1. FIGURAS SEMEJANTES

Dos figuras que tienen la misma forma se llaman semejantes,

aunque pueden tener distintas dimensiones.

Los elementos (puntos, lados, ángulos…) que se corresponden en

una semejanza se dice que son los elementos homólogos.

Dos figuras semejantes tienen los lados correspondientes

proporcionales y los ángulos correspondientes iguales.

En dos figuras semejantes el cociente entre las medidas de dos

lados homólogos se llama razón de semejanza (k).

Los lados a y a’, b y b’, c y c’, se

llaman lados homólogos

Son ángulos homólogos:

Dos triángulos son semejantes cuando

tienen sus ángulos homólogos iguales

y sus lados homólogos proporcionales:

La razón de la proporción entre los

lados de los triángulos se llama razón

de semejanza “K”.

Ejemplo 1: Observa estas tres fotografías e indica si son semejantes

entre sí y por qué:

TEMA 6 – SEMEJANZA. APLICACIONES -

Ejemplo 2: Observa las tres figuras e indica si son semejantes:

Solución:

5

5,7

8

12 A y B sí son semejantes

5,7

9

12

13 B y C no son semejantes

Ejemplo 3: Mide las dimensiones de este rectángulo y construye un rectángulo

semejante a él de forma que la razón de semejanza sea 3:

Solución:

1,5 · 3 = 4,5 cm

3 · 3 =9 cm

Ejemplo 4: Construye un triángulo semejante de forma que la razón de

semejanza sea 2, sabiendo que los lados de un triángulo miden 1,5 cm, 2

cm y 2,5 cm.

1,5 · 2 = 3 cm

2 · 2 = 4 cm

2,5 · 2 = 5 cm

Ejemplo 5: Una fotografía de 9 cm de ancha y 6 cm de alta, tiene

alrededor un marco de 2, 5 cm de ancho. ¿Son semejantes los rectángulos

interior y exterior del marco?

Fotografía: 9cm de ancha y 6cm de alta.

Fotografía con marco: 9cm+2,5 +2,5 = 14 cm de ancha

6cm+2,5 +2,5 = 11 cm de alta.

2. RELACIONES ENTRE PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES

La razón entre los perímetros de dos polígonos semejantes es

igual a la razón de semejanza:

La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al

cuadrado de la razón de semejanza.

La razón entre los volúmenes de dos figuras semejantes es igual

al cubo de la razón de semejanza.

1 Dos polígonos son semejantes con razón de semejanza 5. Si el perímetro

del menor es 12 cm, halla el del mayor.

2 Las áreas de dos polígonos semejantes están en la razón 1:64. ¿Cuál es la

razón de semejanza?

R=8

1

64

1

3 Los volúmenes de dos polígonos semejantes están en la razón 1:512.

¿Cuál es la razón de semejanza?

R=8

1

512

13

3. ESCALAS

ESCALA: es el cociente entre cada longitud de reproducción (mapa, plano,

maqueta) y la correspondiente longitud en la realidad. Es, por tanto, la razón

de semejanza entre la reproducción y la realidad. Por ejemplo, una escala

1:200 significa que 1 cm del plano corresponde a 200 cm de la realidad. Para

calcular la escala se divide una longitud medida en el modelo, plano o mapa,

entre la longitud correspondiente a la realidad.

Ejemplo 1: En un mapa cuya escala es 1:1500000, la distancia entre dos

ciudades es de 2,5 cm. ¿Cuál es la distancia real entre ellas?

A cada centímetro en el mapa le corresponde 1.500.000 cm en la

realidad, es decir, 15 km. Entonces la distancia entre las dos ciudades

se calcula multiplicando 2,5 por 15 km, es decir, en realidad hay 37,5

km de distancia.

¿Cuál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades A y B cuya distancia

real es 360 km?

En este caso, la operación a realizar es una división. Pero antes tenemos

que pasar los 360 km a cm, que corresponde a 36.000.000 cm. Dividimos

36.000.000 entre 1.500.000 y obtenemos 24 cm.

Ejemplo 2: En un mapa cuya escala es 1:300000, la distancia entre dos

ciudades es de 5 cm. ¿Cuál es la distancia real entre ellas?

A cada centímetro en el mapa le corresponde 300.000 cm en la realidad,

es decir, 3 km. Entonces la distancia entre las dos ciudades se calcula

multiplicando 5 por 3 km, es decir, en realidad hay 15 km de distancia.

Ejemplo 3: En un mapa cuya escala es 1:1800000, la distancia entre A y B es

de 5 cm. En otro mapa de escala 1:1200000, la distancia entre C y D es

también de 5 cm ¿Qué distancia es mayor en la realidad AB o CD?

A cada centímetro en el mapa le corresponde 1.800.000 cm en la

realidad, es decir, 18 km. Entonces la distancia entre las dos ciudades

se calcula multiplicando 5 por 18 km, es decir, en realidad hay 90 km de

distancia. A cada centímetro en el mapa le corresponde 1.200.000 cm

en la realidad, es decir, 12 km. Entonces la distancia entre las dos

ciudades se calcula multiplicando 5 por 12 km, es decir, en realidad hay

60 km de distancia.

Así que hay más distancia entre la ciudad A y B.

Ejemplo 4: La Estatua de la Libertad de Nueva York mide 30,6 m de los pies

a la cabeza. Si con ella se reprodujo a una persona cuya estatura era de 170

cm, ¿qué escala utilizaron para su construcción?

Tenemos que realizar la división para saber lo que equivale en la maqueta,

pero antes pasamos ambas medidas a la misma magnitud.

30,6 m = 3060 cm : 170 cm = 18 cm. La escala es 18:1; es decir,

18 cm en la escultura representan 1 cm en la realidad.

Ejemplo 5: El dibujo adjunto representa la maqueta de una urbanización a

escala 1:500. Sobre la maqueta se ha tomado las siguientes medidas:

Polideportivo: largo 30 cm y ancho 18 cm.

Depósito cilíndrico: diámetro 6 cm y altura 10 cm.

Carpa: diámetro 16 cm.

Para construir la carpa de la maqueta se han necesitado 402 cm2 de tela. En

el depósito de la maqueta caben 283 cm3 de arena. Hallar:

a) La superficie total del polideportivo.

DIMENSIONES EN REALIDAD:

Polideportivo:

Largo 30 cm x 500 =15000 cm =150 m

Ancho 18 cm x 500 =9000 cm =90 m

Depósito cilíndrico:

Diámetro 6 cm radio 3 cm x 500 =1500 cm = 15 m

Altura 10 cm x 500 =5000 cm = 50 m

Carpa:

Diámetro 16 cm radio 8 cm x 500= 4000 cm =40 m

A= b· h = 150 · 90 = 13500 m2

b) El volumen del depósito.

V=π· r2 ·h= π· 152 ·50 = 35342,9 m3

También se puede calcular mediante el volumen del depósito:

Vdepósito real = Vdepósito maqueta · k3

Vdepósito real = 283 · 5003 =35.375.000.000 cm3 = 35375 m3

c) La superficie y el volumen de la carpa en realidad.

A= 2

1· 4 · π· r2 = 2· π· r2 =2· π· 402 = 10053,1 m2

También se puede calcular mediante el área de la carpa:

Acarpa real = Acarpa maqueta · k2

Adepósito real = 402 · 5002 =100.500.000 cm2 = 10050 m2

Respecto al volumen: V= 2

1·

3

4· π· r3 =

3

2· π· 403 = 134041,3 m3

ÁREAS Y VOLÚMENES A SABER

ESFERA

A= 4 · π· r2

V=3

4· π· r3

CILINDRO

AB= π· r2

AL= 2·π· r · H

AT=AL +2 AB

V=π· r2 ·h

ORTOEDRO

AB= a · b

AL=PB · H

AT=AL +2 AB

V= AB ·H

Ejemplo 6: Una maqueta está hecha a escala 1:250. Calcula:

1. Las dimensiones de una torre cilíndrica que en la maqueta mide 6 cm de

altura y 4 cm de diámetro.

1 cm equivale a 250 cm

6 cm de altura equivale a 250 x 6 = 1500 cm, es decir, 15 m

4 cm de diámetro equivale a 250 x 4 = 1000 cm, es decir, 10 m

2. La superficie de un jardín que en la maqueta ocupa 40 cm2.

A= área x escala2 = 40 x 2502 = 2.500.000 cm2 = 250 m2

3. El volumen de una piscina que en la maqueta contiene 20 cm3 de agua.

V= volumen x escala3 = 20 x 2503 = 312.500.000 cm3 = = 312,5 m3

4. TEOREMA DE THALES

Si dos rectas cualquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos

determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos

correspondientes en la otra.

Ejemplo 1: Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

Ejemplo 2: Sabiendo que las rectas a, b, c y d son paralelas calcula la longitud de x

e y:

Solución:

cm 5712

90

cm 51712

210

3712

30

,y

,x

yx

Ejemplo 3: Calcula el valor de x e y en esta construcción:

Solución:

cm 786

255

cm 6546

8

yy,

x,

x

Ejemplo 4: Calcula x en el siguiente dibujo si:

2

4 x

x x2=8 x= 8 =2,82 cm

TEOREMA DE TALES EN UN TRIÁNGULO

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los

lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son

proporcionales a los del triángulo ABC.

Ejemplo 1: Hallar las medidas de los segmentos a y b.

Ejemplo 2: Calcula x en el siguiente dibujo si a = 3 cm, b = 4 cm, c = 6 cm (x

se denomina segmento cuarto proporcional).

SOLUCIÓN

cm83

6·4x

x

6

4

3

x

c

b

a

Ejemplo 3: Calcula el valor de x en esta ilustración.

Solución: m335

55·3x

55

x

5

3

Ejemplo 4: En la siguiente ilustración, calcula D si conocemos h = 1,65 m; d =

2 m; H = 14,85 m

Solución: m181,65

14,85·2

h

H·dD

D

H

d

h

Ejemplo 5: Calcula la altura de un depósito de agua que da una sombra de 15

m de largo, si a la misma hora un bastón de 1 m de alto da una sombra de 1,8

m de largo.

Los dos triángulos son semejantes pues dos de sus lados son paralelos, y

podemos considerar que los lados formados en ambos triángulos por los

rayos del Sol también son paralelos.

En consecuencia,

m8,331,8

1·15CD

15

h

1,8

1

DE

CD

BC

AB

Ejemplo 6: Halla x e y en la siguiente figura:

Solución:

Aplicando el Teorema de Tales:

cm6,752

3·4,5x

2

3

4,5

x

cm10,114,5

7·6,5y

y

6,5

7

4,5

Ejemplo 7: Calcula x (todas las medidas están en centímetros).

Solución: cm7,52

3·5x

5

x

2

3

Ejemplo 8: Calcula x (las unidades son metros):

Solución: m33

6·1,5x

x

6

1,5

3

Ejemplo 9: Calcula x e y (las unidades son metros):

Solución:

m26

8·1,5y

y

1,5

8

6

m2,56

10·1,5x

x

1,5

10

6

Ejemplo 10: Calcula x (las unidades son metros):

Solución:

cm38

6·4x

4

8

x

6

cm46

3·8y

y

8

3

6

cm46

3·8z

z

8

3

6

5. TEOREMA DEL CATETO Y DE LA ALTURA

En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y

su proyección sobre ella. En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa

es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.

a hipotenusa

b y c catetos

m proyección del cateto b sobre la hipotenusa

n proyección del cateto c sobre la hipotenusa

a2=b2+c2

Ejemplo: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección

de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el otro cateto.

Ejemplo: En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la

hipotenusa miden 4 y 9 centímetros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.

6. TEOREMA DE PITÁGORAS

PITÁGORAS

7. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS

RECTÁNGULO a2 = b2 + c2

OBTUSÁNGULO a2 > b2 + c2

ACUTÁNGULO a2 < b2 + c2

Ejemplo 1: Conociendo los diferentes lados de un triángulo, clasifícalo según

sus ángulos:

a= 13 cm b= 5 cm c= 7 cm

TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO

8. APLICACIÓN ALGEBRAICA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

Ejemplo 1: Hallar el volumen de un tronco de cono de 9 cm de altura

sabiendo que los radios de sus bases miden 20 cm y 8 cm.

Ejemplo 2: Para medir la altura de un edificio, Miguel se sitúa de modo

que ve alineados la parte alta de la verja y la del edificio. Señala su

posición y toma las medidas que se ven en el dibujo.

a) Explicar por qué los triángulos ABC y ADE son semejantes.

b) Calcular ED y la altura del edificio.

9. APLICACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS EN FIGURAS

1. Diagonal del cuadrado

2. Diagonal del rectángulo

3. Lado oblicuo del trapecio rectángulo

4. Altura del trapecio isósceles

5. Altura del triángulo equilátero

6. Apotema de un polígono regular

7. Apotema del hexágono inscrito

8. Lado de un triángulo equilátero inscrito

9. Lado de un cuadrado inscrito

Ejemplo 1: Calcula “x”, el perímetro y el área coloreada en cada figura:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A=46,9 cm2 P=33,6 cm X=8,4 cm

Y=11,1 cm H=6,7 cm

11

A=25,9 cm2 P=27,7 cm

X=1,84 cm=n M=10,16 cm Y=11,04 cm H=4,32 cm