teorija konstrukcija 2

7/25/2019 Teorija Konstrukcija 2

1/52

TEORIJAKONSTRUKCIJA2


2/52


3/52

SADRAJ

1. OSNOVNI POJMOVI /11.1. UVOD /11.2. KONCEPT MATRINE ANALIZE METODOM DEFORMACIJE /21.3. STEPENI SLOBODE /31.4. MATRICA FLEKSIBILNOSTI I MATRICA KRUTOSTI /4

2. MATRINA ANALIZA TAPA /112.1. OSNOVNE STATIKE I KINEMATIKE VELIINE /112.2. MATRICA KRUTOSTI TAPA /122.3. VEKTOR EKVIVALENTNOG OPTEREENJA /12

3. DIREKTAN POSTUPAK ODREIVANJA MATRICA KRUTOSTI /133.1. AKSIJALNO NAPREZANJE /13

3.2. SAVIJANJE U RAVNI /143.3. ISTOVREMENI UTICAJ AKSIJALNOG NAPREZANJA I SAVIJANJA U RAVNI /163.4. TORZIJA /17

4. ODREIVANJE MATRICE KRUTOSTI TAPOVA PREKO BAZNE MATRICE KRUTOSTI /184.1. OSNOVNA (BAZNA) MATRICA KRUTOSTI /184.2. MATRICA KRUTOSTI TAPA TIPA "k" /194.3. MATRICA KRUTOSTI TAPA TIPA "g" /214.4. MATRICA KRUTOSTI TAPA PROMENLJIVOG POPRENOG PRESEKA /24


4/52


5/52


6/52

1. OSNOVNI POJMOVI

1.1. UVOD

Razvoj matrinih metoda poinje sredinom prolog veka. Za razliku od ranijih, tkz. klasinih metoda,ove metode se nazivaju moderne ili savremene metode. Poto se u formulaciji ovih metoda primenjujematrini aparat, ove metode se nazivaju i matrine metode. Matrini oblik osnovnih veza izmeugeometrijskih, statikih i deformacijskih veliina nosaa veoma je pogodan za formiranje optih algoritamaza analizu i reavanje problema pomou elektronskih raunara. Tako je razvoj matrinih metoda iaoukorak sa razvojem elektronskih raunara.

Prve radove posveene matrinoj formulaciji metode sila objavio je Levy, a zatim i drugi autori kaoLang, Bisplinghof, Wehle, Lansingi drugi. Neto kasnije, najpre Levya onda i Schurech, objavili su radoveu kojima ukazuju na prednost analize metodom deformacija u odnosu na metodu sila. Za njima slede

radoviArgyrisa i njegovih saradnika, koji, izlaui optu matrinu formulaciju metoda analize nosaa nabazi osnovnih energetskih principa, predstavljaju polaznu osnovu za dalji razvoj metoda matrine analizekonstrukcija.

Metoda sila i metoda deformacije su dve osnovne metode analize konstrukcija i u klasinoj i umatrinoj formulaciji. Meutim, klasina i matrina formulacija ovih metoda se razlikuju.

U klasinoj formulaciji metode sila i metode deformacije dati sistem posmatra se kao celina (systemapproach). Ispituje se statika ili deformacijska neodreenost sistema i usvaja se ona metoda koja jepogodnija za analizu datog sistema.

U matrinoj formulaciji metode sila i metode deformacija, osnovu ini tap kao element sistema(element approach). Sistem je sastavljen od pojedinih tapova elemenata sistema, koji su meusobnopovezani u pojedinim diskretnim takama vorovima sistema (strukture).

Osnovne metode analize linijskih nosaa prikazane su na sledeoj shemi.

Matrina analiza linijskih nosaa moe da se shvati i kao specijalan sluaj jednog opteg metodanumerike analize konstrukcija, poznatog kao Metod konanih elemenata (MKE). U tom konceptu tappredstavlja jednodimenzionalni element. Meutim, po metodi deformacija u teoriji linijskih nosaa dobijajuse tana reenja, dok se u optem sluaju po MKE dobijaju samo priblina reenja.

Ovo i sledea poglavlja sadrerec:estheosnovne metode deformacije i rec:esthematrine analizekonstrukcija. Bie prikazani postupci za odreivanje matrica krutosti direktnim postupkom i preko baznematrice, a zatim i formiranje jednaina sistema. Bie obuhvaena matrina analiza konstrukcija u ravni okvirni nosai, reetkasti nosai i kontinualni nosai. Poslednje poglavlje obuhvatie nelinearnu analizukonstrukcija.


7/52

2

1.2. KONCEPT MATRINE ANALIZE METODOM DEFORMACIJE

Pri analizi nosaa zadraemo se u domenu linearne teorije prvog reda, koja u svojoj osnovi sadripretpostavke o geometrijskoj, statikoj i fizikoj linearnosti.

Pretpostavka o geometrijskoj linearnostiznai da su pomeranja tako mala da se kvadrati i vii stepenipomeranja i njihovi izvodi mogu zanemariti u odnosu na prve stepene tih veliina. Posledica ovepretpostavke je linearna veza pomeranja i deformacijskih veliina.

Pretpostavka statike linearnosti znai da se uslovi ravnotee postavljaju na nedeformisanomelementu tapa, odnosno nedeformisanom tapu i njena posledica je linearnost uslova ravnotee.

Pretpostavka o fizikoj linearnosti polazi od linearne veze napona i deformacija, tj. od generalisanogHooke-ovog zakona

Navedene tri pretpostavke nam omoguuju da pri tretiranju optereenja koristimo princip superpozicije.Na slici 1.1-a prikazan je sistem sa zadatim optereenjem. Na osnovu principa superpozicije, uticaji udatom sistemu jednaki su zbiru uticaja u sistemima sa slika 1.1-bi c.

Slika 1.1.Ilustracija principa superpozicije

Sistem na slici 1.1-b naziva se osnovni sistem i on se dobija tako da se u zadatom nosau spreepomeranja i obrtanja svih vorova. Ovaj sistem je optereen zadatim optereenjem i silama u vorovima,odreenim kao reakcije oslonaca potpuno ukljetenih tapova..

Sistem na slici 1.1-c optereen je samo u vorovima, i to optereenjem koje je istog intenziteta kaooptereenje u vorovima ekvivalentng sistema ali sa promenjenim znakom. Ovo optereenje se nazivaekvivalentno optereenje.

Kako su obrtanja i pomeranja vorova na sistemu 1.1-b jednaka nuli, to su obrtanja i pomeranjavorova datog sistema jednaka obrtanjima i pomeranjima vorova sistema na slici 1.1-c. To znai da sepomeranja i obrtanja vorova datog nosaa dobijaju, u stvari, samo usled dejstva ekvivalentnog vornog

optereenja. Na taj nain, spoljanji uticaji du pojedinih tapova se mogu zameniti ekvivalentnimoptereenjem na njihovim krajevima, odnosno u vorovima nosaa.

U analizi elementa polazi se od osnovnih jednaina teorije tapa i uspostavlja veza izmeu generalisanihsila i generalisanih pomeranja u vorovima na krajevima elementa. Pored ove veze koja se uspostavlja prekomatrice krutosti elementa, odreuje se i vektor ekvivalentnog optereenja elementa.

Sada se iz veza sila i pomeranja za pojedine elemente i uslova kompatibilnosti vorova, formirajujednaine za sistem elemenata koje predstavljaju uslove ravnotee vorova sistema. Uslovi kompatibil-nosti vorova izjednaavaju pomeranja krajeva tapova koji su vezani u istom voru, dok uslovi ravnoteeuspostavljaju vezu izmeu spoljanjeg vornog optereenja, ekvivalentnog vornog optereenja i sila nakrajevima tapova.

Iz uslovnih jednaina se, uz uslove oslanjanja, odreuju pomeranja i obrtanja vorova, a onda se za

svaki tap ponaosob mogu odrediti naprezanja i deformacije.


8/52

3

1.3. STEPENI SLOBODE

Kao osnovne nepoznate u matrinoj formulaciji metode deformacija usvajaju se obrtanja i pomeranjavorova. Ukupan broj meusobno nezavisnih parametara pomeranja predstavlja kinematiku ili deforma-cijsku neodreenost sistema. U sluaju ravnih sistema, ovaj broj u tanoj metodi deformacije jednak jezbiru obrtanja grupa kruto vezanih tapova ( m ) i broju komponenti pomeranja sistema od k vorova,umanjenom za broj spreenih ili zadatih pomeranja u osloncima ( oz ),

2 od m k z = + (1.1)

U priblinoj metodi deformacije, u kojoj je zanemaren uticaj normalnih sila na deformacije, odnosno ukojoj se tapovi aksijalno ne deformiu, prethodni zbir se umanjuje i za broj tapova sistema ( sz ),

( )2 s od m k z z = + + (1.2)

Sistem u kome su svi parametri pomeranja jednaki nuli, odnosno sistem sa spreenim obrtanjima ipomeranjima vorova, nazivamo kinematiki odreen(osnovni) sistem.

Na sledeoj slici prikazani su primeri na kojima se ilustruje kinematika (deformacijska) neodreenostsistema, po tanoj metodi deformacije (TMD) i priblinoj metodi deformacije (PMD).

a)

TMD PMDb)

TMD PMDc)

TMD PMD

d)

Slika 1.2. Ilustracija stepeni slobode po tanoj (TMD) i priblinoj metodi deformacija (PMD)


9/52

4

1.4. MATRICA FLEKSIBILNOSTI I MATRICA KRUTOSTI

Pri odreivanju odgovora konstrukcije odnos izmeu sila i pomeranja predstavlja osnovu analize,nezavisno od metode koja se primenjuje. Ovaj odnos je odreen koeficijentima fleksibilnosti i koeficijen-tima krutosti, koji fiziki predstavljaju meru za elastinost odnosno krutost konstrukcije.

1.4.1. Pojam matrice fleksibilnosti i matrice krutosti

Na slici 1.3-a data je prosta greda optereena koncentrisanom silom 1P i koncentrisanim momentom

2P . Pomeranja napadnih taaka ovih sila 1 i 2 predstavljaju ukupno vertikalno pomeranje preseka 1 iukupno obrtanje preseka 2 usled istovremenog dejstva obe sile.

Koristei princip superpozicije, pomeranja 1 i

2 moemo dobiti kao zbir istih pomeranja usledpojedinanog uticaja sila 1Pi 2P , odnosno

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

f P f P

f P f P

= +

= + (1.3)

ili, u matrinoj formi

1 11 12 1

2 21 22 2

f P

f f P

=

(1.4)

Ovde su , , 1,2ijf i j= koeficijenti fleksibilnosti,

ije je geometrijsko znaenje ilustrovano na slici 1.3b.Iz jednaine (1.3) se moe videti da su

- 11f i 21f - vertikalno pomeranje take 1 i

obrtanje u taki 2 usled dejstva sile 1 1P = pri emu

je 2 0P = ;

- 12 i 22 - vertikalno pomeranje take 1 i

obrtanje u taki 2 usled dejstva momenta 2 1P = pri

emu je 1 0P = .

Na slian nain mogu da se prikau veze izmeu

sila i pomeranja u obliku

1 11 12 1

2 21 22 2

P k k

P k k

=

(1.5)

Ovde su , , 1,2ijk i j= koeficijenti krutostinosaa, ije je fiziko znaenje pokazano na slici 1.3-c:

- 11 21ik k predstavljaju silu u taki 1 i moment u taki 2 usled jedininog pomeranja 1 1 = , pri 2 0 = ;

- 11 21ik k predstavljaju silu u taki 1 i moment u taki 2 usled jedininog pomeranja 2 1 = , pri 1 0 = ;

Veze (1.4) i (1.5), date za jednostavan primer proste grede, mogu se uoptiti za proizvoljan nosa na

koji deluje proizvoljno zadati sistem sila. Tada veze izmeu generalisanih pomeranja q i generalisanihsila R glase

Slika 1.3. Geometrijsko-statiko znaenje

koeficijenata b) fleksibilnosti c) krutosti


10/52

5

11 1 1 11

1

1

j n

ji ij ini

n nn nj nn

f f f Rq

Rf f fq

q Rf f f

=

L L

MM M MM

L L

M MM M M

L L

(1.6)

odnosno =q FR . (1.7)

Veze izmeu generalisanih sila i generalisanih pomeranja glase

11 1 1 11

1

1

j n

ji ij ini

n nn nj nn

k k k qR

qk k kR

R qk k k

=

L L

MM M MM

L L

M MM M M

L L

(1.8)

odnosno =R Kq . (1.9)

Ovde su: F - matrica fleksibilnosti (gipkosti) sistema (tela),

K - matrica krutosti (stiffness matrix) sistema (tela).

Primer 1: Na slici 1.4 je prikazana konzola sa jednom silom na slobodnom kraju. Za odreivanjekoeficijenta f leksibilnosti 11 koji odgovara datoj sili 1P, na mestu njenog delovanja priloimo jedininusilu. Sada se moe sraunati pomeranje napadne take sile u pravcu sile

2 31

113

M lf ds

EI EI= = .

Veza pomeranja 1v i date sile 1Pdata je izrazom

1 11 1f P =

Iz poslednje jednaine za 1 1 = dobijamo silu kojaizaziva jedinino pomeranje

11 11 11 11 11 3

31

EIf k k f

l = = = = ,

pa je sada veza sile 1Pi pomeranja 1

1 11 1P k = , Slika 1.4.

gde je 11k koeficijent krutosti, odnosno sila potrebna da se kraj konzole u pravcu sile 1Ppomeri za jedan.

Primer 2: Uzmimo primer iste konzole sada optereene koncentrisanom silom 1P i koncentrisanim

momentom 2P na slobodnom kraju (slika 1.5-a).

Slika 1.5-a

Koeficijente fleksibilnosti emo sraunati primenom principa virtualnih sila.


11/52

6

- Stanje 1 21 ( 0)P P= = :2 31

113s

M lf ds

EI EI= = ,

22 1

21

2s

M M lf ds

EI EI

= =

- Stanje 2 11 ( 0)P P= = :2

1 212

2s

M M lf ds

EI EI= = ,

22

22s

M lf ds

EI EI= =

- Veza pomeranja 1 2i i sila 1 2iP P

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

P f P

P f P

= +

= +,

odnosno

2

1 11 12 1 1

2 21 22 2 22 33 66

lf f P Pl lf f P PlEI = =

i skraeno = F P

Koeficijente krutosti emo sraunati korienjem veza izmeu sila i deformacija na krajevima tapa(jednaine 2.9), odnosno za

- stanje 1 21 ( 0) = = :

3 211 1 21 1

1 11 21 13 2

M M M M l lds ds k k

EI EI EI EI = + = + =

211 2 21 2

2 11 21 02

M M M M l lds ds k k EI EI EI EI

= + = + =

Reenja sistema jednaina glase

11 213 2

12 6,

EI EIk k

l l= =

- stanje 2 11 ( 0) = = :

3 212 1 22 1

1 12 22 03 2

M M M M l lds ds k k

EI EI EI EI = + = + =

2

12 2 22 22 12 22 1

2M M M M l lds ds k k

EI EI EI EI = + = + =

Reenja sistema jednaina glase

12 222

6 4,

EI EIk k

ll= =

- veze izmeu sila 1 2iP P i pomeranja 1 2i

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

P k k

P k k

= +

= +,

odnosno2

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

6 2 1

1 2 3

EIP k k l lP k k ll

= =

Slika 1.5-b) Ilustracija

koeficijenata fleksibilnosti

Slika 1.5-c) Ilustracija

koeficijenata krutosti


12/52

7

i skraeno = P K

Ako pomnoimo dobijene matrice fleksibilnosti i krutosti dobiemo jedininu matricu, odnosno

2 26 1 02 3 2 10 13 6 1 2 36

l EIl l l l

l lEI l

=

U konciznom matrinom obeleavanju =F K I ,

gde je I jednina matrica.

Primer 3:

Kolone matrice fleksibilnosti se dobijaju pri stanju 1 21, 0P P= = , odnosno 1 20, 1P P= = .

Kolone matrice krutosti se dobijaju pri stanju 1 21, 0 = = , odnosno 1 20, 1 = = .

Sraunaemo pomeranja 1 i 2 u pravcima koordinata 1 i 2 usled dejstva sila 1P i 2P . Dva putastatiki neodreen sistem reiemo metodom sila a zatim pomeranja metodom virtualnih sila.

211 1

1

3EI M ds l = = , 12 1 2

1

6EI M M ds l = = ,

222 2

2

3EI M ds l = =

1, 1 1 1 1

1

6P PEI M M ds Pl = = , 2, 1 2 1 1

1

3P PEI M M ds Pl = =

1, 2 1 2 0P PEI M M ds = = , 2, 2 2 2 21

6P PEI M M ds P l = =

Statike nepoznate usled dejstva sile 1P

1

1

2 1

2 1 1101 4 26 6

P

XlPlX

+ =

11

2 11

2

7

3

7P

PX

XP

=

Statike nepoznate usled dejstva sile 2P

1

2

2 2

2 1 010

1 4 16 6P

XlP l

X

+ =

21

2 22

1

7

2

7P

PX

XP

=

Dijagrami momenata usled sila 1Pi 2P


13/52

8

Dijagrami momenata savijanja na osnovnom sistemu usled dejstva odgovarajueg generalisanog virtu-alnog optereenja

Sada su pomeranja u pravcima koordinata usled istovremenog dejstva obe sile

( )

( )

1 1 2 11 1 2

1 2 2 22 2 1

214

414

P P

P P

M M M M lds ds P P

EI EI EI

M M M M lds ds P P EI EI EI

= + =

= + =

- Odreivanje koeficijenata matrice fleksibilnosti:

za 1 2 1 11 2 211, 0 ,7 14

l lP P f f

EI EI = = = = = =

za 1 2 1 12 2 222

0, 1 ,14 7

l lP P f f

EI EI = = = = = =

matrica fleksibilnosti2 1

1 414

l

EI

=

F

- Odreivanje koeficijenata matrice krutosti:

( )

( )

1 111 2

1 2

2 1 2 21

82 1

141, 0

24 0

14

EIlP KP P

lEI

l EIP P P K

EI l

= = =

= = = = =

za

( )

( )

1 121 2

1 2

2 1 2 22

22 0

140, 1

44 1

14

EIlP KP P

lEI

l EIP P P K

EI l

= = =

= = = = =

za

matrica krutosti 4 121 2

EI

l =

K

Primer 4: Za konstrukciju na sledeoj slici, sraunatimatricu fleksibilnosti i matricu krutosti. vor 1 se, osim obr-tanja u pravcu koordinate 3, moe pomerati horizontalno ivertikalno u pravcima koordinata 1 i 2. To znai da aksi-jalne deformacije tapova treba uzeti u obzir.

Koeficijente matrice fleksibilnosti emo sraunati ako upravcu svake od koordinata sukcesivno priloimo jedininusilu i odredimo pomeranja u pravcima svih koordinata.

Koeficijente matrice krutosti emo odrediti ako u upravcu svih koordinata priloimo sile, ije veliine odreujemo iz uslova da je pomeranje u pravcu jedne odkoordinata jednako 1, dok su ostala pomeranja jednaka nuli.


14/52

9

Za dati 2 puta statiki neodreen sistem optereen prema sledeoj slici, metodom sila dobijeni su dija-grami momenata savijanja i aksijalnih sila u presecima tapova

Ovde je: 12 1 2 30,0222 0,0431 0,3246P P P= + + 12 1 2 30,9817 0,7171 0,1911N P P P= + +

13 1 2 30,0222 0,0431 0,6754P P P= + 13 1 2 31,2216 0,0154 0,0497N P P P= + +

31 1 2 30,0344 0,0562 0,3324P P P= +

Sada se pomeranja u pravcima koordinata mogu dobiti primenom principa virtualnih sila, delovanjemodgovarajueg generalisanog virtualnog optereenja, na osnovnom sistemu datog nosaa

( )

( )

( )

1 11 1 2 3

2 22 1 2 3

3 33 1 2 3

10,0785 0,0574 0,0153

10,0574 0,1642 0,0164

10,0153 0,0164 0,4287

P P

P P

P P

M M N Nds ds P P P

EI EF EI

M M N Nds ds P P P

EI EF EI

M M N Nds ds P P P

EI EF EI

= + =

= + = + +

= + = + +

Ako za jednu od sila P uzmemo da je jednaka 1 dok su ostale jednake 0, dobijamo koeficijentematrice fleksibilnosti

1 2 3 1 11 2 21 3 31

0,0785 0,0574 0,01531, 0, 0 , ,P P P f f f

EI EI EI = = = = = = = = =

1 2 3 1 12 2 22 3 32

0,0574 0,1642 0,01640, 1, 0 , ,P P P f f f

EI EI EI = = = = = = = = =

1 2 3 1 13 2 23 3 33

0,0153 0,0164 0,42870, 0, 1 , ,P P P f f f

EI EI EI = = = = = = = = =

odnosno, matricu fleksibilnosti0,0785 0,0574 0,0153

10,0574 0,1642 0,0164

0,0153 0, 0164 0,4287EI

=

F

Koeficijente matrice krutosti dobijamo kao sile koje izazivaju jedinino pomeranje u pravcu jedne odkoordinata, dok su ostala dva pomeranja jednaka nuli, odnosno

1 2 3 1 11 2 21 3 311, 0, 0 17,1586 , 5,9555 , 0,384P K EI P K EI P K EI = = = = = = = = =

1 2 3 1 12 2 22 3 320, 1, 0 5,9555 , 8,1795 , 0,1005P K EI P K EI P K EI = = = = = = = = =

1 2 3 1 13 2 23 3 330, 0, 1 0,384 , 0,1005 , 2,35P K EI P K EI P K EI = = = = = = = = =


15/52

10

Matrica krutosti datog nosaa sada je17,1586 5,9555 0, 3840

5,9555 8,1795 0,1005

0,3840 0,1005 2,3500

EI

=

K

Mnoenjem dobijenih matrica dobijamo

17,1586 5,9555 0,3840 0,0785 0,0574 0,0153 1 0 01

5,9555 8,1795 0,1005 0,0574 0,1642 0,0164 0 1 0

0,3840 0,1005 2,3500 0,0153 0,0164 0,4287 0 0 1

EIEI

= =

K F I

Dobijena matrica krutosti identina je matrici krutosti iz primera u poglavlju 5.5.5.

1.4.2. Uslovi pri kojima matrice fleksibilnosti i krutosti ne postoje

U prethodnomprimeru 2pokazano je da su matrice K i F inverzne, to nije uvek mogue. Matricefleksibilnosti i krutosti postoje u svim sluajevima kada su sile odnosno pomeranja u pravcu koordinata

nezavisni. Zavisnost izmeu ovih veliina iskljuuje postojanje matrica F i K .a) Uslovi pri kojima matrica fleksibilnosti F ne postoji

Posmatrajmo gredu sa est koordinata, prikazanu na slici 1.6.

Slika 1.6

Za odreivanje prvog stuba matrice fleksibilnosti, po koordinati 1 treba postaviti jedininu silu, dok su

sve ostale sile jednake nuli. Meutim ovo nije mogue, obzirom da e se, pri ovakvim uslovima, gredakretati kao kruto telo. Isto se javlja i pri proraunu ostalih stubova matrice F . Nepokretnost grede se moeobezbediti uvoenjem zavisnosti izmeu sila u obliku

1 4

2 5

5 3 6 2 3 6

0

0

0 0

P P

P P

P l P P P l P P

+ =

+ =

+ + = =ili

to ujedno znai i nepostojanje matrice F , (na primer, za 1 0P = nije mogue da sve ostale sile budu

jednake nuli, jer je iz prve jednaine 1 4P P= ).

Zavisnost izmeu sila ne spreava postojanje matrice krutosti K . Meutim, kod ove matrice postojilinearna zavisnost izmeu stubova i redova, to iskljuuje njenu inverziju. Za postojanje matrice fleksi-bilnosti, odnosno otklanjanje linearne zavisnosti redova i stubova matrice K, potrebno je eliminisatinajmanje tri stepena slobode i tap preobraziti u stabilan nepokretan sistem.

b) Uslovi pri kojima matrica krutosti Kne postoji

Posmatrajmo nosa na slici 1.7. sa riglom beskonano krutom uaksijalnom pravcu, to znai da su pomeranja u pravcu koordinata 1 i3 ista. Matrica krutosti ne moe da se srauna, obzirom da ne moeda se zada pomeranje 1 1u = a da su pomeranja 2 3 4 0u u u= = = .Odavde se moe zakljuiti da matrica krutosti ne postoji kada supomeranja u pravcima koordinata meusobno zavisna.

Zavisnost izmeu pomeranja ne spreava postojanje matricefleksibilnosti, kod koje jednakost pomeranja 1u i 3u uzrokuje iden-tinost prvog i treeg reda i stuba.

Slika1.7.


16/52

11

2. MATRINA ANALIZA TAPA

U matrinoj analizi konstrukcija tap predstavlja osnovni element. U analizi linijskih sistema primenjujese najjednostavniji model tapa prav prizmatian tap sa vorovima na njegovim krajevima. Za analizusloenijih sistema uvode se sloeniji modeli tapa sa veim brojem stepeni slobode i sa unutranjimvorovima. Za analizu krivih tapova esto se primenjuju i krivolinijski elementi.

U sledeim izlaganjima izvedene su matrice krutosti za prav prizmatini tap izloen aksijalnom napre-zanju, savijanju i torziji, direktnim postupkom i preko bazne matrice krutosti.

2.1. OSNOVNE STATIKE I KINEMATIKE VELIINE

Na slici 1.8. prikazan je u prostoru prav prizmatian tap ik, proizvoljnog poprenog preseka, duinel. Za tap je vezan lokalni pravougli koordinatni sistem, sa koordinatnim poetkom u voru i , na levom

kraju tapa, tako da se osa x poklapa sa podunom osom tapa, a ose y i zsa pravcima glavnih osainercije poprenog preseka tapa. Na slici 2.1 data je i konvencija o pozitivnim znacima pomeranja, obrtanja isila u presecima i i k .

Slika 2.1. Generalisane sile i generalisana pomeranja u vorovima tapa

Parametri pomeranja u vorovima i i k tapa ik, pomeranja u pravcu koordinatnih osa u , v i w , iobrtanja oko osa

x , i

z , jesu komponente vektora

{ }

{ }

,

,

Ti i i i xi yi zi

Tk k k k xk yk zk

u v w

u v w

=

=

q

q (2.1)

a parametri pomeranja tapa komponente vektora

{ } { }1 2T T Ti k nq q q= =q q q L (2.2)gde je n ukupan broj stepeni slobode tapa (12 za tap u prostoru).

Generalisane sile u vorovima i i k tapa ik, sile N , yT , zT i momenti x , y , z , jesu

komponente vektora

{ }

{ }

,

,

Ti i yi zi xi yi zi

Tk k yk zk xk yk zk

N T T M M M

N T T M M M

=

=

R

R (2.3)

a generalisane sile tapa komponente vektora

{ } { }1 2T T T

i k n

R R R= =R R R L (2.4)


17/52

12

2.2. MATRICA KRUTOSTI TAPA

Veza izmeu vektora generalisanih sila Ri vektora generalisanih pomeranja q , izraz (1.9), je oblika=R kq (2.5)

odnosno

11 12 1 1 11

21 22 2 2 22

1 2

1 2

j n

j n

ji i i ij jn

n nn n nj nn

k k k k qRk k k k qR

qR k k k k

R qk k k k

=

L LL L

MM M M M M

L L

M MM M M M

L L

(2.6)

Matrica krutosti tapa kje simetrina kvadratna matrica reda n , gde je n broj stepeni slobode tapa.

Ako pretpostavimo da su sve komponente vektora q jednake nuli dok je komponenta 1jq = , tada se

iz (2.6) dobija

{ } { }1 2 1 2TT

i n j j ij njR R R R k k k k=L L L L (2.7)

Odavde sledi da je koeficijent ijk matrice krutosti k jednak generalisanoj sili iR , nastaloj usled

generalisanog pomeranja 1jq = , pri emu su na tapu spreeni svi ostali stepeni slobode. Proraunom

reakcija u pravcu svih stepena slobode , 1,2,...,iR i n= dobijamo -tu kolonu matrice krutosti. Ovaj je

postupak treba ponoviti za sva generalisana pomeranja jq , 1,2,...,j n= . Ovakav nain odreivanja

koeficijenata matrice krutosti zove se direktan postupakili direktna metoda.

2.3. VEKTOR EKVIVALENTNOG OPTEREENJA

U poglavlju 1.2 smo videli da se uticaji du pojedinih tapova mogu zameniti koncentrisanimoptereenjem u vorovima, odnosno na krajevima pojedinih tapova. Takvo zamenjujue optereenjenazivamo ekvivalentno optereenje. Na slici 2.2 prikazan je tap izloen uticajima podeljenog optereenjedu ose, koncentrisanim silama, momentima i promeni temperature, kao i ekvivalentno optereenje sasvojim pozitivnim smerovima.

Slika 2.2.

Komponente ekvivalentnog optereenja u vorovima i i k , kao komponente vektora

{ }

{ }

,

,

Ti i yi zi xi yi zi

Tk k yk zk xk yk zk

N T T M M M

N T T M M M

=

=

Q

Q (2.8)

a za tap ik, vektor ekvivalentnog optereenja glasi

{ } { }1 2T T Ti k nQ Q Q= =Q Q Q L (2.9)

Ekvivalentno optereenje tapa odgovara negativnim vrednostima reakcija oslonaca potpuno ukljete-nog tapa na oba kraja. Iz ovog znaenja sledi i nain za neposredno odreivanje vektora ekvivalentnogoptereenja direktnom metodom.


18/52

13

3. DIREKTAN POSTUPAK ODREIVANJA MATRICAKRUTOSTI

Elementi matrice krutosti mogu da se odrede na vie naina: direktnim postupkom, preko baznematrice krutosti, varijacionim postupkom, primenom principa virtuelnog pomeranja, metodom elastinogteita. U narednim izlaganjima bie prikazan direktan postupak izvoenja elemenata matrice krutosti, zastanje aksijalnog naprezanja, savijanje poprenim silama i troziju, za tapove ukljetane na oba kraja (k-tapovi) i tapove na jednom kraju ukljetenje a na drugom zglobno oslonjene (g-tapovi).

3.1. AKSIJALNO NAPREZANJE

Na slici 3.1 prikazan je aksijalno napregnut tap, izloen uticaju podeljenog optereenja xp du tapa,

koncentrisanoj silix

P paralelnoj osi tapa i ravnomernom zagrevanju ot .

Slika 3.1. Generalisana pomeranja i generalisane sile na krajevimaaksijalno napregnutog tapa, u pravcima stepena slobode 1 i 2

Vektor generalisanih sila R, matrica krutosti ki vektor generalisanih pomeranja q , glase

1

2

i

k

NR

R N

= =

R , 11 12

21 22

k k

k k

=

k , 1

2

i

k

uq

q u

= =

q (3.1)

Komponente matrice krutosti k dobiemo kao reakcije na krajevima tapa u pravcu ose , kojeizazivaju jedinina pomeranja krajeva. Sila potrebna da se kraj i tapa pomeri za

11

iq u= = moe se

dobiti polazei od izraza za promenu duine tapa:

1iSl

l uEF

= = = 11EF

S kl

= =

Iz uslova ravnotee u pravcu tapa 21 EFkl

=

Na slian nain, sila potrebna da se kraj k tapa pomeri za2

1k

q u= = bie jednaka:

12

EFk

l= , i 22

EFk

l=

Sada je matrica krutosti aksijalno napregnutog tapa

1 1

1 1

EF

l

=

k . (3.2)

Komponente vektora ekvivalentnog optereenja jednake su negativnim vrednostima reakcija tapa,kome su spreena aksijalna pomeranja njegovih krajeva.


19/52

14

Usled uticaja optereenja odnosno ravnomerne promene temperature vektor ekvivalentnog optere-enja izgleda ovako

1

2 ,

i

k o t

NQ

NQ

= = Q o (3.3)

- Za ravnomerno podeljeno optereenje du ose tapa:

2

oi k

lN N= =

1

12

op l =

Q (3.4)

- Za linearno promenljivo optereenje:

6

oi

p lN = , 2

6

ok

p lN =

1

26

op l =

Q (3.5)

- Za koncentrisanu silu paralelnu tapu u taki m :

1 mi mN P

l

=

, m

k mN P

l=

mm

m

l xP

xl

=

Q (3.6)

- Za ravnomernu promenu temperatureo

t konstantnu du ose tapa:i tN t EF=

o , k tN t EF= o

1

1tt EF

=

Q

o (3.7)

3.2. SAVIJANJE U RAVNI

Na slici 3.2. prikazan je prav prizmatian tap u ravni, duine l, sa modulom elastinosti E i momen-tom inercije poprenog preseka

zI I= .

Slika 3.2-) Generalisana pomeranja i generalisane sile

Slika 3.2-b) Stepeni slobode (koordinate) tapa izloenog savijanju

Za tap izloen savijanju, sa 4 stepena slobode, vektor generalisanih sila R, matrica krutosti k ivektor generalisanih pomeranja q glase


20/52

15

1

2

3

4

i

i

k

k

TR

MR

TR

MR

= =

R ,

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

k k k k

k k k k

k k k k

k k k k

=

k ,

1

2

3

4

i

i

k

k

vq

q

vq

q

= =

q (3.8)

Koeficijente matrice krutosti moemo odrediti kao reakcije obostrano ukljetenog tapa usled jedini-nog pomeranja i obrtanja njegovih krajeva. Iz primera 2 sa strane 6, imamo

21 2

6EIk

l= ,

11 3

12EIk

l= , odakle je

31 31 3

12EIk k

l= = , 41 11 21 2

6EIk k l k

l= =

22

4EIk

l= ,

12 2

6EIk

l= , odakle je

32 12 26EIk kl

= = , 42 12 22 2EIk k l k l

= =

33 3

12EIk

l= ,

43 2

6EIk

l= , odakle je

13 33 3

12EIk k

l= = , 23 33 43 2

6EIk k l k

l= =

34 442

6 4,

EI EIk k

ll= = , odakle je

14 34 2

6EIk k

l= = , 24 34 44

2EIk k l k

l= =

Slika 3.3. Znaenje elemenata matrice krutosti

Sada matrica krutosti tapa izloenog savijanju glasi

2 2

3

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

l l

l l l l EI

l ll

l l l l

=

k (3.9)

- Vektor ekvivalentnog optereenja

Za ravan prav obostrano ukljeten tap, izloen uticaju podeljenog optereenja ( )p x upravno na

podunu osu i nejednakoj promeni temperature gornje i donje strane tapao u

t t t = o (slika 3.4), vektorekvivalentnog optereenja glasi

{ } {1 2 3 4T

i i k k Q Q Q Q T M T M = = Q (3.10)

Slika 3.4.


21/52

16

- Jednakopodeljeno optereenje po celoj duini tapa

Primenom metode sila mogu se odrediti reakcije oslonaca i ukljetenja na krajevima tapa. Na tajnain, reenjem sistema uslovnih jednaina,

31

3

2

3 6 240

6 3 24

o

o

Xl EI l EI p l

Xl EI l EI p l

+ =

dobijamo

2

o

i k

p lT T= = ,

2

12

o

i k

p lM M= =

1

2

3

4

1

6

12

6

i

iT o

k

k

TQ

MQ lp l

TQ

MQ l

= = =

Q

- Nejednaka promena temperature gornje donje strane tapao u

t t t = o o o

Proraunom slobodnih lanova od uticaja nejednakog zagrevanjai t t i

s

tM dx

h

=

o

,

1 22

tt t

t l

h

= =

o

dobijamo reakcijei k t

tM M EI

h

= =

o

a zatim 0i k

T T= = .

Vektor ekvivalentnog optereenja sada je

1

2

3

4

0

1

0

1

i

iT

t

k

k

TQ

MQ t

EITQ h

MQ

= = =

Q

o

3.3. ISTOVREMENI UTICAJ AKSIJALNOG NAPREZANJA ISAVIJANJA U RAVNI

Na slici 3.5 prikazan je prav prizmatian tap iku ravni xy , proizvoljnog poprenog preseka, duinel, izloen uticaju optereenja sa komponentama u pravcu podune ose i upravno na tap, ravnomernoj ineravnomernoj promeni temperature gornje i donje strane tapa.

Primenom principa superpozicije moemo kombinovati uticaje koji izazivaju aksijalnu deformacijutapa i uticaje koji izazivaju savijanje tapa. To nam dozvoljava i da kombinujemo matrice krutosti i brojstepeni slobode tapa izloenog aksijalnom naprezanju i savijanju, izrazi (3.2) i (3.9).

Slika 3.5.


22/52

17

Matrica krutosti tapa, saglasno stepenima slobode (slika 3.5), glasi

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

0 0 0 0

0 12 6 0 12 6

0 6 4 0 6 2

0 0 0 00 12 6 0 12 6

0 6 2 0 6 4

EF l EF l

EI l EI l EI l EI l

EI l EI l EI l EI l

EF l EF lEI l EI l EI l EI l

EI l EI l EI l EI l

=

k (3.11)

Superponiranjem vektora ekvivalentnog optereenja dobijamo

} { }1 2 3 4 5 6 ,T

i i i k k k o tQ Q Q Q Q Q N T M N T M = = Q (3.12)

3.4. TORZIJA

Na slici 3.6 prikazan je tap izloen torziji. Parametri pomeranja su uglovi obrtanja krajeva tapa okopodune ose ,xi xk , tako da element ima dva stepena slobode (slika 3.6).

Slika 3.6

Matrica krutosti tapa je drugog reda, a

njeni se lanovi mogu dobiti kao momentitorzije na krajevima tapa xi i xk , usled

jedininih obrtanja krajeva tapa, slika 3.7.

Veza izmeu obrtanja tapa i momentatorzije glasi

=x xGJ

Ml

gde je: G - moduo klizanja,J - torzioni moment inercije

poprenog preseka.

Slika 3.7 Sada je matrica krutosti tapa

1 1

1 1t

GJ

l

=

k (3.13)

Komponente vektora ekvivalentnog optereenja mogu se sraunati na isti nain kao i kod aksijalnogoptereenja

Slika 2.18


23/52

18

4. ODREIVANJE MATRICE KRUTOSTI TAPOVAPREKO BAZNE MATRICE KRUTOSTI

U odeljku 1.4.2-b reeno je da kod matrice krutosti postoji linearna zavisnost izmeu stubova i redova,to je posledica injenice da su u vektor generalisanih pomeranja pored pomeranja usled deformacijeukljuena i pomeranja tapa kao krutog tela. Zbog nemogunosti inverzije matrice krutosti iz nje se nemoe dobiti matrica fleksibilnosti. Za postojanje matrice fleksibilnosti, odnosno otklanjanje linearne zavi-snosti redova i stubova matrice K, potrebno je eliminisati najmanje tri stepena slobode i tap preobrazitiu stabilan nepokretan sistem. U sluaju ravnog tapa, broj uslova ravnotee je tri tako da od est genera-lisanih sila postoje samo tri koje su meusobno nezavisne.

4.1. OSNOVNA (BAZNA) MATRICA KRUTOSTI

Na slici 4.1 prikazan je ravan obostrano ukljeten tap, sa tri statiki nezavisne sile - aksijalna sila ikS imomente na krajevimaik

iki

.

Slika 4.1

Ovim silama odgovaraju promena duine tapa l (slika 4.1-a),

ik ik ik l S =

Slika 4.1- a)

i deformacioni uglovi na krajevima tapaik

iki

(slika 4.1-b).

ik ik i ik k M =

ki ki i ki k M M = +

Slika 4.1- b)

Veza izmeu deformacijskih i statiki nezavisnih veliina tapa data je u matrinom obiku

0 0

0

0

ik ik ik

ik ik ik i

ki ki ki k

l S

M

=

, (4.1)

odnosno u skraenoj formi = f S (4.2)

Ovde je matrica fleksibilnosti f regularna, pa se njenom inverzijom moe dobiti veza izmeu statikinezavisnih i deformacijskih veliina tapa

10

= =S f k (4.3)

gde je0

k osnovnaili bazna matrica krutosti tapa. Inverzijom matrice f dobijamo


24/52

19

1

0

0 0 1 0 01

0 0

0 0

ik

ik ki ik ki ik ki

ik

ik ik ik ik ik ki

a b

b a

= = =

f k , (4.4)

odakle za 2ik ki ik

= , kiik

a =

, ik

kia

=

, ik ki

ik kib b

= = =

,

Za tap konstantnog poprenog preseka imamo2 2

3

i kik ki

M M lds ds

EI EI EI = = = = ,

6

i kik ki

M M lds

EI EI = = = ,

ik

l

EF = .

Odavde je sada2

2

23 3 6 6 12( )ik ki ik

l l l l l

EI EI EI EI EI = = =

2

2

12( ) 4

3

ki ik

ik ki

l EI EI a a

EI l l

= = = =

2

2

12( ) 2

6

ik kiik ki

l EI EI b b

EI l l

= = = = =

(4.5)

Bazna matrica krutosti

0

0 0

0 4 2

0 2 4

EF l

EI l EI l

EI l EI l

=

k (4.6)

4.2. MATRICA KRUTOSTI TAPA TIPA "k"

Za odreivanje matrice krutosti tapa pomou bazne matrice potrebno je da prvo uspostavimo vezuizmeu osnovnih deformacijskih veliina tapa i parametara pomeranja tapa q , kao i vezu izmeuosnovnih statiki nezavisnih veliina tapa s i generalisanih sila R.

Sa slike 4.2 izvodi se veza izmeu osnovnih deformacijskih veliina i parametara pomeranja tapa.

k i

k i

ik i ik i

k iki k ik k

l u uv v

l

v v

l

=

= =

= =

(4.7)

Slika 4.2. Ravan tap pre i posle deformacije


25/52

20

Relacije (4.7) u matrinom obliku izgledaju= c q (4.8)

odnosno

1 0 0 1 0 00 1 1 0 1 0

0 1 0 0 1 1

i

i

ik

i

ik

k

ki

k

k

u

v

ll l

ul l

v

=

(4.9)

Iz vezai ik

N S= ,k ik

N S= i uslova ravnotee tapa na slici 4.1, ( )1

i k i k T T M M

l= = +

dobijamo veze izmeu generalisanih sila i osnovnih statiki nezavisnih veliina

1 0 0

0 1 1

0 1 0

1 0 0

0 1 1

0 0 1

i

i

ik

i

i

k

k

k

k

N

T l l

SMM

NM

T l l

M

=

(4.10)

odnosno, (4.11)

Smenom (4.8) u (4.3) a zatim u (4.11) dobijamo

0

T= R c k c q (4.12)

odnosno =R k q (4.13)

Ovde je 0T=k c k c (4.14)1 0 0

0 1 11 0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 00 0 1 1 0 1 0

1 0 00 0 1 0 0 1 1

0 1 1

0 0 1

ik

ik ki

ik ki

l l

a b l l

b a l l l l

=

k

traena matrica krutosti odnosno,

2 2

2 2

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

1 1

1 1

ik ik

ik ki

ik ik

ik kik ki ik ki

ik ik

ik ik

ik ki k ik ki ki

ki ki

c cc c c c

l ll lc c

l l

c c c c c c

l ll lc c

l l

a b

b a

++

+ +

=

k (4.15)

Za tapove sa konstantnim poprenim presekom matrica krutosti je data izrazom (3.11), odnosno

korienjem izraza za ika , kia , ikb i kib iz prethodnog poglavlja za dobijanje ik ik ik c a b= + iki ki kic a b= + i njihovim uvrtanjem u matricu (4.15).


26/52

21

4.3. MATRICA KRUTOSTI TAPA TIPA "g"

Na slici 2.10 prikazan je tap ukljeten na kraju i i zglavkasto vezan na kraju g , duine l, povrineF i momenta inercije I . tap im 5 stepeni slobode, 3 u kruto i 2 u zglavkasto vezanom voru.

Slika 4.3. Parametri pomeranja i stepeni slobode gtapa

Polazei od izraza (4.3) u razvijenom vidu

1 0 0

0

0

ik ik ik

i ik ki ik

k ik ki ki

S l

M a b

M b a

=

(4.16)

i kako je moment na zglavkasto vezanom kraju 0gM = , zamenom indeksa k indeksom dobijamo

0k g ig ig gi gi

M M b a= = + = iggi iggi

b

a = ,

a potom smenom u (4.16), dobijamo

1 0

0ig ig ig

ig ig i

lS

dM

=

, (4.17)

gde je22 2

1ig gi ig ig gi ig ig ig

gi ig ig ig ig

bd a

a

= = = = =

(4.18)

Odavde zamenom izraza (4.5), dobijamo za tap konstantnog poprenog preseka

1 3

3ig

EId

l EI l = =

i na kraju, 01 0 0

0 0 3ig

gig

EF l

d EI l

= =

k

(4.19)

odnosno, osnovnu ili baznu matricu krutosti za tap tipa g.

Iz izraza (4.19) se vidi da je broj statiki nezavisnih veliina za tap tipa g redukovan sa tri na 2. Nataj nain moemo redukovati izraze (4.7)

g i

g i

ig i ig i

l u u

v v

l

=

= =

odnosno matricu c iz izraza (4.9) ,

1 0 0 1 0

0 1 1 0 1g

l l

=

c (4.20)

Sada se iz izraza (4.14), 0T

g g g g=k c k c

moe dobiti matrica krutosti g tapa


27/52

22

1 0

0 11 0 1 0 0 1 0

0 10 0 1 1 0 1

1 0

0 1

ig

g

ig

l

d l l

l

=

k

odnosno,

2 2

2 2

1 10 0 0

0 0

0 0

1 10 0 0

0 0

ig ig

ig ig ig

ig ig g ig

ig ig

ig ig ig

d d d

l l ld d

dl l

d d dl l l

=

k (4.21)

Za tap sa konstantnim poprenim presekom, matrica krutosti je

3 2 3

2 2

3 2 3

0 0 0

0 3 3 0 3

0 3 3 0 3

0 0 0

0 3 3 0 3

g

EF l EF l

EI l EI l EI l

EI l EI l EI l

EF l EF l

EI l EI l EI l

=

k (4.22)

Za tap izloen samo uticaju savijanja, matrica krutosti za stepene slobode date na slici 4.4 glasi:

Slika 4.4.

2

3

3 3 3

3 3 3

3 3 3

g

lEI

l l ll

l

=

k (4.23)

Za tap tipa g, kao na sledeoj slici,

Slika 4.5. Parametri pomeranja i stepeni slobode gtapa

slino izrazima (4.16) do (4.19), zamenom indeksa i indeksom , moe se dobiti bazna matrica krutosti(za tapove sa promenljivim i konstantnim poprenim presekom)


28/52

23

0

1 0 0

0 0 3gk

gkg

EF l

d EI l

= =

k (4.24)

gde je1 3

gk

gk

EId

l= =

.

Eiminacijom drugog reda i tree kolone u matrici c (jedn. (4.9)), iz izraza (4.14) sada se moe dobiti

1 0

0 11 0 1 0 1 0 0

1 00 0 1 0 1 1

0 1

0 1

ig

g

kg

l

d l ll

=

k

odnosno, za tapove sa promenljivim i konstantnim poprenim presekom

2 23 3 2

3 3 2

2 2

2 2

1 10 0 0

0 0 00 0

0 3 0 3 31 1

0 0 00 0 0

0 3 0 3 3

0 3 0 3 30 0

0 0

gk gk

kg kg kg

g

gk gk

kg kg kg

kg kg

kg

d d dEF l EF l

l l l EI l EI l EI l

EF l EF l

EI l EI l EI ld d d

EI l EI l EI ll l l

d dd

l l

= =

k (4.25)

Za tap izloen samo uticaju savijanja, matrica krutosti za stepene slobode date na slici 4.6 glasi:

Slika 4.6.

2 2

2 2 32

3 3 3

3 3 3

3 3 3

kg kg kg

kg kg kg

g

kg kg

kg

d d d

l l lld d d EIl

l l l l l l ld d

d

l l

= =

k (4.26)

Na slici 4.7 prikazane su komponente vektora ekvivalentnog optereenja

Slika 4.7.


29/52

24

Komponente vektora ekvivalentnog optereenja su jednake negativnim vrednostima reakcija levoukljetenog i desno zglobno oslonjenog tapa, izloenog uticaju aksijalnog i transverzalnog optereenja irazlike temperatura gornje ( ot

o ) i donje ( uto ) strane tapa,

o ut t t = o o o .

Ekvivalentno optereenje 1Q i 4Q usled aksijalnog optereenja i ravnomerne promene temperatureodreujemo kao i za obostrano ukljeten tap.

1

2

3

4

5

i i

i i

i i

g g

g go t

N NQ

T TQ

M MQ

N NQ

T TQ

= o

4.4. MATRICA KRUTOSTI TAPA PROMENLJIVOGPOPRENOG PRESEKA

Matrica krutosti tapa promenljivog poprenog preseka definisana je izrazom (4.15), za tap krutovezan na oba kraja i izrazom (4.21) za tap na jednom kraju kruto vezan a na drugom zglavkasto. Uoptem sluaju pri odreivanju koeficijenata fleksibilnosti , , ,

ik ik ki ik koristimo postupak numerike

integracije integrala oblika

( )( )

i kik

M Mdx x dx

EI x = =

Pri numerikoj integraciji najee se koristimo trapeznim pravilom

( )1 2 3 1( ) 2 2 22

n nx dx

= + + + + + L , (4.27)

ili Simpsonovim pravilom

( )1 2 3 2 1( ) 4 2 2 43

n n nx dx

= + + + + + + L , (4.28)

pri emu broj podeoka n mora biti paran

Primer 1

Za tap promenljivog poprenog preseka, kao prema donjoj slici, sa zanemarenim aksijalnim deforma-cijama, imamo

21 2 3 9

1 13 2 4 16

1 4 9 3 1 1 1 2 1 15

3 16 4 4 16 3 2 16 8

iik ki

Mds

EI EI

EI EI EI

= = = + + +

+ + + + =

1 2 1 31 2 2

6 2 4 4

1 4 3 1 3 1 1 3 92 2

6 4 4 4 4 4 4 8

i kik ki

M Mds

EI EI

EI EI

= = = + +

+ + + + =

Odavde je sada2

2

15 15 9 9 18

8 8 8 8 8( )ik ki ik

EI EI EI EI EI = = =


30/52

25

215 8( ) 5

8 18 6

ki ik ik ki

EIa a EI

EI

= = = =

29 8( ) 1

8 18 2

ik kiik ki

EIb b EI

EI

= = = = =

5 1 46 2 3

ik ki ik ik c c a b EI EI EI = = + = + =

Bazna matrica krutosti, uzevi u obzir (4.4), po priblinoj metodi deformacija sada je

0

5 6 1 2

1 2 5 6EI

=

k

dok je traena matrica krutosti, na osnovu (4.15),

1 24 1 6 1 24 1 6

1 6 5 6 1 6 1 2

1 24 1 6 1 24 1 6

1 6 1 2 1 6 5 6

EI

=

k

Primer 2

Za tap tipa g, promenljivog poprenog preseka, na kome je odnos visina poprenog preseka imamo

21 4 3 9 1 3 9

1 13 2 7 49 3 49

185

147

iig

ig

Mds

EI EI EI

EI

= = + + +

=

1 1470,7946

185ig

ig

d EI EI = = =

Promena duine tapa3

2

2 2

, 2 , 2

12,

12 12

cg ic ic cg

cg cg

cg

cg cg cg

I I I I h h

I hI IF

h F I h

= = =

= = =

2 21 cg cg ig ic cg

cg cg ic

I Fds N ds

EI F F

= +

( )2 2 2

2 21 11 4,0 1 3,0 4 3

12 12 1,9434

cg cg cg cg

ig cg ic

ic ic

h bh h hh h

EI bh EI h EI

= + = + =

Bazna matrica krutosti, uzevi u obzir (4.17), po priblinoj metodi deformacija sada je2

0

1,9434 0

0 0,7946

cghEI

=

k

dok je traena matrica krutosti, na osnovu (4.21),2 2

2 2

1,9434 0 0 1,9434 0

0 0,0162 0,1135 0 0,0162

0 0,1135 0,7946 0 0,1135

1,9434 0 0 1,9434 0

0 0,0162 0,1135 0 0,0162

cg cg

g

cg cg

h h

h h

=

k


31/52

26

5. MATRINA ANALIZA RAVNIH NOSAA.

Polazei od izvedenih relacija izmeu statikih i kinematikih veliina na krajevima k i g tapova, u

ovom poglavlju se izvode analogne relacije za ravan nosa koji se sastoji od dva ili vie tapova. Odmatrica krutosti pojedinih tapova izvodi se matrica krutosti sistema tapova, a od vektora ekvivalentnogoptereenja tapova i optereenja u vorovima, formira se vektor ekvivalentog optereenja sistema. Iztako formiranog sistema jednaina odreuju se nepoznata pomeranja i obrtanja vorova sistema, reakcijaoslonaca i ukljetenja a potom iz prethodno izvedenih relacija, pomeranja i sile na krajevima pojedinihtapova.

5.1. PUNI NOSAI

5.1.1. Matrica transformacije tapa

Matrice krutosti tapa izvedene su u pravouglom tzv. lokalnom koordinatnom sistemu. Lokalnikoordinatnni sistem vezan je za kraj i tapa ik , osa x poklapa se sa osom tapa a ose y i z sa

glavnim centralnim osama inercije. Pojedini tapovi sa svojim lokalnim koordinatnim sistemima, deo susistema tapova nosaa koji je vezan za jedan globalni koordinatni sistem. Zato je potrebno definisatipoloaj svakog tapa u globalnom koordinatnom sistemu. Pozitivan ugao izmeu pozitivnih smerovalokalne x i globalne x ose se meri u pravcu suprotno obrtanju kazalji na satu.

Slika 5.1

Na slici 5.1 date su generalisane sile na krajevima tapa ik u lokalnom i globalnom koordinatnom

sistemu. Sa slike su oigledne veze izmeu generalisanih sila u oba koordinatna sistemacos sin

sin cos

cos sin

sin cos

i i i

i i i

i i

k k k

k k k

i i

N N T

T N T

M M

N N T

T N T

M

= +

= +

=

= +

= +

=

Ove jednaine, uz smenu

sin , coss c = = ,moemo napisati u matrinom obliku


32/52

27

1

1

i i

i i

i i

k k

k k

i i

N Nc s

T Ts c

M M

N c s N

T s c T M M

=

(5.1)

odnosno, krae

= R T R (5.2)

gde je T matrica transformacije tapa.

Na slian nain se generalisane sile u lokalnom koordinatnom sistemu mogu dobiti iz generalisanih silau globalnom kordinatnom sistemu,

cos sin

sin cos

cos sin

sin cos

i i i

i i i

i i

k k k

k k k

i i

N N T

T N T

M M

N N T

T N T

M M

=

= +

= =

= +

=

U matrinom obliku

1

1

i i

i i

i i

k k

k k

i i

N Nc s

T Ts c

M M

N c s N

T s c T M M

=

(5.3)

odnosno T = R T R (5.4)

Ovde je TT transponovana matrica transformacije T . Iz izraza (5.2) i (5.4) sledi da je

1T =T T (5.5)

odnosno da je matrica transformacije ortogonalna.

Vektor generalisanih pomeranja q i vektor ekvivalentnog optereenja Q prevodimo iz lokalnog uglobalni koordinatni sistem i obrnuto, na isti nain kao i vektor generalisanih sila, odnosno

, = = q T q Q T Q (5.6)

,T T = = q T q Q T Q (5.7)

Matrica transformacije za tap tipa g

Za tap koji je na kraju i ukljeten a na kraju gzglobno vezan, matrica transformacije glasi

1g

c s

s c

c s

s c

=

T (5.8)


33/52

28

5.1.2. Transformacija matrice krutosti

Ako u vezi izmeu generalisanih sila i generalisanih pomeranja

= R k q (5.9)

zamenom relacija (5.2) i (5.6) u (5.9), dobijamo

= T R k T q

odakle se, mnoenjem s leva sa TT , dobijaT T = T T R T k T q

odnosno = R k q

gde je T = k T k T (5.10)

matrica krutosti tapa u globalnom koordinatnom sistemu.

5.1.3. JEDNAINE SISTEMA

Proces reavanja problema statike analize nosaa korienjem matrinog postupka, odvija se usledeim koracima:

1. Generisanje matrica krutosti elemenata i vektora ekvivalentnih sila u lokalnom koordinatnomsistemu.

2. Transformacija matrica krutosti svih elemenata u globalni koordinatni sistem (jednaina (5.10)).3. Sastavljanje matrice krutosti sistema u globalnom koordinatnom sistemu iz matrica krutosti

elemenata.4. Formiranje vektora vornih sila sistema u globalnom koordinatnom sistemu.5. Reavanje pomeranja sistema u globalnom koordinatnom sistemu.6. Izvoenje pomeranja krajeva elemenata iz vektora globalnih pomeranja sistema i transformacija

ovih pomeranja u lokalni koordinatni sistema za svaki element.7. Odreivanje sila na krajevima tapova korienje veze sila i pomeranja tapova..Za svaki tap j na koji deluju spoljanji uticaji, veza izmeu generalisanih sila i generalisanih pomera-

nja na krajevima tapa moe da se prikae izrazom

j j j j = R k q Q (5.11)

Ovde su vektor generalisanih sila za tap j ,jR , matrica krutosti

jk , vektor generalisanih pome-

ranjajq i vektor ekvivalentnih vornih sila za zadate uticaje na tapu

jQ , ve prethodno transformisani

u globalni koordinatni sistem.

Ako jednaine (5.11) napiemo za sve tapove sistema 1,2, ,s

j z= L , dobijamo

= R K q Q (5.12)

gde crtica iznad oznaava da se radi o vektoru generalisanih sila R , matrici krutosti K , vektorugeneralisanih pomeranja q i vektoru ekvivalentnog optereenja Q sistema nepovezanih tapova. Kakosu tapovi povezani u vorovima sistema, pomeranja krajeva tapova povezanih u jednom voru sistemajednaka su pomeranjima tog vora. To znai da moraju biti ispunjeni uslovi kompatibilnosti pomeranjakrajeva tapova i vorova sistema. Sledea relacija povezuje pomeranja krajeva tapova u pravcuglobalnih koordinata i pomeranja vorova sistema

= q J q (5.13)

Matrica J pomou koje se definiu uslovi veze tapova u vorovima sistema, naziva se kinematika

matrica ili matrica kompatibilnosti sistema.Iz jednaine (5.13) je jasno da matrica J ima broj redova koji je jednak broju stepeni slobode tapova

sistema, a broj kolona jednak broju stepeni slobode vorova sistema. Za sistem tapova


34/52

29

1 s

T

j z = J J J JL L (5.14)

Poto su i generalisana pomeranja vorova tapova i vorova sistema definisani u istom globalnomkoordinatnom sistemu, elementi matrice, jedinice i nule, oznaavaju poklapanje ili nepoklapanje koordi-nata krajeva tapova i koordinata sistema. Na slici 2.20 dat je primer formiranja kinematike matrice

Slika 5.2 koordinate sistema i koordinate tapova u globalnom koordinatnom sistemu

1 2 3 4 5 6 7 8

1 1

1 2

1 3

11 4

1 5

1 6

1 1

1 2

1 3 2

1 4

1 5

koordinate sistema

tap

tap

=

J

Ako u jednaini (5.12) zamenimo relaciju (5.13), a zatim pomnoimo s leva sa TJ , dobijamo

T T T = J R J K J q J Q

odnosno = R K q Q (5.15)

gde je: T = K J K J - matrica krutosti sistemaT = R J R - vektor generalisanih sila u presecima tapova oko vorova sistema, u

pravcu globalnih koordinataq - vektor pomeranja u pravcu koordinata sistema vektor nepoznatih

T = Q J Q - vektor ekvivalentnog optereenja u vorovima sistema, definisan iz vektoraekvivalentnog optereenja tapova u pravcu globalnih koordinata

Pored uslova kompatibilnosti, u vorovima moraju da budu zadovoljeni i uslovi ravnotee. Pored silaR , koje potiu od tapova, u voru deluju i spoljanje koncentrisane sile i momenti savijanja P .

Komponente ovog vektora su ve zadate u globalnom koordinatnom sistemu, ime se izbegavatransformacija. Uslovi ravnotee u pravcima stepeni slobode svih vorova sistema glase

0 =P R (5.16)

Ako sada u uslovima ravnotee (5.16) zamenimo (5.15), dobijamo

( ) 0 =P K q Q

odakle sledi sistem uslovnih jednainametode deformacija


35/52

30

=K q S (5.17)

gde je: = +S P Q (5.18)

- vektor slobodnih lanova, kao zbir vektora zadatih spoljanjih sila u vorovima sistema i vektora ekviva-lentnog optereenja sistema.

5.1.4. KONTURNI USLOVI

Reavanjem sistema uslovnih jednaina (5.17) nije mogue dobiti nepoznata pomeranja i obrtanjavorova sistema q , poto je matrica krutosti sistema K singularna. Razlog tome je taj to su lanovi

vektora nepoznatih q - pomeranja slobodnog sistema tapova, bez vezivanja za stalne take u prostoru(pomeranja u pravcima koordinata 4, 5, 6, 7 i 8 na primeru sa slike 5.2). Zato je potrebno definisatikonturne uslove, odnosno uslove oslanjanja sistema. Time se ukupan broj stepeni slobode sistema(nepoznatih pomeranja) smanjuje za broj spreenih (ili zadatih) pomeranja i obrtanja oslonaca.

Ako vektor spreenih pomeranja obeleimo saoq a vektor nepoznatih pomeranja sa

sq , tada se

sistem jednaina (5.17) moe dekomponovati na sledei nain

ss so s s

os oo o o

=

K K q S

K K q S (5.19)

odnosno razdvojiti na dva sistema jednaina

ss s so o s

os s oo o o

+ =

+ =

K q K q S

K q K q S (5.20)

Odavde se iz prve jednaine dobija vektor nepoznatih pomeranja

( )1s ss s so o = q K S K q (5.21)

a iz druge jednaine, uz voenje rauna da je

o o o = +S R Q

reakcije oslonaca o os s oo o o = + R K q K q Q (5.22)

U sluaju da su pomeranja u pravcima oslanjanja potpuno spreena, odnosno kada je 0o =q ,

jednaine (5.21) i (5.22) glase1

s ss s

o os s o

=

=

q K S

R K q Q (5.23)

U suaju da su zadata pomeranja oslonaca a nosa nije optereen, tj kada je

0, 0o o s s = = =q Q Q S

nepoznata pomeranja i reakcije oslonaca glase

( )

1

1

s ss so o

o oo os ss so o

=

=

q K K q

R K K K K q (5.24)

Kada su odreena pomeranja u pravcima stepeni slobode sistema, pomeranja krajeva tapa j uglobalnim koordinatama odreujemo iz izraza

j j = q J q (5.25)


36/52

31

i dalje u lokalnim koordinatama tapa iz izraza 2.50a

j j j= q T q (5.26)

Sada moemo odrediti sile na krajevima tapa u lokalnom koordinatnom sistemu. Ako izraz (5.11)pomnoimo sa leve strane matricom transformacije

jT , uz voenje rauna o (5.10), (5.5), (5.6)a, (5.6)b i

(5.2), imamo( )T

j j j j j j j j = T R T T k T q T Q

(5.27)

odnosno j j j j= R k q Q (5.28)

5.1.5. Direktno formiranje jednaina sistema kodni brojevi

Kod konstrukcija sa veim brojem elemenata, to je redovan sluaj u praksi, formiranje matrice krutostisistema od matrica krutosti elemenata preko kinematike matrice, dovodi to tekoa i postaje neracio-

nalno. Red matrice J jednak je [broj koordinata elemenata broj koordinata sistema]a redmatrice

K jednak je ukupnom broju koordinata svih tapova u sistemu. Smetanje ovih matrica i operacije sa njima

( T J K J ) zahtevaju veliko angaovanje resursa raunara. Nain da se izbegne formiranje velikihmatrica i rad sa njima, predstavlja direktno formiranje matrice krutosti sistema iz matrica krutosti eleme-nata u globalnim koordinatama, odnosno postupkom kodnih brojeva.

Matricu krutosti tapa j sa krajevima i k , podelimo na etiri bloka, od kojih svaki obuhvata koordi-

nate jednog kraja tapa

, ,

, ,

ii j ik j

jki j kk j

=

k kk

k k (5.29)

Ideja je da se blok matrice krutosti tapa koji se odnosi na kraj i unese u bok matrice krutosti sistemakoji se odnosi na vor sistema sa istom oznakom i . Ovaj postupak e biti pokazan na primeru nosaa saslike 2.21.

Slika 5.3a koordinate sistema Topologija sistema

Slika 5.3b globalne koordinate elemenata

tappoetakvor i

krajvor k

1 4 1

2 1 2

3 2 3

4 2 5


37/52

32

Slika 5.3c Formiranje matrice krutosti sistema

Na slici 5.3c date su eme matrica krutosti tapova 1, 2, 3 i 4, podeljenih na blokove koji odgovarajuoznakama vorova na poetku i kraju tapa, kao i kvadratna nula matrica krutosti sistema sa blokovimakoji odgovaraju oznakama pojedinih vorova sistema. Matrica krutosti sistema se dobija tako to seblokovi matrica krutosti pojedinih tapova unose u matricu krutosti sistema, na mestima koji imaju isteindekse kao i vorovi tapova. Ako se na istoj poziciji nau blokovi matrica dva ili vie tapova, oni sesabiraju. Na primer blok

22K matrice krutosti sistema dobija se superpozicijom blokova

22,2k tapa 2,

22,3k tapa 3 i 22,4k tapa 4.

Postupak formiranja matrice krutosti sistema preko kodnih brojeva, umesto na blokove, primenjuje se

na elemente matrica krutosti. Potrebno je izvriti obeleavanje (kodiranje) svih redova i kolona matricakrutosti tapova, u skladu sa poklapanjem globalnih koordinata tapova i koordinata sistema. Za datiprimer imamo

11,1 12,1 13,1 14,1 15,1 16,1

21,1 22,1 23,1 24,1 25,1 26,1

31,1 32,1 33,1 34,1 35,1 36,1

41,1 42,1 43,1 44,1 45,1 46,1

51,1 52,1 53,1 54,1 55,1 56,1

61,1 62,1 63

1

k k k k k k

k k k k k k

k k k k k k

k k k k k k

k k k k k k

k k k

=k

,1 64,1 65,1 66,1

9 10 11 1 2 3

9

10

11

1

2

3k k k

,

11,2 12,2 13,2 14,2 15,2 16,2

21,2 22,2 23,2 24,2 25,2 26,2

31,2 32,2 33,2 34,2 35,2 36,2

41,2 42,2 43,2 44,2 45,2 46,2

51,2 52,2 53,2 54,2 55,2 56,2

61,2 62,2 63

2

k k k k k k

k k k k k k

k k k k k k

k k k k k k

k k k k k k

k k k

=k

,2 64,2 65,2 66,2

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6k k k

11,3 12,3 13,3 14,3 15,3

21,3 22,3 23,3 24,3 25,3

31,3 32,3 33,3 34,3 35,3

41,3 42,3 43,3 44,3 45,3

51,3 52,3 53,3 54,3 55,3

3

4 5 6 7 8

4

5

6

7

8

k k k k k

k k k k k

k k k k k

k k k k k

k k k k k

=

k ,

11,4 12,4 13,4 14,4 15,4 16,4

21,4 22,4 23,4 24,4 25,4 26,4

31,4 32,4 33,4 34,4 35,4 36,4

41,4 42,4 43,4 44,4 45,4 46,4

51,4 52,4 53,4 54,4 55,4 56,4

61,4 62,4 63

4

k k k k k k

k k k k k k

k k k k k k

k k k k k k

k k k k k k

k k k

=k

,4 64,4 65,4 66,4

4 5 6 12 13 14

4

5

6

12

13

14k k k

Sada je matrica krutosti sistema


38/52

33

44,1 45,1 46,1

14,2 15,2 16,2 41,1 42,1 43,1

11,2 12,2 13,2

54,1 55,1 56,1

24,2 25,2 26,2 51,1 52,1 53,1

21,2 22,2 23,2

64,1 65,1 66,1

34,2

31,2 32,2 33,2

k k kk k k k k k

k k k

k k kk k k k k k

k k k

k k kk k

k k k

+ + +

+ + +

+ + +

=K

35,2 36,2 61,1 62,1 63,1

33,2 45,2 46,2

41,2 42,2 43,2 11,3 12,3 13,3 14,3 15,3 14,4 15,4 16,4

11,4 12,4 13,4

54,2 55,2 56,2

51,2 52,2 53,2 21,3 22,3

21,4 22,4

k k k k

k k k

k k k k k k k k k k k

k k k

k k k

k k k k k

k k

+ + +

+ + +

+ +

+ +

23,3 24,3 25,3 24,4 25,4 26,4

23,4

64,2 65,2 66,2

61,2 62,2 63,2 31,3 32,3 33,3 34,3 35,3 34,4 35,4 36,4

31,4 32,4 33,4

41,3 42,3 43,3 44,3 45,3

51,3 52,3 53,3

k k k k k k

k

k k k

k k k k k k k k k k k k k k

k k k k k

k k k

+

+

+ + +

+ +

+

54,3 55,3

14,1 15,1 16,1 11,1 12,1 13,1

24,1 25,1 26,1 21,1 16,1 23,1

34,1 35,1 36,1 31,1 32,1 33,1

41,4 42,4 43,4 44,4 45,4 46,4

51,4 52,4 53,4 54,4 55,4 56,4

61,4

k k

k k k k k k

k k k k k k

k k k k k k

k k k k k k

k k k k k k

k k

62,4 63,4 64,4 65,4 66,4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1

2

3

4

5

6

9

10

11

12

13

14

7

8

k k k k

Primer: Pokazaemo prethodno izloeni postupakreavanja nosaa matrinomformulacijom tane metode deformacije.

12 12,I I F F= =

131, 26F F=

50F

I=

- Koordinate sistema i koordinate tapova ulokalnom koordinatnom sistemu:

sin 0

cos 1

s

c

= =

= =

sin 0,8

cos 0,6

s

c

= =

= =


39/52

34

- Matrice transformacije

1

0, 6 0, 8

0, 8 0, 6

1

0, 6 0, 8

0, 8 0, 6

1

=

T , 2

1

1

1

11

=

T

- Matrice krutosti tapova u lokalnim koordinatama:

1 1 1

1 1

1 1

2 2

1 1

1 1

1 12 2

1 1 1 1 11 3

2 211 1

1 1

1 12 2

1 1 1 1

5, 0 , 2 , 1, 26

0 0 0 0

12, 6 0 0 12, 6 0 0

0 12 6 0 12 6 0 0,192 0, 480 0 0,192 0, 480

0 6 4 0 6 2 0 0, 480 1,

0 0 0 0

0 12 6 0 12 6

0 6 2 0 6 4

l m I I F F

F Fl l

I I

l l

EI l l l l EI

F Fl

l lI I

l l

l l l l

= = =

= =

k600 0 0, 48 0, 800

12, 6 0 0 12, 6 0 0

0 0,192 0, 480 0 0,192 0, 480

0 0, 480 0, 80 0 0, 48 1, 600

2 2 2

2 2

2 2

22

2 2 2 23

22 2

2 2

2

4, 0 , ,

0 0 012, 5 0 0 12, 5 0

0 3 3 0 3 0 0, 046875 0,1875 0 0, 046875

0 0,1875 0, 75 0 0,18750 3 3 0 3

12, 5 0 0 12, 5 0

0 0 0 0 0, 046875 0,1875 0 0, 046875

0 3 3 0 3

l m I I F F

F Fl l

I I

lEI

EIl l ll

F F

l lI I

l

= = =

= =

k

Transformacija matrica krutosti sa lokalnih na globalne koordinate:

1 1 1

0, 6 0, 8 12, 6 0 0 12, 6 0 0

0, 8 0, 6 0 0,192 0, 480 0 0,192 0, 480

1 0 0, 480 1, 600 0 0, 48 0, 800

0, 6 0, 8 12, 6 0 0 12, 6 0 0

0, 8 0, 6 0 0,192 0, 480 0 0,192 0, 480

1 0 0, 480 0, 80 0 0, 48 1, 600

EI

= =

k T k

2 2 2

1 12, 5 0 0 12, 5 01 0 0, 046875 0,1875 0 0, 046875

1 0 0,1875 0, 75 0 0,1875

1 12, 5 0 0 12, 5 0

1 0 0, 046875 0,1875 0 0, 046875

EI

= =

k T k

1

4, 6589 5, 9558 0, 384 4, 6589 5, 9558 0, 384

5, 9558 8,1331 0, 288 5, 9558 8,1331 0, 288

0, 384 0, 2880 1, 600 0, 384 0, 2880 0, 800

4, 6589 5, 9558 0, 384 4, 6589 5, 9558 0, 384

5, 9558 8,1331 0, 288 5, 9558 8,1331 0, 288

0, 384 0, 2880

EI

=k

6 7 8 1 2 3

6

7

8

1

2

30, 800 0, 384 0, 2880 1, 600


40/52

35

1 2 3 4 5

2

1

2

3

4

5

12, 5 0 0 12, 5 0

0 0, 046875 0,1875 0 0, 046875

0 0,1875 0, 75 0 0,1875

12, 5 0 0 12, 5 0

0 0, 046875 0,1875 0 0, 046875

EI

=

k

Matrica krutosti sistema:

17,1589 5, 9588 0, 384 12, 5 0 4, 6589 5, 9558 0, 384

5, 9558 8,1800 0,1005 0 0, 0469 5, 9558 8,1331 0, 288

0, 3840 0,1005 2, 3500 0 0,1875 0, 3840 0, 2880 0, 800

12, 5000 0 0 12, 5 0 0 0 0

0 0, 0469 0,1875 0 0, 0469 0 0 0

4, 6589 5, 9558 0,

EI

=K

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

3840 0 0 4, 6589 5, 9558 0, 384 6

5, 9558 8,1331 0, 2880 0 0 5, 9558 8,1331 0, 288 7

0, 3840 0, 2880 0, 8000 0 0 0, 3840 0, 2880 1, 600 8

w

Vektori ekvivalentnog optereenja tapova u lokalnim koordinatama:

1210 kNm= ,

31 13

19,29,6

2N N kN= = =

2

31 13

18 4 10,666712M kNm= = =

( )12 21 122

120 7,5T T M kN

l= = + =

31 13

25,612,8

2T T kN = = =

31

31

311

13

13

3

9, 600

12,800

10,667

9, 600

12,800

10,667

N

T

M

N

TM

= =

Q ,

12

12

2 12

21

21

0

7, 5

10, 0

07, 5

N

T

M

NT

= =

Q

5.2. ORTOGONALNI NOSAI

Ortogonalni nosai, odnosno nosai kod kojih su tapovi paralelni glonalnim osama, se esto javljajukao konstrukcijski sistemi zgrada. Kod ovih nosaa su uticaji aksijalnih sila na deformacije zanemarljivi. Toznai da tapove smatramo izloenim samo savijanju poprenim silama, odnosno, uticaje u nosau rau-namo po priblinoj metodi deformacija. tapovi tada imaju samo po etiri stepeni slobode, to znatnopojednostavljuje proraun.

Ukidanjem prvog i etvrtog stepena slobode - stepena slobode u aksijalnom pravcu, odnosno ukla-njanjem prvog i etvrtog reda i prve i etvrte kolone matrice krutosti (4.15) dobijamo matricu krutosti za kelement sa etiri stepeni slobode,


41/52

36

( )

( )

2 2

2 2

ik kiik ki ik ki

ik ik ik ik

ik ki ik ki kiki

ki ik ki

ki

c cc c c c

l l l l

c ca b

l l

c c c c cb

l l l

c c ca

l l l

+ +

=

+ +

k (5.30)

Na slian nain se iz matrice krutosti za g tap sa pet stepeni slobode, uklanjanjem prvog i etvrtogreda odnosno kolone, moe dobiti matrica krutosti za tap sa tri stepena slobode,

2 2

2 2

ig ig ig

ig ig

g ig

ig ig ig

d d d

l l ld d

dl l

d d dl l l

=

k (5.31)

Za k tap sa konstantnim poprenim presekom ( EI=const ), matrica krutosti glasi

2 2

3

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

l l

EI l l l l

l ll

l l l l

=

k (5.32)

dok je za tap tipag,

2

3

3 3 3

3 3 33 3 3

g

lEI

l l ll l

= k (5.33)

Pogodnim izborom lokalnih koordinatnih sistema moe se dodatno pojednostaviti proraun, time to seizbegava transformacija sa lokalnih na globalne koordinate i obratno. Lokalne koordinatne ose trebapostaviti tako da se njihova orijentacija poklapa sa orijentacijom globalnih osa; kod greda x-osa treba da jeorijentisana s leva udesno a kod stubova odozgo na dole (vidi sliku 5.4).

Slika 5.4 Lokalni koordinatni sistemi ortogonalnog okvira

Primer: Za zadati nosa, izloen uticaju optereenja kao prema slici, odrediti pomeranja i obrtanjavorova, reakcije oslonaca i ukljetenja, sile u tapovima i nacrtati dijagrame presenih sila.


42/52

37

Lokalni koordinatni sistemiprikazani su na slici 5.4.

Koordinate sistema: 1-3 nepoznata generalisana pomeranja,

4-10 poznata pomeranja oslonaca.

Lokalne koordinate tapova:

Matrice krutosti tapova:

- tap 1, 14I I= , 14 0,8l l= 1 2 4 6

2 2

2 2

1 3

1

2

4

6

23, 4375 9,375 23, 4375 9,375

9,375 5 9,375 2,5

23, 4375 9,375 23, 4375 9,375

9,375 2,5 9,375 5

l l

l l l l

l l

l l l l

EI

l

=

k

- tap 2, 12 2I I= , 12 1,2l l=

5 2 8 3

2 2

2 2

2 3

5

2

8

3

13,888889 8, 333333 13, 888889 8, 333333

8,333333 6, 666667 8,333333 3,333333

13, 888889 8, 333333 13, 888889 8, 333333

8,333333 3,333333 8,333333 6, 666667

l l

l l l l

l l

l l l l

EI

l

=

k


43/52

38

- tap 3, 23 2I I= , 23l l= 8 3 10

2

3 3

8

3

10

6 6 6

6 6 6

6 6 6

l

l l l

l

EI

l

=

k

- tap 4, 25I I= , 25 0,8l l= 1 3 7 9

2 2

2 2

4 3

1

3

7

9

23, 4375 9,375 23, 4375 9,375

9,375 5 9,375 2,5

23, 4375 9,375 23, 4375 9,375

9,375 2,5 9,375 5

l l

l l l l

l l

l l l l

EI

l

=

k

Matrica krutosti sistema:

1 2 3 4 5 6

2 2 2

2 2

23

46,875 9, 375 9, 375 23, 4375 0 9,375

9, 375 11, 666667 3, 333333 9,375 8,333333 2, 5

9, 375 3, 333333 17, 666667 0 8,333333 0

23, 4375 9, 375 0 23, 4375 0 9,375

0 8, 333333 8, 333333 0 13,888889 0

9, 375 2,5 0

l l l

l l l l l l

l l l l

l l

l l

l l

EIK

l

=2

2

9,375 0 5

23, 4375 0 9, 375 0 0 0

0 8, 333333 2, 333333 0 13,888889 0

9, 375 0 2, 5 0 0 0

0 0 6 0 0 0

l l

l

l l

l l

l

7 8 9 10

2

2

123, 4375 0 9,375 0

20 8, 333333 0 0

39,375 2, 333333 2, 5 6

40 0 0 0

50 13,888889 0 0

60 0 0 0

723, 4375 0 9,375 0

80 19, 888889 0 6

99,375 0 5 0

100 6 0 6

ss so

os oo

l

l

l l l l

l

l l

=

K KK K

2 2

2 2

31

0,027279 0,018798 0,010929

0,018798 0,103552 0,0095630,010929 0,009563 0,064208

ss

l l

l l ll l l

l

K EI

=


44/52

39

Vektori ekvivalentnih sila na tapovima:

2

5

2

8

3

0,6

0,12

0,6

0,12

l

l

P

=

Q , 3

8

3

10

0,625

0,125

0,375

lP

=

Q

Vektor sila u vorovima sistema:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

{ }1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T

P =P

Vektor slobodnih lanova:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

{ }1 0,12 0,005 0 0,6 0 0 1, 225 0 0,375l lP = + =S P Q

Reenja sistema uslovnih jednaina pomeranja i obrtanja vorova:

Iz jednaine (5.23)-a imamo

2 2

2 2

1 31

2

3

0, 027279 0, 018798 0, 010929

0, 018798 0,103552 0, 0095630, 010929 0, 009563 0, 064208

1

0,120,005

s ss s

l l

l l ll l l

ll

ql

q PEIq

= = = q K S

1 3

2

3

1

2

3

0,029589

0,031176

0,010102

s l

l

qPl

qEI

q

= =

q

[ ]

[ ]

[ ]

m

rad

rad

Iz jednaine (5.23)-b imamo reakcije oslonaca,

o os s o = R K q Q

2

2

4

4

4 3

5

5

5

3

23, 4375 9,375 0 0

0 8,3333 8,3333

0,0295899,375 2,5 0

0,03117623, 4375 0 9,375

0,0101020 8,3333 2,3333

9,375 0 2,5

0 0 6

l

l l

l l

ll

ll l

l l

l

H

V

MPl

H PEI

V

M

V

=

4

5

6

7

8

9

10

0,401217

0,5 0, 256011

0 0,199457

0 0,598783

1,125 1,508374

0 0, 252141

0,375 0, 435615

l

l

P

=


45/52

40

Sile u tapovima (jedn. (5.28)) j j j j= R k q Q , 1, 2, 3, 4j =

2 2 3

3

2 2

1 1 1 1 1

14

14

41

41

1

2

4

23, 4375 9,375 23, 4375 9,375 0, 029589

9,375 5 9,375 2,5 0, 031176

23, 4375 9,375 23, 4375 9,375 0

9,375 2,5 9,375 5 0

, 0

l l

l l l l l EI Pl

l ll EI

l l l l

T

M

T

M

= =

=

R k q Q Q

6

0,401

0,121

0,401

0,199

l

P

l

=

2 2 3

3

2 2

2 2 2 2

12

12

21

21

5

2

013,88 8,33 13,88 8,33

0,03128,33 6, 66 8,33 3,33

013,88 8,33 13,88 8,33

0,01018,33 3,33 8,33 6,66

l l

ll l l l EI Pl

l EIl l

ll l l l

T

M

T

M

=

=

R k q Q

& & & &

& & & &

& & & &

& & & &

8

3

0,6 0, 256

0,12 0,122

0,6 0,944

0,12 0, 291

l lP P

l l

=

3

2

3

3 3 3 3

23

23

32

8

3

10

0,625

0,125

0,375

6 6 6 0 0,564

6 6 6 0,010102 0,064

6 6 6 0 0, 436

l

lEI Pl

l l l l P P l l EI

l

T

M

T

=

=

=

R k q Q

2 2 3

3

2 2

4 4 4 4 4

25

25

52

52

1

3

7

23, 4375 9,375 23, 4375 9,375 0,029589

9,375 5 9,375 2,5 0,010102

23, 4375 9,375 23, 4375 9,375 0

9,375 2,5 9,375 5 0

, 0

l l

l l l l l EI Pl

l ll EI

l l l l

T

M

T

M

= =

=

R k q Q Q

9

0,599

0,227

0,599

0,252

lP

l

=

Reakcije oslonaca i pomeranja i obrtanja vorova:

Dijagram momenata savijanja Mz:


46/52

41

5.3. KONTINUALNI NOSAI

Kontinualne nosae moemo posmatrati kao specijalni sluaj ortogonalnih nosaa, ako pokretnaleita zamenimo vertikalnim tapovima (osloncima). Poto nema aksijalnih sila tap kontinualnog nosaaima etiri stepena slobode, po dva na svakom kraju.

Slika 5.5 Kontinualni nosa sa globalnim i lokalnim koordinatnim sistemima

Matrica krutosti pojedinog tapa, za suaj promenljivog poprenog preseka data je izrazom (5.30). Zasluaj konstantnog poprenog preseka, za tap i matrica krutosti je

2 2

3

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2, 1,2, ,

12 6 12 6

6 2 6 4

i i

ii i i ii i i

i i i

i i i i

l l

EIl l l l k i n k

l l l

l l l l

= = =

k L (5.34)

Matrica krutosti kontinualnog nosaa je2 2

1 1 1 12 2 2 2

1 1 1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

2 2 2

2 2 1 1 1 12 2

2 2 1 1

4 2

2 4( ) 2

2 4( ) 2

4( ) 2

2 4

i i i i i i i i

n n n n n n

n n n n

l k l k

l k l k l k l k

l k l k l k l k

l k l k l k

l k l k

+ = +

+

K (5.35)

Primer:


47/52

42

5.4. REETKASTI NOSAI

Svi tapovi reetkastog nosaa na krajevima imaju zglobove i mogu prenositi samo aksijalna napre-zanja. S toga ovi elementi imaju samo dva stepena slobode, odnosno dve koordinate.

Matrica krutosti aksijalno napregnutog tapa data je izrazom (3.2). U analizi ravnog reetkastog siste-

ma, u svakom voru, odnosno na svakom kraju tapa, neophodno je uvesti po dva nezavisna pomeranja.Na sledeoj slici prikazan je tap reetkastog nosaa sa generalisnaim pomeranjima i silama u lokalnom iglobalnom koordinatnom sistemu.

Slika 5.6 Sile i pomeranja na krajevima tapa, a) u lokalnom sistemub) u globalnom sistemu, c) transformacija iz jednog u drugi

Sa slike 5.6-c moemo izvesti sledee relacije

1 1 2

2 3 4

cos sin

cos sin

q q q

q q q

= +

= + ,

1 1

2 1

3 2

4 2

cos

sin

cos

sin

R R

R R

R R

R R

=

=

=

=

(5.36)

U matrinom obliku imamo

1

21

32

4

0 0,

0 0

q

qq c s

qq c s

q

= =

q Tq)

, (5.37)

1

12

23

0

0,

0

0

T

R c

RR s

c RR

sR

= =

R T R)

, (5.38)

Ovde je T)

matrica transformacije, a cosc = , sins = . Polazei od izraza (5.10), uzimanjem uobzir (3.1), (3.2), (3.3) i (5.37) za matricu krutosti i vektor ekvivalentnog optereenja ravnog reetkastogtapa u globalnom koordinatnom sistemu dobija se

0

0 1 1 0 0

0 1 1 0 0

0

T

c

EFs c s

c c sls

= =

k T k T) )

,

2 2

2 2

2 2

2 2

e e

e e

c cs c cs

EF cs s cs s

c cs c cslcs s cs s

= =

k kk

k k, (5.39)


48/52

43

2

2e

EF c cs

cs sl

=

k , (5.40)

1

1 1

2 2

2

0

0

00

T

cQc

Q sQs

c Q cQs sQ

= = =

Q T Q)

, (5.41)

U vektorima ekvivalentnog optereenja (5.41) mogu se javiti samo uticaji promene temperature uosama tapova.

Po formiranju matrice krutosti elemenata (5.39), dalji postupak formiranja matrice krutosti sistema ivektora sila u vorovima sistema isti kao za pune nosae.

Odreivanjem pomeranja po koordinatama sistema, sile u tapovima se mogu odrediti prema izrazu

, 1,2, ,j j j j sj z= =R k q Q)

L , (5.42)

gde je

j j

EF c s c sc s c sl

= = k k T) ) , (5.43)

Primer.


49/52

44

6. POSEBNI PRORAUNSKI POSTUPCI.KONDENZACIJA. SUBSTRUKTURE

U prethodnim poglavljima bili su razmatrani mnogi osnovni principi tehnike mehanike i pokazanametoda deformacije. Sada emo videti nekoliko tehnika primenjivih kod reavanja problema praktineprimene ovih metoda. Ovi problemi nastaju kod sloenih konstrukcija sa velikim brojem stepeni slobode.Analiza sloenih struktura se moe pojednostaviti ako se one analiziraju u delovima a zatim se rezultatikombinuju, pri emu moraju da zadovolje uslove ravnotee, uslove kompatibilnosti i granine ulove.

Jedan pristup analizi velikih konstrukcija predstavlja njihova gruba idealizacija, kojom se redukuju onistepeni slobode koji imaju manji uticaj na rezultate. Razmotriemo primenu metode kojom se redukujustepeni slobode matrina kondenzacija.

Jedan od naina kojim se mogu jednostavnije reavati pojedine sloene strukture jeste primena prin-cipa simetrije i antimetrije. Simetrine strukture se dele po osi simetrije i optereuju uticajima razloenimna simetrini i antimetrini deo.

6.1. KONDENZACIJA

Izraz kondenzacija odnosi se na redukovanje veliine sistema uslovnih jednaina eliminacijom poje-dinih stepeni slobode. Grupisanje koordinata sistema po nekom parametru karakteristinom za problem,omoguuje redukovanje stepena slobode i dovodi do znaajnog uproavanja analize. Redukciju moemosprovesti na nivou elementa, ime se smanjuje broj i irina trake sistema jednaina i na nivou sistema,kada se smanjuje stepen sistema uslovnih jednaina. Ova tehnika je posebno primenjiva kod problemadinamike konstrukcija, kada se eliminiu stepeni slobode po koordinatama po kojima se mogu zanemaritimase.

Kondenzovane jednaine date su u funkciji preselektovanih stepeni slobodecq koji, zajedno sa

eliminisanim bq ini ukupni set originalnih stepeni slobode, odnosno { } { }b c =q q q . Matematiki,postupak poinje originalnim sistemom jednaina (5.17)

=K q S , (6.1)

koji se moe prikazati i u obliku

bb bc b b

cb cc c c

=

K K q S

K K q S (6.2)

i nakon kondenzacije u obliku

cc c c

=K q S (6.3)

Do jednaine (6.3) emo doi polazei od (6.2). Razlaganjem i reavanjem po { bq } imamo

1 1

b bb b bb bc c

= q K S K K q (6.4)

Zamenom (6.4) u donjoj jednaini (6.2) dobijamo

( )1 1cc cb bb bc c c cb bb b = K K K K q S K K S (6.5)Zamenama

1 cc cb bb bc cc

=K K K K K (6.6)

i 1 c cb bb b c

=S K K S S (6.7)

u (6.5), dolazimo do izraza (6.3).


50/52

45

Matrica ccK predstavlja kondenzovanu odnosno redukovanu matricu krutosti sistema K .

Sa kondenzacijom stepeni slobode reenje sistema jednaina se svodi na dva koraka. Prvo se izjednaine (6.3) odreuje cq

1 c cc c

= q K S (6.8)

koje se zatim zameni u (6.4)1 1 1

b bb b bb bc cc c

= q K S K K K S (6.9)

Na taj nain dobijamo generalisana pomeranja u pravcu svih stepeni slobode { } { }b c =q q q .

Primer: Za tap u primeru 1 poglavlja 4.4, do matrice krutosti doi koristei postupak kondenzacije.

tap emo podeliti na dva dela i uvesti sledee koordinate

Slika 6.1 a) zadati tap, b) kordinate tapa, c) koordinate elemenata

Matrice krutosti elemenata:5 6 1 2

tap 1:1

2l m= ,1

2I I= 1

3 3 3 3

3 4 3 2

3 3 3 3

3 2 3 4

EI

=

k

5

6

1

2

1 2 3 4

tap 2:2

4l m= ,2

I I= 2

3 16 3 8 3 16 3 8

3 8 1 3 8 1 2

3 16 3 8 3 16 3 8

3 8 1 2 3 8 1

EI

=

k

1

2

3

4

3 4 7 8

tap 3:3

2l m= ,3

2I I= 3

3 3 3 3

3 4 3 2

3 3 3 3

3 2 3 4

EI

=

k

3

4

7

8


51/52

teorija konstrukcija 2

Documents