taller parcial 2

18.

20.

588 Capítulo 6 Integrales múltiples

6. R = {(x, y)lx2 :::; y:::; JX}7. R= {(x,y)l(x-1)2+(y-2?:::; I}8. R = {(x, y)lx2 :::; y:::; x + 2}9. R = {(x, y)li- 1 :::; x :::; 1 _ y2}

10. R={(x,y)li+2:::;x:::;y+3}

En los ejercicios 11-15, se da una región R en el plano. Para calcular la integral dobleJI R f(x, y)dxdy, se necesita expresar R como la unión de subregiones y aplicar la propiedad edel teorema 6.3.1 Escriba en cada caso la correspondiente suma de integrales iteradas, viendo a lassubregiones de R como regiones: a. del tipo (l), b. del tipo (II) ..

11. R es la región encerrada por el cuadrado Ixl + Iyl = I

12. R es la región encerrada por el rombo con vértices en A = (O, O), B = (2,3), e = (0,6),D = (-2,3).

13. R es la región encerrada por el cuadrilátero con vértices en A = (1, O), B = (10, 1), e = (7,5),D = (3,5).

14. R es la región encerrada por el paralelogramo con vértices en A = (0, O), B = (5, 1), e = (7,5),D = (2,4)

15. R es la región encerrada por el pentágono con vértices en A = (O, O), B = (3, -3), e = (6, O),D = (6,4), E = (0,4).

En los ejercicios 16-20, se da una (o una suma de) integral(es) iterada(s) de la función f(x, y) sobrela región R (o sobre subregiones de R, respectivamente)., Haga un dibujo que muestre la región deintegración R y escriba la expresión de la integral iterada correspondiente, si se intercambiara elorden de integración.

16. rl dx r.fi f(x, y)dyJo Jx l

2 o5(4_x')J / l17. r dx r f(x, y) dy1-2 Jo

l (I-x')'!'1dx1 f(x, y)dy

rl r flo t O- X )/919. Jo dx Jo f(x, y)dy + l dx Jo f(x, y)dy

10 1(X+2)' 12 1(X-2)'dx f(x, y)dy + dx f(X,y)dy

-2 o o o

En los ejercicios 21-30, calcule la integral doble indicada,

21. JJ(x + 3y) dx dy, donde R es la región limitada por el eje x, la recta yR

Y = -x+4.

2x, y la recta

64 Cambio de variable en integrales dobles 589

22. jj x2y3dx dy, donde R es el la región limitada por el rectángulo de vértices en A = (O, O),RB = (3, O), e = (3, i), D = (O, 2)

23. J! _1_. dx dy, donde R es la región limitada por las rectas y = 0, x = 1, Y = x.x+yR

24. jj sen(x + y) dx dy, donde R es la región limitada por las rectas x = 0, y = x, y = 31T ..R

25. jj x; dx dy, donde R es la región limitada por las parábolas y = x2 , X == l.R

26. jj(X2+ 3l)2 dxdy, donde R es la región limitada por las rectas x = 0, x = 1, Y = 1, Y= O.R

27. jj (2x + y)3dx dy, donde R es la región limitada por el triángulo cuyos vértices son A = (1, 1),R

B = (4, O), e = (3,5).

28. Jj eXe2y dx dy, donde R es ella región limitada por el cuadrado Ixl + Iyl = 1

R

29. jj x2 yex - y dx dy, donde R es la región limitada por el rectángulo [0,3] x [0,2]R

30. jjx2y sen(x + y) dx dy, donde R es la región limitada por las rectasx= 0, x = y, y = l.R

31. Calcule la integral doble de la función f(x, y) = JI - - fl" sobre la región limitada por laelipse + = 1.

32. Calcule la integral doble de la función f(x, y) = sgn(x - y), sobre el cuadrado Ixl + Iyl ::::; 133. Calcule la integral doble de la función f(x, y) = sgn(x2 - y), sobre el rectángulo [-1, 1] x [O, 1]

34. Calcule la integral doble de la función f(x, y) = Ix + yl, sobre el rectángulo [-1, 1] x [--1, 1].

6.4 Cambio de variable en integrales doblesUna de las técnicas poderosas que conocemos de nuestro primer curso de cálculo para calcularintegrales, es la técnica del cambio de variables. Si queremos integrar la función f(x) en el intervalo[a, b], se trata de cambiar la variable x por otra variable t, según la ecuación x = g(t) (llamadafórmula de cambio de variable), e integrar entonces la función f(g(t» en otro intervalo [e, d).. Se


En los ejercicios 6--13, calcular la integral triple indicada

6. !//XY;dXdydZ, donde f1 = [O. 1] x [0, 1] x [O, 1]

11

7. Ilj(X + y + z)dxdydz, donde f1 = [O, 1] x [0, 1] x [0, 1]

íl

8. III (1 - x- y - z) dx dy dz, donde f1 es la región limitada por los planos coordenados y elíl

plano x+y + z = 1

9. III z(x - I )(y -- 2) dx dy dz, donde f1 es la región del ejercicio anterior.11

10. j' [j . I _ 1 dx dy dz, donde f1 es la parte de la región del ejercicio 5 que se encuentra1. (1 + x + y + z)11

en el primer octante

11. 1/1exT}+z dx dy dz, donde f1 = [-1, 1] x [-1, 1] x [-l. 1].íl

12. 111(:x.e' + yé)dxdydz, donde n es la región limitada por los planos x = 0, y = O, z = O,

OY = 1 - x, z = I

13. Jjl f(x. y. z) dx dy dz, dondeíl

g 2 y2 Z2/(x. Y. z) = I - --- - -- -

a2 b2 c2

2 2 2Y f1 es la región limitada por el elipsoide + + = l. (Nota: este ejercicio se resolveráfácilmente con la técnica que se estudiará en la siguiente sección)

6.7 Cambio de variables en integrales triplesComo sucede con las integrales dobles, la técnica de introducir nuevas variables en una integral tripleresulta ser un instrumento muy poderoso que permite hacer el cálculo de la integral de una maneramuy sencilla. En esta sección presentamos el resultado correspondiente al cambio de variablesen integrales triples, el cual, como era de esperarse, es completamente análogo al estudiado en lasección 4 para integrales dobles.La idea general será cambiar las variables x, y. z de la función f en la integral triple

III /(x. y, z)dxdydzíl

64 Cambio de variable en integrales dobles 607

En los ejercicios 13-25, calcule la integral doble indicada, efectuando un cambio de variablesadecuado

13. 11(X + y) dx dy, donde R es la región limitada por el cuadrado Ixl + Iyl = l.R

14. j/ xdx dy, donde R es la región limitada por el paralelogramo cuyos vértices son A = (O. O),

RB = (6.2), e = (10.5), D = (4,3)

15. 11 y dx dy, donde R es la región limitada por el paralelogramo cuyos lados son v = x - 2,

RY = x + 1, Y = 2 .- x, y = -.,'

16. II(X2 + /)dxdy, donde R = {(x, y)lx2 + y2 ::; 4}R

17. jj exp(x2 + /)dxdv, donde R = {(x. v)lx 2 +v2 ::; 9}

R

18 Jj. --------dxdy, donde R = {(x. v)lx2+ y2::; l}. 4 --R

19. jj (x + yi dx dy, donde R es la región limitada por el círculo de centro en (2. O), tangente alR

eje y

20. jj arctan d)', donde R es la región en el primer cuadrante, limitada por los círculos

Rx2 + i = 1, x2 + i = 4, Ylas rectas y = x, y = /3x

21. j/(x2+ l)2 dx dy, donde R es la región limitada por el círculo con centro en (0.4) Y radio el

R

22. jj x yd.x dy, donde R es la región en el primer cuadrante, limitada por el círculo con centro enR

(O. 1) Y radio 1, Y la recta y = /3x

23. l/xv dx dy, donde R = {(x. y)lx2 + ::; I}R

24. 11(x - y) dx dy, donde R es la región limitada la elipse 2x2 + 3i =R

25. JI lo. o dx dy, donde R = {(x, v)[3x 2 + l ::; I}4 - 3x- - y-

R

67 Cambio de variables en integrales triples 645

En los ejercicios 8-15, se dan regiones D en el espacio IR3 • Describa estas regiones en el sistemade coordenadas esféricas.

8. D = {(x, y, z)lx2+ y2 + Z2 ::::; 1, z ? O}9. D={(x,y,z)lx2+y2+z2::;I,z::;O}

10. D = {(x, y, z)lx2+ y2 + Z2 ::; 4, x::; O, y? O, z ? O}11. n = {(x, y, z)1I ::; x2+ y2 + Z2 ::; 4, x ? O, Y ::; O, z ::; O}

12. D={(x,y,z)II::;x2+y2+z2::;9,z:::;0}

13. D = {(x, y, z)lx2+ y2 + Z2 ::; 4, Z2 ? x2+ y2, z ? ü}14. D = {(x, y, z)lx2+ y2+ Z2 ::; 4, Z2 ::::; x2+ y2, Z ::; O}

15. D = {(x, y, z) 11 ::; x2+ y2 + Z2 ::::; 9, x ::; y ::; V3x}

En los ejercicios 16-25, calcule las integrales triples indicadas

16. JJJ(x2+ /) dx dy dz, donde D es la región del ejercicio 1n

17. JJJxyz dx dy dz, donde D es la región del ejercicio 2.n

18. JJJZ2 sen(x2 + /) dx dy dz, donde n es la región del ejercicio 3.n

19. JJJ z j 1 - x2 - y2 dx dy dz, donde D es la región del ejercicio 6..

n

20. JJJ(X2 + / + z2)dxdydz, donde D es la región limitada por el cilindro x2 + .l 16,n

3 ::; z ::; 4 ..

21. JJJ(x2+ / + z2)dx dy dz, donde D es la región limitada por la esfera x2+ y2 + Z2 = 1n

22. JJJ(x2+ /)dx dy dz, donde D es la región del ejercicio 8.n

23. Jj! 2 1 2 2dx dydz, donde n es la región del ejercicio 9l+x +y +z

n

24. JJJ(x + 2z)dx dy dz, donde D es la región del ejercicio 12 ..n

25. JJJ z dxdydz, dondeD es la parte común de las esferasx2+y2+z2 ::::; l,x2+y2+(z-1)2 ::::; 1n


5. z = xy, x + y = 2, 2 = O.

6. 2 = exp(-x2 - y2), x2+ l = 1..

7. x2 + l = 3,2 = 0, x + y + z = 48. 2 = (x2 + y2)1/2, Z = 2..

9. x2+ y2 + 22= 6, 2 = x2 + yZ, z. 2:: O.10. 2 = x2 + l, 2 = 8 - x2 -l.En los ejercicios 11-15, calcule el volumen del cuerpo, limitado por las superficies dadas .. Serecomienda hacer un cambio adecuado de variables en las integrales dobles que aparezcan en elproblema..

11. 2 = 2x2 + y2, 2 = 3.

12. 2 = x2 +4l- 2, 2 = 2 - x2 - 4y2.13. 2x2+ 3y2 + 22= 6,2 = (2x2+ 3y2)1/2, 22:: O.14. 22 = xy, x + y = 1, x + y = 2.

15. z = x2+ y2, xy = 1, xy = 2, 2y = x, 2x = y, 2 = O.

En los ejercicios 16-30, calcular el área de la región limitada por las curvas dadas.

16. y2 = X, x2 = y

17. Y= x2 , y = x + 4..

18. y2 = x, X = 5.

19. Y= In x, y = -- In x, x = e.

20. y = In x, y = In2 x

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

y = senx, y = cosx, x = TT/4, x = 5TT/4.

Y = _1_2 , Y = x2 /2.l+x

(x2+ y2)2 = x' - 3xi, x 2::°,y 2:: o.(x2 + l)2 = x3+ y3, x 2:: 0, y 2:: O.(x + y)3 = xy, x 2:: 0, y 2:: O.x2 + l = x + y, x 2:: 0, y 2:: O.9x2+ 4yZ = 36(x + y)4, x 2:: 0, y 2:: O.16x2 + y2 = 16(x3 + y3), x 2:: 0, y 2:: O.y- x = 1, Y - x = -1, Y+ x = 2, Y+ x = -3.,

xy = 2, xy = 4, Y = x, y = 3x, x 2:: 0, y 2:: 0,2 y2

Desde el punto P = (O, a) se han trazado tangentes a la elipse +b' = 1, (en donde a > b > O)Hallar el área del "triángulo" formado por las tangentes y la elipse.

65 Aplicaciones de las integrales dobles 623

32. Hallar el área de cada una de las tres partes en que la hipérbola x2 - 2y2 = 1 corta al círculox2 + y2 = 4.

33. Hallar el área de cada una de las dos partes en que la parábola y = 5x2/8 corta al círculox2 + y2 =9/4

34. Calcule el área de la región comprendida entre los dos círculos x2 + y2 = ax, x 2 + l = by, endonde a y b son dos números positivos dados

35.

36.

37.

38.

Demuestre que la región limitada por los cuatro círculos tangentes entre sí (x± a)2+(y± a)2 = a2tiene área igual a a2(4 -11'), a. usando argumentos de geometría elemental, b. usando el resultadodel ejercicio anterior.

2 2 2 ,2Calcule el área de cada una de las partes en que la elipse + = I corta a la elipse p+;;, = 1,en donde a > b > OConsidere los dos círculos x2 + i = ax, x2+ i = bx, en donde a > O, b < O. Ibl < a Calculeel área del "triángulo" limitado por estos dos círculos y la recta tangente común a ellos.

Calcule el área del círculo x 2 + l = 2ay, exterior al círculo x2 + y2 = a2

39. Los aros olímpicos pueden ser representados por las ecuaciones

x2 +l- 2y = O16x2 + 16l - 40x + 9 = O

4x2 + 4l - 20x - 8y + 25 = O16x2 + 16l-- 120x + 209 = Ox2 + /- IOx - 2y + 25 = O

Demuestre que la intersección entre cualesquiera dos de estos aros o es vacía o limita una regióncon un área aproximada de 0326065 unidades cuadradas.

40. Demuestre que el área limitada por la curva (dada en coordenadas polares) r = I(e), entre losángulos e= el y e= e2, viene dada por

1 le,A = - (e) de2 e,

41. Calcular el área encenada por la cardioide r = a( 1+ cos e) ..

42. Calcular el área encerrada por el caracol de Pascal r = 2 + cos e43. Calcular el área de cada uno de los pétalos de la rosa de cuatro pétalos r = al sen 2el44. Hallar la masa total de una lámina cuadrada de lado a, si la densidad de la lámina en un punto

P de ella es proporcional al cuadrado de la distancia entre P y el centro de la lámina, siendo encada uno de sus vértices igual a k

45. Hallar la masa total de una lámina en forma de triángulo equilátero de lado a, si la densidaden un punto P de ella es propOIcional a la distancia entre P y uno de los vértices de la lámina.siendo en los dos vértices restantes igual a k


En los ejercicios 46-50, hallar las coordenadas del centro de masa de la figura plana homogéneadada.

46. Triángulo isósceles de base b y altura h ..

47. Sector circular de radio R y ángulo central e48. Figura limitada por y = x 2, y = I

49. Figura limitada por y = x 2 , y = 5x - 6..

50. Figura limitada por la línea cenada l = x2 - x 4 , X O.

En los ejercicios 51-55, calcular los momentos de inercia indicados.

51. De un rectángulo de base a y altura b, respecto del lado a.

52. De la región R = {(x, y)lx2 + l ::; ,.2, Y O} respecto del eje x.

53. De la región R = {(x, y) Iy ::; sen x, O ::; x ::; 1T} respecto del eje .x54. De un círculo de radio,. respecto de su tangente

55. De un triángulo isósceles de base a y altura h,respecto de su base.

En los ejercicios 56-60, calcule el valor medio de la función z = f(x, y) dada, en la región indicada.

56. f(x, y) = xy, en el cuadrado R = [0, 1] x [0, 1]

57. f(x, y) = x2 + l, en la región R = {(x, y)lx + y::; 1, x O, Y O}

58. f(x, y) = e, en una región R arbitraria ..

59. f(x, y) = x + y, en el rectángulo R = [0, 2J x [0,3]..

60. f(x, y) = e-<hil, en la región R = {(x, y)lx2 + l ::; I}.61. Determine el valor promedio del producto de dos números, si cada uno de estos varía entre °

y 1. (Ver ejercicio 56)

62. Determine el valor promedio de la suma de los cuadrados de dos números no negativos, si estosvarían de tal modo que su suma nunca es mayor a uno. (Ver ejercicio 57).

6.6 Integrales triplesEn esta sección haremos una presentación general tanto de la parte teórica como de los métodos decálculo para las integrales triples .. Una vez desanollada con cierto cuidado la teoría conespondientea integrales dobles (como lo hemos hecho en las secciones anteriores), el paso a "una integral máscon funciones de una variable más" resultará natural.El primer paso que daremos será definir integral triple para funciones de tres variables f: Q e

lR3 ----+ lR escalonadas definidas en productos cartesianos de 3 intervalos de IR, Q = 11 X 12 X 13Sean 11 = [a, b], 12 = [e, dI, 13 = [e, g] tres intervalos de R Llamaremos al producto cartesiano

Q = /¡ X 12 X 13 = {(x, y, z)lx E [a, b], Y E [e, dI, z E [e, gl)


Calculemos ahora el numerador de Po. Se tiene

jj! r27T r ('en <Pp(x,y,z)dxdydz= Jo Jo Jo r3r2 sen4>drd4>d8

O 1 r 7 1 (32) 327T= 627T Jo sen 4>d4> = 627T 35 = 105

Entonces la densidad media del cuerpo en fl es

JJJp(x, y, z)dxdydz- OPo = --:-=---;;-------

JJJ d;rdydzO

Ejercicios (Capítulo 6, Sección 8)

1281057T

En los 1-10, calcule el volumen del cuerpo limitado por las superficies dadas ..

1. x2+ l = 1, x2+ Z2 = 1.

2. x2 + y2 = 1, z = 4 -- x2 -- y2, z = O..

3. z = x2+ l, z = 2x2+ 2y2, z = 2..

4.

5. x2+ l + Z2 = 2z, x2+ l ::; Z2.

6. (x2+ l + Z2)3 = 3xyz

7. x2 + y2 + Z2 = 1, x2 +.y2 + Z2 = 4, x2 + l = Z2, Z 2 O.

(x2 l Z2)2 _ x2 l

8. 2 + b2 + 2 - 2 + b2a e a

(x2 + y2 + Z2) 2 = x2 + l _ Z2

9. a2 b2 c2 a2 b2 c2

10. (:: + + r= x

11. Considere la esfera x2 + l + Z2 = a2. Tomando como vértice el punto (O, O, b), en dondeb > a > O, se traza un cono que "envuelve" tangencialmente a la esfera .. Calcular el volumendel cuerpo comprendido entre el cono y la esfera, así como su área. (Nota: este problema puederesolverse de manera "elemental"; con las herramientas del cálculo en una variable. Ver tambiénel ejercicio 31 de la sección 5 de este capítulo, y el ejercicio 45 de la sección 10 del capítulo 2).

12. Halle la masa total del cubo fl = [-1, 1] x [-1, 1] x [-1, 1], sabiendo que su densidad en elpunto P = (x, y, z) es p(x, y. z) = x + y + z.

68 Aplicaciones de las integrales triples 655

13. Halle la masa total de la esfera n = {(x, y, z)lx2+ y2 + Z2 I}, sabiendo que su densidad enel punto P es directamente proporcional a la distancia de P al origen, siendo igual a la unidaden los puntos de la frontera de n.

En los ejercicios 14-21, determine el centro de masa de los cuerpos homogéneos limitados por lassuperficies indicadas ..

14. x+ y + z = 1, x = O, Y = O, z = O.,

15. x2+1+ Z2 = 1, z ;::: O.

16. X2+y2+ Z2= l,y;:::0,z2:0.

17. x2 + y2 + Z2 = 1, x;::: O. Y 2: O. z ;::: 0,

18. z = y2, z = 1, x = -1, x = 1.

19. 2z = x2+1, x2+ y2 + Z2 = 3, z ;::: O.

20. z2=x2+I,x2+I+z2=I,z;:::0,.

21. z = (x2+ I + Z2)2.

22. Halle el momento de inercia de un paralelepípedo homogéneo de densidad (>O, de lados a, b, e,cuya masa total es M, con respecto a cada uno de sus lados.

23. Halle el momento de inercia de una esfera homogénea de densidad (>O, de radio R, y de masatotal M, con respecto de uno de sus diámetros y con respecto de una tangente a ella ..

24. Halle el momento de inercia de un elipsoide homogéneo de densidad (>O, de semiejes a, b, e, ymasa total M, con respecto a cada uno de sus ejes.

En los ejercicios 25-29, determine el valor medio de la función f(x, y, z) dada en la región indicada,

25. f(x, y, z) = x + y + z, en n = {(x, y, z)ix2 +1 + Z2 ::; I}

26. f(x, y, z) = xyz, en n = {(x, y, z)lx2+ I + Z2 ::; I}

27. f(x, y, z) = x, en n = [O, IJ x [O, IJ x [0,1],

28. f(x, y, z) = x2+ 1 + Z2, en n = {(x, y, z)lx2+ 1 1, -1 z ::; l},

29. f(x, y, z) = x2 + 1 + z, en n = {(x, y, z)il ::; x2 + l + Z2 ::; 4}

30. Determine la densidad media del cuerpo del ejercicio 12.

31. Halle la densidad media del cuerpo del ejercicio 13.

32. Calcule el valor promedio de la suma de tres números, si la suma de sus cuadrados es siempreno mayor a la unidad., (Ver ejercicio 25)

33. Calcule el valor promedio del producto de tres números, si la suma de sus cuadrados es siempreno mayor a la unidad., (Ver ejercicio 26).

taller parcial 2

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