teoria wzlędnosci i grawitacji - strona główna ... · teoria wzlędnosci i grawitacji ... 2...
TRANSCRIPT
S.B. Leble Skrypt dla studentów Wydziału FTiMS
PG, stworzonego przez notatki studienckie, podziękowanie dla Michała
Kulczykowskiego, Piotra Markuszewskiego, Michała Ryszka, Jana Tuziemskiego,
Marcina Traczyka, Michała Lewandowskiego, Andrzeja Pałnickiego, Kajetana
Wojtackiego, Grzegorza Łukasika.
Teoria Wzlędnosci i Grawitacji
26 maja 2014
Politechnika GdańskaGdańsk 2006
Spis treści
1 Teoria względnosci I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Układy odniesienia, współrzędne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Definicja odleglosci i synchronizacja zegarow w IUO . . . 11.1.3 Notki historyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Propagacja fal elektromagnetycznych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1 Układ równań Maxwella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Równania falowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Teoria względności II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1 Wyprowadzenie Transformacji Lorentza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Geometria czasoprzestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Kowariantność, tensory i metryka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1 Tensory w przestrzeni Euklidesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2 Tensory w przestrzeni Minkowskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Kinematyka relatywistyczna i cztero-wektory. . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 Mechanika relatywistyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6 Prędkość względna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.7 Przestrzeń Łobaczewskiego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Teoria względności III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1 Szczególna teoria względności w dowolnych współrzędnych. . . . 213.2 Kolejność wydarzeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Ruch przyśpieszony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Czym jest położenie i czas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5 Propagacja fali elektromagnetycznej. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.6 Inercjalne układy odniesienia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.7 Efekt Dopplera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.8 Prędkość względna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
VI Spis treści
4 Uwagi matematyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1 Pojęcie grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Przestrzeń liniowa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3 Odległość to norma różnicy wektórów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.4 Obrót. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.5 Transformacje infinityzymalne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.6 Algebra Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.7 Zasada kowariantności. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.8 Algebra tensorów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.9 Nieskończenie małe transformacje grupy Lorentza . . . . . . . . . . . 294.10 Przestrzeń Riemanna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.11 Równanie geodezyjnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.12 Grupa Ruchów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.12.1 Równania Killinga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.13 Grupy Lorentza i Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 W stronę teorii grawitacji I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.1 Tensor masy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.1 Nieoddziałujące cząstki materii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2.2 Tensor masy dla cieczy doskonałej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3 Elektrodynamika - tensor masy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.3.1 Tensor energii dla pola elektromagnetycznego . . . . . . . . . 405.3.2 Masa i energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6 Geometria rożniczkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.1 Transformacje przestrzennych i czasowych wspólrzędnych . . . . . 43
7 Przestrzeń Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.1 Rozmaitość Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.2 Linia geodezyjna równolegle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.3 Równoległe przenoszenie wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.4 Różniczkowanie kowariantne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527.5 Transformacja Nawiasów Christoffela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8 Tensory krzywizny Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578.1 Tensor Krzywizny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.1.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578.1.2 Kilka własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588.1.3 Inne tensory krzywizny. Kontrakcje. . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9 Teoria grawiacji I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599.1 Podstawy Teorii Grawitacji Newtona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9.1.1 Prawo Galileusza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599.1.2 Interpretacja geometrycznz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Spis treści VII
9.2 Uwagi o pomiarach spektralnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
10 Teoria grawitacji II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6110.1 Równanie Grawitacji Einsteina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6110.2 Porównanie z teorią Newtona. Warunki brzegowe . . . . . . . . . . . . 6210.3 Rozwiązanie równań Einsteina w pierwszym przybliżeniu.
Wyznaczenie stałej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6310.4 Pole grawitacyjne izolowanej cząstki punktowej . . . . . . . . . . . . . . 6710.5 Ruch peryhelium planet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7110.6 Prędkosć propagacji pola grawitacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7610.7 Perspektywa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7810.8 Odchylenie promienia wiatła w polu grawitacji (w pobliżu
Słońca) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7910.9 Przesunięcie ku czerwieni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1
Teoria względnosci I
1.1 Wstęp
1.1.1 Układy odniesienia, współrzędne
1. Położenie ciała w przestrzeni w danej chwili czasu i układzie odniesienia.Definicja przez pomiary.
W mechanice klasycznej stan cząstki punktowej określany jest współrzęd-nymi położenia i pędu w inercjalnem układzie odniesienia (IUO). Koniecznymjest pomiar dt.
Względność położenia i CZASU [11].
1.1.2 Definicja odleglosci i synchronizacja zegarow w IUO
Wiki:Śynchronizacja (z starogr. synchronos - równoczesny) - koordynacja w cza-
sie, co najmniej dwóch zjawisk (procesów), tzn. dążenie do równoległego, nie-zależnego ich przebiegu, skoordynowanego w czasie lub do jednoczesnego ichzakończenia. Pojęcie synchronizacji występuje w fizyce, informatyce, elektro-nice, telekomunikacji, robotyce, multimediach (np. synchronizacja dźwięku zobrazem), muzyce i ekonomii (synchronizacja cykli koniunkturalnych).”
W formalizmie Szczególnej Teorii Względności występuje problem syn-chronizacji zegarów, które służą do pomiaru czasu.
ε(n,uE) = 12 (1 + buEn) .
W ramach tej teorii można mówić o synchronizacji absolutnej i synchro-nizacji standardowej, zwanej również synchronizacją Einsteina-Poincare:
* Synchronizacja standardowa nazywana także synchronizacją Einsteina-Poincare, gdzie prędkość światła w obu kierunkach jest taka sama. W tymprzypadku b = 0, więc
2 1 Teoria względnosci I
c = n, ε = 12
i otrzymujemy standardową postac transformacji Lorentza.Fock:Odleglosc.1, Scala pomiarowa (metr fizyczny, secunda - zegar)2, Triangulacja:wiki:”Triangulacja - metoda pomiaru osnów geodezyjnych, polegająca na okre-
śleniu wielkości wszystkich kątów i jednej długości w sieci składającej się ztrójkątów. Pomiar służy, po obliczeniu i wyrównaniu wyników pomiarów, okre-śleniu współrzędnych geodezyjnych wszystkich punktów sieci triangulacyjnej.W zależności od dokładności (klasy sieci) boki w triangulacji wynoszą od 2do 25 kilometrów.”
3. RadiolokacjaWiki:Żadiolokacja - technika umiejscawiania, śledzenia oraz określania położenia
obiektów powietrznych, naziemnych, kosmicznych w przestrzeni przy pomocyfal elektromagnetycznych. Jest działem radiokomunikacji.”
Radiolokacja wykorzystuje prostoliniowość rozchodzenia się fal elektroma-gnetycznych oraz zjawisko ich odbicia od przeszkód. W radiolokacji stosuje sięfale radiowe o długościach od kilku metrów do kilku milimetrów. Przykłademurządzenia radiolokacyjnego jest radar.
Wszystko - w geometrii Euklidesowskiej, jnaczej - sprzeczność ...Podkreślic; Wszyskie prawa geometrii jako experimentalne!3. światło (EM fale) - jako bazowe. W tym sensie - dlugość - ilość dlugości
fal.Pomiary prędkości światła - konieczność zastosowania sposobów niezależ-
nych od tej wiedzy!Jeśli założyć że prędkość w obu kierukach taka sama - wystarcze mierzyć
tylko czas w jednym punkcie. (okres drgań cząsteczki, etc)Więc jeśli τ - ten czas,c = 2r
τ , gdzie r mieżono biezpośrednio,więc - czynnik przeliczenia odległości - czas.Porównanie wskazań zegarów na odległości r za pomocą sygnałów, patrz
też [3]..
1.1.3 Notki historyczne
Transformacja Lorentzahttp : /en.wikipedia.orgikiistoryofLorentztransformationshttps : /archive.orgetails lathorielectrom00loregoog1. [?] Abstrakt:The book presents ideas by H. Poincar´e and H.Minkowski according to
those the essence and the main content of the relativity theory are the follo-wing: the space and time form unique four-dimensional continuum supplied by
1.2 Propagacja fal elektromagnetycznych. 3
the pseudo-Euclidean geometry. All physical processes take place just in thefour- dimensional space. Comments to works and quotations related to thissubject by L. de Broglie, P.A.M.Dirac, A. Einstein, V. L.Ginzburg, S.GoldbergP. Langevin, H.A. Lorentz, L. I.Mandel’stam, H.Minkowski, A. Pais, W. PauliM. Planck, A. Sommerfeld and H.Weyl are given in the book. It is also shownthat the special theory of relativity has been created not by A. Einstein onlybu even to greater extent by H. Poincar´e. The book is designed for scien-tific workers, post-graduates and upper-yea students majoring in theoreticalphysics.
2. [?] Abstrakt:The ways in which A Einstein and D Hilbert independently arrived at the
gravitational eeld equations are traced. A critical analysis is presented of anumber of papers in which the history of the derivation of the equations isviewed in a way “that radically differs from the standard point of view”. Theconclusions of these papers are shown to be totally unfounded.
2. [?]. Abstrakt:”The paper relates the history of the discovery of the gravitational eeld
equations by A. Einstein and D. Hilbert in November 1915. New insight intothe subject was gained from the proof-sheet, discovered in 1997 in the Univer-sity of Goettingen archive, of Hilbert’s talk he made on 20 November 1915 andpublished in March 1916. The history of the development of the general the-ory of relativity prior to the discovery of the generally covariant gravitationalfield equations is also discussed.”
1.2 Propagacja fal elektromagnetycznych.
1.2.1 Układ równań Maxwella
Zatem podsumujmy: równania Maxwella (w próżni) w postaci różniczkowej,w jązyku operatora ∇, twożą układ:
równanie Coulomba:∇ ·E = 4πρ, (1.1)
łaczy pole elektryczne vecE i gęstość ładunku ρ. Prawo Biota-Savarta-Laplace’aoraz brak ładunków magnetycznych:
∇ ·B = 0, (1.2)
dla wectora indukcji magnetycznej vecB, prawo Faradaya:
1c
∂B∂t
= −∇×E, (1.3)
równanie Ampere’a-Maxwella:
1c
∂E∂t
= ∇×B− 4πc
j, (1.4)
4 1 Teoria względnosci I
gdzie: j(r, t) - gęstość prądu elektrycznego.
Korzystając z własności równań (1.1) i (1.4), możemy wyprowadzić zasadęzachowania ładunku elektrycznego. Policzmy najpierw dywergencję równania(1.4)
∇ · [∇×B] =1c
∂(∇ ·E)∂t
+4πc
(∇ · j), (1.5)
pamiętając jednak, iż:(∇, [∇×B]
)=([∇×∇],B
)= 0. (1.6)
Otrzymamy:
0 =1c
∂(4πρ)∂t
+4πc
(∇ · j) (1.7)
Porządkując powyższe równanie a następnie dzieląc przez czynnik 4πc , dosta-jemy:
∂ρ
∂t+∇ · j = 0 (1.8)
Równanie (1.8) przedstawia prawo zachowania ładunku elektrycznego w po-staci rózniczkowej (= równanie ciągłości). Prawo to nie jest założeniem apriori, lecz bezpośrednio wynika więc z równań Maxwella, co zresztą udowod-niliśmy. Jest ono spełnione (w postaci (1.8)) dla modelu ciągłego rozkładuładunków. Historycznie Maxwell opierał się na prawie (1.8) w- w postaci cał-kowej, sprawdzając niezbędność dodawania tzw. ”prądów przesunięcia- członu∂E∂t do rownania Ampera.
Wprowadzenie pól elektrycznego i magnetycznego pozwala na niezależnerozpatrzenie ładunków jako źródeł pola, które też podlegają działaniu siłelektromagnetycznych. Dla każdego (wybranego) ładunku obecność innychładunków wpływa na jego ruch (np., przyspieszając ), co z kolei opisujemyrównaniem ruchu. Aby zamknąć układ równań Maxwella (tj. dokonać peł-nego opisu) konieczne jest dopisanie równań ruchu z śiłą Lorentza po prawejstronie. Kiedy jednak istnieje możliwość zaniedbania przyspieszenia ładunkówźródeł, korzystamy z równań Maxwella, rozpatrując opis ładunków tylko napodstawie gęstości ładunku i gęstości prądu, jako danych.
Jeżeli na ładunki próbne będą działać jednakowe siły, to rozkład pól E i Bjest jednakowy w określonym punkcie przestrzeni. Bardzo ważne jest stwier-dzenie, iż pola elektromagnetyczne mogą istnieć w obszarach, w których brakjest źródeł. Istotnym faktem jest również to, że E i B mogą być one nośnikamienergii, pędu, momentu pędu.
Przeanalizujmy teraz matematyczną podstawę opisu pól E i B, mianowicieukładu równań Maxwella’a (1.1 - 1.4). Ogólna liczba równań Maxwella wynosiosiem. Dwa z nich (1.2), (1.1) są równaniami, w których nie ma pochodnych poczasie. Dzięki temu możemy w dowolnej chwili wyznaczyć jedną ze składowychobu pól E i B, aby następnie podstawić do pozostałych, dynamicznych (tj.zawierających pochodne po czasie) równań.
1.3 Równania falowe 5
Inaczej, równania (1.1) i (1.2) wprowadzają pewne więzy dla podstawo-wych zmiennych (tj. E i B), np.:
Bz =∫
(∂Bx∂x
+∂By∂y
)dz. (1.9)
Więzy te są ważne w dowolnym czasie, a więc i w chwili początkowej. Tooznacza, że tylko cztery ze składowych pól są dynamicznie niezależne, a więcmożna zostawić cztery równania przy uzyskaniu zależności od czasu.
Z tego wynika, że sformułowanie zagadnienia początkowego (tj. zagadnie-nia Cauchy’ego) dla układu równań Maxwella składa się z czterech warunkówpoczątkowych. Powróczymi do szczególnego sformulowania zagadnien mate-matyki stosowanej w konkretnych przykładach odpowiednich rozdziałow.
1.3 Równania falowe
Powróczmy do układu równań Maxwella (1.1 - 1.4). Równania dynamiki(zmian z czasem) łanczą pole elektryczne z polem magnetycznym. Istneje jed-nak możliwość ich sprowadzenia do równania dlja jednej ze składowych, któraopera się na liniowość tych równan oraz na niezależność współczybbików odwspółrzędnych r, t. Rozważmy II i IV równania Maxwella:
1c
∂B∂t
= −∇×E, (1.10a)
1c
∂E∂t
= ∇×B− 4πc
j. (1.10b)
Różniczkując (1.10b) po czasie, po dzieleniu przez c, otrzymamy
1c2∂2E∂t2
= ∇× 1c
∂B∂t− 4πc2∂j∂t. (1.11)
Do równania (1.11) podstawmy (1.10a), uwzględniając tożsamość −∇× (∇×E) == −∇(∇ ·E) +∇2E i pierwsze równanie Maxwell’a (1.1);
1c2∂2E∂t2
= 4E−∇ (4πρ)− 4πc2∂j∂t. (1.12)
Powyższa równość ma postać nejednorodnego równania falowego:
�E = f , (1.13)
gdzie � jest operatorem d’Alemberta (kwabłą), przy czym
f = −4π(
1c2∂j∂t
+∇ρ). (1.14)
6 1 Teoria względnosci I
Po rozwiązaniu równań (1.13) z uwzgłednieniem (1.1) powinnyśmy powrócićdo jednego z rownań (1.10a,1.10b) żeby wyznacić składowe pola B naturalnie,z uwzgłednieniem węza (1.2).
Alternatywą może byc sporowadzenie układu (1.10a,1.10b) do równaniafalowego dla B i następnych obliczeń już składowych pola E.
2
Teoria względności II
2.1 Wyprowadzenie Transformacji Lorentza
Podstawą, na której zbudowano tzw. „Teorię względności” była niezmienni-czość równań Maxwella (1.1 - 1.4) w stosunku do przejszcza od jednego iner-cjalnego układu odniesienia do drugiego. Mowjąc dokładniej chodzi o kowa-riantności układu równań (1.1 - 1.4) względem grupy transformacji czaso-przestrzeni z następnej definicją niezmienniczego pseudoiłoczynu skalarnego wnazwanej przestrzeni. Te znamienite transformacje noszą nazwę transformacjiLorentza i odgrywają znaczącą rolę we współczesnej fizyce. Będziemy rozwa-żać niezmienniczość równania wynikającego bezpośrednio z układu równańMaxwella, mianowicie równanie falowe dla próżni (1.13, 8.2).
Na początku stawimy cel wyprowadzić wzory na transformatę Lorentza.Niezmienniczość formy operatora kwabla (�) w nazwanym kontekscie na-
leży rozumieć jako niezmienioną postać tego operatora w różnych, inercjalnychukładach odniesienia L, L′, które poruszają się jeden względem drugiego zestałą prędkością. Ten operator jest operatorem równania falowego; jak to zo-stało ustalione - równanie opisuje zjawiska falowe (np. paczki falowe). Wni-kliwa analiza całej fizyki pozwala rozważac takie zjawiska jako jedyny możliwynośnik informacji o położenii ciał w przestrzeni. Oznaczmy współrzędne prze-strzenne przez r, r′, a współrzędne czasowe: t, t′. Warunek niezmienniczościformy operatorów równania dla fali elektromagnetycznej w próżni dla układówL i L′ możemy zapisać symboliczne w postaci:
� = �′. (2.1)
Uprośćmy teraz nasz problem i załóżmy, że fala rozchodzi się tylko w kie-runku osi x. Uogólnienie na przypadek trójwymiarowy nie jest skomplikowa-nym, oraz może być dokonane za pomocą obrotów w przestrzeni r. Rozważmyteraz ”funkcję falową”U , fali elektromagentycznej, może to być składowa polaelektrycznego jak i magnetycznego (zobacz jeszcze raz (1.13, ); więc
1c2∂2U
∂t2− ∂2U
∂x2=
1c2∂2U
∂t′2− ∂2U
∂x′2. (2.2)
8 2 Teoria względności II
Wprowadźmy funkcje, które będą przeprowadzać współrzędne „nieprimo-wane” na „primowane”.
t′ = g(x, t),x′ = f(x, t).
(2.3)
Obliczmy teraz pochodne tych funkcji złożonych:
∂U
∂t= Ut =
∂U
∂x′∂x′
∂t+∂U
∂t′∂t′
∂t=∂U
∂x′∂f
∂t+∂U
∂t′∂g
∂t, (2.4a)
∂U
∂x= Ux =
∂U
∂x′∂x′
∂x+∂U
∂t′∂t′
∂x=∂U
∂x′∂f
∂x+∂U
∂t′∂g
∂x. (2.4b)
Różniczkując drugi raz, otrzymamy:
Utt = Ut′t′g2t + 2Ut′x′gtft + Ut′gtt + Ux′x′f
2t + Ux′ftt ,
Uxx = Ux′xf2x + 2Ut′x′gxfx + Ux′fxx + Ut′t′g
2x + Ut′gxx .
(2.5)
Podstawiając do (2.2) dostaniemy
gtft = c2gxfx, (2.6a)
f2t − c2f2x = −c2, (2.6b)
g2t − c2g2x = 1, (2.6c)
gtt − c2gxx = 0, (2.6d)
ftt − c2fxx = 0. (2.6e)
Rozpatrzmy drugie z tych równań
f2t − c2f2x = (ft − cfx)(ft + cfx) = −c2. (2.7)
Wprowadzając zmienne charakterystyczne ξ = x− ct, η = x+ ct, mamy
∂f
∂ξ=∂f
∂t− c∂f
∂x, (2.8a)
∂f
∂η=∂f
∂t+ c
∂f
∂x. (2.8b)
Albo, z pochodnymi zaznaczonymi jako indeksy
ft − cfx = fξ, (2.9a)
ft + cfx = fη. (2.9b)
Otrzymujemy,fξfη = −c2. (2.10)
Różniczkujemy ostatnie równanie po ξ,
fξξfη + fξfηξ = 0. (2.11)
2.1 Wyprowadzenie Transformacji Lorentza 9
Równanie (2.6e) jest równoważne z fηξ = 0, dlatego
fξξ = 0.
W ten sam sposób dochodzimy do
gξξ = 0,
orazfηη = 0, gηη = 0.
Ponieważ wszystkie drugie pochodne funkcji f(ξ, η), g(ξ, η) zerują sie, funkcjete muszą być liniowe ze względu na obie zmienne, czyli możemy je zapisać wpostaci
x′ = f(t, x) = at+ bx, (2.12a)
t′ = g(t, x) = pt+ qx. (2.12b)
Podstawmy teraz (2.12) do układu (2.6). Otrzymamy
p2 − c2q2 = 1, (2.13a)
a2 − c2b2 = −c2, (2.13b)
pa = c2qb. (2.13c)
Załóżmy teraz, że układ „primowany” L′ porusza się ze stałą prędkością v < cwzględem układu L. Ruch IUO L′ względem IUO L, jest jednostajnym, wy-starcze wybrać jeden punkt, mianowicie x′ = 0 (początek układu współrzęd-nych L’); ze wzoru f(t, x) = at+ bx = 0, wynika że x
t = v = −ab . Otrzymamyzwiązki parametrów a, b, p, q z parametrem ruchu v:
a = −vb, (2.14a)
p = −c2
vq, (2.14b)
które po podstawieniu do (2.13b) pozwolą na wyznaczenie
b =1√
1− v2
c2
. (2.15)
Z tego, że at+ bx = x′ mamy
x′ =x− vt√1− v2
c2
. (2.16)
Analogicznie, z równania (2.13a) otrzymamy
q2 =v2
c2
c2 − v2, (2.17)
10 2 Teoria względności II
oraz
t′ =t− v
c2x√1− v2
c2
. (2.18)
Wzory (2.59) i (2.60) definiują transformację Lorentza, która łączy układy Li L′, poruszające się jeden względem drugiego ze stałą prędkością v.
Transformacja Lorentza wiąże też relacje między współrzędnymi: prze-strzennymi i czasowymi. W transformacji Galileusza zakładaliśmy, że jest ab-solutność czasu i to, że ”upywa” on jednakowo we wszystkich układach. Wtransformacji Lorentza jest inaczej, co oznacza inaczej zdefiniowane pomiaryczasu w różnych układach odniesienia [11]. Czas jest względny.
2.2 Geometria czasoprzestrzeni
Korzystając z (2.59) oraz (2.60) łatwo zauważyć, że spełnione jest równość
c2t′2 − x′2 = c2t2 − x2. (2.19)
Co oznacza niezmieniczość wyrażenia
s2 = c2t2 − x2
lub, analogicznie, dla różniczek,
ds2 = c2dt2 − dx2, (2.20)
jest (lokalnym ) niezmiennikiem przyrostów x, t. Taka forma prowadzi do geo-metrii różniczkowej. Niezmienniki transformacji obrotów (||r||2 = x2+y2+z2)w przestrzeni euklidesowskiej (trojwymiarowej) używamy jako normy wektorar.
Podobnie, wzór (2.19) definiue (pseudo)normę w przestrzeni która nosinazwę pseudo-eukledisowskej. Nowa (pseudo)norma nie spełnia klasycznychaksjomatów normy, przedo wszystkim nie jest dodatnią. Naturalne uogólnieniena trzy wymiary (x, y, z) jest
ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 = dx20 − dx2 − dy2 − dz2. (2.21)
Możemy wprowadzic nową zmienną x0 = ct, która ma te same jednostkifizyczne że współrzędne przestrzenne (mianowicie - dx0 = cdt).
Ogólne, zmienjaąc oznaczenia, forma
ds2 =3∑
ν,µ=0
gνµdxνdxν , (2.22)
używa się jako (pseudo)norma w przestrzeni stycznej do rozmaitosci cztery-wymiarowej. Taka forma prowadzi do geometrii różniczkowej. Składowe ten-sora metrycznego gνµ = ενδνµ numerowane są literkami greckimi (µ, ν =
2.3 Kowariantność, tensory i metryka 11
0, 1, 2, 3, 4.) W naszym przypadku (2.21) tensor jest diagonalny z elementamig00 = ε0 = 1, gii = εi = −1, i = 1, 2, 3. Odpowiednik (2.19) daje podobnywzór. Powtórzmy że przestrzeń taka nie jest zwykłą przestrzenią Euklidesa,nazywamy ją przestrzenią pseudo-euklidesowskiej albo przestrzenią Minkow-skiego, akceptujemy je jako przestrzeń fizyczną teorii relatiwistycznej. Wpro-wadzimy jeszcze (pseudo) iłoczyn skalarny dwóch czterowektorów a, b o współ-rzędnych aµ, bν jako
{a, b} = a0b0 − a1b1 − a2b2 − a3b3 =3∑
ν,µ=0
gνµaνbµ =3∑
ν=0
ενaνbν . (2.23)
Dalej, słowo ”pseudo” już nie dodajemy, ale pamiętamy o nim w przy-padku odpowiednich pojęcz cterywymiarowych,. Szczególne interwał czasowo-przestrzenny jest {a, a} = a20 − a2.
Ogólne transformacja Lorentza definiuje się macierzą 4× 4 Lνµ
x′µ =3∑
ν=0
Lµνxν , (2.24)
zakładając niezmienniczość iłocznia skalarnego (2.23)
{La,Lb} =3∑
ν,µ,α,β=0
gνµLναLµβaαbβ = {a, b}. (2.25)
stąd3∑
ν=0,µ=0
gνµLναLµβ = gαβ , (2.26)
albo dla odpowiednich macierzy
LTGL = G. (2.27)
Taki warunek (2.27) definiuje zbiór macierzy, który tworzy pełną grupę Lo-rentza.
2.3 Kowariantność, tensory i metryka
2.3.1 Tensory w przestrzeni Euklidesa
Grupa ortogonalna. Transformacja
x′i =3∑k=1
Aikxk, (2.28)
12 2 Teoria względności II
Definuje wektor Iloczyn slalarny (x, y) się nie zmienia, więc
ATA = I. (2.29)
Relacja wektorów pola elektrycznego Ek i indukcji elektrycznej Di
Di =3∑k=1
εikEk, (2.30)
wprowadzi równanie materiałowe oraz prenikalność dielektryczną εik :Przeidżmy do innego UO po obrocie:
D′i =3∑k=1
ε′ikE′k, (2.31)
daje3∑k=1
AikDk =3∑k=1
ε′ik(3∑j=1
AkjEj), (2.32)
bez znaków sumyATmiAikDk = ATmiε
′ikAkjEj , (2.33)
więcDm = ATmiε
′ikAkjEj , (2.34)
iεmjEj = ATmiε
′ikAkjEj , (2.35)
skąd wynika że εmj są współrzędne tensora.
εmj = ATmiATjkε′ikEj . (2.36)
2.3.2 Tensory w przestrzeni Minkowskiego
Teraz można wprowadzić tensory w przestrzeni Minkowskiego (patrz App. 1). Podstawowa transformacja składowych wektora Aν w ”pierwszym”układzieodniesienia daje wartosci składowych tego samego wektora w ”drugim”układzie
A′µ =3∑
ν=0
LµνAν , (2.37)
zgodnie z (2.24), co definiuje wektor jako tensor pierwszego rzędu.Dla tensora drugiego rzędu o komponentach Tµν mamy
T ′µ,ν =3∑
µ′,ν′=0
Lµµ′Lνν′Tµ′ν′ , (2.38)
2.4 Kinematyka relatywistyczna i cztero-wektory. 13
z naturalnym uogólnieniem na dowolny rząd. Rożnica pomiędzy tensoramiw przestrzeni Euklidesa i Minkowskiego jest operacja kontrakcji. Mianowiczepole skalarne z dwóch wektorów o składowych Aµ i Bν otrzymujemy przesdefinicje (2.23), albo
S =3∑
µ=0
gµµAµBµ, (2.39)
inaczej, wprowadząc kontrawariante komponenty wektora
Aµ = gµνAν , (2.40)
alboS = gµνAνBµ = AµBµ, (2.41)
co traktujemy jako iłoczyn skalarny, z podobną relacja dla tensora drugiegorzędu.
2.4 Kinematyka relatywistyczna i cztero-wektory.
Wróczmy do równania generacju fal elektromagnetycznych (1.13. Lewa stronajego jest iłoczynem niezmieniczego operatora quabła i wektora pola elektroma-gnetycznego E,B. Transformacja lewej strony narzuca sposób transformacjukombinacji pochodnych gęstośdci prśdu i ładunku lewej strony. Te wielkościproporsjunalny do typowo kinematycznych wielkości jako np. j ∝ v.
Ogólna idea kinematyczna - uporządkować wszystkie zmienne fizyczne wtakie grupy, żeby każda repezentowała nektóry tensor w przestrzeni Min-kowskiego. Naprzykład, podstawowe współrzędne w czasoprzestrzeni (x0 =ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z) uwzględniają czwartą (nazywamy ją zerowej)składową ct i tworzą tensor pierwszego rzędu - wektor. Do grupy składowychprędkości vi = dxi
dt więc dołączymi prędkosc światła c = dx0dt . Powstaje ważne
pytanie: co jest czasową składową p0 pędu pi?. Sens tej dodatkowej składowejmoże być wyjasniony przez tezę o niezmieniczosci kombinacji podobnej (2.19):
m20c2 = p20 − p21 − p22 − p23, (2.42)
oznaczonej z uwzgłędnienijem jednostek po prawej stronie, dlatego współczyn-nik c2 został wprowadzony. W układzie spoczynkowym pi = 0, więc zerowaskładowa czteropędu pędu p0 proporcjonalna niezmiennikowi p0 = mc. Dladalszej interpretacji rozważmy granicę nierelatywistyczną v << 1, co rowno-ważne do p << m0c. Dla uproszczenia powróczmy do przypadku jednowy-miarowego p2 = p3 = 0, p1 = p, co daje dla pierwszego czlonu w rozwinięciuTaylora po małemu parametru p0c
p0 =√m20c
2 + p2 ≈ m0c(1 +p2
2m20c2) = m0c+
p2
2m0c, (2.43)
14 2 Teoria względności II
co można odczytać jako sumę m0c i bardzo znanej formule dla energii ki-netycznej, podzielonej przez c. Dochodzimy do wniosku że wartość p0c jestrównoważna do energii ciała punktowego.
W taki sam sposób dodajemy składową zerową do wektora gęstości prądu.j, mianowicze j0 = cρ. Latwo sprawdzic że prawo zachowania ładunku (1.8)
∂cρ
∂ct=∂j0∂x0
= −divj = −3∑k=1
∂jk∂xk
, (2.44)
albo3∑
µ=0
∂jµ∂xµ
= 0
jest nieznieniczym w stosunku do transformacji Lorentza. Zastosujmy wzórna pochodną funkcji złorzonej
3∑µ=0
∂j′µ∂x′µ
=3∑
µ,ν,α=0
Lµν∂jν∂xα
∂xα∂x′µ
,
formulu transformacji Lorentza (2.24) i je analog dla czterowektora składo-wych gęstości prądu a
j′ν =3∑
µ=0
Lνµjµ. (2.45)
Pochodne∂xα∂x′µ
= [GLTG]αµ
sa wyliczone na podstawie (2.24)
xα =3∑
µ=0
L−1αµx′µ, (2.46)
z uwzgliędnieniem prostego skutku (2.26) albo (2.27)
L−1 = GLTG (2.47)
gdy warunek GG = I został zastosowany. Więc jako wniosek końcowy mamyniezmienniczość dywergencji czterowymiarowej.
3∑µ=0
∂j′µ∂x′µ
=3∑
µ=0
∂jµ∂xµ
.
2.5 Mechanika relatywistyczna 15
2.5 Mechanika relatywistyczna
Sformulujemy zasadę którą można zaakceptować jako bazową dla całej fizykiteoretycznej, nazwijmy je zasadą kowariantności ogólnej. Ona brzmi następu-jace (partz. Fock [2])
Podstawowe równania fizyki powinny mieć postać tensorową,mianowicze kazde równanie ma być równościu tensorów tego sa-mego rzędu.
Fizyczne to oznacza że przejszcze do innego układu odniesienia nie po-winno złamać równosci.
Rozważmy przypadek dwóch układów U i U’, które ruszą się jeden w sto-sunku do drugiego. Równania ruchu mechaniki Newtona (II prawo Newtona)w tych układach są rózne jak wynika z transformacji Lorentza (2.24) (ćwi-czenie). Droga do budowy równania kowariantnego, które by przechodziło doformy Newtonowskej w granice nierelatywistycznej (v � c), bazuje się nawprowadzeniu czasu niezmienniczego
dτ =ds
c=
√dt2 − dr2
c2= dt
√1− 1
c2dr2
dt2= dt
√1− v2
c2, (2.48)
przes (2.23) - analog trójwymiarowy wzoru (10.64). Taka różniczka czasowamoże być zinterpretowana jako różniczka czasu ”własnego” cząstki punktowejbo on pokrywa się z czasem cząstki we wlasnym układzie odniesienia (v = 0).Taki czas pozwala na wprowadzenie czterowektora prędkości
dxµdτ
= { c√1− v2
c2
,v√
1− v2
c2
}, (2.49)
i, po wymnożeniu przes m0, powrócic do czteropędu
pµ = m0dxµdτ
. (2.50)
Wzór (2.50) daje wyrażenie dla składowych pędu przez prędkość, patrz też(2.42) żeby otrzymać pełny wyraz dla p0.
p0 =
√m20c
2 +m20(drdτ
)2 = m0c
√1 +
v2
c2
1− v2
c2
=m0c√1− v2
c2
. (2.51)
Dalej, wprowadzi się czteroprzyspieszenie
d2xµdτ2
=d
dτ{ c√
1− v2
c2
,v√
1− v2
c2
}, (2.52)
po różniczkowaniu uwzgliędniamy (2.48), więc
16 2 Teoria względności II
d2xµdτ2
=1√
1− v2
c2
d
dt
1√1− v2
c2
{c,v}. (2.53)
Jeśli pomnożyć przez masę niezmienniczą m0, rezultat już możemy przy-równać do czterosiły Fµ. Najbardziej zwarte wyrażenie dla równaia ruchucząstki punktowej wtedy jest
dpµdτ
= Fµ. (2.54)
przestrzenna częszcz tego podstawowego prawa dynamiki lączy się z Newto-nowskim w sposób który wynika bezpośriednie z (2.52)
m0d
dτ
v√1− v2
c2
= F. (2.55)
Teraz możemy wyprowadzić prawo zachowania energii cząstki punktowej,różniczkujac kwadrat masy nieznieniczej
dm20c2
dτ=d(p20 − p2)
dτ= 2
3∑µ=0
εµpµdpµdτ
= 23∑
µ=0
εµpµFµ = 2p0dp0dτ− 2pF = 0,
(2.56)inaczej, podstawienie wyrażenia dla p0 z (2.51)
2m0c√1− v2
c2
d[ m0c√1− v2
c2
]
dτ− 2m0
v√1− v2
c2
F = 0, (2.57)
doprowadzi do prawa zachowania energii
dmc2
dt= vF, (2.58)
gdzie wyrażenie
E = mc2 =m0c
2√1− v2
c2
możemy interpretować jako energie, bo iloczyn skalarny vF jest mocą siły F.
2.6 Prędkość względna
W mechanice nierelatywistycznej prędkość względna definiuje się jako różnicaprędkośći u,v, mieżone w tym samym UO. Wtedy prędkość drugiego ciaławzględem pierwszego definiuje się jako w = v — u. Taka definicja niezmien-nicza w stosunku do transformacji Galileusza, ale nie w stosunku do transfor-macji Lorentza. Dlatego w teorii względności powinnyszmy wyprowadzić inny
2.6 Prędkość względna 17
wzór. The fact that w = v — u has no physical meaning becomes evidentby examining the following example. Let the velocities u and v have oppositedirections and have magnitudes near to the speed of light or equal to it. Thenthe ”velocity ”w will have a magnitude near or equal to twice the speed oflight, which is evidently absurd. We shall, therefore, give a new definition ofrelative velocity which is in accord with the requirements of Relativity andhas a direct physical meaning. Let the velocities of two bodies in some frameof reference be u and v as before. We can introduce a primed frame of re-ference in which the velocity of one, say the first, body vanishes. Then wecan interpret the velocity v’ of the second body in this frame as the relativevelocity of the two bodies. We shall see that the magnitude of v’ will dependsymmetrically on u and v, so that the so defined relative velocity of two bodiesdoes not depend upon which body was chosen to be at rest in the new frame.
To illustrate the physical significance of our definition we consider an exam-ple. Imagine we are observing two planes from the ground and let their velo-cities be u (1) and v (2) respectively. Assume that the first plane has radarequipment permitting a measurement of the speed of the other plane relativeto itself. The velocity so measured will be the relative velocity of our defi-nition. We must express this relative velocity in terms of the components ofthe velocities u and v of the two planes, as observed from the ground. Forthis purpose we write down the general formulae for a Lorentz transformationdeduced in Section 10.
Mieliśmy:
x′ =x− vt√1− v2
c2
. (2.59)
t′ =t− v
c2x√1− v2
c2
. (2.60)
Ogólnie [2]
r′ = r−Vt+ (b− 1)VV 2
(V · r− V 2t) (2.61)
t′ = b(t− V · rc2
), (2.62)
gdzie V, b, patrz (2.15). Prędkość u samolotu 1, przyrównujmy do
Vx = ux, ... (2.63)
Prędkość drugiego samolotu (2), mierzonego z Ziemi, wynosi
v =drdt, (2.64)
natomiast pręedkość drugiego samolotu, mierzona z pierwszego, jest
18 2 Teoria względności II
v′ =dr′
dt′. (2.65)
Różniczkująć wzory (2.67)
dr′ = dr−Vdt+ (b− 1)VV 2
(V · dr− V 2dt) = (2.66)
[drdt − u + (b− 1) uu2 (u · drdt − u
2)]dt
dt′ = b(dt− V·drc2 ) = b(1− u· drdt
c2 )dt,(2.67)
Tożsamość [A × B] · [C × D] = (A · C)(B · D) − (A · D)(B · C) yields[u× v]2 = [u× v] · [u× v] = u2v2 − (u · v)(u · v).
Stąd
v′ =v − u + (b− 1) u
u2 (u · v − u2)b(1− u·v
c2 ), (2.68)
składowe v′ są wymierne funkcje składowych v. Podniesienie do kwadratudaje:
v′2 =(v − u)2 − [u×v]2
v2
(1− u·vc2 )2
. (2.69)
Proposition 1. v′2 jest niezmiennikiem transformacji Lorentza.Proposition 2. Symetria wzgłędem zamiany u,v.Proposition 3. Z u2 ¬ c2, u2 ¬ c2 wynika że v′2 ¬ c2.Dowód:
1− v′2
c2=
(1− u2
c2 )(1− v2
c2 )(1− u·v
c2 )2(2.70)
Uwaga 1. Jeśli [u× v] = 0, v′ = v−ub(1−u·v
c2)
Uwaga 2. Jeśli [u · v] = 0, v′ = b−1v − uPowstaje hypoteza o przestrzeni prędkości o chrakterze geometrycznym:
scieżka do przestrzeni Łobaczewskiego.
2.7 Przestrzeń Łobaczewskiego.
Rozważmy prędkość względną dwóch ciał poruszających się z blizklimi pręd-kościami v,u = v + dv (2.68). Po dzieleniu dv′2 na c2 mamy:
ds2 =c2dv2 − [v × dv]2
c2 − v22
(2.71)
Propozycja 1. dv′2 jest niezmiennikiem transformacji Lorentza.Let us put vx(p), ...
2.7 Przestrzeń Łobaczewskiego. 19
s =∫ p2
p1
√2Fdp, (2.72)
gdzie
F =12
v2
c2 − v2+
12
(v · v)2
(c2 − v2)2, (2.73)
pochodna po p oznaczona kropką.Określimy prostą Łobaczewskiego, jako najkrótszą krzywą, łączącą punkty
p1, p2. Dlatego przyrównamy zeru wariacje całki (2.72), innymi słowy, na-piszmy równanie Eulera-Łagrangea dla
L =√
2F , (2.74)
albod
dp
∂L
∂vx− ∂L
∂vx= 0. (2.75)
Analiza całek równania (2.75) (patrz [2]) daja linowe relacje między składo-wymi prędkości v, więc wymierna transformacja Lorentza nie zmienia charak-ter relacji.
Długość odczynku v2 − v1
v = v1 + µ(v2 − v1) (2.76)
w przestrzeni prędkości odrzymujemy, całkując we wzorze (2.72). Dla jedna-kowo skierowanych v2,v1 dlugość (prędkosc względna) jest
v′ =v2 − v11− v2v1
c2(2.77)
Kąt się wprowadzi standardowo
cos(v2,v1) =v2 · v1|v2|, |v1|
, (2.78)
możno więc określic trojkąt i udowodnic, że jest to trojkąt Łobaczewskiego.Experimenty Fizeau (1851, prędkosć światła w ośrodku ruchomym - wodzieen.wikipedia.orgikiizeauexperiment?) i Bradleya (zjawisko aberacju astro-nomicznej) potwierdzają rzeczywistość geometrii przestrzeni prędkości.
3
Teoria względności III.
3.1 Szczególna teoria względności w dowolnychwspółrzędnych.
3∑0
(∂w
∂xα
)2={
0 swiatlo1 Hamilton− Jacobi (ruch czastki puktowej)
gµν∂w
∂xµ
∂w
∂xν={
01
Twierdzenie:
Istnieją współrzędne Galileusza, w których gµν = δµνeµ;wiemy, że Rµν,αβ = 0, g00 > 0,
∑31 g
ikξ1ξk < 0.
3.2 Kolejność wydarzeń
Załóżmy że w naszej przestrzeni dzieją się 2 wydarzenia: jedno w miejscu owspółrzędnej x i w czasie t oraz drugie w miejscu oznaczonym jako x′ oraz t′
I. t2 − t1 > 1c ||r2 − r1||
c2(t2 − t1)2 − (r2 − r1)2 > 0
T =1c
√(t2 − t1)2c2 − (r2 − r1)2
Gdzie T jest odcinkiem czasowym.W przypadku wydarzeń kwazijednoczesnych (czyli takich w których kolej-
ność jest względna)
II. − 1c |r2 − r1| < t2 − t1 < 1c |r2 − r1|
22 3 Teoria względności III.
c2(t2 − t1)2 − (r2 − r1)2 < 0
R =√
(r2 − r1)2 − c2(t2 − t1)2
Gdzie R jest odcinkiem przestrzennym.Stwierdzenie: W przypadku II istnieje Układ odniesienia, w którym wyda-
rzenia są jednoczesne, tzn
t′2 − t′1 = β[t2 − t1 −1c2
(r2 − r1)v]
3.3 Ruch przyśpieszony
∆l′ = β∆l
Prosta w jednym układzie odniesienia jest krzywą w drugim UO, któryporusza się obrotowo z częstotliwosciu ω
3.4 Czym jest położenie i czas?
Pierwszym etapem przy opisie rzeczywistości jest określenie zestawu podsta-wowych wielkości. Są to wielkości, które uzyskujemy wprost z dokonanegopomiaruóbserwacji. Na przykład prędkość jest wielkością pochodną co wy-chodzi wprost z jej definicji: wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianęwektora położenia w jednostce czasu.
V =drdt
Wielkościami podstawowymi są: położenie (x, y, z) oraz czas t. Określa się jepoprzez porównanie ze ”wzorcem”: położenie - przez długość fali elektroma-gnetycznej, czas - przez ruch okresowy - okres T fali elektromagnetycznej.Metody pomiaru odległości:
3.6 Inercjalne układy odniesienia. 23
1. porównanie bezpośrednie ze wzorcem,2. triangulacja,3. radiolokacja.
3.5 Propagacja fali elektromagnetycznej.
�ϕ = 0[1c2∂2
∂t2−∆
]ϕ = 0
ct = f(x, y, z)
(∇f)2 = 1
. Funkcja opisująca położenie czoła fali:
W (t, x, y, z) = 0⇒ 1c2
(Wt)2 − (∇W )2 = 0
Stwierdzenie:Wx = Wy = Wz = const.
x− x0 = cWx√
W 2x +W 2y +W 2z
(t− t0) = cα(t− t0)
y − y0 = ...
z − z0 = ...
c2(t− t0)2 − (x− x0)2 − (y − y0)2 − (z − z0)2 = 0
c2(t− t0)2 − (r− r0)2 = 0
3.6 Inercjalne układy odniesienia.
R = 0→ ¨r = 0
r = r0 + vt
Układ inercjalny jest to układ odniesienia, względem którego każde ciałopunktowe, o zrównoważonym oddziaływaniu z innymi ciałami (suma śił =0), porusza się bez przyspieszenia. Istnienie takiego układu jest postulowaneprzez pierwszą zasadę dynamiki Newtona:
I prawo Newtona → ∃ Zbiór inercjalnych układów odniesienia.
Teoria Lorentza:
24 3 Teoria względności III.
Istnieje klasa inercjalnych układów odniesienia, między którymi zachodzitransformacja Poincarego x′mu = Λνµxν + a+µ (o szczegółach patrz niżej).
W elektrodynamice:R = 0→ r = r0 + vt
Bazowa zasada teorii względności:
równanie + warunki Cauchy’ego
t, r → t′, r′ → dτ = ds→ forma II prawa Newtona
m0d2xµdτ2
= Fµ.
3.7 Efekt Dopplera
Rozważmy ruchomy układ UO′, w którym zachodzą pewne procesy odbywa-jące się ze stałym interwałem. Wydarzenia te będziemy obserwować z ńieru-chomego”układu UO. Niech r(t) będzie odległością pomiędzy dwoma ukła-dami w zależności od czasu t i niech tn będzie oznaczać czas kolejnych wyda-rzeń w układzie UO′, dla n = 1, 2, 3... Czasy t∗n po jakich kolejne wydarzeniazostaną zaobserwowane w układzie UO możemy obliczyć w następujący spo-sób:
t∗n = tn +r(tn)c
(3.1)
Pytanie: Czy czasy obserwacji t∗n będą zachodziły z tym samy interwałem coczasy zajścia kolejnych procesów w ruchomym układzie? Rozpatrzmy przypa-dek gdy nasz ruchomy układ będzie się oddalał od układu nieruchomego zestałą prędkością v, wzdłuż jednej osi:
x = vt; y = 0; z = 0 (3.2)
Na podstawie (3.1) możemy obliczyć czasy zajścia kolejnych procesów:
tn =t∗n
1 + vc
(3.3)
Używając transformacji Lorentza wprowadzamy nowy punkt odniesienia zwią-zany ściśle z ruchomym układem:
x′ =x− vt′√(1− v2
c2
(3.4)
3.8 Prędkość względna 25
t′ =t− vx2√(1− v2
c2 )(3.5)
Co po inwersji daje nam wyrażenia:
x =x′ + vt′√(1− v2
c2 )(3.6)
t =t′ + vx2√(1− v2
c2 )(3.7)
Niech wydarzenia w układzie primowanym będą zachodziły w czasie t′n = τn ,gdzie τ to stała będąca interwalem pomiędzy każdym kolejnym wydarzeniem.
Możemy zatem przyjąć:
t∗n = (1 + v)tn = nτ
√1 + v
1− v, (3.8)
co daje odczyty czasu, jako funkcje τ .
3.8 Prędkość względna
W mechanice nierelatywistycznej prędkość względna definiuje się jako róż-nica prędkośći u,v, mieżone w tym samym UO. Wtedy prędkość drugiegociała względem pierwszego definiuje się jako w = v — u. Taka definicja nie-zmiennicza w stosunku do transformacji Galileusza, ale nie w stosunku dotransformacji Lorentza. Dlatego w teorii względności powinnyszmy wyprowa-dzić inny wzór. The fact that w = v — u has no physical meaning becomesevident by examining the following example. Let the velocities u and v haveopposite directions and have magnitudes near to the speed of light or equalto it. Then the ”velocity ”w will have a magnitude near or equal to twicethe speed of light, which is evidently absurd. We shall, therefore, give a newdefinition of relative velocity which is in accord with the requirements of Re-lativity and has a direct physical meaning. Let the velocities of two bodiesin some frame of reference be u and v as before. We can introduce a primedframe of reference in which the velocity of one, say the first, body vanishes.Then we can interpret the velocity v’ of the second body in this frame as therelative velocity of the two bodies. We shall see that the magnitude of v’ willdepend symmetrically on u and v, so that the so defined relative velocity oftwo bodies does not depend upon which body was chosen to be at rest in thenew frame. To illustrate the physical significance of our definition we consideran example. Imagine we are observing two aeroplanes from the ground andlet their velocities be u and v respectively. Assume that the first plane hasradar equipment permitting a measurement of the speed of the other plane
26 3 Teoria względności III.
relative to itself. The velocity so measured will be the relative velocity of ourdefinition. We must express this relative velocity in terms of the componentsof the velocities u and v of the two planes, as observed from the ground. Forthis purpose we write down the general formulae for a Lorentz transformationdeduced in Section 10. These are
4
Uwagi matematyczne
4.1 Pojęcie grupy
Na początku dla jasności dalszego tekstu i rozważań wprowadźmy pojęciegrupy:Grupą nazywamy taką strukturę algebraiczną (G,?), gdzie G jest dowolnymniepustym zbiorem, zaś ? : G × G → G działaniem dwuargumentowym speł-niającym następujące warunki:
1. ∀a,b,c∈G (a?b)?c=a?(b?c), łączność działania;2. ∃e∈G ∀a∈G e?a=a?e=a, gdzie e nazywamy elementem neutralnym działa-
nia;3. ∀a∈G ∃b∈G a?b=b?a=e, gdzie b nazywamy elementem odwrotnym do ele-
mentu a.
Więcej informacji na temat teorii grup można znaleźć w często używanejna wydziale FTiMS PG w książce Jacka Komorowskiego Od liczb zespolonychdo tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk.
4.2 Przestrzeń liniowa.
Przestrzeń liniowa L, a+ b ∈ L, α · a ∈ L, α ∈ =Baza: ∀a∈L a =
∑ni=1 aiei , {ei} -jest bazą;
a =∑ni=1 a
′ie′i ; a′i =
∑nk=1 tikak ; e′k =
∑ni=1 tikei
4.3 Odległość to norma różnicy wektórów.
∃‖a‖ ⇒ ‖a− b‖ , istnieje norma - przestrzeń unormowana;cosγ = (a,b)
‖a‖‖b‖ , ‖a‖ = (a, a)12 , istnieje iloczyn skalarny - przestrzeń unitarna.
28 4 Uwagi matematyczne
4.4 Obrót.
Transormacja, która nie zmienia normy, iloczynu skalarnego.(Ta,Tb)=(TTTa,b)=(a,b), TTT=I ⇒ detTdetTT=1 ⇒ detT=± 1jeżli detT=1, T - obrót, w szczególności I.
n=3 T ∈ O+(3) grupa Te =
11
1
4.5 Transformacje infinityzymalne.
T = I + εM + . . .(I + εMT + . . .)(I + εM + . . .) = II + ε(MT +M) + ε2(MTM) + . . . = IMT +M = 0Mik = −Mki, M - antysymetryczna
M =
0 M12 M130 M23
0
4.6 Algebra Liego
Zbiór M tworzy przestrzeń liniową M ∈ L algebry Liego O+(3).
M = M12
0 1 0−1 0 00 0 0
+M13
0 0 10 0 0−1 0 0
+M23
0 0 00 0 10 −1 0
εM12 = ω1, εM13 = ω2, εM23 = ω3εM =
∑ni ωiei
[ei, ek] = εikeee, T = eεM
Ti =
−1 0 0−1 0−1
, inwersja, nie należy do grupy obrotów O+(3).
Nowa transformacja T = detT · TJeżeli ai′ =
∑nk=1 Tikak, pseudowektor
4.7 Zasada kowariantności.
Zbiór L× L 3 {a, a} = a× aaiej × aj ej = aiaj(ei × ej) - baza tensorowaTransformacje do innego układu odniesieniaaiaj =
∑i′,j′ tii′ai′aj′tjj′
4.10 Przestrzeń Riemanna. 29
Sij =∑j′,i′ tii′tjj′Si′j′ , definicja tensora 2 rzędu.
Sijk =∑j′,i′,k′ tii′tjj′tkk′Si′j′k′
Symetria tensorów.Sik = Ski - tensor symetrycznySik = −Ski - tensor antysymetryczny
4.8 Algebra tensorów.
1. Dany rząd i gatunek tensora.2. Dodawanie, mnożenie.3. Kontrakcja
∑Sii.
4.9 Nieskończenie małe transformacje grupy Lorentza
Grupa Lorentza
G =
1−1−1−1
n = 4, a = a0e0 + a1e1 + a2e2 + a3e3
Pseudonorma {a, a} = a20 − a21 − a22 − a23 =∑3ik=0 gikaiak
ΛTGΛ = GΛ = I + εM + . . .(I + εMT )G(I + εM) = G+ ε(MTG+GM) + . . . = GMTG+GM = 0Gik = εiδikMTikεkδkl = −εiδikMkl
Mliεl = −εiMil, l=i, Mii = −MiiMii = 0
G =
0 M12 M13 M14
M12 0 M23 M24M13 M23 0 M34M14 M24 M34 0
4.10 Przestrzeń Riemanna.
Ogólnie, niech wzór
φ = gij(x)dxidxj , gij = gji det||gij || 6= 0. (4.1)
def. formę rzeczywistą (Riemann 1864). Uwaga: idexy górne i dolne sąspecialnie dobrany (suma w.g. dolnyvh i górnych).
30 4 Uwagi matematyczne
Elementem długosci może służyć
ds2 = egijdxidxj . (4.2)
e dobrana żeby ds2 > 0, więc dla wektora o kontrawariantnych komponentachξi
ξ2 = egijξiξj . (4.3)
def. normę. Przestrzeń z metriką (4.2) i normą (4.3) nazywa się przestrzeńRiemanna. Wybor UO, wspolrędnych, układy Cartezjaskie
Rozważmy
x′i = φi(x), det[φixj ] 6= 0, (4.4)
jeślids2 = g′ijdx
′idx′j , (4.5)
uwzględnimy
dx′i =∂φi
∂xkdxk, (4.6)
wtedy
g′ij = gsp∂xi
∂x′s∂xj
∂x′p(4.7)
Def.jeśli zbiór funkcji
T i1...irj1...js(4.8)
spełnia
T ′p1...prq1...qs
∂xi1
∂x′p1∗ ∗ ∗ ∂x
ir
∂x′pr= T i1...irj1...js
∂xj1
∂x′qs∗ ∗ ∗ ∂x
js
∂x′qs(4.9)
więc gsp dwa razy kowariantny tensor (Eisenhart: fundamentalny).Różniczkując (4.7) i rozwiązując wynik względem drugich pochodnych,
mamy∂2xk
∂x′i∂x′j+ { k
pq} ∂x
p
∂x′i∂xq
∂x′j= { h
ij}′ ∂x
k
∂x′h(4.10)
gdzie
{ kpq} = gkh[pq, h]; [pq, h] =
12
(∂gpk∂xq
+∂gqk∂xp
− ∂gpq∂xh
), (4.11)
jeśli wprowadzić gik jako uzupełnienie algebraiczne det||gij || podzielione naten wyznacznik det||gij ||. Podobnie
{ kpq}′ =
12
(∂gpk∂xq
+∂gqk∂xp
− ∂gpq∂xk
) (4.12)
Warunki całkowalnosci (4.10) dają;
4.11 Równanie geodezyjnej 31
R′dabc∂xh
∂x′d= R′hijk
∂xi
∂x′a∂xj
∂x′b∂xk
∂x′d. (4.13)
gdzie
R′hijk =∂{ hik}
∂xj−∂{ hij}
∂xk+ { l
ik}{ hlj} − { l
ij}{ hlk} (4.14)
nazywa się tensorem krzywizny Riemanna.Jeśli gik nie zależy od współrzędnych, R′hijk = 0 i, jak wynika z (4.13), w
dowolnych współrzeędnych (układzie odniesienia).Taka przestrzeń nazywa się euklidesowskiej.Różniczkując 4.9, dostajemy nie-tensor, ale
T i1,...,irj1,...,js,k=∂T i1,...,irj1,...,js
∂xk+1,...,r∑h
Ti1,...,ih−1,l,ih+1,...,irj1,...,js
{ jhlk}−1...s∑h
T i1,...,irj1,...jh−1,l,jh+1,...,js{ ljhk}.
(4.15)- są składowe tensora r razy kontra-, s+1 razy kowariantnego. Taka proceduranazywa się różnuczkowaniem kowariantnym.
Prszykład:
Ai,k =∂Ai∂xk
− { hik}Ah ≡ ∇kAi. (4.16)
Stw.gik,j=0
4.11 Równanie geodezyjnej
.Rozważmy krzywą C:
xi = φi(t), (4.17)
oraz wektor ui = dφi(t)dt . Forma uiui określia typ krzywej (geodezyjnej)
ξi,jdxj
dt≡ dxi
dt+ ξi{ i
hj}dx
j
dt= 0. (4.18)
mają rozwiązanie zdefiniowane ”warunkami początkowymi”dla ξi. Jeśli roz-wiązanie istneję, mówimy (Levy-Civita) - wektory są równoległy wzdłuż C.Definicja względna! W przestrzeni Euklidesowskiej - inaczej (bezwzględna).
Wektor o składowych dxi
dt jest stycznym do C. Żeby onie byli równoległy,iff C spełnia
dxj
dt[d2xi
dt2+ { i
hk}dx
h
dt
dxk
dt]− dxi
dt[d2xj
dt2+ { j
hk}dx
h
dt
dxk
dt]. (4.19)
32 4 Uwagi matematyczne
- nazywa się geodezyjnej. Forma uiui określia typ krzywej (geodezyjnej). Jeśliuiui = 0, mówimy o zerowej geodezyjnej. Inaczej
dxh
dt+ Γhmnu
m dxn
dt(4.20)
Jeśli s - długość łuku C, dxk
ds - jednostkowy, równanie na C upraszcza:
d2xi
ds2+ { i
hk}dx
h
ds
dxk
ds= 0 (4.21)
- równanie geodezyjnej. Wygląda jako równanie ruchu. TwierdzenieRównanie (4.21) wynika z ekstremum funkcjonału∫
ds
√ghk
dxh
ds
dxk
ds, (4.22)
minimalna długość krzywej,W przestrzeni Euklidesa - prosta (d
2xi
ds2 = 0)
4.12 Grupa Ruchów
4.12.1 Równania Killinga
Rozważmy transformacje infinitezimalne
x′j = xj + ξjδt, (4.23)
gdzieδφ = (δgij)dxidxj + gij(δdxi)dxj + gijdxi(δdxj),δdxi = dδxi = ∂ξi
∂xj dxjδt, δgij = ∂gij
∂xkξkδt.
W monografji [5]Tw. δφ = 0 iff
∂gij
∂xkξk + gik
∂ξi
∂xj+ gjk
∂ξk
∂xi= 0. (4.24)
- Równania Killinga.Kąt między kierunkami d1xi i d2xi
def.
cosα =gijd1x
id2xj√
e1gijd1xid1xje2gijd2xid2xj. (4.25)
Podobnie δφ liczymy:
δgijd1xid2x
j = [∂gij
∂xkξk + gik
∂ξi
∂xj+ gjk
∂ξk
∂xi]d1xid2xjδt, (4.26)
4.13 Grupy Lorentza i Poincare 33
więc, na wskutek równania Killinga, δcosα = 0.Stwierdzamy, że transformacja (4.23) jest ruchem (iff).Jesli współrzędne wybrane jako
ξi = δi1, (4.27)
równania Killinga mają postać
∂gij
∂x1= 0. (4.28)
Wtedy gij nie zależy od x1 i forma φ nie zmienia sie przy
x′1 = x1 + t, xj ′ = xj . (4.29)
WięcTw. Jeśli przestrzeń dopuszcza ruch infinitesimalny, to dopuszcza też grupę
G1, dla której ξ1 jest generatorem.
4.13 Grupy Lorentza i Poincare
Grupą Lorentza nazywamy zbior transformacje
x′i =3∑k=0
ekaikxk
przy których nie zmienia śię ds2. .Oznaczając formę biliniową jako ds2 możemy zapisać go inaczej jako
ds2 = dx20 − dx21 − dx22 − dx23 =3∑k=0
ekdx2k
Gdziee0 = 1
e1 = e2 = e3 = −1
Grupa Poincarego uwzględnia transformacje równolwgłego przesuniecia.Możemy zapisać
x′i = ai +3∑k=0
ekaikxk
Gdzie∑3k=0 ekaikxk jest transformatą Lorentza Względny ruch obu ukła-
dów współrzędnych możemy opisać jako
ai0a00
=vic
34 4 Uwagi matematyczne
Oznaczając przez parametr β przez
1√1− v2
c2
Możemy przejść z czasem oraz odległością do nowych współrzędnych w prze-strzeni grupy Lorentza
t∗ = β(t− v · rc2
)
x∗m = xm − vmt+ (β − 1)vmv2
∑vk(xk − vkt)
Gdzie
β = an0 =δt′
δt> 0
Uwaga:Jeżeli
v ‖ x => v · r = vx, vx ≡ v
Oraz
αik = −aik +ai0a0ka00 + 1
= −aik + (β − 1)v′ikv2
Toαijαkj+... = δik
Więc macierz α jest ortogonalna,
αTα = I
Gdzie I jest macierzą jednostkową.Struktura grupy Poincare:
x′ = Λx+ a.
Stwierdzenie.Grupa Lorentza jest podgrupą grupy Poincarego.
5
W stronę teorii grawitacji I
5.1 Tensor masy
Równania ruchu będące konsekwencjami zasad zachowania zwykle mają po-stać
∂T 00
∂x0+3∑k=1
∂T 0k
∂xk= 0 (5.1)
∂T i0
∂x0+3∑k=1
∂T ik
∂xk= 0 (5.2)
gdzie T ik to pewien tensor. Jeśli za T 00 podstawimy gęstość masy, tensor tennazywamy tensorem masy. Równanie (5.1) będzie wówczas wyrażac zasadęzachowania masy i energii, natomiast (5.2) zasadę zachowania pędu. WyrazT 00 jest gęstością masy z uwzględnieniem masy spoczynkowej i masy ener-gii kinetycznej. Wyraz cT 0i jest gęstościa strumienia masy, natomiast ciT ik,(i, k = 1, 2, 3) to gęstość strumienia pędu. Masa M i związana z nią energiaw pewnej objętości dane są przez całkę
M =W
c2=∫T 00dV (5.3)
natomiast składowe pędu przez wyrażenie
pi = c
∫T i0dV (5.4)
Poza spełnieniem zasady zachowania masy, energii i pędu, spełniona musi byćzasada zachowania momentu pędu i ruchu środka masy. Z równań (5.1) i (5.2)wynika zależność
∂
∂x0(xiT k0 − xkT i0) +
3∑m=1
∂
∂xm(xiT km − xkT im) = T ki − T ik (5.5)
36 5 W stronę teorii grawitacji I
Ma ona postać poszukiwanego równania zachowania, jeśli prawa strona rów-nania wynosi zero. Nakłada to warunek symetryczności na tensor.
T ki = T ik (5.6)
Wprowadza się zależności całkowe
Mik = c
∫(xiT k0 − xkT i0)dV (5.7)
Ki =1cM i0 =
∫(xiT 00 − x0T i0)dV (5.8)
Całki te brane po całej przestrzeni są stałe. Wyrazy M23, M31 i M12 sąskładowymi momentu pędu układu, a wielkości M10, M20 i M30 dzieloneprzez c interpretuje się jako iloczyn masy i początkowego położenia środkamasy układu.
5.2 Przykłady
W tym rozdziale rozważymy jawną postać tensora masy w konkretnych przy-kładach.
5.2.1 Nieoddziałujące cząstki materii
Zaczniemy od najprostszego przypadku ziarnistej materii, przez co rozumiemyzbiór nieoddziałujących cząstek o ciągłym rozkładzie prędkości. Przyjmujemyszczególne oznaczenie Θik dla tensora masy. Przez ρ∗ oznaczmy niezmienni-czą gęstość masy, t.j. gęstość w tym układzie odniesienia, względem któregocząstki z określonego elementu objętości są chwilowo w spoczynku. Niech ui
będą składowymi czterowymiarowej prędkości cząstek. Przyjmujemy
Θik =1c2ρ∗uiuk (5.9)
Z definicji Θik jest czterowymiarowym kontrawariantnym tensorem. SkładowaΘ00 ma postać
Θ00 =1c2ρ∗(u0)2 =
ρ∗
1− v2
c2
(5.10)
Składowa ta musi być równa całkowitej gęstości masy, z uwzględnieniem masyenergii kinetycznej. Jeśli ρ∗ jest gęstością masy spoczynkowej w układzie po-ruszającym się z cząsteczkami, to gęstość masy spoczynkowej w ”układzielaboratoryjnym”(względem którego cząsteczki się poruszają) wynosi
ρlab =ρ∗√
1− v2
c2
(5.11)
5.2 Przykłady 37
Dalej, jeśli ρ jest gęstością masy spoczynkowej, gęstość masy całkowitej (zuwzględnieniem energii kinetycznej) wynosi
ρ√1− v2
c2
=ρ∗
1− v2
c2
= Θ00 (5.12)
Wyrażenie na gęstość jest analogiczne do wyrażenia na masę relatywistycznącząsteczki.
M =m√
1− v2
c2
(5.13)
Pozostałe składowe tensora mają postać
Θ0i =1c
ρ∗vi
1− v2
c2
=ρvi√1− v2
c2
(5.14)
oraz
Θik =1c2ρ∗vivk
1− v2
c2
=1c2
ρvivk√1− v2
c2
(5.15)
Rozważmy wyrażenie na dywergencję tensora. Otrzymamy
3∑k=0
∂Θik∂xk
=1c2ui
3∑k=0
∂(ρ∗uk)∂xk
+ρ∗
c2
3∑k=0
uk∂ui
∂xk(5.16)
Wprowadźmy oznaczenia
Q∗ =3∑k=0
∂(ρ∗uk)∂xk
(5.17)
wi =3∑k=0
uk∂ui
∂xk(5.18)
Prawdziwe są również zależności
Q∗ =∂ρ
∂t+ div(ρv) (5.19)
wi =1√
1− v2
c2
(∂ui
∂t+3∑k=0
vk∂ui
∂xk) =
1√1− v2
c2
du′
dt(5.20)
gdzie dt jest pochodną substancjalną. Dowodzi to, że wartość Q∗ jest szyb-kością przyrostu masy spoczynkowej w jednostce objętości płynu. a wi jestczterowymiarowym przyspieszeniem, którego składowe przestrzenne stają sie
38 5 W stronę teorii grawitacji I
przyspieszeniem w przybliżeniu nierelatywistycznym. Na mocy równań ruchuwyrażenie
3∑k=0
∂Θik
∂xk=Q∗
c2ui +
ρ∗
c2wi (5.21)
musi się zerować. Dodatkowe warunki
uiui = c2;wiui = 0 (5.22)
wiui = 0 (5.23)
pozwalają rozdzielić równanie
Q∗
c2ui +
ρ∗
c2wi = 0 (5.24)
na dwa oddzielneQ∗ = 0 (5.25)
wi = 0 (5.26)
Pierwsze z nich jest równaniem ciagłości wyrażającym stałość masy spoczyn-kowej cząsteczek. W tym przypadku masa spoczynkowa nie zmienia się, po-nieważ cząstki nie oddziałują ze sobą i nie zmienia sie ich energia wewnętrzna.Drugie równanie wyraża niezmienność prędkości, oczywistą w przypadku nie-oddziałujących cząstek. Równania ruchu mają pierwszy rząd ze względu naρ∗ i ui. Tensor Θik, będący funkcją tych wielkości, jest funkcją stanu układu.
5.2.2 Tensor masy dla cieczy doskonałej
W przybliżeniu nierelatywistycznym tensor naprężeń cieczy doskonałej redu-kuje się do wielkości skalarnej. Przyjmijmy, że tensor energii (tensor masywymnożony przez c2) ma postać
c2T ik = (µ∗ +p
c2)uiuk − pekδik (5.27)
gdzie µ∗ i p to skalary związane pewną zależnościa funkcyjną
µ∗ = f(p) (5.28)
W układzie odniesienia, względem którego chwilowa prędkość pewnego punktupłynu jest równa zero, składowa T 00 jest równa µ∗.
c2T 00 = (µ∗ +p
c2)(u0)2 − pe0δ00 = (µ∗ +
p
c2)
c2
1− v2
c2
− p (5.29)
Jeśli v → 0, to
5.2 Przykłady 39
T 00 = µ∗ (5.30)
Znajdźmy teraz równania ruchu układu. Przyjmując dla uproszczenia ozna-czenie wi z poprzedniego rozdziału oraz
Q =3∑k=0
∂
∂xk[(µ+
p
c2)uk] (5.31)
otzymujemy wyrażenie
c23∑k=0
∂T ik
∂xk= Qui + (µ∗ +
p
c2)wi − ei
∂p
∂xi(5.32)
W przypadku braku sił zewnętrznych wyrażenie to będzie równe zeru. Korzy-stając z równań (5.22) i (5.32) możemy uzyskać nową postać wyrażenia na Q.
Q =1c2
3∑k=0
uk∂p
∂xk=
1
c2√
1− v2
c2
dp
dt=
1c2dp
dτ(5.33)
Tutaj dpt jest pochodną substancjalną p a dτ =√
1− v2
c2 dt jest różniczkączasu własnego cząsteczki. Z porównania powyższych równań z nierelatywi-stycznymi równaniami hydrodynamiki wynika, że wielkość p to ciśnienie. Przy-równując do siebie dwa równania na Q otrzymujemy
3∑k=0
[(µ∗ +p
c2)∂uk
∂xk+ uk
∂u∗
∂xk] = 0 (5.34)
Określmy nową wielkość przez zależność różniczkową
dρ∗
ρ∗=
dµ∗
µ∗ + p2(5.35)
Dobierając stałą całkowania możemy uzyskać ρ∗ = µ∗ dla p = 0. Wstawiając(5.35) do (5.34) uzyskamy zależność
3∑k=0
∂(ρ∗uk)∂xk
= 0 (5.36)
Wielkość ρ∗ można interpretować jako niezmiennicza gęstość tej części masyspoczynkowej, która nie zmienia się w wyniku ruchu. Wprowadźmy wielkość
Π =∫ p
0
dp
ρ∗− p
ρ∗(5.37)
którą interpretuje się jako energię potencjalną jednostki masy płynu, gdziemasa oznacza część masy spoczynkowej niezmiennej w wyniku ruchu. Wyra-żając µ∗ przez ρ∗ i Π można zapisać tensor masy jako
40 5 W stronę teorii grawitacji I
c2T ik = [ρ∗ +1c2
(ρ∗Π + p)]uiuk − pekδik (5.38)
podczas gdy równania ruchu przyjmują postać
[ρ∗ +1c2
(ρ∗Π + p)]wi = ei∂p
∂xi− 1c2dp
dτui (5.39)
5.3 Elektrodynamika - tensor masy
5.3.1 Tensor energii dla pola elektromagnetycznego
Wprowadzimy następujące oznaczenia opisujące elektryczne i magnetycznepole odnoszące się do równaniań Maxwella
E1 = F10
E2 = F20
E3 = F30
H1 = F23
H2 = F31
H3 = F12
(5.40)
gdzie
Fikl =∂Fik∂xl
+∂Fkl∂xi
+∂Fli∂xk
(5.41)
oraz ∑ ∂F ik
∂xk= si (5.42)
przy tym należy pamiętać zaiązek między wpsołrzędnymi kowariantnymi ikontrawariantnymi:
F ik = eiekFik (5.43)
Jak widać wzór (5.42) przypomina postacią dywergencję. Czterowymiarowywektos si ma postać:{
s0 = 4πρsi = 4π
c ji = 4πc Vi = 4π
c ρ∗ui i = 1, 2, 3
(5.44)
Poprzez ρ oznaczona zastała gęstość przestrzenna ładunku, Vi oznacza trzy-wymiarową prędkość a ji gęstość prądu.ρ∗ oznacza niezmienniczą gęstość la-dunku a ui to czterowymiarowa prędkość. Równanie ruchu wyraża się poprzez
mwi = −1c
3∑k=0
Fikuk (5.45)
5.3 Elektrodynamika - tensor masy 41
Wprowadźmy oraz roważmy następujący tensor:
Uik = − 14πemFimFkm +
116π
eiδik
3∑m,n=0
FmnFmn (5.46)
Przykładowo, trzywymiarowy zapis składników tensora energii pola elektro-magnetycznego mają postać:
U00 =E2 +H2
8π(5.47)
U0i = −U0i =1
4π[E×H] (5.48)
5.3.2 Masa i energia
Tensor masy więc:c2Tik = c2Θik + Uik (5.49)
3∑k=0
∂Tik∂xk
= 0 (5.50)
6
Geometria rożniczkowa
6.1 Transformacje przestrzennych i czasowychwspólrzędnych
Teraz należy przeprowadzić analizę przestrzeni krzywoliniowej. Pamiętając jakwygląda element długości
ds2 = gik(x)dxidxk = ρikdx′idx′k. (6.1)
Rozważane wcześniej było równanie czoła fali (∇ω)2 = 0. Inaczej:
(∇ω)2 =1c2
(∂ω
∂t)2 −
3∑k=1
(∂ω
∂xk)2, (6.2)
może być podstawą wyprowadzenia wzorów na transformacje Lorentza (śzcze-gólną teorii względnosci”), patrz [2].
Jak to się zmieni gdy przejdziemy od jednego układu współrzędnych doinnego, czyli gdy x
′
i = x′
i(x0, x1, x2, x3)? Zakładamy, że J = det( ∂x′i
∂x′j) 6= 0,
bowiem wtedy będzie istniała transformacja odwrotna. Należy również spraw-dzić co stanie się z elementem ds2 po transformacji.
dx′i =3∑s=0
∂x′i∂xs
dxs, (6.3)
podobnie
dx′k =3∑p=0
∂x′k∂xp
dxp. (6.4)
Wstawiając (6.3) oraz (6.4) do (6.1) otrzymujemy:
ds2 =∑ik
gik∑sp
∂x′i∂xs
∂x′k∂xp
dxsdxp (6.5)
44 6 Geometria rożniczkowa
Podstawiając za∑ik gik
∂x′i∂xs
∂x′k∂xp
= g′sp
ds2 = g′spdxsdxp (6.6)
Wtedy równanie na czoło fali ma postać:
(∇ω)2 =∑
ek(∂ω
∂xk)2 =
3∑α,β=0
gαβ∂ω
∂xα
∂ω
∂xβ(6.7)
gdzie gαβ =∑ek
∂xα∂x′k
∂xβ∂x′k
Mając tak zdefiniowane gαβ oraz gαβ =∑ek
∂x′k∂xα
∂x′k∂xβ
widać że wyrażenie gαβgβγ = δαγ .
det gαβ = det(ek∂x′k∂xα
) det(∂x′k∂xβ
) (6.8)
Pamiętając iż drugi wyznacznik w równaniu (6.8) jest jakobianem det( ∂x′k
∂xβ) =
J , oraz zauważając że pierwszy czynnik zawiera w sobie mnożenie wszystkichskładowych e0e1e2e3 = −1, czyli det(ek
∂x′k∂xα
) = −J , to
det gαβ = −J2 (6.9)
Dla zmiennych czasowych ważna jest kolejność wydarzeń w czasie, oraz ele-ment długości jest większy od zera:
ds2 = g00dx20 > 0⇒ g00 > 0 (6.10)
Dla zmiennych kwiazi-czasowych ustalany jest x0 które jest danym momentemw czasie, a element długości jest mniejszy od zera:
ds2 =3∑
i,k=1
gikdxidxk < 0 (6.11)
Mozna rozpisać i zbadać następujące wyznaczniki:∣∣∣∣∣∣g11 g12 g13g21 g22 g23g31 g32 g33
∣∣∣∣∣∣ < 0 (6.12)
∣∣∣∣ g11 g12g21 g22
∣∣∣∣ > 0 (6.13)
∣∣∣∣ g22 g23g32 g33
∣∣∣∣ > 0 (6.14)
6.1 Transformacje przestrzennych i czasowych wspólrzędnych 45
∣∣∣∣ g11 g13g31 g33
∣∣∣∣ > 0 (6.15)
Pamiętając iż g11 < 0,g22 < 0,g33 < 0 z powyższych zależności wynika, żedet g < 0, g00 > 0 oraz ∀ωi,
∑gikωiωk < 0.
Równanie poruszającej się powierzchni:
ω(x, y, z, t) = 0 (6.16)
ωxdx+ ωydy + ωzdz + ωτdτ = 0 (6.17)
Jeżeli dx,dy,dz zmieniają się wzdłuż normalnej do tej powierzchni todx = ωx
|gradω|dn
dy = ωy|gradω|dn
dz = ωz|gradω|dn
gdzie dn jest modułem przesunięcia w kierunku wektora n. Zapiszmy równanie(6.17):
|gradω|dn+ ωτdτ = 0 (6.18)
v = dndt
v2 = (dndt )2 = ω2t|gradω|2
Prędkość ruchu powierzchni ω = 0
∇ω =∑
ek(∂ω
∂xl)2 =
1c
(∂ω
∂t)2 − (
∂ω
∂x)2 − (
∂ω
∂y)2 − (
∂ω
∂z)2 (6.19)
zatem (∇ω)2 < 0, natomiast dla innej powierzchni (∇ω)2 > 0.
Jeżelit =
1cf(x, y, z) (6.20)
-równanie czasu, przy(∇f)2 < 1 (6.21)
to t definiuje hiperpowierzchnię.
7
Przestrzeń Riemanna
7.1 Rozmaitość Riemanna
Ponieważ została opisana już przestrzeń lokalnie, to następnym krokiem jestrozszerzenie pojęć na przestrzeń globalną.
Zastosowane zostaną nowe oznaczenia w przestrzeni Reimana:ϕ− xαMetryka w danej przestrzeni wyraża się przez:ds2 = gαβ(x)dxαdxβ
orazds2 = gαβ(x)dxαdxβgdzie α, β = {0, 1, 2, 3}. Pamiętając, że współrzędne w nowym układzie odnie-sienia wyrażone są przez współrzędne w starym układzie x
′
i = x′
i(x0, x1, x2, x3)można zapisać różniczkę x
′
i jako
dx′
i =∑
ekaikdxk =∂x′
i
∂xkdxk (7.1)
Definicja różniczkowania kowariantnego wygląda następująco:
∂ϕ
∂x′i
=∑ ∂ϕ
∂xk
∂xk∂x′i
(7.2)
gdzie współczynnikami przejści od jednego układu do drugiego są:
A′
i =∑ ∂xk
∂x′i
Ak (7.3)
Ai′
=∑ ∂x
′
i
∂xkAk (7.4)
Nstępnym krokiem jest skonstruowanie wektorów w tej przestrzeni. Możnazrobić to lokalnie. W takim przypadku wektory nie są swobodne, tylko każdy
48 7 Przestrzeń Riemanna
ma określony punkt do którego jest przymocowany. Zatem niech (7.3) oraz(7.4) będą definicją wektora w następujący sposób:niech xα reprezentuje punktA′
µ =∑ ∂xα
∂x′µAα
Aα′
=∑ ∂x
′µ
∂xαAµ
7.2 Linia geodezyjna równolegle
Wprowadzamy parametr p aby uporządkować punkty w przestrzeni, np. p jestindeksem punktów xα oraz xα(p) = ϕα(p)x1α(p1), x2α(p2), ...
Aby policzyć w tej przestrzeni np. odległość trzeba scałkować ds po krzy-wej. Wprowadźmy
L =√gαβϕαϕβ ≡
√gαβ xαxβ (7.5)
dxα = dxαdp dp
xα = dϕαdp Wtedy posługując się zasadą wariacyjną definiujemy akcję:
S =∫ p2
p1
Ldp (7.6)
Z tego posługując się zasadą wariacyjną otrzymuje się równanie Lagrange:
d
dp
∂L
∂xα− ∂L
∂xα= 0 (7.7)
F =12gαβ xαxβ (7.8)
Niech F =√
2L. Parametr p można tak dobrać, by dFdp = 0. Otrzymujemy
z (7.7):d
dp
1√2F
∂F
∂xα− 1√
2F
∂F
∂xα= 0 (7.9)
Uwzględniając, że dFdp = 0
d
dp
∂F
∂xα− ∂F
∂xα= 0 (7.10)
Następnie, pamiętając że tensor metryczny gαβ = gβα jest symetryczny
∂F
∂xν=
12gαβ(δαν xβ + xαδβν) = gαβ xβ (7.11)
7.3 Równoległe przenoszenie wektorów 49
d
dp
∂F
∂xα=
d
dpgαβ xβ (7.12)
gαβ xβ +∂gαβ∂xγ
xγ xβ −12∂gβγ∂xα
xβ xγ = 0 (7.13)
Widać, że wyrażenie xγ xβ jest symetryczne, dlatego cały drugi składnikmożna zapisac w innej postaci:
∂gαβ∂xγ
xγ xβ =∂gαγ∂xβ
xβ xγ (7.14)
Równanie (7.13) można zapisać w postaci
gαβ xβ +12
[∂gαβ∂xγ
+∂gαγ∂xβ
− ∂gβγ∂xα
]xβ xγ = 0 (7.15)
Czynnik w nawiasie kwadratowym zapiszemy jako nawias Cristofela
12∂gαβ∂xγ
+∂gαγ∂xβ
− ∂gβγ∂xα
= [βγ, α] (7.16)
Ostatecznie otrzymane równanie o następującej formie
gαβ xβ + [βγ, α]xβ xγ = 0 (7.17)
jest równaniem linii geodezyjnej xβ(p). Równanie (7.17) opisuje warunek eks-tremum drogi
∫ p2p1dS. Dalej można dane równanie przekształcic w nastepujący
sposób
gναgαβ xβ + gνα[βγ, α]xβ xγ = 0
δνβxβ + gνα[βγ, α]xβ xγ = 0
xν + gνα[βγ, α]xβ xγ = 0
Oznaczając poprzez symbol Clistofela wyrażenie gνα[βγ, α] = Γ νβγ ostatecznieuzyskane równanie (7.18) jest równaniem geodezyjnej
xν + Γ νβγ xβ xγ = 0 (7.18)
7.3 Równoległe przenoszenie wektorów
Dany jest wektor na powierzchni zaczepiony w punkcie P . Wektor znajdującysię bardzo blisko wektora zaczepionego w punkcie P i równoległy do niegona powierzchni, można uzyskać w sposób: Rozważa się wektor zaczepiony w
50 7 Przestrzeń Riemanna
punkcie P w przestrzeni. Stwarza się wektor zaczepiony w punkcie Q, któryjest do niego równoległy w przestrzeni. Wektor ten leży na płaszczyźnie stycz-nej do powierzchni w punkcie Q. Wektor w punkcie Q jest równoległy dowektora w punkcie P .
Sposób analityczny:y1, y2, y3 - współrzędne kartezjańskie punktu w przestrzeni euklidesowejx1, x2 - współrzędne powierzchni
Równania parametryczne powierzchni:
yn = yn(x1, x2), (n = 1, 2, 3) (7.19)
ds2 = g11dx21 + 2g12dx1dx2 + g22dx
22 (7.20)
gik =3∑
n=1
∂yn∂xi
∂yn∂xk
(7.21)
A1, A2 - składowe kowariantne wektora w punkcie P (x1, x2) na powierzchniA1, A2 - składowe kontrawariantne wektora w punkcie P (x1, x2) na po-wierzchniYn - wektor w przestrzeni o składowych kartezjańskich
Yn =∂yn∂x1
A1 +∂yn∂x2
A2, (n = 1, 2, 3) (7.22)
Al =3∑
n=1
Yn∂yn∂xl
, (l = 1, 2;n = 1, 2, 3) (7.23)
Przy przesunięciu wektora do punktu Q(x1+dx1, x2+dx2) nie zmienia sięskładowych kartezjańskich Yn. Otrzymuje się wektor, który nie jest już stycznydo powierzchni. Wektor, który powstaje na skutek przesunięcia równoległegowektora Al do punktu Q ma postać:
Al + δAl =3∑
n=1
Yn(∂yn∂xl
+2∑k=1
∂2yn∂xk∂xl
δxk) (7.24)
δAl =3∑
n=1
Yn
2∑k=1
∂2yn∂xk∂xl
δxk (7.25)
Podstawiając do równań (7.24) i (7.25) równania (7.22) i (7.23) oraz za-kładając:
7.3 Równoległe przenoszenie wektorów 51
3∑n=1
∂yn∂xi
∂2yn∂xk∂xl
=12∂gik∂xl
gilxk
∂gkl∂xi
= Γi,kl (7.26)
Otrzymuje się przyrost dowolnego wektora przy przesunięciu równoległymw postaci:
δAl =2∑
n,k=1
Γi,klAiδxk (7.27)
Przyrost zależe tylko od wewnętrznych właściwości powierzchni, które sąwyznaczone przez wyrażenie ds2 (7.20). Teorię równoległego przesunięcia wek-torów w N -wymiarowej przestrzeni rozwinął Levi-Civita.
ds2 = gαβdxαdxβ (7.28)
gαβ =N∑n=1
en∂yn∂xα
∂yn∂xβ
(7.29)
en = ±1 (7.30)
Gdy sygnatura formy kwadratowej (7.28) jest następująca (+ − −−), musibyć co najmniej jedno dodatnie en i co najmniej trzy ujemne.
yn- współrzędne kartezjańskie w wielowymiarowej pseudo-euklidesowejprzestrzeni
yn(x0, x1, x2, x3) (7.31)
Czasoprzestrzeń jest pewną hiperpowierzchnią w wielowymiarowej przestrzeni.Yn - wektor styczny do hiperpowierzchni o składowych kartezjańskich
yn =∂yn∂xα
Aα, (α = 0, 1, 2, 3) (7.32)
Używając równania (7.29), otrzymano:
Aα =N∑n=1
enYn∂yn∂xα
(7.33)
Wartość wektora, który powstaje na skutek przesunięcia równoległego wektoraAα do blisko położonego punktu Q ma postać:
Aα + δAα =N∑n=1
enYn(∂yn∂xα
+∂2yn
∂xα∂xβδxβ) (7.34)
Przyrost wartości wektora przy przesunięciu równoległym:
δAα =N∑n=1
enYn∂2yn
∂xα∂xβδxβ (7.35)
52 7 Przestrzeń Riemanna
δAα = Γγ,αβAγδxβ (7.36)
Wyrażenia (7.35) i (7.36) można przedstawić za pomocą współrzędnych ko-wariantnych:
Aγ = gνγAν (7.37)
gγνΓγ,αβ = Γ ναβ (7.38)
δAα = Γ ναβAνδxβ (7.39)
oraz współrzędnych kontrawariantnych:
δAν = −Γ ναβAαδxβ (7.40)
Iloczyn skalarnych dwóch wektorów przy przesunięciu równoległym pozo-staje bez zmian:
δ(AνBν) = BνδAν +AαδBα = 0 (7.41)
7.4 Różniczkowanie kowariantne
Pochodna kowariantna - tensor powstały w wyniku różniczkowania innegotensora. Pochodną kowariantną oznacza się w sposób:
∇µAν ≡ Aν;µ∇µ,kAjν ≡ Ajν;µ,k (7.42)
W przypadku, gdy tensor metryczny gµν jest stały, pochodna kowariatna po-krywa się z pochodną cząstkową.
gµν = const→ ∂
∂xµ≡ ∇µ (7.43)
W przypadku, gdy tensor metryczny nie jest stały, obliczenie pochodnejcząstkowej tensora prowadzi do obiektu, który nie jest tensorem.
Wyprowadzenie różniczkowania kowariantnego (wykorzystujące równole-głe przenoszenie wektorów): Rozważane jest pole wektorowe Aν i zmiana wek-tora Aν z punktu P (xβ) do punktu Q(xβ+δxβ), gdzie gµν(x). Zmiana wektoraAν przy infinitezymalnym przesunięciu wektora Aν z punktu P (xβ)doQ(xβ +δxβ):
(Aν)Q − (Aν)P = δ1Aν =∂Aν∂xβ
δxβ (7.44)
Natomiast w wyniku przejścia równoległego z punktu P do Q′′, otrzymano:
(Aν)Q′′ − (Aν)P = δ2Aν = ΓµµβAνδxβ (7.45)
7.5 Transformacja Nawiasów Christoffela 53
Odejmując stronami równania, otrzymano różnicę pomiędzy zmianą wektoraprzy przesunięciu po krzywej a zmianą wektora przy przesunięciu równoległym- δAν .
(Aν)Q − (Aν)Q′′ = δAν = δ1Aν − δ2Aν (7.46)
δAν = (∂Aν∂xβ
− ΓµνβAµ)δxβ (7.47)
Otrzymano pochodną kowariantną wektora kowariantnego:
∇βAν =∂Aν∂xβ
− ΓµνβAµ (7.48)
Analogicznie pochodna wektora kontrawariantnego (δ2Aν = −ΓµνβAνδxβ)
∇βAν =∂Aν∂xβ
− ΓµνβAν (7.49)
Pochodna tensora drugiego rzędu:
∇βTµν =∂Tµν∂xβ
− Γ ρµβTρν − ΓρνβTµρ (7.50)
Stwierdzenie. Pochodna kowariantna tensora metrycznego jest równazero.
∇µgαβ = 0. (7.51)
7.5 Transformacja Nawiasów Christoffela
Pochodna kowarientna albo tensorowa różni sie od zwykłej pochodnej dodat-kiem w postaci symboli Christoffela:
Γ ναβ =12gµν
(∂gαµ∂xβ
+∂gβµ∂xα
− ∂gαβ∂xµ
)(7.52)
Pokażemy że w otoczeniu każdego punktu isnieje taki układ współrzęd-nych, że wszyskie składowe Γ są zerowy. Więc pochodne od wszystkich skła-dowych tensora gµν się wyzerują (patrz (7.51).
Aby pokazać jak transformują się symbole Christoffela przy przejściu zjednego układu odniesienia do drugiego zaczniemy od:
ϕµν =∂2ϕ
∂xµ∂xν− Γαµν
∂ϕ
∂xα(7.53)
Zastosujmy dowód z [?] Funkcja ϕµν reprezentuję tensor, dlatego podlega onatożsamości:
54 7 Przestrzeń Riemanna
∂2ϕ
∂xµ∂xν− Γ ρµν
∂ϕ
∂xρ=
(∂2ϕ
∂x′α∂x′β
−(Γσαβ
)′ ∂ϕ∂x′σ
)∂x′α∂xµ
∂x′β∂xν
(7.54)
(Γσαβ
)′reprezentuję symbole Christoffela w układzie primowanym. Pod-
stawiając ϕ = x′σ otrzymujemy:
∂2x′σ∂xµ∂xν
− Γ ρµν∂x′σ∂xρ
= −(Γσαβ
)′ ∂x′α∂xµ
∂x′β∂xν
(7.55)
Fragment odpowiadający za drugą pochodną dowodzi,że Γσαβ nie jest ten-sorem. Jeżeli transformacja jest liniowa to wspomniany wcześniej symbol znikaa Γ ραβ zachowuje sie jak tensor. Oznaczmy Γ ραβ dla konkretnego punku prez(Γ ραβ
)0. Symbol
(Γσαβ
)′zniknie gdy transformacja współrzędny spełni taki
związek: (∂2x′σ∂xµ∂xν
)0−(Γ ρµν
)0
(∂x′σ∂xρ
)0
(7.56)
Związek ten jest spełniony gdy:
x′σ = xσ − x0σ +12
(Γσµν
)0
(xµ − x0µ
) (xν − x0ν
)(7.57)
(∂x′σ∂xρ
)0
= δσρ (7.58)
Dzięki temu składowe tensora w danym punkcie będą takie same w ukła-dzie primowanym i nie primowanym. Pochodne takiego tensora zerują się:
∂gµν∂xα
= 0 (7.59)
Układ współrzędnych w którym, pochodna w danym punkcie znika zwanyjest układem lokalnie geodezyjnym. Rozważmy układ w którym symbole Chri-stoffela znikają nie tylko w danym punkcie ale na całym obszarze. Aby istniałtaki obszar musi być spełnione to równanie:
∂2ϕ
∂xµ∂xν− Γ ρµν
∂ϕ
∂xρ= 0 (7.60)
Gdzie funkcja ϕ:
ϕ = x′0, x′1, x′2, x′3 (7.61)
Aby wszystkie równania (7.60) były zgodne, ta sama trzecia pochodnamusi mieć zgodne rozwiązania, dlatego:
7.5 Transformacja Nawiasów Christoffela 55
∂
∂xα
(∂2ϕ
∂xµ∂xν
)=
∂
∂xα
(Γ ρµν
∂ϕ
∂xρ
)∂
∂xν
(∂2ϕ
∂xµ∂xα
)=
∂
∂xν
(Γ ρµν
∂ϕ
∂xρ
) (7.62)
Lewa strony równań są sobie równe, dlatego prawe też są sobie równe.Przyrównujemy prawe strony do siebie i otrzymujemy:(
∂Γ ρµν∂xα
−∂Γ ρµα∂xν
+ ΓσµνΓρσα − ΓσµαΓ ρσν
)∂ϕ
∂xρ= 0 (7.63)
Te równania musza być poprawne dla (7.61) gdyż wyznacznik nie jestrówny zero:
D =D (x′0, x
′1, x′2, x′3)
D (x0, x1, x2, x3)6= 0 (7.64)
Sugeruje to, że wszystkie współczynniki przy ∂ϕ∂xρ
w równaniu (7.63) musząznikać. Współczynniki te są postaci:
Rρµν,α =∂Γ ρµν∂xα
−∂Γ ρµα∂xν
+ ΓσµνΓρσα − ΓσµαΓ ρσν (7.65)
Dlatego można twierdzić,że iff Rρµν,α = 0 gdy równanie (7.60) ma rozwią-zania a forma ds2 = gαβdxαdxβ jest postaci:
ds2 = (dx′0)2 − (dx′1)
2 − (dx′2)2 − (dx′3)
2 (7.66)
Gdzie x′α to rozwiązanie równania (7.60) takie,że:
gνµ∂x′α∂xµ
∂x′β∂xν
= eαδαβ
gαβ =3∑0
eµ∂x′µ∂xα
∂x′µ∂xβ
(7.67)
8
Tensory krzywizny Riemanna
8.1 Tensor Krzywizny
8.1.1 Wprowadzenie
Def: Tensor krzywizny Riemann:
Rρµ,να =
∂Γ ρµν
∂xα−∂Γ ρµν
∂xν+ Γ σµνΓ
ρσα + Γ σµαΓ
ρσν
Patrz wzór (7.65).Za pomocą tensora krzywizny można znaleść wyrażenie opisujące zmianę
wektora przy infinityzymalnym przesunięciu równoległym po zamkniętymkonturze. Weżmy wektor Aρ. W punkcie początkowym ma on wartość (Aρ)0.
Aρ = (Aρ)0 + (Γσαρ)0(Aσ)0(xα − x0α) (8.1)
δAµ =∫Γ ρµνAρdxν (8.2)
Γ ρµν = (Γ ρµν)0 + (∂Γ ρµν∂xα
)0(xα − x0α) (8.3)
Podstawiając (8.1) i (8.3) do (8.2) oraz wykorzystując fakt, iż całka kon-turowa po zamkniętym konturze z różniczki zupełnej znika, otrzymujemy:
δAµ =(∂Γ ρµν∂xα
+ ΓσµνΓρσα
)(Aρ)0
∫(xα − x0α)dxν
Oznaczmy
Qνα =∫
(xα − x0α)dxν =12
∫ [(xα − x0α)dxν − (xν − x0ν)dxα
]
58 8 Tensory krzywizny Riemanna
widać, że Qµα jest projekcją powierzchni ograniczonej konturem na powierzch-nię współrzędnych. Ostatecznie
δAµ =12Rρµ,ναAρQ
να.
Postępując podobnie, można pokazać, że dla współrzędnych kontrawa-riantnych wektora zachodzi relacja
δAσ =12Rσµ,ναA
ρQνα.
Można pokazać, że
(∇α∇β −∇β∇α)Aµ = Rνµ,α,βAν .
8.1.2 Kilka własności
1. Antysymetryczność względem dwóch pierwszych indeksówRνµ,αβ = −Rµν,αβ
2. Antysymetryczność względem dwóch ostatnich indeksówRµν,αβ = −Rµν,βα
3. Symetria cyklicznaRµν,αβ +Rµα,βµ +Rµβ,να = 0
8.1.3 Inne tensory krzywizny. Kontrakcje.
1. Tensor Ricci-(Riemanna)Kontrakcja tensora Riemanna po dwóch indeksach daje
Rµ,ν = gαβRµα,βµ = Rβµ,βν
Krzywizna skalarna.
R = Rνν = gµνRµν
2. Tensor Konserwatywny (Einsteina)
Gµν = Rµν −12gµνR,
można sprawdzić że dyvergencja czterewymiarowa
∇νGµν = 0. (8.4)
9
Teoria grawiacji I
9.1 Podstawy Teorii Grawitacji Newtona
9.1.1 Prawo Galileusza.
Masa gravitacijnamg, masa inercjałna mi.Prawo Galileusza:
mg = mi
U = γMR , γ = 115000000 ·
sm3
gs2
U ∼ v2, U � c2
∆U = −4πγρ, (9.1)
U → 0, r →∞.
II prawo Newtona
miw = F = mg∇U.
9.1.2 Interpretacja geometrycznz
Prawo Galileusza →w = ∇U.można potraktować jako równanie Eulera dla zasady wariacyjnej
δ
∫ (12v2 + U
)dt = 0.
Porównujmy z
60 9 Teoria grawiacji I
δ
∫ds = 0.
gdzie
ds =√c2 − v2dt ≈
(c− v2
2c
)dt.
Załóżmyds =
√c2 − 2U − v2dt ≈
[c− 1c
(12v2 + U
)]dt =⇒ - małe pola
Stała (c) ne zmienia równania Eulera, więc ono bedzie takie samo jak dlaδ∫ ( 12v2 + U
)dt = 0,
ale brak U dla dowolnych v musi dawać
ds =√c2 − v2dt,
więcds2 =
(c2 − 2U
)dt2 − dr2.
Dokładnejsza teoria;
ds2 =(c2 − 2U
)dt2 − (1 +
2Uc2
)dr2.
9.2 Uwagi o pomiarach spektralnych
Z popszedniego rozdziału
g00 ≈ c2 − 2U,
Niech w punkcie r o potenciale U(r) znajduje sie nieruchome żródłofali elektromagnetycznej o częstotliwości 2πT , fala ma (przyblżono) zespolonywspółczynnik
exp[i2πtT
].
W tym UO
dτ =1c
ds =(
1− U
c2
)dt
T0 =(
1− U
c2
)T
U1 − U2c2
= 2 · 10−6
Pomiary dla satelita Siriusa (potecjał na powierszni 20 razy większy odsłońca.)
10
Teoria grawitacji II
”There is nothing in the world except empty curved space. Matter, charge,electromagnetism and other fields are only manifestations of the curvature ofspace.” John Archibald Wheeler 1957!
10.1 Równanie Grawitacji Einsteina
Potencjał U spełnia ∆U = −4hγρ,podobną role odgrywa tensor ∼ gµν , który określa Rµν(ale ma więcej składowych). Było ustalono, że
∇nuTµν = 0. (10.1)
Mieliśmy∇νGµν = 0, (10.2)
więć tensory powinny być proporcjonalny
Rµν − 12gµνR = −κTµν . (10.3)
Równanie grawitacji Einsteina* [12]: r. 1915* . W tyma samym roku równaniegrawitacji opublikowal Hilbert [13].
10.2 Porównanie z teorią Newtona. Warunki brzegowe
Równanie EG jest równaniem różniczkowym względem składowych tensorametrycznego gµν . Więc jednosnaczne rozwiązanie potrzebuje warunków brze-gowych. Potencjał Newtona zanika na nieskonczonosci, ale nie jest relatywi-stycznym. Zgodnie z tym i odpowiednim związkom pomiędzy potencjałem agµν możemy wybrać warunki na tensor metryczny w ∞.
(g00)∞ = c2,
(g0i)∞ = 0,
(gik)∞ = −δik.(10.4)
(g00)∞ =1c2,
(g0i)∞ = 0,
(gik)∞ = −δik.
(10.5)
Tego jednak nie wystarcze. Koniecznie zadanie asymptotyki
gµν − (gµν)∞. (10.6)
Poza rozkładem masy
Tµν = 0,
Γ ν = gαβΓ ναβ = 0.(10.7)
Wtedy możemy zapisać że
Rµν =−12gαβ
∂2gµν
∂xα∂xβ+ Γµ,αβΓ ναβ . (10.8)
Przybliżone asymptotyka gαβ ∼ 1r
Rµν ∼=12∆gµν − 1
2c2∂2gµν
∂t2(10.9)
Zachowanie gαβ na nieskończoności będzie determinowane przez zachowanieΨ
Ψ =1rf(t− r
c, n)
n =r
r.
(10.10)
10.3 Rozwiązanie równań Einsteina w pierwszym przybliżeniu. Wyznaczenie stałej 63
Forma asymptotyczna rozwiązania propagującego się i znikającego na nie-skończoności:
lim
(∂rΨ
∂r+
1c
∂rΨ
∂t
)r→∞
= 0∀t. (10.11)
Warunek razem z zanikiem gµν z pochodnymi dja jednoznaczne rozwiązanierównania falowego, więć - równania grawitacji.
10.3 Rozwiązanie równań Einsteina w pierwszymprzybliżeniu. Wyznaczenie stałej
Korzystając z postaci tensora T dla ciała sprężystego:
c2T 00 = ρ+1c2
(12ρv2 + ρΠ
)c2T 0i = ρvi +
1c2
(vi
(12ρv2 + ρΠ
)−3∑k=1
Pikvk
)c2T ik = ρvivk − Pikc2T 00 = 0
c2T 0i = −ρvi
(10.12)
Stosujemy przybliżenie
T = ρ (10.13)
Korzystając z powyższych wyrażeń i (10.9) jesteśmy w stanie zapisać prawąstronę równania
Rµν = −κ(Tµν − 1
2gµνT
)(10.14)
Korzystając z Galileuszowskich wartości g:
T 00 − 12g00T =
12c2
ρ,
T 0i − 12g0iT =
12ρvi,
T ik − 12gikT =
12ρδik.
(10.15)
Zakładając harmoniczność współrzędnych mamy w przybliżeniu:
Rµν =12∆gµν − 1
2c2∂2gµν
∂t2(10.16)
64 10 Teoria grawitacji II
Zerując drugą pochodną po czasie (rozwiązanie statyczne):
gµνtt = 0
∆g00 = − κc2ρ
∆g0i = −2κc2ρvi
∆gik = −κρδik
(10.17)
Ponieważ
g00g00 +
3∑i=1
g0igi0
︸ ︷︷ ︸mayczon
= 1(10.18)
To równanie przyjmuje postać
g00 =1c2
+2Uc4
(10.19)
Korzystając z równania na potencjał Newtonowski znajdujemy:
∆U = −4πγρ
∆g00 = −8πγc4
ρ(10.20)
Dzięki temu wyznaczona zostaje wsrtość stałej
κ =8πγc2
(10.21)
Pitencjał U może być zapisany jako:
U = γ
∫ρ∣∣r − r′∣∣dV ′ (10.22)
Wprowadzając funkcje spełniające warunki
Ui = γ
∫ρvi∣∣r − r′∣∣dV ′
∆Ui = 4πγρvi
(10.23)
Wtedy składowe g można zapisać jako
g00 =1c2
(1 +
2Uc2
)g0i =
4c2Ui
gik = −(
1− U
c2
)δik
(10.24)
10.3 Rozwiązanie równań Einsteina w pierwszym przybliżeniu. Wyznaczenie stałej 65
Można stwierdzić że (q predkosc mniejsza niz c), W dalszej części U zamieniasię na V
U ∝ q2, Ui ∝ q3
ds2 =(c2 − 2U
)dt2 −
(1 +
2Uc2
)dr2 +
8c2
(U1dx1U2dx2U3dx3) dt(10.25)
Pozieważ
∂gµν
∂t= 0 (10.26)
Elementy g można zapisać jako
g0i = 0
g00 = V 2
gik = −aik(10.27)
Interwał czasoprzstrzenny przyjmuje postać
ds2 = V 2dt2 −3∑
i,k=1
aikdxidkk
dl2 =3∑
i,k=1
aikdxidkk∑i
aimamk = δik
ds2 = V 2dt2 − dl2
(10.28)
Można zapisać
g00 =1V 2
g01 = 0gik = −aik√−g = V
√a a = Detaik
(10.29)
Korzystając z symboli
66 10 Teoria grawitacji II
Γ γαβ =12gµν
(∂gαβ∂xβ
+∂gβµ∂xα
− ∂gαβ∂xµ
)(Γ ρµν)g ∝ gµν(Γnik)gaik
(Γhik)g = (Γhik)a
(Γ i00)g = V V i
V i = aikVk, Vk =∂V
∂xk
(Γ 00i)g =ViV
(Γ 000)g = 0
(Γ 0ik)g = 0
(Γ ki0)g = 0
(10.30)
Wtedy wyrażenie na R przyjmuje postać
Rρσ,µν =∂Γ ρσµ∂xν
− ∂Γ ρσν∂xµ
+ ΓασµΓραν − ΓασνΓ ραµ (10.31)
Składowe R są dane przez
(Rli,hk)g = (Rli,hk)u
(R0i,hk) = 0
(Rli,0k)g = 0
(Rl0,hk)g = 0
(R00,hk)g = 0
(Rl0,0k)g =∂
∂xk(V V i) + V V i(Γ lik)a − VkV i = V
(∂V l
∂xk(Γ lik)aV i
)(V l)k =
∂V l
∂xk+ (Γ lik)aV i
Vik =∂2V
∂xi∂xk− (Γ jik)a
∂V
∂xj= Vki
(Ri0,0k)g = V V ik
(R0i,0k)g =∂
∂xk
(ViV
)+ViVkV 2− (Γ jik)a
VjV
(R0i,0k)g =VikV
Rµν = Rαµ,αν = R0µ,0ν +Rlµ,lk
(Rik)g = (Rik)a +VikV
(10.32)
10.4 Pole grawitacyjne izolowanej cząstki punktowej 67
Co ostatecznie prowadzi do wyniku (w pierwszym przybliżeniu)
ds2 = (c2 − 2V ) (10.33)
10.4 Pole grawitacyjne izolowanej cząstki punktowej
ds2 = V 2dt2 − dl2
dl2 = aikdxidxk(10.34)
Wprowadzając współrzędne sferyczne:
x1 = r sin θ cosϕ
x2 = r sin θ sinϕ
x3 = r cos θ
(10.35)
Założenie symetrii sferycznej powoduje, że dl2 przyjmuje następującą postać:
dl2 = F 2dr2 + %2(dθ2 + sin2θdϕ2
)(10.36)
gdzie F i % są funkcjami zależnymi tylko od r (współczynnik V również musizależeć tylko od r).Jeśli ds2 przyjmuje powyższą postać zastosowanie operatora d’Alamberta dofunkcji Ψ ma postać:
�Ψ =1V 2
∂2Ψ
∂t2− 1%2
[1V F
∂
∂r
(V %2
F
∂Ψ
∂r
)+∆∗Ψ
](10.37)
gdzie ∆∗ to operator Laplace’a na sferze
∆∗Ψ =1
sin θ∂
∂θ
(sin θ
∂Ψ
∂θ
)+
1sin2 θ
∂2Ψ
∂ϕ2(10.38)
Ewidentnie czas t jest zmienną harmoniczną, dla �t = 0.Aby współrzędne x1,x2,x3 również były harmoniczne konieczne jest aby �xi =0.Jeżeli xi jest jedną z wielkości (10.35) to:
∆∗xi = −2xi (10.39)
i warunek na harmoniczność xi przyjmuje postać:
1V F
d
dr
(V %2
F
)− 2r = 0 (10.40)
Jest to uzupełniające równanie które musi być spełnione przez V ,F i % opróczrównania Einsteina.
68 10 Teoria grawitacji II
Należy sformułować symbole Christofella dla różniczkowej formy równania(10.36). Wstawia się:
arr = F 2 aθθ = %2 aϕϕ = %2 sin2 θ
aθϕ = 0 aϕr = 0 arθ = 0
oraz elementy kontrawariantnego trójwymiarowego tensora metrycznego:
arr =1F 2
aθθ =1%2
aϕϕ =1
%2 sin2 θ
aθϕ = 0 aϕr = 0 arθ = 0
Otrzymujemy 18 symboli Christoffela:
Γ rrr =F ′
FΓ θrr = 0 Γϕrr = 0 (10.41)
Γ rθθ = −%%′
F 2Γ θθθ = 0 Γϕθθ = 0 (10.42)
Γ rϕϕ = −%%′
F 2sin2 θ Γ θϕϕ = − sin θ cos θ Γϕϕϕ = 0 (10.43)
Γ rrθ = 0 Γ θrθ =%′
%Γϕrθ = 0 (10.44)
Γ rrϕ = 0 Γ θrϕ = 0 Γϕrϕ =%′
%(10.45)
Γ rθϕ = 0 Γ θrϕ = 0 Γϕrϕ = ctg θ (10.46)
Elementy z primem oznaczają różniczkowanie po r.Należy zwrócić uwagę, że każdy rząd w powyższej tabeli zawiera ujemnewspółczynniki przy pierwszych pochodnych ∂V
∂r , ∂V∂θ , ∂V
∂ϕ .
Vrr =∂2V
∂r2− F ′
F
∂V
∂r(10.47)
Vθθ =∂2V
∂θ2+%%′
F 2∂V
∂r(10.48)
Vϕϕ =∂2V
∂ϕ2+%%′
F 2sin2 θ
∂V
∂r+ sin θ cos θ
∂V
∂θ(10.49)
Vrϑ =∂2V
∂r∂θ− %′
%
∂V
∂θ(10.50)
Vrϕ =∂2V
∂r∂ϕ− %′
%
∂V
∂ϕ(10.51)
Vθϕ =∂2V
∂θ∂ϕ− ctg θ
∂V
∂ϕ(10.52)
Z drugiej strony każda kolumna z tabelki powyżej daje współczynniki sto-jące przy kwadracie lub iloczynie różnych pochodnych w równaniach na prze-strzenną linię geodezyjną, która przyjmuje postać:
10.4 Pole grawitacyjne izolowanej cząstki punktowej 69
r +F ′
Fr2 − %%′
F 2
(θ2 + sin2 θϕ2
)= 0
θ + 2%′
%θr − sin θ cos θϕ2 = 0
ϕ+ 2%′
%ϕr + 2 ctg θϕθ = 0
Kropka oznacza różniczkowanie względem długości łuku (r = drdl itd.)
Jeśli znika tensor masy równanie grawitacyjne upraszcza się do postaci
(Rµν)g = 0 (10.53)
ponieważ: (Rrθ)a = 0, (Rrϕ)a = 0, (Rθϕ)a = 0 Równanie przestrzenne wprzypadku statycznym redukuje się do:
V (Rik)a + Vik = 0 (10.54)
natomiast czasowe do:∆V = 0 (10.55)
znajdując wyrażenie na (Rrr)a i Vrr oraz wstawiając je do V (Rrr)a+Vrr = 0otrzymujemy:
2V F%
d
dr
(%′
F
)+ V ′′ − F ′
FV ′ = 0 (10.56)
oraz do V (Rθθ)a + Vθθ = 0 otrzymujemy:
d
dr
(%%′V
F
)− V F = 0 (10.57)
Zatem ostatecznie ∆V = 0 może być zapisane jako:
V ′′ − F ′
F+
2%′
%V ′ = 0 (10.58)
Powyższe trzy równania są łatwe do rozwiązania. Na podstawie (10.56) i(10.58) mamy:
Vd
dr
(%′
F
)− %′
FV ′ = 0 (10.59)
gdzie %′
V F = constWartość powyższej stałej jest zdeterminowana przez warunki brzegowe. Wnieskończoności musi zachodzić:
%′ = 1 F = 1 V = c (r →∞) (10.60)
zatem V F = c%′ co po wstawieniu do (10.57) i scałkowaniu daje:
%%′V
F− c% = const (10.61)
70 10 Teoria grawitacji II
Wartość tej stałej możę być określona przez porównanie z teorią Newtona.Jeżeli M to wartość masy punktowej musimy mieć dla dużych odległości (r →∞):
V 2 = c2 − 2U U =γM
r(10.62)
gdzielimr→∞
%
r= 1
zatem %(c2 − V 2) = 2γM czyli:
V 2 = c2 − 2γM%
(10.63)
Do tej pory rozważano tylko równanie (10.57) i kombinację (10.56) oraz(10.58).Należy teraz zweryfikować czy te dwa ostatnie mogą zostać spełnione oddziel-nie. Zapisując (10.58) w postaci:
d
dr
(V ′%2
F
)= 0
i z drugiej strony różniczkując (10.63) otrzymujemy: V V ′ = γM%2 %
′ co w zesta-
wieniu z V F = c%′ daje V ′%2
F = γMc = const, a zatem (10.58) jest spełnione.
Wynika z tego, że tylko dwa spośród (10.56), (10.58), (10.57) są niezależne.Na mocy V F = c%′ mamy:
Fdr =c
Vd%
Wstawienie wartości uzyskanych dla F i V do wyrażenia ds2 daje:
ds2 = V 2dt2 − c2
V 2d%2 − %2(dθ2 + sin2 θdϕ2) (10.64)
Jeśli korzystamy tylko z równań grawitacyjnych, ale bez warunku na harmo-niczność współrzednych, wielkość % pozostaje dowolną funkcją r w taki spo-sób, że r jest również dowolną funkcją %. Dla 1
V Fddr
(V %2
F
)− 2r = 0 stosując
V F = c%′ otrzymujemy:
d
d%
(V 2%2
c2dr
d%
)− 2r = 0 (10.65)
wstawiając (10.63) powyższy wzór przekształca się do:
d
d%
[(%2 − 2α%
) drd%
]− 2r = 0 (10.66)
10.5 Ruch peryhelium planet 71
gdzie α = γMc2 i % 2α , V 2 0
wstawiając % jako % = α(1+z) powyższe równanie przyjmuje postać równaniaLegendre’a:
d
dz
[(z2 − 1)
dr
dz
]− 2r = 0 (10.67)
dla obszaru z 1 rozwiązaniem ogólnym równania Legendre’a jest:
r = CP1(z) + C ′Q1(z)
gdzie P1(z) = z, Q1(z) = z2 ln
(z+1z−1
)−1 Są to funkcje Legendre’a odpowiednio
pierwszego i drugiego rodzaju. Dla z = 1 funkcja Q1 zmierza do nieskończo-ności, a zatem człon przy Q1 pozostawiając tylko elementy proporcjonalne doz. Porównując wartości % i r dla dużych z łatwo wywnioskować z warunków(10.60) i (10.62), że:
r = αz
a zatem % = r + α.Wstawiając wartość % do wyrażenia na ds2 otrzymujemy:
ds2 = C2(r − αr + α
)dt2 −
(r + α
r − α
)dr2 − (r + α)2(dθ2 + sin2 θdϕ2) (10.68)
gdzie na podstawie α = γMc2 wiadomo, że stała α jest proporcjonalna do wiel-
kości masy punktowej M.Równanie w postaci (10.64) dla ds2 we względnych współrzędnych niehar-monicznych było pierwszy raz wyprowadzone przez Schwarzschilda i częstonazywane jest od jego imienia.
10.5 Ruch peryhelium planet
Pewne szczególne rozwiązanie równań grawitacyjnych może być zastosowanedo opisu pola grawitacyjnego słońca oraz planet.
Weźmy
ds2 = c2(r − αr + α
)dt2 −
(r + α
r − α
)− (r + α)2(dθ2 + sin2 θdϕ) (10.69)
gdzie
α =γM
c2, (10.70)
M - masa, γ - stała Newtona, c - prędkość światła.Wielkość α nazwana jest grawitacyjnym promieniem masyM . Jest ona, dla
obiektów z naszego układu planetarnego, znacznie mniejsza niż geometrycznypromień L. Dla słońca wynosi około α = 1, 48km, natomiast dla Ziemi α =0, 443cm.
72 10 Teoria grawitacji II
Przekształcamy teraz równanie (10.69) ze współrzędnych sferycznych doukładu prostokątnego. Przepiszmy przestrzenną część (10.69)
dl2 =(r + α
r − α
)dr2 + (r + α)2(dθ2 + sin2 θdϕ) (10.71)
w postaci
dl2 =r + α
r − α· α2
r2dr2 +
(1 +
α
r
)2(dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdϕ), (10.72)
dzięki czemu łatwiej nam przejść do współrzędnych kartezjańskich.Otrzymujemy
ds2 = c2(r − αr + α
)dt2 −
(1 +
α
r
)2(dx21 + dx22 + dx23)−
−r + α
r − α· α2
r4(x1dx+ x2dx2 + x3dx3)2,(10.73)
wówczas
gik = −(
1 +α
r
)2δik −
r + α
r − α· α2
r4xixk, (10.74)
co daje nam
g00 = c2r − αr + α
; g0i = 0. (10.75)
Jeżeli w równaniu (10.73) zaniedbalibyśmy czynnik α22 i wyższe, dostalibyśmywyrażenie na potencjał Newtonowski
U = c2α
r=γM
r(10.76)
Używając (10.74) oraz (10.75) i transformując równanie
gµν∂ψ
∂xµ
∂ψ
∂xν=r + α
r − α1c2
(∂ψ
∂t
)2− r − αr + α
(∂ψ
∂r
)2−
− 1(r + α)2
[(∂ψ
∂θ
)2+
1sin2 θ
(∂ψ
∂ϕ
)2](10.77)
do współrzędnych prostokątnych, otrzymamy wartości współrzędnych kowa-riantnego tensora metrycznego. Mnożąc te składowe przez
√(−g), gdzie g
dane jest wyrażeniem g = −c2(1 + α
r
)4, otrzymamy
gik =√
(−g)gik = −cδik + cα2xixkr4
(10.78)
oraz
g00 =1c
(1 + α)3
1− α; g0i = 0. (10.79)
10.5 Ruch peryhelium planet 73
Łatwo sprawdzić, że nasze współrzędne są harmoniczne oraz spełnione jestrównanie
∂gik
∂xk= 0 (10.80)
Znając potencjał grawitacyjny dla pola masy skupionej, możemy opisaćruch ciała w tym polu, wiedząc, że będzie ono poruszało się po linii geodezyj-nej.
Jak wiemy, równania (linii) geodezyjnej spełniają
δ
∫ds = 0, (10.81)
co może być przedstawione w formie
δ
∫Ldt = 0, (10.82)
gdzie L jest lagranżjanem i w naszym przypadku jego kwadrat jest równy
L2 = c2r − αr + α
−(
1 +α
r
)2(x12 + x2
2 + x32)−
−r + α
r − α· α2
r4(x1x1 + x2x2 + x3x3)2.(10.83)
Kropki oznaczają różniczkowanie po czasie.Aby rozwiązać ten problem zauważmy, że Lagranżjan jest sferycznie sy-
metryczny. To znaczy, iż układ wielkości (x1, x2, x3) i (x1, x2, x3) pozostajestały (niezmienny) względem tej samej, ortogonalnej, liniowej transformacji.W konsekwencji czego, znaczy to, że istnieją całki ruchu
x2∂L
∂x3− x3
∂L
∂x2= c1 (10.84)
x3∂L
∂x1− x1
∂L
∂x3= c2 (10.85)
x1∂L
∂x2− x2
∂L
∂x1= c3 (10.86)
A więc trajektorja ciała leży na płaszczyźnie
c1x1 + c2x2 + c3x3 = 0 (10.87)
Możemy przyjąć x3 = 0 i x3 = 0. Najlepiej posłużyć się teraz współrzędnymibiegunowymi. Poprzednio używane przez nas współrzędne sferyczne redukująsię do biegunowych, gdy przyjmiemy θ = π oraz θ = 0. Przepisując lagranżjanwe współrzędnych biegunowych, dostajemy
L2 = c2r − αr + α
− r + α
r − αr2 − (r + α)2ϕ2 (10.88)
74 10 Teoria grawitacji II
Lagranżjan jest zależny do czasu i kąta ϕ, co daje nam
r∂L
∂r+ ϕ
∂L
∂ϕ− L = const (10.89)
i∂L
∂ϕ= const. (10.90)
Pamiętając, żeLdt = ds = cdτ, (10.91)
τ - czas własny (ang. proper time)możemy przepisać (10.89) i (10.90) w postaci
r − αr + α
· dtdτ
= ε (10.92)
(r + α)2dϕdτ
= µ (10.93)
Wielkość µ może być interpretowana jako moment pędu masy jednostkowej.Jeżeli przyjmiemy
ε = 1 +E0c2, E0 − stala (10.94)
nasze równania pokażę, że w przybliżeniu nierelatywistycznym
E0 =12v2 − γM
r, (10.95)
czyli E0 jest całkowitą energią masy jednostkowej.Podstawiając (10.92) i (10.93) do tożsamości
c2(r − αr + α
)(dtdτ
)2−(r + α
r − α
)(drdτ
)2− (r + α)2
(dϕdτ
)2= c2 (10.96)
otrzymamy: (drdτ
)= c2ε2 − c2
(r − αr + α
)− µ2(r − α)
(r + α)3(10.97)
Powyższe rozważania daj nam równania na wielkości r, t i ϕ w funkcji τ . Niebędziemy ich ściśle wyprowadzać, zastanówmy się na trajektorią ciała i jakzależy ona od r i ϕ. Eliminując dτ z (10.93) i (10.97) mamy(
drdϕ
)2=c2ε2
µ2(r + α)4 − c2
µ2(r + α)3(r − α)− (r + α)(r − α) (10.98)
Jak widać ϕ będzie się wyrażało przez całkę elpityczną pierwszego rodzaju,odpowiednio r będzie funkcją eliptyczną zmiennej ϕ. Rzeczywisty okres tych
10.5 Ruch peryhelium planet 75
funkcji eliptycznych będzie różny od 2π, przez co orbity nie będą zamknięte.Wielomian stojący po prawej stronie ma następujące pierwiastki:
ujemny r = −α, dodatni r0 ∼ α+8α3c2ε2
mu2, (10.99)
gdzie α > 0, oraz dwa pozostałe r1 i r2.Jeżeli ε2 < 1, r1∧ r2 > 0 i r1 < r < r2, wtedy orbita jest skończona.Jeżeli ε2 > 1, jeden z pierwiastów, np r2 < 0 i r1 < r, wtedy orbita dąży donieskończoności. Dla ε2 = 1 wielkość r2 =∞.
Wprowadzimy zmienną u = 1, wtedy mamy(dudϕ
)2=c2(ε2 − 1)
µ2+
2αc2
µ2(2ε2 − 1)u+
(6α2c2ε2
µ2− 1)u2 +
+2α3c2(2ε2 + 1)
µ2u3 + α2
(1 +
α2c2(ε2 + 1)µ2
)u4(10.100)
We wcześniejszych rozważaniach wprowadzaliśmy prędkość charakterystycznąq oraz długość charakterystyczną l. Ze względu na rząd wielkości, mamy
ε2 − 1 ∼ q2
c2; µ2 ∼ l2q2; α ∼ q2
c2l2; u ∼ 1
l(10.101)
Stosując takie przybliżenie, możemy łatwo zauważyć, że po prawej stronie(10.100) wyrazy zawierające u w zerowej, pierwszej i drugiej potędze są rzędu1 l2, natomiast wyrazy z u w trzeciej i czwartej potędze są rzędu (q44) ·1 l2. Je-żeli zaniedbamy jedynie bardzo małe wielkości, czyli rzędu q44 (lub α2 l2), mo-żemy pominąć ostatnie dwa wyrazy w równaniu (10.100). Przybliżona formama postać:(
dudϕ
)2=c2(ε2 − 1)
µ2+
2αc2
µ2(2ε2 − 1)u+
(6α2c2ε2
mu2− 1)u2 (10.102)
Pierwiastki tego wielomianu kwadratowego będą odnosiły się do wspomnia-nych wyżej pierwiastków r1 oraz r2. Są one równe
u1 =1r1
=1 + e
p; u2 =
1r2
=1− ep
, (10.103)
gdzie p i e są nowymi stałymi związanymi z ε oraz µ.W przybliżeniu mamy
1− ε2 =α
p(1− e2) (10.104)
µ2 = αc2p = γMp
Również zapiszmy
ν2 = 1− 6αp, (10.105)
76 10 Teoria grawitacji II
a więc w przybliżeniu
ν = 1− 3αp
(10.106)
Używając takiego podstawienia możemy przepisać rówanie (10.102) w postaci
1ν2
(dudϕ
)2=e2 − 1p2
+2pu− u2 (10.107)
Rozwiązaniem tego równania jest
u =1 + e cos νϕ
p. (10.108)
Tutaj stała całkowania została tak dobrana, aby dla największej wartości u lubnajmniejszej odległości r kąt ϕ = 0. Wyrażanie (10.108) dobrze opisuje ogólnąnaturą ruchu. Jeżeli ν = 1 dostalibyśmy elipsę, parabolę albo hiperbolę omimośrodzie e i paramatrze p (ang. semi-latus rectum). Rozważmy przypadekelipsy, a więc e < 1. Wektor wodzący r powraca do swojego pierwotnegopołożenia, gdy kąt zwiększy się nie o 2π, lecz o wartość 2π. Różnica
∆ϕ =2πν− 2π =
6παp
(10.109)
stanowi przesunięcie peryhelium planety po jednym okresie. Tak więc orbitaplanety może być opisana przez elipsę wykonującą precesję.
Można zauważyć, że równania ruchu Einsteina dla planety redukują siędo klasycznych równań wahadła sferycznego (10.107). Trajektorja planety mataki sam tor jak wahadło sferyczne.
Dla wszystkich planet wartości kąta ϕ bardzo niewielkie. Jeżeli dla Ziemiprzyjmiemy p = 1, 5 · 10−8km, α = 1, 5km, przesunięcie wyniesie
∆ϕ = 6π · 10−8 = 3, 8′′100lat. (10.110)
Dużo większe przesunięcie obserwuje sięc dla Merkurego
∆ϕ = 43′′100lat. (10.111)
Wynika to ze znacząco mniejszej odległości od słońca (0,39 orbity Ziemi) orazkrótszego okresu (420 okrążeń na sto lat).
10.6 Prędkosć propagacji pola grawitacji
Wychodząc z równań Einsteina:
Rµν − 12gµνR = −κTµν (10.112)
10.6 Prędkosć propagacji pola grawitacji 77
Charakterystyki równania Einstaina. Chcemy otrzymać równania charak-tersystyk, ktore z fizycznego punktu widzenia reprezentujs prawa propagacjiczoła fali grawitacyjnej. Mnożsc równanie 10.113 przez gµν i wykonujsc sumo-wanie otrzymujemy relację:
R = κT (10.113)
Zapisujemy d’Alembercian jako
�Ψ =1√g
∂
∂xβ
(√−ggαβ ∂Ψ
∂xα
)(10.114)
Gdzie:
g = detgαβ (10.115)
Inna forma równania
�Ψ = gαβ∂2
∂xα∂xβ− Γµ ∂Ψ
∂xµ(10.116)
Korzystajsc z zależnoci
Γµ = gαβΓµαβ
Γα = − 1√−g
∂
∂xβ
(√−ggαβ
)Γα = −�xα
(10.117)
Przy skorzystaniu ze współrzędnych harmonicznych możemy zapisać
−�xα = 0
Rµν =−1g
αβ ∂2gµν
∂xα∂xβ− Γµ + Γµ,αβΓ ναβ
Γµν =12
(∇µΓ ν +∇νΓµ) gµν∂ω
∂xµ
∂ω
∂xν= 0
(10.118)
Korzystajsc z powyższych zależnoci i przechodzsc do układu współrzęd-nych w którym (co jest zawsze możliwe, dyskusja zawarta w ksisżce Focka)
�Ψ = 0 (10.119)
okazuje się, ponieważ równanie propagacji pola grawitacji ma ts sams po-stać co równanie propagacji promienia wietlnego, prędkoć propagacji polagrawitacji będzie równa prędkoci wiatła c.
78 10 Teoria grawitacji II
10.7 Perspektywa.
One of possibility to join quantum theory and gravitation is studied in Fockpapers [16]. Some interesting applications of geometrical pount of view is givenin „Geometric quantization of curvature energy in equipotential surfaces ofionic crystals” [17]
10.8 Odchylenie promienia wiatła w polu grawitacji (wpobliżu Słońca)
Zaniedbujemy człony rzędu α2
r2 równanie na ω redukuje się do:
n2
c2
(∂u
∂t
)2− (gradω)2 = 0 (10.120)
gdzie:
n2 = 1 +4αr
(10.121)
n = 1 +2αr
(10.122)
Równanie (1) może być formalnie interpretowane jako prawo propagacjiwiatła w przestrzeni euklidesowej, ale w orodku o współczynniku załamanian.
Można to również otrzymać z przybliżonego wyrażenia na ds2:
ds2 = (c2 − 2U)dt2 − (1 +2Uc2
)(dx21 + dx22 + dx23) (10.123)
z efektywnym współczynnikiem odbicia:
n = 1 +2Uc2
(10.124)
W poprzednich rozdziałach znalelimy całki ruchu:
r − αr + α
dt
dτ= ε (10.125)
i
(r + α)2 =dϕ
dτ= µ (10.126)
a także równanie na trajektorie:(dr
dϕ
)2=c2ε
µ2(r + α)4 +
c2
µ2(r + α)3(r − α)− (r + α)(r − α) (10.127)
Dla promienia wiatła dτ = 0 i stałe w równaniach (6) i (7) stajs się nieskoń-czenie wielkie, ale ich stosunek jest skończony:
(r + α)3
r − αdϕ
dt=µ
ε= µ1 (10.128)
Wówczas równanie (8) uzyska formę:
80 10 Teoria grawitacji II(dr
dϕ
)2=c2
µ21(r + α)4 − (r + α)(r − α) (10.129)
W miejsce stałej µ1 wygodniej jest wprowadzić inns stałs b, o wymiarze dłu-goci, dans przez następujsca relacje:
limµ
ε= µ1 = cb (10.130)
Co prowadzi do: (dr
dϕ
)2=
1b2
(r + α)4 − (r + α)(r − α) (10.131)
i wykorzystujsc relację u = 1r otrzymamy:(
du
dϕ
)2=
1b2
(1 + αu)4 − u2 + α2u4 (10.132)
gdzie b jest tzw. parametrem zderzenia.Elementarne relacje z geometrii płaszczyzny euklidesowej prowadzs do:
d =1√
u2 + (duϕ)2(10.133)
Wracajsc do rówania (13) na drogę promienia wietlnego i pomijajsc małeczłony otrzymamy równanie:
u =2αb2
+1b
cosϕ (10.134)
które to można już rozwiszać elementarnymi sposobami. Analizujsc rówanie(15) widzimy, że:
rmin = b− 2α (10.135)
Ponadto kst o jaki odchyli się promień wietlny dany jest wyrażeniem:
2δ =4αb
(10.136)
Dla Słońca 2δ = 1, 75′′
10.9 Przesunięcie ku czerwieni
Hubble jako pierwszy zaobserwował przesunięcie widma odległych obiektówkosmicznych ku czerwieni. Przesunięcie to było tym większe im dalej znajdo-wały się obiekty. W celu analizy tego zjawiska zapiszemy najpierw wyrażeniena ds2 w postaci:
10.9 Przesunięcie ku czerwieni 81
ds2 =(
1− α
τ
)4(c2dt2 − d−→r 2) (10.137)
gdzie α jest dodatnis stałs, a τ jest dane wzorem:
τ =
√t2 − r2
c2(10.138)
Korzystajsc z wartoci τ0 zwiszanej z czasem t0 i równania (19) otrzymamy:
τ0τ
=
√√√√ t20 −r20c2
t20 + r20c2
(10.139)
Z drugiej strony:r0τ0
= υ (10.140)
gdzie υ jest prędkocis gwiazdy.Z równań (20) i (21) otrzymamy:
τ
τ0=
√c− υc+ υ
(10.141)
Literatura
1. P. Dirac, General theory of Relativity, Wiley,Sons, USA, 1975.2. V.A. Fock, Teoriya prostranstva, vremeni i tyagotenija, Moskva 1955. THE
THEORY OF SPACE TIME AND GRAVITATION. Pergamon Press. 1959.3. Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation (Phy-
sics Series) W. H. Freeman and Company in 1973.4. M.J. Duff, L.B. Okun, G. Veneziano, Trialogue on the number of fundamental
constants, arXiv, physics 110060.5. L. P. Eisenhart Continuous groups of transformations. Princeton, 1933.6. The Large Scale Structure of Space-Time (Cambridge Monographs on Mathe-
matical Physics) by Stephen W. Hawking, G. F. R. Ellis, P. V. Landshoff andD. R. Nelson (Mar 28, 1975)
7. J.D. Jackson, Elektrodynamika klasyczna, wyd 2, PWN, Warszawa 1987.8. A. A. Logunov, Henri Poincare and Relativity Theory arXiv:physics 408077v4
[physics.gen-ph]9. L.B. Okun, SI, CGSG, and ch units: metrology and special relativity, arXiv,
physics 407099.10. A. Puankare, O nauke, Izdatelstvo ¡Nauka¿ 1983.11. H. Poincare, Ła Mesure du Temps’, Revue de Metaphysque et de Morale (1898),
113. H. See also www.annales.orgaιrchivesź oincaEmery.doc12. Einstein A ”Die Feldgleichungen der GravitationŚitzungsber. preuss.
Akad.Wiss. 48 844 (1915)13. Hilbert D ”Die Grundlagen der Physik (ErsteMitteilung)”Gottingen Nachr. 3
395 (1915)14. M. Skorko, Fizyka, PWN, Warszawa 1971.15. D. Stauffer, H.E. Stanley, Od Newtona do Mandelbrota. Wstdż˝p do fizyki teo-
retycznej, WNT, Warszawa 1996.16. V. Fock, L’equation d’onde de Dirac et la geometric de Riemann. (The Dirac
wave equation and the Riemann geometry) J.Phys.Radium, 1929, t. l0, N 11,p. 392-405. Uber eine mogliche geometrische Deutung dcr relattvistischen Qu-antentheorle. (On a possible geometric interpretation of relativistic quantumtheory) Zs. Phys., 1929, Bd. 54, N 11-12, S.798-802 (With D.D.Ivanenko).
17. Paul J. F. Gandy and Jacek Klinowski. Geometric quantization of curvatureenergy in equipotential surfaces of ionic crystals. JOURNAL OF CHEMICALPHYSICS VOLUME 116, NUMBER 21 1 JUNE 2002