tom tat li thuyet va phuong phap giai toan 12

TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12

NGUYỄN THANH NHÀN :[email protected]. : 0987.503.911 2

MỤC LỤC

Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. Sự đồng biến - nghịch biến của hàm số ............................................. 4 2. Cực trị của hàm số ..................................................................................................... 6 3. GTNN - GTLN của hàm số ............................................................................ 12 4. Tiệm cận ............................................................................................................................. 13 5. Khảo sát hàm số ........................................................................................................ 14 6. Một số bài toán liên quan đến hàm số, đồ thị ....................... 17 Chương II: HÀM SỐ MŨ, LŨY THỪA, LÔGARIT 1. Mũ, lũy thừa và lôgarit ...................................................................................... 29 2. Phương trình mũ ....................................................................................................... 33 3. Phương trình lôgarit ............................................................................................. 35 4. Bất phương trình mũ, lôgarit ....................................................................36 Chương III: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 1. Nguyên hàm .................................................................................................................... 37 2. Tích phân ........................................................................................................................... 41 3. Ứng dụng hình học của tích phân ....................................................... 45 Chương IV: SỐ PHỨC .............................................................................................................. 47 Chương V: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN, KHỐI TRÒN XOAY .......................................................................................................................................... 49 Chương VI: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1. Hệ tọa độ trong không gian ......................................................................... 51 2. Phương trình mặt cầu .........................................................................................55 3. Phương trình mặt phẳng .................................................................................60 4. Phương trình đường thẳng .......................................................................... 66 5. Vị trí tương đối ........................................................................................................... 73 6. Khoảng cách và góc................................................................................................ 75 7. Tìm một số điểm đặc biệt .............................................................................. 77



Chương VII: MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ SUNG 1. Tam thức bậc hai, PT, BPT bậc hai ...................................................79 2. Xét dấu biểu thức ................................................................................................... 84 3. Giới hạn vô cực và tại vô cực của hàm số .................................. 89 4. Đạo hàm .............................................................................................................................. 92 5. Công thức lượng giác và phương trình lượng giác ........... 95 PHỤ LỤC: Kinh nghiệm làm bài thi môn Toán .................................... 102

Trên con đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng.



Bài 1: SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ * Định nghĩa: - y f x đồng biến trên K

1 2 1 2 1 2x ,x K : x x f x f x

- y f x nghịch biến trên K

1 2 1 2 1 2x ,x K : x x f x f x * Dạng toán: Bài toán 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

1. Tìm miền xác định. 2. Tìm đạo hàm, tìm các điểm tới hạn. 3. Xét dấu đạo hàm 4. Kết luận:

a) Nếu 0f ' x với mọi x a;b thì hàm số f x đồng

biến trên khoảng a;b

b) Nếu 0f ' x với mọi x a;b thì hàm số f x nghịch

biến trên khoảng a;b

Chú ý: 0f ' x chỉ tại một số hữu hạn điểm trên khoảng

a;b thì hàm số cũng đồng biến (nghịch biến) trên khoảng đó. Bài toán 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh f x g x , x a;b ta qua các bước sau: 1. Biến đổi: 0 f x g x , x a,b f x g x , x a,b

2. Đặt h x f x g x

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM



3. Tính h' x và lập bảng biến thiên của h x . Từ đó suy ra kết quả.

Bài toán 3: Tìm điều kiện để hàm số y f x luôn luôn tăng (hoặc luôn luôn giảm) trên miền xác định

- Các hàm số 3 2 0 y ax bx cx d a và

2

0

ax bx cy a

Ax Bluôn luôn tăng (hoặc luôn luôn giảm)

trên miền xác định của nó khi và chỉ khi 0y' (hoặc 0y' ) x D . Nếu a có chứa tham số thì xét thêm trường hợp a=0

(đối với hàm bậc 3)0

0 y'

a (hoặc

00

y'

a)

- Hàm số

ax bycx d

luôn luôn tăng (hoặc luôn luôn giảm) trên

miến xác định của nó khi và chỉ khi 0y' (hoặc 0y' ) x D



Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài toán 1: Áp dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số

1. Tìm miền xác định 2. Tìm f ' x

3. Tìm các điểm tại đó 0f ' x hoặc f ' x không xác định (gọi chung là điểm tới hạn).

4. Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu đạo hàm.

5. Nêu kết luận về cực trị. Bảng tóm tắt:

CĐ

-+

xo ba

f(x)

f'(x)x

CT

+-

xo ba

f(x)

f'(x)x

Bài toán 2: Áp dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số

1. Tính f ' x . Giải phương trình 0f ' x .

Gọi 1 2ix i , ,... là các nghiệm của phương trình.

2. Tính f " x và if " x

3. Dựa vào dấu của if " x suy ra kết luận về cực trị của điểm

ix theo định lí sau: Định lí:



Giả sử hàm số y f x có đạo hàm cấp hai trên khoảng a;b

chứa điểm ox và 0of ' x . Khi đó:

a) Nếu 0of " x thì ox là điểm cực tiểu.

b) Nếu 0of " x thì ox là điểm cực đại. Bài toán 3: Tìm điều kiện của m để hàm số đạt cực trị tại một điểm cho trước. Áp dụng định lí Fec-ma: Giả sử y f x có đạo hàm tại điểm ox x .

Khi đó nếu y f x đạt cực trị tại điểm ox x thì 0of ' x .

Chú ý: Nếu 0of ' x thì chưa chắc hàm số đạt cực trị tại điểm

ox x . Do đó khi tìm được m thì phải thử lại. Bài toán 4: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu

Các hàm số 2

3 2

ax bx cy ax bx cx d vaø y

Ax Bcó một cực đại

và một cực tiểu khi và chỉ khi phương trình 0y' có hai nghiệm phân biệt (khi đó hiển nhiên y’ đổi dấu hai lần khi qua các nghiệm). Nếu hàm hữu tỉ thì phải khác nghiệm mẫu. Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

1. Cho hàm số 2

ax bx cy CAx B

- Nếu (C) có hai điểm cực trị - Thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là

2

ax bx c 'y

Ax B 'hay

2

a by xA A

2. Cho hàm số 3 2 y ax bx cx d C - Nếu (C) có hai điểm cực trị và chia y cho y’ ta được

y y' .A x x



- Thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là y x

Bài toán 6: Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại 0x :

0

0

0

0

y' x

y" x(hoặc

0

0

0

ñoåidaáu khiqua

y' x

y' x)

Bài toán 7: Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại 0x :

0

0

0

0

y' x

y" x(hoặc

0

0

0

ñoåidaáu töø +sang khiqua

y' x

y' x)

Bài toán 8: Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại 0x :

0

0

0

0

y' x

y" x(hoặc

0

0

0

ñoåidaáu töø sang khiqua

y' x

y' x)

Bài toán 9: Điều kiện để hàm số đạt CĐ,CT tại 1 2x ,x thỏa

1 2 Ax Bx C : 1 2

1 2

1 2

0

y'

Ax Bx C

bx xa

cx xa

với 1 2x ,x là nghiệm của 0y'

Bài toán 10: Điều kiện để hàm bậc 3 có CĐ,CT và hai giá trị cực trị cùng dấu:

Điều kiện để hàm bậc 3 có CĐ,CT là 0

0

y'

a



Gọi 1 1 2 2A x ;y ,B x ;y là hai điểm cực trị. Ta có

1 2 0y x .y x (trường hợp trái dấu thì ngược lại)

Chú ý: Hàm số viết thành: y P x .y' mx n (lấy hàm số chia

cho đạo hàm)

1 1

2 2

y x mx n

y x mx n

Bài toán 11: Điều kiện để hàm số bậc 3 có CĐ,CT nằm về hai phía đối với trục tung: Điều kiện để ycbt được thỏa mãn là 0y' có hai nghiệm

trái dấu. Khi đó 0 cPa

Bài toán 12: Cách tính nhanh giá trị cực trị của hàm hữu tỉ 2

ax bx cymx n

Tìm các điểm cực trị của hàm số (nghiệm của phương trình y’=0)

2cöïc trò

ñaïo haøm cuûaTSñaïo haøm cuûaMS

ax bym

rồi thay x cực trị vào phân

số này ta có cöïc tròy tương ứng, và cách tính trên chỉ áp dụng cho hàm hữu tỉ

Bài toán 13: Tìm m để hàm trùng phương 4 2 y ax bx c có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác đều:

TXĐ: D=R Tính 3 24 2 2 2 y' ax bx x ax b ,

22

000

0 12 02

xxy' bx a ( )ax b

a



Ycbt tương đương phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

khác 0. Khi đó 02

ba

Bài toán 14: Điều kiện để hàm số y f x C đạt cực trị bằng tại

x là

0

0

; C

y'

y''

Bài toán 15: Hàm trùng phương có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác. Tính diện tích tam giác đó:

Tính y' , tìm 3 điểm tới hạn, suy ra 3 điểm cực trị A, B, C. Tính diện tích tam giac ABC theo công thức:

12

S | xy' x' y |với

AB x;y

AC x'; y'

Bài toán 16: Tìm m để hàm trùng phương có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác đều:

TXĐ: D=R Tính

32

04 2 0

2 0

xy' ax bx;y'

ax b

2

0

0 12

xbx a ( )a

Điều kiện để ycbt được thỏa là phương trình (1) có hai nghiệm

phân biệt khác 0. Khi đó: 02

b *a



Với điều kiện (*), giải phương trình

0

02

2

x y c A

by' x y ? Babx y ? Ca

. Tìm được 3 điểm cực trị

A, B, C. Do tam giác ABC đều nên 2 2

2 2

AB ACAB BC

, từ đó tìm

được m và chỉ nhận những m thỏa điều kiện (*).



Bài 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ

* Định nghĩa:

-

0 0K

f x m, x Kmin y m

x K : m f x

-

0 0K

f x M , x Kmax y M

x K : M f x

* Dạng toán: Bài toán 1: Tìm GTNN, GTLN của hàm số trên một khoảng Để tìm GTNN và GTLN của hàm số y f x trên khảng a;b ta lập

bảng biến thiên của hàm số trên khoảng a;b rồi dựa vào đó mà kết luận. Bài toán 2: Tìm GTNN, GTLN của hàm số liên tục trên một đoạn a;b Cách 1: Có thể lập bảng biến thiên rồi dựa vào đó mà kết luận. Cách 2: Qua 3 bước:

1. Tìm các điểm 1 2 nx ,x ,...,x trên a;b mà tại đó 0f ' x hoặc

f ' x không xác định.

2. Tính 1 2 nf a , f b , f x , f x ,..., f x . 3. Tìm số lớn nhất M và nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó:

a;b a;b

M max f x ,m min f x

Bài toán 3: Tìm m để phương trình f x m có nghiệm trên D:

Xét hàm số y f x trên D, tìm maxy, miny hoặc tìm tập giá trị của y từ đó kết luận được m.



Bài 4: TIỆM CẬN 1. Cách tìm tiệm cận: Nếu

0

x xlim y ( ) thì đường thẳng 0x x là tiệm cận đứng.

Nếu 0

xlim y y thì đường thẳng 0y y là tiệm cận ngang.

Nếu hàm số viết thành Soá döthöông

Maãusoá y ax b (chia đa thức)

mà 0Soá döMaãusoá

xlim thì đường thẳng y ax b là tiệm cận xiên.

* Đường thẳng y ax b gọi là TCX của hàm số

x

x

f xa lim

y f x xb lim f (x) ax

2. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

ax bycx d

là :

TCÑ

TCN

d: xc

a: yc

3. Cho M thuộc (C). Tính tích các khoảng cách từ 1 điểm trên (C) đến 2 tiệm cận: Gọi 0 0 M x ; f x C . Tìm TCĐ, TCX (hoặc TCN)

d=d(M,TCĐ).d(M,TCN) là một hằng số.



Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ 1. Sơ đồ khảo sát:

1. Tập xác định: D 2. Sự biến thiên:

a) Xét chiều biến thiên của hàm số: - Tìm đạo hàm - Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. - Xét dấu đạo hàm, suy ra chiều biến thiên của hàm số.

b) Tìm cực trị. c) Tìm các giới hạn và tìm tiệm cận (nếu có) d) Lập bảng biến thiên.

* Chú ý: Kết luận về tính đồng biến, nghịch biến phải ở trước BBT 3. Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ

thị. Chú ý: - Để vẽ đồ thị chính xác nên tính thêm tọa độ của một số điểm,

đặc biệt cần tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.

- Cần lưu ý các tính chất đối xứng trục, đối xứng tâm. 2. Các dạng đồ thị:

1. Hàm số bậc ba: 3 2 0 y ax bx cx d a



Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

2. Hàm số trùng phương: 4 2 0 y ax bx c a



Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng.

3. Đồ thị hàm số 0 0

ax by c ;ad bccx d

Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng.

* Chú ý: 0 0 0 0M x ; y C : y f x y f x



Bài 6: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

Bài toán 1: Sự tương giao của các đồ thị (bằng phương trình hoành độ giao điểm)

Cho hai đường cong 1 2 C : y f x , C : y g x .

Để xét sự tương giao giữa 1 2C , C ta lập phương trình hoành

độ giao điểm f x g x (1)

1. 1C không có điểm chung với 2C pt (1) vô nghiệm.

2. 1C cắt 2C tại n điểm phân biệt pt (1) có n nghiệm phân biệt. Đồng thời nghiệm của pt (1) là hoành độ giao điểm của 1C và 2C .

Chú ý: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có dạng

2 0 Ax Bx C .Ta biện luận theo A và . Tức là: - Nếu A=0. Ta có kết luận cụ thể về giao điểm của (C1) và (C2). - Nếu A 0. Tính

+ 0 : không có giao điểm. + 0 : Có 1 giao điểm. + 0 : có hai giao điểm.

Nếu phương trình hoành độ giao điểm có dạng 3 2 0 ax bx cx d . Đưa phương trình này về dạng:

2 0 x Ax Bx C (Chia Horner, 0a )

2 0 1

xAx Bx C

Biện luận theo phương trình (1) ta suy ra được số giao điểm. Bài toán 2: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình 0F x,m (1)

1. Biến đổi 0F x,m về dạng f x g m .



2. Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y g m

3. Dựa vào đồ thị để biện luận các trường hợp. Chú ý: y g m là đường thẳng song song với trục Ox và cắt

trục Oy tại điểm có tung độ bẳng g m

x

y

Oy=g(m)

y=f(x)

g(m)

1

Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến – Điều kiện tiếp xúc

Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị: Phương trình tiếp tuyến của (C): y f x tại điểm

o oM x ;y C là:

0 0 0 y y f ' x x x

Trong đó: + 0 0M x ;y gọi là tiếp điểm.

+ 0k f ' x là hệ số góc của tiếp tuyến.

Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k: - Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y ax b thì k a

- Nếu tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y ax b thì 1

ka

- Tiếp tuyến hợp với chiều dương của trục hoành một góc thì k tan

1. Giải phương trình f ' x k tìm 0x là hoành độ tiếp điểm.

2. Tính 0 0y f x .



3. Phương trình tiếp tuyến là 0 0 y k x x y

Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm A AA x ;y 1. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến (d). Khi đó phương trình của

(d) có dạng A Ay k x x y .

2. (d) tiếp xúc với (C) thi và chỉ khi hệ

A A

f ' x k

f x k x x ycó

nghiệm (hệ có n nghiệm thì có n phương trình tiếp tuyến) 3. Giải hệ tìm được hoành độ tiếp điểm là 0x và hệ số góc k. 4. Thay vào phương trình của (d) ta được tiếp tuyến cần tìm. Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến (d) biết tiếp tuyến tạo với

đường thẳng ( ): y=ax+b một góc bằng ( 0 90 ): 1. Gọi , lần lượt là góc hợp bởi tiếp tuyến (d), đường thẳng ( ) với chiều dương trục hoành. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, khi đó ta có: suy ra:

11 1tan tan k atan tan tan ( )

tan tan ak

2. Giải phương trình (1) tìm được hệ số góc k của tiếp tuyến. 3. Làm tương tự như dạng 2 ta có được phương trình tiếp tuyến.

Bài toán 4: Điều kiện để hàm bậc 3 cắt Ox tại 3 điểm phân biệt: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là:

3 2 20 0 ax bx cx d x Ax Bx C (chia

Horner) 2 0 1

xAx Bx C

(đặt 2 g x Ax Bx C )

Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có 2 nghiệm phân biệt

khác . Khi đó

1 0

0

g



Bài toán 5: Điều kiện để hàm trùng phương 4 2 y ax bx c cắt Ox tại 4 điểm phân biệt: * Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox:

24 2

2

00

0 1

t xax bx c

at bt c ( )

* Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có hai nghiệm dương phân

biệt. Khi đó 000

PS

Bài toán 6: Điều kiện để hàm trùng phương cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành CSC: * Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox:

24 2

2

00

0 1

t xax bx c

at bt c ( )

* Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có hai nghiệm dương phân

biệt. Khi đó 000

PS

(*)

* Với điều kiện (*) được thỏa ta có 4 điểm có hoành độ lập thành CSC nên (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt thỏa 2 19t t (2).

Theo định lí Viét 1 2

1 2

3

4

bt t ( )a

ct .t ( )a

* Từ (2), (3), (4) ta giải ra tham số, chỉ nhận tham số khi m thỏa điều kiện (*). Bài toán 7: Tìm m để d: y m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB=l:



* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương trình này về dạng 2 0 Ax Bx C (1)

* Điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt là 1

00

( )

A*

* Gọi 1 2A x ;m ,B x ;m là hai giao điểm của (C) và d; 1 2x ,x là nghiệm của (1). Ta có:

2

2 1 1 2 2 12

'AB x x | x x | | x x | l

| a | | a |. Từ đó tìm

được m, chỉ nhận những m thỏa điều kiện (*). Bài toán 8: Tìm m để d: y m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao choAB có độ dài ngắn nhất: * Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương trình này về dạng 2 0 Ax Bx C (1)


00

( )

A(*)

* Gọi 1 2A x ;m ,B x ;m là hai giao điểm của (C) và d; 1 2x ,x là nghiệm của (1). Ta có

2

2 1 1 2 2 12

'AB x x | x x | | x x |

| a | | a |. Từ đó tìm

điều kiện của m để AB nhỏ nhất, chỉ nhận m thỏa (*). Bài toán 9: Tìm m để d: y m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA OB với O là gốc tọa độ: * Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương trình này về dạng 2 0 Ax Bx C (1)


00

( )

A(*)



* Gọi 1 2A x ;m ,B x ;m là hai giao điểm của (C) và d; 1 2x ,x là

nghiệm của (1). Ta có OA OB nên ta có 0 OA.OB . Từ đây tìm

được m, chỉ nhận những m thỏa (*). Bài toán 10: Tìm m để d: y ax b cắt (C) tại hai điểm phân biệt trên cùng một nhánh của (C): * Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương trình này về dạng 2 0 Ax Bx C (1).

* Điều kiện ycbt được thỏa là

1

00

0

A

A.g

với là nghiệm của mẫu

số. Bài toán 11: Tìm m để d: y ax b cắt (C) tại hai điểm phân biệt trên cùng hai nhánh khác nhau của (C) * Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương trình này về dạng 2 0 Ax Bx C (1).

* Điều kiện ycbt được thỏa là

1

00

0

A

A.g

với là nghiệm của mẫu

số. Bài toán 12: Tìm những điểm trên (C): y f x mà tại đó tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y ax b .

* Gọi 0 0 0 M x ;y C . Hệ số góc của tiếp tuyến tại 0M là 0f ' x .

Giải phương trình 0 1 f ' x .a . Từ đây tìm được 0x và có được 0M .

Bài toán 13: CMR mọi tiếp tuyến của (C): y f x đều không qua giao điểm hai tiệm cận:



* Tọa độ giao điểm I hai tiệm cận là nghiệm của hệ phương trình: Tieäm caänñöùngTieäm caän xieân(hay TCN)

* Lập phương trình tiếp tuyến qua I, kết quả là không có tiếp tuyến. Từ đó ta có điều phải chứng minh. Bài toán 14: Cho M C , tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B, gọi I là giao điểm hai tiệm cận. CMR M là trung điểm của AB. Tính diện tích tam giác IAB: * Gọi 0 0 M x ; f x C . Phương trình tiếp tuyến tại M là

0 0 0 0 0 0 y y f ' x x x y f ' x x x y . * Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCĐ là A * Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCX là B. * Tìm giao điểm I của hai tiệm cận. * Kiểm tra công thức M là trung điểm AB, từ đó ta có điều phải chứng minh. * Tính vectơ

IA,IB . Từ đó tính diện tích tam giác IAB (kết quả là một

hằng số. Bài toán 15: CMR tiếp tuyến tại điểm uốn là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất (hoặc lớn nhất): * Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn 0 0I x ;y là 0f ' x .

* Gọi hệ số góc của tiếp tuyến bất kì là f ' x . Ta chứng minh

0f ' x f ' x (trong trường hợp lớn nhất ta làm ngược lại).

Bài toán 16:Tìm những điểm trên đường thẳng : 0y y mà từ đó có thể kẻ được 2, 3 tiếp tuyến đến (C): * Gọi 0 M a;y . Viết phương trình d qua M và có hệ số góc k là:

0 0 y y k x a y k x a y .



* Điều kiện để d là tiếp tuyến của (C)

0 1

f x k x a y( )

f ' x k.

Muốn từ M vẽ được 2,3 tiếp tuyến thì (1) có 2,3 nghiệm. Bài toán 17: CMR mọi tiếp tuyến của (C) tạo với hai tiệm cận 1 tam giác có diện tích không đổi: * Gọi 0 0 M x ; f x C . Phương trình tiếp tuyến tại M là

0 0 0 0 0 0 y y f ' x x x y f ' x x x y . * Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCĐ là A * Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCX là B. * Tìm giao điểm I của hai tiệm cận. * Kiểm tra công thức M là trung điểm AB, từ đó ta có điều phải chứng minh. * Tính vectơ

IA,IB . Từ đó tính diện tích tam giác IAB (kết quả là một

hằng số. Bài toán 18:Tìm trên (C) những điểm có tọa độ là các số nguyên:

* Hàm số viết thành Soá döThöông+

Maãusoáy (chia đa thức)

* Do x, y nguyên nên Mẫu số = ước của Số dư. Bài toán 19: Tìm những điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ: * Những điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ là nghiệm của hệ

phương trình

y f x

y xhoặc

y f x

y x

Bài toán 20: Tìm những điểm trên (C) đối xứng nhau qua gốc tọa độ: * Gọi 0 0 0 0 A x ;y ,B x ; y là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ. * Thay tọa độ A, B vào phương trình của hàm số ta được hệ phương trình. Giải hệ này ta được tọa độ điểm cần tìm. Bài toán 21: Tìm những điểm trên đồ thị hàm nhất biến sao cho tổng khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận đạt GTNN:



* Gọi 0 0 M x ; f x C . Tìm TCĐ, TCN.

* Tính 2M,TCÑ M,TCN M,TCÑ M,TCN d d d d .d A . Vậy

mind=A. Khi đó TCÑ ,TCN M , Md d . Từ đó tìm được M

Bài toán 22: Tìm những điểm trên (C) đối xứng qua d: y ax b

* Gọi d . Vậy phương trình 1

: y x ma

. Tìm tọa độ giao

điểm I của d và * Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và . Biến đổi phương trình này về dạng 2 0 Ax Bx C (1). * Gọi 1 1 2 2A x ;y ,B x ;y là hai giao điểm của và (C). ta có I là

trung điểm AB. Vậy 1 2 2 Ix x x . Từ đây tìm được m. Thay vào (1) tìm A và B. Bài toán 23: Tìm những điểm trên (C) mà khoảng cách từ đó đến Ox bằng k lần khoảng cách từ đó đến Oy: * Gọi 0 0 M x ; f x C . Tính M ,Ox M ,Oyd ,d

* Giải phương trình: M ,OX M ,Oyd k.d

Bài toán 24: CMR đồ thị (C) nhận điểm 0 0I x ;y làm tâm đối xứng:

* Bằng phép tịnh tiến theo vectơ OI với 0 0I x ;y , hệ trục Oxy thành

hệ trục IXY. Ta có công thức đổi trục: 0 0

0 0

X x x x X xY y y y Y y

(1)

* Thay (1) vào hàm đã cho ta có Y F X . Kiểm chứng F X là hàm lẻ. Bài toán 25: CMR đồ thị (C) nhận đường thẳng 0x x làm trục đối xứng:



* Bằng phép tịnh tiến theo vectơ OI với 0 0I x ; , hệ trục Oxy thành hệ

trục IXY. Ta có công thức đổi trục: 0 0

0

X x x x X x

Y y y Y (1)

* Thay (1) vào hàm đã cho ta có Y F X . Kiểm chứng F X là hàm chẵn. Bài toán 26: Tìm tập hợp điểm (quỹ tích)

* Tìm tọa độ điểm M x;y theo một tham số

x g m

y h m

* Khử m từ hệ trên ta được phương trình 0F x;y . * Giới hạn: dựa vào điều kiện tồn tại điểm M hay điều kiện khi khử m để tìm điều kiện của x hoặc y. Kết luận: tập hợp điểm M là đường (L) có phương trình 0F x;y thỏa điều kiện ở bước 3.

Bài toán 27: Tìm điểm cố định mà họ mC luôn đi qua:

* Biến đổi phương trình y f x,m về dạng 0 Am B (hay 2 0 Am Bm C (ẩn m)).

* Tọa độ điểm cố định là nghiệm của hệ phương trình 0

00

00

AA

(hay B )B

C

Bài toán 28: Sự tương giao giữa 2 đồ thị mà trong đó tham số m có bậc 1 (tức là trong biểu thức không chứa m2, m3) Giả sử bài toán tìm giao điểm của đường cong qui về tìm nghiệm của phương trình f x g x (1) Trong đó (1) không nhẩm được nghiệm và tham số m trong (1) có dạng bậc nhất (tức là trong (1) không chứa 2 3m ,m ,...), khi đó:



* Biến đổi (1) về dạng F x m (2), ở đây F(x) có thể là hàm phân thức. * Lập bảng biến thiên của hàm số y F x * Dựa vào bảng biến thiên ta biện luận số nghiệm của (2), và từ đó suy ra kết luận đối với (1). Nhận xét: Phương pháp này cũng đặc biệt có ích cho bài toán tìm m để nghiệm của phương trình, hệ phương trình,... thỏa điều kiện cho trước nào đó và một số bài toán khác về tìm m. Bài toán 29: Các phép biến đổi đồ thị: * Từ đồ thị hàm số y f x C suy ra đồ thị hàm số y f x C' 1. Vẽ (C) 2. Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành; lấy đối xứng của phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành. 3. Xóa phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành, đồ thị còn lại chính là (C’)

x

y

1

Đồ thị hàm số y f x (phần nét liền, nét đứt là phần được xóa)

* Từ đồ thị hàm số y f x C suy ra đồ thị hàm số y f x 1. Vẽ (C)



2. Xóa phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy và chừa lại phần đồ thị nằm bên phải. 3. Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở bên phải trục Oy qua Oy, ta có được đồ thị (C’).

x

y

1

Đồ thị hàm số y f x (phần nét liền, nét đứt là phần được xóa)



MŨ, LŨY THỪA VÀ LÔGARIT 1. Lũy thừa, căn bậc n: a) Định nghĩa:

* . ....... , *thöøa soá

n

n

a a a a a n * 0 11; nna a

a

b) Tính chất: Với , *; ,a b m n ta có:

* m n m na a a * m

m nn

a aa

* n n nab a b * n n

na ab b

* nm mna a

* Nếu: 0 a b thì: , 0n na b n , 0n na b n

* Nếu 1a và m n thì: m na a * Nếu 0 1a và m n thì: m na a

c) Các tính chất của căn bậc n: Giả sử các biểu thức dưới đây đều có nghĩa. Khi đó:

* .n n na b ab * n

nn

a abb

* mmnn a a *

,| |,

khin leûkhinchaün

nn aa

a

* n m mna a

* Lũy thừa với số mũ hữu tỷ: m

mnna a

HÀM SỐ MŨ, LŨY THỪA, LÔGARIT



2. Lôgarit: a)Định nghĩa: log c

a b c b a 0 1, 0a b b) Tính chất:

Cho a,b>0, 1a . Các tính chất sau được suy trực tiếp từ định nghĩa: * log 1 0a * log 1a a

* loga ba b * log ka a k k

c) So sánh logarit: Cho a,b,c>0, 1c . Ta có:

*log log* 1 log log* 0 1 log log

Neáu thì:Neáu thì:

c c

c c

c c

a b a bc a b a b

c a b a b

d) Các quy tắc tính logarit: Logarit của một tích:

Cho 1 2, , 0, 1.a x x a Ta có: 1 2 1 2log log loga a ax x x x Logarit của một thương:

Cho 1 2, , 0, 1.a x x a Ta có: 11 2

2

log log loga a ax x xx

Logarit của một lũy thừa:

Cho , 0, 1a b a . Ta có: log logka ab k b k

Đổi cơ số: logloglog

ca

c

bba

Đặc biệt:

1*log 1log1*log .log 0

*log log .log 0 1

k

ab

aa

a a c

b ba

b b kk

b c b c



Logarit thập phân: - Logarit cơ số 10 gọi là logarit thập phân - 10log a thường được viết là lg a hoặc log a

Logarit tự nhiên: - Logarit cơ số e gọi là logarit tự nhiên. 2,71828...e - loge a thường được viết là lna

Bảng đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit:

Hàm cơ bản Hàm hợp

1/ / 1.x x

2/ /

2

1 1x x

3/ / 12

xx

/ 1. 'u u u /

2

1 'uu u

/ '2uu

u

4/ /x xe e

5/ /.lnx xa a a

/'.u ue u e

/' lnu ua u a a

6/ / 1ln xx

7/ / 1ln xx

8/ / 1loglna x

x a

9/ / 1loglna x

x a

/ 'ln uuu

/ 'ln uuu

/ 'loglnauu

u a

/ 'loglnauu

u a



PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số: Với 0 1 a ,a . Ta có: f x g xa a f x g x 2. Phương pháp đặt ẩn phụ: Dạng 1:

2

3 2

00

x x

x x x

A.a B.a CA.a B.a C.a D.............................................

Đặt 0 xa t t Dạng 2:

2 2

2

0

0

xx x

x x

A.a B ab C.b

a aA B Cb b

Đặt: 0

xa t tb

Dạng 3: 0 x xA.a B.b C với 1x xa .b

Đặt: 0 xa t t . Khi đó: 1

xbt

3. Phương pháp logarit hóa: Với 0 0 1 M , a . Ta có:

f xaa M f x log M

4. Phương pháp dùng tính đơn điệu: Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất. Giả sử y f x và y g x là hai hàm số liên tục:

Cho y f x tăng và y g x giảm. Khi đó phương trình

f x g x nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.



Cho y f x là hàm tăng (hoặc giảm). Khi đó phương trình

f x k nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

xy a tăng nếu 1a và giảm nếu 0 1 a



PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số: Với 0 1 a . Ta có:

0 0hoaëc

a a

f x g xlog f x log g x

f x g x

Chú ý: M

alog f x M f x a (không cần đặt điều kiện của f(x)) 2. Phương pháp đặt ẩn phụ: Dạng 1: 2 0 0 1 a aA.log x B.log x C a ,a

Đặt: alog x t

Dạng 2: 0 0 1 a xA.log x B.log a C a ,a

Đặt: alog x t.Khi đó 1 0 1 xlog a x ,xt

3. Phương pháp mũ hóa: M

alog f x M f x a 4. Phương pháp dùng tính đơn điệu: Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất.

Với 0 1 a thì hàm số ay log x làm hàm giảm

Với 1a thì hàm số ay log x làm hàm tăng



BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT Khi giải bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit thì cần chú ý:

1. Điều cần xác định của bất phương trình. 2. Cơ số của lũy thừa hoặc cơ số của logarit, nếu cơ số lớn hơn 1

thì hàm số đồng biến, cơ số lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1 thì hàm số nghịch biến.

1 f x g xa : a a f x g x

0 1 f x g xa : a a f x g x

10

a a

f x g xa : log f x log g x

f x

0 10

a a

f x g xa : log f x log g x

g x

Trong quá trình giải bất phương trình có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ, logarit hóa hoặc mũ hóa. Nếu có ẩn ở mẫu số thì quy đồng nhưng không được bỏ mẫu.



NGUYÊN HÀM 1. Định nghĩa: Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng

a;b nếu với mọi x thuộc a;b , ta có: F' x f x 2. Định lí: Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng a;b thì:

a) Với mọi hằng số C, F x C cũng là một nguyên hàm của hàm

số f x trên khoảng đó.

b) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng

a;b đều có thể viết dưới dạng F x C với C là một hằng số.

Người ta kí hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x là

f x dx . Như vậy:

f x dx F x C F' x f x

3. Các tính chất của nguyên hàm: * f x dx F x C F' x f x

* /

f x dx f x và /

f x dx f x C

* 0 af x dx a f x dx a

* f x g x f x dx g x dx

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN



4. Bảng các nguyên hàm:

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp

Nguyên hàm của các hàm số hợp (dưới đây t t x )

* dx x C

* 1

11

xx dx C

* 0 dx ln x C xx

* 2

1

dx Cxx

* x xe dx e C

* 0 1 x

x aa dx C alna

* cos xdx sin x C

* sin xdx cos x C

* 2 dx tan x C

cos x

* 2 dx cot x C

sin x

* dt t C

* 1

11

tt dt C

* 0 dt ln t C tt

* 2

1

dt Ctt

* t te dt e C

* 0 1 t

t aa dt C alna

* costdt sin t C

* sin tdt cost C

* 2 dt tant C

cos t

* 2 dt cot t C

sin t

*

1

1

ax bax b dx C

a

* 1

dx ln ax b Cax b a

* 2

1

dx Ca ax bax b

*

1

1

at bat b dt C

a

*1

dt ln at b Cat b a

* 2

1

dt Ca at bat b



*1 ax b ax be dx e Ca

* 1 cos ax b dx sin ax b C

a

* 1 sin ax b dx cos ax b C

a

*1 at b at be dt e Ca

* 1 cos at b dt sin at b C

a

* 1 sin at b dt cos at b C

a

5. Các phương pháp tìm nguyên hàm Đổi biến: Nếu f t dt F t C và t x có đạo hàm liên tục thì:

f x . ' x dx F x C

Chú ý: - t x dt ' x dx

- g t x g' t dt ' x dx Nguyên hàm từng phần: Nếu hai hàm số u x và v x có đạo hàm liên tục trên một khoảng hay một đoạn nào đó, thì trên khoảng hay đoạn đó:

u x v' x dx u x v x u' x v x dx

Hay: udv uv vdu

Chú ý:

* Đặt:

du f ' x dxu f x

dv g x dx v g x dx G x C

Ta thường chọn 0 C v G x

Các dạng cơ bản: Cho P x là một đa thức.



- Dạng 1: P x sin ax b dx . Đặt:

u P x

dv sin ax b dx

- Dạng 2: P x cos ax b dx . Đặt:

u P x

dv cos ax b dx

- Dạng 3: ax bP x e dx . Dặt:

ax b

u P x

dv e

- Dạng 4: P x ln ax b dx . Đặt:

u ln ax b

dv P x dx

Dạng 5: ax be sin a' x b' dx hoặc

ax be cos a' x b' dx .

Dùng nguyên hàm từng phần hai lần với ax bu e Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ: ta có thể dùng các phép biến đổi

lượng giác, thêm-bớt,… để đưa nguyên hàm cần tìm về dạng đơn giản, dễ tìm

Nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ dạng

P xQ x

.

- Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì chia đa thức để phân tích thành tổng, hiệu các nguyên hàm đơn giản hơn để tính. - Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) và Q(x)=0 có nghiệm thì dùng phương pháp hệ số bất định như sau:

+

P x P x A Bax b mx nQ x ax b mx n

. Quy đồng mẫu ở

vế cuối cùng, đồng nhất hệ số với P(x) ta tìm được A,B.



+

2 2

P x P x A B Cax b mx nQ x ax b mx n mx n

. Quy

đồng mẫu ở vế cuối cùng, đồng nhất hệ số với P(x) ta tìm được A,B,C. Từ đó biến đổi được bài toán đã cho về dạng đơn giản hơn để tính. * Chú ý: Trong quá trình giải toán cần chú ý đến công thức

f x g x f x g xh x h x h x

để đưa bài toán về dạng đơn giản hơn.



TÍCH PHÂN

1. Định nghĩa: b

b

aa

f x dx F x F b F a

2. Các tính chất của tích phân:

1. 0a

a

f x dx

2. b a

a b

f x dx f x dx

3. b b

a a

kf x dx k f x dx k

4. b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

5. b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

6. 0f x trên đoạn a;b 0 b

a

f x dx

7. f x g x trên đoạn a;b b b

a a

f x dx g x dx

8. m f x M trên đoạn a;b

b

a

m b a f x dx M b a

3. Các phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần:



Nếu u u x và v v x là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn

a;b thì b b

a a

budv uv vdu

a

Chú ý: Phương pháp đặt u, dv cũng giống như nguyên hàm từng phần. Phương pháp đổi biến loại 1:

Tính tích phân có dạng: b

a

I g x x dx

Đặt: x t . Khi đó:

bb

a a

I g x ' x dx g t dt

Chú ý: - t t dt ' x dx

- g t x g' t dt ' x dx Phương pháp đổi biến loại 2:

Tính b

a

I f x dx

Đặt: x t . Với là hàm số có đạo hàm liên tục tr6n đoạn

; trong đó: a ,b .

Khi đó:

b

a

I f x dx f t ' t dt

Các dạng cơ bản (với k>0)

a) Dạng 1: 21b

a

x dx . Đặt: 2 2

x sin t,t ;

Mở rộng: 2 2b

a

k x dx . Đặt: 2 2

x k sint,t ;



b) Dạng 2: 21

b

a

dx

x. Đặt:

2 2

x sin t,t ;

Mở rộng:2 2

b

a

dx

k x. Đặt:

2 2

x k sint,t ;

c) Dạng 3: 2 1b

a

dxx

. Đặt: 2 2

x tan t,t ;

Mở rộng:

2 2b

a

dxx k

. Đặt: 2 2

x k tant,t ;

2 2 b

a

dx

ax b k. Đặt:

2 2

ax b k tant,t ;

2 2b

a

f ' xdx

f x k. Đặt:

2 2

f x k tan t,t ;

(Các phương pháp tính tích phân hoàn toàn giống như các phương pháp tìm nguyên hàm)



ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành: Cho hàm số y f x (C)

liên tục trên đoạn a;b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và hai đường thẳng x a,x b được tính bởi công

thức:

b

a

S f x dx

2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong: Cho hai hàm số y f x

(C) và y g x (C’) liên tục trên

đoạn a;b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), (C’) và hai đường thẳng x a,x b , được tính bởi công thức:

b

a

S f x g x dx

Chú ý: - Trong trường hợp chưa cho cận a,b thì phải giải phương trình

hoành độ giao điểm để tìm cận. Nghiệm nhỏ nhất là cận dưới a, nghiệm lớn nhất là cận trên b.

- Để tích tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối có 2 cách:



+ Cách 1: Xét dấu biểu thức dưới dấu tích phân để bỏ dấu giá trị

tuyệt đối theo tính chất 00

neáuneáu

A, AA

A, A

Cách 2: Nếu f x không đổi dấu trên a;b (tức là

0f x không có nghiện thuộc a;b ) thì ta có

b b

a a

f x dx f x dx . Cách thứ 2 này giúp giải toán

nhanh hơn. 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay trục Ox:

Cho hàm số y f x (C) liên tục trên đoạn a;b . Nếu hình phẳng giới hạn bởi các đường (C), x=a, x=b, trục Ox quay quanh trục Ox thì thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra được tính theo công thức:

2 b

a

V y dx

Hay: 2 b

a

V f x dx

4. Thể tích vật thể tròn xoay trục Oy: Cho hàm số x g x (C) liên tục trên đoạn c;d . Nếu hình phẳng

giới hạn bởi các đường (C), y=c, y=d, trục Oy quay quanh trục Oy thì thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra được tính theo công thức:

2 d

c

V x dy

Hay: 2 d

c

V g y dy



1. Số i: 2 1 i 2. Định nghĩa: - Số phức z là biểu thức có dạng: 2 1 z a bi, a,b ,i

a gọi là phần thực. b gọi là phần ảo. i gọi là đơn vị ảo.

- Tập hợp số phức kí hiệu là . Vậy 3. Số phức bằng nhau:

Cho hai số phức z a bi,z' a' b' i ,

a a'z z'

b b'

4. Biểu diễn hình học của số phức: Cho số phức z a bi , điểm M a;b trong mặt phẳng tọa độ Oxy

gọi là điểm biểu diễn cho số phức z

Giả sử số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm M a;b . Độ

dài của vectơ OM gọi là môđun của số phức z, kí hiệu: z . Vậy:

2 2

z OM a b

5. Số phức liên hợp: - Số phức z a bi gọi là số phức liên hợp của số phức z a bi

- Ta có: z z; z z

6. Cộng, trừ, nhân hai số phức:

SỐ PHỨC



Cho hai số phức z a bi;z' a' b' i . Ta có;

z z' a a' b b' i

z z' a a' b b' i

z.z' aa' bb' a' b ba' i 7. Số phức nghịch đảo, chia hai số phức: - Số phức nghịch đảo của số phức z a bi là một số phức, kí hiệu là:

12 2 2

1 1

zz zz z a b

Chia hai số phức: 2z z.z'z' z'

(nhân tử và mẫu cho z' )

8. Phương trình bậc hai hệ số thực trên tập : Cho phương trình 2 0 0 ax bx c a ;a,b,c . Gọi

2 4 b ac :

+ Nếu 0 phương trình có hai nghiệm thực: 2

bxa

+ Nếu 0 phương trình có một nghiệm thực: 2

bxa

+ Nếu 0 phương trình có hai nghiệm phức: 2 2

bx ia a



I. Thể tích khối đa diện: 1. Thể tích khối lập phương cạnh a: 3V a (đvtt) 2. Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước a,b,c là V a.b.c

(đvtt) 3. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy là B, chiều cao là h là;

V B.h (đvtt)

4. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy B, chiều cao h là: 13

V Bh

(đvtt) 5. Thể tích khối chóp cụt có diện tích hai đáy là B và B’, chiều cao h

là:

13

V B B' BB' h (đvtt)

6. Một số tính chất: Tỉ số thể tích của hai khối đa diện đồng dạng bằng lập phương tỉ

số đồng dạng Cho khối chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt

lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác với S. Khi đó:

S.A' B' C'

S.ABC

V SA' SB' SC'. .V SA SB SC

II. Thể tích khối tròn xoay: 1. Mặt nón tròn xoay:

Cho hình nón N có chiều cao là h, đường sinh l , bán kính đáy R - Diện tích xung quanh của hình nón: xqS Rl (đvdt)

- Diện tích toàn phần: 2ñaùy tp xqS S S Rl R

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN, KHỐI TRÒN XOAY



- Thể tích khối nón: 213

V R h (đvtt)

2. Mặt trụ tròn xoay:

Cho hình trụ T có chiều cao h và bán kính đáy R. - Diện tích xung quanh hình trụ: 2 xqS Rh (đvdt)

- Thể tích khối trụ: 2 V R h (đvtt) 3. Mặt cầu: - Diện tích mặt cầu (S) bán kính R là: 24 S R (đvdt)

- Thể tích khối cầu (S) bán kính R là: 343

V R (đvtt)



HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1. Hệ trục tọa độ trong không gian:

O

k

j i

x

y

z

z

x

y

M(x;y;z)

H

2. Tọa độ của điểm và của vectơ:

-

M x;y;z OM xi y j zk

- u x;y;z u xi y j zk

* Tính chất: Cho 1 2 3 1 2 3 a a ;a ;a ; b b ;b ;b

- 1 1

2 2

3 3

a ba b a b

a b

- 1 1 2 2 3 3 a b a b ;a b ;a b

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN



- 1 2 3

ka ka ;ka ;ka 3. Liên hệ giữa tọa độ vectơ và tọa độ hai điểm mút: Cho ba điểm A A A B B C C C CA x ;y ;z ,B x ;y ;z ,C x ;y ;z . Khi đó:

B A B A B AAB x x ;y y ;z z Chia đoạn thẳng theo tỉ số k: M chia AB theo tỉ số k

MA kMB

Khi đó:

1

1

1

A BM

A BM

A BM

x kxx

ky ky

yk

z kzz

k

Công thức tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng:

M là trung điểm của đoạn thẳng AB

2

2

2

A BM

A BM

A BM

x xx

y yy

z zz

Công thức tính tọa độ trọng tâm tam giác:

G là trọng tâm tam giác ABC

3

3

3

A B CG

A B CG

A B CG

x x xx

y y yy

z z zz

Khoảng cách giữa hai điểm:



2 2 2 B A B A B AAB x x y y z z

4. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: Cho 1 2 3 1 2 3

a a ;a ;a ; b b ;b ;b .

- 1 1 2 2 3 3 a.b a b a b a b

- 2 2 2 2

1 2 3 a a a a

- 2 2 21 2 3

a a a a

- 1 1 2 2 3 30 a b a.b a b a b a b

5. Góc giữa hai vectơ:

1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

a b a b a ba.bcos a,ba . b a a a b b b

6. Tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng: a) Định nghĩa:

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

a a a a a aa,b ; ;

b b b b b b

Chú ý: a b

ad bcc d

b) Tính chất:

- Nếu

c a,b thì:

c a

c b

- a,b cùng phương 0

a,b

- a,b,c đồng phẳng 0

a,b .c

-

a,b a . b sin a,b

c) Diện tích tam giác:



Cho tam giác ABC có diện tích là S. Khi đó: 12

S AB,AC (đvdt)

d) Thể tích khối hộp: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V. Khi đó:

V AB,AD .AA' (đvtt)

e) Thể tích khối tứ diện: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V. Khi đó:

16

V AB,AC .AD (đvtt)



PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 1. Phương trình chính tắc:

Phương trình mặt cầu tâm I a;b;c bán kính R:

2 2 2 2 x a y b z c R 2. Phương trình tổng quát:

Trong không gian Oxyz, phương trình : 2 2 2 2 2 2 0 x y z ax by cz d với 2 2 2 0 a b c d

là phương trình mặt cầu tâm I a;b;c , bán kính

2 2 2 R a b c d Chú ý: Nếu phương trình cho dưới dạng 2 2 2 2 2 2 0 x y z ax by cz d với 2 2 2 0 a b c d

thì mặt cầu có tâm I a; b; c , bán kính 2 2 2 R a b c d

3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu (S) và mặt phẳng :

* Nếu

I ,d R : mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung

* Nếu

I ,d R : mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S), khi đó gọi

là tiếp diện của mặt cầu (S). Điều kiện để mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu là

I ;

d R

* Nếu

I ,d R : mặt phẳng cắt mặt cầu theo 1 đường tròn có phương

trình

ptmc S

ptmp (C). (C) gọi là đường tròn giao tuyến trong không

gian.



4. Cách xác định tâm của đường tròn giao tuyến có phương trình

ptmc S

ptmptrong không gian:

* Gọi H là tâm đường tròn (C). Lập phương trình IH (IH qua I và nhận

n làm

VTPT)

* Tọa độ H là nghiệm của hệ ptptmp

IH

4. Cách tính bán kính đường tròn trong không gian có phương trình

ptmc S

ptmp

Áp dụng 2 2 2

I ,

r R IH R d , với I là tâm mặt cầu.

5. Mặt cầu qua 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng (ngoại tiếp tứ diện ABCD):

- Gọi phương mặt cầu (S) cần tìm có phương trình là: 2 2 2 2 2 2 0 x y z ax by cz d (1)

- Do A,B,C,D S nên thay tọa độ của A,B,C,D vào phương trình (1) ta được hệ 4 phương trình 4 ẩn a,b,c,d.

- Giải hệ tìm được a,b,c,d từ đó có được phương trình mặt cầu (S) cần tìm.

6. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng : Do mặt cầu (S) tiếp xúc mặt phẳng nên

I ,

R d với I là tâm của

mặt cầu. 7. Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc đường thẳng d:



Do mặt cầu (S) tiếp xúc đường thẳng d nên

I , dR d với I là tâm của

mặt cầu. 8. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và tiếp xúc mặt cầu (S): * Gọi là mặt phẳng chứa d. Lập phương trình mặt phẳng dưới dạng chùm mặt phẳng. * Do tiếp xúc mặt cầu (S) nên

I ,

R d . Từ đây chọn và tìm .

9. Viết phương trình mặt cầu (S) qua A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng * Gọi 2 2 2 2 2 2 0 S : x y z ax by cz d

* Thay tọa độ điểm A, B, C vào phương trình trên và tâm I a;b;c vào phương trình rồi giải hệ tìm được a,b,c,d. 10. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S) tại H: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S) tại H là mặt phẳng đi qua H và có vectơ pháp tuyến là

IH (I là tâm mặt cầu)

11. Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) biết nó song song

1 2d ,d :

* Tìm VTCP của 1d là 1

u , VTCP của 2d là 2

u . Tính

1 2

n u ,u A,B,C

* Gọi là mặt phẳng song song 1 2d ,d nên có VTPT là

1 2

n u ,u A;B;C và có phương trình là 0 Ax By Cz m

* Điều kiện để là tiếp diện của (S) là

I ,d R.Từ điều kiện này

tìm m và có được phương trình tiếp diện (I là tâm mặt cầu (S)) 12. Tìm tọa độ tiếp điểm H của mặt cầu (S) và mặt phẳng : * Gọi H là tiếp điểm. Lập phương trình IH (H qua I và nhận

n làm

VTPT)



* Tọa độ của H là nghiệm của hệ ptptmp

IH

13. Tìm tọa độ tiếp điểm H của mặt cầu (S) và đường thẳng d: * Gọi là mặt phẳng qua I và vuông góc với d. Lập phương trình mặt

phẳng ( qua I và nhận

du làm VTPT) * Tọa độ tiếp điểm H của mặt cầu (S) và đường thẳng d là nghiệm của

hệ

ptmp

ptñt

d

14. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại 2 điểm A, B sao cho AB=L:

Áp dụng 2

2

2

LR d I ,(d)

15. Viết phương trình mặt phẳng qua M (M nằm trong mặt cầu (S)) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất:

* Ta có 2 2 r R IH , r nhỏ nhất IH lớn nhất. Mặt khác IH IM , nên IH lớn nhất khi IH=IM, khi đó H M , do đó IM .

* Vậy mặt phẳng cần tìm cính là mặt phẳng qua M và nhận IM làm

VTPT. 16. Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng :

* Tìm I’ đối xứng với tâm I của mặt cầu (S) qua mặt phẳng * Mặt cầu (S’) có tâm I’ và bán kính R’=R (R là bán kính của mặt cầu (S)). Từ đó lập được phương trình (S’). 17. Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với mặt cầu (S) qua đường thẳng : * Tìm I’ đối xứng với tâm I của mặt cầu (S) qua đường thẳng .



* Mặt cầu (S’) có tâm I’ và bán kính R’=R (R là bán kính của mặt cầu (S)). Từ đó lập được phương trình (S’). 18. Tìm điểm trên mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ đó đến mặt phẳng đạt GTLN (GTNN): * Tìm tâm I của mặt cầu (S). * Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc dưới dạng

tham số (d qua I và có VTCP là

n )

* Tọa độ giao điểm của d và (S) là nghiệm của hệ

ptñt

ptmc

d

S (tìm được

M và N) * Tính M , N ,

d ,d . So sánh hai khoảng cách trên, số lớn là GTLN,

số nhỏ là GTNN. Từ đó chọn M, N thích hợp.



PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: n là VTPT của mặt phẳng giá của n vuông góc với mặt phẳng

n

α

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

- Mặt phẳng đi qua 0 0 0M x ;y ;z và nhận n A;B;C thì

phương trình mp là:

0 0 0 0 A x x B y y C z z - Mỗi phương trình dạng

2 2 20 0 Ax By Cz D A B C đều là phương trình

của một mặt phẳng xác định, và n A;B;C là một VTPT của

mặt phẳng đó. - Mặt phẳng cắt các trục Ox,Oy,Oz theo các giao điểm

0 0 0 0 0 0A a; ; ,B ;b; ,C ; ;c thì phương trình của mặt

phẳng là: 1 x y za b c

(phương trình theo đoạn chắn.

Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng: Dạng 1: mp là mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB



αM

A

B

Phương pháp: - Tìm tọa độ trung điểm M của AB - Tìm tọa độ vectơ

AB

- là mặt phẳng qua M và có

VTPT là AB

Dạng 2: mp là mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C

α

n =[AB,AC]

A

C

B

Phương pháp: - Tìm:

AB,AC

- Tìm:

n AB,AC

- mp là mặt phẳng qua A và có

VTPT là n

Dạng 3: mp là mặt phẳng qua A và chứa đường thẳng (d)

ud

n

A

B

Phương pháp: - Chọn B thuộc (d) - mp là mặt phẳng qua A và

có VTPT là

dn AB,u

Dạng 4: mp qua điểm 0 0 0M x ;y ;z và song song mặt phẳng

0 : Ax By Cz D

n =(A;B;C)

β

α M

Phương pháp: - n A;B;C là VTPT của

mp

- Do / / nên n cũng là

VTPT của mp



- mp là mặt phẳng qua M và

có VTPT là n

Dạng 5: mp qua hai điểm M,N và vuông góc mặt phẳng

0 : Ax By Cz D

nβ

α

β

M

N

Phương pháp: - Tìm

MN ;

n A;B;C là

VTPT của .

- Tìm

n MN ,n .


có VTPT là n

Dạng 6: mp chứa đường thẳng (d) và vuông góc

0 : Ax By Cz D

d u

nR

α

R

M

Phương pháp: - Chọn M d

- Tìm u là VTCP của (d),

u là VTCP

của (d),

n là VTPT của

- Tìm

n u,n .

- mp là mặt phẳng qua M và có

VTPT là n

Dạng 7: mp đi qua M và vuông góc hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước



nQnP

(α)

(Q)

(P)

M

Phương pháp: - Tìm:

Pn là VTPT của (P);

Qn là

VTPT của (Q).

- Tìm

P Qn n ,n .


nhận n làm VTPT.

Dạng 8: mp tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm I tại điểm M S

I

M

Phương pháp: - Tìm tâm I của mặt cầu (S). - Tìm

IM

- mp là mặt phẳng đi qua M

và có VTPT là IM

Dạng 9: mp đi qua M và vuông góc đường thẳng (d) cho trước

a

(α)M

Phương pháp: - Tìm

a là VTCP của đường

thẳng (d). - Do mp song song với (d)

nên a cũng là VTPT của mp .



Dạng 10: mp qua M và song song với hai đường thẳng 1 2d , d cho trước

a2

a1

d2

d1

(α)M

Phương pháp: - Tìm: 1

a là VTCP của 1d ;

2

a là VTCP của 2d

- Tìm 1 2

n a ,a


có VTPT là n

Dạng 11: mp là mặt phẳng chứa đường thẳng 1d và song song

đường thẳng 2d

a2

a1

d2

d1 (α)M

Phương pháp: - Chọn điểm M thuộc 1d

- là mặt phẳng qua M và có

VTPT là 1 2

n a ,a

Dạng 12: mp chứa hai đường thẳng cắt nhau 1 2d , d

a2

a1d2

d1 (α)M

Phương pháp: - Chọn điểm M thuộc 1d

hoặc 2d .

- VTPT của là

1 2

n a ,a

Dạng 13: mp chứa hai đường thẳng 1 2d / / d

Phương pháp:



u1 d2d1

AB

- Chọn 1A d , 2B d

- mp là mặt phẳng qua 3 điểm A và có VTPT là

1

n AB,u

Dạng 14: mp chứa giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), đồng thời vuông góc mặt phẳng (R)

nR

α

R

M

N

Phương pháp: - Chọn M,N thuộc P Q (bằng cách cho x=0, x=1,…và

thay vào hệ

ptmp P

ptmp Q tìm y,z)

- mp là mặt phẳng qua M,N và vuông góc (R) (dạng 4)

Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng qua 0 0 0M x ;y ;z , song

song d và vuông góc mặt phẳng :

Khi đó mặt phẳng : 0 0 0

d

qua M x ;y ;z

VTPT n u ,n

Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: cắt Ox tại 0 0A a; ; , cắt Oy tại 0 0B ;b; , cắt Oz tại 0 0C ; ;c :

Khi đó phương trình mặt phẳng (ABC) là 1 x y za b c



PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Vectơ

a gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng (d) giá

của a song song hoặc trùng (d).

2. Các dạng phương trình đường thẳng: Cho điểm 0 0 0M x ;y ;z và vectơ

u a;b;c

Đường thẳng (d) qua M và nhận u làm VTCP có phương trình

tham số là 0

0

0

x x at

y y bt t

z z ct

Đường thẳng (d) qua M và nhận u làm VTCP có phương trình

chính tắc là 0 0 0 0

x x y y z z

a,b,ca b c

3. Các dạng toán viết phương trình đường thẳng: Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng (d) qua 2 điểm AB Phương pháp:

- Tìm AB

- (d) là đường thẳng qua A và có VTCP là AB

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A và song song đường thẳng Phương pháp:

- Tìm vectơ u là VTCP của

- (d) là đường thẳng qua A và có VTCP là u .

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc mặt phẳng Phương pháp:



- Tìm n là VTPT của mặt phẳng .

- (d) là đường thẳng qua A và có VTCP là n

Dạng 4:Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) Phương pháp:

- Tìm

Pn là VTPT của mp(P),

Qn là VTPT của mp(Q).

- Tìm

P Qu n ,n

- Chọn điểm M thuộc giao tuyến bằng cách cho 1 ẩn bằng 0 thay vào pt (P) và mp(Q) giải hệ tìm được 2 ẩn còn lại.

- (d) là đường thẳng qua M và nhận u làm VTCP

Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A và song song 2 mặt phẳng (P) và (Q) (hoặc song song với giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)) Phương pháp:

- Tìm

Pn là VTPT của mp(P),

Qn là VTPT của mp(Q)

- Tìm

P Qu n ,n

- (d) là đường thẳng qua A và có VTCP là u

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng (P) Phương pháp

- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) và vuông góc mặt phẳng (P) (xem dạng 5 của phương trình mặt phẳng)

- Chọn N P Q bằng cách cho 1 ẩn bằng 0, thay vào pt (P) và pt (Q), giải hệ tìm được 2 ẩn còn lại.

- Tìm

P Qu n ,n

- (d) là đường thẳng qua N và có VTCP là u



Dạng 7:Viết phương trình đường thẳng (d) là đường cao kẻ từ A của tam giác ABC Phương pháp:

- Tìm

AC,BC,n AC,BC

- Tìm

u n ,BC

- (d) là đường thẳng qua A và có VTCP là u

Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng (d) là đường trung trực của cạnh BC của tam giác ABC Phương pháp:

- Tìm

AC,BC,n AC,BC

- Tìm

u n,BC

- Tìm M là trung điểm của BC - (d) là đường thẳng qua M và có VTCP là

u

Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng (d) là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau 1 2d , d Phương pháp:

- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 2d và song song

1d (dạng 11 phương trình mặt phẳng)

- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa 1d và vuông góc mặt phẳng (P) (dạng 6 phương trình mặt phẳng)

- Tìm giao điểm M của đường thẳng 2d và mặt phẳng (Q). - (d) là đường thẳng qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) (dạng

3 phương trình đường thẳng) Cách khác:

- Chuyển phương trình 1 2d ,d dưới dạng tham số. - Gọi 1M d dưới dạng chứa tham số 1t và 2N d dưới dạng

chứa tham số 2t . Tính vectơ MN

.



- Do 1

2

MN u

MN u

. Từ đây tìm được 1 2t ,t và có M,N

- Đường vuông góc chung qua M và nhận MN

làm VTCP. Dạng 10: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A và cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước:

d2

d1

dM

N

A

C1: * Chuyển d1,d2 về phương trình tham số * Gọi 1 2M d ,N d (tọa độ M,N chứa

1 2t ,t ). Tính AM ,AN

.

* Do AM

cùng phương AN

nên từ đk cùng phương tìm được 1 2t ,t và có được M,N. * Đường thẳng cần tìm qua A và có VTCP AM

Cách khác:

* Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và chứa 1d (xem dạng 3 của phương trình mặt phẳng) * Tìm giao điểm M của mặt phẳng (P) và 2d

* d là đường thẳng qua 2 điểm A,M (dạng 1)

Dạng 11: Viết phương trình đường hẳng (d) qua A, vuông góc và cắt đường thẳng :



u

A

M

* Tìm VTCP của là u

* Gọi M (tọa độ M chứa tham số t). Tính AM

* AM u

. Từ đây tìm t và có M. Đường thẳng cần tìm qua M và nhận AM

làm VTCP

αHA

Cách khác: * Gọi là mặt phẳng qua A và vuông góc . Lập phương trình mặt phẳng (qua A và nhận u

làm VTPT)

* Tọa độ giao điểm H của mặt phẳng

và là nghiệm của hệ

ptmp

pt

.

.* Đường thẳng cần tìm qua A và nhận AH

làm VTCP. Dạng 12: Viết phương trình đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng và cắt 2 đường thẳng d1,d2:

d2d1

αA B

* Tìm giao điểm A của 1d và mp :

Giải hệ:

1pt d

ptmp

* Tìm giao điểm B của 2d và mp :

Giải hệ:

2pt d

ptmp

* Đường thẳng d chính là đường thẳng qua A và nhận AB

làm VVTCP.



Dạng 13: Viết phương trình đường thẳng (d) song song và cắt 2 đường thẳng 1 2d ,d :

ud

d2

d1 M

N

* Chuyển phương trình 1 2d ,d dưới dạng tham số chứa 1 2t ,t . * Gọi 1 2M d ,N d (tọa độ M, N chứa

1 2t ,t ). Tính MN

* MN

cùng phương u

, từ đây tìm 1 2t ,t

và có M,N. * Đường thẳng cần tìm qua M và nhận u

làm VTCP Dạng 14: Viết phương trình đường thẳng (d) qua giao điểm của

và , nằm trong và vuông góc :

[nα,u ]

nα

dαA

* Tìm giao điểm A của và : giải hệ

ptmp

ptdt

* Dường thẳng d qua A và có VTCP là u n ,u

Dạng 15: Viết phương trình đường thẳng d qua M vuông góc d1 và cắt d2:

d

ud1d1

d2

M N

* Chuyển phương trình d2 về dạng tham số. Gọi N thuộc d2 (tọa độ N chứa tham số t). Tính vectơ MN

* Do 1dMN u

, từ phương trình này ta

tìm được tham số t, từ đó tìm được N. Đường thẳng d qua M và có VTCP là MN

Dạng 16: Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc mặt phẳng và cắt 2 đường thẳng d1, d2:



dd2

d1

α

M

N

* Chuyển phương trình d1, d2 về dạng tham số. * Gọi M thuộc d1 dưới dạng chứa tham số t1, N thuộc d2 dưới dạng chứa tham số t2. Tính vectơ MN

.

* Do MN

cùng phương n

, từ đó tìm

được tham số 1 2t ,t ta tìm được M,N * Đường thẳng cần tìm qua M và nhận MN

làm VTCP Dạng 17: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc hai đường thẳng 1 2d ,d :

Khi đó (d) là đường thẳng qua M và có VTCP là 1 2d du u ,u

Dạng 18: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M song song mặt phẳng và vuông góc đường thẳng :

u

nα

d

α

M

* Đường thẳng (d): Qua M

VTCPu n ,u

Dạng 19: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M song song mặt phẳng và cắt đường thẳng :

nα

d

α

NM

* Chuyển phương trình thành phương trình tham số. * Gọi N thuộc (tọa độ N chứa tham số t). Tính MN

* Do MN u

nên từ đây tìm được t, từ đó có N. * Đường thẳng d cần tìm qua M và nhận vectơ MN

làm VTCP



VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

1. CM cắt : Ta chứng minh A : B : C A' : B' : C'

2. CM : Ta chứng minh A B C DA' B' C' D'

3. CM // : Ta chứng minh A B C DA' B' C' D'

4. CM d ,d ' đồng phẳng: Ta chứng minh 0u,u' .MM '

với

M d ,M ' d '

5. CM d ,d ' cắt nhau: 0u,u' .MM '

và a : b : c a' : b' : c'

6. CM d // d’: Ta chứng minh 0 0 0 0 0 0a : b : c a' : b' : c' x' x : y' y : z' z

7. CM d d’: Ta chứng minh 0 0 0 0 0 0a : b : c a' : b' : c' x' x : y' y : z' z

8. CM d và d’ chéo nhau: ta chứng minh 0u,u' .MM '

với

M d ,M ' d ' 9. CM d cắt : Ta chứng minh: 0aA bB cC

10. CM d// : Ta chứng minh 0 0

0aA bB cCM d M

11. CM d : Ta chứng minh 0 0

0aA bB cCM d M

Chú ý: * CM ' ta chứng minh 0AA' BB' CC'

* CM d d' ta chứng minh 0u.u'

* CM d ta chứng minh a : b : c A : B : C .



* Chứng minh A A A B B CA x ; y ; z ,B x ; y ; z nằm về 2 phía đối với

0: Ax By Cz D , ta chứng minh:

0A A A B B BAx By Cz D Ax By Cz D



KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 1. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng 0 P : Ax By Cz D

2 2 2

M M M

M , P

A.x B.y C.z Dd

A b C

2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P)//(Q):

P , Q A, Qd d , A P

3. Khoảng cách giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P), với (d)//(P):

d , P A, Pd d , A d

4. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d): (không có công thức tính trong chương trình chuẩn, nhưng có thể tính theo các bước sau đây) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc đường thẳng

(d). Tìm giao điểm H của (d) và (P) - Khi đó

A, d

d AH

5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song 1d // 2d :

1 2 2

1

d ; d A, dd d , A d

6. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 2d , d :

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 2d và song song 1d .

Tìm M thuộc 1d .

- Khi đó 1 2

d , d M , Pd d

7. Góc giữa hai mp (P): A1x+B1y+C1z+D1 = 0 và mp(Q): A2x+B2y+C2z+D2 = 0



thì 2

1 2

n1os =

.n

cn . n

= 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

1

A B B C C

A B C . A B C

Với ( )(mp(Q),mp(P)

8. Góc giữa đường thẳng (d): 0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

và mặt phẳng (P):

Ax+By+Cz+D = 0 là

nP

sin =

d

.u

n . uP

d = 2 2 2 2 2 2

a

bB cC

A B C . b ca

với ((D),mp(P))

9. Góc giữa hai đường thẳng (D1) :

1

1

1

0

0

0

x x a t

y y b t

z z c t và (D2):

0 2

0 2

0 2

/ /

/ /

/ /

x x a t

y y b t

z z c t

thì 2

1 2

1os =

.

c.

u u

u u = 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

a a b b c c

a b c a b c với

1 2 ((D ), (D ))



TÌM MỘT SỐ ĐIỂM ĐẶC BIỆT

1. Tìm giao điểm M của đường thẳng (d): 0

0

0

x x aty y btz z ct

và mặt phẳng

(P): 0 Ax By Cz D Phương pháp: - M d nên 0 0 0 M x at;y bt;z ct (1)

- M P nên tọa độ M phải thỏa mãn phương trình của (P). Thay tọa độ của M vào phương trình (P) giải tìm được t. - Thay t vừa tìm vào (1) ta tìm được tọa độ của M. 2. Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên mặt phẳng (P):

(P)

M

H

Phương pháp: - Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc với mặt phẳng (P). - Tìm giao điểm H của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P). - H chính là hình chiếu cần tìm.

3. Tìm M’ đối xứng điểm M qua mặt phẳng (P):

(P)

M'

M

H

Phương pháp: - Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên mặt phẳng (P) - M’ đối xứng với M qua mp(P) H là trung điểm của MM’. - Áp dụng công thức trung điểm ta tìm được tọa độ M’

4. Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên đường thẳng (d):



d

(P)M H

Phương pháp: - Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc đường thẳng (d). - Tìm giao điểm H của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P). - H là hình chiếu cần tìm Cách khác: - Chuyển phương trình của (d) về dạng tham số, suy ra VTCP u

.

- H thuộc (d) nên tọa độ H chứa t. Tính MH

.

- Do MH u

nên từ đây tìm được t và có H.

5. Tìm điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng (d)

d

(P)

M'M H

Phương pháp: - Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên đường thẳng (d). - M’ đối xứng m qua (d) H là trung điểm MM’. - Áp dụng công thức trung điểm ta tìm được tọa độ điểm M.

6. Tìm chân đường cao H kẻ từ A của tứ diện ABCD A

B

C

D

Phương pháp: - Gọi H x;y;z - Tọa độ của H là nghiệm của hệ

phương trình:

0

0

0

AH.BC

AH.BD

BC,BD .BH



MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ SUNG

CHỦ ĐỀ 1: TAM THỨC BẬC HAI, PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

I. Tam thức bậc hai: 1. ĐN: Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng: 2ax bx c , trong đó x là biến số; a, b, c là các số thực 0a . Chú ý: + Ta thường đặt 2f x ax bx c .

+ Nếu 0b thì ta có tam thức bậc hai dạng 2f x ax c

+ Nếu 0c thì ta có tam thức bậc hai dạng 2f x ax bx 2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai 2 0f x ax bx c a . Gọi 2 4b ac . Khi đó:

- Nếu 0 thì . 0a f x , x R (tức là f x cùng dấu với a).

Bảng xét dấu: a>0

x f(x) +

a<0 x

f(x) -

- Nếu 0 thì . 0,a f x x R (tức là f x cùng dấu với a

với mọi 2

bxa

, 02

bf x xa

)

Bảng xét dấu: a>0

X 2ba

f(x) + 0 +



a<0

x 2ba

f(x) - 0 -

- Nếu 0 thì f x có hai ngiệm phân biệt 1 2 1 2,x x x x và:

+ 1 2. 0, ; ;a f x x x x

+ 1 2. 0, ;a f x x x x . Bảng xét dấu: a>0

x 1x 2x

f(x) + 0 - 0 + a<0

X 1x 2x

f(x) - 0 + 0 - II. Phương trình bậc hai: 1. ĐN: Phương trình bậc hai là mệnh đề chứa biến có dạng

2 0 0ax bx c a . Trong đó x là ẩn số; a,b,c là các số thực đã biết. 2. Cách giải: Gọi 2 4b ac . Khi đó: - Nếu 0 : phương trình vô nghiệm.

- Nếu 0 : phương trình có nghiệp kép 1 2 2bx xa

- Nếu 0 : phương trình có hai nghiệm phân biệt

1 2,2 2

b bx xa a

.

* Chú ý: - Nếu hệ số b của phương trình là số chẵn, ta có công thức nghiệm thu gọn như sau:

Gọi 2' 'b ac (trong đó '2bb ). Khi đó:



+ Nếu ' 0 : phương trình vô nghiệm.

+ Nếu ' 0 : phương trình có nghiệp kép 1 2'bx x

a

+ Nếu 0 : phương trình có hai nghiệm phân biệt

1 2' ' ' ',b bx xa a

.

- Nếu hai hệ số a và c có dấu trái ngược nhau thì phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt.

- Nếu hệ số b=0, phương trình có dạng: 2 0ax c 2 cxa

+ Nếu a, c trái dấu nhau thì phương trình có hai nghiệm

là 1,2cxa

+ Nếu a, c cùng dấu nhau thì phương trình vô nghiệm. - Nếu hệ số c=0, phương trình có dạng

1

2

2

00 0

xax bx x ax b bx

a

3. Định lí Viét: * Nếu phương trình bậc hai 2 0ax bx c có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x thì tổng và tích của hai nghiệm đó là:

1 2

1 2

bS x xa

cP x xa

- Hai số thực có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số thực đó là nghiệm của phương trình 2 0x Sx P .

* Chú ý: - Nếu tam thức bậc hai 2f x ax bx c có hai nghiệm 1 2,x x

thì có thể viết lại thành 1 2f x a x x x x .



- Nếu phương trình bậc hai 2 0ax bx c có hệ số a,b,c thỏa

0a b c thì phương trình có hai nghiệm là: 1 21, cx xa

- Nếu phương trình bậc hai 2 0ax bx c có hệ số a,b,c thỏa

0a b c thì phương trình có hai nghiệm là: 1 21, cx xa

4*. Xác định dấu các nghiệm số của phương trình bậc 2: 2 0ax bx c :

- Phương trình có hai nghiệm trái dấu 0ac

- Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 0

0ca

- Phương trình có hai nghiệm cùng dương

0

0

0

ba

ca

- Phương trình có hai nghiệm cùng âm

0

0

0

ba

ca

III. Bất phương trình bậc hai: 1. ĐN: Bất phương trình bậc hai là mệnh đề chứa biến thuộc 1 trong 4 dạng sau:

2 2 2 20; 0; 0; 0ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c , trong đó x là ẩn số; a,b,c là các số thực đã biết. 2. Cách giải: - Xét dấu tam thức bậc hai ở vế trái (dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai để lập bảng xét dấu)



- Dựa vào bảng xét dấu để chọn các khoảng chứa x mà làm cho vế trái thỏa mãn dấu của bất phương trình (nếu bất phương trình cho >0 thì lấy phần dấu “+”, <0 thì lấy phần dấu “ – ”, còn nếu có dấu “=” thì lấy luôn nghiệm của tam thức) * Chú ý: Nguyên tắc chung để giải các bất phương trình là: - Chuyển tất cả về bên trái của dấu bất đẳng thức, còn vế phải phải là số 0. Nếu có ẩn số ở mẫu số thì khi quy đồng không được bỏ mẫu. - Phải xét dấu biểu thức ở vế trái. - Dựa vào bảng xét dấu để chọn tập nghiệm cho phù hợp với chiều bất phương trình.



CHỦ ĐỀ 2: XÉT DẤU BIỂU THỨC

Xét dấu biểu thức là một bài toán trung gian để giải nhiều bài

toán, đặc biệt là để giải các bài toán bất phương trình, hệ bất phương trình. Ngoài phương pháp đã học ở chương trình Đại số 10, ta có thể sử dụng phương pháp giải nhanh được trình bày sau đây để rút ngắn thời gian làm bài. Vì đây là bài toán trung gian nên cách giải sẽ không được trình bày trong bài toán, do đó ta không cần quan tâm đến cách chứng minh phương pháp xét dấu này (nhưng có thể dùng kiến thức về giới hạn để chứng minh dễ dàng) I. PHƯƠNG PHÁP: 1. Khái niệm nghiệm bội của phương trình: Số thực 0x được gọi là một nghiệm bội k của phương trình 0f x nếu như nghiệm 0x được lặp lại k lần. Ví dụ: VD1. Phương trình

22

11 0

1 6 5 0 16 5 0

5

xx

x x x xx x

x

. Khi đó số 1 gọi là

một nghiệm bội 2 của phương trình (còn gọi là nghiệm kép)

VD2. Phương trình 3 2

11 4 3 0 1

3

xx x x x

x

. Trong

đó số 1 là nghiệm bội 3 của phương trình, vì

31

1 0 1 1 1 0 11

xx x x x x

x

2. Xét dấu biểu thức f x là một đa thức có dạng:

11 1 0...n n

n nP x a x a x a x a 0na (các số hạng của P x

được sắp xếp theo thứ tự giảm dần theo số mũ của x)



- Tìm các nghiệm của P x , giả sử các nghiệm đó là

1 2, ,..., nx x x và 1 2 ... nx x x (xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, nghiệm bội chỉ viết 1 lần) - Lập bảng xét dấu: + Là bảng gồm 2 dòng và 2 cột,

+ Điền các giá trị của x là các nghiệm của P x vừa tìm được ở trên và các kí hiệu , vào bảng theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.

+ Điền dấu của P x vào bảng theo quy tắc: * Trong khoảng cuối cùng bên phải của nx (nghiệm lớn nhất) thì P x cùng dấu với hệ số của x mang mũ cao nhất trong

biểu thức P x (tức là cùng dấu với na )

* Xen kẻ dấu của P x về bên trái khi đi qua các

nghiệm của P x nếu nghiệm đó là nghiệm bội lẻ, và giữ nguyên dấu

khi đi qua nghiệm bội chẵn của P x . Bảng xét dấu: 0na , giả sử P x có nghiệm bội chẵn là 1nx

x … 1x … 2nx 1nx nx

P x … 0 … + 0 - 0 - 0 +

0na , giả sử P x có nghiệm bội chẵn là 1nx x … 1x … 2nx 1nx nx

P x … 0 … - 0 + 0 + 0 -

3. Xét dấu biểu thức dạng tích của các đa thức:

1 11 0 1 0. ... ...n n m m

n n m mP x f x g x a x a x a b x b x b

- Tìm nghiệm của các đa thức ,f x g x , giả sử các nghiệm đó là 1 2, ,..., nx x x và 1 2 ... nx x x (xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, nghiệm bội chỉ viết 1 lần)



- Lập bảng xét dấu như trên và điền dấu của P x theo nguyên tắc: + Trong khoảng cuối cùng bên phải của nx (nghiệm lớn nhất) thì P x cùng dấu với tích của hệ số của x có mũ cao nhất trong

mỗi đa thức ,f x g x (tức là cùng dấu với tích .n ma b ) + Xen kẻ dấu về bên trái khi x đi qua nghiệm của P x nếu là nghiệm bội lẻ, và giữ nguyên dấu nếu x đi qua nghiệm bội

chẵn của P x 4. Xét dấu của biểu thức dạng hữu tỷ: (có biến số ở mẫu số)

1 11 0 1 0

11 0

... .......

n n m mn n m m

k kk k

a x a x a b x b x bf x g xP x

h x c x c x c

(trong đó , ,f x g x h x là các đa thức theo biến số x, được xếp theo thứ tự giảm dần số mũ của x)

- Tìm nghiệm của các đa thức , ,f x g x h x , giả sử các nghiệm đó là 1 2, ,..., nx x x và 1 2 ... nx x x (xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, nghiệm bội chỉ viết 1 lần và tính luôn nghiệm của h x ) - Lập bảng xét dấu như trên, nếu là nghiệm mẫu thì ở hàng dấu của P x là dấu ||. Điền dấu theo nguyên tắc: + Trong khoảng cuối cùng bên phải của nx (nghiệm lớn nhất) thì P x cùng dấu với tích của hệ số của x có mũ cao nhất trong

mỗi đa thức , ,f x g x h x (tức là cùng dấu với tích . .n m ka b c ) + Xen kẻ dấu về bên trái khi x đi qua nghiệm của P x nếu là nghiệm bội lẻ, và giữ nguyên dấu nếu x đi qua nghiệm bội

chẵn của P x (tính luôn cả nghiệm của h x ) Bảng xét dấu:

. . 0n m ka b c , giả sử có nghiệm bội chẵn là 1nx , P x không xác định tại nx (tức nx là nghiệm của mẫu)




P x … 0 … + 0 - 0 - || +

. . 0n m ka b c , giả sử có nghiệm bội chẵn là 1nx , P x không xác định tại nx (tức nx là nghiệm của mẫu)


P x … 0 … - 0 + 0 + || -

II. CÁC VÍ DỤ: Lập bảng xét dấu các biểu thức sau: a. 3 8f x x b. 2 23 2 6 5f x x x x x

c. 3 22 2 3 2f x x x x x d. 2

2 2

2 3 14 5 6x xf x

x x x

Giải: a. Ta có 3 28 0 2 2 4 0 2f x x x x x x

Bảng xét dấu: (hệ số của 3x là 1>0)

x 2 f x - 0 +

b. 2

2 22

13 2 0 2

3 2 6 5 016 5 05

xx x x

f x x x x xxx xx

(x=1 là nghiệm bội 2) Bảng xét dấu: (Tích các hệ số của x có mũ cao nhất của hai tam thức là 1.1>0)

x 1 2 5 f x + 0 + 0 - 0 +



3 23 2

2

2 0. 2 2 3 2 0

2 3 2

2 21 2 0 1

xc f x x x x x

x x xx xx x x x

Bảng xét dấu: (Tích các hệ số của x có mũ cao nhất là -1.1<0)

x 1 2 f x - 0 + 0 -

d. 2

2 2

2 3 14 5 6x xf x

x x x

Ta có:

21

*2 3 1 0 12

xx x

x

2 2* 4 0

2x

xx

2 2* 5 6 0

3x

x xx

Bảng xét dấu: (x=2 là nghiệm bội 2, f x không xác định tại x=-2;2;3, tích các hệ số của x mũ cao nhất là 2.1.1>0)

x -2 1/2 1 2 3 f x + || - 0 + 0 - || - || +



CHỦ ĐỀ 3: GIỚI HẠN VÔ CỰC VÀ GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

1. Một vài qui tắc tìm giới hạn vô cực: Các giới hạn sau đây được xét khi 0 0 0, , ,x x x x x x x x

Qui tắc nhân lim f x lim g x L lim f x g x

0L 0L

Qui tắc chia

lim f x lim g x L

limf xg x

L 0

lim f x L lim g x Dấu của g x

limf xg x

0L 0 0L 0 0L 0 0L 0

2. Một số giới hạn cơ bản:

a) 0

0limx x

x x

; 0

0limx x

x x

; 0

0limx x

x x

b) 0

0limx x

c x

; 0

0limx x

c x

0

0limx x

c x

c) limx

x

d) limx

c c

e) lim 0x

cx

f) limx

x

; 3limx

x

g) lim k

xx

; 2lim k

xx

; 2 1lim k

xx k



3. Một số lưu ý khi tìm giới hạn: a) Phương pháp xác định dấu của g x khi tìm giới hạn dạng

0

limx x

f xg x

:

Khi tính giới hạn của hàm số có dạng

f xy

g x khi 0x x với

0x là nghiệm của đa thức f x thì ta cần xác định f x dần tới 0 hay

0 . Có thể làm như sau: - Lập bảng xét dấu của f x (làm ở ngoài nháp), giả sử ta có

bảng sau: x … 0x … f x … + 0 - … - Xác định dấu của f x :

+ 0 0x x x x thì dấu của f x là dấu ở phía bên

phải số 0 nằm dưới 0x (theo bảng trên là dấu “-” do đó 0f x )

+ 0 0x x x x thì dấu của f x là dấu ở phía bên phải số 0 nằm dưới 0x (theo bảng trên là dấu “+” do đó

0f x ) b) Phương pháp tìm nhanh giới hạn dạng

11 1 0

11 1 0

...lim lim...

m mm m

n nx xn n

f x a x a x a x ag x b x b x b x b

(trong đó ,f x g x là

các đa thức có bậc lần lượt là m và n):

- Nếu m n : thì

lim 0x

f xg x

- Nếu m n : thì

lim mx

n

f x ag x b



- Nếu m n : thì

limx

f xg x

hoặc

limx

f xg x

tùy

theo bài toán (xác định dấu dựa vào qui tắc ở mục 1).



CHỦ ĐỀ 4: ĐẠO HÀM 1. Định nghĩa: Đạo hàm hàm số y f x tại điểm 0x kí hiệu là 0'f x và

được định nghĩa 0 00 0 0

' lim limx x

f x x f x yf xx x

Số 0x x x được gọi là số gia của biến số tại điểm 0x ; số

0 0y f x x f x gọi là số gia của hàm số ứng với số gia x tại điểm 0x . Ngoài ra người ta còn định nghĩa theo công thức sau:

0

00

0

' limx x

f x f xf x

x x

.

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: - Đạo hàm của hàm số y f x tại điểm 0x là hệ số góc của

tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm 0 0 0;M x y .

- Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại điểm 0x thì tiếp tuyến

của đồ thị hàm số tại điểm 0 0 0;M x y có phương trình là:

0 0 0'y y f x x x 3. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng: Hàm số f gọi là có đạo hàm trên khoảng I nếu nó có đạo hàm

'f x tại mọi điểm x I . 4. Quy tắc tính đạo hàm: * Các công thức: 1) 1'n nx nx , 1n n

2) ' 0c (c là hằng số)

3) ' 1x ; 2

1 1'x x

4) 1' 02

x xx



5) Giả sử ,u u x v v x là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định, ta có:

2

2

' ' '

' ' '

. ' ' '

' ''

. ' . '

1 '' 0

u v u v

u v u v

u v u v uv

u u v uvv vk u k u

v v v xv v

6) Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm số u g x có đạo hàm tại

x là 'xu và hàm số y f u có đạo hàm tại u là 'uy thì hàm hợp

y f g x có đạo hàm tại x là: ' ' . 'x u xy y u 7) Đạo hàm của hàm số lượng giác: Bảng tóm tắt:

2

2

sin ' cos

cos ' sin1tan '

cos1cot '

sin

x x

x x

xx

xx

2

2

sin ' '.cos

cos ' '.sin'tan '

cos'cot '

sin

u u u

u u uuu

uuu

u

8) Một số công thức khác:

2

22

2

'

2'

ax b ad bcy ycx d cx d

b camx anx

m nax bx cy ymx n mx n



22

22 2

2' ' ' ' ' '

'' ' ' ' ' '

a b a c b cx x

a b a c b cax bx cy ya x b x c a x b x c

5. Đạo hàm cấp 2: Cho hàm số y f x có đạo hàm là 'f x , khi đó đạo hàm

cấp hai của hàm số kí hiệu là " ' 'y f x



CHỦ ĐỀ 5:CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I. Công thức lược giác: 1. Tỉ số lượng giác của một số góc cần nhớ:

Góc 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800

0 6

4

3

2 2

3 3

4 5

6

sin 0 12

22

32

1 32

22

12

0

cos 1 3

2

22

12

0 – 12

– 22

– 32

1

tan 0 13

1 3 || 3

1 – 13

0

cot || 3

1 13

0 13

1 – 3 || * Công thức lượng giác cơ bản:

2 2sin cos 1x x tan .cot 1x x 2

2

1 1 tancos

xx 2

2

1 1 cotsin

xx

sintancos

xxx

coscotsin

xxx

2. Công thức biến đổi tích thành tổng:

1cos .cos [cos( ) cos( )]2

1sin .sin [cos( ) cos( )]21sin .cos [sin( ) sin( )]2

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b



3. Công thức biến đổi tổng thành tích:

cos cos 2cos .cos2 2

cos cos 2sin .sin2 2

sin sin 2sin .cos2 2

sin sin 2cos .sin2 2

a b a ba b

a b a ba b

a b a ba b

a b a ba b

4.Công thức nhân đôi:

2 2 2 2

2

cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sinsin 2 2sin cos

2 tantan 2 ( , , )1 tan 2 2 2

a a a a aa a a

aa a k a k ka

5. Công thức nhân ba:

3

3

sin 3 3sin 4sincos3 4cos 3cos

a a aa a a

6. Công thức hạ bậc:



2

2

2

3

3

cos 2 1cos2

1 cos 2sin2

1 cos 2tan1 cos 23sin sin 3sin

43cos cos3cos

4

aa

aa

aaa

a aa

a aa

7. Công thức cộng:

sin( ) sin cos cos sinsin( ) sin cos cos sincos( ) cos cos sin sincos( ) cos cos sin sin

a b a b a ba b a b a ba b a b a ba b a b a b

Ngoài ra ta cũng có công thức sau với một số điều kiện:

tan tantan( ) (*)1 tan .tantan tantan( ) (**)

1 tan .tan

a ba ba b

a ba ba b

(*) có điều kiện: , ,2 2 2

a k b k a b k

(**) có điều kiện: , ,2 2 2

a k b k a b k

8. Công thức tính tana, cosa, sina theo tan2at :



2

2

2

2

2sin11cos1

2tan ,1 2

tattatta a kt

9. Công thức liên hệ giữa 2 góc bù nhau, phụ nhau, đối nhau và hơn

kém nhau 1 góc hoặc 2 :

9.1. Hai góc bù nhau:

sin( ) sincos( ) costan( ) tancot( ) cot

a aa aa aa a

9.2. Hai góc phụ nhau:

sin( ) cos2

cos( ) sin2

tan( ) cot2

cot( ) tan2

a a

a a

a a

a a

9.3. Hai góc đối nhau:


a aa aa aa a



9.4 Hai góc hơn kém nhau 2 :

sin( ) cos2

cos( ) sin2

tan( ) tan2

cot( ) cot2

a a

a a

a a

a a

9.5 Hai góc hơn kém nhau :


a aa aa aa a

9.6. Một số công thức đặc biệt:

sin cos 2 sin( ) 2 cos4 4

sin cos 2 sin( ) 2 cos4 4

cos sin 2 cos4

x x x x

x x x x

x x x

III. Phương trình lượng giác: 1. Phương trình cơ bản:



22

2

2

sin sin

cos cos

tan tan

cot cot

u v k* u v

u v k* u v u v k

* u v u v k u k

* u v u v k u k

2. Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx: Các phương trình lượng giác * asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x +d= 0 (1) * 3 2 2 3 0asin x bsin xcos x csinxcos x d cos x msinx ncos x (2) * asin4x + bsin3x.cosx + csin2x.cos2x + dsinx.cos3x + ecos4x = 0 (3) gọi là phương trình đẳng cấp bậc 2, 3, 4 đối với sinx và cosx. - Kiểm tra cosx=0 có là nghiệm không? - Với cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình (1), (2), (3) theo thứ tự cho cos2x, cos3x, cos4x đưa phương trình đã cho về phương trình mới với ẩn t=tanx và ta dễ dàng giải các phương trình này. 3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: * sinx + bcosx + c = 0 (1), a2 + b2 ≠ 0 phương trình (1) có nghiệm a2 + b2 - c2 ≥ 0 Có ba cách giải loại phương trình này : Cách 1: Giả sử a ≠ 0

(1) sin cos 0b cx xa a

(2)

Cách 2: Đặt : tan ba

(2) sin tan cos 0cx xa

sin( ) coscxa

Ta dễ dàng giải phương trình này. - Đặt :



tan2x t

2

2 2

2 1(1) 01 1

t ta b ct t

Giải phương trình bậc hai đối với t, dễ dàng giải được phương trình (1). Cách 3: Do 2 2 0a b , chia hai vế của phương trình cho 2 2a b :

2 2 2 2 2 2

(1) sin cosa b cx xa b a b a b

Đặt :

2 2

2 2

sin

cos

aa b

ba b

2 2

(1) sin( ) cxa b

(đây là phương trình cơ bản).

Chú ý : Ta luôn có :

2 2| sin sin |a x b x a b Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi sin(x + a) = 1. 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1) (a, b, c là hằng số) Giải phương trình (1) bằng cách đặt : sinx + cosx = t , | | 2t Đưa (1) về phương trình 2 2 ( 2 ) 0bt at b c . Giải phương trình (2) với | | 2t . 5. Phương trình lượng giác sử dụng nhiều đến phép biến đổi lượng giác: Đây là dạng toán chủ yếu trong các kì thi ĐH-CĐ, cách giải chủ yếu là sử dụng các phép biến đổi lượng giác thông dụng để đưa phương trình về một trong các dạng trên hoặc dạng phương trình tích mà mỗi thừa số là một phương trình cơ bản để giải để giải.



Trong quá trình biến đổi cần chú ý tránh sử dụng hai phép biến đổi trái ngược nhau, và chú ý quan sát để rút ngắn thời gian và các bước giải, muốn thế cần nắm thật vững các công thức lượng giác, nhất là những công thức đặc biệt thường hay dùng.



PHỤ LỤC

Một số gợi ý cụ thể về cách học môn toán để chuẩn bị cho các kỳ thi TNPT và tuyển sinh vào các trường ĐH

- Sau khi nghe giảng trên lớp cần đọc lại ngay và thực hiện các bài tập đơn giản để hiểu bài và ghi nhớ các công thức, tính chất cần thiết. Không phải chỉ đọc hiểu mà phải chủ động làm các bài tập áp dụng tới khi thành thục. Lần học thứ hai là làm các bài tập khó hơn, hãy cố gắng suy nghĩ để tìm ra cách giải và chỉ nên đọc các hướng dẫn khi đã làm hết cách nhưng không tự giải được. Lần học thứ ba là để hệ thống lại bài và làm bổ sung các bài tập mà trước đó ta chưa giải được.

- Sau khi học xong một chương (gồm nhiều bài), nên thu xếp thời giờ để làm các bài tập mang tính tổng hợp kiến thức của toàn chương. Đây là cơ hội tốt để tập luyện cách huy động kiến thức liên quan cần thiết để giải các bài tập tương tự như các câu hỏi trong đề thi sau này, đồng thời cũng là dịp phát hiện những thiếu sót trong kiến thức cùng những sai lầm mà ta hay mắc phải. Việc giải ngay bài tập của từng bài với luyện giải các đề toán tổng hợp có những khác biệt rất lớn nên các em cần phải tập luyện để tích lũy kinh nghiệm.

- Cần đọc trước bài sẽ nghe giảng trên lớp. Việc làm này rất cần thiết vì nhờ đó ta đã biết một số khái niệm, một số định nghĩa đồng thời biết được phần nào khó trong bài để tập trung chú ý, nhờ đó dễ dàng nắm vững nội dung bài giảng ngay tại lớp.

- Thi ĐH môn toán ngoài nội dung chủ yếu trong chương trình lớp 12 còn có các câu hỏi liên quan đến các vấn đề đã học trong chương trình lớp 10, lớp 11 như bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và các bài toán về lượng giác. Do đó thí sinh cần có kế hoạch ôn tập một cách hệ thống các kiến thức nêu trên.

Theo tôi, cách học hợp lý vào các ngày cận thi là giảm cường độ, chủ yếu là đọc lại, xem lại và hệ thống các nội dung đã được học. Cần chú ý vào các sai lầm mà mình hay mắc phải, cần xem kỹ các công



thức mà ta nhớ không chắc chắn. Cần đảm bảo có sức khoẻ tốt nhất trước khi dự thi. Cần tập thức dậy sớm vào buổi sáng (tự thức dậy sẽ sảng khoái và có trạng thái tâm lý tốt hơn bị gọi dậy).

Khi nhận được đề thi cần đọc thật kỹ để phân định đâu là các câu hỏi quen thuộc và dễ thực hiện (ưu tiên giải trước), còn các câu hỏi khó sẽ giải quyết sau. Thứ tự các câu hỏi được giải là theo khả năng giải quyết của thí sinh, không nên bị lệ thuộc vào thứ tự trong đề bài. Có thể đánh giá một câu hỏi nào đó là dễ và làm vào giấy thi nhưng khi làm mới thấy khó thì nên dứt khoát chuyển qua câu khác giải được dễ dàng, sau đó còn thời gian thì quay lại giải tiếp câu khó ấy. Trong khi thi không nên làm quá vội vã câu dễ (để rồi có sai sót đáng tiếc) và đừng sớm chịu thua câu khó. Hãy tận dụng thời gian thi dò lại các câu đã làm một cách cẩn thận và tập trung cao độ để tìm ra cách giải các câu khó còn lại.

(TS Nguyễn Cam, khoa Toán - Tin ĐH Sư phạm TP.HCM)

Để làm bài thi ĐH đạt điểm cao Thực hiện nguyên lý “3 Đ” Nguyên lý này được cô đọng và theo thứ tự: "Đúng - Đủ - Đẹp".

Đúng chiến lược làm bài: Thực hiện theo chiến thuật: "Hết nạc vạc đến xương", tức là câu quen thuộc hoặc dễ làm trước, câu khó làm sau. Nếu câu khó thì bỏ qua, không làm ra hoặc làm sai thì nguy cơ trượt ĐH không lớn (bạn chỉ thua rất ít người làm được câu khó), nhưng nếu câu dễ mà không giải được, làm sai, làm không đến nơi đến chốn thì bạn rất dễ trượt (vì bạn sẽ thua hàng vạn người làm được câu dễ). Đúng đáp số: Nếu bài làm có đáp số đúng, bố cục ổn thì giáo viên chấm lần 1 có thể cho điểm tối đa và đánh ký hiệu để dễ thống nhất điểm với giáo viên chấm lần 2. Nếu đáp số sai thì thường giáo viên sẽ tìm điểm sai gần nhất để chấm cho nhanh. Vì vậy đúng đáp số là rất quan trọng, thậm chí có nhiều người lập luận chưa chính xác nhưng vẫn được điểm tối đa. Đúng chương trình SGK: Làm đúng đáp số nhưng bạn phải dùng kiến thức đã học trong chương trình SGK. Đúng thời gian: Có nhiều TS không biết phân bố thời gian, trình bày quá cẩn thận dẫn đến có câu đã



giải xong trên giấy nháp nhưng hết thời gian để viết vào bài thi. Cũng có nhiều TS làm bài nhanh nhưng không xem lại bài kỹ nên bị mất điểm đáng tiếc.

Đủ các câu hỏi: TS cần điều tiết thời gian để làm hết các câu hỏi theo trình tự từ dễ đến khó, tránh tốn quá nhiều thời gian cho một câu hỏi để không còn giờ suy nghĩ câu khác. Trình bày đầy đủ: Do thang điểm chi tiết đến 0,25 nên những bài có lập luận đầy đủ sẽ dễ đạt điểm tối đa.

Tìm lời giải đẹp: Khi gặp một bài toán, bạn cần ưu tiên cách giải cơ bản để xử lý nhanh mà không nên loay hoay mất thời gian tìm cách giải đẹp. Tuy nhiên ở một số bài toán đẳng cấp lại cần đến lối giải thông minh, ngắn gọn. Trình bày đẹp: Mặc dù trong môn Toán yếu tố đẹp bị xem nhẹ hơn rất nhiều so với yếu tố đúng, nhưng nếu 2 bài thi có nội dung tương tự nhau thì bài trình bày đẹp dễ được điểm cao hơn từ 0,5 đến 1 điểm.

(Trần Phương Giảng viên môn Toán, Trung tâm Hỗ trợ phát triển tài năng, Liên hiệp Các hội khoa học - kỹ thuật Việt Nam)

tom tat li thuyet va phuong phap giai toan 12

Documents