teorema de gauss green stockes y ampere
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Teorema de green stockes ampere y gauss. Teoria. Instituto Universitario Politecnico Santiago Mariño Merida-VenezuelaTRANSCRIPT
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1REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITCNICO
SANTIAGO MARIOEXTENSION MERIDA
ESCUELA DE ARQUITECTURA
TEOREMAS
Gauss, Stokes, Green y Ampere
PROFESORA: ESTUDIANTE:Lcda. Mara E. Rivas Dilmer A. Prez U.Matemticas 3.0 V-24.191.891
27 de enero de 2015
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2INTRODUCCIN
Histricamente la idea de integral se halla unida al clculo de reas a
travs del teorema fundamental del clculo. Ampliamente puede decirse que
la integral contiene informacin de tipo general mientras que la derivada la
contiene de tipo local. El concepto operativo de integral se basa en una
operacin contraria a la derivada a tal razn se debe su nombre de:
antiderivada.
Es importante tener en cuenta que, cuando se invierte algo donde
intervienen ms de una operacin, stas han de invertirse, pero en orden
opuesto. A la hora de hablar de antiderivadas intervienen ms elementos
como son los llamados mximos y mnimos que bsicamente son las alturas a
la que llega la curva trazada de una funcin, la cual puede ser cncava.
Es por ello que la presente investigacin tiene como finalidad mostrar
ciertas leyes propuestas por matemticos y fsicos en las que las integrales
son el mejor mtodo de resolucin de problemas ligados a la matemtica y la
fsica. A continuacin, se muestran los teoremas de Gauss, Stokes, Green y
Ampere los cuales usando integrales ms complejas como dobles y definidas
llegamos a un resultado preciso sin mayor variacin con otros mtodos
existentes para el clculo del campo elctrico de formas regulares.
Cabe resaltar que las derivadas e integrales son usadas tambin para
calcular reas en superficies, usadas comnmente en carreras como
ingenieras, construccin civil, arquitectura y otras afines.
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3TEOREMA DE GAUSS
El teorema de Gauss permite encontrar de manera fcil el campo
elctrico, de manera sumamente fcil para cuerpos cargados
geomtricamente de manera regular.
Esta ley afirma que el flujo del campo elctrico a travs de una superficie
cerrada es igual al cociente entre la carga en el interior de dicha superficie
dividido entre o.
Aplicaciones del teorema de Gauss
Por ejemplo, si queremos encontrar el campo elctrico de una esfera
cargada, de carga Q, tendremos que considerar un cuerpo imaginario que
tenga la misma superficie que el cuerpo original, en este caso de una esfera
de radio r, arbitrario, una superficie Gaussiana. Analizando la primera
ecuacin (la definicin del teorema) podemos decir que q es igual a la carga
total contenida dentro de la superficie Gaussiana, es decir, la de la esfera
cargada. En un punto A a una distancia R del centro de la esfera podemos
calcular el campo del siguiente modo: Tomamos como superficie
gaussiana una superficie esfrica de radio R con el mismo centro que la esfera
cargada y sabemos que por razones de simetra en todos los puntos de la
esfera el campo vale lo mismo, E y adems el campo ser perpendicular a la
superficie, por lo que al hacer la integral de E. dS nos queda simplemente E S
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4donde S es la superficie de la esfera de radio R q es la carga total y o es una
constante.
TEOREMA DE STOKES
El teorema de Stokes en geometra diferencial es una proposicin sobre
la integracin de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del
clculo vectorial. Se nombra as por George Gabriel Stokes (1819-1903), a
pesar de que la primera formulacin conocida del teorema fue realizada por
William Thomson y aparece en una correspondencia que l mantuvo con
Stokes fechada el 2 de julio de 1850.1 2 3 Stokes puso el teorema como una
pregunta en el examen de 1854 del Premio de Smith, lo que dio como resultado
que ahora lleve su nombre.
El teorema fundamental del clculo establece que la integral de una
funcin f en el intervalo [a, b] puede ser calculada por medio de
una antiderivada F de f:
El teorema de Stokes es una generalizacin de este teorema en el siguiente
sentido:
Para la F elegida, . En el lenguaje de las formas
diferenciales es decir que f(x) dx es la derivada exterior de la 0-forma
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5(como por ejemplo una funcin) F: dF = f dx. El teorema general de
Stokes se aplica a formas diferenciales mayores en vez de F.
En un lenguaje matemtico, el intervalo abierto (a, b) es
una variedad matemtica unidimensional. Su frontera es el conjunto
que consiste en los dos puntos a y b. Integrar fen ese intervalo puede
ser generalizado como integrar formas en una variedad matemtica de
mayor orden. Para esto se necesitan dos condiciones tcnicas: la
variedad matemtica debe ser orientable, y la forma tiene que ser
compacta de manera que otorgue una integral bien definida.
Los dos puntos a y b forman parte de la frontera del intervalo abierto.
Ms genricamente, el teorema de Stokes se aplica a variedades
orientadas M con frontera. La frontera M de M es una variedad en s
misma y hereda la orientacin natural de M. Por ejemplo, la orientacin
natural del intervalo da una orientacin de los dos puntos frontera.
Intuitivamente a hereda la orientacin opuesta a b, al ser extremos
opuestos del intervalo. Entonces, integrando F en los dos puntos
frontera a, b es equivalente a tomar la diferencia F(b) F(a).
Por lo que el teorema fundamental relaciona la integral de una funcin
sobre un intervalo, con una integral o suma de la primitiva de la funcin en los
lmites que encierran dicho intervalo:
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6TEOREMA DE GREEN
En fsica y matemticas, el teorema de Green da la relacin entre
una integral de lnea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral
doble sobre la regin plana Delimitada por C. El teorema de Green se llama
as por el cientfico britnico George Green, y resulta ser un caso especial del
ms general teorema de Stokes. El teorema afirma:
Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable
por trozos, en el plano y sea D la regin limitada por C.
Si P y Q tienen derivadas parciales continuas en una regin abierta que
contiene D,
A veces la notacin
se utiliza para establecer que la integral de lnea est calculada usando la
orientacin positiva (antihoraria) de la curva cerrada C.
Relacin con el teorema de Stokes
El teorema de Green es un caso especial del clsico teorema de Kelvin-
Stokes cuando es aplicado a una regin en el plano-xy.
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7Podemos aumentar el campo vectorial de dos dimensiones a uno de
tres dimensiones donde la componente z es constantemente 0.
Escribiremos F como una funcin vectorial . Empezaremos
con el lado izquierdo del teorema de Green:
Aplicando el teorema de Kelvin-Stokes:
La superficie es simplemente la regin en el plano , con el vector
normal unitario apuntando (en la direccin positiva de z) de tal manera que
coincida con las definiciones de "orientacin positiva" para ambos teoremas
(Green y Stokes). Se verifica .
La expresin dentro de la integral queda
De esta manera obtenemos el lado derecho del teorema de Green
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8Relacin con el teorema de la divergencia
El teorema de Green es equivalente a la siguiente analoga bidimensional
del teorema de Stokes:
donde es el vector normal saliente en la frontera.
Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la
ecuacin. Como es un vector apuntando tangencialmente a
travs de una curva, y la curva C est orientada de manera positiva (es decir,
en contra del sentido de las agujas del reloj) a travs de la frontera, un vector
normal saliente sera aquel que apunta en 90 hacia la derecha, el cual podra
ser . El mdulo de este vector es . Por lo
tanto .
Tomando los componentes de , el lado derecho se convierte
en
que por medio del teorema de Green resulta:
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9LEY DE AMPERE
Andr-Marie Ampre naci en Lyon, Francia el 20 de enero de 1775.Fue considerado como uno de los descubridores del electromagnetismo. Es
conocido por sus importantes aportes al estudio de la corriente elctrica y el
magnetismo, que contribuyeron, junto con los trabajos del dans Hans Chistian
Oesterd, al desarrollo del electromagnetismo. Ampre descubri las leyes que
hacen posible el desvo de una aguja magntica por una corriente elctrica, lo
que hizo posible el funcionamiento de los actuales aparatos de medida.
Descubri las acciones mutuas entre corrientes elctricas, al demostrar que
dos conductores paralelos por los que circula una corriente en el mismo
sentido, se atraen, mientras que, si los sentidos de la corriente son opuestos,
se repelen. La unidad de intensidad de corriente elctrica, el amperio, recibe
este nombre en su honor.
Ley de Ampre
La ley de Ampre tiene una analoga con el teorema de Gauss aplicado
al campo elctrico. De la misma forma que el teorema de Gauss es til para el
clculo del campo elctrico creado por determinadas distribuciones de carga,
la ley de Ampre tambin es til para el clculo de campos magnticos creados
por determinadas distribuciones de corriente. La ley de Ampre dice:
"La circulacin de un campo magntico a lo largo de una lnea cerrada es igual
al producto de m0 por la intensidad neta que atraviesa el rea limitada por la
trayectoria".
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Ley de Ampre aplicada a una corriente rectilnea
Para calcular el valor del campo B en un punto P a una distancia R deun conductor, escogeremos una lnea cerrada que pase por P, dicha lnea ha
de ser tal que el clculo de la circulacin sea sencillo. En este caso se ha
escogido una circunferencia de radio R con centro en el conductor, por lo cual
todos los puntos del contorno estn a la misma distancia que el punto P del
conductor, y el valor de B toma el mismo valor en dicho contorno coincidiendo
su direccin con el de dl.
Una vez escogida la lnea calculamos la circulacin del campo a lo largo de la
lnea escogida y aplicamos la ley de Ampre. Obteniendo, la ecuacin que nos
da el campo magntico creado por un conductor rectilneo:
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Ley de Ampre aplicada a un solenoide
En un solenoide tambin se puede calcular
el valor de B en un punto interior aplicando la ley
de Ampre. Para ello se siguen los mismos
pasos que en el caso anterior.
Si suponemos que el solenoide es muy largo comparado con el radio de
sus espiras, el campo es aproximadamente uniforme y paralelo al eje en el
interior del solenoide y es nulo fuera del solenoide.
La imagen figura un
corte de un pedazo del
solenoide. Los puntos
representan las corrientes
que se dirigen hacia
nosotros y las aspas las que
se dirigen hacia el interior de
la hoja, de modo que cada espira, recorrida por la corriente de intensidad, I,
da una media vuelta saliendo por un punto y volviendo a entrar por el aspa
correspondiente.
Para aplicar la ley de Ampere tomamos un camino cerrado ABCD que es
atravesado por varias espiras. Como el campo magntico, B, es constante en
el segmento BC y nulo en los otros cuatro segmentos, se obtiene:
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NBC/LBC es el nmero de espiras por unidad de longitud considerada y, por
tanto, coincide con N/L (siendo N el nmero de espiras de todo el solenoide y
L su longitud total). Por tanto, bajo las condiciones establecidas, el campo, B,
en cualquier punto interior del solenoide es:
Ley de Ampre aplicada a un toroide
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio r , cuyo
centro est en el eje del toroide, y situada en su plano meridiano. De esta
forma el campo magntico B es tangente a la circunferencia de radio r y tiene
el mismo mdulo en todos los puntos de dicha circunferencia.
Aplicaremos la ley de Ampre y calcularemos la
intensidad para los siguientes valores de r:
Fuera del ncleo con r < ra
Como se puede observar en este caso la intensidad que atraviesa la
circunferencia de radio r es cero por lo tanto aplicando Ampere:
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En el interior del ncleo ra < r < rb
Cada espira del toroide atraviesa una vez el camino cerrado (la circunferencia
de color rojo de la figura siguiente) la intensidad ser NI, siendo N el nmerode espiras e I la intensidad que circula por cada espira, con lo cual:
Fuera del ncleo con r > rb
Cada espira del toroide atraviesa dos veces el camino cerrado (circunferencia
roja de la figura) transportando intensidades de sentidos opuestos.
La intensidad neta es NI - NI = 0, y B = 0 en todoslos puntos del camino cerrado.
De los clculos anteriores se deduce que el campo magntico generado
por un toroide queda confinado en el interior del mismo.
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CONCLUSIN
La antiderivada de una funcin tambin puede recibir el nombre de
integral indefinida o primitiva de una funcin; cada uno tiene su razn de ser,
antiderivada viene dado porque se hace una operacin contraria para llegar a
la funcin original; integral indefinida porque existe una constante C que puede
dar como resultado una infinidad de trazados y primitiva porque es una
operacin que busca el gnesis de la funcin. Todas, aunque tienen diferentes
nombres relativamente significan lo mismo.
A modo de reflexin, es posible observar que hay instrumentos que
calculan las integrales indefinidas (tambin las definidas). Pero esto no quita
valor al esfuerzo, aunque meramente operacional, que supone el aprendizaje
del clculo de integrales. Seguramente la mente se estructura de forma que
se pueda afrontar otros retos de ms calado.
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REFERENCIAS
Bibliografias
Lorrain, Corson. Campos y ondas electromagnticas. Editorial SeleccionesCientficas, pginas 124-126.
Stong C. L: Taller y laboratorio. El campo elctrico de la tierra aportaenerga a los motores electrostticos. Investigacin y Ciencia. N 11Agosto1977. pgs 108-115.
Thuillier P. De la filosofa al electromagnetismo: el caso Oersted. MundoCientfico V-10, n 102, Mayo 1990, pgs. 562-569.
Archivos Online
Ley de Ampere. https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Ampere [Consultado en
lnea] 24-01-2015.
Teorema de Gauss. http://neetescuela.com/search/teorema-de-gauss-
explicacion/ [Consultado en lnea] 26-01-2015.