Modul ke:

Fakultas

Program Studi

Telekomunikasi Analog & DigitalLanjutan Sinyal & Spektrum

Beny Nugraha, MT, M.Sc

02

FAKULTAS TEKNIK

TEKNIK ELEKTRO

Review Transformasi Fourier• Misalkan f(x) fungsi yang kontinyu di ,

didefinisikan transformasi Fourier, TF f(x) adalah

• Dan inversi-nya adalah

Review Transformasi Fourier• Tabel Transformasi Fourier:

Review Transformasi Fourier• Tabel Transformasi Fourier:

Sifat-Sifat Transformasi Fourier 1. Linearitas

Sifat linearitas berarti jika x(t) = X(ω), maka:

Sifat linearitas yang lain adalah:

Di mana a dan b adalah konstanta sedangkan f(x) dan g(x) adalah fungsi kontinyu.

Sifat-Sifat Transformasi Fourier 1. Linearitas

Bukti:

Sifat-Sifat Transformasi Fourier 2. Pergeseran Waktu

Efek pergeseran di domain waktu hanyalah menambahkan suku bilangan linier -ω t0 pada spektrum fasa aslinya, θ(ω) sehingga dapat dituliskan dalam persamaan berikut:

Sifat-Sifat Transformasi Fourier 3. Pergeseran Frekuensi

Apabila frekuensinya bergeser sebanyak ω0 ke kanan, maka dapat dituliskan dalam persamaan berikut:

Sifat-Sifat Transformasi Fourier 4. Perubahan Skala

Persamaan ini menggambarkan:• Jika a > 1 akan mengakibatkan ekspansi spektrumnya• Jika a < 1 akan mengakibatkan kompresi spektrumnya

Sifat-Sifat Transformasi Fourier 5. Pembalikan Waktu

Sifat pembalikan waktu pada transformasi Fourier dapat digambarkan dengan persamaan berikut:

Contoh:Jika TF dari x(-t) adalah

Maka TF dari x(t) adalah

Sifat-Sifat Transformasi Fourier 6. Diferensiasi• Diferensiasi waktu. Efek diferensiasi di domain waktu dapat dijabarkan sebagai perkalian X(ω) dan jω dalam domain frekuensi.

• Diferensiasi frekuensi.

Sifat-Sifat Transformasi Fourier 7. Integrasi

Dari persamaan di atas diperlihatkan bahwa efek integrasi di domain waktu dapat dijabarkan secara matematis sebagai pembagian X(ω) oleh jω di domain frekuensi, dengan mengasumsikan X(0) = 0. Nilai X(0) dapat dituliskan dalam persamaan berikut:

Sifat-Sifat Transformasi Fourier 8. Konvolusi

Konvolusi dua buah sinyal x1(t) dan x2(t), yang dilambangkan sebagai x1(t) * x2(t), akan menghasilkan sebuah sinyal baru x(t) dan didefinisikan dengan persamaan berikut:

Sifat-Sifat Transformasi Fourier 8. Konvolusi

Konvolusi berfungsi untuk menyatakan hubungan antara masukan dan keluaran pada sistemDi mana x(t) adalah output dari sistem, x1(t) adalah input berupa sinyal diskrit & x2(t) adalah respons impuls dari sistem.

Sifat-Sifat Transformasi Fourier 8. Konvolusi

Contoh:Terdapat sinyal x1(t) dan x2(t) sebagai berikut:

Tentukan x1(t) * x2(t)!

Sifat-Sifat Transformasi Fourier 8. Konvolusi

Jawab:Langkah 1. Ubah x1(t) dan x2(t) ke bentuk x1(τ) dan x2(τ), kemudian reverse sinyal x2(τ) menjadi x2(- τ), kemudian geser ke kiri sejauh t (t < T) menjadi x2(-τ+t).

Sifat-Sifat Transformasi Fourier 8. Konvolusi

Jawab:Langkah 2. Perhitungan dibagi menjadi 3 bagian:9. -∞ < t ≤ 0

Tidak ada bagian yang tumpang tindih antara x1(t) dan x2(-τ+t), sehingga bagian ini adalah 0.

Sifat-Sifat Transformasi Fourier 8. Konvolusi

Jawab:9. 0 ≤ t ≤ T

Bidang yang tumpang tindih:

Sifat-Sifat Transformasi Fourier 8. Konvolusi

Jawab:9. T ≤ t

Bidang yang tumpang tindih:

Sifat-Sifat Transformasi Fourier 8. Konvolusi

Jawab:Maka hasil konvolusinya:Untuk -∞ < t ≤ 0 = 0Untuk 0 ≤ t ≤ T = AtUntuk T ≤ t = AT

Sifat-Sifat Transformasi Fourier 9. Perkalian

Persamaan di atas dirujuk sebagai teorema konvolusi frekuensi. Sehingga, perkalian pada domain waktu dapat dijabarkan secara matematis sebagai konvolusi pada domain frekuensi.

Transformasi Fourier Impuls Satuan

• Fungsi impuls satuan didefinisikan sebagai berikut:

Transformasi Fourier Impuls Satuan

• Transformasi Fourier dari δ(t) diberikan oleh persamaan berikut:

• Pasangan transformasi Fourier dari δ(t) adalah:

PR!!!!

Terdapat dua sinyal berikut:

Tentukan x1(t) * x2(t)!

Terima KasihBeny Nugraha