TEORÍA DE COLAS

COLAS:  Líneas  de  espera  que  u2liza  modelos  matemá2cos  que  describen  sistemas  de  

líneas  par2culares  o  Sistemas  de  Colas.  

Modelos  presentan  las  siguientes  caracterís2cas:  

Estado  Estable  •  Tiempo  de  espera  no  muy  largo.  

•  Costo  de  Servicio  no  sea  muy  alto.  

TEORÍA  DE  LÍNEAS  DE  ESPERA

DOS  COMPONENTES

Cola   Servidor  

Desempeño en el Servidor

Trabajo en equipo

Trabajo individualizado

EL  MODELO  BÁSICO  Este  sistema  se  conoce  como  cola  de  espera  de  un  servidor.

 Supuestos:

Llegadas  entran  al  sistema  de  manera  aleatoria  

Las  llegadas  vienen  de  una  población  

infinita  y  llegan  una  a  la  vez  

No  se  permiten  llegadas  

simultáneas  

Distribución    de  Poisson  

EL  MODELO  BÁSICO  Otros  supuestos:

Las  llegadas  no  pueden  cambiar  lugares  en  la  

línea  

Las  llegadas  no  pueden  dejar  la  cola  antes  de  ser  

servidas  

Se  supone  que  un  solo  servidor  proporciona  el  

servicio  que  varía  aleatoriamente    

No  se  permite  que  las  unidades  que  salen  del  

sistema  vuelvan  a  entrar  de  inmediato  

CARACTERÍSTICAS  DE  OPERACIÓN

a)  Análisis  de  la  Cola

Longitud  Promedio   de  la  Cola

Lq  = λ

μ  (  μ  -­‐  λ  )

2

Tiempo  de  Espera Promedio  en  la  Cola

Wq  = Lq

λ En  donde: λ  es  la  tasa  promedio  de  llegadas  por  unidad  de  Oempo μ  es  la  tasa  promedio  de  servicio  de  las  llegadas  por   unidad  de  Oempo

b)  Análisis  del  Sistema

Longitud  Promedio   del  Sistema

L  = λ

μ  -­‐  λ

Tiempo  de  Espera Promedio  en  el  Sistema

W  = 1

μ  -­‐  λ

Regla  general:  la  tasa  de  llegada  debe  ser  menor que  la  tasa  de  servicio

CARACTERÍSTICAS  DE  OPERACIÓN

CARACTERÍSTICAS  DE  OPERACIÓN c)  UOlización  de  la  instalación  de  

servicio  Probabilidad  de  que  el  sistema  esté  vacío:

 Tiempo  de  acOvidad  esperado  en  el  sistema:

 Probabilidad  de  tener  n  unidades  en  el  sistema:

 Probabilidad  de  que  la  línea  exceda  a  L:

Po  = 1  -­‐ λ μ

1  -­‐  Po U  =

Pn  = λ μ

n

Po

P(n>L)= λ μ

L+1

EJEMPLO  1  Para  uOlizar  una  máquina  cajera  automáOca  de  un  banco,  llegan  clientes  al  azar  a  una  tasa  de  5  por  hora.    Si  la  máquina  cajera  puede  despachar  a  10  clientes  por  hora,  determine  el  actual  sistema  de  operación  de  esta  instalación  de  servicio.

ANÁLISIS  ECONÓMICO

Costo  de  servicio    Cs  

Costo  de  espera    Cw  

COSTO  DEL  SISTEMA

Tasa de Servicio

$ o ¢

T óptima

CT

Cs

Cw

EJEMPLO  2  COSTO  DE  ESPERA  CONOCIDO

 Se  está  estudiando  un  muelle  de  carga  y  descarga  de  camiones  para  aprender  cómo  debe  formarse  una  brigada.    El  muelle  solo  Oene  espacio  para  un  camión,  el  Oempo  de  descarga  puede  reducirse  aumentando  el  tamaño  de  la  brigada.    Las  llegadas  Oenen  un  comportamiento  Poisson  y  Oempo  de  servicios  exponenciales.

 La  tasa  promedio  de  servicio  es  un  camión  por  hora  para  un  cargador;    los  camiones  llegan  a  una  tasa  de  dos  por  hora,  en  promedio  y  el  costo  de  espera  es  de  $20  por  hora  por  camión.

 Si  se  le  paga  $5  la  hora  a  cada  miembro  de  la  brigada  ¿Cuál  es  el  mejor  tamaño  de  esta?

¿QUÉ  HACER  CUANDO  EL  COSTO  DE  ESPERA  ES  DESCONOCIDO?

µ= λ 2

+ λ 4 + λ

Wq

2

EJEMPLO  3  COSTO  DE  ESPERA  DESCONOCIDO

 La   Ozella   Fish   Co.   le   compra   a   botes   camaroneros  independientes ,   su   pesca   de   camarón   para  posteriormente   empacarlo   y   venderlo   a   cadenas   de  supermercados   en   todo   el   país.     Cuando   estos   botes  llegan   durante   la   temporada   de   pesca,   hay   que  descargarlos   tan   rápido   como   sea   posible   para   que  puedan  volver  al  mar.    Si  el  patrón  de  llegada  de  los  botes  es  aleatorio  y  el  Oempo  de  descarga  también  lo  es,  ¿cuál  es  el  número  de  trabajadores  que  la  empresa  debe  uOlizar  para  descargar   los  botes,   si   se  quiere  que  estos   esperen  como  máximo   10  minutos   antes   de   ser   atendidos   en   el  muelle?    Los  botes  llegan  a  una  tasa  promedio  de  uno  por  hora  y  cada  trabajador  descarga  ½  bote  por  hora

MODELOS  CON  SERVIDORES  MÚLTIPLES

Modelo Propio

Una cola un servidor

o Simulación

UNA  COLA  Y  VARIOS  SERVIDORES a)  Análisis  de  la  cola

Longitud  Promedio   de  la  Cola

Tiempo  de  Espera Promedio  en  la  Cola

Lq= (λ/µ)

C+1

C  x  C! 1-­‐ λ/µ C

2 X Po Wq  =

Lq

λ

Siendo  C  el  número  de  servidores

b)  Análisis  del  Sistema

Longitud  Promedio   del  Sistema

L = λ µ

Tiempo  de  Espera Promedio  en  el  Sistema

W = Lq + L λ

c)  UOlización  de  la  instalación  de  servicio

Probabilidad  de  que  el  sistema  esté  vacío

Po  = (λ/µ)

C

1-­‐ λ/µ C

C!

+1+ (λ/µ) (λ/µ) (λ/µ)

+ +... + 1! 2! (C-­‐1)!

Tiempo  de  acOvidad  esperado  en  el sistema λ

cµ

-­‐1 1 2 (C-­‐1)

<  1

EJEMPLO  4  EVALUACIÓN  DEL  SISTEMA  CUANDO  EL  COSTO  DE  ESPERA  ES  CONOCIDO

 En   una   insOtución   pública   se   está   estudiando   el  problema   de   determinar   el   número   ópOmo   de  empleados   que   hay   que   colocar   para   determinar   el  número   de   ventanillas   que   debe   abrir   para   el   pago   de  viáOcos  para  funcionarios  que  viajan  dentro  del  país.    La  tasa  de  llegada  de  los  funcionarios  es  de  1.6  por  minuto  en   promedio   y   se   comporta   como   una   distribución   de  Poisson.     La   tasa   de   servicio   es   de   0.9   personas   por  minuto   y   se   comporta   como   una   función   exponencial  negaOva.     El   sueldo   por   hora   de   un   funcionario   es   de  ¢600  mientras  que  los  cajeros  ganan  ¢300  por  hora.

λ/μ  =  96/66.67  =  1.44

EJEMPLO  5  EVALUACIÓN  DEL  SISTEMA  CON  COSTOS  DE  ESPERA  DESCONOCIDOS

 La  compañía  Fast  Food  Inc.,  desea  instalar  un  restaurante  de  comidas  rápidas  en  un  nuevo  centro  comercial.    El  propietario  requiere  determinar  que  sistema  de  colas,  con  la  correspondiente  canOdad  de  servidores,  sería  el  más  indicado  para  su  nuevo  local:  el  uOlizado  por  la  cadena  de  comida  Burger  King,  o  el  uOlizado  por  la  empresa  Mc  Donalds,  tomando  en  consideración  que  se  Oene  como  meta  proyectada  un  Oempo  de  espera  máximo  de  2  minutos  antes  de  ser  atendidos.  

 De   acuerdo   con   datos   históricos   de   otros  restaurantes   con   caracterísOcas   similares,   se   puede  esperar  que  los  clientes  lleguen  de  acuerdo  con  una  distribución  de  Poisson  a  una  velocidad  promedio  de  45  clientes  por  hora  y  el  estándar  de  Oempo  que  un  cajero  necesita  para  atender  a  un  cliente  de  acuerdo  al   sistema   empleado   por   Mc   Donalds   es   de   3  minutos   por   cliente,   mientras   que   el   sistema  empleado   por   Burger   King   tarda   en   promedio   3.75  minutos   por   cliente,   ambos   con   una   distribución  exponencial.

 Determine   cuál   sería   el   sistema   de   colas   que   usted  recomendaría.

Canales de servicio

Llegadas Colas múltiples

λ = Tasa de llegada

λ / 3

λ / 3

λ / 3

Cola 1

Cola 2

Cola 3

µ1

µ 3

µ2

Salidas

Salidas

Salidas

VARIAS  COLAS  Y  VARIOS  SERVIDORES  SUPUESTO  DE  DIVISIÓN  DE  LLEGADAS  

EJERCICIO  6  EVALUACIÓN  DEL  SISTEMA  CON  COSTOS  DE  ESPERA  CONOCIDOS

 Una  empresa  que  se  dedica  a  la  manufactura  de  tela,  Oene  en  su  planta  un  gran  número  de  máquinas  tejedoras  que  con  frecuencia  se  atascan.  La  reparación  de  esas  máquinas  se  realizaba  por  subcontratación  de  mecánicos,  sin  embargo,  el  Oempo  de  respuesta  de  estos  mecánicos  es  muy  lento  incluso  de  semanas,  por  ello  la  empresa  he  decidido  contratar  sus  propios  mecánicos  para  agilizar  el  proceso  de  reparación.    Actualmente  la  empresa  no  Oene  espacio  ~sico  para  instalar  un  gran  taller  de  mantenimiento  y  reparación,  en  lugar  de  ello  se  propone  instalar  pequeños  talleres  de  reparación  formados  por  un  solo  mecánico  por  taller  y  ubicarlos  en  las  esquinas  de  la  planta.  La  aparición  de  máquinas  atascadas  puede  ser  aproximada  por  un  proceso  de  llegadas  Poisson  con  una  tasa  promedio  de  10  por  hora.  

 Cada  máquina  atascada  requiere  una  canOdad  aleatoria  de  Oempo  para  su  reparación  que  puede  ser  aproximada  por  una  distribución  exponencial  con  un  Oempo  promedio  de  servicio  de  10  minutos.  El  costo  de  una  hora  de  producción  perdida  debería  incluir  costos  explícitos,  como  la  canOdad  de  ganancias  no  obtenidas  y  los  costos  implícitos  como,  la  pérdida  de  voluntad  por  parte  de  los  clientes,  si  no  se  cumple  con  la  fecha  de  entrega  de  la  mercadería.  Si  cada  mecánico  le  cuesta  a  la  empresa  ¢1500  por  hora,  incluyendo  las  cargas  sociales;  y  a  su  vez  el  departamento  de  contabilidad  ha  esOmado  que  la  compañía  pierde  ¢2000  por  cada  hora  que  una  máquina  esté  fuera  de  operación.  Determine  la  canOdad  de  mecánicos  que  debe  tener  el  departamento  de  mantenimiento  de  la  empresa,  para  minimizar  los  efectos  de  las  composturas  de  las  máquinas  en  sus  costos.

TEORÍA  DE  COLAS  Y  EL  HOJA  DE  EXCELL  Q

CLASIFICACIÓN  DE  LOS  MODELOS  DE  COLAS

 Para  facilitar  la  comunicación  entre  aquellos  que  trabajan  con  modelos  de  colas,  D.G.  Kendall  propuso  una  clasificación  o  taxonomía  con  base  en  la  siguiente  notación:

A/B/s A  =  Distribución  de  las  llegadas B  =  Distribución  del  servicio

S  =  Número  de  servidores

CLASIFICACIÓN  DE  LOS  MODELOS  DE  COLAS

 Se  uOlizan  diferentes  letras  para  designar  ciertas  distribuciones.  Las  reglas  convencionales  siguientes  son  de  uso  general:

­ M  =  distribución  exponencial ­ D  =  número  determinísOco ­ G  =  cualquier  distribución  de  Oempos  de  servicio ­ GI  =  cualquier  distribución  de  Oempos  de  llegada

El modelo a usar

VAMOS  A  SUBIR  A  LA  PÁGINA  DEL  CURSO  Y  EN  EJERCICIOS  DE  CLASE  BAJAR  EL  ARCHIVO  CON  EL  NOMBRE  DE:  Q  EJEMPLO  DE  CLASE

EJEMPLO  2  COSTO  DE  ESPERA  CONOCIDO

 Se  está  estudiando  un  muelle  de  carga  y  descarga  de  camiones  para  aprender  cómo  debe  formarse  una  brigada.    El  muelle  solo  Oene  espacio  para  un  camión,  el  Oempo  de  descarga  puede  reducirse  aumentando  el  tamaño  de  la  brigada.    Las  llegadas  Oenen  un  comportamiento  Poisson  y  Oempo  de  servicios  exponenciales.

 La  tasa  promedio  de  servicio  es  un  camión  por  hora  para  un  cargador;    los  camiones  llegan  a  una  tasa  de  dos  por  hora,  en  promedio  y  el  costo  de  espera  es  de  $20  por  hora  por  camión.

 Si  se  le  paga  $5  la  hora  a  cada  miembro  de  la  brigada  ¿Cuál  es  el  mejor  tamaño  de  esta?

UNA  COLA  UN  SERVIDOR

En  donde: λ  Es  2  por  hora  y  μ  es  1/persona  por  hora

EJEMPLO  4  EVALUACIÓN  DEL  SISTEMA  CUANDO  EL  COSTO  DE  ESPERA  ES  CONOCIDO

 En   una   insOtución   pública   se   está   estudiando   el  problema   de   determinar   el   número   ópOmo   de  empleados   que   hay   que   colocar   para   determinar   el  número   de   ventanillas   que   debe   abrir   para   el   pago   de  viáOcos  para  funcionarios  que  viajan  dentro  del  país.    La  tasa  de  llegada  de  los  funcionarios  es  de  1.6  por  minuto  en   promedio   y   se   comporta   como   una   distribución   de  Poisson.     La   tasa   de   servicio   es   de   0.9   personas   por  minuto   y   se   comporta   como   una   función   exponencial  negaOva.     El   sueldo   por   hora   de   un   funcionario   es   de  ¢600  mientras  que  los  cajeros  ganan  ¢300  por  hora.

UNA  COLA  VARIOS  SERVIDORES

En  donde: λ   es  96  por  hora  y  μ  es  66.67  por  hora C  =  ?

EJERCICIO  6  EVALUACIÓN  DEL  SISTEMA  CON  COSTOS  DE  ESPERA  CONOCIDOS

 Una  empresa  que  se  dedica  a  la  manufactura  de  tela,  Oene  en  su  planta  un  gran  número  de  máquinas  tejedoras  que  con  frecuencia  se  atascan.  La  reparación  de  esas  máquinas  se  realizaba  por  subcontratación  de  mecánicos,  sin  embargo,  el  Oempo  de  respuesta  de  estos  mecánicos  es  muy  lento  incluso  de  semanas,  por  ello  la  empresa  he  decidido  contratar  sus  propios  mecánicos  para  agilizar  el  proceso  de  reparación.    Actualmente  la  empresa  no  Oene  espacio  ~sico  para  instalar  un  gran  taller  de  mantenimiento  y  reparación,  en  lugar  de  ello  se  propone  instalar  pequeños  talleres  de  reparación  formados  por  un  solo  mecánico  por  taller  y  ubicarlos  en  las  esquinas  de  la  planta.  La  aparición  de  máquinas  atascadas  puede  ser  aproximada  por  un  proceso  de  llegadas  Poisson  con  una  tasa  promedio  de  10  por  hora.  

 Cada  máquina  atascada  requiere  una  canOdad  aleatoria  de  Oempo  para  su  reparación  que  puede  ser  aproximada  por  una  distribución  exponencial  con  un  Oempo  promedio  de  servicio  de  10  minutos.  El  costo  de  una  hora  de  producción  perdida  debería  incluir  costos  explícitos,  como  la  canOdad  de  ganancias  no  obtenidas  y  los  costos  implícitos  como,  la  pérdida  de  voluntad  por  parte  de  los  clientes,  si  no  se  cumple  con  la  fecha  de  entrega  de  la  mercadería.  Si  cada  mecánico  le  cuesta  a  la  empresa  ¢1500  por  hora,  incluyendo  las  cargas  sociales;  y  a  su  vez  el  departamento  de  contabilidad  ha  esOmado  que  la  compañía  pierde  ¢2000  por  cada  hora  que  una  máquina  esté  fuera  de  operación.  Determine  la  canOdad  de  mecánicos  que  debe  tener  el  departamento  de  mantenimiento  de  la  empresa,  para  minimizar  los  efectos  de  las  composturas  de  las  máquinas  en  sus  costos.

VARIAS  COLAS  VARIOS  SERVIDORES

En  donde: λ   es  10  por  hora  y  μ  es  6  por  hora Dividimos  λ/c  para  determinar  las  filas  y  servidores necesarios.

EJERCICIO  Una compañía de productos lácteos cuenta con su propio servicio de descarga de camiones y lo quiere optimizar.

 La tasa de llegada es de 10 camiones cada hora y la tasa de descarga en el andén es de 2 camiones por hora hombre. La tasa de servicio en el andén es proporcional al número de trabajadores, cuando el sistema requiera que trabajen en conjunto.

  El salario de cada trabajador es de $10 por hora. El sistema de descarga permite que únicamente se descargue un camión a la vez y se estima que el costo del camión ocioso es de $20 por hora.

 ¿La empresa desea determinar la cuadrilla óptima que refleje el menor costo posible?

  En el caso de que se cuente con la opción de alquilar un andén adicional con un costo de $35 por hora, pero con una sola fila, igualmente la empresa desea conocer ¿Cuál es la cantidad de cuadrillas en cada andén que optimiza el sistema?

 Además, la empresa quiere costear un sistema de dos servidores y dos filas independientes, manteniendo las mismas variables anteriores.

 ¿Indique cuál de los tres sistemas de colas sería el más indicado a utilizar, a que costo y el número de trabajadores en la cuadrilla?