Tensione Compressione Taglio

I più elementari concetti di tensione e deformazione si

esplicano dall’analisi di una trave prismatica, soggetta ad una

forza assiale

Barra di traino

indeformata

deformata m-n, è una sezione trasversale all’asse - carico

La tensione normale possiede un segno: + = trazione

- = compressione

Assumendo l’uniformità della distribuzione del carico P in m-n

2 2 /

P N NPa MPa

A m mm

Dimensionalmente, si

tratta di una pressione TENSIONE

L’uniforme distribuzione della tensione assiale comporta che la risultante dei carichi sia

applicata nel baricentro della sezione – altrimenti si instaura una flessione

L’uniformità – in senso assiale – viene garantita lontano dal punto di applicazione del carico,

in corrispondenza del quale si hanno concentrazioni di tensione dipendenti tipo alloggiamento

Come regola generale, l’approssimazione è abbastanza

valida almeno ad una distanza pari alla dimensione

trasversale della barra

In conseguenza dell’applicazione del carico, la barra si allunga – accorcia di

DEFORMAZIONE adimensionaleL

I valori della deformazione sono in genere molto piccoli ~ 10-4 : 10-3

Il tipico valore considerato nello snervamento è pari a 0.2 %

Perchè la risultante deve passare per il baricentro per avere tensione uniassiale uniforme?

In il carico risultante P intercetta

sezione retta

,x y

La P causa la formazione di due momenti

rispetto al polo origine degli assi

; x yM Py M Px

Gli stessi momenti possono essere ricavati integrando la tensione su tutta l’area A

; x y

A A

M y dA M x dA

Uguagliando i momenti omologhi e portando ora fuori dall’integrale la (costante)

; A A

y dA x dA

y xA A

Che non sono altro che le coordinate del baricentro di una sezione

Esempio

Calcolare la massima tensione per effetto del peso W del contenitore e della

fune in acciaio.

L=40 m / d= 8 mm / M= 150 kg / acc = 7700 kg/m3

Soluzione:

La condizione più gravosa si avrà nel punto alto di incastro della fune ove la

tensione è somma del peso di tutta la fune e della massa utile M

maxW Mg ALg max

M ALg

A

max 2

15007700 40 9.81 29.84 + 3.02 [MPa] 32.86 [MPa]

4

Il peso fune contribuisce notevolmente alla sollecitazione e sarebbe

stato un errore trascurarlo

Qual è la lunghezza di autosostentamento di una fune in acciaio (tensione rottura 800 MPa)?

Domanda:

E di una in alluminio (all = 2700 kg/m3 tensione rottura 500 MPa)?

Lunghezza complessiva cavi = 5300 m

Sezione dei cavi = circa 1m2

Peso complessivo cavi = 166.000 t

Altezza torri = 370 m

Peso impalcato/ metro lineare = 60 t/m

PONTE SULLO STRETTO DI MESSINA ???

Qui sistema a contrappeso per tendere la fune

(non presente qui)

Qui motore traente

Nelle funivie monocavo contrappesate cambia la

tensione dei cavi in funzione dei carichi trasportati?

CARATTERIZZAZIONE MECCANICA

Esiste notevole numero di prove meccaniche atte alla caratterizzazione del

comportamento strutturale dei materiali

Esempi: durezza - metalli / danneggiamento ad urto – compositi / Prove di

resilienza

Per ogni tipologia di materiale esistono prove più o meno atte a metterne in risalto

prestazioni e caratteristiche specifiche

Lo scopo è definire i limiti di utilizzabilità di ciascun materiale

Le prove devono essere affidabili e ripetibili

Scopo delle normative e rendere i risultati indipendenti dai

“laboratori”

Esistono inoltre prove sui materiali atte a determinarne le caratteristiche e prove

tecnologiche dedicate allo studio del comportamento dei manufatti nelle reali

condizioni di utilizzo

Prove di trazione o di compressione,

prove di durezza, prove di fatica, …

Prove di piegatura, resistenza alla

punzonatura, prove di carico, …

PROVA DI TRAZIONE (STATICA)

Parametri essenziali da controllare Velocità di deformazione

Temperatura

La prova di trazione può essere eseguita in controllo di carico, o in

controllo di deformazione

Sezione rigidamente costante provino

Raccordo delle teste di afferraggio sufficientemente graduale

Centraggio accurato del provino

Fattori determinanti

Misure tipiche Avanzamento traversa

Forza istantanea

Misure di deformazione

(Misure geometriche e

morfologiche a fine prova) Misure ottiche

Le misure di deformazione possono essere fatte in due modi, in funzione del loro valore

Piccole deformazioni (fino al 3 %)

Estensimetri a resistenza (Strain gauge)

Grandi deformazioni (ben oltre il 3 %)

Estensometri meccanici

Precisi nel campo delle piccole deformazioni

e ad esempio nella misura delle proprietà

elastiche, poi si “scollano”

Inadatti alle piccole deformazioni, molto

utili nei regimi di plasticità dei materiali

Acciai duri (fragili)

Acciai dolci (duttili)

Rame o alluminio ricotto

P

Dl

Il primo diagramma che si ottiene è costituito dalla curva carico - spostamento

Fine recupero elastico completo

Tensione di snervamento

Tensione al momento rottura

Tensione massima misurata

EP

E

S

U

R

Scostamento dalla proporzionalità

Tensione di rottura

Il precedente si trasforma facilmente in curve tensione - deformazione

ingegneristiche (perché basate sui valori iniziali S0 e L0

0

ingS

P

0

ingL

LD

Evoluzione delle linee di scorrimento

in un materiale duttile Rottura a forma caratteristica

di cappa-cono materiale duttile

Acciaio duttile Acciaio fragile

Materiali duttili e fragili si caratterizzano da curve trazione – compressione a differente

sviluppo

Fase di snervamento

Fase di strizione

Visualizzazione delle linee di Lüder su un provino lucidato

Frattura duttile

Frattura duttile

Frattura fragile

al limite

L

L0

t0 L

Lln

L

dLOccorre riferirsi alle grandezze vere

(true) per grandi deformazioni

ii

1iit

L

LL

Ogni incremento di allungamento è rapportato alla lunghezza già raggiunta e non a quella iniziale

La formula precedente consente il passaggio tra tensioni

ingegneristiche (misurate) e vere (ricavate)

Come si vede dalla tabella, esse differiscono poco tra loro,

almeno finché non si sia in presenza di deformazioni rilevanti

Per quanto riguarda le tensioni vere, occorre aggiornare la sezione resistente (che si

contrae durante l’allungamento).

La contrazione laterale è infatti trascurabile all’inizio, ma poi diventa rilevante in plasticità

ln 1t ing 0 0

1ing

L L

L L

D

Ricordando che

vera ing 0.00995 0.04879 0.09532 0.18232 0.26236

0.01 0.05 0.10 0.20 0.30

In plasticità è opportuno ipotizzare che il materiale fluisca senza apprezzabili variazioni

di volume, per cui si calcola la tensione vera imponendo la costanza del volume

0 0S L SL 0 0

1t ing ing

P PL

S S L

A questo punto si può costruire il diagramma tensioni – deformazioni vere

vera

ingegneristica

Tratto di

difficile

misurazione

Le curve Tens-Def vere sono quelle da utilizzare

nel calcolo numerico delle strutture (FEM)

Gli acciai sono caratterizzati da curve che possono essere molto diverse fra loro

Differenze insorgono per effetto di:

Composizione chimica (elementi lega)

Trattamenti termici

Trattamenti meccanici

Cristallizzazioni

Invecchiamento (processi di diffusione)

Dimensione dei grani

Processi tecnologici di fabbricazione

Comportamenti non isotropi

Temperatura di prova

…

ε in %

σ (Mpa)

Alcune caratteristiche generali possono essere dedotte da analisi a fine prova (rottura)

Allungamento percentuale: 0

0

% 100finaleL L

LL

Per effetto della localizzazione dovuta al necking, nella sua definizione occorre

sempre indicare la base di misura L0 utilizzata. Valori normali intorno 20 - 30 %

Riduzione di area percentuale: 0

0

% 100finA A

AA

Riduzioni anche del 50 % sono usuali negli acciai

MATERIALI DUTTILI

Presentano rottura associata ad alti

valori di deformazione

Assorbono una buona quantità di

energia prima di fratturarsi

Presentano una rilevante deformazione

plastica

L’aspetto della frattura è fibroso

MATERIALI FRAGILI

Presentano rottura per bassi valori di

deformazione

Assorbono una scarsa quantità di

energia prima di fratturarsi

La deformazione plastica è così ridotta

che si possono quasi ricongiungere i pezzi

rotti riprendendo forma originale

MATERIALI DUTTILI

Il meccanismo di rottura è dominato

dallo scorrimento

La rottura produce una grande quantità

di calore

MATERIALI FRAGILI

L’aspetto della rottura presenta una

serie di faccette quasi lucide

Il meccanismo di rottura è dominato dal

clivaggio (distacco)

La rottura avviene in modo improvviso

Uno dei parametri chimici che più influenzano il

comportamento strutturale degli acciai è il tenore

di carbonio, aumentandolo l’acciaio diventa più

duro. (si alza la tensione di snervamento e

diminuisce il rapporto snervamento / rottura)

La velocità di deformazione rende gli acciai più

resistenti ma anche più fragili – Qualche cosa di

simile si ha anche per effetto dell’abbassamento

della temperatura

Deformare a freddo un acciaio dolce equivale a renderlo più

resistente in regime elastico – ma diminuisce sensibilmente

la sua riserva plastica

Lo si fa negli acciai per molle / nello stampaggio delle

lamiere / nei fili che costituiscono i trefoli delle funi

Nei materiali allo stato ricotto si fa un trattamento termico ad alta temperatura e di durata

tale da eliminare le tensioni residue eventualmente presenti e l’incrudimento raggiunto

Comportamento elastico e plastico

All’interno della zona di elasticità (il cui limite è il punto E),

alla rimozione del carico si ha un ritorno al punto iniziale O

In altri termini, in elasticità il comportamento è reversibile

Superato il limite di elasticità (E) lo

scarico mantiene la medesima

pendenza iniziale ma si distinguono

una deformazione elastica che si

recupera ed una permanente o residua

In molti materiali il tratto di elasticità è pressoché lineare

Se un materiale caricato plasticamente viene scaricato e poi

caricato di nuovo, esso ha subito profonde alterazioni e

segue il percorso CBF

Il materiale modificato (percorso CBF) è caratterizzato da un

limite di elasticità (B) più alto dell’iniziale (E)

Tipi di comportamento plastico considerati

Le due zone, elastica e plastica, separatamente o assieme

possono essere caratterizzate (o idealizzate) in modi differenti

E

Materiale elastico - perfettamente plastico sn sn

sn

Materiale elastico – con

incrudimento lineare

E

sn

sn plas snE E

sn

Materiale approssimato da una unica legge costitutiva

0 0 0

m

tot

0

0

1m

totE

e m sono costanti caratteristiche dei materiali

(Ramsber-Osgood)

Per gli acciai m = 5 ÷ 10 / = 0.4 ÷ 1.0

Deformabilità a caldo (creep)

Nei casi precedenti, il tempo non giocava alcun effetto – le risposte erano immediate

In alcuni materiali, spesso al di sopra almeno ¼ della temperatura di fusione, si assiste ad

un allungamento aggiuntivo funzione del tempo di applicazione del carico

Il creep può produrre un ulteriore allungamento,

lineare o non con il tempo stesso

Importante negli acciai utilizzati ad alte

temperature (esempio fasci tubieri, palette di

turbina, ..) ma anche in molte materie plastiche

Analogamente, nelle strutture inizialmente tensionate

e bloccate si assiste ad un progressivo rilassamento

Molti materiali di importanza strutturale presentano un primo tratto ad elasticità lineare

Questo è importante nella progettazione perché garantisce l’assenza di deformazioni permanenti

E Legame lineare

Acciai

Ghise

Leghe rame

Leghe alluminio

E (MPa)

206.000

(80.000 ÷ 170.000)

120.000

70.000

n

0.3

0.25

0.35

0.33

G (MPa)

80.700

(83.000 ÷ 68.000)

44.500

26.300

Valori tipici per alcuni metalli strutturali

E = modulo di Elasticità o di Young [MPa]

Lega di rame

Acciaio da costruzione

Lega d’alluminio

Gomma

1 psi= 0.00689 MPa

Legge di Hooke unidimensionale

1 ksi= 6.89 MPa

Coefficiente di Poisson

Quando una barra prismatica è tensionata assialmente,

si evidenzia anche una contrazione laterale

Se il materiale è elastico, omogeneo, isotropo, la

contrazione è proporzionale al carico applicato

laterale

assiale

n

Coefficiente adimensionale

Calcoli teorici basati sulla struttura atomica indicano valori prossimi a -1/3 come in effetti si ha

c b ac b aVV 0000 cba eeec b aV 000

Quando i metalli entrano in regime di

plasticità il coefficiente si avvicina a -0.5

In plasticità il materiale fluisce

come incompressibile

a

b

c

0

c

0

b

0

ac

cln ;

b

bln ;

a

alnDeformazioni vere:

Posto che b c a n1 2 0 n 0.5n

= 1

Cambiamento di volume (elasticità)

0 V a b c

Siamo nel caso di piccole deformazioni e

quindi si utilizza la ε ingegneristica

1 1 1deformV a b c n n

0 1 2deformV V n

0

1 2 1 2V

eV E

D n nCambiamento unitario di volume o dilatazione

Questa ultima definizione mostra come il massimo valore plausibile del coefficiente di

Poisson sia 0.5, oltre il quale si avrebbe una poco fisica riduzione del volume per effetto di

una trazione applicata!

Identificazione del comportamento alla strizione

L’ultimo tratto della curva di trazione, ove nel diagramma ingegneristico si assisteva ad una

riduzione del carico, è caratterizzato dalla accentuata localizzazione della deformazione laterale

La condizione per cui la clip (estensometro) sia proprio

nell’area di strizione è assai improbabile

f e f

Quel che si può fare è identificare il punto ultimo a rottura a

provino rotto e estrapolare con tali valori l’ultimo tratto

S0 = Sezione iniziale / Sf = Sezione finale

Misurata a fine prova

cb e e c bc b 00

a0

b0

c0

aab 2 2

0

ee e S

S n

0.5n

S

Sln 0

aff

ultf

S

F

Caratteristiche

meccaniche degli acciai

da costruzione più usati

(1)

Caratteristiche

meccaniche degli acciai

da costruzione più usati

(2)

1 GN/m2 = 1000 MPa

1 MN/m2 = 1 MPa

Tensione e deformazione di taglio

Le sollecitazioni di taglio agiscono in senso tangenziale rispetto alla superficie

Si consideri la connessione tra un tirante ed

una piastra mediante un bullone

Le forze di contatto generano una pressione media che sui lati 1 e 2 della vite calcolabili come:

1 32 tirante vite

P

s d 2

piastra vite

P

s d In pratica si utilizzano le

proiezioni delle sezioni resistenti

Dall’equilibrio della porzione di vite mnqp si evidenzia una condizione di doppio taglio nella vite:

2 2

2

4 4vite vite

V P

d d

Taglio medio

2P

Condizione di taglio singolo nel bullone

2 2 4 4vite vite

V P

d d

Taglio medio

P

Nei due esempi di taglio singolo o doppio, si tratta di applicazione diretta di taglio

Sollecitazioni su bulloni, rivetti, spine, incollaggi, chiavette, linguette

Si può riscontrare sollecitazione di taglio anche mediante applicazione indiretta in elementi

soggetti a tensione o compressione, torsione e flessione

Supponiamo che agisca una sulla faccia superiore

Equilibrio in x ne fa risultare una inferiore uguale

Equilibrio in Mz ne aggiunge lateralmente 2 uguali

Facce opposte presentano uguali ma direzioni opposte

Facce adiacenti presentano uguali con versi concorrenti o divergenti

Al taglio si accompagna una variazione di forma

evidenziabile da due angoli = /2

CONVENZIONE SUI VERSI

x

y

xx

y

y

xy

xy

yx

yx

Nella figura sono orientati

secondo le direzioni positive

Versi + secondo gli assi nelle facce a normale positiva

Versi + opposti ai precedenti nelle facce a normale negativa

Legge di Hooke nel taglio

Il materiale può essere testato a taglio direttamente o mediante ad es. prova di torsione

Se ne ricava un diagramma tensione –

deformazione di taglio del tutto analogo a

quello normale

La parte elastica lineare (Legge Hooke) è descritta dal modulo di elasticità trasversale G

G G è dimensionalmente una pressione [MPa]

Nei mat. Omogenei e isotropi le 3 grandezze che definiscono il comportamento

elastico sono legate da una relazione (2 sole sono indipendenti) 2 1

EG

n

EP

E

S

U

R

Scostamento dalla proporzionalità

Fine recupero elastico completo

Tensione di snervamento

Tensione al momento rottura

Tensione massima misurata

Questi valori sono spesso il

50 o 60 % delle rispettive

tensioni normali

Esempio

Una piastra di appoggio di macchina operatrice

esercita una spinta assiale V attraverso un inserto di

gomma. Calcolare la tensione media nella gomma e

lo spostamento orizzontale

Si è lavorato con i valori medi, ma se a >> h ciò è accettabile

Soluzione:

Si può assumere che la tensione si distribuisca

uniformemente nel tassello:

V

ab

La deformazione a taglio che ne deriva:

V

ab G

Lo spostamento orizzontale si

calcola dal triangolo della deformata

tan tan

Vd h h

ab G

hVd

ab G

Tensioni e carichi ammissibili

Le strutture sono progettate per opporsi ai carichi applicati. Ognuna può essere pensata

come caratterizzata da un carico massimo oltre il quale si ha rottura (Strength)

Il coefficiente di sicurezza, altro non è che il rapporto tra il massimo carico supportabile / il

carico richiesto nell’applicazione

n può variare moltissimo 1 - 10 Massimo carico supportabile

Carico effettivamente applicaton

Svariati possono essere i fattori che ne influenzano il valore

Variazioni nelle caratteristiche dei materiali

Effetto scala nelle caratteristiche di resistenza

Tipologia dei carichi applicati

Effetto dei processi di fabbricazione

Variazioni dovute a trattamenti termici

Condizioni d’uso e di manutenzione

Esposizione ad ambienti aggressivi/temp. non previste

Specifiche richieste per il componente (monouso, …)

Vincoli di legge

Salvaguardia della vita umana

Assunzioni semplificative introdotte nel modello

Modalità operative per il calcolo delle sollecitazioni

Considerazioni statistiche ???

Se si dispone di metodi per la determinazione degli stati di tensione nelle strutture, i carichi

ammissibili possono essere espressi in termini di tensioni ammissibili

Limite dettato dalla rottura

materiali a scarsa duttilità o fragili

rottamm

n

rott

ammn

I coefficienti di sicurezza a rottura

sono in genere poco più alti di

quelli basati sullo snervamento

Limite dettato dalla deformabilità

(snervamento) materiali duttili

snervamm

n

snerv

ammn

In sollecitazioni statiche, in

mancanza di direttive, si può

assumere n= 1.6

Nell’analisi strutturale, una verifica di resistenza corrisponde ad un problema diretto, ossia

la determinazione delle massime sollecitazioni che vengono rapportate a quelle ammissibili

L’attività di progettazione invece costituisce un problema di tipo inverso, in genere più

oneroso in quanto si compone di un certo numero di verifiche successive, fino a convergenza

Si tratta di determinare le dimensioni che garantiscono il rispetto dei limiti imposti

dalle tensioni ammissibili

Ancora più complesso è il caso dell’ottimizzazione di una struttura, ove dimensioni, forme, materiali,

sistemi di fabbricazione possono tutti variare per la determinazione della soluzione migliore

Esercizio

Una struttura composta da due elementi, AB e BC,

supporta un cartello pesante. Dimensionare la sezione

dell’elemento AB; dimensionare il diametro perno in C.

I materiali adottati consentono una tensione ed un taglio

ammissibili pari, rispettivamente, a: 125 e 45 MPa.

Soluzione:

Eliminando i vincoli, si può imporre l’equilibrio

ai momenti in C per determinare RAH

0CM

2.0 2.7 0.8 2.7 2.6 0AHR m kN m kN m

4.59 AHR kN2.0

3.06 3.0

AV AHR R kN

2 24.59 + 3.06 5.516 AB AF R kN

L’equilibrio orizzontale dell’elemento CB:

4.59 CH AHR R kN

L’ultima reazione incognita richiede eq. Momenti in B:

0BM 3.0 2.7 2.2 2.7 0.4 0CVR m kN m kN m 2.34 CVR kN

2 24.59 + 2.34 5.152 CR kN

La sezione perno in C

(doppio taglio)

2

2

2 5152 2 57.2

45 /

CpinC

amm

R NA mm

N mm

48.54

pinC

pinC

Ad mm

L’area elemento AB richiesta risulta: 2

2

5152 44.1

125 /

ABAB

amm

F NA mm

N mm

Nel calcolo si è trascurato il peso proprio struttura, altrimenti l’elemento AB sarebbe stato

soggetto anche a flessione