teorema de green

Teorema de Green

George Green (julio de 1793, 31 de mayo de 1841) fue un matemático británico cuyo ytrabajo influenció notablemente el

desarrollo de importantes conceptos en físicap

Bioingeniería Cálculo Vectorial 2008

Teorema de Green

Relaciona una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C

y una integral doble sobre la región plana D limitada por C.


TERMINOLOGÍA

1.‐ CURVA CERRADA Y SIMPLE

TERMINOLOGÍA

C

Sea C una curva suave definida por una pfunción vectorial : [a, b] ,Se dice que es cerrada si: (a)= (b)Si además es uno a uno en [a, b), C es

2R

[ , ),cerrada y simple.


2.‐ UNA CURVA CERRADA QUE NO ES SIMPLE

C es cerrada si: (a)= (b)No es uno a uno en [a, b), C se corta a si misma C no es simplea si misma, C no es simple.


3.‐ UNA CURVA CERRADA Y SIMPLE ORIENTADA POSITIVA ( Sentido contrario a las agujas del reloj)POSITIVA ( Sentido contrario a las agujas del reloj)

4.‐ UNA CURVA CERRADA Y SIMPLE ORIENTADA NEGATIVA (Sentido Horario)


Hipótesis del Teorema de Green

• C: CURVA SUAVE (O SUAVE A TROZOS), CERRADA, SIMPLE Y ORIENTADA POSITIVA

•D: REGIÓN LIMITADA POR C

ORIENTADA POSITIVA EN EL PLANO.

•P y Q SON FUNCIONES DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTES: x, y DEFINIDAS EN UN CONJUNTO

ABIERTOA QUE CONTIENE A LA REGIÓN D Y CONABIERTO A QUE CONTIENE A LA REGIÓN D Y CON PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES CONTINUAS EN A.

Tesis del Teorema de Green


Teorema de Green : DEMOSTRACIÓN PARA UNA REGION SIMPLE QUE PUEDE DEFINIRSE

COMO TIPO I o IICOMO TIPO I o II

Procedimiento: demostrar primero 1, luego 2 para después

1

primero 1, luego 2 para después sumar

22


Demostración de 1:


Parametrización de C :Parametrización de C1:

Parametrización de(‐C 2):2


Conclusión Primera Parte


Demostración de 2:


CÁLCULO DE LA INTEGRAL DOBLE


CÁLCULO DE LA INTEGRAL DE LÍNEA


Conclusión Segunda Parte


Conclusión FinalConclusión Final

1

2

De 1 y 2, sumando:


EXTENSIÓN DE LA PRUEBA A OTRAS REGIONES


OTRAS REGIONESOTRAS REGIONES

Ejercicio Propuesto:Verificar que se cumple el teorema de Green en la regiónteorema de Green en la región dada, con a= 1, b=2,


PARA OTRAS REGIONES

El teorema de Green puedepaplicarse a cualquier región quese pueda considerar como launión de un número finito deregiones simples como lasanteriormente tratadas.


PARA OTRAS REGIONES


Se Extiende a Regiones que no son simplemente conexas


APLICACIONES DEL TEOREMA DE GREEN

CÁLCULO DE ÁREAS• CÁLCULO DE ÁREAS

ÁREA:ÁREA:

• FACILITA EL CÁLCULO DE INTEGRALES DE LÍNEA

• FACILITA EL CÁLCULO DE INTEGRALES DOBLES


teorema de green

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