teorema de baire aplicaciones

Ttulo de la obra:

EL TEOREMA DE CATEGORA DE BAIRE Y APLICACIONES

Autor: Wilman Brito

Editado por el Consejo de Publicaciones de la Universidad de Los Andes Av. Andrs Bello, antiguo CALA. La Parroquia Mrida, estado Mrida. Venezuela Telefax (+58274) 2713210, 2712034, 2711955 e-mail [email protected] http://www.ula.ve/cp

1a edicin en CD-Rom. 2011 Reservados todos los derechos Wilman Brito

Diseo de portada: INNOVA. Diseo y Tecnologa C.A. Mrida, Venezuela, 2011

El Teorema de Categora de Baire y Aplicaciones

Wilman Brito

DEDICATORIA

A Claudia, mi esposa. A mis hijos: Sebastian, Rubn, Noelia, Diego, Andrea y Fabiola, y a la memoria de mi amigo Dimedes Brcenas.

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PRLOGO

Una trivialidad profunda. As calica T. W. Krner [270] al Teorema de Categora de Baire. Uno est inclinado a pensar que la razn fundamental para tal declaracin es que, aparte de su simple y elegante demostracin, pocos resultados comparten, como lo hace el Teorema de Categora de Baire, el privilegio de intervenir, directa o indirectamente, en la demostracin de una cantidad elevadsima de resultados muchos de los cuales son no triviales, algunos son un verdadero reto a la propia imaginacin y muchos otros son, simplemente, esplndidos, hermosos. El contenido de estas notas muestran algunas de las formidables y, a veces, inimaginables aplicaciones que se apoyan en dicho teorema. Como se puede entrever, el ttulo de este libro indica una declaracin de intenciones. A pesar de la inmensa gama de aplicaciones que se sustentan sobre el Teorema de Categora de Baire, existe un sorprendente vaco de un texto que se dedique exclusivamente a recoger gran parte de esas aplicaciones. Ese vaco no se llena con esta modesta contribucin, pero es un paso hacia adelante. Por consiguiente, el primer objetivo de estas notas es presentar, con un tratamiento absolutamente informal, algunas de esas aplicaciones. Es importante observar que en casi todos los textos de Anlisis Funcional, del Anlisis Real o la Topologa cuando desarrollan algunas de las aplicaciones del Teorema de Categora de Baire muestran, por su inters particular, casi siempre los mismos resultados entre los que se encuentran, en el caso del Anlisis Funcional, de los Teoremas de Acotacin Uniforme, de la Aplicacin Abierta o del Grco Cerrado y, en algunos casos, demostrar la existencia de un conjunto abundante de funciones continuas que poseen una serie de Fourier que diverge en un punto. Cuando se trata de la Topologa o el Anlisis, el ejemplo ms emblemtico es la demostracin de la abundancia de las funciones continuas a valores reales denidas, digamos, sobre [0, 1] que no poseen derivada nita en ningn punto de su dominio, mientras que en otros casos se dedican a demostrar la imposibilidad de expresar a Q, el conjunto de nmeros racionales, como un G -denso, o una demostracin de que el conjunto ternario de Cantor es no numerable, etc. Esos ejemplos son enteramente comprensibles y justicables, pero pueden sustentar la idea de que el mbito de aplicaciones del mencionado teorema se reduce a los ejemplos ya descritos y, tal vez, a otras pocas aplicaciones. Estas notas intenta convencer al lector de lo contrario al ofrecer un abanico muchsimo ms amplio de aplicaciones que, por lo general, no son fciles de encontrar en casi ningn otro texto donde se aplica el Teorema de Categora de Baire. Por supuesto, muchas otras aplicaciones, adems de los resultados clsicos, son incorporadas en estas notas mostrndose, por supuesto, otras de data ms reciente pero dejando, aun por fuera, muchsimas otras aplicaciones. En su tesis doctoral Sur les fonctions des variables relles [28], escrita en 1899, Ren Baire, despus

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de introducir los conceptos de primera y segunda categora al nal del captulo 2 escribe: el continuum constituye un conjunto de segunda categora, resultado que ms tarde se conocer como el Teorema de Categora de Baire y por el cual Baire es famoso en la comunidad matemtica. Poco tiempo antes, George Cantor haba demostrado que ningn conjunto numerable poda llenar totalmente un intervalo abierto; es decir, la totalidad de los puntos de cualquier intervalo abierto es no numerable. Baire extiende este principio al demostrar que ningn conjunto de primera categora en R (de los cuales, los subconjuntos numerables de R constituyen un caso particular) puede cubrir totalmente un intervalo abierto, es decir, el Teorema de Categora de Baire es una generalizacin de mayor alcance que la no numerabilidad del conjunto de los nmeros reales. El objetivo fundamental en la tesis de Baire era caracterizar aquellas funciones de dos variables que eran continuas en cada variable separadamente pero que podan ser o no continuas simultneamente en ambas variables. Cauchy haba armado en su famoso libro Cours dAnalyse (una armacin falsa) que si una funcin de dos variables es continua respecto a cada una de ellas, entonces dicha funcin es continua como funcin de ambas variables. Casi al nal de las primeras 27 pginas de su tesis, Baire haba demostrado que esas funciones (las funciones de dos variables que eran continuas en cada variable separadamente pero no continuas simultneamente en ambas variables) eran puntualmente discontinuas sobre cada conjunto perfecto. (Una funcin f es puntualmente discontinua con respecto a un conjunto cerrado F, si el conjunto de puntos de continuidad de f |F es denso en F). De hecho, Baire mostr que dichas funciones se pueden representar como lmites puntuales de sucesiones convergentes de funciones continuas. Tales funciones sern conocidas posteriormente como funciones de la primera clase de Baire, trmino acuado por Ch. J. de la Valle Poussin (1866-1962) y denotadas por B1 . Seguidamente Baire prueba que el conjunto de puntos de discontinuidad de cualquier funcin f B1 es de primera categora y extiende dicho resultado mostrando que las familias de las funciones derivadas, las semicontinuas y las de variacin acotada estn contenidas en B1 . De esta manera, para todas esas clases de funciones, el conjunto de sus puntos de discontinuidad es pequeo. Una elegante y agradable exposicin histrica del trabajo de R. Baire la desarrolla Gilles Godefroy en [184]. Existen varias maneras de describir o determinar el tamao de los conjuntos. Por ejemplo, en la Teora de Conjuntos ellos se miden en trminos de su cardinalidad y, por consiguiente, tanto los conjuntos nitos as como los innitos numerables son considerados pequeos, mientras que los conjuntos no numerables son pensados como muy grandes. Esa manera de clasicar a tales conjuntos fue usado por primera vez por Cantor para demostrar la existencia de los nmeros trascendentes. En efecto, en primer lugar Cantor demostr que R, el conjunto de los nmeros reales, era no numerable y, posteriormente, que el conjunto de los nmeros algebraicos era numerable. Esos dos ingredientes le permitieron, nalmente, concluir que los nmeros trascendente existen (sin mostrar ninguno de ellos) y que tales nmeros, en comparacin con los nmeros algebraicos, son ms numerosos. Similarmente, en la Teora de la Medida e Integracin, se usa la nocin de longitud o medida para describir el tamao de los conjuntos. Los conjuntos de medida cero, as como uniones numerables de tales conjuntos, se piensan como conjuntos pequeos, mientras que los de medida positiva se consideran grandes. Observe que si es la medida de Lebesgue sobre [0, 1], entonces cualquier subconjunto nito o innito numerable de [0, 1] tiene medida cero por lo que la nocin de conjunto pequeo coincide en ambas teoras para los conjuntos nitos y los innitos numerables. Sin embargo, existen en [0, 1] conjuntos no numerables que poseen medida de Lebesgue cero como es el caso del conjunto ternario de Cantor. Esta distincin establece que la manera de cmo se mide el tamao de los conjuntos en ambas teoras, al menos desde el punto de vista de los conjuntos no numerables, son distintos. Por otro lado, la nocin de categora de Baire ofrece otra perspectiva de medicin de conjuntos pero desde la ptica topolgica. En este ambiente, los conjuntos nunca densos son considerados conjuntos pequeos. Cualquier conjunto que es unin numerable de estos conjuntos pequeos es llamado un conjunto de primera categora o magro y, en consecuencia, tambin se le considera pequeo. Un conjunto que no es de primera categora se le suele llamar de segunda categora o no-magro. Intuitivamente, los conjuntos de segunda categora son

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conjuntos grandes o muy abundantes. Similar a la observacin anterior existen conjuntos que son grandes desde el punto de vista de la categora de Baire pero que resultan ser pequeos en la Teora de la Medida e Integracin y viceversa. Como veremos ms adelante, el Teorema de Categora de Baire resulta ser, en consecuencia, un resultado acerca del tamao de los subconjuntos de un espacio mtrico completo u otro espacio apropiado pero siempre sustentado sobre la nocin de densidad. Existen en la literatura otras variedades de conjuntos pequeos que han sido estudiados con cierta profundidad como son, por ejemplo, los conjuntos -porosos o los conjuntos Gamma-nulos, tambin estn los conjuntos de Gauss nulo y los Haar nulo, que son de especial inters, particularmente, en la Teora de Probabilidades, etc. El Teorema de Categora de Baire constituye, sin lugar a dudas, una herramienta poderosa. Dicho teorema ofrece un mtodo no constructivo para demostrar la existencia, pero sin exhibir ningn ejemplo concreto, de ciertos objetos que por lo general son muy difciles de visualizar y, por supuesto, de construir. Una formulacin equivalente de dicho teorema en espacios topolgicos es la siguiente: Un espacio topolgico X es llamado un espacio de Baire si cualquier coleccin numerable de subconjuntos abiertos densos en X posee interseccin densa. Cmo se aplica el mtodo de categora de Baire? Pues bien, supongamos que queremos demostrar la existencia de un objeto matemtico x satisfaciendo alguna propiedad P(x). El mtodo de categora consiste, esencialmente, en encontrar un espacio mtrico completo adecuado X (o algn otro espacio de Baire sucientemente bueno) y mostrar que el conjunto {x X : P(x)} es abundante en X ; o de modo equivalente, que el conjunto {x X : P(x) no se cumple} es de primera categora en X . Esto no slamente muestra que existe un x tal que P(x) se cumple, sino que en el espacio X casi todos los elementos x tienen, desde el punto de vista topolgico, la propiedad P(x). Ahora explicaremos cmo hemos organizado la presentacin de estas notas. En el captulo 1 se introducen algunos pre-requisitos necesarios, pero insucientes, para darle cierta coherencia, armona e independencia a los resultados objeto de estudios. Posteriormente se introducen las nociones de conjuntos de primera y segunda categora y se prueban algunos resultados relacionados con esas nociones, entre los cuales se encuentra, por supuesto, el trivialmente profundo Teorema de Categora de Baire para varios clases importantes de espacios de Baire tales como los espacios mtricos completos, los localmente compactos y, en general, para una categora ms amplia conocida como los espacios Cech-completos. Similarmente, se prueba que el mtodo de categora de Baire tambin es aplicable a los espacios Oxtoby-completos, etc. Ya en ste captulo se comienzan a dibujar algunas de las extraordinarias consecuencias que se obtienen por medio el Teorema de Categora de Baire al mostrarnos algunos hechos aparentemente excepcionales e insospechados. El captulo 2 es, por su amplitud y variedad, el ms interesante. Las aplicaciones del Teorema de Categora de Baire comienzan, en primer lugar, con una galera de monstruos, es decir, examinando ciertos objetos que en principio se consideran como excepcionalmente raros y, a veces, extravagantes pero que tales objetos constituyen, de hecho, la regla y no la excepcin. Algunos de esos resultados generaron, en sus comienzos, ciertas reacciones adversas que les permitieron a algunos matemticos alejarse con horror y temor de esas plagas lamentables, pero a otros les caus una especie de alegra contagiosa en busca de otros monstruos ocultos. En todo caso, lo que esos resultados muestran es el triunfo del mtodo de categora de Baire en revelar abundantes objetos ocultos con apariencia inslita y, a veces, inimaginables. La mayora de esas aplicaciones abarcan reas fundamentalmente del Anlisis Real y Complejo incluyendo Teora de la Medida, as como en la Teora de los Espacios de Banach y de los Operadores Lineales Acotados entre ellos. Por ejemplo, en el transcurso de estas notas tratamos de mostrar cmo el Teorema de Categora de Baire aparece como una herramienta importante en la demostracin de resultados vinculados con: Principios Variacionales, Anlisis Diferencial en Espacios de Banach, Dentabilidad, Fragmentabilidad, Juegos Topolgicos, Funciones Analticas, Series Trigonomtricas y de Fourier, etc. El ltimo captulo es una breve incursin al hermoso, sutil y delicado resultado conocido con el nombre de El Teorema Grande de Baire. En dicho captulo se tratan ciertos aspectos de las funciones de la primera clase de Baire, la caracterizacin clsica de tales funciones,

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as como algunas (muy pocas) aplicaciones en el mbito de los espacios de Banach. Tangencialmente nos involucramos con ciertos ndices y sus relaciones con las funciones de la primera clase de Baire. Finalmente queremos hacer notar, en primer lugar, que lo extenso de estas notas se debe fundamentalmente al esfuerzo que se ha hecho para que dicha exposicin sea lo ms autocontenida posible tratando, en lo posible, de demostrar gran parte de los resultados enunciados y utilizados, aunque en algunos casos, muy pocos, se provee slo un bosquejo de la demostracin y, en consecuencia, se hace imprescindible pedirle al lector que en la bibliografa recomendada al nal del libro consulte los resultados no demostrados en estas notas. Por otro lado, existe una seccin marcada con dos asteriscos, la ltima del Captulo 2, que no presenta ninguna demostracin. El nico inters en incluirlas es el de informar brevemente al lector sobre ciertos resultados actuales e importantes vinculados en, cierta medida, con el Teorema de Categora de Baire y que tratan sobre ciertos conjuntos que sin poseer una estructura lineal, contienen subespacios lineales que a veces resultan ser muy grandes. En segundo lugar, muchos otros aspectos que tienen que ver, directa o indirectamente, con el Teorema de Categora de Baire no han sido incluidos por diversas razones. Por ejemplo, los relacionados con las versiones computables del Teorema de Categora de Baire, as como la nocin de porosidad en la Teora de los Espacios Mtricos, la nocin de prevalencia en espacios de Banach y su relacin con otras nociones en la Teora de la Medida e Integracin y otros campos del quehacer matemtico no aparecen en estas notas. Los libros de John C. Oxtoby [345] (el clsico por excelencia en este tema), R. P. Boas [56], N. L. Carothers [84], A. B. Kharazishvili [253], A. M. Bruckner [76], B. S. Thomson, J. B. Bruckner y A. M. Bruckner [426], as como la tesis de Sara H. Jones [241], el artculo de Haworth-McCoy [208], y algunos otros que no mencionamos, tratan temas que no hemos incluidos en estas notas. Las tesis de Ivan Bergman [49] y fundamentalmente la de Johan Thim [424] tambin son ampliamente recomendadas. Quiero expresar mis ms profundas gracias al profesor y amigo Dimedes Brcenas quien se nos fue as, de improviso, dejndonos con una tristeza que uno no sabe dnde ubicarla y un profundo dolor. En la primera versin de estas notas, el Dr. Brcenas las ley completamente hacindome llegar sus observaciones que me parecieron muy pertinentes y que, por supuesto, incorpor con sumo entusiasmo. La versin casi nal de las mismas, la que ahora tenemos a mano, fueron sometidas a un riguroso y meticuloso escrutinio por parte del Dr. Dick van Dulst convirtiendo su lectura en algo ms comprensible y agradable. Tenemos la rme conviccin que su intervencin ha sido determinante en la fase nal de la misma y de un enorme benecio en su presentacin. Muchos resultados fueron corregidos, otros desincorporados y algunos vueltos a rehacer. A ellos un de gratitud. Eso no signica que no puedan seguir existiendo posibles errores u omisiones que, dicho sea de paso, son de mi entera responsabilidad, pero de ninguna manera imputables ni al Dr. van Dulst ni al Dr. Brcenas. Aunque tenemos que ceder a la tentacin de las siempre necesarias y, a veces, inagotables ampliaciones y correcciones cuando se escribe unas notas tan extensas, debemos, sin embargo, agradecer a quien, por algn medio, me haga saber sobre omisiones o errores encontrados en el mismo para, en un futuro (si tal cosa es posible), mejorar las mismas. Gracias por adelantado. Como comentario nal debemos decir que lo nico que aspiramos con la publicacin de estas notas es que algn lector encuentre algo de inters en ellas y pueda divertirse disfrutando de la trivialidad profunda del Teorema de Categora de Baire pasendose por sus, a veces simples, y en ocasiones profundas, pero siempre hermosas y poderosas, aplicaciones. W.B. E-mail: [email protected] Universidad de Los Andes Mrida - Venezuela

NDICE GENERAL

Prlogo 1. El Teorema de Categora de Baire 1.0. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Conjuntos y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. El Axioma de Eleccin, el Lema de Zorn, el Principio del Buen-Orden, Ordinales, Cardinales y la Hiptesis del Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Espacios mtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Espacios topolgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Espacios normados y de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Conjuntos de primera y segunda categora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. El Teorema de Categora de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Algunas formas equivalentes de los espacios de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Primeras consecuencias del Teorema de Categora de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. Conjuntos tipo-Cantor que slo poseen nmeros irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11. Espacios completamente metrizables y Cech-completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.1. Espacios completamente metrizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.2. Espacios Cech-completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.3. Espacios Oxtoby-completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.4. Espacios topolgicos con un subespacio denso completamente metrizable . . . . 1.12. Puntos de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.1. El Teorema genrico de Baire-Kuratowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.2. Funciones cuyos puntos de continuidad es nunca-denso . . . . . . . . . . . . . 1.12.3. Espacios de Baire y funciones exclusivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.4. Funciones que son continuas sobre un conjunto G -denso . . . . . . . . . . . . 1.13. El Teorema de Categora de Baire y el Axioma de Eleccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14. El Teorema de Categora de Baire y el Axioma de Martin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.15. El Teorema de Categora de Baire y conjuntos de Luzin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 2 6 13 17 31 33 38 47 53 59 62 62 65 71 74 82 90 93 97 100 103 107 110

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NDICE GENERAL 113 113 115 124 125 130 137 138 140 146 149 151 155 157 162 168 176 189 195 199 203 207 207 242 257 260 273 288 293 296 300 317 319 321 330 340 343 346 353 355 362 369 375 386 392 400

2. Aplicaciones del Teorema de Categora de Baire 2.1. Galera de monstruos: funciones y otros objetos raros pero abundantes . . . . . . . . . 2.1.1. Funciones continuas nunca diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Funciones continuas nunca recticables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Convolucin de funciones continuas nunca diferenciables . . . . . . . . . 2.1.4. Funciones diferenciables nunca montonas . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5. Funciones continuas nunca Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6. Funciones continuas nunca montonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.7. Funciones nunca montonas de la 2a especie y de tipo no montonas . . . 2.1.8. Funciones que no cruzan lneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.9. Funciones continuas con un conjunto denso de mximos locales propios . 2.1.10. Funciones continuas con un conjunto no numerable de ceros . . . . . . . . 2.1.11. Funciones cuyos puntos de discontinuidad son c-densos . . . . . . . . . . 2.1.12. Funciones de clase C nunca analticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.13. Funciones analticas nunca prolongables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.14. Series de Fourier siempre divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.15. Series universales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.16. Series condicionalmente convergentes en R y abundantes reordenamientos 2.1.17. Series con signos alternantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.18. Nmeros de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.19. Aproximaciones diofnticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Otras aplicaciones en espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Algunas aplicaciones clsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Diferenciabilidad en espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Norma LUR, compacidad dbil y puntos ms lejanos . . . . . . . . . . . . 2.2.4. Dentabilidad, la PRN y densidad de funcionales . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5. Abundantes medidas que no poseen tomos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6. El Teorema de Vitali-Hahn-Saks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.7. El Teorema de Acotacin Uniforme de Nikodm . . . . . . . . . . . . . . 2.2.8. Abundantes medidas de control: Rybakov-Walsh . . . . . . . . . . . . . . 2.2.9. Fragmentabilidad y espacios de Asplund . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.10. Fragmentabilidad y compacidad dbil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.11. Fragmentabilidad y cuasi-continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.12. Fragmentabilidad y principios variacionales . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.13. El juego de Banach-Mazur y espacios de Baire . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.14. El juego de Banach-Mazur y Principios de seleccin . . . . . . . . . . . . 2.2.15. El juego de Banach-Mazur y lmite puntual de funciones cuasi-continuas . 2.2.16. El juego de Banach-Mazur-Oxtoby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.17. El juego de Choquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.18. El juego de Kenderov-Moors y fragmentabilidad . . . . . . . . . . . . . . 2.2.19. El juego de Banach-Mazur y problemas de optimizacin . . . . . . . . . . 2.2.20. El Teorema Grande de Namioka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.21. Las propiedades de Namioka y co-Namioka . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.22. El juego de Christensen-Saint Raymond y la propiedad de Namioka . . . . 2.2.23. El juego de Banach-Mazur y aplicaciones cuasi-continuas . . . . . . . . . 2.2.24. Densidad de funciones con un mximo fuerte . . . . . . . . . . . . . . . .

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NDICE GENERAL 2.2.25. Orbitas y operadores hipercclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.26. Abundantes bases ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.27. Abundantes operadores diagonales e irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.28. Abundantes operadores que poseen un vector cclico en comn . . . . . . . 2.2.29. Abundantes operadores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Espacios vectoriales en conjuntos excepcionalmente raros . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Funciones continuas nunca diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Funciones continuas con innitos ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Funciones siempre sobreyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4. Funciones continuas que interpolan sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5. Funciones K-lineales discontinuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.6. Funciones con un conjunto denso de puntos de discontinuidades removibles 2.3.7. Funciones que poseen un nmero nito de puntos de continuidad . . . . . . 2.3.8. Funciones cuyas derivadas son no acotadas sobre un intervalo cerrado . . . . 2.3.9. Funciones no medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.10. Funciones casi-siempre continuas pero no Riemann-integrables . . . . . . . 2.3.11. Funciones Riemann-integrables que no son Lebesgue-integrables . . . . . . 2.3.12. Funciones continuas con un nico mximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.13. Operadores hipercclicos y supercclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.14. Funciones nunca cuasi-analticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.15. El Teorema de Bishop-Phelps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.16. Series de Fourier siempre divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.17. Series de Dirichlet siempre divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.18. Funciones de clase C nunca analticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. El Teorema Grande de Baire 3.0. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. El Teorema Grande de Baire . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Funciones de la primera clase de Baire . . . 3.1.2. El Teorema Grande de Baire - Una prueba . 3.2. Algunos ejemplos de funciones que pertenecen a B1 (X ) 3.3. Aplicaciones del Teorema Grande de Baire . . . . . . . 3.4. ndices de Szlenk, de Bourgain y de oscilacin . . . . . . 3.4.1. ndice de Szlenk . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. ndice de Bourgain . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. ndice de oscilacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IX

402 423 428 451 454 460 460 462 462 462 463 463 463 464 464 464 465 466 466 467 467 468 468 469 471 471 471 474 478 491 498 511 512 514 515

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X

NDICE GENERAL

CAPTULO 1 EL TEOREMA DE CATEGORA DE BAIRE

IntroduccinLas aplicaciones clsicas del Teorema de Categora de Baire sustentan la idea de que dicho teorema es uno de los tantos resultados importantes en matemticas. Que ello sea verdad no aade nada nuevo, sin embargo, dicho resultado va ms all del simple hecho de considerarlo como un teorema importante. Aunque su demostracin es simple, su amplio abanico de aplicaciones, como intentaremos probarlo en estas notas, es inmenso. Tal vez por esa razn Krner [270] lo calica como una trivialidad profunda. Por ejemplo, su rea de inuencia en la demostracin de un nmero signicativo de resultados importantes e interesantes se hace sentir en el anlisis clsico, en topologa, en ecuaciones diferenciales, en la teora de nmeros, en el anlisis convexo, en el anlisis funcional, en probabilidades, en anlisis armnico, etc. Constituye, de hecho, un mtodo poderoso para probar, no slo la existencia de ciertos objetos cuyas construcciones son, en muchas casos, tremendamente difciles, sino la abundancia de tales objetos. Sin embargo, y este es uno de los retos que hay que sortear con xito, existe un cierto grado de dicultad en relacin con el mtodo de Categora de Baire el cual consiste en encontrar el espacio mtrico completo adecuado o, en su defecto, algn espacio de Baire apropiado donde dicho mtodo es aplicable. Ocasiones tendremos de exhibir numerosos ejemplos donde tal mtodo es aplicado tales como la existencia de funciones continuas que no son diferenciables en ningn punto de su dominio, as como funciones diferenciables que siempre oscilan en cualquier subintervalo de su dominio, etc. Antes de entrar de lleno en los pormenores del Teorema de Categora de Baire y algunas de sus aplicaciones, ser necesario revisar de manera sucinta algunas nociones bsicas de Teora de Conjuntos, Funciones y Espacios Topolgicos que asumiremos, corriendo el riesgo de equivocarnos, que el lector conoce. Sin embargo, parte de la teora de los Espacios de Banach y, en particular, de los Espacios de Hilbert que se necesitan en estas notas no se desarrollan en esta seccin aunque se discuten brevemente en ciertas porciones del mismo. En todo caso, la bibliografa al nal de estas notas pueden servir al lector de ayuda para conocer (y ver su demostracin) de algunos de los resultados en las que no se provee ninguna prueba.

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Cap. 1 El Teorema de Categora de Baire

1.1. Conjuntos y funciones Conjuntos En esta seccin revisaremos brevemente algunas propiedades bsicas de conjuntos y funciones que son de inters para el desarrollo de estas notas. Comnmente, un conjunto se describe como una coleccin (o reunin) de objetos de cualquier naturaleza llamados los elementos o miembros del conjunto pero evitando denir lo que es una coleccin o lo que es un objeto con el slo propsito de eludir la aparicin de las denominadas paradojas de la Teora de Conjuntos. Por tal motivo, en estas notas, los trminos conjunto y elemento permanecern sin ser denidos y sern aceptados como entidades fundamentales conando en que el lector posee una nocin, o sentimiento intuitivo, de lo que es un conjunto y lo que es elemento de un conjunto. Los elementos que forman parte de un conjunto particular, digamos X , sern denotados por el smbolo x X que se lee: x es un elemento o miembro de X , o tambin se dir que x pertenece a X . Anlogamente, el enunciado x X signica que x no pertenece a X , o x no es un miembro o elemento de X . En general, usaremos letras minsculas tales como a, b, c, . . . , x, y, z, , , , . . . para indicar los miembros o elementos de un conjunto, y letras maysculas A, B,C, . . . , X ,Y, Z, A, B, C, . . . ,A, B, C, etc., para designar conjuntos. Si los elementos de un conjunto son a su vez conjuntos (los cuales sern representados por letras maysculas), entonces dicho conjunto ser llamado una familia, o una coleccin de conjuntos e indicado con una letra tipo gtica A, B, C, etc., o una letra de tipo caligrafa A, B, C, etc. Si A y B son conjuntos, el enunciado A B, que se lee: A es un subconjunto de B, o tambin A est contenido o A es una parte de B, signica que todo elemento de A pertenece al conjunto B aunque pueden existir elementos de B que no estn en A. Por otro lado, decir que A no es un subconjunto de B, en notacin A B, signica que existe al menos un elemento de A que no es miembro de B. Como suele suceder en muchas partes de las matemticas, existen convenciones que resultan ser muy adecuadas. Por ejemplo, en la Teora de Conjuntos, postular la existencia de un conjunto que no posee elementos es una de ellas. A tal / conjunto se le llama el conjunto vaco y denotado por 0. El conjunto vaco est caracterizado por la siguiente / propiedad: x 0 nunca se satisface, cualquiera que sea x. Es importante destacar que, una vez admitido la / existencia del conjunto vaco, siempre se cumple que 0 X , para cualquier conjunto X . En efecto, suponer / que 0 X signica que existe algn x tal que x X , pero como x nunca se satisface, entonces ello / obliga a sentenciar que 0 X . De esto ltimo se deduce que el conjunto vaco es nico. Un mtodo usual de obtener subconjuntos de un conjunto dado es el siguiente: se parte de un conjunto X y se considera una propiedad P referente a los elementos de X la cual puede o no ser cierta para algunos o todos los miembros de X . En este sentido, cualquier conjunto de la forma A = {x X : P(x) es cierta} dene un subconjunto de X . Dado un conjunto X , indicaremos por P(X ) el conjunto de las partes de X , es decir, P(X ) = A: AX .

Observe que A P(X ) si, y slo si, A X . Diremos que A es igual a B, en notacin, A = B, si ocurre que A B y B A. Si la relacin A = B no se cumple, entonces diremos que A y B son distintos y lo denotaremos por A = B. La notacin A B signica que A B pero A = B, que se expresa diciendo que A es un subconjunto propio de B. La diferencia A \ B es el conjunto formado por todos los elementos de A que no son miembros de B, esto es, A\B = x:xA y xB .

En el caso particular en que X es un conjunto jo y A X , entonces a X \ A se le llama el complemento de A (relativo a X ) y tambin denotado por Ac .

Sec. 1.1 Conjuntos y funciones

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Dados los conjuntos A y B, la unin e interseccin de ambos conjuntos denotados por A B y A B, respectivamente, se denen como: AB = x: xA xB y AB = x: xA y xB .

En el caso particular en que A B = , entonces se dice que A y B son conjuntos disjuntos. Similarmente, el producto cartesiano A B se dene por AB = (a, b) : a A, b B .

Puesto que no existe ninguna limitacin para restringirnos a dos conjuntos en las deniciones de unin e interseccin, podemos considerar uniones e intersecciones arbitrarias de conjuntos. Sea entonces A una familia de conjuntos, denimos la unin e interseccin, respectivamente, de dicha familia como A =AA

x : x A para algn A A

yAA

A =

x : x A para todo A A ,

Con frecuencia, escribiremos A y A como sinnimos para la unin e interseccin de la familia A, respectivamente. Si A es una familia numerable, digamos A = {A1 , A2 , . . .}, entonces, en lugar de escribir AA A, usaremos la notacin n=1 An . Lo mismo se hace con la interseccin, es decir, escribiremos n=1 An en lugar de AA A. Como antes, si ocurre que A B = para cada par de conjuntos A, B en A, entonces diremos que A es una familia disjunta o que los conjuntos de A son disjuntos dos a dos. Suponga ahora que X es un conjunto no vaco y que A es una familia de subconjuntos de X . Si ocurre que X = AA A, entonces diremos que A es un cubrimiento de X . Si la familia A es disjunta y, adems, es un cubrimiento de X , entonces se dice que A es una particin de X . Algunas propiedades importantes sobre familias de conjuntos y que se usan frecuentemente son las siguientes. Sean A, B familias de conjuntos. Entonces se verica que: A BBB

=(A,B)AB

AA

AB

y A BBB

=(A,B)AB

AA

AB .

Tambin se cumplen las Leyes de Morgan: si X es un conjunto no vaco y A P(X ), entonces X\ A =AA AA

X \A

y

X\

A =AA AA

X \A .

Algunas de las deniciones formuladas anteriormente constituyen una parte de los denominados Axiomas de la Teora de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel, formulados por Ernst Zermelo y Adolf Fraenkel, habitualmente referidos como ZF y que evitan la famosa paradoja de Bertrand Russell. Los dems axiomas o propiedades en ZF no formuladas explcitamente en estas notas se pueden consultar, por ejemplo, en [240], o [230]. Conamos en que el lector ha tenido, o posee, cierta experiencia con el sistema de los nmeros reales R as como tambin con el sistema de los nmeros complejos C por lo que no le dedicaremos tiempo a su

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construccin. En particular, asumiremos familiaridad con Z, el conjunto de todos los nmeros enteros, con N, el conjunto de todos los nmeros enteros positivos, con Q, el conjunto de todos los nmeros racionales y su complemento, I = R \ Q, el conjunto de todos los nmeros irracionales. El smbolo K denotar indistintamente R o bien C, mientras que N0 = N {0}. Recordemos que un conjunto A de R se dice acotado superiormente (respectivamente, inferiormente) si existe una constante M tal que x M (respectivamente, M x) para todo x A. Diremos que A es acotado si l es acotado tanto superiormente as como inferiormente. Tambin se dice que A tiene o posee un supremo nito a0 R, que escribiremos como, a0 = sup A, si las siguientes dos condiciones se cumplen: (1) x a0 para todo x A, y (2) si a R es tal que x a para todo x A, entonces a0 a. La condicin (2) puede ser reemplazada por (2 ) Dado > 0, existe x A tal que a0 < x. El nmo, nf A, se dene de manera similar. La siguiente propiedad fundamental, conocida con el nombre de Axioma del Supremo, se cumple: cualquier conjunto A de R acotado superiormente (inferiormente) posee un supremo (nmo). Si A no est acotado superiormente (inferiormente), escribiremos sup A = + (nf A = ). Funciones . Sean X ,Y conjuntos no vacos. Una relacin de X en Y es un subconjunto R de X Y . Cualquier elemento (x, y) de R se indicar por el smbolo xRy. Si X = Y , entonces a la relacin R se le llama relacin binaria. Recordemos que una relacin de equivalencia sobre un conjunto X es una relacin binaria R sobre dicho conjunto que es reexiva, simtrica (x, y) R (y, x) R, para todo x, y X y transitiva. Cuando (x, y) R, escribiremos (x y) mod R y diremos que x y y son R-equivalentes o equivalentes mdulo R. Cuando no exista ninguna posibilidad de un mal entendido, escribiremos x y en lugar de (x y) mod R. La clase de equivalencia de x mdulo R es el conjunto Cx = {y X : (x y) mod R}. Puesto que x Cx para todo x X , resulta que las clases de equivalencias forman una particin de X , es decir, X = xX Cx y, cualesquiera sean x, y X , se verica que Cx = Cy o bien Cx Cy = . Al conjunto X /R = Cx : x X ,

se le llama el conjunto cociente de X por la relacin R. Observe que si x, y Cz , entonces Cx = Cy = Cz , esto es, todos los elementos de una misma clase dan origen a clases idnticas. La funcin Q : X X /R denida por Q(x) = Cx para cada x X , se le llama la aplicacin cociente o cannica. Q es claramente sobreyectiva. Una funcin, o aplicacin, de X en Y es una relacin f de X en Y con la propiedad adicional de que si (x, y) y (x, z) estn en la relacin, entonces y = z, es decir, para cada x X existe exactamente uno, y slo un elemento y Y , al que denotaremos por f (x), tal que (x, f (x)) f . Siguiendo la tradicin, a la funcin f la expresaremos, en lo sucesivo, con el smbolo f : X Y . Al conjunto X se le llama el dominio de la funcin f , mientras que a Y se le llama el contradominio de f . Dos funciones f : X Y y g : X Y son iguales si X = X , Y = Y y f (x) = g(x) para todo x X . El conjunto Gra( f ) = (x, f (x)) X Y : x X es llamado el grco de la aplicacin f : X Y . Si f : X Y es una funcin y A X , entonces la imagen de A por f , es el conjunto f (A) = f (x) Y : x A .

Sec. 1.1 Conjuntos y funciones Por otro lado, si B Y , la imagen inversa de B por f , es el conjunto f 1 (B) = Es fcil ver que si A P(X ), entonces fAA

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x X : f (x) B .

A

=AA

f (A),

fAA

A

f (A).AA

Observe que la inclusin anterior puede ser propia. En efecto, si existen elementos x, y X con x = y pero satisfaciendo f (x) = f (y), entonces tomando A = {x} y B = {y}, se tiene que AB = , de donde f (AB) = , mientras que f (A) f (B) = { f (x)}. Para la imagen inversa se cumple que si B P(Y ), entonces f 1BB

B

=BB

f 1 (B)

y

f 1BB

B

=BB

f 1 (B).

Si B Y , tambin es vlida la siguiente igualdad: f 1 Y \ B = X \ f 1 (B). Ms aun, dado A X , se tiene que A f 1 ( f (A)), mientras que si B Y , entonces f ( f 1 (B)) B. Una funcin f : X Y se llama inyectiva si dados x, y X arbitrarios, f (x) = f (y) implica que x = y. Otros sinnimos de la palabra inyectiva que comnmente se usan son biunvoca y uno a uno. La funcin f se dice que es sobreyectiva, o simplemente sobre, si Y = f (X ), es decir, si para cada y Y existe un x X tal que y = f (x). Si f es tanto inyectiva as como tambin sobreyectiva, entonces la llamaremos biyectiva. Observe que, para que ocurra la igualdad f 1 ( f (A)) = A cualquiera que sea A X , es necesario y suciente que f sea inyectiva. Similarmente, f es sobreyectiva si, y slo si, f ( f 1 (B)) = B para todo B Y . Si f : X Y y g : Y Z son funciones, entonces podemos denir la funcin compuesta g f : X Z como (g f )(x) = g( f (x)) para todo x X . Sea A un subconjunto de X . La aplicacin i : A X , denida por i(x) = x para todo x A, se llama la aplicacin inclusin de A en X . En el caso particular cuando A = X , la aplicacin inclusin de X en X , se llama la funcin identidad y ser indicada por Id : X X . Cada funcin biyectiva f : A B da origen a otra funcin biyectiva, llamada la inversa de f y denotada por f 1 : B A tal que f f 1 = f 1 f = Id. Sean f : X Y una funcin y A un subconjunto no vaco de X . La restriccin de f al subconjunto A es la aplicacin f |A : A Y denida por ( f |A)(x) = f (x) para todo x A. Ntese que f |A = f i, donde i : A X es la inclusin de A en X . Por otro lado, dada una funcin g : A Y , toda aplicacin f : X Y tal que g = f |A se llama una extensin de g al conjunto X . La funcin A : X R denida por A (x) = se le denomina la funcin caracterstica de A. Familias indexadas, productos cartesianos . Sea J un conjunto no vaco cuyos elementos llamaremos ndices. Dado un conjunto arbitrario X , cualquier funcin x() : J X es llamada una familia de elementos de X (con ndices en J si es necesario 1 0 si x A, si x A

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enfatizar el conjunto de ndices). La imagen de cada elemento J por medio de x() se denotar por x y la funcin x() se indicar por el smbolo (x )J . Cuando J = N, entonces cualquier familia de elementos de X con ndices en N se llamar una sucesin en X y se denotar por (xn ) , (yn ) , (zn ) , etc. n=1 n=1 n=1 Suponga ahora que = A P(X ) y que x() : J A es una aplicacin sobreyectiva. Por denicin, para cada conjunto A A existe un ndice J tal que x() = A al que denotaremos por A . En este caso, la coleccin A se identica con la familia de conjuntos {A : J}, lo que frecuentemente escribiremos como A = (A )J . En este caso escribiremos J A en lugar de AA A y lo mismo para la interseccin. Si J = N, usaremos la notacin A = (An ) a la que llamaremos una sucesin de conjuntos. Una sucesin de n=1 conjuntos (An ) se dice que es creciente (respectivamente, decreciente) si An An+1 (respectivamente, n=1 An An+1 ) para todo n N. Si las inclusiones son todas estrictas, entonces diremos que la sucesin es estrictamente creciente (respectivamente, estrictamente decreciente). Sea (A )J una familia cualquier de conjuntos. Se dene el producto cartesiano de esta familia como el conjunto de todas las funciones x que tienen dominio J tal que x() = x A para cada J, es to es,J

A

=

x() : J

J

A x() = x A para cada J .

Cada funcin x J A es llamada una funcin de eleccin para la familia (A )J . Si ocurre que todos los A son iguales, digamos, A = A para todo J, entonces el producto cartesiano J A se denotar brevemente por AJ . En el caso particular en que J = {1, . . . , n} para algn n N, escribiremos An en lugar de AJ . Similarmente, si J = N, pondremos AN como un sinnimo de AJ . En general, escribiremos An como n=1 sinnimo de nN An . El conjunto Kn es llamado el espacio Euclideano de dimensin n (o n-dimensional) y si X es un conjunto arbitrario, entonces KX denota el conjunto de todas las funciones f : X R. De inters es el producto cartesiano J A donde A = {0, 1} para todo J. A ste producto lo denotaremos por 2N , el cual consiste de todas las sucesiones de 0s y 1 s.

1.2. El Axioma de Eleccin, el Lema de Zorn, el Principio del Buen-Orden, Ordinales, Cardinales y la Hiptesis del Continuo El Axioma de Eleccin . l Axioma de Eleccin es un axioma de la teora de conjuntos que postula la existencia de ciertos obE jetos sin dar ninguna indicacin de cmo obtenerlos. Desde su aparicin ha resultado ser un axioma muy controversial. Su aceptacin, en trminos generales, se sustenta sobre la creencia de que nuestra percepcin sobre los conjuntos nitos se puede ampliar a los conjuntos innitos, pero ms all de eso, el principal argumento para su aceptacin es que dicho axioma es tremendamente til. Muchos resultados importantes y fundamentales en Anlisis Real, Topologa, Anlisis Funcional, Algebra, etc. se pueden demostrar si se acepta, sin limitaciones, el Axioma de Eleccin. Una muestra de ello se puede ver, por ejemplo, en el libro de H. Herrlich: Axiom of Choice [215]. Entre las numerosas formas equivalentes del Axioma de Eleccin que existen, tal vez una de las ms populares sea el siguiente: Axioma de Eleccin (AC). Si (X )J es una familia de conjuntos tal que X es no vaco para todo J, entonces existe al menos una funcin de eleccin para la familia (X )J . Lo anterior se puede expresar diciendo que: dada cualquier coleccin (X )J de conjuntos no vacos, el producto cartesiano J A es no vaco, lo que cotidianamente se traduce en armar que, dada cualquier

Sec. 1.2 El Axioma de Eleccin, el Lema de Zorn, el Principio del Buen-Orden, Ordinales, Cardinales y la Hiptesis del Continuo 7 coleccin (X )J de conjuntos no vacos uno puede elegir, de cada X , un nico punto x para formar un nuevo conjunto. Es un hecho ya establecido que el Axioma de Eleccin es independiente de los axiomas de la Teora de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) en el sentido de que ni la verdad, ni la falsedad de dicho axioma puede ser demostrado en ZF. Aadindole a la Teora de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel el Axioma de Eleccin se obtiene una Teora de Conjuntos mucho ms amplia y poderosa denominada brevemente ZFC. El uso del Axioma de Eleccin muchas veces se oculta y, aunque sea obvio para el experto, puede no ser percibido por el principiante. De hecho, grandes matemticos tales como Borel y Lebesgue que eran acrrimos detractores de tal axioma, lo usaron inconscientemente en la prueba de algunos teoremas. Por ejemplo, Lebesgue lo utiliz para demostrar que uniones numerables de conjuntos medibles son medibles, mientras que Borel se vali de l para demostrar la existencia de funciones continuas f : R R las cuales no pueden ser representadas como series dobles de polinomios. El Lema de Zorn . ntre las numerosas y variadas formas equivalentes del Axioma de Eleccin, se encuentra el as llamado E Lema de Zorn, un resultado formulado por M. Zorn en 1935 [456] y que resulta ser extremadamente til en varias ramas del quehacer matemtico. Por ejemplo, el Lema de Zorn es fundamental para demostrar resultados importantes tales como: el Teorema de Hahn-Banach, el Teorema de Krein-Milman, el Teorema del Ultraltro, la prueba de la existencia de una base de Hamel en cualquier espacio vectorial no trivial, etc. Recordemos que una relacin binaria sobre un conjunto X no es otra cosa que cualquier subconjunto R de X X . La relacin binaria R se dice que es un orden parcial si ella es (b) antisimtrica: si (x, y) y (y, x) estn en R, entonces x = y, Escribiremos para denotar un orden parcial sobre X . Un conjunto X equipado con un orden parcial es llamado un conjunto parcialmente ordenado y denotado por (X , ). Dos elementos x, y en un conjunto parcialmente ordenado se dicen que son comparables si x y o y x. Un conjunto parcialmente ordenado en el cual cualquier par de elementos son comparables es llamado un conjunto totalmente (o linealmente) ordenado y a dicho orden se le denomina un orden total o lineal. Una cadena en un conjunto parcialmente ordenado es un subconjunto que est totalmente ordenado. En un conjunto parcialmente ordenado (X , ) la relacin x y signica que x y pero x = y. Con frecuencia escribiremos y x como sinnimo de x y. Sea (X , ) un conjunto parcialmente ordenado y sea A X . Un elemento x X es una cota superior de A si a x para todo a A. Si x0 es una cota superior de A y si cualquier otra cota superior x de A satisface x0 x, entonces se dice que x0 es el supremo de A. Un elemento x0 X se dice que es el mximo o el elemento ms grande en X si x x0 para todo x X . Por otro lado, un elemento x0 X se dice que es un elemento maximal en X si no existe y X para el cual x0 y, es decir, si el nico elemento x X que satisface x0 x es el propio x0 . Observe que un elemento maximal no tiene porque ser ms el grande de todos: ms aun, lo que no le est permitido a un elemento maximal es ser menor que cualquier otro elemento del conjunto. Por ejemplo, sea X = {x R2 : x 2 1}, es decir, X es la bola cerrada unitaria con la norma euclideana. Sobre X dena el siguiente orden parcial : si x, y X , x y si, y slo si, x Iy , donde Iy es el segmento radial que va desde el origen al punto y. Es claro que cualquier par de vectores x, y X no son comparables si ellos estn sobre segmentos radiales distintos. De esto se sigue que cualquier vector v {x R2 : x 2 = 1} es maximal pero no es un mximo. Las deniciones de nmo, mnimo y minimal se denen de modo enteramente similar. La demostracin del prximo resultado se puede ver, por ejemplo, en [215]. (c) transitiva: si (x, y) y (y, z) estn en R, entonces (x, z) R. (a) reexiva: (x, x) R para todo x X ,

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Lema 1.2.1 (Lema de Zorn). Sea (X , ) un espacio parcialmente ordenado. Si cualquier cadena en X posee una cota superior, entonces X posee un elemento maximal. Con mucha frecuencia, el Lema de Zorn se utiliza cuando F es una familia de subconjuntos de un conjunto dado X ordenados por la relacin de inclusin con la propiedad de que cualquier cadena C F, su unin C, tambin est en F. (Observe que C es una cota superior para C con respecto a ). En este caso particular, el Lema de Zorn se expresa del modo siguiente: Corolario 1.2.1 (Principio Maximal de Hausdorff). Sea F una familia de subconjuntos no vacos de un conjunto no vaco X . Suponga que los elementos de F estn ordenados por la relacin de inclusin y que para cualquier cadena C F, se cumpla que su unin C tambin est en F. Entonces F posee un elemento maximal. Principio del Buen-Orden . ntre los conjuntos innitos, el conjunto de los nmeros naturales con su orden natural (N, ) es un conE junto que disfruta del denominado principio del buen-orden, el cual establece que cualquier subconjunto no vaco de N contiene un primer elemento, es decir, el elemento ms pequeo (o mnimo) del subconjunto. Si pudiramos extender dicho principio a cualquier conjunto no vaco con un orden establecido abrigaramos la esperanza de poder trabajar con cualquier conjunto bien ordenado del mismo modo conque trabajamos con N y, por supuesto, eso nos conducira a extender nuestra manera tradicional de contar ms all de los naturales y, por supuesto, dispondramos de una extensin del proceso de induccin matemtica. Por tales motivos, el principio del buen orden es una propiedad que pudiramos pensar como altamente deseada. Sea (X , ) un conjunto parcialmente ordenado. Diremos que es un buen-orden en X o que X est bien-ordenado por si cualquier subconjunto no vaco A de X posee un primer elemento, es decir, un elemento x A es el primer elemento o el elemento mnimo en A si x a para todo a A. Observe que un buen-orden sobre un conjunto X automticamente lo convierte en un conjunto totalmente ordenado. En efecto, si x, y X , entonces el conjunto A = {x, y} posee, por ser un buen orden sobre X , un primer elemento, es decir, o bien x y, o bien y x. Por esta razn uno puede suponer que un conjunto bien ordenado es un par (X , ), donde X un conjunto totalmente ordenado y es un buen-orden en X . Si (X , ) y (X , ) son conjuntos bien-ordenados, entonces una funcin f : X X se dice que es un orden-isomorsmo si f es biyectiva y f (x) f (y) siempre que x y. En este caso diremos que X y Y son orden-isomorfos o, simplemente, isomorfos. El orden lexicogrco es un ejemplo de un buen-orden en el producto cartesiano de dos conjuntos bienordenados. Recordemos su denicin. Sean (A, A ) y (B, B ) dos conjuntos parcialmente ordenados. El orden lexicogrco, tambin conocido como el orden del diccionario, es una relacin de orden denida sobre el producto cartesiano A B del modo siguiente: para todo (a, b), (a , b ) A B, (a, b) (a , b ) aA

a

o bien

(a = a b

B

b )

Ntese que la regla que dene a es la misma regla que se utiliza para ordenar las palabras en cualquier diccionario. De all su nombre. Suponga ahora que (A, A ) y (B, B ) son dos conjuntos bien-ordenados y que el producto cartesiano A B est provisto del orden lexicogrco . Sea X un subconjunto no vaco de A B. Observe que el conjunto X1 = {a A : (a, b) X } por ser no vaco en A, posee un primer elemento, llammoslo a0 (recuerde que estamos asumiendo que (A, A ) es un conjunto bien-ordenado). De modo enteramente similar, el conjunto X2 = {b B : (a0 , b) X } posee, en B, un primer elemento, digamos b0 . Resulta claro, por la denicin del

Sec. 1.2 El Axioma de Eleccin, el Lema de Zorn, el Principio del Buen-Orden, Ordinales, Cardinales y la Hiptesis del Continuo 9 orden lexicogrco, que (a0 , b0 ) es el primer elemento de X y, por lo tanto, A B con el orden lexicogrco es un conjunto bien-ordenado. Es fcil ver que si n N y si (Ai , i ) es un conjunto bien-ordenado para i = 1, . . . , n, entonces uno puede, recursivamente, denir el orden lexicogrco en el producto cartesiano i=1 Ai y entonces hacer de ste un conjunto bien-ordenado. Sea (X , ) un conjunto parcialmente ordenado. Para cada x X , dena S(x) = {y X : y x}. Al conjunto S(x) se le llama un segmento inicial determinado por x. Teorema 1.2.1 (Principio del Buen-Orden). Cualquier conjunto no vaco puede ser bien-ordenado. Prueba. Sea X un conjunto no vaco y sea F = (A,A)

: A X y

A

es un buen-orden sobre A .

Puesto que cualquier conjunto nito est bien ordenado por cualquier orden lineal o total, resulta que F = . Sobre F se dene el orden parcial declarando que: (A, A ) (B, B ) si (1) A B, (2)A

y

B

coinciden sobre A y,B

Sea ahora C una cadena en F y denamos C = {A : (A, A ) C}. Sobre C se dene el orden C del modo siguiente: x C y si, y slo, si existe un (A, A ) C tal que x, y A, en cuyo caso, x A y. Es fcil ver que el ordenamiento C est bien denido y es un buen orden sobre C. Por esto, (C, C ) F y es claro que (C, C ) es una cota superior para C. Por consiguiente, por el Lema de Zorn, el conjunto F posee un elemento maximal, digamos, (A0 , ). Armamos que A0 = X . En efecto, suponga por un momento que A0 = X y sea x cualquier elemento en X \ A0 . Ordene el conjunto B0 = A0 {x} con el mismo orden que posee A0 estipulando, adems, que a x para todo a A0 . Entonces (B0 , ) es un elemento de F tal que (A0 , ) (B0 , ), lo que evidentemente contradice la maximalidad de (A0 , ). Por esto A0 = X y es un buen-orden sobre X . Se puede demostrar que el Axioma de Eleccin, el Lema de Zorn y el Principio del Buen-Orden son todos equivalente (vase, por ejemplo, [240]). Nmeros ordinales . ientras que el cardinal de un conjunto mide la cantidad de elementos que l posee, el ordinal de un M conjunto bien-ordenado mide su longitud. Siguiendo a John von Neumann diremos que: Denicin 1.2.1. Un nmero ordinal es un conjunto bien-ordenado con la propiedad de que S() = , para todo . Esta denicin es equivalente a armar que X es transitivo, es decir, si a x X , entonces a X y, adems, que X est totalmente ordenado por la relacin . Con esta denicin podemos escribir, con el orden usual, 0 = , 1 = {0}, 2 = {0, 1}, . . . , n + 1 = {0, 1, 2, . . . , n}, . . . , es decir, cada nmero natural es un nmero ordinal nito. De conformidad con la notacin estndar denotaremos por 0 el conjunto bienordenado de los nmeros naturales N0 . En general, si es un ordinal, entonces + 1 := {} tambin es

(3) si x B \ A, entonces a

x para todo a A.

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un ordinal llamado el sucesor inmediato de . En lo que sigue escribiremos + = + 1. Similarmente, se puede demostrar de que si A es un conjunto de ordinales, entonces A es igualmente un ordinal. Un ordinal sin un sucesor inmediato es llamado un ordinal lmite, es decir, es un ordinal lmite si = . Usando la denicin de sucesor inmediato, podemos continuar generando ordinales numerables del modo siguiente: + = 0 + 1, ( 0 + 1)+ = 0 + 2, 0 En esta escala, despus de 0 , 0 +1, 0 +2, . . ., viene 0 + 0 = 0 2. Similarmente, despus de 0 2, 0 2+ 1, 0 2 + 2, . . . viene 0 2 + 0 = 0 3. Si se contina con este mecanismo indenidamente se logra construir una gigantesca cantidad de ordinales cada uno de los cuales es, por denicin, un ordinal numerable: 0 , . . . , 0 2, . . . 0 3 . . . , 2 , . . . , 2 + 1, . . . 2 + 2, . . . , 2 + 0 , . . . , 2 + 0 + 1, . . . , 0 0 0 0 0 2 + 0 + 2, . . . , 2 + 0 2, . . . , 3 , . . . , 0 , . . . , 0 0 , . . . 0 0 0 0 Es importante destacar que ninguno de los ordinales: 0 , 0 2, . . . , 2 , . . . , 0 , . . . posee un predecesor in0 0 mediato. Cada uno de ellos es, por supuesto, un ordinal lmite. Se puede demostrar que todos los nmeros ordinales isomrcos entre s, son iguales. Esto permite que cualquier par de nmeros ordinales puedan ser comparados, esto es, si y son nmeros ordinales y si denimos si, y slo si, = , resulta que para cualesquiera dos nmeros ordinales y , se cumplir una, y slo una, de las siguiente tres posibilidades: < , = < . A la relacin de orden la llamaremos el orden cannico de los nmeros ordinales. Es un hecho ya establecido que: (a) Si A es cualquier conjunto de nmeros ordinales, entonces (A, ) est bien-ordenado. (b) Cualquier conjunto bien-ordenado es isomrco a nico nmero ordinal. Sea un nmero ordinal tal que 0 < y sea X un conjunto arbitrario. Similar a la denicin de sucesin en X , por una sucesin transnita de tipo en X entenderemos cualquier aplicacin : S() X . El elemento de X asignado al nmero ordinal < es denotado por x en lugar de (), y la sucesin transnita en s misma es denotada por x1 , x2 , . . . , x , . . . , < , o brevemente por (x ) 0 tal que U (x, r) A. El conjunto de todos los puntos interiores de A ser denotado por int(A) y llamado el interior de A. Es fcil ver que int(A) es un conjunto abierto y que si U es un subconjunto abierto de A, entonces U int(A) A, es decir, int(A) es el conjunto abierto ms grande contenido en A. En particular, A es abierto si, y slo si, A = int(A). La clausura de A, que indicaremos con el smbolo A, es el conjunto cerrado ms pequeo conteniendo a A, esto es, si F es un subconjunto cerrado de X con A F, entonces A A F. Se sigue que A es cerrado si, y slo si, A = A. Un subconjunto A de X es denso en X si A = X . Un punto x X es un llamado un punto frontera de A si para cualquier r > 0, la bola abierta U (x, r) contiene puntos tanto de A as como de X \ A. El conjunto de todos los puntos frontera de A lo escribiremos por Fr(A) y lo nombraremos la frontera o el borde de A. Si x X y A es un subconjunto no vaco de X , la distancia entre x y A se dene como dist(x, A) := nf d(x, a) : a A . Se puede comprobar, sin mucha dicultad, que (a) dist(x, A) = dist(x, A), (b) dist(x, A) = 0 si, y slo si, x A, y (c) dist(x, A) dist(y, A) d(x, y) cualesquiera sean x, y X . B(x, r) = y X : d(x, y) r

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Diremos que A es acotado en X , si existe una constante M 0 tal que d(x, y) M para todo x, y A. Si A es acotado en X , el dimetro de A se dene mediante el nmero diam(A) := sup d(a, b) : a, b A . Pondremos diam(A) = si el conjunto A no sea acotado en X . Si (xn ) es una sucesin en X y x0 X , diremos que (xn ) converge a x0 , en notacin lmn xn = x0 n=1 n=1 o, brevemente, xn x0 , si para cada > 0, existe un N N tal que d(xn , x0 ) < para todo n N. Es fcil ver que si F es un subconjunto de X , x F si, y slo si, existe una sucesin (xn ) en F tal que xn x0 . En n=1 particular, F es cerrado si, y slo si, siempre que (xn ) es una sucesin en F que converge a algn x0 X , n=1 entonces x0 F. Una sucesin (xn ) en X se llama sucesin de Cauchy si, para cada > 0, existe un N N tal que n=1 d(xn , xm ) < para todo m, n N. Un hecho importante que hay que destacar referente a las sucesiones de Cauchy es que si (xn ) es de Cauchy en X , entonces se puede determinar la existencia una subsucesin n=1 (nk ) de enteros positivos tal que d(xnk , xnk+1 ) < 2k para todo k N. Toda sucesin convergente es de k=1 Cauchy, sin embargo, el recproco no es, en general, vlido. Si una sucesin de Cauchy en X , digamos(xn ) , n=1 posee alguna subsucesin convergente a algn punto x X , entonces la sucesin (xn ) es en s misma n=1 convergente y converge, adems, al punto x. Un espacio mtrico en donde toda sucesin de Cauchy converge a un elemento de dicho espacio, es llamado un espacio mtrico completo. Cualquier espacio mtrico discreto es completo, de hecho, todos los espacios mtricos denidos en los ejemplos anteriores son completos, salvo, por supuesto, el del producto cartesiano. En este caso, si (Xn , dn ) es una familia numerable de espacios mtricos, entonces el producto cartesiano Xn , d n=1 n=1 es completo si, y slo si, cada (Xn , dn ) es completo. Un espacio mtrico (X , d) se llama separable si contiene un subconjunto denso numerable. Es fcil ver que un espacio mtrico (X , d) es separable si, y slo si, X es 2 numerable, lo cual signica que X posee una base numerable, es decir, existe una coleccin numerable C de subconjuntos abiertos de X tal que todo abierto no vaco U de X se puede expresar como una unin de elementos de C. Ms aun, si X es un espacio mtrico separable, entonces X es de Lindelf. Esto ltimo signica que, si C es cualquier cubrimiento abierto de X , es decir, una familia de subconjuntos abiertos no vacos de X tal X = V C V , entonces existe una subcoleccin numerable de C, digamos, C0 = Vn C : n N que tambin cubre a X , esto es, X = Vn . n=1 Sea (X , d) un espacio mtrico. Una sucesin ( fn ) de funciones a valores reales denidas sobre X se n=1 dice que converge uniformemente sobre X a una funcin f si para cada > 0, existe un entero N N con la propiedad de que si n N, entonces se cumple que fn (x) f (x) < para todo x X . El siguiente test para la convergencia uniforme de una serie dada debido a K. Weierstrass, es muy conveniente (vase, por ejemplo, [386], Theorem 7.10, p. 148). M-Test de Weierstrass. Sea ( fn ) una sucesin de funciones a valores reales denidas sobre un n=1 espacio mtrico (X , d). Suponga que, para cada n N, existe una constante no negativa Mn tal que fn (x) Mn para todo x X. Si Mn < , entonces la serie fn converge uniformemente sobre X . n=1 n=1

Sec. 1.4 Espacios topolgicos

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Si (X , d) es un espacio mtrico, denotaremos por (C(X ), d ) el subespacio vectorial de (B (X ), d ) formado por todas las funciones continuas y acotadas f : X R. En este caso, (C(X ), d ) resulta ser cerrado en (B (X ), d ) y, en consecuencia, un espacio mtrico completo, pues (B (X ), d ) es completo. Dado un espacio mtrico arbitrario (X , d), si dicho espacio no es completo, entonces siempre se puede construir un espacio mtrico completo X, d y una aplicacin con las siguientes propiedades: (a) la aplicacin : X X es una isometra de X sobre (X ) y (X ) es denso en X,

(b) el espacio mtrico completo X, d es, salvo isometra, nico; es decir, si X, d , es otra completacin de (X , d), entonces existe una nica isometra f : X X tal que f = . Al par X, d , lo llamaremos la completacin de (X , d). En la prctica, casi siempre ocultamos la isometra , identicamos a X con su imagen (X ) y simplemente decimos que X, d es la completacin de (X , d). En este caso, d coincide con d sobre X X .

1.4. Espacios topolgicosLos conjuntos abiertos son las piezas fundamentales en la teora de los espacios mtricos. La abstraccin de las propiedades bsicas de tales conjuntos conduce a la construccin de una nueva rea de estudio denominada los espacios topolgicos. Denicin 1.4.1. Sea X un conjunto no vaco y suponga que es una coleccin no vaca de subconjuntos de X . Diremos que es una topologa sobre X siempre que se cumplan las siguientes propiedades: (a) , X , (b) si {U : J} es cualquier coleccin de elementos de , entonces (c) si para cualquier k N, U1 , . . . ,Uk , entoncesk i=1 Ui

J U

.

, y

Los elementos de cualquier topologa son llamados conjuntos abiertos o simplemente -abiertos. Un espacio topolgico es un par (X , ), donde X es un conjunto no vaco y es una topologa sobre X . Con frecuencia hablaremos de un espacio topolgico X sin mencionar la topologa cuando sobre dicho conjunto no se ha denido explcitamente ninguna otra topologa. Cualquier subconjunto no vaco Y de un espacio topolgico (X , ) puede ser considerado en s mismo como un espacio topolgico deniendo la topologa Y sobre Y del modo siguiente: Y := U Y : U , esto es, G Y si, y slo si, existe U tal que G = U Y. En este caso se dice que (Y, Y ) es un subespacio de (X , ) y a Y se le llama la topologa inducida por . En un espacio topolgico (X , ), un subconjunto G de X se llama un entorno de un punto x X si existe un conjunto abierto U tal que x U G. El conjunto G se dice que es un entorno abierto de un punto x X si G, adems de ser un entorno de x, es un conjunto abierto. Se puede demostrar que un conjunto G X es abierto si, y slo si, para cada x G, existe un entorno abierto Vx de x tal que Vx G. Un subconjunto F de un espacio topolgico (X , ) se llama conjunto cerrado si X \ F es un conjunto abierto. Se sigue de las propiedades de los conjuntos abiertos que: (a) y X son conjuntos cerrados, (b) si {F : J} es cualquier coleccin de subconjuntos cerrados de X , entoncesJ F

es cerrado, y

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Cap. 1 El Teorema de Categora de Bairek i=1 Fi

Sea (X , ) un espacio topolgico y suponga que E es un subconjunto de X . La unin de todos los conjuntos abiertos contenidos en E es llamado el interior de E y denotado por int (E) o int(E). Observe que si E no contiene ningn subconjunto abierto, entonces int (E) = . En cualquier caso, int (E) es el conjunto abierto ms grande contenido en E. Escribiremos int(E) cuando no exista ninguna otra topologa explcitamente denida sobre X . Similarmente, la interseccin de todos los conjuntos cerrados que contienen a E es llamado la clausura de E y denotado por E . Observe que E siempre existe. En efecto, la familia F : F X : E F, F cerrado es no vaca pues X pertenece a F y gracias a que la interseccin arbitraria de conjuntos cerrados es cerrado, resulta que E = FF F. Como antes, si el contexto es claro, es decir, si no existe otra topologa denida sobre X , escribiremos simplemente E en lugar de E . Se tiene entonces que E es el conjunto cerrado ms pequeo que contiene a E. Cualquier punto x E es llamado un punto de clausura de E. Teorema 1.4.1. Sea (X , ) un espacio topolgico y suponga que E es un subconjunto de X . (1) x E si, y slo si, V E = para cualquier conjunto abierto V conteniendo a x. (2) Si E Y X , entonces E Prueba. Ejercicio. Para cada x X , denote por Nx la familia de todos los conjuntos abiertos que contienen a x. Segn el resultado anterior vemos que E = x X : V E = para todo V Nx . Un resultado que es particularmente til es el siguiente: Lema 1.4.1. Sean (X , ) un espacio topolgico y U un subconjunto abierto no vaco de X . Si A X es tal que U A = , entonces U A = . En particular, si U y V son abiertos no vacos y disjuntos, entonces U V = = U V . Prueba. Suponga que A es un subconjunto de X para el cual U A = , pero que U A = . Sea x U A. Entonces x U y x A. Ahora bien, como x A, del Teorema 1.4.1 se sigue que cualquier entorno abierto de x intersecta a A; en particular, siendo U un entorno abierto de x (pues x U ), tenemos que U A = , lo que constituye una agrante violacin a nuestra hiptesis. Observe que el Lema 1.4.1 tambin se puede reescribir en la forma: U A = si, y slo si, U A = .Y

(c) si para cualquier k N, F1 , . . . , Fk son conjuntos cerrados, entonces

tambin es cerrado.

= E Y .

Denicin 1.4.2. Sea (X , ) un espacio topolgico y sea D un subconjunto de X . Diremos que D es denso en X si D = X . Notemos que D = X signica que el conjunto cerrado ms pequeo que contiene a D es X . En general, si A y B son subconjuntos de X se dice que A es denso en B si B A. Esto ltimo tambin se puede expresar diciendo que si V es un abierto no vaco de X tal que V B = , entonces V A = . En efecto, si fuera V A = , entonces el Lema 1.4.1 nos dira que V A = y, en consecuencia, como B A, tendramos que V B = , lo cual es contradictorio. Una condicin equivalente a la denicin de densidad que no hace referencia a ningn punto del espacio y que usaremos frecuentemente es la siguiente:


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Teorema 1.4.2. Sean (X , ) un espacio topolgico Hausdorff y D un subconjunto de X . Entonces, D es denso en X si, y slo si, para cada subconjunto abierto no vaco U de X , U D = . Prueba. Supongamos, en primer lugar, que D es denso en X y sea U un subconjunto abierto no vaco de X . Si fuera U D = , entonces F := X \U sera un conjunto cerrado conteniendo a D y, en consecuencia, D F, lo que contradice la densidad de D, ya que F = X \U X . Recprocamente, suponga que U D = para cada subconjunto abierto no vaco U de X . Si fuera D = X , entonces U := X \D sera un conjunto abierto no vaco que satisface U D = . Esta contradiccin establece que D = X . Una primera consecuencia del resultado anterior es el siguiente. Corolario 1.4.1. Sea (X , ) un espacio topolgico de Hausdorff. Si D es denso en X y U es un subconjunto abierto no vaco de X , entonces U = U D. Prueba. Puesto que U D U , resulta que U D U . Para vericar la otra inclusin tomemos un x U arbitrario y suponga que V es un entorno abierto de x. En este caso, U V = y como D es denso en X , vemos que V (U D) = (U V ) D = . Esto prueba que x U D y, en consecuencia, U U D. Denicin 1.4.3. Sea (X , ) un espacio topolgico de Hausdorff. Una familia B es llamada una base de , si cada conjunto abierto no vaco es la unin de miembros de B. La familia B tambin es llamada una base para X . Las familias B que pueden servir como bases para X se caracterizan del modo siguiente: Teorema 1.4.3. Sean (X , ) un espacio topolgico y B . Son equivalentes:

(1) B es una base para X .

(2) Para cada conjunto abierto no vaco G de X y cada x G, existe un V B tal que x V G.

Prueba. (1) (2) Sea x G. Puesto que B es una base para X , existe una subfamilia {V B : J} de B tal que G = J V . Entonces existe al menos un V B tal que x V G. (2) (1) Sea G . Para cada x G, encuentre un Vx B con x Vx G. Entonces G = abierto, lo cual prueba que B es una base para X .xG Vx

es un

Adems del resultado anterior, existe un modo ms prctico de describir los conjuntos abiertos de un espacio topolgico. Corolario 1.4.2. Sean (X , ) un espacio topolgico y B una base para X . Un subconjunto G de X es abierto si, y slo si, para cada x G, existe un V B tal que x V G. Prueba. Si G es abierto, entonces la condicin sigue del Teorema 1.4.3. Recprocamente, si la condicin se cumple, entonces (como en la prueba del Teorema 1.4.3) encontramos que G = xG Vx donde cada Vx B y, por consiguiente, G es abierto. Sobre cualquier conjunto no vaco siempre existen dos topologas extremas: la topologa discreta TD := P(X ), y la topologa trivial o indiscreta TT := {, X }. Todo conjunto no vaco X provisto de la topologa discreta (respectivamente, de la topologa trivial) ser llamado un espacio topolgico discreto (respectivamente, un espacio topolgico trivial). Cualquier otra topologa sobre X , digamos , se encuentra entre ellas dos, es decir, TT TD . En general, si G es una familia arbitraria de topologas sobre un

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conjunto no vaco X , entonces JG J tambin es una topologa sobre X . De esto se sigue que, para cualquier coleccin de subconjuntos A de un conjunto X , siempre existe una topologa A, llamada la topologa generada por A, con las siguientes propiedades: (1) A A, y (2) A es la topologa ms pequea sobre X que contiene a A, es decir, si es cualquier topologa sobre X con A , entonces . En efecto, la familia GA formada por todas las topologas sobre X que contienen a A es no vaca pues TD GA. La topologa A = JGA J cumple con los dos requerimientos anteriores. Sean 1 y 2 dos topologas sobre un mismo conjunto X . Diremos que 2 es ms na que 1 si 1 2 , es decir, si 2 contiene ms abiertos que 1 . En este caso tambin se dice que 1 es menos na que 2 . Si (X , d) es un espacio mtrico, entonces la coleccin d formada por todas las bolas abiertas U (x, r) con x X y r > 0 constituye una topologa sobre X denominada la topologa mtrica. Un espacio topolgico (X , ) se dice que es metrizable si existe una mtrica d sobre X tal que la topologa mtrica d coincide con la topologa original . Denicin 1.4.4. Un espacio topolgico (X , ) se llama un espacio de Hausdorff si cualesquiera dos puntos distintos en X poseen entornos abiertos disjuntos, es decir, si x = y, entonces existen entornos abiertos Vx y Vy de x e y respectivamente tal que Vx Vy = . La propiedad de ser Hausdorff implica que para cada x en un espacio de Hausdorff, el conjunto {x} es cerrado. En efecto, sea y X \ {x}. Entonces y = x de donde existen entornos abiertos Vy y Vx de y y x respectivamente tal que Vy Vx = . Esto prueba que cada y X \ {x} posee un entorno abierto Vy contenido en X \ {x}, es decir, X \ {x} = yX\{x} Vy es abierto y, por lo tanto, {x} es cerrado. Denicin 1.4.5. Sea (X , ) un espacio topolgico de Hausdorff (X , ). Diremos que X es regular si, dado cualquier conjunto cerrado F X y cualquier punto x F, existen conjuntos abiertos disjuntos G1 y G2 tales que x G1 y F G2 . Similarmente, diremos que X es normal si, para cualesquiera par de subconjuntos cerrados y disjuntos F1 y F2 , existen subconjuntos abiertos y disjuntos G1 y G2 tales que F1 G1 y F2 G2 . Es claro que todo espacio topolgico normal es regular. Tambin es fcil establecer que todos los espacios mtricos son espacios de Hausdorff. De hecho, cualquier espacio mtrico es normal y, por consiguiente, regular. Una de las nociones topolgicas importantes y que se usa frecuentemente es la de compacidad. Sean (X , ) un espacio topolgico y K un subconjunto de X . Una coleccin V = V : I de subconjuntos de X se dice que es un cubrimiento abierto de K si cada V es un conjunto abierto y K I V . Si J es un subconjunto de I y si la subcoleccin V0 = V : J cubre a K, entonces decimos que V0 es un subcubrimiento de K. Diremos que V posee un subcubrimiento nito de K si existen V1 , . . . ,Vn en V tal que K n Vk . k=1 Denicin 1.4.6. Un subconjunto K de un espacio topolgico de Hausdorff (X , ) se dice que es compacto si cualquier cubrimiento abierto V = V : I de K se puede reducir a un subcubrimiento nito, es decir, existen V1 , . . . ,Vn en V tal que K n Vk . k=1 Por ejemplo, todo subconjunto cerrado y acotado de Kn es compacto para cualquier n N. En general, en cualquier espacio normado de dimensin nita (X , ) se cumple que: un subconjunto K de X es compacto si, y slo si, K es cerrado y acotado. Este resultado se conoce como el Teorema de Heine-Borel. Observe que ningn espacio discreto innito numerable puede ser compacto. En efecto, suponga que (X , ) es un espacio topolgico con la topologa discreta cuya cardinalidad es igual a 0 . Escribiendo a X como una sucesin, digamos X = x1 , x2 , . . . , resulta que V = {xn } : n N es un cubrimiento abierto de X del cual


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no se puede extraer un subcubrimiento nito. Tambin es fcil demostrar que si K1 , . . . , Kn son espacios de Hausdorff compactos, entonces: (a) K1 Kn es compacto. (b) K1 Kn es compacto. (c) n Ki es compacto. i=1 Se demuestra, igualmente con facilidad, que todo espacio mtrico compacto (X , d) es acotado. En efecto, jemos cualquier x0 X y considere el cubrimiento abierto U = U (x0 , n) : n = 1, 2, . . . de X . Entonces, por compacidad, existe n1 , . . . , nk en N tal que X = k U (x0 , ni ). Si ahora denimos N = m x{n1 , . . . , nk }, a i=1 vemos que X = U (x0 , N) y, por lo tanto, X es acotado. Teorema 1.4.4. Sea (X , ) un espacio topolgico de Hausdorff y suponga que K X . (1) Si K es compacto, entonces es cerrado. (2) Si X es compacto y K es cerrado, entonces K es compacto. Prueba. (1). Suponga que K es compacto y jemos un x0 X \ K. Para cada x K, usemos el hecho de que X es Hausdorff, para hallar entornos abiertos y disjuntos Vx y Vx (x0 ) de x y x0 respectivamente. Puesto que V := Vx : x K es un cubrimiento abierto de K, la compacidad de K permite reducirlo a un subcubrimiento nito, digamos, Vx1 , . . . ,Vxn . Claramente U := n Vxi y V := n Vxi (x0 ) son conjuntos abiertos i=1 i=1 disjuntos con x0 V X \ K. Esto prueba que X \ K es abierto, es decir, K es cerrado. (2). Suponga que X es compacto y que K es un subconjunto cerrado de X . Sea V un cubrimiento abierto de K. Como K es cerrado, entonces X \ K es abierto y, en consecuencia, V (X \ K) es un cubrimiento abierto de X . Por compacidad, existen V1 , . . . ,Vn en V tal que X = V1 Vn (X \ K). Claramente V1 , . . . ,Vn es un cubrimiento de K. Como una consecuencia del resultado anterior tenemos que Corolario 1.4.3. Sea (X , ) un espacio de Hausdorff compacto. Entonces X es normal y, por consiguiente, regular. Prueba. Sean K1 y K2 dos subconjuntos cerrados y disjuntos de X . Por el Teorema 1.4.4 sabemos que ambos conjuntos son compactos. Fijemos un x K1 y, para cada y K2 , seleccionemos conjuntos abiertos y disjuntos Vyx y Vy tales que x Vyx y y Vy . Del cubrimiento abierto V2 = Vy : y K2 de K2 seleccionemos, por compacidad, un subcubrimiento nito, digamos Vy1 , . . . ,Vn(x) . Seann(x) n(x)

Ux =i=1

Vyxi

y

Hx =i=1

Vyi .

Puesto que este procedimiento se puede llevar a cabo para cada x K1 , la coleccin V1 = Ux : x K1 resulta ser un cubrimiento abierto de K1 que, gracias a la compacidad de dicho conjunto, se puede reducir a un subcubrimiento nito, digamos Ux1 , . . . ,Uxm . Denamos ahoram m

G1 :=i=1

Uxi

y

G2 :=i=1

Hxi .

Entonces, por construccin, K1 G1 , K2 G2 y G1 G2 = . Como tanto G1 as como G2 son abiertos, concluimos que X es normal.

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Propiedades ms agradables se obtienen en espacios mtricos compactos. Antes es preciso recordar algunos resultados fundamentales en la teora de los espacios mtricos. El primero establece que en espacios mtricos completos los conjuntos cerrados son los nicos que heredan la completitud. Teorema 1.4.5. Sean (X , d) un espacio mtrico completo y F un subconjunto de X . Entonces (F, d) es completo si, y slo si, F cerrado. Prueba. Suponga que F es cerrado y sea (xn ) una sucesin de Cauchy en F. Entonces (xn ) es de n=1 n=1 Cauchy en X y, por la completitud de X , ella converge a algn x X . Esto prueba que x es punto de acumulacin de F el cual pertenece a F por ser dicho conjunto cerrado. Recprocamente, suponga que F es completo y sea x F. Entonces existe una sucesin (xn ) en F que n=1 converge a x. Puesto que toda sucesin convergente es de Cauchy, resulta que (xn ) es de Cauchy en el n=1 espacio mtrico completo (F, d) y, por consiguiente, converge al mismo punto x. Por esto, x F y termina la prueba. El siguiente resultado es la pieza fundamental para la demostracin del Teorema de Categora de Baire en espacios mtricos completos. Teorema 1.4.6 (Encaje de Cantor). Sea (X , d) un espacio mtrico completo. Si (Fn ) es una sucesin n=1 decreciente de subconjuntos cerrados no vacos de X tal que lmn diam(Fn ) = 0, entonces Fn = {x0 } n=1 para algn x0 X . Prueba. Apliquemos el Axioma de Eleccin para escoger, por cada n N, un xn Fn . Armamos que la sucesin (xn ) es de Cauchy en X . En efecto, sea > 0 y usemos el hecho de lmn diam(Fn ) = 0 n=1 para elegir un entero N > 0 tal que diam (FN ) < . Como la sucesin (Fn ) es decreciente, se sigue que n=1 si m, n N, entonces d(xn , xm ) < . En efecto, como xn Fn FN y tambin xm Fm FN , resulta que d(xn , xm ) diam(FN ) < . Por esto (xn ) es de Cauchy y, gracias a la completitud de X , ella converge n=1 a un x0 X . Puesto que todos los trminos de la sucesin (xn ) , salvo un nmero nito, estn en Fn n=1 para todo n N, result que x0 F n = Fn para todo n N. Por esto, x0 Fn . Para demostrar la otra n=1 inclusin, observe que como Fn Fm para todo m N, entonces la existencia de cualquier y Fn n=1 n=1 nos indicara que x0 , y Fm y, por consiguiente, d(x0 , y) diam(Fm ) 0 cuando m . Esto prueba que y = x0 y termina la demostracin. Denicin 1.4.7. Sea (X , d) un espacio mtrico. Decimos que X es totalmente acotado o precompacto si, para cada > 0, del cubrimiento abierto U = U (x, ) : x X de X se puede extraer un subcubrimiento nito, es decir, existen x1 , . . . , xn en X tal que X = n U (xi , ). i=1 Es claro que cualquier espacio mtrico compacto es totalmente acotado. Tambin es cierto que cualquier subconjunto de un espacio totalmente acotado es totalmente acotado. Ms aun, si K es un subconjunto totalmente acotado de X , entonces K tambin es totalmente acotado. En efecto, sea > 0 y suponga que U (x1 , /2), . . . ,U (xn , /2) es un cubrimiento abierto nito de K. Como K U (x1 , /2) U (xn , /2) =n i=1

U (xi , /2)

n i=1

U (xi , ),

resulta que U (x1 , ) K, . . . ,U (xn , ) K es un cubrimiento abierto nito de K, lo que demuestra que K es totalmente acotado. Totalmente acotado es una propiedad que revela muchas cosas, entre ellas el siguiente resultado.

Sec. 1.4 Espacios topolgicos Teorema 1.4.7. Si un espacio mtrico (X , d) es totalmente acotado, entonces X es separable.

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Prueba. Para cada n N, sea n = 1/n. Usemos el hecho de que X es totalmente acotado para obtener, para cada n N, un subconjunto nito Dn = xn , . . . , xnn de X tal que X = kn U (xi , 1/n). Pongamos i=1 1 k D = Dn . Claramente D es numerable. Veamos que D = X . En efecto, sea x X . Para cada n N, existe n=1 algn yn Dn y, por consiguiente, x U (yn , 1/n). Lo anterior permite construir una sucesin (yn ) en X n=1 tal que d(yn , x) < 1/n. Esto, por supuesto, indica que lmn yn = x, lo que a su vez nos dice que x D. Fin de la prueba. Una de las caracterizaciones clsicas de compacidad en espacios mtricos, pero de suprema importancia, es la siguiente: Teorema 1.4.8. Sea (X , d) un espacio mtrico. Son equivalentes: (1) X es compacto. (2) X es completo y totalmente acotado. Prueba. (1) (2). Suponga que X es compacto y sea (X, d) la completacin de (X , d). Como X es un espacio de Hausdorff y X es un subconjunto compacto de X, el Teorema 1.4.4 nos dice que X es cerrado en X, pero adems, siendo X tambin denso en X, entonces se tiene que X = X. Por esto, X es completo. Que X es tambin totalmente acotado sigue del hecho de que X es compacto. (2) (1). Suponga que X es completo y totalmente acotado. Para obtener una contradiccin, suponga que X no es compacto. Esto signica que existe algn cubrimiento abierto V de X del que no es posible extraer ningn subcubrimiento nito. Ahora bien, como X es totalmente acotado, podemos seleccionar un cubri1 1 miento abierto y nito de X , digamos {U1 , . . . ,Uk1 }, tal que el dimetro de todos ellos sean iguales pero menor que 1. Observe {U 1 , . . . ,U k } tambin es un cubrimiento nito de X por lo que al menos uno de esos conjuntos cerrados, llammoslo F1 , no se puede cubrir por una subcoleccin nita de V. Puesto que F1 tam2 2 bin es totalmente acotado, podemos cubrirlo por una coleccin nita {U1 , . . . ,Uk2 } de conjuntos abiertos2 2

todos de igual dimetro pero menor que 1/2. Como antes, {U 1 , . . . ,U k2 } es un cubrimiento nito de F1 y, por consiguiente, al menos uno de esos conjuntos cerrados, digamos F2 , no se puede cubrir por una subcoleccin nita de V. Continuando indenidamente con este proceso, se obtiene una sucesin decreciente (Fn ) n=1 de subconjuntos cerrados de X tal que lmn diam Fn ) = 0. Como X es completo, el Teorema 1.4.6 nos revela que Fn = {x0 } para algn x0 X = V V V . De aqu se sigue que x0 V0 para un cierto V0 V n=1 y, en consecuencia, por ser V0 abierto, U (x0 , 1/n) V0 para algn n N. Finalmente, puesto que x0 Fn y diam Fn < 1/n, concluimos que Fn U (x0 , 1/n), de donde se obtiene que Fn V0 , lo cual es una contradiccin pues, segn nuestra construccin, ningn Fk poda ser cubierto por una subcoleccin nita de V, sin embargo, V0 = {V0 } es una subcoleccin nita de V que cubre a Fn . Esto termina la prueba. Observe que en la prueba de la primera parte del teorema anterior se demostr que: si (X , d) es un espacio mtrico compacto, entonces su completacin tambin es compacto. De hecho, uno puede pedir menos para obtener la misma conclusin como lo demuestra el siguiente corolario. Corolario 1.4.4. Un espacio mtrico (X , d) es totalmente acotado si, y slo si, su completacin (X, d ) es compacto. Prueba. Suponga que X es totalmente acotado y sea (X , d ) su completacin. Como X es totalmente acotado su clausura X, por lo visto anteriormente, tambin es totalmente acotado y puesto que X = X, se concluye que X es totalmente acotado (y completo). Se sigue del Teorema 1.4.8, que X es compacto. El recproco es inmediato.

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Un subconjunto K de un espacio topolgico de Hausdorff (X , ) se dice que es relativamente compacto si K es compacto. En Kn , todo subconjunto acotado es relativamente compacto. En general, vale el siguiente resultado. Teorema 1.4.9. Sea (X , d) un espacio mtrico completo. Un subconjunto K de X es relativamente compacto si, y slo si, l es totalmente acotado. Prueba. Suponga que K es un subconjunto relativamente de X . Entonces K es compacto y se sigue que K y, por consiguiente K, es totalmente acotado. Recprocamente, suponga que K es totalmente acotado. Entonces K es totalmente acotado. Ms aun, puesto que X es completo y K es cerrado, entonces K tambin es completo. Uno invoca de nuevo al Teorema 1.4.8 para concluir que K es compacto. Otro de los resultados importantes de los conjuntos compactos es el siguiente. Teorema 1.4.10 (Tychonoff). Sea (K ) una familia de espacios topolgicos compactos. Entonces el producto I K es compacto. Prueba. Vase, por ejemplo, [141], XI, Theorem 1.4, p. 224. Del Teorema 1.4.4 tambin se deduce que si (K )I es una familia arbitraria de subconjuntos compactos en algn espacio topolgico de Hausdorff (X , ), entonces I K es compacto, aunque dicha interseccin puede ser vaca. Sin embargo, si la familia (K )I es numerable, digamos (Kn ) , y adems decreciente, n=1 entonces Kn = . Lo anterior permite justicar la siguiente denicin. n=1 Denicin 1.4.8. Sea (X , ) un espacio topolgico de Hausdorff. Una familia de subconjuntos (K ) de X se dice que tiene la propiedad de interseccin nita (PIF) si, para cada subconjunto nito F , F K = . Una de las tantas caracterizaciones hermosas que poseen los espacios compactos de Hausdorff es la siguiente: Teorema 1.4.11. Un espacio topolgico de Hausdorff (X , ) es compacto si, y slo si, cualquier familia (K ) de subconjuntos cerrados de X con la propiedad de interseccin nita, se cumple que K = . Prueba. Supongamos que X es compacto y sea (K ) una familia de subconjuntos cerrados de X con la propiedad de interseccin nita. Si ocurriera que K = , entonces, haciendo U = X K para cada , resultara que la familia (U ) sera un cubrimiento abierto de X , del que, por la compacidad de X , se podra extraer un subcubrimiento nito, digamos U1 , . . . ,Un . De esto se seguira que n Kk = lo k=1 cual es una contradiccin. La otra implicacin es ms sencilla de probar. Una consecuencia inmediata del resultado anterior es el siguiente. Corolario 1.4.5. Si (K ) 0, cualquier punto x K posee un entorno abierto Vx tal que | f (x) f (y)| < para todo y Vx y cualquier f S. .

para cualquier x Vx0 y cualquier i {1, . . . , n}. Sea f un elemento arbitrario de S. Entonces f B( fi , /3) para algn i {1, . . . , n}, de donde se sigue que para ese i y para todo x Vx0 se cumple que | f (x) f (x0 )| | f (x) fi (x)| + | fi (x) fi (x0 )| + | fi (x0 ) f (x0 )| <

Prueba. Suponga que S es relativamente compacto. Entonces S es compacto en (C(K), d ) y puesto que todo conjunto compacto es acotado se sigue, en particular, que S es acotado, esto es, existe una constante M > 0 tal que d ( f , g) M para todo f , g S. De aqu se sigue que S es puntualmente acotado ya que si tomamos g 0, entonces para cada x K se verica que sup{| f (x)| : f S} M. Para demostrar la equicontinuidad jemos un > 0 y sea x0 un punto cualquiera en K. Observe que, gracias al Teorema 1.4.8, S, y entonces S, es totalmente acotado. Escojamos ahora un subconjunto nito G = { f1 , . . . , fn } en S de modo que S n B

teorema de baire aplicaciones

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