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B. Teoria matematica dei campi
B.1. L’operatore gradiente
Nella trattazione matematica dei campi e utile introdurre l’operatore ∇ che rappre-senta la generalizzazione per le funzioni scalari delle coordinate della derivata.
(x,y,z) (x+∆x,y,z)
(x+∆x,y+∆y,z)
(x+∆x,y+∆y,z+∆z)(x,y+∆y,z+∆z)
(x,y,z+∆z)
Figura B.1.:
Il valore della funzione ψ(r+ ∆r) puo essere approssimata, facendo riferimento allaFig. B.1, come
ψ(r + ∆r) ≈
ψ(r) + [ψ(x1 + ∆x1, x2, x3) − ψ(x1, x2, x3)]+
+ [ψ(x1 + ∆x1, x2 + ∆x2, x3) − ψ(x1 + ∆x1, x2, x3)]++ [ψ(x1 + ∆x1, x2 + ∆x2, x3 + ∆x3) − ψ(x1 + ∆x1, x2 + ∆x2, x3)]
Utilizzando la definizione di derivata parziale rispetto alla coordinata x j
∂ψ
∂x j
def = lim
∆xj→0
ψ(· · · , x j + ∆x j, · · · ) − ψ(· · · , x j , · · · )
∆x j
con j = 1, 2 e 3, possiamo scrivere la equazione precedente nella forma
ψ(r + ∆r) ≈
ψ(r) + ∂ψ∂x1
∆x1 + ∂ ∂x2
ψ + ∂ψ
∂x1∆x1
∆x2+
+ ∂
∂x3
ψ +
∂ψ
∂x1∆x1
∆x2
∆x3
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B. Teoria matematica dei campi
Trascurando i differenziali di ordine superiore avremo
ψ(r + ∆r) ≈ ψ(r) + ∂ψ
∂x j∆x j
, dove abbiamo sottinteso la somma sugli indici ripetuti.Introducendo il gradiente della funzione scalare ossia una funzione vettoriale definita
∇ψ def =
∂ψ
∂x1e1 +
∂ψ
∂x2e2 +
∂ψ
∂x3e3 (B.1)
si puo porre nella forma vettoriale
ψ(r + ∆r) ≈ ∇ψ · ∆r
per cui il differenziale totale della funzione scalare delle sole coordinate ψ sara:
dψ = lim∆r→0
∇ψ · ∆r = ∇ψ · dr (B.2)
B.1.1. Derivata direzionale
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
(r)
(r+h)
h
Figura B.2.:
Nella Fig. B.2 abbiamo rappresentato una funzione scalare ψ(r) attraverso le curve dilivello. Si definisce derivata direzionale della funzione ψ nella direzione h la grandezzascalare ottenuta come
dψdh
def = lim
h→0
ψ(x1 + h1, x2 + h2, x3 + h3) − ψ(x1 + h1, x2, x3)h
(B.3)
che rappresenta la rapidita con cui varia della funzione ψ per uno spostamento in undeterminata direzione .
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B.1. L’operatore gradiente
E evidente dalla formula del differenziale totale (B.2) che la derivata direzionale edata da
dψ
dh = ∇ψ(r) · h (B.4)
dove sia h il versore della direzione h,
Osserviamo che sara in ogni caso
− |∇ψ(r)| ≤ dψ
dh ≤ |∇ψ(r)|
percio avremo che la rapidita di variazione della funzione e massima quando ci sisposta nella direzione indicata localmente dal gradiente della funzione stessa ψ.
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
Figura B.3.:
Di conseguenza il gradiente si interpreta geometricamente, con riferimento alla Fig.B.3, con il fatto che il vettore ∇ψ e sempre normale alle superfici di livello ψ = coste diretto verso la direzione di massima pendenza della superfice.
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B. Teoria matematica dei campi
B.1.2. Teorema del gradiente
C
A
B
l1
l2
lN-1 l
N
a(r1)
a(r2)
a(rN-1
) a(rN)
Figura B.4.:
L’ integrale di un campo vettoriale lungo una curva C e dato dalla grandezza
A C→B
a · dr def =
sB sA
a · drC
ds ds (B.5)
dove la funzione vettoriale rC(s) descrive la curva C al variare della coordinata sullacurva s. La relazione (B.2) tra il gradiente di una funzione scalare ed il suo differenzialetotale ci permette di ottenere immediatamente l’ importante teorema del gradiente
secondo il quale condizione necessaria e sufficiente perche l’ integrale di linea del
campo vettoriale a sia indipendente dal percorso e che a sia il gradiente di una funzione
scalare φ.
Dimostrazione:La sufficienza del teorema si dimostra semplicemente sostituendo nella (B.5) ∇φ →
a, la equazione
A C→ B
∇φ · dr
(B.2)
↓=φ(B) − φ(A)
che e indipendente dal percorso C . Per dimostrare la necessita del teorema dobbiamodimostrare che esiste una funzione φ il cui gradiente sia proprio il campo a. D’ altrocanto se l’ integrale e indipendente dal percorso, l’ integrando a1 dx1 + a2 dx2 + a3 dx3
dovra essere necessariamente un differenziale esatto, cioe dovra essere proprio
dφ = a1 dx1 + a2 dx2 + a3 dx3
da cui segue che ∇φ = a.
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B.2. Operatore divergenza
C.V.D.
B.1.3. Gradiente della funzione 1/r
La funzione 1/r, che esprime l’ inverso del modulo del raggio vettore (??), riveste unaparticolare importanza nella teoria del potenziale. Il gradiente di questa funzione edato dalla formula
∇1
r = −
r
r2 (B.6)
dove sara r il versore del raggio vettore.
Dimostrazione:
La derivata parziale rispetto ad una qualsiasi delle coordinate sara data da
∂
∂x j
1
r =
∂
∂x j
x21 + x2
2 + x23
− 12 = −
1
2
x21 + x2
2 + x23
−32 2 x j = −
x jr3
per j = 1, 2, 3 da cui si ottiene immediatamente la Eq. (??)C.V.D.
B.2. Operatore divergenza
L’operatore ∇ puo essere applicato scalarmente ad una funzione vettoriale a(r) otte-nendo una funzione scalare delle coordinate detta divergenza di a, definita
∇ · a def =
∂a1
∂x1+
∂a2
∂x2+
∂a3
∂x3(B.7)
B.2.1. Teorema di Gauss-Ostrogradsky
Il significato fisico della divergenza si capisce meglio in riferimento al teorema diGauss-Ostrogradsky , che avremo modo di usare frequentemente nel seguito. Questoteorema permette di calcolare l’ integrale di superfice di un qualsiasi campo vettorialea(r) fatto su una superfice chiusa S nell’ integrale della divergenza del campo stesso,sul volume V (S ) racchiuso dalla superfice stessa:
S
a · dS =
V (S )
∇ · a dV (B.8)
Dimostrazione:
In primo luogo immaginiamo di suddividere il volume V in elementi di volumeinfinitesimi, cubici dV = dx1 dx2 dx3, come rappresentato nella fig. B.5.
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B. Teoria matematica dei campi
dx1
dx2
dx3
(x1,x2,x3)
(x1+dx
1,x2+dx
2,x3+dx
3)
dx1
dx2
dx3
(x1+dx
1,x2+dx
2,x3+dx
3)
+
dx1
dx2
dx3
(x1+dx
1,x2+dx
2,x3+dx
3)
+
Figura B.5.:
E evidente che per il cubetto infinitesimo sara
a · dS =
a1 +
∂a1
∂x1dx1 − a1
dx2 dx3+
+
a2 +
∂a2
∂x2dx2 − a2
dx1 dx3+
+
a3 +
∂a3
∂x3dx3 − a1
dx1 dx2 =
=
∂a1
∂x1+
∂a2
∂x2+
∂a3
∂x3
dx1 dx2 dx3 =
= ∇ · a dV
dx1
dx2
dx3
(x1,x2,x3)
(x1+dx
1,x2+dx
2,x3+dx
3)
Figura B.6.:
E anche evidente, dalla fig. B.6, che il flusso uscente da una faccia di cubettoinfinitesimo sara eguale a quello entrante nella faccia adiacente, per cui alla fine ilflusso uscente dalla superfice S (V ) sara ottenuto sommando il flusso netto di tutti icubetti.
C.V.D.
Osserviamo anche incidentalmente che possiamo dare una diversa definizione della
divergenza di un campo vettoriale, come limite:
∇ · a = limV→0
1
V
S (V )
a · dS (B.9)
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B.3. Operatore rotore
div>0 div<0div=0
Figura B.7.:
La divergenza e in pratica un campo scalare associato al campo vettoriale dato, ilcui significato concettuale e illustrato nella Fig. B.7. La presenza di una sorgente o diuna perdita in una certa posizione puo essere rilevata facendo la differenza tra il flussoche entra e quello che esce, se la differenza e positiva vuol dire che c’e una sorgente,se negativa c’e una perdita, se e nulla nessuna delle due.
B.2.2. Cambiamento di scala per la divergenza
∇ · (ψa) = ψ∇ · a + a · ∇ψ (B.10)
Infatti avremo
∇ · (ψa) = ∂
∂xk(ψ ak) = ψ
∂ak∂xk
+ ak∂ψ
∂xk
per il teorema sulla derivazione del prodotto di due funzioni.
B.3. Operatore rotore
L’operatore ∇ puo essere applicato vettorialmente a sinistra ad una funzione vettorialea(r) ottenendo una funzione vettoriale delle coordinate detta rotore di a definita:
∇ × a def =
e1 e2 e3
∂ ∂x1
∂ ∂x2
∂ ∂x3
a1 a2 a3
(B.11)
ossia sviluppando il determinante
∇ × a =
∂a3
∂x2−
∂a2
∂x3
e1 +
∂a1
∂x3−
∂a3
∂x1
e2 +
∂a1
∂x2−
∂a2
∂x1
e2 (B.12)
L’ operazione differenziale ∇× associa ad un campo vettoriale un altro campo vet-toriale, che fornisce una indicazione locale della curvatura delle linee di forza. Un
campo vettoriale si dice irrotazionale se
∇ × a ≡ 0 (B.13)
in tutti i punti dello spazio.
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B. Teoria matematica dei campi
B.3.1. Divergenza del prodotto vettore
L’ operatore rotore compare quando si voglia effettuare la divergenza del prodottovettoriale di due campi a e b
∇ · (a × b) = a · ∇ × b − b · ∇ × a (B.14)
Infatti abbiamo
∇ · (a × b) ≡ ∇ ·
e1 e2 e3
a1 a2 a3
b1 b2 b3
=
= ∇ · [(a2 b3 − a3 b2) e1 + (a3 b1 − a1 b3)e2 + (a1 b2 − a2 b1)e3] =
= ∂a2
∂x1b3 + a2
∂b3∂x1
− ∂a3
∂x1b2 − a3
∂b2∂x1
+
+∂a3
∂x2b1 + a3
∂b1∂x2
− ∂a1
∂x2b3 − a1
∂b3∂x2
+
+∂a1
∂x3b2 + a1
∂b2∂x3
− ∂a2
∂x3b1 − a2
∂b1∂x3
=
=
∂a3
∂x2−
∂a2
∂x3
b1 +
∂a1
∂x3−
∂a3
∂x1
b2 +
∂a2
∂x1−
∂a1
∂x2
b3+
−a1
∂b3∂x2
− ∂b2∂x3
− a2
∂b1∂x3
− ∂b3∂x1
− a3
∂b2∂x1
− ∂b1∂x2
da cui segue appunto la Eq. (B.14).
B.3.2. Teorema di Stokes-Ampere
Anche in questo caso il significato fisico del rotore di un campo vettoriale risultachiarito da un teorema di integrazione, il teorema di integrazione di Stokes-Ampere,
che permette di trasformare l’ integrale di un campo vettoriale lungo una linea chiusaC nell’ integrale del rotore dello stesso campo, fatto sulla superfice racchiusa S (C ): C
a · dr ≡
S (C)
∇ × a · dS (B.15)
(x1,x2,x3) (x1+dx1,x2,x3)
(x1+dx1,x2+dx2,x3)
(x1+dx1,x2+dx2,x3+dx3)(x1,x2+dx2,x3+dx3)
(x1,x2,x3+dx3)
A
Figura B.8.:
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B.3. Operatore rotore
La dimostrazione procede in questo modo. Consideriamo per prima cosa un latodel cubetto elementare dx j dxk (ovviamente con k = j). La circuitazione lungo ilperimetro di questo percorso sara:
dc jk = a j dx j +
ak + ∂ak
∂x jdx j
dxk+
−
a j +
∂a j
∂x j dx j +
∂a j
∂xk dxk
dx j −
ak +
∂ak∂xk dxk
dxk+
Trascurando i differenziali di ordine dx2 j , dx2
k e semplificando otteniamo:
dc jk =
∂ak∂x j
− ∂a j∂xk
dxk dx j
E evidente che sommando i contribuiti dei tra lati del cubetto elementare si ottienela circuitazione elementare:
a · dr = ijk∂ak∂x j
dS i
da cui segue la Eq. (B.15). Osserviamo che anche in questo caso il rotore del campovettoriale puo essere definito tramite il limite:
limS →0
1
S
C
a · dr
rot E =0 rot E ≠0
Figura B.9.:
B.3.3. Cambiamento di scala per il rotore
Si dimostra facilmente la formula
∇ × (ψ a) = ψ ∇ × a + ∇ψ × a (B.16)
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B. Teoria matematica dei campi
Dimostrazione:Infatti avremo
∇ × (ψ a) =
e1 e2 e3
∂ ∂x1
∂ ∂x2
∂ ∂x3
ψ a1 ψ a2 ψ a3
=
ψ
∂a3
∂x2+
∂ψ
∂x2a3 − ψ
∂ a2
∂x3−
∂ψ
∂x3a2
e1 + · · · =
= ψ
∂a3
∂x2− ∂a2
∂x3
e1 +
∂ψ∂x2
a3 − ∂ψ∂x3
a2
e1 + · · ·
da cui segue subito la Eq. (B.16). Sviluppando abbiamo
∇ × (φa) = ijk ei∂
∂x j(φ ak) = φ ijk ei
∂ak∂x j
+ ijk ei∂φ
∂x jak
dalla quale segue subito la Eq. (??).C.V.D.
B.3.4. Teorema del rotore
∇ × ∇φ = 0 (B.17)
Infatti sara
∇ × ∇φ =
e1 e2 e3
∂ ∂x1
∂ ∂x2
∂ ∂x3
∂φ∂x1
∂φ∂x2
∂φ∂x3
= e1
∂ 2φ
∂x2 ∂ x3−
∂ 2φ
∂x3 ∂ x2
+ · · · = 0
per il teorema di Schwartz sulle derivate parziali miste.
B.3.5. Teorema della divergenza
∇ · ∇ × a = 0 (B.18)
Infatti sara
∇ · ∇ × a = ∂
∂xiijk
∂ak∂x j
= ∂ 2a1
∂x1∂x2−
∂ 2a1
∂x2∂x1+ · · · = 0
B.4. Operatore laplaciano
L’ operatore ∇ puo essere applicato due volte ad un campo scalare per ottenere unafunzione scalare delle coordinate detta laplaciano di φ:
∇2φ = ∇ · ∇φ ≡ ∂ 2φ
∂x2l
+ ∂ 2φ
∂x22
+ ∂ 2φ
∂x23
(B.19)
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B.4. Operatore laplaciano
B.4.1. Teorema di Green
Il teorema di Green stabilisce V
ψ ∇2φ − φ ∇2ψ
dV =
S (V )
(ψ ∇φ − φ ∇ψ) · dS (B.20)
Infatti la forma differenziale al primo membro puo essere scritta: ψ
∂ 2φ
∂x21
− φ∂ 2ψ
∂x21
dx1 dx2 dx3 + · · ·
Integrando per parti otteniamo
ψ
∂φ
∂x1− φ
∂ψ
∂x1
dx2 dx3 −
∂ψ
∂x1
∂φ
∂x1−
∂φ
∂x1
∂ψ
∂x1
dx1 dx2 dx3 + · · ·
da cui segue la Eq. (B.20).
B.4.2. Laplaciano della funzione 1/r
Il laplaciano della funzione 1/r riveste una particolare importanza nel calcolo delpotenziale. E facile dimostrare che
∇2 1
r = −4π δ 3(r) (B.21)
dove sia δ (r) la funzione di Dirac tridimensionale
δ 3(r) def = δ (x1) δ (x2) δ (x3) (B.22)
normalizzata in modo da ottenere
limV→∞
V
δ 3(r) dV = 1 (B.23)
Utilizzando la formula del gradiente della funzione 1/r (B.6), calcoliamo la diver-genza del gradiente che sara
∇ · ∇1
r = −∇ ·
r
r3
(B.10)
↓= −
∇ · r
r3 − r · ∇
1
r3
Derivando si ottiene
∇ 1
r3 = ∂
∂x1
x21 + x22 + x23
− 3
2 e1 + · · · = −3 x1
x21 + x22 + x23−5
2 e1 + · · ·
e quindi
∇ · ∇1
r = −
3
r3 + 3
x21 + x2
2 + x23
r5
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B. Teoria matematica dei campi
Questa funzione si annulla in tutto lo spazio, esclusa l’ origine delle coordinate in cuidiverge negativamente. Possiamo quindi esprimere il laplaciano come
∇2 1
r = −K δ 3(r)
Per calcolare la normalizzazione K possiamo applicare il teorema di Gauss-Ostrogradsky,
integrando su tutto lo spazio
limV→∞
V
∇ · r
r3
(B.8)
↓= lim
S →∞
S (V )
r
r3 · dS
dS
r
O
dΩ
r2
dΩ
θ
Figura B.10.:
Facendo riferimento alla Fig. B.10, osserviamo che possiamo sostituire
r · dS = r3
dΩ
nella equazione precedente, ottenendo
limS →∞
S (V )
r
r3 · dS =
4π
dΩ = 4π
da cui segue subito la Eq. (B.21).
B.4.3. Formula di Green
La formula di Green permette di trovare la soluzione principale della equazione diPoisson per il potenziale ∇2φ = ψ(r) nella forma
φ(r) ≡ − 1
4π limV →∞
V
ψ(r)
rPQdV (B.24)
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B.5. Gradiente di un vettore
dove sia rPQ = |r − r|. Ovviamente la condizione per la quale esiste la soluzione
principale e che l’ integrale sia finito. Cio si verifica in pratica se per la funzione didistribuzione ψ vale la condizione ausiliaria
limr→∞
r2 ψ(r) = 0 (B.25)
La dimostrazione della formula di Green si ottiene semplicemente facendo il laplacianodi ambo i membri della Eq. (B.24), ossia
∇2φ(r) = − 1
4π limV →∞
V
∇2
ψ(r)
rPQ
dV
nella quale potremo porre ovviamente
∇2
ψ(r)
rPQ
r=r
↓= ψ(r) ∇2 1
rPQ
poiche le coordinate del punto Q sorgente non dipendono da quelle del punto P potenziato. In base a quanto visto nella §B.4.2 potremo porre
∇2 1
rPQ
(B.21)
↓= −4π δ 3(r − r
)
e quindi in definitiva
∇2φ(r) = limV →∞
V
ψ(r) δ 3(r − r) dV
(C.5)
↓=ψ(r)
che dimostra la validita della formula di Green (B.24).
B.5. Gradiente di un vettore
Allo scopo di semplificare alcune formule conviene introdurre il concetto di gradiente
di un campo vettoriale a definito dalla identita vettoriale
∇a ≡ ∂a1
∂x1e1 +
∂a2
∂x2e2 +
∂a3
∂x3e3 (B.26)
B.5.1. Gradiente del prodotto scalare
∇ (a · b) ≡ a · ∇b + b · ∇a + a × (∇ × b) + b × (∇ × a) (B.27)
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B. Teoria matematica dei campi
B.5.2. Rotore del prodotto vettoriale
Il rotore del prodotto vettoriale di due campi a e b e dato dalla formula
∇ × (a × b) ≡ a · ∇b − b · ∇a + a∇ · b − b∇ · a (B.28)
B.5.3. Sviluppo del doppio rotore
∇ × (∇ × a) ≡ ∇∇ · a − ∇ · ∇a (B.29)
Ricaveremo ora una formula di analisi vettoriale che e particolarmente importante perlo sviluppo della teoria delle onde elettromagnatiche:
∇ × ∇ × a = ∇∇ · a − ∇2a (B.30)
dove ovviamente si intenda che l’ operatore ∇2 sia applicato separatamente a ciascunadelle componenti del vettore a. ossia in pratica si definisce laplaciano di un vettore ilvettore
∇2a ≡ ∇2a
1e1
+ ∇2a2e2
+ ∇2a3e3
(B.31)
Dimostrazione:Infatti sara
∇ × ∇ × a = ijk ei∂
∂x j
klm
∂am∂xl
= ijkklm ei
∂
∂x j
∂am∂xl
Applicando la formula del prodotto di due tensori di Levi-Civita (??) otteniamo
∇ × ∇ × a = ∂
∂x j
∂a j∂xi
ei − ∂
∂x j
∂ai∂x j
ei
che scambiando l’ ordine delle derivate parziali, e ricordando che dobbiamo sommaresugli indici ripetuti, diviene
∇ × ∇ × a = ∂
∂xi
∂a j∂x j
ei − ∂
∂x j
∂ai∂x j
ei = ∂
∂xi(∇ · a) ei − ∇2ai ei
dalla quale segue l’ asserto.C.V.D.
B.6. Laplaciano inverso
L’ operatore laplaciano inverso ∇−2 e definito
∇−2ψ(r) = − 1
4π
ψ(r)
|x − r| dV (B.32)
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B.7. Teorema di Helmoltz
e gode della proprieta∇2∇−2ψ = ψ (B.33)
Infatti avremo
∇2∇−2ψ = − 1
4π
∇2 ψ(r)
|x − r| dV
ma essendo ∇2ψ(r) ≡ 0 avremo
∇2∇−2ψ = − 1
4π
ψ(r) ∇2 1
|x − r| dV
Sostituendo la Eq. (??) si ottiene l’ asserto.
B.7. Teorema di Helmoltz
Un campo vettoriale a risulta completamente determinato assegnando in volume V dello spazio la sua divergenza ∇ · a ed il suo rotore ∇ × a.
Per procedere nella dimostrazione dimostreremo in primo luogo il lemma secondoil quale si puo sempre scomporre un campo vettoriale a nella somma di un campoirrotazionale e di uno solenoidale.
L’ ipotesi di questo lemma e che sia possibile dato un qualsiasi campo a porre
a = b + c dove sia ∇ × b = 0 e ∇ · c = 0 (B.34)
Per dimostrare questa ipotesi utilizzeremo la definizione della funzione delta di Diractridimensionale (??), ponendo
a(r) = − 1
4π limV →∞
V
a(x)∇2 1
|r − r| dV
Scambiando la derivazione con l’ integrazione avremo
a(r) = − 1
4π limV →∞
∇2
V
a(x)
|r − r| dV
Utilizzando lo sviluppo del doppio rotore (B.30), abbiamo
a(r) = − 1
4π limV →∞
∇∇ ·
V
a(x)
|r − r| dV − ∇ × ∇ ×
V
a(x)
|r − r| dV
quindi potremmo assumere
b = − 14π
limV →∞
∇∇ · V
a(x
)|r − r|
dV
c = 1
4π limV →∞
∇ × ∇ ×
V
a(x)
|r − r| dV
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7/23/2019 teoria matematica dei campi.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-matematica-dei-campipdf 16/16
B. Teoria matematica dei campi
Infatti il campo b e irrotazionale per l’ identita del rotore, mentre quello c per quelladella divergenza. Quindi risulta dimostrato il lemma.
L’ ipotesi del teorema di Helmholtz e che siano assegnati ∇ · a e ∇ × a, quindiapplicando il lemma appena dimostrato, non ci resta che dimostrare che possiamocalcolare b e c a partire da ∇ · a e ∇ × a.
E evidente che possiamo porre
b = −∇
1
4π limV →∞
V
∇ · a(x)
|r − r| dV
c = ∇ ×
1
4π limV →∞
V
∇ × a(x)
|r − r| dV
ed e facile dimostrare che
b = −∇
1
4π limV →∞
V
∇ · a(x)
|r − r| dV
c = ∇ ×
1
4π limV →∞
V
∇ × a(x)
|r − r| dV
da cui segue l’ asserto.
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