0UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA

DPTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

Accionamientos Eléctricos, Tarea N°6.

Punto de Operación Motor Inducción a Frecuencia Variable.

Concepción, 03 de diciembre de 2015.

Alumno : Juan Chávez Friz. Profesor : M. Aníbal Valenzuela.

Tabla de contenido ENUNCIADO: ....................................................................................................................................... 3

CÁLCULOS PREVIOS: ............................................................................................................................ 3

I. Punto de operación a razón E/fs nominal. .................................................................................. 5

II. Gráficos de curvas de Torque y verificación del punto de operación. ........................................ 9

i) Gráfico en unidades físicas: ..................................................................................................... 9

ii) Grafico en por unidad: .......................................................................................................... 10

iii) Tabla resumen: ...................................................................................................................... 11

Anexo A: Datos de placa y parámetros del motor: ........................................................................... 12

Anexo B: Simulaciones. ..................................................................................................................... 12

Datos: ............................................................................................................................................ 12

Gráfico en Unidades físicas: .......................................................................................................... 13

Grafico en [pu]: ............................................................................................................................. 13

ENUNCIADO: Interesa determinar el punto de Operación de un motor de inducción que opera con control de

razón E/fs nominal impulsando una carga dada a una velocidad definida. La solución se hará

primero en forma analítica y luego se corroborará tranzando las correspondientes curvas de

torque desarrollado y torque de carga. Se asumirán ondas perfectamente sinusoidales. Gráficos y

valores solicitados se deben obtener mediante simulación MatLab Usando el circuito equivalente

exacto. Los datos del motor se adjuntan en el anexo A.

CÁLCULOS PREVIOS: 𝑁𝑚,𝑛𝑜𝑚 = 982 [𝑟𝑝𝑚]

𝜔𝑚,𝑛𝑜𝑚 = 𝑁𝑚,𝑛𝑜𝑚 ⋅𝜋

30= 982 ⋅

𝜋

30= 102.835 [

𝑟𝑎𝑑

𝑠]

𝑁𝑠 =120 ⋅ 50

6= 1000 [𝑟𝑝𝑚]

𝑠𝑛𝑜𝑚 =1000 − 982

1000= 0.018

𝑇𝑛𝑜𝑚 =𝑃𝑛𝑜𝑚

𝜔𝑛𝑜𝑚=

55 [𝑘𝑊]

102.835 [𝑟𝑎𝑑

𝑠 ]= 534.84 [𝑁𝑚]

La figura 1 muestra el circuito equivalente exacto de una máquina de inducción, en donde 𝑅𝑐 → ∞

Figura 1: Circuito equivalente exacto de una MI.

Reduciendo la rama de magnetización, con la rama rotor, para las condiciones nominales, se

obtiene la figura 2:

Figura 2: Circuito MI reducido.

Donde se tiene que:

𝑍𝑒𝑞 = 𝑗𝑋𝑚//(𝑗𝑋𝑙𝑟′ +

𝑅𝑙𝑟′

𝑠)

𝑍𝑒𝑞 = 2.1325∡25.798° [Ω]

De donde podemos obtener la excitación nominal:

𝐸𝑛𝑜𝑚 =

𝑉𝑠,𝑛𝑜𝑚

√3⋅ 𝑍𝑒𝑞

𝑍𝑒𝑞 + 𝑗𝑋𝑙𝑠 + 𝑅𝑠=

230.94 ⋅ 2.1325∡25.798°

2.1325∡25.798° + 0.2626𝑗 + 0.04180.018⁄

= 211.0642∡ − 4.885°[𝑉]

Así podemos obtener la razón 𝐸/𝑓𝑠,𝑛𝑜𝑚:

𝐾𝐸𝐹 =𝐸

𝑓𝑠,𝑛𝑜𝑚=

211.064

50= 4.221284 [

𝑉

𝐻𝑧]

Por otro lado, tenemos que el 𝑍𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 Dado por:

𝑍𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 𝑍𝑒𝑞 + 𝐽𝑋𝑙𝑠 + 𝑅𝑠 = 2.3333∡30.683° [Ω]

Y la corriente de estator nominal está dada por:

𝐼𝑠,𝑛𝑜𝑚 =

400√3

⁄

𝑍𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟= 98.9766∡ − 30.683°[𝐴]

Y la corriente de rotor nominal está dada por:

𝐼𝑟,𝑛𝑜𝑚 =𝐼𝑠,𝑛𝑜𝑚 ⋅ 𝑗𝑋𝑚

𝐽𝑋𝑚 + 𝐽𝑋𝑙𝑟´ +

𝑅𝑟′

𝑠𝑛𝑜𝑚⁄

=98.9766∡ − 30.683 ⋅ 𝑗6.922

𝑗6.922 + 𝑗0.3279 + 0.04180.018⁄

= 89.99∡ − 12.922°[𝐴]

𝐼𝑚,𝑛𝑜𝑚 = 𝐼𝑠,𝑛𝑜𝑚 − 𝐼𝑟,𝑛𝑜𝑚 = 30.492∡ − 94.89

Las Inductancias del motor están dadas por:

o 𝐿𝑙𝑠 =𝑋𝑙𝑠

2∙𝜋∙𝑓𝑛𝑜𝑚=

0.2626

2∙𝜋∙50 ⇒ 𝐿𝑙𝑠 = 8.3588 ⋅ 10−4 [𝐻]

o 𝐿𝑙𝑟 =𝑋𝑙𝑟

2∙𝜋∙𝑓𝑛𝑜𝑚=

0.3279

2∙𝜋∙50 ⇒ 𝐿𝑙𝑟 = 1.0437 ⋅ 10−3 [𝐻]

o 𝐿𝑚 =𝑋𝑚

2∙𝜋∙𝑓𝑛𝑜𝑚=

6.922

2∙𝜋∙50 ⇒ 𝐿𝑚 = 0.02203 [𝐻]

I. Punto de operación a razón E/fs nominal. El motor mueve una carga que demanda un torque que varía linealmente con la velocidad desde

un cierto torque inicial a velocidad cero. Se pide:

a) Usando método analítico, determinar la frecuencia [Hz] y el voltaje [V] con el que debe

alimentarse el motor para impulsar la carga dada a una velocidad de 800 [rpm]. Incluir

desarrollo de la solución. Comentar.

Sabemos que la carga varia linealmente con la velocidad, tal que a velocidad cero demanda un

torque de un 40% del torque nominal y que a la velocidad nominal demanda una torque de 90%

del torque nominal.

Con lo anterior, podemos obtener la ecuación de la recta de dicho Torque, puesto que tiene la

forma:

𝑦 − 𝑦1 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1⋅ (𝑥 − 𝑥1)

Donde se tiene que:

𝑇𝐿 − 213.936 =481.356 − 213.936

102.835⋅ 𝜔𝑚,𝑜𝑝

𝑇𝐿,𝑜𝑝 = 2.6005 ⋅ 𝜔𝑚,𝑜𝑝 + 213.936

Cuya gráfica se muestra en la figura 3:

Figura 3: Gráfica del torque de carga.

De donde se tiene que el torque de carga a 800 rpm, está dado por:

𝑇𝐿,𝑜𝑝(𝜔𝑚,𝑜𝑝) = 2.6005 ⋅ 800 ⋅𝜋

30+ 213.936 = 431.79 [𝑁𝑚]

Además como el tipo de control es 𝐸/𝑓𝑠 sabemos que el torque eléctrico está dado por

𝑇𝑒 =𝑃

2∙ 3 ∙ 𝑅𝑟

′ ∙ 𝐾𝐸𝐹2 ∙

𝑓𝑟2

(𝑅𝑟′ )2 + 𝑓𝑟

2 ∙ 𝐿𝑙𝑟2

Así, para encontrar la frecuencia de estator, debemos primero encontrar la frecuencia de rotor, la

cual se puede obtener al igual la el Torque eléctrico con el Torque de carga.

𝑇𝐿,𝑜𝑝 = 𝑇𝑒

431.79 =𝑃

2∙ 3 ∙ 𝑅𝑟

′ ∙ 𝐾𝑒𝑤2 ∙

𝑓𝑟

(𝑅𝑟′ )2 + 𝑓𝑟

2 ∙ 𝐿𝑙𝑟2

De donde se obtiene que:

(2𝜋𝐿𝑙𝑟´ )

2⋅ 𝑓𝑟

2 − (𝑝

2⋅

3

2𝜋⋅

𝑅𝑟′ 𝐾𝐸𝐹

2

𝑇𝐿,𝑜𝑝) ⋅ 𝑓𝑟 + (𝑅𝑟

′ )2 = 0

(4.3008 ⋅ 10−5)2 ⋅ 𝑓𝑟2 − (2.471 ⋅ 10) ⋅ 𝑓𝑟 + (𝑅𝑟

′ )2 = 0

Cuyas soluciones son:

𝑓𝑟1 = 56.7384

𝑓𝑟2 = 0.716

Donde podemos descartar a 𝑓𝑟2 ya que es muy alta, y sabemos que las frecuencias rotoricas

son del orden de 1 Hz.

Por lo tanto:

⟹ 𝑓𝑟 = 0.716 [𝐻𝑧]

Además, sabemos que la velocidad mecánica está dada por:

𝑁𝑚 = 𝑁𝑠(1 − 𝑠) ⇒ 𝑁𝑚 =120 ⋅ 𝑓𝑠

𝑝(1 −

𝑓𝑟

𝑓𝑠)

Despejando 𝑓𝑠 :

𝑓𝑠 =𝑁𝑚 ⋅ 𝑝 + 120 ⋅ 𝑓𝑟

120= 40.716 [𝐻𝑧]

Por lo que el deslizamiento de operación será:

𝑠 =𝑓𝑟

𝑓𝑠=

0.716

40.716= 0.01759

Por lo que nuestras Reactancias de Operación son:

o 𝑋𝑙𝑠 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 40.716 ∙ 8.3588 ⋅ 10−4 ⇒ 𝑋𝑙𝑠 = 0.21384[Ω] o 𝑋𝑙𝑟 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 40.716 ∙ 1.0437 ⋅ 10−3 ⇒ 𝑋𝑙𝑟 = 0.2670[Ω] o 𝑋𝑚 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 40.716 ∙ 0.02203 ⇒ 𝑋𝑚 = 5.6358 [Ω]

Sabemos que en el control 𝐸/𝑓𝑛𝑜𝑚 el flujo es constante, por lo que se cumple que:

𝐸𝑛𝑜𝑚

𝑓𝑠,𝑛𝑜𝑚=

𝐸𝑜𝑝

𝑓𝑠,𝑜𝑝

Despejando 𝐸𝑜𝑝

𝐸𝑜𝑝 =𝐸𝑛𝑜𝑚

𝑓𝑠,𝑛𝑜𝑚∙ 𝑓𝑠,𝑜𝑝 ⇒ 𝐸𝑜𝑝 =

211.1

50∙ 40.716 = 171.82 [𝑉]

Luego, como conocermos la caída de tensión en la rama de magnetización, podemos calcular

la corriente de dicha rama como sigue. Consideraremos 𝐸𝑂𝑃 como referencia, es decir, con

∡0°.

𝐼𝑚,𝑜𝑝 =𝐸𝑜𝑝

𝑗𝑋𝑚 =

171.82∡0

𝑗5.6358= 30.487∡ − 90° [𝐴]

Por otra parte, como la caída de tensión en la rama de magnetización, es la misma que en la

rama rotórica, podemos calcular la corriente rotórica como sigue:

𝐼𝑟,𝑜𝑝 =𝐸𝑜𝑝

𝑗𝑋𝑙𝑟 ′ +

𝑅𝑟′

𝑠𝑜𝑝

=171.82∡0

𝑗0.2670 + 0.04180.01759⁄

= |∡ − 6.4107° [𝐴]

Por lo tanto, la corriente de estator de operación, está dada por la suma de la corriente de

magnetización con la corriente rotórica, es decir:

𝐼𝑠,𝑜𝑝 = 𝐼𝑚,𝑜𝑝 + 𝐼𝑟,𝑜𝑝 = 81.125∡ − 28.34° [𝐴]

Finalmente, la tensión de entrada la podemos obtener haciendo una 𝐿𝑉𝐾 :

𝑉𝑠,𝑜𝑝 = 𝐼𝑠,𝑜𝑝 ∙ (𝑅𝑠 + 𝑗𝑋𝑙𝑠) + 𝐸𝑜𝑝

𝑉𝑠,𝑜𝑝 = 81.125∡ − 28.34° ∙ (0.0867 + 𝑗0.21384) + 171.82∡0

𝑉𝑠,𝑜𝑝 = 185.81 ∢ 3.68 [𝑉]

COMENTARIO: Podemos notar que efectivamente el flujo se mantiene constante a pesar de

que cambió la frecuencia estatórica y el voltaje de excitación.

II. Gráficos de curvas de Torque y verificación del punto de

operación.

i) Gráfico en unidades físicas:

Figura 4: Gráfico Torque vs Velocidad en unidades físicas.

COMENTARIOS: Podemos observar que el punto de operación es el mismo que el obtenido

analíticamente.

ii) Grafico en por unidad:

Figura 5: Gráfico Torque vs Velocidad en pu.

COMENTARIO: Como era de esperarse en el control E/f nominal, el torque desarrollado por el

motor, es casi 4 veces el torque nominal del mismo, lo que se observa claramente en la gráfica.

iii) Tabla resumen:

VARIABLE (OPERACIÓN) VALOR EN UNIDAD FÍSICA VALOR EN POR UNIDAD CORRIENTE DE ESTATOR 𝐼𝑠,𝑜𝑝 81.125 [A] 0.8196

CORRIENTE DE ROTOR 𝐼𝑟,𝑜𝑝 71.852 [A] 0.798

CORRIENTE DE MAG. 𝐼𝑚,𝑜𝑝 30.487 [A] 1

DESLIZAMIENTO 𝑆𝑜𝑝 0.01759 [A] 0.9772

VOLTAJE DE ESTATOR 𝑉𝑠 185.81[V] 0.8045 EXCITACIÓN 𝐸𝑜𝑝 171.82 [V] 0.814

FACTOR DE POTENCIA 0.8479 0.9859 RAZÓN V/F 4.564 [V/Hz] 0.9136 RAZON E/F 4.22 [V/Hz] 1

Tabla 1: Variables del motor en operación, tanto en valores físicos como en por unidad, en donde

se utilizó como valores base los valores nominales del motor, es decir, 𝐼𝑟,𝑛𝑜𝑚, 𝐼𝑚,𝑛𝑜𝑚, 𝐼𝑠,𝑛𝑜𝑚,

𝑉𝜙,𝑛𝑜𝑚, 𝐸𝑜𝑝,𝑛𝑜𝑚,, 𝑆𝑛𝑜𝑚 y 𝐹𝑃𝑛𝑜𝑚.

Anexo A: Datos de placa y parámetros del motor:

DATOS DE PLACA / PARÁMETROS

POTENCIA NOMINAL 55 kW VOLTAJE NOMINAL 400 V FRECUENCIA NOMINAL DE ESTATOR 50 Hz VELOCIDAD NOMINAL 982 RPM NUMERO DE POLOS 6 RESISTENCIA ESTATOR 0.0867[Ω] REACTANCIA ESTATOR 0.2626 [Ω] RESISTENCIA ROTOR 0.0418[Ω] REACTANCIA ROTOR 0.3279 [Ω] REACTANCIA DE MAGNETIZACION 6.9220 [Ω]

Tabla 2: datos de placa del motor

Anexo B: Simulaciones.

Datos:

clear all close all clc format long

%% Datos de placa del Motor

Pnom=55000; Vnom=400/sqrt(3); fs=50; Nnom=982; p=6; Ns=120*fs/p;

Ws=Ns*pi/30; Rs=0.0867; Xls=0.2626; Rr=0.0418;

Xlr=0.3279; Xm=6.9220; Wnom=Nnom*pi/30; Tnom=Pnom/Wnom; s=(Ns-Nnom)/Ns; Enom=211.0642;

%% Variables del motor fop=40.716; Ls=Xls/(2*pi*fs); Lr=Xlr/(2*pi*fs) Lm=Xm/(2*pi*fs); Zs=Rs+i*Xls; Zm=i*Xm; Zr=(Rr/s)+i*Xlr; Z1=(Zm*Zr)/(Zm+Zr); Zmotor=Zs+Z1; Is=Vnom/Zmotor; Inom=abs(Is); Ir=(Zm/(Zr+Zm))*Is; Im=Is-Ir;

pfn=cos(angle(Zmotor)); Ws_op=2*pi*fop; Wmax=2*(2/p)*Ws_op; Wm=0:0.001:2*pi*40.716; s_2=0.0175852245; Kef=4.221284; Wm_2=0:0.001:2*pi*40.716*(1-s_2); Kws=Enom/(2*pi*fs); Te = (((p*3*Rr*Kws^2)/2)*(Ws_op - Wm))./((Rr).^2 + (((Ws_op -

Wm))*Lr).^2); TL=2.6005*Wm*(2/p)+213.936;

Gráfico en Unidades físicas: figure(1) plot(Wm*(2/p)*(30/pi),Te,'linewidth',2); hold on plot(Wm*(2/p)*(30/pi),TL,'linewidth',2); ylabel('Torque de Carga[Nm]','fontsize',12); xlabel('Velocidad[rpm]','fontsize',12); title('TORQUE DESARROLLADO VS VELOCIDAD','fontsize',16); legend('TORQUE DESARROLLADO','TORQUE DE CARGA')

Grafico en [pu]: figure(2) plot(Wm*(2/p)*(30/pi)./Nnom,Te/Tnom,'linewidth',2); hold on plot(Wm*(2/p)*(30/pi)./Nnom,TL/Tnom,'linewidth',2); ylabel('Torque de Carga[pu]','fontsize',12); xlabel('Velocidad[pu]','fontsize',12); title('TORQUE DESARROLLADO VS VELOCIDAD','fontsize',16); legend('TORQUE DESARROLLADO','TORQUE DE CARGA')