teoría de juegos (2a. ed.) (colección cuadernos metodológicos

CuadernosMetodolgicos

34 Teora de juegosIgnacio Snchez-Cuenca

Este libro es una introduccin a la teora de juegosdesde la perspectiva de su aplicacin a lasciencias sociales. La teora de juegos analizasituaciones estratgicas en que los agentes tomandecisiones en funcin de sus expectativas sobre loque van a hacer los dems. Constituye una de lasprincipales herramientas analticas en la cienciapoltica y la sociologa. De forma sistemtica yclara se exponen la teora de la utilidad, los juegosen forma normal, los juegos en forma extensiva,los juegos repetidos y los juegos de informacinincompleta. Se explican cada uno de ellosutilizando aplicaciones de modelos formales en lasciencias sociales.

2 edicin ampliada y revisada

CuadernosMetodolgicos

34 Teora de juegosIgnacio Snchez-Cuenca2 edicin ampliada

y revisada

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Consejo Editorial de la Coleccin Cuadernos Metodolgicos

DIRECTORABeln Barreiro Prez-Prado, Presidenta del CIS

CONSEJEROSLuis Enrique Alonso Benito, Catedrtico de Sociologa. Universidad Autnoma de MadridFrancisco Alvira Martn, Catedrtico de Sociologa. Universidad Complutense de MadridM ngeles Cea dAncona, Profesora titular de Sociologa. Universidad Complutense de MadridModesto Escobar Mercado, Catedrtico de Sociologa. Universidad de SalamancaAraceli Mateos Daz, Profesora contratada doctora de Ciencia Poltica. Universidad de SalamancaJos Manuel Pava Miralles, Profesor titular de Economa Aplicada. Universidad de ValenciaAraceli Serrano Pascual, Profesora titular de Sociologa. Universidad Complutense de Madrid.

SECRETARIOAlberto Penads, Unidad de Apoyo a Presidencia. CIS

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COLECCIN CUADERNOS METODOLGICOS, NM. 34

Primera edicin, junio de 2004

Segunda edicin, diciembre de 2009

CENTRO DE INVESTIGACIONES SOCIOLGICASMontalbn, 8. 28014 Madrid

Ignacio Snchez-Cuenca

DERECHOS RESERVADOS CONFORME A LA LEY

Impreso y hecho en EspaaPrinted and made in Spain

NIPO: 004-09-011-8ISBN: 978-84-7476-482-6Depsito legal: M. 50.174-2009

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El papel utilizado para la impresin de este libro es 100% reciclado y totalmente libre de

cloro.

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ndice

Introduccin ................................................................................................ 5

1. EL PRINCIPIO DE RACIONALIDAD Y LA TEORA DE LA UTI-LIDAD .................................................................................................. 13El principio de racionalidad............................................................... 13Funciones de utilidad.......................................................................... 16Actitud hacia el riesgo......................................................................... 24La paradoja de Allais........................................................................... 28Aplicacin: La moderacin de los partidos ....................................... 31

2. JUEGOS EN FORMA NORMAL O ESTRATGICA ......................... 35Caracterizacin de un juego en forma normal.................................. 35Criterios de dominacin ..................................................................... 37Equilibrio de Nash .............................................................................. 41Equilibrio de Nash con estrategias mixtas ........................................ 44La interpretacin del equilibrio de Nash........................................... 51Los problemas de la cooperacin a travs de juegos en formanormal................................................................................................ 53Aplicacin: Reformas administrativas ............................................... 58

3. JUEGOS EN FORMA EXTENSIVA ................................................... 61Caracterizacin de un juego en forma extensiva .............................. 61Relacin entre juegos en forma normal y extensiva ......................... 64Equilibrio por retroinduccin ............................................................ 67Equilibrio de perfeccin en el subjuego ............................................ 68Aplicacin: La guerra en Yugoslavia.................................................. 73Aplicacin: La poltica monetaria y la independencia del bancocentral .................................................................................................. 77Los lmites de la retroinduccin y la perfeccin en el subjuego ...... 80

4. JUEGOS REPETIDOS ........................................................................ 83La naturaleza de los juegos repetidos ................................................ 83El tiempo y el factor de descuento..................................................... 84


Juegos repetidos n veces ..................................................................... 87El Dilema del Prisionero repetido indefinidamente ......................... 88El teorema popular ............................................................................. 97El modelo de negociacin de Rubinstein .......................................... 100Aplicacin: El surgimiento de ideologas polticas ........................... 104

5. JUEGOS DE INFORMACIN INCOMPLETA ................................. 111Informacin incompleta ..................................................................... 111La regla de Bayes ................................................................................ 112Equilibrio bayesiano perfecto ............................................................ 114Caracterizacin de un juego de seal ................................................ 118Equilibrios agrupadores y separadores ............................................. 120Aplicacin: Democracia y redistribucin .......................................... 124Juegos repetidos de informacin incompleta: Reputacin .............. 130

Glosario........................................................................................................ 137Bibliografa .................................................................................................. 141

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Introduccin

El propsito de este libro de la serie Cuadernos Metodolgicos quedar cum-plido si el lector se forma una idea general sobre los instrumentos que lateora de juegos ofrece para analizar situaciones estratgicas y aprende a darlos primeros pasos en la elaboracin y solucin de modelos formales. Portanto, el objetivo es doble: que el lector consiga entender la parte tcnica dela teora de juegos, y de este modo pueda discutir crticamente y con funda-mento sus ventajas y limitaciones; y, adems, que sepa comenzar a aplicarlapara dar respuesta a sus preguntas de investigacin. Al dar importancia so-bre todo al aspecto prctico de la teora de juegos, ha sido necesario dejarfuera algunas cuestiones, como la revisin de sus aplicaciones en las cienciassociales, o la exposicin de los debates sobre las bases conceptuales de lateora.

Aunque libros sobre teora de juegos hay muchos, la mayora se orientahacia los economistas. Esto suele traducirse en un nivel elevado de formali-zacin matemtica y en ejemplos que casi siempre tienen que ver con elcomportamiento de las empresas. En lengua inglesa, pero no en espaola,hay introducciones a la teora de juegos ms especficas, como la de Morrow(1994) para ciencia poltica, la de Baird, Gertner y Picker (1994) para el de-recho, o incluso introducciones escritas a la vez para economistas y politlo-gos (Dutta 1999). Mencin aparte merece el reciente libro de McCarty y Mei-rowitz (2007), un manual extremadamente riguroso (y ms avanzado que elpresente) escrito expresamente desde la ciencia poltica con multitud deejemplos y aplicaciones propios de esa disciplina. En espaol no hay unapresentacin de la teora de juegos para cientficos sociales. A pesar de queeste libro no aspira a cubrir todo el terreno, s puede servir como primeratoma de contacto. Se ha procurado reducir la parte matemtica a su mnimaexpresin y apenas se da algo por sabido. Los ejemplos e ilustraciones queaparecen pertenecen al mbito de la ciencia poltica o la sociologa.

La teora de juegos constituye el material analtico ms importante quese emplea en la teora de la eleccin racional. La teora de la eleccin ra-cional, a pesar de su nombre, no es en realidad una teora: de hecho, nocontiene hiptesis que sean directamente verificables. Se trata ms bien deun enfoque o de una aproximacin a la realidad social. En su seno tienenlugar mltiples desarrollos, como la teora de la accin colectiva, los modelos

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espaciales de competicin poltica, la teora de la eleccin social o los mo-delos de economa poltica, todos ellos inspirados en el principio de que elfactor ms importante en la explicacin de la accin humana es la persecu-cin racional del auto-inters. Casi todos estos desarrollos recurren, enmayor o menor medida, a los instrumentos de anlisis que propone la teo-ra de juegos.

Para precisar cul es el mbito de aplicacin de la teora de juegos, con-viene realizar algunas distinciones. Desde el punto de vista ms general,cabe identificar dos grandes tipos de accin: la accin que se produce encontextos paramtricos y la que se produce en contextos estratgicos. En con-textos paramtricos, el agente conoce todos los parmetros que afectan a sudecisin. Por ejemplo, cuando un consumidor acude al mercado a compraralgn bien, los parmetros relevantes son los precios de los bienes y la res-triccin presupuestaria del consumidor. En este caso, la decisin, adems deser paramtrica, se lleva a cabo con certidumbre: el agente conoce los valoresde todos los parmetros (sabe cunto cuestan los bienes y de cunto dinerodispone para gastarse en esos bienes). En cambio, si un agente decide com-prar un billete de lotera, su decisin, aun siendo paramtrica, es una deci-sin que se toma bajo riesgo, pues el agente no puede saber de antemano siel billete adquirido va a resultar premiado o no, aunque puede saber la pro-babilidad de recibir el premio (si se sortean 100.000 nmeros, la probabili-dad de ganar es 1/100.000). Si el agente ni siquiera conoce esa probabilidad,decimos entonces que su decisin se lleva a cabo bajo incertidumbre. Porejemplo, si el agente invierte en bolsa, no sabe de antemano qu probabili-dad tiene de ganar o perder. Puede tener estimaciones personales o subjeti-vas de cmo va a evolucionar la bolsa, pero no se trata de una probabilidadobjetiva como la del caso de la lotera.

En las situaciones estratgicas, los resultados de la accin o eleccindel agente no dependen slo de parmetros. Adems de los parmetros, elresultado de la accin depende de lo que otras personas hagan. Decimosque hay interaccin estratgica entre varios agentes cuando la accin decada uno depende de las expectativas que cada uno tenga sobre lo que va-yan a hacer los dems. Supongamos una situacin estratgica entre dosagentes, A y B. Lo que haga A depende de lo que crea que B vaya a hacer,pero a su vez lo que B haga depende de lo que B crea que A vaya a hacer. Pen-semos en el juego de piedra, papel o tijeras. A sacar tijeras si piensa queB que va a sacar papel, pero B sacar piedra si piensa que A va a sacar tije-ras; ahora bien, si A sabe que eso es lo que B piensa, debera sacar en reali-dad papel, en cuyo caso B debera sacar tijeras, y as sucesivamente. Eneste ejemplo, podra parecer que el encadenamiento de las expectativas ori-gina una especie de crculo vicioso o un regreso al infinito que impide alagente tomar una decisin. Por fortuna, la teora de juegos demuestra queesto no es as, y que las situaciones estratgicas tienen soluciones raciona-les. En el caso del juego piedra, papel o tijeras, la teora recomendara a



cada jugador, por razones que se exponen en el captulo 2, que tomara sudecisin al azar, eligiendo con igual probabilidad cada una de las opcionesposibles.

Mientras que la teora de juegos se ocupa de las situaciones estratgi-cas, la teora de la decisin (o teora de la utilidad) estudia las situacionesparamtricas. Este reparto del trabajo no implica sin embargo que se tratede teoras independientes. Como se expone en el captulo 1, la teora dejuegos se construye sobre los fundamentos que proporciona la teora de ladecisin.

Las situaciones estratgicas se dan en multitud de mbitos. Hay depen-dencia estratgica cuando dos empresas en un duopolio tienen que fijar sunivel de produccin, cuando dos jugadores de ajedrez se enfrentan en unapartida, cuando un sindicato negocia con una empresa, cuando los partidospolticos compiten en unas elecciones, cuando los ejrcitos luchan en unabatalla, cuando diversos grupos tnicos tienen que organizar la convivenciaen un mismo territorio, cuando en un Parlamento los representantes estable-cen coaliciones para formar un Gobierno, cuando una organizacin terroris-ta presiona a un Estado, cuando se celebra una subasta, etctera.

La teora de juegos comenz analizando juegos de cartas como el pker.El trmino juego se conserv incluso despus de que la teora abandonarael estudio de los autnticos juegos y pasase a considerar situaciones estrat-gicas en general. Un juego, en este sentido, es cualquier situacin estratgi-ca. El primer trabajo importante en este campo fue Theory of Games andEconomic Behavior, publicado en 1944. Los autores, John von Neumann, unfsico y matemtico, y Oskar Morgenstern, un economista, proponan, entreotras cosas, una nueva teora de la utilidad (cuyas lneas generales se expo-nen en el captulo 1) y una solucin algortmica para los juegos de sumacero, juegos en que uno gana lo que el otro pierde. Demostraron que estosjuegos, aunque poco frecuentes en la realidad, tienen una solucin sencilla yelegante desde el punto de vista matemtico.

Las aportaciones principales se producen con la publicacin de variostrabajos sobre teora de juegos a cargo del matemtico John Nash (1996) enlos aos 1950-1953. Nash propuso una nocin general y simple de equilibrio(el llamado equilibrio de Nash, que se estudia en el captulo 2), entendiendopor equilibrio una situacin en la que ninguno de los jugadores tiene incenti-vos para cambiar su eleccin. Esta nocin se aplica por igual a juegos desuma cero, en los que la divergencia de intereses es total, y a los juegos de sumadistinta de cero, en los que tal divergencia es parcial. En un equilibrio deNash, los jugadores actan racionalmente (intentan maximizar su utilidad),y no pueden llegar a acuerdos entre s que no se sostengan sobre los propiosintereses de los jugadores. Cuando sucede que no hay posibilidad de estable-cer acuerdos cuyo cumplimiento sea garantizado por una tercera parte, sehabla de juegos no cooperativos. En este libro se examinan los juegos nocooperativos, dejando fuera los juegos cooperativos.

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Las aplicaciones y desarrollos de la teora de juegos tardaron tiempo enhacerse notar 1. Hasta bien entrados los aos sesenta del pasado siglo no serealizaron avances tericos de importancia. John Harsanyi propuso entoncessu teora de los juegos de informacin incompleta (vase el captulo 5) y Ri-chard Selten, en los setenta, ofreci nuevas nociones ms refinadas de equili-brio, teniendo en cuenta los problemas de credibilidad de las promesas yamenazas que pueden intervenir en los juegos (vase el captulo 3). Harsanyiy Selten colaboraron adems en un ambicioso proyecto destinado a propo-ner una teora del equilibrio vlido para cualquier tipo de juego que culmincon la publicacin del libro A General Theory of Equilibrium Selection in Ga-mes en 1988. Estos tres autores, Nash, Harsanyi y Selten, recibieron el pre-mio Nobel de Economa en 1994 por sus contribuciones decisivas a la teorade juegos. Durante los aos ochenta se avanz en lo que se conoce como re-finamientos del equilibrio de Nash, estableciendo por ejemplo los primerosmodelos de negociacin basados en teora de juegos no cooperativos (vanselos captulos 4 y 5). En los ltimos veinte aos, los avances ms relevantesdesde el punto de vista terico han sido dos. Por un lado, el desarrollo de losmodelos evolutivos, inspirados en el trabajo pionero de John Maynard Smith(1982), en los que no se supone racionalidad a los agentes 2. El mecanismode la seleccin natural, sin embargo, produce resultados equivalentes. Susaplicaciones no se limitan slo a la biologa: pueden encontrarse tambin eneconoma, psicologa, e incluso filosofa moral. Tienen la ventaja de que pue-den explicar fenmenos muy generales, desde una perspectiva macro, sin ne-cesidad de realizar supuestos exigentes sobre la racionalidad de los agentes.Por otro lado, ha sido fundamental tambin la aparicin de lo que suele lla-marse economa del comportamiento (behavioral economics) 3. Esta teora,motivada sobre todo por los resultados de mltiples experimentos de labora-torio, intenta adaptar el instrumental de la teora de juegos a la clase decomportamientos que los seres humanos llevan a cabo en la realidad y quese desva, en ocasiones de forma muy pronunciada, de lo que postulan losmodelos ms abstractos de teoras de juegos.

La teora de juegos fue penetrando lentamente en la teora econmica,hasta el punto de que hoy muchos manuales de microeconoma se exponenen trminos de esta teora. La teora de juegos, por ejemplo, ha resultado ex-tremadamente til en economa para entender todos aquellos intercambiosentre agentes en los que hay informacin asimtrica: una de las partes sabems que la otra, tiene informacin que los dems no conocen.

En ciencias sociales, es en ciencia poltica donde la teora de juegos hasido especialmente importante (Riker 1992). En la medida en que la ciencia


1 El lector interesado en la historia de la teora de juegos, puede consultar Wientraub (1992)y Kuhn (1997).

2 Un manual introductorio a la teora de juegos desde esta perspectiva es Gintis (2000).3 Un panorama general puede encontrarse en Camerer (2003).


poltica estudia situaciones estratgicas (negociaciones entre Estados, com-peticin entre partidos, relaciones entre grupos de inters y gobiernos,conflictos entre instituciones, etc.), la teora de juegos encuentra un terrenofrtil. El uso de modelos de teora de juegos es habitual en las principales re-vistas de ciencia poltica. Resulta frecuente encontrar modelos formales enlas pginas de American Political Science Review, American Journal of Politi-cal Science, European Journal of Political Research, Journal of Theoretical Po-litics, Rationality & Society e incluso en revistas ms tradicionales comoWorld Politics o International Organization. La teora de juegos ha pasado aser una herramienta casi tan importante como las tcnicas estadsticas deanlisis de datos.

La sociologa, aunque en menor medida que la ciencia poltica, tambinmuestra un inters creciente por la teora de juegos. As, desde los modelosmatemticos de Coleman (1990) hasta la apuesta fuerte de Goldthorpe(2000: caps. 5-6) por la eleccin racional, pasando por los trabajos de lo quese llam marxismo analtico (Roemer 1986) o por los estudios de accincolectiva y movimientos sociales (Marwell y Oliver 1993, Heckathorn 1996)hay trabajos abundantes en los que, de manera programtica o aplicada, seusa el instrumental de la teora de juegos.

No obstante esta difusin rpida y amplia, la teora de la eleccin racio-nal, y con ella la teora de juegos, ha sido objeto de una intensa discusinmetodolgica en ciencia poltica y tambin en sociologa, sobre todo a partirde la publicacin en 1994 del libro de Donald Green e Ian Shapiro, Patholo-gies of Rational Choice. Se ha acusado a esta teora de estar ms preocupadapor la elegancia formal de los modelos que por su relevancia emprica. Se haobjetado tambin que, cuando la teora se interesa por la realidad, suele serinmune a los fracasos, pues siempre cabe hacer modificaciones ad hoc de losmodelos hasta que stos se ajusten a los hechos. A juicio de sus crticos, lateora de la eleccin racional est lastrada por sus planteamientos universa-listas (aplicacin irrestricta del supuesto de racionalidad) y por una ambi-cin excesiva. La resistencia a la teora est incluso relativamente organiza-da. Un movimiento de acadmicos, agrupados bajo el nombre de Perestroika,ha protestado, llegando hasta las pginas de New York Times, por la hegemo-na intelectual y la influencia institucional que ha adquirido la teora en laciencia poltica (Monroe 2005).

No se entra aqu en esa discusin, pues nos alejara del objetivo principal,la exposicin de la propia teora. Con todo, no est de ms hacer algunas ob-servaciones generales y breves sobre las ventajas e inconvenientes que plan-tea el uso de la teora de juegos en las ciencias sociales. La teora de juegosparte del supuesto comn a toda la teora econmica de que los agentes ac-tan en funcin de sus preferencias, es decir, que tratan de maximizar suutilidad. El valor aadido de la teora de juegos radica en que especifica enqu consiste actuar en funcin de preferencias en situaciones estratgicas.Establece qu estrategias son racionales dado que cada agente sabe que

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todos los dems estn tambin tratando de maximizar su utilidad. As, sedice que una combinacin de estrategias constituye un equilibrio cuandoninguno de los agentes puede aumentar unilateralmente su utilidad cam-biando de estrategia. La teora de juegos calcula en cada juego qu cuentacomo equilibrio.

Gracias al concepto de equilibrio, economistas, politlogos y socilogospueden elaborar modelos formales de situaciones estratgicas 4. Para la cons-truccin del modelo es necesario tomar decisiones sobre qu es esencial yqu es accidental o accesorio en la descripcin de la situacin que se quiereanalizar. En primer lugar, hay que identificar cules son los actores relevan-tes. En segundo lugar, hay que especificar qu preferencias tienen los acto-res. No siempre es fcil hacerlo, pues es preciso contar con alguna razn po-derosa para atribuir unas preferencias y no otras. En caso contrario, cabesospechar que se eligieron unas preferencias determinadas para conseguirderivar un equilibrio que coincida con la realidad, en cuyo caso el modelo notiene valor explicativo alguno. En tercer lugar, hay que especificar tambinde qu tipo de informacin disponen los actores. En cuarto lugar, hay queaclarar qu estrategias o qu acciones pueden llevar a cabo los actores. Unavez identificados los actores, sus preferencias, su informacin y sus estrate-gias, se procede a resolver el modelo, es decir, se calcula qu combinacio-nes de estrategias pueden ser equilibrios cuando los actores son racionales.

Los equilibrios sirven de base para la derivacin de consecuencias emp-ricas del modelo. Se puede comprobar si los resultados de la realidad coinci-den en mayor o menor medida con el modelo. Si no coinciden, siempre cabela posibilidad de arreglarlo modificando alguno de los supuestos iniciales so-bre el nmero de jugadores, sus preferencias o su informacin. Para garanti-zar que el modelo pueda ser puesto a prueba con algo ms de rigor, no sedebe comparar una situacin concreta con el equilibrio predicho por el mo-delo, sino ms bien establecer conclusiones sobre cmo el equilibrio semodifica cuando cambian los valores de las variables independientes que se-gn el modelo tienen peso explicativo. De esta forma, el investigador puedeelegir varios casos empricos, cada uno con valores diferentes en las varia-bles independientes, y explicar las variaciones encontradas en la variable de-pendiente a partir de los cambios en el equilibrio que se producen cuandovaran las variables independientes.

Un ejemplo que ilustra este procedimiento puede ser el de los modelos dedemocratizacin desarrollados por Daron Acemoglu y James A. Robinson ensu celebrado libro Economic Origins of Dictatorship and Democracy (2006).Los autores han elaborado un conjunto de modelos de teora de juegos paraexplicar por qu algunos pases se transforman en democracias estables,otros permanecen como regmenes dictatoriales y finalmente algunos transitan


4 Un libro interesante sobre los problemas de elaboracin y uso de modelos formales en lasciencias sociales es Morton (1999).


de forma inestable entre la democracia y la dictadura. A su juicio, la demo-cracia es una solucin institucional que aceptan a regaadientes los ricospara evitar una revolucin de los pobres que acabe con su riqueza. Las re-glas democrticas garantizan a los pobres cierto nivel de redistribucin eco-nmica, previnindose de este modo cualquier intento revolucionario. Elanlisis de las condiciones en las que la democracia es un equilibrio (un sis-tema poltico en el que ningn grupo con poder para ello intenta cambiar)permite formular hiptesis empricamente verificables y a las que habrasido difcil llegar de no ser por el modelo. Por ejemplo, los autores demues-tran que, dados los supuestos de partida, la democracia es ms probable quearraigue en pases en los que hay un grado intermedio de desigualdad econ-mica. En regmenes con mucha igualdad el problema redistributivo es me-nor y por tanto puede que no llegue a surgir una demanda de democracia;mientras que en regmenes muy desiguales los ricos tienen tanto que perderque prefieren reprimir y mantener un rgimen dictatorial antes que dar pasoa una democracia que podra resultar demasiado costosa en trminos econ-micos.

Los modelos de teora de juegos son especialmente tiles en las cienciassociales cuando consiguen proporcionar hiptesis de trabajo a las que no sepodra haber llegado sin la mediacin del modelo. Con todo, los modelospueden tener otros usos que van ms all de su aplicacin emprica inmedia-ta. Con frecuencia, sirven para introducir claridad y precisin en cuestionesque empricamente son muy complejas. As, el modelo ideal de competicinbipartidista establece que en equilibrio los partidos presentan programaselectorales idnticos. Sin duda, no se trata de una prediccin demasiado rea-lista. Sin embargo, el modelo es importante, pues configura un punto de re-ferencia bsico a partir del cual se pueden ir introduciendo variables nuevas(incertidumbre, distintos tipos de preferencias de los partidos) que contribu-yan a aproximarnos mejor a la realidad.

Al emplear modelos de teora de juegos, el cientfico social se comprome-te a ser transparente en los supuestos que realiza. De la misma manera, elmodelo garantiza que haya una conexin lgica entre dichos supuestos y lashiptesis ltimas que se deriven del equilibrio encontrado. Se gana por tantoen rigor y claridad. Como contrapartida, los modelos obligan a dejar de ladoinformacin emprica detallada que puede ser de gran inters pero que, se-gn la teora, no es necesaria para entender el asunto que se est analizando.Desde un punto de vista instrumental, cabe decir que los modelos de teorade juegos son una herramienta para el cientfico social: no hay razn parausarlos siempre, pero tampoco para rechazarlos por principio.

Este libro se divide en cinco captulos. El primero es una introduccin ala teora de la utilidad. El segundo aborda los juegos en forma normal. Eltercero se adentra en los juegos en forma extensiva. El cuarto estudia los jue-gos repetidos a lo largo del tiempo. El quinto analiza los juegos de informa-cin incompleta. En cada captulo se incluye una seccin en la que se aplica

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el instrumental terico correspondiente a algn problema especfico de cien-cia poltica o sociologa. Para ello, se resumen y simplifican modelos quehan aparecido en la literatura y que se ajustan bien a las necesidades de unlibro introductorio como ste. As, en el primer captulo se expone un mode-lo sobre la decisin de los partidos polticos de moderarse ideolgicamentepara ganar las elecciones (Snchez-Cuenca 2004); en el segundo, se presentaun modelo sobre reformas administrativas en Latinoamrica (Geddes 1992);en el tercero, se analiza, por un lado, el conflicto tnico en la guerra civil yu-goeslava (Fearon 1998) y, por otro, la poltica monetaria y la independenciade los bancos centrales (Barro y Gordon 1983); en el cuarto se aborda unmodelo sobre la formacin de ideologas polticas a partir de coaliciones deintereses (Bawn 1999); y en el quinto se analiza un modelo sobre democraciay redistribucin de la riqueza (Boix 2003). Estas aplicaciones ayudan a clari-ficar los conceptos de la teora de juegos e ilustran cmo esta teora se puedeutilizar en las ciencias sociales para entender mejor la realidad.

Nota sobre la segunda edicin: Esta segunda edicin mejora y ampla no-tablemente la original de 2004. Ante todo, se han corregido diversos erroresde la versin anterior. Adems, en esta ocasin el Comit Editorial de la se-rie Cuadernos Metodolgicos del CIS ha tenido a bien dejar un mayor mar-gen de discrecionalidad en la seleccin de los modelos aplicados, lo que meha permitido cambiar varios de los modelos que se presentaban en la prime-ra edicin y aadir algunos nuevos. Confo en que, de esta manera, haya unmejor ajuste entre los contenidos tericos y aplicados del libro. Por ltimo,he modificado en gran medida la exposicin del captulo 1 sobre teora de lautilidad, aadiendo un anlisis ms sistemtico sobre la idea de racionali-dad, el principio de utilidad esperada y las actitudes hacia el riesgo. Quisieraaprovechar esta nota para agradecer a los estudiantes del Centro de EstudiosAvanzados en Ciencias Sociales del Instituto Juan March que pasaron por micurso sobre teora de juegos y modelos formales en ciencia poltica. Estelibro lo he escrito a partir de los materiales que durante siete aos utilic enla preparacin de aquel curso.



1El principio de racionalidad

y la teora de la utilidad

El principio de racionalidad

La teora de la eleccin racional, como ya se ha mencionado en la introduc-cin, parte del supuesto de que los agentes son racionales. Conviene explicarqu quiere decir exactamente que los agentes sean racionales. Primero sepresenta una definicin genrica, que vale para todas las situaciones posi-bles y luego se analiza cmo dicha definicin genrica se desarrolla de mododistinto en funcin del tipo de problema con el que se enfrente el agente.Hay versiones ms exigentes que otras con respecto a los contenidos de laracionalidad. Que una versin de la racionalidad sea ms exigente que otrasignifica que parte de supuestos ms restrictivos sobre la forma en la que elagente toma sus decisiones. Cuanto ms exigente sea la definicin de racio-nalidad que se maneja, menos realista resulta.

La premisa de la que parte el supuesto de racionalidad es muy sencilla:los agentes (ya sean actores individuales, es decir, personas, o colectivos,como Estados, partidos polticos, sindicatos, clases sociales) tienen deseossobre cmo les gustara que fuera el mundo y creencias acerca de cmo fun-ciona el mundo. En la terminologa propia de la teora econmica y la teorade la eleccin racional, a esos deseos se les llama preferencias. Una vez que elagente tiene unas preferencias, el principio de racionalidad establece queel agente actuar en funcin de las mismas. Que el agente elija a partir de suspreferencias slo significa que el agente acta buscando lo mejor frente a lopeor. Este supuesto se conoce tambin como el supuesto de comportamientoauto-interesado. El agente acta en funcin de sus preferencias y no en fun-cin de las preferencias de los dems.

Comportamiento auto-interesado no implica necesariamente comporta-miento egosta. El agente puede ser egosta, en el sentido de que slo se preo-cupe por su propio bienestar, pero puede ser tambin altruista o envidioso,en el sentido de que adems de su propio bienestar le preocupe tambin el

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bienestar de los dems. Si el agente tiene preferencias acerca del bienestarde los dems, sigue siendo auto-interesado, pues acta todava en funcin desus preferencias. El altruista se alegra de que los dems mejoren su condi-cin, mientras que el envidioso se lamenta.

A pesar de que el principio del comportamiento auto-interesado sirvapara un espectro tan amplio de motivaciones, lo cierto es que en la literaturacasi siempre se parte de comportamiento egosta (Snchez-Cuenca 2008). Elsupuesto del egosmo suele introducirse no porque el investigador pienseque los agentes son verdaderamente egostas, sino ms bien por razones me-todolgicas, ya sea porque se crea que de otra manera la teora no es verifi-cable empricamente, ya sea porque se tema que la teora se vuelva tautolgi-ca, vaca de contenido. En cuanto a la verificacin: como se ha visto antes,las preferencias son privadas, se revelan indirectamente en el comporta-miento del agente. De ah que cuanto ms variadas sean las preferencias,ms difcil resulte comprobar si la teora es cierta o no. En cuanto a la tauto-loga: si al agente puede atribursele cualquier tipo de preferencia, al finalsiempre podremos conseguir una explicacin de su accin. El supuesto deegosmo es tan slo un caso especial, aunque habitual, de comportamientoauto-interesado. En el plano de abstraccin en el que todava nos estamosmoviendo, el principio de racionalidad se define a partir del comportamien-to auto-interesado, no a partir del comportamiento egosta. Con otras pala-bras, tener preferencias no egostas no implica que el agente sea irracional.Otra cosa es que cuando la teora se aplique en situaciones concretas, se su-ponga que el comportamiento auto-interesado sea de naturaleza egosta.

En este captulo se define el principio de racionalidad en los trminosms generales posibles, sin realizar supuesto alguno sobre el contenido delas preferencias del agente. Para ello, conviene analizar formalmente el con-cepto de preferencia y sus propiedades. La preferencia se puede definircomo una relacin binaria entre alternativas. Para explicar qu quiere deciresto exactamente, comenzaremos situndonos en un contexto de certidum-bre, en el que cada accin del agente se asocia a un resultado nico. Porejemplo, al elegir entre ir al cine o al ftbol, mi decisin se realiza con certi-dumbre. En cambio, al elegir entre dos partidos polticos en unas elecciones,acto con incertidumbre, pues nunca puedo estar seguro de antemano acer-ca de qu van a hacer los partidos en caso de llegar al poder.

Con certidumbre, tenemos un conjunto de acciones A = {a1, a2, , ak}, unconjunto de resultados producidos por las acciones X = {x1, x2, , xk} y unafuncin x: A X que establece que a cada accin le corresponde un nicoresultado. Pues bien, en este contexto de certidumbre, las preferencias sepueden definir igualmente en trminos de acciones o de resultados. Conotras palabras, al decir que las preferencias son relaciones binarias entre al-ternativas, las alternativas pueden ser tanto acciones como resultados. Cuan-do pasemos a examinar el caso de la incertidumbre, veremos que las prefe-rencias se definen slo en trminos de acciones.


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La relacin binaria de preferencia entre dos resultados cualesquiera xi yxj se representa as:

xiRxj

La expresin anterior se interpreta de la siguiente forma: el resultado xjno se prefiere al resultado xi, o, lo que es igual, xi es al menos tan buenocomo xj. Tcnicamente, a esta relacin binaria se le llama preferencia dbil,frente a la preferencia estricta, que se presenta como un caso especial y re-presentamos como la relacin P. La definicin es la siguiente:

xiPxj si y slo si sucede que xiRxj y ~xjRxi

El signo ~ representa la negacin lgica. Por tanto, decimos que xi seprefiere estrictamente a xj cuando xi es al menos tan bueno como xj y no escierto que xj sea tan bueno como xi. Igualmente, podemos definir la relacinI de indiferencia como sigue:

xiIxj si y slo si sucede que xiRxj y xjRxi

El agente es racional cuando el agente elige en funcin de sus preferen-cias (frente a los impulsos, la tradicin, la imitacin o cualquier otra formade motivacin que no sea reducible a preferencias) y estas preferencias cum-plen ciertas condiciones que garantizan su coherencia interna. En concreto,las preferencias han de ser una ordenacin dbil. Una relacin binaria esuna ordenacin dbil cuando cumple tres propiedades, la completitud, lareflexividad y la transitividad. A continuacin se definen estas tres propie-dades:

(1) Completitud: dados dos resultados cualesquiera, tiene que sucederalguna de estas tres cosas siendo | y & los smbolos lgicos de ladisyuncin y la conjuncin respectivamente:

xiRxj | xjRxi | (xiRxj & xjRxi)

(2) Reflexividad: para todo resultado xi, xiRxi(3) Transitividad: para cualquier subconjunto de tres resultados, se cum-

ple que

xiRxj & xjRxk xiRxk

Con palabras: la propiedad de la completitud requiere que ante dos resul-tados cualesquiera, el agente sea capaz de compararlos y definir sus prefe-rencias, contemplndose, claro est, la posibilidad de la indiferencia. Sola-

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mente se excluye la posibilidad de que haya resultados tan distintos entre sque no sean comparables en ningn sentido. La reflexividad es una propie-dad trivial: cualquier resultado es tan bueno como s mismo. La propiedadms importante es, sin duda, la de la transitividad, pues garantiza que laselecciones del agente tengan sentido. Si x1 se prefiere a x2 y x2 a x3, no ten-dra sentido que x3 se prefiriera a x1. El agente adoptara cursos de accincontradictorios si sus preferencias no cumplieran la propiedad de ser transi-tivas.

El principio de racionalidad puede formularse entonces del siguientemodo: un agente es racional si acta en funcin de sus preferencias y suspreferencias son una ordenacin dbil (cumplen las propiedades de comple-titud, reflexividad y transitividad).

Funciones de utilidad

Una funcin de utilidad asigna nmeros a las preferencias. Dichos nmerosmiden la utilidad o el bienestar que una persona obtiene si se da un ciertoresultado cuando realiza una accin. La utilidad, por tanto, no es ms que latraduccin cuantitativa de las preferencias. Cuando hablamos en estos tr-minos, el supuesto de racionalidad implica que el agente elige aquella accinque maximiza su funcin de utilidad. Como el valor mximo de la funcinequivale a la opcin ms preferida, decir que alguien acta racionalmentecuando elige a partir de sus preferencias o cuando maximiza su funcin deutilidad es equivalente. En cualquier caso, es fundamental recordar que larelacin ms bsica es la de preferencia. Porque preferimos xi a xj, xi nosproporciona ms utilidad que xj y no al revs: no es que porque xi proporcio-na ms utilidad que xj preferimos xi a xj. Valga la siguiente analoga: ascomo no decimos que hace ms calor porque el termmetro marca una tem-peratura ms alta, sino que el termmetro marca una temperatura ms altaporque hace calor, tampoco se prefiere algo porque proporcione ms utili-dad, sino que proporciona ms utilidad porque se prefiere en mayor medidaque otras cosas.

Las funciones de utilidad tienen grados diversos de complejidad segn elcontexto de la accin en el que se apliquen. Siguiendo con el esquema pro-puesto en la introduccin, lo fundamental es averiguar si el agente, al actuar,tiene o no certidumbre acerca de los resultados que su accin provocar. Laincertidumbre, como veremos en seguida, introduce cierta complicacin enel anlisis.


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Funciones de utilidad en contextos paramtricos de certidumbre

Si hay certidumbre, basta, para representar las preferencias del agente, unafuncin de utilidad ordinal, es decir, una funcin que ordena resultados perono mide la distancia que hay en trminos de utilidad entre un resultado yotro. Cuando se sabe a ciencia cierta qu resultado va a producir la accin,el resultado ms preferido es el que proporciona ms utilidad y por tanto daigual a qu distancia en utilidad est ese resultado del siguiente, puesto queel agente siempre elige su primera preferencia. A fin de caracterizar la elec-cin racional, basta por tanto con que la funcin ordene las preferencias.

Sea U(xi) la utilidad que proporciona el resultado xi. Formalmente, pode-mos caracterizar as la propiedad especfica de las funciones de utilidad encontextos de certidumbre:

Si xi xj, entonces U(xi) U(xj).

Lo nico que importa en esta funcin de utilidad es que el primer nme-ro sea mayor que el segundo, dando igual cunto mayor sea. Por ejemplo, silas preferencias son tales que x1 x2 x3, cualquier funcin de utilidad quesatisfaga U(x1) U(x2) U(x3) representa igualmente bien el orden de prefe-rencias subyacente. Las dos funciones siguientes son iguales:

Funcin A Funcin B

U(x1) = 100 U(x1) = 1

U(x2) = 25 U(x2) = 0

U(x3) = 1.000 U(x3) = 1

Ntese que no hay ninguna relacin lineal entre ambas funciones. Lasdos funciones reflejan igualmente el orden de preferencias porque en amboscasos x1 es el resultado ms preferido, x3 el menos, y x2 ocupa la posicin in-termedia.

Funciones de utilidad con incertidumbre

Cuando no hay certidumbre, el agente no puede saber con seguridad cul vaa ser el resultado de cada una de sus acciones. Por tanto, no podemos asig-nar un resultado nico a una accin y a continuacin calcular la utilidad dela accin a partir de la utilidad del resultado. Ahora la utilidad ha de sercalculada teniendo en cuenta todos los resultados que una accin puede pro-ducir. De este modo, el argumento de la funcin de utilidad son ahora las

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acciones, no los resultados, pues el agente puede elegir directamente entrediversos cursos de accin, pero no tiene la capacidad de elegir resultados.

La ontologa del problema de decisin se complica en consecuencia. An-tes era suficiente con definir un conjunto A de acciones y un conjunto X deresultados. Caba definir una funcin x: A X que estableca qu resultado xse asociaba a cada accin a. Ahora tenemos que introducir un nuevo elemen-to, los estados del mundo. Diremos que hay un conjunto E = {e1, e2, , ek} enel que cada elemento es un estado del mundo que determina si una accinproduce un resultado u otro. Formalmente, se construir una funcin x(a, e):A E X, en la que los resultados se derivan de una combinacin de accio-nes y estados del mundo.

La mejor manera de ilustrar esta idea ser a travs de un ejemplo. Supon-gamos un poltico que es acusado con fundamento de haber malversado fon-dos. El poltico no sabe si las acusaciones se basan en pruebas o son slomeras sospechas. Hay dos estados del mundo acerca de los cuales no tienecertidumbre: o bien hay pruebas que respaldan las acusaciones o bien no lashay. El poltico puede hacer tres cosas: negarlo todo, reconocer una parte oreconocerlo todo. Los datos del problema, incluyendo los resultados, se resu-men en el cuadro 1.1. Si el poltico lo niega todo y el estado del mundo esaquel en el que no hay pruebas, sale reforzado en su posicin por haber sidovctima de un ataque injusto; si lo niega todo y, sin embargo, el estado delmundo es aquel en el que hay pruebas, se le obliga a dimitir. Si lo confiesatodo, da igual el estado del mundo, el caso es que se le obliga a dimitir. Siconfiesa parte, sale debilitado haya o no pruebas, pero no se fuerza su desti-tucin por haber hecho frente a las acusaciones siendo sincero hasta ciertopunto.

CUADRO 1.1

EL PROBLEMA DEL POLTICO CORRUPTO

Estados del mundoAcciones

Hay pruebas (e1) No hay pruebas (e2)

Negarlo todo (a1) Destituido (x1) Reforzado (x3)

Confesar parte (a2) Debilitado (x2) Debilitado (x2)

Confesar todo (a3) Destituido (x1) Destituido (x1)

Dado lo que sabemos acerca de las motivaciones y los comportamientosde los polticos en una democracia, no es demasiado arriesgado imputar


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unas preferencias segn las cuales el poltico prefiere salir reforzado a que-dar debilitado y prefiere tambin quedar debilitado a ser destituido:

x3 x2 x1

El problema radica en que el poltico no puede elegir directamente el re-sultado de salir reforzado. Para conseguir ese resultado, tiene que elegir laaccin de negar todas las acusaciones, pero acabamos de ver que dicha ac-cin produce resultados inciertos, pues dependiendo de cul sea el estadodel mundo verdadero, su accin puede dar lugar al resultado ms deseado,salir reforzado, pero tambin al menos deseado, ser destituido. Cmo reali-za su eleccin entonces el agente racional?

La teora de la eleccin racional se limita en este punto a formalizar elsentido comn. ste nos indica que el poltico se arriesgar a negarlo todo siconsidera que el estado del mundo en el que no hay pruebas es muy proba-ble. Si, por el contrario, piensa que lo ms probable es que haya pruebas,elegir otras acciones antes que negarlo todo. Lo que hace el agente, por tan-to, es ponderar los resultados posibles de las acciones por su probabilidad deocurrencia. De esta manera, el agente puede valorar y comparar entre s losdistintos cursos de accin incluso cuando hay incertidumbre.

La idea fundamental de utilidad esperada recoge esta intuicin. Para sudefinicin formal, necesitamos los siguientes elementos. Primero, las proba-bilidades de ocurrencia de los distintos estados del mundo, o lo que es igual,una distribucin de probabilidad sobre los estados del mundo. La probabili-dad de cada estado del mundo la representaremos genricamente como p(e).La suma de todas ellas, evidentemente, da 1. Estas probabilidades puedenentenderse en sentido objetivo, como frecuencias relativas en el lmite, o ensentido subjetivo, como creencias del agente acerca del mundo. En el ejem-plo del poltico corrupto, las probabilidades son claramente creencias, yaque no cabe aplicar en este contexto frecuencias relativas. Segundo, tenemosla utilidad de los resultados, que representaremos como U[x(a, e)], es decir, lautilidad del resultado x que resulta de la accin a en un estado del mundo e.Por ltimo, tenemos la utilidad esperada asociada a una accin a, que repre-sentaremos como UE(a), y que definiremos como la suma de las utilidadesde todos los resultados posibles asociados a la accin a ponderados por suprobabilidad de ocurrencia en cada caso. Es decir,

UE(a) = p(e)U[x(a, e)], p = 1A continuacin intentaremos aplicar la utilidad esperada en el ejemplo

del poltico corrupto. Para ello, daremos valores a las probabilidades de losdos estados del mundo (que haya pruebas o que no las haya). Adems, asig-naremos unos valores arbitrarios entre 0 y 1 a la utilidad de los resultados.En la seccin siguiente veremos cmo pueden establecerse esos valores

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numricos de tal manera que reflejen las preferencias del agente. En concre-to, supondremos lo siguiente:

U(Reforzado) = 1 p(Hay pruebas) = 0,2

U(Debilitado) = 0,6 p(No hay pruebas) = 0,8

U(Destituido) = 0

Dadas estas medidas de utilidad con respecto a los resultados y dadas es-tas probabilidades o creencias, podemos calcular ahora la utilidad esperadaque corresponde a cada accin posible:

UE(Negarlo todo) = p(Hay pruebas)U(Destituido) +

+ p(No hay pruebas)U(Reforzado)

Sustituyendo,

UE(Negarlo todo) = 0,2*0 + 0,8*1 = 0,8.

Igualmente, para la accin de confesar parte:

UE(Confesar parte) = p(Hay pruebas)U(Debilitado) +

+ p(No hay pruebas)U(Debilitado)

Sustituyendo,

UE(Confesar parte) = 0,2*0,6 + 0,8*0,6 = 0,6.

Finalmente, en cuanto a confesarlo todo,

UE(Confesar todo) = p(Hay pruebas)U(Destituido)

+ p(No hay pruebas)U(Destituido)

Sustituyendo,

UE(Confesar todo) = 0,2*0 + 0,8*0 = 0.

La mayor utilidad esperada se produce cuando el poltico lo niega todo.Por lo tanto, un poltico racional negar las acusaciones de escndalo si losdatos del problema se corresponden con los que aqu hemos supuesto. Ne-garlo todo maximiza la utilidad del agente. Por supuesto, podra suceder que


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los distintos resultados se valoraran de otra forma, o que el poltico tuviesedistintas creencias sobre si hay pruebas o no. Por ejemplo, supngase que,manteniendo constantes las utilidades de los resultados, queremos saber conqu creencias sobre la existencia de pruebas el poltico preferir confesarparte a negarlo todo. Es decir, lo que se pide es resolver la siguiente inecua-cin o desigualdad:

UE(Confesar parte) UE(Negarlo todo)

Dando valores a todo menos a p, que es lo que queremos averiguar, ladesigualdad a resolver se puede expresar as:

p0,6 + (1 p)0,6 p0 + (1 p)1

Es fcil darse cuenta de que esta desigualdad slo se cumple cuandop 0,4. Si la creencia de que hay pruebas es superior a 0,4, entonces el pol-tico confesar parte, pues esa accin es la que ahora maximiza su utilidad.

En este ejemplo es evidente que la clave est en que la utilidad que seasigna a los resultados tenga alguna justificacin. Y esto por dos razones:primero, porque si podemos alterar a conveniencia la utilidad de los resulta-dos, la utilidad esperada de cada accin variar arbitrariamente. Segundo,porque estamos ponderando dichas utilidades por las probabilidades conte-nidas en las creencias y esa ponderacin slo tiene sentido si dichas utilida-des no son arbitrarias. Con otras palabras, lo que se revela en el ejemplo an-terior es que tanto las utilidades de los resultados como la propia utilidadesperada se tienen que expresar cardinalmente, no ordinalmente. Importano slo el orden de las utilidades, sino tambin la distancia entre ellas. Lacuestin es: hay alguna forma de definir cardinalmente la utilidad para quepueda aplicarse el principio de utilidad esperada? La respuesta es afirmati-va. Fueron los fundadores de la teora de juegos, John von Neumann y OskarMorgenstern, los que propusieron una solucin.

Las funciones de utilidad Von Neumann-Morgenstern

Las funciones de utilidad Von Neuman-Morgenstern son cardinales porquesus creadores consiguieron idear un mtodo no arbitrario para asignar valo-res numricos a los resultados. Se trata de ver cmo se valoran los resulta-dos intermedios (los que estn entre el mejor y el peor resultado) en trmi-nos de una lotera en la que slo intervengan el mejor y el peor resultado.Una lotera L se define como un emparejamiento de probabilidades y resul-tados. Formalmente,

L = (p1x1, p2x2, ..., pnxn), pi = 1

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Von Neumann y Morgenstern utilizan esta definicin de lotera para con-seguir utilidades cardinales. En el ejemplo del poltico corrupto, tenamostres resultados, reforzado, debilitado y destituido. De lo que se trata esde expresar la utilidad del resultado intermedio, debilitado, en trminos deuna lotera entre el mejor y el peor resultado, es decir, en trminos de refor-zado y destituido. Ms concretamente, de lo que se trata es de medir lavaloracin del resultado intermedio en trminos del riesgo que estara elagente dispuesto a asumir por conseguir el mejor resultado, reforzado.

Veamos esto con un poco de detalle. Supongamos que al poltico se leplantea este dilema: ha de elegir entre quedar debilitado con seguridad, ouna lotera en la que hay una probabilidad de dos quintos (40%) de salir re-forzado y una probabilidad de tres quintos (60%) de ser destituido. La lote-ra se representara formalmente como (0,4x3, 0,6x1). En este caso, el polticodice que prefiere salir debilitado con seguridad a participar en semejante lo-tera. Esto es as porque la valoracin relativa de salir debilitado frente a sa-lir reforzado no queda bien reflejada en la lotera anterior: el poltico necesi-ta una probabilidad todava mayor de salir reforzado para aceptar la lotera.Si la lotera fuese en cambio (0,8x3, 0,2x1), el poltico preferira jugar dichalotera a salir debilitado con seguridad. Podemos seguir afinando en este in-tercambio entre un resultado seguro y una lotera en la que intervengan elprimer y el ltimo resultado hasta llegar a un punto de indiferencia. Con losdatos del ejemplo, supondremos que el poltico es indiferente entre salir de-bilitado con certeza y la lotera (0,6x3, 0,4x1). En cierto modo, esto significaque el resultado intermedio, salir debilitado, vale un 60% con respecto al pri-mer resultado, que es salir reforzado.

La forma de medir cardinalmente las utilidades de los resultados consisteen encontrar el punto de indiferencia entre un resultado intermedio seguro yuna lotera en la que slo intervengan el mejor y el peor resultado. Por co-modidad, normalizamos la escala de utilidad, forzando que el mejor resul-tado valga 1 y el peor 0. Las opciones intermedias se sitan entre 0 y 1 de-pendiendo del riesgo que el agente est dispuesto a asumir por jugar tallotera. Cuanto mayor sea la probabilidad de conseguir el mejor resultadoque es necesaria para conseguir la indiferencia, menor es el riesgo que estdispuesto a asumir el agente, lo que significa que ms valora la opcin inter-media. En el ejemplo partimos de esta situacin:

U(x3) = 1

U(x1) = 0

U(x2) = U(L(0,6x3, 0,4x1) = 0,6

Como la utilidad de x2 es la misma que la de la lotera L, y la lotera L tie-ne una utilidad esperada de 0,6 (0,6*1 + 0,4*0), asignamos la utilidad 0,6a x2. De esta manera, hemos conseguido una forma no arbitraria de asignar


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utilidad cardinal a los resultados. Lo mismo podramos hacer si hubiera msde un resultado intermedio. En ese caso, se busca una relacin de indiferen-cia entre cada resultado intermedio y la respectiva lotera entre el mejor y elpeor resultado posible.

Una vez visto qu es una lotera y cmo se asignan valores cardinales alos resultados en funcin de loteras especiales en las que slo intervienen elmejor y el peor resultado, podemos caracterizar con ms rigor en qu consis-te una funcin de utilidad Von Neumann-Morgenstern. La novedad principalde estas funciones es que se definen sobre loteras. Es decir, dadas varias lo-teras, la funcin de utilidad Von Neumann-Morgenstern asigna nmeroscardinales a cada lotera que reflejan la intensidad de las preferencias subya-centes sobre dichas loteras. Qu inters tiene definir la funcin de utilidada partir de loteras? En realidad, es la nica manera de resolver el problemageneral de la utilidad esperada. Supongamos que el agente tiene que elegirentre estas dos loteras L y L, donde x1 es el mejor resultado, x4 el peor y x2y x3 los resultados intermedios:

L = (0,4x1, 0,1x2, 0,2x3, 0,3x4)

L = (0,2x1, 0,3x2, 0,3x3, 0,2x4)

Para poder resolver un problema as, necesitamos en primer lugar cono-cer la equivalencia entre las opciones intermedias y las loteras correspon-dientes que slo contengan la mejor y la peor opcin. Supngase que estasequivalencias son las siguientes:

x2 (0,7x1, 0,3x4)

x3 (0,4x1, 0,6x4)

Ahora podemos sustituir en L y L los resultados intermedios por sus co-rrespondientes loteras:

L = (0,4x1, 0,1[0,7x1, 0,3x4], 0,2[0,4x1, 0,6x4], 0,3x4)

L = (0,2x1, 0,3[0,7x1, 0,3x4], 0,3[0,4x1, 0,6x4], 0,2x4)

Con esta transformacin, las dos loteras L y L se componen nicamentedel mejor y el peor resultado. Basta con distribuir y agrupar trminos parapoder comparar inmediatamente cul de las dos loteras proporciona unaprobabilidad mayor de conseguir el mejor resultado. Dicha lotera ser la queelija el agente:

L = (0,4x1, 0,07x1, 0,03x4, 0,08x1, 0,12x4, 0,3x4) = (0,55x1, 0,45x4)

L = (0,2x1, 0,21x1, 0,09x4, 0,12x1, 0,18x4, 0,2x4) = (0,53x1, 0,47x4)

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Puesto que la probabilidad de obtener el mejor resultado posible es msalta en L que en L, un agente racional elegir L. Esta forma de tomar unadecisin es lo que se conoce en la teora de la utilidad como sure-thing prin-ciple.

Las funciones de utilidad Von Neumann-Morgenstern desempean un pa-pel crucial no slo en la teora de utilidad: los pagos de los juegos que vamosa ver en los siguientes captulos estn medidos en utilidad Von Neumann-Morgenstern. Estas funciones de utilidad permiten hacer clculos de utilidadesperada gracias al procedimiento de definir las opciones intermedias en tr-minos de loteras entre la mejor y la peor opcin. De este modo, se puedencomparar y valorar diversas loteras, justo lo que buscbamos para un con-texto de incertidumbre, en el que cada accin equivale a una lotera en laque se combinan probabilidades y resultados 1.

Actitud hacia el riesgo

El riesgo es la clave para medir la intensidad de las preferencias del agente.Se pueden medir dichas intensidades porque las funciones de utilidad sonahora cardinales. Pero podemos ir ms lejos en el anlisis del riesgo. As,cabe determinar la actitud que la persona adopte hacia el riesgo, e incorpo-rar dicha actitud en la propia funcin de utilidad. Se trata de comprobar siel agente es indiferente o no entre jugar una lotera y obtener con seguridadel valor esperado de la lotera.

Sea la lotera Z = {pz1,(1 p)z2}. Podemos definir el valor esperado de Z dela siguiente manera:

E(Z) = pz1 + (1 p)z2

A su vez, podemos calcular la utilidad esperada de la lotera:

UE(Z) = pU(z1) + (1 p)U(z2)

Pues bien, la actitud hacia el riesgo se mide en funcin de la relacin quehaya entre el valor esperado de la lotera y la utilidad esperada de la lotera,es decir, entre E(Z) y UE(Z). Si la persona es indiferente entre jugar la lotera


1 El lector interesado en la teora de la utilidad debera consultar un manual ms avanzadopara obtener una exposicin ms completa sobre esta materia. Normalmente, se presenta unaserie de axiomas sobre la utilidad y a continuacin se demuestra un teorema de existencia, se-gn el cual si se satisfacen todos esos axiomas, est garantizado que hay una funcin de utilidadesperada que refleja las preferencias del agente. Con el fin de hacer ms accesible la presenta-cin del material, aqu se ha optado por eliminar la presentacin axiomtica.

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y el valor esperado de la lotera, quiere decir que es indiferente al riesgo. Si,por el contrario, prefiere jugar la lotera que recibir el valor esperado de lamisma, entonces el agente es propenso al riesgo. Finalmente, si prefiere reci-bir el valor esperado de la lotera a jugar la lotera, es que el agente es aversoal riesgo.

Una forma equivalente de definir la actitud hacia el riesgo consiste en in-vestigar la prima de riesgo (risk premium) de la funcin de utilidad. Sea z*un resultado cierto cuya utilidad es la misma para el agente que la utilidadesperada de jugar la lotera Z: U(z*) = UE(Z). La prima de riesgo (Z) se defi-ne entonces de esta manera:

(Z) = E(Z) z*

Puede interpretarse como la cantidad de dinero que el agente est dis-puesto a sacrificar para obtener un resultado seguro en lugar de tener quejugar la lotera. Un ejemplo ayudar a entender mejor este concepto. SeaZ = {4/5 1, 1/5 16}. El valor esperado de la lotera, medido en euros, es:

4 16 20E(Z) = + = = 4

5 5 5

La funcin de utilidad es U(x) = 4x. Podemos ahora calcular la utilidadesperada de la lotera Z, UE(Z), dada la funcin de utilidad especificada:

4 1 4 1 16 16,UE(Z) = U(1) + U(16) = 41 + 416 = + = 6,4

5 5 5 5 5 5

Pues bien, la utilidad del valor esperado de la lotera, U(E(Z)), es

U(4) = 4 4 = 8

Puesto que 8 > 6,4, vemos que U(E(Z)) > UE(Z). Por tanto, un agente conesa funcin de utilidad es averso al riesgo: prefiere el valor esperado de la lo-tera a jugar la lotera. La prima de riesgo se calcula de la siguiente manera:sea z* el resultado seguro que proporciona la misma utilidad que jugar la lo-tera. La utilidad esperada de jugar la lotera es, segn acabamos de ver, 6,4.Por tanto, el problema que hemos de resolver es ste:

4z* = 6,4

Despejando z*, tenemos que z* = 2,56. Es decir, el agente, dada su aver-sin al riesgo, es indiferente entre obtener con seguridad 2,56 y jugar unalotera que proporciona un valor esperado de 4. La diferencia entre ambas

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cantidades es la prima de riesgo, 4 2,56 = 1,44. La cantidad de 1,44 re-presenta lo que el agente est dispuesto a pagar con tal de no incurrir enriesgo jugando la lotera. Es, por tanto, lo que el agente est dispuesto a sa-crificar en dinero para poder conseguir un resultado seguro. Otra manera deinterpretar este resultado consiste en entender la cantidad 2,56 como el di-nero que el agente averso al riesgo est dispuesto a pagar por jugar la loteraZ, que tiene un valor esperado de 4.

Pues bien, las personas aversas al riesgo estn dispuestas a pagar unaprima de riesgo (su prima de riesgo es positiva), mientras que las personasindiferentes ante el riesgo tienen una prima de riesgo 0 y las personas pro-pensas al riesgo tienen una prima de riesgo negativa (estn dispuestas a pa-gar dinero por jugar la lotera en lugar de obtener el valor esperado de lamisma).

Desde un punto de vista matemtico, la actitud hacia el riesgo se puededeterminar mediante el signo de la segunda derivada de la funcin de utili-dad. El grfico 1.1 muestra la representacin grfica de tres funciones deutilidad. En el eje horizontal tenemos los pagos que recibe el agente medidosen dinero, en euros. En el eje vertical figura la utilidad que proporciona eldinero. Los tres tipos de actitud hacia el riesgo se corresponden con cadauna de las curvas de utilidad del grfico 1.1. La neutralidad queda represen-tada por la lnea recta del centro, donde la utilidad tiene una relacin linealcon el dinero. La curva de aversin al riesgo es cncava, con segunda deriva-da negativa, y por tanto va por encima de la recta de neutralidad. La curvade propensin es convexa, con segunda derivada positiva, y va por debajo dela de neutralidad.


GRFICO 1.1

REPRESENTACIN DE LAS ACTITUDES HACIA EL RIESGO

U(x)

x

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En el ejemplo anterior, en el que la funcin de utilidad era U(x) = 4x, laprimera y segunda derivada son:

dU 2 d2U 1 = ; = dx x dx2 x3

Puesto que la segunda derivada tiene signo negativo, concluimos que elagente es averso al riesgo.

En el cuadro 1.2 aparece un resumen de los criterios para medir la utili-dad hacia el riesgo.

CUADRO 1.2

MEDICIN DE LA ACTITUD HACIA EL RIESGO

Relacin entre Prima de riesgo Segunda derivadaU(E(Z)) y EU(Z) (Z)

Aversin al riesgo U(E(Z)) > EU(Z) (Z) > 0 U < 0 (concavidad)

Neutralidad ante el riesgo U(E(Z)) = EU(Z) (Z) = 0 U = 0

(linealidad)

Propensin al riesgo U(E(Z)) < EU(Z) (Z) < 0 U > 0(convexidad)

En teora econmica suele suponerse que las personas tienen aversin alriesgo. Una vez establecido este supuesto, hay dos coeficientes interesantespara analizar. Primero, el coeficiente de aversin absoluta al riesgo (ARA,absolute risk aversion), que se define as:

U(x)ra(x) = U(x)

Este coeficiente permite comparar la aversin al riesgo entre distintosagentes. Ntese que no basta con comparar la segunda derivada de sus res-pectivas funciones de utilidad, puesto que las funciones Von Neumann-Mor-genstern son linealmente transformables (se pueden multiplicar por unaconstante o sumarle una cantidad sin que las propiedades de la funcin sealteren). En este sentido, una transformacin lineal de la funcin puedeafectar a la magnitud de la segunda derivada, imposibilitando as cualquier

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comparacin entre personas. Sin embargo, el cociente de las derivadas se-gunda y primera permite superar este inconveniente.

Siguiendo con el ejemplo anterior, el coeficiente ra se calculara as:

(x3/2) 1ra(x) = = x

1

2x1/2 2

El coeficiente, ntese, siempre es positivo, puesto que la segunda deriva-da siempre es negativa en funciones de utilidad con aversin al riesgo.

Por ltimo, podemos calcular tambin el coeficiente de aversin relativaal riesgo (RRA, relative risk aversion):

U(x)xrr(x) = xra(x) = U(x)

Mientras ra mide la actitud hacia el riesgo con respecto a ganancias o pr-didas absolutas, rr mide dicha actitud con respecto a ganancias o prdidas re-lativas. Este coeficiente, por ejemplo, desempea un papel crucial en el mode-lo de Breen y Goldthorpe (1997) que intenta explicar las diferencias de clasesocial en los niveles de educacin alcanzados mediante teora de la utilidad.As, los autores demuestran cmo, teniendo idnticos coeficientes de aversinrelativa al riesgo, las familias de las clases altas tienen mayor probabilidad decontinuar con los estudios que las familias de clases bajas debido a que lasclases bajas se juegan ms en las decisiones educativas que las clases altas.

La paradoja de Allais

A pesar de que la teora de la utilidad parece basarse en premisas ciertas,poco discutibles en cualquier caso, y de que la teora sea en cierto modo unalgica de la eleccin, igual que la lgica inferencial es una lgica de la argu-mentacin, lo cierto es que numerosos experimentos realizados desde me-diados del siglo XX demuestran que las personas se desvan sistemticamentede lo que cabe esperar segn la teora de la utilidad. Los agentes no siempresiguen un curso de accin lgico. A la vista de estos resultados, se han inten-tado diversas reformas de la teora de la utilidad que aproximen algo los re-sultados tericos a los resultados empricos. Una visin panormica de estosesfuerzos puede encontrarse en Kahneman y Tversky (2000).

Aunque aqu no se consideran teoras heterodoxas de la eleccin, se ana-liza una de las paradojas o resultados chocantes que han contribuido a sudesarrollo, la paradoja de Allais (sigo la presentacin de Binmore 1992:115-117). Un agente ha de elegir entre dos cursos de accin, L o M. Hay tres


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posibles estados del mundo, S, T y U. El agente no sabe cul es el estado delmundo verdadero, pero conoce sus probabilidades de ocurrencia: p(S) = 0,01,p(T) = 0,1 y p(U) = 0,89. Los resultados de las acciones dependen de qu es-tado del mundo finalmente se d. Una vez el agente ha elegido entre L y M,se le da a elegir entre otras dos alternativas, que llamaremos ahora L y M, va-riando los pagos pero con las mismas creencias sobre los estados del mundo.

CUADRO 1.3

LA PARADOJA DE ALLAIS

S T Up(S) = 0,01 p(T) = 0,1 p(U) = 0,89

L 500.000 500.000 500.000M 0 2.500.000 500.000

L 500.000 500.000 0M 0 2.500.000 0

En el cuadro 1.3 tenemos un resumen de la situacin. Mientras hacer Ltiene un resultado seguro, 500.000, hacer M puede dejarnos sin nada conprobabilidad 0,01, hacernos ganar dos millones y medio de euros con pro-babilidad 0,1, o hacernos ganar medio milln de euros con probabilidad0,89. En cuanto al segundo problema, hay que elegir ahora entre las lote-ras L y M. Si el agente elige L frente a M, se lleva 500.000 con unaprobabilidad de 0,11 o 0 con una probabilidad de 0,89. Si elige M frentea L, se lleva 2.500.000 con una probabilidad de 0,1 o 0 con una proba-bilidad de 0,9.

Al elegir entre L y M por un lado y entre L y M por otro, muchas perso-nas eligen en el primer caso L y en el segundo M. Sin embargo, es fcil de-mostrar que esas elecciones son incoherentes.

Podemos entender que L, M, L y M son loteras. Puesto que la mejorconsecuencia es 2.500.000 y la peor 0, cabe definir las utilidades as:

U(2.500.000) = 1

U(500.000) = z 0 z 1

U(0) = 0

Por el momento da igual el valor de z, siempre y cuando sea el mismo enambos problemas de decisin. La utilidad esperada de las dos primeras lote-ras, L y M, es:

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UE(L) = 0,01*z + 0,1*z + 0,89*z = z

UE(M) = 0,01*0 + 0,1*1 + 0,89*z = 0,1 + 0,89z

Si el agente elige L frente a M, entonces es que UE(L) > UE(M), es decir:

z 0,1 + 0,89z

Si despejamos con respecto a z, nos queda:

0,1z

0,11

Veamos ahora si este resultado es coherente con la eleccin de M frentea L:

UE(L) = 0,01*z + 0,1*z + 0,89*0 = 0,11z

UE(M) = 0,01*0 + 0,1*1 + 0,89*0 = 0,1

Si el agente elige M, es porque UE(M)>UE(L), es decir:

0,1 > 0,11z

Despejando de nuevo con respecto a z, obtenemos:

0,1z

0,11

Pero este resultado contradice el anterior. Por tanto, si en el primer casoelige L frente a M y en el segundo M frente a L, est violando alguno de lossupuestos bsicos de la teora de la utilidad: su comportamiento es irracio-nal. Lo ms desconcertante es que haya un porcentaje importante de genteen los experimentos de laboratorio que llevan a cabo este tipo de comporta-miento incoherente. La sugerencia principal para entender lo que est suce-diendo es que las personas no valoran por igual el riesgo de ganar algo y elriesgo de perderlo, aunque en los trminos estrictos de la teora dichos ries-gos sean estrictamente equivalentes. Cuando en la eleccin entre L y M elagente elige L, suele ser porque da mucha importancia a una probabilidadpequea de quedarse sin nada si elige M. En cambio, cuando elige M entreL y M, el agente se deja guiar en mayor medida no por el riesgo de perder,sino por la probabilidad de ganar dos millones y medio de euros. Esta varia-cin psicolgica en la forma de calibrar prdidas y ganancias va ms all delas consideraciones que la teora estndar de la utilidad contempla.


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Si no se profundiza ms en este tipo de desviaciones empricas con res-pecto a la teora es porque la teora de juegos incorpora la teora de la utili-dad estndar, sin dar demasiada importancia a anomalas como las de laparadoja de Allais.

Aplicacin: La moderacin de los partidos

A continuacin se muestra un modelo formal paramtrico en el que slo in-tervienen clculos de utilidad. El problema que investiga es el siguiente:bajo qu condiciones un partido que est en la oposicin trata de acercarseal votante mediano para ganar las elecciones? El anlisis de este problemapermite poner en prctica lo aprendido hasta el momento y conocer un tipode funcin de utilidad frecuente en la ciencia poltica y la teora econmica,las funciones eucldeas o espaciales.

Supongamos que los votantes se ordenan en un eje o dimensin espacializquierda-derecha. Estos votantes votan al partido que est ideolgicamentems prximo a sus preferencias. Podemos decir que la utilidad que recibe unvotante de que un partido u otro gobierne es una funcin decreciente de ladistancia entre el votante y los partidos: cuanto ms lejano est el votante delpartido que gobierna, menos utilidad recibe. La naturaleza espacial de estarelacin permite introducir una funcin de utilidad en la que si x es la posi-cin ideolgica de un partido y x* la posicin ideolgica ideal de un votante,entonces la utilidad es:

U(x) = (x x*)2

Cuando x = x*, la funcin alcanza su mximo, tiene el valor 0. Conformese agranda la distancia entre x* y x, la utilidad va disminuyendo: de ah quela funcin tenga signo negativo. La diferencia entre x* y x la elevamos al cua-drado porque no nos interesa si la desviacin se produce por la derecha opor la izquierda. Ntese que al ser una funcin cuadrtica, estamos supo-niendo que el votante es averso al riesgo.

En el caso ms sencillo posible, el de un sistema bipartidista, si un parti-do gana es porque recibe ms del 50% de los votos. Esto se puede expresartcnicamente: si llamamos votante mediano al votante que divide la distribu-cin del electorado en dos partes de igual tamao, dejando un 50% del elec-torado a cada lado, entonces un partido gana las elecciones cuando est msprximo al votante mediano que el partido rival. En el cuadro 1.4 se presen-ta un ejemplo. Sean x*I, x*D y x*M los puntos ideales de un partido de izquier-das, uno de derechas y el votante mediano, respectivamente. Es evidente queel partido D est ms cerca del votante mediano M que el partido I. Por tanto,

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D tiene la seguridad de que le va a votar la mitad a la derecha de M, que yaes el 50%, ms algunos votantes a la izquierda de M que estn ms prximosa D que a I. Por tanto, D se asegura una cmoda victoria. Esto es una conse-cuencia directa de lo que se conoce como el teorema del votante mediano, envirtud del cual la opcin ganadora en una votacin entre dos opciones es laque est ms prxima a la primera preferencia o punto ideal del votante me-diano.

La cuestin es: le interesar a I, para ganar las prximas elecciones, des-plazarse hacia el centro, situndose ms prximo a M que D, suponiendoque D no se desplace por su parte? Para poder responder a esa cuestin, hayque conocer la funcin de utilidad de los partidos. Segn Downs (1957), alos polticos slo les interesa ganar elecciones, son meros maximizadores devotos. Para ellos, las polticas que se hacen desde el gobierno son un instru-mento para ganar las elecciones, y no al revs. Si esto es cierto, la respuestaa la pregunta anterior es inmediata: a I siempre le interesa moverse hacia elvotante mediano. De hecho, Downs consider que en un sistema bipartidistalos partidos deberan situarse en la misma posicin, la del votante mediano,consiguiendo cada uno la mitad de los votos. El empate resultante habraque resolverlo lanzando una moneda al aire.

El modelo de Downs es poco realista. No es ya slo que los partidos ten-gan posiciones distintas: es que adems a veces el partido en la oposicinpermanece largo tiempo fuera del poder a causa de su resistencia a moderar-se y desplazarse hacia el votante mediano. As ocurri por ejemplo con elpartido laborista britnico entre 1979 y 1997, o con la socialdemocracia ale-mana entre 1949 y 1959. Para dar cuenta de este fenmeno, se presenta unafuncin de utilidad compleja donde los partidos no son maximizadores devotos (Snchez-Cuenca 2004). Un partido valora dos cosas: por un lado, laspolticas que est haciendo el gobierno; por otro, el programa ideolgico conel que se presentan en la sociedad. El partido tiene en cuenta tanto las polti-cas que se realizan desde el Gobierno como los principios ideolgicos conlos que se presenta ante la sociedad. Bajo ciertas condiciones, puede haber


CUADRO 1.4

POSICIONES ESPACIALES DE LOS PARTIDOS Y DEL VOTANTE MEDIANO

x*I = punto ideal de I, el partido de izquierdas.x*M = punto ideal del votante mediano.x*D = punto ideal de D, el partido de derechas.

x*I 2x*M x*D x*M x*D

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un problema de compatibilidad entre estos dos objetivos. Puede suceder queal partido le preocupe que las polticas que haga el Gobierno no sean suspreferidas, pero no est dispuesto a sacrificar sus principios ideolgicos sinms por llegar al poder y hacer unas polticas que sean algo mejores que lasque haca el Gobierno anterior pero que estn muy alejadas de su posicinideolgica ideal. Para poder representar este trade-off o intercambio entrepolticas y fidelidad a unos principios ideolgicos, se introduce un coeficien-te de rigidez ideolgica, w, tal que 0 w 1, que mide la importancia que seda a los principios ideolgicos. Cuanto ms alto w, ms importancia tienenlos principios ideolgicos y menos la valoracin de las polticas que hace elgobierno. Si w = 0, al partido slo le interesan las polticas, no tiene rigidezideolgica; si w = 1, el partido es rgido y slo le importa mantenerse fiel asus principios.

Por simplicidad, suponemos que el partido que est en el gobierno es D yque D es inmvil en el corto plazo, es decir, que el partido del gobierno no sedesplaza en su posicin ideolgica. La pregunta es si I se desplazar. Nteseque I, si se desplaza, lo hace hasta una posicin ganadora que exija el menorsacrificio ideolgico posible. Como puede verse en el cuadro 1.4, lo lgico esque I se mueva hasta la posicin 2x*M x*D, pues ah se sita a igual distanciadel votante mediano que D. Se supone tambin que en caso de igual distan-cia, M prefiere votar a un partido nuevo como I que a un partido que llevatiempo en el gobierno como D. Lo que tenemos que comprobar es si para Ila utilidad de no moderarse es mayor o no que la utilidad de moderarse has-ta el punto 2x*M x*D. La utilidad de no moderarse, es decir, de mantenerse ensu punto ideal, es sta:

UI(x*I, x*D) = (wI(x*I x*I)2 + (1 wI)(x*D x*I)

2) = (1 wI)(x*D x*I)2

La funcin de utilidad de I tiene dos argumentos, por un lado la fidelidada los principios (la distancia entre lo que el partido anuncia en la campaaelectoral y su posicin ideal) y el valor de las polticas (la distancia entre laspolticas que hace el Gobierno y las polticas que le gustara hacer a I en suposicin ideal). El primer argumento es x*I, puesto que I no se modera; el se-gundo es x*D, puesto que la poltica la hace D en su punto ideal. En cuestinde principios ideolgicos, la funcin est en su mximo, ya que esa parte dela funcin vale 0; pero en cuestin de polticas, hay una utilidad negativacomo consecuencia de la distancia entre x*D y x*I.

La otra opcin es moderarse hasta el punto 2x*M x*D, ganar las eleccionesy hacer unas polticas congruentes con esa posicin pero sacrificando partede sus principios ideolgicos. Ahora las polticas son ms aceptables, aunquea costa de haber renunciado a parte de los principios. La utilidad de esta se-gunda opcin es:

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UI(2x*M x*D, 2x*M x*D) = (wI((2x*M x*D) x*I)2 + (1 wI)((2x*M x*D) x*I)

2) =

= ((2x*M x*D) x*I)2

El partido se moderar cuando la segunda utilidad sea mayor que la pri-mera. Despejando con respecto al coeficiente de rigidez ideolgica de I, wI,la expresin resultante es:

4x*M(x*D x*M)wI = w*I(x*D)2

Siempre que la rigidez ideolgica de I sea menor que la cantidad crticaw*I, el partido se modera. Cuando esto no se cumple, al partido no le com-pensa moderarse. Lo interesante de esta expresin es que ahora podemos ha-cer esttica comparativa, es decir, podemos ver cmo afecta a la probabili-dad de moderacin cambios pequeos en cada uno de los parmetros delmodelo. Esto permite formular hiptesis que luego puedan ser contrastadasempricamente. Concretamente, de la expresin anterior se siguen varios re-sultados 2: 1) cuanta mayor rigidez ideolgica, menos probable es la modera-cin, 2) cuanto mayor sea la distancia entre el partido que se plantea la mo-deracin y el votante mediano, menos probable es la moderacin, y3) cuanto mayor sea la distancia entre los dos partidos, ms probable es lamoderacin.


2 El lector interesado en entender la esttica comparativa del modelo, puede consultarSnchez-Cuenca (2004).

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2Juegos en forma normal o estratgica

Caracterizacin de un juego en forma normal

Comenzamos el recorrido por la teora de juegos examinando la situacinestratgica ms simple posible, aquella en la que no se especifica la secuen-cia u orden de jugadas de los jugadores. Se supone que los jugadores hacensus jugadas simultneamente o, si se prefiere, que cada jugador hace suselecciones sin conocimiento de las elecciones realizadas por los otros juga-dores. Estos juegos habitualmente se pueden representar mediante una ma-triz de pagos y reciben el nombre de juegos en forma normal o juegos en for-ma estratgica. En el prximo captulo se analizan los juegos en formaextensiva, en los cuales se detalla la secuencia temporal de jugadas. En unjuego en forma normal tenemos varios jugadores o agentes cuyas accionesestn interconectadas, en el sentido de que lo que cada uno haga depende delas expectativas que tenga sobre lo que van a hacer los dems, y cada uno ac-ta sin saber que han hecho los dems.

Podemos caracterizar formalmente un juego en forma normal a partir delos siguientes tres elementos (Morrow 1994: 69):

Un conjunto de jugadores i I, I = {1, 2, ..., i, ..., I}. Un conjunto de estrategias Si para cada jugador i. Funciones de utilidad (o funciones de pagos) Von Neumann-Morgens-

tern Ui(S) para cada combinacin S = (S1, ..., SI) de estrategias.

Aunque nada impide que haya ms de dos jugadores, en adelante noslimitamos al caso ms simple de juegos de dos jugadores (por tanto, I = 2), loque reduce los clculos y razonamientos.

Una estrategia se define tcnicamente como un plan completo de accinque especifica cmo comportarse durante el juego. En un juego en formanormal, puesto que las elecciones son en la prctica simultneas, una estra-tegia coincide con el curso de accin que adopta el jugador. Como se ver enel siguiente captulo, el concepto de estrategia es algo ms rico cuando seaplica en juegos en forma extensiva.

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En el cuadro 2.1 se observa un juego de dos jugadores (los jugadores J1 yJ2) representado mediante una matriz de tres filas y tres columnas. Cada filarepresenta una de las tres posibles estrategias de J1 (U, M o D) y lo mismosucede con las columnas con respecto a J2 (l, m o r). Cada jugador tiene portanto tres estrategias distintas y ha de elegir una de ellas sin saber qu haelegido el otro. Vamos a seguir la convencin de representar las estrategiasde J1 con letras maysculas y las estrategias de J2 con minsculas.

Los nmeros que aparecen en el interior de las celdas son los pagos delos jugadores, medidos en utilidad Von Neumann-Morgenstern. El primernmero en cada celda es el pago que recibe el jugador en filas, J1, y el segun-do es el pago que recibe el jugador en columnas, J2. Los pagos son por tantolas consecuencias medidas en utilidad de las distintas combinaciones posi-bles de estrategias. As, podramos describir los pagos como se ilustra en es-tos ejemplos:

UJ1(M, m) = 8

UJ2(M, m) = 4

etc.

A pesar de que en la definicin anterior se establece que los pagos del jue-go se miden como utilidades Von Neumann-Morgenstern, y por consiguientecomo utilidades cardinales, en ciertos contextos simples los pagos puedenser interpretados ordinalmente, reflejando tan slo el orden de preferenciasobre las distintas combinaciones de estrategias posibles. Sin embargo, esconveniente ceirse al supuesto de cardinalidad, pues slo as cabe calcularestrategias mixtas en el juego, segn se explica ms adelante.


CUADRO 2.1

JUEGO EN FORMA NORMAL

J2

l m r

U 4, 3 5, 1 6, 2

J1 M 2, 1 8, 4 3, 6

D 3, 0 9, 6 3, 8

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Criterios de dominacin

Hay algunos juegos en los que la configuracin de pagos es de tal naturalezaque la propia condicin estratgica del juego prcticamente se disuelve. Antesse ha visto que la caracterstica de los juegos es que representan situacionesestratgicas, es decir, situaciones en las que la accin de cada uno depende delas expectativas que tenga sobre lo que los dems van a hacer. Pero excepcio-nalmente dicha dependencia puede neutralizarse, de forma que un jugadortenga buenas razones para elegir una estrategia frente a otra al margen de loque vaya a hacer el otro jugador. Aunque formalmente nos encontremos enun contexto estratgico, pues las consecuencias de mis acciones dependen delo que los dems hagan, en realidad la eleccin del jugador es paramtrica,pues el jugador elige sin tener en consideracin qu estrategia va a elegir sucontrincante. Esto slo es posible cuando al elegir una cierta estrategia siem-pre estoy mejor jugando esa estrategia que si elijo otra, independientementede la estrategia que elija el otro jugador. Cuando el juego se puede jugar, di-gmoslo as, paramtricamente, su resolucin es ms bien trivial.

Sea el juego del cuadro 2.2, J1 puede realizar el siguiente razonamiento: hagalo que haga J2, siempre estoy mejor eligiendo la estrategia D que la estrategia U.Si J2 elige l, entonces, si yo hago U, obtengo 1, pero si hago D obtengo 0; si J2elige r, entonces, si hago U, obtengo 2, mientras que si hago D obtengo 3. Puestoque 0 es mejor que 1 y 3 es mejor que 2, haga lo que haga J2 me compensasiempre elegir D. Por tanto, decimos que para J1 la estrategia D domina a la es-trategia U. J1, a la hora de elegir su estrategia, no tiene en cuenta qu pueda ha-cer J2, puesto que haga lo que haga J2, J1 est mejor con D que con U. En cam-bio, J2 no tiene ninguna estrategia dominante: l le proporciona un pago ms altoque r si J1 elige U, pero si J1 elige D, entonces r produce un pago mejor que l.

En este juego, aunque J2 no tiene una estrategia incondicionalmente mejor,sabe, por medio del anlisis del juego, que J1 siempre va a elegir D habida cuenta

TEORA DE JUEGOS 37

CUADRO 2.2

EJEMPLO DE JUEGO CON DOMINACIN

J2

l r

U 1, 3 2, 1J1

D 0, 2 3, 4

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de que D domina a U. Por tanto, est seguro que J1 va a elegir D si supone queJ1 es racional. Sabiendo esto, la eleccin de J2 tambin se vuelve paramtrica,en el sentido de que se limita a elegir entre los pagos de 2 (si hace l) y 4 (si hace r).Como 4 es mejor que 2, elegir r. J1 jugar D, J2 jugar r, y los pagos para cadauno sern 3 y 4 respectivamente. Hemos podido resolver el juego gracias a quela eleccin de cada jugador era en ltima instancia paramtrica. Si los jugado-res son racionales, la prediccin es que jugarn las estrategias (D, r).

Ahora podemos definir con un poco ms de precisin qu quiere decirque una estrategia domine a otra. Hay que distinguir dos tipos de domina-cin, fuerte y dbil. Comenzamos por la definicin de la dominacin fuertetomando como referencia en la notacin a J1, aunque esto, obviamente, esirrelevante. Una estrategia S1 domina fuertemente a otra S2 si y slo si

UJ1(S1, sj) UJ1(S2, sj), sj

Dada cualquier estrategia de J2, S1 domina fuertemente a S2 si S1 siempreproduce ms utilidad que S2. En el juego del cuadro 2.2, D domina fuerte-mente a U porque:

UJ1(D, l) UJ1(U, l) y UJ1(D, r) UJ1(U, r)

La definicin de dominacin dbil es algo menos exigente. Una estrategiaS1 domina dbilmente a otra S2 si y slo si:

UJ1(S1, sj) UJ1(S2, sj), sjy

UJ1(S1, sj) UJ1(S2, sj) para al menos una sj

S1 domina dbilmente a S2 si en todos los casos S1 proporciona al menostanta utilidad como S2 y en al menos un caso S1 proporciona ms utilidad queS2. De otra forma, una estrategia domina dbilmente a otra si ambas propor-cionan la misma utilidad dadas las estrategias del otro jugador pero al menospara una estrategia del otro jugador sucede que la primera estrategia es estric-tamente mejor que la segunda. En el juego del cuadro 2.1, puede comprobarseque D domina dbilmente a M, pues cuando J2 juega r, D y M proporcionanexactamente la misma utilidad, pero cuando J2 juega l o m, D es mejor que M.

Cuando en un juego nos encontramos con estrategias dominadas, yasea fuerte o dbilmente, podemos eliminarlas, puesto que un jugador ra-cional nunca tendr buenas razones para elegir estrategias dominadas. Aveces podemos llegar a una solucin nica del juego mediante este proce-dimiento de eliminacin sucesiva de estrategias dominadas. Vamos a vercmo funciona este procedimiento en el caso del juego del cuadro 2.1. Esfcil darse cuenta de que r domina fuertemente a m. Por tanto, podemos


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eliminar m y observar qu sucede en el juego resultante, que se representaen el cuadro 2.3.

Una vez eliminado m, es evidente que ahora la estrategia U domina fuerte-mente a la estrategia M. Por tanto, eliminamos M, con la seguridad de que si J1es racional, nunca juega M. El juego as modificado aparece en el cuadro 2.4.

En este juego reduc

teoría de juegos (2a. ed.) (colección cuadernos metodológicos

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