalement la teneur en eau θ et la permittivité diélectrique relative du
milieu on obtient la variation de la teneur en eau avec la profondeur.
Il est donc possible d’estimer la teneur en eau à partir des données du radar (Greaves et
al. 1996), la principale limitation étant la profondeur d’investigation limitée par la présence
d’argile (un milieu conducteur atténue rapidement l’énergie, la profondeur d’investigation
étant alors réduite). Un milieu de permittivité élevée a souvent aussi des pertes diélectriques
qui limitent la pénétration des ondes radar.
I.C.2) Méthodes basées sur la résonance magnétique des protons (RMP)
Cette méthode fait ici l’objet d’un simple rappel car l’application à la zone non saturée
ne fait l’objet de recherche que depuis peu. La méthode de sondage par Résonance
Magnétique des Protons permet aujourd’hui la détection de l’eau à partir des mesures en
surface. Contrairement aux autres méthodes géophysiques, cette méthode est directe car il n’y
a pratiquement pas d’autres noyaux atomiques sensibles à la mesure que les noyaux
d’hydrogène des molécules d’eau.
Son principe repose sur le fait que ces protons placés dans un champ magnétique 0B (le
champ magnétique terrestre ou un champ magnétique, artificiel), possèdent des moments
magnétiques qui, à l’équilibre, sont alignés dans la direction de champ principal 0B .
L’émission d’un champ magnétique orthogonal au champ permanent, à la fréquence de
Larmor (Slichter 1990), modifie cet état en provoquant une précession des moments
magnétiques autour du champ magnétique initial. La coupure brusque de ce champ est suivie
en quelques dizaines de millisecondes d’un retour progressif à la position d’équilibre initiale
des protons. Le signal électromagnétique émis au cours de cette relaxation constitue la
40
réponse RMP. Celle-ci est faible, elle correspond pour des mesures à partir de la surface à une
tension induite mesurable, de l’ordre de quelques nanovolts (nV) dans la boucle de réception.
Son amplitude est directement proportionnelle au nombre de protons entrés en résonance, et
donc à la quantité d’eau présente dans le sous-sol (Lubczynski and Roy 2003 ; Lubczynski
and Roy 2004).
On peut classifier en trois groupes les appareils basés sur le principe RMP, en fonction
de leur volume d’investigation et de l’intensité de champ magnétique statique utilisé
(Fig 1.12).
V~mm3, large field
V~dm3, medium field
V~m3, small field
Volume
Brucker, Varian
Schlumberger, NUMAR
Hydroscope, NUMIS
Figure 1. 12 - Classification des appareils RMP (Legchenko 2001)
Les appareils du premier groupe sont utilisés principalement en chimie et en médecine
pour l’analyse de petits échantillons. On peut utiliser un champ statique créé par un aimant
très fort.
Dans le deuxième groupe, on trouve les appareils utilisés en diagraphie, principalement
dans l’industrie pétrolière, la zone d’investigation est limitée à quelques dizaines de
centimètre. On utilise aussi un champ artificiel créé par un aimant.
Dans le troisième groupe les appareils (type NUMIS d’Iris Instruments) permettent la
détection des nappes d’eau jusqu’à environ 80-100 m de profondeur. Pour mesurer la réponse
RMP, on utilise le champ magnétique terrestre (mille fois plus petit que le champ utilisé dans
les deux autres groupes). L’équipement NUMIS se compose d’un générateur de courant
alternatif, une unité réceptrice, un détecteur de signal RMP, une antenne et un
microprocesseur (Fig 1.13).
41
Récepteurdétecteur
Fréquence de Larmor
générateur
CommutateurMicroprocesseur
PCAntenne
Récepteurdétecteur
Fréquence de Larmor
générateur
CommutateurMicroprocesseur
PCAntenne
Figure 1. 13 - Schéma fonctionnel du dispositif instrumental NUMIS (Boucher 2007)
Différents facteurs peuvent influencer l’amplitude des signaux RMP tels que par
exemple, l’amplitude et l’inclinaison du champ géomagnétique, la conductivité électrique des
terrains, la taille et la géométrie de l’antenne utilisée (Legchenko et al. 1997). Le temps mort
entre la fin d’injection et le début d’enregistrement (~40 ms pour l’appareil NUMIS) ne peut
être utilisé pour la mesure et l’information obtenue à partir de 40 ms n’est pas suffisante pour
extrapoler correctement le signal afin d’avoir la vraie amplitude à l’origine. En fait, les temps
de relaxation les plus courts correspondent à l’eau proche de la surface des grains solides
(l’eau liée), en conséquence la méthode RMP est capable de détecter uniquement l’eau libre
(approximation de la porosité cinématique). L’eau contenue dans les argiles par exemple n’est
pas mesurée. Le temps de relaxation ne dépend pas seulement de la distance entre la molécule
d’eau et la paroi solide, mais aussi des hétérogénéités du champ magnétique statique qui sont
liées aux propriétés magnétiques du milieu. De plus les mesures RMP sont très sensibles au
bruit électromagnétique (activité magnétique dans l’ionosphère, ligne haute tension, antenne
radio, pompe hydraulique…). Boucher (2007) a utilisé une procédure de « stacking » et des
filtres pour atténuer ces effets, et on trouve dans la littérature des géométries d’antenne ayant
une forme en huit afin d’avoir un meilleur rapport signal/bruit (Trushkin et al. 1994).
I.C.3) Méthode neutronique (sonde à neutron)
La méthode neutronique (Gardner and Kirkham 1952 ; van Bavel et al. 1956) indique
aussi la quantité d’atome d’hydrogène et donc d’eau par unité de volume de sol. Le volume de
sol mesuré par cette méthode a la forme d’un ellipsoïde de 15 à 40 cm de rayon, selon la
teneur en eau du sol, sa densité apparente et l’activité de la source émettrice.
Cette méthode est basée sur le principe du ralentissement des neutrons émis dans le sol
par une source de neutrons rapides (Greacen et al. 1981). La perte d’énergie est beaucoup plus
importante lors de collisions avec des atomes d’hydrogène et est proportionnelle au nombre
de ces atomes dans le sol. L’effet produit par ces collisions est de transformer un neutron
42
rapide en neutron lent. La mesure se fait à partir d’un tube en alliage d’aluminium enfoncé
verticalement dans le sol (Fig 1.14) où il est laissé en permanence : un bon contact entre la
terre et le tube est une condition essentielle à la précision de la mesure.
Figure 1. 14 - Sonde neutronique
La source de neutrons rapides (radium béryllium ou américium-béryllium) est amenée à
la profondeur désirée accompagnée du détecteur de neutrons lents. Les neutrons rapides
entrent en collision avec l’hydrogène, l’élément principal de faible poids atomique contenu
dans le sol. Lors des chocs inélastiques les neutrons perdront leur énergie cinétique, les
neutrons ralentis se dispersent au hasard formant un nuage autour de la source d’émission.
Une certaine proportion d’entre eux retourne vers la sonde où se trouve le détecteur de
neutrons lents.
La cellule du détecteur est remplie de gaz 10BF3. Quand un neutron thermique
rencontre un neutron et est absorbé, une particule alpha (le noyau d’hélium) est émise ce qui
crée une impulsion électrique transmise par un câble à un système électronique de comptage
où on enregistre un nombre d’impulsion N pendant un certain intervalle de temps soit un taux
de comptage. Pour s’affranchir des problèmes de dérive électronique dans le temps, à la fin de
chaque série de mesures, on effectue un comptage standard 0N dans un milieu référence très
absorbant (eau, paraffine…). En première approximation, le taux de comptage est donc
proportionnel à la densité volumique de ces atomes et il existe une relation linéaire entre le
taux de comptage et la teneur en eau volumique. Néanmoins, en raison de l’influence de la
phase solide (nature des minéraux en présence), de la densité du sol et de la matière
organique, la conversion des comptages réduits 0/ N N en teneur en eau nécessite
l’établissement d’une courbe d’étalonnage.
43
I.D) Mesure d’autres paramètres hydrauliques
I.D.1) Tensiomètre
La tension de l’eau dans le sol caractérise les forces de capillarité et indique le potentiel
hydrique du sol. Elle se mesure à l’aide d’un tensiomètre.
Un tensiomètre est formé d’une bougie poreuse (généralement en céramique) reliée par
un tube en PVC (Poly-Vinyl Chlorure) à un nanomètre, le tout étant rempli d’eau dégazée et
enfoncé dans le sol à la profondeur désirée dans des trous préalablement aménagées (Fig
1.15). L’extrémité du tube PVC dépassant le sol est bouchée à l’aide d’une membrane
autocicatrisante et imperméable à l’air. Il est ensuite possible de retirer l’air piégé dans le
système au moyen d’une pompe à vide.
Figure 1. 15 - Tensiomètre
L’eau est drainée hors de la cellule si le sol s’assèche et engendre une tension plus
grande ; l’eau reflue dans la cellule si le sol se réhumecte et fait baisser la tension. Ces
variations de pression ou de tension sont indiquées sur l’appareil de mesure.
Le tensiomètre fournit des données sur le potentiel hydrique du sol (composante de
pression), si on veut déterminer l’humidité, une courbe d’étalonnage est nécessaire. La courbe
d’étalonnage peut être en partie la courbe caractéristique de rétention mais il est recommandé
de l’établir à partir des données obtenues sur le terrain par la méthode de prélèvements
d’échantillons (méthode gravimétrique) et les valeurs indiquées par le tensiomètre (OMM
1994).
La lecture du tensiomètre indique la pression dans la bougie poreuse moins la différence
de pression causée par la colonne d’eau entre la bougie poreuse et le capteur de pression
44
(manomètre). La pression d’eau dans les pores du sol au niveau de la bougie est égale à la
lecture du capteur de pression plus la pression de la colonne d’eau entre le capteur de pression
et la bougie (Fig 1.15). Le potentiel hydrique du sol au niveau de la bougie se calcule à l’aide
de la formule suivante :
P X wP P g aρ= + (I.73)
où
PP est la pression d’eau dans les pores, en Pa, au niveau de la bougie ;
XP est la pression, en Pa, de l’eau dans le capteur de pression en équilibre avec la
bougie, relative à la pression atmosphérique ;
wρ est la masse volumique de l’eau, environ 1000 kg m-3 ;
a est la distance verticale, en mètres, entre le capteur de pression et la bougie ;
g est l’accélération due à la pesanteur, environ 9,81 m s-2.
Les données de teneur en eau obtenues par tensiomètre sont seulement approximatives
en raison de l’hystérésis entre les branches d’humectation et de desséchement de la courbe
caractéristique de rétention de l’eau du sol. Le domaine d’utilisation des tensiomètres est
réduit à la zone de 0 à 0,8 bar (0 à 8 m de charge hydraulique négative). En effet au delà d’une
charge de pression de l’ordre de 0,8 bar (l’ordre de grandeur de la capacité de rétention), les
pores de la bougie poreuse se désaturent, permettant à l’air de s’introduire dans le corps du
tensiomètre. La méthode ne convient donc qu’en zone humide (OMM 1994).
De plus, le temps de réponse des tensiomètres peut provoquer des mesures erronées si le
potentiel hydrique du sol varie rapidement. Dans ce cas, l’équilibre entre l’eau du tensiomètre
et l’eau du sol ne peut être atteint. En assurant un bon contact entre le sol et la bougie, ce
temps de réponse dépend :
- du type de capteur de pression, qui détermine le volume d’eau déplacée pour un
changement donné du potentiel du sol ;
- de la capacité du tensiomètre lui-même ;
- de la surface de contact de la bougie ;
45
- de la conductivité hydraulique du matériau poreux de la bougie.
Klute (1986) a montré que des bougies en plastique semi-perméable réagissent
beaucoup plus vite que les bougies en céramique.
Les tensiomètres sont sensibles aux variations de température qui provoquent une
dilatation ou une rétractation thermique des différentes composantes du système et influencent
les lectures des tensions (OMM 1994). La question de gel de la colonne d’eau a été résolue
(Weng 2000) en utilisant du glycol (de densité 0,96) au lieu de l’eau, mais les tensiomètres
doivent être purgés régulièrement pour enlever l’air qui s’accumule dans le dispositif.
L’intérêt essentiel des mesures tensiomètriques est de permettre de suivre en continu les
variations de tension dans le sol, et ce à différents niveaux, puisqu’il s’agit d’une méthode
relativement facile à utiliser et peu coûteuse. Mais il est pratiquement impossible de passer de
ces mesures à des valeurs de teneur en eau du sol, à cause des phénomènes d’hystérésis. Cette
méthode prend en fait tout son intérêt lorsqu’elle est couplée à des mesures directes de teneur
en eau du sol et qu’il est alors possible de connaître, pour un profil donné, à la fois les
variations de teneur en eau et le sens de circulation de cette eau.
I.D.2) Mesures de K(h) à l’infiltromètre à disque
L’infiltromètre à disque est un appareil dont le principe consiste à imposer à la surface
du sol un apport d’eau continu, afin de suivre la cinétique de l’infiltration de l’eau dans le sol
à partir d’un disque de diamètre connu (Fig 1.16).
Réservoir d’alimentation
Disque creux
Vase de Mariotte
Tube d’aération du réservoir d’alimentation
Tube d’aération du vase de Mariotte
h1
h2SableSol étudié
Réservoir d’alimentation
Disque creux
Vase de Mariotte
Tube d’aération du réservoir d’alimentation
Tube d’aération du vase de Mariotte
h1
h2SableSol étudié
Figure 1. 16 - Schéma de l’infiltromètre à disque (Coquet et al. 2000)
46
Pratiquement, il permet de réaliser des mesures d’infiltration successives en un point,
explorant une gamme de potentiel croissant allant de -20 cm de hauteur d’eau (-2 kPa) jusqu’à
la saturation (~0 kPa). Pour chaque potentiel considéré, nous obtenons une mesure de flux
d’eau. Ces résultats multi-potentiels (Ankeny et al. 1991 ; Reynolds and Elrick 1991)
permettent de calculer différents points de la relation K(h) dans la gamme de potentiel
explorée. Les premières méthodes de détermination des propriétés hydrodynamiques ont été
basées sur la solution montrant que le flux permanent émanant d’un disque peut s’exprimer
approximativement par l’expression (Wooding 1968) :
( ) ( )0 0
41q h K h
rπ α∞ = +
(I.74)
avec K la conductivité hydraulique (m s-1), h0 le potentiel d’infiltration (m), r le rayon du
disque et α la constante caractéristique du sol m-1.
Cette solution approximative est basée sur plusieurs hypothèses (Coquet et al. 2000 ;
Nicole 2003). Des formes plus développées de l’équation d’infiltration donnent lieu à des
expressions explicite (Philip 1957 ; Vandervaere et al. 2000).
I.D.3) Lysimètre
Le lysimètre est constitué d’une cuve cylindrique étanche sur les cotés (de 1 à 2 m) dont
le fond laisse percoler l’eau afin qu’on puisse la récolter et ainsi mesurer l’infiltration. Il peut
être placé in situ (sur le terrain) ou ex situ (en laboratoire).le lysimètre est constitué d’une
cuve cylindrique d’1,80 m de profondeur, remplie de sol remanié. Le tous pèse près de
3 tonnes (Fig 1.17).
Cuve du lysimètre
Système de drainageSortie de drain
Infrastructure béton
PrécipitationEvaporation
Mesures simultanées (tensiomètre, tube
gamma neutronique…)
Z= 0 m
Z= 1 m
Z= 2 m
Sol
Pluviomètre àauget basculeur
Figure 1. 17 - Schéma d’un lysimètre
47
Le lysimètre est muni d’équipements utiles à la détermination des propriétés
hydrauliques, de telle sorte que l’on puisse calculer à tout moment l’ETR
(l’évapotranspiration réelle), via le passage par la mesure de la pluviométrie, du drainage à la
sortie du drain (infiltration) et de la variation du stock d’eau.
Alors que les méthodes géophysiques ainsi que les tensiomètres nous renseignent sur la
teneur en eau, de manière indirecte à travers la permittivité ou d’autres propriétés, le lysimètre
et l’infiltromètre permettent une mesure directe de l’infiltration, malheureusement ces
techniques sont lourdes à appliquer. Il n’existe donc pas de mesures simples et directes des
paramètres hydrauliques, ceci justifie la continuation de la recherche dans ce domaine afin
d’améliorer encore les méthodes connues ou d’en proposer de nouvelles. Cette démarche nous
a conduits à reconsidérer les possibilités offertes par les mesures de la température.
48
49
II) Chapitre II : Transferts thermiques dans les sols, liens avec les transferts hydriques et capteurs de mesure
haute précision de la température
II.A) Transferts de chaleur dans les sols
II.A.1) Modes de transferts de chaleur
Les transferts de chaleur peuvent prendre plusieurs formes, avec ou sans déplacement
de matière. Ces transferts peuvent se faire par conduction, convection ou radiation. La
conduction ne fait intervenir aucun transfert de matière, le transport de chaleur se faisant par
diffusion de proche en proche de l’agitation des éléments du milieu. Dans le mécanisme
convectif, en revanche, la chaleur est transférée par déplacement de matière, que la matière
occupe tout l’espace ou qu’elle n’en occupe qu’une partie. Le transfert de chaleur par
radiation est limité au cas du vide (ou d’un gaz). Les échanges d’énergie thermique dans un
sol peuvent donc se faire simultanément par conduction et convection, si bien que le flux total
de chaleur sensible TJ
résulte de la somme des contributions respectives DJ
et VJ
de ces
deux phénomènes, soit :
T D VJ J J= +
(II.1)
II.A.1.a) La conduction
D’après la loi de Fourier, le flux de chaleur sensible transférée par conduction ou
diffusion thermique DJ
(W m-2) est proportionnel au gradient de température décroissant,
DJ grad Tλ= −
(II.2)
où T est la température, grad T
les variations de température suivant x, y, z les trois variables
d’espace et λ la conductivité thermique du matériau (W K-1 m-1).
II.A.1.b) La convection
Le transfert de chaleur par convection est proportionnel au contenu en énergie du fluide,
soit vC (T2-T1), si vC est la chaleur volumique du fluide (J K-1 m-3) et (T2-T1) la différence de
température entre le fluide (T2), et la température du point où il arrive (T1).
50
Dans l’hypothèse d’une percolation lente où on a un équilibre entre la température du
fluide et celle des grains solides au travers desquels il percole et où on peut donc définir une
température du milieu T. Le flux convectif a pour expression :
V vJ C T u→ →
= (W m-2) (II.3)
avec u
: vitesse de Darcy (m s-1).
II.A.2) Régimes thermiques et équations gouvernant le transfert de chaleur
L’influence de la vitesse de déplacement du fluide n’est dominante que pour des
nombre de Péclet élevés (Green 1962 ; Bia 1969). Or dans des milieux poreux, les vitesses de
filtration des fluides dépassent rarement 1 m/jour (Bia and Combarnous 1984), sauf au
voisinage des puits, ce qui correspond à des valeurs de nombre de Péclet :
( )v LPe C u d λ′= (II.4)
avec d : diamètre moyenne de pores et Lλ′ : conductivité thermique dans le sens de
l’écoulement) inférieurs à 0,1. On est dans le régime de percolation lente où l’utilisation de
l’équation : ( ) 0D v v
Tdiv J J C
t
∂+ − =∂
(II.5)
est parfaitement justifiée (Bia and Combarnous 1974 ; Bia and Combarnous 1984). De ce fait
on n’a pas recours à l’hypothèse de deux milieux continus fictifs représentant la phase solide
et l’ensemble des phases fluides, avec un coefficient de transfert entre les deux (Green 1962 ;
Bia and Combarnous 1974 ; Ginosar and Green 1994). Lors du transfert de chaleur par
convection, on suppose qu’il y a équilibre thermique (même température) entre le fluide qui
s’écoule et les minéraux avec lesquels le fluide entre en contact.
II.A.2.a) Régime stationnaire (permanent)
Le régime stationnaire permet de traiter plusieurs situations, le cas, in situ, où l’on fait
des mesures profondes en forage et le cas, en laboratoire, où l’on impose à un échantillon un
flux permanent permettant de déterminer sa conductivité thermique à partir de la loi de
Fourier. Ce deuxième cas, que l’on appelle la méthode de la barre divisée se pratique soit sur
des échantillons sec soit sur des échantillons saturés pour éviter tout effet de thermomigration
et n’a pas beaucoup d’intérêt pour la détermination des paramètres hydrauliques. En revanche,
51
en forage lorsque la conduction et la convection sont impliquées dans le transfert de chaleur,
l’équation de conservation de la chaleur (à une dimension selon la verticale z) s’écrit :
2
20c v
T TC u
z zλ ∂ ∂ − = ∂ ∂
(II.6)
Elle admet pour solution une variation en z en z
uCv
e λ , ce qui permet de déterminer la
vitesse verticale u du fluide en calant l’expression théorique à une série de mesures.
Plusieurs auteurs (Bredehoeft and Papadopoulos 1965 ; Stallman 1967; Sorey 1971 ;
Boyle and Saleem 1979) ont appliqué cette méthode, mais elles ne concerne que des
profondeurs suffisamment importantes où le régime permanent est une approximation
acceptable. Dans notre étude on s’intéresse plutôt aux variations temporelles de courte durée,
ce qui implique de travailler dans les couches superficielles et en régime transitoire.
II.A.2.b) Régimes variables
II.A.2.b.1) Régime sinusoïdal imposé en surface du sol
Le régime sinusoïdal correspond aux observations que l’on peut réaliser in situ à partir
des variations naturelles diurnes ou annuelles. Les développements effectués ici sont valables
aussi bien pour les cycles de variation thermique diurnes qu’annuels. Comme ont peut le voir
sur la figure 2.1, les variations thermiques sinusoïdales imposées en surface induisent des
variations de température dans le sol de même période et dont le déphasage et
l’amortissement croissent avec la profondeur.
12 cm15 cm18 cm
amplitudeamplitude
amplitude
déphasage
déphasage
période
12 h 24 h 36 h
4
5
6
7
8
9
Temps (heures)
Tem
péra
ture
(°C
)
Figure 2. 1 - Variations de température dans le sol à différentes profondeurs
52
Ce comportement à été décrit analytiquement (Carslaw and Jaeger 1959) à partir d’une
condition à la limite en surface du type : T(0,t)=Tmoy+T0 cosωt ; le cycle thermique à la
surface du sol (0, )T t est supposé suivre une variation sinusoïdale caractérisée par une
température moyenne moyT , par une amplitude T0 et par une fréquence angulaire ω .
L’équation de la chaleur, en absence de convection, se réduit à :
2
2
1T T
z t
∂ ∂=∂ Γ ∂
(II.7)
avec les conditions aux limites : 0(0, ) cos
( , )moy
moy
T t T T t
T t T
ω= + ∞ =
(II.8)
pour un sol homogène.
En appliquant la transformation de Fourier à l’équation et aux conditions aux limites, la
transformée ),( ωzT doit vérifier l’équation : 2
2,
T iT
z
ω∂ =∂ Γ
(II.9)
dont la solution est : (1 )
20( , )
i z
T z T eω
ω− +
Γ= (II.10)
ce qui conduit pour T à : ( )- 1
20( , )
i zi t
moyT z t T T e eω
ω +Γ= + (II.11)
La partie réelle de la solution générale de l’équation de la chaleur, à n’importe quelle
profondeur du sol z(m), aura par conséquent la forme suivante :
20( , ) cos
2
z
moyT z t T T e t zω ωω
−Γ
= + − Γ
(II.12)
Toutes les profondeurs présentent la même valeur de température moyenne, moyT .
L’amplitude des variations de la température dans le sol décroit avec la profondeur. Ce
comportement est représenté par un terme d’amortissement 2z
eω−Γ (cf. Chapitre I, la notion de
profondeur de pénétration) d’autant plus grand que z et ω sont grands et Γ petit. Le
déphasage 2z
ωϕ∆ =Γ est un décalage dans le temps d’autant plus grand que z est grand, que
la pulsation ω est élevée et Γ petit. L’amortissement et le déphasage peuvent être utilisés
53
séparément pour déterminer la valeur de Γ. En considérant deux profondeurs différentes, z1 et
z2, on a en effet si R(z1,z2) est le rapport des amplitudes des variations de température à ces
deux profondeurs et ∆φ(z1,z2) la différence de phase :
2
2 1
2 ( )
z z
Ln R
ω −Γ =
et 2
2 1
2
z zωϕ
−Γ = ∆ (II.13)
Dans un sol homogène ces deux valeurs sont égales et peuvent permettre de déterminer
la teneur en eau à partir de la diffusivité.
En ajoutant le terme de convection, l’équation de la chaleur à une dimension d’espace
s’écrit :
( ) ( ) ( )2
2
, , ,1T z t T z t T z t
z t zυ
∂ ∂ ∂= +
∂ Γ ∂ ∂ (II.14)
avec : vC
λΓ = , et eau
v
Cu
Cυ = (II.15)
Par application de la transformée de Fourier, l’équation devient :
( ) ( )2
2
, ,0
z t z ti
z z
τ τυ ω τ
∂ ∂− − =
∂ ∂ (II.16)
et a pour solutions complexes pour un sol homogène (Tabbagh et al. 1999) :
( ) ( ) ( ) ( )2
0
4
2
, , exp expz t z i t
i t
τ τ ω γ ω
υ υ ωγ
= − + =
Γ
(II.17)
Elles montrent aussi une décroissance de l’amplitude des variations avec la profondeur,
associée à une croissance du déphasage mais dans lesquels ν (terme de convection en m s-1)
intervient. Mais le calcul de la diffusivité à partir des deux formules précédentes donne des
résultats différents. Il est alors pertinent à partir d’un couple de profondeurs de définir deux
diffusivités « apparentes », ampΓ calculée à partir du rapport des amplitudes et phΓ calculée
à partir de la différence de phase et de les utiliser pour calculer les deux inconnues υ et Γ . Il
a été montré que phΓ est pratiquement indépendante de υ et fournit avec une très bonne
54
approximation la vraie valeur de la diffusivité et que υ pouvait être obtenue (Cheviron 2004)
par une formule approchée très simple : ( )2 amp ph
amp
ωυ = Γ − ΓΓ
. (II.18)
II.A.2.b.2) Régime transitoire à flux imposé
L’étude du régime transitoire est importante car il correspond à la totalité des mesures
au laboratoire ou in situ dans lesquelles est imposée une excitation artificielle, méthode que
l’on appelle ‘méthode du choc thermique’, l’excitation suivant le plus souvent une variation
en ‘step function’ ou fonction d’Heavside, H(t). Pour un apport de chaleur transitoire naturel à
la surface d’un sol (condition de Neumann), le flux de chaleur peut être décomposé en une
série de fonctions d’Heaviside selon la formule, 0
(0, ) ( )t
t H t dφφ τ ττ
∂= −∂∫ (II.19)
ce qui permet de se ramener aussi au calcul de la réponse à une excitation en H(t) dont la
transformée de Laplace a plus de chance d’être connue. On reconstitue ensuite la réponse
complète en appliquant :
τττφ
dtzTtzT H
t
),(),(0
−∂∂= ∫ (II.20)
où TH(z,t) correspond à la réponse à un flux unitaire en H(t), il s’agit d’une intégrale de
convolution temporelle.
Dans le cas d’un sol homogène où la conduction est le seul mode de transfert de la
chaleur (absence de convection), l’équation de la chaleur s’écrit : 2
2
1T T
z t
∂ ∂=∂ Γ ∂
, (II.21)
avec les conditions aux limites :
( ,0)
(0, )1
( , )
moy
moy
T z T
T t
zT t T
λ
= ∂− = ∂
∞ =
(II.22)
La transformée de Laplace ),( pzT vérifiera l’équation, 2
2
T pT
z
∂ =∂ Γ
(II.23)
puisque T(0,t)=0, dont la solution est : 32
( , )p
zT z p e
pλ
−ΓΓ= (II.24)
55
L’utilisation de la table de la transformée de Laplace inverse permet d’obtenir :
2( , )
2H
t zT z t ierfc
tλΓ = Γ
(II.25)
où ierfc est l’intégrale de la fonction erreur complémentaire :
( ) ( ) ( )211ierfc u u u erf u
π= − − − exp (II.26)
Lorsque la conduction et la convection thermique sont toutes les deux présentes,
l’équation de la chaleur s’écrit : 2
20
T T T
z z tυ∂ ∂ ∂Γ − − =
∂ ∂ ∂ (II.27)
En présence du terme de convection, le terme ( ),HT z t s’écrit (Tabbagh et al. 1999) :
22
222
2
( , )zz t
Hz
t
z eT z t e e dt
t
υυ
λ π
∞ − Γ Γ
Γ
= ∫ (II.28)
Avec cette solution, il est possible de déterminer Γ et υ en recherchant les valeurs qui
permettent, en prolongeant les variations observées à une profondeur 1z , les faire coïncider au
mieux avec celle obtenues à une profondeur 2z (Bendjoudi et al. 2005).
La figure 2.2 illustre ce que peuvent être les variations transitoires naturelles. Elle
montre la température enregistrée au cours d’un cycle journalier et son modèle sinusoïdal
théorique calé par moindres carrés.
Les mesures par choc thermique avec excitation artificielles sur de petits volumes de sol
in situ ou au laboratoire utilisent plutôt des sources linéiques ou ponctuelles. Les solutions
mathématiques font donc appel soit au système de coordonnées cylindriques soit au système
sphérique avec une seule variable d’espace le rayon. Elles sont analogues à celles obtenues
avec comme variable z .
56
4
8
12
16
20T
(°C
)valeurs mesuréesmodéle théorique
12 h 24 h
Variations transitoires
Temps (heures) Figure 2. 2 - Exemple d’écart des termes transitoires de la sinusoïde journalières
II.B) Mesure in situ haute précision de la température
Que ce soit en utilisant les variations naturelles de température ou à partir d’une chauffe
artificielle, les mesures thermiques ouvrent une large gamme de possibilités pour déterminer
la teneur en eau d’un sol, elles entrent pour ce faire en concurrence avec d’autres méthodes,
notamment électriques, et elles présentent deux points limitants : elles sont lentes (ce qui n’est
pas toujours gênant) et, pour les mesures actives, elles impliquent une consommation
énergétique relativement élevée. Elles ont aussi et c’est une caractéristique potentiellement
très intéressante et originale par rapport aux autres méthodes la capacité de mesurer la vitesse
de Darcy. Dans les deux cas, il est clair que l’on améliorerait sensiblement les possibilités
offertes par ces méthodes en augmentant la sensibilité et/ou le pas de mesure en espace et en
temps des capteurs. Ceci permettrait en effet d’exploiter des variations naturelles de faible
amplitude et de réduire l’intensité de chauffe lorsqu’on utilise des variations artificielles Dans
le cadre de ce travail, on s’est donc attaché à développer de nouveaux capteurs à haute
sensibilité.
La mesure de la température T est effectuée par des thermomètres, elle est fondée sur la
variation avec la température de différentes propriétés physiques (dilatation, modification
d’un potentiel électrique …). Nous allons discuter ci-dessous des différentes méthodes
(thermomètres) de mesure en donnant à chaque fois la grandeur thermométrique et sa
variation avec la température. Après avoir choisi la grandeur physique qui convient à notre
étude nous allons présenter, la manière dont la température sera enregistrée, et la qualité
métrologique de l’instrument de mesure choisi (capteur de température).
57
II.B.1) Capteur réparti (fibre optique)
La nouveauté la plus remarquable apparue ces dernières années pour la mesure des
températures est la mesure par fibre optique (Selker et al. 2006) qui peut être réalisée sur toute
la longueur d’une fibre (qui peut faire plusieurs kilomètres). Un laser envoie dans la fibre
optique (le long de laquelle sera mesurée la température) des impulsions de très courte durée
t0 d’une lumière monochromatique de fréquence f0. Lors de la propagation de cette impulsion,
une partie de la lumière va être diffusée par effet Raman, une partie de cette lumière diffusée
va se trouver guidée par le cœur de la fibre dans le sens opposé à l’onde incidente et permettre
la mesure (Fig 2.3).
Double échantillonneur ultra-rapide
Profil de température
FAs : filtre passe bande à λAs
x
photorécepteur
photorécepteur
Fibre optique
Impulsion laser à λ0
Lumière rétrodiffusée
F0 : filtre coupe-bande à λ0
Fs : filtre passe bande à λs
L1
L2
X
T
Double échantillonneur ultra-rapide
Profil de température
FAs : filtre passe bande à λAs
x
photorécepteur
photorécepteur
Fibre optique
Impulsion laser à λ0
Lumière rétrodiffusée
F0 : filtre coupe-bande à λ0
Fs : filtre passe bande à λs
L1
L2
X
T
Figure 2. 3 - Fibre optique
Une lame séparatrice L1 permet de récupérer la moitié de la lumière rétrodiffusée. Un
filtre coupe bande F0 bloque la raie principale correspondant à λ0 et la lame séparatrice L2
permet de dédoubler le faisceau. Le filtre passe bande FS laisse passer uniquement la raie
Stokes et le filtre FAS la raie anti-Stokes. Les deux photorécepteurs permettent de mesurer
l’intensité de chacune des deux raies. La mesure du rapport des intensités donne accès à la
température. Cette méthode de mesure ouvre des perspectives très larges pour suivre tous les
phénomènes thermiques se déployant dans l’espace. Elle permet notamment de détecter des
fuites. Cependant la sensibilité de la mesure de température reste aujourd’hui limitée à 0.1 K.
II.B.2) Capteurs ponctuels
On détermine avec eux la température en un ‘point’ c’est-à-dire en une zone de faibles
dimensions (de l’ordre du millimètre ou du centimètre) par l’intermédiaire d’un phénomène
physique accompagnant les variations de température, par exemple :
Dilatation d’un fluide : thermomètre à gaz, à mercure ou à alcool,
58
Emission d’un rayonnement : pyromètres optiques,
Thermomètres électriques,
Variation de la force électromotrice (fem) : thermocouple,
Variation d’une résistance : thermistance, thermomètre à résistance (en anglais thermistor).
Nous décrivons ci-après le fonctionnement des principaux thermomètres électriques les
seuls adaptés aux mesures considérées ici.
II.B.2.a) Thermocouples
Un thermocouple est constitué de deux fils de métaux ou alliages différents M et M’,
soudés en (a) et (b), au milieu d’un des deux fils on insère un voltmètre sensible (Fig 2.4). Par
effet Seebeck, le thermocouple génère une différence de potentiel qui dépend de la différence
de température entre les soudures.
E
MM
ba
M’
E
MM
ba
M’
glace fondante Figure 2. 4 - Principe du thermocouple
La fem du thermocouple ne dépend pas de l’endroit où est situé le millivoltmètre dans la
boucle, elle ne dépend que des températures des deux soudures. Lorsqu’on fait la mesure, une
des deux soudures sera située au point de mesure (point chaud). L’autre soudure sera à
température constante (point de référence ou point froid). Les thermocouples créent donc une
force électromotrice, l’expérience montre que la fem « E » n’est fonction que des coefficients
thermoélectriques des deux métaux et de la différence de température des deux soudures.
Les principaux inconvénients de ce type de thermomètre électrique sont : (i) la nécessité
d’une soudure de référence (point froid) et (ii) l’influence des gradients de température sur les
fils qui ne sont pas toujours homogènes (variation des coefficients avec la température).
II.B.2.b) Thermomètres à thermistance
Il existe deux types de thermistance, les CTN à coefficient de température négatif et les
CTP à coefficient de température positif. Les plus courants sont les CTN où le capteur est
59
constitué d’oxydes semi-conducteurs (le semi-conducteur peut être de type n si la conduction
est assurée par les électrons libérés par les donneurs d’électrons, ou de type p si la conduction
est assurée par les trous créés pas les accepteurs d’électrons). L’augmentation de la
température provoque la création d’électron/trou qui participe à la conduction et entraine une
diminution de la résistance électrique, R, d’où le terme CTN.
La loi de variation approchée pour une thermistance CTN est de la forme :
B
TR A e= (II.29)
B est l’indice de sensibilité thermique. A est une constante caractéristique dépendant du
matériau, de la forme et des dimensions de la thermistance.
L’évolution de la résistance d’une CTN selon une loi exponentielle fait que pour un T∆
donné, les variations de résistance sont d’autant plus fortes que la température est basse. La
sensibilité sera donc grande aux basses températures et diminuera quand T augmente. La loi
de variation de la résistance en fonction de la température n’est pas linéaire. Ils sont de très
faibles dimensions et faciles à insérer dans un système de mesure, malheureusement leur
précision est de 0,1 à 0,5 K.
II.B.2.c) Thermomètres à résistance métallique
Les thermomètres à résistance métallique (platine, nickel…) ont une résistance qui
augmente avec la température, ce sont des capteurs ‘passifs’. Malgré sa bonne linéarité, on
n’utilise pas le cuivre à cause du risque d’oxydation, on lui préfère un métal chimiquement
inaltérable. Le thermomètre utilisé est ici constitué d’un fil de platine car, outre sa corrosion
nulle, il présente de nombreux avantages : grande pureté (99.999%), un système cristallin bien
défini, et une facilité de bobinage sans contraintes mécaniques (susceptible de varier selon les
cycles de température) dans une gaine de protection. On obtient donc des propriétés
électriques très stables, d’où une excellente reproductibilité des mesures et une
interchangeabilité de la sonde en cas de besoin. C’est l’instrument légal d’interpolation entre
19 K et 937 K. Une sonde au platine reste d’un faible coût. La loi liant la température à la
résistance du platine est parfaitement connue.
Le courant qui traverse la résistance de platine (ou n’importe quels autre métal) est dû
au déplacement des électrons libres, la résistance électrique est non nulle car le réseau et les
électrons ont une agitation thermique. L’électron subit des collisions d’autant plus
60
0 T 2T 3T 4T
V moy
V (t)
t0 T 2T 3T 4T
V moy
V (t)
t
nombreuses que la température est élevée, et que l’agitation de réseau est importante. Soit τ
la durée moyenne entre deux chocs (elle dépend du type, de la structure, et des impuretés),
1/cn τ= est le nombre moyen de chocs par seconde pour un électron. Un électron soumis à
un champ électrique E, va se déplacer en sens inverse de ce champ électrique sous l’action
d’une force électrostatique eF q E= . Sa vitesse de déplacement v est :
( )e
dv tq E m
dt= soit ( )
e
q Ev t t cte
m= + (II.30)
avec em la masse effective, q la charge électrique (en coulomb) ; en admettant que le
phénomène de collision se produit systématiquement, avec comme conséquence une perte de
l’énergie cinétique (convertie en chaleur dans le réseau cristallin du métal) de l’électron, la
vitesse ( )v t de l’électron est alors donnée par le graphe suivant (Fig 2.5).
Figure 2. 5 - Vitesse de l’électron
L’électron est caractérisé par une vitesse moyenne telle que :
0
1( )
2moy moye
qv v t dt v E
m
τ ττ
= ⇒ =∫ (II.31)
On constate que la vitesse moyenne de cet électron est proportionnelle au champ
électrique. Le coefficient de proportionnalité qui est une caractéristique importante du
comportement de l’ensemble des électrons libres dans le métal représente la mobilité de
l’ensemble des électrons libres du métal.
Soit N le nombre d’électron libre par unité de volume, la densité de courant j est
proportionnelle au champ électrique 2( / 2 )j N q v Nq m E Eτ σ= = = (II.32)
où σ représente la conductivité du matériau (platine dans notre cas). On en déduit la
résistivité 22 /m Nqρ τ= (II.33)
Cette formule montre que la résistivité augmente lorsque la durée moyenne entre deux
chocs diminue, du fait de l’échauffement du métal.
61
La résistance électrique R (en Ω) d’un fil métallique de section circulaire est liée à ses
caractéristiques géométriques par la relation : l
RS
ρ= (II.34)
où : l est la longueur du fil
S est la section du fil
ρ est la résistivité, caractéristique propre à chaque métal.
La relation entre la température et la valeur ohmique des capteurs à résistance de
platine, Pt 100, a été calculée par Callendar puis, plus tard, affinée par Van Dusen, c’est
pourquoi cette équation est nommée Callendar-Van Dusen.
2 30 1 ( 100)TR R A T B T C T T = + + + − (II.35)
Pour ce corps (résistance de platine), le terme du 4ème degré n’est nécessaire que pour
les températures comprises entre -200°C et 0°C.
La convention de 1968 de l’Echelle Internationale Pratique des Températures (EIPT) a
proposé pour le thermomètre à résistance de platine les lois de variation de résistance
suivantes (Donnini and Quaranta 1997) :
3 7pour 0 850 , 3,908 10 , 5,802 10 0C T C A B et C− −° ≤ ≤ ° = = − = (II.36)
3 7 12pour 200 0 , 3,908 10 , 5,802 10 4,2 10C T C A B et C− − −− ° ≤ ≤ ° = = − = − (II.37)
Entre 0 850C T C° ≤ ≤ ° , il suffit donc de résoudre l’équation du 2ème degré :
2
02
0
4 1
1 02
T
T
RA A B
RRB T AT T
R B
− + − −
+ + − = ⇒ =
(II.38)
Entre 200 0C T C− ° ≤ ≤ ° : 2 30 1 ( 100)TR R A T B T C T T = + + + − (II.39)
Cette équation du 4ème degré ( 124,2 10C −= − ), n’a aucune solution générale. On a établi
un programme fortran afin de résoudre cette équation, en lisant TR dans un fichier d’entrée et
on récupère la température T , dans le fichier de sortie (Fig 2.6).
62
-200 -100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
T (°C)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
R (Ω
)
y = 0,3427x + 106,53R² = 0,9986
La fonction de transfert (quatrième degré) entre -200 et 0°C La fonction de transfert
(deuxième degré) entre 0 et 850°C
Figure 2. 6 - Loi de transfert de la résistance de platine Pt 100
Il existe plusieurs classes de précision des sondes à platine Pt 100 (Fig 2.7).
-200 -100 0 100 200Température en °C
0
0.4
0.8
1.2
1.6
Tol
éran
ce +
- °C
Classe B
Classe A
1/3 Classe B
1/5Classe B
1/10 Classe B
Pt 100 ohm (1/10 classe B) à 0 et à 100 °C
Figure 2. 7 - Tolérances des sondes à résistance Pt 100 suivant la norme CEI 751
Cette classe correspond au degré de précision garanti sur la valeur de la résistance. Cette
précision dépend de la norme suivant laquelle la résistance a été fabriquée. Depuis 1990, les
deux normes les plus courantes sont les normes européennes CEI 751 et ASTM 1137.
Les résistances de platine dont on dispose à l’UMR Sisyphe sont des Pt 100 de classe
1/10 B, suivant la norme CEI 751, soit :
63
0R =100 0,01 , 0,03où C± Ω ± ° (II.40)
100R =138,5 0,03 , 0,08où C± Ω ± ° (II.41)
Il existe plusieurs branchements possibles des sondes de platine : le montage deux fils,
le montage trois fils et le montage quatre fils (Fig 2.8). Étant donné que la précision doit être
maximale, notre choix s’est porté sur un montage quatre fils.
1/ montage 2 fils
Montage le plus simple, mais la précision est influencée par la résistance de ligne
3/ montage 4 fils
Montage le plus précis permettant de supprimer totalement les erreurs dues à la résistance de ligne ainsi qu’au variations de température des conducteurs.
2/ montage 3 fils
Montage le plus couramment utilisé dans l’industrie
Ce montage permet de minimiser les erreurs systématiques dues aux résistance de lignes
Rouge RougeRouge
Blanc BlancBlancBlanc
RougeRouge
1/ montage 2 fils
Montage le plus simple, mais la précision est influencée par la résistance de ligne
3/ montage 4 fils
Montage le plus précis permettant de supprimer totalement les erreurs dues à la résistance de ligne ainsi qu’au variations de température des conducteurs.
2/ montage 3 fils
Montage le plus couramment utilisé dans l’industrie
Ce montage permet de minimiser les erreurs systématiques dues aux résistance de lignes
Rouge RougeRouge
Blanc BlancBlancBlanc
RougeRouge
Figure 2. 8 - Les différents types de raccordement électrique
Pour supprimer totalement les erreurs dues à la résistance des fils ainsi que les
variations de température des conducteurs, il faut établir une mesure dite « à quatre points »,
ou bien « montage quatre fils ». Deux connections servent à amener le courant circulant dans
la résistance et deux autres servent à la mesure de la tension. Dans ces fils de mesure de la
tension, où circule un courant quasi-nul, la chute thermique est négligeable. Ainsi on
s’affranchit de la résistance des fils (la tension ne dépend pas de la résistance des fils).
II.B.3) Enregistrement de la température
Après la partie capteur de température, où la résistance du platine a été choisie comme
grandeur physique dépendante de la température, une configuration de l’électronique (Fig 2.9)
a été définie, elle permet de mesurer et d’enregistrer les variations de température. Chaque
capteur possède sa propre électronique (Fig 2.9). La duplication de la même électronique, ne
pose pas de problème, d’autres configurations (en utilisant un multiplexeur) auraient pu être
choisies, mais le fait de disposer d’un tel montage (une électronique par capteur) permet de
limiter les conséquences d’une panne, et une plus grande flexibilité quant au choix du nombre
de capteur à utiliser.
64
Capteur de température
Mise en oeuvre du
capteur (analogique)
Conversion analogique numérique
Horologe
Microcontrôleur Mémoire
Carte liaison vers PC
Capteur de température
Mise en oeuvre du
capteur (analogique)
Conversion analogique numérique
Horologe
Microcontrôleur Mémoire
Carte liaison vers PC
Figure 2. 9 - Schéma de l’électronique associée au capteur de température
II.B.3.a) Partie analogique
Le principe de la mise en œuvre d’un capteur (sonde) de température est d’injecter un
courant constant dans le capteur et de lire la tension à ses bornes. La société CORREGE qui
conçoit et vend ces platines conseille d’utiliser un courant inférieur à 1 mA pour éviter tout
échauffement de la sonde. Pour fixer ce courant, la partie analogique fait intervenir une
référence de tension et une résistance. La référence de tension choisie a une consommation en
courant de 1 mA, une tension en sortie de 1,25 V avec une précision de 0,01% et possède une
dérive en température inférieure à 5 ppm/°C. Les résistances habituelles ont une dérive en
température d’environ 100 ppm/°C. Pour avoir un courant de 1 mA, on a utilisé une résistance
de 1250 Ω (une résistance de 1000 Ω et une résistance de 250 Ω ont été mises en série).
Pour un écart de température de 30°C entre l’électronique et la sonde, et pour une dérive
de température de 5 ppm/°C, on a une différence de courant de 2,991 µA et un écart de
température de 0,03896°C.
II.B.3.b) Le convertisseur analogique numérique
Le convertisseur analogique numérique est un circuit dont la fonction est de générer à
partir d’une valeur analogique, une valeur numérique codée sur plusieurs bits. Pour une plage
de température de 70 K qui peut s’étendre entre -20°C à 50°C, et pour disposer du millième
de degré, il faut que le convertisseur puisse coder au moins 70000 valeurs et soit donc capable
de convertir sur au moins 17 bits. Un convertisseur 20 bits qui consomme 200 µA à été choisi.
II.B.3.c) Le microcontrôleur
Le microcontrôleur permet d’une part de définir le moment de la mesure, de réaliser la
mesure et de la stocker dans la mémoire, d’autre part de transmettre les mesures selon un
protocole défini.
En pratique, toutes les 10 ou 30 minutes (à choisir, via un terminal), le microcontrôleur :
65
lit le convertisseur analogique numérique
stocke la valeur relevée dans une mémoire EEPROM avec l’heure à laquelle la mesure a été faite.
Sachant qu’à tout moment il est possible de récupérer les données stockées dans la
mémoire EEPROM via une liaison avec un micro-ordinateur.
NB : Le phénomène d’auto-échauffement est un phénomène général à tous les capteurs
de température résistif (résistance de platine, thermistance). Pour mesurer une résistance,
l’ohmmètre envoie un courant dans le composant et mesure la d.d.p. à ses bornes. Il en déduit
R par le rapport /V I∆ . L’inconvénient de ce procédé est qu’il dissipe sous forme de chaleur,
une puissance électrique valant R I2 qui peut fausser la mesure de la température : on doit
s’attendre à voir la résistance augmenter et ce d’autant plus que le courant de mesure est fort
et que le milieu dans lequel la résistance se trouve évacue mal la chaleur. Il est cependant
délicat de mettre en évidence cet effet dans la pratique car le courant de mesure des
multimètres est faible (1 mA pour mesurer 100 Ω). La puissance dissipée est donc très faible
(de l’ordre de 0,1 mW). Pour pouvoir observer l’auto-échauffement, il faut une sonde en
équilibre thermique depuis suffisamment longtemps dans un milieu de température très stable.
Ces conditions sont très difficiles à réaliser. Il faut cependant savoir que cet effet existe et
qu’il peut être source d’erreurs.
II.B.4) Caractéristiques globales de l’instrument de mesure
Six capteurs différents ont été réalisés pour chacun desquels il est impératif d’évaluer
les erreurs de mesure. D’une manière générale les principales composantes de l’erreur
peuvent faire intervenir (Fig 2.10) :
L’erreur grossière (facile à éliminer) comme un mauvais étalonnage ou erreur
de lecture ou de transcription.
L’erreur systématique due au manque de justesse de l’instrument (justesse
imparfaite d’étalonnage) : elle contribue à toujours surévaluer ou sous-évaluer la valeur
mesurée. Elle se traduit par un défaut d’exactitude. Quantitativement c’est l’écart entre
la moyenne qui résulterait des mesures dans des conditions de répétabilité et la valeur
vraie.
L’erreur aléatoire inévitable, tantôt en plus, tantôt en moins due au manque de
répétabilité de l’instrument. Elle se traduit par un défaut de précision et parfois par un
66
défaut d’exactitude. Quantitativement c’est l’écart entre le résultat des mesures dans des
conditions de répétabilité et la valeur vraie.
erreurs systématique
Biais
(Justesse)
erreurs de mesure
(exactitude)
erreur aléatoire
infidélité(fidélité)
Yy ma
Valeur vraie Résultat d’un mesurage
erreurs systématique
Biais
(Justesse)
erreurs de mesure
(exactitude)
erreur aléatoire
infidélité(fidélité)
Yy ma
Valeur vraie Résultat d’un mesurage
Figure 2. 10 - Quantifications des erreurs
Nous allons passer en revue les indications de qualité de notre appareil de mesure
(capteur de température).
II.B.4.a) Etendue de mesure (dynamique)
Elle correspond à la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la
gamme de mesure. Pour notre capteur de température elle est de 70°K en couvrant une plage
de température allant de -20°C à 50°C.
II.B.4.b) Justesse (offset)
La justesse d’un instrument, exprime l’étroitesse de l’accord entre la valeur moyenne
trouvée à partir d’une large série de résultats et la valeur qui est reconnue comme valeur de
référence. C’est l’aptitude à donner des indications exemptes d’erreur systématique. Elle est
quelquefois appelée abusivement exactitude.
Un instrument est ″juste″ s’il y a obtention de résultats dont l’espérance mathématique
est égale à la vraie grandeur à mesurer (cf. valeur d’un étalon par exemple). Ceci entraine
qu’il n’y a pas d’erreur systématique et que l’erreur aléatoire est nulle en moyenne.
L’électronique de mesure a été testée en préalable à l’installation des capteurs sur site
afin d’évaluer cette justesse lorsque l’électronique subit un évènement thermique brutal. Pour
chacun des capteurs nous avons remplacé les Pt 100 par une résistance de 100 Ω à 0,01% prés
67
(qui a une petite dérive en température inférieur à 5 ppm/°C), en faisant varier la température
brutalement entre 0°C et la température ambiante 25°C. La mesure de l’erreur de justesse J
(Tableau 2.1) correspond à la différence entre la moyenne expérimentale X des résultats
(moyenne des résistances mesurées pour chaque capteur) et la valeur vraie X (100 Ω dans
notre cas, qui correspond à 0°C) :
J X X= − avec 1
1 i n
ii
X Xn
=
=
= ∑ (II.42)
Tableau 2. 1 - Erreur de justesse de l’électronique des différents capteurs de température
Elle passe par l’application de corrections des erreurs systématiques, notamment grâce
aux opérations d’étalonnage. La figure 2.11 représente la résistance mesurée pour chaque
capteur.
Tem
péra
ture
(°C
)
Figure 2. 11 - Résistances mesurées pour chaque capteur, par une résistance à réponse
constante à 100 Ω
Capteur N : Résistance mesurée (Ω) Erreur de justesse
(résistance en Ω) Erreur de justesse
(température en °C)
1 99,989 0,0111 0,0284 2 99,997 0,0030 0,0077 3 99,996 0,0040 0,0102 4 99,991 0,0090 0,0230 5 100,003 -0,0030 -0,0077 6 100,004 -0,0043 -0,0109
68
Un étalonnage croisé de tous les capteurs entre eux à été effectué, afin de pouvoir
comparer ensuite leur résultats et de les corriger si nécessaire. Le capteur 1 a été choisi
arbitrairement comme référence. On les a tous placés dans un bain Marie avec agitation et les
6 mesures de températures ont été enregistrées pendant plusieurs heures (Fig 2.12).
Figure 2. 12 - Etalonnage des capteurs de température dans un bain d’eau entre 0 et 20°C
Les enregistrements des six capteurs de température, pour un cycle de variation
journalière, avant étalonnage se représentent comme suit (Fig 2.13).
10:40
12:40
14:40
16:40
18:40
20:40
22:40 0:4
02:4
04:4
06:4
08:4
010
:40
Temps (heures)
15
16
17
18
19
20
21
Tem
péra
ture
(°C
)
Cp1
Cp2
Cp3
Cp4
Cp5
Cp6
Figure 2. 13 - Enregistrements de températures brutes des capteurs dans un bain Marie
69
Pour apprécier la justesse globale de chacun des capteurs et définir la correction à
apporter à chacun pour qu’ils aient la même justesse, nous avons choisi comme référent le
capteur 1, et avons utilisé une régression polynomiale (régression cubique) pour définir les
coefficients par la méthode des moindres carrées. Soit ,i jT la température du capteur j à la ième
mesure, on minimise : ( ) ( )2
3 2 11 4 3 2 1
1
N
i i j i j i j i ji
S T T C T C T C T C=
= − − + + + ∑ , , , , , (II.43)
Les coefficients obtenus sont présentés dans le tableau 2.2.
Tableau 2. 2 - Etalonnage par comparaison au capteur 1
Apres avoir appliquée la correction (étalonnage) à chacun des capteurs par rapport au
capteur 1, les enregistrements de température étalonnés se représentent comme suit (Fig 2.14).
10:40
12:40
14:40
16:40
18:40
20:39
22:40 0:4
02:3
94:3
96:3
98:3
910
:40
Temps (heures)
15
16
17
18
19
20
21
Tem
péra
ture
(°C
)
Cp1
Cp2
Cp3
Cp4
Cp5
Cp6
Figure 2. 14 - Température étalonnée par rapport aux enregistrements de température du
capteur 1
Capteur N : C1 C2 C3 C4 S avant
étalonnage S aprés
étalonnage 2 1,41E-02 -1,41E-02 8,71E-04 -1,72E-05 0,0035 0,000012 3 -3,72E-02 2,12E-02 -1,47E-03 3,93E-05 0,0099 0,000045 4 -3,03E-01 1,23E-01 -8,76E-03 2,15E-04 0,1079 0,000589 5 -6,10E-02 3,60E-02 -2,40E-03 6,47E-05 0,0352 0,00011 6 -2,67E-03 -1,10E-02 8,28E-04 -1,65E-05 0,0009 0,000012
70
II.B.4.c) Fidélité
La fidélité est l’étroitesse de l’accord entre des résultats indépendants obtenus sous des
conditions stipulées (même observateur, même mode opératoire, même lieu, répétition durant
une période de temps constante).
Pour éviter une confusion éventuelle avec la notion de justesse, nous devrons définir
précisément la fidélité (terme à utiliser plutôt que celui précision). La fidélité caractérise la
dispersion des mesures iX , elle s’exprimera par la variance (ou l’écart-type) expérimentale
d’une série de mesures d’un même échantillon (Tab 2.3), quelque fois par le coefficient de
variation.
L’écart-type expérimental des résultats est donné par :
2
1
1( )
1
n
ii
X Xn
σ=
= −− ∑ (II.44)
La caractéristique d’une absence de fidélité sera l’étalement de la distribution des
erreurs aléatoires. La fidélité n’a aucune relation avec la valeur vraie ou la valeur spécifiée.
Capteur N : Ecart-type (Ω) Ecart-type (°C)
1 0,00090 0,00230
2 0,00059 0,00152
3 0,00076 0,00196
4 0,00076 0,00196
5 0,00059 0,00152
6 0,00050 0,00128
Tableau 2. 3 - Ecart-type et coefficient de variation de chaque capteur
Nous avons remplacé les Pt 100 par une résistance de 100 Ω pour tester l’électronique
de chacun des capteurs. L’étendue de la dispersion, pour un échantillon de 18 points de
mesures pour chaque capteur, dans laquelle se trouve X % des enregistrements est (Tab 2.4) :
Capteur N : Cp1 Cp2 Cp3 Cp4 Cp5 Cp6
X- , X+σ σ 66,77 66,77 66,77 44,44 66,67 61,11
X-2 , X+2σ σ 100,00 100,00 94,44 100,00 100,00 100,00
X-3 , X+3σ σ 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
Tableau 2. 4 - Intervalle de confiance de chaque capteur
71
II.B.4.d) Sensibilité
Soit T la grandeur à mesurer et R le signal fourni par l’appareil de mesure. A toutes
valeurs de T , appartenant à l’étendue de mesure, correspond une valeur de ( )R f T= .
La sensibilité autour d’une valeur de T est S : dR
SdT
= (II.45)
Si la fonction est linéaire, la sensibilité de l’appareil est constante : R
ST
∆=∆
(II.46)
Pour une sonde Pt 100, le modèle linéaire [ ]0 1TR R Tα= + (II.47)
donne une sensibilité théorique égale à 0,385 Ω K-1. Utiliser un modèle d’ordre 3 (voir section
II.B.3) nous a permis de confirmer que tous nos capteurs (y compris leurs électroniques)
possèdent une sensibilité égale à 0,3908 Ω K-1.
II.B.4.e) Résolution
C’est la plus petite variation de la grandeur R que l’appareil est capable de détecter.
Lorsque l’appareil de mesure est un appareil numérique, on définit la résolution par la formule
suivante :
( )Etendue de mesure
Résolution LSB Least Significant BitNombre de points de mesure
= = (II.48)
Comme on peut remarquer (Fig 2.15), la plus petite variation détectée par le capteur a
une étendue de 0,625 millièmes de K pour une variation de 0,000245 Ω, ce qui équivaut à une
résolution de 0,625/2=0,312 millièmes de K.
On peut vérifier cette résolution à partir des caractéristiques électroniques des capteurs.
En effet pour atteindre le millième de degré, il faut que le convertisseur soit capable de
convertir sur au moins 17 bits. Celui que l’on possède est un convertisseur « LTC2431 »
20 bits, sa tension de référence est de 0,125 V, on aura alors :
720
0,1251,19210
2 1
VV LSB V−∆ = = =
− (II.49)
72
15.89 15.91 15.93 15.95Température (°C)
106.210
106.212
106.214
106.216
106.218
106.220
106.222
106.224
106.226
106.228
106.230
106.232
Rés
ista
nce
(Ω)
la plus petite variation enregistrée est de 0,625 10-3 K
15.9165 15.9170 15.9175Température (°C)
106.2207
106.2208
106.2209
106.2210
Rés
ista
nce
(Ω)
Figure 2. 15 - La plus petite variation de la grandeur mesurée
Comme 1 K correspond à une variation de résistance de 0,385 Ω (100°C correspond à
38,5 Ω). Et comme le courant d’injection est de 10-3 A, on a :
43,8510V R I V−′∆ = = (II.50)
Le millième de degrés correspond donc à : 73,8510V V−′∆ =
1,1920,309
3,85
V
V
∆ = =′∆
(II.51)
On a alors une résolution théorique de 0,309 millièmes de degrés, très proche de la
résolution obtenue en pratique.
Tandis que la résolution correspond à l’affichage de la plus petite variation possible du
résultat de la mesure, la sensibilité est liée à la plus petite variation sur l’entrée (stimulus) qui
puisse causer un changement visible dans l’indication de la mesure.
Nous allons discuter dans la section suivante d’un autres genre de mesures de
températures qu’on peu effectuer. Il s’agit des mesures dites actives basées sur la mesure
d’une excitation artificielle, bien que dans ce travail de thèse, nous avons utilisé le
thermomètre à résistance de platine (Pt 100) qui est la référence internationale, pour toutes
nos mesures (passives) de la température.
73
II.C) Systèmes de mesure avec excitation artificielle utilisés pour mesurer la teneur en eau et la vitesse d’écoulement
II.C.1) Sondes à choc thermique mesurant λ et/ou Cv
La conductivité thermique et la chaleur volumique y étant sensible, leur mesure a été
considérée comme l’un des outils de mesure de la teneur en eau à partir du moment où cette
mesure était suffisamment facile à réaliser in-situ. Les sondes à choc thermique conçues à
l’origine pour la mesure de la conductivité des liquides (Hooper and Lepper 1950)
comprennent un élément chauffant avec lequel on produit un apport de chaleur en créneau (le
choc) et au moins un point de mesure de l’évolution de la température qui en résulte soit au
voisinage immédiat de l’élément chauffant soit à quelque distance dans le milieu. Les
premières études (de Vries 1952 ; Blackwell 1953 ; Blackwell 1954) ont porté sur des sondes
de forme cylindrique où la conductivité est déterminée par le comportement asymptotique
(temps longs), avant que d’autres solutions soient proposées pour déterminer les deux
propriétés (Tabbagh and Jolivet 1974) ou la chaleur volumique (Campbell et al. 1991). Leur
défaut par rapport aux autres méthodes comme les sondes TDR est le temps de mesure,
habituellement de quelques minutes, mais la chaleur volumique présente, elle, le grand
avantage d’être reliée à la teneur en eau par relation linéaire directe. Au final elles sont plus
simples et moins onéreuses (pour l’électronique surtout) que les TDR. Plusieurs fabricants
proposent actuellement des sondes qui, mesurant à la fois la permittivité et la chaleur
volumique, délivrent des mesures d’une grande fiabilité.
II.C.2) Mesures de la vitesse d’écoulement
Alors que les mesures directes de l’écoulement de l’eau sont très difficiles quand celui-
ci est lent, les mesures thermiques s’y prêtent bien puisque même aux vitesses très lentes le
transfert par convection reste d’un effet non négligeable devant le transfert par conduction. Si
les mesures thermiques de la vitesse de percolation dans un aquifère sont restées en nombre
très limité (Benderitter et al. 1980), elles ont en revanche donné lieu à d’importants
développements techniques pour la mesure des déplacements verticaux lents en forage. De
telles mesures sont très importantes pour caractériser le comportement des nappes in situ et
surtout indispensables pour restituer de façon fiable le flux géothermique. Tel est le cas de la
sonde développée par l’USGS où un réseau de fils, centré verticalement entre deux
thermistors très sensibles émet régulièrement des impulsions thermiques (Paillet 1987).
74
75
parcelle d’installation des capteurs de température
Bassin versant de l’OrgevalCoulommiersCoulommiersCoulommiers
Base hydrologique de Boissy-le-châtel
Bassin versant de l’Orgeval
réseau hydrographique
limites de bassins versants bois et forets
stations limnimétriques
pluviographes
5 Km
réseau hydrographiquelimites de bassins versants
bois et forets
stations limnimétriques
pluviographes
5 Km
Bassin versant de l’OrgevalCoulommiersCoulommiersCoulommiers
Base hydrologique de Boissy-le-châtel
Bassin versant de l’Orgeval
réseau hydrographique
limites de bassins versants bois et forets
stations limnimétriques
pluviographes
5 Km
réseau hydrographiquelimites de bassins versants
bois et forets
stations limnimétriques
pluviographes
5 Km
Bassin versant de l’OrgevalCoulommiersCoulommiersCoulommiers
Base hydrologique de Boissy-le-châtel
Bassin versant de l’Orgeval
réseau hydrographique
limites de bassins versants bois et forets
stations limnimétriques
pluviographes
5 Km
réseau hydrographiquelimites de bassins versants
bois et forets
stations limnimétriques
pluviographes
5 Km
parcelle d’installation des capteurs de température
Bassin versant de l’OrgevalCoulommiersCoulommiersCoulommiers
Base hydrologique de Boissy-le-châtel
Bassin versant de l’Orgeval
réseau hydrographique
limites de bassins versants bois et forets
stations limnimétriques
pluviographes
5 Km
réseau hydrographiquelimites de bassins versants
bois et forets
stations limnimétriques
pluviographes
5 Km
Bassin versant de l’OrgevalCoulommiersCoulommiersCoulommiers
Base hydrologique de Boissy-le-châtel
Bassin versant de l’Orgeval
réseau hydrographique
limites de bassins versants bois et forets
stations limnimétriques
pluviographes
5 Km
réseau hydrographiquelimites de bassins versants
bois et forets
stations limnimétriques
pluviographes
5 Km
Bassin versant de l’OrgevalCoulommiersCoulommiersCoulommiers
Base hydrologique de Boissy-le-châtel
Bassin versant de l’Orgeval
réseau hydrographique
limites de bassins versants bois et forets
stations limnimétriques
pluviographes
5 Km
réseau hydrographiquelimites de bassins versants
bois et forets
stations limnimétriques
pluviographes
5 Km
III) Chapitre III : Site expérimental et dispositifs de mesure
Avant d’aborder le procédé et les résultats des calculs d’infiltration et des variations de
la teneur en eau du sol, nous allons présenter le site expérimental, ses caractéristiques
lithologiques, l’installation des capteurs et les mesures de température enregistrées sur ce
terrain.
III.A) Situation géographique et caractéristiques lithologiques du terrain
L’installation des capteurs de température à été effectuée sur la parcelle expérimentale
du CEMAGREF à Boissy-le-Châtel située dans le Bassin de l’Orgeval (qui est une partie du
site expérimental du GIS ORACLE
(groupement d’intérêt scientifique)).
Ce site GIS est constitué par les
Bassins versants du « Grand Morin » et
du « Petit Morin », affluents de la
Marne (Fig 3.1).
Figure 3. 1 - Situation géographique du site d’étude
Le Bassin versant de l’Orgeval (BVRE), notre site expérimental, est un sous-bassin du
basin versant du grand Morin. Il se trouve en Seine et Marne (77) sur le plateau de la Brie. Il
est situé entre 3°00’ et 3°15’ de longitude Est et entre 48°47’ et 48°55’ de latitude Nord. Sa
superficie est de 104 km2.
Le bassin versant (Orgeval) comprend quatre sous bassins qui sont de l’est vers l’ouest,
les sous bassins du Mélarchez, de la Gouge, des Avenelles (la parcelle expérimentale étant
elle située sur le plateau), et du Theil. Selon la carte pédologique de la partie Est du bassin de
l’Orgeval (Gury and Bartoli 1999), le sol est de type brun lessivé à texture limono-argileuse.
La thèse de Gomendy (1996) synthétise les différents résultats des recherches menées en
76
pédologie sur le bassin versant du Grand Morin en général, et de l’Orgeval en particulier. Elle
indique que les sols bruns lessivés peuvent être décomposés en trois sous unités,
différentiables par la texture de leurs horizons et leurs taux d’argile. La distinction de ces trois
sous-unités résulte d’un phénomène d’érosion. Elles se trouvent le long de topo-séquences à
faible pente avec, d’amont en aval, une sous unité de sol lessivé typique (les limons blanc des
plateaux), puis une sous unité de sol tronqué par l’érosion (les rougettes) et enfin, une sous
unité de sol lessivé épaissie par des apports colluviaux (les limons blanc colluviaux). Notre
site expérimental est caractérisé plutôt par la présence d’un sol brun lessivé de type limons
blanc des plateaux.
III.B) Installation des capteurs et mesures de la température
L’installation des capteurs a été effectuée dans une fosse, les avant trous étant forés
horizontalement dans les parois Nord et Est de la fosse à l’aide d’une tige de diamètre
légèrement inférieur à celui des capteurs, afin d’assurer un bon contact entre les sols et les
capteurs. Ces derniers ont été installés aux profondeurs de 12, 15, 18, 24, 32 et 34 cm
(Fig 3.2).
Figure 3. 2 - Installation des capteurs de mesures de température sur la parcelle de Boissy-le-Châtel
L’enregistrement ainsi que la partie électronique se trouve dans des boitiers métalliques
placés en surface. La configuration et la récupération des données se fait à travers un port
série sur un micro-ordinateur portable, les interfaces ayant été élaborées au laboratoire.
Cp n°3 à 15 cm
Capteur °4 à 12 cm
Cp n°1 à 18 cm
Cp n°5 à 24 cm
Cp n°2 à 32 cm
Cp n°6 à 34 cm
77
14-A
ug-0
9
15-A
ug-0
9
16-A
ug-0
9
18
20
22
24
26
28 12 cm15 cm18 cm24 cm32 cm34 cm
T(°
C)
Temps (jours)
On présente sur la figure 3.3 un exemple des courbes de température enregistrées avec
les capteurs décrits précédemment. L’enregistrement correspond à des valeurs discrètes,
soient 144 valeurs par 24 h (au pas de 10 minutes).
Figure 3. 3 - Mesures des températures obtenues aux
différentes profondeurs (cas du 14 au 16 aout 2009)
Ces tracés mettent en évidence la décroissance de l’amplitude des variations de
température avec la profondeur ainsi, que la croissance du déphasage avec la profondeur. Ils
montrent aussi que la variation diurne n’est pas une sinusoïde pure mais possède une forte
harmonique 2 et 3.
La figure 3.4 présente les
mesures brutes de température
enregistrées à deux profondeurs,
12 et 34 cm, sur la totalité de la
durée de l’enregistrement qui
correspond à un peu plus d’un
cycle annuel.
Figure 3. 4 - Variation annuelle des températures du sol du 17 février 2009 au 8 mars 2010
(Boissy-le-Châtel) 17
-Feb
-09
06-A
pr-0
9
24-M
ay-0
9
11-Ju
l-09
29-A
ug-0
9
16-O
ct-09
03-D
ec-0
9
20-Ja
n-10
09-M
ar-10
Temps (jours)
-5
0
5
10
15
20
25
30
Tem
péra
ture
(°C
)
12 cm34 cm
lacunes (pannes d'enregistrement)
78
15-Ju
l-09
18-Ju
l-09
21-Ju
l-09
25-Ju
l-09
28-Ju
l-09
01-A
ug-0
9
Temps (jours)
16
18
20
22
24
26
Tem
péra
ture
(°c)
12 cm15 cm18 cm
épisode transitoire
Ainsi grâce à ce jeu considérable de données de température (385 jours) enregistrées,
nous disposons de l’acquis expérimental nécessaire pour tester les différents processus de
traitement.
Les deux figures sont représentatives des cycles de variations sinusoïdales journalières
et annuelles. Pour un sol ayant une diffusivité thermique de l’ordre λ/Cv = 1,2 / 2,4 106 =
0,5 10-6 m2 s-1. La profondeur de pénétration (cf. chapitre I) du cycle diurne est de l’ordre de
12 cm, alors que celle du cycle annuel correspond à 2,25 m soit environ 19 fois la valeur du
cycle quotidien. Ces valeurs correspondent à la profondeur pour laquelle l’amplitude des
variations thermiques à la surface du sol est divisée par e-z/p=2,71828. À 34 cm se trouve le
capteur le plus profond, si on considère que la diffusivité thermique du milieu est proche de
0,5 10-6 m2 s-1, l’amplitude des variations de température à cette profondeur (34 cm) doit être
réduite d’un facteur de 0,055 par rapport à celui à la surface du sol ce qui est effectivement le
cas.
La température du sol subit à la fois un cycle quotidien et un cycle associé aux
variations météorologiques saisonnières et transitoires. Mais moins le capteur de température
est profond, plus il est sensible aux perturbations associées aux variations météorologiques. A
coté des variations périodiques d’autres, toujours d’origine météorologique, ont un caractère
aléatoire (transitoire) comme les périodes pluvieuses où au contraire sèches. Les mesures ont
ainsi enregistré le phénomène de gel du sol entre le 5 janvier et le 15 janvier 2010. Une autre
présentée sur la figure 3.5, montre un épisode de réchauffement de plusieurs jours en juillet
2009.
Figure 3. 5 - Épisode transitoire affectant les mesures entre le 19 et le 24
juillet 2009
79
III.C) Structure et propriétés du sol
Ce sont des raisons pratiques qui nous ont conduits à choisir la parcelle expérimentale
du site de Boissy-le-Châtel pour une première expérience : proximité de Paris, existence de
données de contrôle.
En herbe il n’a pas été travaillé depuis au moins 40 ans et sous une couche superficielle
peu épaisse (horizon A) on a très rapidement une couche de matériaux fins limono-argileux
épaisse d’un peu plus de 4 m (d’après l’ensemble des mesures réalisées sur le plateau). Dans
ce contexte il est logique de considérer que la porosité (la macroporosité essentiellement)
décroit rapidement dans les premiers décimètres ce qui conduit à une augmentation de la
conductivité thermique et dans une moindre mesure de la chaleur volumique.
Malheureusement on ne dispose pas à Boissy-le-Châtel de profils de la densité avec la
profondeur.
Le sondage électrique réalisé le 10 février 2010 confirme parfaitement l’hypothèse
d’une variation significative des propriétés physiques sur les premiers décimètres. Il peut être
interprété avec un modèle à 3 couches, avec une première couche de résistivité de 85 Ω.m sur
15 cm suivie d’une couche de 30 Ω.m de résistivité apparente sur 4,20 m puis d’une dernière
couche de 40 Ω.m, avec une erreur relative de 5,7% (Fig 3.6). Il peut tout aussi bien être
interprété avec un modèle multi-couches à variation continue (Zohdy 1989). L’interprétation
‘parcimonieuse’ avec le modèle à 3 couches, est présentée sur la figure 3.6.
Position des capteurs de
température
0.15 m
4.2 m
Distance (AB/2)
ρ a(Ω
. m)
Modèle
Position des capteurs de
température
0.15 m
4.2 m
Distance (AB/2)
ρ a(Ω
. m)
Modèle
Position des capteurs de
température
0.15 m
4.2 m
Distance (AB/2)
ρ a(Ω
. m)
Modèle
Figure 3. 6 - Sondage électrique
Si nous ne disposons pas d’étude de la relation densité résistivité sur le limon-argileux
local on peut néanmoins s’appuyer sur les résultats obtenus à la station INRA de Mons qui
80
montre pour ce type de matériau une décroissance de la résistivité avec l’augmentation de la
‘bulk density’ (BD en français la masse volumique sèche) qui vaut environ 100 Ω.m pour
BD=1,1 ce qui correspond à une porosité n=0,585 (pour une masse volumique de la fraction
solide de 2,65), et 32 Ω.m pour BD=1,6 ce qui correspond à une porosité de 0,396.
L’application sur ces valeurs des formules habituellement utilisées pour les propriétés
thermiques (de Vries 1963 ; Cosenza et al. 2003), en prenant pour la fraction solide
λs=3 W m-1 K-1 et Cs=2 106 J m-3 K-1 et une teneur volumique en eau θ=0,336, conduit à une
conductivité thermique croissante de 1,2 à 1,8 W m-1 K-1 et à une chaleur volumique elle aussi
croissante de 2,28 à 2,60 106 J m-3 K-1. Ces résultats sont parfaitement cohérents avec des
mesures directes des propriétés thermiques (Tabbagh 1977) qui avaient donné pour la couche
superficielle des conductivités de 1,27 W m-1 K-1 en période sèche (juillet 1976) et
1,97 W m-1 K-1 en période humide (mars 1977).
III.D) Précipitations
Pour la période allant du mois de février 2009 au mois de février 2010 les précipitations
et la moyenne mensuelle des températures pour chacun des capteurs sont présentées sur la
figure 3.7.
Feb-0
9
Mar-
09
Apr-0
9
May
-09
Jun-
09Ju
l-09
Aug-09
Sep-
09
Oct-09
Nov
-09
Dec-0
9
Jan-10
Feb-1
0
Mar-
10
Apr-1
0
Mois
0
20
40
60
80
Pré
cipi
tatio
ns (m
m)
5
10
15
20
25
Tem
pérature (°C)
Pluie mensuelle (mm)Température à 12 cm15 cm18 cm24 cm32 cm34 cm
Figure 3. 7 - Précipitations et températures du sol mensuelles, entre février 2009 et février
2010
81
On y observe que les fortes précipitations ont correspondu à l’intersaison printemps-été
(de mai à juillet) et en automne 2009 (d’octobre à novembre) où elles ont atteint un maximum
pour le mois de novembre (80,8 mm), alors que le mois le plus sec est août avec 20,2 mm.
Mois F M A M J J A S O N D J F
P (mm) 22 25 39,4 70,8 75,8 49,6 20,2 25 68,6 80,8 53 31,2 59
T moy (°C) 5,3 7,1 12,5 15,7 18,3 20,5 21,2 17,4 13,4 10,5 6,1 2,9 3,9
Tableau 3. 1 - Précipitations et températures moyennes mensuelles
Afin de situer la série de mesures (précipitations) dans son contexte temporel, nous
proposons la figure 3.8 qui représente la pluie annuelle depuis 1963. Nous manipulons une
série qui représente une année de mesures à précipitation modérée (598,4 mm) et qui succède
à plusieurs années de précipitation peu inferieure à la moyenne (671 mm).
1962
1967
1972
1977
1982
1987
1992
1997
2002
2007
2012
Année
0
200
400
600
800
1000
Pré
cipi
tatio
ns (m
m)
précipitataions moyenne (1963-2009)
671 mmprécipitataions
mars 2009- féverier 2010598,4 mm
Figure 3. 8 - Pluie annuelle moyenne depuis 1963 à 2009
III.E) Evapo-transpiration potentielle
L’évapotranspiration potentielle (ETP) correspond à l’évapotranspiration maximale qui
peut avoir lieu, si le sol n’est pas limité en eau. L’évapotranspiration potentielle est défini
82
comme étant « la perte d’eau qui se produirait pour les besoins de la végétation couvrant un
sol bien alimenté en eau » (Thornthwaite et Holzman 1942 ; OMM 1994). La figure 3.9
présente les valeurs moyennes mensuelles ainsi que journalières pour la période allant du
début mars 2009 à la fin févier 2010.
Mar-
09
May
-09Ju
l-09
Sep-
09
Nov-0
9
Jan-1
0
Mar-
10
ET
Pm
oyen
nes
men
suel
les
(mm
)
Mar-
09
May-
09Ju
l-09
Sep-
09
Nov
-09
Jan-10
Mar-
10
ET
Pva
leur
sjo
urna
lière
s(m
m)
Figure 3. 9 - Evapotranspiration potentielle moyennes mensuelles en bleu et journalières en
vert (mars 2009-février 2010) d’après la formule de Penman-Monteith
L’ETP présente une plus grande gamme de variations mensuelles, avec 3 mm au
minimum pour la période de 20 jours d’enregistrement disponible, durant le mois de janvier
2010, soit 4,5 mm avec une extrapolation simple pour tous le mois de janvier et 172 mm au
maximum en août 2009. En ce qui concerne les variations journalières, les plus grandes
fluctuations, correspondent à la période où l’ETP est supérieure à la quantité d’eau disponible,
soit du début avril jusqu’à la fin septembre dans notre cas.
Ces valeurs journalières d’ETP ont été fournies par Météo-France. En effet Météo-
France fournit des données d’ETP calculée à partir de la formule de Penman-Monteith, cette
dernière fait intervenir les paramètres climatiques enregistrés sur le bassin versant de
l’Orgeval (température minimale et maximale, vitesse de vent, insolation …).
III.F) Mesures de la teneur en eau volumique avec des sondes TDR
Des sondes TDR sont déployées dans la même parcelle à Boissy-le-Châtel à quelques
mètres de la fosse où ont été implantés les capteurs de température. Ces sondes TDR
83
enregistrent l’humidité volumique du sol sur un profil vertical à 5, 15, 25 et 35 cm de
profondeur avec un pas de temps de 12 h, soit une mesure à 0 h T.U. et une autre à 12 h.
Nous avons pu disposer de 3 périodes de mesures : la première s’étend du 17 février au
17 mai 2009, la deuxième du 12 août au 28 septembre 2009 et la troisième du 8 janvier au 8
mars 2010 (Fig 3.10).
La période qui s’étend du 17 février au 17 mai 2009, couvre presque la même période
de l’année humide que la période allant du 8 janvier au 8 mars 2010. Nous avons eu de pannes
de capteurs de température lors de cette période (du 17 février au 17 mai 2009), ce qui la rend
moins intéressante, à exploiter dans nos futurs traitements.
La période allant du 12 août au 28 septembre 2009 représente la période sèche. Cette
période est illustrée (Fig 3.10), mais nous avons des doutes sur la fiabilité des mesures de
teneurs en eau de cette période, car elles ont été enregistrées entre deux épisodes de panne
majeure des sondes TDR.
0 30 60 90 120 150 180 210 240Nombre de jours
10
20
30
40
50
Ten
eur
en e
au v
olum
ique
en
(%)
Sondes TDR5 cm15 cm25 cm35 cm
Période estivale allant du 12 août au 28 septembre 2009
Période hivernale allant du 8 janvier au 8 Mars 2010
Figure 3. 10 - Teneur en eau volumique du sol (à 5, 15, 25 et 35 cm) sec et humide
III.G) Infiltration
L’estimation de l’importance du processus d’infiltration est essentielle en hydrologie.
Elle permet de déterminer quelle fraction de la pluie va participer à l’écoulement de surface,
et quelle fraction va alimenter les écoulements souterrains et donc aussi participer à la
recharge des nappes souterraines.
84
Malheureusement nous n’avons pas pu bénéficier, ni des tensiomètres, suite à une
panne, ni d’un système de drainage global de la parcelle. En effet, toute la parcelle, où nous
avons implanté nos capteurs de température, était auparavant drainée. Suite à des problèmes
de panne (par exemple celle de Thalimèdes, ou d’un système équivalent, qui permet une
mesure en continu du niveau des eaux récupérées en sortie) et d’étanchéité, le système n’était
pas opérationnel.
Les différents facteurs qui peuvent influencée l’infiltration sont regroupées (Fig 3.11)
humidité antécédente
irrigation
précipitation
Facteurs d’influence
Couverture du sol
degré de compaction
morphologie
orientation
pente
type de végétation
hydrodynamique
texture
structure
Alimentation
Topographie
Etat du sol
Type du sol
humidité antécédente
irrigation
précipitation
Facteurs d’influence
Couverture du sol
degré de compaction
morphologie
orientation
pente
type de végétation
hydrodynamique
texture
structure
Alimentation
Topographie
Etat du sol
Type du sol
Figure 3. 11 - Facteurs influençant l’infiltration
III.H) Calcul de l’ETP (formule de Thornthwaite)
La formule de Thornthwaite ne requiert qu’un minimum de données climatiques
mensuelles pour calculer l’ETP :
16 10a
TETP F
I =
(III.1)
avec :
ETP : évapotranspiration potentielle calculée et corrigée de l’effet de latitude (mm)
T : température moyenne mensuelle (°C) après correction d’altitude (-0,6°C par 100 m),
l’altitude moyenne des Avenelles (zone d’installation des capteurs) est de 85 m.
a : exposant en fonction de l’indice I :
a = 6,75 10-7 I3 – 7,71 10-5 I2 + 1,792 10-2 I + 0,49239 (III.2)
85
I : indice thermique annuel (la somme des indices mensuels) 12
1
I i=∑ où i est l’indice
thermique mensuel 1 514
5
Ti =
,
(III.3)
F : coefficient de correction qui dépend de la latitude et du mois et qui est donné dans
le tableau 3.2
Lat. N. M A M J J A S O N D J F
48 1,02 1,14 1,31 1,33 1,34 1,23 1,05 0,93 0,77 0,72 0,76 0,80
49 1,02 1,14 1,31 1,34 1,35 1,24 1,05 0,93 0,76 0,71 0,75 0,79
Tableau 3. 2 - Coefficient de correction F de la formule de Thornthwaite (Brochet and Gerbier 1968)
L’ETP varie largement selon les périodes de l’année : elle n’est que de quelques mm
durant un mois d’hiver et peut atteindre 160 voir 200 mm (selon les années) aux mois de
juillet et août. Dans la figure 3.12, nous présentons les valeurs d’ETP calculées et corrigées
par rapport à la latitude, via la formule de Thornthwaite. Nous avons utilisé les températures
de l’air enregistrées ou déduites à partir des températures du sol dans le cas des mesures
manquantes.
Mar-
09
May
-09Ju
l-09
Sep-
09
Nov-09
Jan-10
ET
P(m
m)
Figure 3. 12 - Évapotranspiration potentielle calculée et corrigée par rapport à la latitude
(d’après la formule de Thornthwaite)
Avant de présenter les résultats du bilan hydrique, nous présentons la façon dont nous
avons procédé.
86
Nous commençons le calcul par le mois de septembre avec une réserve d’eau égale à 0.
Si P ETP> ⇒ ETR ETP= (III.4)
Si P ETP< ⇒ 2 cas se présentent,
avec :
ETR : évapotranspiration réelle (mm)
Si 1i iP RFU ETP−+ > alors ETR ETP=
Si 1i iP RFU ETP−+ < alors 1i iETR P RFU−= + (III.5)
(l’indice i représente le mois où le calcul est effectué)
La RFU correspond à la fraction de la réserve utile (RU) disponible à une tension
suffisamment faible. La RU est la réserve maximale de la quantité d’eau du sol utilisable par
la plante.
La RFU est en général considérée comme égale à environ 1/2 de la réserve utile (RU) de
60 à 90 cm voir 2/3 de 0 à 60 cm de profondeur d’enracinement du sol. Pour une profondeur
donnée elle dépend fortement de la nature du sol.
Type de sol Profondeur RU RFU
Limono-argileux < 60 cm < 90 mm < 60 mm
Tableau 3. 3 - Valeur de la RFU pour un sol limono-argileux (Rieul and Ruelle 2003)
L’excédent (qui correspond à la somme de la recharge et du ruissellement) est calculé comme suit :
Excédent = Pi - ETRi + ∆ RFU (III.6)
∆ RFU correspond à la variation de la réserve facilement utilisable (RFU) d’un mois à
l’autre.
87
IV) Chapitre IV : Traitement des données température
Cette quatrième partie vise, en exploitant les enregistrements des variations de
température à différentes profondeurs du sol, à déterminer la variation de la teneur en eau et le
terme d’infiltration/exfiltration, cela pour des échelles de temps courtes, de l’ordre de la
journée.
Avoir recours aux mesures actives de la température du sol (par exemple sonde à choc
thermique…), permet de remonter, lors de la résolution, à la vitesse de Darcy (terme de
convection), à la conductivité thermique et à la capacité calorifique (terme de diffusivité).
L’équation à résoudre est :
( ) ( ) ( )2
2
, , ,
v
T z t T z t T z t A
z z t Cν
∂ ∂ ∂Γ + − = −
∂ ∂ ∂ (IV.1)
où A est la source de chaleur générée.
Dans ce cas la maitrise du terme source, et donc son impact sur la mesure de la
température permet de déterminer l’ensemble des propriétés.
Le fait d’avoir eu recours dans notre étude à des mesures passives de la température du
sol nous conduit à résoudre l’équation de la chaleur dans sa forme homogène. Cette résolution
va permettre de déterminer le terme de convection, et donc la vitesse de Darcy, et la
diffusivité thermique.
On part donc de :
( ) ( ) ( )2
2
, , ,0
T z t T z t T z t
z z tν
∂ ∂ ∂Γ + − =
∂ ∂ ∂ (IV.2)
avec : vC
λΓ = (IV.3) et eau
v
Cu
Cν = (IV.4)
Avant de résoudre cette équation à partir des données de température enregistrée
réellement sur le terrain, nous allons générer des données synthétiques (sinusoïde pure ou
avec termes transitoires...) en attribuant des valeurs aux deux termes vC
λΓ = et ν pour la
période du temps choisie. Avec ces données synthétiques, en résolvant l’équation de la
chaleur, nous allons tester différentes solutions permettant de retrouver Γ et υ .
88
Les méthodes utilisées jusqu’ici sont analytiques (Tabbagh et al., 1999) et peuvent être
répartie en deux groupes : l’utilisation des composantes sinusoïdales et les calculs de
prolongements. Ces travaux ont permis de montrer que, malgré le manque de précision
(1/10 K) des capteurs du commerce utilisés aux stations météorologiques, il était possible de
déterminer la vitesse de Darcy et la diffusivité, sur des durées longues, de plusieurs années, en
exploitant les rapports d’amplitudes et les déphasages entre les sinusoïdes annuelles
enregistrées à différentes profondeurs, jusqu’à une dizaine de jours en exploitant les variations
transitoires, si l’importance de la fluctuation thermique est suffisante. Mais cette démarche
implique de commencer par décrire la variation verticale des propriétés thermique du terrain
(Cheviron et al. 2005 ; Tabbagh et al. 2009).
Le fait d’avoir des capteurs de grande sensibilité (0,001 K), et un pas de temps bref
(10 minutes), nous a permis de plus d’envisager l’application de schémas numériques en
différences finies (DF) ou en éléments finis (EF).
Pour illustrer le rôle de la sensibilité de mesure on présente (Fig 4.1) pour la période
allant du 27 février au 28 février 2010, les données enregistrées avec un LSB 1/1000 K (en
bleu), et celles enregistrées avec un LSB 1/10 K (en rouge). Pour ce dernier les fluctuations
sont remplacées par des paliers.
27-F
eb-1
0
28-F
eb-1
0
28-F
eb-1
0
28-F
eb-1
0
28-F
eb-1
0
Temps (24 heures)
6.6
6.8
7
7.2
7.4
Tem
péra
ture
(°C
)
Valeurs mesurées à 12 cm (précision 1/1000 K)
Valeurs mesurées à 12 cm (précision 1/10 K)
Figure 4. 1 - Comparaison des valeurs de températures enregistrées avec un LSB au 1/1000 K
et ceux au 1/10 K
89
Ce phénomène est encore plus accentué pour le cas du 26 mai 2009 où on perd
complètement l’information, sur l’oscillation qui est produite entre 12h30 et 15 h, si les
mesures avaient été effectuées avec un LSB au 1/10 K (Fig 4.2).
10:30 12:10 13:50 15:30 17:10Temps (heurs)
19
19.1
19.2
19.3
19.4
Tem
péra
ture
(°C
)
Valeurs mesurées à 12 cm (précision 1/1000 K)
Valeurs mesurées à 12 cm (précision 1/10 K)
26 mai 2009
Figure 4. 2 - Disparition complète de l’information pour des enregistrements effectués
avec un LSB au 1/10 K (en rouge)
Dans ce qui suit nous allons donc dans un premier temps générer des données
synthétiques avec lesquelles seront testés les codes analytiques puis numériques en DF et en
EF. Si les résultats sont satisfaisants, ces codes seront appliqués aux données enregistrées
réellement sur le terrain, et les paramètres ainsi restitués pourraient ensuite être comparés aux
autres mesures hydrologiques.
IV.A) Génération de données synthétiques
Par application de la transformée de Fourier à l’équation de la chaleur :
( ) ( ) ( )2
2
, , ,0
T z t T z t T z t
z z tν
∂ ∂ ∂Γ + − =
∂ ∂ ∂ (IV.5)
On obtient l’équation : ( ) ( )2
2
, ,0
z t z ti
z z
τ τν ω τ
∂ ∂− − =
∂ ∂ (IV.6)
qui a pour solutions complexes pour un sol homogène (Tabbagh et al. 1999) :
90
( ) ( ) ( ) ( )2
0
4
2
z t z i t
i t
τ τ ω γ ω
ν ν ωγ
= − + =
Γ
, , exp exp
. (IV.7)
A l’aide de cette équation, on peut générer des données synthétiques de température à
différentes profondeurs, après avoir fixer les valeurs des termes de convection υ et de
diffusivité Γ .
IV.A.1) Sinusoïde diurne et semi diurne
En superposant une variation diurne et une semi diurne, on reconstruit (Fig 4.3) une
variation proche de la variation expérimentalement observée sur 24 h.
0:00
12:00 0:0
012
:00 0:00
12:00 0:0
0
Temps (heures)
-10
0
10
20
Tem
péra
ture
(°C
)
12 cm
15 cm
18 cm
24 cm
32 cm
34 cm
Figure 4. 3 - Sinusoïdes diurnes comprenant une variation diurne et une variation semi diurne
IV.A.2) Termes transitoires superposés à une sinusoïde diurne et semi diurne
On peut superposer la variation diurne (qui comprend une diurne pure ou bien une
diurne et une semi diurne) à un terme transitoire s’étalant sur quelques jours (Fig 4.4). Ce
dernier est généré en appliquant à la surface du sol un flux de chaleur qui peut être décomposé
en une suite de variations d’Heaviside.
La température résultant de cet apport transitoire a pour expression :
91
0
( , ) ( , )t
HT z t T z t dφ τ ττ
∂= −∂∫ (IV.8)
avec : ( , )HT z t la réponse à une variation en échelon d’Heaviside, dont l’amplitude est φτ
∂∂
, φ
étant le flux imposé en surface et τ la durée des échelons de flux de surface.
Nombre de jours
-0.5
0
0.5
1
1.5
2T
empé
ratu
re (°
c)
12 cm15 cm18 cm
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figure 4. 4 - Données synthétiques générées sur 10 jours
Il est aussi possible de superposer à la variation diurne un terme transitoire sur quelques
heures (Fig 4.5), un tel terme peut renforcer les harmoniques d’ordre 2 ou faire apparaître des
harmoniques d’ordre supérieur.
Figure 4. 5 - Données synthétiques avec une harmonique d’ordre 2
92
IV.B) Traitement de données synthétiques : codes utilisés
Pour le traitement des données, qu’elles soient synthétiques ou réelles, les résultats
seront stabilisés, pour les calculs analytiques comme pour les calculs numériques par la
méthode des moindres carrés, l’intervalle de temps sur lequel porte l’analyse par moindres
carrés englobant une série de plusieurs pas de mesures.
IV.B.1) Méthode de calcul analytique utilisant les variations sinusoïdales
Cette méthode de traitement a été « éprouvée » dans les études antérieures publiées sur
la variation annuelle. Elle se base sur le rapport d’amplitude et la différence de phase entre
deux profondeurs d’une variation sinusoïdale (la méthode est donc en principe indépendante
d’un possible offset, différence de justesse entre les différents capteurs). Comme introduit au
chapitre II à partir du modèle d’un terrain homogène, le rapport (complexe) entre les deux
transformées de Fourier de la température à deux profondeurs ( )1, zτ ω et ( )2, zτ ω possède
un module R et un argument ∆φ à partir desquels il est possible de définir des diffusivités
apparentes « en amplitude » et en « phase » dont on peut extraire la vitesse de Darcy u .
Comme cette méthode a été employée avec succès pour la variation annuelle sur des
données pluriannuelles, il est impératif d’évaluer la possibilité de son application à la
variation diurne. Son principe est particulièrement simple et élégant et, dans le cas d’un
terrain homogène, il permet un calcul très rapide mais l’expérience (Cheviron et al. 2005 ;
Tabbagh et al. 2009) a montré qu’il se heurte à deux difficultés :
1) Il n’est pas toujours possible d’extraire de la suite des données avec une précision
compatible avec la détermination du transfert par convection, les amplitudes et les phases
des composantes sinusoïdales que l’on veut utiliser,
2) Le terrain est rarement homogène (le modèle d’un terrain tabulaire est beaucoup plus
vraisemblable).
La première difficulté est en principe levée par la haute précision des capteurs utilisés et
le pas de temps adopté pour l’enregistrement. Cheviron et al. (2005) ont montré comment
surmonter la seconde difficulté en déterminant d’abord la répartition verticale des propriétés
thermiques du terrain. La variation diurne, cependant, présente des difficultés beaucoup plus
grandes que la variation annuelle avant même d’aborder le problème posé par la non-
homogénéité du terrain :
93
1) Périodique mais non sinusoïdale, la variation diurne comprend d’importantes
harmoniques 2 et 3,
2) Son amplitude n’est pas stable d’un jour à l’autre : elle peut même pratiquement
disparaitre en cas de couvert nuageux et de pluie. Autrement dit alors que le taux de
modulation de la variation annuelle reste faible (inférieur à 5% dans les régions de climat
tempéré), celui de la variation diurne peut être de 100% ce qui rend beaucoup plus délicat
la restitution de l’amplitude et de la phase de la ‘porteuse’ sur un nombre limité de
périodes (on cherche à déterminer la vitesse de Darcy sur des durées courtes). Les
variations qui modulent la variation diurne, plus lentes, sont en effet moins amorties avec
la profondeur que ne l’est la variation diurne et il faut les éliminer complètement si on
veut pouvoir utiliser celle-ci.
3) Par comparaison avec la variation annuelle, la précision relative à atteindre dans la
détermination des deux diffusivités apparentes est bien plus fine (section IV.B.1.a).
Les deux premières difficultés doivent être levée au préalable car si les rapports
d’amplitude et les différences de phase ne peuvent être déterminés avec suffisamment de
précision, toute détermination des propriétés thermiques du terrain sera impossible et la
méthode inapplicable. On va donc commencer par considérer des cas synthétiques où le sol
est homogène, où la variation diurne comporte des harmoniques et où des variations
transitoires de la température viennent se superposer à cette variation diurne.
IV.B.1.a) Rappel sur les calculs en sol homogène
L’équation que l’on utilise après avoir extrait une variation sinusoïdale à chaque
profondeur admet comme solution générale :
0zz T eγτ ω =( , ) où
2 4
2
iν ν ωγ − + Γ=Γ
(IV.9)
En considérant le rapport d’amplitude et la différence de phase entre les variations à
deux profondeurs 1z et 2z on peut calculer les deux inconnues v et Γ à partir des
diffusivités apparentes en phase phΓ et en amplitude ampΓ déduites de ce rapport. phΓ est
pratiquement indépendante de v et fournit avec une très bonne approximation de la vraie
valeur de la diffusivité et v peut être obtenue (Cheviron 2004) par la formule approchée :
( )2 amp ph
amp
vω= Γ − ΓΓ
(IV.10)
94
Un autre calcul approché peut aussi être proposé qui part du fait que, dans l’expression
de γ , le terme 2v est de l’ordre de 10-15 alors que le terme 4iωΓ est de l’ordre de 10-10. On
peut donc prendre comme valeur approchée de la partie réelle :
( )12
2R vγ ω= − Γ
Γ( ) (IV.11)
et comme valeur approchée de la partie imaginaire : 1( ) 2
2I γ ω= − Γ
Γ (IV.12)
La soustraction de la partie imaginaire à la partie réelle permet alors d’obtenir :
( ) ( )( )2 phv R Iγ γ= Γ − (IV.13)
Sur des données synthétiques, la formule de Cheviron donne des résultats très proches.
Ces formules permettent d’évaluer la précision qui doit être atteinte en utilisant la
variation diurne dans la détermination des diffusivités apparentes (ou de γ ). Pour u=2 mm j-1,
on aura : ( )amp phΓ − Γ =0,27 10-8 m2 s-1 (IV.14)
soit une variation relative (à atteindre pour pouvoir déterminer correctement la diffusivité)
proche de 0,5%. Par comparaison la variation annuelle avec u=100 mm an-1 correspond à une
différence entre les diffusivités apparentes de 7 10-8 m2 s-1 soit une variation relative proche
de 10%.
Si l’on observe d’un jour à l’autre (ou d’un groupe de jours à l’autre) une variation de
phΓ , elle peut être transformée en variation de teneur en eau. En effet, hormis en cas de
compactage du sol, les autres paramètres intervenant dans les propriétés thermiques, nature
minéralogique de la fraction solide et porosité, sont (en première approximation pour la
porosité qui peut être modifiée par des retraits ou gonflements) indépendants du temps. Les
dépendances des deux propriétés thermiques sont définies par les formules empiriques
présentées au chapitre I (de Vries 1952 ; Cosenza et al. 2003).
On peut en déduire pour des valeurs de porosité n=0,5, de conductivité thermique de la
fraction solide λms = 4 W m-1 K-1 et de chaleur volumique de cette fraction
Cms = 2 106 J m-3 K-1 : 1 1 11 2v
v
C
C
λθ λ θ θ
∂Γ ∂ ∂= − ≅ −Γ ∂ ∂ ∂
, (IV.15)
95
D’où une relation entre une variation de teneur en eau et la variation relative de la
diffusivité : 1
1 2ph
ph
δδθ
Γ=
Γ-,
. (IV.16)
IV.B.1.b) Méthode d’extraction des amplitudes et phases de la variation diurne et de ses harmoniques
La détermination de l’amplitude et de la phase à chaque profondeur, z, se réalise en
tenant compte du fait que, contrairement à la variation annuelle, la variation diurne peut avoir
une amplitude très variable et comporte des harmoniques. On cale au mieux, au sens des
moindres carrés, sur les données une expression somme des 3 harmoniques et d’une cubique
cette dernière permettant de suivre les variations non périodiques de la température :
2 30 1 2 3 1 1
2 2 3 32 2 3 3
( , ) cos sin
cos sin cos sin
d d
d d d d
T z t T C t C t C t A t B t
A t B t A t B t
ω ω
ω ω ω ω
= + + + + +
+ + + + (IV.17)
Dans cette expression, dω est la pulsation correspondant à la variation diurne.
La connaissance des coefficients iA et iB permet de connaitre l’amplitude de la
variation diurne et sa phase, mais la précision de leur détermination peut être variable d’un
jour à l’autre (ou d’un groupe de jours à un autre) et introduire une forte dispersion dans les
données. La plus courte durée qui puisse être prise en compte avec cette méthode est la
journée. Il est possible de considérer un nombre important de jours ce qui stabilise les
résultats et permet d’obtenir une valeur moyenne de la percolation mais le but de cette étude
reste de chercher à la déterminer sur de courtes durées. La journée est aussi une limite en
dessous de laquelle la détermination de la vitesse de Darcy perdrait en signification compte
tenu des écarts de profondeurs qu’il est possible d’adopter pour les capteurs (écarts dépendant
de la profondeur de pénétration de la sinusoïde diurne dans le sol). Si, en effet, on considère
une infiltration, c’est-à-dire un débit « moyen », de 2 mm j-1 et que la partie mobile de l’eau
correspond à 2% du volume élémentaire représentatif on aurait un parcours moyen de
100 mm en un jour, un peu supérieur mais du même ordre de grandeur que les écarts
verticaux entre les capteurs. Il est à noter que pour remonter aux deux inconnues v et Γ , il
est nécessaire de connaître l’amplitude et la phase de la variation diurne pour au moins deux
capteurs à deux profondeurs différentes.
96
IV.B.1.c) Rappel sur les effets de la non homogénéité du terrain (milieu tabulaire 1 D)
Prenons le cas où nous avons un terrain tabulaire, nous allons affecter une épaisseur et
des propriétés thermiques du sol (conductivité thermique et capacité calorifique) à chaque
couche.
Plutôt que de considérer l’équation : 2
20
T T Ti T
z z z zν ω∂ ∂Γ ∂ ∂Γ + − − =
∂ ∂ ∂ ∂ (IV.18)
qui n’a pas de solution analytique générale puisqu’il faudrait que la variation de ( ) zΓ soit
suffisamment simple pour permettre de la définir. On préfère utiliser l’équation sans le
deuxième terme, en considérant que le terrain tabulaire est constitué d’une série de couches
différentes ayant chacune des propriétés thermiques constantes en z.
Des calculs montrent alors que pour une variation sinusoïdale pure, la structure des
propriétés thermiques du terrain modifie complètement les diffusivités apparentes obtenues
aussi bien à partir des rapports d’amplitude que des différences de phase. Cependant quatre
caractéristiques établies lors les études antérieures (Cheviron 2004 ; Cheviron et al. 2005) à
partir des modèles synthétiques comme des résultats expérimentaux vont faciliter la tâche en
permettant de déterminer la structure verticale du terrain ou en définissant ce qu’il est possible
de faire en l’absence d’une telle détermination :
1) Les diffusivités apparentes déduites des différences de phase restent pratiquement
indépendantes de la vitesse de Darcy, pour un sol non-uniforme elles varient avec les
couples de profondeur considérés mais sont indépendantes de cette vitesse.
2) Le rapport des amplitudes et la différence des phases ne dépendent pas des propriétés
thermiques des terrains situés au-dessus des 2 profondeurs avec lesquelles on calcule le
rapport.
3) Les propriétés thermiques étant fixes, toute variation de la vitesse de Darcy est bien
restituée par le calcul ‘en terrain homogène’. Autrement dit, si la connaissance de la
structure verticale du terrain est indispensable pour déterminer sa valeur absolue, ses
variations d’une période considérée à une autre peuvent être déterminées de façon
satisfaisante en appliquant la formule (très simple) du terrain homogène.
4) Une variation globale de la teneur en eau du milieu se reporte sur toutes les
diffusivités apparentes déduites des différences de phase et la modification d’ensemble
97
(teneur en eau – variation relative de diffusivité apparente) respecte la formule approchée,
1
1 2ph
ph
δδθ Γ
= Γ -,
, obtenue avec le modèle du sol homogène. Il est donc possible de suivre
les variations de la teneur en eau.
A ces points s’ajoute l’effet (favorable) de l’amortissement de la variation diurne avec
la profondeur qui limite l’épaisseur de terrain à décrire : si le capteur le plus profond est à
34 cm (cas de Boissy-le-Châtel), l’erreur sur la détermination de la vitesse de Darcy est
inférieure à 5% pour une interface placée à 65 cm de profondeur.
Une contrainte supplémentaire pouvait être ajoutée pour faciliter la détermination de la
structure verticale : le modèle thermique doit être cohérent avec les résultats du sondage
électrique et les gradients de la teneur en eau. Pour déterminer complètement l’infiltration, sa
valeur absolue et ses variations, on doit donc déterminer le modèle de terrain sur une
épaisseur limitée (à Boissy-le-Châtel entre 12 et 65 cm par exemple) à partir des 5 diffusivités
apparentes définies par les différences de phase (avec 6 profondeurs on dispose de 5 rapports
indépendants), tout en étant cohérent avec les diffusivités apparentes définies à partir des
rapports d’amplitude et avec les résultats du sondage électrique. Aux 5 diffusivités apparentes
fournies par la variation diurne, on peut ajouter les 5 diffusivités apparentes fournies par la
variation semi-diurne, ce qui permet de disposer de 10 conditions strictement déduites des
variations de température. Cependant dans le cas où l’on cherche à suivre les variations d’un
jour à l’autre (ou d’un groupe de jours à un autre), il n’est malheureusement pas possible de
faire l’hypothèse que les propriétés sont indépendantes du temps, comme c’est le cas pour des
durées pluriannuelles. La teneur en eau peut changer d’un jour à l’autre (ou d’un groupe de
jours à un autre), il n’est donc pas possible de réduire le nombre d’inconnues et on doit
déterminer le modèle de terrain chaque jour (ou groupe de jours) considéré.
L’expérience montre qu’un modèle à trois couches est en général satisfaisant pour
décrire la quasi-totalité des variations observées. On aurait alors à déterminer les
conductivités thermiques et les chaleurs volumiques de chaque couche soit 6 inconnues et la
position des 2 interfaces d’où un total de 8 inconnues. Avec 10 conditions et en s’aidant du
sondage électrique, il est possible de retrouver pour chaque jour (ou groupe de jours) le
modèle de terrain. Ceci a été vérifié avec des données synthétiques faisant intervenir
uniquement une variation diurne et une variation semi-diurne (Fig 4.3). Cependant, ici encore
les modèles synthétiques montrent que la présence de modulations (section IV.B.1.e) de ces
98
variations diurne et semi-diurne variant avec la profondeur vient disperser les résultats et
empêcher de définir un modèle thermique satisfaisant. Il sera donc prudent tant qu’une
solution n’aura pas été apportée au problème posé par la modulation de se limiter à une
approche plus simple (moins ambitieuse) où on suit les variations de la percolation d’une
période à l’autre et où le calage en valeur absolue pourra néanmoins être estimé a posteriori.
Ce type d’approche est aussi justifié par l’objectif de déterminer l’infiltration, ou au moins ses
variations, par une méthode qui soit la plus légère possible et évite de devoir procéder à une
inversion complexe à partir de données multiples qu’on ne peut relier entre elles que par des
modèles eux-mêmes basés sur des approximations. En parallèle avec les variations de la
percolation, on a la possibilité de suivre les variations de la teneur en eau.
IV.B.1.d) Résultats obtenus avec des données synthétiques en terrain homogène
Si l’on considère des données comprenant une variation diurne et une variation semi
diurne (Fig 4.3), une extraction par moindres carrés des amplitudes et des phases à chaque
profondeur permet un calcul exact de la vitesse de percolation, et ce quels que soient le
nombre de périodes (diurnes ou semi-diurnes) et le couple de profondeurs considérées. Il
serait donc possible sous cette hypothèse de déterminer la vitesse de percolation à un pas
diurne. En revanche si notre signal est modulé les résultats obtenus sont dispersés.
IV.B.1.e) Modulation
Si aux variations diurnes et semi-diurnes est superposée une variation transitoire lente
portant sur quelques jours (Fig 4.6), les résultats obtenus deviennent dispersés et on n’obtient
plus les valeurs correctes de la vitesse de Darcy.
L’explication de ce défaut n’est pas un manque de précision (on travaille en double
précision) mais a pour origine le fait que les variations transitoires modulent la composante
diurne (ou semi-diurne) d’une façon qui ne peut pas être identique aux différentes profondeurs
puisque les transitoires, plus lentes, pénètrent plus profondément (autrement dit, la
modulation n’étant pas exactement la même aux différentes profondeurs il faudrait un nombre
élevé de période pour bien l’éliminer).
99
11 14 17 21 24 28Temps (jours)
-2
0
2
4
Tem
péra
ture
(°C
)
12 cm
15 cm18 cm
24 cm32 cm
34 cm
Figure 4. 6 - Variation transitoire sur quelques jours venant se superposer aux variations
diurne et semi-diurne
Pour corriger ce défaut, on propose de profiter du fait que l’on dispose d’une part de la
variation semi-diurne et pas seulement de la diurne, et d’autre part de plusieurs paires de
profondeurs. On peut alors considérer que les meilleurs résultats (ou les moins mauvais) sont
ceux de la paire de profondeur qui donne simultanément les diffusivités apparentes et les
vitesses de Darcy les plus proches à partir de la variation diurne et à partir de la variation
semi-diurne. Les tests réalisés avec ce critère sur les données synthétiques montrent que la
moyenne obtenue entre les deux valeurs de vitesse est correcte à mieux que 10%. On
disposerait donc avec ce critère d’une méthode qui, sans être parfaite, permet une
détermination de la vitesse de Darcy au pas journalier ou avec un petit nombre de jours, mais
il reste à évaluer les difficultés introduites par la non-homogénéité du terrain.
L’utilisation d’un calcul analytique de prolongement, en exploitant les variations
transitoires (Tabbagh et al. 1999), en milieu tabulaire conduit à des calculs lourds.
Au vue des difficultés que soulève la méthode de calcul analytique traditionnelle et
comme les pas d’espaces et de temps choisis pour l’expérience menée à Boissy-le-Châtel sont
suffisamment petits, l’utilisation directe de schémas numériques mérite d’être considérée.
Pour évaluer la robustesse de cette approche on préfère ne pas se limiter à un seul schéma et
être capable de comparer les résultats obtenus en DF et avec plusieurs schémas en EF.
100
IV.B.2) Code en différences finies (DF)
IV.B.2.a) Principe
Le principe de toute méthode de résolution numérique d’équations aux dérivées
partielles est d’obtenir des valeurs numériques en des points discrets (ou nœuds) qui
approchent la solution exacte. Il existe pour ce faire de nombreuses méthodes, la plus
ancienne et la plus simple est la méthode des DF.
Les principes pratiques de cette méthode sont basés sur la discrétisation du continuum
spatio-temporel, en introduisant un pas d’espace 0h ⟩ et un pas de temps 0k ⟩ qui seront les
motifs de la construction (un maillage avec coordonnées discrètes en espace et en temps) de
ce qu’on appelle un schéma numérique (Fig 4.7).
t
z
2 3h k( , )k
h
j h n k( * , * )τ
τ
t
z
2 3h k( , )k
h
j h n k( * , * )τ
τ
Figure 4. 7 - Maillage en différences finies
On remplace le calcul de la fonction continue, ( ),T z t , par le calcul de valeurs
discrètes, valeurs approchées des température, τ ( ),i h m k . Pour remplacer les dérivées par
des différences finies on utilise la formule de Taylor dans laquelle on néglige les restes à
partir de l’ordre 3, on aurait par exemple avec un pas uniforme h en développant en z à l’ordre
4 :
2 2
3
2
2 2
3
2
( , ) ( , )( , ) ( , ) ( )
2
( , ) ( , )( , ) ( , ) ( )
2
T z t h T z tT z h t T z t h O h
z z
T z t h T z tT z h t T z t h O h
z z
∂ ∂+ = + + +
∂ ∂
∂ ∂− = − +
∂ ∂
+
+
(IV.19)
Ce qui donne en se limitant à l’ordre 2 :
( )
2
1 1
2 2 2
1 1
2( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )
2
,
m m m
i i i
m m
i i
T z t T z h t T z t T z h t
z h h
h
T z t
z
τ τ τ
τ τ
+ −
+ −
− +∂ + − + −= ≈
∂∂ − ≈ ∂
(IV.20)
101
cette seconde formule est dite centrée car elle est symétrique par rapport au point i, l’indice m
relatif au temps est placé en position haute pour alléger la notation.
Pour la dérivée en temps on a le choix entre les formules en DF centrées, en DF
avancées (schéma d’Euler progressif) ou en DF retardées (schéma d’Euler rétrograde), ce qui
conduit à trois schémas possibles de l’équation de la chaleur. Le pas en espace ne peut être
indépendant du pas en temps et la condition de stabilité est (Carslaw and Jaeger 1959) :
22v
k hC
λ ≤
(IV.21)
En adoptant par exemple, 1( , ) m m
i iT z t
t k
τ τ+ −∂ ≈∂
(IV.22)
on aura pour l’équation de la chaleur dans sa forme la plus simple :
1 1
2
11 12
02
m m m
i i i
m m m mw i i i i
v vh
C u
C C h k
τ τ τ τ τ τ τλ + −+
+ −− + − −− − =
(IV.23)
Si on choisit un pas de 2 en temps : 2( , )
2
m mi iT z t
t k
τ τ −−∂ ≈∂
(IV.24)
on aura le choix entre :
1 1
2
21 12
02 2
m m m
i i i
m m m mw i i i i
v vh
C u
C C h k
τ τ τ τ τ τ τλ + −−
+ −− + − −− − =
Euler rétrograde, (IV.25)
ou 1 1
2
21 12
02 2
m m m
i i i
m m m mw i i i i
v vh
C u
C C h k
τ τ τ τ τ τ τλ + −+
+ −− + − −− − =
Euler progressif. (IV.26)
Le problème à résoudre comporte 2 inconnues, vC
λΓ = et w
v
C uv
C= , mais avant
d’aborder en détail les différentes manières d’exécuter les calculs, il convient de reconsidérer
l’équation à résoudre en justifiant les approximations faites jusqu’ici dans les calculs
analytiques.
IV.B.2.b) Prise en compte (ou non) de la vaporisation/condensation de l’eau et de la variation de la diffusivité avec la profondeur
Alors que dans les calculs analytiques on cherche à négliger des termes de façon à
garder une équation de départ suffisamment simple pour qu’une solution puisse être trouvée,
les méthodes numériques permettent de considérer sans trop de difficultés supplémentaires
102
tous les termes d’un problème. On reconsidère donc les termes jusqu’ici négligés de
l’équation de la chaleur.
Dans cette équation l’ordre de grandeur du terme de transfert par convection est de
3,5 10-6 K s-1 pour une infiltration de 2 mm j-1 et un gradient de température de l’ordre de
0,1 K cm-1. On vérifie que les autres termes : variation des propriétés avec la profondeur ou le
terme de génération ou absorption de chaleur (par changement d’état ou tout autre mécanisme
de création ou d’absorption de chaleur) restent sensiblement plus faibles. L’équation à
considérer (dérivée du premier principe de la thermodynamique) est alors :
( ) ( )v
A z tTdiv grad T v T
t C
∂− −Γ + − = −∂
, (IV.27)
où A (z, t) représente la quantité de chaleur absorbée ou libérée au point considéré. Si A est
un terme de chaleur latente, pour v v
A q L
C C= =3,5 10-6 K s-1 (IV.28)
(valeur équivalente au terme de transfert par convection) on aurait q=1,52 10-9 m3 m-3 s-1 en
considérant un changement d’état de l’eau liquide en vapeur de chaleur latente,
L=2,3 109 J m-3. Si on suppose que seuls les 20 premiers centimètres contribuent à
l’évaporation c’est donc une évaporation de 0,2626 10-4 m d’eau par mètre carré et par jour
soit 0,026 mm, dont il faudrait tenir compte, valeur très faible par rapport à l’ETP qui peut
être de plusieurs mm j-1.
En ce qui concerne la variation de la diffusivité en se limitant à un problème 1D en z
on aurait :
2
20
T T T
Z Z Z tν∂ ∂ ∂Γ ∂ Γ + − − = ∂ ∂ ∂ ∂
(IV.29)
Dans cette expression, le terme qui multiplie la dérivée première de la température en z
comprend deux termes : l’un proportionnel à v et l’autre à la dérivée première de Γ en z. Un
calcul global de ce terme ne permettrait pas de déterminer v et il n’est pas établi que le
premier soit négligeable devant le second. Par exemple, pour u=3 mm j-1, on aurait
u Cw = 1,45 W m-2 K-1 et il suffirait d’avoir sur les 3 cm qui séparent les premiers capteurs
une variation de 0,044 W m-1 K-1 de la conductivité pour que le terme multipliant de la
dérivée première se trouve compensé.
103
On en déduit qu’il est préférable a priori de tenir compte à la fois d’une possible
génération/absorption de chaleur et de la variation spatiale de la diffusivité, ce qui augmente
le nombre d’inconnues à considérer. En fait les calculs tant sur des données synthétiques que
sur des données réelles ont montré que la prise en considération du terme d’absorption de
chaleur ne change pratiquement pas les résultats sur les autres paramètres v et Γ pour les
profondeurs et le contexte climatique considérés ici.
IV.B.2.c) Calcul direct de l’infiltration à partir d’un schéma en DF
Dans un premier temps, on se place dans l’hypothèse d’un sol homogène et d’une
absence de génération/absorption de chaleur où l’équation différentielle de départ s’écrit :
2
20
T T T
z z tν∂ ∂ ∂Γ − − =
∂ ∂ ∂ (IV.30)
Dans cette équation, pour des distances en z de l’ordre du centimètre ou de la dizaine de
centimètres, des pas de temps compris entre la minute et l’heure et pour des valeurs courantes
de l’infiltration, le nombre de Péclet est proche de 10-2. Comme on a choisi d’implanter les
mesures à des profondeurs et avec des écarts relativement faibles (12, 15, 18, 24, 32 et
34 cm), l’utilisation d’un pas de temps de 10 minutes, permet de vérifier la condition
2
12
k
h
Γ ≤ pour la plupart des valeurs de la diffusivité Γ possibles. A partir de l’équation
différentielle on peut en principe avec deux pas de temps disposer de deux relations
permettant de déterminer Γ et ν, mais compte tenu de la faible importance relative du terme de
convection on va devoir mettre en œuvre une méthode plus élaborée.
Cela peut être établi soit à partir d’un système à deux équations dans le temps ou bien
dans l’espace (Fig 4.8), avec miτ valeurs approchées de la température T(z,t) au point (zi,tm),
ce denier faisant intervenir les enregistrements de 4 capteurs au lieu de 3 pour le premier cas.
t
m=4
m=3
m=2
m=1
zi=1 i=3i=2 i=4
12τ
32τ 3
3τ 34τ3
1τ
13τ
t
m=4
m=3
m=2
m=1
zi=1 i=3i=2 i=4
12τ
32τ 3
3τ 34τ3
1τ
13τ
t
zi=1 i=3i=2 i=4
m=4
m=3
m=2
m=1
34τ
13τ
32τ
23τ
33τ
43τ4
2τ 44τ
t
zi=1 i=3i=2 i=4
m=4
m=3
m=2
m=1
34τ
13τ
32τ
23τ
33τ
43τ4
2τ 44τ
Figure 4. 8 - Système à deux équations dans le temps (à gauche) et dans l’espace (à droite)
104
Pour stabiliser et moyenner les résultats il est possible de choisir un intervalle de temps
comprenant une série de plusieurs pas et d’appliquer la méthode des moindres carrés (section
IV.B.2.d.) pour déterminer les deux inconnues. Par exemple pour la série de mesures estivale
allant du 1er juillet au 30 septembre 2009 soit 91 jours, on a 13104 mesures de température
(pas de temps de 10 minutes et 144 valeurs par jours) pour chaque capteur soit 78624 valeurs
à traiter pour les six capteurs. Lors du traitement numérique on a besoin de trois capteurs, la
résolution par moindres carrés se portera donc sur 39312 mesures de températures, pour
déterminer les deux inconnues v et Γ pour cette intervalle d’analyse (91 jours). Néanmoins
l’application directe de ce processus conduit à partir des données expérimentales à des valeurs
visiblement erronées, on doit donc affiner les hypothèses : en premier lieu ne pas considérer
que le terrain est thermiquement homogène.
En prenant en compte la variation des propriétés thermiques avec la profondeur, on part
de l’équation : ( ) 0T
div grad T Tt
ν ∂− −Γ + − =∂
(IV.31)
On va rechercher le meilleur schéma numérique et le nombre d’intervalles à prendre en
compte simultanément par la méthode des moindres carrés pour aboutir à un résultat robuste
avec comme hypothèses : Γ variable en z mais fixe sur le groupe d’intervalles de temps
considéré et ν constant sur la gamme de profondeurs et sur le groupe d’intervalles de temps
considéré.
Etant donné que nos capteurs ont été implantés avec des pas d’espace non identiques
(profondeur de 12, 15, 18, 24, 32 et 34 cm i.e. des pas de 3, 3, 6, 8 et 2 cm), nous donnons ci
dessous les expressions des dérivées premières et secondes obtenues en repartant de la
formule de Taylor.
( ) ( )
( )( )1 1 0 1 1 1 1 0 1 1
21 1 0 1 1 0
m m m m m mi i i i i i
v v
m m m m mi i i i i
C ud d d c c c
C C
c c c
λ τ τ τ τ τ τ
τ τ τ τ τ
− + + − − + + −
−− + + −
+ + − − +
′ ′ ′− − + − = (IV.31)
L’expression des coefficients ic , id et mc′ dépendent du choix du maillage et de la
précision souhaitée. Pour un maillage quelconque, celui-ci sera précis au deuxième ordre pour
les termes de convection et d’évolution dans le temps et au premier ordre pour la diffusion.
Ainsi les coefficients seront donnés par les relations (IV.32) :
105
( )( )( )
11
1 1 1
i i
i i i i
h hc
h h h h+
−− + −
−=
− −
( )( ) ( )
1 10
1 1
2i i i
i i i i
h h hc
h h h h+ −
− +
− +=
− −
( )( )( )
11
1 1 1
i i
i i i i
h hc
h h h h−
++ + −
−=
− −
( )( )( )
1
1 1 1 1
m m
m m m m
k kc
k k k k
+
− − + −
−′ =
− −
( )( ) ( )
1 1
0 1 1
2m m m
m m m m
k k kc
k k k k
+ −
− +
− +′ =
− −
( )( )( )
1
11 1 1 1
m m
m m m m
k kc
k k k k
−
+ + + −
−′ =
− −
( )( )11 1 1
2
i i i i
dh h h h−
− + −
=− −
( ) ( )01 1
2
i i i i
dh h h h− +
= −− −
( )( )11 1 1
2
i i i i
dh h h h+
+ + −
=− −
Dans notre cas le pas de temps est constant (10 minutes) : conformément au protocole
adapté pour les mesures on se place toujours dans le cas d’un pas de temps constant.
( ) ( )1 1m m m mk k k k k− +− = − = , (IV.33)
( ) ( ) ( )2
1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 02
m mi iwm m m m m m
i i i i i iv v
C ud d d c c c
C C k
τ τλ τ τ τ τ τ τ−
− + + − − + + −
− + + − − + − =
(IV.34)
Considérons par exemple le cas particulier où le pas d’espace est constant et égal à
( ) ( )1 1i i i ih h h h h− += − = − , la relation précédente prend alors la forme classique simple
suivante :
( ) ( )2
1 1 1 12
1 12 0
22
m mm m m m mw i ii i i i i
v v
C u
C C kh h
τ τλ τ τ τ τ τ−
+ − + −
−− + − − −
=
(IV.35)
Dans le cas où Γ est variable et défini aux mêmes points que les mesures de la
température, on a alors les termes suivants (avec 3 inconnues en Γ à calculer, Γi-1, Γi, Γi+1, en
plus de ν ) :
( ) ( ) ( )1 1 1 1
1 1 1 1
22 2
m m m mi i i i i i i i
i i i i i ih h h h h h
τ τ τ τ+ + − −
+ − + −
Γ + Γ − Γ + Γ − − − − −
( ) ( )
( ) ( )
1 11 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
m m m mj j j ji i i i
i i i i i i i i
i i i i i i i i
i i i i i i i i
h h h h
h h h h h h h h
h h h h
h h h h h h h h
τ τ τ τ
ν
+ −− +
+ − + + − −
+ − − +
+ − + + − −
− − − −+ − − − −
Γ − Γ − Γ − Γ −− + + − − − −
(IV.36)
1 1
2i im m
k
τ τ+ −−=
106
Dans le cas où Γ est variable en z mais fixe dans chaque segment : Γi entre les points
d’indices i-1 et j et Γi+1 entre les points d’indice i et i+1 , on a alors (pour 2 inconnues en Γ à
calculer) :
( ) ( ) ( )1 1
11 1 1 1
2 m m m mi i i i
i ii i i i i ih h h h h h
τ τ τ τ+ −+
+ − + −
− −Γ − Γ − − −
( ) ( ) ( )1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
2m m m mi i i i i i i i i i
i i i i i i i i i i
h h h h
h h h h h h h h h h
τ τ τ τ ν+ − − + +
+ − + + − − + −
− − − − Γ − Γ+ − + − − − − − (IV.37)
1 1
2ii
m m
k
τ τ+ −−=
IV.B.2.d) Application de la méthode des moindres carrés
Les expressions aux DF, comme celles que l’on définira plus loin avec les EF
conduisent pour chaque pas de temps à une relation linéaire entre les inconnues recherchées,
par exemple les 3 valeurs de Γ et ν, du type :
1 1i i ia b c d eν+Γ + Γ + Γ + =- (IV.38)
Il faudrait dans cet exemple disposer de 4 pas de temps pour pouvoir calculer les 4
inconnues. En pratique, pour moyenner et stabiliser les résultats, il est préférable de prendre
simultanément en compte un nombre nettement plus important de pas de temps,
correspondant par exemple à une demi-journée ou à une journée entière, et d’appliquer la
méthode des moindres carrés.
Elle consiste à considérer la somme : ( )2
1 1i i im
P e a b c dν− += − Γ − Γ − Γ −∑ (IV.39)
et à calculer les 4 inconnues de telle sorte que cette somme soit minimisée en posant :
1
0i
P
−
∂ =∂Γ
, 0i
P∂ =∂Γ
, 1
0i
P
+
∂ =∂Γ
et 0P
ν∂ =∂
(IV.40)
Toutefois on peut améliorer le résultat en imposant des conditions complémentaires en
cherchant à minimiser la quantité :
( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 1 1i i i i i i im
Q e a b c dν− + − += − Γ − Γ − Γ − + Γ − Γ + Γ − Γ∑ (IV.41)
107
Ce choix est cohérent avec le fait que l’on considère une vitesse de Darcy constante ; il
ne devrait pas y avoir de stockage ou de déstockage d’eau dans l’intervalle de profondeur
considéré et la variation de diffusivité doit être minimale.
IV.B.2.e) Application des codes DF sur des données synthétiques
Les différents jeux de données synthétiques utilisés sont générés à partir de calculs
analytiques en considérant d’abord le cas très simple d’une sinusoïde diurne pure avec un sol
homogène, puis toujours un sol homogène mais une variation temporelle où se superposent la
variation diurne, la variation semi-diurne et une variation transitoire (Fig 4.6), et enfin un sol
tabulaire à trois couches avec une variation temporelle où interviennent simplement une
diurne et une semi-diurne.
Le premier schéma (section IV.B.2.c) à 4 inconnues (3 inconnues en Γ à calculer en
plus de ν ) est le plus satisfaisant. Retrouver les bonnes valeurs pour Γ ne cause aucun
problème, en revanche retrouver les bonnes valeurs de vitesse de Darcy n’est possible que par
l’introduction d’un terme correctif à la vitesse de Darcy, différent selon les groupes de points
utilisés et qu’on ne voit pas comment justifier physiquement. La superposition d’un
phénomène transitoire (modulation) vient disperser les résultats. Pour caractériser cette
dispersion nous avons fait un test sur 24 jours pour lesquelles nous avons obtenu pour les
triades (12, 15, 18 cm) et (12, 18, 24 cm) respectivement les médianes de 1,57 et -2,02 mm j-1
et les écarts interquartiles de 3,09 et 3,90 mm j-1 alors que la valeur unique de l’infiltration
était de 3 mm j-1.
Dans le seul cas d’une sinusoïde pure sur sol homogène (les données étant générées à
12, 15 et 18 cm avec un pas de temps de 10 minutes, la valeur choisie pour u pouvant être
positive (infiltration) ou négative (exfiltration) et la diffusivité thermique étant de
0,44 10-6 m2 s-1), on a pu calculer les valeurs de ν et de Γ directement via un schéma aux DF
à deux inconnues, et (avec la méthode des moindres carrés) pour un épisode de temps d’une
journée (puisque la sinusoïde est pure). L’erreur maximale entre ce que nous avons adopté
comme valeurs de u et ce que nous calculons en sortie, est, dans le cas le plus défavorable de
l’ordre de 0,03 mm j-1 avec une exfiltration en sortie de l’ordre de 0,97 mm j-1 au lieu de
1 mm j-1. Par ailleurs nous remarquons que, pour un u élevé de l’ordre de 15 mm j-1, l’erreur
relative sur u ne dépasse pas 1%.
108
L’erreur relative maximale entre ce nous avons adopté comme valeur de diffusivité (soit
0,44 10-6 m2 s-1) et ce que nous avons obtenu, sur une journée, a été de l’ordre de 3% pour une
exfiltration de l’ordre de 5 mm j-1, soit le cas le plus défavorable de notre série de test
(Fig 4.9).
-10 -5 0 5 10 15vitesse de Darcy (mm/jour)
4.4E-006
4.5E-006
4.6E-006
4.7E-006
4.8E-006
diff
usiv
ité th
erm
ique
(m2 /
s)
erreur relative maximale de l'ordre de 3 %
Figure 4. 9 - Erreur relative maximale pour le terme de diffusivité en fonction de l’infiltration
ou de l’exfiltration
Pour connaitre l’influence d’une erreur de positionnement de l’un des capteurs, sur les
résultats obtenus en u et Γ , nous avons effectué un test où pour une diffusivité thermique
donnée (0,44 10-6 m2 s-1) et pour différentes infiltrations (ou exfiltrations), la position de l’un
des capteurs varie de quelques millimètres (Fig 4.10).
Z=12 cm
Z=15 cm
Z=18 cm
erreur de positon du capteurs cp1
erreur de positon du capteurs cp2
erreur de positon du capteurs cp3
Z=12 cm
Z=15 cm
Z=18 cm
erreur de positon du capteurs cp1
erreur de positon du capteurs cp2
erreur de positon du capteurs cp3
Figure 4. 10 - Erreur de position des capteurs
109
Sachant que le pas d’espace entre les capteurs les plus proches est de 30 mm, l’erreur de
positionnement change de 3,3%, pour chaque écart d’espace de l’ordre de 1 mm. Les
conséquences sur les valeurs de diffusivité thermique et de vitesse de Darcy calculées sont
présentées dans les tableaux 4.1 et 4.2.
Erreur relative sur les valeurs de diffusivité
Position des capteurs Capteur à 12 cm Capteur à 15 cm Capteur à 18 cm
Erreur de position de 3,3% vers le haut 5,9% 14,6% 0,2%
Erreur de position de 3,3% vers le bas 9,3% 3,5% 2,6%
Tableau 4. 1 - Erreur relative sur les valeurs de diffusivité thermique (pour u=10 mm j-1)
Erreur relative sur les valeurs de vitesse de Darcy
Position des capteurs Capteur à 12 cm Capteur à 15 cm Capteur à 18 cm
Erreur de position de 3,3% vers le haut 41% 115% 45%
Erreur de position de 3,3% vers le bas 50% 78% 54%
Tableau 4. 2 - Erreur relative sur les valeurs de la vitesse de Darcy (pour u=8 mm j-1)
Nous constatons que, comme on pouvait s’y attendre, une erreur de positionnement des
capteurs affecterait considérablement plus le terme d’infiltration que celui de la diffusivité
thermique. Par ailleurs, l’erreur de positionnement du capteur du milieu (à 15 cm) a plus
d’influence que celle des deux autres capteurs (à 12 et 18 cm). Nous constatons aussi que
l’erreur de positionnent du capteur le plus profond (à 18 cm) a le moins d’influence sur la
détermination du terme de diffusivité ce qui s’explique par l’effet de l’amortissement de la
variation diurne avec la profondeur.
Ce risque d’erreur de positionnement a été pris en compte lors de l’installation des
capteurs où on a utilisé une plaque en laiton avec canons pour faire des avant-trous (Fig 4.11)
Figure 4. 11 - Plaque métallique en laiton avec canons écartés de 3 cm
110
IV.B.3) Code en éléments finis (EF)
IV.B.3.a) Principe
Soient trois points dans l’une des dimensions du domaine (par exemple z) z1, z2, z3. Ces
trois points ou nœuds définissent 2 segments, ou éléments, sur lesquels on choisit une loi de
variation de la fonction considérée, ici la température, T. Avec, par exemple une variation
linéaire, on appelle N1(z) la variation adoptée sur le segment 1 et N2(z) la variation sur le
segment 2. Ces deux segments constituent le domaine sur lequel on décrit les variations de la
température. Dans sa formulation d’origine la méthode des EF demanderait que l’on définisse
ensuite la fonctionnelle que les valeurs de la fonction, T, aux nœuds du domaine doivent
minimiser mais la nature physique de la température ne permet pas de poser le problème à
résoudre en ces termes variationnels car la seule façon « physique » de choisir la fonctionnelle
est d’adopter l’expression de l’énergie potentielle du système physique considéré ce qu’on ne
sait pas faire avec la température (qui est elle-même une expression de l’énergie).
La méthode utilisée ici pour définir les relations entre les valeurs de T aux nœuds du
domaine est la procédure de Galerkin. Elle permet de partir de l’équation aux dérivées
partielles et par intégration par parties de pouvoir traiter des équations avec des dérivées
secondes tout en considérant des variations linéaires sur les éléments ce qui permet d’utiliser
un nombre limité de nœuds (ici 3 en z et en t).
Le principe de cette procédure est le suivant. Soit l’équation aux dérivées partielles :
( )( ) 0L f x = (IV.42)
Dans le domaine où cette équation est vérifiée, on a : ( )( ) 0L f x dx=∫ (IV.43)
De même en la multipliant par une autre fonction non nulle, D(x), on a toujours :
( ) ( )( ) 0D x L f x dx=∫ (IV.44)
Le choix de la fonction D(x) est libre. Dans la réalité, les expressions qui seront
adoptées pour la fonction f(x) ne pourront respecter exactement l’équation différentielle dans
tout le domaine et son intégrale ne sera pas exactement nulle mais comportera « un résidu ».
La procédure de Galerkin consiste à choisir comme fonction D(x), la fonction d’interpolation
N(x) de façon à ce que la condition : ( ) ( )( ) 0N x L f x dx=∫ (IV.45)
impose à la fonction d’interpolation d’être orthogonale à ce résidu.
111
Soit ici l’équation : ( ) 0T
div gradT Tt
ν ∂− −Γ + − =∂
(IV.46)
on peut considérer séparément les deux dimensions z et t et adopter comme éléments des
segments ou considérer des éléments triangulaires dans le plan ( ),z t .
Dans le cas le plus simple où on considère séparément les deux dimensions et en se
limitant à z, on part donc de : ( )3
1
0z
z
T TN z z T dz
z z tν∂ ∂ ∂ Γ − − = ∂ ∂ ∂
∫ ( ) (IV.47)
où N(z) est une fonction linéaire différente sur chaque élément. Soit en décomposant chacun
des termes de l’équation sur les 2 éléments du premier terme : ( )2
1
1
z
z
TN z dz
z z
∂ ∂ Γ ∂ ∂ ∫ (IV.48)
Par intégration par partie et par élimination des conditions aux limites qui s’annulent
avec les contributions des éléments voisins, cette intégrale est égale à :
2
1
1
z
z
N Tdz
z z
∂ ∂− Γ∂ ∂∫ (IV.49)
où : 1 22 1
2 1 2 1
( )z z z z
T z T Tz z z z
− −= +− −
, 1 22 1
2 1 2 1
( )z z z z
zz z z z
− −Γ = Γ + Γ− −
et 11
2 1
z zN
z z
−=−
(IV.50)
Le calcul de cette intégrale aboutit à : ( ) ( )( )2 1 2 1
2 1
1
2T T
z z− Γ + Γ −
− (IV.51)
Le deuxième terme se calcule de la même façon :
( )2 2
1 1
11 2 12
z z
z z
T NN dz T dz T T
z z
νν ν∂ ∂− = = +∂ ∂∫ ∫ (IV.52)
L’intégration du troisième terme se réalise par l’intégration de l’ensemble selon l’autre
variable t.
IV.B.3.b) Schémas numériques utilisés
En gardant les notations précédentes, en appliquant la procédure de Galerkin aux
éléments d’espace [i-1, i] et [i, i+1 ] et de temps [m-1, m] et [m, m+1] avec pour les deux
variables des variations linéaires indépendantes, soit en prenant en compte 9 points, on a
112
finalement (Г, la diffusivité étant définie aux 3 nœuds et variant linéairement sur chaque
élément) :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 11 1 1 1
1
1 1 1 11 1 1 1
1
1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1
2 1
2 3 6
2 1
2 3 6
2 1 1
3 6 12
m m m m m mi i i i i i i i
i i
m m m m m mi i i i i i i i
i i
m m m m m m m m mi i i i i i i i i
k
h h
k
h h
k
τ τ τ τ τ τ
τ τ τ τ τ τ
ν τ τ τ τ τ τ τ τ τ
+ + − −+ + + +
+
+ + − −− − − −
−
+ + − + − ++ − − − + +
Γ + Γ − + − + − −
− Γ + Γ − + − + − −
− + + + + + + + +
( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 1 1
1
2 3 6 6m m m m m mi i i i i ii i i i i i
h h h h h hτ τ τ τ τ τ+ − + − + −+ − − +− − + +
− − − = − + − + −
(IV.53)
En appliquant la même procédure sur les éléments d’espace et de temps avec des
variations linéaires indépendantes en z et en t, et en ne considérant que 5 points, on a :
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 11 1
1 11 11 1
2 2
22 4
m m m mi i i i i i i i
i i i i
m m m m mi ii i i i i
k k
h h h h
h hk
τ τ τ τ
ν τ τ τ τ τ
− − + +− +
+ −+ −+ −
− Γ + Γ − + Γ + Γ −− −
−+ + + = −
(IV.54)
En appliquant la même procédure aux 4 éléments triangulaires entourant le point, on
obtient :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 11 1
1 1
1 1 1 11 1 1 1
4 4
3 6 3 6
23 3 2
m m m mi i i ii i i i
i i i i
m m m mm m m i ii i i ii i i
k k
h h h h
h hk
τ τ τ τ
τ τ τ τν τ τ τ
− +− +
− +
+ − + −− + − +
Γ Γ Γ Γ − + − + + − − −
− + ++ − + = −
(IV.55)
Ces différents schémas peuvent être comparés sur des données synthétiques comme sur
les données réelles. Le fait de disposer de plusieurs schémas permet, si les résultats sont
concordants de pouvoir les considérer comme sûrs.
IV.B.3.c) Application des schémas en EF sur des données synthétiques
Les schémas aux EF se sont avérés plus stables et plus robustes que les schémas aux
DF. Ils ont fourni par exemple avec des données synthétiques des résultats stables pour la
détermination de la diffusivité jusqu’à des épisodes limités à 2h (12 points en temps).
Néanmoins, l’utilisation de données avec variations transitoires aboutit toujours à des résultats
113
dispersés et inutilisables même si la distance interquartile est plus faible qu’avec le schéma
aux DF.
IV.C) Analyse spectrale des données réelles
Avant de passer au calcul sur des données réelles, nous allons effectuer une analyse
spectrale des mesures de température pour les 6 profondeurs 12, 15, 18, 24, 32 et 34 cm.
L’application de la transformée de Fourier rapide (FFT) aux mesures permet de mettre en
évidence les fréquences dominantes.
L’analyse spectrale des mesures du 1er juillet 2009 au 30 septembre 2009 (Fig 4.12)
met en évidence la prédominance du spectre d’amplitude à 24 h et (moins) celui à 12 h.
01-Ju
l-09
11-Ju
l-09
21-Ju
l-09
31-Ju
l-09
10-A
ug-09
20-A
ug-09
30-A
ug-09
09-S
ep-09
19-S
ep-09
29-S
ep-09
09-O
ct-09
Temps (jours)
12
16
20
24
28
Tem
péra
ture
(°C
)
12 cm15 cm18 cm24 cm32 cm34 cm
Figure 4. 12 - Épisode d’enregistrement des températures du 1er juillet 2009 au 30 septembre
2009
Cela nous permet de vérifier (Fig 4.13) que ces mesures sont caractérisées par la
présence d’harmoniques d’ordre 1 (la sinusoïde à 24 h) et d’ordre 2 (celle à 12 h).
114
18 20 22 24 26 28 30
0.5
1
1.5
2
|FF
T(t
empe
ratu
re)|
12 cm15 cm18 cm24 cm32 cm34 cm
Figure 4. 13 - Présence des harmoniques d’ordre 1 et 2
IV.D) Calculs sur les données réelles
IV.D.1) Calcul par utilisation des rapports d’amplitude et des déphasages de la variation diurne
Dans une première étape on a choisi de traiter les données des enregistrements de
température par épisodes pluvieux et sec. La série de mesures correspond à une période sèche
du 1er août au 30 septembre, suivie d’une période pluvieuse du 1er octobre au 15 décembre
2009.
L’utilisation des diffusivités apparentes en amplitude et en phase calculées à partir de la
variation diurne pour chacune de ces périodes et pour chaque couple de capteurs par les
formules :
2
2 1
2 ( )amp
z z
Ln R
ω −Γ =
(IV.56) et 2
2 1
2ph
z zωϕ
−Γ = ∆ (IV.57)
donne les résultats, pour une série de mesures de température données, présentés dans le
tableau 4.3.
Période sèche
1er aout-30 septembre
Période pluvieuse
1er octobre-15 décembre
Couple de capteurs Гamp (10-6) Гph (10-6) Гamp (10-6) Гph (10-6)
0,12 à 0,15 cm 0,96 1,60 1,00 1,30
0,15 à 0,18 cm 0,60 0,92 0,60 0,69
0,18 à 0,24 cm 0,44 0,57 0,45 0,47
0,24 à 0,32 cm 0,35 0,46 0,41 0,40
0,32 à 0,34 cm 0,27 0,40 0,39 0,32
Tableau 4. 3 - Diffusivités apparentes en amplitude et en phase pour chacun des épisodes
115
Une première lecture des résultats obtenus, à partir des cycles journaliers, montre bien
que la diffusivité apparente Гph, au sein du même épisode de temps, varie avec les couples de
profondeur. On a donc a priori un terrain dont les propriétés thermiques varient avec la
profondeur entre 12 et 34 cm (Fig 4.14).
2E-007 4E-007 6E-007 8E-007 1E-006 1.2E-006 1.4E-006
diffusivité apparente en phase (m2 s-1)
36
32
28
24
20
16
12
prof
onde
urs
(cm
)
Cp 12 cmCp 15 cm
Cp 15 cmCp 18 cm
Cp 18 cmCp 24 cm
Cp 24 cmCp 32 cm
Cp 32 cmCp 34 cm
Figure 4. 14 - Variation de Γph en fonction de la profondeur (1er octobre au 15 décembre
2009)
On observe (Fig 4.14) une décroissance monotone de la diffusivité apparente Гph avec la
profondeur et des valeurs anormalement élevées pour le couple 12 à 15 cm. Rappelons qu’ici
l’infiltration n’est pas en cause puisqu’elle influe uniquement sur Гamp (la comparaison entre
termes de diffusivités apparentes en amplitude, obtenus à partir des variations journalières,
pour des périodes sèche et humide confirme bien l’existence de cette influence).
Dans une seconde étape, nous avons traité les données de la période (85 jours)
s’étendant du 22 septembre (à 12 h) au 15 décembre 2009 (à 12 h), qui correspond en principe
au changement le plus significatif de la pluie efficace (différence entre les précipitations et
l’évapotranspiration réelle). Cette période présente les plus fortes variations d’infiltration et
de la teneur en eau qui puissent se rencontrer au cours d’un cycle annuel. Au début de cette
période, l’amplitude de la variation diurne est bien marquée, elle est très faible pour plusieurs
des jours de la fin de cette période.
116
Sur ces 85 jours, soient 12240 points de mesures sur 6 profondeurs, plusieurs
traitements ont été testés et appliqués :
1) détermination des diffusivités apparentes pour les variations diurne et semi-diurne sur
des durées de 1, 3, 5, 7 et 9 jours.
2) puis détermination de la vitesse de Darcy et des variations de la teneur en eau à partir
du modèle du terrain homogène en appliquant le critère de cohérence entre les diffusivités
apparentes Гph et les vitesses obtenues avec la diurne et la semi-diurne.
3) puis élimination des valeurs aberrantes par un filtrage par la médiane et finalement
lissage par une moyenne sur 7 jours.
Au terme de ces traitements on n’a pas de résultats satisfaisants, la dispersion des
valeurs de variations de la vitesse reste autour de 10 mm j-1, et si qualitativement on observe
des corrélations avec la pluie ou l’ETP, elles sont quantitativement inexploitables.
On peut en conclure que la méthode consistant à extraire les amplitudes et les phases
des variations sinusoïdales, appliquée avec succès pour des variations annuelles et
pluriannuelles, ne permet pas une détermination correcte de la vitesse de Darcy (ou plus
modestement de ses variations) sur des durées de la journée à quelques jours. La cause
principale comme le montre sans ambiguïté le traitement de données synthétiques en est la
modulation de la variation diurne. On doit donc se tourner vers les méthodes numériques.
IV.D.2) Calcul par schéma en EF - Détermination de la diffusivité en EF et suivi de la teneur en eau
Comme on l’a présenté au chapitre II, les travaux portant sur la détermination de la
teneur en eau à partir des propriétés thermiques sont nombreux et anciens, cependant
l’utilisation de mesures passives est limitée (à notre connaissance) au suivi de la variation
annuelle (Béhaegel et al. 2007). Compte tenu de la cohérence des résultats obtenus quant à la
diffusivité entre DF et EF et de la plus grande robustesse des schémas en EF nous avons
adopté ces derniers pour les données de Boissy-le-Châtel en traitant par la méthode des
moindres carrés des épisodes de 24 h soit 144 pas de temps et en retenant comme résultat à
chaque épisode la moyenne 4
2 11 +− Γ+Γ+Γ=Γ iii (IV.58)
117
où Гi est la diffusivité thermique qui correspond à la position du capteur i, puis en utilisant la
formule (IV.16) : 11 2,
δδθ Γ= −Γ
. Un lissage sur une fenêtre glissante de 7 jours (par moyenne
ou par médiane) montre des résultats très comparables à ceux obtenus à partir des variations
de teneur en eau données par les sondes TDR implantées sur le site à faible distance (chapitre
III).
Pluie mesurée
Variations relatives de la teneur en eau calculées à
partir des capteurs de température à 12, 18 et
24 cm
à 5 cm
à 25 cmà 15 cm
Variations relatives de la teneur en eau
mesurées à partir des sondes TDR
11-Ja
n-10
21-Ja
n-10
31-Ja
n-10
10-F
eb-1
0
20-F
eb-1
0
02-M
ar-10
Figure 4. 15 - Précipitations mesurées - Variations de la teneur en eau (valeur moyenne entre
12 à 18 cm) calculées par EF à partir des mesures passives de température (en marron), et obtenues à partir des sondes TDR (à 5 cm : en vert, à 15 cm : en rouge et à 25 cm : en bleu)
A titre d’exemple, la figure 4.15, montre les résultats de la comparaison entre les
variations de la teneur en eau mesurées par les sondes TDR aux différentes profondeurs (cf.
chapitre III) et les variations calculées par EF à partir des variations de la température en
prenant les trois profondeurs à 12, 18 et 24 cm sur la période du 11 janvier au 2 mars 2010. La
corrélation est bonne (0,67 à 0,75) avec les sondes à 15 et 25 cm, la plus grande variabilité des
résultats de la sonde à 5 cm est tout à fait attendue.
Sur la même période, la comparaison avec les précipitations journalières est moins
parlante (Fig 4.15) puisque l’on part de données lissées sur 7 jours. Les fortes pluies
(rencontrées dans notre série de mesures) des 16 et 29 janvier, de respectivement 9,4 et
8,8 mm m-2 correspondent bien à des maxima, mais tel n’est pas le cas pour l’épisode
118
pluvieux des 5 et 6 février et il est difficile d’expliquer l’apparent retard de la pluie sur la
variation de la teneur en eau du sol le 20 février. Malgré cela, les résultats obtenus par les
sondes TDR à 15 et 25 cm sont cohérents, ils montrent bien l’existence de cette épisode de
montée de la variation de la teneur en eau à partir du 10 février.
IV.D.3) Calculs à partir d’un schéma par DF - Détermination de la vitesse de Darcy
IV.D.3.a) Choix des épisodes
Rappelons qu’il n’est pas possible de déterminer à partir des enregistrements de la
température les trois paramètres, u, λ, Cv, puisque le système d’équations à résoudre serait
alors indéterminé, on ne peut déterminer que 2 paramètres Γ et ν. Mais en fixant Cv à une
valeur vraisemblable (mais arbitraire) il est possible d’exprimer les résultats en λ et u. Dans
cette section, nous exprimerons les résultats finaux obtenus en u.
Pour tenir compte des différentes situations de température et de pluie, nous avons
choisi, figure 4.16, trois épisodes représentatifs d’une situation chaude et sèche (A), d’une
période de transition (B) et d’une situation froide et humide (C).
Feb-0
9
Mar-
09
Apr-0
9
May
-09
Jun-
09Ju
l-09
Aug-0
9
Sep-
09
Oct-
09
Nov-0
9
Dec-0
9
Jan-1
0
Feb-1
0
Mar-
10
Apr-1
0
Mois
0
20
40
60
80
Pré
cipi
tatio
ns (m
m)
5
10
15
20
25
Tem
pérature (°C)
Pluie mensuelle (mm)Température à 12 cm15 cm18 cm24 cm32 cm34 cm
A
C
B
Figure 4. 16 - Episodes de traitement
119
L’épisode A s’étend du 1er juillet au 22 septembre 2009 (jours de téléchargement des
résultats et de reconfiguration des capteurs). Cet épisode est caractérisé par une forte
amplitude des variations diurnes en plus d’une pluviométrie faible.
L’épisode B s’étend du 1er octobre jusqu’à la fin novembre 2009, il est caractérisé par
de fortes précipitations avec des variations diurnes d’amplitude moyenne.
L’épisode C s’étend du 17 décembre 2009 au 8 mars 2010 (il manque des données le 10
février 2010). Cet épisode est caractérisé par de faibles amplitudes de la variation diurne et
par une pluviométrie modérée.
IV.D.3.b) Détermination de la structure thermique du terrain par recherche de la position optimale d’une interface
Les tests sur des données synthétiques ayant montré que les différents schémas
numériques ne permettaient pas une détermination quantitative correcte de la vitesse de
Darcy, il n’est pas surprenant que la même difficulté (section IV.B.2.e) ait été rencontrée sur
les données réelles. Cette non adéquation entre les modèles (simples) et la réalité correspond
au fait qu’une variation linéaire (implicitement ou explicitement utilisée dans les schémas
numériques présentés jusqu’ici) de la diffusivité avec la profondeur ne colle pas assez bien
avec la réalité du terrain. Lors du traitement des données pluri-annuelles (Cheviron et al.
2005), il s’est avéré nécessaire de décrire précisément la variation avec la profondeur des
propriétés thermiques avant de pouvoir déterminer u, on suit ici la même démarche en
cherchant dans un premier temps à définir de manière optimale la structure verticale du
terrain. Le modèle où une interface correspondant à un changement brutal des propriétés vient
se positionner entre les points utilisés dans le schéma numérique s’avère pertinent.
Pour définir au mieux la position d’une interface et les propriétés thermiques, entre les 3
points (i-1, i et i+1) considérés, qui correspondent au positionnement des capteurs de
température, on applique un nouveau maillage, très fin, au domaine compris en profondeur
entre les points extrêmes (qui correspondent à la position des capteurs extrêmes), zi-1 et zi+1 et
couvrant tout l’épisode choisi en temps. On a alors un nouvel échantillonnage de I points en
profondeur et M points en temps. On utilise un schéma en DF en partant de l’équation :
( )1 2
21 1 1 12
22m m m m m m mw
i i i i i i i
K
s v
K
k C k u
C h C h
λ τ τ τ τ τ τ τ −+ − + −
−− + + − = −
(IV.59)
que l’on exprime sous la forme : ( ) ( ) ( )21 1 2 1 1 2 12 1 0m m m m
i i i iK K K K Kτ τ τ τ−+ −+ − − + − − = (IV.60)
120
On va calculer la température en tous les points du nouveau maillage en prenant les
valeurs de température en zj-1 et zj+1 comme conditions aux limites et à partir d’une condition
initiale obtenue en interpolant les valeurs de température en début d’épisode. Le principe du
calcul est présenté sur la figure 4 .17.
Conditions initiales m=0
Conditions aux lim
itesi+
1C
ondi
tions
aux
lim
ites
i-1
11τ
21τ
31τ
51τ
41τ
12τ
22τ
32τ
52τ
42τ
13τ
23τ
33τ
53τ
43τ
14τ
24τ
34τ
54τ
44τ
15τ
25τ
35τ
55τ
45τ
1Jτ
2Jτ
3Jτ
5Jτ
4Jτ
i=Ii=1 i=3i=2 i=5i=4
m=5
m=4
m=3
m=2
m=1
t
zConditions initiales m=0
Conditions aux lim
itesi+
1C
ondi
tions
aux
lim
ites
i-1
11τ
21τ
31τ
51τ
41τ
12τ
22τ
32τ
52τ
42τ
13τ
23τ
33τ
53τ
43τ
14τ
24τ
34τ
54τ
44τ
15τ
25τ
35τ
55τ
45τ
1Jτ
2Jτ
3Jτ
5Jτ
4Jτ
i=Ii=1 i=3i=2 i=5i=4
m=5
m=4
m=3
m=2
m=1
t
z
Figure 4. 17 - Exemple de maillage spatio-temporel pour M=5 (en temps) et I=6 (en
profondeur)
Ce calcul permet, sur le nouveau maillage, de choisir la position de l’interface et les
valeurs de la diffusivité au dessus et en dessous. En balayant sur toute la gamme possible pour
chacun, on peut définir les valeurs optimales de ces trois paramètres comme celles qui
permettent le meilleur accord (au sens de la norme L2) entre les valeurs de température ainsi
obtenues en zj et les valeurs expérimentales en ce point.
Nous avons choisi de traiter deux épisodes de données (avec les capteurs à 12, 15 et
18 cm) : le premier couvrant la période estivale allant du 1er juillet au 30 septembre 2009
(épisode A) soit 91 jours, le deuxième couvrant la période hivernale allant du 17 décembre
2009 au 8 mars 2010 (épisode C) soit 81 jours. Avec chacun des jeux de données nous avons
déplacé l’interface entre 13 et 17 cm selon un pas de 1 cm, les valeurs de diffusivité variant
entre 0,2 et 0,96 10-6 m2 s-1 par pas de 0,002 10-6 m2 s-1. La gamme de valeurs adoptée comme
position de l’interface a été choisie en tenant compte du résultat du sondage électrique. La
figure 4.18 présente une comparaison entre les courbes de température mesurées et calculées à
15 cm sur une durée de 8 jours dans chacun des deux épisodes.
121
18-Ja
n-10
20-Ja
n-10
22-Ja
n-10
24-Ja
n-10
26-Ja
n-10
T(°
C)
6-Aug
-09
8-Aug
-09
10-A
ug-09
12-A
ug-09
14-A
ug-09
T(°
C)
éche
lleve
rtic
ale
(hiv
er)=
éche
lleve
rtic
ale
(été
)x4
Figure 4. 18 - Comparaison entre les variations mesurées et calculées (du 18 au 26 janvier et
du 6 au 14 aout 2009), en bleu les valeurs calculées, en rouge les mesures de température
Pour la période hivernale (épisode C) : la somme des écarts quadratiques relatifs entre
les valeurs calculées et celles mesurées à 15 cm est de 4,7 10-4, cette solution optimale
correspond à des diffusivités thermiques de 0,592 10-6 m2 s-1 pour la première couche et de
0,616 10-6 m2 s-1 pour la deuxième couche avec une interface à 15 cm.
Pour la période estivale (épisode A), la somme des écarts quadratiques moyens (Fig
4.18) est plus importante que celle de la période hivernale mais reste très acceptable. Cela est
dû au fait que l’amplitude des courbes est beaucoup plus forte en période estivale. La somme
des écarts quadratiques relatifs entre les valeurs calculées et celles mesurées est de 1,18 10-2.
La valeur de diffusivité thermique optimale, 0,41 10-6 m2 s-1, est la même dans les deux
couches ce qui conduit à adopter alors un modèle de terrain homogène.
On conclut du traitement des deux épisodes que le milieu traité est plutôt homogène, et
que la légère hétérogénéité observée en période hivernale peut vraisemblablement être
attribuée à la distribution verticale de la teneur en eau.
C’est avec cette procédure en deux temps, détermination de la structure du terrain puis
application d’un schéma en DF simple qu’ont été obtenues les valeurs de vitesse de Darcy
présentées ci-après.
122
IV.D.3.c) Vitesse de Darcy
Les figures 4.19, 4.20 et 4.21 présentent la pluie (en bleu), la vitesse de Darcy (en
rouge) et l’évapotranspiration potentielle (en vert) pour les trois épisodes choisi (section
IV.D.3.a) exprimée en mm j-1 en adoptant une chaleur volumique de 2.6 J K-1 m-3.
Pour le premier épisode A (estival), l’exfiltration est plutôt dominante avec une
moyenne de l’ordre de -1,7 mm j-1. Les fortes valeurs d’exfiltration calculées lors de ce
premier épisode A sont cohérentes avec les fortes valeurs d’évapotranspiration.
Pluie mesurée
Vitesse de Darcy calculée
Evapotranspiration potentielle mesurée
Val
eurs
(mm
j-1)
91 jours01-Ju
l-09
11-Ju
l-09
21-Ju
l-09
31-Ju
l-09
10-A
ug-09
20-A
ug-09
30-A
ug-09
09-Se
p-09
19-Se
p-09
29-Se
p-09
Figure 4. 19 - Calcul (DF) de la vitesse de Darcy : résultats (épisode A), faible précipitation -
forte variation de T
La période (octobre-novembre) de l’épisode B constitue l’apport principal d’eau avec
une infiltration moyenne de l’ordre de 0,80 mm j-1. Dans ce deuxième épisode B, on observe
bien le passage d’une période (début octobre) d’évapotranspiration nette ~ -2 mm j-1 à une
période d’évapotranspiration modeste.
L’infiltration moyenne lors de l’épisode B dépasse de 40% la moyenne d’infiltration
pour l’épisode C qui est de 0,57 mm j-1. Cet épisode apparait comme moins intéressant en
terme de recharge. La différence observée dans l’infiltration, entre l’épisode B et l’épisode C,
correspond bien à la différence entre les moyennes des précipitations qui est de 2,0 mm j-1
pour l’épisode B alors qu’elle est de 1,48 mm j-1 pour l’épisode C. La comparaison pour cette
troisième épisode est malheureusement contrariée par un manque de données
d’évapotranspiration au début de l’épisode, cependant vers la fin (début mars) on remarque
123
bien, en ne tenant pas compte des ‘pics’, un début d’augmentation d’exfiltration et
d’évapotranspiration.
Val
eurs
(mm
j-1)
Pluie mesurée
Vitesse de Darcy calculée
Evapotranspiration potentielle mesurée
61 jours01-O
ct-09
11-O
ct-09
21-O
ct-09
31-O
ct-09
10-N
ov-09
20-N
ov-09
30-N
ov-09
Figure 4. 20 - Calcul (DF) de la vitesse de Darcy : résultats (épisode B), forte précipitation -
variation modérée de T
Val
eurs
(mm
j-1)
Pluie mesurée
Vitesse de Darcy calculée
Evapotranspiration potentielle mesurée
81 jours17
-Dec
-09
27-D
ec-09
06-Ja
n-10
16-Ja
n-10
26-Ja
n-10
05-F
eb-10
15-F
eb-10
25-F
eb-10
07-M
ar-10
Figure 4. 21 - Calcul (DF) de la vitesse de Darcy : résultats (épisode C), précipitation
modérée – faible variation de T
On remarque pour les trois épisodes, une cohérence entre la pluie et la vitesse de Darcy.
Les valeurs, apparemment trop fortes de la vitesse de Darcy obtenues en fin d’épisode C,
peuvent peut-être être expliquées par la présence d’une très forte variation transitoire
(Fig 4.22) entre le 21 et le 24 février 2010 qui introduirait une erreur dans la procédure de
détermination de u.
124
20-F
eb-10
21-F
eb-1
0
22-F
eb-1
0
23-F
eb-1
0
24-F
eb-1
0
25-F
eb-10
Temps (jours)
0
2
4
6
8
10
T(°
C)
12 cm15 cm
18 cm
épisode transitoire entre le 21 et le 24 Févier 2010
1
2
Figure 4. 22 - Superposition d’un phénomène transitoire aux variations périodiques lors du
réchauffement de février 2010
On observe en effet que si durant l’épisode 1 (autour du 22 février) les enregistrements
à 15 cm et à 18 cm sont très proches, lors de l’épisode 2 (autour du 23 février) les positions
des courbes sont complètement inversées. En effet, la superposition d’un phénomène
transitoire lent aux variations périodiques, modifie l’intensité et la phase de ces variations,
puisque la variation transitoire lente s’amortit moins en profondeur.
En utilisant la totalité des 6 capteurs, aux profondeurs successives de 12, 15, 18, 24, 32
et 34 cm, on peut tenter une première évaluation (sur un épisode qui illustre une phase de
précipitation et une autre de non précipitation entre le 20 décembre 2009 et le 10 janvier
2010) de l’évolution en profondeur de la vitesse de Darcy. La figure 4.23 montre les résultats
obtenus avec quatre configurations différentes.
Il est à noter que la vitesse de Darcy calculée est représentative de toute la tranche du
sol limitée par la position des capteurs extrêmes : en utilisant par exemple les enregistrements
à 12, 15 et 18 cm la valeur de u obtenue est représentative de toute l’épaisseur comprise entre
12 et 18 cm.
125
Figure 4. 23 - Pluie (en bleu) - vitesse de Darcy calculée via différentes configurations de
capteurs
A part quelques exceptions où le calcul abouti à une surestimation, l’évolution de la
vitesse de Darcy se montre cohérente avec d’une part les précipitations enregistrées durant la
période allant du 20 décembre au 31 décembre 2009, et durant la période de non précipitation
allant du 1er au 9 janvier 2010, et d’autre part avec une vraisemblable réduction avec la
profondeur de l’intensité de u.
Ces résultats montrent qu’il est possible grâce à notre travail, d’obtenir des profils
verticaux de teneur en eau.
Bien que le but de cette thèse soit de travailler sur des échelles de temps de l’ordre de la
journée, nous allons établir des bilans hydrologiques mensuels dont les résultats seront
comparés avec ceux obtenus par le calcul en DF des vitesses de Darcy moyenne pour chaque
mois. Cela nous permettra d’avoir une idée générale sur les périodes et les taux d’infiltration.
IV.E) Bilan hydrologique
Le bassin versant de l’Orgeval est soumis à un climat de type océanique tempéré. La
station météorologique située à Boissy-le-Châtel nous a permis d’avoir une série complète de
mesures de précipitations (P) avec un pas de temps horaire et journalier, et (malgré quelques
manques) des données d’évapotranspiration potentielle (ETP) au pas journalier fournies par
Météo-France.
126
Selon le guide pratique Irrigation (Cemagref 2003) et pour un type de sol tel que le
notre (limono-argileux), la réserve utile (RU) se situe entre 1,7 et 2 mm cm-1, soit entre 102 et
120 mm pour les 60 premier centimètres. D’après la même source (guide pratique Irrigation)
et pour la profondeur du sol de 0 à 60 cm, la réserve facilement utilisable (RFU), est déduite
de la RU, et correspond à 2/3 RU, soit une RFU dans notre cas entre 61,2 et 72 mm. Par la
suite de notre étude nous allons considérer deux RFU qui correspondent aux situations les
plus extrêmes possibles soit une RFU à 50 mm et une autre à 80 mm.
En effet et pour une RFU utilisée (50 ou 80 mm) nous avons procédé aux calculs du
bilan hydrique soit à partir d’une ETP fournie par Météo-France et donc calculée via la
formule Penman-Monteith, soit à partir d’une ETP calculée via la formule de Thornthwaite.
On aura alors quatre situations possibles. Lorsque la mesure de la température de l’air n’existe
pas, on a utilisé une valeur de la température de surface du sol extrapolée à partir de nos
mesures de température pour déterminer l’ETP en utilisant la formule de Thornthwaite
(équation III.1).
Ci-après (tableau 4.4 et tableau 4.5) nous allons vous présentez les tableaux
récapitulatifs des calculs détaillés des deux cas ou nous avons une RFU à 50 mm, une
synthèse de tous les résultats (RFU à 50 mm et RFU à 80 mm) est donnée a la fin de cette
partie.
Un récapitulatif du bilan selon la méthode de Thornthwaite, est donné en utilisant les
équations III.4 à III.6 comme suit :
Mois M A M J J A S O N D J F
P 25,0 39,4 70,8 75,8 49,6 20,2 25,0 68,6 80,8 53,0 31,2 59,0
ETPThornth 26,1 60,6 96,0 118,0 130,4 130,3 83,2 51,3 30,5 13,4 4,8 9,1
RFU50mm 48,8 27,6 2,3 0 0 0 0 17,2 50,0 50,0 50,0 50,0
ETR 26,1 60,6 96,0 78,1 49,6 20,2 25,0 51,3 30,5 13,4 4,8 9,1
Excédent / / / / / / / / 17,4 39,5 26,3 49,8
P-ETR -1,1 -21,2 -25,2 -2,3 0 0 0 17,2 50,2 39,5 26,3 49,8
Tableau 4. 4 - Bilan hydrique à la station de Boissy-le-Châtel, ETP (calculée selon Thornthwaite) à partir de la température de surface du sol
La reconstitution de la réserve hydrique commence (comme c’est habituel dans ce
contexte climatique) à partir du mois d’octobre, elle atteint son maximum en novembre et
devient nulle au mois de juin.
127
Avec les valeurs fournit par Météo-France nous obtenons le tableau 4.5.
Mois M A M J J A S O N D J F
P 25,0 39,4 70,8 75,8 49,6 20,2 25,0 68,6 80,8 53,0 31,2 59,0
ETPPenMon 42,6 73,1 80,3 94,2 138,6 172,3 83,8 31,4 16 6,7 3 14,2
RFU50mm 32,4 0 0 0 0 0 0 37,2 50 50 50 50
ETR 42,6 71,8 70,8 75,8 49,6 20,2 25 31,4 16 6,7 3,0 14,2
Excédent / / / / / / / / 51,9 46,2 28,1 44,8
P-ETR -17,6 -32,4 0 0 0 0 0 37,2 64,8 46,2 28,2 44,8
Tableau 4. 5 - Bilan hydrique à la station de Boissy-le-Châtel, ETP (calculée selon Penman-Monteith) fournie par Météo-France
Si on s’intéresse à la quantité d’eau infiltrée pendant la période de recharge allant du
mois d’octobre jusqu’au mois de février, on obtient pour le premier cas une somme des pluies
efficaces de l’ordre de 183 mm (somme des termes en bleu de P-ETR dans le tableau 4. 4). En
divisant cette somme des pluies efficaces par la somme des pluies tombées durant toute
l’année (somme des termes de la pluie P, soit 598,4 mm), on obtient un taux de recharge de
l’ordre de 31%. Pour le second cas, la somme des pluies efficaces est de l’ordre de 221 mm, le
taux de recharge serait alors de l’ordre de 37%, les 2 valeurs étant cohérentes.
Quel résultat obtient-on en partant de la détermination de la vitesse de Darcy à partir des
enregistrements de température des capteurs situés à 12, 15 et 18 cm ?
Avec deux restrictions, (1) la valeur du mois d’avril 2009 (-7,5 mm) ne correspond qu’à
la moitié du mois d’avril 2009 suite à une interruption d’enregistrement de tous les capteurs et
(2) les valeurs obtenues pour les mois de mai et juin 2009 l’ont été à partir des
enregistrements des capteurs situés à 15, 18 et 24 cm (suite à une panne du capteur situé à
12 cm), nous obtenons le tableau 4.6.
Mois M A M J J A S O N D J F
P (mm) 25,0 39,4 70,8 75,8 49,6 20,2 25,0 68,6 80,8 53,0 31,2 59,0
u (mm/Mois) -16,9 -7,5 -6,4 -15,6 -13,4 -16,3 -11,8 12 48,4 45,4 15,5 39,8
Tableau 4. 6 - Vitesse de Darcy moyenne en mm j-1 pour chaque mois à partir des enregistrements des capteurs situés à 12, 15 et 18 cm (sauf pour les mois de mai et juin : 15,
18 et 24 cm) et 24 cm
La période de recharge est bien la même que celle obtenue pour les bilans établis à
partir des données d’ETP. Les faibles valeurs de recharge du mois de janvier peuvent être
128
expliquées en partie par la faible pluviométrie et par l’épisode de gel qui a duré 10 jours
(Fig 4.24).
05-Ja
n-10
07-Ja
n-10
09-Ja
n-10
11-Ja
n-10
13-Ja
n-10
15-Ja
n-10
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Tem
péra
ture
(°C
)Température à 12 cm
Figure 4. 24 - Episode de gel du sol entre le 5 et le 15 janvier 2010, température enregistrée à
12 cm de profondeur
L’eau infiltrée, au delà des 18 cm de profondeur, durant les mois d’octobre 2009 à
février 2010 est finalement de 161,1 mm (somme des termes en bleu de u dans le tableau 4.
6). Cela correspond à un taux d’infiltration, par rapport à la pluie de l’année, de 27%. Ce taux
d’infiltration est inférieur à celui obtenu avec l’ETP, mais reste tout à fait vraisemblable pour
une année à faible pluviométrie (section III.D).
Si on raisonne en termes d’excédent (qui correspond à la recharge+ruissellement, avec
un ruissèlement nul dans notre cas) qui correspond à la recharge, on a pour les quatre
situations possibles les résultats présentées dans le tableau 4.7
RFU50 mm RFU80 mm Ecart-typeσ Moyenne X X- X+σ σ
Excédent ETPThornth 133,2 103,2
Excédent ETPPenMon 171,2 141,2 27,9 137,2 [ ]109,3 165,1
u 161,1
Tableau 4. 7 - Synthèse de tous les résultats des calculs à la station de Boissy-le-Châtel, selon l’ETP (calculée selon Thornthwaite et selon Penman-Monteith) et la RFU (50 ou 80 mm)
utilisée
On conclut que notre vitesse de Darcy calculé (161,1 mm) se situe bien dans un
intervalle de confiance X- X+σ σ , soit entre 109,3 et 165,1 mm.
129
Conclusions et perspectives
Les mesures thermiques adaptées dans ce travail pour déterminer la teneur en eau et
l’infiltration ont été retenues car elles sont fiables, légères (peu couteuses) et d’une grande
fidélité. Utilisées depuis longtemps pour mesurer la teneur en eau et les déplacements de
l’eau, elles offrent encore de larges perspectives de développement avec notamment les
possibilités ouvertes par les mesures sensibles au 1 mK, qui ont motivées ce travail pour
lequel la situation de départ pouvait être décrite de la façon suivante : on savait mesurer par
des mesures actives les propriétés thermiques des sols et en déduire la teneur en eau, d’autres
expérimentations, toujours avec des mesures actives permettaient de mesurer des
écoulements.
Pour les durées longues, la mesure des variations naturelles (avec des capteurs de
température de résolution 0,1 K) sur un profil vertical dans la zone non saturée, a pu être
utilisée pour déterminer la vitesse de Darcy (Tabbagh et al. 2009 ; Cheviron et al. 2005).
La construction de capteurs de température de grande sensibilité et la diminution du pas
de mesure nous a permis d’envisager, pour de courtes périodes journalières ou décadaires,
l’utilisation des variations naturelles pour déterminer la teneur en eau et la vitesse de Darcy.
Dans une première étape, les capteurs construits à l’UMR Sisyphe ont été soumis à des tests
métrologiques, qui ont permis d’une part de s’assurer que la sensibilité globale du capteur
était meilleure que 1 mK et d’autre part de réaliser l’étalonnage croisé de tous les capteurs
afin de corriger l’erreur de justesse. Associer à cette résolution un pas d’enregistrement de
10 minutes, a permis de disposer d’un outil de mesure adapté à la mise en évidence des
transferts convectifs en zone non saturée.
Plusieurs approches analytiques comme numériques ont été évaluées : rapport
d’amplitude des variations sinusoïdales, résolution directe en DF et en EF. Si les approches
numériques se sont révélées capables de déterminer la diffusivité et ses variations dont on
peut déduire la variation de la teneur en eau, la détermination de la vitesse de Darcy a
nécessité une étape préalable où la structure du terrain et la variation spatiale de la diffusivité
sont déterminées avec suffisamment de précision.
De l’expérience réalisée sur le site de Boissy-le-Châtel on peut conclure que la mesure
de la variation relative de la teneur en eau, déterminée par exploitation des variations relatives
de la diffusivité, est satisfaisante et peut être comparée aux autres méthodes utilisées en
130
routine. La mesure de la vitesse de Darcy est plus difficile, et mérite que la recherche continue
pour alléger le processus de calcul.
Cette perspective qui suppose un gros investissement en modélisation n’épuise
cependant pas toutes les voies possibles de recherche. Il nous faut souligner le fait que le
champ des méthodes actives non étudiées dans ce travail reste largement à explorer et que la
combinaison méthodes actives/méthodes passives pour les mesures de température, comme la
combinaison méthodes thermiques/méthodes électriques sont des voies de recherche
majeures, pour arriver à une description quantitative suffisamment précise des transferts d’eau
(et d’éléments dissous ou entrainés par l’eau) dans le sol et la zone non saturée.
131
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