tikimybiu teorija ir statistika (a. aksomaitis)

TURINYS

Pratarme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7{vadas . . . . . . . . . . . g

1. PAGRINDINES S,{VOKOS............. ....................11l . l . E lementar iq iq ivyk iq erdvd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I I1 .2. Ats i t ik t in ia i [vyk ia i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121.3. Stat is t ine t ik imybe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4. Aksiominis tikimybes apibreZimas.. ..................... l71.5. Klas ik in is metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201.6. Geometr in is metodas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24UZdavin ia i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

2. PAGRTNDTNES TTKTMYBIU TEOREMOS .......................... 292.1. Tikimybiq sudeties teorema ............292.2. Sqlygines t ik imybes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3. T ik imybiq daugybos teorema.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4. Pilnosios tikimybes formule. Bejeso teorema ...... 3g2.5. Nepriklausomieji [vykiai .................412.6. Nepriklausomieji eksperimentai. Bemulio formule ..................442.7 . Uldavinirl sprendimo pavyzdliai ...................,..... 4gUZdavin ia i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3. ATSITIKTINIAI DYDZIAI... .........6I3 . l .A t s i t i k t i n i odydZ ios4voka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2. Pasisk i rs tymo funkci ja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .623.3. Pasisk i rs tymo funkci jos savybes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .653.4. Diskretieji atsitiktiniai dydZiai ....... 683.5. Tolydie j i a ts i t ik t in ia i dydZia i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71UZdav in ia i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 j

4. ATSTTIKTTNIAT VEKTORIAI................... ........814. l .Ats i t ik t in iovektor iauss4voka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .814,2. Dvimadiai atsit iktiniai vektoriai ......924.3. Diskretieji dvimadiai vektoriai ........ 854.4. Tolydieji dvimadiai vektoriai .......... 884.5. Sqlygin ia i sk i rs t in ia i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .924.6. Nepriklausomieji atsit iktiniai dydZiai......... ..........97UZdaviniai .... 100

s. ATSTTTKTINIU DYDzIU FUNKCIJOS................................. 105

5.1. Vienmadiq dydZiq tunkcijos...... .. ' ... 105

5.2. Dvimadiq vektoriq funkcijos . '. ' . ... ' .. l I2

5.3. Nepr ik lausomqiq dydZir l sumos sk i rs t in ia i . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . ' . . . . . ' . . . . . . 115

UZdaviniai .... I 18

6. ATSITIKTINIO DYDZIO SKAITINES

CHARAKTERISTIKOS.. ................121

6 .1 . V idu rk i s . . - . . . . . . . ' . ' . . . . . . . . . 121

6.2. Atsit iktiniq dydZirl tunkcijos vidurkis ....-...... ' ......123

6.3. Vidurk io sarybes. . . . . . . . . . . - . . . . - . . . . . . ' . " " 126

6.4. Moda i r kvant i l ia i . . . . . . .127

6.5. Dispers i ja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - - . . . . . . . . . . . . . . . . . . " 129

6 .6 . Momen ta i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . - . . . . . . ' . . . " . " 132

6 .7 . Ne1ygybes . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . - . . . . ' . . . . ' . . . . . " " 131

UZdaviniai .... 138

7. ATSITIKTINIO VEKTORIAUSSKAITINES CHARAKTERISTIKOS. ...............143

7.1. Vidurkis, dispersija ir kovariacija "" 143

7.2.Korel iacr jos koef ic ientas. . . . . . . . . . . ' . . ' . . . ' . " " " " " " " " " 145

7.3. Sqlyginiai vidurkiai. Regresija """" 148

1.4.Entrop1ja . . . ' . . . " " " " " " " 155

UZdaviniai .... 158

8. GENERUOJANEIOJI IR CHARAKTERISTINE

FUNKCIJA .................. 163

8.1. Generuojandioji tunkcija """"""""' 163

8.2. Charakter is t ine funkci ja . . . . . . . . . . . . . . . . . . " " " " " " " " " " ' 166

UZdavin ia i . . . .172

9. TTKTMYBINIU MODELIU PAVYZDZ-IAL .....-.175

9.1. Binominis sk i rs t inys """"" " " " " " " " 175

9.2. Puasono skirstinys """ 181

9.3. Kiti diskretieji skirstiniai """"""""' 187

9.4. Normalusis skirstinys """"""""""" 189

9.5. Dvimatis normalusis skirstinys...... """""""""""' 195

9.6. Gama skirstinys ir atskiri jo atvejai.......... """""" 198

g.l.Kiri tolydieji skirstiniai..... """""""'2O4

UZdaviniai ""209

10. RIBINES TEOREMOS IRJV TAIKYMAS ....21510 .1 . A t s i t i k t i n i qdydZ iqsekos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21510.2. DidZiq iq skaid iq desnis. . . . . . . . . . . . . . . . . .21110.3. Centr ine r ib ine teorema.. . . . . . . . . . . . . . . .22210.4. Monte Karfo metodas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227UZdaviniai ....234

11. ATSITIKTINIAI PROCESAI...I I . 1 . Atsit iktinio proceso apibreZimas ir pavy 2dLia|....................... 23911.2. Ats i t ik t in io proceso charakter is t ikos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .241l l .3 .Ats i t ik t in iqprocesqklas i f ikac i ja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24411.4. Daugin imosi i r nyk imo procesai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252I1.5. Korel iac in€ anal izd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .259UZdaviniai ....264

I2. MATEMATINES STATISTIKOS PRADMENYS ............... 26912.1. General ine a ibe. Imt is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .269l2.2.Empir in ia i sk i rs t in ia i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21112.3. Skaitiniq charakteristikq statistiniai [verdiai............................21512.4. Ta5kin ia i parametrq lverd ia i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21712.5. Pasikliautinieji intervalai...... .........28512.6. Normaliojo skirstinio parametnl pasikliautinieji intervalai..... 28712.7. fvykio tikimybes pasikliautinasis intervalas .......29212.8. Parametr ines h ipote2ds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29412.9 . Hipoteziq apie normalioj o skirstinio parametrus tikrinimas.... 29712.10. Dviejq normaliqlq skirstiniq parametry palyginimo

hipotezes . . . . . . . . . . . . . . . .30112.1 1. Neparametrines hipotezds...... ...... 306l2. l2 .Stat is t in iqproced[n1paketa i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .311UZdavin ia i . . . .313

PRIEDAI.... ......................319DALYKINIi RODYKLELITERATURA.............. .......................347

239

PRATARME

Sis vadovelis skiriamas techni5kqjq universitetq studentams. Jame i5des-

tytas semestrinis keturirl kreditq tikimybiq teorijos ir statistikos kursas. Vado-

veliu gales naudotis b[simieji technikos inZinieriai ir magistrantai, fizikos,

informatikos bei ekonomikos specialybiq studentai, taip pat asmenys, norintys

isigyti stochastinds analizes pradmenq.Vadovelio pagrind4 sudaro tikimybiq teorijos ir statistikos paskaitos' ku-

rias autorius daugeli metq skait€ Kauno technologijos universitete bei kitose

auk5tosiose Salies mokyklose.Ra5ydamas 5i4 knyg4 autorius siekd, kad skait5rtojas galetq ne tik intui-

tyviai kurti matematinius modelius, atspindindius ji dominandias atsitiktiniq

reiskiniq puses, bet ir ismoktq juos pagr[sti. Todel dia neisvengta abstrakcijq

kurios skai[4ojui tikriausiai bus suprantamos ir nenuobodZios.Teorija knygoje iliustruota pavyzdLiais, kiekvieno skyriaus pabaigoje

pateikta uZdaviniq savaranki5kam darbui. Teoremos [rodymas, pavyzdLio

sprendimas kai kur (ten, kur gali biiti nelabai aiski jo pabaiga) isskiriamas

Zenklu A.

I literat[ros s4ra54 [trauktos knygos, kurias autorius cituoja ar taiko va-

dovelio tekste arba rekomenduoja skaitytojui gilesnems tikimybitt teorijos ir

statistikos studijoms.Autorius dekoja Kauno technologijos universiteto doc. dr. Z. Navickui ir

Vilniaus Gedimino technikos universiteto prof. habil. dr. K. Kubiliui' atidZiai

perskaidiusiems vadov€lio rankrasti ir pateikusiems vertingq patarimq, bei

vadovelio redaktorei Z. Sliavaitei uZ kruop5tumq ir kantrybq.

J. A. AKSOMAITIS

IVADAS

Mokslas, nagrinedamas gamtoje, technikoje ir visuomeneje egzistuojan-dius prieZastinius rySius, apra5o juos tam tikrais desniais. Vieni jq apibfldinareiSkinius, kuriuos galima tikstiai prognozuoti, t. y. Linant eksperimento sEly-gas, tiksliai nusakyti eksperimento baigt[. Tai - determinuoti reiskiniai. Eukli-do geometrija, Niutono mechanika yra tokiq reiskiniq matematiniq modeliqsudarymo bei jq analizes klasikiniai pavyzdzia|Ilg4 laik4 dominavo determi-nistinis mokslo ir technikos pletros kelias. Siq dienq inZinieriaus ir kitq sridiqspecialisto, projektuojandio bei kuriandio sudetingas sistemas, daznai neten-kina deterministine rei3kiniq ai5kinimo koncepcija. Didele dalis mus supandiopasaulio rei5kiniq yra atsitiktiniai arba Sitokia jq traktuote moksle bei techni-koje yra vaisingesne uZ deterministini ai5kinim4. Tikimybiq teorija ir matema-tine statistika - dvi glaudZiai susijusios matematikos sakos - veda tyrinetojqatsitiktinumo labirintais. Siq mokslq teikiami statistiniai ir tikimybiniai mero-dai sudetingose situacijose daLnai yra paprastesni, o kartais - ir vieninteliai.

{vade mes nesistengsime tiksliai apibreZti atsitiktiniq rei5kiniq (ivykiUdydZiq, procesq) s4vokos. Remdamiesi intuityvia atsitiktinumo samprata, atsi-tiktinius ivykius apib0dinsime tokia schema: realizavus s4lygq kompleksq K(atlikus eksperiment4), ivykis gali [vykti arba neivykti. Tai - atsitiktinis [vykis.Herbo atvirtimas metant monetfo laimejimas loterijoje, norimos kortos isffau-kimas i5 kortq malkos (kalades), pergale krepSinio turnyre, standartinio gami-nio pagaminimas, trikdZiq pasirodymas televizoriaus ekrane, atomo branduolioskilimas * visi jie yra atsitiktiniai [vykiai. I5 Siq pavyzdZiq galime daryti iS-vad4 jog atsitiktinio rei5kinio vienareik5mi5kai prognozuoti ne[manoma. Tairei5kia, kad, Zinodami pradines salygas ir mokslo teiginius, iS praktiniq arbaprincipiniq pozicijq negalime tiksliai nusakyti rei5kinio galutines biisenos.Beje, neretai tikslus pradiniq s4lygq fiksavimas yra taip pat problemati5kasdalykas. Pabandysime tai iliustruoti pavy zdZiais.

Sakykime, metame lo5imo kauliuk4. Mechanikos mokslas suteikia teori-nes galimybes ,,atspeti" metimo rezultatq(galutinE bfisenq): reikia tiksliai Zi-noti pradinE kauliuko padet[ ir pradini greiti kauliuko masQ, jo inercijos mo-ment4, oro trinti sroves ir t. t. Tadiau visa tai yra taip sudetinga, jog prakti5kaineigyvendinama. Tenka atsisakyti Sio rei5kinio determinavimo ir nagrineti j[tikimybiq teorijos metodais.

Imkime fizikos desni i5rei5kianti dujq slegio priklausomybg nuo tem-peraturos. Kinetines dujq teorijos poZiiiriu slegis i indo sieneles yra netvarkin-go (atsitiktinio) molekuliq judejimo, jq smDgiq rezultatas. Sleg[ sukuria atsi-tiktinumas. Vadinasi, 5[ reiSkin[ reikia nagrineti tikimybiniais metodais.Taip ir

daro statistind fiz\ka. Pabandykime determinuotu biidu sukurti Sio reiSkinio

matematin[ modeli. Kiekvienos molekul€s judesi nusakykime mechanikos

lygtimis. Gausime antrosios eiles diferencialiniq lygdiq sistemq kurios prak-

tiSkai neimanoma issprgsti. Ne kiek ne lengviau bus nustatyti ir pradines

s4lygas. Vis delto tarkime, kad SiE sistem4 issprendeme. Tadiau ir tada mums

puryt t suZinoti ne visos molekuliq sistemos bilsenq - slegi o tik pavieniq

molekulirl judej imo desningumus.Sie pavyzdZiai patvirtina, jog kartais netikslinga determinuotu bfidu kurti

rei5kinio matematin[ modeli nors teorines galimybes ir yra.

NeapibreZtumas, atsitiktinumas dominuoja ir tose mokslo srityse, kuriose

desniai istirti nepakankamai. Tai b[dinga daugumai biologiniq reiskiniq. Tar-

kime, matuojame studento [gi. Rezultatas yra atsitiktinis, susijgs su paveldi-

mumu, mityba ir kitais veiksniais, kuriq desningumai istirti tik i5 dalies. Mostl

Ziniq stoka dia sukuria atsitiktinum4 ir galblt vdliau, pletojantis biologijos

mokslui, jam dirvos nebeliks. O gal prie5ingai?Kvantines mechanikos r,ruiib.eZtu-o-principas - tikimybinis desnis. iia

atsitiktinumas yra fundamentalus, principinis. Arba Stai radioaktyviojo atomo

branduolio gyvavimo trukme (iki skilimo) i5 esmes yra atsitiktine, ir jokios

papildomos Zinios apie branduol[ to nepasalins. Pagaliau kad ir koks aukStas

tlrt t ut"iti.t mokslo issivystymo lygis, pikq damos iStraukimas i5 korq

malkos, liks atsitiktiniu reiskiniu. Taigi atsitiktinumas mus lydds visame

paZinimo kelyje.Technikoje ir kitose kiirybos srityse eksperimentus dainai galima atlikti

daug kartrl ir tomis padiomis s4lygomis (masiniai eksperimentai). Tikimybiq

teoiijos modeliai praktikoje interpretuojami masiniq atsitiktiniq reiskiniq des-

ningumais. Tirdami masinius atsitiktinius reiskinius, pastebime savotisk4 jq

stabilumQ. PavyzdLiui, daug kartq metant simetriSk4 monet4 herbo atvirtimo

santykinis daZnis (atvirtusiq herbrl skaidiaus bei metimq skaidiaus santykis)

purnuz"l. stabilizuojasi, telkiasi apie 112. Nusistovejusiu reZimu dirbandios ir'daug gaminandios imones kokybiskq gaminiq procentas, Salies mastu-gimusiq

Ue-iutq procentas - masiniq atsitiktiniq reiSkiniq desningumo pavyzdLiai. Tai

gana bend.o pobudZio desningumas: [rykio pasirodymo santykinis daZnis di-

Ielese stabiliq eksperimenfll serijose maZai skiriasi nuo pastovaus skaidiaus

p€ [0, l]. Toks santykiniq dahriq stabilumas, nustaq4as eksperimentais, yra'oUi"t

ty*t gamtos desnis - tikimybiq teorijos praklinio taikymo pagrindas.

Atikreipiame demesi I tai, kad ir kitos atsitiktiniq reiskiniq charakteristikos

6avyiAZiui, vidurkis) yra pakankamai stabilios. Stabilumo gali neb[ti, jeigu

eisperimentai nera masiniai, atliekami skirtingomis arba nepalyginamomis

sqlygomis (pavyzdLiui, karai). iia tikimybiq teorijai dirvos nera. Eksperimen-

tui, [uri".Jneb[dingas visilkas stabilumas, tadiau santykiniai daZniai yra sta-

bil[s - tikimybiq teorijos ir statistikos taikymo sfera. Tokius eksperimentus

vadinsime atsitiktiniais, statistiniais arba tikimybiniais'

Tikimybiq teorijos lop5ys - azartiniq lo5imq stalas. Jos ptadLia siejamasu [zymiq XVII a. matematikq B. Paskalio (Pascal), P. Ferma (Fermat),

K. Hiuigenso (Huygens) ir J. Bernulio (Bernoulli) darbais sprendZiant azar-

tiniq losimq problemas. Azartiniai losimai gal ir nebuvo laikomi rimta veikla,

tadiau kele uZdavinius, kuritl buvo ne[manoma i$sprqsti tuo metu egzistavusiqmatematiniq modeliq baz|je. Siuo periodu formavosi naujo mokslo idejos'

sqvokos ir ddsningumai, nusakomi kombinatorikos taisyklemis. Netrukus

naujos teorijos poreikiai iSkilo demograhjos statistikoje, stebejimo paklaidq

teorijoj e, biologijoje.XX amZiuje Sios teorijos taikymo sritys i5siplete nuo gamtos mokslq ir

technikos iki ekonominiq ir socialiniq mokslq. Gracingas tikimybiq metodo

taikymas skatino matematikus dometis Siuo mokslu. XX amZiaus pirmojoje

puseje sukuriama aksiomine tikimybiq teorijos bazE. 1933 metais aksiomq

sistem4 pateikia A. Kolmogorovas. Teorija virsta tiksliu aksiominiu mokslu -

matematine disciplina.Tikimybiq teorijos istakos Lietuvoje - XVIII amZiaus Vilniaus univer-

sitetas. Tgsdami senas universiteto tradicijas, profesoriai J. Kubilius, V. Statu-

levidius, B. Grigelionis ir jrtr mokiniai daug nusipelne Siam mokslui. Jq darbai

ir vardai Zinomi ir gerbiami pasaulineje matematikq Seimoje.

Tikimybirl teorijoje atrasti desningumai Siandien aktual[s ivairiosepaZinimo srityse. Statistine fizika, radiotechnika, kvantind mechanika, sistemq

automatinio valdymo teorija, patikimumo teorija - tai sritys, kuriose ypad

reikSmingi Sios teorijos metodai ir teiginiai. ISaugo tikimybiq teorijos poreikis

ekonomikoje, bankininkysteje, biologijoje, medicinoje, psichologijoje ir net

lingvistikoje. sio mokslo Sakos - eilir5 losimq, informacijos teorijos - vis

giliau skverbiasi [ [vairias mokslo ir technikos sritis, spartina jq paZangq'

Trumpai tariant, nera paZinimo sridir5 kuriose Sios teorijos metodai negaletq

duoti vaisingq rezultatq.

b*E

*t

PAGRTNDTNES SAVOKOS

Tikimybiq teorija yra atsitiktiniq rei5kiniq matematine analize. Ji,kaip ir kitos matematines disciplinos, ne tiesiogiai nagrineja realius pa-saulio rei5kinius, bet kuria matematinius jq modelius. Kiekvienu konkre-diu atveju svarbu Zinoti, ar teorinis modelis pakankamai tikslus, ar gerai

reprezentuoja tiriam4 rei5kinl. Tokio uZdavinio sprendimas yra matema-tines statistikos kompetencij a.

Sakykime, metame monet4 Kadangi ji simetri5ka, tai herbo ir skai-diaus pasirodymo galimybes yra vienodos. Taigi herbo atvirtimo tikimybelygi 1/2. Tai teorinis atsitiktinio rei5kinio modelis. Jis pakankamai geras,nes, daug kartq metant monet4 herbo atvirtimo santykinis daZnis artimasl/2. Siame pavyzdyje matematini model[ kiireme intuityviai, o jo adek-vatum4 tikrinome statistiniu b[du.

Bet kuris mokslas remiasi pagrindinemis savo s4vokomis. Jas turi irtikimybiq teorija. Siame skyriuje patikslinsime intuityviq atsitiktinio [vy-kio samprat4 formaliai apibreSime tikimybp ir atsitiktinio eksperimentomatematin[ modeli.

1.1. Elementariqjq [vykiq erdv6

Elementariqiq ivykiq erdves f) s4voka yra pirmin6, todel neapibrELiama.

Jos elementus, t. y. elementariuosius ivykius, Zymesime raide ol (daZnai su

indeksu). Sakysime, jog Q yra sudary'ta, jeigu Zinomi visi jos elementai arbanurodytas jt1 gavimo algoritmas. Pateiksime keletq pavyzdZit5 i5rySkinandiqSios erdves strukt0r4.

1 pavyzdys. Metamas lo5imo kauliukas. Sio atsitiktinio eksperimentoelementariqiq ivykiq erdve

S) = { to r ,o )2 ,o )3 . t r l 4 ,o5 ,o0 }= {co1 : k = l ,O t ;

dia orr- ft akudiq atvirtimas.

2 pavyzdys. Tiriant produkcijos kokybg, i5 visq gaminitl atsitiktinaii5renkami 3 gaminiai. S[ eksperiment4 atitinkanti elementariqiq ivykiq erdve

Q = { t l o , 0 r , 0 z , t l l } = { a o : k = O - l t ;

dia ro1 rodo, kad k gaminiq ya kokybi5ki.

l l

3 pavyzdys. Monet4 metome tol, kol pirm4 kart4 atvirsta herbas.Paimekime: Hp - herbas atvirto metant monet4 ft+qi[ kart4 Sr - skaidius at-virto metant'monet4 k-tqii kart4. Sio eksperimento elementariqjq lvykiq erdve

A = { H r , S r H z . S 1 S 2 H 3 , . . } = { t r l l , L = t , - } ;

d i a o l1 = S r . (& = S r Hz . . . .

4 pavyzdys. Tiriamas radijo lempos ilgaamZi5kumas. Lempos veikimotrukmes elementariqjq [vykiq erdve

O = { c o = t t t e [ 0 , - ) ] .

5 pavyzdys. Kai Saudoma i plok5di4 taikini, tai

Q = { o = ( x ; y ) : ( x ; D e R 2 \ .

6 pavyzdys. Kardiograma stebima laikotarpi [0, 4. Sio eksperimento

A = {r,l = x(t): x(r) e Cp,71} ;

6a Cp,4 - tolydZiqjq tunkcijq klase.

Sie konkretus pavyzdLiai rodo, kad elementarir{q i"ykiq erdve yra visq

galimq atsitiktinio eksperimento baigdiq (galutiniq b0senq) aibe. Ji gali bflti

baigtine, skaidioji arba dar galingesne - begaline neskaidioji, o jos elementq

i5rai5ka - vienmate (14 patryzdys), daugiamate (5 pavyzdys) arba net funk-

cine (6 pavyzdys). Eksperimento baigtis - vieno (bet kurio i5 fl) elementariojo

[vykio o pasirodymas.Pirmasis Zingsnis sudarant atsitiktinio eksperimento matematini modell

zengtas - aprasyta fundamentali tikimybiq teorijos sqvoka, vadinama elemen-

tariqjq [vykiq erdve. Ja gali blti bet kuri netu5dioji aibe Q.

1 .2. Atsitiktiniai [vYkiai

Atsitiktinis ilykis yra gamtoje arba laboratorijoje atlikto eksperimento

rezultatas, kurio i5 anksto negalima visiSkai determinuotai nusakyti. Dabar

pasistengsime 5i4 savokq apibreZti formaliu budu.Atsitiktinius ivykius Zym€sime raidemis A, B, C,.'. (daZnai su indeksu).

Fiksuokime elementariqiq ivykiq erdvq Q. 15 pradZiq tarkime, kad ji yra

diskredioj i (baigtine arba skaidioji).Bet kur[ diskrediosios elementariqiq ivykiq erdves ft poaib[ A vadinsime

atsitiktiniu lvykiu, tuSdi4 Sios erdves poaibi - negalimuoju ivykiu' o ivykl

I 2

atitinkanti vis4 elementariqlq [vykiq aibg, - butinuoju [vykiu. Negalim4j[

ivyki Zymesime simboliu A,bntinqi- raide Q. Pirmasis Siq [vykiq niekada

neivyksta, antrasis - visada ivyksta.

I pavyzdys. Metamas lo5imo kauliukas. UZra5ykime keletq erdves

f) = {ot1 , o)2, o)3, o)4, o)5, trlu } poaibiq - atsitiktiniq ivykiq:

1 = {atvirto lyginis skaidius akudiq} = {co2, too, 1116 },

B = {atvirto ne daugiau kaip 3 akutes} = {clr , oz , o: },

f, = {atvirtusiq akudiq skaidius dalijasi i5 septyniq} = Z,

2 = {atvirto sveikasis skaidius akuditl} = f,2.

Kadangi atsitiktiniai lrykiai yra aibds (elementariqlq ivykitl aibes), tai

ivykiq veiksmai sutampa su Zinomais aibiq veiksmais. Priminsime Siuos

veiksmus, atkreipdami skaiQrtojq demesl i tikimybine jq traktuotq. Ivykitlsqry5l ir jq veiksmus geometri5kai vaizduosime vadinamosiomis Veno dia-

gramomis (l pav.).Sakysime, jog ivykis A yra ivykio B atskiras atvejis, jei su visais rrl € S'

i5 teiginio o e A i5plaukia, kad o e B. Ra5ysime A c B. Realiame eksperi-

mente tai reiskia, kad, [vykus A, [vyksta ir B. [vykius A ir B vadinsime lygiais'

jeiA c B ir B cA. Ra5ysime A= B. Taigi lygius [vykius sudaro tie patys ele-

mentarieji lvykiai.Ivykiq A ir B s4junga (suma) vadinsime [vyki sudaryt4 i5 elementarirfq

ivykiU priklausandiq bent vienam iS ivykiq A ir B. Zymesime A ['l B = {to:

orrle A arba ole B). Konkrediame eksperimente lvykis AU B rei5kia, kad

Ar|BNC A \ BA U B U C

A

I pav.

l 3

Uoo =ak= l

A N B N C = A

[vyko arba ivykis A, arba [vykis B, arba abu karhr. S[ jungimo (sudeties) veiksmqanalogi5kai galima apibreZti imant didesni skaidirl ivykiq.

Ivykiq A ir B sankirta (sandauga) vadinsime ivyki, sudarytq iS visq ele-mentariqjq lvykiU priklausandiq abiem ivykiams A ir B. ZymesimeAnB={ol:rr le Airae B}. tvykis Af lB rei5kia, kad eksperimenro meruivyksta ir A, ir B. Analogi5kai apibreZiame ir didesnio skaidiaus ivykiq daugy-bos veiksm4.

fvykius A ir B vadinsime nesutaikomaisiais, jei A|1B = Z. Vadinasi, du[vykiai yra nesutaikomieji, jeigu eksperimento metu jie negali [vykti kartu.

Sakome. jog [vykiai Ap (k = r,n) sudaro pirn4iq ivykiq grupg. jei jie

kas du yra nesutaikomi, o jq sqjunga yra bltinasis [vykis: jno=Sr r,t = l

A k n A ^ = O s u v i s a i s f t + r n .

Ivykiq A ir B skirtumu vadinsime ivyki sudaryt4 i5 elementariqiq [vy-ki4 priklausandiq A, bet nepriklausandiq B. Zymesime taip: A\ B =={o: o€ A,betruoe_ B}. lvykis l\B rei5kia,kadeksperimenrometuA[vyks-ta, o B ne[vyksta.

Ivyki f2\l vadinsime prieSingu ivykiui A. Ji Zymesi^" 1=Q\l == {ro: or€ l}. Pastebesime, kad A\ B = AnE .lsitikinkite patys.

Anksdiau apra5ytame I pavyzdyje

AU A ={a l ' , o2 , 0 )3 ,0 )4 ,o0} = Q \ { ro r } = 1 [ ; .

An B = {oz}, A| O = {rrlr, rur�a,ro6l = A.

ApibreZti ivykiq veiksmai turi tas padias savybes, kaip ir gerai Zinomiaibirl veiksmai:

AtJ A = 9, AnZ = A, I = A, A= Q (papi ldomumas),

AU B = B U A, An B =B I I (perstatomumas),

(AU B)UC = AU(BU C) , (A0r )nc = A l@nC) (ung iamumas) ,

Ar(BUc)=( ln B) U (enc) , AU(Bnc)=( .qUB) n ( ,euc)(skirstomumas),

AW = ,qnE, Al B =7UE.tr= A (Morgano formulds).Priminsime dar vien4 aibiq operacijq. Dviejq aibiq A ir B dekartine san-

dauga vadinsime sutvarkytqlq porq (o; b) aibg. J4 zymesime taip:AxB={(a;b): ae Airbe Bl. Si4 sandaug4 galima apibreZti ir didesniam

skaidiui aibiq.

L4

2 pavyzdys. Du Stampavimo automatai ilungti ir palikti dirbti i5tisq pa-mainq. Pazymekime atsitiktinius [vykius:

At = {pirmasis automatas nesugedo};42 = {antrasis automatas nesugedo};82= {k automatqnesugedo}, k=0, I ,2 ;C - { nors vienas automatas nesugedo }.A Pirmiausia apibiidinsime Sio eksperimento elementariqfq [vykiq erdvg.

Ji yra dviejq daliniq eksperimentq su kiekvienu automatu atskirai elementariq-jq lvykiq erdviq

Qt = {A r . A l " Qz = lAz ,4 l

dekartine sandauga:

f ) = f ) r X e ) , = { (A , : A r ) , (A t :4 ) , ( y ' : , 1 ; , f l , ; 4 l t .

arba, trumpiau,

Ct = {A1A2,,qr4, A,ar,4 4} = {ru,r,rz, rrt:, ala} .

Toliau

B o = { r o + } , B t = { l i . z , $ t } , B z = { o r } , C = { r D r , o z , o : } = 4 . t

Jeigu elementariqiq [vykiq erdve f2 nera diskredioji, atsitiktiniais [vykiaislaikome ne visus Sios erdvds poaibius, o tik tam tikros jos poaibiq klasds elemen-tus. Kitaip kiltq problem[ apib[dinant [vykio tikimybg. Apibre5ime 5i4klasg.

Elementariqjq ivykiq erdves f) poaibiq sistem4 I vadiname algebra,jeigu j i tenkina tokias aksiomas:

l ) Q e.7;

2)kai A e,7, ta i 2e .7 ;3) kaiA e I ir B e g,tai A U B e 9.

ApibrdZimas. Algebros elementq vadiname utsitiktiniu ivykiu.Taigi jei A e g, ni A yra atsitiktinis [vykis ir, atvirkSdiai, jei A yra atsi-

tiktinis [vykis, tai A e 9.I5 apibreZimo iSplaukia tokie teiginiai:. A e . V , n e s S = A e , f .

o K a i A e T i r B e f , t a i A 0 B e T , n e s A . l A = f f i . t .

o K a i A e ? i r B e g , t a i A \ B e T , n e s A \ B = A l E e g .

o Kai Aoe I (E iak =t ,n1, tar l )no. a i r f i loe r .

t 5

Paskutinis i5 jq irodomas matematines indukcijos metodu. Pabandykite.

Kai elementariqitl ivykiq erdve e) yra baigtine, visq jos poaibiq sistema ir

sudaro algebrqT.

3 pavyzdys. Metant loSimo kauliuk4 Q = {tlr : t =1,61 , o [vykiq alge-

bra

9 = {A,( ror ) , . . . , (oo ) , (or , az) , . . . , (co: , r r lo ) , . . . , f2} .

Algebroje 7 yra26: 64 [rykiai. lsitikinkite.Veiksmq su atsitiktiniais ivykiais atZvilgiu algebra 7ra uldata.

Kai elementariqlq [vykiq erdve n€ra baigtind, i5 jos poaibiq sudaroma o

algebra. Pirmoji ir antroji algebros aksioma lieka ta pati, o tredioji keidiama

tokia aksioma:

kai Ap e I (Eial. = l, -) ,tar()'eo e Ak=1

Siuo atveju (begaline sistema) o algebros element4 vadiname atsitik-

tiniu [vykiu.Atsitiktinio eksperimento matematinio modelio konstravimo kelyje

Zengeme antrqiI Zingsni - apibreZeme atsitiktin[ lvyk[. Paskutinis sio modelio

sudarymo etapas yra [vykio A e g tlkimybes apibreZimas.

1.3. Statistin6 tikimYb6

lrykio pasirodymo galimybes mat4 (tikimybq) nusakysime empiriniu

b[du. Fiksuojame s4lygq kompleks4 K ir kartojame eksperiment4 registruo-

dami kiekvien4 kartq ar [vykis A [vyko, ar ne[vyko. {vykio A pasirodymq

skaidiaus k(A) bei eksperimentq skaidiaus n santyki vadinsime ivykio pasiro-

dymo santykiniu daZniu. Ji Zymesime raide I{: LIr(A)=\4. Santykinis

daZnis turi tokias akivaizdZias savybes:

r 0 S t l ( A ) < l ;

o W ( S L ) = l ;

. W(AUB)=w(A) + w(B) , ka iA | rB=a '

Pakartokime s kartq serij4 sudarytq i5 n eksperimentq, kuriq metu ste-

bime ivyk[A. Gauname tokius santykinius ivykio A daZnius:

. . k , ( A ' l , t . t , t \ . , k " ( A )W t ( A ) =

" r \ " / ' W z ( A ) - ^ 2 \ ^ ' '

" " W , ( A \ - " r \ " ' / '

n n

l 6

\Q_Z+O67

-a

. Jau minejome, jog masiniq atsitiktiniq [vykiq santykiniams daZniams

bfidinga stabilumo savybe. Vadinasi, Wr(,1)=Wr(l)=...=-1ry,(A), jei eksperi_mentq skaidius n pakankamai didelis. Taigi [vykio A santykiniai daZniai tel-kiasi apie skaidiq P e (0, l), apibudinanti [vykio A pasirodymo gatimybesmate.

Apibr6Zimas. {vykio tikimybe vadiname skaiii4p, apie kuri telkiasi ivy_kio sanlykiniai dainiai, kai eruperimenttl skaiiius serijose yra did;tis.Tai statistinis tikimybes apibreZimas. Jis tikimybg ivertina empiriniu, t. y.

eksperimentiniu, brldu. praktikoje tikimybes apytiksle-reiksme, kai eksperi-mentq skaidius didelis, imamas santykinis daznis w(A) arba artimas jamskaidius.

XVIII a. G. Biufonas (Buffon) mete monet4 4040 kartq. IS iq 204g kartus

atvirto herbas. Taigi herbo atvirtimo santykinis daZnis Iry(H)=2048 -4040

= 0,507. sio amZiaus pradZioje K. pirsonas (pearson) mete monetq 24 000kartq. I5 jq 12 012 kartq atvirto herbas, todel W(H) =0,5005. Natlralu herbopasirodymo tikimybe laikyti skaidiq 0,5.

. Arba Stai kitas [vykio tikimybes skaidiavimo statistiniu metodu pavyzdys.

Naujagimiq registravimo duomenys rodo, jog kasmet berniuki gimitamaZdaug 5lo/o.Yadinasi, berniuko gimimo tikimybg garime laikyti lygia 0,51.

Gamybos brokas, techninirl sistemq sutrikimai, susirgimai .i.t-ingu,nur,meteorologiniai reiskiniai.ir t. t. - masiniq atsitiktiniq reiskiniq su ji".sbDdingu statistiniq daZniq stabilumu pavyzdLiai. Tokiems reiSkiniamsapibldinti taikomas statistinis tikimybiq skiie iivlmo metodas.

Empiriniu biidu sudardme atsitiktinio eksperimenro tikimybini model[.

fvykio tikimybg P ivertinome sanrykinio daZnio ,l/(A) =\A Aazeie.Kurianrn

tiksliq matemating teorii4 reikia atsiriboti nuo eksperimentines tikimybes api-breZimo bazes. Mlsq tikslas - apibreZti [vykio paiirodymo galimybes charak-teristik4 kuri nebltq siejama su eksperimentais, tadiau gerai moaeiiuotrl ivykiqsantykiniq daZniq desningumus. Tokia formali [vykio charakteristika yra te-orine tikimybe, arba tiesiog tikimybe. J4 apibresime aksiominiu budu.

1.4. Aksiominis tikimybds apibr6Zimas

.. . Tikimybiq teorijos aksiomos abstrakdia forma atspindi masiniams atsi-tiktiniams reiSkiniams b0dingus desningumus.

e ia pateikiamos rusq matematiko A. Kolmogorovo 1933 metais sufor-muluotos aksiomos yra ilgaamzds Zmonijos patirtiis apibendrinimas, formaliios iSraiSka.

Lll ' r-----

. *j,p.gq, .prkG",.,Si,,' {. lltin ai rytes

BIBLTOTEKA

Apibr€Zimas . {vy kio tikimy be v adiname skait inq funkcii q P, apibr eitq

algebroje (o algebroje) ir tenkinaniiqtokias aksiomas:

1) P( r )> o ;2 ) r (o )= 1 ,, P(AU B)= Y(,a) + r ( r ) , m i A n B = a .

Taigi tikimybe yra neneigiama, normuota ir adityvi atsitiktinio [vykiofunkcija.

Siomis aksiomomis i5reik5tos tikimybes savybes yra biitinos, norint

praktikoje tikimybE interpretuoti santykinitl daZniq stabilumo prasme' nes

santykiniams daZniams budingos visos trys tikimybes savybes.Elementariosios iSvados:

t ) P ( Q ) = 0 .

2) Jei A c B,taiP(B \,4) = P(B) -P(A) irP(A) < P(B).

3 ) 0 s P ( l ) < 1 .

4) P(2)=t -P(A)-( , \ n

sl n l lJz* l=)*(ro),kaiA1, lA^=a suvisais k*m.\ t=t ) t,=r

lrodysime 2 iSvad4.A Kadangi A c B, tai B = AU(B \ A) (iliustruokite Veno diagrama). [vy-

kiai A ir B \ A yra nesutaikomi, todel i5 adityvumo aksiomos isplaukia, kad

P(B) = P(A) + P(B \A)

ir

P(B \A) = P(B) - P(A).

Pagal I aksiom4 P(B \A) > 0, taigi

P(B) - P(A) > 0. A

Atkreipdami demes[ i tai, kad 5 i5vada (baigtinio adityvumo savybe)

i5plaukia i5 3 aksiomos ir matematines indukcijos principo. J4 ir kitas i5vadas

siulome pagr[sti skaitYojui.Jeigu ivykiq seka 41, Az, ..., A,, .-. yra begaline, 3 aksiom4 keidiame

visiSko adityvumo aksioma:

/ * \ -

, pl l) Ak | = I t(ro l, kai A1, O A^ = asu visais k * m -- l v ' l

t k = l I k = l

l 8

Jos negalime [rodyti baigtinio adityvumo bazEje. Tadiau 3' aksioma yraekvivalenti 3 aksiomai (arba 5 iSvadai), papildytai tokiu teiginiu.

Tolydumo aksioma. Jei ivykiai {Au k 2ll sudaro monotoniikai maie-

jani iqsekqAl) A2:_� . . . ) An) . . . i r U = ino , ta i l imP(A,) =p111., t=l

n)a

Sios aksiomos [rodymas pateiktas Il] knygoje.Formalizuodami kur[ nors tikimybini uZdavini turime apib0dinti ele-

mentariqiq [vykiq erdvg fl, i5 jos sudaryti poaibiq algebrq7 (o algebr{, ku-rios elementai yra ivykiai, ir apibreZti kiekvieno [vykio A tikimybg P(A).

Trejetq (52,9, P) vadiname tikimybine erdve. Ji ir yra atsitiktinio eks-perimento matematinis modelis.

Pavyzdys. (Dalambero klaida.) Taisyklingoji moneta metama du kartus.Sudarykime Sio eksperimento matematin[ modeli ir apskaidiuokime [vykio A =: {nors vienq kart4 atvirto herbas} tikimybg.

A I5 pradZiq pateiksime pranclzq matematiko Z. Dalambero (d'Allamber)samprotavimus. Monet4 metant du kartus, herbas atvirs arba pirmq kart4 {rrl,} ,arba antrq kartE {rrl2 } , arba visi5kai neatvirs {o3 } . Vadinasi, C) = {o1 , ril2 , rD3 } ,o [vykiq algebra

g = {A , (rrlr ), (roz ), (rrlt ), (orr , oz ), (alr , co. ), (rrr2 , ol ), A} .

J4 sudaro Z3: S ivykiai.Elementariuosius [vykius laikydamas vienodai galimais, t. y.

P(co, ) = P(trrr) = P(to, ; = 1,J

Z. Dalamberas sudare Sio eksperimento matematini model[ (9, .q, P) ir gavotoki rezultat4

P(A) =P(0r1, ro2 ) = P(trlr ) + P(a) =? .J

Sis modelis nera prie5taringas, tadiau, daug kartq metant simetri5k4monetto herbo atvirtimo santykinis daZnis pasidaro artimas l/2, lr,del, laikantis

teorinio modelio, reiketq imti P(ro,)=l I(ua modelis buq realus, imamez

IP(or ; = P( t l l1 ) = - i r gauname:" 4

P(A) =P(rr1, <rr, ) = 1 * I = 12 4 4

T9

Apib0dinkime dar vien4 Sio eksperimento matematinl modeli. Elemen-tariqjq irykiq erdvg sudarykime i5 dviejq atskiry eksperimentq elementariqiq

irykiq erdviq dekartines sandaugos O = Qr x f)2 ; dia

e l r = { H r , S r } , O z = { H z , S z } .

Tada

f) = {H1H2, HrS2, SlH2, SrSz } = {or t , o2, o3, {D+ } .

{vykirl algebra gr = {A,(a), (oz ), (o: ), (ola ), (crlr, trlr ), ..., (crl3, trlo ), ..., f2}

sudaryta i5 2a : 16 ivykiq. Galime teigti, jog visi elementarieji ivykiai yra vie-nodai galimi:

P(<rlr) = P(trl, ) = P(trrr) = p(r,l+) = l,o , -

be to, kiekvieno [vykio A e 7 tikimybe P(A) =L , p: O, 1,2,3, 4. Vel gau-

name:

P(A) :P1<rl1 , co2, rrl3 ) = ].- 4

Matome, kad, sprqsdami elementariuosius tikimybes skaidiavimo uZda-vinius, matematikai kartais klysdavo. Vis delto nepamir5kime, jog tai buvoXVIII amZius, o Z. Dalamberas - Sio mokslo pionierius. A

ISnagrinetas pavyzdys patvirtina teigini kad to paties eksperimentomatematini modeli galima sudaryti ne vieninteliu bfldu. Svarbu tik, kad tasmodelis pakankamai gerai reprezentuotq realq rei5kini. I5 trijq sudarytq Sio

eksperimento matematiniq modeliq du neprie5tarauja praktikai.Kolmogorovo aksiomq sistema yra neprie5taringa (esti pavyzdZiq, ku-

riuose 3i sistema realizuojama) ir nepilna (tikimybE galime apibreZti ne-vienareik5mi5kai). Aksiominis tikimybes apibreZimo metodas yra bendras ir

abstraktus. Jis nenurodo algoritmo, kaip apskaidiuoti [rykio tikimybq konk-rediu atveju. Vien4 konkretrS susietq su eksperimentq kartojimu tikimybesskaidiavimo metod4 apibiidinome statistiniu apibreZimu. Tadiau tai ne vienin-

telis b[das [vykiq tikimybems skaidiuoti. Anksdiau aptartas pavyzdys tE aki-

vaizdLiai patvirtina.

1.5. Klasikinis metodas

Apra5ysime svarbi4 atsitiktiniq eksperimentq klasg, grindZiam4 vienodogalimumo (simetrijos) principu, teigiandiu, kad visos eksperimento baigtys yra

vienodai galimos. sitot<irl eksperimentq schem4 su baigtiniu skaidiumi baigdiq

vadiname klasikine schema, o metod4 kuriuo sudaromas tokios schemos

matematinis modelis, - ktasikiniu metodu. Jis susijgs su J. Bernulio (Ber-

noulli) ir P. S. Laplaso (Laplace) vardais. Formalizuosime 5i4 schem4.

20

Klasikines schemos postulatai :r Elementariqjq ivykirl erdvd f) = {or, 0}2, ..., (D"} yra baigtine.o Elementarieji ivykiai yra vienodai tiketini, t. y.

P(o,) = P(rrl) = ... = P(rrl,) = 1.n

Ivykiq algebr4 ,7 sudaro visrl aibes O poaibiq sistema. Ji susideda i5

2'[vykiq. Pagr[skite.Tarkime, kad [vykyje A yra k elementariqjq ivykiq:

A = { a i , , a 1 r , . . . , t r l / * } , 1 < j t , j 2 , . . . , j t 3 r , k = 1 , n .

I5 adityvumo aksiomos ir 2 postulato i5plaukia, jog

P(A)=* i to l r , l = i * , , , r= f1={\E'

'- ) E' E( n

Taigi, pagal klasiking schem4 ivykio tikimybe

[vykio A tikimybe yra elementariqjq l\yki% sudarandiq ivykiA, skaidiausbei elementarirljq lvykiq skaidiaus erdveje Q santykis.

Klasikiniame apibreZime visi elementarieji [vykiai a,(i = l, r), sudaran-

tys Q (iq skaidiq Zymesime lAl), vadinami visais galimais atvejais, o tie ivy-

kiai rrr;, kurie sudaro ivykiA (q skaidiq Zymesime l/ ), - ivykiui A patankiais

atvejais. Vadinasi,

P ( A \ = A = t - =Pl n

[vykiui I palankiq atvejq skaidius

visrl galimq atvejq skaidius

Sudareme klasikines eksperimentq schemos matematini model[ (4, g,

P), gerai apibldinanti atsitiktinius rei5kinius, kuriems biidingas simetriSkumas.Azartiniai Zaidimai, loterijos, produkcijos kontrole ir t. t. dainai tenkina si-metriSkumo reikalavimus

t,Klasikiniu budu apskaidiuojamai tikimybei P(A) = 1 tinka visos trys

Kolmogorovo aksiomos. lsitikinkite. Taigi [vykio tikimybeuyra atskiras aksio-minio apibreZimo atvejis.

2 l

I pavyzdys. Metamas simetri5kas lo5imo kauliukas. Apskaidiuokime[vykiqA = {atvirto lyginis skaidius akudiq} fu tr = {atvirto daugiau negu dviakutes) tikimybg.

A C ) = { r o o : k = t , O } t

A = {rut,z,o+, oo}, B = {tD3, (r)4, (r)5, 06} I

l ,S l 3 | l o l ^ .p ( A \ = 2 = ! = l . p f g l = I 1 l = i = " - . t

p l 6 2 l e ) l 6 3

2 pavyzdys. Metami du loSimo kauliukai. Kokia tikimybe, kad atvirtusitl

akudiq suma bus maZesne uZ l0 (ivykis A[

A Q = S), x O, = 1(trlr; to, ): i, j = l,6l ;

l = { ( c o i ; o { ) : , + j < 1 0 } ,

lal=:o' l,nl = ro;

p(e \= { = 30 - - : .n 3 6 6

[vykio A tikimybg skaidiuoti yra paprasdiau, remiantis tokia taisykle:

P(A) = | -P(7). eia prieSingas [vykis

i=11 |o , ;4 ( i ' ' ) : i + j2 l0 ) .

\r\t.

P(A) =,-13='-*=z ^3pavyzdys. IsdeZes,kur io jeyraTstandart inesi r3nestandart inesde-

tales, atsitiktinai isimama viena detale' Apskaidiuokime tikimybg' jog bus

paimta nestandartine detale (ivykis A)'

A A = { t . l i , i = l , l 0 } , A= {a i , , l r i , , ( 0 i r } i

I,tl 3P ( r ) = H = r = 0 , 3 . A

Klasikini tikimYbes skaidiavimo

pavyzdZiais. Sudetingesniais atvejais

keliniq ir deriniq s4vokas.Pateiksime kelet4 sudetingesniq

vyzdiitl.

algoritm4 iliustravome elementariais

tektq vartoti kombinatorines gretinir5

klasikines tikimybes skaidiavimo pa-

22

4 pavyzdys. (Negr4Zinamoji atranka.) I5 deZes, kurioje yra M baltq ir N -- M juodq rutuliq, atsitiktinai i5traukiama n rutuliq. Apskaidiuokime tikimybg,jog tarp n i5trauktq rutuliq yra z baltq (lvykis A).

A Rutulius sunumeruokime nuo I iki N. Elementariaisiais [vykiais lai-kysime bet kuriuos N rutuliq aib€s elementq derinius. Tada visq galimq atvejq

skaidius lal = Ci, . Ivykiui A palankius atvejus sudarys tie elementariqiq [Yykiqrinkiniai, kurie susideda 1( m baltq ir n - z juodq rutuliq. Palankiq atvejq

skaidius lel= cpcia. [vykio A tikimybe

? m -n-nl

P(A) =vu:4!;Ci"

dia baltq rutulirt skaidius m<min(M, n).Sis tikimybinis desnis vadinamas hipergeometriniu.Atkreipiame demesi I tai, jog tikimybg galima apskaidiuoti ir pagal toki4

formulg:

, /1nt f n-m

P ( . 4 ) = " M " N - M

c#Paai5kinkite kodel. A

I5sprendeme btrdingq tikimybiq teorijos uZdavin[: remdamiesi Ziniomisapie visum4 (deZes sudeti), darome i5vadq apie jos dali (imtD. PrieSingasuZdavinys - iSvadq apie visumq sudarymas Zinant imt[ - yra matematin€s sta-tistikos uZdavinys.

5 pavyzdys. (Gr4Zinamoji atranka.) Sakykime, deZes sudetis yra tokia pat,

kaip ir 4 pavyzdyje, tadiau n rutulirl imti sudarome tokiu b[du: i5 dezes atsitikti-nai i5imame vien4 rutuli [sidemime jo spalv4 paskui tq rutul[ dedame atgal ideZE, o i5 jos vel traukiame antrq rutuli ir t. t. Kokia tikimybe, kad imtyje yra ln

baltq rutuliq ([vykis A)?

A Elementariqiq iyykiq skaidius lOl = lr' . [vykiui A palankiq elementa-

riqjq [vykiq skaidius lAl= Ctr u^ (N - uY-' .

Pagal klasikini tikimybes apibreZim4

=,,(x)'(,-#)Gavome binomini tikimybini desn[. A

23

, * =ei.

Klasikinis matematinis modelis apibldina svarbi4 tadiau siaur4 atsitik-tiniq rei5kiniq klasE. Jo ribotum4 salygoja mineti du postulatai. 15 dalies Sioribotumo galime i5vengti apibendrindami klasiking schem4 tokiu biidu. Tar-kime, kad elementarirfq ivykiq erdve Q yra diskredioji (nebiitinai baigtine).Kiekvienam elementariajam ivykiui trl; priskiriame tikimybE P(ttt) 0 2 1), ten-

kinandi4normavimo sElyg4 )e1or)=1. Zinome, jogbetkuris [vykisA yrato re Q

Q poaibis. Jo tikimybe vadinsime elementariqiq ivykiU sudarandiq lvykl A,tikimybiq sum4:

P(A) = )r1r,rr)a J e A

I5 Sio apibreZimo i5plaukia klasikine tikimybes traktuote: imkime baig-ting erdvg f) ir pasinaudokime simetrijos principu.

Kitame skyrelyje pabandysime i5plesti klasikin[ apibreZimq pritaikydamij I nediskrediajai schemai.

1.6. Geometrinis metodas

Klasikineje schemoje [rykio A tikimybg i5rei5keme elementariqjq lvykiqtikimybemis: sud€jome visq vienodai galimq elementariqjq lvykiq sudarandiqA, tikimybes. Kai Q nera baigtine, toks algoritmas beprasmis, nes tada kiek-

vieno o tikimybe P(r'l) : 0. Apibendrindami elementariqjq [vykiq vienodogalimumo princip4 nediskrediosioms erdvdms, tikimybg apibreSime geomet-riniu bldu.

Elementariqiq ivykiq erdve fl laikysime Euklido erdves R' (dia n = 1,2,3) baigtinio mato (ilgio, ploto, trlrio) sriti, o elementariuoju ivykiu - bet kur[

atsitiktinai pasirinkt4 O ta5k4. Atsitiktiniu [vykiu laikysime i5matuojam4(turint[ ilgi, plot4 tDr] erdves O poaib[ A. Sakysime, jog ivykis A ivyko. jeigu

o l e A .Vienodo galimumo principq siejame ne su atskirais elementariaisiais ivy-

kiais, bet su sritimis: galimyb€s atsitiktinai pasirinkti ta5k4 i5 sriiiq,turinEiq vienodq mat4, yra vienodos.

Tarkime, kad Sis principas galioja. Tada [vykio A tikimybe

tia lAl - srities A matas. Vadinasi, geometriniu bldu apibreZta tikimybe yra

ilgiq, plotq arba t[riq santykis.

a A

Sis apibreZimas - tai klasikinio apibreZimo pletinys, pritaikytas begali-niams (nediskretiesiems) modeliams. Jis yra aksiominio apibreZimo atskirasatvejis. [sitikinkite.

Pateiksime kelet4 atsitiktinio eksperimento geometriniq modeliq paWZ-dZiq.

1 pavyzdys. Atkarpoje AB atsitiktinai paLrymimas taSkas C. Apskai-diuokime tikimybg, kad to taiko atstumas iki taSko A bus ne maZesnis uZ dvi-gub4 atstume iki taSko B.

A Q = {ro: roe AB} , A = 1rui': l/'Cl>2lBcll. Tada rikimybe

.(r) = ,,l4l

2 pavyzdys. (Susitikimo uZdavinys.) Du studentai susitare susitikti tarpvidurnakdio ir ?'valandos. Jie nutare, kad pirmasis, atejgs i sutart4 viet4 lauksne ilgiau kaip t valandos. Kokia tikimybe, kad studentai susitiks?

A Sakykime, -r - pirmojo studento atejimo i sutartq viet4 laiko momen-tas, / - antrojo. Tada (2 pav.)

O = { ro = (x ;y ) : 0 < x <7 , 0 < y <T} ;

A = { a = ( x : y ) : l y - x l < t } .

Tikimybe susitikti

Jeigu,pavyzdLiui,T = t h,o t =20min,\

tai P1A) = : . Toki eksperimentq kartojant daug kartq, sekmirl skaidius turetq' sblti Siek tiet didesnis uZ neivykusiq susitikimq skaidiq. A

Galimos [vairios fizikines Sio uZdavinio traktuotes. ParyzdZiui, laikotarp4 ?'atsitiktiniais momentais priimami du signalai. Jeigu laiko tarpas tarp jqpriemimo momentq ne didesnis uZ t, signalai neuZregistruojami. Kokia yrasignalo praradimo tikimybe?

3 pavyzdys. Kvadratines lygties x2 + 2px + q = O koeficientai atsitiktinaiparenkami i5 atkarpos [-1, l]. Kokia tikimybe, jog lygties sprendiniai bus rea-lieii?

l laal3 ' � 1

FqI

= : . A

2 pav.

25

A Ct={ ro=(p ; q ) , lp l< r , lq l<U,

A = ( @ = ( p ; q ) : p 2 - q > _ 0 ) .

Kadangi lOl = + (3 pav.) ir

I| . l i , . t . . .

d o = 9 .l A l = J @ ' - 1 - r ) ) . 3- l

)tai tikimybe P(A) =: . L 3 pav.

Baigdami skyri% atkreipsime demesi i tai, kad atsitiktinio eksperimentoklasikiniame ir geometriniame modelyje nurodyas algoritmas, pagal kur[ ivy-kio tikimybes skaidiuojamos neatliekant eksperimentq. Tai Siq modeliq pri-valumas. Tadiau jie turi ir trnkumq. Visq pirma, Sie modeliai grindZiami intu-ityviai apib0dintu vienodo galimumo principu. Remdamiesi tokia negrieZtainusakyta s4voka, negalime kurti matematines teorijos. Antra vertus, Sie mode-liai apib[dina tik siaur4 atsitiktiniq reiSkiniq (simetriSkq) klasg. Tolesnds i5va-dos bus grindZiamos aksiomq sistema, kuri neturi tokiq trtikumq.

UZdaviniai

1. Simetri5ka moneta metama tris kartus. Sudarykite 5io eksperimentomatematini model[ @,4 P). Nustatykite, kiek [vykiq yra algebroje .7 Ap-

skaidiuokite ivykiq

A = {metant antrq kart4 atvirto herbas},B: {metant tredi4kartq neatvirto herbas},C = {nors vienq kart4 atvirto herbas}

tikimybes.

2. Lo5imo kauliukas metamas du kartus. Sudarykite Sio eksperimentomatematini modeli. Nustatykite, kiek [vykiq yra algebroje.Z Apskaidiuokite

ivykirl

A : {atvirto vienodas skaidius akudiq},B : {atvirto ne maZiau kaip l1 akuiiq},C: {atvirtusiq akudiq sandauga yra nelyginis skaidius},D : {atvirtusiq akudiq didZiausioji reikSme ne maZesne uZ 5},E: {atvirto didZiausiqtikimybg turinti suma}

tikimybes.

26

3. DeZeje yra 6 rutuliai: 3 balti, 2 juodi ir I melynas. I5 jos atsitiktinai i5-traukiami trys rutuliai (negr4Zinamoji atranka). ApibreZkite elementariqjrl ivy-kiqtikimybes. Nustatykite, kiek [vykiqyraalgebroje.4 Apskaidiuokite [vykiq

,{ = { i5traukti rik balti rutuliai },B = { i5traukti du balti rutuliai ir vienas juodas rutulys },C: {i3traukti skirtingq spalvq rutuliai},D = {i5trauktas nors vienasjuodas rutulys},E = {neiStraukta n€ vieno juodo rutulio}

tikimybes.

4. Atsitiktinai i5rinktos Se5ios ZodZio KILOMETRAS raides sudedamosI eilE viena paskui kit4. Apskaidiuokite tikimybg, kad ivyks ivykiai 4 = {gau-namas Zodis KELIAS) ir B = {gaunamas pirmqiq SeSiq raidZiq rinkinys}.

5. Raides A, I, T, I, I, K, N, S, S, T, T, T atsitiktinai sudedamos I eilg.Kokia yra tikimybe i5 jq sudaryti Zod[ ATSITIKTINIS?

6. Telefono numeris sudarytas i5 5e5iq skaitmenq. Kokia tikimybe, kad:a) visi jo skaitmenys yra skirtingi;b) telefono numeris yra lyginis;c) pirmieji penki jo skaitmenys yra skirtingi, o numeris - lyginis;d) telefono numeris dalijasi i5 penkiq?

7. Tvenkinyje plaukioja 10 karpiq. 4 i5 jq buvo sugauti, paLym|ti irpaleisti atgal I tvenkin[. Antrq kartq sugauti 7 karpiai. Kokia tikimybd, kadanffAkartE:

a) sugauti trys Zymetieji karpiai;b) sugautas nors vienas Zymetasis karpis;c) sugauti visi karpiai yra neZymetieji;d) sugauti visi neZymetieji karpiai?

8. Apskaidiuokite tikimybg atspeti rn skaidiq, uZpildZius vienq loto 6 i5 48kortelg. I5nagrinekite atvejus m = 0 ir m = 6.

9. Sandelyje yra 20 pirmosios rti5ies detaliq, 6 - antrosios rflSies ir 4 -

trediosios r[Sies. Kokia tikimybe, kad atsitiktinai atrinktos dvi detales yraskirtingq r[Siq?

10. 100 gaminiq siuntos 5 gaminiai yra nestandartiniai. Kokybes kontro-lieriai atsitiktinai patikrina pusQ siuntos ir, radg nors du nestandafiiniusgaminius, siunt4 i5brokuoja. Kokia tikimybe, kad mineta siunta nebus i5bro-kuota?

P a s t ab a. Kai ndidelis,pasinaudokiteStirl ingoaproksimacija

,t- nn"-'Jfr.

27

11. I5 deZes, kurioje yra 2n balttl ir 2n juodq rutuliq, i5traukiama 2n rutu-liq (gr4Zinamoji ir negr4Zinamoji atranka). Kokia tikimybe, kad imtyje busvienodas skaidius baltq ir juodq rutuliq? Remdamiesi Stirlingo formule, ap-skaidiuokite apytikslE tikimybes reikimg, kai n = 25 h kai n = 50.

12. LoSimo kauliukas metamas n kartq. Apskaidiuokite tikimybg, kad:a) nors vienqkartqatvirs Se5ios akutes;b) vien4 kart4 atvirs Se5ios akutes;c) atvirtusiq akudiq suma bus didesne uL 6n - l.

13. N operatori4 i5 kuriq dvi yra naujokes, atsitiktinai suseda prie ratusustatltq displejq. Kokia tikimybe, kad naujokes sedes greta? Kaip pasikeis 5itikimybe, jei displejai bus sustatfi ant stadiakampio stalo ir operatords suses i5vienos stalo pusds? Kokia tikimybe, kad Siuo atveju tarp naujokiq sedes vienapatyrusi operatore?

14. Atkarpoje atsitiktinai paZymimas ta5kas. Kokia tikimybe, kad jo

atstumas iki atkarpos vidurio bus didesnis uZ treddali atkarpos ilgio?

15. Atkarpoje [0, l] atsitiktinai pasirenkami skaidiai a it b. Kokia tiki-

mybd, kad determinantas l# '-l

0", neneigiamas?I b 4 o l

16. Taikinys sudarytas i5 l0 koncentriniq skituliq kuriq spinduliai

& < Rz <...< Rro. A1: {pataikyta i spindulio R1 skrirul[], ft = 1,10 . K4rei5kia

ivykiaiA = A r U 4 U A 6 , B = A 2 n A 4 n 4 n 4 ,c = (Ar tJ A)n A6, D : 4 \ (AtU Ar) ,E= At \(4 n Ar), F =(,trtJ' tr)r 4zTaikinyje atsitiktinai paZymimas taSkas. Kokia tikimybe, kad ivykiai A,

B, C, D, E, F [vyks?

17. Atsitiktinai paZymimi trys apskritimo taSkai A, B ir C. Kokia tiki-mybe, kad trikampis ABC yra smailusis? bukasis? statusis?

) ) )18. El ipsoido : -+Z=+: ;= I v iduje paZymimas taSkas. Kokia t ik i -' 2 2 3 ' 4 '

mybe, kad jis pateks i rutul lxz + y' + z2 < 4?

PAGRTNDINES TTKIMYBIU TEOREMOS

Siame skyriuje irodysime teoremas, kurios supaprastina sudetingq

[vykiq tikimybiq skaidiavim4. Jos iSplaukia i5 tikimybiq teor|os aksiornq.Be to, tarsime, jog teorinis eksperimento modelis, arba tikimybine erdve(A, g,P), yra fiksuota, t. y. visi nagrinejami [vykiai ir jq tikimybes yra i5

tos padios erdves.

2.1. Tikimybiq suddties teorema

Kai ilykiai A ir B yra nesutaikomi, galioja adityvumo aksioma:

P(Au B) = P(A) + P(B) .

[rodysime bet kokiq (nebtitinai nesutaikomqi$ ivykitt A ir B tikimybiqsud€ties teoremq.

1 teorema. Dviej4 i,,yki4 sqiungos tikimybe lygi t4 ivykiq tikimybi4 su-

mos bei ivykiysankirtos tikimybds skirtumui:

P(AU B) = P(A) + P(B) - P( l n B).

A Bet kuriems [vykiams A ir B (4 pav.) teisinga lygybe

A n B = A u @ \ ( l n B ) .

[vykiai A ir B \ (A n B) yra nesutaikomi, to-

del, pagal 3 aksiom4

P(AJ(B \ ( ln B)) =

=P(A) +P(B \ @nBD.

K a d a n g i A l B c B , t a i

P(Au B) =P(A) + P(B) -PUn B)

(b. 1.4 skyrelio 2 iSvadfl. Adityvumo aksiomos pletinys [rodytas. A

Siq teorem4 galima apibendrinti imant bet kuriq baigtine ivykiq sekq 41'

Az , ' . ' , An .

4 pav.

29

( n \ '

2 teorema. Pl Ul, l= ) rt,er) -2*@, I A1) +I r= l ) L= t i<k

+ lY1t, n A2n A^) -...+ (-l)'-r dnr, Ij<k<m

\ r=t )A [rodoma taikant indukcijos metodq ir remiantis I teorema. Pateiksime

[rodym4 imdami tris ivykius: A6 A2ir A3.

P( l r U A2U 4)=P((A.U t )U At)=P(A.U Ar1+P(4) - P(4 U

U 4) n ft) = P (A) + P (A) - P (Ar A At) + P (A) - P (At n 4) -

-P(Azf i l : ) +P((4 n \ ) f iU2f l l r ) =P(A) +P(Ar) - P( l : )

-p(A,fiAr) -p(a n 4) -t(trrrtu) +p(4 n A2n4). a

Isvada. p(4 U A2U... l) t ,)st(,t ) +y(,tr) *.. .* p(,q,).Jos [rodymas i5plaukia i5 I teoremos ir indukcijos.I5sprgsime kelet4 pavyzdZiq.

1 pavyzdys. DeZeje yra l0 i5 eiles sunumeruotq rutuliukq. Atsitiktinaii5haukiamas vienas jq. Kokia tikimybe, kad to rutuliuko numeris dalijasi i5 2arba i5 3?

A A={rr l1 , t r l2 , . . . , t r )16} ,

41 = {rutuliuko numeris dali jasi i5 2} = {o2,o4,1116,os,o1s} ,

42 = {rutuliuko numeris dalijasi i5 3 } = {ro., rrlu, otn } .

Sie ivyt<iai yra sutaikomi, nesAr I Az= {rutuliuko numeris dali jasi i5 2 ir i5 3} = {tou}.I5 tikimybiq sudeties teoremos, remdamiesi klasikiniu apibreZimu, gau-

name:

p(a u Ar)=P(A,) +Y(t) -p(a fr Ar)=H.ff #=

= t * ' -

t = 0 . 7 . A1 0 l 0 l 0

2 pavyzdys. Du objektus jungia trys ry5io kanalai. Kiekvieno kanaloveikimo tikimybe lygi pt, dviejq kanalq - p2, visq trijq kanalq - p3. Apskai-diuokime tikimybg, jog veiks nors vienas kanalas ([vykis A).

L A; = {veikiaj kanalq}; (, ia j = 1, 2, 3.

I5 2 teoremos i5plaukia, kad

p(t)=P(AtU A2l) 4)= c lp, - c l p, + c l pt .

Taigi P(A) =3h-3pz+h. Atkeipkite demesiiog pt3pzspr Kodel? A

3 pavyzdys. (Sutapimo uZdavinys.) Para5yta n lai5kU jie sudelioti I vo-

kus, o ant Siq atsitiktinai uZra5yti reikiami adresai. Kokia tikimyb€, kad nors

vienas lai5kas bus i5siqstas reikiamu adresu?

L Aj = {j-tasis lai5kas bus i5siqstas reikiamu adresu}; tia j = 1, " .

Vienodai galimq keitiniq skaidius yra nl, o ivykiui A; palankirl keitiniq

skaidius - (n - l)1. Tuomet

P ( A , ) = g a ! = ! . i = Y n .' J ' n l . n

[vykio 17 fr At = {7-tasis ir k-tasis lai5kas bus i5siqstas reikiamu adresu},

kaij*k,tikimybe

p( A, n 1,. '1=@-2)t '= I

' r ^ ' n l n ( n - l )AnalogiSkai

P @ j n A k n A ) - ( n - 3 ) ! = ] - , i + k * m ,nl, n(n -l)(n -2) "

( . - \p l ne l - (n

- (n - l ) ) ! - tl l l ' l n t . n l\ / = , )

Sutaikomiesiems [vykiams A1, A2,..., A, pritaikg 2 teorem4 gauname:

( , \ , , Ipll" l,s, l=, !-ri=l ^ +ci .--f- -...+(-r)'- ' I=- [ H ' ) ,

- ' n ( n - t ) " n ( n - t ) ( n - 2 ) n l

, l . l . ( - l ) ' - '= l - - T - - . . . T - .

2l 3! 4t

Ie5komoji tikimybe

( , ) , r r r Jr l Ur , l= ' - )#I r= r ) i=o r '

-1 . a

J I

Pfl)A,'l-,-"\ ,,=t )

K a i n J - r

Vietoj lai5kq imdami sunumeruotus nuo I iki n rutulius, sutapimo

uZdavini perfrazuokite ir issprgskite, kai atranka yra grEZinamoji. Palyginkite

tikimybes, kai n -+ * .

3 teorema. Jei ivykiai A1, Az, ..., An sudaro pilnqjq. ivykiy grupq, tai

.A/ P ( A , )

= 1 .

A [rodymas i5plaukia i5 sqrySiq

n

U n , = Q , A , l A r , = a , i + k ,

reikia tik atsiZvelgti [ 2 ir 3 aksiomq. APraktikoje, kai ivykiq skaidius didelis, tikimybiq sudeties teoremq taikyti

sudetinga, nes tenka daug skaidiuoti. Nurodysime ivykiq sEiungos tikimybes

skaidiavimo algoritm4 neturint[ Sio tn]kumo.

4 teorema. Bent vieno i3 ivyki4A1, Av ..., A, pasirodymo tikimybe

( n ) f , - )*l Ur, l='- .1 n4 |l . ; = r J \ r = r )

A Jos irodymas i5plaukia i5 Morgano formuliq:

( n \ ( , ) / r - )t l Ur, l='-* l Ur, l='-* l f-)+ | [ r = ' / \ r = ' J \ r = r )

Baigdami skyreli, pabresime, jog tikimybine erdvd (e2,7, P) yra fiksuota'

Priesingu atveju galime gauti paradoksaliq iSvadq'

Pavyzdys. Vilniuje ir Londone tuo padiu metu lyksta teniso turnyrai.

Tikimybe, kad Zaidejas, gyvenantis Kaune, gali iskovoti pirmqis viet4 Vilniaus

turnyrl, P(V) = 0,6' tuo tarpu Londono turnyre - P(L) = 0,9' Kokia yra tiki-

mybe Siam Zaidejui i5kovoti pirm4i4vietq?A Atrodo logi5ka, kad 5i tikimYbe

P(VUL)=P(V)+P(L ) .

Tadiau tada P(V U L) : 1,5 ! Kodel gavome tok[ absurdisk4 rezultat4? A

J Z

2.2. Sqlygin6s tikimyb6s

Sakykime, atsitiktinio eksperimento matematinis modelis yra sudarytas.Kanu apibreZta kiekvieno atsitiktinio [vykio A tikimybe P(A), kuri Siame

modelyje nekinta. J4 vadinsime besalygine tikimybe. Tarkime, kad' atlikus

eksperiment4 iryko [vykis B. Si nauja informacija gali pakeisti [vykio A' jeijis

susietas su B, tikimybg. I5nagrinekime pavyzd[ - radijo lempos ilgaamZi5kumo

tyrim4. PaZymekime ivyk[:A : {radijo lempa nesugedo per laiko tarpE [0, Z] ].Sakykime, [vykio A bes4lyginq tikimybq P(A) Zinome. Toliau tarkime,

kad [vyko [vykis B: {radijo lempa nesugedo per laiko tarpq [0, fr]]; dia

Tr<T (5 pav.). Papildoma informacija (iryko B) keidia tikimybq P(A): gau-

name s4lyginq [vykio A tikimybg, kai [vyko B. J4 Zymesime P(AlB) arba Pa(A).

Kaip apskaidiuoti s4lyging [rykio tikimybg?I5 pradZiq aptarsime statistini jos skaidiavimo metod4 veliau * geomet-

rini, galiausiai sqlyging tikimybg apibresime aksiominiu bldu.Sakykime, atlikome n eksperimentq (i5tyreme n radijo lempq). lvykis B

ivyko k(B) kartq. Is /<(B) eksperimentq su [vykiu B k(AlB) kartq [vyko ir ivy-

kis A. Tada [vykio A, kai ivyko [vykis B, santykinis daZnis

*( tna)w(tr a\=k(A-n!) = = !,=, =,( l f ; ,u). ' \ . ' ' " t * ( s ) k \ B ) W ( B )

Kai eksperimentq skaieius n yra didelis, santykiniai daLniai artimi tiki-

mybdms. Vadinasi, 5i4 lygybq galime interpretuoti kaip sqlygines tikimybes

P(AlB) iverti.Pabandykime geometriniu bodu sukurti sqlygines tikimybes skaidiavimo

algoritmq. Sakykime, statistinio eksperimento erdve fJ sudaryta i3 neskaidio-

sios aibes elementariqiq ivykiq (6 pav.). Tarkime, kad lvykis B [vyko' t' y'

5 pav.

J J

6 pav.

atsitiktinai parinkome ta5kE al e B. {vykis A ivyks, jei ol e AlB. Pagal

geometrinl tikimybes apibreZim4

ltnalI,nnalY(e1n)=-Ei-=-lri-:-F(B)lal

lgl_ = p(,ans)lrllol

Taigi siauroje atsitiktinirl [vykiq klaseje (vienodo galimumo principas)

sudareme s4lyginiq tikimybiq skaidiavimo taisyklE.I5 Siq samprotavimq ai5keja aksiominis sqlygines tikimybes apibreZimas-

Apibr€Zimas. [vykio A sqlygine tikimybe, kai i'vyko i',ykis B, vqdiname

ivykiaA ir B sqnkirtos bei ivykio B tikimybi4santyki:

A N Bt ( t1a)= ' Ei l t " ' , kaiP(B) + o.p(a)

Anarogiskai v(a1,t)=- .!G!p, kai P(l) + 0.' P\A)I5 s4lygines tikimybes apibreZimo i5plaukia, kad

r ( , r1o )= r (z ) i r Y (e1e)= t .1 pavyzdys. IS l0 korteliu sunumeruotq nuo I iki 10, atsitiktinai istrau-

kiame vien4. Kokia tikimybe, kad ant i5trauktos korteles bus para5ytas:

a) nelyginis skaidius ([vYkis A);b) pirminis skaidius (lvYkis B);c) nelyginis skaidius, jei Zinome, kad ta kortele yra su pirminiu skai-

diumi?A f) = {co1 , 02, ..., tr)ro } ,

A = {tut,t, CD3, 0)5, (r)7,(D9 } ,

B = {{oz,(r)3, 05, CD7 } .

Bes4lygines tikimybes apskaidiuosime remdamiesi klasikiniu apibrdZimu:r ' r ' r l a l 4 2

P ( t \ = $ = l = 1 . P ( t r ) = = = - = ' : .- \--l le2l lo 2 lol lo 5

Toliau tarkime, kad kortele istraukta, o ant jos parasytas pirminis

skaidius. Si papildoma informacija keidia ivykio A tikimybg. Zinome, jog iki

eksperimento korteles numeris priklauso aibei o, o po eksperimento - Sios

aibes poaibiui B = {a2,o)3, o)5, tor} . Gauname naujq elementariqirl ivykiq

erdvE C)* = B su vienodai galimais elementariaisiais [vykiais:

p(r, )= P(t, )= P(,,r, ): t(t, ): i

sios erdves bazeje ivykio A tikimybg apskaidiuojame klasikiniu metodu:

n(a1 n) =P( r r r r , o r , r r ) =1

Pradines elementariqjq ivykiq erdves e bazeje sqlyging tikimybg ap_skaidiuojame remdamiesi jos apibreZimu:

3

P ( A t B ) = P ( A ] ! ) - r q - i a' P ( B ) = V =

4 ' ^

l 0

Taigi skaidiai P(A) ir P(A I B) apibrEilia ivykio A tikimybes skirtingoseerdvese: (A,g,P) ir (A.,d, P.). Antroji tikimybine erdv€ gaunama iS pirmo-sios: c)* = 8, ivykirl algebra .zj sudaroma i5 algebros g ivyki\ir B sankirtos,

o tikimybe P. = p(A I B) = lAlBl. Naujoji tikimybine erdve @,gnB, p.)l " l

yra patikslintas eksperimento modelis.Sprgsdami uZdavinius, galime taikyti du s4lyginiq tikimybiq skaidiavimo

algoritmus:r sudaryti naujq tikimybing erdvg @. ,9. , p-) ir tiesiogiai apskaidiuoti

tikimybg P" toje erdveje;o nekeisti erdves Q ir apskaidiuoti s4lyging tikimybq p(A I B), remian-

tis jos apibreZimu.Toliau taikysime antrqi I sqlygines tikimybes skaidiavimo algoritm4.Pastebesime, jog sqlygines tikimybes tenkina visas tris tikimybiq aksio-

mas. {sitikinkite. vadinasi, i5vados, kurias priejome nagrinedami bes4lyginestikimybes, galioja ir sqlyginems tikimybems.

Pateikiame dar vienq s4lyginiq tikimybiq skaidiavimo paryzd[.

2 pavyzdys. Elektrine grandine sudarytai5 trijq elementq (7 pav.). Tikimybe, kad, su-jungus 5i4 granding, elementai praleis elektrossrovg, lygi 0,5. Tokia pat yra ir tikimybe, kadSie elementai nepraleis elektros srovds. Yra ii-noma, jog srove grandine teka. Kokia tikimybe,kad ji teka .1 Saka? 2 Saka?

A Kadangi elektrine grandine sudarytagali b[ti dvejopos bfisenos, tai grandinesPazymekime [vykius:

A : {grandine praleidZia elektros srovg},A; = ff-toji grandines Saka praleidZia elektros srovE); tiaj = 1,2

i5 trijqbtisenq

7 pav.

e lementq i r k iekv ienas jqskaidius lygus 2' = 8.

35

Kadangi 41 cA,tar

P(AnAJ=p( .a , )= i= i ,8 2

P(An A)= p(e)= |= \ '' 8 4

5be to, P(A) = :.

Pasinaudojg s4lygines tikimybes apibreZimu, gauname:

I

1. p ( . t , I A \= != ' - . s

8

2.3. Tikimybiq daugybos teorema

15 s4lygines tikimybes apibreZimo

p(,t t a\=P(,1,n s). p b 1,4\ =P(1,18)

= P (B ) P \A )

iSplaukia svarbi tikimybiq daugybos teorema.L teorema. Dviei4 ivykiq sankirtos tikimybd lygi vieno ivykio tikimybei,

padaugintai ii kito ivykio sqlyginLs tikimybds:

A I B) =r( ,4) r (a 1 ; ) : r ( r ) r ( 'q l a) ,

kai P( , t )+0 r i P(B)+ 0.

Si4 teorem4 apibendrinsime indukcijos metodu.

2 teorema. Vist4lvyki4 A1,A2,...,A, pasirodymo tikimybe

p (A t , A2 , . . . , A , ) = y ( t , ) y ( t , 1 t r ) . . .Y ( t , I A t n A2 0 . . . f l l , - r ) '

ka i P (A r r | Az | | . . . l A , - t )+ o . r t t .

A Kai n = 2, Sios teoremos teiginys sutampa su I teoremos teiginiu'

Tarkime, jog 2 teorema yra irodyta, kai [vykiq skaidius lygus n - l ' Tada

n ivykiq atvej[teorema isplaukia i5 indukcijos prielaidos ir I teoremos, kurioje

A = A t l A 2 l . . . l A , - r , B = A , . L

II

1p(.t, t tl=? =' 5

8

I pavyzdys. DeZeje yra vienas baltas rutulys ir trys juodi. IS jos atsitikti-nai iStraukiami du rutuliai. Kas labiau tiketina: iStraukti du juodus rutulius(ivykis A) ar vien4 juod4 ir vienq balt4 ([vykis B)?

A Atrodo, jog labiau tiketinas [vykis A, nes juodq rutuliq deZeje yra triskartus daugiau.

Galimi [vairfs imdiq sudarymo bldai.l. Rutuliai traukiami kartu. Tada, pagal klasikini tikimybes apibreZim4

l,ql c., c,o IP ( . 4 ) = = =

- . . : _ .

lol ci 2

lal cl cl IP(B) =- = - ' � : - = - .

lal ci 2

2. Rutuliai traukiami po vien4. Paiymdjq

A1 = {pirmasis i5trauktas rutulys yra juodas},42 = {antrasis iStrauktas rutulys yrajuodas},

i5 tikimybiq daugybos teoremos gauname:

p(.s) =P(rr n,ar) = Y(,e)Y(,q, I t) =i : =:+ 3 Z

Paimejq81 = {pirmasis i5trauktas rutulys yra baltas},82 = {antrasis iStrauktas rutulys yra baltas},

turime:

p(r)= r((.n, 0 ar)U(a,t 4))= p(.n, n r, )+ r(a, I Ar)=

= P(A, )p (s , | , t , )+Y(a , )p ( ,q r lB , )= IL

Taigi abiem biidais sudarydami imtis, gauname tq pati rezultatq: [vykiai Air B yra vienodai tiketini, nes P(A) = P(B). Apra5ytus imdiq sudarymo b[dusvadiname negr4Zinamosiomis atrankomis.

3. Rutuliai traukiami po vien4 tadiau pirmasis iStrauktas rutulys dedamasatgal i deZg ir paskui traukiamas antrasis rutulys. Tai gr4Zinamoji atranka.

Siuo atveju

P(A)=P(r ,n A)=1 +=+,' 4 4 1 6

p(B)= p( ( .a , n B)u(Bt t Ar) )= + +* I . 3 = l

4 4 4 4 8

ir [rykis A yra labiau tiketinas. A

37

2 pavyzdys. Raides A, A, A, M, M, T, T, K, I, E atsitiktinai ra5ome vienq

Salia kitos. Kokia tikimyb€, kad sudesime Zod[ MATEMATIKA?A I5 pradZiq 5[ uZdavini sprendZiame remdamiesi tikimybiq daugybos

teorema (negrqZinamoji atranka, raSome po vienqraidq):

P(MATEMATTKA) = 1 t ? : ' - '= \ i1 t= '+' 1 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 !

Tada tikimybq apskaidiuojame taikydami klasikini jos apibreZim4 (ne-

gr4Zinamoji atranka):

P(MATEMATIKA) = i='#= #r-

DidZioji studenfq dalis gali buti rami: neitiketina, kad, atliekant eksperi-

mentQ, pavyks sudeti 5i,,siaubing4" Zod[. A

2.4. Pilnosios tikimybds formul6. Bejesoteorema

I5 tikimybiq suddties ir daugybos teoremq isplaukia labai svarbus prakti-

kai ir tolesniam kursui teiginys - pilnosios tikimybes formule.

L teorema (pilnosios tikimyb€s formul6). Jei ivykiai Hr Hz, "', H, su'

daro pilnqjqityki4 grupQ, tai bet kurio ivykio A tikimybe

n

P(A)= ) r1 r , ) P (A l H ) ,

k a i P ( H 1 ) + 0 , j = l , n .

Kadangi su visaisT + ft

(An H )n ( ln H1) = (A t^ l ,< )n (H r n H) = t lQ = A,

tai, remdamiesi adityvumo aksioma, gauname:

( n ) ,

p(A\= p l I l ,q nH , l= ) .p t .e f l H , ) .l \ J r |

I r= r ) t= l

Belieka pritaikyti tikimybiq daugybos teorem4:.A

P ( , 4 ) : L P ( H , ) P ( A l H r ) . i = l

A A isku , kad A=Ana=A i l )HJ ]=u , f iH t .\ r = r ) t = l

38

{vykiai {Hi, j =t,"1ya tikimybinio eksperimento s4lygq prielaidos.Todel natiiralu juos vadinti hipotezemis. Pilnosios tikimybes formule naudingatada, kai atsitiktiniq baigdiq eksperiment4 pavyksta suskaidyti i du etapus:pirmajame ,,suZaidZiame" eksperimento sqlygas, antrajame - jo rezultat4.

Pateiksime pavyzdliq.

I pavyzdys. I5 deZes, kurioje yra n baltq ir ru juodq rutuli4 dingo vienasrutulys. Paskui i5 jos buvo traukiamas dar vienas rutulys. Kokia tikimybd, kadjis baltas?

A PaZymekime:

I11 = {dingo baltas rutulys},g, = {dingo juodas rutulys},A = {i5trauktas baltas rutulys}.

Tada

P(11r )=- ! - , * ( r r )= * ,

n + m n + m

P ( A l H t ) = ' - ' . P ( A l H , \ = n

' n * m - l n + m - l

15 pilnosios tikimybes formules

P(A) =P(H)P(A I H )+P(Hz )P (A l H2 )

iSplaukia, kad

P(A) =n + m

{domu pastebeti, jog tikimybe i5haukti balt4 rutuli dar nedingus pirmam

rutuliui, taip pat tygi #;.

Ji butq tokia pat ir dingus antram, trediam ir t. t.

rutuliui.lsitikinkite. a

2 pavyzdys. Iki rankinio turnyro pabaigos komandai reikia suZaisti dve-jas rungtynes, o norint laimeti dempionq vardq - surinkti du ta5kus (pergalevertinama 2 ta5kais, lygiosios - l, pralaimejimas - 0). Kokia tikimybe koman-dai laimeti turnyr4, jeigu visq rungtyniq baigtys (pergale, lygiosios, pra-laimej imas) yra vienodai tiketinos?

A Paimekime [vykius:A : {komanda tapo dempione},I11 : {pirm4sias rungtynes komanda laimejo},H2: {pirm4sias rungtynes ji suZaide lygiomis},H: : {pirmqiI susitikim4 komanda pralaimejo].

39

Ai5ku, kad

P( /1 r ) = P(Hz) =P(Hz)=

P ( A l H ) = 1 , P ( A l H z ) =

J

zt ;J

P(A l H ) = !

1r3 .

P(A) = ) r1n , ) Y (A l H , ) = ' ; .j= l

lsigiling i Sio eksperimento busenq sche-

m4 (8 pav.), kurioje tamsiis rutuliukai vaiz-

duoja [vykiui A palankius atvejus, matome,

kad lvykio A tikimybq galima apskaidiuoti

klasikiniu biidu:

A 'p ( t \ = Y = - - .

q 1

Taipadarytimumsleidovienodogalimumoprincipas(vienodaitiketinair laimeti, ir pralaimeti, ir suZaisti lygiomis). A

2 teorema (Bejeso teorema). Jei gatioia I teoremos sqlygos' tai

P ( H j ) P ( A l H j ), i = 1 , n ,P ( H j l A ) =

| rwolP(Al H k)k= l

8 pav.

ka i P (A \ +0 .

A I5 tikimYbiq daugYbos teoremos

P ( H j l A ) = P ( A ) P ( H i l A ) = P ( H r ) P ( A l H j )

i5plaukia, kad

. . P ( H i ) P ( A l H j )P(H/ | A)=-- -T@-

Belieka pasinaudoti pilnosios tikimybes formule' A

Bejeso teorema kartais dar vadinama hipoteziq teorema' J4 galime interpre-

tuoti Sitokiu b[du. Sakykime, turime informacij4 kuri leidZia pries eksperimentq

apskaidiuoti hipoteziq tikimybes P(4); dia i = l'' ' Tai apriorin€s hipoteziq

tikimybes. Atliekame eksperiment4. lvyksta [vykis A. Kaip naujai [vertinti hipo-teziq tikimybes? Jq aposteriorin€s (po eksperimento) reik5mes P(fl; I A) (diaj == l, n ) lygios aprioriniq tikimybiq reikimems P(11;), padauginroms iS koeficiento

3P ( A l H t ) | L P ( H k ) P ( A l H k ) ,

j=r

eksperimento bazeje patikslinandio P(/1r).

3 pavyzdys. Gr[Zkime prie 2 pavyzdZio. Tarkime, po eksperimento(turnyras baigesi) suZinome, kad komanda tapo dempione. Patikslinsime apri-orines hipoteziqtikimybes P(H),P(H) ir P(t1r).

A Dabar aposteriorin€ tikimybe

P ( H t l A ) =P(f l r ) P(Al Ht)

i * , r ro , P(A;H) 2k= l

AnalogiSkai P(Hzl A)=: , P@tl1 i r : : Hipotez iq t ik imybes gal ima t iks-J O

linti ir toliau. A

4 pavyzdys. Tarkime, jog 5% vynlir 0,25o/o moterq yra daltonikai. Atsitik-tinai sutiktas asmuo pasirodo es4s daltonikas. Kokia tikimybe, jog tai moteris?

A Susitarkime, kad kalbame apie vienodq skaidiq vyrq ir moterq. Ap-tariamus [vykius paZymime raiddmis V, M ir D. Tada

Ip(v)= p(r"r)= i, p(o I v)= 0,0s, p(o I M)= 0,002s .z

Mums reikia apskaidiuoti aposterioring tikimybE P(MlD). I5 pilnosios

tikimybes formulds iSplaukia, jog

P(D) = P(V) P(Dl V) + P(M) P(Dl M) = 0,02625,

o i5 Bejeso teoremos

P(MlD) -P(M)- IP(D lM) t25

P(D) 2625 2l

2.5. Nepriklausomieji ivykiai

Nepriklausomumo s4voka - viena svarbiausiq tikimybitl teorijoje. Paban-dysime j4 apibldinti. Sakykime, eksperimento matematinis modelis yra ({2,7,P) ir A e 7, B e 7. Jei sqlygine tikimybe P(A lB) = P(A), t. y. jei [vykio B

1

.I

III

r

f

4 l

pasirodymas nekeidia [vykio A tikimybes P(A), tai nat[iralu ivyki A laikyti ne-priklausomu nuo ivykio B. Tada i5 tikimybiq daugybos teoremos i5plaukia, jogP(BIA) = P(B), t. y. ivykis B nepriklauso nuo A. Tokia simetri5ka atitiktis

pavaizduota 9 paveiksle

9 Pav.

Sie samprotavimai leidZia nat0raliai apibreZti dviejq [vykiqnepriklausomumE1 apibr0Zimas. {vykius A ir B vadinqme nepriklausomaisiais, kai i4

s ankirt o s t ikimyb e ly gi t i kimy b i4 s andaugai :

P(AnB) = P(A) P(B).

Jeigu P(A nD + P(A) P(B), tai [vykius A ir B vadiname priklauso-

maisiais.

I pavyzdys. Du kartus metama simetri5ka moneta. lvykiaiH1 : {herbas atvirto metant monet4 pirm4 kart4}

irI12 : {herbas atvirto metant monet4 antrq kart4}

yra nepriklausomieji, nes

p(H, n ru , ) = ] =1 .1 = p(H, ) . p (H, ) .4 2 2

2 pavyzdys. 15 36 kortq malkos traukiama viena korta. [vykiai

A: {i5trauktas t[zas]i r

f, = {i5trauktajuodos spalvos korta}

yra nepriklausomieji, nes

P ( A n r i l = 2 = r . P ( A \ = l = ! , P ( B ) = 1' 3 6 1 8 ' 3 6 9 2ir

P(AnB) = P(A) P(B).

[domu tai, kad, nedaug pakeitgpildom4 kortq gautume: P(A nD +klausomi. {sitikinkite.

fizin[ modeli pavyzdLiui, idejq vienq pa-

P(A) P(B), taigi [vykiai A ir B biiq pri-

42

P(AlB) = P(A)P(AnB) = P(A) P(B)

P(BlA) = P(B)

kas. ApibreZkime [vykius:O = { r = G ; y ) t 0 < x < l , 0 < y < l } ,

f ) l, = t r =

( x ; y ) : 0 < x < 1 , = = r = t i .

a = { r = ( * r v ) ' 2 )

t 3 " ' t ' o < r < l i '

C = { r = ( r ; y ) , 0 < x < l , 0 < y < x } .

A Tirsime ivykiq nepriklausomum4.Ai5ku, kad

lo l= r . l ,s l= ! . la l =1. lc l=1.r | | | 3 ' , ' 3 , , 2

Pagal geometrint tikimybes apibreZim4

ph\]4=t. p(s)=1. p(c)= L. ponB)=l ' ,n, ' l=1.l o l 3 ' 3 2 l a l e

p(,< nc)= E!,q = 1. p(anc)= lB,n,cl - s .' lo l r8 lol 18

Kadangi

p}qn a)=1 = I I = p(,r)p(a),9 3 3

p(.a nc)= I * 1.1= p(.a)p(c).

l 8 3 2

p ( a n c ) = 5 * ! l = p ( a ) p ( c ) .' l 8 3 2

tai irykiai A ir B yra nepriklausomieji, o A t C, taip pat B ir C - priklausomieji. APateiksime kelet4 elementariq teiginiq.1 teorema. Bet kuris i'vykis A ir butinasis ivykis d2yra nepriklausomieji.

P(A na) = P(A) = P(A) P(a).

2 teorema Bet kuris tvykis A ir negalimasis ivykis A yra nepriklausomieji.

lsitikinkite.3 teorema. Jei i'vykiai A ,, B yro nepriklausomieji, tai nepriklausomieji

bus ir i'vykiai A ir B, A ir B , A ir B .

p(B) = p(B [] uuTD = p((An a)u t7n aD = p(Al B) ++ P(7 n B) = P(A) P(B) + P(7n D .

3 pavyzdys. Vienetiniame kvadrate (10 pav.) atsitiktinai paimimas taS-

2 1J

10 pav.

43

I5 dia gauname:

P(7 lB ) = P (BX I -P ( r ) = P (7 ) P (B )

Kitus du teiginius paliekame irodyi skaityojui. AApibendrinsime nepriklausomumo s4vok4 imdami didesn[ skaidiq [vykiq.2 apibr6Zimas. [,vykius At, Az, ..., A,vadiname nepriklausomaisiais, jei

P (A j , n A j , n . . . n A i_ ) =P(A j , )P (A j , ) . . .P (A j , , )

s u v i s a i s l < 7 ' < j z < . . . < j - < n i r m l n .

Kai m = 2 ir n > 2, lrykiai vadinami kas du (poromis) nepriklausomais.

4 pavyzdys. Taisyklingojo tetraedro sienos nudaZy'tos taip: pirmoji - rau-dona spalva, antroji - Lalia, tredioji - m€lyna, ketvirtoji - visomis trimis spal-vomis. [vykiai Ay Az ir A3 reiSkia, jog atsitiktinai mestas tetraedras nukrisatitinkamai raudona, melyna arba Lalia siena. Ar priklausomi yra Sie [lykiai?

A Kadangi

P (A r ) =P(Az ) = PQ)=1=:

P(4 n Az) = P(Ar t A) = PG2n A) = l= 1 .1 =4 2 2

= p(r r )p(Az)= p(r r )P(r3) =P(A)P(A) ,bet

P(r ,n A2nA)=1- l i 1= PU' )P(A)P(A: ) ,4 2 2 2 "

tai fvykiai Ay A2 ir A3 yra poromis nepriklausomi, bet visisomi.

Kartais [vykiai gali blti kas du priklausomi, tadiau

= r(,1 ) r(a ) n(c ) . ral iliustruoja 3 pavyzdys. lsitikinkite.

kartu - priklau-

P( l n Bn c)=

2.6. Nepriklausomieji eksperimentai. Bernulioformu16

Nepriklausomumo sqvok4 apibreZeme nagrinedami [vykius, esandius tojepadioje tikimybineje erdveje - vieno statistinio eksperimento matematiniamemodelyje.

Tarkime, kad atliekame du eksperimentus E1 ir E2, susietus su erdvemis

(etr,.4,Pr) ir (o r, 4,tr) .

Sudarysime Siq eksperimentq sudetini modeli - tikimybinp erdvq (O,,% P).

44

Elementariqiq [vykiq erdve f) imame erdviq fr1 ir f)2 dekarting san-daugq - sutvarkytqjq pory ( o'; ro" ) aibg:

O = Qr x0z - {r = (r ';ro"): or'e O,, ro"e SJ, }.

Kai erdve e) yra diskredioji, ivykiq algebra (o algebra) g =4x4

susideda i5 vis4 Q poaibiq sistemos. J4 sudaro [vykiai

A = A t x A 2 , k a i A r e 4 , A z e 1 .

Elementariqiq [rykiq tikimybes apibreZiame taip, kad jie btitq nepriklau-somieji:

P(t)= P(ro', r,/) = r, (r,r') r, (ro")

1 apibrdZimas. Eksperimentus E1 ir E2vadiname nepriklausomaisiais, jei

P(A)=p( , t ,x Az)=pr( t ) t r ( t )

su visais ivykiais A1e71ir A2eg2.Praktikoje tai reiSkia, jog vieno eksperimento baigtys neturi [takos kito

eksperimento baigtims.Eksperimentq Ev Ez, ..., E, (6a n > 2) nepriklausomumas apibudinamas

analogi5kai. Pabandykite.

1 pavyzdys. Atliekami du eksperimentai: metama simetriska moneta irlo5imo kauliukas. sudarykime siq eksperimentq sudetin[ modeli ir apskaidiuo-kime tikimybg, jog atvirs herbas ir lyginis skaidius akudiq.

A Eksperimentai El ir E2 yra tokie:

Er ' or = (H, s)= (r i ,rr) p,(r l)= !: Eiai=1,2;L

E2: Sl2 = ( r i . . . . r ; , i \ Yr l r l ' , ) = 1; e ia i = 1,6.6

Sudetinis eksperimentas:

E : S l = f ) , x f l , = { ro= (a , , ; a , i ) : i =1 ,2 , i = tS l .

Aibeje cl yra 12 elementariqiq [vykiq ir visq jos poaibiq sistema sudarosuddtinio eksperimento algebr4 7 = 4x4 .

Elementariqiq ivykiq o e Q tikimybes apibresime taip, kad a,, ir a,,b0fq nepriklausomi:

P(rr r ) = p(r i . ' , , r l j ) = : = l ] = n(of ) p2(ro l ) : I = l , 2 ; j = tS.t 2 2 6

45

Toliau tarkime. kad

A1 = {vykstant eksperimentui E1, i5krito herbas} = { ttli }'

42 = {vykstant eksperimentui E2, i5krito lyginis skaidius akudiq} :

= ldz,c{o, ro i l r .

[vykioA - At x Az : {i5krito herbas ir lyginis skaidius akudiq}= {(r,ri ; loi),@i; roi ), (ari ; roZ )}

tikimybE apskaid iuoj am e pagal klasikin[ apibreZi mq:

Sitaip apskaidiuodami ir kitq lvykiq iS,Ttikimybes, pagristume eksperi-

mentq E1 ir E2 nepriklausomumQ. Paprasdiausia nepriklausomqiq eksperimentq schema yra Bernulio eks-

perimentai. Apibiidinsime juos.

2 apibrelima s. Nepr iklausomuos ius eksper im entus, kuriL kiekv ieno metu

gati ivykti tik ivykis A arba jam priei;ingas iVkis 7 su nekintaniiomis visuose

eksperimentuose tikimybemis P(A) = p ir P( A ) = | - p' vadiname Bernulio

eksperimentais.Praktikoje tai reiskia, jog eksperimentai, turintys dvi baigtis (lvykius A

ir 11, atliekami nepakitusiomis sElygomis, taigi eksperimentai pasikartoja.

Simetriskos monetos mdtymas, grqZinamqjq imdiq sudarymas, berniukq

gimimas, losimas rulete, fizikiniq dydZiq matavimas - tai vis nepriklau-

somqj q eksperimentq pavy zdLiai. Detaliau iSnagrinekime gr4Zinamql q imd iq

sudarym4.Tarkime, rinkini sudaro N detaliq. Is jrl M yra standartines. Imtl sudarome

taip: i5 rinkinio atsitiktinai i5imame vien4detalp, patikriname, ar ji standartine,

dedame j4 atgal I rinkini, tada eksperiment4 kartojame i5 naujo ir t. t'

Taigi turime nepriklausomqiq eksperimentq schemq su dviem galimomis

baigtimis: A : {iSimta detale yra standartine} ir 7 : {isimta detale yra nestan-

dartine). Tai Bernulio eksperimentq schema. Kiekvieno eksperimento metu

t ikimybes P(A) = lL np< l, = t -+ yra pastovios.

Sakykime, atlikome n Bernulio eksperimentq. Tikimybes P(A) = p ir

P1/1 = q Linome. Kokia tikimybO, kad ivykis A ivyks ft kartq? Siq tikimybE

Zymesime P"(ft). xvII a. antrojoje pusdje Sveicarq matematikas J. Bernulis

tikimybems P,(t) skaidiuoti isvede formulg, kuri istoriSkai buvo pirmasis rim-

tas tikimybinis modelis nepriklausomqirl eksperimentq schemoje'

P(A) =P(A,x A.,)= l4

= 1o=*ro;p4) =I

46

Teorema (Bernulio formul€). P^(k) = CX po q'-0, k = 0,n.

A Paimekime ivyk[:A, = {atliekanr jrqii eksperiment4 [vyko [vykis A ].{vykis {atlikus n eksperimentq A ivyko t kartq} [vyks tik tada, kai [vyks

nors vienas i5 Sirl [vykiq:

Br = Ar l A2n. . .n A1, lZ** tn . . .n1 ,s, =4n A2n.. .n Ap f fZ*t 1. . .0 t , ,

n, = , l r l41 . . .17 , -o f f A , - * * r l ) . . . f f ,1 , .

Apskaidiuosime kas du nesutaikomq ivykiq \ (j = t, r) stuiel,f s. {vykioA pasirodymq skaidius fr yra fiksuotas. Gali keistis tik i"ykiq {[vyko A] ir{ivyko I } i5sidestymas n eksperimentq serijoje. Tokiq skirtingq iSsidestymqskaidius s =CI .

I5 adityvumo aksiomos iSplaukia, kad

p , ( k ) = p ( q U 8 2 U . . . U 4 ) = p ( a , ) + e ( r r ) * . . * p ( 8 , )

Kadangi [vykiai yra nepriklausomi, tai

P ( B r ) = p o q ' - o ; / = l J .

Todel galutinai

P,(k) = sP(87) = CI pk q'-k . L

2 pavyzdys. Lo5imo kauliukas metamas l0 kartq. Kokia tikimybe, kadSe5ios akutes atvirs 3 kartus?

A i i a n = t o . k = ^ | 5, 3, p = e,

q =t - p = A.

Remdamiesi Bernulio formule,

gauname:

3 pavyzdys. Kas labiau tiketina: laimeti dvi partijas iS hijq ar tris iS pen-kir6 ZaidZiant su lygiaverdiu Zaideju? (Lygiosios negalimos.)

Bo(3)=.*[*l[;l =# $=0,,55 a

A Siuo atveju p =, =: O

^ / r \ 3 ?P,(2)=ct l ; | = ; ,

\ L ) o

. / r \5 sP , ( 3 ) = c ; l : l : ; .

\ z ) r o

ra ig i P3(2)>P5(3) . a

Bernulio eksperimentq schem4 galima apibendrinti. Sakykime, atliekant

kiekvien4 eksperiment4 gali [vykti ivykiai Ar A2,..', A., kuriq tikimybes p1 =

= P(Ar), ..., Pm= P(A') nekintair p1 + Pz+ "' * P^= 1' Tarkime' kad atl ikome

n tokiq eksperimentq. Tikimybg, kad ivykis Ar ivyks k1 kart6 ivykis 42 - ft2

kart* ..., [vykis A' - k' kartq pairymejgP,(k1, k2, "', k^), gauname apiben-

drint4 Bernulio formulE:

pn(k t , k2 , . . . , k ^ )= ; * , , p i ' p t ' . . . p : , i ,^ l ' . ^ 2 : . . . ^ m :

kai k1 + k2+ . . . + k^= n-Atskiru atveju

pn&r ,k r )=+p f ,p : , = - -n ! . \ ek 'qn -o ' =P , ( / r , )n1 :n2 t r t ' z k t l \ n - k t l ' '

4pavyzdys. ISdeZes,kur io jeyra3bal t i '4 juodi i r5melyni rutu l ia i 'a ts i -tiktinai traukiami 6 rutuliai. Kokia tikimybe, kad bus istraukti 2balti,3 juodi ir

I melynas rutulys?i a) Negr4Zinamoj i atranka (priklausomiej i eksperimentai):

p(.t \=ci ci c! = . ?;0,_!.ut^ ==0,065...- \ . - / C r 6 , 1 2 . l 1 . 1 0 . 9 . 9 . j

b) Gr4Zinamoji atranka (nepriklausomieji eksperimentai):

p.b3.r)= 6! f 1f f 1l ' f :)2 =0.,058. a2 B ! l ! [ 1 2 . / l . 1 2 J \ t 2 )

2.7 . lJhdaviniq sprendimo pavyzdziai

Siame skyriuje nagrinetos s4vokos ir teiginiai yra labai svarbls prak-

tikoje. Kad st<aityiojas juos geriau suvoktrS _issprqsime keletq uZdaviniq. I5

praiZiq priminsime ieiginius, kurie ypad aktualgs sprendZiant uZdavinius.

48

Ivykiq Ar Az, .,,1----------------,. sqiungos ([vyko A1 arba A2, arba..., arba A,) tiki_mybg paprasdiausia skaidiuoti, tai ivykiai y.a kas du nesutaikomi. Tada norsvieno ivykio pasirodymo tikimybe nuiakoma aksioma

( n ) ,

PIUAj i=>P(4)\ r=r ) i=l

Ivykiq sankirtos (ivyko Al ir A2, ir ..., ir A,) tikimybe lengvai apskaidiuo_jama, kai [vykiai y.a nepriklausomi:

( n \ ,

, l )n, l=lf p(4)\ . t=r )

j -_ l

Kai [vykiai yra sutaikomi, remiames tikimybiq sud€ties teoremomis:( n ) , ( , \PIUAt l=)er,rrr -2r. .o, f r , tol +. . .+(-r) ,- t r l h^, Il r = r ) i = t i < k t r = i ' I

arba( n

' \ / , \ell),t, l= ' - rl in' I

\ r = l / l i = t )

skaidiavimas pagal sias formules supaprasteja, kai nagrinejami ivykiaiyra nepriklausomi.Priklausomiesiems [vykiams taikome teoremE

( , ) ( , _ , )Pl|1Ai l=*(n,)p(er t r , ) . .Pl ,q, l i t i l .l r = r j I i = i " )

. Prie Siq teiginiq prijungg pilnosios tikimybes, Bejeso ir Bernulio for-

mules, gauname puiki4 tikimybiq skaidiavimo algoritmq puok5tg.

I uZdavinys. Du sauriai sauna i taikin[ nepriklausomai vienas nuo kito.Pirmojo pataikymo tikimybe 0,7, antrojo - 0,g.-Kokia tikimybe, kad i taikinibus pataikyta?

A Pazymekime [vykius:41 : {pataike pirmasis Saulys},42 : {pataike antrasis Saulys}.

I taikini bus pataikyta, jei [vyks 41 arba A2, arba ir A1, ir Az, t. y.jei [vyksnors vienas ivykis. Vadinasi, reikia apskaidiuoti [vykio ,q, t) lrtldirnyUg. fui[vykiai nepriklausomi (sutaikomi), is tikimybiq sudeties teoremos gurnu.n",

p(At tJ tr) = y(t ) + y(,t

) - p(.t )y(tr) = g,sa,

arba

P(4 u Az)=t-P(At)P(Ad= I -0,3 '0,2=0,94 '

Si uZdavini galima sprqsti ir kitu bldu. PaZymekime: B : {i taikini buspataikyta). Tada

B = (A rn A lu (4n ,qu tA tn A ) .

Kas du nesutaikomiems ivykiams (suskliaustiems) pritaikq 3 aksiom4 ir

pasinaudojE ivykiq nepriklausomumu, gauname:

p (a )= P (4 U Az )=0 ,1 '0 ,2+0 ,3 '0 ,8+0 ,7 '0 ,8 = 0 ,94 . A

2 uZdavinys. Rysio kanalu nepriklausomai vienas nuo kito siundiami trys

signalai. Jq priemimo tikimybes Yra Pv pz ir pz.Kokia tikimyb€, kad ivyks Sie

[vykiai:

4 = {bus priimti visi signalai},B - {bus priimtas nors vienas signalas},C - {bus priimtas vienas signalas},D = {nors vienas signalas bus nepriimtas}?

A Parymekime: Ai= {bus priimtas j-tasis signalas};diaj = 1,2,3'

Tada

P(A) = P@t n A2 n 4 ) = P (4 )P (A2 )P (4 ) = APzP t '

P (B ) = P ( l r U A2U 4 ) = P ( l r ) +P (A r ) +P(13 ) -P (A t )P (Az ) -

-P( l r ) P ( . \ ) - P (A)P (4) + P( l ' ) P (A2) P (4) =

= h + P z + P t - h P z - P r P t - P z P t + P G z P t '

arba

p(B) = P(4 u A2tJ 4)= I - P(4) P(4)pr4l =

= l - ( l - p r X l - p z ) ( - P t ) .

Toliau

p(c) = p(utn A, n uu ta n Arn Du (41 4 | A)) == P(Atn + n +l+ p(,1, 0 l, i 4) + P( At O,+2n,tr1 =

= pr ( t - p ) ( t - h )+ p2( l -p rX l - pz )+ p t t - n r ) ( l -pz ) '

P(D) = P(AU A,U41 = r - n1fi@fi1 ==1-P(4 |1Az f r4 )= t - Apzp t . L

3 uzdavinys. I5 n turimq raktq spynai tinka tik vienas. Jis randamas iSeiles taikant turimus raktus. Kokia tikimybe rasti tinkam4 rakt4:

a) pirmuoju bandymu;b) antruoju bandymu;c) trediuoju bandymu?

A Paimekime:A, = {tinkamas raktas rastasT-tuoju bandymu}; 6a j = 1,2,3.

Tada

r(,n, )= 1 ,n

y(,nr) = p t4 n Az) = p(A) p(A2 | At)= [ r - 1]f = t,\ n ) n - r n

P ( 4) = P U, n .4, n,4r) = p ( A,) p (4 | A,) p ( A, 14 f\ .t ) =

=[, -1) l , ' - ' ' ) | =]\ r z l \ l - n ) n - 2 n

Taigi P(1, )=p(,qr)= r(,1, )= 1 .n

Atkreipiame demesi I tai, kad visas Sias tikimybes galima apskaidiuotiklasikiniu metodu, nesiremiant tikimybiq daugybos teorema:

P(A) = P(A) = P(A) =(n - r) t - |

.n n

Pakomentuokite.

4 uZdavinys. I5 atsiriktinai sutiktq1000 studentq 500 skaito laikrait[ A,4OO _laikra5t[ B, 150 - laikra5t[ C. IS jq 140s k a i t o A i r B , 3 0 - B i r C , 4 0 - A i r C , l 0 -A, B ir C (l I pav.). lvertinsime tikimybg,kad atsitiktinai sutiktas studentas neskaito 11 pav.nd vieno i5 Siq laikra5dirl (ivykis D).

A NeZinomos tikimybes p(D) [verris yra santykinis daZnis O(o)

, n -

I eksperimentq skaidius, k(D) - [vykio D pasirodymq daZnis, atlikus n eksperi-I mentq. Taigi n = 1000 ir

r(o)= n- (r,(.t)+ *(n)+ 4c)- t(tn a)-r(Atc)_ *(nnc) ++ r ( , t r |Bnc ) )= 1000- (500+400+ 150 - 140 -30 -40+ l0 ) = 150 ,W(D) = 9,15.

Vadinasi, apie l5o/o studentq neskaito n€ vieno iS iiq laikra5diq.

5 l

5 uzdavinys. Metant l0 losimo kauliuktg nors vien4 kart4 atvirsta seie-tas. Kokia tikimybe, jog Se5etas atvirs nors du kartus?

A Paimekime ivykius:A = {Se5etas atvirsta nors vien4kartq},B = {Se5etas atvirsta nors du kartus},f = {Se5etas atvirsta vienq kart4},

A; = {metantT-tEi[ kauliuk4 atvirsta Sesetas], f = ilO .Apskaidiuokime s4lyginE tikimybg:

p ( a l t \ : P ( A l B ) ., P ( A \

Kadangi B =A \ C,tai BcA, o tada P(A n B) = p(B). Toliau

p(.q\ = r( lo I n,' l =' - IJ", +)=,-[;) ' ' ,t : ' l

t J - r I

P(B) = P(AIC) =P(A)- P(c) =p(A) -p(Arn +n n1l -- p( 4 n A, n...n1) -.. . - p( I, n .to 1...n.<,01 =

/ s \ l o | / s \ e= l - l : l _ t o . : . | : 1 .\ 6 i 6 t 6 . /

Galutinai

p(st t )=r- l^o sl- . r' 6 r v _ 5 r u

Tikimybiq suddties ir daugybos teoremos sekmingai taikomos apskai-diuojant sistemq patikimum4. Elemento (sistemos) patikimumu vadinsimetikimybg, kad elementas (sistema) veiks laiko taryqt.

6 uZdavinys. Sakykime, turime sistem4 sudaryt4 i5 nuosekliai sujungtq irnepriklausomai funkcionuojandiq elementq Ar Az, ..., An. Sistema veikia, kaiveikia visi jos elementai. Elementq patikimumas lygus py, pz, ..., pn. Apskai-e iuokime sistemos patikimumq.

L Aj = {elementas A; veikia laiko tarp4 r},5 = {sistema veikia laiko tarpqt}.

Elementqpat ik imumas P(Aj)= p1) t ia j =1, ,

Pritaikg tikimybiq daurybos teorem4 apskaidiuojame sistemos patikimum4:( n \ np(s) = pl )t, l=fIo,l " t = t I i = l

Kai elementai yra vienodai patikimi, t. y. kai p1 = pz = ... - pn = p, tai

P ( S ) = p ' .

iljI

t ,I 1a F

uidavinys. Sakykime, 6 uZdavinio sqlygoje apra5yt4 sistem4 sudarolygiagrediai sujungri elementai. sistema veikia, kai veitia nori ,rienaslos ele-mentas. Apskaidiuokime sistemos patikimumq.

A Tikimybiq sudeties teorem4 pritaikg neprikrausomiesiems ivykiams,gauname:

-!_p (s )= r_ l l ( r _ r r )i = l

Kai elementai yra vienodai patikimi (dubliuojanti sistema), tai

P( .S )= r - ( r -p ) ' . L

._ Technikoj e dainai tenka sprgsti atvirksdiE probrem4: kiek nepriklausomaiveikianditl ir vienodai patikimq elementg kuiiq p Zinomas, rertia iiungtiI dubliuojandi4 sistem4 kad jos patikimumas b0tq ne maZesnis uZ p?

Elementq skaidiq n randame iS-sprendg nelygybq

l - ( l - p ) ' 2 P .

Pabandykite.

8 uZdavinys. Blokas sudarytasi5 keturiq vienodq ir nepriklausomaiveikiandiq elementq (12 pav.). Ap-skaidiuokime:

a) bloko patikimum4 kai elementq patikimumas lygus 0,9;b) elementqpatikimum4 kai prognozuojamas bloko patikimumas lygus 0,99.A a) Bloko patikimumas

P(B) = P(lr n A)U (At I ti) = P(Ar A,trl + pe3 n A) -

-P(At I A2 n 4 n A) = 0,92 + 0,92 - 0,94 = 0,9639 .

b) Tarkime, kad elemento patikimumas yrap. Tuomet

P(lr n A)u (Az I A)) = o,ee ;p ' + p ' - p a = 0 , 9 9 ;

P = 0 , 9 4 8 7 . L

9 uzdavinys. Kuri is l3 paveiksle pavaizduotq grandiniq yra patikimes-ne, kai visi jos elementai vienodai patikimi ir veikia nepriklausomai vienas nuokito?

12 pav.

53

b)a)

13 pav.

A Tarkime, kad kiekvieno elemento patikimumas yra p.Tada'.

a ) P ( A r l ( A 2 \ J ( A : n A ) ) ) = p 2 ( r + p - p 2 ) ;

b ) P ( l r nAz^ t4 )U(Aq l t r ) )= p2 ( r+ p - p3 ) .

Kadangi p') p', tai grandine, pavaizduota 13 paveiksle, b, yra patlki-mesne uZ pavaizduotE l3 paveiksle, a.

Paimesime, kad, sprgsdami patikimumo uZdavinius, remem6s nepri-klausomumo s4lyga. Praktikoje dainai ji yra netenkinama. Tuomet sistemospatikimumo nepavyksta i5reik5ti elementq patikimumu. Dar reikia Zinoti irs4lygines tikimybes. Be abejo, sistemos patikimum4 [vertinti galima - nurodyigalimus jos reZius, kuriuos apib[dina elementq patikimumas.

10 uZdavinys. Sakykime, nagrindjame sudeting4 sistem4 sudaryt4 i5 nblok4 kuriq kiekvieno patikimumas Zinomas (pavyzdZiui, gautas eksperimen-tiniu budu). lvertinkime tos sistemos patikimumq.

A Paimekime:

A = {sistema veiks laiko tarpq r},

A, = {j-tasis blokas veiks laiko tarpq r}; 6a j =1,1', .

Nuosekliai sujungtq blokrtr sistemojen

A = ) A ' 'i=r

Tada

P(A)<minP(A1)

tr

Galut

( , )I - P(r) = "l UE l= 2r' - P(.4r ))

I r= ' ) t= ,

( n lPl f-lr, l< min P(A j) .

[ , = ' ) '

inai

r - t ( r -P(A j ) )<

54

Lygiagrediai sujungtq blokq sistemojen

A = U t , '

Siuo atveju

.AP(A)< LP(A t )

ir

Taigin

I - m-in(l -P(Aj)) < P(l) 3 ) r1,e.,).l = t

Sie patikimumo iverdiai da/naiyra netiksl0s, todel juos tenka koreguoti. a

1l uZdavinys. DeZeje yra N rutuliq, paZymetq skaidiais 1,2, ..., N. IsdeZes traukiama nz rutuliq (gr4Zinamoji atranka). Jeigu imtyje pasikartojandiqrutuliq ndra, tai ivykio A tikimybe lygi pr,jei pasikartoja bent vienas rurulys,tai [vykio A tikimybe lygi pr. Kokia tikimybe, kad [vykis A [vyks?

A Hipotezes tokios:H1 = {imtyje pasikartojandiq rutuliq nera},F12 = {imtyje pasikartoja bent vienas rutulys}.Pagal klasikini apibreZim4

| - P (A) = *()r'J = ** O -P (A ))

p(H,\ =l3l l - N(1i - rxN - 2) . . . (N -m + r)' -

lQl N^

=[r_t '1[ ,_z] f ,_zt) .l N / l N ) l . N )

P ( H z ) = l - P ( H r ) .

Pagal pilnosios tikimybes formulg,P(A) = P(Ht)P(Al H) + P(H)P(AI H) =

m / : r \ ( n , r ' . \=p'I I l t - !-) l*r , l ' - f l l , -+ l l" r = t \ / Y / | t J \ t Y )

)Kai p1 = pz= p, tai P(A)= p . L

12 uZdavinys. Gydytojas, tirdamas ligoni, itare, kad Sis serga arba ligaH1, arba ligaH2, arba liga H3. Kiekvienosiq tikimybe atitinkamai lygi p1, p2 irP3. Norddamas patikslinti diagnozg, gydytojas paskyre nauiq tyrim4 kuris su

tikimybe c,1 patvirtina lig4 H1, su tikimybe u2-ligqH2 ir su tikimybe crr - ligqH3. Naujasis tyrimas buvo atliktas penkis kartus: tris kartus diagnoze pasi-

tvirtino, o du kartus - ne. {verting tyrimo duomenis, nustatykite, kokia tiki-

mybe, kad ligonis serga ligomis H1, H2 ir H3.A Tyrimo rezultaq tikimybes apskaidiuojame pagal Bernulio formulg:

l igos H1 atveju p1 = Cioi(t -arY ,

l igosH2 atveju pr=Clcr ] ( f _ �arY,

ligos H3 atveju p. = Clal(t - o,rY .

Pagal Bejeso formulg nustatome, jog, atsiZvelgiant I tyrimo duomenis,tikimybe susirgti ligomis Hr, Hz arba H3 yra atitinkamai

P r ' p r P z ' P z P t ' P t L

Prp, + Prp,, +Pzpz' Prpr +PzPz + PtPt' PtPr + PzPz + PzPt

13 uZdavinys. I vienetini kvadrat4 (14 pav.) atsitiktinai metamos Se5iosdaleles. Kokia tikimybe, kad visos penkios kvadrato dalys neliks tu5dios?

A Paimekime ivykius:A; : {dalele pateko i sritii}; diaj = 1, 5 .

Tada, pagal geometrini tikimybes apibreZim4

1 - !P(A) =P(A) = P(A) = P(Aq) = ' -4 -4 - T t

4 t 6

l A I

p(1 . )= t3 i -J �=4= ' :t o t 1 4t - - t

Tai galime uZraSyti trumpai:4-n : - - - Tt

t 6 " ' "

4Dabar pasinaudosime apibendrinta Bernulio formule, atsiZvelgdami i tai,

kad kiekvieno eksperimento metu [vykis A; gali irykti su tikimybe pi' i =lJ '

Atlikus 6 tokius eksperimentus (daleles metomos po vienq), gaunama:

) 2 - - 2

P( Al = ot{ nz n n + n s + 6t pt f i , , o o r, + 6t pr pz

} n o n, *- 2 t ' "

-

n l o ! 6!+ 61 . p ,p24 ry ps + 6 t p tpzp tPa f i = j . hPzhnaPs .

::

I

IIIi

LI

II

I14 pav.

p ( A \ = ? o r ( 4 . T E ) f . L164

56

UZdaviniai

1. I5 skaidiq sekos l, 2, ...,20 atsitiktinai i5renkamas vienas skaidius. Ko-kia tikimybe, kad jis:

a) dalijasi i5 3 arba i5 7;b) dalijasi i5 3 arba i5 2;c) nesidalija i5 3 arba i5 2;d) nesidalija i5 3 ir i5 5?

2. I5 deZes, kurioje yra 5 geri ir 2 sugedg tranzistoriai, i5imami du (ne-gr4Zinamoji atranka). Kokia tikimybe, kad:

a) abu iSimti tranzistoriai bus sugedg;b) nors vienas i5imtas tranzistorius bus sugedgs;c) vienas i5 paimtq tranzistoriq bus sugedgs, o kitas - ne?

UZdavin[ sprgskite dviem bfldais:a) remdamiesi klasikiniu apibreZimu;b) taikydami tikimybes savybes.

3. Metami trys lo5imo kauliukai. Kokia tikimybe, kad atvirs vienodasskaidius akudiq?

4. Du Sauliai nepriklausomai vienas nuo kito po du kartus Sauna i taikini.Vieno pataikymo tikimybe lygi 0,6, kito - 0,7. Kokia tikimybe, kad i taikinibus pataikyta?

5. Viena po kitos metamos dvi simetriSkos monetos. PaZymekime [vykius:A = {pirmoji moneta atvirto herbu},B = {nors viena moneta atvirto skaidiumi},C = {nors viena moneta atvirto herbu},D = {antroji moneta atvirto herbu}.

Ar priklausomi yra [vykiai A ir B, A ir D, B ir C, C ir D?

6. lrodykite, kad:

a l P(7 |1E) = | - P(A)- P(B) + P(AI) B) ;

D P(Af l r )= p(.q)-p(a)- PU1E);

c) jei A ir B yranepriklausomi, tai P(A1 n)=Y1l1E1 ;d) jei A, B ir C yra nepriklausomi, tai

p(AtJ B U c)= y(l)+ r(a)r17; + r(c)r17; p( B)

57

7. DELeje yra keturi rutuliai, paLymdti skaidiais 000, 0l l, 101 ir 110. I5deZes atsitiktinai iStraukiamas vienas rutulys. PaZymejg [vykius Ao = {/<-tasisi5traukto rutulio skaitmuo yra 1), k = 1,2,3, nustatykite, ar jie yra priklau-somi. Apskaidiuokite tikimybes

P U l n 4 n 4 ) , P ( A t n A z n 4 ) .

8. Kvadrate atsitiktinai paZymimas taSkas. {vy-kiai A ir B rei5kia, jog tas ta5kas pateko I stadiakampesjuostas (15 pav.). Nustatykite:

a) ar [vykiai A ir B yra priklausomi;b) ar ivykiai A ir B bus priklausomi, jei i5 kva-

drato i5kirpsime maZ4 kvadrateli (paZymet4 juodaspalva). 15 pav.

9. Ar teisingas teiginys: jei ivykiai A ir B yra nepriklausomi, tai jie - su-taikomi. Atsakymq pagr[skite.

10. Ploto lDl srityje yra n skrituliq, kuriq spindulys r. Srityje atsitiktinai

paZymimas ta5kas. Kokia,tikimybe, kad jis pateks nors I vien4 skritul[? I5tirkite

atvei i , kai n -+ *, bet I = 1'e iu ) . t o .lDl n

11. Norint padidinti tam tikros sistemospatikimum4 prietaisas A dubliuojamas n - Ikartq (16 pav.). Prietaiso patikimumas yra p.Kiekvienas dubliuojantis prietaisas ijungia-mas raktu R, kurio patikimumas pr. Raktai irprietaisai funkcionuoja nepriklausomai. Ap-skaidiuokite sistemos patikimumq. Kiek prie-taisq reikia jungti I sistem4 kad jos patikimumas padidetq iki Po? 16 pav.

12. Ryiio kanalu nepriklausomai vienas nuo kito siundiami trys signalai.Jq priemimo tikimybe atitinkamai lygi pt, pz ir pz.Apskaidiuokite Siq [vykiqtikimybes:

,{ = {pri imti visi signalai},B = {priimtas nors vienas signalas},C = {nepriimti du signalai},D = {nepriimtas pirmasis ir trediasis signalas}.

13. Tevas, pastebejgs, kad sflnus vis geriau ZaidZia tenisq pasi8le kovotidel prizo, kuris skiriamas uZ nors dvi i5 eiles laimdtas partijas. Siinus turi pasi-rinkti vien4 i5 Siq strategijq: i5 pradZiq Zaisti su t€vu, po to - su dempionu ir

5 8

galiausiai - su tevu arba pirmiausiaLaisti su dempionu, paskui - su tevu, tada -vel su dempionu. Kuri4 strategijq sitlysite pasirinkti sfinui, jei dempionasZaidZia geriau uZ tev4?

14. Trys vaikai (pazymekite juos A, B ir Q meto kamuol[. Tas, I kuri pa-taiko kamuolys, iSkrinta i5 Zaidimo. Tikimybe, kad pataikys A, lygi 0,3, kadpataikys B - 0,5; Zaidejas C pataiko visada. Zaidim1pradeda A, po jo kamuolimeta B (ei nebiina iSkritps), paskui j[ - C ir t. t., kol lieka vienas nei5kritgsZaidejas. Koki4 strategijq (kur mesti?) turi pasirinkti Laidejas A?

15. Egzaminui sudaryta N bilietrl. Studentas iSmoko n bilietq (n < 1:|�.Kada labiau tiketina i5laikyi egzaminq- einant pirmuoju, antruoju ar t. t.?

16. Prietais4 sudaro du nepriklausomai veikiantys mazgai. Pirmojomazgo gedimo tikimybe lygi 0,2, antrojo - 0,1. Prietaisas sugedo. Kokia tiki-mybe, kad sugedo tik pirmasis mazgas?

17. De5iniojoje Svarko ki5eneje ya trys monetos po 20 centq ir keturiospo l0 centq, kairiojoje - Se5ios monetos po 20 centq ir trys po l0 centq. I5deSiniosios ki5ends i kairiqj4 perdetos Se5ios monetos. Kokia tikimybe, kad poto i5 kairiosios ki5enes bus i5traukta 20 centq moneta?

18. Fakultete yra n studentq i5 kuriq ki A = 1,2, 3) mokosi 7-tuosius metus.Atsitiktinai atrinkus du studentus, paai5kejo, kad pirmasis i5 jq mokosi ilgiau uZanhqi[. Kokia tikimybd, kad pirmasis studentas mokosi trediuosius metus?

19. Du krep5ininkai po tris kartus meta kamuol[ i krep5i. Tikimybe, kadjie kiekvien4 kart4 pataikys, atitinkamai lygi 0,8 ir 0,9. Apskaidiuokite tiki-mybg, kad:

a) abu krep5ininkai pataikys tiek pat kartq;b) pirmasis krepiininkas bus taiklesnis uZ antr4j[.

20. Pataikymo kiekvienu Slviu tikimybe lygi 0,8. Kiek kartrtr reikia Sauti,kad patikimiausias pataikymq skaidius brItr1 lygus 20?

21. Kiekvienas i5 devyniq rutuliq su vienoda tikimybe gali bflti idetasI vienq i5 trijq deZiq. Kokia tikimybe, kad:

a) i kiekvienq deZE pateks po tris rutulius;b) [ vien4 deZg pateks keturi rutuliai, I kitE - trys,

i t r e d i q - d u ; / / \ \c) visi rutuliai pateks i vien4 deZg? /

, / . \' \

l / 4 \ l22. Atsit iktinai paZymimi penki skritulio taSkai \/ \/

(17 pav.). Kokia tikimybe. kad: \- 3 -7

a) bus paZym€tos visos keturios skritulio dalys; --\-----l

b) visi taSkai bus taisyklingajame trikampyje?

59

17 pav.

F

L

trr, ATSITIKTINIAI DYDZIAI

Iki Siol (su maZomis iSimtimis) nagrinejome eksperimento atsitiktiniqbaigdiq kokybines i5rai5kas - atsitiktinius [vykius. Siame skyriuje atsitik-tinio eksperimento baigtis apibtidinsime kiekybi5kai. Kiekybine jqcharakteristika bus atsitiktinis dydis.

3.1. Atsitiktinio dydZio sevoka

Atsitiktinio dydZio sEvoka yra viena svarbiausirl tikimybiq teorijoje. I5pradZiq j4 iliustruosime pavyzdLiais.

1. Skaidius akudir5 kurios atvirsta metant loSimo kauliukq vien4 kan4.2. Nestandartiniq gaminiq skaidius imtyje.3. Lietuvoje per metus gimusiq k[dikiq skaidius.4. Telekomo per parq uZregistruotq pokalbiq skaidius.5. Atsitiktinai sutikto Zmogaus iigis.6. Matavimo paklaidos dydis.7. Difunduojandios daleles koordinate ir greitis tam tikru laiko momentu.8. Vandens lygis Nemune po Aleksoto tiltu l0 valandq.Kiekvienas Siq dydZiq atsitiktinemis aplinkybemis gali lgyti vienoki4 ar

kitoki4 (mums i5 anksto neZinom4) reikSmg. I3samiau aptarkime I pavyzdl. Sio

eksperimento baige iq aibe Q = { o", : j = tSl. Kiekvienam elementariajam [vy-

kiui trt, priskiriame skaidiq j - atvirtusiq akudiq skaidiq. Parymejg j[ raide X,

gauname: X = X(trl), or e f2 ir X(to) - j, 6a j =15. Taigi atvirtusiq akudiq

skaidius X yra aibeje fl apibreZta funkcija, kurios kitimo sritis { 1, 2,3,4, 5, 6}.Atsitiktinio dydZio kitimo sritl vadiname fgyjamq reik5miq aibe ir Zy-

mime Oy. Ji gali btiti dvejopa: diskredioji (baigtine arba skaidioji) arba toly-

dZioji (uZpildanti vis4 interval4). Diskrediql4 aibg iliustruoja l-4 pavyzdys,tolydZiqi4 - 5-8 pavyzdys. {gyjamq reik5miq aibe kartais bflna Zinoma prieSeksperiment4 Q ir 2 pavyzdys), tadiau praktikoje ji daZniausiai nera tiksliaiapibldinama. Sakykime, grandines [tamp4 matuojame du kartus. Atsitiktinisdydis - pirmojo ir antrojo matavimo rezultatq skirtumas. Teori5kai Sio dydZioigyjamq reikSmiq aibe yra R, tadiau praktiSkai - baigtine atkarpa [rz, b], kuriosrd,Ziq a ir & negalime tiksliai nusakyti. Pana5i situacija susiklosto ir 3-8pavyzdyje.

6 l

Atsitiktinius dydZius Zymesime didZiosiomis lotyniSkomis raidemis X, )',Z, o jLL igyjamas reik5mes - maZosiomis raidemis.r, y, z.

Intuityviai apibldindami atsitiktin[ dydi sakome, jog jis yra kintamasis,

igyjantis reik5mes atsitiktinai. Dabar 3i dydi apibre5ime tiksliai, siedami ji suaksiomrl sistema.

Sakykime, eksperimento matematinis modelis {9, g ,P} yra sudarytas.

Apibr€Zimas . V i enar eilrimq r eal iqj q funkcij q X(a), apibr eit q aibei e Sl,vadiname atsitiktiniu clytliiu, jei su kiekvienu realiuoju x aibe {a: X(al) < x}

priklauso,T

{ t r r : X(ro) < x} = Ae 9, xe R.

I5 apibreZimo iSplaukia, jog atsitiktiniu dydZiu laikomos ne visos ele-mentariojo [vykio funkcijos X(rrl), bet tik ,,geros" - i5matuojamos (madiosios)

funkcijos, t. y. tokios, kuriq tikimybes P(A) galima apibreZti. Atheipiamedemesi i tai, kad diskredioji Q Siq s4lygq tenkina. Apskritai taikomiesiemsmokslams, inZinerinei praktikai nebldingos nemadiosios funkcijos. Mlsq tiks-lams realizuoti pakanka Sitokio atsitiktinio dydZio apibreZimo: vienareikSmqrealiqj4 funkcij4 X(ro) vadiname atsitiktiniu dydZiu. Kitaip tariant, atsitiktinis

dydis X yra elementariqiq [vykiq erdves C) atvaizdis realiqiq skaidiq aibeje

R : f 2 x > e 2 " c R .

3.2. Pasiskirstymo funkciia

Norint nusakyti atsitiktin[ dydi, nepakanka Zinoti jo igyjamq reik5miq

aibg. Reikia apibldinti, kaip daZnai tas atsitiktinis dydis gali igyti Siasreik5mes, t. y. kaip tikimybes yra pasiskirsdiusios pagal igyjamas reik3mes.

Charakteristika, apibfldinanti 5i skirstinl yra atsitiktinio dydZio pasiskirstymo

funkcija.ApibrdZimas. Atsitiktinio dydiio X pasiskirstymo funkcija F vadinama

tikimybe,jogX<x:

r(x) = P(X < x) = P(r,l: X(rrr) < x), kai xe R.

Kartais, noredami pabreZti, kad F yra atsitiktinio dydZio X pasiskirstymo

funkcija. jq imesime Fy.I pavyzdys. Simetriska moneta metama du kartus. Atsitiktinis dydis X -

herbo atvirtimrl skaidius.A Sio eksperimento baigdiq aibe

Q = {H rH2 , H rS2 , qH2 , S rSz } ,

62

o . -- - I 0 2

PI^

IaL

I

4

o [vykiq algebra

g = @,(ror ), ..., (olo ), (01, rrl, ), ..., (o3, al4 ), ..., C)).

Tikimybes apibreZiame klasikiniu metodu:

Eia k = 0,4 - [vykio A elementariqiq ivykiq skaidius, n:4 - elementariqiq[vykiq skaii ius aibeje f2.

Taigi sudareme matematin[ eksperimento model[: {n, t ,p(O = +I .L 4 J

Atsitikrinis dydis

[2, uaio) = 0)1,

X = X(ro) = J

1, kai o = rrlz arba 0) = o)3,

[0, kaior = trl+.

Jo igyjamq reik5miq aibe f2,

mg 0, jei ivyks [vykis rrla. Todel

l,2). Atsitiktinis dydis X igis reik5-

P(x (o )=0 )= r (coa )= ]

AnalogiSkai

P(X(o) = l) = P(rrlr,rrlr) = P(oz) + P(ror) = 1,

P(X(rrr) = 2; = P1t,; =1.

vadinasi, atsitiktinis dydis X igyja reiksme s 0, 1,2 atitinkamai su tikimybemisI I l -

i, ,, i Si tikimybiq skirstin[ galime pateikti lentele:

Skaidiuojame pasiskirstymo funkcijq:

kai x < 0, tai F(;) =P(X < x) = 0,

ka i 0 < x < l , t a iF ( r ) = P (X <x ) = P (X = 0 ) =1 .4 '

P@) --Ln

k a i l < r < 2 , t a i F ( x ) = P ( X < x ) = P ( ( X = 0 ) U ( X = 1 ) ) = 1 . 1 = i+ t 4 '

kai x > 2, tai F (x) = P (X < x) = P((x = 0) U (X = l) U (X = 2)) = 1.

Vadinasi, pasiskirstymo funkcij a

0 , k a i r < 0 ,

f , m io< r (1 ,

? , k u i t < x 3 2 ,

l , ka ix>2.

Jos grafikas pavaizduotas 18 paveiksle. A

18 pav.

2 pavyzdys. Atkarpoje [4, b] atsitiktinai pazymimas ta5kas (tai gali bUti,pavyzdLiui, gedimas tiesioje telefono linijoje, avarija tiesiame kelyje ir t. t.).

Atsitiktinis dydis X - Sio ta5ko atstumas nuo atkarpos pradZios. Raskime jo

pasiskirstymo funkcij 4.A Tarkime, kad pazymeto ta5ko koordinate lygi -r. Tada' pagal geomet-

rini tikimybes apibreZim4

P ( X b .

F(x) =

F(x)

I

34

64

Jos grafikas pavaizduotas l9 paveiksle.

19 pav.

Sis atsitiktinis dydis ir jo tikimybiq skirstinys vadinamas torygiuoju. a-13 pavyzdzirl matyti, jog pasiskirstymo runtcila r(x) apibrela s"u uisaisxe R , yra nemaZejanti,-kinta.tarp 0 ir l; tolydi iS taires'61.ma1u." fu"yroy_

le ..truki i5 de5ines). Funkcijos didejimo taskai yra x igyjamls ,"i'kS*"r, oSuolio auk5tis lygus tikimybei, su kuria dydis X 1gy.|a Siasieiismes.. . Atsitiktinio dydZio pasiskirstymo tunkcija-iisamiai apibudina atsitiktinidydi. rs jos i5rai5kos matyti, kokias reiksmes igyja atsitiktini, ayair-i. tuiptikimybes pasiskirsdiusios pagal tas reik5mes.

3.3. Pasiskirstymo funkcijos savyb6s

Pasiskirstymo funkcijos savybes pateiksime teoremomis.I teorema. f o=F(x)<t. l

Tikrai, nes pasiskirstymo funkcija F yra tikimybe.2 teorenra. F yra nemaiejanti funkcija:

F(x1) S F(*z), kai x, < x2.

A Jeix l <x2, ta i

{ X < x z } = { X < x r } U { r r . X . r r l .

Kadangi [vykiai {X < xr } ir {x, < X . *r} yra nesutaikomi, taiP ( X < x z ) = P ( X < r r ) + p ( x r < * . r r ) .

I5 dia i5plaukia, kad

F(xz) - F(x,) = p(xr < X < x2) > 0,

todel

F(x) 2 F(x).

65

I5vada. I5 teoremos [rodymo eigos i5plaukia svarbi praktikoje formule

P(tr < * . rr) = F(x)- F(\).

Zinome,jog monotonine ir apreZtoji funkcija turi rib4 kai argumentas xtolsta i +- arba i -- . PaZymekime:

lim .F(-x) = F(--), l im F(x) = F(+*).

3 teorema. Galioja savybes

F(--) = Q, f(1e) = l .

A Jeigu dydis X lgyja tik baiglines reik5mes, tai teoremos teiginiai tie-siogiai i5plaukia i5 pasiskirstymo funkcijos apibreZimo. Bendruoju atveju jienera akivaizdls.

Paimekime [vykius, kai ft = - e, * e yra sveikieji:A o = { a : k S X ( a ) < / r + 1 } .

Tada

I l t , = o\J

"f

k = -

ir+@ n-l n-l

l = t P ( A t ) = l i m ) . P U * ) = t i m ) 1 r 1 r + l ) - F ( f t ) ) =n 4 - . - n + 6 ' -

k = 4 k = - n K = - n

= lim (F(n) - F(-n)) = F(+-) - F(--).

15 dia iSplaukia teoremos [rodymas, kai argumentas yra sveikasis skaidius.TolydZiojo argumento x atveju [rodym4 grindZia funkcijos F monotoni5-kumas. l'

4 teorema. Pasiskirstymo funkcija yra tolydi i! kair4s:

F ( x - 0 ) = F ( x ) , k a i x e R .

A Imkime monotoning skaidiq sek4

x t 1 x2 < . . . < xn < . . -

ir tarkime, kad x, t x, kai n -) @. Tada ivykiai

A , = { a : x , < X ( a ) < x \

sudarys monotoning sek4

A , s Az ) . . . ) An ) . . .

66

A ,I l n ' = w 'n = l

I5 tolydumo aksiomos i5plaukia, kad

l im P({ )=s,n_)6

arba

l im (F(x) - F(x, ) ) = g,n+@

t. y.

lim F(x, ) = F(x) . A

Pastaba. siek tiek pakeiskime pasiskirstymo funkcijos apibreZim4!(x) = P(X < x). Sitaip apibrdhta nrntciia F yra tolydi is d"sin"r, ,. y.F(x + 0) = F(x) su visais xe R . pagrlskite.

- Taigi pasiskirstymo funkcija yra realioji, vienareiksmd, nemaZ€janti,tolydi iSkairds irtenkinanti s4lygasF(--) =0, F(+-) = I funkcija. Teisingasir -atvirksdias teiginys: jei realioji vienareiksme funkcija tenkina isvardyass4lygas, tai ji yra tam tikro atsitiktinio dydZio pasiskirstymo funkcija.

Pavyzdys. Su kuriomis parametrq a ir D reik5memis funkcijaF ( x ) = a + b a t c t g x

yra pasiskirstymo funkcij a?

. A Funkclja F(x) yra apibrdka su visais;e R, vienareik5me, tolydi irdidejanti. Reikalaudami, kad bDtq F(--) = 0, F(+-) = I , nustatysime para_metrus d ir r:

( r - \l a + b . l - 1 1 = 0 .I l . 2 )l nl a + b . : = 1 .t 2

Issprendg sistemfu I Igauname: a =- , b =- . Taig i funkci ja

l lf ( x ) = - + - a r c t g x

yra pasiskirstymo funkcija. Desnis, kur[ isreiikia si funkcija, vadinamas Kosiskirstiniu.

67

3.4. Diskretieji atsitiktiniai dydZiai

Zinome, jog atsitiktinio dydZio igyjamq reik5miq aibe gali btti baigtine,skaii ioj i arba neskaid ioj i.

ApibrdZimas. Atsitiktini dydi vadiname diskreCiuoju, jeigu jo ig[am4reikimi4 aibe yra baigtine arba skaiiioji.

Sio skyriaus pirmojo skyrelio 14 pavyzdyje aprasyti atsitiktiniai dydLiaiyra diskretieji.

Diskretqji, kaip ir kiekvien4 atsitiktini dyd[ visiSkai apibDdina jo pasi-skirstymo funkcija. Tadiau Si dydi galime apibreZti nurodydami jo lgyjamasreikSmes ir tikimybes, su kuriomis jos igyjamos. Toki tikimybiq skirstin[ pato-gu uZra5yti lentele:

( ia x ; ( i : 1 ,2, . . . ) - dydZio X lgy jamos re ik5mes, p i=P(X = x) ( i = 1,2, . . . )

k l n i = r

Sakykime, lenteleje yra n lgyjamq reikimiq ir jos i5destytos didejimotvarka. Tada pasiskirstymo funkcija

0 , k a i x < x , ,

P1,kai x . , 1x I x2,

A + p z , k a i x 2 < x 1 x 3 ,

F(x) =

pr + pz + . . .+ pt , ka i x , < x 3 x14t

l , k a i x ) x , ,

[ o , k a i x < x , ,arba trumpiau. F(x) = I s'

t L P , . K a l x > x l '[ " ' ' "

eia sudedame tikimybes, turindias indeksus i, kuriqx; <.r.Tai laiptuota funkcija, kurios trf ikio ta5kai yrax;(i:1,2,...); tarp tqta5kq

funkcija yra pastovi. Funkcijos Suolio dydis ta5ke -r; yra

pi= F(x i +o)-F(xr) .

I5 pasiskirstymo funkcijos i5rai5kos galime nustatyti dydZio igrjamas reikS-mes rr ir tikimybes piQ: 1,2, ...). Vadinasi, diskrediojo atsitiktinio dydZio api-

Qx X1 X2 X;

P Pr Pz Pi

bDdinimas lentele ir pasiskirstymo funkcija yra ekvivalent[s. vizualiai patogesnelentele. Galimas ir kitoks grafinis tikimybiq skirstinio vaizdavimas (20 pav.).

Diskrediojo atsitiktinio dydZio tikimybiq skirstini nusako pasiskirsrymofunkcija arba lentel€, arba vizualusis vaizdas.

I pavyzdys. Sakykime, atsitiktinis dydis X igyja vienq reik5mg C sutikimybe,lygia l. Jo pasiskirstymo funkcija

[0 , ka i x < c ,/ k ( x ) = i

l l . k a i x > C .

Jos grafikas pateiktas 2l paveiksle. Toki atsitiktini dydl ir jo tikimybiqskirstini vadiname i5sigimusiuoju.

F(x)

2l pav.

2 pavyzdys. Atsitiktinio ivykio A indikatoriumi vadiname atsitiktini dydi

v_ r _ [ t .Xa i , l [ v yks ta ./ r - r 1 - 1

l0.kai I ne[vyksta ([vyksta l).

I nd ikatoriaus skirsti nI gal i me pateikti lentele:

Qx 0 I

P L - p p

Cia p =P147.

69

Pasiskirstymo funkcija

f o , ka i x<0 ,F ( x ) = 1 1 - O , k a i 0 < x < 1 ,

l l , k u i r t l .Jos grafikas pavaizduotas 22 paveiksle. S[ atsitiktini dyd[ irjo skirstini kartaisvadiname Bernulio atsitiktiniu dydZiu (skirstiniu).

22 pav.

3 pavyzdys. Elektrineje grandineje lygiagrediai sujungti du nepriklauso-mai veikiantys elementai. Tikimybes, kad jie veiks laiko tarpqT, yra vienodosir lygios p. UZra5ykime per laiko tarpqT sugedusiq elementq skaidiaus tikimy-biq skirstin[.

A Sakykime,X - per laiko tarp4 ?" sugedusiq elementq skaidius,A; : {per laiko tarp4 7" sugedo 7-tasis elementas}; Eia j = 1, 2.

Tada

P ( X = 0 ) = P ( A l A d = p 2 .

P(X = l ) = P(( l r n +lUlrn,4r))=2p( l - p) ,

P ( X = 2 ) = P ( A t n t ) = 0 - p YTikimybiq skirstinl pateikiame lentele

E'X 0 I 2

P p2 2p(r - p) (r - p)2

q

arba pasiskirstymo funkcij a

f o , k a i x < 0 ,t "l P " , k a i 0 < x ( 1 ,F( ' ) = 1 ' - 'l n ' + z n ( - p ) t < a i t < x < 2 .[ 1 , k a i x > 2 . L

4 pavyzdys. Pataikymo i taikini kiekvienu Siiviu tikimybe lygi p. X -S[viq skaidius iki pirmojo pataikymo. UZra5ykime sio atsitiktinio dydZio tiki-mybiq skirstini.

A Tai Bernulio eksperimentq schema su ivykio pasirodymo (pataikymoI taikinf kiekviename eksperimente tikimybe, lygia p. Vadinasi,

P(X = l ) =p.

Dydis X igis reik5mg, lygiq2, kai pirmEjl kart4 nepataikysime, o antr4jikart4 pataikysime. Tada

P ( X = 2 7 = p Q - p )

ir t. t.Atsitiktinis dydis X igis reiksmg n, kai, Saudami i taikini n - I kartq

nepataikysime, o Saudami n-tqikartq - pataikysime. Tuomet

P(X = n) = p( l - p)n- |

ir t. t. Kadangi dydZio igyja-q reik5miq negalime aprdhi iS vir5aus (neZinome,kuriuo Stviu pirm4 kart4 pataikysime), tai turime begalinq jq aibg.

Glaustai desn[ uZra5ysime lentele:

Q X z n

P p p(r - p) p( l - p ) ' - l

Nesunku isitikinti, kad visq tikimybiq suma lygi vienerui:

i t , t = a ) = p ( 1 + ( r - p ) + ( r - p ) 2 + . . . ) = p . | , = r .n = r t - \ t - P )

Sis tikimybiq skirstinys vadinamas geometriniu. Jis apibldina Bernulioeksperimentq atliktq iki pirmojo [vykio pasirodymo, skaidiq.

3.5. Tolydieji atsit iktiniai dydZiai

Diskrediojo atsitiktinio dydZio pasiskirstymo funkcija yra truki tuoseta5kuose x, kurie atitinka dydZio igyjamas reikSmes. Jeigu igyjamq reik5miqaibe yra neskaiti, tai jos reik5mes visi5kai uZpildo interval4. Tai - tolydiejiatsitiktiniai dydLiai. Tokie yra dydLiai, apibfrdinti Sio skyriaus pirmojo skyrelio5*8 pavyzdyje.

Atsitiktin[ dydi X vadiname tolydZiuoju, jeigu jo pasiskirsrymo funkcijaF(x) yra tolydi, t. y. jeigu

P(X= x) = F(x + 0) - |'(x) = 0 su visais xe R.

7 l

Tolydieji atsitiktiniai dydLiai skirstomi i dvi klases: absoliudiai tolydZiusdydZius ir singuliariuosius dydZius. Pastarieji praktikoje nepasitaiko, todeltoliau nagrinesime tik absoliudiai tolydZius dydZius, trumpai juos vadindamitolydZiaisiais.

Apibr€Zimas. Atsitiktinis dydis vadinamas tolydiiuoju, j eigu e gzistuojatokia funkcija p(x), su kuria pasiskirstymo funkcija

xf ,

f ( x 1 = | p ( u ) d u ,

k a i x e R .Funkcijq p(x) vadiname tikimybirl tankio funkcija, arba trumpiau,

tankiu.I5 tolydZiojo atsitiktinio dydZio apibreZimo i5plaukia, kad tankis yra nenei-

giamoji ir normuotoji funkcija:

p ( x ) > O , x e R t I n @ ) d x = l .

Teisingas ir atvirkSdias teiginys: jei p(.r) yra neneigiamoji ir normuotojifunkcija, tai egzistuoja tolydusis atsitiktinis dydis, kurio tankis yrap(x).

Pamindsime kitas tolydZiojo atsitiktinio dydZio savybes.

Ji iSplaukia i5 apibreZimo ir s4rySio P(xr < X . ,r) = F (xz) - F(xr ).

? ) P ( : r r < X . * r ) = P ( x r < * . r t ) = P ( x r < X . * r ) = P ( x r < X < x z

Taip yra i5 tikrqj% nes P(X = x) = 0 su visais x e R .3) Jei p(x) yra tolydi ta5ke x, tai

l )

Si savybe i5plaukia i5 integralo su kintamuoju vir5utiniu reZiu savybes.Paai5kinsime tikimybinE tankio funkcijos prasmQ. I5 3 savybes ir s4rySiq

, . F ( x + A x ) - F ( x ) , , P ( x < X < x + A x )P\x)= *To A"

= JTr A"

P(xr<X <xr)= !n@a*.r l

72

i5plaukia, kad tankis p(x) yra pasiskirstymo funkcijos F(x) = P(X < x) mo-mentinis kitimo greitis (pirmasis s4rySis), arba tikimybes tankis (antrasiss4rySis). Be to, kai A.r > 0 yramrt|

P ( x < X < x + A x ) = p ( x ) L x .

To liau pate ikiame ke let4 tolydZiqj q dydZiri (skirstiniq) pavy zdLirl.

I pavyzdys. Tolydusis atsitiktinis dydis yra tolygiai pasiskirstps atkar-poje [a, b], taigi jo tankis

f C . t < a i x e l a , b l ,p l x l = 1

l 0 , k a i x e [ a , b ] ;

Eia C - teigiama konstanta. Raskime C ir F(x).A Konstantq C rasime i5 normavimo s4lygos:+ e bf rI p(x)dx = I . arba Cl dx =1.

J ' J

ITaisi C-

b - a

Skaidiuojame pasiskirstymo funkcij4 (remdamiesi geometriniu tikimybesapibreZimu, j4 apib[dinome 3 skyrelyje):

x

r(x) = !n@)a"

Ka i x< a ,F (x )= l au=0 ,

k a i a < x b , t ' \ x ) = ) f @ l J J b _ a J

Vadinasi, a D

fo,kai x < a,I

F ( x ) = ] = } a i a < x 0 .

73

Tarkime, kad a < cr < 0 < r. Tada tikimybe, kad tolygusis atsitiktinis dydis

X igis reik5mes atkarpoje I s, I ], bus lygi

4 r * RP(cr < X < F) = r(cr)-F(P) = l+= Y-o.

L b - o b - a

Matome, jog 5i tikimybe yra tiesiogiai proporcinga atkarpos ilgiui p - ct .

Geometrinis vaizdas pateiktas 23 paveiksle. A'

F(x)

Ir'(0F(cr

c p

a)

c x , p b x

b)

23 pa�v.

2 pavyzdys. Prietaiso paklaida X pasiskirsdiusi pagal desni

[ : r t - r t )l - , t a i x e [ - t , t ] .p ( x ) = 1 4lo. Lu i "e [ - t , t l

Kokia tikimybd, kad:

a) paklaida yra neigiama;

b) absoliudioji paklaida yra ne didesn e uz ! I

\ t , r , -o \d *= ! t

2

A a )P(x .0 )= .Jt4 ' 2

I

b) P f l x t< l )= ? i , , - *2 \a"= \ .' l | r ' 2 ) t r 4 ' 1 6-t

Geometrinis vaizdas pateiktas 24 paveiksle.

p(x)

I , P ( c x < X < p )

--%-i

P(X< 0)

24 pav.

3 pavyzdys. Asmenq apmokestintos metin€s pajamos X pasiskirsdiusiospagal Pareto desni:

| ( r-r"l l - l : l k a i x > x o > 0 ,F ( x ) = j I ' J 'I

l 0 ,ka ix<- ro .ApibreZkime konstant4 C ir nustatykime metinirl pajamq dydi, kuri atsitiktinaiatrinktas asmuo gali virSyti su tikimybe 0,5.

A Konstant4 C galime apskaidiuoti taikydami tankio normavimo s4lyg4

I n@)ax = I . Tadiau, atsiZvelgdami I pasiskirsfymo tunkcijos savybg F( -- ) =

= F(xo) = 0, konstant4 C randame paprasdiau. I5 jos C = -rs.Tarkime, kad aptariamq metiniq

pajamq dydis yra x. Tada

P ( X > . r ) = l - F ( r ) = 0 , 5 ,

/ \ 0t Y ^ l

arba | --u | = 0,5; i5 eia\ r /

1x = )co.2o .

Geometrinis vaizdas pateiktas 25paveiksle. 25 pav.

4 pavyzdys. Raskime toki4 konstant4 a, su kuria funkcija

p(x) = o"-l ' l 1xe R)

butq tankio funkcija. UZra5ykime pasiskirstymo funkcij4 ir apskaidiuokime

tikimybq P (lxl < ln 3).

A Konstant4 a aplbrllianormavimo sqlyga:

+ r ( 0 . : )

) n?)dx = l, arba "l Jr '* +Ju 'a* l=t.

rs di";=1. ruau,""o,, ),1) =!"-14,. ' . * ' , .2 " 2

Kai,r < 0,

r IF1x ; =

) [ n o , = )n r ,

ka i x > 0 ,

, ( o x \t t f , , | _ u , | , | - xf \ x ) = ; l ) e " a u + J e

" d u l = t - ; ,

^ .- \ - -

o )

Trumpiau,

arba

lL3 1P(-ln3 < X S In3) : I p(x)dx ='-.

-i": r

Siame pavyzdyje apibldintas skirstinys vadinamas Laplaso d€sniu. AGeometrinis vaizdas pateiktas 26 paveiksle, a, b.

fL" 'uui"o'F(x) = l '

l t - � )u ' , ka ix>0.Tikimybe

P(- ln3 < X < In3) = F( ln3) - f ( - ln , =1 ,

ln 3)

26 pav.

16

- l n 3 < X S l n 3 )

- l n3 0 - l n3 0

Baigdami 5[ skyriq, priminsime, jog tiek diskrerqji tiek tolydrtii atsitiktinidydi (skirstin| i5samiai apibfldina pasiskirstymo tunkcija F(_r). Tadiaudiskrediuosius dydZius galime nusakyti tikimybemis pt =P(X = x1,), k = l,2, ..., o tolydZiuosius - tankio funkcija p(-r). Pasiskirstymo funkcija taip rei5-kiama tikimybemis p1 arba tankiu p(x):

F(x) =I

f ( x 7 = | p ( u ) d u .

UZdaviniai

l. Nepriklausomai vienas nuo kito siundiami du signalai. Jq priemimotikimybes yra 0,9 ir 0,8. Sudarykite nepriimq signalq skaidiaus tikimybiqskirstini (pateikite lentelg ir pasiskirstymo funkcij{.

2. Simetri5ka moneta metama tris kartus. X - atvirtusiq herbq skaidius.Raskite X pasiskirstymo funkcij4 nubraiZykite jos grafik4 ir apskaidiuokitetikimybes P(X> 1), P(l < X < 3), P(l < X< 3).

3. Bankas suteik€ 10 paskohS kuriq 3 yra nemokios. Atsitiktinai tiriamos(negr4Zinamoji atranka) 4 paskolos. Sudarykite nemokiq imties paskolq skai-diaus X tikimybiq skirstin[ ir apskaidiuokite tikimybes P(l < X < 3), p(X > t).Koks yra patikimiausias nemokiq paskolq skaidius?

4. DeLeje yra 2 balti, I juodas ir 3 raudoni rutuliai. Atsitiktinai atrenkami3 rutuliai. Sudarykite baltq rutuliq, esandiq imtyje, skaidiaus tikimybiqskirstini. NubraiZykite pasiskirstymo funkcijos grafikE UZdavini sprgskite, kaiatranka yra:

a) gr4Tinamoji;b) negr4Zinamoji.

5. Pataikgs I taikini, Saulys gauna 5 ta5kus, nepataikgs netenka 2 taSkq.Pataikymo tikimybe lygi 0,7. Sudarykite surinktq ta5kq skaidiaus tikimybirlskirstini, Zinodami, kad Saulys Sove 3 kartus.

6. Du Zaidejai vienas po kito meta simetriSkq monetq. Laimi tas, kurispirmasis atverdia herb4. Tarkime, kad X - pradejusio Zaisti metimq skaidius ikipergales. Sudarykite dydZio X tikimybiq skirstin[. Kokia tikimybe, jog pergalebus pasiekta k-tuoju metimu? Kiek kartq tikimybe, kad laimes pradejgs Zaisti,didesne uZ tikimybQ laimeti antrajam Zaidejui?

7. Tikimybe, kad periSliks - 0,25, kad suskils i

tikrq laiko tarpq dalele i5nyks, lygi 0,25, kaddaleles - 0,5. Per velesn[ laiko tarpq su kiek-

77

viena dalele proced[ra kartojasi. Sudarykite daleliq skaidiaus skirstin[ antrojolaikotarpio pabaigoje. Kokia tikimybe, kad po dviejq laikotarpiq liks nors vie-na dalele?

8. Atsitiktinirl dydZiq X, Y ir Zpasiskirstymo funkcijos yra tokios:

[ o , k a i x < O , [ o , k a i r < - I ,t l

F x ( x ) = l l - ? ' r . k a i 0 < x < 1 , F y ( x ) = j l - l ' , k a i - l < x < 1 ,1 3 3 " '

1 2 2 '

l l , k a i x > l ; [ l , k a i x > l ;

f o , k a i r < - 1 ,

l 0 , 3 , k a i - 1 < x < 0 ,

F 2 @ ) = j 0 , 5 , k a i 0 < x < 1 ,I

10 ,7 , ka i 1< x 12 ,

! , k a i x > 2 .

NubraiZykite F grafikus. Kurie skirstiniai yra tolydieji? TolydZiqiqpateikite tikimybiq tankl o diskredir$q - skirstiniq lentelg. Apskaidiuokite Siastikimybes:

( r \ / r \P l x = : l P ( r = q , P e = g ) . P ( x > 0 ) . p l - ^ < Z s l I , p ( 0 < y < t ) .| 2 ) l 2 )

9. 27 pavelksle pavaizduota atsi-tiktinio dydZio X pasiskirstymo funk-cija F. Tikimybiq skirstini i5reik5kitelentele, o F - analizi5kai. Apskai-diuokite Sias tikimybes:

p f _ l s x < r ) . p ( _ ! r x < ! )[ 2 ) | 2 2 )

10. 28 paveiksle parodyta tikimy-bitl pasiskirstymo funkcija F. Para5y-kite analizinE jos i5rai5k4. Apskai-diuokite Sias tikimybes:

p ( o . x s ! ) . p [ _ 1 . " . 1 )t 2 / l . 2 2 )

p f x > ! l\ 2 )

78

28 pav.

11. Ar funkcijos

f C l n x , k a i } < x < 2 , l C l n x , k a i l < x < 2 ,F(x) = .{0. tuir < o, i r F(.r) = .10, kui t . l ,

t " ll l , k a i x > 2 [ , k a i x > 2

gali bDti tikimybiq pasiskirstymo funkcijos? Jei taip, apskaidiuokite konstant4

c ir tikimybe p[x ' I ].\ 2 )

12. Atsitiktinio dydZio tankis

p(x) =

a x + a , k a i - l < . r ( 0 ,

! x + a . k a i 0 < x < 2 .^ 'z

- 2 a x + 6 a , k a i 2 < x < 3 ,

0 , k a i x > 3 .

Raskite konstant4 a ir pasiskirstymo funkcij4 F. Apskaidiuokite Sias tikimybes:

P(-0,1 < x< l), P(x > 0), P(lx { t t).

13. Serijomis gaminamq detaliq ilgio skirstini apibfldina tankis

p(x) =

r , m i o < x < 2 ,

2-+ ,ka i2< x<3 ,

0 kitais atvejais.

a) Patikrinkite, ar p(x) i5 tikrqjq yra tankis.b) Raskite F(x) ir tikimybg P(1 < X <2,5).

14. Tankis

o ( x \ = - - L . k a i - 2 < r < 2r\/\, f--------.

n',1 4 - *"

(arksinuso desnis). Raskite konstant4 a, pasiskirstymo funkcij4 F ir tikimybes

P( - l <x< 1 ) ,P ( l x l> l ) .

15. Galvaninio elemenro ilgaamZi5kum4 apibiidina Veibulo skirstinys

F ( x ) = l - r T , k a i x > 0 , 0 > 0 , x e > 0 .

Raskite skirstinio tank[ ir pateikite jo grafikus, kai x6 = l,g=1, o=],L

q, = 2. Kokia tikimybe, kad per laiko tarp4 ( O, -i'l "t"*"ntu, nei5sieikvos?l, l

16. Diskrediojo atsitiktinio dydZio X tikimybiq skirstinys yra toks:

P ( X = t l = 3 ; k = t , 2 , . . .k -

Raskite konstant4 a, pasiskirstymo funkcij4 F ir tikimybg p(X > 2).

17. Tarkime, kad dydZio X skirstinys yra hipergeometrinis, o jo para-metrai N, M ir n:

f -m ?n -n

P(X = m)= 'MYN-u , f f i =0 ,1 , . . . ,m in (M ,n ) .ck

a) Tikimybes P(X = m) i5reik5kite tikimybemis P(X = a - 11.b) Remdamiesi uZdavinio a) rezultatu (rekurendiqja formule), apskaidiuo-

k i teP(X =m);Eia*= 1,q. Parametrqre ik5mes imki te tok ias: N= 30, M = 15,n = 1 5 .

c) Rekurendiosios formules bazej e sudarykite program4 hipergeometrineipasiskirstymo funkcijai apskaidiuoti.

d) Remdamiesi uZdavinio c) rezultatu, apskaidiuokite P(X S l0), kai N == 3 0 . M = 1 5 . n = 1 5 .

ATSITI KTI NIAI VE KTORIAI

Iki Siol nagrinejome atsitiktinius dydZius, kuriq kiekviena igyjamareikSme apib[dinama vienu realiuoju skaidiumi. Tokius dydZius vadina-me vienmadiais. Technikoje ir apskritai taikomuosiuose moksluose daZnaisprendZiami daugiamadiai uZdaviniai, kuriems reikia keliq atsitiktiniq dy-dZirtr sistemos. Baigtines atsitiktiniq dydZiq sistemas, kitaip tariant - atsi-tiktinius vektorius, arba daugiamadius atsitiktinius dydZius, ir nagrinesimeSiame skyriuje.

4.1. Atsitiktinio vektoriaus sAvoka

Sakykime, statistinio eksperimento matematinis modelis lA,g, p) yrasudarytas. Kiekvienam elementariajam ivykiui rrle c) priskirkime ne vien4bet keletq realiqjq skaidiq. Tokiu atveju sakome, kad eksperimentas apibudi-namas atsitiktiniu vektoriumi (daugiamadiu atsitiktiniu dydZiu). pateiksimeeksperimentq, kuriq baigtys i Srei5kiamos vektoriais, p avy zdLirl.

l� Tarkime, kad X - naujagimio tigis, I/ - jo ktino masd. Turime dvimatiatsitiktini dydi (x, Y).

2. Gamykla gamina produkcii4 kuri gali tureti elektrinirl mechaniniqarba abiejq rii5iq defektq. Per tam tikrq laikotarpi pagamintq gaminirg turindiqkiekvienos fllSies defektrg skaidius y.a trimatis atsitiktinis dydis (X, y, e.

3. Difunduojandios daleles padetis tam tikru raiko momentu yra vektorius(X, Y, 4, kurio koordinates (komponentes) X, y ir Z apibndina atsitiktinqdaleles padeti trimateje erdvdje.

ApibrdZimas. n-maiiu utsiliktiniu dydiiu vadiname vek (Xt, Xz, ...,X), kurio koordinates yra vienmaiiai atsitiktiniai dydiiai.

Kitaip tariant, n-matis atsitiktinis dydis yra atsitikr ,r€s

R" ta5kas. Visos to ta5ko koordinatds X,(co) 1ea y =;

t i ktin iai dy dLiai, apibreZti vienoj e tikimyb inej e erdve'Atsitiktinio vektoriaus koordinadiq X 1@) {

tiniai ne visiSkai apibridina vektoriq (Xr(r,t), ...pasiskirstymo funkcijos F1G) = p(X1 < x)koordinadiq. I5sami atsitiktinio vektorialsiskirstymo funkcija.

u*'u,o'"q?v.tBiu-"-..ttmaZejanri,

ATSITI KTI NIAI VEKTO RIAI

Iki Siol nagrinejome atsitiktinius dydZius, kuriq kiekviena [gyjamareik5me apib[dinama vienu realiuoju skaidiumi. Tokius dydZius vadina-me vienmadiais. Technikoje ir apskritai taikomuosiuose moksluose daZnaisprendZiami daugiamadiai uZdaviniai, kuriems reikia keliq atsitiktiniq dy-dZiq sistemos. Baigtines atsitiktiniq dydZiq sistemas, kitaip tariant - atsi-tiktinius vektorius, arba daugiamadius atsitiktinius dydZius, ir nagrinesimeSiame skyriuje.

4.1 . Atsitiktinio vektoriaus sEvoka

Sakykime, statistinio eksperimento matematinis modelis {4,7, P} yrasudarytas. Kiekvienam elementariajam ivykiui oe Q priskirkime ne vien4bet keletq realiqjq skaidiq. Tokiu atveju sakome, kad eksperimentas apib[di-namas atsitiktiniu vektoriumi (daugiamadiu atsitiktiniu dydZiu). Pateiksimeeksperimentq, kuriq baigtys i Srei Skiamo s vekforiais, pavy zdLirl.

1. Tarkime, kad X - naujagimio Dgis, I/ - jo k[no masd. Turime dvimat[atsitiktini dyd i (X, Y).

2. Gamykla gamina produkcij4 kuri gali tureti elektriniq mechaniniqarba abiejq r05iq defektq. Per tam tikrq laikotarpi pagamintq gaminir5 turindiqkiekvienos r[Sies defektr5 skaidius yra trimatis atsitiktinis dydis (X, Y, Q.

3. Difunduojandios daleles padetis tam tikru laiko momentu yra veklorius(X, Y, 4, kurio koordinates (komponentes) X, Y ir Z apibtrdina atsitiktingdaleles padeti trimateje erdveje.

Apibr€Zimas. n-maiiu utsitiktiniu dydiiu vadiname vektori4 (Xt, Xz, ...,X), kurio koordinatas yra vienmaiiai atsitiktiniai dydiiai.

Kitaip tariant, n-matis atsitiktinis dydis yra atsitiktinis n-mates erdves

R" taskas. Visos to taSko koordinatls X,(ol) leia i =f rl - vienmadiai atsi-

tiktiniai dydLiai, apibreZti vienoje tikimybineje erdveje {4,.7, P } .

Atsitiktinio vektoriaus koordinadiq X t(a) (e ia j = t, n) tit<imyUiq skirs-

tiniai ne visiSkai apibfidina vektoriq (Xr(r'r), . , &(tt)). PavyzdLiui, vienmates

pasiskirstymo funkcijos F1(x1) = P(X; <.r) (dia i=t,rl nenurodo rySro tarp

koordinadiq. I5sami atsitiktinio vektoriaus charakteristika yra n-mate jo pu-siskirstymo funkcija.

8 t

Kadangi {rrl : X, (co) < x, } e g, taiir jq sankirta fl {o, X, {r ) < x, I ej = l

e 7 Todll su visais (xt; xz; ...; x,)e R' galime apibreZti tikimybg/ \I n I

p l O t , : X , ( a ) < " , ) l = P ( X r ( x r , . . . . X n I x , ) = F ( x r , . . . , x , ) ,l r I r - ' J ' I

\ / = r )

kuri vadinama daugiamate (z-mate) vektoriaus (Xr ..., X") pasiskirstymofunkcija.

Toliau nagrinesime tik dvimadius atsitiktinius vektorius. Taip bus pa-prasdiau ir vaizdLiau, o visus teiginius be didelio vargo galesime pritaikytivektoriams su didesniu skaidiumi koordinadiu.

4.2. Dvimadiai atsitiktiniai vektoriai

Dvimati vektoriq Zymesime 6, n. Jo koordinates X = X(ro) ir ), =

= f(<,1) apibrefios vienoje elementariqiq lvykiq erdveje St. Sio dydZio, kaipatsitiktinio taSko, kurio koordinates plokStumoje xOy yra (X; Y ), arba kaipvektoriaus su atsitiktinemis koordinatemis X ir I/, geometrinis vaizdas pateiktas29 pavelksle, a, b.

Dvimatd vektoriaus (X, )z)

29 pav.

pasiskirstymo funkcija

F ( x , y ) : P ( ( X < r ) n ( y < y ) ) = P ( X < x , Y < y )

su visais (x; y) e R2. Skaitome: F(x, y) lygi tikimybei, kad X < x ir Y < y.Geometriniu poZirlriu ji rodo tikimybg ta5kui (X; I) patekti I subr[kSniuot4 sriti(30 pav. , a) .

v

Y

b)a)

82

a)b)

30 pav.

I pavyzdys. Metamos dvi simetri5kos monetos. Elementariqlq [vykiqerdve C) = {H, S} = {q, rrl2 } . Atsitiktinius dydZius apibreZiame taip:

X(r r l r ) =0 , X(a2) =1 , ) ' ( c r r , )=0 , )z (cor )=1 .

Eksperimento baigtis - keturios galimosdvimadio atsitiktinio dydZio reikSmes:

(0; 0) su tikimybe I .l = 1.2 2 4 '

(o; l ) su t ik imybe 1.1 = 1.2 2 4 '

(1; 0) su t ik imybe ] .1 = I .2 2 4 '

(l; l) su tikimybe i i = 12 2 4

Dvimate pasiskirstymo funkcij a

0 , k a i x < 0 a r b a y < 0 ,

1 , k u i o 1 x , / 1 r ,

) ,Uu , *> I i r 0 < y < l a rba y > l i r 0 < x < l ,

l , k a i x > l i r y > 1 .

31 pav.

F(x,y) =

Pasiskirstymo funkcij4 iliustruoja 3t paveikslas. Skaidiai O, l, I i, f4 ' 2

jame yra dvimates pasiskirstymo funkcijos reiksmes tose srityse. Siamepavyzdyje F(x, y) yra aprbrehta visoje plokStumoje, laiptuota, nemaZejanti,tolydi i5 kaires ir kintanti atkarpoje [0, I ] funkcija.

83

Nurodysime dvimat€s pasiskirstymo funkcijos F(x, y) savybes. Jos [ro-domos pana5iai kaip ir vienmates funkcijos salrybes.

l ) Su v isa is (x ;y)e Rz

0 < F ( x , y ) < 1 .

2) F(x,y) yra tolydi i5 kaires: su visais (x;y)e R2

F(x -0,y -0) = F(x,y) .

3) F(x, y) yra nemaZejanti kiekvieno argumento atZvilgiu:

F(rz,y)2 F(xr ,y) ,ka ix2 > x1,

F(x,yz)> F(x,yr) ,ka i y , > yr .

4) Siai tunkcijai galioja lygybes:

F ( - * , y ) = F (x , - - ) = F ( - - , - - ) = 0 ,F (+ - , + - ) = 1 .

5) PaZymekime komponendiq pasiskirstymo (marginali4sias) funkcijas:

4 (x) = P(X < x) i r F2Q) =P(Y < y) .

Tada

\ ( x )= F (x ,+ * ) i r Fz j )= F (+ * , y1 .

Remdamiesi 29 paveikslu, vizualiai ,,pagr[skite" Sias savybes.Tikimybe, kad vienmatis atsitiktinis dydis lgis reikimes i5 intervalo

fx1, x2), lygi pasiskirstymo funkcijos F1 (-r) pokydiui tame intervale:

P (x r < X . r r )= F t ( xz ) -4 ( t r ) .

Pritaikykime Siq savybq dvimadiam dydZiui (X, Y).ApibreZkime stadia-kamp[s = { (x ;y) ' . \1x<xz, l t 3y <yzl i r pasisk i rs tymo funkci jos p i lnq i ipokyt[ 5iame stad iakampyje:

AsF = F (xz , yz ) - F ( \ , yz ) - F ( r z , y )+ F (x r , y r ) .

Teorema. Tikimybe afiitiktiniam dydZiui (X, Y) patekti i staiiakampq sritiS lygi A,imates pasiskirstymofunkcijos polqtiiui toje srityje:

P((X, Y)e S) = AsF.

A Tikimybe, jog (X, I) igis reik5mes i5 srities S (30 pav., b), yra:

P ( ( X , Y ) e S ) = P ( x r 1 X < r z , y r S Y < ! z ) =

= P ( X < x 2 , Y < / z ) - P ( X < x , 1 , Y 1 y z ) - P ( X < x z , Y < y t ) +

+P(X < x1, Y 1yr) = F(xz,yz)- F( \ ,yz)- F(rz ,yr) + F("x, , t ) . L

I5 Sios teoremos i5plaukia toks teiginys.Teiginys. Pasiskirstymo funkcijos F(x, y) pilnasis polq'tis yra neneigia-

mas: A,sF > 0.

Taip yra i5 tikrqf[ nes Sis pokytis - tikimybe.Kai dydis vienmatis, kiekviena realioji, vienareik5me, nemaZejandioji bei

tolydi i5 kaires funkcija F, kuriai budingos savybds F(+ -; = | 11 lc'(-e ) = Q,yra tam tikro atsitiktinio dydZio pasiskirstymo funkcija. Dvimadiam dydZiuianalogiSkq savybiq nepakanka.

Tarkime, kad realioji vienareikSme funkcija G(x, y) tenkina 2, 3 ir 4 sa-rybg. Ji bus kurio nors dvimadio atsitiktinio dydZio pasiskirstymo funkcija tiktada, kai AsG ) 0. Yra pavyzdLiq (Zr. [l)), kai 2, 3 ir 4 savybe tenkinama,

tadiau A.G < 0. Nagrinejant vienmadius dydZius, tokia problema nekildavo -

juk nemaZejandiosios funkcijos poky.tis intervale f\, *) yra neneigiamas.

Apskaidiuokime t ikimybe p( o < x. l , 1< y. l l .' l . 2 2 ),l Si titlmybe lygi F(x, y) pokydiui stadiakampyje:

n ( o < x . l , l < y < t ] = { i , r l - n 1 0 . r ) - F [ . + . l . 4 ' ] l =\ 2 2 ) \ 2 ) \ _ _ ) \ - l

= 1 - 6 - 1 * o : 1 . a2 8 8

4.3. Diskretieji dvimadiai vektoriai

Nagrinesime dvimati atsitiktin[ dydi (X, I), kurio komponentes X ir y yradiskrediosios. Tokio dydZio igyju*q reik5miq aibe - taSkq (xi; y;) visuma -yra baigtine arba skaidioji. Tarkime, kad ji yra baigtine ir dydis (X, V) tgyjareikSmes (x,; y ); (dia i = t, ,, i = t, ,r) tu tikimybemis

P ( ( X = x i ) f l ( ) ' = / r ) ) = P ( X = x , , Y = l , ) = n a . Q = L n , j = l m ) .

Jei igyjamq reik5miq aibe yra skaidioji, turesime reik5mirl (x,;y ,) ir

t ik imybiq p, i ( i =1,2, . . . , j =1,2, . . . ) begal ing sek4.

Pavyzdys. Atsitiktinio vektoriaus (X, If pasiskirstymo funkcija

i o , t a i x<0arbay<0 ,F(x, y) =

1rr ' ,kai 0 < x, | 11,

[ 1 , k a i x > l i r y > 1 .

Kadangi ivykiai

{ X = * , , Y = y j , i = 1 , n , I = t m l

sudaro piln4i4 ivykiq grupg, tai

$ $ _ _ r^L t , L Yu - ' '

,= l /= l

Diskrediojo dvimadio atsitiktinio dydZio (X, I) tikimybiq skirstiniu vadi-name reik5miq (xi; y) ir tikimybiq puQ =G,i =il7; uirur4.

Skirstini uZra5ykime lentele :

I5 pilnosios tikimybes formules i5plaukia, kad

!L P ,

= P ( X = x i ) = P i Q = l . n ) ,

g

L p , = P ( Y = y ) = q t \ i = t , m ) .

t=l

Taigi, Zinodami dvimadius skirstinius pr, gauname (uos sudedami) vien-madius skirstinius piir ei (ie vadinami marginaliaisiais).

Diskrediojo vektoriaus (X, Y) pasiskirstymo funkcij4 galime i5reikStitikimybemis p;; :

F(x,y) = P(x 1x, Y. y) = ) 2ou,@;y)e R2.x i < x f j < j

eia sudedame tikimybes p, , turindias tokius indeksus i ir j, su kuriais xi I x irJ i < 1 .

I pavyzdys. DeLEje yra I baltas, 2 juodi ir 3 raudoni rutuliai. I5 jos atsi-tiktinai i5traukiami 2 rutuliai (negr4Zinamoji atranka). Sakykime, X - i5trauktqbaltq rutuliq skaidius, f - juodq. UZra5ykime atsitiktinio vektoriaus (X, )z)skirstin[.

9re); v l lz yj l^

x D t t D t t P t i Dr-X1 Pzr Dt; D't-

x Pir Piz P;i D;-

x" Pnl Pn2 Pni p"-

86

A Remdamiesi hipergeometrinl desniu, gauname:

p i1 =p (X = i , y = D=c ic i : j - ' - ' , i =0 , r ; j =0 , r ,2 ; i + j <2 .CI

()-i' r 0 I 2 t

0 3/15 6t15 Ut5 r0/153/t5 2n5 0 5t15

z 6/15 8/15 ln5 I

32 pav,

Paskutiniajame stulpelyje [ra5ytas vienmatis X skirstinys P(X =i)=

= piU=1,2), o paskutiniojoje eiluteje * vienmatis I skirstinys P(Y = j)== a 1 U = 0 , 1 , 2 ) -

Geometrinis skirstinio p,7 vaizdas pateiktas 32 paveiksle.

2 pavyzdys. RySio linija nepriklausomai vienas nuo kito perduodami dupraneSimai. Pirmojo prane5imo pri€mimo tikimybe pr = 0,9, antrojo - pz= 0,8.Dvimadio atsitiktinio dydZio (X, Iz) komponentes apibrdZiamos taip:

,, ll.kai pirmasis prane5imas priimtas,X = 1

10, kai pirmasis prane5imas nepriimtas,

, f t. kai antrasis prane5imas priimtas.Y = 1 '

[ 0, kai antrasis praneSimas nepriimtas.

Raskime atsitiktinio dydio (X, I) skirstin[.A Pirmiausia ie5kom4lI skirstinl apibiidiname tikimybemis pa:poo =P(X = 0, Y = 0) = (l _ prXl _ pz) = 0,02,

Pot :P(X =0, Y = 1) = ( l - p t )pz = 0,08,

Ao =P(X =1 , Y = 0 ) = p r ( l - p t )=0 ,18 ,

A r = P ( X = 1 , Y = l ) = h p z = 0 , 7 2 .

Qy

f2x0 I t

0 0.02 0.08 0,100,18 0,12 0.90

t 0.20 0,80 I

81

Ddsn[ nusakome dvimate pasiskirstymo funkcija:

F ( x , y ) =

0 , k a i x < 0 a r b a y < 0 ,

0 , 0 2 , k a i x > 0 , y < 1 ,

0 , 1 0 , k a i 0 < x < l i r y > 1 ,

0 , 2 0 , k a i x > l i r 0 < . y < 1 ,

l , k a i x > l i r y > 1 .

4.4. Tolydieii dvimadiai vektoriai

Vektoriq (X, Y), kurio dvimatd pasiskirstymo funkcija F(x' y) yra tolydi'

vadinsime tolydZiuoju atsitiktiniu vekloriu. Tokio vektoriaus koordinates X ir

I yra tolydieji dydZiai. Kaip ir vienmadiai dydLiai, tolydieji dvimadiai dydZiai

gali bDti arba absoliudiai tolydls, arba singuliarieji. Singuliarieji praktikoje

nevartoj ami, todel j q nenagrindsime.Apibr€zimas. Dvimati atsitiktinivektori4 (x, Y) vadiname absoliudiai to-

Iydiiu (toliau ji vadinsime tolydiiuoju), jeigu egzistuoja tokia funkcija p(x, y)'

su kuria pasiskirstymo funkcija

x /f f

F ( x . y ) = | l p ( u . v ) d u d v .-"-:

ka i ( x ; y )e R2 .

Funkcij4p(x, y) vadiname dydZio (X, IJ tikimybiq tankio tunkcija (trum-

pai * tankiu). Jai b[dingos Sios savybes:l) Tankis yra neneigiamoji normuotoji funkcija:

p(x,y)>0 su visais (r;y)e R2 (i5plaukia i5 apibreZimo),

+@ +6

J_l nU,l)drdy = 1 (i5plaukia i5 savybes F( +-, + - ) = l) '

2) Jeigu tankis p(-r, y) yra tolydus taSke (x; y)' tai

d2 F1x.y7p \ x . y ) = - - .

oxoy

Marginaliosios X ir I pasiskirstymo funkcijos yra tokios:

fo , ka ix < o , [0 , ka iy < o ,l t ^

4 ( x ) = l O , t O , t a i 0 < x < 1 , F r ( y ) = J 0 , 2 0 , k a i 0 < y < 1 ,

[ l , k a i x > l ; l l , k a i y > I . a

[rodymas i5plaukia i5 apibreZimo ir integralo su kintamaisiais reZiais di-ferencij avimo taisykles.

3) Tikimybe, jog tolydusis dydis (X, I.) igis reik5mes, esandias stadiakam-p y j e , S = { ( x ; y ) i . r 1 ( y < x z , l t < y < y 2 \ , y r a

xz fz

P((x. Y)es) = J I nQ. t)a*dt.xr r2

Tai iSplaukia i5 apibreZimo ir savybdsP((X, 1)e S) = AsF.

Si teigini galime apibendrinti imdami betkuri erdves R2 poaib[ D (nebiitinai stadiakamp[):

P((x. Y)e D= [lpG,y)a*ay.( D )

33 pav.Sios tikimybes skaitine reik5me lygi k0no,

kuri riboja pagrindas D ir pavir5ius z= p(x, y), tiiriui (33 pav.).4) Atsitiktinio vektoriaus koordinadirl X ir I tankis (marginalusis tankis)

p{x) ir p2$t) i5rei5kiamas dvimadiu tankiu p(x, y):

pt7)= [ rQ, i ld t , pz | )= lpQ, i ld* .

A Tikrai, nes

Il(x) = F(x, + -; -

ir

, F r ( x ) = | p t l u ) d u ,I ' r

'

o tada

p{u) = I r@,ia".

Antrasis teiginys lrodamas analogi5kai. Paprastas, bet reik5mingas dvimadio tankio pavyzdys yra tolygusis (pas-

tovus) srityje De R2 tankis. Kai srities D matas (plotas) l{ y.a baigtinis,

tolygusis tankis apibreZiamas taip:I tl - - , ka i ( x ; y )e D ,

p(,, y) = llDl10, kai (x; y) e D.

x ( * \

l l l p @ , v ) d v l d ut l ' I- - \ - - l

Tikimybe, jog (X, )) igis reik5mq aibeje B, apskaidiuojama pagal geomet_rini tikimybes apibreZim4:

lannlP((x, I/)e B) = tl;1]J

Detaliau iSnagrinesime kelet4 tolydZiqiq skirstiniq.

1 pavyzdys. Dvieiq elementq A ir B ilgaamLiskum4 apibfidina vektoriaus(X, Il pasiskirstymo funkcija

I t _ , - , _ e -2y + r - ( x+2 r ) , ka i r > 0 i r y > 0 ,F (x , Y ) = l '[0 kitais atvejais.

Raskime marginaliuosius X (elemento A ilgaamZiskumo) ir r (elemento B il-gaamZi5kumo) skirstinius. Apskaidiuokime tikimybes p(0< X <1, y >2) irP ( X < Y ) .

A Vektoriaus (X, Y) rankis

_ , - . _ \ 0 2 1 6 , y 1 _ [ 2 r - , ' * r t r , k a i . r > 0 i r y > 0 ,P \ x , Y ) = : ' ^ ' - ' = {dxdy lo kitais atvejais.

Elemento A ilgaamZiSkumo X tankis (marginalusis tankis)

pr@)= ! n | ,Ddt= [2e-G*zDdy=e-* ( r>0) ,

elemento B o

pz ! ) = [ eG, i ld * =

!2e-G*z t ' t dx = 2e-2v (y > 0 ) .

Marginatilsios X ir f paliskirstymo funkcijos yra tokios:Fl(x) = F(x,* -) = I -e- ' 1x > 0),

Fz(y) =F(+-. y\ = | - e-2Y (y > 0).Vienmadius X ir I/ tankius galejome apskaidiuoti pagal formules

dFrG) dF,( v\A \x ) : -d , . Pz \y )=- ;

Tik imybe 16

P(o< x < l, y > zl = [jz*+zndx& =+0 2 e

Jq galejome apskaidiuoti remdamiesi pilnuoju F(x, y) pokydiu A"Fs tae iakampy je S = { ( x ; y ) : 0<x <1 , 2< y <+* l .

Pagaliau tikimybe

P(Y <X)=P(0< X <+*, y <X)=i j r" t , . r rdrdy=0 0

Apskaidiavome tikimybg, jog elemento B ilgaamZi5kumas bus maZesnisuZ elemento A ilgaamZi5kum4. A

2 pavyzdys. Tiekejas garantuoja prekiq pristatymq uZsakovui bet kuriuosutartos dienos metu. UZsakovas reikalauja, kad prek€s jam b[tq pristatytossutart4 dien4. Prekiq uZsakymas ir pristatymas per bet kuriuos vienodus laikotarpus yra vienodai tiketinas. Apskaidiuokime tikimybes, kad;

a) prekes bus uZsakytos ir pristatytos pirmoje dienos puseje;b) prekes bus uZsakytos tik tada, kai bus pristatytos uZsakovui.A Sakykime, X - prekiq pristatymo laikas, iSreik5tas dienos dalimi, I/ _

uZsakymo laikas. Ai5ku, kad atsitiktinio dydZio (x, D igytos reiksmes prilausokvadratui S = {(r;y) : 0 <xS l, 0S y <l}, o tankis yra rolygusis:

p(x, y) =

= ( { \= zll;' [ , ',,* I* =10 \ 0 )

{1 , ka i ( x ; y )e S ,

[0 , ka i ( x ; y )e S

Tikimybes

I r r \ : " i ,P l o < x s : , o S r = : l = l l w , a r = ) .l 2 2 ) t t , 4

r(r > x)= P(o < x <1, y > x)=iiu.a =!.0 x

Sios tikimybes yra:a) gretasienio, kurio pagrindas ,Sr , t[rio skaitine reik5me (34 pav., a);b) prizmes, kurios pagrindas 52, fririo skaitind reik5me (34 pav., b).Tikimybes P((X, I) e Sr ) (t = 1,2) galima apskaidiuoti remiantis geo-

metriniu apibreZimu:

P((x .Y\er , l = l t ' , ! l t l , i = t .2 .lsl

Isitikinkite. A

9 l

b)a)

34 pav.

4.5. Sqlyginiai skirstiniai

Antrajame skyriuje apibreZeme sElyging [vykio A, kai [vykgs [vykis B,tikimybg:

P(Al B)= t( i . ! .u) . kaiP(B) + o.P(B)

Analogi5ka atsitiktiniq vektoriq s4voka yra s4lyginis skirstinys.Sakykime, (X, Y) yra diskretusis vektorius, kurio tikimybiq skirstinys

P i 1 = P ( X = x i , Y = ! 1 ) , i = 1 , 2 , . . . , i = 1 , 2 , . . .

Koordinadiq skirstiniai

p i =P(X = " , ) = 1

ou , i =1 ,2 , . . . ,

P , = P ( Y = Y ) = Z o r , i = r , 2 , ' . '

S4lygines ivykiq {X =x,) (i=1,2,...), kai jau yra ivykEs irykis

{Y = yi }, tikimybes vadinsime diskrediojo dydZio X s4lyginiu skirstiniu, kai

Y = yj, ir apibre5ime taip:

su visaisj, su kuriais 41+ 0.

92

Analogi5kai diskrediojo atsitiktinio dydZio I s4lyginis skirstinys, kai X == xi, aplbr9Ziamas formule

P ( Y = y l X = x , ) =P ( X = x , , Y = ! ) D;;

( i = 1 ,2 , . . . ) ,P(X = x , ) Pi

ka i p , +0 .S4lygines pasiskirstymo funkcijas galime iSreik5ti taip:

\ ( x l Y = y ) = P ( X < x l Y = y ) = \ n 6 = x i l Y = ! ) ,xi <x

Fz j l X = x ) =P(Y < y l X = x , )= ) t t t = t1 | X = x ; ) .l i < l

Toliau tarkime, kad (X, IJ - tolygusis vektorius, kurio dvimatis tankisp(x, y), o komponendiq tankis

D r ( x l = | p l x . v l d v , fD t ( v ) = | P ( x , v l d x .

J "

S4lygini atsitiktinio dydZio X tanki, kai f = y, apibreZiame taip:

p1x I Y = y) = p{x 1 r'1 = P@' Y)Pz0)

su visais y, su kuriais pzU) * 0 .

Geometrine Sio tankio interpretacija yratokia. Pavir5iqz = p(x, y) kertame plok5tuma

, =l ir sankirtos kreivp z = p(x, V ) i5tem-

piame arba suspaudZiame i5ilgai a5ies Oz,daugindami jE i5 pastovaus koeficiento

,|

^ (35 pav.) .P z l ! )

Analogi5kai apibreZiamas dydZio l sqlyginis tankis, kai X = x:

pz(y I X = v ) = p2( ! ' *7 = PG- ' Z )Pt\x )

, ( x l i )

35 pav.

ka i p , ( x ) *0

93

Sqlygines pasiskirstymo funkcijos iirei5kiamos formulemis

xt

' I P(u'Y)duF t G I D = l p ( u l y ) d u = = = _ . - ,l r r '"

Pz\Y)

v

, I PQ'v)dvF r ( y l x ) = | , , ' . " 1 x ) d v

,u,rr,","rn

*o"ot",

oootri, ]*", tankio savybes. pavyzduiui,+6

p{x l y )>0 , I n tQ l f ldx =r .

1 pavyzdys. Vertindami detales kokybg, atsiZvelgiame I du rodiklius:detales ilg[ X bei stori Y. Dvimadio atsitiktinio dydzio (X, If komponentes api-br€Ziame taip:

f0, kai detales ilgis yra leistinose ribose,. \ = 1

I prieiingu arveju;

,, lO,kai detales storis yra leistinose ribose,I = 1

l l prieSingu atveju.

Statisti5kai nustatlta, jog 5% detaliq yra nekokybi5kq be to, lyo iS jq - del de-tales ilgio defekt4 3yo - del storio defektq k t% - del ilgio bei storio defekq.UZra5ykime atsitiktinio dydZio (X, Y) sqlyginius skirstinius.

A Diskretusis dydis (X, Y) gali igyti keturias reik5mes: (0, 0), (1, 0),(0, I ) ir ( 1 , I ). Dvimatis detaliq kokybes skirstinys toks:

Poo =P(X =0 , Y = 0 ) = 0 ,95 , Ao =P(X =1 , Y = 0 ) = 0 ,01 ,

P o t = P ( X = 0 , Y = l ) = 0 , 0 3 , h t = P ( X = 1 , Y = l ) = 0 , 0 1 .

Ji uZraSome lentele:

\ayQ " \

0 I

0 0.95 0,03 0,98

0,01 0,01 0,020,96 0.04

94

Lenteles paskutiniajame stulpelyje ir paskutiniojoje eiluteje parasyti vien-madiai X ir Y skirstiniai. PavyzdLiui, po =P(X = 0) = 0,95 * 0,03 = 0,98 yratikimybe, jog detales ilgis X yra leistinose ribose.

S4lyginius skirstinius apskaidiuojame remdamiesi jq apibreZimu.Tarkime, kad koordinate I/ = 0 (detales storis yra leistinose ribose). Tada

detales ilgio X sqlyginiai skirstiniai bus tokie:

P(x =o l r = o) =x =ffi=t;,

P ( X = l l I = 0 ) - P t o - 0 ' 0 1 * I .

Qo 0,96 96

AnalogiSkai, hksavg kitq Iz reiksmQ (f = l), gauname tokius detales ilgioX s4lyginius skirstinius:

P ( X = 0 1 f = l ) = 3 - , p t X = I ; y = 1 ; = 1 .4 4

Skaitytojas nesunkiai apskaidiuos s4lyginius I/skirstinius.

2 pavyzdys. Atsitiktinis dydis (X, I) tolygiai pasiskirstgs kvadrate S, ku_rio vir5tniq koordinatds (-l; 0), (0; l), (l; 0) ir (0, -l). Apibudinkime koordi-nadiq X ir I sqlyginius tankius.

A Dvimadio dydZio (X, Y) tankis (36 pav., a)

I rl ; , k a i ( x ; y ) e S ,

p(r, .y) = I lJ l

[0 ,ka i ( r ;y )e S .

36 pav.

95

b)

P\x, Y)

Kvadrato S plotas lSl = Z {:0 pav., b).

Vienmadiq dydZiq X ir I tankiai (marginalieji) yra

l r

+ -f

p , ( v l = | p ( x . v \ d x =J '

Trumpiau,

It - l'1. kai lxl < I ,Pr(x) =

]0 , * ' 1r1 t ' , Pz(Y) =

Tai Simpsono (trikampi5kasis) skirstinys.

fai lyl< l, sqlyginis X tankis

, l + x

\ l * = l + x , k a i - l < x s o ,t -1i*11

. l + r

! l a r = l - x , k a i o c x < 1 ,z -1i*"1

0 , k a i x < - l a r b a x > 1

f l+ r , , ka i - l< y <0 ,. f l - l , k a i 0 < y < 1 ,

[ 0 , k a i y < - l a r b a y > 1 .

It -lrl, tai lrl< r,

lo, ta i [ , [>t .

| . ' , , . t a i l x l < r - l v l .

plxl y) = 4+= ] t l -b'D-' ^o' l4l : r l 'Yl '

Pz\r) fo,ui l , lrr- lyl.

Sakykime, I = 0. Tada s4lyginis X tankis

f l , u; l ' l< r ,p 1 Q l 0 ) = 1 2 ' '

Io , ta i l ' l> t .

Kai lxlcl, s4lyginis f tankis

I rl= -+- , t<a i l /< t - lx l .

Pz1lx) = lz { t - lx l )

[o , tu i l / ' t - l '1 . a

4.6. Nepriklausomieji atsit iktiniai dydZiai

ApibDdinsime atsitiktinio vektoriaus (X, I,) koordinadiq X ir Iz nepriklau-somumo s4vok4. Intuityvi Sios sqvokos samprata paprasta: atsitiktiniai dydhiaiyra nepriklausomi, jeijokia informacija apie vien4 siq dydZiq nekeidia kiio dy-dZio tikimybiq skirstiniq. Remdamiesi lvykiq A ir B nepriklausomumo api-breZimu

PUNB)=P(A)P(B) ,

apibre5ime dviejq atsitiktiniq dydZiq X ir )z nepriklausomum4.Sakykime, F(x, y), F(x) ir Fz}) yra arsirikrinio vektoriaus (X, y) ir jo

koordinadiq X bei I pasiskirstymo funkcijos.ApibroZimas. Atsitiktinius $tdiius x ir y vadiname nepriklausomaisiais,

jei su visais (x;y)e Rz

P ( X < x , Y 1 ! ) = P ( X < x ) P ( Y < y ) ,

t. y. jei

F(x,y) = F1@)F2Q).

Taigi dydZius X ir )'vadiname nepriklausomaisiais, kai dvimate pasiskirs-tymo funkcij a F(x, y) lygi koordinadiq vienmadiq pasiskirstymo funt<iiiq r',1x;, Fzo) sandaugai. sis apibreZimas yra unive^uius; jis tinka tiek diskretie-siems, tiek tolydiesiems atsitiktiniams dydZiams. Tadiau dydZiq nepriklauso-mumo.sqvokq galima apibrezti remiantis ne pasiskirstymo funkcijomis, o ki-tomis, j iems bDdingesnemis, charakteristikomis.

Diskrediujq atsitiktiniq dydZiq nepriklausomum4 apibldina lygybe

P(X = x,, Y = ! 1) =P(X = x,)P(Y = y,)

su v isa is i , j = 1,2, . . . ,o to lydZiqfq- lygybe

p(x ,y )= AQ)p2O)

su visais (x; y)e Rz .

Jeigu nors su viena skaidiq pora (i; V). Rt

F(V,V)* Fr(i)Fr(!),

tai atsitiktiniai dydLiai X ir y vadinami priklausomaisiais. Tai tikimybine pri-klausomumo s4voka, kuri skiriasi nuo anarizeje nagrinetos funkcines priklau-somybes sEvokos. Jei dydziai susieti funkcine priklausomybe, tai, Zinodamivieno dydZio reik5mp, determinuotai ir vienareiksmiskai upib.eziu-" kito dy-

97

III

dZio reikSmg. Jeigu dydZiq priklausomybe yra tikimybine, tai, Zinodami vieno Iatsitiktinio dydZio reik5mg, galime apibreZti kito atsitiktinio dydZio tiktai tiki- |mybir.l skirstini. Sakykime, atsitiktinis dydis X yra Zmogaus tigis, o dydis I'- 1jo mase. Sie atsitiktiniai dydZiai yra priklausomieji, tadiau jq tarpusavio pri-klausomybe ne funkcine. Tiesa, kartais juos bandoma susieti empirine formuleY = X - 100, tadiau konkrediais atvejais ji gali buti labai netiksli. DydZius X irf sieja tikimybine priklausomybe.

Pateiksime dar keletq pavyzdLirl.

1 pavyzdys. Sakykime, X - skaidius akudittr atvirtusiq metant kauliukqpirmE kart4 I - metant antrq kartq. Diskretieji atsitiktiniai dydLiai X ir Y yranepriklausomi, nes

P(X= i , Y = j )=P(X = l )P ( ) ' = j ) suv i sa i s i ,T=15 .

Pakeiskime Sio pavyzdZio sqlyg4.

2 pavyzdys. Sakykime, X - pirmojo metimo rezultatas, o

,. f O, jei pirmuoju metimu atvirto maliauakudiq negu antruoju,f - <

I kitais atvejais.DydZio (X, Y) tikimybes skirstin[ uZra5ykime lentele:

DydZiai X ir Y yra priklausomi, nes, pavyzdZiui,

P(x = 4 , Y =q=a . ! :=P(X = 4 ) .P ( ) '= o ) .36 36 36

3 pavyzdys. I5tirkime, ar 4.4 skyrelio 2 pavyzdyje nagrinetas prekes ga-vimo laikas X ir uZsakymo laikas I'yra priklausomieji dydZiai.

A Kadangip ( x , y ) = 1 , k a i 0 < x , y < 1 ,

I

P(x) : I P(x. Y)dY = l . ka i 0 S x < l ,;

Qy

f).I 2 J 4 5 6

05

364

36 36236

I

360

l 536

II

36

236

J

36436

536

636

2 l36

z 636

636

636

636

636

636

I

98

l

Pz!) = [ n@,Dd*= l , kai 0 < Y < l ,0

p(x,y) = pt j )pz(D, kai 0 1x,y <h1,

tai dydLiaiX ir Y yra nepriklausomi. A

4 pavyzdys. I5siai5kinkime, ar 4.5 skyrelio 2 pavyzdyje nagrineti dydZiaiyra priklausomi.

IA Kadangi : + tt -lxlXl -lyll, tui. pavyzdliulx = 0 iry = 0. tai dydZiai

L

X ir Y yra priklausomi.

Vel imkime stadiakampi S = {(x;y) i .x1 (;s < x2, h3 y < yz} .

Teorema. Jei dydiiai X ir Y yra nepriklausomi, tai

P((x, Y)e S) = (fi (r, ) - 4 (rr )X4( yz) - Fzj)).

A Zinome, kad

P( (X , Y )e S )= F (x2 ,y ) - F ( \ , yz ) - F (xz , y , )+F (x , , y , ) .

Nepriklausomqiq dydZiq X ir I dvimate pasiskirstymo funkcija F(x,y) =

= Il (x)F, (y) , todel

P ( (X , I i ) e S ) = 4 G) .Fz (yz ) -4 (x r ) .F20 ) - 4Qz ) .Fz (y t ) -

+Fi(xr) .FzU) = F1Q2)(F2(yz)- FzOtD\Q1)(Fr(y2) - ri@r)) =

= (4(xz) -4(" r )X4(yz) - Fz( . | � tD. L

Baigdami skyrirS atkreipsime demesi i tokius teiginius.Jei dydZiai X ir Y yra nepriklausomi, tai sqlyginiai skirstiniai sutampa su

bes4lyginiais . P avy zdliui,

P (X = x i lY = ! 1 ) =P(X = x i ) , i =1 ,2 , . . . ,

m G l y ) = p y Q ) , x e R .

I5 dvimadiq skirstiniq galima gauti vienmadius. Antai

F(x, + -) = { (x), F(+-, y) = Fzj)

Turint vienmadius skirstinius, galima apib[dinti dvimat[ skirstini kuriokomponent€ s yra nepriklausomos io s. P avy zdLiui,

F(x, y) = \ (x)Fr(y)

Priklausomrfq dydZiq dvimati skirstin[ galima nusakyti Zinant vieno i5 tqdydZiq marginalqjI ir kito sqlyginI skirstini.

ApibreZimai ir teiginiai, tinkantys dvimadiam atsitiktiniam vektoriui (X, Y),t inkai rvektor iamssudidesniuskaid iumikoordinadiq,PavyzdLiu i ,galds imeteigti, kad n-madio vektoriaus (Xt, X2,..., X,) koordinates yra nepriklausomos, *jeigu n-mate pasiskirstymo funkcija lygi koordinadiq pasiskirstymo funkcijqsandausai:

P(Xr < 4, X2 1x2, . . . , Xn < xn) =

= P(Xr <x1)P(X2 < x) . .P(X, <x,) (x1;x2; . . . ;x , )e R" .

UZdaviniai

l. Atsitiktinio vektoriaus (X, D tikimybiq skirstinys pateiktas lentele

UZrasykite dydZiq X ir )'marginaliuosius skirstinius. Nustatykite, ar X irI yra priklausomieji dydZial? Apskaidiuokite tikimybes P(X = 9, P(X > n,P ( X < 1 , 5 , Y > 2 ) .

2. Simetri5ka moneta metama tris kartus. X - atvirtusiq herbq skaidius, I -

metimo, kurio metu pirm4 kart4 atvirsta herbas, numeris (iei visus tris kartusatvirsta skaieius, laikoma, kad I = 4. Sudarykite atsitiktinio vektoriaus (X, Iftikimybiq skirstin[. Nustatykite, ar dydLiai X ir Y yra priklausomi. Apskaidiuokite

t i k imybes P (X <2 ,Y <2 ) , P (X >1 , Y> -L ) ,P (X <2 ,Y = 3 ) , P (X =2 | Y = l ) ,

P ( X < 3 | Y = 2 ) , P ( Y = 4 ) .

3. I5 36 kortq malkos atsitiktinai i5traukiamos dvi kortos. X - iStrauktqtiizq skaidius, I - i5trauktq karaliq skaidius. Sudarykite vektoriaus 6, nskirstini, nustatykite, ar dydZiai X ir Y yra priklausomi, ir apskaidiuokite tiki-mybes P(X > Y),P(X = 9, P(X < lr.

elrc)" I 2 3

II

nI

6

I

1 2

2I

6

I

4

I

1 2

3I

t 2I

1 20

100

4. lsitikinkite, kad funkcija

f z . t < a i o < y < x . 0 < x < 1 .D l x . v l = I

l0 kitais atvejais

yra dvimadio atsjtiktinio dydZio (X, IJ tikimybiq tankis. Pateikite geometrini jovaizdq. Raskite marginaliuosius ir s4lyginius tankius. Apskaidiuokite tikimy-

( t \ / r r I r \b e s P l X < l , P l - < X < : , - : 3 Y < _ I . P ( X > 2 n .

[ 2 ] 1 4 2 4 2 )

5. Dviejq sistemq ilgaamZi5kumas (21, Z) apibldinamas tikimybiq pa-siskirstymo funkcija

r / , r \ f t - " - ^ r " - e -L r t , *u - ) " r t r - ) ' r t r , ka i / , > } i r t 2>0 ,F l t 1 , t 1 ) = l

[0 kitais atvejais.

Raskite tikimybiq tanki p(tr, 12) ir vienmadius skirstinius. Apskaidiuokite

ivykiqA : {abiejq sistemq ilgaamZi5kumas bus ne maZesnis uL r },B: {praejus laiko tarpui t, pirmoji sistema suges, o antroji - ne},( = {pirmoji sistema suges greidiau uZ antr4j4}

tikimybes. Nustatykite, ar dydLiaiTl ir T2 yra priklausomi.

6. Yra Zinomas vektoriaus (X, I, tikimybiq tankis:

l 2 n - , ' * r ) , k a i 0 < x < y i r O ( / ( - ,p ( x , v ) = 4

l0 kitais atvejais.

Raskite marginaliuosius X ir I skirstinius. Nustatykite, ar dydLiai X ir Yyra priklausomi. Apibtidinkite sqlyginius tankius. Apskaidiuokite tikimybes

P ( X > l ) . P ( X > r . r > l ) . P ( X > l I r > l ) .

7. Dvimatis tankis

fCxy ,ka i 0 S x < l i r 0 < y <2 .D ( x , v l = 4

l0 kitais atvejais.

Raskite konstant4 C, dvimatg pasiskirstymo funkcijq bei s4lyginius tan-

k ius p r ( r l y ) i r p2Q lx ) .

8. Vektoriaus (X, Y, 4 tikimybiq tankis

I t z * ' y r . k a i o < x . y . z < 1 .p ( x . v , z ) = 4

l0 kitais atvejais.

Raskite vienmates pasiskirstymo funkcijas ir apskaidiuokite tikimybpP 6 < Y < 2 .

101

9. Dvimate vektoriaus (X, y) pasiskirstymo funkcija

0 , k a i x < 0 a r b a y < 0 ,

x y , k a i 0 < r < l i r 0 < y < 1 ,x , k a i 0 < x < l i r y > 1 ,y , k a i 0 < y < l i r x ) 1 ,1 , k a i x > l i r y > 1 .

F(x,y) =

Apibfrdinkite vektoriaus (X, Iz) reiksmiqaibq. Raskite dvimat[ tankip@,y)

ir marginaliuosius skirstinius. Apskaidiuokite tikimybes p( xal, t-1.],l , 2 2 )

- ( t l r \ ( r r \P l " = ; l Y > ; l , * l " = l , r t 1 l . N u s t a t y k i t e , a r d y d Z i a i X i r y y r a p r i _

| ' ) \ z z )

klausomi.

10. Atsitiktinio vekroriaus (X, y) tankis

^ / _ _ . \ _ f x e - , t t * r t , k a i o < x . y < * ,p\x,y) = 1[ 0 kitais atvejais.

Raskite marginaliuosius ir salyginius skirstinius. Nustatykite, ar dydLiai xir Y yra priklausomi. Apskaidiuokite tikimybes p6 < n n n(X ='g.

11. DeZeje yra 2 balti,3 juodi ir 3 raudoni rutuliai. IS ios atsitiktinaii5traukiami du ruruliai. Tarkime, jog X - istrauktq baltq rutuliq staidius, r- i5-trauktq raudonq rutulirl skaidius.

ParaSykite arsitiktinio vektoriaus (x, y) tikimybirr skirstin[. pateikitesqlyginius dydZio X skirstinius. UZdavini sprgskite, kai atranka yra:

-

a) gr4Zinamoji;b) negr4Zinamoji.

12. Atsitiktinio dydZio X skirstinys yra eksponentinis:

[ o , k a i x < 0 ,F(x) = l

l l - e - - . k a i x > 0 .

Tarkime, kad parametras ), yra atsitiktinis dydis, kurio skirstiniai:a) hrQ) = e-',kaix > 0 (eksponentinis);

b) P(X = f t )= p( t - p)k- t ,ka ik> I (geometr in is) .Raskite atsitiktinio dvdZio X tanki.

r02

13. Atsitiktinio dydZio X skirstinys yra geometrinis, be to, atsitiktinis joparametras p tolygiai pasiskirstgs atkarpoje [0, l]. Raskite dydZio X pasiskirs-tymo funkcij4.

14. Laikydami, kad X yra atsitiktinis dydis, igyjantis sveik4sias nenei-giam4sias reik5mes, ir

P ( X > k + l l X > k ) = P ( X > l ) ( d i a k = 0 , 1 , 2 , . . . ) ' .

a) pateikite Sio s4rySio interpretacij4 jei X - technines sistemos gyvavimotrukme;

b) nustatykite X tikimybiq skirstini jei P(X = 0) = IJ

tl

r, ATSTnKTTNTU DYDZTU FUNKctJos

SprendZiant taikomojo pobudZio, tarp jq ir inZinerinius, uZdavinius,daZnai tenka remtis vieno arba keleto atsitiktinirl dydZiq funkcijomis.Tarkime, kad i sistem4 patenka n atsitiktiniq signalq Xy X2, ..., Xn(37 pav.). Juos transformavusi, sistema i5leidZia signal4

Y=f (x t , x2 , . . . , x , ) . 4

Sistem4apibldinanti funkcija/ ga- kli blti, pavyzdZiui, tiesine:

Y = a1X1 * a2X, + . . . + anX n ; 37 pav

ila a, (i =1,n) - realieji skaidiai. Tai ypad svarbi praktikoje ir bDdinga

padiai tikimybiq teorij ai tunkcija.

Siame skyriuje, Zinodami atsitiktiniq dydZiq X; (i =l,n) tikimybiq

skirstinius ir funkcij4l ieSkosime atsitiktinio dydlio Y = f(Xb Xz, ..., X,)skirstinio.

5.1. Vienmadiq dydiiq funkcijos

Sakykime, elementariqjrl irykiq erdveje Q apibreZtas atsitiktinis dydisX = X(a). Be to, tarkime, kadf yra realioji funkcija. Funkciiq/ir X superpo-

zicijqY = lX(rll)) vadiname atsitiktinio argumento funkcija (atsitiktinio dy-dZio tunkcija).

Kaip apibldinti atsitiktinio dydZio Y = flD tikimybiq skirstini jei funk-cija f ir dydZio X skirstinys yra Zinomi? Pirmiausia 5i4 problemq ir jos spren-dim4 iliustruosime pavyzdZiais.

L pavyzdys. Atsitiktinio dydZio X skirstinys pateiktas lentele:

Raskime Sio dydZio funkcijrl

Y = 2 X - l i r Z = X 2

skirstinius.

sr.r - l 0 1

P o.2 0,5 0.3

105

A DydZio Iz igyjamq reik5miq aibe f), = {-3, - 1,1} ir tikimybes

P(y = -3) =P(X = -1) = 0,2,P ( I = - l ) = P ( X = 0 ) = 0 , 5 ,

P(I = l ) =P(X = l ) = 0,3.Taigi dydZio I/ skirstinys yra toks:

DydZio Zrgyjam\reikSmiq aibA Q, = {0, U ir tikimybes

P(Z = 0) =P(X = 0) = 0,5,

P(Z =l) =P(X2 = 1) = P(X = - l ) + p(X = 1) = 0,5.DydZio Z skirstin[ galime pateikti tokia lentele:

2 pavyzdys. Atsitiktinis dydis X tolygiai pasiskirstgs intervale (0, l). Ras-I

kime dydZio Y = -- skirstin[.. X

A DydZio X pasiskirstymo funkcija

f o , k a i x < 0 ,F x ( x ) = . i x , k a i 0 < x ( 1 ,

[ , k a i r > 1 .Tada

Fvo)=p() ,<y) =r (+ . / l= v( xJ l= , -&f1 l=r - f ,\ x ' ) [ - v )

^ \ y ) y

ka i 0<1 .1 , t . y . ka i y > l . Vad inas i ,-v

f o , ka i y<1 ,F r ( D = 1 . I

l l - - , k a i y > 1 .l vTankis

f o , ka i y<1 ,py (y) = pi 0)= I +, kai y > l.

l Y '

slv -3 - l I

P o.2 0.5 0,3

gzz 0 I

P 0,5 0.5

106

Atsitiktinio dydZio I pasiskirstymo funkcijos galejome ie5koti ir tokiubrldu:

( t \ n L rF r ( y ) = P l ; . y l = | p , ( i a x = l t a r = l - 1 . k a i y > l .

\ ^ ) 1 j r i Yl r : - < y f

3 pavyzdys. TolydZiojo atsitiktinio dydZio X tankis yra p(x), o dydis

f - r , t a i x < 0 ,I / = s g n X = 1 0 , k a i X = 0 ,

[ , k a i X > 0 .

Apibtdinsime Y skirstin[.L X yra tolydusis dydis, bet I - diskretusis. Jo igyjamq reik5miq aibe

S2y = {-1,0,1} . Tokia dydZiq transformacija (diskretinimas) daZnai pasitaikoapra5ant ir sprendZiant inZinerines problemas.

Tikimybes g

P(r = - l) = P(x <0) = J p@)dx = Fx(O),

P(r = 0) =P(x = 0) = 0,

P(r = 1) = P(x > 0) = f p(r) dx =t- FxQ);'0

dia r"(0) = P(X < 0). Toliau nagrinesime bendresnius atvejus.Diskretieji dydZiai. Atsitiktinio dydZio X skirstinys pateiktas lenrele

p i = P ( X = x i ) , i = 1 , 2 , . . . ,

o dydis Y = flD. DydZio lzskirstinys yra

Q 1 = P ( Y = l 1 ) , i = 1 , 2 , . . .

Eia y., = 71x,), j =1,2,... Tikimybes 4; i5reikSkime tikimybemis p; .

glx X1 Xz xn

P Pr P2 p"

Qr Ir lz l"P Q t Q,I q.

r07

Jei funkcija / 1ra tolydi ir monotonine (egzistuoja vienintele atvirk5tinefunkcija), tai

Q 1 = P ( Y = / j ) = P ( f ( X ) = 7 Q 1 D = P ( X = x j ) = p i , j = 1 , 2 , . . .

Taigi tikimybes nepakito ir qi -- pi su visais 7 > ^ .

Jeigu funkcijalf nemonotonine (pavyzdLiui. Y = Xz), tai atvirk5tine funk-

crja f-t yra nevienareik5me ir

P( f (X) = f ( * , ) ) +P(X = x, ) .

Siuo atveju tikimybes

Q1=P(Y = y , )=P( f ( x )= y )= )n1x = x , ; .l . f ( ' , )= y t I

eia sudedame tikimybes p;, turindias indeksus i, su kuriais f (t,) = -1, . Kitaip

tariant, jeigu dydZio X reik5mes pasikartoja, tai skirstinirl lenteleje lra5omevien4 i5 tq reikSmiq o jq tikimybes sudedame.

Atsitiktinio dydZio Y = f (X) pasiskirstymo funkcij4 Fy galima

apskaidiuoti remiantis Z skirstinio lentele arba tiesiogiai pagal formulg

Fv j )=P( f ( x )< y ) : E* f * = x , ) , ye R .l . f ( x , \ < y i l

4 pavyzdys. Atsitiktinis dydis )'= sirrlX, o X - simetri5kos monetos

metimq, kol atvirs herbas, skaidius. Raskime I skirstin[.A Atsitiktinio dydZio X skirstinys yra geometrinis:

pi =P(x = i ) = P(FIXI -P(H)) ' - t , t > l .

Kadangi

f - t , t a i i = 4 n + 3 ,

snT i = . lo , mt i = 4n+2,n) o ,2 l

l l , k a i i = 4 n * 1 ,

tai dydZio I/skirstinys yta Qi = P()'= i),i = -1,0,1.

Qx I z 3 I

PI;z

I---;2 '

I

2'�

1-2'

r08

Cia tikimybes(

Q-r =P(Y - - l ) = v l"" |x\

1 l. t 3 o 7

" 'L L

=- ' l= 20 ,) { . n . l

{ s rn - r= - l }t 2 l

1

=o)= P fs in I * =o l= > , ,= * * * * = 4 = !| 2 )

i,"5=,1 2' 2" 1 -: 3

,|

_ g _ Z, I 1 5 'I - -

t 6

4o =P(Y

. 8l f Q r = - .' ' t 5


0 , k a i y < - 1 ,

? . u u r - 1 < y < 0 .l 5

L . r u r o < y < 1 .l 5 -l , k a i y > 1 .

Tolydieji dydZiai. Atsitiktinio dydLio X tankis yra pfix) ir Y = fln.Tadaatsitiktinio dydlio I pasiskirstymo funkcija

Fy (y) : P(f (x)< -y)) = | o r O)a*.b

Lla srl trs

D = { x : f ( x ) < y \ .

Kai funkcija/yra tolydi ir monotonine, dydZio I/ pasiskirstymo funkcijqFy galima i5reik5ti Zinoma funkcija F; . Tarkime, kad f yra didejanti funkcija.Tada

Fv 0) =P(f (x)< y)) = P(x < f t (y) ) = Fx( fa (y)) .

Priminsime, iog -f-t yra funkcijos / atvirk5tine funkcija. Diferencijuo-

dami gauname tankiq s4rySio formulg:

py (y) = p x U-' OD(ft (y))'.

Fr (Y) =

109

Kaif yra monotoni5kai maZejanti funkcija, analogiSkaiFy(y ) = t - Fx( f

- t (y ) ) ,

py (y) = - p x (f-' (y))(f' (y))' .Atkreipkite demesi kad monotoni5kai maZejandios funkcijos isvestind

yra neigiama. Taigi kai funkcija/yra tolydi ir monotonine, tankispy (y) = p x U4 (D)l( f

-' til)'1.

5 pavyzdys. TolydZiojo atsitiktinio dydLio X rankis lygus pd.r), o dydis Iy'ra tiesine dydZio X funkcija

Y = a X + b .Raskime IZ skirstini.

A I5 pradZiq tarkime, kad a -- 0. Tada y = b ir pasiskirstymo funkcija

fo,uaiy<t./ { v l l l = I

l l.kai y > b.Gavome iSsigimusi ta5ke y = b skirstini (diskretql[!).

Toliau tarkime, kad a *0 . Tada

Gauname tok[ pasiskirstymo funkcijq s4rySi;( / , , - � r . :lFr l ' - j l , tcai a > o,

& ( " r , ) = ] \ : ) . ,

l t _ � o r [ Y - o ] , k a i a < 0 .t l . a )

J[ diferencijuodami, nustatome tankiq sqryS[:

l ! - . . ( , -u\, , \ l " ' ^ \ o ) 1 ( v _ b \ .P Y t D =

1 t ' ( v _ ' b \ = A p * l ; l , k a i a * o a

l - - P x l - l ' 'l a \ 4 )

6 pavyzdys. Raskime harmonikos

Y = asin X,kurios amplitud€ c > 0 pastovi, o argumentas X tolygiai pasiskirstgs intervale

{ - I . ! l . sk i rs t in ius.| 2 2 )

l l 0

A Atsitiktinio dydZio X tankis

[ t , ( n n \l - . K a l . r e l - - . - l .l n \ 2 2 )

P x G ) = 1 . \l ^ , r T n l10. ka ixe I - : . : : l .t l 2 2 )

Funkcija y = frx) = a sin -r yra tolydi ir monotoniskai didejanti intervale

| -:, : l . Siame intervale jos atvirk5tin€ funkcija| 2 2 l

- - t . V"f

-'(y) = arcsin I (l,vl < o1

ir iSvestine

- - t . . , I(J ' \y ) ) =-T: .,Jot -y '

Tada tankis

pv o) = r * ("f-' o)ltf ' rilll = -+, ltl. o.n ia - - Y '

Sis skirstinys vadinamas arksinuso d6sniu. Jam bDdinga tai, kad tankisndra apreZtas (38 pav.). l'

I5nagrinekime vien4 nemonotonines funkcijos /pavyzd[.

7 pavyzdys. Atsitiktinio dydZio X skirstinys yra normalusis (Gauso):

t 2

1 - ;P x G ) = T 2 n ' 2 . x e R '

Raskime dydZio Y = X2 skirstin[.

A Pasiskirstymo funkcija

Fv1) =p(x2 <y) = p(xl 0,

o tankis

l r l rPr0) = :r p xGl v) + r Px(-Jv)' kai v > o,

ztl Y zrl Y

38 pav.

l l l

arba

I| -"-p r ( D = - + e 2 . k a i y > 0 .

i znY

TankiprCv) galejome skaidiuoti tiesiogiai:

pv (v) = px (vr (v))lvi (rll + p x (v z?Dlv'2?)l

iia funkcilos y = flx) = x2 atvirk5tine funkcija f t (y) yra nevienareik5me,

nes vien4 y reik5mg atitinka dvi atvirk5tines funkcijos reik5mes:

Vr(Y)= Jr i rvtO)=-Jr ' a

5.2. Dvimadiq vektoriq funkcijos

Sakykime, dvimadio atsitiktinio vektoriaus (X, I) koordinates apibreZtoserdveje Q, ta ig i X =X(a) , Y =Y(a) . Funkci ja Z(a)= f (X(a) ,Y(a)) yra

vienmatis atsitiktinis dydis, kurl apibldinsime funkcija / ir vektoriaus (X, Dskirstiniu.

Diskretieji vektoriai. Tarkime, kad tikimybes pu =P(X =xi,Y = !i)

(t, j > l) yra Zinomos. Tada

P(Z = z1) =P(f (X ,Y) = zt ) ) = | n , , t r t .

l f ( x i , t i ) = z * |

Radq tikimybes P(Z = z),P(Z = z2),..., lengvai apibldiname pasiskirs-

fymo tunkcijq:

F 2 Q ) = P ( Z < z ) , z e R .

Tolydieji vektoriai. Tarkime, kad vektoriaus (X, If dvimatis tankisp(x, y) yra Zinomas. Tada dydZio Z = flX,I) pasiskirstymo funkcija

F2Q) = P(f (x .Y) < z) = II pG. yla,ay:D

dia sritis

D = { ( x ; y ) : f ( x , y ) < z l .

Diferencijuodami Siq pasiskirstymo funkcij4 suZinome dvimadio atsitik-tinio dvdZio Ztanki.

I12

Qx 8 9 l 0P 0,1 0.2 0.1

I pavyzdys. Du Sauliai nepriklausomai vienas nuo kito Saudo I taikini.

I firmojo Saulio surinktq ta5kq skaidius X bei antrojo Saulio surinktq ta5kqskaidius f turi tokius skirstinius:

Raskime Sauliq surinktq ta5kq skaidiaus sumos skirstinius.A Abiejq Sauliq surinktq ta5kq skaidius Z = X + I. Jo skirstin[ galime

pateikti tokia lentele:

9x*v t 7 l 8 19 20P ( X + Y = k ) Qr Qz Qz 4t

Apskaidiuojame tikimybes q1@ia j = 1,2,3,4):

% = P ( X + Y = 1 7 ) = P ( X = 8 , ) , = 9 ) = P ( X = 8 ) . P ( ) . = 9 ) = 0 , 0 4 ,

e z = P ( X + ) . = 1 8 ) = P ( ( X = 8 , ) , = 1 0 ) U ( X = 9 , Y = 9 ) ) = O , t a ,

A t = P ( X + Y = 1 9 ) = 0 , 4 0 ,

aq =P(X +Y =20 ) =0 ,42 .

Pabandykite apibDdinti tunkcijq Z = max(X, Y) ir Z = min(X, Y)skirstinius, kai dydZiai X ir Y apibrdLli taip, kaip nurodya I pavyzdyje.

2 pavyzdys. Sistema sudaryta i5 dviejq nuosekliai sujungtq ir nepri-klausomai funkcionuojandiq elementq kuriq ilgaamZi5kumo X ir Y skirstiniaiyra eksponentiniai. Tq skirstiniq parametrai lygfs ]"t ir 1,, . Raskime sistemos

i lgaamZi5kumo skirstin [.A Pasiskirstymo funkcijos:

FxQ) = | - e-x l , F, ( t ) = l - e- \ , ' ; d ia r > 0.

Sistemos ilgaamZi5kumas

T = mln(X, Y),

o jo pasiskirstymo funkcija

F r ( t 7 = P ( m i n ( X , Y ) < t ) = l - P ( m i n ( X , Y ) > t ) = l - P ( x > t , Y > t ) =

= l -P (x > / ) . P ( r > r ) = I - ( l - r x0 ) ) (1 - Fy ( t ) ) - 1 - " -Q ' r+ ) "2 ) t .

s2'y 9 t 0P 0.4 0.6

1 1 3

Taigi sistemos ilgaamZi5kumo skirstinys taip pat yra eksponentinis, o jo para-metras )y = )v + )"2:

[ o , k a i l < 0 ,F . ( t ) = . i

l l - e -n ' . ka i l 2 o . a

Si0lome nustatyti sistemos, kurios elementai sujungti vienas su kitulygiagrediai, ilgaamZi5kumo skirstini.

3 pavyzdys. Dvimadio atsitiktinio dydZio (X, Y) tankis yra p(x, y). Ras-

kimesantykio Z =L skirstini.. X

A Ie5komojo santykio pasiskirstymo funkcija yra tokia:( Y \ n n

F7Q) = Pl = < , l= l l p(x, y)dxdy;I V ) 'i,,

l u ldiasr i t is(39pav.) p = l (x: l ) ' . L < zl = DtU Dz.

l x )Dvilyp[ integral4 i5rei5kq kartotiniu, gauname:

0 -

F7e) = ta*[ n<-.i l* * [* t ni.t)arzx 0 - 6

I5diferencijavg apskaidiuojame tank[:0 6f lp, ( zl = - | xp( x. zx)dx l- | xp(x. zx)dx.

J " J '

Vadinasi, *lrrO,o tankis

l t I

D" I z | = | lxl p(x, zx )clx.J r F

Kai dydiiai X ir Y yra nepriklausomi,

, f r t

P z G) = Jlxlnr?) n2Gr)a*'

lel AyaZi t;Y ir X skirstiniai yra normalieji, t. y. jei

t - t '

n G ) = p t j ) = - - - e 2 ( x e R ) ,' Jzn

39 pav.

rt4

tal

I + 2 2 )

irI

P z G ) = - r ; d i a x e R7 I ( l + x - )

(Ko5i skirstinys). Analogi5kai apskaidiuojamas ir funkcijos Z = XY skirstinys. Pabandykite

ji rasti.

5.3. Nepriklausomqjq dydZiq sumos skirstiniai

Sakykime, atsitiktinio vektoriaus (X, I) koordinatds X ir I/ 1ra nepri-klausomosios, o jq skirstiniai Zinomi. ApibDdinsime sumos Z= X + Iskirstini.Sios problemos sprendimas aktualus padiai tikimybiq teorijai ir jos taikymui.

Tarkime, jog dydZiai Xir Yyratolydieji, o jqtankis lyguspl(-r) ir pzj).Teorema. Dviej4 nepriklausom4ja tolydiiqjq atsitiktiniq dydZiq sumos

t ankis lygus d€men4 tanki4 s qsukai :

- 1 2| . - - (p z G ) = : I x e 2 '

4 J, , 0

i =t , . t ,p v * v ( z ) = | p t ( x ) p , ( z _ x ) d x = | p t ( z _ y ) p 2 9 ) d y .'

J " '

A Sumos pasiskirstymo funkcija

F7Q) = P(x + Y .,) = II pQ. i ldxdy.D

Integravimo sritis

D = { ( x ; y ) : x + y < z }

pavaizduota 40 paveiksle.Dvilyp[ integralE i5rei5kiame kartotiniu :

F7Q) =i a.'inA,Aat

Kadangi dydZiai X ir Y yra nepriklausomi, tai p(x, y) = p{x)p2(t) ir_ ( z _ x \ _

F7Q)= f l p , r * l [ , rov , l * = | p ,e )F2e - x )dx ._'-\ : ) :-

40 pav.

1 1 5

15 dia tankis

PzQ) = ) n t? )n r { ' - x )dx ' a

SimboliSkai ra5ome:

Px*vQ)= (h * Pz )Q) '

Si operacija yra komutatyvi: prx pz = pz x pr . lsitikinkite.Kai dydZiai X ir Y yra diskretieji bei nepriklausomieji, gauname tokiq

s4sflkos formulg:

P (X + , = , o )= }y f " = x )P (v = z r , - x ) ;E ia k>1 .I

Matome, jog paprastq dviejq atsitiktiniq dydZiq veiksmq (sudetf atitinkadaug sudetingesnis skirstiniq veiksmas - sqsfika

SiE skirstiniq operacij4 galima apibendrinti imant didesn[ skaidiq nepri-klausomqjq atsitiktiniq dydZitt.

1 pavyzdys. Dviejq matavimo prietaisq paklaidos yra nepriklausomieji| | l l

atsitiktiniai dydZiai X ir Y, tolygiai pasiskirstg atkarpoje l-;, ;1.

Raskime

paklaidq sumos skirstini.A Paklaidq tankis

| | r r ll l . k a i x e l - : . : l .| 1 2 2 )p , ( x l = p , ( x \ = 1r t \ . _ , r z \ - _ , I . . t I l ll 0 . k a i x € l - : . : 1 .I 1 2 2 )

DydZio Z= X+ f igyjamos reikSmes yra atkarpoje [-1, l], o tankis

l l2 2t , f ,pzk) = J nQ) nz{' - x)dx =

J PrQ - x)dx'l l-t -t

Kai z <- l , ta i P2Q) =0 (41 Pav' ,a)-

Tark ime, kad -1 <z<1. Tada pz(z-x)*0 su tomis z re ikSmemis ' su

l l l lk u r i o m i s - ' < z - r < : . a r b a x - l I 2 I y 1 1 .

2 2 2 2

l l 6

,* !2

K a i - l < z < 0 . t a i p r t z \ = l a x = l + 2 .I-t

K a i 0 < z < 1

z- t

K a i z > l , t a i p r ( z ) = 0 .

Trumpai galime uZra5yti taip:

[0, t<ailr l > t.P ? l z l = 1

I t - l , l , ka i l z l< r .Tai mums jau Zinomas Simpsono skirstinys

(41 pav., b). Taigi matome, jog paklaidq sumapasiskirsdiusinetolygiai. 41 pav.

2 pavyzdys. Pokalbio telefonu trukm€ yra eksponentinis atsitiktinis dy-dis. Raskime dviejq pokalbiq trukmes skirstin[.

A Sakykime, pirmojo pokalbio trukme - atsitiktinis dydis X, anrrojo -dydis f. Jqtankis

[ o , k a i x < 0 ,p , ( x \ = p , ( x \ = 1r t \ ' - / r z \ " / l i , " - * , k a i x > 0 .

Jeigu Sios trukmOs yra nepriklausomieji dydLiai,tai

6 r

t " r f - r .px *vQ) = J n, {* ) nr t t - x)dx =t

l r - t * r x( r -x t4r .

Vadinasi,

Px*vG) =*k-x ' ,ka i r > o.

Tai antrosios eilds Erlango skirstinys.S[ desni nesunku apibendrinti (pavyzdhiui, indukcijos metodu) imant bet

kuri skaidiqn pokalbiq. Tada pokalbiqtrukmes Z = Xt + X2 +... + X, rankis

).1)"t1'-t -^,D , l I l =

(n - l \ l

I

tI

. I a r p 7 ( z ) = | d x = l - z .

L N

Tai n-tosios eiles Erlango skirstinys. Jis ypad aktualus matematineje eiliqteorijoje. Skaitytoj as nesunkiai isitikins, kad pasiskirstymo funkcija

n - l r 1 . t L - \ '

F - ( t \ = 1 - Y ( A r ) " e ' " " E k l

UZdaviniai

l. Atsitiktinio dydZio X pasiskirstymo funkcija

F(x) =

0 , k a i x < - 1 ,

) , t ^ t - l < r ( 1 ,

l , k u i t < x 1 2 ,

l,kai x > 2.

Raskite atsitiktiniq dydZirL 2 X - t, lXl, - X3 + 2, X2 tikimybiq skirstinius.

2. TolydZiojo atsitiktinio dydZio X pasiskirstymo funkcija

[ r ( x ) , t a i o < x ( - ,F . ( x ) = . { ' "

l 0 . k a i x < 0 .

Raski te ats i t ik t in iq dydziq f , . r r

. ln X.e-x. X2 t ik imybiq sk i rs t in ius.

Apibiidinkite atveji F(x) =1-e-*

3. Yra Zinomas atsitiktinio dydZio tankis bei funkcija:l l

a ) py (x )= - - - : - ; - , ka i xe R , Y = - ,n ( 1 + x t ) x

b ) p x Q ) = l , k a i 0 < x < l , Y = 1 - x , Y = - l n ( l - X ) ;

c) px Q)= 1l + x)-2, kai x > 0, Y = +.XRaskite I skirstinius.

4. Molekuliq susidurimo greidio X skirstin[ apib[dina Relejaus desnis, 2

P ( x ) = * r * , k a i x > 0 .o

Smiigio metu i5siskiria energijos kiekis I=c(l- X21;tiac>0. Raskite f

skirstini.

l l 8

5. Sakykime, skritulio spindulio X skirstinys atitinka Relejaus desn[ (Zr. 4uZdavin[). Raskite skritulio ploto skirstini _

6. Atsitiktinis dydis X yra tolygiai pasiskirstss atkarpoje l-1, I |

*

statykite harmonikos )' = sin X skirstini. Pateikite uZdavinio ,Uigo, i.'rpr.n-dimo geometrinq interpretacij4.

7. Atsitiktinio dydZio X skirstinys yra eksponentinis; jo parametras lygusl" . KoSi skirstinio dydi I iSreikSkite dydZiu X.

8. Dviejq Zvejq laimikiai (per valand4 sugautq Zuvq skaidius) X ir Y yranepriklausomiej i dydZiai, kuriq tikimybiq skirstiniai tokie:

Raskite X +Y, max(X,I), min(X, 1) skirstinius.

9. Metami du lo5imo kauliukai. Sakykime, X - pirmojo kauliuko atvirtu-

siq akudiq skaidius, I - antrojo. Raskite lX - yl skirstini.

10. Moneta metama 4 kartus. Jeigu atvirsta H, laimimas I Lt, jeigu S -

pralaimimas I Lt. Para5ykite i5lo5tq litq skirstini.

11. TolydZiojo atsitiktinio vektoriaus (X, Ii) tankis ya px.y(x,y). Iro-

dykite, kad:

P x -y (x , Y) = P x,y (x , - Y) ,

I r l )P r . ( x . ! ) = - P x . r l - . 1 1 .' . t x - \ x )

i iPx rv G) =

J Px .y0 . z - v )dv = I nx .yk - x ,x )dx .

7 7p y - v k ) = | p y r ( z + y , y ) d y = | p * G - z , x ) d x .J ' " ' ' J ' " "

T r / - \P x . v G ) = | - P r . r l , , 1 l e .

: l f l \ x /

PrlxQ) =Tl4or",*r*-

Para5ykite s4rySio formules, kai X ir I/- nepriklausomieji dydZiai.

Qx 0 2

P o.2 0,5 0,3

ery - l I

P 0.2 0,8

1 1 9

12. Du Sauliai nepriklausomai vienas nuo kito Saudo I taikin[ tol, kolpataiko. Kiekvieno sekmingo 5[vio tikimybe lygi p. Raskite abiejq sauliqpanaudotq Sovinitl ir minimalaus panaudotq soviniq skaidiaus skirstinius.

13. Ta5kas (X, Y) tolygiai pasiskirstgs kvadrate, kurio kraStine lygi l.Raskite:

a) stadiakampio, kurio kraStines X ir I/, ploto skirstin[;b) stadiakampio, kurio kra5tines X ir I/, perimetro skirstini;c) P(lX -Yl. ,),P(XY < z),P(min(X, y) < z)),p(max(X, y) < z)).

14. Pokalbiq telefonu trukme Zo - dydis, kurio skirstinys yra eksponen-tinis, o parametras lygus 1,. Telefonu naudojasi atsitiktinis skaidius N klientu.Tarkime, kad N nepriklauso nuo Tt (k 2l) , be to:

a ) P ( N = f t ) = p ( l - p \ k - t ( k > l ) ;t _

b) P( f f = k) = (k = l ,n) .n

Raskite visq pokalbiq trukmes Tt+72+...+Tu ir ilgiausios trukmOsmax({, T2,..., TN) skirstinius.

15. Sakykime, sistem4 sudaro nuosekliai sujungti ir nepriklausomaifunkcionuojantys elementai. Kiekvieno jq ilgaamZiskumas - eksponentinisatsitiktinis dydis, kurio parametras Lt (k>l). Raskite:

a) n elementq sistemos ilgaamZi5kumo skirstin[;b) atsitiktinio skaidiaus N elementq sistemos ilgaamziskumo skirstini kai

P ( N = k ) = p ( l - p ) o - ' ; E i a k > 1 .

16. Nepriklausomqlrl ir vienodai pasiskirsdiusiq atsitiktiniq dydLiq X ir y

tankis lygus e-' (x ) 0) . Raskite dydZio *-l- pasiskirstymo funkcij4.' X + Y

ATSITIKTINTO DYDZO SKAIfl NESCHARAKTERISTIKOS

Kiekvienas skirstinys, nusakytas pasiskirstymo funkcija F(.r), tankiup(x), arba tikimybemis P(X = ;,y, visilkai apibUdina atsitiktini dydi.Tadiau, sprendZiant daugeli teoriniq bei praktiniq uZdaviniq nebUtina SiiSsami informacija. Pakanka lakoniskai isdestyti esminius skirstiniuypatumus. Tikimybiq teorijoje tai atliekama remiantis skaitinemis cha_rakteristikomis. Jq apibreZimus ir savybes pateiksime Siame skyriuje.

6.1. Vidurkis

Tai viena svarbiausiq skaitiniq skirstinio charakteristikq. pirmiausiapateiksime statisting ir mechaning vidurkio sampratq, paskui j[ apibresimeformaliai.

Sakykime, tirdami diskretqirl dydi x, atliekame N eksperimenq. Reiksmex1 pasikartoja /c1 kartq, reik5me xz- kz kart[ ..., reik5me x^_ k.kartq. DydZioX stebetrl reik5miq aritmetinis vidurkis

V _ x t 4 + x z k , + . . . + x n , k , = $ " i ,

N ! _ , " , N .kai eksperimentq skaidius N didelis, apibfldina sio dydZio galimq reik5miqgrupavimosi (sklaidos) centre. Sitaip vidurkis skaidiuojamas statistikoje. Jauesame pastebejp Qr.,,{vad4"), kad, didejant eksperimentq skaidiui, sanfykiniai

dazniai & .,stabil izuojasi" ir maZai skiriasi nuo tikimybiq p, = p(X = x),Ni = 1,2,..., m. statistiniame vidurkio apibreZime minimus santykinius daZniuspakeitg teorindmis tikimybemis, gausime tikimybirl teorijoje apibreZiamEvidurkio s4vokq (diskretusis atvejis).

Tarkime, kad atkarpoje [a, bl mase pasiskirsdiusi tankiu p(-r). Masescentras yra ta5ke

b

lxpQ)dx

I p(*)dx'o

121

( b \

Kai p(x) yra normuotasis tankisl I pl)d*=l L vel gauname vidurkio

l , )s4vok4 apibreZiam4 tikimybiq teorijoje (tolydusis atvejis).

ApibrdZimas. Atsitiktinio dydiio X vidurkiu vadiname skaiiiy

= x, ), kai X - diskretusis dydis,

ApibreZimas reikalauja, kad eilute ir integralas konverguotq absoliudiai:

s r , f) , l x , l P i l * . l l x l n k ) d x < * .

i _ -

Prie5ingu atveju sakoma, jog vidurkis neegzistuoja.Dainai dydZio X vidurkis Zymimas simboliu EX. Jis dar vadinamas

matematiniu vidurkiu, matematine viltimi arba teoriniu vidurkiu. Suprantama,jog tai teorine charakteristika - vienetines ,,tikimybiq mas€s" cenffo koordi-nate. Apie 5i centrq yra susitelkusios atsitiktinio dydZio igyjamos reik5mes.

Pateiksime kelet4 vidurkio apskaidiavimo pavyzdZiq.

I pavyzdys. Du Sauliai Saudo I taikini. Jq surinktq taSkq X ir I skirstiniaiyra tokie:

Kuris Saulys yra taiklesnis (taiklumo kriterijus - vidutinis surinktq ta5kqskaidiusX

A Apskaidiuojame surinktq ta5kq skaidiaus vidurkius:

M X = l 0 ' 0 , 6 + 9 ' O , 2 + 8 ' A , 2 = 9 , 4 :

M I / = 1 0 ' 0 , 5 + 9 ' 0 , 5 = 9 , 5 .Po 100 5Dvir1 pirmasis Saulys surinks vidutini5kai 94 ta5kus, antrasis - 95

taSkus. Taigi, atsiZvelgdami i vidutinl surinktq ta5krl skaidir5 galdsime teigti,kad taiklesnis yra antrasis Saulys. l.

2 pavyzdys. Laikotarpio T tarp dviejq gretimq elektronq emisijosmomentq skirstinys yra eksponentinis. Raskime vidutin[ laikotarpi.

A Eksponentinio dydZio tankis

I o . t a i x c o .p l x l = Il ) " e - * . k a i x 2 o .

Qx l 0 9 8

Pi 0,6 o.2 0.2

clv l 0 9

Qi 0,5 0,5

122

o vidurkis

r F . l

Mr = JryQ)dt =71rc-L,at =i :

dia.l' - .t"tt-in,{ "*ir,Jo;o is "t.tt.olo intensyvumas (per vienetini laiko tarp4emituotq elektronq vidutinis skaidius). Taigi viduiinis laiko tarpas yraatvirk5diai proporcingas emisijos intensyvumui. A

. Teiginys- Eksponentini atsitiktini dydl visiikai apibudina jo vidurkis.Kodel?

3 pavyzdys. Tikimybe, kad kiekvieng karte pasukus rakt4 ma5inosvariklis prades veikti, lygi p. Koks vidutinis tokiu Landymrl iki pirmosiossekmes skaidius?

_ . 1 Tai vadinamieji Bernulio bandyrirai. Tarkime, kad iq skaidius yra x.Tada X skirstinys bus geometrinis:

P ( X = k ) = p q o - ' ; t i a k > 1 , q = l - p .

Jei tikimybe p maZa, vidutinis bandymri skaidius MX yra didelis. A

pavyzdys. (Peterburgo losimas.) petras meto simetriskq monetE Jeiguherbas atvirsta metus monetq pirmQ kart4 povilas sumoka petrui r rubri jeimetus antrq kartq- 2 rublius, jei tredi4 kart4 - 4 rublius ir t. t. Kiek rublir1 priello5imq Petras turi duoti povilui, kad Sis nepatirtq skriaudos?... A fovilas neparirs skriaudos, jeigu pinigq gaus tiek pat, kiek jr1 viduti_

ni5kai i5los Petras. petro iilolt4 (arba povil,o piaroste iinig,l ,u-a pury-mekime X. Tuomet vidutine petro i5lo5ta suma bus tokia:

S - 3 t ' r \ kMx = )xep(x = xo)=l.zo.(] I = i l= -.k=t 7. 12 ) f'.2

Taigi Petras neturi jokios teises losti, nes nedisponuoja begariniukapitalu. Kadangi eilute diverguoja, formariai vidurkis n""giittuoiu. a

6.2. Atsitiktiniq dydZiq funkcijos vidurkis

I5 pradZiq tarkime, kad atsitiktinis dydis X yra diskrerusis ir y = J\D.Pagal apibreZim4

NIY =Mf (n =l t f e = y ,1.i

Vidutinis bandymq skaidius

/ * \

f

py =)* r1 x = k) = rEno ' =o[ |4 I = o [+ l =1k = r k = t I r = r ) \ t - S ) p

r23

Kadangi

P(Y = y ) = ) r1x = r i ) (d ia j =1 ,2 , . . . ) ,L f ( x , ) = y t l

tai

wY = l t1 ) * t t=x , )= \ f (x , )p (x =x , ) .j l . / ( x t ) = y i ) t

Taigi, apskaidiuojant diskrediojo atsitiktinio argumento funkcijosY = flX) vidurki nebltina Linoti Y skirstini. Pakanka tureti X skirstinl beifunkcijq f. T ada vidurkis

Mf(x)=), f t " , ) r tx=x)

Jei X yra tolydusis dydis,/- tolydZioji funkcija, o Y = flQ, tai vidurkigalima apskaidiuoti remiantis apibreZimu

tadiau prie5 tai reikia rasti I/ tanki py 0). Vis delto paprasdiau skaidiuoti taip(remiantis 5.2 skyrelio teiginiu):

I pavyzdys. Kvadrato kra5tines ilgis X tolygiai pasiskirstgs intervale(0, 2). Raskime Sio kvadrato ploto vidurk[.

A DydZio X tankis

Ip x G ) - - : , k a i x e ( 0 , 2 ) .

z

I5 pradZiq kvadrato ploto Y = X2 vidurki apskaidiuokime remdamiesiapibreZimu:

vr = I try?)&.

Raskime funkcijos Y = X2 tanki. DydZio X pasiskirstymo funkcija

fo, kai, < o,

& ( ' ) = ] l , m i o < x < 2 ,t -l l . k a i x > 2 .

t24

DydZio I pasiskirstymo funkcija

Fy(y) = peJr. * . Ji) = rr (Ji)= {, mi 0 < y < 4.L

Tada tankis

pv (D =4I4D= +, kai o < y < 4.dy aly

Pagaliau vidurkis

rvv = l-!=a, =!.toq' lY " 3

Dabar vidurk[ M I' apskaidiuokime pagal formulq

My =MXz = lx2 pr@)dx .:*

Gauname:2 ,

rvty =l *2 ! a. =! .J ^ 2 3U

Antrojo metodo privalumas akivaizdus.Atkreipiame demes[ [ tai, kad vidulinis kvadrato plotas nesutampa su

vidutinio kra5tines ilgio kvadratu,t. y.Mf + (Mn\

2 pavyzdys. Diskrediojo atsitiktinio dydZio X skirstinys yra geomerrinis:

/ g \ r - r IP ( X : f t ) : l - l . ' . k a i f t > 1 .

t l o t l 0( ' t \

Raskime atsitiktinio dydZio , =l; j vidurki.

A Vidurkis Mflx) = >f G)P(X = rk), todel

- r a \ l , ^ l l - l r , - / r \ kM r = t r z l r : l I = l i r 1 l = r r ,? = , \ 3 ) [ r o , J r o t s f J _ r \ s ] 1 5 l _ i

5

M y = 1 . a6

Dabar tarkime, kad (X, I) - dvimatis atsitiktinis vektorius ir Z = flX, D.Tada analogiSkai

Nrf(X, D=>>f@,,y,)P(X = x i ,Y = y j ) ,i J

r25

kai X ir Y- diskretieji dydliai, ir

Mf (x, Yl = | | "f (r. y)p(r. y)dxdy,J J

kai X ir r- tolvdiejil,firrur.Funkcijos Z = frX,1) vidurk[ galime apskaidiuoti ir remdamiesi apibre-

Zimu:

MZ =lzpP(Z = z). arba y1Z =i zpr(z)dz.k _ *

Tadiau tada teks apibEdinti dydZio Z skirstini.Priminsime, jog Siame skyrelyje reikalaujama eiludirl (integralq) absoliu-

diojo konvergavimo.

6.3. Vidurkio savyb6s

Tardami, jog vidurkis egzistuoja, ir remdamiesi eiludiq (integralq) savy-b€mis, nustatysime pagrindines vidurkio savybes.

1) MC = C, kai C - konstanta.A Konstanta (pastovusis dydis) yra diskretusis atsitiktinis dydis, kurio

sk i rs t inys i5s ig imEs: P(X= q = l . TadaMC= C' I=C. 2) Je i X2O, ta iMX >0.

:t luxl< Mlxl.Abi Sios savybes tiesiogiai i5plaukia i5 vidurkio apibreZimo.4) M(X + I4= MX + MI/.A {rodysime imdami tolydZiuosius dydZius.

. t r f fM(X+r)= J J Q + y)p(x.y)dxdy =

J \x ) [email protected] ldy)dx+

7 ? r , r+ J ( . r , l n7 . t )dx )d t=J *p t ( x )dx+ J t r z9 )d t =MXtMI .

*",-oril,", yra disk.etiji, irodoma

-ialogiskai. Pabandykite tai pa-

daryti. Si4 sarybg galima apibendrinti (taikant indukcijos metod4):

M ( X t + X r + . . . + X n ) = M X 1 + M X , + . . . + M X , .

Pagriskite.5) Jei dydiiai X ir Y yra nepriklausomi, tai

MXY =MX N{IY.

126

slE avielq dydZiq sandaugos vidurkio savybg [rodysime imdami dis-krediuosius dydZius.

MXY =))",yrP( X = xi,y = y) =22r,r,*(X = x,)xI J i J

x P ( r = ! ) = \ x , p ( X = r ) . \ , y , p ( y = y ) = M X M y .

Taikydami indukcijos metodq teorem4 galime apibendrinti. Kai atsitikti-niai dydZiai Xt, Xz, ..., X, yra nepriklausomi,

M(XI 2 . . . X n) = MXt MX 2 . . .MX n.

Pagriskite.6)MCX = CMX.Si savybe i5plaukia iS vidurkio I ir 5 savybes.I5vardytos vidurkio savybes kartais palengvina vidurkio skaidiavimq.

Pavyzdys. Atsitiktiniai dydLiai X, y r Z yra nepriklausomi, o jqeksponentiniai skirstiniai - vienodi. Apskaidiuokim. siq oyoziq funkcijq X ++ Y + Z, aX + bY - cZ ir XyZ vidurkius.

A Priminsime, jog eksponentinio skirstinio su parametru l, vidurkisI

lygus 1.

. .Jeigu Siq funkciiq vidurkius norime apskaidiuoti remdamiesi apibreZimu,tai pirmiausia turime apib[dinti funkciiq skirstinius. Tai padaryti [manoma,tad iau neleng v a (pavy zdLiui, koks yra sandaugos skirstinys ?).

Remkimes vidurkio savybemis :

M(X + Y + Z)= MX + MY +NIZ =?.L '

M(aX + bY - cZ) = ql\D{ + bMY - cMZ =a + ! - c,

MXYZ =MX NrY MZ =:.

Pirmieji du sqrySiai tinka ir priklausomiesiems atsitiktiniams dydZiams.Kodel? A

6.4. Moda ir kvantil iai

vidurkis yra svarbiausia, fadiau ne vienintele atsitiktinio dydZio padetiesskaidiq asyje charakteristika. Sia prasme atsitiktin[ dyd[ apib-udina ir kitosskaitines charakteristikos: moda, mediana bei jos bendrinys - kvantiliai.

r21

Atsitiktinio dydZio moda vadinsime ,,patikimiausi4' jo reikSmE (t4 reik5mg-ri, su kuria tikimybO P(X = x;) yra didZiausia, arbat4x reik5mg, su kuria tankisp(x) Wa didZiausias). Atsitiktinio dydZio X mod4 zymesime simboliu Mo .

Kita atsitiktinio dydZio padeties skaitine charakteristika yra kvantilis.Tarkime, kad 0 r o ) .

Jeigu X - tolydusis atsitiktinis dydis, kurio tankis p(x), tai kvantilis x, yralygties

xp

F(x)= !n@)d*= n

sprendinys. (Kartais ir diskrediojo skirstinio kvantilis apibreZiamas lygtimiF(x) = p.)

Kvantili xr vadiname mediana. TolydZiojo dydZio X mediana yra ta2

reik5me x1 , su kuria,

( . . ) - f . . ) 'P l X . t , l = l X > x ' l = - .l . t , / i 1 ) L

Kvantilius ,L,r\,x, vadiname kvartil iais, o kvantilius x | ,...,xss -

4 2 4 1 0 0 1 0 0

procentiliais. Didelis kvantiliq rinkinys gerai apibldina atsitiktinio dydZiotikimybiq skirstin[.

Pavyzdys. Daleles skilimo laikas Z yra pasiskirstgs pagal eksponentin[desni. Apskaidiuokime tos daleles vidutini skilimo laik4 skilimo pusamZi irmodq.

A Tarkime, kad eksponentinio skirstinio parametras yra 1.. Vidutinisdaleles skilimo laikas

r 1 . IMf = ;}. I te-n' dt = -.

J l0

Skilimo pusamZis yra mediana. Ji lygi lygties. t

l - e - ^ I : '2

ln2l

t!2

sprendiniui:

r28

Eksponentinio skirstinio moda Mo == 0. Taigi laiko Z padeties charakte_ristikos yra tokios:

M o < t ! < M Z .2

Geometrind interpretacija pateikta42 paveiksle.

Atkreipiame demesi, jog medianageriau negu vidurkis nusako nesimet_

DX =lWX -MX\2

riSkq skirstiniq centr4. patyzdhiui,ji tiksliau nei vidurkis apibtdina ieimq pa-jamq dydi nes yra ne tokia.jautri kraitinems pajamrl reiksmems (turimos gal-voje Seimos, kuriq pajamos labai dideles ir labii maZos).

6.5. Dispersija

. Atsitiktinio dydZio vidurkis nurodo tikimybirl skirstinio centrE. GanadaZnaijis pakankamai apibDdina atsitiktini dydi. pavyzdZiui, norint falygintidvieiq Sauliq meishiskum4 pakanka Zinoti vidutiniiq surinktq taskq skaidiq irnereikia skaidiuoti surinktq taskq skirstiniq. TadiauiaZniausiaijuo nepavyt<stanusakyti svarbiq atsitiktinio dydZio ypatumq. Sakykime, x - putouia6s dydis.Jei nera sisteminiq paklaidq, tai Mx : 0. taeiau sios informacijos nepakankaatsakyti I klausimus: kaip pasiskirsdiusios paklaidos apie s[ "*t.4 * -u,u-vimo duomenys yra artimitikrajai reiksmei, ar jie issibaistg toti l uuipur", nuoSios reiksmds? Kalbant apie gyventoiq uZdarbi vidutinis uzdarbis taip pat yranepakankama charakteristika. Juk galimi didesni nuokrypiai nuo viduriio.

Apibfidinsime atsitiktinio dydZio igyjamq reiksmiq sklaidos (issibarsty_mo) apie vidurki mat4 * dispersijq.

Apibr€zimas. Atsitiktinio dydzio dispersija DX vadiname iio dydiionuokrypio nuo vidurkio kvadrato vidurki;

42 pav.

I5 apibreZimo isplaukia tokios dispersijos skaidiavimo formules: .f r

l)(r, -NlX)2 p,,kai X -diskretusis dydis,

D x = l _t f

I J f" - MX)2 p(x)dr,kai X - tolydusis dydis.t - @

.. Dispersija egzistuoja, kai eilute arba integralas konverguoja. Fizikinedispersijos interpretacija. yra

_tokia: jei tikimybiq skirstinius triktuosime kaip

vienetinds mases skirstinius tiesdje, tai dispersija bus krlno inerciios momentasmasds centro (vidurkio) atZvilgiu.

129

Dispersijos dimensija lygi atsitiktinio dydZio dimensijos kvadratui.Praktikoje sklaidos matq patogiau apibldinti atsitiktinio dydZio dimensija.Toks sklaidos matas yra vidutinis kvadratinis nuokrypis (standartas):

6 x = J o x '

Kartais, ypad ekonominiuose skaidiavimuose, sklaida apib[dinamabedimense charakteristika - variacijos koeficientu

v - ox/ v - - .^ M X

Si skaitine charakteristika bDdinga neneigiamiesiems atsitiktiniamsdydZiams.

I5sprgsime keletq dispersijos skaidiavimo uZdaviniq.

I pavyzdys. Bandymais nustatJrtos dviejq prietaisq keliamo triuk5motikimybes. Triuk5mo lygio skirstinys pateiktas Sioje lenteleje:

TriukSmo lysis balais 0 I 2Triuk5motikimybe

Prietaiso A 0,70 0,20 0,06 0,04Prietaiso B 0,80 0,06 o,04 0,10

Kuris prietaisas geresnis (vertinimo kriterijus - vidutinis triuk5mo lygis)?A Tarkime, kad X - prietaiso A keliamo triuk5mo lygis, I/ - prietaiso B

keliamo triuk5mo lygis. Apskaidiuokime vidutini triukSmo lygl:

MX = 0 . 0 ,70 + l . 0 ,20 + 2 . 0 ,06+ 3 . 0 ,04 = 0 ,44 ,

M I = 0 ' 0 , 8 0 + 1 . 0 , 6 0 + 2 . 0 , 0 4 + 3 . 0 , 1 0 = 0 , 4 4 .

Jis rodo, jog abu prietaisai yra lygiaverdiai:

MX = MIz= 0,44 balo.

AtsiZvelgsime I papildom4 kriterijq - triuk5mo lygio sklaidq vidurkioatZvilgiu. Apskaidiuojame dispersij4:

4

P)g = ){", -0,44)2 p, =0.6064,

l=l

4

o, = l i . ]u i -0 .44)2 q , =0 .e264.j = l

Standartai yra tokie:

o * = Jox = 0,78 balo, o, = Jw = 0,96 balo.

Prietaiso A rodikliai stabilesni, todel Siuo poZiiiriu jis yra geresnis uZprietais4B.

130

. ,2 pavyzdys. Atsitiktinis dydis X tolygiai pasiskirstgs intervale (o, b).Apskaidiuokime j o dispersij q.

A Tankis( t

- , _ , _ l j - , k a i x e ( a , b ) ,p \ x ) = \ b _ a

l0,kai xe (a,b).Vidurkis

h

N w = 1 , t u - a + br b - a 2

nispe.s?;u

o* = i ( , - a+o \2 * - ( r - "Y: l 2 ) t 2

. ..Yulorn9, jog dispersija priklauso rik nuo intervalo (a, b) ilgio: ilgesniatsitiktinio dydZio igyjamq reiksmirl interval4 atitinka didesne skl"aidos matoDX reik5me.

Ar reisingi Sie teiginiai:' tolygqii atsitiktini dydl visiskai apibldina intervalo ilgis ir vidurkis;' te atsitiktin[ dyd[ visiskai apibfldina intervaro ilgis ir dispersija;

minetq dydi visi5kai apib[dina vidurkis ir dispersija?Atsakymus pagr[skite.

Dispersijai bUdingos tokios savybes:1 ) D X > 0 .Ji iSplaukia iS dispersijos apibreZimo.2)DX =}{Xz -Mzx.

L DX = M(x -MX)2 =Nl(x2 -2xMX +tr{2x)==MXz -2l ,r l . IMX +M'2x =MX2 _�Mr2x. a3 ) D C = 0 .Si savybe i5plaukia iS dispersijos apibreZimo.4) DCX = C2DX.L DCX =l{(CX -MCx)2 =c2rv(x _MX)2 =c2DX. a5) Jei atsitiktiniai dydiiai X ir y yra nepriklausomi, taiD ( X + Y ) = D X + D Y .

L D(X +Y)=y11y +Y -M(X +y) )2 =M(X-MX)+( ) , -M) , ) )2 == DX + DY + 2M(X - NtX)(y - Mr).Kai X ir f - nepriklausomieji dydLiai, taiM(x - MX)(y - My) = M(x _ Mx)M(r * Mr) = 0. A

l 3 l

I5 4 savybes ir 5 savybes irodymo i5plaukia, kad

D(X !Y)=DX +Dv+2tvI (X -MX)(Y -Mr) .

Taikydami indukcijos metodq 5 sarybg galime apibendrinti. Kai atsitikti-

niai dydZiai Xy, X2,..., X, poromis yra nepriklausomi,

D(a1X1* a2X2 * ...+ anX,) = o?DX., + a2-rnX, + ...+ olDX,.

Pagr[skite.

Atsitiktini dydi r - x -l{X vadinsime normuotuoju dydZiu. Nesunku

ox

[sitikinti, jog MI = 0 ir DI: l. Atsitiktinio dydZio X centravimas X - MX yrajo atskaitos perkelimas i taskq MX (skirstinio centr4), o dalijimas i5 standarto(normavimas) - mastelio vieneto keitimas. Normuotasis dydis yra bedimensts.

3 pavyzdys. Sakykime, ft, ya lvykio A pasirodymr5 atlikus n Bernulio

eksperimentrS skaidius. lvykio A tikimybe kiekviename eksperimente P(A) = p.

Apskaidiuokime atsitiktinio dydZio k, vidurki ir dispersijq.

A Atsitiktinis dydis (daZnis)

k , = X r + X t + " ' * X n l

dia atsitiktiniai dydLiai xt G =l,r) y,u nepriklausomi, be to, jq skirstiniai

v i e n o d i : P ( X t = l ) = p , P ( X t = 0 ) = l - p - q , k = 1 , n .

DaZnio vidurkis

l ld .k , =MXr + MX, + . . .+MX n = n( l ' p + 0 ' q) = np.

Dispersija

Dk, = DXy +DX 2 + ...+DX, = nDX t = nM(X r, - p)z =

= r?((l - p)2 p + (o - p)' p) = npq. a

6.6. Momentai

Be jau minetq atsitiktinio dydZio padeties ir sklaidos charakteristikq,

tikimybiq teorijoje skirstiniams detaliau apibfldinti vartojami aukstesniqjq eiliq

momentai.I apibr€zimas. Atsitiktinio dydiio x k-tosios eiles prad.iniu momentu

uo vadiname iio dydiio k-toio laipsnio vidurki:

a t = M X k ; ( i a k = 0 , 1 , 2 , . . '

t32

I5 apibreZimo iSplaukia, kad

ll rln1X = x, ), kai X - diskretusis dydis,l H 'l t

a r = i :

I J*r p(r ' t ,kai X - tolydusis dydis.

Akivaizdu, kad ao = l, o q,r = MX.

2 apibr€Zimas. Atsiliktinio dydiio ktosios eil€s centriniu momentu povadiname centruotojo dydiio X -MX k-tojo laipsnio vidurki;

[ r = M(X -MX )k I d i a f r = 0 ,1 ,2 , . . .

Pirmqfq eil iq centriniai momentai Fo =1,Fr =Q,ltz =DX. Trediosios

eilds centrinis momentas F: = M(X - MX)3 apibfidina atsitiktinio dydLio Xskirstinio asimetri5kumq.

Bedimensp charakteristik 4 A, =$ vadiname asimetrijos koeficientu.oi

Jei skirstinys yra simetri5kas vidurkio MX atZvilgiu, t. y. jei p(X - MX < -r) -= P(X - MX 2x) (x e ft), tai p. -0, o drauge ir A"=0. Tankiq p1(r),pr(x) ir p, (x) grafrkai, pateikti 43 paveiksle, apib[dina atitinkamai neigia-mE skirstinio asimetrij4 A, < 0, simetri5kq skirstin[ A, : 0 ir teigiamQ asimetrij4A " > 0 .

43 pav.

Ketvirtosios eiles centrinis mo-

mentas pq=M(X -MX)4 apib i id ina p$)atsitiktinio dydZio X skirsrinio smai-liavir5tiniSkum4 (tolydZiuoju atveju -tankio grafiko vir5[nes smailumfl.

Ekscesu vadiname bedimense

Er>0E t = 0

E,<0

charakteristik 4 E* = ft

- t 44 pav.

t33

Normaliojo skirstinio smailiavir5iini5kum4 laikome etaloniniu (El = 0), okitq lyginame su normaliuoju (44 pav.).

1 pavyzdys. Du skaidiavimo [renginio blokai veikia nepriklausomai vie-nas nuo kito. Tikimybe, jog laiko tarpqT veiks pirmasis blokas, lygi 0,5, kadantrasis - 0,8. Apskaidiuokime veikiandiq blokq skaidiaus mod4 medianq irasimetrijos koeficient4.

A Atsitiktinio dydZio X - veikiandiq blokq skaidiaus - igyjamq reik5miq

aibe C)" : {0, l, 2}, o tikimybes

Po = P(X = 0) = 0,5 .0,2 : 0 ,7,

h =P(X = 1 ) = 0 ,5 .0 ,2 + 0 ,5 . 0 ,8 = 0 ,5 ,

Pz = P(X = 2) = 0,5. 0,8 = 0,4.


[ o , k a i r < 0 ,

l 0 , l , k a i 0 < x < 1 ,F ( x ) = {

"

l 0 , 6 , k a i l < x < 2 ,

lt,kui *, z.Moda (patikimiausioji reik5me) Mo = I, o mediana neegzistuoja. nes

Ilygtis F(x) = - neturi sPrendiniq.

VidurkisMX = 0 . 0 ,1 + I . 0 ,5 + 2 . 0 ,4 : 1 ,3 .

Dispersija

D X = N l X 2 - M 2 x = 0 2 . 0 , 1 + 1 2 . 0 , 5 + 2 2 . 0 , 4 - 1 , 3 2 = 0 , 4 1

ir vidutinis kvadratinis nuokrypis

o , = r l o5=0 ,64 .Trediosios eiles centrinis momentas

F : = (0 -1 ,3 )3 '0 ,1 + ( l - 1 ,3 )3 . 0 ,5 + (2 -1 ,3 )3 '0 ,4 = -0 ,112 .

Asimetrijos koeficientas

A " : + = - 0 , 4 3 .ak

Taigi skirstinio asimetrija yra neigiama. A

2 pavyzdys. Matavimo paklaida X pasiskirsdiusi pagal Laplaso desn[:I

p ( x ) = ' s - r r ; d i a x € R .z

Raskime mod4 median4 dispersij4 asimetrijos koeficient4 ir ekscesq.

134

A Laplaso skirstinys yra simetri5kas vidurkio MX atZvilgiu: p(_x) = p(x)(45 pav.), todel dar neskaidiuodami prognozuojame, kad MX = M^ = *,.

lsitikinsime.DidZiausi4 reik5mg tankis igyja ta5ke x =

Pasiskirstymo funkcija0, todel moda Mo = e.

pQc)t l

l!" 'vui" o'F(x) =

l ' rl t - )"- ' ,kaix>0,

0

45 pav.

Ij

!I

:

Itaigi lygties F(x) = I sprendinys (mediana) xr = 0 .

a ;

Vidurkis

MX = I xpe)dx =

!r/, a* =0,

nes funkcija xe-txt yranelygine.Integruodami dalimis, apskaidiuojame dispersij4:

l :

DX =: 1,62s- ' ' tdx = | x2e- ,dx =2.) J J

-

0

Paklaidqsrandarras o, =Ji .Trediosios eiles centrinis momentas

I I e r * r -l " [ r =: I x 'e ^ dx =0,

) J

kartu ir asimetrijos koeficientas A" = 0. Tai lauktas rezultatas.vadinasi, sisteminiq matavimo paklaidq nera (MX = 0), jos vienodai

patikimai gali br]ti ir teigiamos, ir neigiamos (rt = 0), maZos aLsoliudiosios2

paklaidos yrapatikimesnes uZdideles(Mo =0 irtankisp(x) *0, kai lr l_+-pakankamai greitai).

Ketvirtosios eiles centrinis momentas

r T| | 4 - " , I tV o = ; J r - n

^ d x : ) x " e - ^ d x = 2 4 ,

r35

o eKscesas

- LLtL r = _ _ J = J .

ox

Kadangi tankio grafiko virSflne yra pakankamai smaila, tai nat0ralu, jogE * > 0 .

3 pavyzdys. Atsitiktinis dydis X tolygiai pasiskirstEs atkarpoje [0, l].Raskime daugianario

n

Y = q(x) = as * a1x + arx3 + . . .+ anx ' = \a1,Xkk=0

vidurki; Eia at (k = O, ")- konstanta.A I5 vidurkio savybiq i5plaukia, kad

MI = Mrp(X)= loouo.k=0

Tolygiojo atsitiktinio dydZio X k-tosios eiles pradinis momentas

t . ' l t . lar, = MXr =

J *r *= 1 * 1:

(ft > o).0

o daugianario vidurkisn

M), = M<p(X)=>:\ . A. - ^ k + l

Jei atsitiktinio dydZio X funkcijos Y = q(X) tikslioji vidurkio MI/ reikime

apskaidiuojama sudetingai, tenka taiklti apytikslius metodus. Statistinius vi-durkio iverdius apibiidinsime veliau, o dabar trumpai nurodysime kitas apytikslioskaidiavimo galimybes. [vertindami aproksimavimo paklaid4 galima apytiksliaiapskaidiuoti vidurk[ M q(x) apibreZiant[ integral4 arba eilutE. Galimas ir kitas

vidurkio apytikslio skaidiavimo metodas. Imamas fimkcijos y = q(x) Teiloro

skleidinys vidurkio MX = m aplinkoje

. @'(m\ @'(ml .q ( . r ) = e @ ) + - l x - m ) + - - ( x - m ) 2 + . . .

l ! 2 l

ir skaidiuojamas funkcijos g(X) vidurkis6 k ,

Mq(x) = i,t" I l)u*,' u l l lk = 0

kai funkcija <p(x) yra diferencijuojamoji vidurkio z aplinkoje ir centriniai

momentai lrr = M(X - n1k leia ft = 0. l, ...) egzistuoja.

136

,)

._ Imdami, pavyzdLiui, pirmuosius tris Sio destinio narius, gauname apy_tikslg formulg

Mp(-r) =q(m)*9"?)nx.z

6.7. Nelygyb6s

. . Sakykime, egzistuoja atsitiktinio dydZio X vidurkis MX. pasirodo, jogtokiu atveju galime, nors ir apytiksliai, [vertinti atsitiktinio dydZio skirstin[.

1 teorema. Jei atsitiktinis dydis X yra neneigiamasis ir MX < -, tai suvisals e > 0

P(x > e;5 U{t

A Teoremq lrodysime imdami tolydqj[ atsiriktini dyd[X.

N I X = l x p ( x \ d x > l x o | ?J , , e ) d x > ) e p ( x ) d x = e J n ? ) d x = e p ( X Z e ) . 0 e € €

Jei egzistuoja atsitiktinio dydZio X dispersija, gauname tikslesn[ [vert[.2 teorema. Jei DX <*, tai su visais e> 0

n(x - ivrxl . u> =oJ

A [rodymas i5plaukia iS 1 teoremos:

P(x Mxl > e) = P((x -MX)2 > u; < M(x.:14{)'. =2+. t - E '

Matome, jog didelis atsitiktinio dydZio nuokrypis nuo vidurkio, kaidispersija nedidele, yra malai tiketinas.

I ir 2 teoremoje pateikti teiginiai vadinami ieby5ovo nelygybdmis.Kadangi

r(x -vrxl < e) = 1 - p(x - MXI > e),tai i5 antrosios eeby5ovo nelygybes i5plaukia,jog

p ( l x nw l . e l> l -Y .€-

. eeby5ovo nelygybiq praktinis raikymas yra ribotas, nes iq teikiami tikimy-biq [verdiai nera tikshs (ypad esant maZiems e ir didelems DX). pavyzaLiui, tar-

kime, kad E=6x. Tada P(X M-lrI> or)<ry=l. Tai triavialu, nes beto'

?t

In

r37

kurio [vykio tikimybe y'ra ne didesne uZ vienetq. Ai5ku, imdami didesnius e (pa-vyzdlili, e = 3o ), gausime tikslesnius iverdius. Teorine Siq nelygybiq reik5meyra Zenkli. Tuo [sitikinsime nagrinedami didZiqjq skaidiq desnio problem4.

I5 eeby5ovo nelygybes i5plaukia toks teiginys:jei atsitiktinio dydZio dis-pe rs i j a l yg i nu l i u i . t a i su v i sa i s e>0 P ( lX -MX l<s )=1 . Vad inas i , dyd i s X

igyja tik vien4 reik5mg C = MX, taigi X yra pasrovusis dydis.Analizeje yra Linoma KoSi ir Buniakovskio (arba kitaip Svarco) nely-

gybe. Pateiksime tikimybin[ jos variant4.3 teorema. Jei egzistuoja antrosios eiles momentaiMX2 irMYz, tai

f "

lnaxrl< ,lrv.x2lltyz.A Su visais realiaisiais a ir b

M(qX +bY)z >0 .

I5 dia

ozMxz +2abMXy +bzMyz >0,

o tada kvadratinio trinario diskriminantas

*gvlxrf -b2MX2MYz <oir

lmxrl<I5 Sios teoremos i5plaukia tokie teiginiai:

. llr(x -MX)(Y -Mr)l <Jnmy;

. lnnxl 3'!rvx2.Isitikinkite.

UZdaviniai

1. Atsitiktiniq dydZirLX, f ir Z skirstiniai yra tokie:

Palyginkite Siq dydZiq vidurkius bei dispersijas. Padarykite iSvad4. Ras-kite modas ir medianas.

MXTMY2.

flr 0 I 2 3 4P o.') 0.2 0.2 0.2 n )

Q y 8 9 IO 1 1 t z

P o.2 o.2 o.2 0.2 o.2

e)z -2 0 4 6P 0,3 o.2 0.2 0,3

1 3 8

2. Loterijoje, kurioje yra 100 bilietrS galima islosti dvirat[ uZ 500 litq lai-krodi uZ 50 litq ir sket[ uZ 20 litq. Nustafykite laimejimo vertes skirstin[ ir vi-duting laimejimo vertg, kai yra Linoma, kad Zaidejai turi vienq biliet4; du bi-l ietus. I5tirkite rokius atvejus:

a) loterijos bilietas nemokamas;b) loterijos bilietas kainuoja l0 litq.

3. Losimo kauliukas metomas tol, kol atvirsta sesios akutes. X - kauliukometimq skaidius. Remdamiesi Siais duomenimis:

a) uZra5ykite X tikimybiq skirstini;b) apskaidiuokite vidutin[ metimq skaidirl MX ir dispersij4DX;c) taikydami eeby5ovo nelygybg, lverrinkite tikimytE pix < tO) bei pa_

lyginkite j4 su tiksli4ja reikSme;d) apibrldinkime tok[ losimq: kai X - nelyginis, Zaidejas islosia r lit4 kai

X - lyginis, pralosia 1 ritq. rJirasykite islosimo tikimybiq skirstin[ ir,apskaidiavg viduting laimejimo vertQ, nusprQskite, ar Zaidejui naudinga taiplosu.

4. Pataikymo I taikini tikimybe p = 0,9. Kiek vidutiniikai karrq pataiko_ma I taikinl i5 eiles?

5. Diskrerusis atsiriktinis dydis X apibreZiamas tikimybemis

P(x = t i = ! ; t ia k = 1,2, . . .K -

Raskite konstant4a, apib[dinkite MX, DX bei aukstesnir[q eilirl momentus.

6. Atsitiktinio dydZio X tikimybirl tankis

plx) =

0 , k a i x < - 1 ,

c x + c , k a i - l < x < 0 ,

9 I + c , k a i 0 < x < 2 .2- 2 c x + 6 c , k a i 2 < x < 3 ,

0 , k a i x > 3 .

Apskaidiuokite:a) konstant4 c;b) tikimybiq pasiskirstymo funkcij4 F;c) vidurki mod4 median4 ir dispersijq.

r39

7. Variklio ilgaamZi5kumas Iapibiidinamas Relejaus skirstinio tankiu( t '

I t - =p ( x ) = 1 o r "

t " - ' k a i t > 0 'I

l o , ka i r<0 .Apskaidiuokite vidutinE variklio veikimo trukmg, median4 mod4 stan-

dartin[ nuokrypi.Laikydami, kad 11 ir T2 yra dviejq nepriklausomai funkcionuojandiq ir

turindiq Relejaus skirstinius varikliq ilgaamZi5kumas, interpretuokite dydZiusT1+ 72, max(fi, T), min(TvT).Apskaidiuokite jq vidurkius.

8. Atsitiktinio dydZio X skirstinys yra toks:

Apskaidiuokite:a) MXir DX:b) MIir DI, kai Y = 2X + l;c )MZi rDZ,ka iZ = X" .

9. Prietaiso atsitiktinirl paklaidq X tikimybiq skirstinI apibldina tankis

, - , - \ l a l _ � x 2 1 2 , k a i x e t - l , l l ,p ( x ) = Il 0 , k a i x e [ - l , l ] .

Raskite konstantq a, mod4 median4 viduting paklaid4 standartini paklai-dq nuokrypi, asimetrijos koeficientq ir eksces4.

10. Metama n lo5imo kauliukq. Apskaidiuokite atvirtusiq akudiq sumosvidurkI ir dispersij4.

11. Atsitiktinio dydZio X tikimybir{ skirstinys yra KoSi skirstinys:

F(x) = I + larctg x;dia xe R.2 n

Apibiidinkite Sio dydZio mod4 medianq ir momentus.

12. Atsitiktinio dydZio X skirstinys yra eksponentinis:

P(x) = e- ' ,kai x> 0'Apskaidiuokite dydZiq

Y = a X + b . Y = ! , , = X " ( 0 > 0 ) .-\

LY : e a ( c r > 0 ) , Y = e - n , Y = l n X

s)x .| - t 0 I 2

P 0.2 0, t 0,4 0.2 0 .1

140

,

vidurkius. Nurodykite metodus, kuriuos taikydami galite apskaidiuoti minetqdydZiq )'vidurkius.

13. Atsitiktinio dydZio X tankis| | n n lp(x) = _cosx, kaixe

l_; , ; lRaskite atsitiktinio dydZio y = lsin Xl vidurk[ ir dispersijq.

14. Nepriklausomieji atsitiktiniai dydLiai X ir y igyja sveik4sias teigia_m4sias reik5mes k su tikimybemis P(X = k) = 24. Raskite tq dydZiq sumosX + f skirstin[ ir apskaidiuokite jos vidurkl M(X + Iz).

15. Atsit iktinis dydis X tgyia reikSmes x; su tikimyb€mis p;. i = 6,n; i laxs 1 \ <...< xn. lrodykite, kad;

a) dydis M(X - a)z yra minimalus, kai a = MX;

b) JDx <:!::!-

16. Atsitiktiniai dydZiai X ir y yra nepriklausomi. Kokie turi bDti jqvidurkiai, kad dydZiq sandaugos dispersija bfltq lygi dispersijq sandaugai?

17. Atsitiktiniai dydZiai X1 G=0,n) yra nepriklausomi ir rolygiaipasiskirstg atkarpoje [0, l]. Raskite vidurki

M(max(X1, ..., X,) - min(X1, ..., X,)).

- 18. Vidutinis vejo greitis tam tikrame auk5tyje lygus 7 m/s. RemdamiesiCebySovo nelygybe, [vertinkite tikimybes, kad vejo greitis tame auk5tyje bus:

a) ne didesnis kaip 28 m/s;b) ne maZesnis kaip 35 m/s.

19. Visq banke laikomq indeliq suma sudaro 2 milijonus litq o tikimybe,kad atsitiktinai paimtas indelis ne didesnis uZ l0 000 Lt, lygi 0,8. {vertinkiteSio banko indelininkq skaidiq.

20. Remdamiesi eeby5ovo nelygybe, ivertinkite tikimybes P(l < X < 5)ir P(0 < X < 4),kai MX = 2 ir DX = 0,4.

21. Atsitiktinio dydZio X skirstinys yra toks:

Remdamiesi eeby5ovo nelygybe, ivertinkite P( lX - MXI < 4). Gautq

[vertI palyginkite su tiksli4ja reik5me.

{2x I 4 6

P 0.2 0,3 0.5

1 4 l

J ll;sfnKlNro vEKToRTAUs1 SKAITINESCHARAKTERISTIKOS

AtsitiktinI vektoriq (daugiamati atsitiktini dyd], kaip ir vienmatl atsi_tiktini dydi, visiskai apibudina jo skirstinys. oaugiamat^iq dydZiq skirsti-niai yra kereto kintamqiq funkcijos, todet praktiskar luos apstaieiuoti beitaikyti yra sudetinga, o daZnai - ir nebDtina. Apibresime slaitinius para-metrus, kurie tam tikru laipsniu apibldins esminius atsitiktinio vekloriausskirstiniq bruoZus. Karbant apie vienmadius dydzius, tai buvo vidurkis,dispersija ir kitos skaitines charakteristikos. Daugiamadiams dydZiams, beiq' dar biidingos koordinadiq rysi apibiidinandios charakteristikos.

siame skyriuje apibresime dvimadio atsitiktinio vektoriaus pagrin-dines skaitines charakteristikas, aptarsime iq taikymo tikslingum4 ir ga-limybes. Apibendrinimai nera sudetingi ir tada, kai mataviirq skaidiusdidesnis.

7.1. Vidurkis, dispersija ir kovariacija

Atsitiktinio vektoriaus (x, y) vidurkis yra jo koordinadiq vidurkiq vek-torius (MX, MIl. Jei (X, y) yra diskretusis su dvimadiu skirstiniu p(X = xi,Y : D

= pq bei koordinadiq skirstiniais p(X = x;) = pi, p(y = yj) = Qi Giai, j>_ t), tai

Mx = ) t x ipu :2r ,0, ,i j i

m r = l \ t 1 n , r = l t i Q 1 .i 1 J

Jei (X' IJ yra tolydusis su dvimadiu tankiu p(x, y) ir koordinadiu tankiaisp{x ) ,p2O) (d ia xe R,ye R) , ta i

Mx= I [xo(x. r

J J , . Y ) d x d y = ) x p t ( x ) d x .

I t ?t t = J l tn{* .y)dxdy= lwr1)dt .

vidurkis (MX, Ml) yra dvimadio atsitiktinio dydZio padeties plokStu-moje charakteristika - plokstumos taskas, apie kuri telkiasi dydZio (x, y)reiksmes. Mechanind vidurkio prasme - vienetines ktno mases, pasiskirs-diusios plok5tumoje, centras.

143

Atsitiktinio vektoriaus (X, I/) dispersija yra koordinadiq dispersijq vekto-rius (DX, DIJ. Jis apibldina koordinadiq sklaid4 apie vidurkius. Koordinadirldispersijq - dydZiq nuokrypiq nuo vidurkiq kvadrato vidurkio - skaidiavimoalgoritmai skaitytojui yra Zinomi (h. 6.5 skyrelf .

Dvimadio atsitiktinio dydZio (X, Y) koordinadiq X ir Y ryS[ apibDdinakovariacija (koreliacinis momentas).

I apibr6Zimas. Dydiia X ir Y nuokrypi4 nuo vidurkiq sandaugos vidurkivadiname kovariacija ir iymime

cov(x, v) = M(x - Mxxr - Mv).

I5 apibreZimo iSplaukia, jog

-MnA/ j -MY) p,,,kai(X, f) - diskretusis dydis,

jei eilute (integralas) konverguoja absoliudiai.Kovariacijai b[dingos tokios savybes:1) cov(X, I) = cov(X, I).2) cov(X,X) = DX.

3) lcov(x, Dl <JDrDY.A Pirmqiq dviejq teiginiq [rodymas lSpSrktu tt upibreZimo, o trediojo -

i5 KoSi ir Buniakovskio nelygybes lrrurls Jtvtx2vr12 gr. Al skyrel).

2 apibr6Zimas. Dydiius X ir Y vadiname nekoreliuotaisiais, jei

cov(X, f) = 0.

Jei cov(X, Y) + 0, dydZiai vadinami koreliuotaisiais (susietais koreliaci-ne priklausomybe).

4) Jei X ir Y yra nepriklausomi, tai jie yra ir nekoreliuoti (kai egzistuoiakovariacija).

A cov(X, r) = M(X -MX)(Y - Mv) =MXY -l,{{IXn,{IY;

kadangi X ir Y yra nepriklausomi,taiMXY = MXMY. AAtvirk5dias teiginys yra neteisingas. Priklausomieji dydZiai gali bflti ir

nekoreliuoti. Pagrlskime tai patry zdliu.

Pavyzdys. Diskrediojo dydZio X skirstinys yra toks:

s)x - l 0 I

P 0.3 0.4 o ?

t44

. Atsiriktinis dydis y = X2 . Aisku, jog dydLiai X ir(paraboline funkcine priklausomybe). Tadiau

cov(X, Y)=MXy -MXNly =MX3 -MXMXz =0.

X yra priklausomi

Taigi dydZiai X ir y yra priklausomi, tadiau nekoreliuori. vadinasi, jeiegzistuoja cov(X, Y), tai nekoreliuotumas yra butinoji, bet nepakankamtjinepriklausomumo sqlyga.

5) D(oX t Fy) = a2DX + g2lf t 2agcov(X, y).

.- [rodymas i5plaukia is dispersijos savybes (Lr. 6.5 skyrel[) ir kovariacijosapibreZimo.

. - siu teoremq galima apibendrinti - pritaikyti didesniam skaidiui atsitikti-niq dydZirl. Pabandykite.

Dvimadio atsitiktinio dydZio (x, y) koordinadiq sklaidq apie vidurkiusMX ir Mr bei koordinadiq koreliacinio rysio informu.ilE ui.uiyrime kore-liacine matrica

K=( DX cov(x, r ) ' )

lcov(X, I) Dy ) '6) Koreliacind matrica yra simetriika ir neneigiamai apibreita;

Kl = K, detK > 0.

. A Pirmasis teiginys iSplaukia is 2 savybes, o antrasis - is determinantoapibreZimo bei 3 savybes.

PaZymesime, jog det K = 0, kai y = aX + D. pagrlskite. A

7 .2. Koreliacijos koef icientas

Kovariacija cov(X, r) neapibrrdina dydZiq koreliacinio rysio glaudumo(stiprumo)' Be to, kovariacijos dimensija 0i lygi dydZiq x ir y limensilqsandaugai) trukdo sprgsti palyginamuosius uZdavinius. Tad koreliacinio rysioglaudumui nusakyti vartojama bedimense charakteristika, vadinama korelia-cijos koeficientu.

Apibrozimas. Atsitiktini4 dydzia X ir y koreliacijos koeficientu p vadi-name kovariacijos ir standart4 sandaugos santyki;

p=p (X , Y )=coY(X ' Y ) -

c xcv

M(x -Ntx)(Y -My)_.----.---4DXDY

Savybes:l) p(ax + b, cY + d) = p(X ,y),kai a > 0 ir c > 0.

145

Lp(aX + b, cY + d) =M(aX + b -Nr(aX + b))(cY + d -NI(cY + d))

Jo(ox+b)D(cY+d)_acM(X

- \M) (Y - l IY ) _cov (X ,Y ) _

r-;- .: = pi)-, ) j. l'

t l atctDxDl' o.i 'oi '

Vadinasi, kintant atskaitos pradliai ir masteliui, koreliacijos koeficientasnesikeidia.

2) Jei X ir Y yra nepriklausomieji dydiiai, tai p(X, f) = 0.

3) lp(x, r)ls L[rodymas i5plaukia i5 Ko5i ir Buniakovskio nelygybes arba i5 kovaria-

cijos 3 savybes.

0 lp6, Y)l=l ndo ir tik tada, kai X ir Y yra susiiq tiesine priklau-

somybe.A Pakankamumas. Tarkime, kad )'= aX + b ir a + O.Tada

Taigi

I l , k a i a > 0 ,o ( X . Y ) = 1

[ - l , k a i a < 0 .

Butinumas. Tardami, kad p(X, y) = 1l , [rodysime, jog X ir

tiesine priklausomybe.Apskaidiuoj ame dispersij 4:

^ ( x - M x , Y - M Y ) D X D Y , ) s s t r ( Y Y \,= - - - - - * - - - ; a ' \ / ' ' ' ' =20 !p ( .Y .

I or 6y ) o ' * o ' , 6xcy

I e i P ( X , ) ' ) = l , t a i

^( x -v tx v-Mr)D l - -

l = ' .l . o * o Y )

o tada

X -IVLY _Y

_M7'

ox o , -= " '

nes tik pastovaus dydZio dispersija lygi nuliui.Kadangi

^, ( x - rv 'x v-Mv) ^, l l t -

I O . O v I

I/ susijg

r).

t46

tai konstanta c : 0, o tiesind X ir I/priklausomybe yra

y _Nry =91ir. _ Mx).ox

Iei p(X, f) = -l, tai analogi5kai

y _ M y = _ g ( , _ M X ) .6x

Gavome tiesiq einandiq per vektoriaus (X, I) skirstinio centrE (MX,M/) , lygt is .

I5 Sios savybes i5plaukia, kad kiekybine koreliacinio rysio charakteristikap(X, Y) apibiidina tiesini rySi. rai lO(X,

y)l= I , dydZiai X ir y yra tiesiikaipriklausomi.

Kai p(X, I) = 0 , tiesinio rySio nera, tadiau netiesinis gali egzistuoti.Tarkime, kad, apskaidiuodami koreliacijos koeficient4 gavome p = -0,9.

K4 galime pasa$rti apie dydZius X ir y? praktiskai tai reiskia, jog koreliacinisry5ys yra stiprus ir prognozuotinas tiesinis ryiys, kuriame X ir IZ kitimo kryptysyra prie5ingq tendencijq ( p < 0 - neigiamoji koreliacija).

Pavyzdys. Dvimadio vektoriaus (X, I/) skirstinys yra toks:

Apskaidiuokime D(X - Y ) ir p(X , Y) .

A Vektoriaus koordinadiq vidurkiai MX = MI= 0, o dispersijos DX = 4,D I = 1 .

Kovariacija

cov(X, Y)=]sIXy - MXMI = e2).(-1).0,4 + (-2).10,01+

+ 2 . ( - 1 ) . 0 , 1 + 2 . 1 ' 0 , 4 = 1 , 2 .

Dispersija ir koreliacijos koeficientas yra tokie: D(X - Y) = 2,6, p= 0,6.Vadinasi, egzistuoja dydZiq koreliacinis ry5ys ir, vienam dydZiui didejant, ki-tas turi tendencij4 dideti ( p > 0), tadiau tiesinio ry5io prognozei reikia deta-lesniq tyrimq ( p nera pakankamai artimas l).

o-]-=-Qr - la o.4 0,12 0.1 0,4

r4l

7.3. Sqlyginiai vidurkiai. Regresiia

I5samesnis koreliacinio rySio nagrinejimas siejamas su s4lyginio vidur-kio s4voka.

Sakykime, dvimadio diskrediojo atsitiktinio vektoriaus (X, If skirstinysP(X = xi, y = !) = pii (i,j > l). Tada sqlyginis X skirstinys, kai Yigyja kon-

krediqre ik5me! i , y taP(X = x; l y = y, ) = A ( i = l , 2 , . . . ) , osqlygin is I '| . , q j

sk i r s t i nys - P ( r : y i l x : r , l : ? ( i : 1 ,2 , . . . ) .Pt

1 apibr6Zimas. Diskreiiojo atsitiktinio dydzio X sqlyginiu vidurkiu, kai

Y - y1, vadiname dydi

M(x I r = y) =)x ,P(X : x , lY = y) .

Analogi5kai

M ( r l x = x ) = } y t P ( Y = y , l X = x , ) .J

Kai (X, Y) yra tolydusis vektorius su dvimadiu tankiu p(r, y) bei s4lygi-

niais tankiais pr1lD:PI+ ir pz(yla=p!' : ,y], s4lyginiai vidurkiaiPzU)

- A\x)

apibreZiami taip:

iM(X lY = y) = | xpr6 l y)dx,

l ' t

iM(Y I X = x) = l rrr lyl x)d/.'

J " ' '

Pateiksime lengvai [rodomas s4lyginio vidurkio sarybes:

1 ) M ( / ( x ) l x = x ) = f ( x ) .2 ) M(cX l r = y ) = cM(X lY = Y) .3 ) M ( x + Y I Z = z ) = M ( X l Z = ' ) + M ( ) z l Z = z ) '

4) Jei X ir Y yra nepriklausomi, tai M(X lY = y) = MX.

Atsitiktinio dydZio s4lyginis vidurkis, kai antrojo dydZio reiksme

fiksuota, yra pastovusis dydis. ParyzdZiui, sElyginis vidurkis M()'lX = x,) '

kai i fiksuotas, yra skaidius. Kintant i, t. y. dydZiui X lgyjant skirtingas

t48

reik5mes, kis ir s4lyginio vidurkio M(YlX =x,) (dia i=1,2,...) reik5mes.

Todelgalime teigti, jog skaidiai Nl(YlX =xi) (dia i=1,2,...) yra atsit iktinio

dydZio M(Y I X) igyjamos reik5mes. S4lyginio vidurkio M(y I X) skirstinysyra toks:

Q t r t r " , M ( r l x 1 ) M ( l i l x 2 ) M( I l x , )P(X = x;) P t Dt n

Lenteleje pavartojome santrumpE M(YlX = xi) = M(/ | x;) (dia I = l,

2, ... ). Kai dydZiai tolydieji, M(f I X ) reik5mes yra M(Y I x ) (xe R) su tan-

kiu p1(x).

Kadangi sqlyginis vidurkis M(Yl X ) yra atsitiktinis dydis, nat0ralu ap-

skaidiuoti jo vidurki.

5) MM(r I x ) = MY (pilnojo vidurkio formule).

A Kai dydliai dislffetieji,

MM(v lx) = )M(Ylx,)p, =2r21,YfY = y, lX = x,)p, =

=Zr ,2ra =\ t1 t1=M)2.t t J

[rodykite Siq savybE, imdami tolydZiuosius dydZius.

I pavyzdys. (Valdo tapatybe.) Sakykime, Xy Xz, ... yra vienodaipasiskirsdiusiq nepriklausomdq atsitiktiniq dydZiri seka. Atsitiktinis dydis Inepriklauso nuo dydZiq Xr. X2,... ir igyja sveik4sias teigiam4sias reikSmes.Raskime atsitiktinio demenq skaidiaus sumos Sy = Xr * X2 + ...+ Xy vidurkikai Zinomi vidurkiai MXr (t = 1,2, ...) ir MY.

A Taikysime pilnojo vidurkio formulq:

M.Sy = MM(.S), I r) = ) M(X, + X, + ... + X y I y = n)p(y = n) =n ) l

=lnl4x,P(Y = n)=MX,\nP(Y = n)= MXTMI.n2l

SErySis

M(xr + Xz + . . .+ Xy) =NIYMXI

vadinamas Valdo tapatybe. Jis pladiai taikomas statistineje nuosekliojeanaliz,Eje. Sy gali btti bendrq indeliq verte, kai indeliq ir indelininkq skaidiusyra atsitiktinis, atsitiktinio skaidiaus kosminiq daleliq sumind energija, atsitik-tinio skaidiaus parai5kq suminis aptarnavimo laikas ir t. t.

r49

Sakykime, (X, Y) - tolydusis vektorius. Tada I s4lyginis vidurkis

M ( r l x ) = l w z j l i d y = s @ )

yra x funkcija, o s4lyginis vidurkis

f

M(X I y)= | xpr(x I y)dx = <p(y) -y funkci ja .

2 apibr€Zimas. Funkcijqg(x) vadiname utsitiktinio dydiio Y regresija Xotivilgia, ofunkcijq q(y) - dydiio X regresija Y ativilgiu.

Funkcijq g(x) ir g (v) grafikus vadiname regresijos kreivdmis. Jeigu dy-

dLiat yra diskretieji, tai Sios kreive sudarytos i5 izoliuotq plok5tumos ta5kq (x;;g ( x i ) ) ; d i a i = 1 ,2 , . . . , a rba (p ( y ; ) ; y ) ; ( , i a j = 1 ,2 , . . .

Taigi regresija apibldina vieno atsitiktinio dydZio s4lyginio vidurkio kiti-m4 kintant kitam dydZiui.

2 pavyzdys. Tarkime, kad dvimatis atsitiktinio dydZio (X, Y) skirstinysyra tolygus srityje D:

t tl - - . kai (x; y)e D,

p(x, y) = i lDlI

10. kai (x l y)e D.

S r i t i s D = { ( x ; y ) : 0 < x < 1 . 0 < y < x 2 l i r t a n k i o p ( x . y \ p a v i r S i u s p a -

vaizduoti 46 paveiksle, a ir b. Raskime I'regresij4 X atZvilgiu.

46 pav.

A KadangiI ,

lol=|, 'a*=l,r l

0 -

tai dvimatis tankis p(x, y) = 3, kai (x; y)e D.

z - p G . v

150

Vienmadiai tankiai

t 2f

p t ( x ) = l l a y = 3 x 2 . k a i 0 ( x ( l ,;

pzU) = It* = 30 - J D,kai o < v < l.

\tY

Kai 0 < x < 1, sqlyginis lztankis

1 l rp z j l x ) = : a = 2 i d i a 0 < y < x ' :

3x - x -

kai 0 < y < l, sqlyginis Xtankis

, t 3 1 -

P,(x l l \ = - , e iu , l t < x < l '3 \ t - l y ) t - , , 1 Y

Abu sqlyginiai tankiai yra tolygieji: pirmasis - atkarpoje [0, "']' antrasis -

atkarpoje I Ji , \ PavyzdLiui, kai y = ) eU ,uu .,b), gauname plok5tumos ir

/ r \ "

r , , 3pavirsiaus sankirtq z = pl x.; l. kuriq padalijE i5 koeficiento p) .l=

\ * / ' " \

) ' t ' t u -/ l r \ I

Zinome s4lygini tankt pJ xl . l=2, kai ;< xS 1 .' 1 . 1 4 ) 2

S4lyginius vidurkius galime apskaidiuoti taikydami tolygiojo skirstinio

algoritmq: vidurkis yra atkarpos, kurioje tolygiai pasiskirstqs dydis, vidurio

taSkas. Skaidiuokime tiesioginiu b[du:

x 2 t - 2

M ( ) i t x ) = [ r \ a r = ! , m i o < x < 1 .' J ' . 2 "

2 'U

| . r , f .

M(X I y) - | x - : - -=dx = '+.ka i0 < Y < l '

Jt t - . . t Y L

Atsitiktinio dydZio l regresija X atZvilgiu

*2y = c \x )=7 .

Sio parabolinio rySio kreivd pavaizduota 46 paveiksle, a.

PaZymesime, jog fiksuot4 reiksmq atitinkanti regresijos g(x) reiksme yra

atkarpos AB vidurio ta5kas.

l 5 l

Analogi5kai galima utoa5yti X regresijos Y atLvllgiu lygti. Fiksuot4 yreik5mg atitinkanti regresijos g(y) reik5me yra atkarpos CE vidurio ra5kas.Pabandykite uZra5y'ti Siq lygt[ ir nubraiikite regresijos kreivg.

Kai X ir I'yra nepriklausomi, taig(x) = M(r lx) = Mr,<p(y) =NI(x I y) =MX

ir s4lyginiai vidurkiai (kartu ir tunkcijos g(x) bei q(y)) yra pastovus.

Regresijos kreives - tieses, lygiagredios su koordinadirl a5imis. PavyzdLiui,taip bus, kai tolygiojo skirstinio sritis D - skritulys. Kodel?

Sakykime, atsitiktini dy{ f aproksimuojame funkcija /(X ). Kokia funk-

cijalminimizuoja vidutinE kvadratinE paklaid4 JtU(f - .f (n)2 ?

L teorema. minM(l' - f(n)'� = M(I -M(f I x))2.A {rodysime imdami tolydZiuosius dydZius. Turime:

M(y - .f (n)2 = i

j,, - .f (,))2 p(x, y)dxdy =

- ( - )f I f= l l lO- f<*t l ' pz' lx)dv lp,G)ar._' - [ : )

Pakanka minimizuoti vidini integral4. Paimejg M(Y I X = v) = g(x),

gauname:

IO- f { *D 'pz(v lx )dv= I t r -8 (x )+g(x ) - , f \ r ) )2 pz(v lx )dv=

f 1 ;= l ( y - s ( x ) ) ' p . ( y l x ) d y + 2 ( g ( x ) - f ( x ) ) l 0 - s G D p r 9 l r ) d y +J " " " J

-+ J(s(")

- f (*))2 pz! lx)&.

Pirmasis integralas nepriklauso nuo fi.r), antrasis lygus nuliui, o ffedia-sis lygus (S@) -flx))'ir yra maZiausias, kai flx) = g(x). Taigiflx) = g(x) =

= M ( Y l x ) . 4

I5 I teoremos iSplaukia tokia i5vada: vidutinio kvadratinio kriterijauspoZiiiriu atsitiktinio dydZio I reikSmes yra maZiausiai i5sibarsdiusios regresijoskreives g(,r) = M( Y I x) atZvilgiu. Sios sklaidos mat4 naturalu vadinti s4lygine

dispersija ir Zymeti

D ( r l x ) = M ( Y - M ( ) ' l x ) ) 2 .

r52

3 pavyzdys. Atsitiktinio vektoriaus (X, 1) tankis

f , * y , k a i 0 < x < I i r 0 < y ( l .D l X . V l = 1

| 0 kitais atvejais.

UZra5ysime regresijq lygtis ir apskaidiuosime koreliacijos koeficient4.A Margjnalusis X tankis

; tAG) =

J @ + t )d t =, * ; ,ka i 0 < x s l ,0

o s4lyginis tankis

pzy I x) = 4+ =ri4.kai o < y < r.P tG) r * l

I regresija X atZvilgiu

g ( x ) = M ( r l x ) = l r t 4 o r = =" o

, + r o x + )

Vadinasi, regresijos kreive yra hiperbole, o jos lygti galima uZraSyti taip:

l lv = s ( x ) - - + . 0 < x < 1 .

2 l 2 x + 6

Analogi5kai X regresija Y at?vilgi:u

x = q(,y) = 1- _-]- -. o <.y < l .2 l 2 v + 6 '

Regresijos treives pateiktos 47 paveiksle.Vidurkis

| 7 , \

vx = l r [ " * ] l r r ' = l= * r .t l . 2 ) t L

v

23

12

dispersija

D X = ' l ( * - L \ ' ( , * 1 ) o r " = l l = D r" l . l 2 l [ 2 ) 1 4 4

ir kovariacijat " t " t

7 \ 2 ( 7 ) b d v = _ J _ .cov(X. t ,= { l l - - ; ) l r - ; ) (x+ t \ , , - , t44 .

Pagaliau koreliacijos koeficientas

P(x , Y) -cov(x ' Y)=- ] t

6x6y I I

I 22 3

47 pav.

1 5 3

Koreliacinis dydZiq X ir Y rySys yra hiperbolinis, tadiau kvadrate

0<x,y <l jis beveik tiesinis. Atrodytr5 jog tai priestarauja informacijai

p(x, Y) = -0,09 . I5 tikqirl prie5taros n€ra, nes s4lyginiai vidurkiai, letai kis-

dami kvadrat e, maLaiskiriasi nuo vidurkiq MX --MY = L , okartu regresijos

kreives artimos tiesiq, lygiagredirl su koordinadiq a5imis, ui.urpornr.

Kai funkcijos g ir <p yra tiesinds, gauname tiesinp regresij4. Jq i5na-

grinesime detaliau. rai lp(X, r)l = t , gauname r tiesines regresijos X atLvil-

giu lygti Qr. 7 .2 skyreli)

y _l{y =*9t_1x -Mx).ox

|inome, jog priklausomqirl atsitiktiniq dydZirl koreliacijos koeficientasyra tiesinio rysio stiprumo matas - jis rodo, kaip ',gerai" (vidurkio prasme)

vienas atsitiktinis dydis tiesi5kai i5rei5kiamas kitu. Sakykime, dydi I norime

aproksimuoti tiesine funkcija g(D = aX + b taip, kad vidutine kvadratine pa-r-- "

klaida {M(f - c(X))" biitq maZiausia.

Ai5ku, kad atsakymas yra g(x) = M(I'lx) (l teorema)' Tadiau Sioje

siauresneje funkcijrl klaseje (tiesines funkcijos) mes patikslinsime atsakym4 ir

rasime optimalias parametrq d ir D reik5mes.2 teorema. Vidutinio kvadratinio kriterijaus poziuriu optimali tiesind

aproksimaciia y ra fun kc iia

ger )=p(x ,D} (x -MX)+Mr .

A Apskaidiuojame kvadratines paklaidos vidurk[:

M(r- ox _�D2 =MY2 -2aMXY -2bMY + q2MXz +2abMX +b2 '

Ieskome parametrq a ir b reik5mi6 su kuriomis Sis vidurkis yra

maZiausias. B0tinosios dviejq kintamqiq (a ir D) ekstremumo s4lygos yra

fanntr - ox -b)2 n .' rMXz -bMX =0,

) ao arba )Mn - c

lavr r r -ox -D2 ^ IMY-aMX -b=o'

l a h

I5sprendg sistem4 gauname:

o_cov (X , Y ) .

b=My_"ou ! { : t ) * r .

DX DX

t54

Optimal ioj i tiesine aproksimacij a

gq)= aX +b=p(X, ry9t -6-Mx)+MI. ox

Atkreipiame demes[ [tai, kad Mg(X) =Nly, M(y - C6D =0, o aprok_simacijos paklaida

M(Y - g(x))2 = D(Y - c6D = Dr(l - p2 (x , y)).

Isitikinkite.Tiesines I,regresijos X atlvilgiu lygtis yra

y - My = p(x, r19t-6 - vrxS.ox

Atskirus jos atvejus, kai p(X, f) = tl , jau i5nagrindjome anksdiau.

7.4. Entropija

Aptarsime dar vien4 atsitiktiniq dydZiq skaiting charakteristika -entropij4, kiekybi5kai apibDdinandiq rq dydZiq neapibreZrumo laipsni.

Sakykime, atsitiktiniai dydLiai X ir y turi tokius skirstinius:

_ Akivaizdu, jog dydZio )z neapibreZtumo laipsnis yra didesnis, nes tasdydis gali igyti didesn[ skaidi4 vienodai patikimq reiksmiq ir del to prie5eksperimentq sunkiau prognozuoti jo baigti. Jei dydis lgyja tik vien4 reiksmg(i5sigimgs skirstinys), jokio neapibreztumo nera. Atrodytq neapibreztumolaipsnis priklauso nuo baigdirl skaidiaus: didesnf jq skaidirt atitinka didesnisneapibreZtumas. Sis veiksnys yra svarbus, tadiau ne lemiamas.

Imkime skirstinius.

Siuo atveju didesn[ neapibreZtumo taipsni twi dydis X - pries eksperiment4galime beveik atspeti, kad I, lgis reik5mg 0, tuo tarpu apie X to pasakytinegalime. Taigi atsitiktinio dydZio neapibreZrumo laipsn[ lemia tikimybei.

s2x 0 I

pt

;z

Iz

{lY 2 3 4 5 6

qI

6I6

I

6

I

6I6

I

6

slx - l I

pI

2Iz

Qy - l 0

q 0,005 0.990 0,005

155

Apibiidinsime diskrediojo atsitiktinio dydZio X, turindio skirstin[ p, =

=P(X = xi) (dia i: 1,2,...), neapibreZtumo matq- entropii4.

A pibrdZima s . D i s kr e i i oj o at s i t i kt i ni o $t di i o e ntrop ij a yr o s ka i i ius

H (X) = H (pt, pz,. . ) = -L r , log p,;

dia logaritmo pagrindas gali biiti bet kuris skaidius a > l.lnLineriniuose skai-diavimuose, informatikoje vartojami dvejetainiai logaritmai. Tai rei5kia, kadneapibr6Ztumo laipsnio matavimo vienetu laikomas neapibreZtumas, kurf su-kuria atsitiktinio dydZio su dviem vienodai patikimomis baigtimis, skirstinys.

Tikrai, nes tada

H (x | =Hf l . l l = - f ron" 1 -11o* , 1 = 1.l 2 2 1 2

- ' 2 2

- ' 2

Sis dvejetainis entropijos vienetas vadinamas bitu (angli5kq ZodZiqbi(nary) (digi)t, rei5kiandiq dvejetaini skaitmeni santrumpa).

Apskaidiuodami entropij4 Zymesime logzp=logp ir laikysime, kad

l o g 0 = 0 .

Entropijos savybes:1 ) H ( x ) > 0 .

2) Jei X skirstinys yra tolygusis, t. y. iei Pt= Pz=...= pN = j , ro,

H ( X ) = l o g N .( t I r \

3 ) m a x H ( h , p z , . . . , p x ) = H l a , : , . . . , ; I .' . N N N )

N

A Ie5kome s4lyginio H(p1,. . . ,p") maksimumo, kai ZO,=1.

Sisaly-l = l

ginio ekstremumo uZdavin[ sprendZiame sudarydami LagranLo funkcijq

,r,/ N

L( pt, . . . . n u ) = - \ p, log p, + l , \ n, :r= l t = l

dia l, - neapibrdZtasis koeficientas. Dalines iSvestines kintamqjqp; atZvilgiu

prilyging nuliui, gauname toki4 sistemq:

t -- l ogp ' - ' - - ' * ) ' = 0 , i = I ,N .

ln2

I S i i a i 5 p l a u k i a , k a d p t , = p z = . . . = p N , t . Y . P i = L , , = l - N AM ,

156

Kai N= 2, entropija

H (p,t - p) = -(plog p + (r- p) log( l - p))

t l t \H ( p . t - p ) s H l ; . ; I r a 8 p a v . y

Tarkime, kad dvimadio atsitiktinio dydLio (X,

Pi1 =P(X = x, , Y = !J) , i , i > 1.

Jo entropijq apibreZiame taip:

H(x, Y)=->t patogp .I J

4) Jei X ir Y yra nepriklausomi, tai

H (X , Y )= H(x )+ H (Y ) .

A Kadangi p4 = p iQl Q, j> l ) , ta i

H (X, Y) = -EZ o,n,(log ni + logq,) =t l

=- l r , logPi_�2n, to tn = H(X)+ H(Y) . t j

ApibreZkime atsitiktinio dydZio I sqlyging entropij4 kai X = xi:

H ( Y l X = r i ) = - I * f t = / 1 l X = x , ) l o g P ( I = t , l X = x , ) .l

s ) H ( X , Y ) = H ( X ) + \ n i P ( Y l X = x , ) .I

L H ( X , D = - 2 2 p , P ( y = ! 1 l X = x , ) l o g p , P ( Y = r l l X = x i ) =I J

=E r , toe p, }PU = y r i X = x , ) -t J

- \ n , ? * , t = y t l x = x , ) l o g P ( Y = y , l X = x , ) : - > p , t o g p , +

+ l n t f t ( Y I X = x , ) = H ( x ) + l n t H ( Y l x - x , ) . ' ^

Atsitiktinio dydZio I/ sqlyging entropijqX atZvilgiu paZymekime

H ( Y l x ) = 2 p , H ( Y l X = x , ) .

Y) skirstinys

H

I2

48 pav.

151

I5 entropijos 5 savybes i5plaukia, kadH ( X , Y ) = H ( X ) + H ( Y l X ) .

TolydZiojo atsitiktinio dydZio X entropija apibreZiama lygybe

H(x)=- I n@)tosr@)dx.

Sios charakteristikos negalima laikyti atsitiktinio dydZio neapibreZtumomatu, tadiau, sprendZiant palyginamuosius uZdavinius, ji labai praverdia.

UZdaviniai

l. Atsitiktinio vektoriaus (X, Y) tikimybiq skirstinys yra toks:

Raskite Mx, My, DX, DY, p(X, Y), H(X), H(I'�). Nustatykite, ar dy-

dliai X ir Y yra priklausomi.

2. Firmoje pagamintos detales pagal jq vidinio skersmens nuokryp[ nuonominalaus skirstomos i keturias grupes, o pagal i5orinio skersmens nuokryp[nuo nominalaus - taip pat i keturias grupes. Nuokrypiq (X, Y) skirstinys yratoks:

f)x

el),0,01 0,02 0,03 0.04

o,o2 0.01 o.02 0,04 0,040,04 0,03 0,24 0.15 0.060.06 0.04 0,10 0,08 0,080,08 o,02 0.04 0,03 0.02

Raskite koreliacing matricq ir s4lyginius vidurkius M(y I X = 0,02). Ar

prognozuotinas X ir I'tiesinis rySys? Apskaiiiuokite D(X + f ) ir D(X - Y ).

3. I5 deZes, kurioje yra2balti ir 3 juodi rutuliai, traukiami du rutuliai. X -

i5trauktq baltq rutuliq skaidius, I/ - iStrauktq juodq rutuliq skaidius. Raskitevektoriaus (X, Y) tikimybiq skirstini ir koreliacing matric4. UZdavin[ sprEskiteatsiZvelgdami I tai, kad atranka yra:

a) grqZinamoji;b) negrqZinamoji.

9,s)Y - l 0

0 0,1 0,2 0,3I 0.1 0.2 0 ,1

1 5 8

4. Metami du loSimo kauliukai. X - atvirtusiq vienetukq skaidius, I/ -atvirtusiq dvejetukq skaidius. sudarykite vektoriaus (x, y) tikimybiq skirstin[ir apskaidiuokite p(X, Y) .

5. Atsitiktinirl dydZiq X ir I vidurkiai MX = -1, MI = 3, o kovariaciiacov(X, Y) = 6. Raskite MZ,kai Z = 3Xy + 4.

6. Atsitiktiniai dydZiai X ir y lgyja reiksmes 1,2 ir 3. Duotos tikimybes:

P(X = 1) = 0,5, P(X = 2) = 0,3, P(Y = l) = Q,l,P(Y = 2) = 0,2, P(X = l, Y = 1) = 0,35,

P(X = 2, Y = 2) =0,06, P(X = 3, Y = l) = 0,2.

Apskaidiuokite p(X, Y), D(X +3y), Nt(2X2 -y2 +X),) ir s4lyginiusvidurkius Nr(X lY = 2), M(Y I X = 2).

7. Nepriklausomqjq atsitiktiniq dydZiq X ir y skirsriniai surampa irapibreZiami taip:

P ( x = k ) = P ( Y = o ) = f 1 ) 0 . ' ; d i a t = 0 , r , 2 , . . .' t 2 l

Raskite sElygines tikimybes p|, ') =P(X = kl X +Y = n) (; i1ak = 0,l,Z,..., n) ir s4lyginl vidurki M(X I X + Y : n).

8. Dvimatis atsitiktinis dydis (X, I) tolygiai pasiskirstgs trikampyje ABC:A(0; 0), B(-2;2), C(2;2). Apskaidiuokite p(X,Y) ir D(3X -2y) . UZra5ykitef regresijos X atZvilgiu lygti.

9. Atsitiktinio dydZio (X, y) tikimybiq tankis

p(x, y) : A(x + y), kai 0 < x < l, 0 < y < 1 .

Raskite konstant4 A ir koreliacing maffic4. Ar dydLiai X ir y yrakoreliuoti? Ar jie priklausomi?

10. Apskaidiuokite nepriklausomqiq dydZiq matricos

(x, x , )Z = l ' I

I r r Y ' )

determinanto vidurk[ ir dispersij4 kai visq elementq vidurkiai lygiis nuliui,o dispersijos lygios o2.

r59

11. Atsitiktinio vektoriaus (X, f) skirstiniai yra dvimadiai eksponentiniai:

a) F(x, ! ) = l - e- ' - e-v + e- ' -v ( l+cr( l -e- ' ) ( l - " - ' ) ) , x> 0, y > 0;

b ) F ( x , ! ) = l - e - ' - e - v + e x p { - x - y + 9 x y } , x ) 0 , y ) 0 '

Raskite koreliacines matricas, koreliacijos koeficientus ir sqlyginius

vidurkius M( r I x). Su kuriomis parametrq s ir 0 reiksmemis dydLiai x ir Y

bus nekoreliuoti? bus nepriklausomi?

12. Dvimadio atsitiktinio dydZio (X, y) tikimybiqtankis

p (x , y ) - Axy , ka i r+ y <1 , x>0 , Y2 0 '

Raskite konstant4 A ir p(X,I) . UZrasykite tiesines regresijos lygti.

Paai5kinkite jq.

13. Atsitiktinio vektoriaus (X, Y) tikimybiqtankis

p ( x , y ) - 1 " - \ u + o r ) , k a i 0 < y < x < 1 , a > 0 , b > 0 '

Apskaidiuokite konstant4A ir s4lyginius tankius. UZrasykite I regresijos

X atZviigiu lygt[ ir nubraiZykite regresijos kreivE, kai a = l, b = 2'

1.4. Atsitiktinio vektoriaus (X' F) tikimybiq tankiai yra tokie:

a) p(x, y) = Ys-x(l+ t) ' kai' 20, Y >- o;

I ^-^ l - * ' - /1.0",(x: v)e R2.bt p\x, !) = --7expj -;;-= -', I

2 n 1 ! l + Y ' I z \ t a Y ) ' )

Ar dydZiai x ir Y yra priklausomi? Ar jie koreliuoti? uZrasykite sqlygi-

nius tankius px@l y).

15. Atsitiktinis dydis X tolygiai pasiskirstqs atkarpoje:

a) [0 , 1] ; b) [ -1, 1] .

Dydis Y = X' . Apskaidiuokite koreliacijos koeficient4 p(X,y) ' Paai5-

kinkite j[.

16. Atsitiktinio vektoriaus (X, I) pasiskirstymo funkcija

F (x , y )= s i n xs in Y ,ka i l 3 x sT , o < Y < ! '2 2

Raskite Sio vektoriaus koreliacinq matric4 ir s4lygin[ tankt p x @ | y)'

160

17. Atsitiktinio vektoriaus (Xv Xz, X3) vidurkis yra (0, 1,2), o koreliacinematrica

B =

Apskaidiuokite:a) kore l iac i jos koef ic ientus p(Xi ,Y1) , i =1,2,3, j =1,2,3, i * j ;

b) ats i t ik t in iq dydZir t Y = Xr+2Xr-X, i r Z =3Xr-4Xr+2X,

dispersijas;c) koreliacijos koeficient4 pg, Z).

18. Vienoje deZeje y'ra l0 baltq, 5 juodi ir 5 melyni rutuliai, kitoje -8 balti, 8 juodi ir 4 melyni rutuliai. I5 kiekvienos deZds traukiama po vien4rutul[. Kurio eksperimento baigtis yra maliau aprbrlha? Raskite abiejqeksperimentq baigdiq bendr4iq entropijq.

5 .fo j.mJro ' l$a]v,' it* 7

GENERUOJANEIOJI IRCHARAKTERISTIIT E TU ru TCIJA

Nagrinesime dvi atsitiktinio dydZio funkcines charakteristikas, pladiaitaikomas tiek praktiniuose, tiek teoriniuose tyrimuose. Tai bus atsitiktinioargumento tinkamai parinktq funkcijq vidurkiai.

8.1. Generuoiandioji funkcija

Diskretqjq atsitiktin[ dyd[ X, lgyjant[ tik sveikqsias neneigiamqsiasreikSmes ft = 0, l, 2, ..., vadinsime sveikaskaidiu atsitiktiniu dydZiu. Saky-kime, jo skirstinys yn pr =P(X = k) , k = 0, 1,2, ...

Apibr€Zimas. Sveikaskaiiio atsiliktinio dydiio X generuojaniiqjafunkcija g vadiname atsitiktinio dyd1io sx vidurki;

g(s) = gx(s) = Msx = } to Oo,k

dia s - realusis kintamasis.

Kadangi eilute )lsltfk < € su visais lsl< l, tai visq atsitiktiniq dydZirlk

funkcija g(s) Sioje srityje yra apibrl7ra. Be to, srityje lrl. t 5i eilute

konverguoja tolygiai, o kartu g diferencijuojame kiek norime kartq.Generuojandiosios funkcijos savyb€s:I) Atsitiktinio dydZio X skirstinys

oo = ! r<o> 1o), k = 0,r,2,...

A Funkcijqg(s) taSko s:0 aplinkoje i5skleidZiame Teiloro eilute:( 1 r \ , .

s ( s ) = I 8 ' " ' ( u ) s k .u L lk>0

Kadangi\-r t

8 ( s ) : L t p t ,&>0

tai, sulyging vienodq s laipsniq koeficientus, [rodome teoremq. ATaigi egzistuoja skirstiniq {pr, k: 0, 1,2,...} ir generuojandiosios funk-

cijos g(s) abipusi5kai vienareik5md atitiktis. Todel 5i4 funkcij4 bltq tikslingiauvadinti tikimybes generuojandia funkcija.

r63

2) Jei dydiiai X ir Y yra nepriklausomi, tai generuojaniioji i4 sumos

fu nkc ij a ly g i d e m en4 g en er u oi an i i aj a funkc ij a s an d aug a i ;

Bx*r (s) = 8x (s) 'gr (s).

A 15 apibreZimo i5plaukia, kad

gx*r (s) = Msx+r = Msxsr '

Kai X ir I'yra nepriklausomi, Msrsr = MsxMsr = gx (s)gy (s)'

TeoremE galime apibendrinti imdami bet kuri baigtin[ skaidiq nepri-

klausomqjq atsitiktiniq dydZiq:n

gx,+x,+..+x,(t) = fIs"- (t) '

Pabandykite.Kai sveikaskaidiai dydZiai X ir Y )'ra nepriklausomi, jq sumos skirstinys

lygus demenq skirstiniq s4s[kai:k

P(x +Y = k) =I*," = t)P(r = k - i ) .

Generuojandi4sias sumos ir demenq funkcijas sieja paprastesne - daugy-

bos - operacija. Todel kartais i5 pradZiq patogiau apskaidiuoti generuojandi4iq

funkcij4 Bx*r (s) , paskui, remiantis I teorema, - sumos skirstini

o ( r ,

P ( X + Y : k ) = s f i Y ( u ) . k = o . l ' 2 . " 'k t

Tai ypad akivaizdu, kai yra daug d€menq.3) Jei egzistuoiaMX, tai

A Generuojandi4j4 tunkcij4 diferencijuojame srityje lsl < I :

c;(s) = 4^o'oo.

Kadangi

Eooo = MX, tai 8'x0)= l jps'�rtrl =4oro =MX' k

4) Jei egzisruoja DX . tai

DX = ck(r)+ s'x(l)-(gi( l)) ' � .

lrodykite.

r64

I pavyzdys. Atsitiktinio dydZio X skirsrinys

p * = p ( X = * ) = \ r . , , , k = 0 , 1 , 2 , . . . ,( l + l . )** '

dia l, - teigiamasis parametras (Paskalio desnis). Raskime generuojandiqfqtunkcij4 ir vidurki.

A Pirmiausia patikriname, ar {pt, ft > 0} yra skirstinys:

i r,=ri | ._]-)-- r __l_=,? u ' * t + ) " / - \ t + ) , ) l + t , _ ) "

1+1 ,Atsakymas yra teigiamas - | po, pr, p2,... ) apibreZia skirstini.Generuoj andioj i funkcij a

- , - \ S r l i f r f ' ) o8 ( s ) : L t ' p t

=r_o l+ ) . f t [ l+ i . J

'

Srityje lsl S t Si eilutd konverguoja ir

Is ( s ) = - .

l + ) " ( l - s )

Vidurkis . r

M X = e ' 6 ) = n , l = 1 , .

( l + ) ,( l - s)) ' l ,=rVidurk[ galejome apskaidiuoti ir tiesioginiu b[du:

. r k

v tx = lkpo =r ! )o l3 l = if_4 l+ t t *2" \ l +X )

Tadiau 5i lygybe nera akivaizdi. Pagriskitej4.

Jei PaZYmesi-" -t 'l'

I +1, = p,

1 +X= q, tai dydis I= X + I turds geometrin[

sk i r s t i n [ P (Y=k )=P(X+ l=k )=pqk - t ( f t = l , 2 , . . . ) , ku r i o v i du rk i s

m v = 1 . rp

2 pavyzdys. Atsitiktinio dydZio generuojandioji tunkcija

g(s) = 0,1s2 + 0,3s3 + 0,5s5 + 0,1s6.

Raskime MX, DX ir X skirstin[.

165

MX = C ' ( l ) = (0 ,2s + 0 ,9s2 +2,5s4 + 0 ,6s5) 1 , .=

O, r .

nX = S'Q)+ g'( l ) - (S'0D2 = (0,2 +1,8s + 10s3 +:sa ; l -_, +

+ 4,2 - 4,22 = 1,56.Skirstinys yra toks:

J[ galejome apskaidiuoti pagal formulg

e(o ) (o ) . .pt = zi- (k = 2.3, 5, 6) ,

o vidurki ir dispersijq- tiesioginiu biidu. Dvimadio sveikaskaidio atsitiktinio dydZio (X, I/) generuojandi4j4 funkci-

j4 apibreZiame taip:

g x . y ( s , t ) = M s x t Y = ) ) r o r ' f ( X = k , y = l ) ,

kai lsl< I f lrl< t . lo, ,ulryUes analogi5kos vienmates generuojandiosios

fu nkcij os savybems. P avy zdLiui,^ ) . I

MXy :d -g (s ' / ) |0s0t l,=,=,

jei Sis vidurkis egzistuoja.

8.2. Gharakteristi nd funkcija

Tikimybes generuojandiq funkcij4 apibreZeme siauroje (sveikaskaidiq)atsitiktiniq dydZiq klaseje. Siame skyrelyje apibiidinsime universali4 funkcinpcharakteristikq - charakteristinq funkcijq ir, remdamiesi ja, tirsime atsitiktiniodydZio skirstinio savybes.

I apibr€Zimas. Atsitiktinio dydiio X charakteristine funkciia f vadiname

dvdiio ei'x vidurki:

f (t) = .f xQ) =M""* ;

dia t - realusis kintamasis.

Kompleksinio atsitiktinio dydZio e'rx vidurkis

Mleitx :McoslX + lM sin lX.

Qx 2 5 6

P 0.1 0,3 0,5 0 .1

r66

I5 apibreZimo i5plaukia, kad

[! ,,,'* -l Lr, ,p,kaiX - diskretusis dydis,l k

f ( t ) = 1 *I F

I J e"^ p(x)dr,kai X - tolydusis dydis.t - -

Kadangi su visais re R desiniojoje puseje esanti eilute (integralas) kon-verguoja absoliudiai, tai visrl atsitiktiniq dydZiq funkcija/yra apibrlLta.

Charakteristines funkcij os savybes :l ) s r y isa ts re n lT t r l< t .A Kadangi | "" ' l= lcosd+is in lx l= I . ta i l *" , , r1 < vr l r ' ,x l= r . r .2) Jei a ir b yra realiosios konstantos, tai dydiio x tiesines ffansforma-

cijos Y: aX + b charakteristinefunkcija

fy (t) = eib' 7* 1at1.A [rodymas iSplaukia iS vidurkio sarybiq:

-fy (t) = Nreit(eY +b) = "itbyl"itax = ei,b fx (at). a

3) Jei X ir Y yra nepriklausomieji dydiiai, tai

fx*y()= fxQ)fy( t )

L fx*r(t) =y1sit(x+v) =1y1"itxy1e"v = .fxe)fy(t) asiq teorema lengvai apibendriname taikydami nepriklausomqiq atsitik-

tiniqdydZiq sumai S, = Xt + X, +...+ Xn :n

fs.Q)=fI . frr(0.k = l

Vadinasi, skirstiniq s4s[k4 atitinka charakteristiniq funkciiq sandauga.

4) Jei atsitiktinis dydis X turi n-tosios eiles momentq (MlXl' a*), taicharakteristine funkcija diferencijuojama n kart4 r

fG) (o)= ikMxk

su visais k = \n. Be to, taiko t = 0 aplinkojen . . , l t

" fA \= r+MXk +o( t ' ) ;H L Ik = 0 " '

iia liekamasis narys o(tn ) -+ 0 , kai t -+ 0 ,

lin-r o(/') = o.

t +o yn

t 6 l

greitiau u2 tn . tuigi

A Pirmiausia atkeipiame demesi I tai, kad i5 sqlygos M lX l'< - 15-

p lauk ia , jog MXk <- su v isa is k =1"n .

Formaliai (dar nepagrindg) fr karq diferencijuojame sEryS[ f (t) =Me"x ,

f(k) () =Nte,,x (ix)k .

Kadangi tolygiai su visais /e R

lMr"r (ry)o l< u(1""t I l rr l r )= na lxlo . - ,| | \ l | | | | | |

tai diferencijavimas pagrlstas. Imdami / = 0, gauname:

f ' o ' ( o ) = i k M X k , k = 0 , n .

Prisiminq Teiloro formulg, uhaSomeflt) skleidin[ nulinio ta5ko aplinkoje:

f ' (0 \ f ' (0 \ t / ' (0 \f ( t ) = f ( 0 ) a ! - - ! ! ! 1 + l

\ ' ' t t + . . . + " ' " ' l n + o 1 t n l t =l l 2 l n l

=t+, !wx * ( i , - ) . ' wx, * . . . * ( i t ) , ' MX, + o( tn) . al l 2l n!

I5 Sios teoremos i5plaukia, jog{'( o\

M_tr = , l"r. Dx = (/,(o)), - .f,(o).I

I pavyzdys. Atsitiktinio dydZio X skirstinys yra tolygusis atkarpoje

[a, b]. Raskime charakteristing jo funkcij4.

A Zinome, ioe pQ):--1-, kai.x e la, bl. Charakteristine funkcijab - a

h- - itY t ,,, dx eith - etta

1 Q ) = M e " ^ = J r " ^ - = " ^

a

Matome, kadfll) yra realiojo kintamojo r kompleksine funkcija. Jei skirs-tinys yra simetri5kas (p(-*) = p(x)),pavyzdZiui, tolygusis atkarpoje [-<t, a],tai

i , , - d* e i la - e- i la s in /at \ a t - | E - -

J 2a 2ita ta- q

yra realioji funkcija.Simetri5ko, o kartu ir tolygiojo atkarpoje [-4, a] skirstinio vidurkis MX = 0.

Remdamiesi charakteristine fi.rnkcija, tolygiojo dydZio vidurki apskaidiuojametaip:

f ' (o \ Iw x = L ' � " t = - l i m " f ' t t ) = 0 . a

i i t - ->o 'Apibiidinsime dar vien4 atsitiktinio dydZio skaitinq charakteristik4, ypad

reik5ming4 tiriant nepriklausomqjq atsitiktiniq dydZiq sumas.

168

{rT

r

2 apibr€zimas. Atsitiktinio dydiio x k-tosios eilds pusinvarianiiuv ad inam e s kait inq c har akt er ist i kq

Tr =Tr1r ; = t t1p, k =r ,2 , . . . ;

dia S(t) = ln-fl/).I5 charakteristines funkcijos 4 savybes isplaukia toks teiginys: jei M.f

egzistuoja, tai egzistuoja ir yo . Be to,

11=MX, Yz=DX, y r =F : =M(X-MX)3 .

5) Jei dydZiai X ir y yra nepriklausomi, taiy r ( X + Y ) = y * ( X ) + ^ { r ( )

su v isa is k = 1.2- . . .A SiE dydZiq pusinvariandiq adityvumo sarybg pagrindZia teiginys

f x *y Q) = f x Q) fy (r) ir pusinvariandio apibreZimas. {sitikinkite. Teorem4 galima apibendrinti - pritaikyti didesniam skaidiui nepriklauso-

mqjq atsit iktin iq dydZiq.

.. Pusinvariandiq adityvumas b0dingas vidurkiui, dispersijai ir trediosioseiles centriniam momentui. Aukstesniqirl eiliq momentai tokios savybes neturi.

Zinodami atsitiktinio dydZio stirs"ting guti*. vienareikimiskai apibudinticharakteristinq jo funkciiq. Galioja ir atvirksdias teiginys: charakteristinefunkcija vienareik5mi5kai nusako atsitiktinio dydZio stirsiini.

. Si. teigini pagrisime su tolydZiaisiais dydZiais ir dydZiais, igyjandiais

sveikqsias reik5mes.6) Jei charakteristino funkctja flt) absoliuiiai integruojama su visais

te R, tai tankis

p(x)=! l " - " ' fG)at .2 n J

Si formule vadinama apgrpZimo formule.A Kadangi charakteristine funkcija yra tankio Furje transformacija

l ; ' , fJ U) =

le " ' p (x )dx i r ) l f t t l l d t <* , ta i iS ana l i zes kurso Z inome. jog

egzistuoja atvirkstine ffansformacija, isreiksta teoremos teiginiu. a7) Jei X ig,,ja tik sveikqsias reilimes k = 0,!1,+ 2,... , tai

-"k 71t1dt.

1 n

P ( x = 0 = ! 1 "z n r

r69

A Charakteristine funkcija yra Furje eilute:

f Q)=Lr"oP(x = k) .k

Padauginkime abi Sio sqrySio puses i5 e-i'' (m - sveikieji skaidiai) irintegruokime kintamojo t e l-n, m] atZvilgiu:

1 f r

!e- ' ' " 7{ t )d t = )af , = k) Ie"(k- ' td t .- f r k - � n

Kadangin f t ^' i r_,ttr_,\4, =lr".kai k = m.

J l } , k a i k + m ,

n

ai Ie-i't f (t)dt =2[EP(X = m), m = 0, + 1, + 2,...

8) Jei g(s) yra sveikaskaiiio atsitiktinio dydZio generuojaniioii funkciia,ta i f ( t )=Mei tx = g(e i ' ) .

[rodymas i5plaukia i5 apibreZimo.Toliau trumpai aptarsime skirstiniq konvergavim4. Imkime pasiskirstymo

tunkcijq sek4 Fl(x),Fr(x),..., konverguojandiq I pasiskirstymo funkcij4 F(x)

visuose jos tolydumo ta5kuose. Tok[ pasiskirstymo funkcijq konvergavimq va-

dinsime silpnuoju konvergavimu. Iei F,(x) = P(X, < r), o F(x) = P(X < r)

ir F,(x) silpnai konverguoja I F(x), tai sakysime, kad atsitiktinirl dydZiq seka

{X n, n > l} konverguoja pagal pasiskirstymq i atsitiktin[ dydi X.

Be [rodymo (irodym4 galima rasti [] knygoje) pateiksime dar vienEsalybg.

9) Jei charakteristiniyfunkcijq seka f1Q),fz(t),... konverguoja i toly'

diiq taike t : 0 funkcijqflt), tai atitinkam4 pasiskirstymo funkcii4 seka \(x),

FzQ) , ... silpnai konverguoja i pasiskirstymo funkcijq F(x). Funkciia flt) yra

atsitiktinio dydZio X, kurio pasiskirstymo funkcija P(X < "r) = F(x), charakte-ristine funkcija.

Charakteristin€s funkcijos q4vok4 galima i5plesti. Antai dvimadio dydZio(X, I') charakteristing funkcijq apibr€Ziame taip:

f( t ,s) =111ni(tX+sr) -

Pate iks ime pavy zdLi,4.

! ! ot ( l ro +.ryr ) n, ,LJ LJ- rKr \

K I

| | e l t t x+s t ) p ( x , v \ dxdv .J J

n0

2 pavyzdys. Atsitiktinio dydZio X skirstinys yra eksponentinis. Raskimecharakteristing funkcii4 ir pirmqiq dvieiq eiliq skaitines charakteristikas.

L Zinome, kad tankis p(x) =.}.e-k, kai x > 0.Charakteristine funkciia

f (t) = Me"x = )"1 n-'tr- 't l4* = Ito } " - i t

vidurki ir dispersii4 galime apskaidiuoti tiesioginiu btidu. Tadiau galimeir remdamiesi charakteristine funkcija:

f '(o\MX =t

\ " ' =)y, DX =( . f ' (q)2 - f ' (o)=: .

amuairOri,log pusinvariandiai bus tokie: y, =)\, y2 = +.E

Juos galejome apskaidiuoti remdamiesi apibreZimu, kai S(r) =Inf(t)== ln]. - ln(l. - t).

3 pavyzdys. Sveikaskaitis atsitiktinis dydis tolygiai pasiskirstgs aibeje{1,2, ..., N}. Raskime generuojandiqjq ir charakteristing funkcijq taip patpirmqjq dviejq eiliq skaitines charakteristikas.

A Skirstinys toks: P(X = ft) = l. kai i = l, N .N

Prisiming geometrines progresijos N nariq sumos formulq, apskaidiuoja-me generuojandiqj4 fu nkcij4:

. s ( s ) = Msx =1$ ro - s ( l - s i l ) .-

N 7 = t N ( t - s )

Charakteristine funkcija

f ( t ) =Me"x = g (e " , - e " ( l - e " - ! )'

N ( l - e ' t )Remdamiesi formuldmis

$ " _ ( r + N ) N $ , . , N ( N + l X 2 1 v + l )7 , 2 ? - r 6

tiesiogiai gauname:N r r r

M x = i r l = N * 1 .? ' t r 2x = l

DX =MX2 _M2x:1$ * , _ f ry I ' l ' =N, -1 .N 7 = , \ 2 ) 1 2

t7r

Sias charakteristikas galima apskaidiuoti ir netiesioginiu brldu, panaudo-jant funkcijq g(t) arbaflt). Pabandykite.

Vidurk[ ir dispersij4 idomu palyginti su tolydZiojo atsitiktinio dydZio, to-lygiai pasiskirsdiusio atkarpoje [, M, atitinkamomis charakteristikomis.

UZdaviniai

1. Atsitiktinio dydZio X skirstinys pateiktas lentele

erx 0 I 3 + 5

P 0. t o.2 o.2 0.4 0 .1

Raskite:a) generuojandiaj4 tunkcij4 g(z) ;b) charakteristing funkcij4 flt);c) vidurk[ ir dispersijq (panaudokite Sk) arbaflt)).

2. Atsitiktinio dydZio X generuojandioji tunkcija yra tokia:

a) g(z) = 0,3 + 0,52 + 0,22r ;

b) se) = 0,32 + 0,7 za .

Raskite:a) vidurki ir dispersij6b) dydZio X skirstin[lc) dydZio X charakteristing funkcijq.

3. Nepriklausomqiq atsitiktiniq dydZiq X ir Y skirstiniai pateikti lente-lemis:

Raskite:a) X + I/ generuojandi4jq funkctj4;b)X+ Yski rs t in i ;c) X + I/ vidurki ir dispersij4.

4. Atsitiktinio dydZio X skirstinys yra eksponentinis, o jo parametras ly-gus l. . Raskite Siq dydZirf charakteristines funkcijas:

a) Y = aX + b; (,ia a ir b - konstantos;

b) Y = aF(X) + b,kai F(x) = l - �e- tu (x >0) ;

c) I = ln F(X). kai F(x) = | - e-M (x > 0) .

Ar stabil0s nepriklausomieji eksponentiniai atsitiktiniai dydZiai sudetiesatZvilgiu?

elx 0 2 J

P o,2 0,5 0,3

Qt, I 2P o.4 0.6

112

5. Laplaso skirstinio tankis- l x - u l

| "P G ) = - e " ( x e R ) .

z6Raskite charakteristinp funkcij4 ir momentus Ml.

6. KoSi skirstinio tankisI

p(x)= --- -----r (xe R).n ( l + x r )

a) Raskite charakteristinE funkcij4.

b) lrodykite: jei dydZiai Xk(k=l,n) yra nepriklausomi su vienodais

KoSi skirstiniais. tai tu dvdZiu aritmetinis vidurkis

Xt + X2 + . . .+ Xn

pasiskirstgs palal tq pati KoSi skirstini (aritmetiniq vidurkiq stabilumas).

7. Atsitiktiniq dydZiq charakteristines funkcijos yra eIG" -t)

, , t

u , n-",1 + t '

3 + cos /. Raskite:

4a) vidurkius ir dispersijas;b) t ik imybiq sk i rs t in ius.

8. Atsitiktinio dydZio skirstinys yra simetriSkas:

F ( - x ) = 1 - F ( r ) ( xe R ) .

[rodykite, kad charakteristine funkcija yra realioji funkcija.

9. Atsitiktiniai dydZiai Xr(k21) yra nepriklausomi ir turi vienodus

skirstinius, o atsitiktinis dydis N igyja sveikqsias teigiam4sias reikSmes ir

nepriklauso nuo visq X r(k > 1) . Imama suma

S r y = X r + X t + . . . + X N .

a) Raskite tos sumos charakteristing funkcij4 kai Zinoma demenq cha-rakteristine funkcija ir dydZio N generuojandioji funkcija.

b) 15 sumos charakteristines funkcijos gaukite Valdo tapafybq MSTy == MXTMN.

c) Laikydami, kad N skirstinys yra geometrinis, o X1 - KoSi skirstinys,raskite charakteristinQ sumos funkcij4.

9 TTKTMYBTNTU MoDELTU PAVYZDZAI

Siame skyriuje iSnagrinesime kelet4 skirstiniq, biidingq tikimybiq teo-rijai. Vieni jq i5 dalies jau buvo apibDdinti ankstesniuose pavyzdZiuose,kiti - nauji. I5 pradZiq aptarsime diskrediuosius modelius (9. l-9.3 skyre-lis), o toliau - tolydZiuosius (9.4-9.7 skyrelis).

9.1 . Binominis skirstinys

Apibr€Zimas. Atsitiktinio dydiio X skirsinivadiname binominiu, jei

P ( X = D = C X p k q " - k , Q = l - p , k = 0 , n .

Sis skirstinys priklauso nuo dviejq parametrq: neneigiamojo sveikojoskaidiaus n ir p e (0, 1). Trumpai raSysime: X - B(n, p).

l. Tikimybes P(X = 0),P(X = l),...,P(X = n) tikrai apibrlLiaskirstini nesn h

r i *

Zrt* = D = >c: ok nn-k = (q + p)n =1./ < = 0 l = 0

Binominio skirstinio grafinis vaizdas pateiktas 49 paveiksle.

k)1lol321- l

321I

+l0

P(X = k)0,40,3n ?

0,1

P ( x = k0,4

0,30,20 ,1

| 2 3 4 s kB(s,0,s)

0 1 2 3 4 5 kB(s,0,2)

1 2 3 4

B(s,0,8)

49 pav.

Kai X - B(5, 0,5), skirstinys simetri5kas, kai X - B(5,0,2), asimetrija yrateigiama, kai X - B(5, 0,8) - neigiama.

2. Tikimybiq pasiskirstymo funkcija

F(x) = p(X 0.

L l5

3. Vidurkis, dispersija ir asimetrija yra tokie:

MX = np, DX = npe, ltt = npq(l-2p).

A Vidurk[ apskaidiuojame remdamiesi jo apibreZimu:. (

n t" ' l

M x = ) f r P ( x = k ) = ) , . . n " ' , . , o k n n - k -

k=o f luk l (n - k ) l '

* ( n - l ) l n - t ( r - l ) l c n - , - l= n D > - o k - t o n - k = n o l

@ - l ) t , s o n ' s - t

-' 7 , , $ - l ) ! ( r - t r ) ! ' f r s ! ( r - s - l ) ! '

= np(q t- p)n-t = np.

Sis tiesioginis vidurkio formules i5vedimas yra pakankamai ilgas. Auk5-tesniqjq eiliq momentq (pavyzdZiui, dispersijos) skaidiavimas dar sudetinges-nis. Aptarsime kitus, netiesioginius, momentq skaidiavimo metodus.

Vienas jq - generuojandiqiq (charakteristiniq) funkcijq metodas, pagr[stasmomentrl i5rai5kq Siq funkcijq i5vestindmis naudojimu (Zr. 8 skyriq).

Kitas metodas - atsitiktinio dydZio X - B(n, p) skaidymas paprastesniqkomponendiq suma. Binomini atsitiktin[ dydi X iSrei5kiame nepriklausomqirl irvienodai pasiskirsiiusiq atsitiktiniq dydZiq suma

X = X r + X , + . . . + X , ,

kurioje dydZio X; skirstinys yraP(X, =

(Bernulio skirstinys). Tikrai, nes sumos

l n I

su dydZio X reik3miq aibe fit = {0, l, 2,...,n\, o [vykis |L*, = k I rei5kia,[ , = l )

kad i5 visq dydZiq X1,X2,...,Xn k dydZiq igijo reik5mq 7 ir n -ft dydZiq -

reik5mE 0. Kadangi {X,, i =t,n\ ytu nepriklausomi, tai, prisiminq Bernulio

formulE (rr.2.6 skyrelf , gauname:( , \

P(x = i ) = P l Lx, = * l=cX pkq ' -o .l,;i )

Dabar vidurkis

g nMx = M>x, =lrvtx, = )tt . p + o' q) = np.

l = l t = l l = l

Dispersijan n n

n x = D ) x i = } D X i = ) * ( r , - p ) 2 = n p ql= l i= l i = l

l) = p, P(X; = 0) = q su visais i =l,n

n

sr ,,/X, lgyjamq reik5miq aib€ sutampai=1

t76

ir trediosios eilds centrinis momentas

l r : =M(X-Mx)3 =f* r r , - p)3 =npq( t -2p) . r, = l

4. Generuojandioji ir charakteristine funkcija:

g(s) = (q + pt)', f(t) = (q + pe" )' .

,

Atsitiktinis dydis X - B(", p) yra sveikaskaitis, todel generuojandiojifunkcija

n n

g(s) = Msx = 2toc!, po q,-o =2r.f os)k n,-r, : (q + ps)n .k=0 k=0

J4 galime apskaidiuoti remdamiesi destiniu X =f X o ,k = l

n n

g(s)=Msf , =fJs, t r ) = f l iu+ps)= (q+ ps) , .k=l k- l


-f (t) =Mei'x = g(",, ) = (q + p",,), .

I5veskite vidurkio ir dispersijos formules, remdamiesi generuojandi4ia(arba charakteristine) funkcij a.

5. Sakykime, Xt - BQty p) ir X2 - B(nz, D.Jei X1 ir X2 yranepriklausomieji dydZiai, tai X1 + X2 - B(n1 + nz, p).

A Binominiq atsitiktiniq dydZirl stabilum4 sudeties atZvilgiu irodysimecharakteristiniq funkcijq metodu. Kadangi

fx ,Q) = (q + pet t )n ' . . fx ,Q) = G -r pei t 1"

ir dydZiai X1 bei X2 yra nepriklausomi, tai

. fx ,* r , ( t ) = fx ,Q) fx ,Q) : (q + pe ' t ) ' ' * " .

Gauta funkcija yra binominio skirstinio, kurio parametrai p ir n1 + n2,charakteristinefunkcija. A.

Teigin[ galima irodyti ir tiesioginiu - sEs[kq - metodu, ra5ant

P(X, + Xz = k)= I*t", = i)P(xz = k - i) .t = 0

Pabandykite.Pastaba. Jei nepriklausomieji dydLiai X1 - B(n1, p), Xz - B(n2, p) ir

pr * pz, tai sumos X, + X , skirstinys nera binominis. Kodel?6. Atsitiktinio dydZio X - B(n, p) igyjame reik5mg ft, su kuria tikimybe

P(X = k) yra didliausia, vadiname moda, arba tikdtiniausiu daZniu. Skai-diuodami tikimybes P(X = 0), P(X = l), ..., P(X = r?), prakti5kai rasime toki4 ft

t 71

reik5mg, su kuria tikimybe P(X = k) bus didZiausia. Tadiau toks kelias nera-cionalus. Ypad tai akivaizdu, kai parametras n didelis. Fiksuokime parametrusn bei p ir apib[dinkime paprast4 modos skaidiavimo algoritm4.

Kai np - q - sveikasis skaidius, modos 1ra dvi Mo=np-q ir

M n + l = n p - q + 1 .

Kai np - q ndra sveikasis skaidius, moda Mo=[np-q+l1; 6a Ix] -

skaidiaus -x sveikoji dalis.A Tarkime, kad M " yra ta reik5me, su kuria

P (X = M " - l )< P (X = M , )2P(X = M " + l ) .

TuometP(X = Mo)P ( X = M , ) _ ( n - M , + l ) p r r .

P ( X = M , - l ) M o Q P(X = M, +1)_ (M, + l )q , r .

(n - M, )p

I5 Siq nelygybiq i5plaukia:

n p - q < M o 2 n p - q + 1 .

Atkarpos lnp - q, np - q + 1] ilgis lygus vienetui Todel jei abu atkarpos

gala i - sveik ie j i skaid ia i , ta i modos yra dv i : Mo=np-q i r Mo+l=

= np-Q+l= p(n+l). Jei atkarpos galai - ne sveikieji skaidiai, moda yra

viena ir lygifnp -S + I).

Paimekime, jog atsit iktinio dydzio X - BIrr. :] lvLY = M o = nir\ 2 )

skirstinys yra simetri5kas vidurkio (ir modos) atZvilgiu: P(X = MX - k) =

= P(X = MX + k) su v isa is k =Un. Pagr[sk i te.

7. Pateiksime kelet4 taikymo praktikoje pavyzdLiq. Prisiminp Bernulio

formulq P,(k)= C!,poq'-0, galime teigti. jog binominis skirstinys taikytinas

Bemulio eksperimentq schemoje, apraiant ivykio A pasirodymq skaidiq(daZnf, atlikus n nepriklausomq eksperimentq. Tada parametras p = P(A), o

parametras n - eksperimentq skaidius. Bernulio schema daLnai realizuojamapatikimumo teorijoje, statistineje kokybes kontroleje, atsitiktines atrankos

tyrime ir kituose taikomojo pobudZio uZdaviniuose.

I pavyzdys. Prietaisas sudarytas i5 a5tuoniq nepriklausomai funkcio-

nuojaniiq elementr5 kuriq kiekvieno tikimybe sugesti per laiko tarpqT lygi

0,2. Prietaisas veikia, jeigu sugedg ne daugiau kaip du jo elementai. Raskime

tiketiniausiq sugedusiq elementq skaidiq, vidurk[ ir tikimybq, kad prietaisas

veiks laiko tarp4 7.A Per laiko tarpq Z sugedusiq elementq skaidius X - B(8' 0'2), taigi

P ( X = * ) = C { 0 . 2 4 0 . 8 8 - k . I = 0 . 8 .

118

Moda M o =[np - q + l ] = [1,8] = l .Vidutinis sugedusiq elementq skaidius MX = np = 1,6.Tikimybe, kad prietaisas veiks laiko tarp4T,lygi

P(X < 2) = P(X = 0)+ P(X = l )1 p( l f = l ) =

= Cl .0 ,20 . 0 ,g8 + c | .0 ,2r . 0 ,g i + c ! .0 ,22. 0,g6 = 0,g. a

2 pavyzdys. Kiekvieno is keturiq matavimq teigiamosios paklaidos tiki-)

mybe lygi 1, neigiamosios - f . Raskime tiketiniausius teigiamqiq ir

neigiamqfq paklaid4 skaidius bei jq tikimybes.

A Sakykime, X - teigiamqjq paklaidq skaidius. Tada X - u( q,3l -*\ 3 l

I t r Id a M o = [ n p + q - t l = | 4 : - : + r l = 3 , o d i d Z i a u s i o j i t i k i m y b e p ( x = 3 ) =

L J J J

= c] .(?)' [1)' = 2- l 3 / l . 3 . / 8 r

i r P(Y= r) = c l : e\ ' =t : a3 1 3 / 8 l

Neigiamqjq paklaidq skaidius

3 pavyzdys. Firma gamina detales didelemis grupemis. vidutiniskai l0%visq pagamintq detaliq yra nestandartines. Tikrinant detaliq kokybE, is kiek-vienos grupes atsitiktinai paimama po 20 detaliq. Jei imtyje y.u ni daugiaukaip 3 nestandartines detalds, visa grupe priimama. Koks yra iiketiniausias irvidutinis nestandartiniq detaliq skaidius imtyje? Kokia tikimybe, kad visa de-taliq grupe bus priimta? Kiek detaliq reiketq atrinkti kontrolei, kad su tiki-mybe, ne maZesne kaip 0,99, imtyje rastume bent vienq nestandarting detale?

A Sakykime, X - nestandartiniq detaliq skaidius imtyje. Tada

P(X = D = Cto. g, lk .0 ,920-k, k = g, f i .

Moda Mo= lnp -q+ l l = [ 3 ,9 ]=3 . V idu rk i s MX = np =2 .

Tikimybe, kad visa detaliq grupe bus priimta, lygi3

P(x <zl =Zct .o,rk .o,s2o-k = 0,87.k=0

r - a(+,1) r"o" r" =lo J-3.' l='

t79

Tarkime, jog kontrolei reikia atrinkti N detaliq. TadaN

P(x >r) : )c f , -aSk .0 ,9N-k > o,gg,k=l

arba

l -p (x =0 ) )0 ,99 , l - 0 ,9N >0 ,99 i r " - ' i 0= '0= t = 43 ,1 .ln 0,9

Vadinasi, pakanka atrinkti 44 detales.

4 pavyzdys. Sakykime, berniuko gimimo tikimybe lygi

tikimybe, kad 1\ 2n ats itiktinai atrinktq nauj agimi q yra :a) bent vienas berniukas;b) po lygiai berniukq ir mergaidiq;c) berniukq maliat negu mergaidiq?

/ r \A Bern iukq skaid ius r - Ul2n. -

l . t .V.. / 1 \ 2 '

P ( x = r > = c ! , . 1 ; l . k = 0 , 2 n .\ L )

. . / ' ) t ' _ 2 n t ( t \ 2 'P(X = ") = Ci,l ;

\ . ) @ t f \ 2 )Kadangi X skirstinys yra simetri5kas vidurkio (ir modos) MX = n

atZvilgiu, tai

I- . lloKlaz

P(x >, =irt,(|)'" = r -P(x= o) = r -[l)",

P(X > n ) =P(1 < 4 ) = . ^ A

Kai n ir k dideli, skaidiuoti binomini skirstini nelengva' Tada gali padeti

Stirlingo formule

nl- n""-n J2n

arba rekurendioj i formule (patogi skaidiuojant kompiuteriu)n - k r ,

P , ( k + t ) = ' : - i . P P , ( k ) . k = U n - t .' k + l o

Pagriskite pastarqiq.Vis delto praktikoje patogiausia naudoti binominio skirstinio aproksima-

cijas Puasono arba normaliuoju skirstiniu. Apie tai detaliai kalb€sime veliau.

r80

9.2. Puasono skirstinys

Apibr€zimas. Atsitiktinio fudiio x skirstini vadiname puasono skirsti-niu. iei

p(x=D=t# , k=0 ,1 ,2 , . . .

sis skirstinys priklauso nuo vieno parametro l. > 0 . Trumpai rasysime:x - 3 ( L ) .

I . Tikimybes P(X = 0), P(X = l), p(X = 2), ... aprbrelia skirstini, nes-

@ . ,

) tr*. = k) = e-^ >+ = e-i' . ei = |.k = 0 i = 0 :

Puasono skirstinys grafiskai pavaizduotas 50 paveiksle.

P(X = &)0,

.u/'(o,5) qQ)

50 pav.

2. Pasiskirstymo funkcija ^,

F ( x ) = P ( X < x ) = e - i ' ) ! . t u i * t O ., ( < r ^ l

3. Vidurkis, dispersija ir asimetrija yra tokie:

MX =L, DX =L, I r : = 1. .

A Sias skaitines charakteristikas galime apskaidiuoti tiesioginiu bEduarba panaudodami generuojandiqiE (charakteristing) funkcij4.

I5 pradZiq skaidiuojame tiesiogiai, remdamiesi apibreZimu:

MX =>kp(x = k) = "-^LJ ..,= "-^^i4 = ,k ] t ( k

- l ) l ? * t l

DX =MX2 -M2x =n -^ i k r \ - � i , , =n -L i k - t+ t _k2 _?u kt '/?.(fr - r)r

181 ,-

0,6

/ * " r - ) e " l - r \

= r - ^ l * t ^ . - + L 5 t ' ' l _ t " r =| 7Jr -Dt 74$-D!)l ' - ^ t - " . \

=, lx ' t {* l t { l - r '= , -x{p� .z,x +r ," r ) - t =x.

[ ; ' ' f * ^ ! ) \

Pana5iai apskaidiuojamas ir p, = M(X -l)' = MX3 -3XMX? +2t .

Pabandykite. r

Atkreipiame demesi I tai, kad asimetrijos koeficientas A, = ii-+

0, kai

. 1 , -+ - . A4. Generuoj and ioj i ir charakteristine funkcij a:

g(s) = e) ' t ' - r ) , f ( t ) = / ' te"

- t ) .

' a g(s) = Msx = "-i i(sl)o

- n-'Lrk - ") '( 'r-r),E k l

. f ( t )=Mei 'x = g(e" 7 = rx le" - t7

.

Skaitines charakteristikos lengvai apskaidiuojamos remiantis charakte-ristine funkcija:

MX =f ' (o) =)y, MX2 =tP=),+t ,i i .

DX =MX2 -Mzx = ) . . MX3 =[9 =)"+3t +r t ,t

Fr =MX3 -3XMX2 +2t =)" .

Puasono skirstinio pusinvariandiai yo = ), su visais k = L, 2, ... Pa-

gr[skite.5. Jei nepriklausomieji dydLiai Xt - qQ,,t), X2 - ?(L),tai Xt + X2 -

- @(7l, +),,r).

A Tikrai, nes nepriklausomqiq dydZiq sumos skirstinys yra demenqsqsfka:

P(X, + Xz = k)= ) f1x, = m)P(Xz = k - m) =

- f,)rrr,n n, Lo;, ui^,

= n-(x,+xr, ] $ fl

),,TLk-,, =*' ' , ml (k - m)l kl*'^m!(k - m)l

- ( ) . , + ; . , )

= n ' - ' ( ) r r + 1 2 ) l

. al . lA :

t82

Sis sudeties stabilumo teiginys nesunkiai irodomas charakteristiniq (ge-neruojandiqjq) funkcijq metodu. [sitikinkite.

6. Aptarsime Sio skirstinio taikym4. Puasono skirstinys yra daugelio rei5-kiniq matematinis modelis. Apibudinsime sqlygas, kuriomis atsitiktinis dydisyra pasiskirstgs pagal 5i desni.

Retqjq ivykiq ddsnis. Bernulio eksperimentq schemoje nagrinejome vie-nq serij4 sudaryt4 i5 n eksperimentq. Dabar tirsime eksperimentq kuriq metugali [rykti [rykis A, serijq sek4. Kiekviena serija sudaryta iS nepriklausomrleksperimentq su kintandiomis i5 serijos I serij4 ivykio A pasirodymo tikimy-bemis. Tarkime, turime n-tqjE serij4 su P(A) - p,.Tada Sioje serijoje (atlikta neksperimentq) [vykio A pasirodymo dainis X n - B(n, p).

Aproksimuosime X n binomin[ skirstin[ Puasono skirstiniu.1 teorema (Puasono teorema). Jei npn = )t ,' tai su kiekvienu k

1 * _ I^ k k n - k L " eL r P r Q n -

A ,

k a i n - + * .

A Kadangi n-tojoje serijoje X, - B(n, p,) , tai

P(x,=0=c!,p*qi , -o = ) [n(n - l ) ( n -2 ) . . . ( n - k +1

_ ] . . k . n (n - l ) ( n -2 ) . . . ( n - k + l )

k l , k

tl-|., _1I-- =n ) \ n )

=r,_1)r,_?l f ,_{11-r.\ r ? / \ n ) \ r )

-+ l .

kt

[ ' -1] '. \ n )

f ' -1)"\ n )

Kai n neapreLtai dideja,

n(n - 1)(n - 2). . . (n - k + t)k

n

- ]- ) e "

I5 dia gauname teoremos teigin[. I5 Sios teoremos, vadinamos Puasono teorema, i5plaukia, kad binomin[

skirstin[ galime aproksimuoti Puasono skirstiniu:

^ t ! t n - - tz t t -LCi, p" q"-" = +. k = 0. n. ),, = np.K I

kai eksperimentq skaidius n didelis, o irrykio A tikimybe P(A) = p maLa. Siaprasme Puasono skirstinys vadinamas retqjq ivykiq (p maLa) d€sniu.

l ' ^ lI r - -

|\ n )['-i i

183

I pavyzdys. Nestandartinio gaminio tikimybe lygi 0,01. Kokia tikimybe,kad i5 200 gaminiq 4 bus nestandartiniai; kad nestandartiniq bus ne daugiaukaip 4?

A Nestandartiniq gaminiq skaidiq paZymekime X. Tikslq rezultat4 (10*tikslumu), remiantis binominiu ddsniu

P(X = 4) = Clro. 0,0 14 . 0,ggte6 = 0,0901,

gauti nelengva, tuo tarpu remdamiesi Puasono aproksimacija, ji gauname gananesunkiai;

)4 . o -2P(X =a)=- , l =0 ,0902.

Ll

Retrjq [vykiq Jesnio prana5umas dar ]abiau i5rySkeja apskaidiuojanttikimybg P(x < 4) .

Pagal b inominIdesni4 4

p(x < q = >p(x = D = 2clo0 . 0,01k . 0,s94-k = 0,9482,k=0 k=0

o pagal Puasono desni,4 4 1 k ^ - 2

P(x <4)= tP(x =D=2" f ; =0.e473.l =0 f t =O ^ :

Tikslius rezultatus (binominis desnis) galime palyginti su apytiksliais(Puasono desnis). Jei Zinotume tik vidutini nestandartinirl gaminiq skaidiq)v=2, tai tikimybiB remdamiesi binominiu skirstiniu, apskaidiuoti negal€tu-

me. Tuo tarpu Puasono skirstinio privalumas akivaizdus - Sis skirstinyspriklauso tik nuo vieno parametro l, = MX.

Be retqlq [vykiq desnio koncepcijos, praktikoje daZnos ir kitos situacijos,kurios pakankamai gerai modeliuojamos Puasono skirstiniu' Tai ypad rySkuapraSant [lykiq srautus.

Paprasiiausias srautas. Sakykime, tam tikri ivykiai iryksta atsitiktiniaislaiko momentais. Tokiq ivykiq sekq vadiname ivykiq srautu. Srauto pavyz-

dZiai gali buti abonentq skambudiai, technines sistemos elementq sutrikimai,radioaktyviosios medZiagos daleliq spinduliavimas, inddliq pateikimas bankui

ir t. t.SprendZiant daugel[ praktiniq uZdaviniq, laikoma, kad ivykiq srautas

tenkina tokias s4lygas:1) jei A1 ir A2 - bet kurie nesusikerlantys laiko intervalai, tai lvykiq pa-

sirodymo dainiai Siuose intervaluose yra nepriklausomieji atsitiktiniai dydLiai;2) bet kurio ivykiq skaidiaus patekimo I interval4 tikimybe priklauso tik

nuo intervalo ilgio (nepriklauso nuo intervalo atskaitos ta5ko), kitaip tariant,

srauto lvykiai iSsidestE ,,homogeniSkai" vienodu vidutiniu tankiu;

184

3) tikimybe Po(Ar), kad t [vykiq ivyks nykstamojo ilgio Ar inrervale

It, t + Ltl, tenkina s4lygas

Po(Ar)=1- l .Ar +o(Lt) ,

Pr (A/) = h1t + o(Lt),

kai At -+ 0 . Kitaip tariant, dviejq ir daugiau [vykiq pasirodymo laikotarpiu

It, t + Ltf tikimybe Pr,(At) = o(Lt) yra auk5tesnes eiles nykstamasis dydis,lyginant su vieno [vykio pasirodymo tikimybe. Prakti5kai tai rei5kia, kad[vykiai pasirodo po vien4.

Sraut4 tenkinanti l-3 s4lyg4 vadiname paprasdiausiu srautu.2 teorema. Jei srautas yra paprasiiausias, tai tikimybe, kad laikotarpiu

10. tl ivyks k srauto ivyki4, ^ , l z - \ t

Po (r) = k = 0, 1,2, ... (Puasono skirstinys);k t

iia )tt -vidutinis srauto ivykiqskaiiius laikotarpiulO, tl,)v - vidutinis srauto intensyvumas.A I5 pilnosios tikimybes formules ir I s4lygos i5plaukia:

k

Po(r + Ar) = )rr{r)rr _j(Lt) , k = 0, 1,2, . . .j =0

I t k - j I| .r ivykiu I i"vr.iq Il r - - - l

o t t + L t

Kai f t=0,gauname:

P0(r + Ar) = Po (/)Po (Ar) = P0(lxl -)tLt + o(Ar)),

arba

Po( l + At) - Po( t ) : _) ,p^(r ) * o(At)

Ar L,tir

P6(r): -2.P0(r)

Kai ,t > l, i5skyrg paskutiniuosius du narius, gauname:

po (r + Ar) = pr (t)po (Ar) + pk_r (/)Pr (lr; + I r, {r)Pe_, (Ar) =

= Pk (rxl - l"Ar + o(Ar)) + Po-, (r)().Ar + o(Ar)) + o(Lt),k -2 k -2

n"r )Pr(r)Pe-r(Ar) < )Pr-r(At)= o(Lt) .

185

DabarPr (r + Ar) - P(r) = ,1.p,. , (r) _ ].p,. (,t *o(Lt) .

L t ' - - K - t \ ' ' " ^ K \ - '

L t '

ir, apskaidiuodami rib4 kai Al -+ 0 , gauname diferencialiniq lygdiq sistem4pIQ) = lPr-r (r) - l 'Po (r), kai k = 1,2, ...

Kadangi Po (0) = 1 ir Po (0) = 0 su visais fr > l, tai i5 pirmosios diferen-cialines lygties

Po(t1 = s-xt .

Kai ft > l, pritaikE keitinl Po (r) = e-Lt U kQ), gauname sistem4

, UiG) =)"U*-t().J4 i5sprendg rekurenti5kai, turime :

Ovt\rU t . ( t l - : - " : - .

k t

Pagaliau

P ' ( t ) = \L t ) " e " '

k lI5 Sios teoremos

Puasono srautu.

2 pavyzdys. Elektronines lempos katodo emituojamrl elektronq intensy-vumas lygus i". Para5ykime laikotarpiu [0, r] emituotq elektronq skaidiaus irlaiko tarpo tarp dviejq gretimq emisijos momentq skirstinius, apskaidiuokimeSio laiko tarpo vidurk[.

A Praktika rodo, kad elektronq sraut4 galima laikyti paprasdiausiu srautu.Laikotarpiu [0, t] emituotq elektronq skaidiq paZymekime X. Tada jo

sk i rs t inYs .^ b -a,

P ( X = * ) = P r ( r )

Kadangi emisijos momentai yra atsitiktiniai, tai laiko tarpas Ztarp dviejrlgretimq momentq yra taip pat atsitiktinis. Jo pasiskirstymo funkcijaFrQ)= P(Z</)= l -P(r>t) . {vyk is {T>t l rodo, kad i5 katodo per la iko

tarp4 t ,,neiSleks" ne vieno elektrono, taigi P(?n > 1) = Po (r) = ,-)'t

Laiko tarpo Z pasiskirstymo funkcija

F rU)=1 -e -L ' ( / >o )

k = 0 , 1 , 2 , . . .

i5plaukia, jog paprasdiausi4 sraut4 natlralu vadinti

yra eksponentine. Vidutinis laiko tarpas

proporcingas srauto intensyvumui. A

rvtr =T V(Oat= I ,ru atvirksdiaiJ o A

1 8 6

3 pavyzdys' paraiskr; pateiktq aptarnavimo sistemai, skaidius yra pasi-skirstps pagal puasono desnl su pu.u*"i., L : 1,5. Kokia tikimybe, kad per 2sekundes bus pateikta:a) ne daugiau kaip 2 parailkos;b) parai5k% kuriq skaidius priklauso atkarpai[2,4]?A Vidutinis parai.k4 skaidius )-t = 3. Tarkime, lad x - per 2 sekundespateiktq parai5kq skaidius. Tuomet

P ( X < 2 ) = P o ( 2 ) + p r ( 2 ) + p r ( 2 ) = " 3 + 3 r - t * 2 r - t = 0 , 8 5 ,

P(2 < X < 4) = pz(2) + pr(2) + po(2) = 0,62. srauta salime apibr€Zti.ne tik laiko asyje, bet ir aukstesniojo matavimot erdveje 1ploklrumoje, trimateje erdveje ir,. i]1. Tokiais atvejais kalbama jau neapie [rykiq sraurQ, bet apie [rykiq taut4. Laulas, kuris tr"r.1"" puf.ireiuuriun'

srautui analogiskas sqlygas,- vadinamas paprasdiausiu tautu. iaia tikimybe,kad srityje D bus ft lauko irykiq (k ta5kq), lygi

p,6 D l) =() ' l o l )k ' - t ' ' r t t' k !

eia lOl - srities D maras, LlDl - vidutinis [vykiq skaidius srityje D, x_vidutinis intensyvumas (vidutinis tankis).

sia apibendrinta formule garime apib'dinti kosminirl daleliq, patenkandiqI sriti D, bandeleje esandiq razinq skaidiaus ir pan. skirstinius.

Puasono desnis taikomas statistiskai tiriant produkcijos kokybg, patiki-mumo teordoje, eiliq teorijoje ir daug kur kitur.

9.3. Kiti diskretieji skirstiniai

Trumpai apibtidinsime kitus praktikoje daZniau pasitaikandius diskre-diuosius dydZius.

^ . I5tigi'nes skirstinys. Diskrediojo dydLio X, igyjandio vienintelg reiksmgC, skirstini vadiname i5sigimusiu. Jopasiskirstymo funkcija

Ai5ku, kad MX = C, DX:0 ir charakteristine funkcija "f (t) =Meitx = e,t" .Geometrinis skirstinys. Atsitiktinio dydZio X skirstini vadi geo-

, k = 0 , 1 , 2 , . . . :

mamemetriniu, jei

P (X = k )= pqo - ' ;

{o , ta i x<c ,[ 1 , k a i x > C .

r(x) =

i i a k = 1 , 2 , . . .

t87

Parametras O < p < I, o q - I -p. Si skirstin[ trumpai Zymesime taip:X - C(p). Geometrinis jo vaizdas pateiktas 51 paveiksle.


r(x) = ODno-t, *at. p(X

Vidurkis ir dispersija yra tokie:

0 1 2 3 k

51 pav.

P(X = D =gfr#, f f i = o,r, . . . ,min(n, M).

- k

1 qM X : _ , D X : -

p p 2 '

Sios formules lengvai [rodo-mos remiantis charakteristine funk-

ttja@ i l

-f (t) = Me"x = pei'1,(qe" )k-r - ., ot ,, .

7- . - ' '

l - qn"Su visais sveikaisiais m > I tikimybe

P ( X < m ) = l - q ^ .

Tikrai, nes

p(x < m) =r - �p (x > m)=1- 2 ono- t r - p ! _= t - en ' .k = m + t

' l - q

Geometrinis skirstinys apib[dina skaidirl X Bernulio eksperimentq, atlikqiki tol, kol pirm4j[ kart4 pasirodo [vykis A. Tada parametras p = P(A), taigi jis

lygus [vykio A tikimybei kiekviename eksperimente.S[ skirstin[ galima apibendrinti. Tqskime Bernulio eksperimentus tol, kol

A irryks n kartq. Tada eksperimentq skaidiaus Y igyjamq reikSmiq aibe bus

e\ ={n;n* l ;n+2; . . . } , be to, ivyk is {y = lz} ivyks t ik tada, ka i , a t l iekant

pirmuosius z - I eksperimenfq n - 1 kartE ivyks ivykis A ir nt-tajame eks-perimente taip pat ivyks A. Dabar, panaudojg binomin[ skirstini gauname:

P(Y = m) = Cl , - l rpn q^- ' , m = n, n * 1, . . .

Kai n = 1, skirstinys yra geometrinis.Hipergeometrinis skirstinys. Atsitiktinio dydZio X skirstini vadiname

hipergeometriniu, jei

Sis skirstinys priklauso nuo trijq parametry: N, M ir n. Ji trumpaiZymesime taip: X - H(N, M, n).

Vidurkis ir dispersija Siuo atveju yra tokie:

MX = np, nX -- nnAffi;

r88

. . Mc t ? p = i , q = l - p . l r o d y k i t e .

^ - Tlipergeometrinis skirstinys yra geras negrqZinamqiq atrankq modelis.

Sakykime, N gaminiq rinkinyje yra M kokybi5kq ir N _- M nekokyUlskq ga_miniq. Imt[ sudarome taip: is rinkinio atsitiktinai imame gaminius, negrq-Zindami j6 ir tikriname. Targ, kad is n atrinktq gaminiq x yra kokybiiki,gauname: X - H(N, M, n).

Neirodinedami paZymesime, kad hipergeometrin[ skirstin[ galima aprok-simuoti binominiu. Kai N didelis, o kokybisko gaminio tikimybe maZai skiriasi

M . ,nuo p = - , hipergeometrinl skirstini galime pakeisti binominiu:a

f1m /1n_nt

P(X = my =Y Yt!--A- = CI p, q,-, . * = O. n.CN

vadinasi, kai rinkinys didelis, o imtis maLa, grLhinamosios (binominisdesnis) ir negrqZinamosios atrankos rezultatai yra beveik vienodi.

Toliau pateiksime tolydZiuosius modelius.

9.4. Normalusis skirstinys

Apibrdzimas. Atsitiktinio dydiio x skirstini vadiname normaliuoju(Gauso) skirstiniu, jei tankis

, - ( x - m l 2

p(x) = rp(x,m,o) = -:-, 2czo42n

su visais xe R*. Parametrai me R, oe R+. S[ skirstini trumpai imesimetaip: X - N(m,o).

l . Funkci ja q t ikra iapibreZia sk i rs t in i , nes, pr i ta ikq kei t in i I -J1=y ;1o

- x 2' r -zdx=Jr ; ,gauname:ruasono lntegrale I e

:

2. Pasiskirstymo funkcija

r iF(x) = Q(x. m.o) = - ; I e

otl2n J

189

Funkcijos F(x) reikSmes, iSskyrus reik5mes F(+-; = l, F(*-) = 0 irt

F(m) =; , apskaidiuojamos tik apytiksliai.L

Tankio ir pasiskirstymo funkcijos grafikai pateikti 52 paveiksle.

@(x, m,o )1

52 pav.

3. Vidurkis, dispersija, asimetrija ir ekscesas yra tokie:

M X = m , D X = o 2 , A . , = 0 , E t = 0 .

T r _ t x -m)z r T _y ,

Mx = [ r-+ e 2o' dy =+ [for,* m.1e- z 4, =:* o,l2n 'l2n !_

. ( * v 2 * v 2 )=+l o lO' 7 ay* ^ l r - t ayl= ^.

J 2 n l r - - J - |

\ - - )_ l x - � n 1 2

DX =M(X - m)2 =-i f r, - m)2 e 2o'� dr.o42n l-

Vel pavartojg keitin[ +

=y ir integruodami dalimis, gauname:

DX = o2.

_( r - r ) '

F : = M ( X - m ) 3 = t =

f ( r - m ) 3 e 2 o ' d x - 0 .

ol zTE -_

Vadinasi, asimetrijos koeficientas ,n" = Ef = O.o3

_ l r - r ) ' y '

[ p+ =M(x -m)4 = j - | . t ' - * )a " zo ' d r= * [ r ^ i aa r .

6\l Zn:* \t Zit :_

Integruodami dalimis, gauname: pq = 3oa ; taigi ekscesas tr =Y-3 = 0. A

q(x , m,o)

190

Normaliojo skirstinio parameffq tikimybine prasme: n yra vidurkis, o -

vidutinis kvadratinis nuokrypis, arba standartas ( o2 - dispersija). IS apibreZi-mo i5plaukia, kad normalqiI atsitiktin[ dydi visiskai apibldina jo vidurkis irdispersija.

4. standartinis normalusis skirstinys - tai atskiras bendrojo normaliojoskirstinio atvejis, kai m = 0 ir o = l. Tankis ir pasiskirstymo funkcija siuoatveju yra tokie:

| - " t ' . - ! '

q ( x ) = 9 ( x , 0 , 1 ) = - 7 : e 2 , O ( x ) = ( D ( x . 0 . 1 ) = - : l e 2 d y , x e R .

,l2n .rl2n !_

. Yra sudarytos Siq funkcijq reik5miq lentelds (Zr. I lentelg). Skaidiavi-muiose kartais naudojama Laplaso funkcija

2

t i - Y -Y ( x ) = - l n , d y .

''l2nun

Atkreipiame d.mesi i tai, kad

q(-x) =9(x) , <D(-x) = t -O(r) , Y(-x) = -Y(x) , <D(x) = V(x)+] .z

Pagr[skite.Siq trijq funkcijq grafikai pateikti 53 paveiksle.

Jei atsit ikrinis dydis X - N(m,o) , tai Y ={:!- 1/(0,1). Be to,

e(x. m. ol = !r{ r - 1, *r*. m.o) =*f l :z)o | \ o / \ o )

Isitikinkite.

r/2

r 9 t

5. Kai X - N(m,o) , nuokrypio nuo vidurkio tikimybe

P(x ml < to)=2Y(t)

suv isa is r20.A I5 pradZiq apskaidiuojame tikimybg, kad X e [a, b]:

p(a < X 3 Q = q16, m, o) - @(a, m, o) = 4 t-)- -P)

[ o / \ o )

Remdamiesi s4rySiu tD(x)=Y(x)+1, sia tikimybp i5rei5kiame ir Laplaso

fgnkcija:

P ( a < x < D = Y ( u - ^ \ - * ( r y )\ o . / \ o )

Dabar

Pqx - mls lo) = P(m - to < x < m*/o) =Y( / ) -Y(- l ) =2v( t ) ' L

Atskirais atvejais gauname vienos, dviejq ir trijq sigmq taisykles:

f o,eg, kai t = t,

P(x * l s to1=2Y(t )= ' {o ,9s,ku i ,=2,

lo,997,kait =3.

Tikimybe, kad normalusis atsitiktinis dydis nukryps nuo vidurkio ne dau-

giau kaip o, 2o arba 3o, atitinkamai lygi 0,68, 0,95,0,997 (apytiksles reikimes

paimtos i5 lenteliq). Tai rodo, kad

normalusis dydis vidurkio aplinkojeyra labai koncentruotas (ir . 54 pav ').

InZinerineje Praktikoje daZnai

taikoma dviejq sigm4 taisykle (kar-

tais - trijq sigmq taisykle): prakti5-

kai esame tiki, jog normalusis at-

sitiktinis dydis

X e l m - 2 o , m + 2 a 1 .

6. Charakteristine funkcija irpusinvariandiai apskaidiuojami taip:

54 pav.

c 2 ,i n t _ - t -

f x ? ) = e 2 )

Yr (X) = m, Tz(x ) = o2 , Yk(x ) = o , k > 2 '

192

A Standartinio normaliojo atsitiktinio dydZio I charakteristine funkcija* 1 2

" fv( t )=Me,,Y =)= sr" ' - l a", l2n u-

Kadangi vidurkis egzistuoja (My = 0), tai charakteristind funkcija yradiferencijuojama (ir. 8.2 skyrelf ir

* 2 * x 2| . l t r - - i .

" f i \ ) = = : I i x e 2 d x = - - = l r " r d s z -lZn ' * 42n u_

, 2t f t tx--

- - le

2 dx=- t fy ( t ) .I tn:_

d ln f, (t) = -tat

I

Tada

1rt 2

,I

f y ( t ) = e z ,

nes fy (0) = I

Atsit iktinis dydis X = 6Y + m,todel

fxQ) =M.ei 'x = e ' ' t f r (ot ) = " ' " ' -a ' - .

Pusinvariandius generuojanti funkcija

Sr(r) = tnfr(t)= im -Tt2.

Tuometpus inva r i and ia i y , (X ) =m, \ z (X )=6 .2 i r y *6 \ : 0 . k>3 .

7. Normalieji atsitiktiniai dydZiai 1ra stabills suddties atZvilgiu: jei dydZiaiXt - N(mr, o1 ) ir X, - N(m2, o2) yra nepriklausomieji, tai X, + X, -

/ - \- N l , + mr , l o i +o ; I\

- )

A Sis teiginys tiesiogiai iSplaukia i5 tankiq sqsukos formules. J[ lengviau[rodysime charakteristiniq funkcijq metodu. Normaliqlq atsitiktiniq dydZiq X1ir X2 charakteristines funkcijos tokios:

o l , o ' r ,

. f x ,Q) =Mei 'X , * e tn l t t - : t - . f x r ( t ) = lv re i ' x , = n ' � " " -7 ' '

Kai X1 ir X2 nepriklausomi, charakteristine sumos funkcija

i l i l , + n . v - u t ' o 2 r z

. f x , * x , Q ) : f x , Q ) ' f r , f t ) = e 2

193

yra normaliojo dydZio, kurio vidurkis n\ * rz2 ir dispersija of +o] , charak-teristine funkcija.

8. Normalusis desnis labai dalnai taikomas praktikoje. Nustatyta, kad jisgerai apibndina daugeli rei5kiniq: antropologinius duomenis ([gi, masE ir t. t.),dujq ir skysdiq molekuliq judejim4 viduting oro temperatdr4 atsitiktiniqtriuk5mq lygi matavimo paklaidas ir t. t. Teori5kai Sio desnio populiarum4lemia centrine ribine teorema: normalusis skirstinys apibldina toki atsitiktinldydi kuris yra didelio skaidiaus nepriklausomqjq atsitiktiniq dydZirt tarp kuriqndra,,dominuojandiq", suma. Pladiau apie tai kalb€sime l0 skyriuje, o dabar5 io dd snio taikym4 il iustruo s ime pavy zdLiais.

o I pavyzdys. Atsitiktinis dydis X - N(6,2) . UZra5ykime jo tanki vidur-

ki, dispersij4 2 o taisyklg bei charakteristinp funkcij4. Apskaidiuokime tiki-mybes P(0 < X < s), P(l x I 2 2) ir P(x < 3).

| - ( r - 6 ) 'A Tankis g(x,6,D=rf2nu 8 , xe R.

Vidurkis MX = 6, dispersija DX : 4, charakteristine funkcija f (t)=

= e6 t t - z t 2 .

Kadangi 2c = 4, tai P(lX -61<4 ) = 0,95 ir prakti5kai esame tikri (tiki-

mybe lygi 0,95), kad X e[2,101.Apskaidiuojame tikimybes:

/ s - r \ / o - r \p(0 < x < 5): \Pl = I- yl = l= v(:)- v(o,s)= 0,3071,\ 2 / l 2 )

/ r a z \ / ^ , \ \p(xl> 4:t-p( lx l< D=t- l v l + l -* [ - i -"

l l=o,enz.' ' l. | 2 I l. 2 ))

P(x < 3) = P(-- < x <3)= * i + l -v(- - )=' t 2 )

= 0,5 - 0,4332 = 0,0688.

Interpretuokite Sias tikimybes geometri5kai.

2 pavyzdys. Juostos apkrovos X skirstinys yra normalusis, o jo tankis

p(x\= 20 n-zoot'-st' .

JznApkrova, kuri nutraukia juost4 lygi 5,08 kg. Apskaidiuokime tikimybg,

kad juosta nutruks. UZra5ykime juostos apkrovos 2o taisyklq.

194

A Juostos apkrova X - N(5, 0,05). Tikimybd, kad juosta nutriiks,

p(x >5.08) = r -p(x <5,08) = r -of199-!l= r -g,easz = 0,0548.l . 0.05 )

Taigi juostos nutrlkimas yra maLaitiketinas.Su tikimybe 0,95 galime teigti, kad juosros apkrovaX e [ 5 - 2 . 0 , 0 5 , 5 + 2 . 0 , 0 5 ] , X e 1 4 , 9 , 5 , t 1 .

3 pavyzdys. Atsitiktinis dydis X pasiskirstgs pagal normalqji desni suvidurkiu, lygiu nuliui. Tikimybe, kad Sis dydis pateks I interval4 (a, a),lygi0,5. Raskime dydZio X vidutinl kvadratini nuokrypi (standartfl.r A Tikimybe

P ( a < X < a ) = 2 y [ 3 i = 0 , s .t o /

Tada i5 lenteliq randame;

1=Vt (O,ZS)= 0,675, arba o = t ,48 a.o

Sio dydZio tankis ,)

g(x,o,o)=--_l--- n G . 1,48a42n

9.5. Dvimatis

Apibr€Zimas. Ats itiktinioIiuoju, jeigu tankis

p(x, y)= ----L-x2nororll- p2

'.-ol - "J= P+t - 2rG - miQt - m,)* t, - ry, )' liI r ( t -P-) l \ oi oroz ai ))

visais (x; y) e R; dia parametrai

m 1 = M X , m 2 = M Y , o ? = D X , 6 2 z = D y , p = c o v ( X , Y ) .

otoz

S[ skirstin[ trumpai imesime taip: (X, y) - N (m1, ft i2, c,1,o2, p).Geometrinis tankio pavir5iaus vaizdas pateiktas 55 paveiksle.

normalusis skirstinys

vektoriaus (X, Y) skirstini vadiname norma-

195

p(x' y)

, 55 Pav.

Apskaidiuodami vektoriaus (X, I') komponendiq tanki gauname:

_ ( t - ^ r ) t2" r ,

, xe R,

pz(v)=j n(*,t)a*==+;# , ve R'6 2 { Z n

Zinome teigin[: jei dydZiai yra nepriklausomi, tai jie yra ir nekoreliuoti.

Kai skirstinys normalusis, teisingas ir atvirk5dias teiginys.Teiginys. Jei normaliojo vektoriaus (X, Y) koordinqtes yra nekoreliuo-

tos, tai jos yra ir nepriklausomos.A Tikrai, nes i5 sqlygos P = 0 i5plaukia, jog dvimatis tankis

I I t ( ( x - m , \ 2 t v - r , ) t . ) lp(x . v) 2no,o2 ' t 2|. oi oi ))

=-!.*p{ g^+I} r= .*p{ g=+l=p,(x)p2o)o 1 J 2 n

' t 2 o i ) o r 4 2 n I z o i )

su visais x ir y. Vadinasi, kai skirstinys normalusis, nekoreliuotumo ir nepriklausomumo

sqvokos yra ekvivalendios.Jei p + 0, tai X ir Y yra priklausomieji dydZiai. Tada s4lyginis tankis

PtG)= lp i ' , , v )dv= r= "' o"l zn

pz| lx)=ry4=

r - m z P G - I m r ) ' ) l --T---4-)t-I---.=_2 ( r - p ' )

196

yra taip pat normalusis su vidurkiu (s4lyginiu)

M ( Y l X = x ) = r o 'n 2 * p r \ x - m 1 )

ir dispersija

D(y lx = i=o30-p2) ,nepriklausandia nuo fiksuotos X reik5mes x.

. Ordinadiq a5yje paZymejg s4lyginio vidurkio lVl(.)^ |

y = x) reik5mes,gauname I/tiesin€s regresijos X atlvllgia kreivq (tiesg):

M ( Y l X = x ) - m z = p \ 1 x - * ; .

Tirdami s4lygin[ tanki p1(x l_v) , i5vedame X tiesines regresijos y ativll-giu lygti:

M ( x l Y = y ) - n t = p 9 � ( y - m ) .

Vadinasi, kai p + 0, normalieji dydZiai X ir y yra priklausomi ir jq sqry-5is iSreiSkiamas tiesinds regresijos lygtimis.

Dvimadio normaliojo vektoriaus (X, Ii) skirstinio parametrai dainai uira-Somi vidurkiq vektoriumi (m1, m2) ir koreliacine matrica

, -( ol cov(X. ) ' ) )u - l " l .

I cov()Z, X) ol )Sios matricos determ i nantas

l r l =o fo l l r -p2 )>oir drauge matrica B yra neneigiamai apibreZta.

lBl = O tit tada, kai bent vienas i5 dydZiq yra i5sigimps arba abu susieti

tiesiniu funkciniu rySiu. Kodel?Normalqii skirstin[ galima apibreZti ir didesnio matavimq skaidiaus erdveje.Atsitiktinio vektoriaus (Xt, X2,..., X,) skirstini vadiname normaliuoju, jei

tankis' ( c l

p(x1 ,x2 , . . . , x , )= - - : t *o l - ; t> c r (x i -m, ) (x , -m) l

Pnf 1a i | - r= r /= r )

su v i sa i s ( x1 t x2 ; . . . ; x , )e Ro ; t i a m ,=MXiG= l , r ) ; 8 - vek to r i aus ko re l i a -cind matrica

r97

( 4 ' 4 z

u=lu" b"

i;' i"'su elementais

4, .l, : )

ba =Nl(X, - mi) (X t - m,) = cov(X, , X i ) , i , j = l ,n ;

lBl = a", B; cij - matricos C = B-t elementai.

I Vadinasi, daugiamati normalqjI skirstini visi5kai apibfdina pirmqiq dvie-j4 eiliq momentai: vidurkiai, dispersijos ir kovariacijos.

9.6. Gama skirstinys ir atskiri jo atvejai

Apibr6Zimas. Atsitiktinio Stdiio X skirstini vadiname gama skirstiniu,jeigu jo tankis

S[ skirstin[ trumpai imesime taip: X - G(a,l,); dia l, > 0 , o f(o) yra

Oilerio gama funkcija:

f ( a )= l xo - te - *dx .I

0

K a i a = n e N , f ( n ) = ( n _ l ) !

l. Funkcija p(x,u,L) t ikrai api-

breZia tanki, nes (pritaikius keitin[ ax == v )

i t o 7 - , .J r( t . a, )")dx =a-{ xa'e-M clx =

= =!Tr"- | e-v dy = t.f ( 0 ) Jo '

Gama skirstinio tankio grafikai pa-vaizduoti 56 paveiksle.

P@

, k a i x > 0 ,I Lo ,o_r"_up(x )= pG.a . r l= { r f " t ^Il 0 , k a i x < 0 .

I 98

56 pav.

Kintant parametrui c,, keidiasi ir kreiviq forma: kai o, I, tankis turi vienq maksimum4 talke Mo=+

lsitikinkite.Kintant parametrui 1,, kreiviq forma nesikeidia.2. Pasiskirstymo funkcija

x

F(x. a. Ll =

I vo-tr-", dv.' f(ct)Jo

3. Charakteristine funkciia

/ 1 1 0t r ' ' t

J \ t ) = | _ |I L - t I I

A Diferencijuodami charakteristinq funkcij41 0 6

f 6 = -!- f ,"�-t nit' -)'*

4r,f ( 0 ) *

gauname:

1 a ; ?f ' ( t \ =

^ t [ * an i * - Lx4 * .

r(cr)*Integralq skaidiuodami daliniu metodu, matome, kad

-f ' ( t)=J!=rol. arba (ln 1111; = rta,) \ - i t ' ' ) , , - i t

I5 Sios lygties i5plaukia, kad

ln f (t) = lnC(1. - it)-" .

KadangiflO) = 1, tai C = ),o. Teiginys pagr[stas. 4. Vidurkis ir dispersija yra tokie:

MrwY =9. DX =Y) -h L

A Tikrai, nesf ' ( n \ d

M X _ - / \ " / _ * .i ] .

D X = M X 2 _ M 2 x = _ f , o t _ [ g ) ' - o ( c _ + l ) _ 4 = + . al r j x i * L '

5. Jeigu dyd);iai Xt-G(ut,)r), Xz-G(u2,),) yra nepriklausomi, tai

X r+ X , - G (o r +c r2 , l ) .

r99

A Tikrai, nes charakteristind sumos funkcija

r , . \ ( L ) " ' f l ) " ' ( ) " ' )o ' *o,

J x , * x . ( / ) = l ^ | ' l - | = l - |l l - , r J I r - t / J l r - r J

yra gama skirstinio charakteristine funkcija. APaminesime atskirus gama skirstinio atvejus.Eksponentinis skirstinys. Kai parametras cr, : 1, gauname eksponentinl

skirstini. Jo tankis

p(x) = p(x,|,),") = ),e-b (x > 0),

dpasiskirstymo funkcija

F (x ) = F (x ,1 , ) , ) = | - e -b ( x >0 ) .

S[ skirstinl trumpai imdsime taip: X - E(],) .

Esame [rodq (Zr. 9.2 skyrelf, kad paprasdiausiame sraute laiko tarpas tarpdviejq gretimq srauto [vykiq 1ra eksponentinis su parametru, lygiu srautointensyvumui.

Kita Sio ddsnio taikymo sritis - patikimumo teorija. Eksponentinismodelis pakankamai gerai apibrldina komponendiq arba visos sistemosilgaamZi5kum4 kai sutrikimq intensyvumas pastovus.

Svarbi elemento (sistemos) charakteristika yra sutrikimq intensyvumofunkcija

o ( t lh(t) = ---:--:--:-'

I - ,F ( r )

dia F(t) - ilgaamZiSkumo Z pasiskirstymo funkcija, p(t) - tankis, I - F. (t) =

= P(f > t) - tikimybe, kad elementas (sistema) funkcionuos iki momento t.

Sutrikimq intensyvumo funkcijos gra- -fikas pavaizduotas 57 paveiksle. h(t)

Charakteringi trys laiko tarpai: laiko-tarpis (0, r1), atitinkantis didell sutrikimqintensyvum4 (tuos sutrikimus galima apibii-dinti gamybiniais defektais); stabilaus darbolaikotarpis [tr, tz]; laikotarpis (tr, +-), ati- 0tinkantis didejant[ sutrikimq intensyvum4(del senejimo veiksniq). 57 pav.

Eksponentinio dydZio sutrikimq intensyvumo funkcija

r -) . the

h ( t l = - = ) u1 - f i - e - ^ t \

200

yra pastovi su visais r Kuq sutrikimo tikimybe priklauso tik nuo laiko tarpoilgio.(nepriklauso nuo jo atskaitos pradZios). I5 dia isplaukia, kad eksponenti-nis skirstinys tinka sistemE kurios sutrinka staigiai Qaikroaiiq akmen6 sau-gikliq ir t. t.),llgaamLi5kumui apibfidinti.

1 pavyzdys. Sistemos ilgaamZiskumas T - fl(r,). Apskaidiuokime tiki-mybp, kad sistema veiks laiko tarpq s + t, jei jiveike iki momento .r.

A Pagrisime, jog s4lygine tikimybe

P ( Z > s + t l T > s ) = P ( Z > r ) .

Tikrai, nes

P ( 7 > s + t l T > s ) = 58 pav.

x > 0 .

X - E(n,1,). Fiksavq parametr4

paveiksle. Kai n = I. gauname jau

{ I < s + r }

_ P ( ( Z > s + r ) f ^ l ( Z > s ) ) _ P ( 7 > s + r ) _ l - ( l - e - r ( " + / ) ) _P(z>s) p ( r>s f - l -d ; l t=

= s-)'t - p(z > l) (5g pav.).

.. - vadinasi, eksponentinis skirstinys neturi ,,atminties" - sistema ,,uZmir5-ta", kad iki momento s ji veik6, ir tolesnis jos darbo reZimas vel yra .krpon"n-

tinis su tuo padiu intensyvumu. Tokia savybe bldinga tik eksponentiniamskirstiniui.

Kai sistema sudaryta is daugelio elementq ir jos sutrikimEapibreZia bentvieno elemento sutrikimas (pavyzdLiui, nuosekliai sujungtq elementq sistema.;,jos trikiq intensyvumas yra beveik pastovus iriq galima apiasyti eksponentiniumodeliu.

. Pastaba. Funkcija fi, priklausomai nuo taikymo srities, dar vadinamai5nykimo greidiu arba nes€kmiq laipsniu.

Jos prasmE suvoksime geriau, jeigu atkeipsime demesi i tai, kadI

h(tS = 1i^ |pg < | + Lt l r > D. Ar > 0.4.,+0 At

Pagriskite Siq formulg.Erlango skirstinys. Kai parametras cr, = n€ N, gauname r-tosios eiles

Erlango skirstini. Jo tankis

p(x) = pG, n,1,1 = J-* n-t n-rt ,\ n - t ) t

Si stlstinl trumpai Zymesime taip:I (), = l), tankio grafikus pateikiame 59apra5y't4 eksponentini skirstini E(1") .

20r

Integruodami dalimis, skaidiuojame pasiskirstymo funkcijq:

fF(x.n, ) i= J nG.n, ) , . )dx PG0

h - l . ^ . L

, _Ix'1-, (Ar)^= t - e

.u t.lk = 0 ^ :

Vidurkis ir dispersija Siuo atveju yra tokie:

MX =! . DX = ! . 59 Pav 'r . ; 'h L -

' E.lungo tikimybinis modelis daZnas eiliq teorijoje. Noredami tai pailius-

truoti, iSsprqskime uZdavini.

2 pavyzdys. Intensyvumo l. srautas yra paprasdiausias. Sakykime, I -

laiko tarpas, praejgs iki ntojo srauto [vykio. Raskime Z skirstini. Eiliq teorijojeTnbiltq n-tosios parai5kos laukimo eileje trukme (Zr. 60 pav.).

A frodysime, kad 7 - E(n,)u) .

, =2r0,k= l

Eia To - EQ) , k= l,n . 60 Pav.

Kadangi {71,, k=Gl vtu nepriklausomieji atsitiktiniai dydZiai, lieka

pritaikyti s4sdkq metod4 (i5 dalies tai padaryta 5.5 skyrelyje).Charakteristiniq funkcijrl metodu uZdavinys sprendZiamas labai paprastai:

l - ^ j a ) , ( ) . ) 'f r ( r ) = I l f r r a ) = l l : - = l . I

x= , i j f - i l \X - i t )Tai - atsitiktinio dydZio T - E(n,),") charakteristine funkcija.

Vadinasi, kai srautas yra paprasdiausias, laiko tarpo tarp gretimtl srautoivykiq skirstinys yra eksponentinis, o tarp tolimesniq - Erlango.

Dar paimesime, kad, sudedami eksponentinius dydZius, jau negaunameeksponentinio dydZio. Tuo tarpu Erlango atsitiktiniai dydZiai yra stabillssudeties atZvilgiu. Pagrlskite.

Kadangi atsitiktinio dydZio X - E(n,1,) vidurkis ir dispersija dideja, kai

n dideja, tai dainaivartojamas normuotasis dydis )' ={. Oubu, Y - E(n),n)

t li r M I = : , DY = " . Pag r i sk i t e .

h n E

T

ffi

202

12 skirstinys (chi kvadrato skirstinys). Kai I = -1-

gauname y2 su nlaisves laipsniais skirstin[. Jo tankis

( " r ) t ! ' ^ t - ip l - . ; , ; l = - ; - x 2 e 2 , x ) 0 .\ - - , Z r f l l l

\ 2 )

n, C X = - , o

2n e N ,

Si skirstin[ trumpai Zymesime taip: 4t';,:X - C(n). Jo tankio grafikai pavaizduoti6l paveiksle.

Vidurkis, dispersija ir charakteris-tine funkcija Siuo atveju yra tokie:

MX =f i , DX =2n,

_1f ( t )=( t -2 t t1 z .

Sis skirstinys yra ne tik atskiras gama skirstinio atvejis, betsusijEs su normaliuoju skirstiniu. Zinome, kad nepriklausomqjqdydZirl suma yra taip pat normalioji. O Stai jq kvadratq sumos

ir glaudZiainormaliqlrlskirstinys,

pasirodo,jau yra X' skirstinys.

3 pavyzdys. Tarkime, kad nepriklausomieji dydZiai Xk - N(O,t), k =

= 1, rz. Raskime dydZio

, *x; = LXi

k = l

skirstini.A Pagr[sime.kad 1al - C@).

Kadangi Xl yra nepriklausomqjq dydZiq suma, tai charakteristine

funkc i ia f . , ( t \ = f 1 f t1 .' " x ; " " x i . -

Apskaidiuojame dviejq ddmenq sumos pasiskirstymo funkcij4:

F" . , (x )=p(x? + x l < ' l= I i l , *o [ - ! ru ' * r ' ' , l auar .x t " 2 n u , l l , . , ' t 2 ' ' l - - -

Pritaikg keitinius rz = pcosg,v - psinrp, gauname:

. 2 n J ; p ' xt f

{ , ( x ) = - l d q l " , p a p = r - e 2 ,^ 2 ) ' t f J .- ' - 0

0

, / l \t. y. Xi- El ; I. Tada charakteristine funkcija

t z l

l l

.f., (t) = (1 -2it)-t v f., (t) = "f^1, (t) = (t -Zity 1.- L 2 " X t . - " X i '

Galutinai f ,, (t) = (l _qZit;;-i . A

Teiginys, kad nepriklausomqjq standartiniq normaliqlq dydZiq kvadratqsumos skirstinys yra 7) skirstinys, labai reiksmingas matematineje statis-tikoje.

a

9.7. Kiti tolydieji skirstiniai

Trumpai apibiidinsime kitus daZniau pasitaikandius praktikoje tolydZiuo-sius skirstinius.

Tolygusis skirstinys. S[ skirstin[ jau ne kart4 minejome ankstesniuosepavyzdZiuose.

Atsitiktinio dydZio X skirstin[ vadiname tolygiuoju inrervale (a, b), jeitankis

f rl ; - , k a i x e ( a , b ) ,

p \ x ) = 1 b - a

l0,kaixa_ (a,b).

J[trumpai imesime taip: X - T(a, b).Pasiskirstymo funkcija

fo , ka i x<a ,

F ( x ) = 1 - . k a i a < x b .Vidurkis ir dispersija yra tokie:

n + h ( b _ o ) 2l v L Y = " " .

D _ Y = -2 ' - t 2

Charakteristine funkciia

ortb _ oi la

f ( t \ = - "

it(b - a)

Skirstinys yra nestabilus dydZirl sudeties atZvilgiu. Kodel?Tolygusis intervale (0, l) skirstinys yra atsitiktiniq skaidiq generavimo

pagrindas.

Toliau paminesime keletq skirstinirS glaudZiai susijusiq su normaliaisiais.Lognormalusis skirstinys. Jo tankis

p(x)= p(x ,m,o)=-+e*o{- f r ' " x -m)2} , "o ;xoal 2n I 26- )

diaparametrai me R ir oe R*. SlskirstinlZymesime X - L,(m,o), Tankio

grafikai pateikti 62 paveiksle. p@, m,Teiginys. Jei dydis Y = ln X

pastlkirstps pagal normalryji desn[kurio parametrai m ir o, tai

o)

X - L , (m,o) .

A Tikrai, nes

P ( X < r ) = P ( r < h r ) =

00,3m = 0o = l

m =O =

0 x

62 pav.

tn x-nt

=r ( t n * - * l =+ T , - * * , ka i r>0 ,f o ) J z n t *

ir tankis(ln x-n)z

p(x) = 4rq< r ) = - jF , T = 1<p1lnx, m.o) =dx xoJ2n x

= p ( x , m , c ) , x > 0 . A

Vidurkis6 2

m+-M X = e 2 .

Tikrai, nes

- ( Y - n l 2

MX =MeY =-J - | eYe 2c2

o42n !*o ) * 1 , c 2

I n r + - F - - ( z - o l ' m + -= r ^ e 2 l e 2 d z = e 2

\l 2n

Analogi5kai dispersija

Df = n2n+a2("" ' - l )

.

- 2I r - -+6 :+m

- - - l n 2 d z =

Lognormalusis skirstinys yra proces% kuriq stebimoji reik5me sudaroatsitikting anksdiau stebetos reik5mes dali matematinis modelis. Tai gali b[tiatsitiktinai susmulkintos medZiagos daleliq dydis, bankuose laikomq indeliq

205

suma, pajamq dydis, palikuoniq skaidius ir t. t. Desnis kartais taikomaselementq patikimumui apibiidinti.

Rel€jaus skirstinys. Jo tankis. x 2

p(x )=+ ; t7 , x )0 .o'

Pasiskirstymofunkcija -2

F(x) = F(;5 o2 1 = 1- "- zo' , , , O.

Si skirstini trumpai uZrasysime taip: X - R(o2) .Nesunku suZinoti, jog vidurkis ir dispersija yra tokie:

rvx = "^ l ! . ox = o2[ 2-!) .

t 2 \ 2 )Relejaus atsitiktinis dydis yra susijgs funkciniu rysiu su normaliaisiais

dydZiais. Tuo [sitikinsime sprgsdam i pavyzdi.

3 pavyzdys. Atsitiktinio vekoriaus (X, I/) koordinates yra nepriklausomosir pasiskirsdiusios pagal standartini normalqji desn[. Raskime to vektoriausmodulio

R _

skirstin[.A Atsitiktinis dydis R - R(l). Tikrai, nes pasiskirsrymo funkcija

Pris iminq, kad x2 +y2 -g[1), *uunu*",\ 2 ) -

_ 2

Fn( r ) = 1 - " -T , x> 0 .

Imdami Z=c .R=6

x 2- J

l 6 -

i r Z -R (o2 ) . A

Relejaus skirstinys apibldina ta5ko, kurio koordinates X ir y yra nepri-klausomieji normalieji dydLiai, atstumq iki skirstinio centro. IS dia isplaukiad€snio taikymo radiofizikoje, radiolokacijoje, artilerijoje ir t. t. galimybes.

Z .

-tF,(x) = . I l = r - "o )

X 2 + Y 2

x 2 +

206

Ekstremaliqjq reik5miq skirstiniai. Atsitiktiniq dydZiq rinkinio Xr Xz,..., X, ekstremaliosios reik5mes apibreZiamos taip:

Z, =max(Xr,X2, . . . ,X, ) , W, = min(X1 , X2, . . . ,Xn) .Jos yra daugelio technikos ir ekonominiq mokslq realiq objektq mate-

matiniai modeliai.Toliau kalbesime tik apie nepriklausomr{q ir vienodai pasiskirsdiusiq

atsitildiniq dydZiq {X r,, k = t,rl, kuriq pasiskirstymo funkcija yra d ekstre-mumus. Tada ekstremaliqjq reik5miq pasiskirstymo funkcijos

P(2 , < r ; = f ' ( x ) r P (W,< r ) = I - ( 1 - f ( x ) ) ' .

Pagriskite.Kai dydZiq skaidius n yra didelis, ekstremaliqjq reik5miq Zn ir Wn skirs-

tinius galima aproksimuoti (daZnai!) nei5sigimusiais skirstiniais (iq yra SeSi).Siuos aproksimuojandius skirstinius taip pat vadiname ekstremaliqjq reik5miqskirstiniais. Apibiidinsime du Sio tipo aktualius praktikai skirstinius.

Pirmojo tipo maksimaliqjq reik5miq skirstinys. Pasiskirstymo funkcija

| _ t -m IHr (x ,m,o )=exn l -e "

f , xe R ;

dia parametra i me R, oe R*.

Tankis

. I I x - r r lh t \ x ,m ,o ) = -exp ] - x

- m " - o l , xe R .o L " )

Neirodydami paZymesime, kad Sis skirstinys gerai aproksimuoja maksi-maliqjrl reik5miq I skirstinius, kai n didelis ir dydZiai {X u, k = l-7} yra nor-malieji, gama, Laplaso ir kiti, kuriq tankis eksponenti5kai arteja prie nulio, kai.r --) 6 . Praktiniai tokio skirstinio modeliai gali blti sistemos, sudarytos iSdaugelio lygiagrediai sujungtq elementq ilgaamZi5kumas, koroziniq paZeidimqgylis, maksimalus eiles ilgis, vandens debitas uZtvankoje, maksimalios apkro-vos, uraganai, atmosferos uZteritumas ir t. t.

Treiiojo tipo minimaliqjq reikSmiq skirstinys. Pasiskirstymo funkcijaI r r a l

L 3 ( x , a , m , o ) = t - e x p l - l r - * I l , * . * tl \ o ) )

dia parametras m ) 0, o o ir cr - teigiamieji skaidiai.Tankis

. u ( x - . ) o - ' I r r - r \ " 1/ 3 ( x , 0 0 , . n , , o ) : I e x p l I l , x > m .o \ o / l \ o ) l

207

Si skirstinl dar vadiname Veibulo skirstiniu. Atskiri jo atvejai yra

eksponentinis (a=l) irRelejaus (a=2) skirstiniai.

Kai n didelis, Siuo skirstiniu aproksimuojamas minimaliqiq reikSmiq W,

skirstinys. jei dydZiai {X*, k =1,r1 yru tolygieji. gama ir kit i, kuriq igyjamq

reikSmiq aibe apreZta i5 kaires. Praktiniai tokio skirstinio modeliai yra didelio

skaidiaus nuosekliai sujungtq elementq sistemos ilgaamZi$kumas, medZiagos

atsparumas tempimui arba gniuZdymui, itampos, pramu5andios izoliacinl

sluoksni minimalus vandens lygis ir t. t. Apskritai Sis desnis daLnai taikomas

sprendZiant problemas. susijusias su silpniausios grandies principu (grandine

nutruksta ten. kur yra silpniausia grandis).Pateiksime dar dviejq skirstiniq, ypad aktualiq matematineje statistikoje,

pavyzdZiq.Stjudento skirstinys. Jo tankis

Skirstinys priklauso nuo vieno parametrone N , kur[ vadiname laisv€s laipsniq skai-

diumi. Si skirstini trumpai Zymesime S(n).Pastebejg, kad p(-x) = p(x), tankio funk-

cijos grafikus pateikiame 63 paveiksle.Kai n : l, gauname KoSi skirstini kai

n + l/ ) \ - - i x 'I v - I -

n ) 6,1 t +:- | --> " , ir Stjudento skirs-

\ " )

tinys gana greitai arteja I standartin[ normalqj[skirstini N(0, l). Pateiksime labai svarbq mate-

matineje statistikoje teigin[ (o [rodymas pateik-

tas [1] knygoje.)Teorema. Jei nepriklausomieii atsitiktiniai dydiiai X, X, -.., Xn yra

pasiskirstq pagal standartini normal4ii dlsnf, tai atsitiktinio dydiio

!61 +. . + x l )n

skirstinys yra Stjudento skirstinys S(n), taigi T" - S(n.)

63 pav.

T,

, r € R .

, { n + l ) , + r| | - | / r \ - ^

\ 2 , l , l r * L I 2

\ z )

p(x) = P@,n) =

208

Pazymesime, kad

M . T , = 0 , D T r = 'n + 2

s u v i s a i s n > 2 .Fi5erio skirstinys. Jo tankis

r[ry)rfr]\ 2 ) 1 2 )

i l l , ( n + n )

x 2 ( n + m x ) 2 , x ) 0 ;

dia parametrai me N ir ne N vadina- p(x,m,mi skirstinio laisves laipsniais. Fi5erioskirstini trumpai Zymesime F(m, n).Tankio funkcijos grafikai patelkti 64paveiksle.

Fi5erio skirstinio reik5mg mate-matines statistikos tyrimuose apib0dinatoliau pateiktas teiginys. Jo [rodym4galima rasti [] knygoje.

Teorema. Tarkime, kad nepriHausomieji atsitiktiniai dydiiai X i - N(0,1) ,Yj - N (O,l);i =lm; j = l, r. Tada atsitiktinio dydzio

r $ , . ,* 4 " '

E ' - I = I^ n t , n

1 n

;2':skirstinys yra Fiierio skirstinys su m ir n laisvds laipsniais, taigi F,,., -- F ( m , n ) .

FiSerio skirstini turintis atsitiktinis dydis yra dvieiq nepriklausomqiqatsitiktiniq dydZiq, pasiskirsdiusiq pagal 12 desni santykis, o T,- F(1, n).

UZdaviniai

1. Ry5io linija nepriklausomai perduodami 4 praneSimai. Tikimybe, kadkiekvienas jq bus priimtas, lygi 0,8. Raskite:

a) priimtq pranesimq skaidiaus tikimybiq skirstin[;b) mod4 vidurk[ ir dispersijqc) tikimybes, kad bus priimti ne maZiau kaip trys prane5imai; bus priim_

tas nors vienas praneSimas.

p ( x ) = p ( x , m , n ) =a

n

64 pav.

l 0 , n = 1 0m = 1 0 , n = 4

209

2. Atsitiktinio dydZio X tikimybiq skirstinys yra binominis, jo MX = I ir)

DX = :. Raskite:a

a) X tikimybirl skirstini;b) mod4 ir medianq

c) P(X > Mx), P(X' >lvLYz).

3. Kelio ruoZe, kuriuo vaZiuoja automobilis, itaisyti 5 Sviesoforai' Kiek-

vienas jq su tikinlbe 0,5 praleidZia arba sulaiko automobil[. Raskite Svieso-

forq, praleidZiandiq automobili iki pirmojo sustojimo, skaidiaus tikimybiq

skirstini vidurki, mod4 ir dispersij4.

4. Brokas sudaro 5% gaminiq. Raskite brokuotq gaminiq, atsitiktinai

paimtq i5 6 gaminiq, skaidiaus tikimybiq skirstinl, vidurki, mod4 ir dispersijq.

5. Sistema sudaryta i5 penkiq A tipo elementt5 kuriq patikimumas 0,9, ir

penkiq B tipo elementq kuriq patikimumas 0,8. Sistema funkcionuoja, jei

funkcionuoja nors 9 nepriklausomai veikiantys elementai. Koks yra sistemos

patikimumas?

6. LoSejas meto monetE tol, kol atvirsta herbas, tadiau ne daugiau kaip r

kartq. Jei herbas atvirsta metus monet4 ,ttqti kart4 lo5ejas laimi 2k litq (f = I '

2, ..., n).Jei po n metimq herbas neatvirsta, lo5ejas pralaimi 2n litt1. Raskite

lo5ejo laimejimq skirstini ir viduting laimetq pinigq sum4.

7. Kiekvieno S[vio pataikymo tikimybe lygi p. Saudoma tol, kol

pataikoma du kartus. Raskite Slviq skaidiaus tikimybiq skirstini ir vidutin[

Sflviq skaidirl. Apskaidiuokite tikimybq P(X > MX) -

8. 15 deZes, kurioje yra2balti ir 3 juodi rutuliai, atsitiktinai traukiami 2

rutuliai.a) UZra5ykite iStrauktq baltq rutulirl skaidiaus tikimybiq skirstinl

(nagrinekite du atvejus: kai atranka 7ra grqLinamoji ir kai negr4Zinamoji).

b) Laikydami, kad atranka yra grqLinamoji, uZra5ykite eksperimentq,

atliktq iki tol, kol bus i$traukti du balti rutuliai, skaidiaus tikimybiq skirstini ir

apskaidiuokite vidutini tokiq eksperimentq skaidiq.

9. Binominis atsitiktinis dydis X - B(n, p) transformuojamas I dydi f

tokiu biidu: nenulines reik5m6s ir jrl tikimybes nekeidiamos, o kai X = 0,

atsitiktinai parenkama reikSme i5 likusiqjq tarp I ir n. Raskite dydzio Y

skirstini ir vidurk[.

2r0

10. Atsitiktinio dydZio X tikimybiq skirstinys yra Puasono skirstinys suparametru )" . Pagr[skite rekurendiqiq formulg

)P(X = k + t ; = - : : -Pq = k ' t , * - - 0 , l , 2 , . . .

k + l11. Gauta 1000 lempudiq siunta. Tikimybe, kad siundiama lempute suges,

lygi 0,002. UZrg5ykite siuntoje esandiq sugedusiq lempudiq skaidiaus skirstiniopirmuosius tris elementus. Apskaidiuokite:

a) tikimybg, kad siundiant suges 4 lemputes;b) tikimybg, kad siundiant nesuges ne viena lempute;c) tikimybg, kad siundiant suges nors viena lempute;d) vidutin[ sugedusiq lempudiq skaidi4 vidutini kvadratini nuokrypi.

12. Kas valandE mieste [vyksta vidutini5kai 2 automobiliq avarijos.Raskite per 4 valandas [vykusiq avarijtl skaidiaus tikimybiq skirstini ir vidutiniavarijq skaidiq. Kokia tikimybe, kad per 4 valandas lryks:

a) ne maZiau kaip 3 automobiliq avarijos;b) nors viena automobiliq avarija?

13. Radioaktyviojo elemento i5spinduliuotrl daleliq skaidius pasiskirstqs

pagal Puasono desn[ su vidutiniu intensyvumu l, = 1,5 s-l . Raskite per dvisekundes iSspinduliuotq daleliq skaidiaus skirstini vidurk[ ir dispersijE. Kokiatikimybe, kad per 2 sekundes i5spinduliuotq daleliq skaidius bus:

a) ne didesnis uZ du;b) intervale (1,4)?Apibr)dinkite laiko tarpo tarp dviejq gretimq daleliq i5spinduliavimo mo-

mentq tikimybiq skirstin[.

14. Spausdindama vienq teksto puslapi maSininke suklysta vidutini5kai 3kartus. Tekstas uZima 10 puslapiq. Raskite klaidrL esandiq Siame tekste,tikimybirl skirstini. Apskaidiuokite tikimybes, kad bus suklysta:

a) nors vienq kart4b) nors tris kartus.

15. Nepriklausomqjq atsitiktiniq dydZiq X ir Y tikimybiq skirstiniai yraPuasono skirstiniai su parametru 1". Raskite t-tosios eiles pusinvariandius

\ r ( X + Y ) i r y o ( X - Y ) , k > 1 .

16. Automobilis pateiktas techninei apZiDrai ir aptarnavimui. ApZilrintautomobil[ aptiktq gedimq skaidiaus skirstinys yra Puasono skirstinys su para-metru .1,. Neradus gedimq, automobilio techninis aptarnavimas trunka 2 val.

2t l

Aptikus vien4 arba du gedimus, kiekvienam j4 pa5alinti skiriama dar puse va-landos. Jei gedimq randama daugiau, automobilis siundiamas profilaktiniamremontui, trunkandiam 2 val. Raskite laiko ?', skirto apZiiirai ir remontui, tiki-mybiq skirstini ir vidutinp to laiko reik5mg.

17. Nepriklausomieji atsitiktiniai dydZiai X ir Y turi Siuos tikimybiqskirstinius: .

a) X-E(L) ,Y - t ( r r ) ;b ) x - r ( - l , l ) , Y- r ( - r , r ) .Raskite sumos X + )'skirstinius. I5tirkite, ar dydZiai X ir X2 yra priklau-

somi; ar j ie yra koreliuoti.

18. Sistemos ilgaamZi5kumo ?" tikimybes pasiskirstymo funkcija yra F.Sutrikimq intensyvumo funkcija

! r - p t t ln t t t d t 'l-t t\ - -:I_:_::_

t - F ( t ) l - r ( r ){rodykite, kad:

1 , , Ia) F(t)- I - exp] -

J nglaul;t 6 )

b) iei h(t) = ]' , tai Zskirstinys yra eksponentinis;

. . . _ . Icl iei h(t) =

1 _, tai Z skirstinys yra tolygusis intervale [0, 1];

d) jei h(t) = o;ta-t (a > 0) , tai ?'skirstinys yra veibulo skirstinys.

Raskite sutrikimq intensyvumo funkcija kai Z skirstinys yra Pareto skirs-

tinys, kurio tankis p(r) =ffi , r > O.

19. Atsitiktinis dydis X - N(-3, 2). Apskaidiuokite P(X > -l),

P ( -4< X < l ) , P ( l - { l >2 ) , P ( l X +31< 1 ) , kvan t i l i usx , ka i p =O,5 ;0 ,25 ;

0,05; 0,001, ir absoliutqj[ momente Ml X -MX | . UZra5ykite 3o taisyklg ir

pateikite geometring jos interpretacij4.

20. Nepriklausomqjq atsitiktiniq dydZiq {X*, k: 1,2,3} charakteristinesfunkcijos yra

| * 2 - ). f rQ)=exp l r /< t - ; , ' 1 .

)

2 1 2

Apskaidiuokite:a) M(2X, + X, +3Xr);

b) M(Xr - Xr+ Xr);c ) D(X, -2Xr+3Xr) ;

d) tvrQx? -a{r, * x6).Ar dydZiai X1, X2 ir X3 yra stabilDs sud€ties atLvrlgiu? DydZiui y = 3Xr +

+ X2 + X3 uZra5ykite 2o taisyklg.

21. Firmoje pagamintos detalds ilgis - normalusis atsitiktinis dydis x,kurio tankis

| -l X -24 612' 0,08

P\x)=---- - - - -7€0,242n

Jei pagamintos detales ilgis priklauso intervalui 124 cm,25 cmf,tai detaleatitinka techninius reikalavimus. Apskaidiuokite tikimybg, kad atsitiktinaipaimta detale atitinka techninius reikalavimus.

22. Detales mas€s nuokrypis nuo nominalo yra normalusis atsitiktinisdydis X, kurio vidurkis MX : 0. Kokia turi b[ti dispersija o2 , kad tikimybeP(a < X < 9) bDtq didZiausia (s > 0, p > 0) ?

23. Dvimadio vektoriaus (X, I) tankis yra:

, | | t ( t * + z t 2 ( y - " ' 2 \ la) p(x,!)=-;-7-expl-; l : f ]_ *+ l f . ( , ,r)e n' :

4 4 2 7 8 l z l z 4 ) )

b) p \x , r l = f " *p{ - !G ' -Ar*zy ' ) \ . (x ,y)e R2.' 4 n t z

Raskite:a) vienmadius tankius;b) vidurkius MX ir MI;c) koreliacing matric4 ir koreliacijos koeficientq;d) I tiesines regresijos X atZvilgiu lygt[.Kokius skirstinius apibfrdina Sie tankiai?

24. Elektron i nds aparatlros patikimumo funkc ij a

R(r) = p17 ) t) = s-o'tt + 0,1te-0'tt, t > 0,

ila T * aparatUros nesutrinkamo veikimo ffukmd.

213

Raskite:a ) P( I0 <T <20) ;

b) viduting veikimo trukmQ M7;

c) sutrikimq intensyvumo funkcij4 hOo=p#.

a

25. Dviejq atsitiktiniq dydZiq X1 ir X2 skirstiniq miSin[ apibDdinamepasiskirstymo funkcija

F (x ) = p tF , , ( x ) * pzF* , ( x ) , h+ pz =1 , p t> -0 , pz> 0 .

Raskite mi5inio vidurk[ ir dispersij4 kai pr = 1 i.'J

a) Xr - N(0, 1), Xz - N(0, 3);b) Xr - E(r), x2 - E(2).

26. Kubo briauna - atsitiktinis dydis X - T(0, l). Raskite kubo tDrioskirstini, vidutinit[ri, dispersij4 ir MX'.

10 H'ruiirEoREMos

Xr (r,r), X z(a),..., X, (trl), ...

seka ir atsitiktinis dydis X( ro ).I apibr€Zimas. Sakome, kad

tikimybg i dydiX, jei su kiekvienu el " \

l im P(ro : lX,(a) - Xto) l < s/ : L

;;;r",Zymesime x, --L x.Konvergavimq pagal tikimybE galime interpretuoti taip: labai tiketina

(tikimybe artima l), jog, esant pakankamai dideliam n, dydLiai Xnir X skiriasilabai maiai (maZiau uZ e ).

a

Siame skyriuje tirsime atsitiktinio vektoriaus (Xt X2,..., X,) funkcijU

B,(Xr Xz, . . . , X,) asimptotik4 kai n)*. Praktikoje ypad svarblstiesiniai modeliai, todel detaliau nagrinesime tiesiniq funkcijq gn ribinessavybes. {sitikinsime, kad Sios funkcijos ir jq skirstiniai, kai dydZiq

{X,, i = l, n} , tenkinantiq labai bendras s4lygas, skaidius n yra didelis,

maZai keidiasi, stabilizuojasi. Tai rei5kia, jog kiekvieno atsitiktinio dydZio

inaias I bendr4j4 didelio skaidiaus demenq sum4 yra nereik5mingas. Atsi-tiktiniq dydZiq funkcijq asimptotinis stabilumas labai svarbus praktikoje:funkcijq B,(Xr Xz, ..., X,) ir jos skirstinius galime aproksimuoti nesude-tingomis ribinemis reikSmemis.

Teoremos, kuriose sprendZiamos asimptotines problemos, vadinamosribinemis teoremomis. Ypad reik5mingos dviejq tipq ribines teoremos:

didZiqjq skaiiiq desnis, teigiantis, kad didelio skaidiaus atsitiktiniqdydZiq vidutinis rezultatas beveik praranda atsitiktinumo pob[di, tampastabilus;

centrinG ribin6 teorema, teigianti, kad didelio skaidiaus atsitiktiniqdydZiq sumos skirstinys artimas normaliajam.

Ribines teoremos grindZiamos atsitiktiniq dydZiq sekq konvergavimosqvokomis. Pateikiame svarbesnes i5 jq.

10.1. Atsit iktiniq dydZiq sekos

Tarkime, kad tikimybineje erdveje (A ,9, P) apibreZta atsitilainiq dydZiq

seka {Xn, n > l} konverguoja pagal> 0

2t5

2 apibr€Zimas. Sakome, kad seka {X,, n 2Il konverguoja beveik visur(su tikimybe, lygia l, beveik tikrai) i fudiX, jei

P(ol:X,(crr) -+ X(to))= t.

Trumpai Zymesime X, -J:---+ X.Konvergavim4 beveik visur ai5kiname taip: &(o) konverguoja I X(r,t)

visuose aibes f2 ta5kuose, itskyrus galbfit t4 jos poaibi kurio tikimybe lyginuliui.

3 apibr€Zimas. Tarkime, kad egzistuoja tllx2, ir MXz. Sakome, kad

seka {Xn, n > I} konverguoja i X pagal kvadratini vidurki, jei

Trumpai Zymesime l. i.m. X, = f,.

Priminsime pasiskirstymo funkcijq konvergavimo apibreZim4 Qr. 8.2skyrelf. Tarkime, kad {(x) =P(X, < x),n > I, ir F(x) = P(X < x).

4 apibr€Zimas. Sqkome, kad pasiskirstymo funkcij4 seka {F,(x), n>l\

silpnai konverguoja i pasiskirstymo funkctjq F, jei

lg1r, (x) = F(x)

kiekviename ribin€s (asimptotines) pasiskirstymofunkcijos F tolydumo ta|ke.Zymesime F,(x) = F(x). Kartais sakysime, jog seka {X,, n 2 I } silpnai

konverguoja i X ir ra5ysime X, + X.Pateikiame sekq konvergavimo rySio teiginius;

r I5 l. i. m. Xn = X i5plaukia, kad & --\ y.

. I5 X, --t-a y i5plaukia, kad F,("r) = F(-r).

. ISx, b' ) X i5plaukia,kad& --\ Y.

[rodysime pirm4jl teigini. Kitq dviejq irodym4 galima rasti [1] knygoje.A Prisiminq Ceby5ovo nelygybg

apskaidiuojame abiejq jos pusiq ribq:

tim vt(x, - xfl i m P ( l X , - X l . e ) > l - " ' - i

n ) @

Kadangi ,'*gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg*(",

-XY =0.tai ,lim

p(X,-xl < e)= | ir X,--t-1v.a

2t6

r i , , Pf l l ix- -1ir*- l . , l=,, - * l l nu , " n ,u .

\ r ( = r K = t | )

10.2. DidLiqjq skaidiq d6snis

Patirtis moko, kad, tikimybiq teoriiq taikant praktikoje, reikia vadovautistokiu principu:jei ivykio A tikimybe yra labai maZa, prakti5kai galime b[ti tik-ri, kad, atlikus eksperiment4 [vykis A ne[ryks. lrrykis A yra prakti5kai nega-limas. S4vokos ,,prakti5kai negalimas [vykis" ir ,,negalimasis ivykis,, Siek tiekskiriasi. Kiekvienas [vykls, turintis teigiam4 tikimybg, kad ir kokia maZa ji bI-tq gali [r,ykti. lvykis, prieSingas praktiSkai negalimam [vykiui, yra prakti5kaibiitinas.

Labai svarbu Zinoti sqlygas, kuriomis ivykiai yra maZai arba labai tike-tini. DidZiqjq skaidiq desnis ir apraSo desningumus, kurie su tikimybe, artima Iarba 0, rodo, kad ivyks lvykis, priklausantis nuo daugelio individualiai ne-reik5mingq atsitiktiniq veiksniq. Tarkime, kad, atlikg tyrimus, gauname tokiusatsitiktinius eksperimento arba stebejimo rezultatus: Xv Xz,..., X,. Kokias s4-lygas turi tenkinti Sie dydZiai, kad eksperimento bazeje gautos charakteristikosbiitq stabilios? Tokias ir panaSias problemas sprendZia didZiqjq skaidiq desnis.

Sakoma, jog tikimybiq teorijos pagrind4 sudaro trys banginiai: nepri-klausomumo sqvoka, pilnosios tikimybes formule ir didZiqjq skaidirt desnis,siejantis tikimybiq teorijq su praktika. Siame skyrelyje apib[dinsime burenttredi4jl bangini.

Sakykime, yra atsitiktiniq dydZiq Xr Xz, ..., X,, . .seka ir M& < - suvisais f t > l .

Apibr€Zimas. Sakome, kad atsitiktiniq dydii4 sekai galioja didiitljtlskaiiiq disnis, jei su kiekvienu e > 0

ApibreZimE ai5kiname taip: jei sekos nariq skaidius n didelis, taiprakti5kai esame tikri (tikimybe artima l), kad

I t n 1 n I

l l Lxo -1 )nnx , |<e ,l n - -

" n ? .

^ l| { = l K = l i

l n

t. y. atsitiktinis dydis ;2!o

maZai skiriasi nuo neatsitiktinio dydZio

1 n

-)fvfXo . Tai rei5kia, jog didelio skaidiaus atsitiktiniq dydZiq sumine reik5-n - -

me, i5reik5ta aritmetiniu vidurkiu lf * r, praranda atsitiktinumo pobiid[.n?.

K = l

2 1 1

2,r-:2,",1.,J='|'-Pf ll' + - l l n

10.2. DidZiqjq skaidirl d6snis

Patirtis moko, kad, tikimybiq teorijq taikant praktikoje, reikia vadovautistokiu principu: jei ivykio A tikimybe yra labai maza, praktiskai galime buti tik-ri, kad, atlikus eksperimenr4 [vykis A neiryks. lvykis A yra piaktiskai nega-limas. sEvokos ,,praktiskai negalimas [vykis" ir ,,negalimasis [vykis., siek tiekskiriasi. Kiekvienas ivykis, turintis teigiam4 tikimyb[, kaa ir to[ia maZa ji b[-tq gali lvykti. lyykis, priesingas praktiskai negalimam [vykiui, yra praktiskaibutinas.

Labai svarbu Zinoti s4lygas, kuriomis [vykiai yra maLai arba labai tike-tini. DidZiqiq skaidiq ddsnis ir apraSo desningumus, kurie su tikimybe, artima Iarba 0, rodo, kad ivyks ivykis, priklausantis nuo daugelio individualiai ne-reiksmingq atsitiktiniq veiksniq. Tarkime, kad, atlikE tyiimus, gauname tokiusatsitiktinius eksperimento arba stebejimo rezultatus: xr X2,..., x,. rokias rE-lygas turi tenkinti Sie dydZiai, kad eksperimento baz€je gautos chirakteristikosb0tq stabilios? Tokias ir panasias problemas sprendZii oiatq;q skaidiq desnis.

Sakoma, jog tikimybiq teorijos pagrindq sudaro trys banginiai: nepri_klausomumo s4voka, pilnosios tikimybes formule ir didii4iq suieiq desnis,siejantis tikimybiq teorij4 su praktika. Siame skyretyje apibridinsime bDtenttrediqjl bangini.

Sakykime, yra atsitiktiniq dydZiq Xr Xz, ..., Xn, ...seka ir MXo < - suvisais k > [ .

Apibr€Zimas. sakome, kad atsitiktinia dydiia sekai galioja didiitlitlskaiCi4 disnis, jei su kiekvienu e > O

ApibreZim4 ai5kiname taip: jei sekosprakti5kai esame tikri (tikimybe artima I ), kad

skaidius n didelis, tainanq

i2*,,,'",t. y. atsitikrinis dydis !2*r maZai skiriasi nuo neatsitiktinio dydZion 7 .

l)z'r

MXo . Tai rei5kia, jog didelio skaidiaus atsitiktiniri dydZiq sumine reiks-

me, i5reiksta aritmeriniu vidurkiu lf *r, praranda atsitiktinumo pobudi.n *"o

2 1 7

Atskiru atveju,= M X z - . . . - M X ^ -

l , ,hm p l l l l x ,, -* | ln?.

\ | x = r

kai atsitiktiniai dydLiai turi vienodus vidurkius MXr -

... - ftt, didZiqjq skaidiq desnis apibreZiamas taip:t \t l- m l < E l = 1 .t l

l n

l).X, --!-)m. 'n- -

Vadinasi, esant dideliam n, su didele tikimybe atsitiktin[ aritmetini vidur-i n

ki I tXr gal ime nor imai (pakla ida maZesnd uZ e ; aproksimuot i teor in iu' n f!-t

vidurkiu m, taigi labai tiketina, kad1 n

! ) y o = m .n - -

Pate iksime pavy zdy i I iustruoj anti didZiql rl skaidiq desn [.

I pavyzdys. Anot molekulines kinetines teorijos, dujas sudaro daugybe ne-tvarkingai judandiq molekuliq. Tirdami atskiry molekuliqjudejima negalesime pa-sabti, kokiu greidiu juda kiekviena molekule, kurioje vietoje ji bus tam tikru laikomomentu. Tadiau pagrindines dujtl charakteristikas (temperatiir4 sleg[ ir pan.) api-bldina ne atskirq molekuliq netvarkingas jud€jimas, bet didelio jq skaidiaus sumi-nis veiksmas. Sis bendrasis molekuliq poveikis (pavyzdZiui, slegis I plok5telg), bFdamas individualiai atsitikinis, yra stabilus (pastovus). Kai molekuliq skaidiusdidelis, ima reikStis didZiqjq skaidiq desnis: atsitiktiniq poveikiq suma )ra stabili.

Ie5kosime s4lygll, kuriomis atsit iktiniq dydZiq sekai X, ,X2,...,X,,...galioja didZiqlq skaidiq d€snis.

Nepriklausomqjq atsitiktinir{ dydZiq klaseje pakankamas didZiqjq skaidiqdesnio sqlygas apibfdino rusq matematikas P. Ceby5ovas (1887 m.).

I teorema (eeby5ovo teorema). Jei nepriklausomuj4 atsitiktini4 dydii4{Xt, k 2 I} dispersijos yra tolygiai aprditos, tai galioja didli4ia skaiiiy ddsnis.

A Egzistuoja tokia konstanta C, su kuria D& < C,kai k > l. Tada( r , \ r 4 C . n C

D l f t . X , l = l t D X , < ' , " : ' .1 , 7 = ,

" I n | - . r ^ n z n

Pasinaudojg Ceby5ovo nelygybe (2r.6.7 skyrelf, gauname:

( l r , t n I )pl l l ) x , -1) nnx, l . u l> r -l l n 7 .

" n 7 .

" I I

\ t t r = r K = t | )

sukiekvienu e >0.

*HlE 2

> l - cnE2

2r8

a -k17- a t K 0 r;

{ K

PI7

)t -

4kI;K

Kadangi r i * [ r - ! ' l= l , ta i, + @ \ n E _ )

ri,o ,[ l1y ", - ly *, | . ul= , a, ' * l l r f = r " n o . ! , " l )

I5 Sios teoremos jrodymo i5plaukia bendresnis didZitlrll(rlteruus.

Teiginys. Jei fitdZiai {Xu k 2 l} yra nepriklausomi,

skaidiq desnio

tai pakankamadid1iaja skaiii4 desnio sqlyga yra tokia:

t n

{lnx" -r o,n'7-s

k a i r - ) - .Dar bendresnis kriteriius vra

t n

,D> Xo-+0 ,f l r -r

ka i n -+ - .

Jis tinka ir priklausomqjrl atsitiktiniq dydZiq sekai.

2 pavyzdys. Sakykime, dydLiai {Xr,, k 2 2l yra nepriklausomi. o j.lskirstiniai tokie:

, k = 2 , 3 , . . .

Ar galioja Siai sekai didZiqjq skaidiq desnis?A Apskaidiuojame vidurk[ ir dispersij4

r l ( ) \ r lM x k = - t o i + o I t - ; l . t o t = 0 ,

DXk =Mx? = r, l+o (,t-;.J. o i=,Kadangi dispersijos tolygiai apreZtos (pavyzdliui, konstanta C = 2), tai

galioja didZiqlq skaidiq desnis ir su kiekvienu r t 0 P[11i"-l. r] + l, kailv1,

"t )

n - ) * . LToliau nagrinesime nepriklausomqjq ir vienodai pasiskirsdiusiq dydZiq

sekq. DidZirdq skaidiq desn[ Siai schemai 1923 metais pagrinde A. Chindinas.

2t9

2 teorema (Chindino teorema). Jei nepriklausomieji atsitiktiniai dydiiaiyra pasiskirstq vienodai ir turi baigtinius vidurkius M& = m, k > l, taigalioja didZi4jaskaiii7desnis; su kiekvienu e > 0

ka i n - -> * .

A paimeki me: y, = !2* r - ^ = lfA r - *). pagr[skime teore-nT- ' nf,=r

mos teigini [rodydami, kad Y^--\g .


.fy,(t) = Me'Y" = ftr r -,[ t l" \ n )

Kadangi centruotojo atsitiktinio dydZio Xt - m vidurkis egzistuoja irM(& - m) = 0, tai nulinio ta5ko aplinkoje charakteristine funkcija

fx r -,(t)= t * 4*2 i t + o(t)= t + o(r);

dia liekamasis natys o(t) -+ 0 greidiau negu r -> 0 .

Dabar

Kadangi , { L)-o . ka i r -+ - , ta i\ n )

f y , ( t )=Me 'Y / - - seo =1 .

Pastebedami, jog nulyje iSsigimusio skirstinio charakteristine funkcija

lygi 1, gauname'. Yn---z--+0.

3 pavyzdys. Sakykime, stabiliomis sqlygomis nkartqmatuojame dydi a.Kiekvienos matavimo serijos rezultatus galime laikyti nepriklausomaisiaisatsitiktiniais dydZiais Xr, Xz, ..., X,. Jei matavimai neturi sisteminiq paklaidqt. y. jei MXr - MX2 = ... = MX, = m, ir tq matavimrl daug, tai i5 Chindinoteoremos iSplaukia, jog yra labai tiketina, kad

- _ X r + X r + . . . + X n

fv,(t) =[ ' . {;)) '

= " '{ ' .{;)J - "*(:)

220

Viena pirmqiq tikimybiq teorijos ribiniq teoremq yra J. Bernulio didZiqiqskaidiq desnis (1713 m.). Jis sieja empirinius santykinius daZnius su teorindmistikimybemis, patikslina statistini tikimybes apibreZim4. Bernulio teorema yraatskiras Chindino teoremos atvejis.

3 teorema (Bernulio teorema). Su kiekvienu t > 0

iia kn - ivykio A pasirodymq, atlikus n Bernulio eksperiment4 skaiiius, p -

ivykio A tikimybe kiekviename eksperimente.

L Zinome,kad k,=f*, ir {X1, j = t,n} yra nepriklausomieji atsi-i = l

t iktiniai dydZiai su skirstiniais P(X, =1)= p, P(X j =0)=l-p. Kadangi vi-

durkis MX, =l.p+ 0 (l-p) = p yra baigtinis, tai i5 Chindino teoremos i5-

k ^plaukia, kad

"n Y > p, kai n --+ * . n

I5 Bernulio didZiqiq skaidiq desnio gauname svarbiq iSvad4: kai ne-priklausomqlq eksperimentq skaidius didelis, [vykio A pasirodymo santykinis

kdaZnis I{,(l)="' stabilizuojasi ir maLai skiriasi nuo teorinds tikimybes

P(A) = p , taigi "' = p. Statistiniame tikimybes apibreZime santykiniq daZniqn

stabilumo sqvok4 reikia suprasti Sio desnio prasme. Statistikoje skaitindscharakteristikos skaidiuojamos remiantis santykiniais daZniais, o tikimybiqteorijoje - teorinemis tikimybemis. Bemulio teorema - tiltas, siejantis tikimy-biq teorij4 su statistika.

Dar paZymesime, jog Bernulio teorema neteigia, kad lvykio santykinisk

daZnis z nepriklausomqiq eksperimentq schemoje konverguoja I tikimybq p.

f qos m.?. Borelis (Borel) irode, kad

( t \P l z - + p l : 1 ,

t n l

t. y. *U

O. Sis konuergavimo beveik visur variantas vadinamas

stipriuoju didZiqjq skaiiiq d€sniu. Yra ir Chindino teoremos sustiprintasisanalogas - stiprusis didziqjq skaidiq ddsnis. Apie tai skaitykite [] knygoje.

- 1 .F -S:,l n I

lim

22r

10.3. Gentrind ribin6 teorema

DidZiqiq skaidiq desnis,apibudina atsitiktiniq dydZiq {Xr, k 2 1} tiesines

funkcijos gn(Xt,..., X,) =:(Xt +...+ Xn) konvergavim4 pagal t ikimybE i

pastovias teorines 5iq dydZi4 charakteristikas (vidurki tikimybg), bet netiriatiesines funkcijos skirstirirl asimptotikos. Dabar nagrinesime atsitiktinirf dydZiqsekos {X1,ft > l} dalines sumos S, =Xr*Xz+...+X, silpnqj[konvergavimq(konvergavimq pagal skirstinius), kai egzistuoja baigtines dydZirt dispersijosDXk * 0 , k> l .

Apibr€Zimas. Sakome, kad atsitiktini4 dydii4 sekai galioja centriniribini teorema, jei centruot4 ir normuoty sumq

; .s" -M.s.. \ = -"n

Jrvs kirstini4 s eka, kai n -) @, konver guoj a i s t andartini normal4j i skirstini.

Pasiskirstymo funkcijq terminais tai rei5kia, jog su bet kuriuo realiuoju x

^s' - Ms' . "l= <D(x) = li;i *.. /DS, ) JZn'*

Teorem4 vadiname cenhine, nes ribinis skirstinys yra normalusis - cen-trinis tikimybiq teorijoje ir statistikoje. Praktikoje pasitaiko daug dydZiq, kuriqskirstiniai yra normalieji arba jiems artimi. Net ir nenormaliqiq dydZiq sumos,kai demenq skaidius didelis ir kiekvieno [na3as I sum4 yra palyginti maLas,skirstinys yra artimas normaliaj am.

Detaliau tirsime paprasdiausi4 atveji, kai dydLiai yra nepriklausomi irpasiskirstg vienodai.

Sakykime, lXr, k 2 1) yra nepriklausomieji ir vienodai pasiskirstg dy-

dZiai su vidurkiais M& = n ir dispersijomis DX1 = 62 * 0. Tada sumos vi-

durkis ir dispersija yra: MS, = nm.DSn = no2 .1 teorema. Jei nepriklausomieji atsitiktiniai dydiiai {Xr,, k 2 L} yra pasi-

skirstqvienodai ir turi baigtines dispersijas o2 +0, tai sumos S, =S'-!' ,6 ln

pasiskirstymo funkcija P(S, < x) + O(x) , kai n -+ * .

A Teorem4 [rodysime charakteristiniq funkcijq metodu.1 n

Suma S, uZra5ykime taip: S-, :---\(Xt -*).Jos charakteristineo.lrEt

funkciia

222

-tg,(t) =Me"Sl = fl ^ -,,( +).\ o l n )

nes dydZiai Xr - m yra nepriklausomi ir pasiskirstg vienodai.Egzistuoja atsitiktinio dydzio X* - m vidurkis ir dispersija, be ro,

M(Xr-m)=0, D(Xr-m)=o2. Tuomet charakter is t ine funkci ja - f x ._^( t )yra diferencijuojama du'kartus ir ta5ko r = 0 aplinkoje

fx , - , ( t )=t*M(x: , -^) i , *M(x\ , * ) ' ( i t f +o1t21=l t 2 !

. o 2 t 2 ) .= t _ ^ _ + o \ t - ) .z

Dabar

, ," f t-4*,f d ) l\ 2 , l , l ) _

nes ln(l + z) - z, kai z -+ 0.

Kadangi su kiekvienu baigtiniu I

{rodeme, kad centruotos ir normuotos sumos s- ribine charakteristine

I t

funkcija lygi standartinio normaliojo skirstinio charakteristinei funkcijai e t.

I5 dia iSplaukia (ir. 8.2 skyrelf. kad p(S-, < x) + O(x). Pateiksime Sios teoremos iSvadq - Muavro ir Laplaso teorem4 ( I g I 2 m.).Prisiminq Bernulio eksperimentq schem4 apskaidiuokime tikimybg

b

P ( a < k , < Q = l C i O i r ' - i ,i = q

kai eksperimentq skaidius n didelis. Mes jau nagrinejome skirstinirlP(kn = D=Cl, pr q ' - j ( j = l ,n) as imptot ik4 kai n-)6 i r p -+0. Gavomebinominio skirstinio aproksimacijq puasono skirstiniu (Lr.9.2 skyrelio poskyr[,,Retqjq ivykiq desnis").

( t ) r ' r \ \ '

f t ( t ) = l I - g { * d L l l = "\ 2 o " n l , ) )

( , ' / r t l )n t - - + o t - t t| 2 , l r l l

- o \ . \ t )

n^, f t ' l : o , ,u 'n - @

\ n )

- ' ' = * t n , o ( l I , '

, l g g f t , ( t ) = e ' ' - - \ n ) = e - t

223

2 teorema (Muavro ir Laplaso teorema). Jei 0 < p < 1, tai

( , \pl tu=<x l+o( . t ) ,\ lnpq )

k a i n - + * .n a r

\ Kadanqi t*- \-{ .,rt MX {- A . o DX .,: pq(:\tai

i( centrines

ribines teoremos (1 teorema) i5plaukia Muawo ir Laplaso teoremos teiginys. Tikimybe

P(a3k,.u1=*(ry<b=.ry)lrlnf+ ,lnPq lnPq )

Todel i5 Muavro ir Laplaso teoremos gauname:

( , \ / \P(a < k,< 6) = ol "#

l- ol # l .\ , Inru ) \ , t 'Pq )

kai n didelis.

5i binominio skirstinio aproksimacija normaliuoju skirstiniu praktikoje

taikoma tada, kai tikimybe P(A) = p nera artima nuliui arba vienetui

/ r \I idealu, uai n =;1.

\ /

L pavyzdys. 607o hrmos produkcijos yra pirmosios rt5ies gaminiai.

Kokia tikimybe, kad i5 500 atsitiktinai atrinktq gaminirl bus ne maZiau kaip

290 ir ne daugiau 330 pirmosios rilSies?IA eia n = 500 yra pakankamai didelis, o p . 0,6 - nemaZa, todel

p(ze! <* < 330) = .f :ro - soo ' o'o l- .f ryl =[ . / soo '0 ,6 '0 ,4 ,J l Jsoo '0 .6 '0 .4 J

= a(2,74) - o(-0,915) = 0,8168.

PaZymesime, jog tiksliq tikimYbes

330

P(2g0 s k, <330) = ) c;oo o,e t g,4soo-ij =290

reikSmg apskaidiuoti sunku. Jeigu dydZiai {Xk, k > I } pasiskirstQ nevienodai, taikoma bendresne -

Liapunovo - teorema (1909 m.).

224

Tarkime, kad dydZiai [Xk, k >_ I]

egzistuoja trediosios eiles absoliutusis

me Liapunovo trupmen4:g ' , 1

LMlxo-yr1xol"t - k - 1 a..'-_-______--l-.

yra nepriklausomi ir su visais k > I

momentas MlXo - rvx ol' . Pazymeki-

[u ""-]'3 teorema (Liapunovo teorema). Jei Ln -+ 0, kai n --s * , tai

f s -N,r.s lVtl :z$z < x l= O(.r),

I t/os' )k a i n - + * .

5i teorema yra [rodyta Il] knygoje.I5 Liapunovo teoremos iSplaukia toks teiginys: jei nepriklausomieji

dydZiai yra tolygiai aprehi, t. y. jei su visais k >l lX kl< C , taijiems galioja

centrind ribind teorema.Pagr[skite 5[ teigini, atsiZvelgdami i tai, kad L, -+ 0, kai n -> * .Pateiksime kelet4 taikomojo pobDdZio uZdaviniq kuriq sprendimas

grindZiamas centrine ribine teorema. Pagal 5i4 teorem4 pakankamai didelioskaidiaus atsitiktiniq dydZiq sumos pasiskirstymo funkcijq esant labaibendroms s4lygoms (egzistuoja dispersija, Liapunovo trupmena L, -+0),

galima aproksimuoti normali4ja ir ra5yti

t'+l-.['-*..1l, ./os, I [ Jor, )

Normalusis skirstinys yra paprastas ir gerai i5tirtas; jis priklauso tik nuodviejq parametrq: vidurkio bei dispersijos.

2 pavyzdys. (Matavimo paklaidos.) Sakykime, a - tikrasis dydZio matas(ilgis, mase, temperatiira ir t. t.). lei X yra matavimo rezultatas, tai Y = X - ayra atsitiktine matavimo paklaida, kuri4 galime i3reikSti dviejq paklaidq suma:

Y = ( X - M D + ( M X - a ) .

Dydis X - MX yra taip pat atsitiktine paklaida, o skaidius MX - a -sistemine paklaida. Jei prietaisai ir matavimo metodai geri, sisteminiq paklaidqnebiina arba jq itaka matavimo tikslumui labai maZa. Tuomet atsitiktinespaklaidos vidurkis MI/ = 0. Dispersij4 DY = DX paimekime o2. Tarkime,

225

kad matavimo paklaidq sudaro didelio skaidiaus nepriklausomqiq atsitiktiniqveiksniq, kuriq kiekvienas atskirai sukuria tlk malq neZinom4 elementariqi4paklaid4 suma. Nors atskirq demenq skirstiniai ir neZinomi, centrind ribineteorema teigia, kad sumos (matavimo paklaidos) skirstinys yra artimasnormaliajam, t. y.

/ r , \

P l u - o . r

] - o r r Lt o l

Si fundamentalq paklaidq teorijos teigin[ pagrinde vokiediq matematikasK. F. Gausas (Gauss), todel normalusis skirstinys daZnai vadinamas Gausoskirstiniu.

Tokie samprotavimai tinka bet kokiam atsitiktiniam dydZiui, jei jis yradidelio skaidiaus nereik5mingq ir nepriklausomrl atsitiktiniq nuokrypiq nuovidurkio suma. PavyzdZiui, vienokie ar kitokie Zmogaus (ir ne tik jo) fizinio irpsichinio i5sivystymo skaitiniai rodikliai, gamybos produktq nuokrypiai nuonominalo, dauguma socialiniq ir ekonominiq rodikliq yra Sios rii5iesatsitiktiniai dy dliai.

3 pavyzdys. Tikrinant imones produkcij4 atsitiktinai atrinkta 900 gami-niq. Nustatyta, kad vidutind gaminio mase yra 1,2 g didesne uZ reklamuojam4.Ar galima 3[ nuokrypi paai5kinti atsitiktinumu, jei gaminio standartas lygus8 g ?

A Tarkime, kad X1 - ktojo gaminio mase. Tada

3D L X o : 9 0 0 ' 6 4 = 5 7 6 0 0

k= l

ir

( ' 299 . )= I -P l - . 1 , ( x , -MX t )<+ ,s l= | - o (4 .s )= 0 .000003 .| 2 4 0 = ' I\ " - r . /

Kadangi 5i tikimybe yra labai maZa, tai toki nuokryp[ nuo vidurkionegalime paaiSkinti atsitiktinumu. A

4 pavyzdys. Kompiuteris generuoja atsitiktines dvejetaines sekas taip.kad Zenklq 0 ir I tikimybes kiekvienoje pozicijoje yra vienodos ir nepriklausonuo kitq pozicijq. Zenklq seka skaidoma grupemis, sudarytomis i5 vienodqZenkl4 pavyzdliui, 11, 000, 111, 0000. Apskaidiuokime vidutin[ grupes

Zenklq skaidiq Xn, dalydami sekos Zenkhl skaidiq i5 grupiq skaidiaus.

Aproksimuosime dydi X, ,kai grupiq skaidius n didelis.

{#;,"k -Nr.tr,,) ' r,2) = -[*pn k -MX k)' 0,,) =

226

A Tarkime, kad Xe - /c-tosios grupes Zenklq skaidius. sie atsitiktiniaidydziai yra nepriklausomi ir pasiskirstg pagal geometrinl desn[ su parametru

I / t \p=; , ta ig i Xo -Gl

; I su v isa is k=1,n. Apskaid iuojame v idurk i i r d isper-z \ 2 )s i ia :

a

MXk: !=2 , nx , J1=2p * p '

7 n

Kadang i X , = ' LX o , ta i MX- , =2 i r DF,n4*

{domu tai, kad DX, -+ 0, kai n -) @. pakomentuokite.

I5 Chindino didZiqiq skaidiq desnio i5plaukia, kad su kiekvienu e > 0

* ( t - , - 2 l c e ) + 1 ,

kai n -+ - .vadinasi, kai grupiq yra daug, labai tiketina, kad vidutinis grupes simbo-

liq skaidius 7n =2.

centrine ribind teorema pagrindLia tok[ teiginf: kai grupiq skaidiusdidelis, X, skirstin[ galima aproksimuoti normariuoju skirsiiniu. Tada,remdamiesi trijq sigmq taisykle, galime tvirtinti, kad aproksimacijos paklaida

t - , 6lx , -2 lS 3. , / : .

l n

Kaip generuojamos atsitiktines sekos ir kokie yra iq taikymo praktikojemotyvai, pladiau nagrindsime kitame skyrelyje.

2n

Apibndinsime statistiniq eksperimentq metod4 vadinam4 Monte Karlometodu. Teorinis jo pagrindas yra didZiqiq skaidiq desnis ir centrine ribindteorema.

Monte Karlo metodas - tai uZdaviniq sprendimo vartojant atsitiktiniusarba pseudoatsitiktinius skaidius biidas. Kompiuteriu modeliuojami atsitiktiniaidydliai ir apytiksliai skaidiuojami tikrqiq reiksmiq iverdiai. Sio metodo esmggalime nusakyti taip. Noredami apskaidiuoti dydZio a reikSmg, i5 pradZiqparenkame atsitiktin[ dyd[ X ir toki4 tunkcijq / su kuria dydZio y = flDvidurkis b[tq lygus ie5komajam a, t. y. My = MflD = a. paskui generuojamedydZio X n reik5miq Xr, Xz, ..., Xn ir skaidiuojame empirini vidurki f, =

10.4. Monte Karlo metodas

Yr = - f (X t ) i r M[ = a su v isa is k =1,n= 1 $ ,n?. ^

227

I5 Chindino teoremos

P(f, - al< e) -+ 1,

kai r -+ - , i5plaukia, jog, esant dideliam eksperimentq skaidiui n, labai

tiketina, kad ieSkomasis dydisl n

o = y . = f ) . r , .' ' n i1

'

I pavyzdys. Monte Karlo metodu apytiksliai apskaidiuokime integraloI

r = J I G ) m0

reik5mq.A Imame atsitiktini dydi X - i"(0, 1). Jo tankis p(x) = l, kai xe [0,1].

Tuomet- l

Mf (x)= [f <irt, ta* = ttoa*.

r = M f ( ;

0

Sioje formuleje teorini vidurki pakeitq jo [verdiu (aritmetiniu vidurkiu),gauname apytiksle integralo reiksmq:

1 n

1- = : t r ( x , \ :, ' n , u , " '

" "

Eia Xo - f (0,1). Jeigu, palyzdZiui, norime apskaidiuoti integral4

€ ) *t o

I = ),,1:- 4* (c > 0, l, > 0),J X

tai imame

'O(*)=)"e-b

,kai ;r > 0 (eksponentinis skirstinys), o

f o , k a i x < " ,I

f ( x ) = i tl - . k a i x > c .l x -

Tadal n

r = M " f ( x \ = ! 2 f t x o l .' nT=r

kai Xe - E()").

228

Lieka atsakyti i du klausimus:

1) kaip lvertinti paklaid4 lt, - "1,

2) kaip generuoti atsitiktinius dydZius X o, k =li ?Trumpai apra5ysine atsakymo ijuos paie5kos metodus.l) Paklaidq

lV" - "l [vertinsime pasinaudodami centrine ribine teorema.

Kai n pakankamai didelis, atsitiktinio dyd2io f^ =ll]o skirsrinys yran7t

"

artimas normaliajam (ei dispersija DY1, < *), be to, Mn = a, Dyn= { t,n

galime taikyti sigmq taisyklg (pavyzdLili, trijq sigmq taisyklg):

Plly, - ol<sa l= o,eoz.t ' ' J n l

Taigi labai t iket ina. f<aa lr , - d=l i .4 n

Prakti5kai standartas o b0na neZinomas, tod€l imame statistinl jo [vert[

PaZymesime, kad absoliudioji paklaida y^ + eiles dydis eksperimentq\ ln

skaidiaus atZvilgiu. Be to, ji priklauso nuo eksperimento reik5mi\ {yt ,t =l,n\ tikslumo (stabilumo) - dispersdos DY1,= 62 .

2) 15 pradLiq apibtdinsime bazinirl atsitiktiniq dydZirl s4vokq ir jqgeneravimo proced[rq.

Nagrinekime eksperiment4 su simetri5ka moneta. paZymekime:

f l, kai fr-ruoju metimu atvirsta herbas,4 , . : 1"

10. kai ft-tuoju metimu atvirsta skaidius.

Jei eksperimentas kartojamas stabiliomis s4lygomis, dydiiai Xt, X2, ..., Xnyra nepriklausomi ir pasiskirstg vienodai. Kadangi X1, gali igyti tik dvi reik5-mes: 0 arba l, tai suma

n

5, =\Z_k Xok=1

yra dvejetaine trupmena, kurios atsitiktiniai skaitmenys X1, Xz, ..., Xu. Si sumagali igyti 2' vienodai galimq skirtingq reik5miq, priklausandiq atkarpai [0, l].

229

Todel, kai n reik5mds dideles,nio dydZio X - r(O, L).

Apibr€Zimas. Ats il ikt ini

dydiiu (b. a. d.).Priminsime, kad jo tafkis

f l . k a i x e [ 0 . l ] ,Pa\x ) =

lo. r.ui xe [0. t ] .o pasiskirstymo funkcija

l 0 , k a i x < 0 ,I

Fo(x) = l r ,

kai xe [0,1],

[ , k a i r > 1 .

atsitiktinis dydis S, maZai skiriasi nuo atsitikti-

dydi a - f(0,l) vadiname bq.ziniu stsiliktiniu

Atsitiktiniais skaiiiais vadinsime bazinio atsitiktinio dydZio cr reik5mes

a1,c12, . . . ,Q, . V isos jos yra atkarpoje [0, 1] .

Tiksliai generuoti atsitiktinio dydZio u reik5mes (atsitiktinius skaidius)

praktikoje ne[manoma. Vienq ap1'tiksli Siq skaidiq generavimo metod4 apibl-

dinome atsitiktines dvejetaines trupmenos S, algoritmu. Paimesime, jog yra

sudarytos 5iq skaidiq lenteles (Zr. 5 priedq). Lenteliq naudojimas reikalauja

dideles kompiuterio atminties, todel yra neracionalus. Kitas atsitiktinirl skaidiqgeneravimo b[das - specialiq fiziniq davikliq naudojimas (pavyzdLiui, signahl

fliuktuacijos eleklroniniuose [renginiuose). Taikant 5i metod4 nereikia dideles

kompiuterio atminties, tadiau sunku i5laikyti skaidiq generavimo stabilumq.

Siuo metu daZniausiai vartojami pseudoatsitiktiniai skaiiiai. Jie gaunami

ne atsitiktiniu, bet determinuotu rekurendiuoju b[du. Pseudoatsitiktiniq skaidiq

savybds sutampa su atsitiktiniq skaidiq t. y. b. a. d. a reik5miq savybemis. Vie-

nas sio metodo trflkumq - cikliskumas (po tam tikro numerio skaidiai kartojasi).Atsitiktinius skaidius galima generuoti naudojant Pascal procedtirE

RANDOMMIZE tr tunkcijq RANDOM(n), EXCEL funkcijas RAND bei

RANDBETWEEN, MATCHAD funkcijas RUNIF(n, a,b)it RE)P (n, l.) ir t. t.

B. a. d. cr reik5miq visuma - atsit iktiniai skaidiai a1,a2,...,a, arba

pseudoatsitiktiniai skaidiai - yra Monte Karlo metodo taikymo pagrindas. Kitq

(nebaziniq) atsitiktiniq dydZiq reik5mes generuojamos reik5memis { crp '

k =1," | . Kaip ta i a t l iekama?

Tarkime, kad atsitiktinio dydZio X pasiskirstymo funkcija F yra tolydi.

Teorema. Atsitiktinis dydis a = F(X) pasiskirstqs atkarpoje [0, l)

tolygiai, taigi u yra bazinis atsitiktinis dydis.

F , ( " ) = P ( o < x ) = P ( r ( x ) < x ) = P ( x < r - ' ( t ) ) = F ( F - t ( x ) ) = x

su visais xe [0, 1]. Taigi cr-7(0,1), o tai rei5kia, kad F(X) yra bazinis

atsitiktinis dydis.

230

vadinasi, tolydziojo dydZio X reiksmes galime apskaidiuoti pagalalgoritmq

x =,r'- '(a).

Sis atsitiktiniq skaidiq generavimo algoritmas vadinamas atvirkitindsfunkcijos metodu.

Tarkime, kad cr,t yra atsitiktinis skaidius. Tada, sprgsdami lygti

,F(x,) = cr1, gaurame tolydZiojo atsitiktinio dydZio X reik5mg rr = F-r(crr).Pakartojp 5i algoritmq n kartt4 generuojame atsitiktinio dydZio X reiksmes x1,x2, ..., xn.Fakti5kai ta proced[ra yra atsitiktinio dydZio X kvantiliq ieskojimas.

2 pavyzdys. Atsitiktinis dydis X pasiskirstgs pagal Veibulo desni:

f ( x ) = l - e - " ( Y > 0 ) , k a i x > 0 .

Kaip modeliuoti dydi X?A Jo reik5mes generuojame atvirk5tines funkciios metodu:

l - e - ' I = a k , k = 1 , 2 , . . .

I5sprendg lygtl, gauname atsitiktinio dydZio X reik5mes:

x , = ( - l n ( l - *o ) ) i , k = r ,2 , . . .

DydZiq I - cx ir a, skirstiniai yra vienodi (pagriskite!), todel xu =

I= 1- ln cre )v

3 pavyzdys. (Normaliojo atsitiktinio dydZiodydis X - N(0, l). Kaip jI modeliuoti?

A Jo reik5mes galime generuoti atvirk5tindsmi lygtis <D(xo ) = o(r , t. y.

modeliavimas. ) Atsitiktinis

funkcijos metodu, sprgsda-

- . 2r

^ L - t

- + l " 2 d y = a * . k : 1 . 2 . . . .I zn:_

Atvirk3tines funkcijos o-' reiksmes imame is lentelirl. Realizuoti taikompiuteriu nepatogu, nes lentelg reikia [rasyti I kompiuterio atminti.Praktikoj e naudoj ami kiti, racionalesni, al goritmai.

A) Sud6ties metodas siejamas su centrinds ribines teoremos teiginiais.

prisiminkime, kad Mq, =1, oo =1. ,udu is centrines ribinds teoremos is-2 1 2

plaukia, jog centruotos ir normuotos sumos

231

skirstinys, kai n-+ -, konverguoja i standartin[ normalqii skirstin[. Kan n == 12, prakti5kai gauname pakankamai ger4 normaliojo atsitiktinio dydZio aprok-simacij4 b. a. dydZiais. Taigi galime taikyti toki4 standartinio normaliojodydZio reikSmes x generavimo formulE:

t 2srx = L a k

_ o .k=1

B) Galima isitikinti (Zr. [10]), kad atsitiktiniai dydZiai

X, =,1 - 2lnAcos 2ns ir X, = J-2lnc,,sinZna

yra nepriklausomi ir pasiskirstE pagal standartin[ normah$[ desni. Imdami b. a. d.a reik5mq cr1 , g?un?lne dvi normaliojo atsitiktinio dydZio X reik5mes x1 ir

x z . LNestandartinio normaliojo dydZio Y - N(m,o) reik5mes generuoja

tiesine funkcija

Y = oX + rz, kurios X - N(0, l).

Dabar apibldinsime diskrediojo atsitiktinio dydZio X su skirstiniu

P(X = x*\ = p* 1t = t, n) modeliavimo algoritm4. Sio dydZio pasiskirstymo

funkcija F yra laiptuota ir tniki, todel atvirkStine funkcija arba neegzistuoja,arbayra nevienareik5me. Vadinasi, atvirkStines funkcijos metodas reik5mems

\(k> l) generuoti netinka.

Zinome, kad tikimybe pr, :P(xt . X < *r,*r) = F(xr*r) - F(xr) yra ly-

gi funkcijos F Suolio reikSmei ta5ke x1. Pasiskirstymo funkcijos F reik5miqaibq - atkarp4 [0, l] - suskaidykime i n nesusikertandiq intervalq:

A r = [ 0 , p r ) , L z = l h , A + p 2 1 , . . . ,

t k - t * I ( n - t IA , = l t r , . ) , I n = l T " r l^ | ? ' , 4 ' t 1 " " ' " n - l

L r , " l 'l , = l i = t J \ , = t J

lntervalo A1 i lg is lygus po f t = l .n)

Diskrediojo atsitiktinio dydZio X reikSmiq x generavimo algoritmas galibiit i toks:

l ) a tkarpq [0. l ] padal i jame Inesusiker tandius in tervalus to. k = l ,n:

2) kompiuteriu (arba i5 lenteliq) generuojame b. a. d. cr reik5mE cr1 ;

3 )nus ta tome , I ku r [ i 5 i n te rva lq Lk U= l ,n ; pa tenka a , ' .

232

Jei cr, e Ar , tai atsitiktinis dydis X igyja reikSmg ro. Tikrai, nespt + . . .+ p*

P ( a , e A o ; = J n " t * \ a t = ( p t + . . . + p t ) - ( p r + . . . + p 1 , - ) = p *Pr r . . . + p r ' � t

su v isa is k =1,n.

Toliau kartodami algoritmo antrqig ir trediqjq procedur4 gauname norim4skaidiq atsitiktinio dydZio X reikSmiq.

Pana5iai modeliuojame ir pilnqj4 atsitiktiniq ivykiq 41, ..., A, grupQ.Atsitiktiniq dydZiq (ir ne tik jq) modeliavimo algoritmai apra5yti [0] knygoje.Kompiuterine algoritmq realizacija (18 skirstiniq) pateikta [4] knygoje, o jospraktines galimybes apibiidintos [2] knygoje.

Baigdami 5[ skyriq, pastebesime, kad tikimybiq teorija tiria ir netiesiniqfunkcijq g,(X r ..., X) asimptotikq. DaZni teoriniai ir praktiniai modeliai yra

Z n = max(X 1, X 2, . . . , X, ) ,

14, = min(X t, X 2, ..., X r),M, = X1X2. . .X n.

4 pavyzdys. Tarkime, kad X1 - E(tr) tk = l,n) - nepriklausomieji atsi-

t iktiniai dydZiai. Imkime Z, =max(Xy,X2,...,Xn) ir normalizuot4 maksi-

= Z . - a .mumq Z, ar€ R,b,e R*. Parinkdami tinkamas konstantas an ir

Dn

b,, i5tirkime normalizuotq maksimumq asimptotikq.lnn I

A Imdami o , = - - . , bn = : , gauname:

I5 dia

P(2, < x)+ s-"-' (xe R), kai n --> - .

Matome, kad ribinis skirstinys yra ne normalusis, bet dvigubaseksponentinis . Kai n didelis, atsitiktinl dyd1Z" apytiksliai galime i5reik5ti taip:

- x + l n nL r = - * A n i

6rraXo-atsit i l inis dydis, kurio pasiskirstymo funkcija P(Xo < x): ="-e-' .

UZraSyt4 apytiksli algoritm4 galime taikyti modeliuodami dideliokomponendirl skaidiaus maksimum4. DydZio Xo reik5mes lengvai generuojameatvirkStines funkcijos metodu: Xo = - ln(- ln cr) . A,

p(2, <") = [, - " tq*)J' =l -+)'

233

UZdaviniai

l. Nepriklausomqjq atsitiktiniq dydZiq seka {Xo, k)l} apib[dinama

Siais skirstiniais:

a)

b) p r , ( x )= ) ' e - * , x )0 ;

Ic ) P - ( x ) = - . x € R .

n / l + x t \

Ar galioja Siais atvejais didZiqjq skaidiq desnis? Jei galioja, uZra5ykite ji.

2. Nepriklausomqiq atsitiktiniq dydZiq seka {Xp, ft > 1} apibfidinama

Siais skirstiniais:

a)

c r = - 3 ; a = 0 , 2 5 ; a = l ;

c r > 0 .

Ar galioja Siai sekai didZitdrt skaidiq desnis?

3. Atsitiktiniq dydZiq {Xk, k>l} vidurkiai vienodi, o dispersijos

tolygiai apreZtos. Ar galioja Siai sekai didZiqjq skaidiq desnis, jei cov(Xp, X,) << 0 s u v i s a i s k + m ?

4. Apskaidiuokite tikimybg p(x naxl.:Jnxl. kai X rikimybes

skirstiniai yra:a) X - N(m,o) ;

b) X - E()v);

c ) X - r ( - l , l ) ;

d) X - ?(0;0,9) .

Palyginkite Siq tikimybq su iverdiu, kuris gaunamas remiantis eeby5ovonelygybe.

b)

e," t;- { J 0 t;V J

PI;3

IJ

IJ

c)k o ' 0_ K

PI;L

12

a - L A U k o

P1

^ nZ K

r lL

- ---;I

" r ,

234

5. charakteristiniq funkciiq metodu pagriskite Bemulio didziqiq skaidiqdesn[.

6. NeZinom4 dydi A numatoma matuoti l0 kartq. Laikydami, kadmatavimo rezultatai xt, ..., xrc frc nepriklausomi ir turi normaliuosiusskirstinius su MX1 = A irDXt = 0,01 (fr = 1, l0 ), apskaidiuokite paklaid4 e, sukuria

( l r t o | )pl l -)xo - t l .e l=o,ss.[ |0,: i

" | )

7. Tarkime, kad Zmogaus Zingsniq ilgiai yra nepriklausomieji atsitiktiniaidydLiai, tolygiai pasiskirstg intervale nuo 70 cm iki g0 cm. Kolia tikimybe,kad Zmogus, padargs 10 000 Zingsniq, nueis atstum4 ne maZesn[ kaip 7,49 kmir ne didesn[ kaip 7,51 km?

8. Tikimybe, kad laikotarpiu ?. suges vienas kondensatorius, lygi O,2.Apskaidiuokite tikimybg, kad per laikotarp[ z is 100 kondensatoriq rug.r,

a) maLiau negu 28 kondensatoriai;b) ne maZiau kaip 20 kondensatoriq;c) nuo 18 iki 26 kondensatoriq.

9. Tikimybe, kad detale yra auksdiausios kokybes, lygi 0,g. Atsitiktinaiimame 1600 detaliq. Kokie gali buti tokiq detaliq reZiai su tikimybe, lygia0,95? Nuorodos:

a) taikykite apytikslg formulg

l l t | \ ( f ; \Pl l -1 -o l<e l=2Y l , , l t - l@=1-p ) :\ l ' | ) l l P q l

b) remkites ieby5ovo nelygybe.Palyginkite a) ir b) rezultatus.

10. charakteristiniq funkciiq metodu [rodykite integraling Muavro irLaplaso teorem4.

11. Nepriklausomqlq atsitiktiniq dydZiq {Xk, k>t\ skirstiniai yraPareto skirstiniai

I4 o ( x ) = l - + ( x > 1 , a > 0 ) .

xAr galioja Siai sekai didziqiq skaidiq desnis ir centrine ribine teorema?

12. Duotanepriklausomqlq atsitiktiniq dydZiq seka {Xp, ft > l} su

4 , ( x ) = 1 * 1 u . . t g " , x e R .2 n

23s

Imdami Zn =max(Xr,X2,...,Xn) ir normavimo konstantas a, =0,

b, =!, irodykite, kadT

( z - - \ - lp l " + < x

l = H ( x ) = e ' ( x > 0 ) .\ b " 1

k a i n - + - .

13. Duota nepriklausomqiq atsitiktinir{ dydZiq, tolygiai pasiskirsdiusiq

atkarpoje [0, 1], seka {Xr, k 2l}. {rodykite, kad

P(nmin(X1, . . . ,X) < r ) - L(x)= I -e- ' (x > 0) ,

k a i n - + - .

14. Sistemos ilgaamZi5kum4 apibfdina elemento funkcionavimo atsitildi-nd trukme Z, kurios vidurkis M7" = l0 h ir standartinis nuokrypis o = 2 h.

Sistema privalo funkcionuoti 2200 valandq. Kiek tokiq elementq reikiarezervnoti, norint uZtikri nti 9 5oh sistemos patikimum4?

15. Atsitiktinis dydis X - q(D. [rodykite, kad

-( x -rvtu )Pl :--: <.r l= O(x),

t a/DX l

k a i l , + * .

16. Nepriklausomieji atsitiktiniai dydLiai {X r, k > l} su vienodomis tiki-

mybemis gali [gyti tik reik5mes -l arba l. Tarkime, kad S, =f apX1, 1a1, -

k= l

konstantos).a) Raskite Sn charakteristinq funkcij4.

b) Imdami at =2-k, [rodykite, kad S, skirstinys konverguoja i tolygqji

intervale (-1, l) skirstinl.

17. Vartodami 100 atsitiktiniq skaidiq, Monte Karlo metodu apskaidiuo-kite apl,tikslg integralo

I

t = !e'dx0

reikSmg f. neikSmq lpalyginkite su tiksli4ja reik5me /.

236

i18. Kiek eksperimentq reikia atlikti apskaidiuojant integralq

fr:

t = )cosxdx0

Monte Karlo metodu, kad su tikimybe 0,9 galima b[tq tvirtinti, jog santykineapskaidiuotos integralo reik5mes paklaida yra maZesne uL 5Yo?

19. Sistem4 (65 pav.) sudaro trys ne-priklausomai funkcionuojantys elementai,kuriq patikimumas P(lo ),k =1,2,3. Mo-

deliuodami sistem4 Monte Karlo metodu(imkite 50 reik5mia), apskaidiuokite siste-mos patikimum4 ir [vertinkite absoliudi4j4bei santyking paklaidq.

20. Nepriklausomqjq dydZirt X ir Y skirstiniai yraskirstiniai:

P(&) =0,7

65 pav.

Veibulo ir tolygusis

F y Q ) = l - e - * ' , x ) 0 ; F v ( y ) = 4 , 1 < y < 5 .4

Monte Karlo metodu apskaidiuokite atsitiktinio dydZio- X + Y/ , = -

J t + rapytikslg vidurkio reik5mg.

21. Atsitiktinio dydZio X pasiskirstymo funkcija( n t ^ |0 , k a i x < - 3 ,

F(x) =

Pateikite Sio dydZio reikSmiq generavimoreik5miq, apskaidiuokite aritmetini jq vidurki irvidurkiu. Imkite n = 10, 20, 50.

L * ! , k u i - 3 < x ( 0 ,

L * t . k a i o < x < 4 .2 3 2 'l,kai x > 4.

algoritmq.palyginkite

Sugeneravg nji su teoriniu

P(Ar) = 0,9

1 1 ArsrrKrNrAr pRocESAl

T4 tikimybiq teorijos dali kuri apib[dina atsitiktinius [rykius irdydZius, galime vadinti atsitiktiniq reiskiniq statika. cia nagiinejamireiSkiniai; vykstantys pastoviomis eksperimento sqlygomis.

Gamtos mokslai, ekonomika ir technikos mokslo sakos iskere uZda-viniq, dar netirtq atsitiktiniq dydZiq teorijos. Domino proceso, t. y. reiS-kinio, vykstandio raikui begant, desningumai. Trediajame sio amZiausdesimtmetyje sukuriama dinamine tikimybiq teorijos dalis - atsitiktiniqprocesq teori jos pagrindai.

siame skyriuje lakoniskai, kartais ne[rodydami, pateiksime svarbes-nius atsitiktiniq procesq teorijos teiginius.

1 1.1. Atsit iktinio proceso apibreiimasir pavyzdZiai

Tipi5kas atsitiktinio proceso palyzdys yra Brauno judesys. Zinodami da-leles koordinatp ir greit[ esamu laiko momentu, negalime tik;liai nusakyti jospadeties b[simais laiko momentais. veliau [sitikinsime, jog si nedeterminubt4proces4 galima apib[dinti tikimybiniais metodais, nurodant tikimybg, jog da-lele bus vienoje ar kitoje erdves dalyje, vidutini dalelirl skaidiq ir t.i.

'-

Apibendrindami atsitiktinio dydZio sEvok4 apibreZeme atsitiktin[ vekto-riq - baigting atsitiktiniq dydZiq sistem4. Dabar kalbesime apie begalines dy-dZiq sistemas.

ApibrdZimas. Atsitiktini4 dydii4 sistemq {X(t), t e T}, nusatytq erdveje( A ,7, P), vadiname atsitiktiniu procesu.

I5 apibreZimo i5plaukia, kad arsitiktinis procesas X(t) = y11, rrl) yra dvie_iq kintamr$r1 funkcija: elementariojo [vykio rrle e (atsitiktinumo) ir parame-tro t € T. Tradici5kai parametras I vadinamas laiku.

Fiksuodami laiko moment4 16 e in, gauname atsitiktinl dydi X(ro,crl),vadinam4 proceso pjiiviu, arba proceso reik5me laiko momentu t6 .

Jei fiksuojame oo e o (atliekame eksperimentq), gauname neatsitiktingfunkciiq X(a oo ), vadinam4 proceso realizacija (baigtimi). Realizacija yra vienai5 galimq proceso igyjamq ,,kreiviq.,, kuriq stebime konkrediame eksperimente.

239

Vadinasi, atsitiktini proces4 galime apibldinti dvejopai: apibreZti arba

proceso realizacijas ir tikimybinius jq skirstinius, arba proceso pjiivius ir jq

skirstinius. Pasirinksime antr4j4 proceso tyrimo koncepcijq.

Proceso igyjamq reik5miq aibE X vadinsime fazine erdve, arba biisenq

aibe. Atsitiktinis procesas X(r) dekartinq sandaug4 e2xT atvaizduoja i realiqjq

ska id iqa ibesR poa ib [ X : Qx r x ( ' ) > X cR .

Pateiks ime keletq ats itiktini t1 proce sq p avy zdli1.

I X(/) * elektronines lempos anodo [tampa. ltampai visada budingi atsi-

tiktiniai svyravimai, todel j4laikysime atsitiktine laiko funkcija. Turedami ke-

let4 vienodq charakteristikq lempq ir grafiSkai pavaizdavE kiekvienos lempos

fakting itamp4 gauname skirtingas proceso realizacijas.

2. X(t) - pokalbiq uZsakymq skaidius laikotarpiu [0, r] telekome.

3. X(t) - vandens lygis Nemune per metus.

4. X(t) - suskilusiq radioaktyviosios medZiagos atomq branduoliq skai-

dius laikotarpiu [0, l].

5. X(/) - akcijos kaina birZoje per metus.

6. Atsitiktines amplitudes harmonika X(t) = X sin r; dia

diskretusis atsitiktinis dydis su

P ( X = 0 ) = p t .

skirstiniu P(X = 1) = h,

skirtingos proceso realizacijos:

ir O'sin t (66 pav.). Vykstant

eksperimentui, procesas jas gali lgyti atitin-kamai su tikimybemis pr pz ir p3. Apibfldi-nome procesq nurodydami galimas jo reali-zacijas ir skirstinius.

t e l 0 , 2 n l , o X -r t )

P l x = : l = p , .| ) t "\ - /

Yra trys

sin r, lsint

Fiksavg laik4 t = /6, gounome atsitiktini dydi X(ro). Imkime, pavyzdZiu1

,r:Z rada pjuvio "[iJ 'u',",nys yra toks:

p f x [ l ) = ] l : , , , p ( x ( r l = l l =p , i r r f " l l l =o l=p ,I l o l 2 ) l ' l . 6 j 4 ) t \ 6 ] )

Pana5iai nusakydami pjlvius bet kuriais laiko momentais r e [0, 2n],

apibiidinsime procesE pjuviq visumos poZi[riu.

66 pav.

240

11.2. Atsitiktinio proceso charakteristikos

sakykime, turime atsitiktin[ proces4 {x(t), t e z}. Fiksuokime argumenr4to e T . Tada proceso pjuvis X(ls) yra atsitiktinis dydis, o jo pasiskirstymo funk-cija F(xlto)=P(X(t) < r) - visi5ka atsitiktinio proceso X(r) charakteristikataske 16. Tai vienmate proceso pasiskirstymo funkcija. Kai pjlvis yra tolydusis

atsitiktinis dydis, skirstinigalime apib[dinti tankiu p(x I ro I = 4{-Q1_ro ) , xe R ,ax

kai diskretusis - tikimybemis p(xo I t)= p(X(ro) = x1), k > | . Imdamiskirtingas reiksmes r e ?', rasime atsitiktinio proceso X(r) vienmadius skirstinius.Jie procesq apibudina ne visiskai, pavyzdziui, neatspindi atskiq proceso pjlviqry5io.

Fiksuokime laiko momentus l/€ T (i=1,a1 ir imkime proceso pjflviqn-mati atsitiktin[ vektoriq (x(t), X(t), ..., x(t,)). sio vektoriaus skirstinivadiname atsitiktinio

. proceso X(r) baigtiniamadiu skirstiniu. J[ galime

nusakyti n-mate pasiskirstymo funkcij a:F(x1, x2, . . . , x , I t t , t2 , . . . , t r ) = P(X ( t ) < xr , X ( t r ) 1x2, . . . , X ( t , ) < x , )

su v i sa i s ( x r ; x2 . , . . . ; x , )e Rn .

. . .No..il visi5kai apibldinti atsitiktini proces4, reikia Zinoti baigtiniamadiusjo skirstinius. Suprantama, operuoti su diugiamadiais skirstiniais piaktiskai yrasudetinga. Tadiau daugel[ svarbiq uZdaviniq garima issprgsti vienmadiq irdvimaditl skirstiniq bazEje.

Glaustai pateiksime kitas atsitiktinio proceso charakteristikas. sakykime,proceso X(r) vienmadiai ir dvimadiai skirstiniai isreiksti tankiais p(xrt\ irp(x, y I t, t') .

Atsitikrinio proceso X(r) vidurkiu vadiname neatsitikting funkciiq

MX(t) = m(t ) =V(D =i xp(x l t )dx.:

Su kiekviena fiksuota r reiksme m(t) yra proceso pjrivio vidurkis.Geometrine vidurkio m(t), kai t e T, interpreiacija tokia: kreive, apie kuri4telkiasi proceso realizacijos.

Atsitiktinio proceso x(/) dispersija vadiname neatsitikting funkcii 4

DX(t ) = o21t1=M(x(r ) - * ( t ) )2 = T, , - m(t ) )z p(x l t )dr .

Atsitiktinio proceso dispersija apibiidina proceso realizaciiq sklaid4 apievidurki. Proceso vidurkio ir dispersijos savybei sutampa su atsitiktinio dydZioanalogiSkq charakteristiku sawbemis.

241

o

PaZymekime X(t) = X(t)-m(t) centruotq proces4. Centruotq pj0viq

o o

X(t) ir X(/') sandaugos vidurk[ vadiname proceso X(t) koreliacine funk'

cija:o o a a

K x e, /) = rv * g1 * u'1 = J J {x - m(t))(t - m(t')) p(x, y I t, {)dxdy.

Kai r ir t'- fiksuotos reiksmd kieliacine funkcija yra pjoviq X(t) it X(t)kovariacija. Vadinasi, 5i dviejq argumentq funkcija (geometrine prasme - pa-virSius) yra dviejq proceso pjfrviq rySio charakteristika. lsvardysime korelia-cines funkcijos salybes:

. Kx(t , t ' )= Kx(t ' , t ) .

. Kx(t , t ' )=DX(t) .o Kai A(/) - neatsitiktinefunkcija, tai

Kr*r(t, t ') = K xQ, t'),

K ry (t, /1 = tp1tlg1t') K r Q, {).

. I K x(r . r ' ) l< o(1)o(/ ' ) .o Koreliacinefunkcijayra neneigiamai apibreita:

*) rapa. ,K r ( t1 , , t r )20

k' i=t '

s u v i s a i s n . I k e T i r a p e R . k = 1 . n .

A Tikrai, nes

( t : - o ) '= M l > a o X ( t o ) l - o a\ r = l )

Normuotoj i koreliacind funkcij a

K Y Q ' t ' )pr(t, t ):;A;(/)

yra koreliacijos koeficiento analogas.' lP" Q, fil<r'o p x Q , t ) = 1 .

Kai procesas X(t) = U(t) + i V(t) yra kompleksinis, jo vidurkis m(t) =

=MU(t) + IMV(r) .

of_lro,o,,o. / ,)= Ml f ,o*rot}, ,kr,))=

a A a

Koreliacine funkcija

K*(t , { )=w,t . f t )* tO;dia x zymijungtini kompleksini skaidiq.

DispersijaDX(t) = K x Q, r) = M I X (t) - m(t)12 .Tarkime, kad turime du procesus: {X(t), t e T} ir {I(s), s e S}. Korelia_

cine rySio funkcijao o

Rn(, s) = Mx(r)r(s).Jei Rn 0, s) = 0, sakome, kad procesai yra nekoreliuoti.Proceso vienmate charakteristin€ funkcija apibreZiama taip:

f (u I t) - Meiux (t) = i ,,* p1r 1,7a*

su v isa is ue R.Kadangi procesas apibudinamas baigtiniamadiais skirstiniais, tai svarbi

n-madio pj0vio (X(4), ..., X(t,)) charakteristine funkcijai t,r_\'(rt )

" f ( u r , . . . , u n | \ , . . . , t , ) = M e - = '

T : ' ! ' 1 . t 1 4 '

= J

. J

n - ' p ( x t , . . . , x n l \ , . . . , t ) d x t . . . d x n .

"*"olr. Atsiti kti nis procesas

X(t )= Xcos(ro l +y) , teT, a _konsranra;

dia atsitiktine amplitude x ir atsitiktin E faze y yra nepriklausomieji atsitiktiniaidyd'iai, be to, MX = 0, DX = 02 i, y - f (_n,n). Apskaidiuokime procesovidurki dispersij4 ir koreliacing funkcij4.

A VidurkisMX(t) =MX M cos(ay + y) = 0.Koreliacind funkcija

. o oK (t, {) = M X (t) X (t' ) = M(X 2 cos(rrlr + I) cos(olr, + I/)) =')

.'-= : M(cosor(t ' - t ) + cos(co(r + {) + 2y )) =

={cosro(r ' - D*+jcosro{r + /1 +zy1! at, =lrorr(t - t) .

243

Dispersija

o2DXtt l = Kf t . t ) =

t .

ldomu tai, kad atsitiktinio proceso X(r) vidurkis ir dispersija yra pastovDs

dydLiai, o koreliacine funkcija priklauso tik nuo argumentq skirtumo. Pako-

mentuokite.

1 1.3. Atsit iktiniq procesq klasifikaciia

Procesus skirstysime i klases, atsiZvelgdami I bendr4sias jq savybes.Pagal aibiq Z (laiko aibes) ir X (bfsenq aibes) sandarq procesai skirstomi i 4

klases:

TX

Intervalas Diskredioji aibe

Intervalas TolydZiojo laiko tolydusisnrocesas

Diskrediojo laiko tolydusisDrocesas

Diskrediojiaibe

TolydZiojo laiko diskretu-sis orocesas

Diskrediojo laiko diskretusisDrocesas

Diskrediojo laiko Z= {0, l,2, ...} procesEX(r) vadinsime atsit iktine seka

ir Zymesime {Xr,, k 2 0}. Atskir4 tokiq sekq atveji - nepriklausomqjq dydZiq

sek4- nagrinejome l0 skyriuje.Toliau procesus klasifikuosime pagal jq skirstiniq savybes. Pateiksime pa-

grindinius, daZniausiai praktikoje pasitaikandius atsitiktiniq procesq modelius.

Stacionarieji procesai. Pagal tai, ar procesq charakteristikos priklauso ar

nepriklauso nuo laiko atskaitos pradZios, procesai skirstomi i stacionariuosius

ir nestacionariuosius. Proces4X(r) vadiname stacionariuoju siaur4ja prasme,jeigu baigtiniamadiai jo skirstiniai nepriklauso nuo laiko momentq postumio.

Ta i re i sk ia , kadsuv i sa i s / o e T i t t k+xeT ( k= t , n1n -ma tepas i sk i r s t ymo

funkcija

F ( x1 , x2 , . . . , x n I t 1 , t 2 , . - . , r , ) = P (x , , x2 t . . . , x n I t , + T , t z + x , " ' , t n + x ) '

Atskiru atveju, kai n = I,2 ir r = -fr , gaunome:

r ( ' l4) : r ( r l0) = r(x) ,

F (x, y I t r tz) = F (x, y I tz - 4).

Vienmate proceso pasiskirstymo funkcija nuo laiko nepriklauso (visi pju-viai pasiskirstE vienodai), o dvimate priklauso tik nuo laiko momentq skirtumo.

244

ApibreZdami stacionarqji proces4 sunkiai patikrinamq baigtiniamadiqskirstiniq invarianti5kumo laiko momentq postlmio atZvilgiu sqlygq daZnaikeidiame pirmqjq dviejq eiliq momentq sqlygomis:

N{-Y(/) = m, DX (t) = o2 , K(t, t + x) = K\q.

Procesq X(r), tenkinant[ Sias sqlygas (vidurkis pastovus, dispersija pas-tovi, o koreliacine funkcija priklauso tik nuo argumentq skirtumo), vadinamestacionariuoju pladi4ja prasme. PaZymesime, kad pakanka pirmosios irtrediosios s4lygos. Kodel?

Jei egzistuoja DX(t), tai stacionarusis siaurqja prasme procesas yrastacionarus ir pladiEla prasme. Kodel? Tadiau i5 stacionarumo pladi{a prasmenei5plaukia stacionarumas siaur4ia prasme. Pagriskite.

Atsitiktiniq triuk5mq lygl radijo imtuve, horizontaliai skrendandio lek-tuvo svyravim4 tinklo [tampos svyravim4 ir kitus nusistovejusius procesuspakankamai gerai apibiidina stacionarieji modeliai. Fizikine prasme staciona-rumas reiSkia, kad procesas vyksta stabiliomis s4lygomis. PavyzdZiui, kadatsitiktinis procesas - si[lo storio kitimas - bltq stacionarus, tiriamuojulaikotarpiu turi nekisti gamybos reZimas.

67 paveiksle atsitiktiniai procesai pavaizduoti keliomis realizacijomis: apaveiksle turi stacionaraus proceso bruoZt1, o b paveiksle procesas yranestacionarus.

x(t)

m

67 pav.

M[sq tirtas procesas X(t) = X cos( o t + Y) yra stacionarus pladiqja pras-me. Kodel?

Pateiksime stacionariosios sekos paryzdi.

1 pavyzdys. (Slenkamojo vidurkio procesas.) Sakykime, {X,,n = 0, * l,

!2,...\ yra nepriklausomqjq vienodai pasiskirsdiusiq atsitiktiniq dydZirl seka,kurios vidurkis M& = 0 ir dispersljaDX, = l. ApibreZkime sek4

. . sY, = La*X, * , n = 0 . t l . + 2 . . . . :k=0

dia koeficientai ap yra realiosios konstantos. Raskime Sios sekos koreliacinEtunkcijq.

245

A Seka yra stacionari pladiEja prasme, nes MI" = 0, o koreliacinefunkciia

K (n, n + d = M( L o, *, -,f o o*,., -o)=\ r=0 k=0 )

_ l a u a u _ o , + a N _ t a N _ n _ t * . . . * e m + r a r , k a i m < N - 1 ,-

lo, kt, > lr

nepriklausonuo n: K(n,n+ m) = K(z) .Dispersija Dl, = K(0) = azN + a2w-t +

+ . . .+a l . l ,

Dalnai tyrimuose yra patogiau naudoti ne koreliacines funkcijas, bet jqFurje transformacijas (palyzdZiui, nagrindjant atsitiktinius signalus tiesinesesistemose).

Stacionariojo proceso spektrinis tankis S(rr;) yra koreliacinds funkcijos

atvirk5tine Furje transformacij a:

S(ar )= ! l r ' " x61ar2 n J

su visais t. n,-t"ui integralas konverguoja absoliudiai.I5 apibreZimo iSplaukia, kad koreliacine funkcija

,K(t) = j_e*'*S1ro)do.

Dispersija

Dx(/ )=K(0)=f (or)do

apibDdina vidutinq proceso energij4 o S(rrt) - energijos skirstin[ daZniais or .

Spektriniam tankiui biidingos tokios dvi savybes:. S(trl) > 0;

. S(-o) = S(tt).

Atsitiktini proces4 X(r) vadiname stacionariuoju baltuoju triuk5mu,jeigu jo spektrinis tankis S(ol) = c (c - konstanta) visame daZniq diapazone.

Tokio proceso vidutine ne5ama energija DX(t) = - . Vadinasi, baltasistriuk5mas realiai neegzistuoja. Tadiau tai naudinga matematind abstrakcija.Ne[rodydami paZymdsime, kad visi baltojo triuk5mo pjfrviai (net ir artimi) yranekoreliuoti.

246

2 pavyzdys. Sakykime, koreliacine proceso funkcija K(r) = o'u-ol"l ,

cx, > 0, T€ R. Tada spektrinis tankis) @ )

O - f - r i l i - d r r t , O - 0 ,S ( 0 ) = - | e

" " * ' ' d L = - - - - i - - - - - i .

2 n J n u " ' + a '

Koreliacines-funkcijos ir spektrinio tankio grafikai pateikti 68 paveiksle.

68 pav.

MaZejant parametrui o,, koreliacine funkcija slopsta lediau, o spektrinio

tankio iSraiSkoje dominuoja Zemieji dainiai. Didejant cr, koreliacine funkcijaslopsta greidiau, o spektrinio tankio maZejimas leteja ir Zemqiq daZniq prio-ritetas maZeja. Atsitiktinis procesas vis maZiau skiriasi nuo baltojo triuk5mo.

Gauso (normalusis) procesas. Tai labai daZnas praktikoje ir gerai i5tirtasprocesas. Proces4 X(t) vadiname Gauso procesu, jeigu baigtiniamadiai jo

skirstiniai yra normalieji.Vienmatis Sio proceso tankis

| (x - m( r \ \2 , (x - m( t \ \ (v - m( t ' ) ) t v - ^<( l l ' \ l^l ---------;- Lv\.) | )--------------a-----.-;:-'

-------------:-- rr'

I zo'(t) o(r)o(r ') 6(/) ' l lAtkreipiame demes[ i tai, kad abi Sio proceso stacionarumo sqvokos

sutampa, nes jo skirstiniai priklauso tik nuo pirmqiq dviejq eiliq charakteris-tikq (vidurkiq, dispersijrl koreliaciniq funkcijq)

3 pavyzdys. Atsitiktinis procesas yra dviejq harmonikq suma:

x (t) = xr cos ol + xr sin rrlr;

Eia X, - N(0, o) ir X, - N(0,o) - nekoreliuotieji atsitiktiniai dydZiai, o

o - neatsitiktinis parametras. Raskime dvimati Sio proceso tank[.

o dvimatis

p ( x , y l t , { ) =2no(t)o(fil i i 'Q, tt

.*ol----l-"' t 2 ( t -p ' ( t , / ) )

247

A MX(r) = M(Xr cos6r +X2 sintrlr) = 0,

K (t, {) = MX (t) x (t') = o' (.ot t/ cos trl/' + sin ol sin rrll') =

= o2 cos o(l '- l),

DX ( t1 = K( t , r ) = 62 .

Paimejg skirtum4 t'-t raide t, gauname normuotekoreliacing funk-ctjq p(t) = cos orr .

Sis stacionarusis pladi4la prasme procesas yra Gauso procesas, nes,sudedami normaliuosius dydZius Xl ir X2, gauname normalqji dydi.

Dvimatis tankis

p(.r . . r ' l t , / )= p(x.y l r1=------ ! - .*n{-" -?t : tu"*vt1

^rno- lsrn 0)rl I z srn - 0]r )

Procesai su nepriklausomais pokyiiais. Proces4 X(r) vadiname procesusu nepr ik lausomais pokydia is , je i su v isa is to<tr1t2<. . .< ln ats i t ik t in ia i

dydLiai

x (t o), X (t ) - x (t 0), x (t 2) - x (t r), . . . , x (t,) - x (t,s)

yra nepriklausomi. Tokio proceso pavyzdLiai gali buti difunduojandios dalelesgreitis, suskilusiq radioaktyviqjq branduoliq skaidius ir t. t.

Tarkime, kad proceso X(t) vidurkis MX(r) = m(t), o dispersija DX(/) =

=o2(t). Tada su visais r'> r pokydio X(t) - X(r) vidurkis M(X(/) - X(r)) =

= m(t) - m(t) ir dispersija D(X( l') - x(t)) = 62 () - 62 Q). Pastarasis teigi-

nys i5plaukia i5 proceso su nepriklausomais pokydiais apibrdZimo:

DX (/) = D(X (t' ) - x (t) + x (t)) = D(x (t') - x (t)) + DX (t).

Kai su v isa is te T i r t+reT ( t>0) pokydio X( t+r) -X( t ) sk i rs t i -

nys priklauso tik nuo trukmds t, procesE X(r) vadiname homogeniniu proce-su su nepriklausomais pokydiais. Pateiksime procesq su nepriklausomais po-kydiais pavyzdLirl.

Puasono procesas. Procesq N(t) (te [0,+-;; su nepriklausomais po-

kyiiais vadiname Puasono procesu, jei:r N(0) = 0;. su visais r > l' pokadiai N(r) - N(t')yra stacionariis ir pasiskirstg pa-

ga l Puasono desn i : . L - \ t , - , . ,

P ( N ( r ) - N ( / ) = 1 r r - \ ^ \ t - t ) ) ' e ' " ' ' '

. k = 0 , r , 2 , . . .' k !

248

Imdami t'= 0, gauname: N(t)

r \ tlk '-)'tP ( N ( 1 ) = k ) = " " '

k lViena i5 proceso N(r) realizacijq pa-

teikta 69 paveiksle.

MN(/) =).t, DN(t) =A.t,

M(N(/ ) - N( / ) ) :L( t - t ' ) ,

D(N(r) -N({ ) ) :x( t - { ) .

sis tolydziojo laiko diskretusis procesas apibldina paprasdiausio srauto(2r. 9.2 skyrell), kurio vidutinis intensyvumas 1", ivykiq skaidiq laikotarpiu[0, l]. Pasinaudodami Sia proceso interpretacija, rasime N(r) koreliacinEtunkcijq. Tarkime, kad r > t'. Tada N(/) = N(/) + N(/) - N(r); dia N(r) - srautoivykiqskaidius laiko momentu r, o N(r) -N(t) - jo pokytis laikotarpiu [r', r].Kadangi N(l) ir N(/) - N(r) yra nepriklausomi, tai lengvai randame procesoN(r) koreliacing funkcij4:

o o o o o oK (t, {) = M //(r) N( t') = M(N (t')+ N(r) - N (/)) N (/) =

o o o= DN(r') + M(N(r) - N(/)M N (t ') = \y'

Kai r < / ' , gauname: K(t, /1 =71 .

Vadinasi, Puasono proceso koreliacine funkcija

K(t, {)=)"min(t, t ') .

4 pavyzdys. Atsitiktinis telegrafo signalas - tai atsitiktinis procesas

X (t) = (-t1ur4 , , , , O.

dia N(t) - Puasono procesas, kurio intensyvumas .1., o X - nepriklausantis nuoN(t) atsitiktinis dydis, turintis skirstini

IP(x = -D: ,= P(x = l ) .

Raskime proceso X(t) vidurki,dispersij 4 ir koreliacing funkcij q.

A Procesas gali igyti dvi reikS-mes: -l ir l . Viena i5 galimq jo reali-zacijq pateikta 70 paveiksle.

MX (t) = 1141-1;ru(') 14,Y = g,

D X ( t ) = W X 2 1 t y = M X 2 = 1 .

' ;

Koreliacine funkcija

K (t , t ) = MX (t) x ( t ' ) = M ((- l )N( I ) ( - l )N(t ' ) )N4-x

2 = MY (r )Y ( t ' ) :

dia atsitiktinis procesas )'(r) = (-l)N(') , o jo skirstinys apibDdinamas taip:

P(f(r) = l) = P (atkarpoje [0, r] tealizacija pasikeite lygini skaidiq

kar tu ) : n -^ , i ( ) " t )20 =r -x , "hx t ,* -^ (2k)l

r = u .

P(Y(t) = -l) = P (atkarpoje [0, t7 realizacija pasikeite nelygin[ skaidiq

kartu) = "-^, i (11) 'o* ' = r-r ,rh l / .

7u(2k +1) l

Ie5kome sandaugos Y(t) Y(t) skirstinio:

P(Y(I)Y (/)= l ) = P(v(r) = l , Y(t ' )= l ) + P(r( t) = -1, Y ( t ' ) = -r) ,

P(Y(I)Y(/) = - l ) = P(r( /) = t , v({) = -1) + P(r(r) = -r , Y(t ' ) :1) .

Tarkime, kad r < r'. Tuomet

P(r( /) =r, Y(t ' )= 1) = P(r( t) = l )P(v( l ' ) = I I r( l ) = l ) =

= u-L'"hl.r (laikotarpiu (t, t') realizaclja pasikeite lygin[ skaidiq karq) =

= "-x, "hxt "-)'({-t)"6X(/ - t\.

AnalogiSkai

P (y (t) = -1, Y (t' ) - * I ) = "-x' rh )"t e-x({ - t) ch }t({ - t),

P(y(r) =1, Y(/) - -l) = "-L'chXt e-x(''- ')shX(t' -t),

P(y(l) = -1, Y (t') = l) = e-r'sh.l' , "-xti - r)r61(t - t)'

Dabar

MY (t)Y (/) = I . P(r(r))'(l ') = 1) + (-l)P(f (r) Y (t) = -�l) - s-2x(t' - t1 .

K a l / > l ,

My( t )Y({ ) - e-2x( t - { ) .

Pagaliau, paLym1jg t' - t raide T, gauname telegrafo atsitiktinio signalo ko-

reliacing funkcij4

K(t . / )= , ( ( t ) = n-2r l '1 . , . * '

Matome, kad telegrafo signalq galime taikyti stacionariu pladiqla prasme

Drocesu.

250

vynerio procesas. Proces4 w(r) su nepriklausomais pokydiais vadinameVynerio procesu. jeigu:

. W(0) = 0,o pokydiai W(t) - W(t) yra stacionariis ir pasiskirstg pagal normalqli

desn[.Tai yra tolydZiojo laiko tolydusis

procesas. Vynerio procese su vidurkiuMW(t) = 0 ir dispersija DX(r) = 621vadiname Brauno judesio procesu.Brauno judesiui b[dinga trajektorijapateikta 7l paveiksle. Paimesime,kad misq tirtas Gauso procesas

w(t)

0

7l pav.

X (t) = X, cos r.ot + X, sin rrrt nera Vynerio procesas. Kodel?Markovo procesai. Tai labai svarbi procesq klase. Markovo procesams

bldingas toks bruoZas: jq skirstiniai bDsimuoju laiko momentu visiskai api-b[dinami proceso reik5memis esamuoju momentu ir nepriklauso nuo procesopraeities. Kai r - diskredioji aibe, proces4 X(r) vadiname Markovo grandine, okai T yra intervalas - tolydZiojo laiko Markovo procesu.

Apibndinsime tik tuos Markovo procesus, kuriq blsenq aibe (fazineerdve) yra diskredioji: X = {so, sr, s2, ...}.Busenos s; (i Z 0) gali brft i kokybi_nio tipo (apraSomos lodliais) arba realieji skaidiai (proceso igyjamosreiksmes). PavyzdLiui,jei sistema s, kuri4 apibtdina procesas X(t), yra techni-nis [renginys,jos b[senos gali bflti tokios; se - irenginys nedirba, s1 - [renginysdirba ne visu pajegumu, 12 - irenginys dirba visu pajegumu. Kalbant apie lal-kotarpiu [0, r] emituotq elektronq skaidiq, natlralu teigti, kad proceso but"nqa ibe X = {0 , 1 ,2 , . . . } .

Sakykime, r > 0 ir su visais k>l ro >0. Imkime proceso pjflviusX(t+r) , X( t ) i r X( t - ro) bet kur ia is la iko momentais t , t+r i r t_ � r ,k(ft > l) i5 aibes ?..

ProcesqX(r) su diskrediqia b0senq aibe X vadiname Markovo procesu, jeiP ( X ( t + t ) = s , l X ( t ) = s , , X ( t - x r ) = s , 0 , k > I ) =

=P(X(t +t ) = s , I X( l ) = r r )

su visomis blsenomis i5 X.S4lyginemis tikimybemis nusakyt4 s4ryi[ skaitome taip: tikimybe, kad

laiko momentu r + T (ateityje) procesas bus blsenos q, kai laiko momentu t(dabartyje) jis yra busenos s;, o laiko momentais t _�xt, t _�x2,... (praeityje)buvo biisenos Ji,, srr,..., lygi t ikimybei laiko momentu / + T buti b[senos q.Vadinasi, proceso ateities evoliucijos sqlygine tikimybe nepriklauso nuo pro-ceso praeities, o priklauso tik nuojo dabarties.

251

Ap ib reZ imas tu r i p rasmg , ka i P (X ( l )=s , , X ( t - x t )=s , , )+0 ( k> l ) .

Tai bldinga tik diskrediajai bUsenq aibei X.Pateiksime kelet4 Markovo procesq pavyzdLil.

5 pavyzdys. X(r) - uZsakymq skaidius ATS laikotarpiu [0, r]. Ry5iq sis-temose laikoma, kad uZsakymai nesusikertandiais laikotarpiais yra nepriklau-somi. Tada, imdami t > /0, gauname, kad uZsakymq skaidius laikotarpiu [rs, r],i5reik5tas pokydiu X(t) - X(ts), nepriklauso nuo proceso eigos iki /e. Todel,fiksavg X(re), proceso X(/) ateities evoliucijos nepakeisime, jeigu gausime pa-pildomos informacijos apie proceso praeit[ X(r - t ), r > 0.

6 pavyzdys. Sakykime, ties€s ta5kais, kuriq koordinatds yra sveikiejiskaidiai, klaidZioja dalele: su tikimybe p ji perSoka i desinUi gretim4 ta5kq arbasu t ik imybe Q =l -p - | ka i r i j i . B i isenq a ibe X = 1. . . , -2 , -1, 0, 1, 2, . . .1 , oprocesas X(k) = Xt& 2 0) yra atsitiktine seka, apib[dinanti daleles padetift-tuoju laiko momentu (po ft Suoliq). KlaidZiojandios dalelds koordinatg X1*1(k+l)-uoju laiko momentu nusako jos dabartis Xi:

P ( X r * t : j l X * = i , X , : r , , . e ) k ) : P ( X p * 1 = j l X r , = i )

su visais /< > 0 ir visomis biisenomis i5 aibes X. Seka lXr,, k >_ 0) yra Markovograndine.

Visi klasikines mechanikos procesai, kuriq b0senos apibfldinamos koor-dinate ir greidio komponente, yra Markovo procesai. Mineti Puasono ir Vyne-rio procesai taip pat yra Markovo procesq pavyzdliai.

Markovo procesq teorijoje svarbios s4lygines tikimybesP(x(r)e B I x(s) = y) = p,,(x, B).Tai perejimo i5 busenos "r laiko momentu s i b0senq aibg B c X laiko

momentu t t ikimybes. Kai p,,(x,B)= p,,t,(x,B) su visais /, s, / ' , s', su

kuriais t - s =t'-s') 0, Markovo procesEvadiname homogeniniu.Diskrediojo laiko su diskredi4ja bUsenq aibe Markovo procesai sudaro

[domi4 procesq klasE ir yra gerai i5tirti ([1 ]). Tadiau taikomoji jq reik5me neraypatingai svarbi inZineriniuose tyrimuose. Praktikoje tipi5kesni atvejai, kaisistema i5 vienos bUsenos i kit4 pereina tolydZiu laiku. TolydZiojo laiko sudiskrediqja busenq aibe Markovo procesrl viena klase - dauginimosi ir nykimoprocesai - labai aktualus taikom4ja prasme. Tai, pavyzdLiui, gali b[ti parai5krlskaidiaus aptarnavimo sistemoje kitimas, kurios nors biologines populiacijoskitimas ir pan.

11.4. Dauginimosi ir nykimo procesai

I5 pradZiq nagrinesime bendr4j[ tolydZiojo laiko r > 0 su diskrediElab[senq aibe X = {sr, sz, ..., s,, ...} Markovo procesE

252

Pazymekime perejimo i5 b[senos s; laiko momentu s I busen4 s; laikomomentu t tikimybE:

P46 , t ) = P (X ( l ) = s , lX (s ) = s i )

su visais i, j > 1 ir s, / > 0. Tarkime, kad procesas X(t) yra homogeninis, t. y.perejimo tikimybes laikotarpiu [s, r + s] priklauso tik nuo to laikotarpiotrukmes:

P(X(t +s) = r . , I X(s) = s i ) = p i iQ)

a r b a , k a i s = 0 ,p(X(t ) = s , I X(0) = sr) = p, j ( t ) .

Imkime perejimo tikimybiqp;;(r) matric4

ArQ) p t z ( t ) ph? )

PtQ) pzz1) pz,Q)

Ji yra stochastine:' P i iU) >0 su v isa is i , j > 0;

. l na? )= l .Kode l?l

Pradini proceso skirstin[ galime apibreZti dvejopai:r f iksuojame prading biisenqs;; tada P(X(0) = si) = l;

r suv isais i 2 l ap ibudinamet ik imybes p,9 =P(X(0)=s,) , )p,9

= lI

I5 pilnosios tikimybes formules i5plaukia svarbus perejimo tikimybiqs4ry5is:

p, j ( t + s) =2 o*e) pr i (s).

Tai Kolmogorovo ir iepmeno formule.PaZymekime tikimybg, kad procesas laiko momentu r bus bflsenos s;:p j ( t )= P(x ( r ) = s / ) , / > 1 .

Ji vadinama blsenos tikimybe. Ai5ku, kad 2 pt@ =t .

Vel panaudojg pilnosios tikimybes fornlute, gauname:p j ( t ) =L p ! p rA l p r (s + D =Z p , G) p , i7 ) .

253

Dauginimosi ir nykimo procesas. TolydZiojo laiko r > 0 su diskrediqjabusenq aibe X -

{0, l, 2, ...} homogenin[ Markovo procesE vadiname daugi-nimosi ir nykimo procesu, jei perejimo tikimybes piiQ)=P(X(t)=

= i I X(0) = i) tenkina s4lygas:

. su v isa is i>0i r l , , >0 p, ,* , (Al ) =)u iLt + o(Lt ) ;

. suv i sa i s l > l i r p , >0 p , , _ r (L t )=y t , L t+o (L t ) ;

. sr . r v isa is i 2 .0 p i i (&) = 1- (1, + p i )Al + o(At) ;

d i a A r - + 0 i r p o = 9 .

Is Siq trijq selygq i5plaukia, kad pr(Lt) = o(Lr), kai li - jl > Z . roaetr

Tarkime, kad procesas X(r) apibrldina parai5kq skaidiq aptarnavimo sis-temoje laiko momentu r. Tada pirmoji s4lyga rei5kia: tikimybe, kad per maLqlai-ko tarpq Al atsfuas viena parai5ka, yra proporcinga tam laikotarpiui auk5tesneseiles nykstamojo dydZio Ar tikslumu. Analogi5kai galime interpretuoti vienosparai5kos i5nykimo tikimybq antroje s4lygoje. Tredioji s4lyga 1-pii(Lt)=

= (),, +p,)A/ + o(Lt) rei5kia: tikimybe, kad per maz4 laiko tarp4 Lt pasikeis

parai5kq skaidius, yra beveik proporcinga (tikslumu o(Ar)) tam laiko tarpui. Na-

tflralu ]", vadinti dauginimosi intensyvumu, o Fr - nykimo intensyvumu. Prak-

tikoje Sios charakteristikos yra Zinomos arba nustatomos bandymais.Dauginimosi ir nykimo procesq galime pavaizduoti vadinamuoju blsenq

gratu (Zr, 72 pav.).

u, pL,

72 pav.

Kaip apskaidiuoti perejimo tikimybes piiQ), kai Zinome dauginimosi irnykimo intensyvum4?

Teorema. P er ij i m o t i ki my b e s t e nki n a difer e nc i a I i n i r{ ly g i iq s i s t e m q

PioQ) = -),0 P, oQ) + V i P rQ),

n i l?) = ) ' 1 p i1;Q)-(1, + v , ) nrQ) + v1tP4*r1) ;

LL

( t . ka i i = i .p . . (0) = {

l 0 , k a i i + i .

V, Fn* r

i ia i> 0 fiksuotas, o j = 1,2, ... ir

A PasinaudojE Kolmogorovo ir iepmeno formule bei isskyrg demenissu indeksais k = j - I, j , j + l, gauname:

pi1( + tt) =\ p*Q)po,(L,t) = 2 p*tt)po,(Lt)+

k k + j _ t , J , i + l

+ p a t (t) p 1 -r (Lt) + p,, (t) p 1, (Lt) + p,1 t () p 1 q (Lt).

Vertiname pirmqj[ demeni:

, I. n a @ nr1 (Lt) < 2 pr, (Lt) = | - (p, -t i (Lt) + p,, (a,t) +k+ j ^ r , j , j + t k * j _ l , j , j + l

+ p i +t1 (Ar;; = | - (,r j N + o(N) + X j Lt + o(Ar) + I _

-(1., + V 1)N + o(Lt)) = s1611.

Dabar

pa(t + N) = p,i j t)(x j_tN + o(Ar)) + pr(t)(l- (1., + V)N +

+ o(Ar)) + pu *t(t)(tt i*rN + o(N)) + o(Lt ;,

arba

pr( t + Lr) - p , , ( t ) ,L t

- = t , , - t p4 - t ( r ) - (ny +1 t , )p r ( t )+

. , o(Ar)+ I r 1 + t P 4 + r ( / ) + ;

Apskaidiavg rib4 kai Al -+ 0 , gauname antrEji teoremos teiginl.Skaitytojas, pasinaudojqs lygybe pioe + L0=Zp*(t)poo(Lt), lengvai

pagrls pirm4ji teigin[. Pateikta begaline lygdiq sistema vadinama Kolmogorovo ir Felerio at-

virk5tine diferencialiniq lygiiq sistema.Padauging abi atvirkstines sistemos lygdiq puses is pradinio skirstinio p,9

ir sudejg Sias sandaugas, gauname blsenq tikimybiqp(r) lygdiq sistemq:p 'oQ)= -Lopo? )+ t \AQ) ,

P'1 Q) = -L, I P.1,r(r) - (l/ + p ) p.t Q) t $ 1 +rp 1 +tU), i > l.

Pavyzdys. Sisrema S gali bUti vienos iS dviejq bDsenq: 0 arba I ([ren_ginys arba neveikia, arba veikia). Atitinkami dauginimosi ir nykimo inrensy-vumai yra lo = 1,, lrr = F . Raskime b[senq tikimybes poU) =p(X(t) = 0) irp t ( t )= P (x ( / ) = l ) .

255

A Blsenq tikimybes nusako sistema

I p!o@ = -]'poQ) + ltAQ),{f p o ( r ) + p r Q ) = t

ir pradinis skirstinys po (0) = I, pr (0) = a .

p :o ! )=- ( ) .+p)po( r )+p

ir

u ) , - i l ! , , , ,

P o u ) = . - + ; - s " ' ' ' " .

A + p + F

Tada

]p t Q ) = . L t t - e - ( ^ + F ) r ) .

A + p

Sprendiniqpo(r) ir pr(r) grafikai pavaizduoti 73 paveiksle.

Kai t -+ e , sistema stabilizuojasi ir dirba stacionariuoju reZimu' Busenq

tikimybes

p e = l i m p o U ) = J ,t _ ) @ A + p

pr = l im pr ( r )=+ a- r - )@ A+ [ r

Bendruoju atveju sprgsti Sias diferencialiniq lygdiq sistemas yra sunku'

Praktikoje daZniausiai to ir nereikia. Pakanka apibldinti procesq, vykstanti

nusistovejusiu stacionariuoju reZimu, t. y. po pakankamai ilgo laiko tarpo.

Tarkime, kad egzistuoja ribos fin4@=P7

su visais i,7>0' Tikimybes

p; vadinamos finalindmis tikimybOmis. Tada

i , = tu o,(/) = fim),p? nr{t)= pl\ pl = p.,' l + € , ,

ir sakoma, kad sistema veikia stacionariuoju reZimu. Stacionariosios tikimybesA . A +

p'i sutampa su finalinemit.. p j =pj su visais 7 20. Jei jos lygios pradiniam

n

skirstiniui, t. y. jei p i = pri = pl , tai sistema vis4 laikq funkcionuoja sta-

cionariai. Stacionari4sias tikimybes trumpai Zymesime Pi, j>_�1 ' Aisku' kad

S . : 1

15 dia

73 pav.

256

stacionariai funkcionuojandi4 sistemq apibDdina tiesiniq algebriniq lyg-diq sistema

- L o p o * l r . r p t = 0 ,

-L1q1p1 t - (1 , + l t ) p1+ I t1 * rp i+ t =0 ( j > l )

su normavimo sqlyga 4

O, =1. Kodel?

J4 nesunkiai i5sprgsime. paZymekime

t r o = r , n , : & , n , = 1 0 1 r . . . . , i l , = l o l r " ' t r , - r , . . .Fr VtVz

' $tVz...V,

Kadangi su visais 7 > I

I t iP j =x i - tP 1t ,

tai

Pt = PofIt, Pz = poflz,..., pn = po[n,...

, r s _ISs4 l ygos Lp r= l gauname: po=- * - . j e igu ) | I , < - .j=o In,

n=o

Pagaliau stacionariosiostikimybes n=u

II ,P 1 = ; L , j 2 o '

! n/ - J " nn=0

Kai ))l l ,=-, taipJ = 0 su visais 7>0 ir stacionarusis skirstinys ne-n=0

egzistuoja.Pateiksime por4 eiliq teorijos matematiniq modelig apibfldinamq daugi-

nimosi ir nykimo procesais.vienkanalE aptarnavimo sistema. Sakykime, turime vienkanalg aptar-

navimo sistem4 (vienas aptarnaujantis [renginys) ir paprasdiausiq intensyvumoL parai5kq srautq. Parai5kq aptamavimo laikas yra eksponentinis, o vidutinis

jo intensyvumas lygus p. Kai aptarnavimo [renginys uZimtas, paraiska stoja Ieilg ir laukia. Eiles ilgis X(r) - paraiskq skaidius eileje laiko momentu r. Raski-me X(r) stacionarqil skirstin[.

A Pazymekime: P(X(r) = D = p,G). Tarkime, kad aptarnavimo sistema

dirba stacionariai. Tada p1U)= pi, j>_0. Dauginimosi intensyvumas 1", =1,

o nykimo intensyvumas V i = $ su visaisT > 0.

257

Stacionariosios tikimybes

l I iD ' = - =

)n,n=0

PaZymekime L raide p ir reikalaukime, kad b[tq p < 1. Tada vienka-p

nal€s sistemos stacionariosios eiles ilgio skirstinys

n lp , = ! , = ( l - p ) p / ( , r > 0 )

- L

l - p

yra geometrinis. Apibldinant 5i4 sistem4 stacionarumo sqlyga p < I yra

esmine. ATS modelis. Sakykime, aptarnavimo sistemq sudaro n kanalq (sistema

vienu metu gali aptarnauti n paraiskq). ParaiSkq srautas yra paprasdiausias irjo

intensyvumas lygus l.; aptarnavimo kiekvienu kanalu laikas - eksponentinis,

o jo intensyvumas lygus p. Radusi sistem4 uZimtq paraiSka j4 palieka (eiles

nera). Raskime uZimtrl kanalq skaidiaus XQ) skirstini.

A Tark ime, kad P(X( l ) = i )= p j ( t )= Pt , i =Ur. Daugin imosi in ten-

syvumas LL =)' su visais 7 ) 0 , o nykimo intensyvumas V, = lV su visais

j =0,n. Tada stacionariosios tikimybes yra tokios:

r (r.)'- t - l

/ l t u Jp i = - : - ) : . r - L ' j = 0 ' n .-

, I / 1 \ "

t 1 1 1 l?"kt\$ )

Sios formules vadinamos eiliq teorijos pradininko Erlango vardu.Jei kanalq skaidius yra begalinis, uZimtq kanalq stacionarusis skirstinys

r /1,)/- t - l

, r ! [p J pre-Pp j = ' - \ i L = = ( i > 0 )

- J .

e P I

yra Puasono skirstinys su parametru e =; Parametras p neturi jokiq

apribojimq stacionarusis skirstinys visada egzistuoja. A'

t,1I\ u l . i r o .

:tlI

258

1 1.5. Koreliacin6 analizd

Linome, kad atsitiktin[ proces4 visiSkai apib[dina baigtiniamadiai joskirstiniai. Tadiau daugum4 taikomojo pobDdZio uZdaviniq galima i5sprgstiapsiribojant pirmqjrl dviejq eiliq charakteristikomis: proceso vidurkiu,dispersija bei koreliacine funkcija.

Siame skyrely^je reikalausime atsitiktinio proceso {X(t), t e Z} antrosioseiles momento MX'(r) egzistavimo. Tada egzistuos proceso vidurkis, dispersijair koreliacine funkcija. Koreliacines funkcijos bazeje atliksime atsitiktinioproceso analizg.

Kadangi centruoto proceso X@ -V(D = kQ) vidurkis tU,?(l) = O,o

dispersija DX(t) = DX(t) ir koreliacine funkcija K.(t, /)= KxQ, t'), tai,

nemaZindami bendrumo, tarsime, kad MX(t) = 0.Tolydumas. Proceso tolydumq galime apibreZti dvejopai.r Procese X(t) vadiname tolydZiuoju ta5ke r pagal tikimybq, jei su

kiekvienu e > 0

P(l X(t + A) - x(r) l> e) -+ 0,

k a i A - + 0 .r ProcesE X(r) vadiname tolydZiuoju ta5ke r pagal kvadratini vidurki,

jei

M(X( / + L ) - X (1712 -+0 .

k a i A + 0 .

Trumpai Zymesime L13

"ft + A) =;11;.

Procesq vadiname tolydZiuoju aibeje Z, jeigu jis yra tolydus kiekvienameaibes ta5ke.

Jei procesas yra tolydus pagal kvadratin[ vidurki tai jis tolydus ir pagaltikimybg. Sis teiginys i5plaukia i5 eebySovo nelygybes. {sitikinkite.

Baziniu tolydumo apibreZimu imsime antrEjl apibreZim4. Tada tolydumokriterij q gale sime ap ibEdinti koreliac ine funkcij a.

I teorema. Atsitiktinis procesas X(t) yra tolydus taike t tada ir tik tada,kai koreliacinefunkcija K(t, t') tolydi tiesdje t : t'.

A Pakankamumas. Apskaidiuojame pokydio X(t + A,) - X(t) kvadratovidurki:

M(X(r + L) - X (t))2 = MX 2 (t + L) - 2MX (t + L) X (t) + wtx 2 1t7.

Kadangi MX(r) = 9,1ai

N I (X ( / + L ) - X ( t ) )2 = K ( t +A , t+A) -2K( t+4 , / ) + K ( t , t ) .

259

15 Sios lygybds ir koreliacines funkcijos K(t, t) tolydumo tieseje t = /'i5-

plaukia, kad lim M(X (t + L)- X(t))2 = 0 . Pakankamumas irodyas. Skaity-

tojas be vargo irodys b[tinum4. AStacionariojo proceso X(r) tolydumo kriterijus yra toks: K(t) tolydi taS-

ke t :0. Pagriskite.I5vestin€. Proces4 X(l) vadiname diferencijuojamu ta5ke r, jeigu egzis-

tuoja toks procesas X'(t) , su kuriuo

(*i--x,(,)) --+0.

k a i A - + 0 .Proces4X(t) vadiname proceso X(r) i5vestine ir ra5ome

v{ t a t r ) - X( t )X ' ( t ) = l . i ' m " ' * '

A+0 A

2 teorema. Atsitiktinis procesas X(t) yra difurencijuoiamas taike t tada irtik tada, kai

a2xtt. { ' t l. - l < @ .

dtd{ |t t=t

I iv es fi nAs kor el i acina funkcii a

. , \ 02 K1, t '1K Y ' U , I ) = - - - - -" dtdl

Teoremos irodym4 galima rasti I I 1] knygoje'I5 teoremos i5plaukia toks stacionariojo proceso diferencijuojamumo

kriterijus: r"(t)|"=o <-. Be to, i5vestines koreliacind funkcija Kv'(r)=

= -x'x@),o drauge X'(t)yra stacionarusis pladiqia prasme procesas.

L pavyzdys. Proceso vidurkis MX(t) = ln, o koreliacine funkcija

K x G) - 62 e-o l l ,G, > 0, t€ R.

Ar procesas X(t) yra diferencijuojamas?A Kadangi Sio stacionariojo pladiqia prasme proceso koreliacines funk-

ciios iSvestine

[- o.o2 r-* .kai t > o,K " ( T ) = {

l u o 2 " " ' , k a i t < o

260

ir _lim K'xG)=-o,o2 #ao2 = l im K'r(t). tai antroji koreliacines funkcijosl r v r r + 0 -

i5vestine taske t = 0 neegzistuoja. Procesas X(r) yra nediferencijuojamas.Priminsime, kad tokias charakteristikas turinti procesE - atsitiktini telegrafosignalE - tyreme I 1.3 skyrelyje. A

2 pavyzdys, Gauso atsitiktinio proceso X(r) vidurkis MX(/) = m, o kore-liacine funkcija

^ t

K x G )Kokia tikimybe, kad proceso kitimo greitis bus ne maZesnis uZ skaidiq a?A Kai X(t) yra Gauso procesas, jo kitimo greitis X'(/) - taip pat Gauso

procesas, be to, MX(/) = 0, o dispersUaDX'(t) = Kx,(0) = -K'x(0) =2o2a.

I5vestines X'(t) vienmatis tankis

, - "p (x l t )= - - l s 4o 'a

2o4nair tikimybe

@ / \

P(x'( t )> o)= | p( , l t )dx =r- �q) l -+1. r

Kai X(r) - ,tu.ilnu*r,, o.o."rur,[fuo1[1"*l.1*r"-um4 galime apibr-dinti spektriniu tankiu Sx (rrl) . Kadangi

K x G) = Je'"Sx (rrl)do ir K'x G\: -

Je''-o2sx (o)do,

tai X(t)yra diferJncijuojamas tada ir tik tuau,-iuif r

I rrr'S, (ro;dro < -.:

I5vestines spektrinis tankis S1.,(co) = r,l2Sx(rrl). Matome, kad spektriniutankiu proceso diferencijuojamumo problema sprendZiama labai lengvai.

Integralas. Sakykime, turime atsitiktini proces4 {X(t), t e Z}. Atkarp4fa, bl c I suskaidykime taikais a = to 1 t,r < tz 1 ... I t n = b . Atsitiktinio pro-ceso X(l) integralq apibreZiame taip:

i la To efto_r,

LX\ t k )L t k :k=l

t t - t t - t , k = 1 , n .

b

I X(t)dta

: L i .m.

max Ar* -+0

tp) , Lt1, =

261

3 teorema. Atsitiktinis procesas X(t) yra integruojamas atkarpoje [a, b],jei integralas

b b

[ [*ru, t ' )dtdt ' <*.

t t t '

Kai I ( r ) = lX1t1dt , ta iK, ( t . / ' )= l l Kr( t . / )d td/ .

lroay.ias pateiktas tl 1l knygoji.Stacionariojo proceso integralas gali blti nestacionarusis procesas. Inte-

gruodami Gauso proces4 gausime taip pat Gauso procesq. Kodel?Ergodi5kumas. Atsitiktin[ proces4 X(r) vadiname ergodiniu vidurkio

atZvilgiu, jei:

o MX(t) = m:

, tD+I '

. l . i .m. ] | xg;at = r-+* T J

t,,

su visais /e.4 teorema. (Ergodi5kumo kriterijus.) Atsitiktinis procesas X(t) yra

ergodinis vidurkio ativilgiu tada ir tiktada, kai

, t o+T t o+Tl f t

l . i r .= | | r t t . t ' )d td t ' =0 .t + 6 l - r .

I o l o

I t . , + t \ 2 l t ^ + T \

r l l " l x1 t1a t - ^ l= * r l I k ( , 1a ,1 .[ ' ; ) r " t , ; )

( , , o l r ) ' I t o + " T t o + T

t l ; J xQ)dt -^ l =F J )xQ. t '1dtd{ .[ t u ) ' ' o l o

I5 Sio s4rySio iSplaukia proceso ergodi5kumo butinumas ir pakankamu-mas.lsit ikinkite. A

Pakankamoji ergodiSkumo sqlyga ya tokia K r(t,t') -+ O,kail{ - / l-+ -.

3 pavyzdys. Atsitiktinio proceso vidurkis MX(t) = 0, o koreliacine funk-

clja K y (t, {1 = o2 cosrrr(l'- /). Ar procesas X(t) yra ergodinis?

262

A Pakankamoji s4lyga netenkinama: KxQ,0-l> O, kai ll-r' l-+-.Atsakymo neturime ! Pasinaudosime ergodi5kumo kriterijumi:

+TT"cos0,(1' -)d{dt -o'�rSsna'g'-tlll o, -r"oto r" ro (l) lo

=*iut'(z-r)+sinro Dat <24 r =* -0, kai z -+ - .

Procesas yra ergodinis vidurkio atZvilgiu ir Li.m. j I x g\at = 0 . Ar - *T l

Kai procesas yra ergodinis vidurkio atZvilgiu, jo vidurk[ galima skaidiuotine pagal realizacijq ir pjlviq visum4 bet pagal vien4 jo realizactlq per ilg4

t ' u l 'laikotarpi Z, remiantis apytiksle formule MXlt;=

7 lX<tlat. Tai gerokai

t^

palengvina vidurkio skaidiavimo procediirqBaigdami skyreli paminesime praktikoje

labai daZnq problem4. Kaip, Ztnant paten- x(t)

kandio i dinamine sistema atsitiktinio proceso

charakteristikas, apibfldinti i5ejusio i5 tos sis-temos proceso charakteristikas (74 pav.)? 74 pav'

Kai sistemq nusakantis operatorius A yra tiesinis (dinamine sistema tie-

sine), 5i problema su pirmqiq dviejq eiliq charakteristikomis i5 dalies mflsq jau

i5sprgsta (diferencijavimo ir integravimo operatoriams).Priminsime, kad operatoriq A vadiname tiesiniu, kai

A(crXr Q) + 9X 2QD = aAX tQ) + PAX zQ);d ia a i r B -konstantos.

Apibendrinsime gautus teiginius. Tarkime, kad Zinome proceso X(t) vi-

durk[ ir koreliacinE funkcij4 o sistemq apibiidina tiesinis operatorius L: Y(t) =

= AX(/). Jei egzistuoja proceso f(/) vidurkis ir koreliacine funkcija, tai:. MY(/) = AMX(I);. Ky( t , t ' )= A,ArKx( t , t ' ) .

A Pirmqii teigini pagrindZia tai, kad abu operatoriai (M ir A) yra tiesi-

niai. Antrasis lengvai [rodomas:o o

K y (t, /) = M Y (t) Y ({) = M(ar(r) - MAX(/)XAX(/) - MAX(I')) =

= M(Ar(x(r) - Mx(r)x ^t,(x(/) - MAx(r)) =

. o o= A,A, ,N[X(t )X( / ) .

263

Praktikoje aktuali optimaliqjq dinaminiq sistemrl klrimo problema: Zi-nant proceso X(t) charakteristikas, operatoriq A apibudinti taip, kad i5ejusioproceso charakteristikos bltq artimos prognozuojamoms. Apie tai skaitykite

[4] knygoje.

UZdaviniai

L. Apskaidiuokite atsitiktinio proceso X(t) vidurki dispersij4 ir korelia-cing funkcij4 kai:

a ) X ( t ) = X s i n 2 t - Y c o s 2 t , . X , - N ( 1 , 2 ) , Y - T ( - l , l ) , p = 0 , p = 0 , 3 ;

b) x ( t )=2x +Yt3 , x - c ( : ) , Y - o1r 's , p = 0 , p = 0 ,e ;l r 0 j .

c ) x ( t ) = - x l n t + 2 Y e - ' , x - E ( 2 ) , 1 - N ( 3 ; 0 , 5 ) , p = 0 , p = - 0 , 8 .

2. Apskaidiuokite atsitiktinio procesoX ( t ) = Y a Y ,

vidurki, dispersij4 ir koreliacinE funkcij4 kai X ir Y yra nekoreliuoti normalieji

atsitiktiniai dydZiai: X - N(1,2), y - N(-3,1). Raskite vienmati ir dvimat[

proceso skirstin[.

3. Raskite vienmati harmoninio virpesioX( t )= l cos (o l t+ rP )

tankl, kai amplitude A ir daZnis o yra pastovfs, o atsitiktine faze

q - T(-n,n). Apskaidiuokite proceso X(t) vidurki, dispersijq bei koreliacinq

tunkcij4.

4. Atsitiktinio proceso X(t) vidurkis MX(4 = sin r, o koreliacine funkcija

K x Ut , t2) = 62 s-( tz- t ' ) ' . Raski te procesod

YQ)=:-Y1',clt

vidurk[ ir dispersij4. Ar procesai Y(t) ir Y(t) - cos / yra stacionarus pladiqlaprasme?

5. Atsitiktinio proceso X(t) vidurkis MX(/) = t2+3t, o koreliacine funkcija

KxQr, t )= e- t f1 ; . Raski te Proceso

Y Q ) = f Y ' 1 4 + 3 t 2 - 2 t 3

vidurki koreliacing funkcij4 ir dispersij4.

264

6. Atsitiktinis procesas

X ( t ) = Y s i n l + l c o s t ,o MX = l, MI = -2 ir koreliacind matrica

( r 2 )B = l l .

t 2 9 lt

Raskite procesq Y(t !=372y1/)+cos/ i r Z(t) =2t lX@)au+2t2 vi-0

durki dispersij4 bei koreliacing funkcij4.

7. Atsitiktinis procesas X(t) yra stacionarusis Gauso (normalusis) proce-sas, kurio vidurkis MX(/) = re ir spektrinis tankis

f a , k a i l t r l l b .Para5ykite vienmati bei dvimati proceso tanki ir, imdami a = l, b = l,

apskaidiuokite tikimybE

P(x ' ( t ) <2) .

8. Proceso X(t) koreliacine funkcija( ^I t _ t

l ' " . k a i l t l < 2 ,

KG)=4 rI

l .0 ,ka i lx l>7.{rodykite, kad spektrinis tankis

2 t(uJTJ(CD) = ----------=-Sln- -.

nTa' 2

NubraiZykite S(trr) ir K(t) grafikus.

9. Proceso X(l) vidurkis MX(t) = zr, o koreliacine funkcija:

a) K(t) - o2e-dll l ( l+ o I t l), a > 0;

b ) r ( ( t ) = r * ! $ , 4 > 0 . P > 0 .

Ar procesas X(t) yra ergodinis? Pateikite praktines i5vadas.

L 0. Stac ionarioj o proceso koreliacine funkc ij a

r ( ( t )= o2"-d( l r l cosPt , a>0, P>0.

Raskite spektrin[ tank[ ,S(trl). Nustatykite, ar procesas X(t) yra diferenci-

juojamas.

265

11. Kiek kartq diferencijuojamas yra procesas, kurio spektrinis tankis')

0,o-a ) S ( o ) . 0 > 0 ;

n(0,- +(r)- )-

b) S(o) = 921r.l�2 +a2y

(toa + otro2 + B)3 '

c) S(ro) - 62e-*', cr > 0 ?

12. Procesas X(r) apib[dina paprasdiausio srauto, kurio vidutinis intensy-vumas 1,, ivykiq skaidiq atkarpoje [0, r]. [rodykite, kad s4lyginis skirstinys yratoks:

k a i 0 < s c r .

13. Tarkime, kad procesas,V( , )

YQ)= lxo ;t=0

dia N(r) - homogeninis Puasono procesas, kurio vidutinis intensyvumas .1.;Xo = 0, o Xp(k > l) - nepriklausomieji atsitiktiniai dydLiai, vienodai patikimai

igyjantys reik5mes --a ir +a; X1, ir N(t) - nepriklausomi. Remdamiesi Siaisduomenimis:

a) nubraiZykite bent vien4 galimq proceso Y(t) realizacljq;b) apskaidiuokite vidurki MY(r);c) raskite I(r) charakteristing funkcij S"fv (u) ;

_to-u'

d) frodykite, kad f, (u) -s e 2 ,kai l" -+ - ir a2)" -+ o2 ;

e) pateikite selygq ]. -t - ir a2), --s 02 komentarus;f) pagriskite iSvadq apie ribini skirstin[ (pasinaudokite d) rezultatu).

14. Stebedami stacionarqii Puasono sraut4 kurio vidutinis intensyvumas]., atsitiktini procesqX(t) apibfidiname taip: procesas vienodai patikimai igyjareik5mes -l ir 1, po kiekvieno srauto ivykio keisdamas savo reik5mg i5 -l i Iarba atvirkSdiai. Pateikite galimq proceso X(t) realizacljq raskite koreliacingfunkcijq ir dispersij4. Ar procesas X(t) yra diferencijuojamas? Ar jis ergodinis?

15. Kompiuterio darbo procesas apibiidinamas taip. Kompiuterio gedimqsrautas - paprasdiausias srautas, kurio vidutinis intensyvumas 1,. Sugedgs

, ( " \ k ( " \ ' - kP ( x ( s ) = k l X ( t ) = n ) = C X l : I I l - : | ( k = 0 , n ) ,

\ r / \ t )

266

kompiuteris nedelsiant remontuojamas. Remonto trukmes skirstinys yra ekspo-nentinis, o jo parametras lygus p. Pradiniu laiko momentu r = 0 kompiuterisveikia. Sudarykite bDsenq grafq bei Kolmogorovo lygdiq sistem4 ir apskai-diuokite:

a) tikimybE, kad laiko momentu r kompiuteris veiks;b) tikimybg, kad laikotarpiu r kompiuteris nors vien4 kartq suges;c) kompiuterio biisenq finalines tikimybes.

12MATE MATI N ES STATISTI KOSPRADMENYS

Tikimybiq teorijoje kureme atsitiktiniq rei5kiniq matematinius mode-lius ir jq bazeje skailiavome ivykiq tikimybes, atsitiktiniq dydZiq pasi-skirstymo funkcijas, vidurkius, dispersijas bei kitas charakteristikas. Taiteoriniai modeliai ir teorines charakteristikos. Praktin[ jq tinkamum4 rei-kia [vertinti tiriamojo rei5kinio statistiniq duomenq pagrindu. Kitaip ta-riant, i5 tikimybiq teoruos pateiktq teoriniq modeliq bibliotekos reikia i5-rinkti t4 modeli, kuris pakankamai gerai atitinka stebejimo duomenis(adekvatus modelis). Parinkp tinkam4 model! galime t4 rei5kini anali-zuoti, prognozuoti, priimti pagristus sprendimus.

Matematine statistika teikia duomenq rinkimo, apdorojimo ir analizesmatematinius metodus. Jos, kaip ir tikimybiq teorijos, tikslas - nustatltimasiniq atsitiktiniq reiSkiniq desningumus.

Siame skyriuje sprqsime dviejq tipq uZdavinius: ivertinimo ir hipoteziqtikrinimo. Tadiau turime Zinoti, jog matematine statistika neapsiriboja vienjais. Tie uZdaviniai sudaro tik mazq statistikos mokslo dal[. Norintiemsgeriau paZinti Sio mokslo metodus rekomenduojame |,2,6,7] knygas.

12.1. General ine aib6. lmtis

Pirmiausia Sias s4vokas apibodinsime elementariai, veliau jas patiks-linsime.

Sakykime, norime tirti kur[ nors vienart5iq objektq grupes poZym[. Taigali biiti, pavyzdliui, gaminio mase, individo [gis, elemento ilgaamZi5kumas,investicijq dydis, prekes kaina. Visq poZymio reikSmiq aibg vadinsime gene-raline aibe. Kai generalinds aibes t[ris (objektq skaidius) didelis, tirti vis4 aibgarba neimanoma, arba, jei tyrimui reikia daug laiko ar leSr5 netikslinga. Tokiaisatvejais tiriame atsitiktinai parinktq generalinds aibes dal[ ir i5 jos sprendZiameapie poimio skirstinl visoje aibeje. Atsitiktinai atrinkt4 generalinds aibes dalivadiname imtimi. Ji yra bet kurio statistinio fyrimo baze. Reikalausime, kadimtis b0tq reprezentatyvi, t. y. gerai atspindetq tiriamojo poimio savybes ge-neralineje aibeje. Tai pasiekiama, kai imties elementai i5 generalines aibdsatrenkami atsitiktinai. Pateikiame keletq praktikoje daZnai taikomq atrankosmetodq.

Paprastoji atranka. I5 generalines aibes imame po vien4 elementE Pa-naudojg atsitiktiniq skaidiq lentelg (Zr. 5 lentelq) arba kompiuteriu generuoja-mus atsitiktinius skaidius, galime atrinkti reprezentatyvi4 imt[. Atranka gali b0ti

269

grqZinamoji arba negr4Zinamoji. Pirmuoju atveju atsitiktinai atrinktas ele-mentas, nustadius poimio skaiting vertE, grqZinamas i generaling aibg ir atran-ka kartojama tiek kartq, kokio ttirio imti norime sudaryti. Matome, kad grqLina-moji atranka grindZiama nepriklausomaisiais eksperimentais. Kai i5tirtas ele-mentas negr4Zinamas I generalinq aibq, o po jo atrenkamas antras elementas irt. t., turime negr4Zinamql4 atrank4. Si atranka - priklausomieji eksperimentai.Kai generalines aibes tflris didelis, o imtis sudaro maZ4jos dali, skirtumas tarpSiais dviem bldais atrinktq imdirl yra nereik5mingas.

Mechanin6 atranka. Generaling aibg suskaidome i tiek grupi[ kiek ele-mentq norime atrinkti i imt[. I5 kiekvienos grupes atsitiktinai atrenkame povien4 element4. Jei, pavyzdLiui, imtis turi bUti sudaryta iS 25o/o generalindsaibes elementr5 tai I imti atrenkamas kas ketvirtas elementas.

Serijin€ atranka. Generaling aibg suskaidome i serijas, jas sunumeruo-jame, paskui paprastqia atranka sudarome bendr4 imti apjungdami atrinktasserijas. PavyzdLiu| jei produkcijq pateikia didele tiekejq grupe, tai I imt[pateks tik kelitl tiekejq produkcija. Sis atrankos budas taikomas tada, kai nagri-nejamo poZyrnio vertd, ma1ai svyruoja generalinOs aibes skirtingose dalyse.Serijq atranka gali bfti gr4Zinamoji arba negr4Zinamoji.

Kombinuotoji atranka. Tai serijines ir paprastosios atrankos junginys.Generaling aibg suskaidome I vienodo tririo dalis ir i5 kiekvienos jq atrenkameserijas elemenh; kuriuos sujungiame I vienq grupg. Paprast4ja atranka i5 Siosgrupes sudarome imtl.

Sluoksniuotoji atranka. Kai generaline aibe yra nehomogeni5ka tiriamopoZymio atZvilgiu, jq suskaidome i homogeni5kas grupes ir paprastqja atrankai5 kiekvienos grupes sudarome dalines imtis, kurias sujungiame I bendrqiq imt[.

Kuri ahankos b[d4 tai$ti praktikoje, priklauso nuo konkretaus uZdavi-nio. Pavyzdliui, produkcijos kokybes kontroles uZdaviniai sprendZiami taikantkeliq atrankos bfdq kompleks4.

Reprezentatyvios imties sudarymo tikslas - nustatlti generalines aibestikimybini skirstin[. Modeliuojant atsitiktini rei5kini daZnai sprendZiamasatvirk5dias uZdavinys - Linant poZymio skirstinl generalineje aibeje ir neatlie-kant konkrediq eksperimentr5 norima sudaryti reprezentatyviq Sio poZymio im-t[. Toks uZdavinys sprendZiamas Monte Karlo metodu, imti generuojant kom-piuteriu. Si metodq glaustai pateikiame 10.4 skyrelyje.

Dabar tikimybiq teorijos bazeje tiksliau apibreZkime generaling aibg irimti. Sias s4vokas matematineje statistikoje apibtdiname atsitiktiniq dydZiqterminais. Sakykime, tiriame atsitiktini dydi X, kurio tikimybiq skirstinys neZi-nomas. DydZio X igyjamq reik5miq aibg f)" vadiname generaline aibe. Atsi-

tiktin[ dyd[ stebedami n kartr6 gauname jo realizacijas x1, x2, ..., x,. StebetqreikSmiq visumq (rr, *2,..., -rn) vadiname imtimi, o skaidiq n - imties turiu.

Konkredios imties (x1, xz, ..., .r,) elementai x; (i =1,r) yra skaidiai,

210

apibldinantys atsitiktini dydi X (tiriamEjI pozymD. Atlike kit4 n eksperimentqserij4 gausime imt[ (xi, ,i,...,x',), kurios elementai skirsis nuo ankstesnes

imties (x1, xt" ..., x,) elementq. Todel imti natlralu traktuoti kaip n atsitiktiniqdydZiq visum4 kuri konkrediu atveju, n kartq stebint dydi X, yra n skaidiqrinkinys. Kitaip tariant, konkreti imtis (;r1, xz, ..., x,) yra atsitiktinio vektoriaus(Xr Xz, ..., X) realizaclja.

Paprast4ja atsitiktine imtimi vadiname n-mat[ vektorirtr (Xr, Xz, ..., X"),

kurio koordinates X; (i=l,r) yra nepriklausomieji atsitiktiniai dydZiai su to-

kiu pat kaip ir X tikimybirl skirstiniu. Sio vektoriaus realizacijq (x1, xv ..., xn)vadiname paprastqia imtimi.

Klasikine matematind statistika nagrineja tik tokias imtis, todel Lodi,,pa-prastoj i" dainai prale isime.

12.2. Empiriniai skirsti niai

Tarkime, kad (Xr, Xz, ..., X") yra dydZio X atsitiktine imtis. Bet kuriqimties funkcijE U = U(Xt, X2, ..., X") vadiname statistika. Ji yra atsitiktinisdydis. Kai (xr, xa ..., x) - konkreti imtis, U(x1, xz, ..., xn) yra skaidius, t. y.atsitiktinio dydZio U(Xt, X2, ..., x,) tgyta reiksme.

Sura5ykime imties elementus jq didejimo tvarka:X ( t ) 3 X ( r ) t . . . t X ( , ) .

Si4 sek4 vadinsime variacine imties eilute, o jos elementus X1p., & =Ln) -

pozicin€mis statistikomis. Kra5tiniai variacinds eilutes nariai (ekstremaliosiosreik5mes)

X11; : min(X1, X 2, . . . , Xn) , X g1 = max(Xt , X2, . . . , X r )

apibreZia imties plot[ X1 4 - Xs1. Si statistika apibiidina imties sklaidq.Sakykime, imtyje (X1, Xa ..., X,) yra tik s (s < n) skirtingq elementq

Fr, rt r,..., fr , . Jq pasikartojimo daZnius paimekime k1, k2,...,t, , o santy-

kinius daZnius - Wr=k',...,W,:&. *ut imties elementai nepasikartojan n

( s = n ) . t a i W , = W z = . . = 1 Y , = !

Empiriniu skirstiniu uuOi,i-. reiksmiq (I,,W,) (dia i = t,, ) uiOp'

rt, rt, r, ft,Iryi wr \ry2 W',

2tr

Ai5ku, kad l(t +l(t + ...+If " =1.

Pirmas ir kartu bendriausias statistikos uZdavinys - imtimi (Xb X7 ..., X,)[vertinti atsitiktinio dydZio X pasiskirstymo funkcij4 F(x) = P(X < x). Teorinespasiskirstymo funkcijos F(x) statistinis ivertis yra empirin€ pasiskirstymofunkcija. Apibre5ime j 4.

Imkime variacing eilutE

X r 1 1 < X p \ < . . . < X , " r . s S r .

Empirine pasiskirstymo funkcija f vadiname [vykio (X < x) santykini

daZnI

lo, tai, . rt(r),1 . k " l s ,Fn(x) = r = 1 ) ,1/ i ,ka i X1i ; < x 3 X1i+t1,

n lF,l r r .1 , , a i x > X1"1 i

(ia k* - atsitiktines imties dydZiq X;, maZesniq uL x, dahnis; t, , =l{t : X , < x}l .

Jeigu imties elementai nepasikartoja (s = n), tai%t =Wz =...=y, =! i,

empirine pasiskirstymo funkcijat l t

Fr(x) = ) , ka i X,o, < x 3 X g+g, k = l ,n- t ,n '

o k yraivykio (X < x) daZnis imtyje. Siuo atveju tunkcijos i (x; Suoliq dydis

Iyra - .

Konkredios imties (-r1, x2, ...,kai pateikti 75 paveiksle (a ir b).

r,) empirines pasiskirstymo funkcijos grafi-

r,a

* (n ) '

75 pav.

272

b)a)

Empirine pasiskirstymo funkcija i^1r1 yru statistika. Dar daugiau - tai

atsitiktinis procesas, kurio konkredios baigtys pateiktos 75 paveiksle. Siaifunkcijai biidingos visos diskediojo atsitiktinio dydZio teorin€s pasiskirstymo

funkcijos savybes. Tadiau dar kart4 pabre5ime, kad funkcija f 1r; y.u n"

tikimybe, bet [vykio (X < *) santykinis daZnis (atsitiktiniq dydZiq X;, maZesniquZ x, skaidiaus bei imties t0rio santykis).

Dahio ftskirstinys yrabinominis, joparametrai-nir p = P(X < x) = F(x).n

Todel statistikos F" (x) vidurkis n n

Mf" (x ) = :L= F (x ) ,

o dispersija n

r(x)(l - F(r))

Be to, i5 Bemulio didZiqiq skaidiq desnio i5plaukia ma 4 (x) ---t--+ f 61 ,k a i n - + - .

Vadinasi, kai imties tflris n didelis, empirine pasiskirstymo funkcijaN

F,(x) maLai skiriasi nuo teorines F(.r). Drauge galima teigti, kad Fn(x) yra

,,kokybi5kas" teorines pasiskirstymo funkcijos F(x) [vertis.Praktikoje didele imtis i5 pradZiq grupuojama ir tik paskui skaidiuojami

empiriniai skirstiniai bei kitos charakteristikos. Be to, grupuota imtimiapibreZiamas teorinio tankio statistinis analogas. Siuo atveju visq dydZio X imtisuskaidome i s vienodo ilgio intervalq ta5kais

X(t ) = 0o < g, l < dz 1. . .1d, = X(r \ .

Tada kiekvieno intervalo ilgis A = X "'

- X u' . Kai imties t[ris yra Simtq eiles,s

intervalq skaidius s paprastai apibiidinamas nelygybemis 6<s<20. Darsii i loma formule 5 =[+3,321gn]. Sakykime, I intervalus [cro, cr1), [c,, cr2),

..., [c[.,-r, o, ] pateko atit inkamai k1, k2,...,]., imties reik5miq. Empirin[ gru-

puot4 skirstini uZra5ome lentele

Intervalai [ g o , g r ) Icrr , gz ) Ic , r - r , g . r ]

ViduriotaSkai

xl x2 X"

SantykiniaidaZniai

K1

;k2

n

K .

;

of,t'r=ryP=

273

Kaip ir anksdiau, empirin€ pasiskirstymo funkcijat f t k , + k ' , + . . .+ k '

F , (x ) = ry (X < * ) = i= T ;

d ia a , < . r S o111, I = l , s -1 .

Konkredios imties atveju Sios funkcijos grafikas yra laiptuota kreive.Kartais empirine pasiskirstymo funkcija vaizduojama sukauptqiq santykiniq

daZnirr daugiakampiu - kumuliante: apskaidiuojame F,(o,) = W (X ( cr, ) =

i l r

= t2 i r ta5kus (4,; F,(cx,)) , i =1,r , sujungiame lauLte(76pav.,a).u , n

76 pav.

TolydZiojo atsitiktinio dydZio X skirstinio savybes vaizdLiau atspindi

tankis p(-r). Statistinis jo analogas yra empirinis tankis

0 , k a i x < c r e ,

\ , * u i c r o ( x ( c r r ,

p,(x) =

\ , uu io , - r s r (0 , ,

0 , k a i x ) c t " .

Kai imties tlris n didelis, o A maZas, funkcijos p(x) ir f,61 maZain

skiriasi. Tiksliau, p,(x)-J-+ p(.r) su kiekvienu x,kai n -+ * .

Empirinis tankis grafiSkai vaizduojamas santykiniq daZniq histograma.

J4 sudarome taip. Kiekvienq x aSies interval4 [cr;-1 , cr, ) (dia i = l, s) laikome

stadiakampio. kurio plotas lygus & . pagrindu ir braiZome s stadiakampiq.

214

Tuomet i-tojo stadiakampio aukStind bus fygi 4. Gautoji laiptuota figiiranL,

vadinama santykiniq daZniq histograma (76 pav., b).Figfros, kuri4 riboja santykiniq daZniq histograma, plotas lygus l. Kai n

yra didelis, o A maZas, funkcijq p(x) ir f ,6) grafikai yra ,,artimi". Todel

praktikoje i5 histogramos vizualiai kartais pavyksta nustatyti teorinio skirstiniotipqarba bent prielaidas apiej[.

Kai X yra diskretusis atsitiktinis dydis, igyjantis nedaug reik5mir5 imtiesduomenys negrupuojami. Jei X Gyjamq reikSmiq aibe didele, tai skirstinigalima aproksimuoti tolydZiuoju ir duomenq grupavimas turi prasmg. Be to,sugmpaws duomenis, sumaZeja skaidiavimo apimtis.

1 2.3. Skaitiniq charakteristikqstatistiniai [verdiai

Tikimybiq teorijos kurse nagrinejome atsitiktinio dydZio X skaitinescharakteristikas: vidurki dispersijq auk5tesniqjrl eiliq momentus, kvantilius irkt. Tai teorines charakteristikos. Statistiniai jq analogai ([verdiai) yra empirinescharakteristikos.

Tarkime, kad (X1, Xz, ..., X,) yra dydLio X atsitiktine imtis. Pirmiausiaapibre5ime teoriniq momentq statistinius analogus.

o Empirinis ft-tosios eiles pradinis momentas

, k = 1 , 2 , . . ., r=)2r,Kai k = l, gauname empirin[ vidurk[

t gC \ = X : : ) X , ,- n 1

o Empirinis ft-tosios eiles centrinis momentas

^ l 4t i , = 1 ) . ( x , - � i ) o . k = t , 2 . . . .

n 1 '

i, = 0 ,o i, vadiname empirine dispersiia ir imime1 n

s2 = 1) (x , _V) , .n - , '

275

r Centriniais empiriniais momentais apibreZiami empiriniai asimetri'jos ir eksceso koeficientai:

A

i " = +, t , =4_�t" s r " s +

Empirin[ p{aji kvantil[ ip apibreZiame pozicine statistika

x p = X6rp1+t1,

(:ialnpl - skaidiaus np sveikoji dalis. Empirinius kvantilius galime skaidiuoti

naudodami kumuliantg (76 pav., a). Kai p=+, gauname empirinE medianq

i, = )r. Kai variacines sekos elementq skaidius n nelyginis, mediana lygi Sios

tsekos viduriniam nariui, o kai n lyginis - pusei dviejq viduriniq nariq sumos.

Visos Sios empirines charakteristikos egzistuoja. Kodel?

Atsitiktinio dydZio empirines charakleristikos yra imties (X1, X2,.'., X n)

tunkcijos (statistikos). Todel jos yra atsitiktiniai dydLiai, ir galime kalbeti apie

tikimybinius jq skirstinius bei skaitines charakteristikas.

P avyzdLiui,empirinio vidurkio 7 vidurkis

' : : l g - - IM X = : ; . M X , _ _ n m = m ;

f f - - n

Eia m =Vft - r"".i"is dydZio X vidurkis.Empirinio vidurkio dispersij a

l n n 2

D 7 = + t o X , = L ; t i a o 2 = D X .n ' ' 1 n

Empirinio vidurkio tikimybinis skirstinys lengvai apib[dinamas tais atve-jais, kai imtis yra i5 generalinds aibes, kurios tikimybiniam skirstiniui b[dinga

stabilumo savybe: pagal tq pati desni pasiskirsdiusiq nepriklausomrdq atsitik-

tiniq dydZiq sumos skirstinys yra to paties tipo, kaip ir demenq (normalusis,

Puasono, gama, binominis). PavyzdZiui, kai X - N(m, o), empirinis vidurkis

- 3 ( ^ ) .

Empiriniai momentai yra nepriklausomqjq atsitiktiniq dydZiq sumos. To-

del, kai imties tfiris n didelis, empiriniq momentq skirstinius galime aproksi-

U - "[ *,fr),o kai x - q(]") , tainV

276

muoti normaliuoju skirstiniu. PavyzdZiui, jei egzistuoja n&,0, tai i5 centrines

ribines teoremos iSplaukia, kad( " " lp l oo- ruoo <x l==+Q(x) ,

t l " lI { D a o l

kai n-+ -. Siuo atveju sakoma, kad empiriniai momentai yra asimptoti5kainormaliis.

Grupuotos imties atveju empiriniai momentai apibreZiami taip:

dia s - intervalq skaidius, o I, - intervalo [oi-r,c[;)(, =l,s) vidurio taikas.

Momentq skaidiavimas su sugrupuotais duomenimis yra paprastesnis. Kuodidesnis intervalo ilgis A, tuo maZiau skaidiavimr5 bet tuo didesne paklaida.Paklaidas galima sumaZinti naudojant Separdo pataisas (Zr. tll).

'12.4. T aiki niai parametrq [verdiai

Tarkime, kad teorinis atsitiktinio dydZio X (generalines aibes) modelis yraZinomas. J[ apib[dinkime pasiskirstymo funkcija F(x,0); dia 0 - neZinomas

parametras, arba parametrq veklorius.Sudarykime atsitiktinio dydZio X imti (Xr, Xz, ..., X,). Imties tunkcijq

0n =0r(X1,X2,...,X,), nepriklausandiE nuo parametro 0, vadiname para-

metro 0 ta5kiniu iveriiu. Tokiq imties funkcijq (statistikq) galime parinktidaug ir [vairiq. Tadiau mums svarb[s ne bet kokie, o tik ,,kokybiSki" lverdiai,t. y. tie, kurie artimi neZinomam parametrui 0 . Apibrldinsime [verdiq kokybi5-kumo kriterijus.

Suderintasis ivertis. [verdiq sekq {6,, r > l} vadiname suderintqla, jei-

gu su kiekvienu € > 0

P ( 4 , - o l < e ) - + 0kai n-+ -. Kitaip tariant, kai imties tiiris n didelis, labai patikima, kad para-

metras 0 bus artimas [verdiui 6, .

Sakykime, turime imt[ i5 Puasono generalines aibes, t.y. X -?V(],,). IS

Chindino didZiqjq skaidiq d€snio iSplaukia, kad su kiekvienu t > 0

P( t - ) , l < e ) -+ 0

a l J ^ r J

a, = r t t l k , . i , = !>F: k , . k =1 .2 . . . . :" n a n

27'7

kai n-+ -. Empirinis vidurkis X yra Puasono skirstinio parametro ),,=MXsuderintasis [vertis.

Nepaslinktasis lvertis. lvert[ 6, vadiname nepaslinktuoju, jeigu

Vr6, = O.Poslinki Vf 6,-O vadiname sistemine paklaida. Sis kriter4us yra siste-

miniq paklaidq nebuvimo garantas.

I pavyzdys. Sakykime, atsitiktinio dydZio X skirstinys yra normalusis:

X - N(m,o). Tarkime, kad dispersija o2 neZinoma. Kai vidurkis MX = m

Zinomas, statistika Sr' =1i1X , -^)2 yra nepaslinktasis dispersijos ivertis.n aTikrai, nes

M s o 2 = 1 f u 1 x , - m ) 2 = ! n o ' = o ' ." n a n

Toliau orti*", kad vidurkis ru neZinomas. Imkime dispersijos o2 statis-

tin[ [vert[ - empirinE dispersijq S' = ! i, tx , - V12 . Tadun_ i= \

,

MS2 =1ina1x, -F), =1ir*,r1x, -MX+ vrx -x12 =f l - - l n -1 - - ,

= l ivr lx, -MX)2 -M(t- MX)2 =DX -DX = o, - t ,n a n

MS2 = ! :JO' ,

Kadangi MS2 * o2, tai empirine dispersija 52 yra teorines dispersijos

o2 paslinktasis [vertis. Kai imties tiiris n didelis, poslinkis { nu maZas,

neesminis. Jis konverguoja [ 0 , kai n -) @. Siuo atveju ,ut o-j tua [vertis 52yra asimptotiSkai nepaslinktas.

Kai n maLas, empiring dispersijq 52 ,,taisome" daugindami ja iS -4.n - |

Gauname:

5 2 = 5 2 - I - = f $ ( X , - V ) 2 .n - l n - l = '

278

Dabar MS2 =62 ir kartu 52 yra neZinomos dispersijos nepaslinktasis[vertis.

Praktikoj e,,pataisytq'' empiring dispersij q rekomenduoj ama naudoti tada,kai imties tiiris n < 30. Kitais atvejais (kain> 30) dispersijos [verdiu galima

rmtl J-.Efektyvusis ivertis. NeZinomo parametro 0 nepaslinktqjI ir suderint4ji

[verti galima sudaryti ne vien4. Sakykime, 6, ynuparametro 0 nepaslinktasis

ivertis, taigi atsitiktinio dydZio 6, gyiurnq reikSmiq grupavimosi cenrras su-

tampa su 0 . Svarbu, kaip dydZio 6, reik5mes i5sibarsdiusios apie 0 . Jei sklai-da didele, gali atsitikti taip, kad konkredia imtimi (x1, rcz, ..., xn) parametro 0

iverdiu pri imsime t4reikSmg 6,1*r,*r,...,x,), kuri bus toli nuo g, ir kartu

netiksliai [vertinsime parametrg 0 . Todel natiiralu reikalauti, kad sklaida apievidurk[ b0tq maZa. Nepaslinktojo [verdio tikslumo matu imsime dispersij4.

Tarkime, kad turime du nepaslinktuosius parametro 0 iverdius:

n l lO , = 0 , (X t , X2 , . . . , X r ) i , 0 , = ] u (X r , X2 , . . . , X , ) .

Sakome, kad ivertis 6, y.u efektyvesnis uZ [verti 6, ,j"i

A A

D e , < D 0 " .

2 pavyzdys. Sakykime, atsitikrinio dydiio X skirstinys yra tolygusisintervale (0,0), t. y. jo tankis

p(x .0 ) = I , l< .u i xe (0 .0 ) .U

Parametras 0 neZinomas. {vertinsime ji atsitiktine imtimi (X,, X2,...,

X, ) i5 tolygiosios generalines aib€s.

A I5 pradZiq ta5kiniu parametro 0 iverdiu imkime statistik4

6, =?f * , .n 1

A

[vertis 0, yra nepaslinktasis ir suderintasis, nes

M 6 , = ? f * * , = ? r 9 = en-1 t n 2

279

ir su kiekvienu s > 0n

l i m P ( l e , - e l < € ) = On-)@

n

lverdio 0, dispersija

_ l 4 g _ 4 g 2 e 2D 0 , = . ) . D X , _ _ n _ = _ .

n " a n ' 1 2 3 n

Parametro O iu".eiu imkime kit4 statistik4

) n + t0n = i - - - : max(X r , X r , . . . . X , ) .

n

Kadangi statistikos Z, = max(X y, X 2, ..., X n) pasiskirstymo funkcija

P (2 , < x ) =Pn ( x t . " l = [ , 1 ] ' , o < x < o ,l e /

tai vidurkis

I n * l ' ' o n - lM 6 , = ' * ' M Z n = ' + | l x U - a * = o

n "

f r t n 0 ,

ir analogiSkai dispersija

n A

- 4 - - ^ 1 ^ 1 0 'D 0 , = M 0 ; - 0 ' = i ; . "

I5 Ceby5ovo nelygybes (tu. 6.7 skyrelf i5plaukia, jog 6, --Z-r0 , tai

n --) @. [sitikinkite. Matome, kad ivertis 6n yrunepaslinktasis ir suderintasis.

Abu parametro iverdiai ( 6, ir 6, ) yra nepaslinktieji ir suderintieji, tadiau

Den < D0"

l ^su visais n > | ir drauge lvertis 0, yra efektyvesnis uZ 0, .

Atrodytq, jog efektyviuoju [verdiu reikia laikyti t4 kurio dispersija yramaZiausia. Tadiau, kai imties tlris n fiksuotas, tokia dispersija gali neegzis-tuoti.

{verdio dispersijos apatini reZi apibfldina Rag ir Kramerio nelygybe.

280

Tarkime, kad X - tolydusis atsitiktinis dydis, kurio tankis p(x,O)

priklauso nuo neZinomo parametro 0 . Tada, esant labai bendroms s4lygoms,

nepaslinktojo iverdio 6, dispersla

D 6 , > Ini(0)

Sioie Rao ir Kramerio nelygybdje

i ro t = nSln P(x ' o) .ae

Funkcijq l(0) vadiname imties vienos reik5mes informacijos apie para-

metr4 0 kiekiu (Fi5erio informacijos kiekiu). Nelygybes irodymas pateiktas []knygoje.

Tank[ pakeitq tikimybemis, gausime Rao ir l(ramerio nelygybg diskre-diuoju atveju.

Nepaslinktqii [vert[ 6, vadiname efektyviuoju, jeigu

D 6 , = Ini(0)

3 pavyzdys. Sakykime, X skirstinys yra eksponentinis, o jo tankis

1 - Ip ( x . 0 ) = l e e . x > 0 ., 0

Raskime efektyvqii parametro 0 iverti.

Parametro 0 [veriiu imame empirinl vidurk[A - l 40 , = X = : > , x , .

n a

{vertis 0, yra nepaslinktasis ir suderintasis. lsitikinkite.

[verdio dispersija D6, = {. fiS".io informacijos kiekis

,(o) = Df -1.4) =yl-=+.' \ - / - t e e2 J 04 02 '

Tuomet

n 6 , = Ini(0)

ir [vertis 6, yruefektyvusis.

281

4 pavyzdys. Raskime [vykio A tikimybes p = P(A) nepaslinl,cqji sude-rint4jf ir efektyvqii ivert[. Tikimybl, pavyzdLiui, gali blti binominio skirstinioparametras.

A Atliekame n Bernulio eksperimentrS kuriq kiekviename [vykis A gali

ivykti su tikimybe p. Gauname paprast4j4 atsitikting imti (X,, X2,...,X,).

Nepriklausomqiq dydziq {X,, i = l, r} skirstinys yra toks:

P ( X , = s ) = p s ( l - p ) r - ' , s = 0 , 1 .

Tikimybes p statistiniu lverdiu imame santykini daZnit ls X, + X, +. . .+ X-P - - -

Tikimybes p ivertis p yra nepaslinktasis ir suderintasis. Kodel? Jodispersija

^ ^ D l p ( l - p )l )P= - - ;

n ' n

Bernulio schemos vieno eksperimento Fi5erio informacijos kiekis l(p) =

= D((Xi ln p + (1 - X, ) ln(l - p)))'" =

ldomu paZymeti, kad Sioje schemoje vieno eksperimento Fi5erio informa-

cijos kiekis apie tikimybg p yra maLiausias, kai p =:

Visos imties informaciia

ni( P) =p(r - p)

Santykinis dainis ) yra efektyvusis tikimybes [vertis, nes

^ lD P = - ' a

nt\p )Aptareme ta5kiniq iverdiq kokybes rodiklius. Liko neiSsprgsta svarbi pro-

blema: kaip gauti kokybi5kus parametrq [verdius? Pateiksime du jos sprendimovariantus - momentq ir didZiausiojo tiketinumo metodus.

Momentq metodas. IstoriSkai tai pirmasis parametrq vertinimo metodas,pasiiilytas K. Pirsono (Pearson). Sakykime, pasiskirstymo funkcija F(x)=

= F(x,01 ,02,...,0") priklauso nuo r parametry. Imame s pirmqjq pradiniq

(kar ta is centr in iq) momentq dr = d*(0r .02. . . . .0 . ) ( f r = t , t ) i t pr i lyg iname

juos atit inkamiems empiriniams momenturn, lo : &o (0, , e2, ..., e, ) (k = lJ) .

D (X i - p ) _ I

p ' ( t - p ) ' p ( t - p )

282

Gauname lygdiq sistem4 turindi4 s neZinomqjq:

ct1 (g1 , . . . , 0, ) = &,,, n

qz (0r , . . . , 0 . , ) = 02,

0 " ( e l , . . . , 0 " ) = c r , .

Jei sistemos sprendinys

(6,, 6r, ..., 6" )egzistuoja, tai jI ir laikome parametrq 01 ,02 , ..., 0" iverdiais.

Siuo metodu rasti iverdiai gali bDti neefektyvfis. Kartais jie yra paslink-tieji. Tadiau momentq metodas daZnai taikomas praktikoje, nes nereikalauja su-detingq skaidiavimq.

t5 pavyzdfs. Atsitikrinis dydis X - R(o2 ) , taigi jo tankis

p(x,o\ = 4.*p {-4}, '- oo ' I zo ' )

Momentq metodu [vertinkime parametrq o].A Skirstinio teorini vidurki

t:MX = o"/1

l 2

prilyginq empiriniam vidurkiui X :lf .X, . gauname parametro o ivertin a" 6_o= - l - -x. a

l l nDidZiausiojo tik€tinumo metodas. Tai daug bendresnis ta5kiniq para-

metrq [verdiq skaidiavimo metodas, pasi0lytas R. Fi5erib (Fischer).Tarkime, kad tolydZiojo atsit iktinio dydZio tankis p(x) = p(x,01,...,0,)

priklauso nuo s neZinomqjq parametrq 0, (l = t, r) . kuriuos norime lvertintiatsit iktine imtimi (X r, X 2,..., X n) .

Funkcij4L (X ,g ) = p (X r ,01 , . . . , O , )p (X2 ,01 , . . . , 0 , ) . . . p (X , , e l , . . . , e " )

vadiname didZiausiojo tik€tinumo funkcija. Konkredios imties (x,, x2,...,

x,) atveju ji yra tik paramefi'q er (r=lJ) funkcija. Parametrq vektoriaus

283

0 = (0r, e2, ..., e" ) didZiausiojo tiketinumo iverdiu vadiname veklori4 statistikq

6 = f6t ,6r,...,6, ) , su kuria didZiausiojo tiketinumo tunkcija yT a didZiausia:

L(x,0) = max Z(x,0);

0

dia x = (x1, x2,.., xn) -konkreti imtis.

Jei funkcija L(x,O) yra diferencijuojama parametro 0 (visq parametnl

0; , l= t , r ) u tZui tg iu, ta i lver t [ 6=t6r ,6r , . . . ,6 ' ) gal ime rast i sprEsdami

didZiausiojo tiketinumo lygdiq sistemq

dl(x, 0r , 02, . . . ,0" ) = 0. i = l . s .?0,

Kadangi funkcijos L ir ln L didZiausi4 reikSmq igyja tuose padiuose taS-

kuose, tai Sioje s,istemoje vietoj funkcijos L dainai imamas jos logaritmas ln L.

Kai X yr{ drskrefusis, apibreZdami funkcijq I(x,0), tankius p(xi,O)

pakeidiame tikimybemis P(X = xr ) = P(x,,0) .

Siuo metodu rasti parametrq lverdiai yra suderintieji ir efektyvieji, tadiau

kartais jie gali biiti paslinktieji. Taikant metod4 praktikoje, dainai tenka sprqsti

sudetingas netiesiniq lygdiq sistemas. Jt1 sprendimas iteracijq metodu apra5ytas

[2] knygoje.

6 pavyzdys. Sakykime, X - N(m,o). Imtimi (xy,x2,...,x,) i5 norma-

liosios generalines aibes ivertinkime parametrus m tr o .

A Momentq metodu parametnl [verdius gauname labai lengvai:

^ = I , 0 2 = 5 2 .

Ieskokime iverdiq didZiausioj o tiketinumo metodu. DidZiausioj o tiketinu-

mo funkcija

, _rr , - , ! - ) ' t _r r , -n: ) 'L (x ,m ,o \= - : - e 2c2 . . . - : - e 2c2

o,l2n o42Tt

r I l s . . , 1= : c x D { - - > l x , - m l - LloJZn)" [ 2o'Z )

o jos logaritmas

tn L(x, m, o) = -!n zn-!t" O - #2Q,

- *)' .

284

DidZiausiojo tiketinumo lygdiq sistemos

l a n r I * ,| . = . ) , ( x , - m ) = 0 ,I d^ o '7J

1

l D l n t n 1 { - . )l _ = _ _ + _ ) . { x , _ m r = l )I ao' 2d 2oo ?r ' ' '

sprendinys

(* ,o ' ) = ( t , s2)sutampa su [verdiais, gautais momentq metodu.

a

1 2.5. Pasikliautinieji intervalai

Apibfldinome ta5kinius parametnl iverdius. NeZinomq parametre 0 kon-kredia imtimi (x1,x2,...,x,) [vertinome (praktiSkai prilyginome) vienu skai-

diumi 0,(x1 , x2,...,xn). Taip skaidiq tieseje nurodeme ta5k4 kuriame yra ne-

Zinomo parametro reik5me. Tadiau taSkinis lvertis 6,(X 1,X2,...,X,) yra atsi-

tiktinis dydis ir konkredios jo realizacijos iSsibarsdiusios apie neZinom4parametrq 0. Todel mums reik5mingi atsakymai I tokius klausimus: kokias

paklaidas galime padaryti, 0 keisdami lverdiu 6,, kok, yra trl paklaidqpatikimumas? Atsakymai ypad aktualfis, kai imties ttiris nedidelis, nes tada

[veriiams bfldinga didele sklaida.Sakykime, atsitiktine imtimi (X1 ,X2,...,Xr) radome parametro 0 iverti

8 n = 0 n (X r, X 2, ..., X,) . lverdio tikslum4 apibfldiname nelygybe

I 6 , ( x , , X 2 , . . . , x , ) _ � g l < e , e > o .Parametras 0, nors ir neZinomas, yra neatsitiktinis dydis, tadiau iverdio

npaklaida I 0,-0 | yra atsitiktine. Todel kategori5kai reikalauti, kad 5i nelygybe

b[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[tq teisinga, negalime. Tuomet imame tikimybg p =l-a ir darome

prielaid4 kad( n \

P [ 1 0 , - e l . r J = o .Kai tikimybd p =7-a maZai skiriasi nuo I (1-o =0,9;0,95;0,99),

prakti5kai esame tikri, kad N

0 e I , = ( 0 n - e , 0 " + e ) .

285

IntervalE 1o, kuriam su didele tikimybe p=7-a priklauso neZinomasparametras 0 , vadiname pasikliautinuoju intervalu. Toliau j[ Zymesime raide1be indekso p.

Tikimybq p =l-u,t vadiname pasikliovimo lygmeniu (pasikliovimo

tikimybe), o e - iverlio tikslumu (paklaida).Trys charakteristikos - p, e ir imties tlris n - yra tarpusavyje susijusios.

Praktikoje, konstruojant pasikliautin4ji parametro interval4 imties tflris ir pa-sikliovimo tikimybe daZniausiai bDna Zinomi, o ie5koma lverdio paklaidos e.

Pabre5ime, kad pasikliautinojo intervalo reZiai 6,-e i, 6,+e lpasi-kliautinieji rEliai) yra atsitiktiniai dydliai, tadiau intervalo ilgis neatsitiktinis;jis lygus 2e. Kiekvien4 net ir to paties t[rio, konkrediq imt[ atitinka skirtingivienodo ilgio intewalai, kuriq ladetis skaidiq a5yje priklauso nuo konkrediosimties. Vienq i5 galimq pasikliautinojo intervalo I realizacljq pateikiame 77paveiksle.

Min6jome, kad neZinomas parametrasy ranea ts i t i k t i n i s ,o in te rva |o I rEL ia i -a t s i - ^Wtiktiniai. Todel s4rysio 0, - t g 0, 0" + e

P(0e 1 ) = l - c t 77 pav.

kairiEjqpusg skaitome taip: parametr4 0 uZdengia intervalas 1.Norint sukonstruoti pasikliautin4jl interval4 reikia Zinoti ta5kinio lverdio

0, arba tinkamai parinktos jo funkcijos tikimybiq skirstini. Kai imties tlrisdidelis, galime pasinaudoti (apytiksliai) asimptotiniu skirstiniu, kuris daZnaib[na normalusis.

Pateiksime pasikliautinojo intervalo konstravimo algoritmE.o I5 generalin€s aibes, kuriq apibreZia pasiskirstymo funkcija F(x,0) ,

sudarome atsit ikting imti (X,, X 2,..., X n) .

r Randame taSkin[ paramerro 0 ivert[ 6, = 6, (x, . X2,..., X ).

. Parenkame tokiq statistikq U = U(6,,0), kurios skirstinys Zinomas ir

nepriklauso nuo 0 arba Zinoma jo asimptotika.r Parenkame pasikliovimo lygmen[ I - a .Imame tokius du skaidius u1 ir u2, su kuriais

P(zr < U(0,, e) < uz) = | - a.

Paprastai reikalaujame, kad brltq^ a y ^ . C L

P(U(O, ,0 ) S z1) = ; i r P(U(e , , 0 )2 u r ) = : .

286

Imame statistik4

. , _v _ (T -dJ iL - L n - - r

okurios skirstinys yra standartinis normalusis: Z - N(0,1). Tuomet

I - do = r( tr,L. l&l = t*( &)- tI o / [ " ]

I5 lygties

/ t - \

ol 9g l=r-9. l " ) 2

galime rasti [verdio paklaid4 e .PaZymejE ep standartinio normaliojo skirstinio

AQ o) = p sprendinl), gauname:

p-t4ji kvantil[ (lygties

,Jio

- p

z - oarba e =fr

Dabar

I -0c = P(lT - ml< e) = r l - -4. ^.7 *+)\ { r ? ! n )

ir parametro m pasikliautinasis intervalas

zpor

i n. V * T 1 . , = r - 9 .

'1, ) 2

= a " ( r - g ) . , = r - 0\ 2 ) 2

( -'=l."-Kvantilio zo reik5mes imame i5 funkcijos O(r) reik5miq lenteles (Zr.

1 lentelg knygos pabaigoje). PavyzdZiui,jei pasikliovimo lygmuo I - d = 0,95 ,

tai p - 0,975 ir z0.sts = O-t(0,975) =1,96. Priminsime, kad standartinio nor-

maliojo skirstinio kvantiliai susijg s4rySiu zFp =-Zp. Apskritai jis bldingas

visiems simetriSkiems skirstiniams.Pastabos. l) Sukonstruotas parametro z pasikliautinasis intervalas l tinka

maZoms ir didelems imtims. Tadiau, didindami n, siauriname interval4 irdrauge tiksliname [verti.

2) Planuojant eksperiment4 svarbu nustagti maZiausi4 imties t0r[ n, kurissu duota pasikliovimo tikimybe I - o, uZtikrintq norim4 iverdio tikslum4 e.

288

Toks imties hiris/ : 2I z ^ o I

n ) l Y l

| ' J .3) Jei imtis (Xt,x2,...,x,) yra ne i i normaliosios generalines aibes su

Linoma pozymio dispersija o2 , tai is centrines ribines teoremos isplaukia, kadstatistika Zn yra asimptotiSkai (n -+ *; normali. Tuomet, kai n diielis, galimeyaudotj tq pati pasikriautinql[ vidurkio interval4 upyfitrtiui apibiidindamiintervalinijo [vert[.

2 modelis' Dispersija o2 ne'inoma. Tai praktikoje daZniau pasitaikantismodelis' Kadangi o2 nezinoma, tai pasinaudoti Z statistika negarime. Tuometimame dispersijos o2 ta5kinl [verti _ empiring ,,pataisyt4.dispersijq .S2 irapibreZiame statistik4

T = q -(X -!) ' ln .s

Ji -pasiskirsdiusi pagal stjudento desni su n - 1 raisves raipsniais:1, - s(n - 1) (ir. 9.6 skyrelf . Tarkime, kad pasiskirsrymo funkcija

s1(x) = P(T < x) . Tada analogiskai I modeliui

, -a = P(rv - *r.,,= {ry. *l=,*[*)_,I5 dia

uJi ._t(, c') 0: = t n ( , - r ) = s i I t - ; ) p = t _ ;

ir iverdio paklaida

r , ( r - l ) SF . = '

'

! n

Parametro rn pasikliautinasis intervalas/ -

r = l i - t o @ - t ) s - + I e ( , ? - l ) s ) .

\ J, J; )6atr(n - l) - stjudento skirstinio su r - l laisv€s laipsniaisp-tasis kvantil is, o. c lp=t- t 'Jo re iksmes gal ima rast i2 rentere je. Kai imt ies t i i r is n d idel is ,Stjudento skirstin[ galima aproksimuoti normaliuoju. Kvantilis tp(n _ l) = ar.

289

1 pavyzdys. I5 dideles varZos rezistoriq siuntos atsitiktinai atrinkta l0

vienetq. ISmatavus j,qvarLL gauti tokie nuokrypiai (kiloomais) nuo nominalo:

+1, +3, +2, -2, +4, +2, +5, +3, -2, +4.Imdami pasikliovimo tikimybg, lygi4

0,95, raskime nuokrypio nuo nominalo pasikliautinqlI intervalq.

A Tarkime, kad imtis yra i5 normaliosios generalines aibes ir faktinis

nuokrypis lygus nz. Ta5kinis jo [vertis

- l + 3 + 2 - 2 + 4 + 2 + 5 + 3 - 2 + 4 .- l 0

- -

NeZinomos dispersijos ivertis - empirine ,,pataisyta" dispersija

s' =1f. t r , -2)2 =5, j8.9 a ' '

t = l

Parametro m intervalinio iverdio paklaida

/o e75 (9 ) .S 2 ,26 .2 ,4. = - - - - - - - - - - _ - = - - - - - - _ - = . , ' I

J n a/10

o pasikliautinasis intervalas

Io.ss = (0,3, 3,7) .

B. Parametro o2 ldisp"tsiios) pasikliautinasis intervalas

1 modelis. Vidurkis m yra zinomas. Tada neZinomos dispersijos

suderintasis, nepaslinktasis ir efektywsis [vertis yra empirine dispersija

. t gS , i = : ) . (X , -m) " ." n a

Imame statistikq

v2 Jo- '?An : ---T'

o-

pasiskirsdiusi4pagal 12 desni su n laisv€s laipsniais (2r.9.5 skyrelf. Parinkq

pasikliovimo tikimybg I - o , pasikliautinajl interval4 apib[dinsime lygtimi

P ( d t < X ? , . d t ) = 1 - 4 .

Kadangi 12 skirstinYs

P ( X ; < d t ) = P : x 2 , > d ) = :

nesimetriSkas (78 pav.), tai reikalaujame, kad

12 skirstinio ptqiI kvantili paZymeki-

^" ytr1n1. Jo reik5mes galima rasti 3 lente-

le ie.

&; (x)

d t (

78 pav.

290

dr = x2p(n) ir d, = x?_o{"

Dabar

Y(x'n<,t 4. *-"oy)\ o - )

C[- a

L

l - c [ ,

arba

( : - r \

pl -15-< 02 <{qL l= r-a.lx i_o@) x;@) )

Parametro o2 pasikliautinasis intervalas

, ( ns:, ,s^' ) cx,. =r _5----]-, --;--

|, p =_.

\ x i -p ( , ) x i {n ) ) 2

I5traukg kvadratinp sakn[ is intervalo 1 pasikliautinqiq reZiq, gausimestandarto o pasikliautin4i[ interval4.

2 modelis. vidurkis ,n neZinomas. vidurk[ 'n ir dispersiiq o2 [vertinameatit inkamomis empirinemis charakteristikomis V it s' ir imame statistika

-)

x'^-, =(/' - t;)J

o'

kurios skirstinys yra y2 su n - I laisv€s laipsniais.Toliau pasikliautinojo intervalo konstravimo procedDra yra analogiska,

kaip ir I modelyje. Su pasikliovimo rikimybe I - a

, ( g - r1s ' ( r - r ) s2 ) o, = i _ 5 - - - - : _ - ' - - ; - l , P = _ ,

l x i - r t n - t ) x 'P (n - t ) ) 2

Eia 7i@-l) yra yz skirstinio su n - I laisves laipsniaisp-rasis kvantil is.

2 pavyzdys- ISmatavus atsitiktinai atrinktq 20 universiteto studentq [gi,gauti tokie duomenys: V =t,ls, s2 =0,002. Laikydami, kad rgio skirstinysyra normalusis su parametrais ln ir o, raskime sitl parametrq intervalinius[verdius. Pasikliovimo lygmuo o = 0,95 .

291

A I5 lenteles randame Stjudento skirstinio kvantili to.e7s(19) = 2,09 .

Parametro n pasikliautinasis intervalas/ r=-I ^ /0 002

1 n o . = l 1 , 7 5 - 2 , 0 9 . r = , 1 , 7 5 + 2 , 0 9 .| 420

@,ffi ) = , , , , , ,

, , , ,

15 lenteles randame 1' skirstinio kvantilius:

x2, {, - t) = x|,ozs(l 9) = 3,9 1, x? - n {" - t1 = xl.sr s Q9) = 32,8.

Dispersij os pasikliautinasis intervalas

/no . = [ tq 'o .ooz , l9 :0 j002]=(0 ,00r , 0 .004) . al . 32.8 8,et )

12.7 . lvykio ti ki myb6s pas i kl iauti nasisintervalas

Tarkime, kad [vykio A tikimybe p neLinoma. Atlikq n Bernulio eksperi-

mentB apskaidiuolame fvykio santykini dazni ]=L. tino ", kad i yra pa-

kankamai kokybiskas tikimybes p taskinis [vertis. XtOruuU pasikliovimo lyg-menf 1 - cr , iverdio paklaid4 e apskaidiuojame i5 lygties

P ( l ; - p l < e ) = l - a

arba i5 ekvivalendiosjai lygties

I5 Muavro ir Laplaso teoremos i5plaukia, kad statistika

) -v ) \ i - p tJ iL; = Un :=--:-' " t_ " , l pQ- p),,lD p

yra asimptotiskai (r --1 a) norrnali. Tuomet, kai eksperimentq skaidius n

didelis,

n- < €p(r - p)

r-cr=nfri-rr

292

Apytikslg [verdio paklaid4 rasime iSsprendq lygti

Standartinio normaliojo skirstinio qtqiI kvantili pairymdjg 24, gauname:

Tada su tikimybe 1 - a galime apytiksliai tvirtinti, kad

, i . , - - F t t - p ll p - p l < z n t l - .' Y n

I5sprendg kvadrating lygt[

, n , ) , P ( l - P )(p - p)- - z; !-:-' n

randame p Saknis:

Atkreipiame demes[ [ tai, kad i5 formules

l , \ 2n = p ( 1 - d l - ! 1 .

I r j

P t =

y 2 -

Tikimybes p pasikliautinasis intervalas

I = (p r , p ) .

Kai n didelis, atmetQ aukStesniqjrl eiliq nykstamuosius narius,tokius pasikliautinuosius reZius:

" t z |n + - J 1 - 7t '

2 , ' ' 4

n . 6 l - r t cx ,- - - : : - : : ^ , a roa E= z - . i - . q= | - - .p ( l - p ) ' ' \ n 2

remdamiesi nelygybe p(l - p)< ] , eutirn, rasti maZiausi4 eksperimentq

skaidiq tikimybei p ivertinti. fai drltas pasikliovimo lygmuo 1- a ir norimas

[verdio tikslurnas e, maZiausi4 eksperimentq skaiditl apytiksliai galimeapskaidiuoti taip:

12.8. Parametri n6s hipotezes

Statistinio eksperimento tikslas * ne tik [vertinti tiriamq objekq para-metrus, bet ir palyginti prietaisq ar gaminiq charakteristikas. Sakykime, pa-sillyta nauja elektros lempq gamybos technologija. Pagal senqjq technologij4pagamintq lempq vidutine degimo trukme 4500 h. I5bandZius 50 lempq paga-mintq pagal nauj4i4 technologij4 nustaq/ta, jog vidutine jq degimo trukme lygi4600 h. Ar, remdamiesi tokiais duomenimis, galime teigti, jog naujoji tech-nologija geresne uZ senql4? Arba tarkime, kad ligoniui gydyti siiilomi naujivaistai, kuriq poveikis jau iSbandy'tas su tam tikra sergandiqlq grupe. RemiantisSia informacija (imtimi), reikia ivertinti, ar naujieji vaistai efektyvesni uZ se-nuosius.

Tokie palyginimo uZdaviniai, sprendZiami statistiniq hipoteziq tikrinimometodais, dainai pasitaiko praktikoje ir mokslineje veikloje.

Statistine hipoteze vadiname bet kuriq prielaid4 apie neZinomq gene-ralinds aibes (atsitiktinio dydZio) tikimybiq skirstin[. Skirstiniq klase daZnai yraZinoma (normalioji, eksponentine, Puasono ir t. t.), taiiau priklauso nuo vienoar keliq neZinomq parametrq. PavyzdLiui, Zinome, kad elemento ilgaamZiS-kumas X - E(X), tadiau parametras ), neZinomas. Prielaid4 apie tikimybiq

skirstinio parametrq reik5mes vadiname parametrine hipoteze.Parametrin€s hipotezes gali buti tokie teiginiai:o vidutinis srauto intensyvumas lygus l, ;e vidutinis elemento ilgaamZi5kumas lygus nr;r pirmosios staklds stabilesnds uZ antr4sias (prielaida apie dispersijas

o?.o1) .Parametring hipotezg vadiname paprast4ia, jeigu ji nusakoma viena

parametro reik5me. Prie5ingu atveju hipoteze yra sud6tingoji. Sakykime, Zino-me, kad atsit iktinis dydis X - N(m,o). Tada hipoteze m = mo yra paprastoji.

o hipotez€ ftl ) ftts - sudetingoji. Vienq i5 galimq hipoteziq, daZniausiai mumsypad reik5ming4 pavadiname pagrindine, arba nuline, hipoteze ir zymime Hs.

r : 2t l . q l , c l

n : - l - l , c t : t - -4 l e | 2\ , /

294

HipotezE, prie5ing4 nulinei, vadiname alternatyvi4ja hipoteze, arba tiesiogalternatyva, ir zymime Hu. Tarkime, kad monet4 metame n kartq. Atvirtusiq

herbq skaidiu s X - B(n,p) . Nuline hipoteze Ho: p= f (rnon.,u simetri5ka)z

yra paprastoji parametrine hipoteze, o jos alternaryva Hu, p+: - sudetin-L

goji.Apibidinome statistinds hipotezds s4vok4. Toliau i5siai5kinsime, kaip j4

tikrinti (pagristi ar atmesti). 15 pradZiq pateiksime hipotezds teisingumotikrinimo loging schem4.

Sakykime, tam tikro rei5kinio strukhlrq nusakome keliomis hipotezemis.Vien4 i5 jq pavadiname pagrindine, o kitas - altematyviomis. Tirdami, kuri i5 qhipoteziq - pagrindine Ho ar viena i5 altemagviqjq - y'a teisinga, atliekame

eksperiment4. Jo metu ivykis A gali ivykti arba neivykti. Be to, Zinome: jei Ho

yra teisinga, tai ivykis A prakti5kai negalimas (o tikimybe artima nuliui). Jei,

irykstant [vykiui A, hipotezg vis atmesime, suklysime ,,retai". Todel priimametoki sprendima jei [vykis A ivyksta, tai hipoteze Ho ya neteisinga. Ai5ku, gali

pasitailgrti klaid% nes lvykio A tikimybe, nors ir maZa, vis delto nelygi nuliui.Matematine statistika apibiidina kriterijus (testus), pagal kuriuos spren-

dLiame, ar stebejimo duomenys neprie5tarauja nulinei hipotezei. Kaip sudaromikriterijai?

Tarkime, turime imt[ (X,,X2,...,X,), gautq stebint atsitiktini dydl X,

kurio tikimybiq skirstinys priklauso nuo parametro 0 . Reikia patikrinti nulinghipotezq 11e: 0=00 su a l ternatyva H^:0=0r. Laikydami, kad H0

teisinga, parenkame statistik4 Go =G r(X1,X2,...,X,,), kurios tikimybiq

skirstinys yra Zinomas arba aproksimuojamas Zinomu skirstiniu. Statistikosgalimq reik5miq aibg R suskaidome I dvi sritis: K ir R \ K. Hipotezg llo

tikriname tokia procedDra: jei, sudarius konkredi4 imt[ (x1, x2,..., x,) ,

statistikos G, reik5me patenka i sriti K, tai hipoteze l1s prieStarauja imties

duomenims ir yra atmestina, o jei i srit[ R \ K, hipoteze yra suderinta su imtimiir priimtina. Srit[ K - hipotezes 110 atmetimo aibq - vadiname kritine sritimi.

Suprantama, absoliudiai kategori5kos i5vados statistikoje neturi prasmes.eia kriterilai apibfrdinami atsitiktiniais dydZiais (statistikomis), todel, taikantminet4 procednr4 gali atsirasti hipotezds priemimo ir atmetimo klaidq.

Pirmosios rn5ies klaida - atmesta teisinga hipoteze Ho . Sios klaidos

tikimybe o lygi tikimybei, kad statistika G" pateks I kriting sritl K kai Hs

teisinga:

a = P ( G o e K l l l o ) .

295

Antrosios ruSies klaida - priimta klaidinga hipoteze Ho. Sios klaidos

tikimybe B lygi tikimybei, kad statistika Gn nepateks i kritinq sritl K, kai H6

klaidinga (teisinga alternatyva H u);

0 = P ( G " e K I H ) = 1 - P ( c , e K I H ^ ) .Brltq idealu, jei a = 0 (niekada neatmestume teisingos hipotezes) ir

F = 0 (nepriimtume klaidingos hipotezes). Deja, esant ribotam imties firiui, to

pasiekti negalime. Todel, brangindami hipotezE 110 ir nenorddami jos bepras-

mi5kai atmesti, parenkame maZ4 pirmosios rfrSies klaidos tikimybg a (os skai-tinds reiksmes gali bdti 0,1;0,05; 0,01). Tokius kriteri jus vadinsime reiks-mingumo kriterijais, o tikimybE cr - reik5mingumo lygmeniu.

Kriterijq konstravome laikydami, kad su reik5mingumo lygmeniu cr hipo-teze Hs yra teisinga. Tarkime, kad Ho yra klaidinga, o alternatyva Hu -tei-

singa. Tikimybg atmesti klaiding4 hipotezg Ho, kai teisinga alternatyva H^

(antrosios rflSies klaidos nebuvimo tikimybq),l - B = P ( G " e K l H ^ )

vadiname reik5mingumo kriterijaus galia. MaZesng antrosios r[Sies klaidostikimybg p atitinka didesne kriterijaus galia. Vadinasi, kriterijq, kurio reik5-

mingumo lygmuo o, reikia parinkti taip, kad kriterijaus galia b0tq kuo dides-ne. DidZiausi4 galiq turinti kiterijq vadiname galingiausiu.

Statistika G, yra vienmatis atsitiktinis dydis. Sudarydami intervalinius [ver-

dius, ja 6mdme efektyviojo parametro [verdio funkcijq 6, . tit inau*i hipotezes,elgiames taip pat. Ikiting sriti K - nulines hipotez€s atmetimo sriti - galima api-budinti pasikliautinuoju intervalu: jei su pasikliovimo tikimybe I - s parametro

0 pasikliautinasis intervalas yra I tai hipotezes Ho: 0 =00, kai alternatyva

H u'. 0 * 0o , kritine sritis K = R \ 1 ir reiklmingumo lygmuo lygus c, .

Trumpai apibiidinsime parametrines hipotezes tikrinimo reik5mingumokriterij aus algoritm4.

r Formuojame nuling hipotezg 110 ir alternatyv4- H u .

r Parenkame reikSmingumo lygmen[ cr.r Laikydami, kad /16 yra teisinga, imties (Xl , X2,...,Xn) pagrindu

apibrdZiame statistik4 Gn =Gn(X1,X2,...,X,) ir apibiidiname jos skirstini.

r Parenkame kriting srit[ K.o Priimame sprendim4: jei statistikos G" konkreti realizacija gne K,

hipoteze 110 nesuderinama su imties duomenimis ir yra atmestina, o jei

g, e K, hipoteze yra suderinta su stebejimo duomenimis ir priimtina.

Pateiksime keletq parametrinirl hipoteziq tikrinimo pavyzdZiq.

296

Kai altematyva yra de5iniapuse (11u '. m > ms), apibreZiame deSiniapus[

kriterijq. Kriting reik5mg zp apskaidiuojame i5 lygties

a = P ( Z r > z o )

arba i5 ekvivalendiosjai lygties

a = l _ @ ( z p ) .

Tada

z p = Q - t ( l - s )

yra normaliojo skirstinio p-tasis kvantilis (p = 1- cr) .

DeSiniapusi kriterijq apibudiname taip:o jei statistikos Z, reik5me znpatenka Ikritinq sriti K =lzo,* -), t.y.

jei z, > z o, taihipoteze 116 atmetama;

r jei Zn 1 Zp, tai hipoteze Hs lra suderinta su imties duomenimis irpriimtina.

Kai alternatyva yra kairiapuse (11u : m<ms), kritine sritis apibr6Ziama

lygtimi

a = p (2 , < - , o ) .

I5 dia - z p = Q-t (u) ir yra c, kvantilis.

Statistikos 7+ tanki paLymejg p(zlHo), kai /Ie teisinga (standartinis

normalusis tankis), vienpuses ir dvipusg kritines sritis pateikiame 79 paveiksle.

H^ : m> mo 0

a ) PKIHO

0,2

K i p 0H^: mtmo

c)

79 pav.

298

' i x i

c[2

l l l 1ft lo

I pavyzdys. NuvaZiuodamas 100 km, automobilis suvartoja l0 l degarq.Pakeitus jo konstmkcii4 tikimasi sumaZinti degalq sqnaudas. patikrinimuiatrinkti 25 modernizuoti automobiliai. paaiskejo, kad vidutinds degalq sEnau-dos X :9,3 l. Laikydami, kad degalq s4naudos X - N(m,o) ir o = 2l , r ik_rinsime hipotezq, jog automobilio modernizavimas yra nereikimingas.

A Nuline hipoteze Hsi n = 10, o alternatyva Hu: m < l}.Imkime reik5_mingumo lygmen[ a = 0,05.

Statistika

, - (V - lo)Jt"n__- -7- -

z

y'a,standartine normalioji. Kairiapuse kitine sritis apibrrdinama nelygybe z, << - zr; (ia -Zp= zo,os = -20,95 = -1,64.

Konkreti statistikos Z, reiksme ,r, =gj#JX = -t, lS.

Kadangi zzs = -1,75 < -1,64 = 20,0s , tai hipoteze Ho atmestina:automobilio modernizavimas sumaZino degalq sqnaudas.

Imdami maZesni reik5mingumo lygmen[ c=0,01, gauname kvantilioreik5mg 20,0r = - 2,33 ir hipotezg Hs priimame. pakomentuokite.

2 modelis. Dispersija 62 neZinoma. Hipotezei Hs: m=ms, kaialternatyva Hu: m + no, tikrinti imame statistik4

T = T- -G - ryo)"ln ." s

Kai Hs teisinga, 5i statistika pasiskirsdiusi pagal Stjudento desn[ su n - llaisves laipsniais.

Kriting reikSmg q(n - l) apibreZiame lygtimia = p ( l T " l > t p ( n _ t ) ) .

I5 dia analogi5kai kaip ir I modelyje

__,( cx )r o@ - t ) = Si ' l | - : l .\ 2 ) '

t. y. t p(n- l) yra Stjudento skirstiniop-rasis kvantilis ir p = t -9.

Dvipusg kitinq srit[ K apibrlhianelygyfe I q | > t o(n _�l), tai1i

K = (-- , - t el lJ l t p, + *) , p= I - ; .

Kadangi Sdudento skirstinys yra simetri5ka s, tai tr- n(n - l) = -t o@ - l) .

299

Kriterijus:r jei statistikos T, konkreti reik5md rn patenka i sritl K, t. y. jei

It, l> t r(n -l) , tai hipoteze /1e atmestina;

o jei I i , l< t n@ _�1) , tai ao priimtina.

Kai alternatyva Hnyra vienpus€, hipotezes Ho: m = lzo tikrinimo uZda-

vinys sprendZiamas pana5iai kaip ir I modelio atveju.

2 pavyzdys. Tuo padiu prietaisu matuojant detalq 9 kartus, gauti prietaiso

paklaidq statistiniai lverOiai: X=0,52. 5=t. Laikydami, kad matavimopaklaidq skirstinys yra normalusis, su reikSmingumo lygmeniu a = 0,05nustatykime, ar matavimo prietaisas nedaro sisteminiq paklaidq.

L H o i m = 0 , k a i H u ' . m + 0 .

Statistikos T, konkreti reikSmd

O 5 ) rtn =: : r !9 = 1,56.

I

Dvipusg kriting srit[ apibldina nelygybe lT^ l> t p(n- l) , kai p = 1_�: =

=0,975. Stjudento skirstinio p-tasis kvantil is /o.szs(8):2,31 . Statistikos T,

rcalizaclja /e nepatenka i kriting srit[:

I ls | = t ,56 <2,31= to.s ts(9) .

Matavimo duomenys neprie5tarauja hipotezei I1s - prietaisas nedaro siste-miniq paklaidrl. Patikrinkite Hs , imdami q, = 0,01.

B. Hipotez€s apie parametr4 o2 (dispersijf l t ikrinimasSio tipo hipotezes yra labai aktualios praktikoje. Matavimo paklaidos,

prietaisq tikslumas, technologiniq procesq stabilumas ir t. t. dalnai apibDdi-nami dispersija.

Sakykime, X - N(m,o) . Su reik5mingumo lygmeniu cr tikrinsime hipo-

tezp Hs '. o2 = ofr , tui alternatyva H u'. o2 + of,.

1 modelis. Vidurkis m yra Linomas. Hipotezes 1/0 tik-rinimo reik5mingu-mo kriterijus grindZiamas statistika

v2 'S; ' n = - t '

oo

dia Sn'=1f.1*, -n)z . Kai nuline hipotezd I1s teisinga, statistika Xi" n a

pasiskirsdiusi pagal trz desni su n laisves laipsniais.

300

Dvipusg kriting srit[ K apibreZiame lygtimrs

P61X] < xf, t"D=* , ' P(xi > xl- ,@))=9,z 2 '

eia y2n@1 yra X2 skirstinio su n laisves laipsniais p-tasis kvantilis tr p = !

Tuomet kitinE sriti sudarys dviejq intervalq sqjunga:

K = Krl) r, =[o,xto@)]uIx?-o@),+ -1.Kriterijus:r jei statistikos Xl konkreti reik5me X?, e K, tai hipoteze I10 armestina;

o jei Xle K ,tai Hspriimtina.

Kai alternatyvioji hipoteze yra vienpuse, pavyzdLiui, H u : o2 > ofr, k i-ting sriti apibudiname lygtimi

P (X ; > x2 , (n ) ;=u ;

Eia yzo@) yra X2 skirstinio I - a, kvantilis (p = I - cr) . Tuomer

K =IX'o(r ) , * * ) , p= 1 * cx, .

Kai alternatyva Hu: o' .o3, krit inq srit i apibtdiname analogi5kai. pa-

bandykite.2 modelis. Vidurkis rn neZinomas. Reik5mingumo kriterijq grindZiame

statistika

v2 ( r - l )S2A, = -------;--,

oo

dia S2 -,,pataisy,ta" empirine dispersija. Kai hipoteze I1s teisinga, Si statistikapasiskirsdiusi pagal y2 desn[ su n - I laisves laipsniais.

Dvipuse kr i t ine sr i t is K =10, y2o@-l) lUt1 i_p( n- � t ) , +*1 t o =| .

12.1 0. Dviejq normal i qjq ski rstiniqparametrq palyginimo hipotez6s

Tokio pobiidZio uZdaviniai gali bDti senosios ir naujosios technologijosmetodais gautq gaminiq charakteristikq, darbo na5umo dviejose imonese, dvie-jq eksperimentq rezultatq palyginimas. Jie daZnai apibiidinami hipotezemisapie dviejq vidurkiq arba dviejq dispersijq palyginimq.

301

Tarkime, kad, stebedami du nepriklausomuosius dydZius X - N(mr,or)ir Y - N(m2,or), sudarome imtis

(X t , X2 . , . . . , X n , ) i r ( y1 , y2 , . . . , yn r ) .

A. Vidurkiq palyginimo hipotez€sSudarytq imdiq pagrindu tikrinsime nulinp hipoteze Ho.. n\=t7t2 su

alternatyva I1u : mr + mz.

I modelis. Dispersijos oi

m1 ir m2 efektyviuosius lverdiustai

' Dq -hD= nx+ oV =l*4.

nr n2

Be to, jei Ho teisinga. ta.

lfi(X -V) = *, - mz = 0.

Tuomet statistikos

X _ YZ = Z n r . n , = - -

loi "4t - + -

1 l ? )

l ' i n jskirstinys yra standartinis normalusis: Z - N(0, l).

Parinkg reikSmingumo lygmeni o , kritinq sriti K apibreZiame lygtimi

P ( l Z l > z o ) = u

arba ekvivalendia jai lygtimi

O ( z - ) = l - 0 .' P ' 2

I5 dia

, . = o" f r -9 . ]" \ 2 )

ir yra standartinio normaliojo skirstinio p-tasis kvantilis, kai p = | - ! .2

Iftitine sritis

K = [ - - . - z ) l J l z o .+ * ) , p= I -1 .r ' 2

Kriterijq lengvai apib[dins skaitytojas.

ir ol yraZinomos. Apskaidiuojame parametnl

X ir y . Kadangi V ir y yra nepriklausomi.

302

Kai alternatyva H^yra vienpuse, hipotezei Ho'. m, = mz tltxrjnti formuo-jame vienpuses kritines sritis:

c 1 ' > z o , k a i H u ' . m 1 ) m 2 ,

o Z 3 - t , k a i H ^ : m 1 < m 2 t

(ia zo yra standartinio normaliojo skirstinio p-tasis kvantilis ir p = 1 - o .

2 modelis. Dispersijos ol it ol neZinomos. Tarkime, kad jos yra lygios:

o? = "i = o2 . Jei nera pakankamo pagrindo tai tvirtinti, reikia patikrinti hipo-

tezg apie jq lygybe (apie tai skaitykite 12.9 skyrelyje).

. Imame neZinomq dispersijq ol ir ol statistinius [verdiusl n t t f r z

s- ,2 =- - 'y (x , -x f i r s r2 = - - : - \9 , - r f .' 4 - 1 7

- n 2 - t i = t

Kadangi imdiq t[ris nevienodas (n, + nr), tai abiejrl generaliniq aibiqbendrqjq dispersijq lvertiname svertine dispersija

o z - ( n t - t ) s - f + 1 n r - \ S jn r + n r - 2

kurios vidurkis'

+ (n, - l )or2 . )M S 2 = ( n t

- l ) o i - - = o - .

n r + n r - 2

ApibreZiame statistikqY _ V

t l{"t-t)sl + @2-\s}

Kai hipoteze /16 teisinga, statistikos T skirstinys yra Stjudento skirstinysSU n1 * n2 - 2 laisvds laipsniais (Zr. [2]).

Parinkg reik5mingumo lygmen[ o, kritinE srit[ K apibreZiame lygtimi

P( l T l> t n(ry + n2 -2)) = gL '

(,ia t o(\ + n, -2) yra Stjudento skirstinio su nt + n2 - 2 laisves laipsniais

p- tas is kvant i l is t p =t_�9 .

Kritine sritis

K : ( - - . _ � t p l u [ r " . + - ) . p : l - :

ir kriterijus formuluojamas analogi5kai kaip ir I modelyje. Vienpusiq alterna-tyvq atvejai taip pat aiSkfis. {sitikinkite.

Y - V' r - 1 .t - L n , - 2 . - - - - - - F -

= l l IJ l - + -

\nt n2

n1n2(n1 + n, -2)

303

Kai imdiq tflris vienodas (nt = nz - n) ' gauname statistik4

pasiskirsdiusi4 pagal Stjudento desni su n - I laisves laipsniais'

1 pavyzdys. Produkcija gaminama laikantis dviejq technologijq. Zaliarq

s4naudos (gramais) produkcijos vienetui pagaminti nurodltos lenteleje

Laikydami, kad imtys yra i5 normaliosios generalines aibes ir ol = oj, su

reiksmingumo lygmeniu c[ : 0,01 tikrinsime hipotezg, jog Zaliavq s4naudos,

dirbant pagal abi technologijas, yra vienodos.

H s : m t : m 2 , H u i m t + m 2 .

Kriterijq apibfdinandios statistikos T',, n, kofreti reik5me

8 . 5 G . _ 5 1 ) 1 1 ,= - l ' l r

l j 6 + 5

? q 5 - ? 1, 6 . 5 -

. /s o , t :+ +4-0,195ir Stjudento skirstinio kvantilis

t o(\ * nz -2) = ts.set(9) = 3,25.

Tuomet

l f e . s l = l , 7 l<3 ,25 = / o , sss (9 )

ir stebejimo duomenys neprie5tarauja hipotezei Hs'

B. Dispersijq palyginimo hipotezds

Tarkime, kad parametrai m1,nx2,61 ir o2 neZinomi, Su reiksmingumo

lygmeniu o, tikrinsime hipotezg Ho: ol = oi,kaialternatyva n^: o! > ol '

Ikiterijq Siai hipotezei tikrinti grindZiame statistika

€2F = 4 . . , , =+ :

J ;

dia s,2 ir S-r2 yraneZinomqparametrq cl o o', taskiniai iverdiai, t'y',,parai'

s1tos" empirines dispersijos. Be to, tarkime, kad S,2 > St2 '

Kai hipoteze Hs teisinga, statistika F yra pasiskirsdiusi pagal Fiserio F

desn[ su n1-1 tr n, -1 laisves laipsniais (Zr' l2]) '

Kriting sriti K apibreZiame lygtimi

P(F > {o( t -1,n2- 1)) = a '

X; 1 5 2.6 2.9 3,0Y' 2.5 J . L 3.5 3,8

304

i5 kurios

K = [ F r ( \ - l , n 2 - 1 ) , + - ) ;

Eia F o(\ -1, n, -1) yra Fi5erio skirstinio p-tasis kvantilis ir p = 1 - o .

Kriterijaus formuluote ai5ki ir paprasta. Pabandykite j4 pateikti.

Hipotezes Ho : ol = o3 su alrernatyva H u : ol < ol tikinimas grin-

dZiamas pirmuoju atveju: Ho : ol = o1 ir A : ol > o2, .

Kai alternatyvioji hipoteze ,F1u : ol + o|, nulines hipotezes kritine sritisyra dvipuse ir apibreZiama lygtimis

P ( F s F o ( n , - q t . n z - 2 ) ) = : . p ( F > f i , ( n 1 - 1 . n z - D ) = ?2 ' I "

2. c lt F , = v

Pastaba. Jei parametrai m1 ir m2 Zinomi, statistik4 F apibreZiame taip:

.q^2.F = F = : ! 1 '^ - n 1 , n 2

S i r ,

dia

I h t t 0 )

s o z r = - ) ( x , - r , ) 2 . s ; , = 1 L ( r , - r z ) 2 .f r l - , = l n z 7

Statistikos F skirstinys yra Fi5erio skirstinys su r?1 ir rr2 laisvds laipsniais.

2 pavyzdys. Dvejos staklds Stampuoja detales. Atsitiktinai atrenkame 10detaliq pagamintq pirmosiomis stakl€mis, ir 9 detales - antrosiomis. Jas pa-

svOrg, apskaidiuojame neZinomq dispersijq statistinius [verdius: S-r2 = 0,0032 ,

Sz2 =0,001S. Ar, remdamiesi Siais duomenimis, galime teigti, kad stakles dir-

ba vienodai stabiliai? Reik5mingumo lygmuo a = 0,05.A Laikydami, kad duomenys paimti i5 normaliqjq generaliniq aibiq,

tikriname hipotezQ Ho : ol = of ,kai alternatyva H : o! > o2r.

Statistikos Fn,, o, konkreti reik5me

s-2f i o . e = + = 2 , 1 3

J,-

ir FiSerio skirstinio kvantilis 4,ss (9,8) = 3,39 . Tuomet

f r cs =2 ,13 <3 ,39 = f t , ss (9 ' 8 )

ir nera pagrindo atmesti hipotezg Hs.

305

12.1 1. Neparametrin6s hipotez6s

Keldami ir tikrindami parametrines hipotezes, laikeme, kad generalines

aibes (atsit iktinio dydZio) pasiskirstymo funkcijos F(x)= F(x,01,...,0.) ana-

lizine i5raiSka yra Zinoma, tadiau priklauso nuo neZinomq parametrq 0;, i =

= t; . fltuip tariant, buvo Zinoma teoriniq skirstiniq klase (normalioji, ekspo-

nentin€, Puasono ir kt.), priklausanti nuo vieno ar keliq neZinomq parametru.Praktikoje teoriniai modeliai daZniausiai yra neZinomi. Tuomet, remiantis

apdorotais duomenimis (histograma, kumuliante ir t. t.) arba kitomis sampra-tomis, daromos prielaidos apie teorin[ skirstini. Jos daZnai esti subjektyvios,todel b[tini objektyvus jq tikrinimo kriterijai.

Paprastqja neparametrine hipoteze vadiname prielaidq apie tikimybiqs(irstinio analizinE i5rai5k4. Pasiskirstymo funkcijq terminais j4 i5rei5kiame

taip: 110 : F (x) = 4 (r) ; dia Fr (x) - Zinoma pasiskirstymo funkcija.

Kriterijus, kuriais remdamiesi tikriname paprast4sias neparametrines hipo-

tezes, vadiname suderinamumo kriterijais. Jq sudarymo principai ir hipoteziq

tikrinimo metodai lieka tie parys, kaip ir parametriniq hipoteziq. Imama tam tikra

statistika D,, apibldinanti teorinds pasiskirstymo funkcijos Fo(r) ir empirines

i,1r; nuokrypiq mat4. Kai hipoteze Ilo teisinga, statistikos D' dideles reik5-

mes turi b[ti maZai patikimos. Todel, parinkQ maZ4reik5mingumo lygmeni cl '

kriting srit[ K - statistikos D, ,,dideliq reik5mirl' sriti - apibreZiame lygtimi

P ( D n e K ) = c t .

Suderinamumo kriterijq formuluoj ame taip:o jei konkreti statistikos Dn reikSme dn patenka i sriti K t. y. jei

d,e K, hipotezg I1s atmetame;

o jei d,e K, hipoteze Ho yra suderinta su imties duomenimis ir pri-

imtina.Teoriniq ir statistiniq duomenq nuokrypio matas Dn gali btrti parinktas

[vairiais b0dais. Aptarsime du praktikoje dainaitaikomus metodus.

Pirsono 12 kriterijus. Sis suderinamumo kriterijus yra universalus. Jo

taikymo galimybes nepriklauso nuo teorinio skirstinio israiskos. Statistika D"

apibldinama patekimo i tam tikrus intervalus teoriniq tikimybiq ir jq statistiniq

[verdiq - santykiniq daZniq - skirtumu, o kriterijus grindZiamas Siq charakte-

ristikq dideliq nuokrypiq maZu patikimumu.

Sakykime, (Xt,X2,...,X,) yra atsit iktinio dydZio X su neZinoma

pasiskirstymo funkcija 16'(r) atsitiktine imtis. Tikrinsime paprast4j4 hipotezg

Ho : F (x ) = Fo (x ) .

306

Vis4 dydZio X galimq reik5miq aibq skaidome I n intervalq. Tarkime, kad

i l-t4ji interval4 pateko ft; konkeiios imties (x,, x2,...,x,) reik5miq. Grupuo-

tus duomenis sura5ome lenteldie:

Intervalai [-ao, ar) fa1, a2) la , -1 , a1) far - '1 , a^f

DaZniai K1 t-n2 ki k,,SantykiniaidaZniai

Kl

;

t_K2

;Ki

;

t-Lnt

;

Targ, kad Hsyra teisinga, apskaidiuojame teorines tikimybes p;:

p i =P (a i - t . X . o , ) = Fs (a , ) - Fs (a , - ) , i =1 ,m .

Tikimybe p, yra teorines pasiskirstymo funkcijos Fe(x) pokytis l-tajame

intervale la,-t. a) , o santykinis daZnis k' - empirinds pasiskirstymo

funkcijos f,(x) pokytis Siame intervale. ,"o|,n", ir empirines pasiskirstymo

funkcijos nuokrypio matu imame statistik4

_ n _ / L ) , { ( k , _ n p , ) 2 i + f t , ,x 3 = t 1 l \ - p , ' - , - n ." -i--r P,\ n ) 7-, nPi -,=1nP,

Jei hipoteze Hsyrateisinga, statistika X?, yra asimptotiSkai (n-+-) pa-

siskirsdiusi pagal y2 desnisurrr- I laisves laipsniais (Zr. []). Vadinasi, esant

didelems imtims (o tik tokias ir grupuojame!), statistikos Xl skirstin[ galime

aproksimuoti 12 skirstiniu. Si4aproksimacij4 laikome gera. kai np,25 su vi-

sais l= ta 12r.1211.Neneigiama statistika Xl sudaryta taip, kad kuo artimesne nuliui yra jos

reik5me, tuo didesne tikimybe, kad Ho teisinga. Todel hipotezes tikrinimo krite-

rijq grindZiame de5inine kritine sritimi, kuriq sudaro dideles Xl reik5mes.

Statistikos Xl skirstinio p-tEli kvantili paimejq "1, tritinE srit[ K apibre-

Ziame lygtimi

P6 (X : > r ' ; =o .

Kadangi statistikos Xl skirstinio neZinome, o ji tik aproksimuojame X2skirstiniu su rlz - I laisves laipsniais, tai aproksimuojame ir p-tuosius kvan-

t i l ius: x l = ^ t r2o1m-I) .

307

Dabar kritinE srit[ K apytiksliai apibldiname intervalu

K = I X 2 n ( ^ - 1 ) , + - ; , p = l - a .

Kriterijus:

o jei starisrikos Xl tcontreti reik5me *|>X'o(*-l), hipotezq 116

atmetame;

r jei *1 .X'r(*-l), I1e priimame.

Apibiidinome Pirsono suderinamumo kriterijq paprastajai hipotezeiHo: F(x) = &(x) tikrinti, kai pasiskirstymo funkcija Fo(x) yra visi5kai api-

bfldinta. Tadiau daLnai b[na Fe(x)=4(x,0r,...,0,), o parametrai 0, (i=

= l, s) neZinomi. Tuomet, remdamiesi grupuotais imties duomenimis, randame

neZinomq parametry suderintuosius [verdius 6, f i = f , r l ir apskaidiuojame tiki-

mybesn n A n n -

p , = F ( ) ( a ; , 0 t , . . . , 0 " ) - & ( c r r - r , 0 1 , . . . , 0 ' ) , i = 1 , m .

Kai imties ttris n didelis, o hipoteze Hs: F(x):4(x,6r,...,6,) teisin-k . A

ga. skirtumai J - p, yra malin

statistika

n .

i r - $ ( k , - n P , ) '. , n - , L n

r= l n p i

Statistikos Xl skirstini kai imties tiiris n didelis, galima aproksimuoti

taip pat 12 skirstiniu, bet su m - s - I laisves laipsniais (Zr. tll).TarE, kad reik5mingumo lygmuo lygus o, kriting srit[ apytiksliai apibii-

diname intervalu

K = l x2p (m-s - l ) , + * ) , p= I - cx , .

Kriterijaus formuluot€ akivaizdi.

Pastabos. l) y2 k;riterijaus privalumas yra universalumas. Juo galime

tikrinti hipotezg apie bet kuri skirstini (tolydqji diskretql|, netgi priklausant[nuo neZinomq bet statisti5kai ivertintq parametrq.

2) Imtis turi buti didele. Jq reikia grupuoti, tadiau, kaip tai atlikti, tiksliaineapibreZiama. Tai kriterijaus trlkumas.

Tuomet natDralus statistikos Xl analogas yra

308

NuokrypiqXintervalai t-4, -3) r f I t - 1 ,0 ) t 0 . l ) l . t , 2 ) t 2 ,3 ) 13,4)

Dainiai k, 6 25 12 r33 r20 88 46 1 0 500

Santykiniaitai;niai k, / n

0.0r2 0.050 o.144 o.266 o.240 0,r76 o,092 0.020 = l

n P t 6 ) 26,2 1 1 ) 122,2 1 3 1 , 8 90.5 38,2 10,5 = 50(

Pavyzdys. I5matuoti 500 rezistoriq varZos nuokrypiai X nuo normos(omais) ir pateikti sugrupuotq duomenq lenteleje.

Remdamiesi Siais duomemmrs:a) nubraizykime santykiniq daZniq histogramqb) s'u reik5mingumo lygmeniu a : 0,05 patilainkime nuling hipotezg

H s : F ( x ) = 4 ( x ) .A Pateikiame santykiniq daZniq histogramq (80 pav.).

80 pav.

Vizualiai i5 histogramos darome prielaid4 kad varZos nuokrypiai nuonominalo yra normalieji, taigi keliame paprastqjE hipotezg Hs: F(x)=

= <D(x,lzl.o). Jqtikrinsime Pirsono 1r kriteri jumi.

PaZymejg i, r-tojo intervalo viduring reik5mq, apskaidiuojame parametrq

mir o statistinius [verdius. Empirinis vidurkis

m l .

; = t i a = 0 , 1 6 8 'a n

o empirinis standartas

l . ,

t = - l t ( t , - tY a =1,448.1 l ; ' ' n

Parametrais m ir o imame atitinkamus ta5kinius jq [verdius x ir s.

- la- J-4

p, (x )

309

Jei hipoteze Ho: F(x)=@(r, 0,186, 1,44g) yra teisinga, teorines tiki_

*ybes 1, = P(cr-r .X.o,) skai i iuojametaip:" - ( a , - x \ - / a , , - x \p , = Q l I - < D l

- ' - ' " l , i = l , m ;

\ s / \ s )dia @@(x) - standartinio normaliojo skirstinio pasiskirstymo funkcija. pavyz-dZiui, tikimybe varZos nuokrypiui nuo nominalo patekti I antrqii interval4lygi

" _ ( - 2 - 0 . t 6 8 ) * ( - 3 - 0 , 1 6 8 )pz =Ql _*_ l_al ______j_::-- l=0,0524.

I t ,448 / l . 1,448 )n

Sandaugas n p, sura5eme I paskutini4jE lenteles eilutg.Apskaidiuoj ame statistikos

0 , - $ 1 t , - n ) , ) n = L - - - " -i = t n p i

n n

konkredi4reik5mg xj : xl =3,94.

Kai reiklmingumo lygmuo o, = 0.05, 12 skirstinio su v= m-s-l=5laisves laipsniais p-tasis kvantilis X'r(v1 = X3.sr6) =11,07 . Gauname:

x3 =3,9q <tr ,oi =X3.ss6),

taigi nera pagrindo atmesti hipotezg F1e apie normalqji X skirstini. AKolmogorovo kriterijus. Tai neparametrines hipotezes Hs: F(x)=

=4(r) tikrinimo kiterijus. J[ galime taikyti, kai pasiskirsrymo tunkcijaFo(x) yra tolydZioji ir visi5kai aplbr)ha (nepriklauso nuo jokiq neZinomq pa-rametnf. Kriterijq grindZiame empirines ir teorines pasiskirstymo funkcijosdidZiausiu nuokrypiu - statistika

D, = Sup I i , ( * ) - 4 (x ) l .Kolmogorovo teorema. Tarkime, kad FoQ) yra totydzioji pasiskirstymo

funkcija. Tada

, l11P( . f ro , <x)=K(x)= ! f - r lo n -2k2x2, x )0 .

k = 4

I5 Sios teoremos i5plaukia, kad, esant didelems imtims, galioja apytikslelygybe

P$ f -nD ,<x )=K(x ) .

3 1 0

Imdami reik5mingumo lygmen[ a, lygtimi

P(l-nD, > ), o) = a

apibreZiame tiritinp sriti K, 6a ),, yra statistikot .fiD, p-tasis kvantilis

(p = l-cr) . Jis apytiksliai lygus lygties K()"p) = 1-cr sprendiniui, t. y. Kol-

mogorovo skirstinio p-tajamkvantiliui l,o, kai p =l- cr. Kritine sritis

K = f L p , * * ) , p = l - 6 1 .

Statistikos D, reikSmE d, galime apskaidiuoti tokiu b[du. Imamekonkredios imties (x' , x2, ..., xn) variacing sekE ir randame reik5mes

, + ( * . ) ( - . l . - l )dn =mqxl - - f o lxk) l . d , = ! .ax l 1.o(xk' '

l < / t < r l n "

) "

l < l <n \ n )

Tuomet

c ln =maxld; ,dn ) .

Kriterij aus formuluot€ paprasta:

r jei .l-nar'-L1-o, tai hipoteze Ho Ya nesuderinama su stebejimo

duomenimis, todel atmestina;

o jei J-ra, .1.,-o , tai hipoteze H6 priimtina.

Esminis Kolmogorovo kriterijaus trukumas - neuniversalumas. Siokriterijaus negalima taikyti disketiesiems skirstiniams ir tiems tolydiesiemsskirstiniams, kuriq parametrai neZinomi. Imtis turi blti didele. Duomenq gru-puoti nereikia. Tai - kriterijaus privalumas.

12.'12. Statisti ni q procedU rq paketai

Praktini matematines statistikos metodq taikym4 labai palengvina duome-nq analizes sistemos, jungiandios visus reikiamos informacijos gavimo i5 duo-menq etapus:

o duomenq [vedimo, testavimo, redagavimo ir saugojimo;. statistines duomenq analizes ir sprendimq priemimo;o ataskaitq ra5ymo ir rezultatq grafinio vaizdavimo.Didesnes Sios klasds sistemos (STATGRAPHICS, SPSS PC +, SAS;

Zr.[2]) turi dviejq lygiq programines priemones:- specializuot4 programavimo kalb4 duomenq analizes uZdaviniams

sprgsti;

3 l r

- tipiniq duomenq analizes uZdaviniq sprendimo posistemi, kur[ sudarodaZniausiai naudojamq duomenq analizes proced[rq rinkinys ir programinespriemonds, sukuriandios ,,patogi4" darbo aplink4 Siq programq vartotojui.

Glaustai apibUdinsime vien4 duomenrl analiz€s sistemq STATGRAPHICS5.0 (Statistical Graphics Sysrem - JAV firmos STSC. Inc., (nuo 1992 05 01vadinamos Manugistics, Inc.) statistiniq ir grafiniq procedlrq paket4 Gr. HD.Sios sistemos 5.0 versija pradeta platinti 1991 metais. Ji skiriama IBI{/ KT/ AT,PS/2 bei programiSkai su jais suderinamiems asmeniniams kompiuteriams.Sistemai funkcionuoti reikia 512 KB operatyviosios atminties, displejaus, vienolanksdiq diskq irenginio, 3 MB kietojo disko atminties, standartines DOSklaviatiiros ir operacines sistemos Dos 3.0 arba velesnes jos versijos. papildomaigalima naudoti matricini ir lazerini spausdinimo irengini braizytuv4 i5plestqj4operatyvi4jq atminti.

Sistema STATGRAPHICS 5.0 gali atlikti daugiau kaip 250 [vairiq duo-menq tvarkymo ir analizes procediirq. Vartotojas gali naudoti dviejq lygirlprogramines priemones:

r meniu sistemq skirt4 duomenims [vesti, analizes procedlroms atliktiir rezultatams i5vesti [a gali naudotis nemokantis programuoti vartotojas);

. programavimo kalb4 APL PLUS, skirt4 duomenq analizes uZdavi-niams programuoti (i turi daugiau kaip 350 operatoriq ir funkcijq).

Pagrindiniame sistemos meniu 22 sekcijos suskirstlrtos [ 6 grupes. Deta-liau apibudinsime pirm4sias dvi grupes, kurios siejamos su l2 skyriaus teoriniqiSvadq praktiniu realizavimu.

Duomenq bazE ir sistemin6s programosA. Duomenq [vedimas, redagavimas ir saugojimas, operacijos su bylomis,

bylq importas ir eksportas.B. STATGRAPHICS sisteminiq parametrq nuorodos, DOS komandq

rykdymas, laikinas gr[Zimas i DOC aplink4 operatoriq ir funkcijq iraSymas Idarbing srit[.

C. Ataskaitq ra5ymas, tekstiniq ir grafiniq bylq perZiiirejimas bei spaus-dinimas.

D. Grafikos parametrq ir spalvq nuorodos.BraiZymas ir apra5omoj i statistikaE. Funkcijq grafikq braiimas dvimateje ir trimateje erdveje, stulpeliniq

ir skrituliniq diagramq braiZymas.F. Empiriniq charakteristikq skaidiavimas, empiriniq skirstiniq daugia-

kampiq ir histogramq braiZymas, empirinirl kvantiliq skaidiavimas.G. Pasikliautinqiq intervalq radimas, parametriniq hipoteziq tikrinimas,

normaliojo skirstinio empirines ir teorines pasiskirstymo funkcijos grafikqpalyginimas.

312

H. Empirines ir teorines tankio funkcijos grafikq palyginimas, neparamet-riniq hipoteziq tikrinimas (X' it Kolmogorovo suderinamumo kriterijai), l8-os

skirstiniq pasiskirstymo ir tankio funkcijq grafikq braibymas, kvantiliqskaidiavimas, atsitiktiniq dydZiq generavimas.

I. Duomenq testavimas ir testavimo rezultatq grafinis vaizdavimas.Kitq keturiq grupiq skirtq dispersinei ir regresinei analizei, laiko eiludiq

proceduroms, kokybes kontrolOs procedfiroms, eksperimento planavimui,lygdiq sprendimui, simpleksq metodui ir t. t., tikslesnis apra5ymas pateiktas [4]knygoje. e ia rasite ir detali4 informacij4 paketo vartotojui.

Pladiai Zinomq matematines statistikos taikomqjq programq paketaiapibfldinami [2] knygoje.

UZdaviniai

1. Atsitiktinai atrinkg l0 puslapiq teksto, suskaidiuojame, kiek jame yraklaidq. Jq skaidiaus imtis yra tokia: (0, 2, l, 0, 4, l, 3, 2, 0, 1).

Sudarykite klaidq skaidiaus puslapiuose variacing sek4 ir empirin[ klaidqskirstini. Raskite empirinE pasiskirstymo funkcijA empirin[ vidurki ir empiringdispersij4.

2. Grupuotos imtys pateiktos lenteldse:

lntervalai 0-2 24 4-6 6-8 8-10Dainiai 1 5 4 J

Intervalai -3-0 0-3 34 6-9 9-12DaZniai 2 4 7 f L

Nubraizykite empirines pasiskirstymo funkcijos bei kumuliantes grafikusir santykiniq daZniq histogram4. Apskaidiuokite empirin[ vidurk[ ir empiringdispersijq.

3. Nepriklausomieji atsitiktiniai dydLiai X ir Y yta normalieji:x - N (o , r ) , Y - N (0 ,4 ) .

a) Generuodami dydZius X ir I/, sudarykite jq imtis (tdris n = 50).b) Remdamiesi a) rezultatu, gaukite dydZio Z =l X - I I imt[ ir nubraizy-

kite santykiniq daZniq histogram4.c) Apskaidiuokite dydZio Z empirin[ vidurkl ir empirinE dispersijq.

3 1 3

4. Atsitiktinis dydis lyra [vykio {ro : lXlol;l < 2} indikatorius:

t= { t ' t t u i l x l<2 'l 0 , ka i l X l>2 .

a) Modeliavimo metodu gaukite dydZio 1 50 reikSmiq imt'1 kai X - N(0, 4) .

b) Raskite ivykio {to: 1(or) = 1} santykinl daZni.

c) Apskaidiuokite [vykio {to: 1(rrl) = l} teorinQ tikimybg ir palyginkite j4

su santykiniu daZniu.

5. Tarkime, kad k-tojo elemento ilgaamZi5kumas To - E()"r) .

a) Modeliavimo metodu gaukite imtis i5 eksponentines generalin€s aibesE()"k)(k =1,2,3) , ka i 1,1 =1, ) "2 =2, Lz = 3 i r imt ies t i i r is t? = 10.

b) Remdamiesi gautomis imtimis, sudarykite nuosekliai sujungtq trijqelementq sistemos ilgaamZi5kumo empirin[ skirstini.

c) Apskaidiuokite sistemos ilgaamZi5kumo teorinl ir empirini vidurk[.

6. Kaip pasikeis empirinis vidurkis, moda, mediana ir dispersija, jei imtieselementus padauginsime i5 skaidiaus a?

7. Momentq ir didZiausiojo tiketinumo metodais [vertinkite skirstiniqparametrus, kai:

a) X - P(),");

b) X tankis yra eksponentinis: p(x) = eo-" , x2 e;

) ^ 2c) X tankis yra Pareto tankis: p(x) = =-1: - , x > 0;

(n + x)-

d) x - G(p).Ar gauti [verdiai yra nepaslinktieji, suderintieji ir efektyvieji? b) atveju

parametro c iverdiu imdami statistikq )=min(Xt,...,X,), [rodykite, kad

[vertis ] yra paslinktasis ir suderintasis.

8. Tarkime, kad imtis (X1,X2,...,Xn) yra i5 tolygiosios generalines

aibes ?'(0, 1). [rodykite, kad:a l

a) statistika ry = -(max(Xt,..., X n)* min(X1 , ..., X,)) yra suderintasis irL

nepaslinktasis teorinio vidurkio m = MX [vertis;

b) statistika k yra efektyvesnis uZ empirini vidurki teorinio vidurkio nrivertis.

3t4

9. I5 dideles elektros lempudiq siuntos atrinkta 100 lempudiq. RemiantisSia imtimi, apskaidiuota, kad vidutine lemputes degimo trukme lygi 1000valandq. Su 95% pasikliovimo tikimybe apskaidiuokite visos siuntos vidutineslemputes degimo trukmes pasikliautin4iI interval4 kai:

a) lemputes degimo trukmes standartas lygus o = 40 h;

b) lemputes degimo trukmes standartas neZinomas, bet imties bazEie

ivertintas empiriniu standartu s = 36 h.

10. I5 normaliosios generalines aibes sudaryta suapvalintq reik5miq imtis:

Su pasikliovimo tikimybe 1 - cr : 0,99 [vertinkite neZinomus parametrus

m i r o 2 .

11. Koks turi bDti maZiausias imties tfris, kad su 0,95 pasikliovimo

tikimybe normaliosios generalines aibes vidurkio ln [verdio empiriniu vidurkiu

X tikslumas butq 0,2? Generalinds aibes standartas lygus 1,5.

12. Atlikta 100 nepriklausomq eksperimentq kuriq metu ivykis A [vyko80 kartq. Su 0,9 pasikliovimo tikimybe [vertinkite [rykio A teorinq tikimybqP(A).

13. Nustatant lektuvo didZiausio greidio X vidurk[ ir vidutini kvadratini

nuokrypi, eksperimentas kartotas 20 kartq. Gautos tokios empirines charak-ter is t ikos: x =550m/si r J =8m/s.Raski te:

a) vidurkio n ir standarto o pasikliautinuosius intervalus, kai 1 - o =

= 0.9:b) tikimybes, su kuriomis galima teigti, kad, apibreZiant m ir o, abso-

liuiiosios paklaidos reik5me bus ne didesne kaip 2 m/s.

14. I5 normaliosios generalines aibes N(\,2) generuokite l0 imdiq po 25

variantus. Kiekvienos imties bazeje sudarykite vidurkio m pasikliautinqji in-

terval4 kai:a) standartas o yra Zinomas'. o = 2;b) o nera Zinomas, bet ivertintas imties duomenq bazeje.

Pasikliovimo tikimybe I - a : 0,95. Kuri intervalq dalis padengs

pararnetrqm = l?

Xi -3 0 2 3 5 62 4 6 5 2 I

3 1 5

15. Eksperiment4 kartojant 20 karq nustatyta, kad vidutine kondensato-

riaus talpa f = 10 pF, o empirinis standartas s = 0,5 ptF. Raskite vidurkio ir

dispersijos pasikliautinuosius intervalus, kai pasikliovimo tikimybe I - cL = 0,9.

16. Pirsonui metant monet4 24 000 kartq herbas atvirto 12 012 kartq. Ar

Sie duomenys suderinami su hipoteze Hs, kad moneta buvo simetriska? Reiks-

mingumolygmuo d =0,01.

17. Ismatuota 100 vienaruSiq tranzistoriq varZa R (ka) . Matavimo

duomenys sugrupuoti ir pateikti lenteleje:

Intervalai 18,5-19t9-t9.5 19,5-20 20-20,5 205-21 2t -21 ,5) | \_'))

DaLniai L t0 l 9 30 21 1 5 3

a) Apskaidiuokite empirini vidurki R ir standartq s '

b) Nubraizykite santykiniq daZniq histogram4'

c) Patikrinkite hipotezg Ho : F(x)=O(x,R,s)' kai c = 0'05'

d) patikrinkite hipotezg He: teorinis vidurkis = F + l, kai alternatyva

H u t m + R + 1 .

e) UZraSykite mir o pasikliautinuosius intervalus, kai 1- a = 0'95'

' 18. I5 generalines aibes atrinkta paprastoji imtis (x,, x2, "', x4s) ' kurioje

0 ( x , < 1 , L u ; ; = t , t 0 ,

l ( x , ( 2 . k a i i = n 2 4 ,

2 < x, 33, ka i i = 25.38 '

31x , < 4 , ka i i =15J ;0 .

Su o = 0,05 reiksmingumo lygmeniu patikrinkite neparametrinq hipotezq

He: generalines aibes skirstinio pasiskirstymo funkcija

&(x) =

0 , k a i x < 0 ,2

1 - . k a i o < x < 1 ,6 '

1 * l r r - l ) . k a i l < x < 3 ,O J

- 2 A <- n + - x - 1 , k a i 3 < x < 4 ,

6 3 3

l , k a i x > 4 .

3 1 6

19. Tiriant prietaiso ilgaamZi5kum4 matavimo paklaidas ir studentrl flgi

i5 trijq generaliniq aibiq sudarytos paprastosios imtys. Sugrupuokite duomenis,

apskaidiuokite empirinl vidurk[ ir empiring dispersij4 nubraiZykite santykiniq

daZniq histogramas, pateikite hipotezg apie teorinius skirstinius, ivertinkiteskirstiniq parametrus, uZra5ykite empirini ir teorini tanki patikinkite nepa-

rametrinQ hipotezg su reik5mingumo lygmeniu d, = 0,05; o = 0,01. Imtys

pateikiamos lenteleje:

Nr. X Y Z Nr X Y ZIz

3

4

56789l 0l lt 2I J

t4l51 6t l1 8l 9202 l2223242526272829303 1J Z

J J

2,Ol0 ,192,951,68

-2,64-t,46r ,82

-0,360,90

-0,79-0,062,92

-) 70-t,64-1,48

1,5 8t,21

-1,402,682,101 , 1 8

-o,08) R'7

_) 7)-2,192,06

-2,96-0,281,8'70 , r5

-t,69t , r 4r .80

,84,89,54,61,891 A

; 7 0,67,80,76,911A

,881 )

,7r,78, 8 11 )1 A

,84,985 5

1 1

,96,64,76,69,67,91. , 9 1

a t

i , 85t .70

0,090,190,2r0,010,930,280,820,840,350,141,271,240,780, l l0,420,310,940,150,340,44o,22o,280,060,010,090,560,540,410,340,080 , 1 2o,360.12

34 13 s l36 131 I? R I

I3 e l40 14 r l42 143 144 I4546474849505 l5253545556515 859606 16263646566

0,50-t,971 , 1 6r,15

4,572 , r 30,57

_') ?)

2,561,010,57

-2,60-0,35) ) )0,95l ,56

-2,010,840,98

-0,331,09

-2,84_) 19,

t ,16-2,44-0,59

1,60t ,320,39

4,172,63

-0,044.44

,66,78,04,93,64R 5

,84R ]

,69,83,82,78,86,68,13,76,67o ?

,87,61,87,82.93,80. ,73

R ?

X \

r ,88t ,82

t,74t .78

I,900,360,310,530,50o,4t0 , r20,610,310 , 1 80,290,061,02o,o70,061,950,440,022,140,010,03o,220,15r,210,220,290,310,25t ,4 lt,010,060,030.13

3r1

Nr. X Y Z Nr. X Y Z616869107 l127374I J

76t77879808 18283

t,442,40

1 , t 32,560,51

-0,500,031,23

4,25-1,890,34

-{,102,7 |

-2,264,28--0,982,29

l ,85r ,781,791,801,90t,721,701,101,882,051,86I , 8 11,681,89r,t52,031 . 8 1

0,180,770,660,50I , n0,291,050,311,430,701,750,270,130 , 1 10,250,220.94

848586878889909 l9293949596979899

100

0,811 a a

-0,85--0,65-0,104,10

t ,7 |2,741,52

-0,40-2,63_ ) ) 7

-1,221,70t 5 5

-o,15-0.61

,92,84,73,69,16,86, 8 1,78,89,80,69,9r,77,88,95,65.61

o,ol0,200,280,080,160,240,61o, t7r,o20,140,34o,22o,2l0 ,19I , l 80,820,06

20. Tiriant dviejq frmq rentabilum4 gauti tokie duomenys (ttikstandiais

.litq per m€nesl):

Laikydami, kad abi imtys yra i5 normaliosios generalines aibes, patikrin-

kite hipotezes:a) abiejq firmq rentabilumas vienodas;b) firmos B rentabilumas didesnis negu A.

ReikSmingumo lygmuo d' = 0,1.

FirmaA 13,6 14,l r0.2 t a ' 7 14,0 13.2Firma B 12,8 13.5 14,5 t4 , l r4.0 r 3,5

PRIEDAI

I lentel€. Normaliojo skirstinio funkcijq g(x) ir e(x) reik5m€s

- 2I - '

9 ( x ) = - t _ e 2 , < p ( - x ) = q ( x ) ,'l2n

, 2

o(x) = - - | e 2 dt . Q(-x)= I -O(x) .

4 2 n ' _

x q(x) o(x) x q(x) o(x) t q(r) @(x)

0,00

01

02

n?

04

05

06

07

08

09

0,10

l l

r2I J

l 4

1 5

l 6

t 1

l 8

l 9

0,3989

3989

3989

3988

3986

3984

3982

3980

3977

3913

0,3970

3965

3961

3956

395r

3945

3939

3932

3925

391 8

0,5000

5040

5080

5120

5160

5199

5239

52'19

53 l9

5359

0,5398

5438

5478

5511

5557

5596

5636

s675

5714

5'153

0,20

1 1

22

23

1 A

25

26

27

28

29

0,30

3 l

32

J J

34

35

36

3'7

38

39

0,3910

3902

3894

3885

38'76

386'7

3357

3847

3836

3825

0,3814

3802

3790

3'778

3765

3752

3139

3725

3 7 1 2

3697

0,5793

5832

58'71

5910

5948

5987

6026

6064

6103

6141

o,6179

6217

626s

6293

6331

6368

6406

6443

6480

65t' |

0,40

4 l

/ 1

43

44

45

46

41

48

49

0,50

5 1

52

53

54

55

56

57

58

59

0,3683

3668

3653

J I J 5 I

3621

3605

3589

3s72

3555

3538

0,3521

3503

3485

3467

3448

3429

34r0

3391

3372

3352

o,6557

6591

6628

6664

67W

6'736

67'72

6808

6844

6879

0,69 r 5

6950

6985

70r9

1054

7088

7123

7 157

7190'7224

321

x q(x) o(") q(x) o(x) Y q(r) a(x)

0,60

6 l

62

63

64

65

66

b t

68

69

0,70

1 l

72

13

14

75"t6

'7'7

18

79

0,80

8 l

82

83

84

85

86

87

88

89

0,3332

) ) t l

3292

327 |

3251

3230

3209

3 1 8 7

3r66

3 l M

0,3123

3 1 0 1

3019

3056

3034

301 1

2989

2966

2943

2920

0,289'7

28'74

2850

2821

2803

2'180

2'756

2732

2709

2685

n 1 ) < 1

'7291

7324

735'7

7389

1 / 1 1

'7454

'7486

'7 517'7549

0,7580

7611'7642

76'73'7'703

7764

7794

1823

7852

0,7881

1910

7939

1967

7995

8023

805 I

8078

8 106

8 1 3 3

0,90

9 l

92

93

94

95

96

97

98

99

1,00

0 l

02

03

04

05

06

0'7

08

09

1 , 1 0

l l

l 2

t - )

t 4

1 5

1 6

t 7

l 8

l 9

0,2661

2631

2613

2589

2565

2541

2516

2492

2468

2444

0,2420

2396

2 3 I l

2347

z-) l-)

2299

22'15

2251

222'7

2203

0,2179

2155

2 t 3 l

2t01

2083

2059

2036

2012

I 989

I 965

0,8 159

8 1 8 6

8212

8238

8264

8289

83 l5

8340

8365

8389

0,8413

8438

846r

8485

8508

853 I

8554

8511

8599

862r

0,8643

8665

8686

8708

8129

8'749

8'7'�70

8'/90

88 10

8830

1,20

2 l

22

a )

24

25

26

21

28

29

I ,30

3 l

J Z

-) -)

34

35

36

31

38

39

1,40

4 l

43

44

1 <

40

4'7

48

49

0,1942

1919

I 895

1872

I 849

1826

I 804

l 881

1 858

1 836

0,1'7 t4

1691

t669

1&7

r626

1604

1582

l 5 6 l

I 539

l 5 l 8

0,1497

1416

1456

1435

1415

1394

13'74

1354

r334

1 3 1 5

0,8849

8869

8888

8907

8925

8944

8962

8980

899'�7

9015

0,9032

9049

8066

9082

9099

9 l 1 5

9 1 3 1

9147

9162

9t'77

0,9192

9207

9222

9236

9251

9265

9279

9292

9306

9319

i z L

x q(x) <D(x) x q(x) (D(x) x q(x) @(x)

l ,50

5 1

52

53

54

55

56

i t

58

59

|, '70'71

12

I J

14

75

76'77

78't9

1,60

6 l

62

63

64

65

66

67

68

69

0,1295

t276

125'�7

1238

1219

I 200

lt82

I 163

I 145

l t 2 7

0,1 r09

to92

1074

I 057

lM0

t023

1006

0989

0973

095'7

0,0940

0925

0909

0893

0878

0863

0848

0833

081 8

0804

0,9332

9345

9357

93'70

9382

9394

9406

9418

9429

9441

o,9452

9463

94'74

9484

9495

9505

95 15

9525

9535

9545

0,9554

9564

95'73

9583

9591

9599

9608

9616

9625

9633

I ,80

8 1

82

83

84

85

86

87

88

89

2.00

02

04

06

08

l 0

t 1

t 4

l 6

l 8

1 ,90

9 l

92

93

94

95

96

97

98

99

0,0790

0'775

0161

0748

0'734

0721

0'70'7

0694

0681

0669

0,0656

0644

0632

0620

0608

0596

0584

0573

9562

055 r

0,0540

05 l9

0498

0478

o459

o440

0422

04M

0387

037 |

0,9641

9649

9656

9664

967 |

9678

9686

9693

9699

9'706

0,9713

9'�719

9'729

9132

9138

9'144

9'750

9756

9761

9't6'7

0,9772

9'783

9793

9803

98r2

9821

9830

9838

9846

9854

) ) n

22

26

28

30

) z

-)+

36

3 8

2,60

62

64

66

68

70"72

14

16

18

2,40

42

44

46

48

50

52

< ^

56

5 8

0,0355

0339

0325

0310

029'7

0283

0270

0258

0246

0235

o,0224

0213

0203

0194

0184

0175

0r67

0158

0 1 5 1

0143

0,0136

ot29

0122

0 l l 6

0 1 1 0

0104

0099

0093

0088

0084

0,9861

9868

8975

9881

988?

9893

9898

9904

9909

9913

0,9918

9922

992't

993 l

9934

9938

9941

9945

9948

995 I

0,9953

9956

9959

9961

9963

9965

996'7

9969

99'7 |

9973

3 Z J

Y

II

!

i

Normaliojo skirstinio N(0,1) kvantiliai zo:

@(z o ) = p ,

q(x) o(') x q(x) @(x) v q(x) @(x)

2,80

82

84

86

88

90

94

96

98

0,0079

0075

0071

006'|

0063

0,0060

0056

0053

0050

004'7

0,99'74

9976

9977

99'19

9980

9981

9982

9984

9985

9986

3,00

3 , 1 0

3,20

3,30

3,40

? 5 0

3,60

3;70

3,80

l q o

),00443

00321

00238

00172

00123

00087

00061

oN42

00029

00020

0,9966s

99903

99931

9995 I

99966

99916

99984

99989

99993

99995

4,00

4,50

5.00

c,0001338

0000160

0000015

),999968

999997

9999999i

p 0.90 0,95 n 07< 0,99 0,995 0.999 0,9995

Zp 1,282 1.645 1,960 2,326 2.5'76 3,090 3,291

)z+

2 lentel€. Stjudento skirstinio kvantiliai /,(n)

t o @ )

p : p(T, < t r (n) t : I r r . t r la ,

\ pn \

0,750 0,900 0,950 0.9'75 0,990 o.995 0,999I234

6789

1 0

a l

22z-)1 /

25)(,272829-Jt ,

4060

t20

l ll 2l - )

1 4l 51 61 1

1 8l 920

1,0000,816o,7650,741o,7270,71 80,71r0,'t060,7030,700

o,6910,6950,6940,6920,6910,6900,6890,6880,6880,687

0,6860,6860,6850,6850,6840,6840,6840,6830,6830,583

0,6810,6790,6770.6'14

3,0781,886l,638I 5 ? ?

1,4161.440r , 4 151,39'71 ,3831,372

r,3631,356l,3501,3451,341

r,337

1,3301,3281,325

| ,323|,3211 , 3 l 91 , 3 1 8t ,3 t6r , 3 1 5r,314I , 3 1 31 , 3 1 Ir , 3 1 0

I ,303t,2961,2891,272

6,314) 9)n, 1 5 ?

2,1322,0t51,9431,895l,8601,8331,8t2

1,7961,182|, ' t1 1t, '7611,753|,146|,7401,7341,'t291,725

| ,121t ,1 t '7| ,1141 ,111I,7081,7061,7031,1011,6991,691

I,6841,61 |1,6581.645

12,7064,3033,1822;7'76) \ 1 1

2,44'72,3652,3062,2622,228

2,20r2,1792,1602,t452,1312,1202,1102,10r2,0932,086

2,0802,0742,0692,0642,0602,0562,0522,0482,0452,042

2,0212,000I ,980I,960

31,82r6,9654,5413,74'13,3653,1432,9982,8962,8212,'164

2,7l82,6812,6502,6242,602t 5 R ?

2,567) a < ), 5 ? O

2,528

2,5182,5082,5U)2,4922,485) /11A

2,4732,46'72,4622,457

2,3902,3582.326

63,65'7o o?<

5,8414,6044,0323,70'l3,499

3,2s03,169

3,106

3,O12) all

2,94'l2,9212,8982,8'782,8612,845

2,8312,8192,8012,7912; t87) ' t 1 9

2,'7'112;7632,7562;750

2;7042,6602,6172.576

3 1 8

10,2'7.173

5,8935.208

3,'7873;733

4,1854,5014,2974,144

4,0253,9303,852

3,6863,6463,6103 57q

1 5 S ?

7 5 ) 1

3,5053,4853,46'73,4503,4353,4213,4083,3963,385

3,301

3,1603,090

325

3lentel€. 12 skirstinio kvantil iai y2o@)

p =P6cx2^ <x2o ln)1=x ' o {n )

f

J n*, \x)ax0

Pyz \x )

x 0.005 0.010 o,025 0,05 0,r0 0,20 0,30

I

2

3

5

6'l

8

9

t 0

l l

l 2l 3t 4l 5

1 6t 7l 8l 9z0

2 l22

2425

0,0*3930,01000,07r7o,20'70,412

0,6'760,989

1,34t , t J

2 , 1 6

2,603,0'/1 5 7

4,0'74,60

5 , l 45,'706,266,847,43

8,038,649,269,8910,5

0,0* 1570,02010 , 1 l 50,2970,554

o,8'721,24I ,652,092,56

3,05

4 , l l4,665 7't

5 , 8 16,417,01'7,63

8,26

8,909,54to,210,9I 1 ,5

0,0*9820,05060,2r60,4840,831

1,241,692 , 1 82,70

? a ' )

4,40

5,015,636,26

6,91'7,56

8,238,919,59

10,31 1 , 011,712,41 3 , I

0,0*3930,103o,3520,111

1 , 1 5

1,642 , 1 7

3,94

4 5 1

5 ? 1

5 R q

6,57't,26

'7,96

8,6'79,391 0 , I10,9

l l ,612,31 3 , I1 3 , 814,6

0,01580,2110,584

1,06I ,61

2,202,833,494,1'l4,87

5,586,307,047;798,55

q i l

10, I10,911,712,4

13,2t4,o14,815,116,5

o,06420,446

1,001,652,34

3,073,824 5 q

5,386 , 1 8

6,991,818,639,4'l10 ,3

12,0r ) o

t3,1

14,6

15,4

16,3

11,2

l 8 , l

18 ,9

0,1480,713

|,422 , 1 93,00

3,834,61

6,397,2'7

8 , r59,03q q ?

10,811,1

12,61 3 5

14,415,416,3

17,2I 8 ,119,019,9? n a

326

vn \

0,005 0,010 0,025 0.05 0.10 0,20 0,30

262'7282930

35404550'75

100

1l,2I 1 , 81 ) \

1 3 , 11 3 , 8

1'7,220,7) L 1

28,047,26't.3

12,2t ) o

13,614,315,0

18,5) ) )t < o

) o 7

49,570,1

13,814,6

16,016,8

20,624,428,41 ) 4

5 ) q

7 4 )

15,4r6,216,9L't,'7t R 5

) ) \1 A <

30,634,856, l'7'7.9

1'7,31 8 , l18 ,919,820,6

24,8t o l

37,759,882.4

19,820,72 t ,6) ) \23,4

21,8

36,941,464,58't.9

21,8) ) 1

23.624,6

30,234,939,644,368,192,1

'.Pn \

0,70 0,80 0,90 0,95 o q?5 0.990 0,995 0,999

I234

6'7

89

1 0

1 lt 2I J

t 4l 5

l 6

1 8l 920

r,012,413.614,886,06

1 ) a

8,38o q ' t

to,7l 1 , 8

12,9

14,0

1 5 , 1

16,2

t'7,3

18 ,4

20,6

21,'l

22.8

1,64'\ ))4,645 q q

1 ) O

8,569,801 1 , 01 ) )

13,4

14,6

1 5 , 8

l 7 ,o

18,2r q 1

20,5

21,6

22,8l ? o

25,0

2,7 |4 ,61

7,789,24

10,612,013,414;t16 ,0

t ] ,318,519,821,1) ) 1

) 1 \

24,826,O)1 )

)9. A

3,845 q q

7,819,491 l , l

12,614,11 5 5

16,9l8 ,3

19,72 t , 022,4

25,0

26,33'7,628,930, r31.4

5,02'7,38

q 1 5

1 1 , 112,8

14,416,01'7,519,020,5

t t q

26,1

? R R

30,21 l 5

?7 c)

34.2

6,639,21l l , 3

1 5 , 1

16,818,520,121,7

26,221,'729,130,6

32,01 a A

34,8

3'7.6

7 ,8810,6t2,814,916,7

18,520,3) ) n

23,6) < )

26,828,3, O R

31 ,332,8

34,31 5 7

37,238,640,0

10,813,816,3r 8,5, n <

)') \) L 1

26,12'7,9) q 6

3t,332,91 L 5

36,13 7 ; 7

40,8

43,845,3

\pl l \

0;70 0,80 0,90 0,95 o,975 0,990 0,995 o,999

2 1224 )

2425

2627282930

3540A <

J ( '

75100

) ? o

) 4 q

26,0

z t , l

)9. )

) o )

30,331,4? ) {

33,5

38,944,249,554;780,9

106.9

26,9

28,429,6? o 7

3 1 , 8? t o

34,O35, I36,3

4 1 , 847,3< ) 1

< e )

85, I

111.7

29,630,832,0

31,4

35,636,'�l7't I

39,140,3

46,15 1 , 85 7 5

6 1 )

9 1 , 1I 18 .5

1 ) 1

j i q

? 5 t

36,4

l R q

40,141,342,643,8

49,8

61,'76'7,596,2

t24.3

36,838, I39,440,6

41,943,244,5451

47,0

5 ? ?

5 q ?

65,4'71,4

100,8t29.6

38,940,341,643,044,3

45,647,048,349,650,9

63,770,0'76,2

106,4135.6

41,442,844,245,646,9

48,349,65 1 , 05 r ?

53.7

60,366,81 1 )

7 q 5

110,3140.2

46,848,349;t5 l ,

52,6

54,15 5 5

56,95 R 1

5 ( ) 7

66,673,480, I86,7

I 18 ,6149.4

328

4 lentel€. Fi5erio skirstinio kvantiliai F,{ry, n2)

p =P(Fnr, , , < Fo@r,nz)) =F p ( n , , n r )

t , . ,

I Pn lx )ax0

I

\ n ',N

2 3 4 5 ,16 8 9o = 0 . 9

I2-t

4

56

18

91 0l lt 2

t - l

t 4l 5l 6

t t

l 8l 920

2 l22

24

39,868,53< < /

4,54

4,063,'18

3,46

3,367 ) A

3,233 , 1 8

3 , 1 43 , 1 03,013,05

3,033,01? o o) a 1

2,96? o 5

2,94t o ?

49,509,005,464,32

3,783,463,26

3 , 1 1

3,012,922,862,81

2;76z . t J

2,702,67

2,642,622,61, 5 0

) <'1

2,56t s <

2,54

5 i 5 q

9 , t 65 ? q

4 , 1 9

1 6 1

? t q

3,0'7) o")

2,8r) 1 1

2,662,61

2,56) \ )2,492,46

2,442,422,402,38

2,36t ? s

2,34

55,83a ) 4

5,344 , t l

' l 5,

3 , l 82,962,81

2,692,612,542,48

2,43? ? o

2,36

1 7 , 1

) )<)

) ) 1

) ) <

2,23) ) )) ) l

2 , t 9

5'�7,24o 7 0

5,3 r4,05

3,453 , 1 12,88

2,6r') \)2,45) 7 q

t 1 5

2,31) ) 7

2,24

') ))2,202 , 1 82,16

2 , r 42 , 1 32 , t l2 , lo

58,20o 1 1< t R

4,01

3,403,052,832,67

? 5 5

2,46) 7 9

2,28) ) 4' ) ' r l

2 , 1 8

t t <

2 , 1 3

2 , t l

2,O9

2,08

2,06

2,05

2.04

58,9r

\ ) 1

? q R

? 7'7

3,0 t2,782,62

2,5r2,412,34

2,28

) ) 1

) 1 4

2 , 1 62 , r 3

2 ,102,082,062,O4

2,022,011,99l .98

59,449,3'75 7 5

? q 5

3,342,98) 1 <

2 5 4

) a'l

2,38t ? n

2,24

2,20) l 5

) t )

2,09

2,062,042,022,00

1,98|,9'll ,95|.94

59,869,38s ) L

3,94

2,96) 1 )

2,56

2,44t ? 5', )1

2,21

2,16) t )

2,092,06

t n ?

2,00I ,98I,96

I,95l q ?

r o z

I .91

329

\n rD z \

2 3 4 l 5 l 6 l 1 1 8 l ep = 0 , 9

IJ

2627

28

29304060

120

) 9')

2,91

2,90t R o

2,892,882,842,79

2.71

t 5 ?

) 5 )

? 5 l

) \ n

2,502,492,44? ? o') ?<

zJtt

) 1')

2,3r2,302,29

2,282,28) ) 1

2 , 1 8) t 7

2,08

2 , 1 8) t - 7

2 , 1 72 , 1 6

? t <

2 , 1 4

, n a

2,04r,99r,94

) n o

2,082,012,06

2,06, 0 5

2,00t q 5

1,90I,85

2,022,0r2,00

2,00

t ,99I ,98I q l

| ,871 ,82t,'77

o?

,96o 5

,94

,93,93,87,82,77,72

q?

a")

,91,90

Rq

, 8 8

,83,1'�71 )

.67

,89,88

,81,8'7

,86

,79,74,68,63

\ n t l 0 l 5 20 24 4030 60 t20p = 0 , 9

I2

56

78

9l 0l 1t 2

I J

l 4

l 5

t 6

1 7l 81 920

60,199,395 ? ?

l A t

3,302,942,70) \ 4

2,42

) ) s

2 , 1 9

2 , 1 42,102,062,03

2,00I ,981,961.94

60,719,41\ ' ) )3,90

2,902,67

2,50

2,382,282,2r) 1 5

2 , 1 02,O52,02l ,99

I,96r,931 , 9 11.89

61,229,425,20

3,87

3,242,8'72,632,46

2,342,242,1'72 , 1 0

) 0 5

2,01

1,9'71,94

1 , 9 11,89r ,861,84

61,'749,445 , 1 8

3,84

3,212,84? 5 a) a')

2,30) ) n) t )

2,06

2,011,96r ,921,89

l ,861,841 ,811.79

6zM9,455 , l 8

3,83

3 , 1 92,822,582,40

2,282 , 1 82 , 1 02,04

t,98t ,94I ,90I ,87

I ,84l , 8 11, '791.17

62,269,465 , 1 7

3,82

3 , r 72,802,562,38

) ) \2 , 1 62,O82,Or

1 ,961 ,91|,8'71 ,84

1 , 8 11,78| ,761.7 4

62,539,4'l5 , l 6

3,80

3 , 1 62, '782,542,36

2,O5| ,99

I o ?

l ,891 ,85I ,81

1,181 7 5

1,73t,"t 1

62;799,475 1 5

i 7 q

3 , 1 42,767 5 l

2,34

) ) l

2 , t l2,031,96

1,901,861,821, '18

1 ; 7 51,721,701.68

63,069,485 , 1 4

3 ; 7 8

2,742,49) 1 )

2 , 1 82,082,00t o ?

1,88l , 8 3r,791,75

| - t )

1,69t,6'7|,64

330

\ n '")\

l 0 I 2 t 5 20 24 30 44 60 t?0n = 0 , 9

2 l22L J

24

2)

262728

29304060

t20

q )

,90,89,88

,8'7,86R 5

,84

,83,82,76

,65.60

,87

,86,84,83

,82, 8 1,80,79

,78,'7'7,71,66,60.55

,83

, 8 1,80; 7 8

,77,76

,74

'71

; 7 2,66,60

.49

787674t - )

1 ' '

,'7 11n

,69

,68,6'7,61,54,48.42

'75

,'72,70

,69,68,6'7,66

,65,64

A <

.38

'1)

,70

,69,67

,66,65,64,63

,62,6154

,48, + l

. J +

,69

,6'7,66,64

,63,61,605 q

,58\'7

5 l

,44

.30

,66

,64,62,61

<o

,58

,56

,54,47,40

a /

,62

,60<o

.57

,56< ^

5 ?

,51{n

,42

,zo

. 1 7

x 2 3 5 6 7 8 9p = 0,95

I

2

3A

67a

9l 0l l1 2

l - l

t 41 51 6

t6l,4I 8 ,511 0 , 1 37, '71

6,615,995 5 q

5 ? )

5 , 1 24,964,844,75

4,614,604,544.49

199,519,00o { 5

6,94

5 , 1 44,'t44,46

4,264 , 1 03,983,89

3 , 8 l

3,68J . O J

t 1 < ?

19,16

9,286,59

5,4r4,764 1 5

4,01

3 ,86

3 , 1 1

1 5 q

3,49

3 ,41

? ? 4

? r a

1 ) 4

224,619,259, r26,39

5 , l 94 5 1a t ' )

3,84

3,633,483,363,26

3 , l 83 , 1 13,063.01

)7n )

19,309,016,26

5,054 l q

3,9'7i 6 a

3,483,333,203 , l l

1 0 1

2,96) q o

2.85

234,019,33

8,946,16

4,954,28

3,873,58

1 ) )

3,093,00

2,922,85) 1 4

2;74

236,819,35

8,896,09

4,884,21'l

7q

? 5 n

? t o

3 , 1 43,012,91

2,832,'762,112,65

238,919,3'7

8,856,04

4,824, t5

1 L 4

3,072,95) R 5

2;7'72,'702,64, 5 q

240,519,38

8,816,00

4,'7'7

4 ,103,683,39

3 , l 83,022,902,80

2,712,6s2 5 0

2,54

3 3 1

\ n rUz\

I 2 3 6 7 8 o

n = 0,95

l 1

1 8l 9

20

2 122z)

1 1

25262728

293040

60t20

4,454,414,384,35

4,324 1 0

4,284,26

4,24

4,214,20

4 , 1 84 , 1 7

4,O34,001 A )

3,84

? 5 0

? 5 ?

3,49

1 4,'7

3,443,423,40

3,39

3,34

? ? )

3, r53,073.00

? 7 n

3,16

3 , 1 0

3,0'l3,053,033,01

2,992,982,962,95

2 q i

) o ?

2,842,762,68

2,60

2,96t o l

2,902,8'7

2,842,822,802,78

2,762,'74

J 1 1

2,702,602,61, 5 ?

2,45) 1'l

2,81

2,77) ' 7 4

) 1 l

2,682,662,642,62

2,60? 5 q

) < 1

2,56

7 5 5

7 < ?

2,45) 1 1

) ) q

2,21

2,702,662,632,60

) 5 5

7 5 1

2 , 5 1

2,492,4'l2,462,45

) 4 1

2,422,34) ) \2,172, t0

2 ,61? 5 R

2,54? 5 t

2,492,46) 4 4

2,40) 1{)

2,36

t ? 5

) ) \2,17

2,O92,01

2,5r2,432,45

2,40

2,36

2,34

2,31) ) q

2,28) ) 1

2 , 1 8) t n

) o )

1.94

2,492,46) 4 7

2,39

2,372,342,32) 7 i

2,28) ) 1') )a

2,24

) ) )) ) 1

2 , r 22,O4

|,96I ,88

\ t r 'n r \

l 0 l 2 l 5 30u20 4A 60 120r = 0.95

I2

34

678

9t 0l l

r2

241,919,40

8,'195,96

4,744,063,64

3 , 1 4, o e

2,85) ' 1 5

243,919,41

8;745,91

4,684,00

3,28

3,07) o l

2,192,69

245,919,43

8,705,86

4,623,94? 5 l

3,012,85) 1 )

2,62

248,019,458,665,80

4,563,873,44

2,942,772,65) 5 4

249,1l q 4 5

8,645't'l

4 ,53

3,84

1 4 1

? l )

2,902,'�742,612,5r

250,r19,468,62

4,503,813,383,08

2,862,70) < 1

) 4 1

251,119,47

R 5 0

\ 1 )

4,46

7 1 1

3,343,04

2,832,662,532.43

) < ) )

t9,488,575,69

4,43

3,303,01

2,792,622,492.38

?5? ?

19,49

5,66

4,40

3,70

2,97

) 1 \

2,58

2,45

2,34

332

\a l l 0 t 2 l 5 20 24 30 40 60 rzo- n a 5

t - l

t 4l 5t o

1 1

l 8't9

l n

2 1222324

25262'728

293040

60120

2,67

2,602,54

2,49

2,452,41t l R

t ? 5

) 1 )

2,302,27) ) \

2,24) ' ) )2,202,19

2 , 1 82 , 1 62,O8

1,991,91r ,83

2,607 5 ?

) 4 R

) a )

2,38) 1 4

2,,5 |

2,28

) ) <

2,232,202 , 1 8

) 1 6

) 1 5

) 1 )

2,10t n o

2,OO1,92I ,83

t 5' l

2,462,40

) ) 1

2,20

2 , 1 8, 1 5

t t l

2,O9

2,072,062,04

2,O32,011,92

I ,84l ? (

1,6'7

2,46? 1 q

2,28

) ) ' l

2,192 , 1 6) r )

2 ,102,072,O52,03

) A l

t ,991,97r,96

1,941,93I ,84| ,751,66t.5'7

) 4 )

) ? 5

) )(l') )L

2, t9) t \

2 , 1 12,O8

, n 5t n 1

2,01I,98

1,961,95r,93I ,91

1,90l ,89t, '79|,701 , 6 1t .52

2,382,31) ) 5

7 l a

2 , r52 , 1 12,0'72,04

2,011,981,961,94

1,92

I,90l ,88t,8'7

r ,851,84t,'7 4r,65I ,551,46

2,34) ) 1

2,20t l <

2 , 1 02,062,031,99

1,961,941,91I ,89

1,871,851,841,82

I ,81t,'79t ,69t 5 0

1,501 ? O

2,30') ))2 , 1 62 , 1 1

2,06) ^ 1

1,98t q 5

1,92l ,891,861,84

r ,82l ,80t,791, '77

| ,75| ' t A

t,641,53r,43t - J z

) ) 5

2 , 1 8

) t l

2,06

2,O11,9'7r q 3

r,90

1,871,841 ,81r ; 1 9

l,'7'7t,75t,'t31 , 7 1

1,701,68I ,58|,471,351.22

\ n rn)\

2 3 5 6,7 9

D = 0,99

I2.J

5678

4052

98,5034,1221,20

16,2613,'�7 5l ) ) \

1t.26

4999,599,0030,8218,00

13,2'7t0,92q 5 5

8,65

5403qq t7

29,4616,69

t2,069,788,45

5625qq 75

28,'71l5 ,98

1 1 ,399 , l 5't,85

7,O1

576499,3028,241 < S '

10,9'�78,75'7,46

6.63

5859qq ??

27,9115,21

10,6'78,417 , 1 96,31

592899,362'7,6'7t 4,98

10,468,266,996 , 1 8

598299,3't21,4914,80

ro,298 , 1 06,846,03

6022qq 1q

) 1 1 5

14,66

10,167,986 ; 7 25.91

\ n rnz \

I 2 3 4 6 7 8 9= 0.99

9

l 0l lt 2

I J

l 4l 5l 6

1 11 8t 920

2 122

2324

25

262'728

29

304060

120

10,5610,049,65s ? ?

9,O78,868,688,53

8,40e t o

8 , 1 88 , 1 0

8,02? o 5

7,88'7,82

7,777,727,687,64

7,607,567,317,086,856.63

8,O2

7,56'7,21

6,93

6,'706,516,366,23

6 , 1 I6,015 0 ?

5 R 5

5 7 R

\ 1 )

5,665,61

5 7 q

5 4 5

\ A )

5 ? q

5 , 1 84,984,794,61

6 q o

6,556,225 q 5

5,745,565,425 r o

5 , 1 85,095,014,94

4,87

4,824,76a '7 )

4,68

4,644,60

4,57

4,544,514,31L l ' \

? 0 5

3 ; 7 8

6,425 q q

5,675,41

{ 7 l

5,044,894,7'7

4,674 5 R

4,504 4 1

4,3'74 ,314,26L ' � ) )

4 ,18

4 , 1 4

4 , 1 I

4,07

4,04

4,O2

3,833,653,48

6,065,645 l t

5,06

4,864,694,564,44

t ) \

4,1'74 ,10

4,O4? q q

7 9 4

3,90

3,85? R )

3 ; t 81 7 5

3,'701 5 1

3,343,1'7? n ,

5,805,395,074,82

4,624,464 7 )

4,20

4,104,013,943,81

3,813,'763,713,67

3,631 5 q

3,56

3,503,471 ) A

J , L L

) q 6

2,80

5,615,204,894,64

4,444,284,144,03

? o ?

3,84

3,70

3,643,59

3,543,50

3,463,42? ? q

3,36

3,30J , t z

7 4 5

) 1 0

2,64

5,475,064,744,50

4,304, t44,003,89

3,793,713,633,56

3,451 4 1

3,36

7 7 )

? ? o

3,26J , a )

3,203,1-l2 q o

2,822,66? 5 t

4,944,63

4,39

4,194,O3? R q

3,'78

3,683,60' t 5t

3,46

3,40

3,303,26

1 ) )

3 , l 83 , 1 53 , 1 2

3,093,O7? R O

) 1 )

2,562,41

x l 0 15 z0 24 30 40 60 120D = 0,99

I23

605699,40) 1 ) 1

14,55

610699,4227,O514,37

615799,4326,8714,20

620999,4526,6914,02

623599,4626,60t ' l q ?

626199,4726,5013,84

628799,4726,4113,15

631399,48) ( a a

t3,65

6339qq 4a

26,2213,56

334

x l 0 40302420t 5t2 60 120p = 0,99

6

78

o

1 0l l1 2

I J

l 4l 51 6

t 71 8l 920

2 l22z-)

25262728

29Il ? ot - '1 4 0I

1 6 0I

lr20I

10,05't *'7

6,62

5,81

5,264,854,544,30

4,10

3,943,803,69

? < o

1 5 1

3,26

1 t 3

3,093,063,03

3,002,982,82

) 4 1

2,32

9,89'7,12

6,475,61

5 , t I4 ,114,404,16

3,963,803,6'7

3,46

3,30

1 t 7

3 , 1 23,073,03

t o o

2,96? q l

2,90

2,872,842,662,50) 1 L

2 , r8

q 1 )

'7,56

6,3 r5 5 t

4,964,564,254,01

3,823,661 5 ?

3 ,41

3,3r

? o q

3,O3? q R

) q ?

t R o

2,812,78) T 5

2,10) < )? ? 5

7 t o

2.04

q 5 5

7,406 , 1 6

5,36

4,814,414, t03,86

3,66? 5 l

3,26

3 , 1 63,083,00) q 4

2,882,832,'t82 ;74

2,702,662,632,60

) \ 1

2,202,O31.88

9,47'7,3t

6,0'75,28

4,'734,334,O23,78

? 5 q

1 4 ?

3,293 , 1 8

3,083,00) a )

2,86

2,80) ' t 5

2,702,66

2,622,58

') <-)

) 4 5

2,47) ) a

2 , 1 2r a 5| ; 7 9

9,38

5,995,20

4,654,25? q 4

3,70

' l ?5

3 , 1 0

3,00) 9 )

2,84

2,'78

) 1 )

2,67

2,62

2,58

2,54

t 5 ( )

2,4'7

2,44

2,41, ? q

2,20

2,03

1 ,86

1 ,70

o r q'7,14

5,91q t )

4,574 , 1 73,863,62

3,433,2'7J , I J

3,02

) q )

) R 4

2,762,69

2,64) 5 R

2,54) 4 9

2,452,422,38) ? 5

2,302 , r lt ,941 ,761.59

9,20'7,06

5,03

4,484,084 ; 7 83,54

3,343 , 1 83,052,93

? R l

) ' t \

2,672,61

? 5 5

2,502,452,40

2,36

) ) a

2,26

L , L )

) ) 1

2,021,84l,66| 4'7

9 , 1 I

6,9'75 ; 7 44,95

4,404,00J,69? 4 5

? t <

3,092,962,84

) 1 \

2,66t 5 R

) 5 )

2,462,40, 1 5

2,31

2,2'7) ) 7

2,202,11

2,14) l l

1,921,73l ,53t . J z

335

\ N I z 3 5 6 7 8 o

o = 0.975

I

2

J

+

5678

9l 0l l1 2

l 3l 4l 5t 6

t'7l 8l 920

2 l22z)

25262'728

29304060

120

64'7,8

38,5117,44l 1 a 1

10,01

8,818,07't

5'7

1 ) 1

6,946,'t26,5s

6,416,306,206,12

6,O45,985,925,8'7

3,835 7 0

< ' t )

5,695,66{ r.?

5,61

5,42( t o

5 t 5

5.O2

799,5

39,0016,0410,65

8,43'7,26

6,546,06

5,7 |5,46a ) 6

5, l0

4,974,864,'774,69

4,624,564,514,46

4,424,384,354,32

4,294,27L ) 4

4,22

4,204,1 84,05? o 1

3,803.69

864,2' l o t7

15,44q q R

7,766,605,895,42

5,084,834,634,47

4,354,24

4,154,08

4,011 q 5

l q o

3,86

3,823,78

3,72

3,693,673,653,63

3,61? 5 q

3,46? ? 4

J , l z

899,6?o 75

15, l09,60

1,396,235 5 ?

5,05

4,724,4'7L ) R

4,12

4,003,893,80J , I J

3,663,613,56? 5 l

3,483,443,413,38

3,35? ' t ?

? ? o

? t <

3 , 1 33,01? R q

) 1 q

92r,81q ?o

14,889,36

7 t 5

< o o

5 ? q

4 R )

4,484,244,O4

3,89

7 ' t 7

3,66

3,583,50

3,443,38

? t o

'l ,<

3 , 1 83 , 1 5

3,043,032,902,'792,67) < 1

3,103,083.06

q 1 7 I

39,3314,739,20

6,98< R t

< 1 )

4,65

3,603,50

3,4r3,34

3,28

J , I I

3,093,053,O2t q q

1 0 7

2,94

2,90

2,882,8'72,742,63) 5 )

2 .41

4,324,0'73 ,883.73

948,239,36t4,62

9,07

6,855,704,994,53

4,201 q 5

3,'763,61

3,483,383,297 ) )

3,163,10

3,053,01

) q'l

) q a

2,902,87

2,852,822,802,78

2,'76) ' 7 5

2,62' t 5 l

, ? o

) ) q

956,739,3'714,54

8,98

6,'t65,604,904,43

4,10? R 5

3,663,5r

1 ? q

3,293,20) , t z

3,063,012,96) q l

2,872,842,8r2,'78

) 1 \

) 1 1

2,69

2,6'72,65? 5 ?

2,41

2,30, l a

963,31A ?q

14,4'�7

8,90

6,685 5 ?a 9 )

4,36

4,03

3,783,593,44

3,3r

3,05

2,98t o ?

2,880,84

2,802,76

2,'70

2,682,65) 6 7

2,61

? 5 q

7 < 1

2,45

2,22) l l

336

56'7

8

91 0l l1 2

l 3I4

1 51 6

t'7l 81 920

2 l222324

25262728

29304060

r20

968,639,4014,42

8,84

6,625,464,764,30

3,967 1 ' )

? 5 ?

) , ) |

a ) \

3, r53,062,99

2,922,872,82

0,77

) 17,

2,102,672,64

2,612,59) <'7

t { <

? < 1

2,51t l a

) ) 1

2,162,05

976;139,4114,34

8 ; 7 5

6,525 ? ?

4,674,20

3,873,62J , + J

3,28

3 , l 53,052,96t e o

) 9 )

) ' t ' l

) 1')

2,68

2,642,60) \ 1

2,54

2,5r2,492,472,45

2,432,41) ) o

2,1'l2,051.94

984,9

39,4314,258,66

6,43< a t

4 5 1

4 , 1 0

3,777 5 )

3 , l 8

3,052,952,862,79

) 1 )

2,6'l2,62) \ 1

2,532,502,472,44

2,412,392,36a , J +

2,32t ? r

2 , 1 82,061,941,83

993,1

39,45t 4 , 1 7

8,56

6,335 , 1 74,474,O0

3,67

3,42

5,U I

2,952,842,76

2,68

2,622,56t { !

2,46

t ? o

) 2,A

2,30) )9.

) ) ' l

) ' r 1

2,202,0'11,941,822.11

9 9 7 ' )

39,4614,12

8 , 5 1

6,285 , 1 24,423,95

3,61) J t

J , l I

? n )

2,892,792,702,63

2,56

2,502,452,4r

2,37

2,30

2,21

2,24) )',2 , 1 9) 1 1

2,152,14z,ol1 ,88| ,76

1001

39,4614,08

8,46

6,235,074,363,89

3,563,313 , 1 22,96

2,84

2,642,5'7

2,502,442:3et ? 5

a , ) |

) ) 1

) ) l

2 , 1 82 , 1 62,132 , 1 1

2,092,071,941,821,691,51

100639,47t4.04

8,41

6,1 85,014,313,84

? ( l

3,263,062,91

2,782,67

2,592,51

2,442,38z , J )

2,29

') ")\

2,212 , 1 8, t {

f 1 1

2,092,072,05

2,032,Ol1 , 8 8l,'74I ,611.48

101039.4813.99

8,36

6, r24,96A ) \

3,78

3,453,203,00? R 5

) 1 )

2,61) \ )2,45

2,38) 1')

) ) 1' ) ))

2 , r 82 ,142 , t l2,08

, n {

2,032,00l ,98

| ,96|,94I ,801,61I 5 1

1 0 1 4

39.4913,95

8 , 3 1

6,074,904,20

3,393 , 1 4) q 4

2,79

2,662 5 5

2,46, ? e

2,262,20

2 , 1 6

2 , l l2,082,042,01

l ,98t ,951,93l , 9 l

l ,891 ,87| ,72I ,581,431,21

331

x 2 3 5 6 7 8 9- n q q s

I2

34

56'7

8

91 01 l1 2

l 3l ^

1 51 6

t 7l 8l 920

2 1222324

25262128

29304060

t20

16211

198,55 5 5 5

31,33

22,1818,63t6,2414,69

13,6112,831 1 1 1

11,'75

It,3711,0610,8010,58

10,3810,2210,07

9,94

9,83o ? ?

9,63o < <

9,489,419,34A ' R

o l ?

9 , t 88 ,83R 4 q

8 , 1 87.88

20000

199,049,8026,28

I 8 ,31r4,5412,40I1 ,04

10,1 Ia 4 1

8,9 r8 ,51

8,191 ()')

'7,70

1 < l

7 ? 5

7,21? n o

6,99

6,896,816,736,66

6,606,546,496,44

6,406 ? 5

6,0'75 ? A

5,545,30

21615

199,247,4724,26

t6,53t ) a )

10,889,60

8,'t28,08'7,60

6,936,68

6,486,30

6,166,035 q 7

5,82

5 7 i

5,655,58

5,465,415,365 1 )

5,285,244,984 1 1

4,504,28

22500199,2

46,1923,15

l q { 6

12,0310,058,81

'7,96'7,34

6,886,52

6,236,005,805,64

5,505 ? ?

< ) 1

{ t ?

5,095,024 q 5

4,89

4,844;794,244;70

4,664,624,374,14? o ,

23056r99,345,39

22,46

14,9411,46o < )

8,30

7,476,8'76,426,07

5,195,56

5 ? l

5,014,964,854;76

4,684,614,544,49

4,434,384 1 4

4,30

4,264,233,993;76i 5 5

23437

199,344,8421,9'�7

14,511 1,079 , 1 67 q 5

' t , t3

6,546,105,76

5,485,265,074,91

4,784,664,564,41

4,394,324,264,20

4 , 1 54,104,064,O2

3,981 q 5

3,'711 4 q

3,283.09

23715199,4

44,4321,62

t4,2010,798,891,69

6,886,305,86

4,854,69

4,564,444,344,26

4,184 , l l4,05? q q

3,943,893,8s3,81

3,773 ; 7 41 < l

? t o

3,092.90

23925199,444,13, t ? {

13,9610,5'78,687,50

6,696,125,68

5,084,864,6'74,52

4 ] q

4,284,1 84,09

4,013,943,883,83

3 ; 7 8

3,693,65

3,613,581 1 5

3 , l 3? 4 1

) 1 4

24091l q q 4

43,88

21,14

13,7'7r0,398,51't,34

6,54

5,545,20

4,944,'724 \ 4

4,38

4,254,144,04

3,96

3,883,811 7 5

3,69

3,643,603,56' \ \)

3,483,45

3,012,8r2,62

338

\ n rn\

40l02420t2t0 60 120p = 0.995

I23

/

t "l 6l -Il 8I

II

l qI

l 0l l

1 2

t a

l 4

1 5l 6

t ' 7

l 8t 9)n

2 1222324

25262728

293040

60120

24224199,4

43,6920,9'�7

l J l o z

r0,258,38'7,21

6,42

5,425,09

a 9.)

4,60

4,424,27

4,144,03

3,85

3 ; 7 73 ; 7 03,643,59

3,543,493,453,4r

3 ,383,34

2,902,112.52

24426r99,443,39

20.70

13,3810,038 , 1 87,Ol

6,235,665,244,91

4,644 4 7

i 1 <

4 , 1 0

? o ?

3,863 ; 7 63,68

3,607 5 4

3,4'73,42

3,281 t 5

) , 2 |

3 , 1 8, q s

2,142.542,36

24630

199,443,0820.44

1 3 , 1 59,817,9'76 ,81

6,03\ 4'1

4 ' 7 )

4,464,25

4,0'7? 0 7

3,681 5 0

3,50

3,433,363,30

3,203 , l 53 , 1 13,0'7

3,O43,012,78) \ '1

2 . 1 9

24836

199,442,78

20,17

12,90q 5 q

6,61

5,83\ ) 1

4,864,53

4,274,06

3,88

3,613,503,40

3,243 , 1 8J , l z

3,06

3,01t o "

) q 1

2,89

2,862,822,602.392 , 1 92.00

24940too <

42,6220,03

12,789,477,656,50

5 7 1

5 , 1 7

4,'764 4 1

4 , 1 7

3,961 7 0

3,64

? 5 l

3,40

i l 5

3,083,02) 4 1

) a )

2,8'72,83) 1 4

2,76

2,50) )()2,091,90

25M4

199,5

19,89

12,669,367 5 1

6,40

5,62

5,074,654,33

4,O73,863 6 4

3,54

3,4r3,30J \ a l

7 t )

3,052,98) ('t)

2,8'7

2,822.7'7

2,69

2,662,632,40) r o

1 ,98l ; 7 9

25148t q q 5

42,3119,75

l 7 5 ?

9,247,426,29

5 5 t

4,97A < <

4,23

t q 7

3,163,58

3,44

3 , 3 1

3,203 , 1 I1 n ?

) o <

2,882,822,'7'�|

) 1 )

2,61

2,63t < o

2,56) \ )2,302,08I ,871.67

25253

199,542,15

19,6r

12,409 , 1 27,316,1 8

5 ,414,864,444 , 1 2

3,873,663,48' l

??

3,213 , l 03,002,92

2,842,7'72 ,712,66

2,61) \(,) \ )2,48

2,452,422 , 1 81,96

1.5 3

253s9

t99,54t,99

t9,47

12,219,00l , t 96,06

s,304,754,344,O1

3,76' l 55

3 , l 0? o o

2,892,81

) ' 7 1

2,662,60? 5 5

2,502,452,41

) 1 1

2,302,06I ,83I , 6 11,36 t

339

II

I

5 lentel0. Atsit iktiniai skaiCiai

52 0l 35 86 34 6'7 35 48 '76

89 47 42 96 24 80 52 40 3764 50 93 03 23 20 90 25 6037 6'7 07 t5 38 31 13 1l 65ls '73 61 4'1 64 03 23 66 53

10 09 '13 25 33 '76

37 54 20 48 05 6408 42 26 89 s3 1999 01 90 25 29 09t2 80 '79 99 'lO 80

34 0'7 27 68 50 36 69 '13 6l '10 65 81 33 98 8545 57 18 24 06 35 30 34 26 14 86 '19 90 '74 3902 05 16 56 92 68 66 5't 48 18 '13 05 38 52 4'�705 32 54 70 48 90 55 35 '�75 48 28 46 82 8'7 0903 52 96 47 78 35 80 83 42 82 60 93 52 03 44

98 52 01 '7'7 67 14 90 56 86 07l1 80 50 54 31 39 80 82 77 3283 45 29 96 34 06 28 89 80 8388 68 54 02 00 86 50 7s 84 0199 59 46 73 48 87 51 76 49 69

58 04 7'7 69 "14

45 31 82 23 7443 23 60 02 l036 91 68 72 0346 42 75 6'1 88

40 2t 81 65 44 91 49 91 45 2314 38 55 37 63 80 33 69 45 9896 28 60 26 55 44 10 48 19 4994 40 05 64 18 12 55 0'l 3'l 4254 38 21 45 98 63 60 64 93 29

54 94 't5 08 99 2335 53 14 03 33 4075 57 60 04 08 819'7 96 64 48 94 8963 43 65 l7 70 83

68 47 92 76 86 46 16 28 3526 94 03 68 58 '10 29 73 4l85 15 '74 79 54 32 97 92 65il l0 00 20 40 12 86 0'7 4616 50 53 44 84 40 21 95 25

l l t9 92 91 7023 40 30 97 3218 62 38 85 '79

83 49 12 56 2435 27 38 84 35

22 10 94 05 5850 72 56 82 48t3 't4 6'7 00 7836 76 66 79 5191 82 60 89 28

65 48 l l '16 7480 t2 43 56 3574 35 09 98 1769 91 62 68 0309 89 32 05 05

'13 03 95 '7 | 862t 11 5't 82 5345 52 16 42 3'l'76 62 11 39 9096 29 77 88 22

39 29 21 49 4500 82 29 16 6s35 08 03 36 0604 43 62 76 5912 r'1 1'7 68 33

60 97 09 34 3329 40 52 42 0118 41 54 06 1090 36 4'7 64 9393 78 56 13 68

r'1 46 85 09 5017 72 70 80 15'7't 40 27 '12 1466 25 22 91 4814 22 56 85 14

66 06 5'7 4'l r731 06 01 08 0585 26 97 '76 0263 57 33 21 3573 79 64 57 53

50 50 0'l 39 9852 '7'7 56 78 5168 71 17 '78 1729 60 9l l0 6223 47 83 4l 13

80 95 90 91 1'720 63 61 04 0215 95 33 47 6488 67 67 43 9798 95 11 68 '7'7

340

LITERATURA

l. Kubilius "/. Tikimybiq teorija ir matematine statistika. V.: Mokslas,

1980.2. Kruopis ,/. Matematine statistika. V.: Mokslo ir enciklopedijq lei-

dykla, 1993.3. Fiias M. Tikimybiq teorija ir matematine statistika' V.: Mintis, 1968.

4. Janilionis V., Aksomaitls A. Sistema STATGRAPHICS 5.0. Mate-

matinOs statistikos metodai. K.: Technolo giia, 1993.5. Padvelskis K., Rimidis A., Aksomaitls A. Trumpas tikimybiq teorijos

kursas. K.: Technologlja, 1993.6. Dougherty E R. Probability ant Statistics for the Engineering, Com-

puting and Physical sciences. Prentics Hall/Englewood Cliffs. New Jersey.

1990.J. Ross S. M. Introduction to Probability and Statistics for Engineers and

Scientists. John Wiley. New York, 1987.8. Vucmnrcoe B. M. Kypc reopnl{ BepotrHocrefi. M: Hayxa, 1987.

9. Beumqena E. C., Oeuapoe JI. H. Teoput BepotrHocreil n ee uHxe-

HepHbre upuJIoxeHLIt. M.: Hayxa, 1988.10. Xapuu IO. C., Cmenauoea M. O. flpaxruxyu na 3BM no

MareMar[qecxofr crarncrure. Muncx: Yuurepcnrercxoe, I 987.ll. Posauoa IO. A. Ctrytafinue npoqeccu: Kparxufi xypc. M.: Hayra,

1979.12. Interneto statistiniq paketq apraSymo puslapiai:

STATGRAPHICS - http: ://www. statgraphics.comSTATISTICA - http : ://www.statsoft.comSPSS - http: ://www.spss.com

tikimybiu teorija ir statistika (a. aksomaitis)

Documents