tema 7 – ondas. 7.1.- introducción. 7.2.- tipos de ondas. 7.3.- frente de onda. 7.4.-...

Tema 7 – Ondas.

7.1.- Introducción. 7.1.- Introducción.

7.2.- Tipos de ondas. 7.2.- Tipos de ondas.

7.3.- Frente de onda. 7.3.- Frente de onda.

7.4.- Descripción del movimiento ondulatorio unidimensional.7.4.- Descripción del movimiento ondulatorio unidimensional.

7.5.- Ecuación general del movimiento ondulatorio unidimensional. 7.5.- Ecuación general del movimiento ondulatorio unidimensional.

7.6.- Ondas elásticas.7.6.- Ondas elásticas.

7.6.1.- Ondas elásticas longitudinales en una varilla.7.6.1.- Ondas elásticas longitudinales en una varilla.

7.6.2.- Ondas de presión en un gas.7.6.2.- Ondas de presión en un gas.

7.6.3.- Ondas elásticas transversales en una varilla.7.6.3.- Ondas elásticas transversales en una varilla.

7.7.- Descripción del movimiento ondulatorio en una dirección arbitraria.7.7.- Descripción del movimiento ondulatorio en una dirección arbitraria.

7.8.- Energía transportada en una onda. Intensidad.7.8.- Energía transportada en una onda. Intensidad.

7.9.- Superposición o interferencia de ondas.7.9.- Superposición o interferencia de ondas.

7.9.1.- Interferencia de ondas de igual frecuencia.7.9.1.- Interferencia de ondas de igual frecuencia.

7.9.2.- Ondas estacionarias.7.9.2.- Ondas estacionarias.

7.9.3.- Superposición de ondas de distinta frecuencia. Pulsaciones. Velocidad de grupo.7.9.3.- Superposición de ondas de distinta frecuencia. Pulsaciones. Velocidad de grupo.

7.10.- Difracción.7.10.- Difracción.

7.11.- Reflexión y refracción de ondas.7.11.- Reflexión y refracción de ondas.

7.12.- Polarización.7.12.- Polarización.

7.13.- Efecto Doppler-Fizeau7.13.- Efecto Doppler-Fizeau

1

7.1 – Introducción.

• El El movimiento ondulatoriomovimiento ondulatorio aparece en casi todos los campos de la física. aparece en casi todos los campos de la física.•OndasOndas producidas por el viento o algún otro tipo de perturbación sobre la producidas por el viento o algún otro tipo de perturbación sobre la superficie del aguasuperficie del agua..

•Oimos un Oimos un foco sonorofoco sonoro por medio de las ondas ( por medio de las ondas (ondas sonorasondas sonoras) que se ) que se propagan por el aire o cualquier otro medio material. Las propagan por el aire o cualquier otro medio material. Las vibraciones del vibraciones del propio focopropio foco (cuerda de una guitarra,...) puede constituir una (cuerda de una guitarra,...) puede constituir una onda llamada onda llamada estacionariaestacionaria..

•Muchas de las propiedades de la Muchas de las propiedades de la luzluz se explican a través de la se explican a través de la teoría teoría ondulatoriaondulatoria, sabiéndose que las , sabiéndose que las ondas luminosasondas luminosas tienen idéntica naturaleza a tienen idéntica naturaleza a las las ondas de radioondas de radio, las , las microondasmicroondas, las , las radiaciones infrarrojasradiaciones infrarrojas y y UVUV y y los los rayos Xrayos X ( (ondas electromagnéticasondas electromagnéticas).).

•Tambíén conocemos los debastadores efectos de los terremotos producidos Tambíén conocemos los debastadores efectos de los terremotos producidos por las por las ondas sísmicasondas sísmicas. .

2

• En este tema se tratarán principalmente las ondas que necesitan de un En este tema se tratarán principalmente las ondas que necesitan de un medio medio material deformable o elásticomaterial deformable o elástico para propagarse ( para propagarse (ondas mecánicasondas mecánicas).).

•Las ondas que se producen en la Las ondas que se producen en la superficie del aguasuperficie del agua, las que se propagan , las que se propagan por por una cuerdauna cuerda y por y por un muelleun muelle, así como las , así como las ondas sonorasondas sonoras son son mecánicasmecánicas. .

•Sin embargo las Sin embargo las ondas luminosasondas luminosas no serían mecánicasno serían mecánicas. .

7.1 – Introducción.

• A diferencia de las oscilaciones, una A diferencia de las oscilaciones, una ondaonda implica el implica el movimiento en numerosos movimiento en numerosos puntos distintos de un sistemapuntos distintos de un sistema. Estos . Estos movimientos están acopladosmovimientos están acoplados de forma que de forma que una una perturbación originalperturbación original se transmite a las porciones de materia vecinas y de estas se transmite a las porciones de materia vecinas y de estas a las siguientes a las siguientes propagándosepropagándose de este modo de este modo por el mediopor el medio. .

• No todos los puntos del medio son alcanzados al mismo tiempo por la perturbación, No todos los puntos del medio son alcanzados al mismo tiempo por la perturbación, ya que esta se propaga con una cierta velocidad (ya que esta se propaga con una cierta velocidad (velocidad de la ondavelocidad de la onda), de forma que ), de forma que las partículas más alejadas del origen de la perturbación comenzarán a moverse con las partículas más alejadas del origen de la perturbación comenzarán a moverse con un cierto retraso.un cierto retraso.

• El El mediomedio mismo mismo no se mueve en su conjuntono se mueve en su conjunto al progresar la onda. Las partículas del al progresar la onda. Las partículas del medio realizan movimientos limitados alrededor de sus posiciones de equilibrio. medio realizan movimientos limitados alrededor de sus posiciones de equilibrio. No No hay por tanto transporte de materia en el movimiento ondulatoriohay por tanto transporte de materia en el movimiento ondulatorio..

• Para poder poner en movimiento estos medios en los que se propagan las ondas hay Para poder poner en movimiento estos medios en los que se propagan las ondas hay que aportar energía al sistema realizando trabajo mecánico sobre él mismo. La onda que aportar energía al sistema realizando trabajo mecánico sobre él mismo. La onda transporta esta energía de una región del medio a otra. Por tanto, transporta esta energía de una región del medio a otra. Por tanto, lo único que se lo único que se transmite en una onda es energíatransmite en una onda es energía (incluso a distancias considerables). (incluso a distancias considerables).

3

• Como en el caso de las oscilaciones, el Como en el caso de las oscilaciones, el movimiento ondulatoriomovimiento ondulatorio se presenta en un se presenta en un sistema con un sistema con un estado de equilibrioestado de equilibrio. . La onda es una perturbación que aparta al La onda es una perturbación que aparta al sistema de su posición de equilibriosistema de su posición de equilibrio..

7.2 – Tipos de ondas.

• Ya que la perturbación que se propaga en un medio puede ser de naturaleza muy Ya que la perturbación que se propaga en un medio puede ser de naturaleza muy diversa, diversa, las ondas pueden denominarse en función del nombre de la magnitud física las ondas pueden denominarse en función del nombre de la magnitud física que se propagaque se propaga..

•Ondas de desplazamientoOndas de desplazamiento (ondas en una cuerda, ondas en la superficie del (ondas en una cuerda, ondas en la superficie del agua). agua).

•Ondas de presiónOndas de presión (ondas sonoras). (ondas sonoras).•Ondas térmicasOndas térmicas..•Ondas electromagnéticasOndas electromagnéticas (luz, microondas, ondas de radio,...). (luz, microondas, ondas de radio,...).

• Como la magnitud física asociada puede tener Como la magnitud física asociada puede tener carácter escalar o vectorialcarácter escalar o vectorial podemos podemos distinguir entre:distinguir entre:

•Ondas escalaresOndas escalares (ondas en una cuerda). (ondas en una cuerda).•Ondas vectorialesOndas vectoriales (ondas electromagnéticas). (ondas electromagnéticas).

4

7.2 – Tipos de ondas. 5

Onda transversal en un muelle

Onda longitudinal en un muelle

• En función de la relación entre los En función de la relación entre los movimientos de las partículas del medio material movimientos de las partículas del medio material respecto a la dirección de propagación de la ondarespecto a la dirección de propagación de la onda, podemos distinguir entre:, podemos distinguir entre:

•Ondas transversalesOndas transversales, si las oscilaciones de las partículas del medio son , si las oscilaciones de las partículas del medio son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda.perpendiculares a la dirección de propagación de la onda.

•Ondas longitudinalesOndas longitudinales, si las oscilaciones de las partículas del medio se produce , si las oscilaciones de las partículas del medio se produce en la misma dirección de propagación de la onda.en la misma dirección de propagación de la onda.


• También se pueden clasificar las ondas atendiendo al También se pueden clasificar las ondas atendiendo al número de dimensiones número de dimensiones espaciales en que se propaga la energíaespaciales en que se propaga la energía, hablándose de:, hablándose de:

•Ondas unidimensionales Ondas unidimensionales (ondas en una cuerda o tubo sonoro).(ondas en una cuerda o tubo sonoro).•Ondas bidimensionalesOndas bidimensionales (ondas superficiales en el agua). (ondas superficiales en el agua). •Ondas tridimensionales Ondas tridimensionales (ondas sonoras o luminosas que emanan de una (ondas sonoras o luminosas que emanan de una fuente de pequeñas dimensiones).fuente de pequeñas dimensiones).

6

Onda en un tubo sonoro

Onda en la superficie de un líquido


• Una onda puede consistir también en la propagación de Una onda puede consistir también en la propagación de

•Un solo pulsoUn solo pulso ( (pulso de ondapulso de onda) que se caracteriza por tener ) que se caracteriza por tener un principio y un un principio y un finfin y por tanto y por tanto una extensión limitadauna extensión limitada. .

•Las partículas del medio se mueven sólo durante el intervalo de tiempo que Las partículas del medio se mueven sólo durante el intervalo de tiempo que emplea el pulso en pasar por ella. emplea el pulso en pasar por ella.

•La forma del pulso puede variar conforme la onda se propaga ensanchándose La forma del pulso puede variar conforme la onda se propaga ensanchándose ((dispersión de la ondadispersión de la onda), aunque en muchos casos prácticos esta deformación ), aunque en muchos casos prácticos esta deformación es despreciable conservándose la forma del pulso.es despreciable conservándose la forma del pulso.

7

Pulso de onda en una cuerda


•Una sucesión de pulsosUna sucesión de pulsos ( (tren de ondastren de ondas) idénticos o no. ) idénticos o no. •Si las perturbaciones son periódicas se tendrá un Si las perturbaciones son periódicas se tendrá un tren de ondas periódicastren de ondas periódicas, , cuyo caso más simple e importante es el de las cuyo caso más simple e importante es el de las ondas armónicasondas armónicas en que en que cada partícula del medio se mueve con un MAS. cada partícula del medio se mueve con un MAS.

• Idealmente una onda periódica no tiene principio ni fin y por tanto Idealmente una onda periódica no tiene principio ni fin y por tanto una una extensión ilimitadaextensión ilimitada. .

•A diferencia del pulso A diferencia del pulso no se dispersano se dispersa cuando se propaga. cuando se propaga.

8

Onda armónica en una cuerda

7.3 – Frente de onda.

• Se denomina Se denomina superficie o frente de ondasuperficie o frente de onda al lugar geométrico determinado por los al lugar geométrico determinado por los puntos del medio que son alcanzados simultáneamente por la onda y que en puntos del medio que son alcanzados simultáneamente por la onda y que en consecuencia en cualquier instante dado están en el mismo estado o fase de la consecuencia en cualquier instante dado están en el mismo estado o fase de la perturbación.perturbación.

9

Onda en la superficie de un líquido

Fuente

RayosFrentes de

onda

Frente de onda

Rayo

• La dirección de propagación de la perturbación es perpendicular al frente de onda. La dirección de propagación de la perturbación es perpendicular al frente de onda. Una línea perpendicular a los frentes de onda, que indica la dirección y sentido de Una línea perpendicular a los frentes de onda, que indica la dirección y sentido de propagación de la perturbación, se denomina propagación de la perturbación, se denomina rayorayo..

7.3 – Frente de onda.

• Los Los frentes de ondafrentes de onda pueden tener formas muy diversas: pueden tener formas muy diversas:• Si las ondas se propagan en una sola dirección los frentes de onda serían planos Si las ondas se propagan en una sola dirección los frentes de onda serían planos paralelos y la perturbación se denomina como una paralelos y la perturbación se denomina como una onda planaonda plana..

• Si el lugar donde se genera la onda es un foco puntual y la perturbación se propaga con Si el lugar donde se genera la onda es un foco puntual y la perturbación se propaga con la misma velocidad en todas las direcciones, la perturbación llegará simultáneamente a la misma velocidad en todas las direcciones, la perturbación llegará simultáneamente a puntos equidistantes del foco, siendo los frentes de onda esferas, denominándose a la puntos equidistantes del foco, siendo los frentes de onda esferas, denominándose a la perturbación como perturbación como onda esféricaonda esférica. La velocidad de la onda depende de las propiedades . La velocidad de la onda depende de las propiedades del medio en que se propaga, y si esta es igual en todas las direcciones al medio se le del medio en que se propaga, y si esta es igual en todas las direcciones al medio se le denomina denomina isótropoisótropo (mismas propiedades en cualquier dirección). (mismas propiedades en cualquier dirección).

• Si la fuente de la onda está distribuida sobre un eje o línea recta, y el medio es isótropo, Si la fuente de la onda está distribuida sobre un eje o línea recta, y el medio es isótropo, los frentes de onda serán superficies cilíndricas y a la perturbación se le denomina los frentes de onda serán superficies cilíndricas y a la perturbación se le denomina como una como una onda cilíndricaonda cilíndrica..

• Las Las ondas circularesondas circulares son ondas bidimensionales que se propagan sobre una superficie, son ondas bidimensionales que se propagan sobre una superficie, en la que se produce una perturbación en un punto que da lugar a frentes de onda en la que se produce una perturbación en un punto que da lugar a frentes de onda circulares.circulares.

10

Onda plana Onda esférica Onda cilíndrica

7.4 – Descripción del movimiento ondulatorio unidimensional. 11

xf 0xxf 0xxf

0x

0x

0x

0x

x

• Sea una Sea una función función (que podría representar a cualquier magnitud física)(que podría representar a cualquier magnitud física)

xf

0xxf si se sustituye si se sustituye xx por por xx-x-x00 se obtiene la se obtiene la funciónfunción

que tendría la misma forma que la función original pero aparecería que tendría la misma forma que la función original pero aparecería desplazada hacia desplazada hacia la derechala derecha una cantidad una cantidad xx00

• De la misma forma la siguienteDe la misma forma la siguiente función función

0xxf

corresponde a la función original corresponde a la función original desplazada hacia la izquierdadesplazada hacia la izquierda una cantidad una cantidad xx00


• Ahora bien si se tiene que Ahora bien si se tiene que xx0 0 varía con el tiempo y es igual avaría con el tiempo y es igual a

que representa a una que representa a una curva viajeracurva viajera que se mueve hacia la derecha con velocidad que se mueve hacia la derecha con velocidad vv, , que se llama que se llama velocidad de fasevelocidad de fase..

• Del mismo modo Del mismo modo

tx v0 txf vse obtiene

txf v

representa a una representa a una curva viajeracurva viajera que se mueve hacia la izquierda con velocidad que se mueve hacia la izquierda con velocidad vv..

txf v

x

x

x

v

v

v

txf v

x

x

x

v

v

v


• Por tanto una Por tanto una expresión matemáticaexpresión matemática de la forma de la forma

resulta adecuada para describir una resulta adecuada para describir una magnitud físicamagnitud física (deformación de una cuerda, (deformación de una cuerda, presión de un gas, campo eléctrico o magnético,...) presión de un gas, campo eléctrico o magnético,...) que viaja o se propagaque viaja o se propaga sin sufrir sin sufrir deformación a lo largo del eje x, esto es a una deformación a lo largo del eje x, esto es a una onda unidimensionalonda unidimensional..

txftx v,

• Un caso particular especialmente interesante es el de una Un caso particular especialmente interesante es el de una onda armónica o senoidalonda armónica o senoidal que tiene por expresiónque tiene por expresión

txktx vsen, 0 0 Amplitud de onda

txk v Fase de onda

v Velocidad de onda

k número de onda

• Sustituyendo en la onda armónica el valor de Sustituyendo en la onda armónica el valor de xx por por x+2x+2/k/k

txtxktxktk

xktk

x ,vsen2vsenv2

sen,2

000

se vuelve a obtener el mismo valor de la onda armónica.se vuelve a obtener el mismo valor de la onda armónica.• Entonces la magnitudEntonces la magnitud

k 2

es el es el periodo espacialperiodo espacial que también se denomina como que también se denomina como longitud de ondalongitud de onda..


• Entonces el Entonces el número de ondanúmero de onda está relacionado con la está relacionado con la longitud de ondalongitud de onda a través de a través de

y la y la onda armónicaonda armónica puede expresarse como puede expresarse como

2

k

txtxktx v2

senvsen, 00

xO

0


• Como además hemos visto queComo además hemos visto que

la la onda armónicaonda armónica puede también expresarse como puede también expresarse como

22P

Ptx

tx 2sen, 0

P

Periodo

Frecuencia

• La ecuación de la La ecuación de la onda armónicaonda armónica también puede escribirse como también puede escribirse como

tkxtx sen, 0

dondedonde

v2

vk Frecuencia angular

• El El periodoperiodo y la y la longitud de ondalongitud de onda están relacionados a través de están relacionados a través de

Pv Pv La longitud de onda es la distancia que recorre la onda

en un periodo

• En resumen, una En resumen, una onda armónicaonda armónica puede expresarse de las siguientes formas puede expresarse de las siguientes formas

Ptx

tkxtxktx sen2senvsen, 000


t = t0

t = t0 + P/4

t = t0 + P/2

t = t0 + 3P/4

t = t0 + P

x

x

x

x

x

A0

A1

A2

A3

A4

7.5 – Ecuación general del movimiento ondulatorio unidimensional. 17

• La solución de esta ecuación esLa solución de esta ecuación es

• La La ecuación generalecuación general que describe el movimiento ondulatorio que se propaga con una que describe el movimiento ondulatorio que se propaga con una velocidad definidavelocidad definida vv y sin distorsión a lo largo del eje y sin distorsión a lo largo del eje +X+X o o –X–X es es

• Es fácil demostrar que una Es fácil demostrar que una onda armónicaonda armónica del siguiente tipo del siguiente tipo

2

22

2

2

vdxd

dtd Ecuación básica de una

onda

txftx v, txftx v, txftxftx vv, 21

txktx vsen, 0 satisface la satisface la ecuación de ondaecuación de onda. .

Derivando respecto a Derivando respecto a xx y a y a tt se obtiene se obtiene

txkkdt

dtxkk

dt

d

txkkdx

dtxkk

dx

d

vsenvvcosv

vsenvcos

022

2

2

0

02

2

2

0

que cumpleque cumple

2

22

2

2

vdxd

dtd

7.6 – Ondas elásticas. 18

• Cuando se produce una Cuando se produce una perturbaciónperturbación en el en el extremo de una varillaextremo de una varilla (golpeándola con (golpeándola con un martillo) la perturbación se propaga a lo largo de la varilla llegando finalmente al un martillo) la perturbación se propaga a lo largo de la varilla llegando finalmente al extremo. Se dice que extremo. Se dice que a lo largo de la varilla se ha propagado una ondaa lo largo de la varilla se ha propagado una onda con una con una velocidad determinada por las propiedades del medio.velocidad determinada por las propiedades del medio.

Ondas elásticas longitudinales en una varillaOndas elásticas longitudinales en una varilla

• Sea una varilla de sección Sea una varilla de sección AA sujeta por un extremo y sometida a una sujeta por un extremo y sometida a una fuerza normalfuerza normal FF a lo largo del eje. a lo largo del eje.

• La La tensión normaltensión normal se define como se define como AFn

xdx

OVarilla sin deformarA A’ X

Tracción

Varilla deformada

dx+d

A A’

F F’

x+

XO


xdx

x+ dx+d

X

XO

OA

A

A’

A’

Tracción

Varilla sin deformar

Varilla deformadaF F’

• La La tensión normaltensión normal y la deformación unitaria están relacionadas a través de y la deformación unitaria están relacionadas a través de

Yn

• La La deformación unitariadeformación unitaria que sufre un trozo de varilla de longitud que sufre un trozo de varilla de longitud dxdx y limitada por las y limitada por las secciones secciones AA y y A’A’ cuando se somete a esta tensión normal es cuando se somete a esta tensión normal es

dxd

donde Y es el módulo de Young• De este modo se tieneDe este modo se tiene

dxd

YAF

derivando respecto a x2

2

dxd

YAdxdF Relación 1


xdx

x+ dx+d

X

XO

OA

A

A’

A’

Tracción


Varilla deformadaF F’

• Por otro lado, aplicando la Por otro lado, aplicando la segunda ley de Newtonsegunda ley de Newton al mismo trozo de varilla se tiene al mismo trozo de varilla se tiene

2

2

dt

dAdxdF

donde FFdF Fuerza neta que actúa sobre el trozo de varillaAdxdVdm Masa del trozo de varilla

22 dtda Aceleración del trozo de varilla

• Despejando la expresión anterior se obtiene Despejando la expresión anterior se obtiene

2

2

dt

dA

dx

dF Relación 2


• Igualando la Igualando la relación 2relación 2 y la y la relación 1relación 1 queda queda

2

2

2

2

dxdY

dtd

• Que es la Que es la ecuación básica de una onda unidimendionalecuación básica de una onda unidimendional que se propaga con una que se propaga con una velocidadvelocidad

Y

v

que que depende de las propiedades del mediodepende de las propiedades del medio..


Ondas de presión en un gasOndas de presión en un gas

Perturbación en un gas

x

Gas en equilibrio

• La situación es parecida al caso anterior, pero ahora las expansiones y compresiones La situación es parecida al caso anterior, pero ahora las expansiones y compresiones del gas producidas por cambios de presión del gas producidas por cambios de presión dpdp dan lugar a cambios de densidad dan lugar a cambios de densidad dd, y , y se define la magnitud se define la magnitud

d

dp Módulo volumétrico de elasticidad

• Y en este caso el desplazamiento del gas Y en este caso el desplazamiento del gas satisface la satisface la ecuación de ondaecuación de onda con una con una velocidad de propagaciónvelocidad de propagación

v

dx

A’A

p p

XO

dx+d

A A’

p p’

XO

x+

• Las variaciones de presión en un gas producen Las variaciones de presión en un gas producen ondas elásticas longitudinalesondas elásticas longitudinales que que consisten en expansiones y compresiones que se propagan a lo largo del gas (sonido)consisten en expansiones y compresiones que se propagan a lo largo del gas (sonido)


• Cuando se produce una Cuando se produce una perturbaciónperturbación en el en el extremo de una varillaextremo de una varilla golpeándola golpeándola transversalmente también se produce una perturbación que se propaga a lo largo de transversalmente también se produce una perturbación que se propaga a lo largo de la varilla con una velocidad determinada por las propiedades del medio.la varilla con una velocidad determinada por las propiedades del medio.

Ondas elásticas transversales en una varillaOndas elásticas transversales en una varilla

• En este caso las fuerzas son tangenciales definiéndose la En este caso las fuerzas son tangenciales definiéndose la tensión tangencialtensión tangencial como como

AF t


Varilla deformada

• La La deformación unitariadeformación unitaria que sufre un trozo de varilla de longitud que sufre un trozo de varilla de longitud dxdx al someterse a al someterse a esta tensión tangencial esesta tensión tangencial es

dxd

+d

dx

F

F’


• La La tensión tangencialtensión tangencial y la y la deformación unitariadeformación unitaria están relacionadas a través de están relacionadas a través de

Gt donde G es el módulo de rigidez o cizalladura

• Y procediendo de igual modo que para las ondas elásticas longitudinales en una Y procediendo de igual modo que para las ondas elásticas longitudinales en una varilla se llega a una varilla se llega a una ecuación de ondaecuación de onda similar para las perturbaciones transversales similar para las perturbaciones transversales propagándose éstas con una propagándose éstas con una velocidadvelocidad

G

v

que que depende de las propiedades del mediodepende de las propiedades del medio..


Varilla deformada

+d

dx

F

F’

7.7 – Descripción del movimiento ondulatorio en una dirección arbitraria. 25

• Hemos visto que la expresión para representar a un Hemos visto que la expresión para representar a un movimiento ondulatorio que se movimiento ondulatorio que se propaga según el ejepropaga según el eje xx (onda plana o unidimensional) es (onda plana o unidimensional) es

txf v

x

r u

X

Y

Z

O

P

Frente de onda

Dirección de propagación

r

Vector de posición de un punto cualquiera del frente de onda

u

Vector unitario en la dirección de propagación

• De la figura, se observa queDe la figura, se observa queurx

resulta que la resulta que la onda unidimensionalonda unidimensional anterior puede expresarse como anterior puede expresarse como

truf v


• Esta última expresión es bastante útil porque representa a una onda unidimensional Esta última expresión es bastante útil porque representa a una onda unidimensional que se propaga en una dirección arbitraria (no solo a lo largo del eje X)que se propaga en una dirección arbitraria (no solo a lo largo del eje X)

• En el caso de una onda plana armónica o senoidal que se propaga en una dirección En el caso de una onda plana armónica o senoidal que se propaga en una dirección arbitraria, escribimosarbitraria, escribimos

X

Y

Z

r

u

O

P

Dirección de propagación

Q

trktruktx

senvsen, 00 ukk

donde es el vector de propagación o vector número de onda

• Para una onda plana que se propaga en una dirección arbitraria, la ecuación de onda Para una onda plana que se propaga en una dirección arbitraria, la ecuación de onda se convierte ense convierte en

2

2

2

2

2

22

2

2

vzyxt


• Un tipo de ondas importantes que se propagan en todas las direcciones del espacio Un tipo de ondas importantes que se propagan en todas las direcciones del espacio son las son las ondas esféricasondas esféricas. .

• En estas la perturbación de la magnitud física que se propaga será una función de la En estas la perturbación de la magnitud física que se propaga será una función de la distancia a la que se encuentra del foco donde se generó la onda, distancia a la que se encuentra del foco donde se generó la onda, rr, y el tiempo, , y el tiempo, tt..

• La ecuación básica de una onda esférica es La ecuación básica de una onda esférica es

tkrr

trkr

tx

senvsen, 00

• De este modo, la expresión de una onda armónica esférica es De este modo, la expresión de una onda armónica esférica es

2

1

r1

r2

X

Y

Z

tr,

rrrt

2v

2

22

2

2

• La solución de esta ecuación es de la forma La solución de esta ecuación es de la forma

trfr

tr v1

,

donde el signo menos se utiliza cuando la donde el signo menos se utiliza cuando la onda se aleja del foco puntual.onda se aleja del foco puntual.

7.8 – Energía transportada por una onda. Intensidad. 28

• Se ha indicado en la introducción que Se ha indicado en la introducción que una característica importante del movimiento una característica importante del movimiento ondulatorio es que transporta energíaondulatorio es que transporta energía (pero no materia). En este apartado se tratará (pero no materia). En este apartado se tratará de caracterizar este de caracterizar este transporte de energíatransporte de energía..

• Supóngase el caso de una onda armónica que se propaga por una cuerda. Cada trozo Supóngase el caso de una onda armónica que se propaga por una cuerda. Cada trozo de cuerda de masa de cuerda de masa mm por la que pasa la onda por la que pasa la onda oscila con un MASoscila con un MAS,,

• Su energía será por tantoSu energía será por tanto

Onda armónica en una cuerda

20

220

2

2

1

2

1 xmE

• Se define la densidad de energía Se define la densidad de energía EE como la como la energía energía por unidad de volumenpor unidad de volumen, ,

donde•Cuerda20

2

2

1

x

EE Densidad lineal

donde• Superficie de líquido

20

2

21

SE

E Densidad superficial

donde• Onda sonora

20

2

21

VE

E Densidad volumétrica

xm Densidad lineal

(masa/longitud)

x Longitud de un trozo de cuerda

donde


• Supóngase la Supóngase la onda armónica que se propaga por la cuerdaonda armónica que se propaga por la cuerda y que en el instante y que en el instante tt11 ha ha alcanzado el punto alcanzado el punto PP11. .

• Durante un intervalo de tiempo Durante un intervalo de tiempo tt la onda recorre una distancia la onda recorre una distancia x = x = vvtt . .

• De esta forma la De esta forma la energía energía que ha pasado por que ha pasado por PP11 durante el intervalo de tiempo durante el intervalo de tiempo tt es es

txE v2

1

2

1 20

220

2

• De este modo, se define la potencia De este modo, se define la potencia PP como la energía transmitida en la unidad de como la energía transmitida en la unidad de tiempotiempo

v2

1lim 2

02

0

t

EP

t

La energía y la potencia transmitidas son proporcionales al cuadrado de la amplitud de la onda


• LaLa intensidad intensidad , , II, es la energía que atraviesa en la unidad de tiempo un área unidad, , es la energía que atraviesa en la unidad de tiempo un área unidad, colocada perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda.colocada perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda.

• Por tantoPor tanto IAP donde A es el área

Ondas esféricasOndas esféricas• Sea una Sea una onda esféricaonda esférica que se propaga en un medio sin disipación de energía y que se propaga en un medio sin disipación de energía y

tomamos dos superficies esféricas situadas a una distancia tomamos dos superficies esféricas situadas a una distancia RR11 y y RR22 del foco ( del foco (RR11 << RR22).).

P2

P1

R1

R2

• La potencia transmitida a través de cada superficie esLa potencia transmitida a través de cada superficie es

211111 4 RIAIP 2

22222 4 RIAIP

• Como la energía se conserva en este casoComo la energía se conserva en este caso

21 PP 222

211 44 RIRI

222

211 RIRI

• Y ya que Y ya que RR11 << RR2 2 entonces se tiene que entonces se tiene que II11 > > II2 2

• Al igual que la potencia, la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud.Al igual que la potencia, la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud.

21

22

2

1

RR

II

• Ya que la intensidad es proporcional al cuadrado de la Ya que la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitudamplitud

21

22

202

201

RR

1

2

02

01

RR

202101 RR


Ondas planasOndas planas• Sea una Sea una onda planaonda plana que se propaga en un medio en el que no hay disipación de que se propaga en un medio en el que no hay disipación de

energía. energía. • Si tomamos dos superficies planas se verifica queSi tomamos dos superficies planas se verifica que

• Con lo cual se tiene queCon lo cual se tiene que

222111 , AIPAIP

21 PP 21 AA

21 II 0201 P1 P2

A1 A2

AbsorciónAbsorción• Fenómeno por el que la Fenómeno por el que la intensidad de una onda disminuyeintensidad de una onda disminuye porque parte de su energía porque parte de su energía

se disipa en el medio en el que se propaga. se disipa en el medio en el que se propaga. • Para una onda plana que se propaga según el eje Para una onda plana que se propaga según el eje xx, se verifica la siguiente relación, se verifica la siguiente relación

I(0) I(0)e-l

x

l

dx

dxIdI

• A partir de la cual se obtiene queA partir de la cual se obtiene que

x

x

ex

eIxI

200 0

0

7.9 – Superposición o interferencia de ondas. 32

• Cuando dos o más ondas coinciden en el tiempo y en el espacio, la función de onda Cuando dos o más ondas coinciden en el tiempo y en el espacio, la función de onda resultante es la suma vectorial de las funciones de onda individuales (resultante es la suma vectorial de las funciones de onda individuales (Principio de Principio de superposición de ondassuperposición de ondas).).

1 2

12

1 2

1 + 2

1 + 2

1 + 2

1

2

1 + 2

1

2

1

2

1 + 2

1 + 2

Interferencia Constructiva Interferencia Destructiva

txftx v, 11 txftx v, 22 txftxftxtxtx vv,,, 2121


Interferencias de ondas de igual frecuencia.Interferencias de ondas de igual frecuencia.

• Supongamos Supongamos dos fuentes de ondas armónicasdos fuentes de ondas armónicas SS11 y y SS22 que que emiten ondas emiten ondas en faseen fase ( (0101 = = 02 02 = 0= 0), con ), con idéntica frecuencia y idéntica frecuencia y número de ondanúmero de onda y de y de amplitudesamplitudes 0101 y y 0202..

• Las expresiones de las dos ondas en un punto Las expresiones de las dos ondas en un punto PP que dista que dista rr11 y y rr22 de las fuentes respectivas es de las fuentes respectivas es

S1

S2

r2r1

P

1011 krt sen .2022 sen krt

• La La superposición de ambas ondassuperposición de ambas ondas en en P P es es

20210111 sensen krtkrt

• Esto corresponde a la Esto corresponde a la superposición de dos MASsuperposición de dos MAS de la misma de la misma frecuencia y con una diferencia de fase igual afrecuencia y con una diferencia de fase igual a

121221 rrkkrkrkrtkrt

con lo que la con lo que la amplitud del movimiento resultanteamplitud del movimiento resultante en en PP es es

12020102010 cos2 rrk

x

y

O

01

02

kr1

0

kr2

δ


• La La amplitud es mínimaamplitud es mínima e igual a e igual a 00 = = 0101 0202 cuando cuando

2

1212

21cos 121212

n

rrnrrrrk Interferencia Destructiva

donde donde nn = 0, = 0, 1, 1, 2, 2, 3,...3,...

Interferencia Constructiva Interferencia Destructiva

• La La amplitud es máximaamplitud es máxima e igual a e igual a 00 = = 0101 ++ 0202 cuando cuando

nrrnrrrrk 121212 2

21cos Interferencia Constructiva

donde donde nn = 0, = 0, 1, 1, 2, 2, 3,...3,...


P

S1 S2

X

Y

0 -

2 -2

3-3

/2 -/23/2 -3/2

5/2 -5/2

• Como se observa, el valor de la amplitud del movimiento resultante (o el tipo de Como se observa, el valor de la amplitud del movimiento resultante (o el tipo de interferencia) depende de la diferencia interferencia) depende de la diferencia rr22 rr11. .

• Además, ya que la ecuación Además, ya que la ecuación rr22 rr1 1 = cte = cte corresponde a una hipérbole, se tiene que los corresponde a una hipérbole, se tiene que los lugares donde se producen las interferencias son superficies hiperbólicaslugares donde se producen las interferencias son superficies hiperbólicas tal que tal que

Interferenciadestructiva

Interferenciaconstructiva


Ondas estacionarias.Ondas estacionarias.• Las Las ondas estacionariasondas estacionarias se producen a través de la interferencia de dos se producen a través de la interferencia de dos ondas ondas

idénticasidénticas (igual amplitud, frecuencia y número de onda) que (igual amplitud, frecuencia y número de onda) que se propagan en sentido se propagan en sentido contrariocontrario. .

• Supongamos que tenemos dos de estas ondas propagándose en el eje Supongamos que tenemos dos de estas ondas propagándose en el eje XX y que tienen y que tienen por expresión,por expresión,

kxt sen01 kxt sen02

• La La superposición de ambas ondassuperposición de ambas ondas viene dada por viene dada por

kxtkxtkxtkxt sensensensen 00021

Y teniendo en cuenta la siguiente propiedad trigonométrica que estableceY teniendo en cuenta la siguiente propiedad trigonométrica que establece

se obtiene que se obtiene que 2

sen2

cos2sensenBABA

BA

tkx sencos2 021 Onda Estacionaria

Y como se observa la Y como se observa la onda estacionariaonda estacionaria no es una función dependiente de no es una función dependiente de xx±±vtvt que es que es la característica de las la característica de las ondas viajerasondas viajeras. .

Esta expresión indica que cualquier partícula del medio situada en un punto dado Esta expresión indica que cualquier partícula del medio situada en un punto dado xx oscila con un oscila con un MASMAS de amplitud de amplitud

kxcos2 00r


• La La amplitud de la onda estacionariaamplitud de la onda estacionaria es por tanto una función de la distancia es por tanto una función de la distancia xx. . • Adquiere su Adquiere su valor máximovalor máximo que es igual a, que es igual a,

• Adquiere su Adquiere su valor mínimovalor mínimo que es igual a, que es igual a,

cuandocuando2

21cos

nxnxkx00r 2 Vientres o antinodos

cuandocuando 4

122

122

0cos

nxnxkx00r Nodos

A Antinodos

N Nodos

• La La distancia entre dos vientres consecutivosdistancia entre dos vientres consecutivos ((ddAAAA) o ) o entre dos nodos consecutivosentre dos nodos consecutivos ( (ddNNNN) es) es

2 NNAA dd

y la y la distancia entre un vientre y un nododistancia entre un vientre y un nodo consecutivoconsecutivo ( (ddANAN) es) es

4ANd


Superposición de ondas de distinta frecuencia. Pulsaciones. Velocidad de grupo.Superposición de ondas de distinta frecuencia. Pulsaciones. Velocidad de grupo.

xkt 1101 sen xkt 2202 sen

• La superposición de ambas ondas viene dada porLa superposición de ambas ondas viene dada por

xktxkt 11022012 sensen

• Supongamos dos ondas armónicas de Supongamos dos ondas armónicas de igual amplitudigual amplitud que se propagan a lo largo del que se propagan a lo largo del eje eje XX, y que tienen , y que tienen frecuencias angularesfrecuencias angulares 11 y y 22 y y números de ondanúmeros de onda kk11 y y kk22 próximos próximos

Y teniendo en cuenta la propiedad trigonométricaY teniendo en cuenta la propiedad trigonométrica

se obtiene que se obtiene que 2sen

2cos2sensen

BABABA

kxtkxt sencos2 021

kkkk

kkk

mm 2,2

2,2

2121

1212

donde

• La La amplitud de la onda resultante no es constanteamplitud de la onda resultante no es constante y viene dada por la expresión y viene dada por la expresión

kxt cos2 0


• La onda resultante está formada La onda resultante está formada por por grupos o paquetesgrupos o paquetes de ondas de ondas individuales separados por puntos individuales separados por puntos de amplitud nula.de amplitud nula.

1 , 2

x

x

x1

x1

x2

x2

x3

x3

vg

v

• La envolvente de la amplitud se La envolvente de la amplitud se desplaza a lo largo del eje desplaza a lo largo del eje XX con con una velocidad llamada una velocidad llamada velocidad velocidad de grupode grupo vvgg, que viene dada por, que viene dada por

kgv

• En el límite En el límite dd y y kk ddkk la la velocidad de grupovelocidad de grupo viene expresada como viene expresada comodkdgv

• La La velocidad de grupovelocidad de grupo vvg g y la y la velocidad de fasevelocidad de fase vv ((vv ==//kk) están relacionadas por) están relacionadas por

dkkd

dkd v

vg dkdk

vvvg

• Si el medio es Si el medio es dispersivodispersivo 0v dkd vvg

• Si el medio es Si el medio es no dispersivono dispersivo 0v dkd vvg

7.10 – Difracción de ondas. 40

• Sin embargo cuando una Sin embargo cuando una ondaonda encuentra un obstáculo tiende a rodearlo. Si una onda encuentra un obstáculo tiende a rodearlo. Si una onda encuentra una barrera con una pequeña abertura se extiende alrededor del obstáculo encuentra una barrera con una pequeña abertura se extiende alrededor del obstáculo en forma de onda esférica o circular. A este comportamiento se le denomina en forma de onda esférica o circular. A este comportamiento se le denomina difraccióndifracción..

• Cuando un Cuando un haz de partículashaz de partículas incide sobre una abertura con un obstáculo, estas incide sobre una abertura con un obstáculo, estas partículas son detenidas por la barrera o pasan sin cambiar de dirección.partículas son detenidas por la barrera o pasan sin cambiar de dirección.

Fuente

Haz de partículasHaz de partículas

Fuente

OndaOnda

7.10 – Difracción de ondas. 41

• La magnitud del fenómeno de la difracción depende de la La magnitud del fenómeno de la difracción depende de la relación entre la longitud de relación entre la longitud de onda y el tamaño del obstáculo o aberturaonda y el tamaño del obstáculo o abertura. .

• Si Si la longitud de onda es pequeña en relación con la aberturala longitud de onda es pequeña en relación con la abertura entonces la entonces la difracción es difracción es pequeñapequeña..

• En cambio si En cambio si la longitud de onda tiene las dimensiones de la aberturala longitud de onda tiene las dimensiones de la abertura, los efectos de la , los efectos de la difracción son grandesdifracción son grandes..

<< tamaño abertura<< tamaño abertura tamaño aberturatamaño abertura

7.11 – Reflexión y refracción de ondas. 42

Ondas en Ondas en una cuerdauna cuerda

Ondas en Ondas en un muelleun muelle

• Cuando una Cuando una onda incideonda incide sobre una sobre una superficie límite o de separación de dos regionessuperficie límite o de separación de dos regiones en las que la en las que la velocidad de onda es diferentevelocidad de onda es diferente, parte de la onda , parte de la onda se reflejase refleja (propagándose en la misma región que la incidente) y parte (propagándose en la misma región que la incidente) y parte se transmitese transmite (propagándose en la otra región).(propagándose en la otra región).


• En tres dimensiones una frontera entre dos regiones de diferente velocidad de onda En tres dimensiones una frontera entre dos regiones de diferente velocidad de onda es es una superficieuna superficie..

Ondas incidentesOndas incidentes Ondas reflejadasOndas reflejadas

Ondas refractadasOndas refractadas

i

r

’r

(1)

(2)

S

Rayo incidenteRayo incidente Rayo reflejadoRayo reflejado

Rayo refractadoRayo refractado

i

r

’r(1)

(2)

N

S

• Se verifican las Se verifican las siguientes leyessiguientes leyes comprobadas experimentalmente: comprobadas experimentalmente:• Las direcciones de incidencia, refracción y reflexión se encuentran en un Las direcciones de incidencia, refracción y reflexión se encuentran en un

mismo plano perpendicular a la superficie de separación.mismo plano perpendicular a la superficie de separación.• El El ángulo de incidenciaángulo de incidencia es igual al es igual al ángulo de reflexiónángulo de reflexión

ri


• La relación entre la dirección en que se propagan las ondas incidentes y las La relación entre la dirección en que se propagan las ondas incidentes y las refractadas viene dada a través de refractadas viene dada a través de la ley de Snellla ley de Snell que establece que el que establece que el cociente entre el seno del ángulo de incidencia y el seno del ángulo de cociente entre el seno del ángulo de incidencia y el seno del ángulo de refracción es constanterefracción es constante e igual al e igual al índice de refraccióníndice de refracción del medio (2) respecto del medio (2) respecto al medio (1), al medio (1), nn2121

212

1

r

i

vv

sensen

n

i

r

(1)

(2)

N

S

ir

12

21

vv

1

n

i

r

(1)

(2)

N

S

ir

12

21

vv

1

n

• Cuando Cuando nn2121<1 <1 hay un cierto ángulo de incidencia hay un cierto ángulo de incidencia ii para el cual el ángulo de refracción para el cual el ángulo de refracción r r es es /2/2. A este ángulo de incidencia se le llama . A este ángulo de incidencia se le llama ángulo críticoángulo crítico cc . Así si el . Así si el ángulo de ángulo de incidencia es mayor que el ángulo críticoincidencia es mayor que el ángulo crítico, solo habrá onda reflejada y no refractada. , solo habrá onda reflejada y no refractada.

7.12 – Polarización de ondas. 45

• En las En las ondas longitudinalesondas longitudinales la dirección en que la perturbación se produce está bien la dirección en que la perturbación se produce está bien definida (es la dirección de propagación), mientras que en las definida (es la dirección de propagación), mientras que en las ondas transversalesondas transversales no no sucede así, ya que la perturbación tiene lugar en un plano perpendicular a la dirección sucede así, ya que la perturbación tiene lugar en un plano perpendicular a la dirección de propagación, pero en ese plano no está definida una dirección particular.de propagación, pero en ese plano no está definida una dirección particular.

• Cuando la perturbación en una onda transversal es según una dirección bien definida Cuando la perturbación en una onda transversal es según una dirección bien definida la onda se dice que la onda se dice que está polarizadaestá polarizada. .

• Si la dirección de vibración va variando de forma aleatoria de unos puntos a otros se Si la dirección de vibración va variando de forma aleatoria de unos puntos a otros se dice que la onda dice que la onda no está polarizadano está polarizada..

X

Y Z

• En el caso de una onda transversal en una cuerda una simple rendija vertical puede En el caso de una onda transversal en una cuerda una simple rendija vertical puede polarizar la onda, tal como se observa en la figura.polarizar la onda, tal como se observa en la figura.

7.13 – Efecto Doppler. 46

• Hasta ahora hemos estudiado las ondas tomando tanto el foco emisor de la onda Hasta ahora hemos estudiado las ondas tomando tanto el foco emisor de la onda como el observador que la percibe en reposo. En este apartado trataremos lo que como el observador que la percibe en reposo. En este apartado trataremos lo que sucede cuando sucede cuando existe movimiento relativo entre ambosexiste movimiento relativo entre ambos, y como se verá se produce un , y como se verá se produce un cambio en la frecuencia de la onda percibida que se denomina cambio en la frecuencia de la onda percibida que se denomina efecto Dopplerefecto Doppler..

• Veamos en primer lugar que es lo que sucede cuando Veamos en primer lugar que es lo que sucede cuando el observador se mueve el observador se mueve acercándose hacia el foco que permanece en reposoacercándose hacia el foco que permanece en reposo..

• Si el observador se Si el observador se encontrara en reposoencontrara en reposo, el , el número de ondasnúmero de ondas que percibe en un tiempo que percibe en un tiempo tt es, es,

tt

P

t v

• Pero si el observador se Pero si el observador se acerca al focoacerca al foco con con velocidad velocidad vvOO, el , el número de ondasnúmero de ondas que percibe en que percibe en un tiempo un tiempo tt es, es,

vO

F

O

t

tPt 0vv

v

vv

v

vv 00

• Igualmente si el observador se Igualmente si el observador se aleja del focoaleja del foco con con velocidad velocidad vvOO, se tiene que,, se tiene que,

v

vv

v

vv 00


• Veamos ahora que sucede cuando Veamos ahora que sucede cuando es la fuente la que se acerca hacia el observador es la fuente la que se acerca hacia el observador que permanece en reposoque permanece en reposo..

F

OvF

• Si la fuente se Si la fuente se encontrara en reposoencontrara en reposo la la longitud longitud de ondade onda de las ondas sería, de las ondas sería,

v

vP

• Pero si la Pero si la fuente que emite las ondas se acerca fuente que emite las ondas se acerca al observadoral observador con velocidad con velocidad vvFF, la , la longitud de longitud de ondaonda es, es,

Fv-v

• Y la Y la frecuencia de la ondafrecuencia de la onda percibida por el percibida por el observador será,observador será,

Fv-v

vv

• Y del mismo modo si la Y del mismo modo si la fuente se aleja del observadorfuente se aleja del observador con velocidad con velocidad vvFF, se tiene que, se tiene que

Fvv

vv


• Teniendo en cuenta lo anterior, la Teniendo en cuenta lo anterior, la expresión generalexpresión general que agrupa a todas las que agrupa a todas las situaciones posibles, es de la siguiente formasituaciones posibles, es de la siguiente forma

F

o

vv

vv

NumeradorNumerador

++ Observador se acerca al focoObservador se acerca al foco

Observador se aleja del focoObservador se aleja del foco

DenominadorDenominador

Foco se acerca al observadorFoco se acerca al observador

+ + Foco se aleja del focoFoco se aleja del foco

tema 7 – ondas. 7.1.- introducción. 7.2.- tipos de ondas. 7.3.- frente de onda. 7.4.-...

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