Capítulo 34B – Reflexión y Capítulo 34B – Reflexión y espejos II (analítico)espejos II (analítico)

Presentación PowerPoint dePresentación PowerPoint de

Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física

Southern Polytechnic State UniversitySouthern Polytechnic State University

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Objetivos: Objetivos: Después de completar Después de completar este módulo deberá:este módulo deberá:

• Definir e ilustrar los siguientes términos: imagen Definir e ilustrar los siguientes términos: imagen realreal y y virtualvirtual, espejos , espejos convergentesconvergentes y y divergentesdivergentes, , distancia focaldistancia focal y y amplificaciónamplificación..

• Predecir matemáticamente la Predecir matemáticamente la naturalezanaturaleza, , tamañotamaño y y ubicaciónubicación de la imagen formada por espejos de la imagen formada por espejos esféricos.esféricos.

• Comprender y aplicar las Comprender y aplicar las convenciones de convenciones de signossignos que se aplican a distancia focal, distancia que se aplican a distancia focal, distancia a la imagen, altura de imagen y amplificación.a la imagen, altura de imagen y amplificación.

• Determinar matemáticamente la Determinar matemáticamente la amplificaciónamplificación y/o la distancia focal de espejos esféricos.y/o la distancia focal de espejos esféricos.

Óptica analíticaÓptica analíticaEn esta unidad se discutirán las relaciones analíticas para En esta unidad se discutirán las relaciones analíticas para describir con más precisión las imágenes especulares. describir con más precisión las imágenes especulares. Pero primero se revisarán algunos principios gráficos Pero primero se revisarán algunos principios gráficos cubiertos en el módulo 34A acerca de la reflexión de la luz.cubiertos en el módulo 34A acerca de la reflexión de la luz.

En esta unidad se discutirán las relaciones analíticas para En esta unidad se discutirán las relaciones analíticas para describir con más precisión las imágenes especulares. describir con más precisión las imágenes especulares. Pero primero se revisarán algunos principios gráficos Pero primero se revisarán algunos principios gráficos cubiertos en el módulo 34A acerca de la reflexión de la luz.cubiertos en el módulo 34A acerca de la reflexión de la luz.

El espejo planoEl espejo plano

Distancia al objeto

Distancia a la

imagen

=

p = q

ObjetoObjeto ImagenImagen

pp qq

Distancia al objeto:Distancia al objeto: Distancia en línea recta Distancia en línea recta pp desde la superficie del espejo al objeto. desde la superficie del espejo al objeto.

Distancia a la imagen:Distancia a la imagen: Distancia en línea Distancia en línea recta recta qq desde la superficie del espejo a la desde la superficie del espejo a la imagen. imagen.

La imagen es virtual

Espejos esféricosEspejos esféricosUn Un espejo esféricoespejo esférico se se forma mediante las forma mediante las superficies interna superficies interna ((cóncavacóncava) o externa ) o externa ((convexaconvexa) de una ) de una esfera.esfera.

Aquí se muestra un Aquí se muestra un espejo esférico cóncavoespejo esférico cóncavo con identificación de con identificación de partes.partes.

Se muestran el Se muestran el ejeeje y la y la abertura linealabertura lineal..

Espejo cóncavo

Radio de curvatura RVértice V

Centro de curvatura C

Abertura lineal

V

C

R Eje

Distancia focal Distancia focal ff de un espejo de un espejo

eje

Rayo paralelo incidente

f

Distancia focal, f

La distancia focal f es igual a la mitad del radio RLa distancia focal f es igual a la mitad del radio R

Como Como θθii = = θθrr, se , se encuentra que encuentra que FF está a medio está a medio camino entre camino entre VV y y CC; ; se tiene:se tiene:

La distancia La distancia focal focal f f es: es:

2

Rf =

C Vθr

θi

RF

Punto focal

Espejos convergentes y divergentesEspejos convergentes y divergentes

Los espejos Los espejos cóncavos cóncavos y y los rayos paralelos los rayos paralelos convergentes se llamarán convergentes se llamarán espejos convergentesespejos convergentes..

Los espejos Los espejos convexosconvexos y y los rayos paralelos los rayos paralelos divergentes se llamarán divergentes se llamarán espejos divergentesespejos divergentes..

CF

Espejo convergente

Cóncavo

C F

Espejo divergente

Convexo

DefinicionesDefiniciones

Distancia focal:Distancia focal: Distancia en línea recta Distancia en línea recta ff desde desde la superficie del espejo al foco del espejo. la superficie del espejo al foco del espejo.

Amplificación:Amplificación: Razón del tamaño de la Razón del tamaño de la imagen al tamaño del objeto.imagen al tamaño del objeto.

Imagen real:Imagen real: Imagen formada por rayos de luz Imagen formada por rayos de luz reales que se puede proyectar en una pantalla. reales que se puede proyectar en una pantalla.

Imagen virtual:Imagen virtual: Imagen que parece estar en Imagen que parece estar en una ubicación donde no llegan rayos de luz. una ubicación donde no llegan rayos de luz.

Espejos convergentes y divergentes:Espejos convergentes y divergentes: Se refiere a Se refiere a la reflexión de rayos paralelos desde la superficie la reflexión de rayos paralelos desde la superficie del espejo.del espejo.

Resumen de construcción de imagen:Resumen de construcción de imagen:

Rayo 1:Rayo 1: Un rayo paralelo al eje del espejo Un rayo paralelo al eje del espejo pasa a través del punto focal de un espejo pasa a través del punto focal de un espejo cóncavo o parece venir desde el punto focal cóncavo o parece venir desde el punto focal de un espejo convexo.de un espejo convexo.Rayo 2:Rayo 2: Un rayo que pasa por el foco de un Un rayo que pasa por el foco de un espejo cóncavo o procede del foco de un espejo cóncavo o procede del foco de un espejo convexo se refleja paralelo al eje del espejo convexo se refleja paralelo al eje del espejo. espejo.

Rayo 3:Rayo 3: Un rayo que procede de un radio Un rayo que procede de un radio siempre se refleja de vuelta a lo largo de su siempre se refleja de vuelta a lo largo de su trayectoria original. trayectoria original.

C F

Espejo convergente

Ejemplos de construcción de imagenEjemplos de construcción de imagenLos tres rayos principales para espejos Los tres rayos principales para espejos convergentes (cóncavos) y divergentes (convexos).convergentes (cóncavos) y divergentes (convexos).

Rayo 1

Rayo 2

Rayo 3

CC

Espejo divergente

F

Rayo 1

Rayo 2

Rayo 3

Imagen

Revisión de hechos de imágenesRevisión de hechos de imágenes

Para espejos planos, la distancia al objeto es Para espejos planos, la distancia al objeto es igual a la distancia a la imagen y todas las igual a la distancia a la imagen y todas las imágenes son derechas y virtuales.imágenes son derechas y virtuales.Para espejos convergentes y divergentes, la Para espejos convergentes y divergentes, la distancia focal es igual a la mitad del radio.distancia focal es igual a la mitad del radio.

Todas las imágenes formadas en espejos Todas las imágenes formadas en espejos convexos son derechas, virtuales y reducidas.convexos son derechas, virtuales y reducidas.

Excepto para objetos ubicados dentro del foco Excepto para objetos ubicados dentro del foco (que son derechas y virtuales), todas las (que son derechas y virtuales), todas las imágenes formadas en espejos convergentes imágenes formadas en espejos convergentes son reales e invertidas. son reales e invertidas.

Preguntas acerca de imágenesPreguntas acerca de imágenes

3. ¿Es alargada, reducida o del mismo tamaño?

2. ¿La imagen es real o virtual?

1. ¿La imagen es derecha o invertida?

4. ¿Cuáles son las distancias al objeto y a la imagen, p y q?

5. ¿Cuál es la altura y’ o el tamaño de la imagen?

6. ¿Cuál es la amplificación M = y’/y de la imagen?

Definición de símbolosDefinición de símbolosAl aplicar álgebra y geometría al diagrama de trazado Al aplicar álgebra y geometría al diagrama de trazado de rayos, como el de abajo, se puede derivar una de rayos, como el de abajo, se puede derivar una relación para predecir la ubicación de las imágenes.relación para predecir la ubicación de las imágenes.

y

Y’

R

q

p

f

Dist. a objeto p

Dist. a imagen q

Distancia focal f

Radio R

Tamaño de objeto y

Tamaño de imagen y’ 2

Rf =

Ecuación de espejoEcuación de espejo

y

Y’

R

q

p

f

2

Rf =

1 1 1

p q f+ =

Las siguientes ecuaciones se dan sin Las siguientes ecuaciones se dan sin derivación. Se aplican igualmente bien para derivación. Se aplican igualmente bien para espejos convergentes y divergentes.espejos convergentes y divergentes.

Las siguientes ecuaciones se dan sin Las siguientes ecuaciones se dan sin derivación. Se aplican igualmente bien para derivación. Se aplican igualmente bien para espejos convergentes y divergentes.espejos convergentes y divergentes.

Convención de signosConvención de signos

1. La distancia al objeto p es positiva para objetos reales y negativa para objetos virtuales.

2. La distancia a la imagen q es positiva para imágenes reales y negativa para imágenes virtuales.

3. La distancia focal f y el radio de curvatura R son positivos para espejos convergentes y negativa para espejos divergentes.

1 1 1

p q f+ =

Ejemplo 1.Ejemplo 1. Un lápiz de Un lápiz de 6 cm6 cm se coloca a se coloca a 50 cm50 cm del vértice de un espejo de del vértice de un espejo de 40 cm40 cm de diámetro. de diámetro. ¿Cuáles son la ubicación y naturaleza de la ¿Cuáles son la ubicación y naturaleza de la imagen?imagen?

Bosqueje la imagen Bosqueje la imagen burda.burda.p p = 50 cm; = 50 cm; RR = 40 cm = 40 cm

40 cm; 20 cm

2 2

Rf f= = =

1 1 1

p q f+ = 1 1 1

50 cm 20 cmq+ =

C F

p

q

f

Ejemplo 1 (Cont.).Ejemplo 1 (Cont.). ¿Cuáles son la ubicación y ¿Cuáles son la ubicación y naturaleza de la imagen? (naturaleza de la imagen? (p p = 50 cm; = 50 cm; f f = 20= 20 cm)cm)

1 1 1

50 cm 20 cmq+ =

1 1 1

20 cm 50 cmq= −

q = +33.3 cmq = +33.3 cm

La imagen es real (+q), invertida, reducida y se ubica a 33.3 cm del espejo (entre F y C).La imagen es real (+q), invertida, reducida y se ubica a 33.3 cm del espejo (entre F y C).

C F

p

q

f

Trabajo con recíprocosTrabajo con recíprocosLa ecuación del espejo se puede La ecuación del espejo se puede resolver fácilmente con el botón resolver fácilmente con el botón recíproco (recíproco (1/x1/x) de la mayoría de las ) de la mayoría de las calculadoras:calculadoras:

1 1 1

p q f+ =

P qP q 1/x1/x ++ 1/x1/x == 1/x1/xCómo encontrar Cómo encontrar f:f:

Lo mismo con calculadoras con notación inversa Lo mismo con calculadoras con notación inversa puede ser:puede ser:

Cómo encontrar Cómo encontrar f:f: P qP q 1/x1/x ++1/x1/x 1/x1/xEnterEnter

Posible secuencia para encontrar Posible secuencia para encontrar ff en calculadoras lineales: en calculadoras lineales:

¡Tenga cuidado con la sustitución de los ¡Tenga cuidado con la sustitución de los números signados!números signados!

¡Tenga cuidado con la sustitución de los ¡Tenga cuidado con la sustitución de los números signados!números signados!

Soluciones alternativasSoluciones alternativasPuede ser útil resolver algebraicamente la Puede ser útil resolver algebraicamente la ecuación para cada uno de los parámetros:ecuación para cada uno de los parámetros:

1 1 1

p q f+ =

qpf

q p=

+qf

pq f

=−

pfq

p f=

−

Ejemplo 2:Ejemplo 2: Una flecha se coloca a Una flecha se coloca a 30 cm30 cm de la de la superficie de una esfera pulida de superficie de una esfera pulida de 80 cm80 cm de radio. de radio. ¿Cuál es la ubicación y naturaleza de la imagen?¿Cuál es la ubicación y naturaleza de la imagen?

Dibuje un bosquejo de la Dibuje un bosquejo de la imagen:imagen:p p = 30 cm; = 30 cm; RR = -80 cm = -80 cm

-80 cm; 40 cm

2 2

Rf f= = = −

Resuelva la ecuación del espejo Resuelva la ecuación del espejo para para qq, luego observe los signos , luego observe los signos cuidadosamente en la cuidadosamente en la sustitución:sustitución:

pfq

p f=

−

Ejemplo 2 (Cont.)Ejemplo 2 (Cont.) Encuentre la ubicación y Encuentre la ubicación y naturaleza de la imagen cuando naturaleza de la imagen cuando pp = 30 cm y = 30 cm y qq = -40 cm. = -40 cm.

(30 cm)(-40 cm)

30 cm - (-40 cm)q =

q = -17.1 cm

La imagen es La imagen es virtual virtual (-q), (-q), derechaderecha y y reducidareducida. Parece estar ubicada a una . Parece estar ubicada a una distancia de distancia de 17.1 cm17.1 cm detrásdetrás del espejo. del espejo.

La imagen es La imagen es virtual virtual (-q), (-q), derechaderecha y y reducidareducida. Parece estar ubicada a una . Parece estar ubicada a una distancia de distancia de 17.1 cm17.1 cm detrásdetrás del espejo. del espejo.

Amplificación de imágenesAmplificación de imágenesLa La amplificaciónamplificación MM de una imagen es la razón del de una imagen es la razón del tamaño de la imagen tamaño de la imagen y’y’ al al tamaño del objeto tamaño del objeto yy..

Amplificación:

'y qM

y p

−= =

yy y y y’ y’ son positivas cuando derechas; negativas son positivas cuando derechas; negativas invertidas.invertidas.

Obj. Img. Obj. Img.

M = +2 M = -1/2

y y’ y y’

qq es positiva cuando real; negativa cuando virtual. es positiva cuando real; negativa cuando virtual.

MM positiva cuando imagen derecha; negativa invertida. positiva cuando imagen derecha; negativa invertida.

Ejemplo 3.Ejemplo 3. Una llave de Una llave de 8 cm8 cm se coloca a se coloca a 10 10 cmcm de un espejo divergente de de un espejo divergente de f = -f = -20 cm20 cm. . ¿Cuál es la ubicación y tamaño de la imagen? ¿Cuál es la ubicación y tamaño de la imagen?

( 6.67 cm)

10 cm

qM

p

− − −= =

Amplificación:

M = +0.667Como M = y’/y y’ = My o:

(10cm)(-20cm)

10 cm - (-20 cm)

pfq

p f= =

−

q = - 6.67 cmq = - 6.67 cm ¡Virtual!¡Virtual!

y’ = +5.34 cm

Y’Y

p q

Imagen virtual

Espejo convergente

FF CC

Llave

Ejemplo 4.Ejemplo 4. ¿Cuán cerca debe estar la cara de ¿Cuán cerca debe estar la cara de una niña a un espejo convergente con distancia una niña a un espejo convergente con distancia focal de 25 cm, para que vea una imagen focal de 25 cm, para que vea una imagen derecha del doble de tamaño? (derecha del doble de tamaño? (M = +2)M = +2)

2 ; 2q

M q pp

−= + = = −

Además, Además, pf

qp f

=−

2pf

pp f

= −−

Por tanto, Por tanto, f = f = -2(p - f) = -2-2(p - f) = -2pp + 2 + 2ff

f = f = -2-2pp + 2 + 2ff25 cm

2 2

fp = = p = 12.5 cm p = 12.5 cm

ResumenResumen

y

Y’

R

q

p

f

2

Rf =

1 1 1

p q f+ =

Las siguientes ecuaciones se aplican Las siguientes ecuaciones se aplican igualmente bien a espejos convergentes y igualmente bien a espejos convergentes y divergentes.divergentes.

Las siguientes ecuaciones se aplican Las siguientes ecuaciones se aplican igualmente bien a espejos convergentes y igualmente bien a espejos convergentes y divergentes.divergentes.

Resumen: Convención de signosResumen: Convención de signos

1. Distancia a objeto p positiva para objetos reales y negativa para objetos virtuales.

2. Distancia a imagen q positiva para imágenes reales y negativa para imágenes virtuales.

3. Distancia focal f y radio de curvatura R positivos para espejos convergentes y negativos para espejos divergentes.

4. Tamaño de imagen y’ y amplificación M de imágenes positivos para imágenes derechas y negativos para imágenes invertidas.

1 1 1

p q f+ =

Resumen: AmplificaciónResumen: AmplificaciónLa La amplificaciónamplificación MM de una imagen es la razón del de una imagen es la razón del tamaño de la imagen tamaño de la imagen y’y’ al al tamaño del objeto tamaño del objeto yy..

Amplificación:

'y qM

y p

−= =

yy y y y’ y’ positivos cuando derechos; negativos invertidos.positivos cuando derechos; negativos invertidos.

Obj. Img. Obj. Img.

M = +2 M = -1/2

y y’ y y’

qq positivo cuando real; negativo cuando virtual. positivo cuando real; negativo cuando virtual.

MM positivo cuando imagen derecha; negativo invertida. positivo cuando imagen derecha; negativo invertida.

CONCLUSIÓN: Capítulo 34BCONCLUSIÓN: Capítulo 34BReflexión y espejos II Reflexión y espejos II

(analítico)(analítico)