teoria de muestreo pierre gy (1)

8/17/2019 Teoria de Muestreo Pierre Gy (1)

1/28

La Teoría de MuestreoLa Teoría de Muestreo

de Pierre Gyde Pierre Gy


2/28

Fundamentos –Fundamentos –

Descomposición de losDescomposición de loserroreserrores

La Teoría de Muestreo de P. Gy se basa en laLa Teoría de Muestreo de P. Gy se basa en ladescomposición del error totaldescomposición del error total considerando que elconsiderando que elmuestreo se realiza en diversas etapas ymuestreo se realiza en diversas etapas yseparando el error en las etapas de muestreo delseparando el error en las etapas de muestreo delerror de anlisis!error de anlisis!

"# $overall error% error total"# $overall error% error total T# $total samplin& error% error total en las etapas de T# $total samplin& error% error total en las etapas de

muestreomuestreo '# $analytical error% error analítico'# $analytical error% error analítico

AE TE OE +=


3/28

Fundamentos –Fundamentos –Descomposición de losDescomposición de los

erroreserrores (omo el muestreo involucra diversas etapas) el error(omo el muestreo involucra diversas etapas) el error

total en las etapas de muestreo puede dividirse entotal en las etapas de muestreo puede dividirse enuna suma de los errores parciales) cada uno de ellosuna suma de los errores parciales) cada uno de elloscompuesto por uncompuesto por un error de preparaciónerror de preparación y uno dey uno deselecciónselección!!

P#P#ii error de preparación $p.e*. c+ancado%error de preparación $p.e*. c+ancado%

,#,#ii error de selección $p.e*. división de la muestra%error de selección $p.e*. división de la muestra%

∑ +=i

i AE TE OE

iii SE PE TE +=

∑ ++= iii AE SE PE OE )(


4/28


erroreserrores La teoría se construye considerando dos modelos!La teoría se construye considerando dos modelos! Modelo de selección continuoModelo de selección continuo Modelo de selección discretoModelo de selección discreto

#l#l modelo de selección continuomodelo de selección continuo considera elconsidera elmuestreo de material como si -uera un u*omuestreo de material como si -uera un u*o

unidimensional continuounidimensional continuo #l material se caracteriza por!#l material se caracteriza por!

#l#l contenido críticocontenido crítico en un tiempo dadoen un tiempo dado #l#l u*ou*o de material en un tiempo dadode material en un tiempo dado

#n este modelo se de/ne el error como la suma de#n este modelo se de/ne el error como la suma de

una componente que mide el contenido crítico yuna componente que mide el contenido crítico yotra que mide el u*o!otra que mide el u*o!

(# error de selección continua(# error de selección continua 0# error en contenido crítico0# error en contenido crítico

1# error en medición del u*o $2ei&+tin& error%1# error en medición del u*o $2ei&+tin& error%

)(t a

)(t µ

WE QE CE +=


5/28


erroreserrores 'l pasar al modelo discreto se encuentra'l pasar al modelo discreto se encuentraadems que el muestreo se ve a-ectado poradems que el muestreo se ve a-ectado porun error de materialización!un error de materialización!

#ste error de materialización se compone#ste error de materialización se componede un error de delimitación y otro dede un error de delimitación y otro dee3tracción del incremento. 'sí!e3tracción del incremento. 'sí!

ME CE SE +=

SE QE WE DE EE= + + +


6/28


erroreserrores

Finalmente) el modelo de selección discreto identi/ca el lote LFinalmente) el modelo de selección discreto identi/ca el lote Lcon un &rupo discreto de unidades $pueden ser partículascon un &rupo discreto de unidades $pueden ser partículasindividuales o &rupos de partículas%.individuales o &rupos de partículas%.

,e de/nen por esta razón) la +etero&eneidad de constitución y,e de/nen por esta razón) la +etero&eneidad de constitución yde distribución del lote!de distribución del lote! (4(4LL +etero&eneidad de constitución+etero&eneidad de constitución del lote! se debe a lasdel lote! se debe a las

propiedades intrínsecas de la población de partículas individualespropiedades intrínsecas de la población de partículas individuales D4D4LL +etero&eneidad de distribución+etero&eneidad de distribución del lote! se debe a ladel lote! se debe a la

distribución espacial de las partículas $y &rupos de partículas% en eldistribución espacial de las partículas $y &rupos de partículas% en ellotelote

#l modelo de selección discreto puede relacionarse con el#l modelo de selección discreto puede relacionarse con el

modelo continuo al nivel del error de uctuación de peque5omodelo continuo al nivel del error de uctuación de peque5oalcance!alcance!

F# error -undamentalF# error -undamental

G# error de a&rupamiento y se&re&aciónG# error de a&rupamiento y se&re&ación

GE FE QE +=1


7/28


erroreserrores #n resumen) el error total se obtiene como!#n resumen) el error total se obtiene como!

P# error de preparaciónP# error de preparación 0# error de contenido0# error de contenido 1# error en medición del u*o $2ei&+tin& error%1# error en medición del u*o $2ei&+tin& error% D#D# error de delimitación del incrementoerror de delimitación del incremento

#### error de e3tracción del incrementoerror de e3tracción del incremento F# error -undamental de la etapaF# error -undamental de la etapa G# error de a&rupamiento y se&re&ación de la etapaG# error de a&rupamiento y se&re&ación de la etapa '# error analítico'# error analítico

i

OE (PE SE) AE

OE (PE QE WE DE EE) AE

OE (PE FE GE WE DE EE) AE

= + +

= + + + + +

= + + + + + +

∑∑

∑


8/28

#l #rror Fundamental#l #rror Fundamental

$F#%$F#%De/nición matemticaDe/nición matemtica

(uanti/cación(uanti/cación


9/28

Error fundamental, FEError fundamental, FE

(orresponde al(orresponde al mínimo error de muestreomínimo error de muestreo que seque setendría si se seleccionara cada -ra&mento otendría si se seleccionara cada -ra&mento opartícula aleatoriamente) una a la vez.partícula aleatoriamente) una a la vez.

Para un determinado peso de muestra) el F# es elPara un determinado peso de muestra) el F# es elmínimo error de muestreo que e3istiría si elmínimo error de muestreo que e3istiría si el

protocolo de muestreo -uera implementado deprotocolo de muestreo -uera implementado demanera per-ecta. Por lo tanto) para un estado dadomanera per-ecta. Por lo tanto) para un estado dadode conminución y un determinado peso de lade conminución y un determinado peso de lamuestra) el F# es el menor error posible.muestra) el F# es el menor error posible.

' peque5a escala) la +etero&eneidad de' peque5a escala) la +etero&eneidad de

constitución es responsable del error -undamental.constitución es responsable del error -undamental. #l F# puede ser peque5o para constituyentes#l F# puede ser peque5o para constituyentesmayores y materiales /nos) pero puede sermayores y materiales /nos) pero puede serabrumador para constituyentes menores.abrumador para constituyentes menores.

Mezclando y +omo&eneizando el lote no reducirMezclando y +omo&eneizando el lote no reducir

el F#.el F#.


10/28

HeterogeneidadHeterogeneidad

(orresponde a la variabilidad encontrada en(orresponde a la variabilidad encontrada enuna población y puede dividirse en!una población y puede dividirse en! Heterogeneidad de constituciónHeterogeneidad de constitución $(4%! (ada$(4%! (ada

partícula del lote tiene un contenido críticopartícula del lote tiene un contenido crítico

di-erente.di-erente. Heterogeneidad de distribuciónHeterogeneidad de distribución $D4%! (onsiste$D4%! (onsiste

en las di-erencias observadas de un &rupo deen las di-erencias observadas de un &rupo de-ra&mentos o partículas $incremento% a otro.-ra&mentos o partículas $incremento% a otro.

6ariabilidad se debe a tres -actores!6ariabilidad se debe a tres -actores! La +etero&eneidad de constituciónLa +etero&eneidad de constitución La distribución espacial de los constituyentes o estado deLa distribución espacial de los constituyentes o estado de

se&re&aciónse&re&ación La -orma del lote que *unto a la presencia de la &ravedadLa -orma del lote que *unto a la presencia de la &ravedad

es responsable de la se&re&ación.es responsable de la se&re&ación.


11/28

HeterogeneidadHeterogeneidad

(4! Di-erencias entre(4! Di-erencias entre-ra&mentos-ra&mentos

D4! Di-erencias entreD4! Di-erencias entre&rupos de -ra&mentos&rupos de -ra&mentos

,i todos los -ra&mentos,i todos los -ra&mentos-ueran i&uales en -orma y-ueran i&uales en -orma ycontenido $(478%)contenido $(478%)entonces no +abría D4!entonces no +abría D4!cualquier &rupo decualquier &rupo de

-ra&mentos de i&ual-ra&mentos de i&ualtama5o sería id9ntico.tama5o sería id9ntico.

CH

DH


12/28

Cálculo del errorCálculo del errorfundamentalfundamental

DeniciónDenición

matemática de la CHmatemática de la CH


13/28


14/28


15/28

6alor esperado de es cero.6alor esperado de es cero. 6arianza!6arianza!

Di-ícil de calcular.Di-ícil de calcular.

ih

L

N

i L

i

L

Li F

N

i L

i

L

Li F

F

ii

CH M

M

a

aa N

M

M

a

aa N

N

h E h E hVAR

F

F

i

=

⋅

−⋅=

⋅−⋅⋅=

−=

∑

∑

=

=

1

2

1

2

22

)(

)(1

}){(}{)(


16/28

4etero&eneidad intrínseca4etero&eneidad intrínsecadel lotedel lote

De/nición!De/nición! Heterogeneidad intr(nsecaHeterogeneidad intr(nsecadel lotedel lote !! L IH

∑=

⋅−

=⋅= F N

i L

i

L

Li

F

L L L

M

M

a

aa

N

M CH IH

1

2

2

2)(


17/28

(onsiderando el lote como un con*unto de particulas(onsiderando el lote como un con*unto de particulasseparadas por ran&os de tama5os y densidades) inde3adosseparadas por ran&os de tama5os y densidades) inde3adosrespectivamente porrespectivamente por yy !!

De/niendoDe/niendo

el -ra&mento medio de una -racción $o lote%el -ra&mento medio de una -racción $o lote% yy

su volumen $sólo depende del tama5o%su volumen $sólo depende del tama5o%

su densidadsu densidad

su masa $depende del tama5o y de la densidad%su masa $depende del tama5o y de la densidad% su contenido críticosu contenido crítico

es el n:mero de -ra&mentos en la -racciónes el n:mero de -ra&mentos en la -racción

es la masa de la -racciónes la masa de la -racción

α β

∑∑∑ ⋅−

⋅=⋅−

== α β

αβ

αβ αβ

L

F

L

L N

i L

i

L

Li L

M

M

a

aa N

M

M

a

aa IH

F

2

2

2

1

2

2

2 )()(

α V

β λ

αβ F αβ L

β α λ

αβ

⋅=V M

F

αβ a

αβ N

αβ L M


18/28

#quivalentemente!#quivalentemente!

Puede calcularse en laboratorio o apro3imarse!Puede calcularse en laboratorio o apro3imarse!

varía ms entre -racciones de densidad quevaría ms entre -racciones de densidad queentre -racciones de tama5oentre -racciones de tama5o contenido crítico mediocontenido crítico medio

de la -racción de densidadde la -racción de densidad

varía poco de una -racción de densidad a otra!varía poco de una -racción de densidad a otra!

valor medio en una -racción de tama5ovalor medio en una -racción de tama5o

#n consecuencia!#n consecuencia!

∑ ∑∑∑ ⋅−

⋅=⋅

⋅−

=α β

αβ

β α α β

αβ αβ αβ αβ λ L

L

L

L

L

L F

L

L

L M

M

a

aaV

M

M M

a

aa IH

2

2

2

2 )()(

αβ a

β αβ aa =⇒

β L

β αβ L L M M /

L

L

L

L

M

M

M

M α

β

αβ

=⇒ α

L

L L

L M

M M M β α

αβ

⋅=⇒


19/28

4etero&eneidad intrínseca queda!4etero&eneidad intrínseca queda!

Para simpli/car esta e3presión se de/nenPara simpli/car esta e3presión se de/nen

una serie de -actores.una serie de -actores.

Y X M

M

a

aa

M

M V IH

Y

L

L

L

L

X

L

L

L ⋅=

⋅

−⋅⋅

⋅= ∑∑

β

β

β

α

α β α λ 2

2)(


20/28

Factor de forma,Factor de forma,

,e de/ne!,e de/ne!

,e supone que la partícula es es-9rica,e supone que la partícula es es-9rica

entoncesentonces

f

3

α α α d f V ⋅=

f 0.5=


21/28

Factor granulom)trico,Factor granulom)trico,

Mide la distribución &ranulom9trica de lasMide la distribución &ranulom9trica de laspartículas.partículas. Material no tamizado $c+ancado%!Material no tamizado $c+ancado%!

Material tamizado $entre dos mallas%!Material tamizado $entre dos mallas%!

Material naturalmente calibrado!Material naturalmente calibrado!

,e escribe!,e escribe!

g

25.0= g

55.0= g

75.0= g

∑ ⋅⋅=⋅

⋅= α α α 3

3

d g f M

M d

f X L

L


22/28

Factor mineralógico,Factor mineralógico, c

c

LL 1 L 2

L

L

1

2

(1 a )c *[(1 a )g a g ]

a

D!"# $

a $ %&%&ci! #! %# "# a #!a

g $ %# #%#cific "# a #!a

g $ %# #%#cific "# a ga!ga

−= − +


23/28

Factor mineralógico,Factor mineralógico,

Mineral liberado) !Mineral liberado) ! Densidad!Densidad! (ontenido crítico!(ontenido crítico! Masa!Masa!

Gan&a)Gan&a) ! ! Densidad!Densidad! (ontenido crítico!(ontenido crítico! Masa!Masa!

L

M

g M

M L

M

M

M M

M a =

+

=

M L

M λ

1= M a

M M

g L

g λ

0= g a

g M

c


24/28

Factor mineralógico,Factor mineralógico,

se escribe!se escribe!

,i,i

,i,i

L

M L

L

L

g L L

L

M

L

g

L

L g

g

L

M

L

L M M

L

L

L

L

M

M M

a

aa

a

a

M

M

a

aa

M

M

a

aa

M

M

a

aaY

)()0()1(

)()()(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

*a+

−

⋅

−

⋅+⋅

−

⋅=

⋅−

⋅+⋅−⋅=⋅−

⋅= ∑

λ λ

λ λ λ β

β

β β

)1()1( 2

L g

L

L M a

a

ac −⋅+

−⋅=⇒ λ λ

Y

L

M L

aca

λ =⇒< 1.0

g L L aca λ ⋅−=⇒> )1(,.0

c


25/28

Factor de liberación,Factor de liberación,

Permite escribirPermite escribir ) con) con .. Mide el &rado de liberación del mineral.Mide el &rado de liberación del mineral.

Material muy +omo&9neo!Material muy +omo&9neo!

Material +omo&9neo!Material +omo&9neo! Material medio!Material medio!

Material +etero&9neo!Material +etero&9neo!

Material muy +etero&9neo!Material muy +etero&9neo!

Dos m9todos para estimar este -actor!Dos m9todos para estimar este -actor! ;asado en tama5o de liberación del;asado en tama5o de liberación del

componente crítico.componente crítico. ;asado en la mineralo&ía del material.;asado en la mineralo&ía del material.

l

cl Y ⋅= 10 ≤≤ l

05.0=l

1.0=l

2.0=l

-.0=l

.0=l


26/28

Factor de liberación,Factor de liberación, l

D $ 0a*a *a+i* "# %a&0ica

"$ 0a*a "# i#&aci! "# a *#!a

3#c*#!a"aci!#$

41 i "5D

4(D/") i "6D 7 *i!#&a# "# 8 41.2

9aa "# G:

D*d + -. /-0 1-.0 /1-00 11-/11

2/11

l < 8.= 8.> 8.? 8.< 8.8@ 8.8?


27/28

ResumenResumen

4etero&eneidad intrínseca del lote se e3presa4etero&eneidad intrínseca del lote se e3presacomo!como!

donde!donde!

es el -actor mineraló&ico $&rAcmB%es el -actor mineraló&ico $&rAcmB% es el -actor de liberación $adimensional%es el -actor de liberación $adimensional% es el -actor de -orma $adimensional%es el -actor de -orma $adimensional% es el -actor &ranulom9trico $adimensional%es el -actor &ranulom9trico $adimensional%

es el tama5o de -ra&mento nominal $cm%es el tama5o de -ra&mento nominal $cm% se mide en &ramosse mide en &ramos #a 3eterogeneidad intr(nseca relaciona el#a 3eterogeneidad intr(nseca relaciona el

error fundamental 4FE5 con la masa deerror fundamental 4FE5 con la masa de

las muestras6las muestras6

3d l c g f IH L ⋅⋅⋅⋅=

c

l

f

g

d

L IH


28/28

#cuación de Pierre Gy#cuación de Pierre Gy

6arianza del error -undamental6arianza del error -undamental

concon

MM,, 7 masa de la muestra en &ramos7 masa de la muestra en &ramos MMLL7 masa del lote en &ramos7 masa del lote en &ramos

d 7 dimetro $dd 7 dimetro $dC@C@% de partículas en cm% de partículas en cm

( 7 constante de muestreo en &Acm( 7 constante de muestreo en &AcmBB))depende de ddepende de d

32 11d C

M M LS FE ⋅⋅

−=σ l c g f C ⋅⋅⋅=

teoria de muestreo pierre gy (1)

Documents