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Técnicas de Previsão de Reservas IBNR
Rodrigo Simões AtherinoDepto. de Engenharia Elétrica/IAPUC
PUC-Rio
Funenseg, 19 de Setembro de 2007
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Estruturação
Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão
Classificação Evolução Descrição
Aplicações Considerações Finais
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Estruturação
IntroduçãoIntrodução Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão
Classificação Evolução Descrição
Aplicações Considerações Finais
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Introdução
Objetivo Apresentar de forma introdutória a evolução da
modelagem estatística no contexto de Reservas IBNR;
Descrever algumas destas técnicas; Mostrar resultados provenientes de tais técnicas.
Ref:- Taylor, Greg (2004). “Loss Reserving: Past, Present and Future”, Research Paper 109, Centre of Actuarial Studies, The University of Melbourne.- Taylor, Greg (2000). Loss Reserving: an Actuarial Perspective, Kluwer Academic Publishers.- England, P.D.; Verrall, R.J.(2002). “Stochastic Claims Reserving in General Insurance”, British Actuarial Journey, 8,443-518.
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Introdução Necessidade de reservas IBNR (Incurred But Not
Reported) Atraso entre a ocorrência do sinistro e sua notificação ao
segurador Atraso entre a notificação e a finalização do pagamento
referente ao sinistro Reaberturas
T T+2 T+3- +
aviso
T-1
ocorrência
T-2 T T+3- +
aviso
T-1
ocorrência
1o pagamento
1o pagamento
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Estruturação
Introdução Formato Formato Runoff Runoff dos dadosdos dados Métodos de Previsão
Classificação Evolução Descrição
Aplicações Considerações Finais
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Montante pago ou incorrido referente ao ano de origem i e ano de desenvolvimento j.
Notação Utilizada
ijC
ijD
Ii1 Ij 1
j
m imij CD1
Montante acumulado pago ou incorrido referente ao ano de origem i e ano de desenvolvimento j. Ii1 Ij 1
i 1 2 3 ... I
1 C1,1 C1,2 C1,3 ... C1,I
2 C2,1 C2,2 ... C2,I-1
3 C3,1 . .
. . . .
. . CI-1,1
I CI,1
i 1 2 3 ... I
1 D1,1 D1,2 D1,3 ... D1,I
2 D2,1 D2,2 ... D2,I-1
3 D3,1 . .
. . . .
. . DI-1,1
I DI,1
Triângulo de Runoff incremental Triângulo de Runoff acumulado
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Formato Runoff dos dados
Sentido “Ano de origem” ou “Ano de acidente”
Ano de origem
Desenvolvimento j
i 1 2 3 ... I
1 C1,1 C1,2 C1,3 ... C1,I
2 C2,1 C2,2 ... C2,I-1
3 C3,1 . .
. . . .
. . CI-1,1
I CI,1
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Formato Runoff dos dados
Sentido “Ano de desenvolvimento”
Ano de origem
Desenvolvimento j
i 1 2 3 ... I
1 C1,1 C1,2 C1,3 ... C1,I
2 C2,1 C2,2 ... C2,I-1
3 C3,1 . .
. . . .
. . CI-1,1
I CI,1
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Formato Runoff dos dados
Sentido “Ano de calendário”
Ano de origem
Desenvolvimento j
i 1 2 3 ... I
1 C1,1 C1,2 C1,3 ... C1,I
2 C2,1 C2,2 ... C2,I-1
3 C3,1 . .
. . . .
. . CI-1,1
I CI,1
t = i + j - 1t = i + j - 1
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Formato Runoff dos dados
Objetivo: completar o triângulo inf.Ano de origem
Desenvolvimento j
i 1 2 3 ... I
1 D1,1 D1,2 D1,3 ... D1,I
2 D2,1 D2,2 ... D2,I-1
3 D3,1 . .
. . . .
. . DI-1,1
I DI,1
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Formato Runoff dos dados
Objetivo: completar o triângulo inf.
I
iiRR
2
ˆˆ
I
iImmiiIiIii CDDR
2,1,,
ˆˆˆ
Incremental Acumulado
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Formato Runoff dos dados
Objetivo: completar o triângulo inf.
Para se prever valores onde j > I, é necessário uma parametrização adicional.
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Estruturação
Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de PrevisãoMétodos de Previsão
ClassificaçãoClassificação Evolução Descrição
Aplicações Considerações Finais
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Taxinomia dos Modelos de Loss Reserving
Primeira classificaçãoRef: Taylor, G. C. (1986). Claim Reserving in Non-life Insurance. North-Holland, Amsterdam.
Re-classificaçãoRef: Taylor, G. C. (2004). “Loss Reserving: Past, Present and Future”. Research Paper 109, Centre of Actuarial Studies, The University of Melbourne, Australia.
Estocasticidade Determinístico vs. Estocástico
Dinâmica Estático vs. Dinâmico
Estrutura do Modelo Fenomenológico vs. Micro-estrutural
Estimação dos Parâmetros Heurística vs. Ótima
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Taxinomia dos Modelos de Loss Reserving
Estocasticidade Determinístico vs.
Estocástico Para um modelo
estocástico, as observações têm a forma:
onde
j
i
jijiji eC ,,,
ji , parâmetro
jie , erro estocástico
jiC ,
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Taxinomia dos Modelos de Loss Reserving
Dinâmica Um modelo dinâmico possui parâmetros que
evoluem no tempo. Exemplo:
no qual jf iji ,,
i vetor de parâmetros que evolui como:
iw perturbação estocástica
iii w 1
Por exemplo:
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Taxinomia dos Modelos de Loss Reserving
Estrutura do Modelo Modelos Fenomenológicos
Estrutura não leva em conta os aspectos do processo de sinistros que possuem um significado direto
Modelos Micro-estruturais Preocupação com os
aspectos “finos” da estrutura do processo de sinistros
Não é uma classificação dicotômica
Espectro das estruturas de modelo
Fenomenológico Micro-estrutural
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Taxinomia dos Modelos de Loss Reserving
Estimação dos Parâmetros Heurística
Típica em modelos não-estocásticos Ótima
Parâmetros estimados por maximização (ou minimização) de algum critério estatístico (ex: verossimilhança)
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Estruturação
Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de PrevisãoMétodos de Previsão
Classificação EvoluçãoEvolução Descrição
Aplicações Considerações Finais
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Evolução
EstáticoDeterminístico
FenomenológicoHeurístico
EstáticoDeterminístico
FenomenológicoHeurístico
EstáticoEstocástico
FenomenológicoHeurístico
EstáticoEstocástico
FenomenológicoHeurístico
EstáticoEstocástico
FenomenológicoÓtimo
EstáticoEstocástico
FenomenológicoÓtimo
DinâmicoEstocástico
FenomenológicoÓtimo
DinâmicoEstocástico
FenomenológicoÓtimo
Chain Ladder convencional
Chain Ladder estocásticoMack,T. (1993)
Modelos Log-normaisRenshaw, A.E. (1989)Christofides (1991)
Modelos em Espaço de EstadoDe Jong & Zenhnwirth (1983)
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Estruturação
Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de PrevisãoMétodos de Previsão
Classificação Evolução DescriçãoDescrição
Aplicações Considerações Finais
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Método Chain Ladder
Procedimento Estimar os (I -1) “Development Factors”. Preencher o triângulo inferior. Calcular a Reserva.
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Obtenção dos j (“Development Factors”)
Ano de origem
Desenvolvimento j
i 1 2 3 ... I
1 D1,1 D1,2 D1,3 ... D1,I
2 D2,1 D2,2 ... D2,I-1
3 D3,1 . .
. . . .
. . DI-1,2
I DI,1
2= A/B
AB
Método Chain Ladder
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Método Chain Ladder
“Development Factors”Ref: HART, D.;BUCHANAN, R.; HOWE, B. “The Actuarial Practice of General Insurance”, Insitute of Actuaries of Australia, 1996.
1
1 1,
1
1 ,ˆjI
i ji
jI
i jij
D
D
Ij ,,3,2
mmimi
iIiIiiIi
DD
DD
ˆˆˆ
ˆˆ
1,,
21,2,
IiIiIm ,,4,3
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Método Chain Ladder
Total de pagamentos no ano
Total Reservado
i
iRR ˆˆ
1ˆˆ
21,
I
iIjjiIii DR
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Chain Ladder Estocástico
Modelo de Mack(Distribution Free)
Premissas básicas Independência entre anos de origem 1,
21,1,, ],,|[ jijjiiji DDDDVar
1,1,1,, ],,|E[ jijjiiji DDDD
Ref: Mack, T (1993). “Distribution-Free Calculation of the Standard Error of Chain Ladder Reserve Estimates”, ASTIN Bulletin, 23, 213-225.Mack, T (1994). “Which Stochastic Model is Underlying the Chain Ladder Method?”, Insurance: Mathematics and Economics, 15, 133-138.
Mack, T (1994). “Measuring the Variability of Chain-Ladder Reserve Estimates”. Casualty Actuarial Society, Spring Forum.
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Chain Ladder Estocástico
Procedimento Estimar os “Development Factors” Estimar os parâmetros Preencher o triângulo inferior Calcular as Reservas por “ano de acidente” e
seus respectivos erros médios quadráticos. Por fim, calcular a Reserva Total e seu respectivo
erro médio quadrático.
2j
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Chain Ladder Estocástico
Modelo de Mack
21
1 1,
,1,
2 ˆ1ˆ
jI
ij
ji
jijij D
DD
jI
1
1 1,
1
1 ,ˆjI
i ji
jI
i jij
D
D
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Chain Ladder Estocástico
Modelo de Mack
21
1 1,
,1,
2 ˆ1ˆ
jI
ij
ji
jijij D
DD
jI
1
1 1,
1
1 ,ˆjI
i ji
jI
i jij
D
D
Mesmos DF obtidos pelo método Chain
Ladder
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Chain Ladder Estocástico
Modelo de Mack - Reserva
kI
m kmki
I
iIk k
kIii
CCCRMSE
1 ,,
1
12
22,
1ˆ1
ˆˆˆˆ
1ˆˆ
21,
I
iIjjiIii DR
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Chain Ladder Estocástico
Modelo de Mack - Reserva
I
i
I
iIkkI
n kn
kkI
ijIjIii
CCCRMSERMSE
2
1
11 ,
22
1,, ˆ
ˆˆ2ˆˆˆˆ
i
iRR ˆˆ
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Chain Ladder Estocástico
Modelo de Mack Reserva é idêntica à do Método Chain Ladder Por falta de observações na última coluna,
22
232
3
422
1 ,min,min III
II
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Modelo Log-normal
Baseado em MLG (Modelos Lineares Generalizados)
Etapas
Seleção do ModeloSeleção do ModeloEstimação dos
ParâmetrosEstimação dos
ParâmetrosPrediçãoPredição
Ref: McCullagh, P. & Nelder, J.A. (1989). Generalized Linear Models. Chapman & Hall/CRC
Dobson, A. (2002). An Introduction to Generalized Linear Models. Chapman & Hall/CRC
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Modelo Log-normal
Estrutura de um ML
iiYE iY
ippiii xxx 22110
Preditor Linear
Observação
ii
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Modelo Log-normal
Estrutura de um MLG
iiYE iY
ippiii xxx 22110
Preditor Linear
Observação
)( ii g Função de ligação(link function)
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Modelo Log-normal
Modelo Básico
ijij CY log
Ref: Renhaw, A.E. (1989). “Chain Ladder and Interactive Modelling”, Journal of the Institute of Acuaries, 116, 559-587.Christofides, S. (1990). “Regression Models Based on Logincremental Payments”, Claims Reserving Manual, 2, Institute of Actuaries, London.
Kremer,E. (1982). “IBNR-Claims and the Two-way Model of ANOVA”, Scandinavian Actuarial Journal, 47-55.
2,0N~, ijijijij mY
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Modelo Log-normal
Modelo Básico
2,0N~, ijijjiijY
Ijim jiij ,2,
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Modelo Log-normal
Modelo Básico - Reserva
1)ˆVar(expˆˆMSE ijijij mCC
)ˆ(Var
2
1ˆexpˆ
ijijij mmC
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Modelo Log-normal
Modelo Básico - Reserva
12
21
2121,
,,, 1ˆ,ˆCovexpˆˆ2ˆMSEˆMSE
jjjj
ijijjijij
jii
ii
mmCCCR
2211
22
11
22112211
,,
,,,
, 1ˆ,ˆCovexpˆˆ2ˆMSEˆMSE
jijijiji
jijijijiji
ji mmCCCR
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Modelo Log-normal
Problemas do Modelo Básico Somente admite valores positivos Super parametrizado Não há correção para o caso de correlação serial
Ref: De Jong, P. (2006). “Forecasting Runoff Triangles”, North American Actuarial Journal, 10, 2.
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Modelo Log-normal
Modelo de Renshaw Curva de Hoerl
onde 1 jd
diji
ii edKC 1,
ieK i
0ie
10 Id
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Modelo Log-normal
Modelo de Renshaw Curva de Hoerl
Menor número de parâmetros Pode-se extrapolar a estimação de
para
dddm iiii 1log)(
Ij jiC ,
ˆ
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Modelos Dinâmicos
Modelo de De Jong & Zenhwirth
Modelo em Espaço de Estado Curva de Hoerl Evolução temporal das observações: sentido “ano
de calendário” Filtro de Kalman
Ref:
De Jong & Zehnwirth.,”Claims Reserving, State-space Models and the Kalman Filter”, Journal of the Institute of Actuaries, 110:157-181,1983.
Atherino, R. & Fernandes, C., “Um Modelo em Espaço de Estado para Estimação de Reservas IBNR”, Revista Brasileira de Risco e Seguro, 3, 5: 93-109.
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Modelos Dinâmicos
Forma em Espaço de Estado
tt1ttt
tttt
ηRαTα
εαZyEq. das observações
Eq. do estado
)Q,0N(~η
)H,0N(~ε
tt
tt
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Modelos Dinâmicos
Formação dos vetores y
Ano de origem
Desenvolvimento j
i 1 2 3 ... I
1 Y1,1 Y1,2 Y1,3 ... Y1,I
2 Y2,1 Y2,2 ... Y2,I-1
3 Y3,1 . .
. . . .
. . YI-1,2
I YI,1
t = i + j - 1t = i + j - 1
yI
y3
y2
y1
Sentido do filtro
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Modelos Dinâmicos
Equação das observações
)(),1()( tujjtmty jj
)()1()()( tujtbjty jj
ou
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Modelos Dinâmicos
Equação das observações
)(),1()( tujjtmty jj
)()1()()( tujtbjty jj
ou
Abordagem De Jong & Zenhwirth (1983)
)1()( jjej onde 0 )()(
)1(d
d
ib
iii edK
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Modelos Dinâmicos
Equação das observações
tttt εαZy
)(
)(
)(
)1(
)1(
)(
)1(00
0)1(0
00)0(
)(
)(
)(
1
1
0
1
1
0
tu
tu
tu
b
tb
tb
tty
ty
ty
tt
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Modelos Dinâmicos
Equação de Estado
)(
0
0
)1(
)2(
)1(
1000
0001
0001
)1(
)1(
)( 1
tv
b
tb
tb
b
tb
tb
t1ttt RαTα
)()1()( ivibib
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Modelos Dinâmicos
Filtro de Kalman “Procedimento recursivo de obtenção do
estimador ótimo do vetor de estado no instante t, condicionado a toda informação até este instante”ref: Harvey, A. (1989) Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter, Cambridge University Press.
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Modelos Dinâmicos
Filtro de Kalman
)|(E 11 ttt Ya )|(Var 11 ttt YP
)|(E| tttt Ya )|(Var| tttt YP
Previsão do estado e observação SEM nova
informação
Previsão do estado e observação SEM nova
informação
Cálculo da matriz de ganho
Cálculo da matriz de ganho
Atualização da previsão incorporando-se nova
informação
Atualização da previsão incorporando-se nova
informação
11
|1
|1
ˆ
ttt
tttttttt
tttt
aZY
RQRTPTP
aTa
111
1111
ttt
ttttt
ZPM
HZPZF
111111|1
1111111|1 )ˆ(
tttttt
ttttttt
MFMPP
yyFMaa
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Modelos Dinâmicos
Filtro de Kalman
)|(E 11 ttt Ya )|(Var 11 ttt YP
)|(E| tttt Ya )|(Var| tttt YP
Previsão do estado e observação SEM nova
informação
Previsão do estado e observação SEM nova
informação
Cálculo da matriz de ganho
Cálculo da matriz de ganho
Atualização da previsão incorporando-se nova
informação
Atualização da previsão incorporando-se nova
informação
11
|1
|1
ˆ
ttt
tttttttt
tttt
aZY
RQRTPTP
aTa
111
1111
ttt
ttttt
ZPM
HZPZF
111111|1
1111111|1 )ˆ(
tttttt
ttttttt
MFMPP
yyFMaa
Substi
tuiçã
o
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Modelos Dinâmicos
Filtro de Kalman
)|(E 11 ttt Ya )|(Var 11 ttt YP
Previsão do estado e observação SEM nova
informação
Previsão do estado e observação SEM nova
informação
Cálculo da matriz de ganho
Cálculo da matriz de ganho
11
1
1
ˆ
)ˆ(
ttt
ttttttt
tttttt
aZy
RQRLPTP
yyKaTa
tttt
ttttt
ttttt
ZKTL
FZPTK
HZPZF
1
1
![Page 55: Técnicas de Previsão de Reservas IBNR Rodrigo Simões Atherino Depto. de Engenharia Elétrica/IAPUC PUC-Rio Funenseg, 19 de Setembro de 2007](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081505/552fc0f9497959413d8b7a0e/html5/thumbnails/55.jpg)
Modelos Dinâmicos
Previsão da Reserva
onde
11 ˆˆ IIaZR
S
a 111
aaHaZPaZR IIII 1111ˆMSE
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Estruturação
Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão
Classificação Evolução Descrição
AplicaçõesAplicações Considerações Finais
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Aplicações
Dados AFGRef: MACK, T. “Which Stochastic Model is Underlying the Chain Ladder Method?”, Insurance: Mathematics and Economics, 15:133-138,1994.
Ano Desenvolvimento d
w 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 5012 3257 2638 898 1734 2642 1828 599 54 172
2 106 4179 1111 5270 3116 1817 -103 673 535
3 3410 5582 4881 2268 2594 3479 649 603
4 5655 5900 4211 5500 2159 2658 984
5 1092 8473 6271 6333 3786 225
6 1513 4932 5257 1233 2917
7 557 3463 6926 1368
8 1351 5596 6165
9 3133 2262
10 2063
Unidade: milhar de dólar
![Page 58: Técnicas de Previsão de Reservas IBNR Rodrigo Simões Atherino Depto. de Engenharia Elétrica/IAPUC PUC-Rio Funenseg, 19 de Setembro de 2007](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081505/552fc0f9497959413d8b7a0e/html5/thumbnails/58.jpg)
Aplicações
Dados AFGRef: MACK, T. “Which Stochastic Model is Underlying the Chain Ladder Method?”, Insurance: Mathematics and Economics, 15:133-138,1994.
Ano Desenvolvimento d
w 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 5012 3257 2638 898 1734 2642 1828 599 54 172
2 106 4179 1111 5270 3116 1817 -103 673 535
3 3410 5582 4881 2268 2594 3479 649 603
4 5655 5900 4211 5500 2159 2658 984
5 1092 8473 6271 6333 3786 225
6 1513 4932 5257 1233 2917
7 557 3463 6926 1368
8 1351 5596 6165
9 3133 2262
10 2063
Unidade: milhar de dólar
Valor negativo será excluído no modelo log-normal
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Aplicações
Comportamento de cada linha do triângulo
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Aplicações
“Função básica” ou “função de base”)1(5.0)( jjej
![Page 61: Técnicas de Previsão de Reservas IBNR Rodrigo Simões Atherino Depto. de Engenharia Elétrica/IAPUC PUC-Rio Funenseg, 19 de Setembro de 2007](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081505/552fc0f9497959413d8b7a0e/html5/thumbnails/61.jpg)
Aplicações
Reservas Estimadas
Dados AFG
Ano de Origem
Mack % LogNormal % E.E. %
1 0 0 0 0 0 0
2 154 134% 357 210% 460 -
3 617 101% 1020 139% 1148 -
4 1636 46% 3064 107% 2238 -
5 2747 53% 3753 94% 3673 -
6 3649 55% 6010 87% 5033 -
7 5435 41% 7742 86% 7012 -
8 10907 49% 18806 87% 9953 -
9 10650 59% 25367 98% 12421 -
10 16339 150% 56475 137% 15511 -
IBNR 52135 52% 122595 70% 57472 43%
Unidade: milhar de dólar
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Estruturação
Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão
Classificação Evolução Descrição
Aplicações Considerações FinaisConsiderações Finais
![Page 63: Técnicas de Previsão de Reservas IBNR Rodrigo Simões Atherino Depto. de Engenharia Elétrica/IAPUC PUC-Rio Funenseg, 19 de Setembro de 2007](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081505/552fc0f9497959413d8b7a0e/html5/thumbnails/63.jpg)
Considerações Finais
Não existe um modelo estatístico estritamente melhor em todas as situações.
O triângulo, em geral, é composto de poucos dados.
Extensões: modelos “micro-estruturais” com ou sem agregação (triângulo).
Ref: Taylor, G. & McGuire, G. (2004). “Loss reserving with GLMs: a case study”, Proceedings of the Spring 2004 Meeting of the Casualty Actuarial Society.