traba de materiales

7/26/2019 Traba de Materiales

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Tema 3. Interaccin radiacin- materia.

Miguel Antn RevillaDepartamento de pticaEUO


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3.1. Interaccin de la radiacin con la materia.Una vez que hemos descrito la luz como una onda electromagntica, en este tema abordaremos la interaccin de unahaz de radiacin electromagntica con la materia. Algunos de los fenmenos ms importantes a los que da lugar tal

interaccin son: esparcimiento de la radiacin reflexin y refraccin absorcin

La idea general para describir estos fenmenos descansa en la interaccin de los campos elctrico y magnticoasociados a la onda con las cargas de los tomos que componen el medio material. Introduciremos un modelo sencillode tomo (el modelo de Lorentz) que consiste en describir al electrn ligado al ncleo mediante una fuerza elsticacaracterizada por una constante elstica natural (que dar lugar a una frecuencia natural de oscilacin 0). Cuandouna onda electromagntica de frecuencia incide sobre el tomo, los campos elctrico y magntico de la ondaejercern una fuerza sobre el electrn y ste se acelerar, radiando por ello, a su vez, ondas electromagnticas. La

radiacin reemitida por el tomo depender en amplitud y fase, muy fundamentalmente, de la relacin entre lafrecuencia de la onda y la frecuencia natural del electrn 0.

A continuacin describiremos pues las caractersticas ms relevantes de los dos subsistemas: la radiacin y la materia.

3.2. La radiacin.En el tema anterior ya se establecieron las propiedades de las ecuaciones de Maxwell y de las ondaselectromagnticas. Por ello solamente indicamos aqu algunas de las propiedades ms relevantes para el desarrollo delproblema planteado.

)cos(

)cos(

0

0

trkBB

trkEE

=

=rrrr

rrrr

Las ondas electromagnticas son producidas por cargas aceleradas.

Se pueden propagar en el vaco a la velocidad constante c= 299.792,458 Km/s


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El campo E, Bykson perpendiculares entre s, y adems se cumple

La irradiancia de una onda plana viene dada por

Se diferencian unas de otras por su frecuencia o longitud de onda.

El espectro electromagntico est formado por 7 regiones: Radio-ondas, Micro-ondas, Infrarrojo, Visible,Ultravioleta, Rayos X y Rayos Gamma.

Sus efectos sobre la materia son muy diferentes, dependiendo de la . El espectro visible est constituido porlas ondas electromagnticas que producen la visin humana. Es una parte muy pequea del espectroelectromagntico y se extiende entre 400 nm y 700 nm.

BBk

E v===

=

=

BExk

Bk

Ek

rrr

rr

rr

0.

,0.

2

002

1EcnI =


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3.3. La materia.La materia est compuesta de tomos o molculas en diferentes estados de agregacin dependiendo de los enlacesentre dichas tomos molculas. En el estado slido las distancias interatmicas son muy pequeas, del orden de 0.1nm, con densidades elevadas, del orden de 1015-17 tomos/m3. Por el contrario en gases a baja presin, los tomos o

molculas interaccionan poco entre s y mantienen distancias grandes, del orden de varias micras. El efecto de unaonda electromagntica sobre un medio material depender mucho de su estado de agregacin, como veremosadelante.

Asumiremos un modelo muy sencillo de tomo, considerando que est formado por un ncleo de carga positiva y unacarga negativa distribuida uniformemente en todo el volumen. En estado de equilibrio, esta distribucin de carga sersimtrica y por lo tanto, esfrica. Sin embargo, si por alguna perturbacin repentina, se perturba al tomo, porejemplo, induciendo un pequeo desplazamiento de la carga positiva respecto del centro, el resto de las cargasnegativas actuarn sobre la carga positiva del ncleo tratando de restituir la situacin de equilibrio. Podemos pensarque se producir un cierto movimiento oscilante de la carga positiva respecto de la negativa. En efecto esto es lo quesucede como vamos a ver enseguida. Para ello, deberemos calcular la fuerza neta que el resto de las cargasnegativas ejerce sobre el ncleo positivo una vez que se ha deformado la distribucin de carga de tal manera que loscentros de las cargas positivas y negativas se han separado una distancia z. Aplicando el teorema de Gauss a unasuperficie cerrada que pasa por el ncleo (lnea discontinua), se tendr que

donde qNes la carga neta encerrada dentro de esta superficiey que se puede calcular fcilmente

-

materia

--

-

-

tomo

0

N

S

qSdE =

rr

3

3

3

3 3

4

3/4

)(z

R

Zez

R

ZeqN =

=

z


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Como el campo y dS tienen la misma direccin (radial) en todos los puntos de la superficie, la integral arroja E4z2.Por lo tanto sustituyendo el valor obtenido de qN se obtiene el valor del campo al que est sometido el ncleo (o bien elcentro de las cargas negativa por efecto del ncleo)

Dado que los protones son mucho ms masivos que los electrones, el centro de masas del sistema se podra suponeren el ncleo, por lo que la ecuacin de Newton del sistema se podr poner como

Que como se ve, es la ecuacin de un movimiento armnico simple. En efecto, si postulamos una solucin del tipo

al sustituir esta expresin en la ecuacin de movimiento, se llega a que es solucin de la misma si

Para el caso de un tomo de hidrgeno Z=1, e= 1.6021x 10-19C, me =9.1091 x10-31kg y R= 5x10-11m, por lo que lafrecuencia natural o frecuencia de resonancia vale

Este resultado es muy importante, ya que nos permite caracterizar al tomo como un oscilador armnico cargado, estoes, una carga que efecta oscilaciones en torno a su posicin de equilibrio cuando es perturbado por una causaexterna. Pero adems, el tomo perturbado se comporta como un oscilador cuya frecuencia natural de oscilacindepende de la interaccin particular a la que estn sometidos los electrones de valencia he dicho tomo. Este modelosencillo nos ha permitido calcular la frecuencia natural a partir de datos microscpicos propios de cada tomo.En el caso estudiado, de un tomo de hidrgenoideo, vemos que la frecuencia de resonancia est en la zona delultravioleta. La longitud de onda de una radiacin de esta frecuencia sera = 117,8 nm. En general, dependiendo dela masa y carga efectiva de las molculas, habr sustancias que tengan una o varias resonancias en otras partes delespectro. Por ejemplo, el agua presenta resonancias en el infrarrojo lejano, microondas y tambin en el ultravioleta, porlo que es transparente en el visible.

= zRZe

E 304 zR

Ze

F 30

2

4=

=td

tzdmFi 2

2 )(r

tztz00

cos)( =

30

2

04 Rm

Ze

e =

td

tzdmtz

R

Zee 2

2

30

2)(

)(4

=

srad /x106.1 160


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Por el contrario, las molculas de colorante, al tener una gran masa efectiva, presentan resonancias en el visible. Porello, absorben selectivamente parte del espectro visible, apareciendo coloreadas.


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3.4. La interaccin radiacin- materia.Ahora que ya disponemos de un modelo fsico sobre la radiacin y otro sobre la materia, podemos abordar lo queocurre cuando un haz de radiacin incide sobre un medio material. Por un lado, sabemos que el haz de radiacin

consiste en un campo electromagntico variable en el tiempo. Por lo tanto, este campo actuar sobre las cargas decada tomo del medio material. Es decir, la interaccin de una onda electromagntica sobre la materia se reduce a laaccin de los campos sobre las cargas del medio material.

Como sabemos, campo elctrico Eejerce una fuerza sobre las cargas. Supongamos entonces que un campo elctrico

E acta sobre un tomo. El campo separar el centro de la carga positiva del centro de la carga negativa y ladistribucin esfrica se deformar e inducir un momento dipolar p = e r

Si el campo cambia de sentido, la carga positiva se desplazar hacia abajo, en la direccin del campo en ese momento.

r+

-

- --

--E

+-

- --

--

E

r


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As por ejemplo, cuando se introduce un material dielctrico entre las armaduras de un condensador, la accin de uncampo elctrico sobre un medio material dielctrico,desde un punto de vista macroscpico, consiste eninducir en l una polarizacin macroscpica Pdefinida como el momento dipolar inducido por unidad

de volumen:

siendo N el nmero de tomos por unidad devolumen. Para la mayor parte de los materiales, lapolarizacin inducida P es proporcional al campoaplicado, y se relacionan a travs de la expresin

donde0 es la permitividad dielctrica del vaco y es la permitividad dielctrica del medio material adquirida por elmedio material debido a la accin del campo.Supongamos ahora que incide una onda electromagntica sobre el tomo. Como el campo elctrico est oscilando enel tiempo, inducir deformaciones de la carga a la frecuencia del campo de la onda, es decir, la carga negativa oscilarrespecto a la carga positiva a la frecuencia de la onda:

En definitiva, el campo elctrico asociado a la onda acelerar las cargas negativas respecto de las positivasinduciendo un movimiento que, en primera aproximacin, podemos considerar que es un movimiento armnico simplea la frecuencia del campo de la onda. (La accin del campo magntico de la onda puede despreciarse ya que la fuerzadel campo B de la onda ser cveces ms pequea).

Por otra parte, sabemos que una carga acelerada emiteradiacin electromagntica. En el tema anterior demostramosque el campo radiado a largas distancias por una carga

acelerada vena dado por

Este campo es: Proporcional a la aceleracin de la carga (d2r/dt2). Inversamente proporcional a la distancia R. La direccin y sentido de E vienen dados por

+-

--

-

--

+

-

--

-

--

( ) ( )

=

2

2

2

'

4,

dt

trdss

Rc

qtRE

o

eo

r))rr

( )[ ]'trss &&r))

ko

x

y

z

me

N

qe

Q

s

Rp

k

zNeV

zenP ==

EL

Pp

EP )(0

=


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o El tiempo t es t=t- R/c, lo que indica que el campo en un instante t, depende del estado de movimientode la carga en el instante retardado t por una cantidad que es lo que tarda la onda en recorrer ladistancia R.

En la figura se muestran las lneas de campo elctrico radiadopor un dipolo elctrico que oscila en la direccin vertical.Obsrvese que el campo es nulo en la direccin de oscilacindel dipolo.Con estas ideas en mente, podemos hacernos una imagen delo que sucede cuando una onda electromagntica interaccionacon los tomos de un medio material:

El campo elctrico de la onda incidente forzar a oscilara los electrones de cada tomo.

Estos electrones acelerados radiarn nuevas ondaselectromagnticas de la misma frecuencia que la ondaincidente

Estas ondas se superpondrn unas con otras

El resultado de esta superposicin de ondas radiadas en todas las direcciones, depender fuertemente, como en todofenmeno interferencial, de la diferencia de fase relativa entre cada par de ondas. Por ello cabe esperar que la ondaresultante final dependa

del tipo de medio material (hidrgeno, oxgeno, vidrio, etc), ya que dependiendo de la relacin entre lafrecuencia de la onda y la frecuencia natural del material, la onda reemitida estar o no en fase con la ondaincidente.

del estado de agregacin del medio material (slido, liquido, gas).

Todo ello da lugar a diferentes fenmenos pticos como los de esparcimiento Rayleigh, reflexin, refraccinyabsorcin, que estudiaremos con ms detalle ms adelante.


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3.5 Modelo de Lorentz.Vamos ahora a dar forma matemtica a todas estas ideas que venimos comentando. Lo primero que tenemos queaveriguar es el tipo de movimiento que experimenta el electrn ligado al ncleo cuando acta sobre l el campo de laonda electromagntica incidente. Una vez conocida la ecuacin de este movimiento podremos calcular el campo

radiado por el electrn acelerado y finalmente sumar todas los campos radiados por el resto de los electrones. Paraello, supongamos que sobre el tomo, incide una onda electromagntica, que supondremos polarizada segn el eje Zpor simplicidad. El modelo de Lorentz consiste en caracterizar el tomo como un oscilador de frecuencia natural 0, esdecir, el electrn, de masa mey carga e,se encuentra ligado al ncleo a travs de una fuerza de tipo elstico que yahemos calculado ms arriba y que vale

Por otra parte, el campo de la onda electromagnticaincidente, de frecuencia , ejercer una fuerza sobre elelectrn dada por

Si slo considersemos estas dos fuerzas, estaramosolvidando un hecho importante: el tomo, acelerado porestas dos fuerzas emite a su vez radiacinelectromagntica por lo que est perdiendo energa. Unamanera de incorporar este proceso en nuestro modeloconsiste en imaginar una cierta fuerza de rozamiento quetenga en cuenta estas prdidas (vase el apndice).

Podemos suponer que esta fuerza ser tanto mayor cuanto ms deprisa se mueva el electrn. Por ello introduciremos

una tercera fuerza proporcional a la velocidad, del tipo

donde es una constate que tiene dimensiones de frecuencia y que es proporcional a la rapidez con la que el tomopierde energa en forma de radiacin. Esta constante depende del tipo de tomo y en tomos libres es del orden deunos 10-8s-1. As pues la ecuacin de movimiento del electrn se obtendr aplicando la ley de Newton

es decir,

Podemos pensar que para tiempos grandes comparados con 1, el electrn acabe oscilando a la frecuencia delcampo. Por ello, probaremos una solucin de la forma

td

tzdmF

2

2)(

= r

zmFe

2

0=

vmFr =

tieeEFext 0=

tiAetz =)(

tiedt

tzdmtzm

dt

tzdm 0

202

2

eE)(

)()(

+=

E

ko

x

y

me

N

qe

Q

s

Rp

k

m, eE


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siendo A una constante que deberemos determinar introduciendo z(t) en la ecuacin de movimiento. El resultado es

Evidentemente, obtenemos una solucin compleja porque hemos utilizado la expresin compleja en el campo de la

onda. Pero slo la parte real tiene significado fsico. Esta vale,

El resultado es interesante. El electrn del tomo efecta oscilaciones armnicas a la frecuencia del campo,

perono lo hace en fase con el campo, sino desfasado respecto de ste una cantidad dada por .Adems, y esto tendrimportantes consecuencias, la amplitud de las oscilaciones del electrn depende fuertemente de la relacin entre lasfrecuencias del campo y la frecuencia de resonancia del tomo. En las figuras representamos el valor de la amplitud yde la fase en funcin de la frecuencia de la onda incidente. Es interesante notar que la amplitud de las oscilaciones sehace mxima cuando la frecuencia de la onda electromagntica que incide sobre el tomo coincide con la frecuencianatural de este. Adems si =0, entonces el movimiento del electrn est desfasado /2, respecto del campoincidente. Por otra parte, cuando la frecuencia de la onda esta muy alejada de la frecuencia de resonancia, la fase, tiende a cero.

( ) tie

im

eEtz

im

EeA

eoe

o

+=

+

=

220

022

)(1

( ) ( )( )

+= t

m

eEtz

e

Rcos)(

2222

0

0

22

0

tan

=

A


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Queremos resaltar adems un hecho importante que ocurre en resonancia. Ya hemos visto que en este caso, laamplitud de oscilacin del electrn ligado alcanza el valor mximo. Vamos a ver que en este caso, la potenciatransferida PT por la onda al electrn en un periodo de oscilacines tambin mxima:

Se puede ver que la potencia transferida por la onda al electrn es mxima si =/2, esto es en resonancia (=0).En este caso la onda pierde su energa conforme avanza dentro del material dado que el proceso de transferencia deenerga es muy eficiente. Ello explica, el fenmeno de la absorcin resonante.

( ) ( )

( )

+

===T

Te

T

T

T

T

T dttsenT

m

eEdteE

TrdF

TP

2

1)(v

2

1

2

1

2222

0

2

0rr

( ) ( )

sen

m

eEP

e

T2222

0

20

2

)(

+

=


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3.5.1 Esparcimiento Rayleigh.El fenmeno del esparcimiento aparece en medios muy diluidos, porejemplo en la atmsfera. Sobre las molculas de oxgeno y nitrgeno,

entre otras, inciden las ondas electromagnticas que enva el sol, dediferente frecuencia, desde el violeta hasta el rojo. Cada molcula oscilaindependientemente de las dems y reemite ondas electromagnticas entodas las frecuencias. Como no hay relacin de fase entre unasemisiones y otras, la intensidad ser la suma de las intensidades. Nohay ningn tipo de interferencia. Por otra parte, en la atmsfera (O2,H2,) se esparcen fuertemente las radiaciones de longitud de ondacorta, violetas y azules. Despus de atravesar la atmsfera, llegarhasta nosotros, preferentemente las radiaciones del amarillo al rojo. Porello, al mirar en la direccin del sol, se ve de color amarillo y en otrasdirecciones se ve azulado. Asimismo, al amanecer o atardecer se verojiza la lnea del horizonte. En este caso, la capa atmosfrica que ha deatravesar la luz del sol hasta nosotros es mucho mayor que durante elmedioda, por lo que el azul ha sido esparcido antes de que llegue anosotros.

Vamos a tratar de explicar estos fenmenos con el modelo de Lorentz. En efecto, supongamos que las separacinentre los tomos (d ij)es muy grande comparada con la longitud de onda de la radiacin, es decir,


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frecuencia que el campo incidente y con una amplitud y fase que dependen esencialmente de la relacin entre lafrecuencia del campo y la frecuencia natural del tomo.La potencia radiada en todas las direcciones se puede obtener de la expresin calculada en el tema anterior sin msque sustituir all z0, que representaba el valor de la amplitud de un movimiento armnico simple, por la expresin quehemos obtenido aqu resolviendo la ecuacin de Newton para el electrn. El resultado es

Supongamos ahora que tenemos un medio material en el que lasseparacin entre los tomos es muy grande comparada con la longitud deonda de la radiacin, es decir,


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Las molculas de hidrgeno y oxgeno que constituyen la atmsfera, presentan frecuencias de resonancia (0) en elultravioleta, como hemos demostrado al principio de este tema. Por lo tanto, la expresin anterior confirma que lasfrecuencias () de la onda incidente ms cercanas al ultravioleta son los violetas y azules. Por lo tanto se esparcirnms que los rojos, es decir

donde y Rindican las frecuencia del azul y el rojo respectivamente.

El esparcimiento Rayleigh se da en muchos sistemas fsicos. Por ejemplo, las impurezas presentes en una fibra pticaesparcen la radiacin confinada por lo que aumentas las prdidas de la seal ptica. La presencia de partculas ensuspensin en el agua hace que sta pierda su transparencia y presente un aspecto turbio.En general, cuando un medio material tiene impurezas o defectos que alteran el ordenamiento atmico o rompen lasimetra atmica o molecular, esparce luz en muchas direcciones, perdiendo su transparencia. Esto es lo que ocurrecuando en el cristalino del ojo cuando aparece una catarata incipiente. En la figura se ve un corte histolgico de un

cristalino sano. Los puntos negros son cotes de fibras de colgeno, y se puede ver que la distribucin es ms o menosuniforme. Este cristalino no esparce luz sino que la refracta, produciendo en la retina una imagen muy contrastada.

Por el contrario, en la imagen inferior se muestra un cristalino con cataratas incipientes. Se nota por la aparicin debolsas o zonas de endurecimiento del colgeno formando verdaderas balsas. Esto rompe la uniformidad que anteshaba en los centros dispersores y que permita cancelar toda la radiacin en otras direcciones que no fuera en la de laonda refractada. Cada balsa se convierte en un centro de esparcimiento que enva luz en todas las direcciones. En laretina tendremos la imagen rodeada ahora de un fondo de luz esparcida por las cataratas. El contraste de la imagendisminuye considerablemente y con ello la agudeza visual. Este efecto ser ms acentuado para las radiacionesazules. Por ello, si colocamos una gafa que absorba las componentes azules de la luz incidente mejorar el contrasteen la retina.

Objeto

Imagenen retina

Cristalino

Objeto

Imagenen retina

Cristalino

Centrosdispersores

( ) ( ) ( ) ( )22220

4

22220

4

+>>

+R

R

A

A


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3.5.2 Reflexin y refraccinLas cosas cambian sustancialmente cuando el medio material sobre el que incide la onda electromagntica tiene alta

densidad y los tomos relativamente ordenados. En este caso, dependiendo de que la frecuencia de la onda incidente est cerca o alejada de la frecuencia deresonancia de los tomos delmaterial,0, la onda incidente serrefractada o absorbida. Para analizarcualitativamente estos fenmenos,pensemos en una situacin muy ideal en laque los tomos de un cierto slido ocupanlos vrtices de un cubo (esto ocurre ensistemas que cristalizan en el sistema cbicocomo el cloruro sdico). Supongamos

adems que la separacin entre los tomoses de /2. Tal como se indica en la figura,sobre este slido incide una ondaelectromagntica polarizada en la direccinhorizontal. Esta onda pondr a oscilar a loselectrones de cada tomo de la cara deentrada, en la direccin horizontal y cadauno de ellos emitir una nueva onda e.m

dada por:

Si


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en este caso coincide con la direccin de vibracin del campo incidente.En conclusin, slo existe una onda en la direccin de la onda incidente. Esta onda se denomina onda refractada. Laradiacin emitida hacia atrs es responsable de la onda reflejada. Debe quedar claro con este sencillo pero ilustrativoejemplo, que el resultado obtenido descansa en:

Fuerte empaquetamiento atmico, con distancias interatmicas menores que . Orden en la distribucin atmica. Interferencia constructiva en la direccin de la onda incidente y destructiva en otras direcciones. Propiedades de la emisin del dipolo atmico, que hace nula la emisin en la direccin de vibracin de la onda

incidente.

Podemos estimar la densidad que tiene un medio como el que hemos descrito. En este sencillo ejemplo, la densidadnecesaria para que estos fenmenos tengan lugar, sera de 8 tomos o molculas en un volumendel orden 4/3(/2)3. Para la longitud de onda del visible, = 0.5 m, se tiene

Vemos pues, que con nuestro modelo elemental podemos explicar el origen de la onda refractada como resultado de lainterferencia destructiva en todas las direcciones menos en una, la de la onda refractada y la de la onda reflejada. Enejemplo anterior, la incidencia era normal a la superficie y por lo tanto la onda refractada tambin emerge en la mismadireccin. Si la incidencia no es normal, la onda refractada emerge formando un ngulo con la normal dado por la ley

de Snell. Pero si incide luz blanca, la cual est constituida por radiaciones de diferente frecuencia, aparece unfenmeno interesante y bien conocido que es el de la dispersin cromtica: la luz refractada se compone de diferentesondas refractadas, cada una de un color, las cuales se desvan un ngulo ligeramente diferente. La ptica geomtricaacomoda este hecho indicando que el material presenta un ndice de refraccin diferente para cada color, esto es, elndice de refraccin depende de la frecuencia del haz incidente: n = n( ), o lo que es lo mismo, n = n( ).

En los vidrios pticos, o en los lquidos transparentes al visible, el ndice de refraccin en la zona de transparencia delmaterial, disminuye con la frecuencia de la radiacin incidente. En la figura se muestra la evolucin tpica del ndice derefraccin del agua con la longitud de onda de la luz incidente. Vemos que el ndice de refraccin para el violeta es

( )317

3/x105

2/4

8cmatomos==


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mayor que para el rojo. Una expresin aproximada del comportamiento mostrado y que va bien para los vidrios pticosen la zona de transparencia, es la ley emprica debida a Cauchy

donde A y B son constantes que dependen del tipo de material.A la luz de todo ello podemos analizar ahora por qu muchas estructuras son transparentes a cierta radiacin. Porejemplo, un caso de inters para nosotros lo representa la estructura de la crnea. En efecto, una cornea normal estransparente al visible, y gracias a ello podemos ver. Sin embargo si se produce un edema o inflamacin de la crnea,su transparencia se ve seriamente comprometida. La razn de todo ello se basa, por un lado en las frecuencias deresonancia de las molculas que constituyen el tejido del estroma corneal y por otro, en la distribucin espacial deestas. En la fotografa de la izquierda, tomada con un microscopio electrnico, se muestra la imagen de un cortehistolgico de una crnea sana. Est constituida, en su mayor parte, por una ubicua protena, el colgeno, que formafibrilas del mismo tamao, de unos 31 nm de dimetro yque estn regularmente espaciadas unas de otras unadistancia reaproximadamente unos 62 nm.

Cada fibrilla esparce luz en todas las direcciones pero, debido al elevado empaquetamiento, con distancias diez vecesms pequeas que la longitud de onda del visible, se produce interferencia destructiva en todas las direcciones exceptoen la de la direccin de la onda incidente. Sin embargo, si se ha producido un edema corneal, entonces se introducedesorden en la distribucin de las fibras, tal como aparece en la micrografa de ms abajo. En efecto, se haextravasado lquido yse han formado lagos microscpicos distribuidos de forma aleatoria. Ahora ya no se puedecancelar la radiacin emitida por cada fibrilla con la luz esparcida por las dems debido a la aparicin de desorden. Elresultado es que se esparce luz en todas las direcciones. Con ello, disminuye notablemente la transparencia. Se puedeobservar como se esparce la luz azul de una lmpara de hendidura que ilumina una crnea que ha sufrido un edema.

( )2

B

An +=

62 nm

31 nm


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Podemos ahora preguntarnos por el origen fsico de la dependencia de la velocidad de propagacin con la frecuenciade la radiacin incidente. El modelo que hemos desarrollado al principio nos puede dar alguna razn de ello. En efecto,como se recordar, los tomos de cada medio material se caracterizan por tener una frecuencia natural de oscilacin.Cuando incide sobre el una onda electromagntica de frecuencia , la onda reemitida por el tomo es de la mismafrecuencia, pero la amplitud y la fase de esta onda depender de la relacin entre la frecuencia de la radiacin y la

frecuencia natural. Por lo tanto, si sobre el tomo inciden a la vez radiaciones con diferente frecuencia o longitud deonda, la fase de la cada onda reemitida ser diferente y al superponerse con las dems ondas emitidas por los demstomos dar una onda resultante de fase y amplitud diferente para cada color. Si la fase resultante para el color rojo esdiferente que la fase resultante para el azul, ello quiere decir, que una onda se habr retrasado respecto de otra. Estoes, se habr propagado dentro del material a diferente velocidad.Vamos a ver como el modelo de Lorentz nos permite explicar esta dependencia del ndice de refraccin con lafrecuencia de la onda incidente sobre un material. En efecto, el ndice de refraccin de un medio material se definecomo el cociente entre la velocidad de la luz en el vaco y la velocidad en el medio material:

La velocidad de la luz en el vaco es

mientras que en un medio material cuya vale

Por lo tanto, el ndice de refraccin vale

Por otra parte, sabemos que la polarizacin inducida en un medio material depende linealmente del campo aplicado atravs de

Hemos obtenido anteriormente el desplazamiento inducido por el campo sobre un tomo:

con lo que la polarizacin media inducida por la onda incidente ser

Comparando las dos expresiones para P, se puede obtener inmediatamente la permitividad de medio material:

Y teniendo en cuenta la definicin del ndice de refraccin, se llega a

v

cn =

00

1=

c

0

1v =

EP )(0

=

000

0

v

===

cn

( )ti

eim

eEtz

e

+=

22

0

0)(

( ) Etie

im

EeNtzeNP

e

)()( 0220

02

=

+==

( )

im

eN

e+

+=22

0

2

0


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Acabamos de obtener una expresin para el ndice de refraccin en funcin de parmetros fsicos del medio material.En particular, depende de la densidad N, y de la relacin entre la frecuencia de la onda incidente y la frecuencia deresonancia del material, lo que explica el fenmeno de la dispersin. La expresin obtenida es compleja y enseguidaveremos el significado fsico de la parte real e imaginaria del ndice de refraccin complejo. Antes de ello, hemosrepresentado en la figura las partes real e imaginaria en funcin de la frecuencia de la onda incidente:

Se puede observar que la parte imaginaria slo toma valores apreciable cerca de la frecuencia de resonancia 0. Paravalores alejados de la frecuencia de resonancia, la parte real crece con la frecuencia. En el caso considerado, lafrecuencia de resonancia se ha escogido en el ultravioleta, por lo que el espectro visible queda a la izquierda. La partereal del ndice de refraccin es mayor para el azul que para el rojo.Veamos ahora algunas consecuencias para la propagacin de la onda. Supongamos ahora que sobre el medio

material cuyo ndice de refraccin conocemos, incide una onda tal como se muestra en la figura de ms abajo.

La onda dentro del medio, (si despreciamos prdidas por reflexin), se obtendr sin ms que cambiar el vector depropagacin de la onda en el vaco k, por kn, es decir

o bien

( ) IRenin

im

eNn =

+

+=

220

0

22 1

1

( )22222

0

220

0

2

)(

)(

21

+

+

m

NenR

( )22222

00

2

)(2

+

m

NenI

kyknti

eykn

e RI EEoM

=

r

kyinnkti

e IR )(

EEoM

=

r

3

-4

-

1

2

46

8

10

x 1015

x-

(s

-3.5 4 4.5 5

)1('

)1(''

nR

nI

( ) ( ) )( IR ninn =kkyti

eEE

oI

=

r

kyinnkti

e IR )(

EEoM

r


21/39

a 21

El significado es claro: dentro del medio material, la onda se propaga a la velocidad de fase que depende de la partereal del ndice de refraccin,

mientras que su amplitud va disminuyendo exponencialmente a medida que se propaga en el medio a un ritmo quedepende de la parte compleja del ndice de refraccin. Despus de recorrer una distancia y, la irradiancia de la ondavaldr:

donde

representa la constante de absorcindel material.

Si


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a 22

o bien

que justifica la ley emprica de Cauchy para vidrios pticos en el visible. A continuacin se dan los ndices derefraccin en el amarillo y el rojo as como la dispersin cromtica, para vidrios pticos tpicos.

Tipo de vidrio nd nF-nC nC

BK1 1.51009 0.008038 1.50763BK7 1.51680 0.008054 1.51432SK4 1.61272 0.010451 1.60954F2 1.62004 0.017050 1.61503F4 1.61659 0.016834 1.61164

SF6 1.80518 0.031660 1.79609

Si por el contrario, 0, la constante de absorcin toma valores elevados y la onda se amortigua a su paso a travsdel medio. As pues, la parte real del ndice complejo de refraccin est asociado a la refraccin de la onda, mientrasque la parte imaginaria da cuenta de la absorcin de la onda por parte del medio material. Analizaremos la absorcinen la siguiente seccin.

( )24

00

222

200

2

20

2

200

2

20

220

0

2 1

2

4

21)1(

21

)1(

1

21

m

Nec

m

Ne

m

Ne

m

NenR ++=++

+


23/39

a 23

3.5.3 Absorcin.Cuando la frecuencia de la onda electromagntica que incide en un material, coincide o es prxima a la frecuencia deresonancia de los tomos o molculas del material, la onda es fuertemente absorbida ya que la transferencia de

energa de la onda al electrn ligado es muy

efectiva. Basta entonces que la onda penetreen el material unas cuantas longitudes deonda para que la onda vaya debilitndosehasta extinguirse. En la figura, un haz de luzblanca pasa a travs de un reservorio quecontiene un cierto gas. La luz transmitida sehace pasar a travs de un prisma. En elespectro transmitido se observan ladesaparicin de ciertas frecuencias (lneasnegras). Ello prueba que las radiaciones deestas frecuencias han sido absorbidas por elmaterial. Nuestro modelo permite entendercualitativamente este proceso. Para ello

debemos considerar que adems de la fuerza elstica entre el electrn ligado y el ncleo, existen fuerzas entre losiones atmicos. Estas fuerzas las podemos representar por osciladores elsticos pero con una constante recuperadoramucho menor que la de la fuerza que liga al electrn con el ncleo. Esto quiere decir que estos muelles inicostendrnfrecuencias de resonancia mucho ms bajas ( en el infrarrojo o en la regin de microondas) que las resonancias

electrnicas, tpicamente en el visible yultravioleta. Por ello, cuando incide unaonda electromagntica con frecuenciacercana a la resonancia electrnica, losmuelles inicos no se excitarn deforma resonante pero si lo harn losdipolos electrnicos, y adems lo harncon amplitud mxima y desfasado unosde otros. Por ello cabe esperar queesas grandes oscilaciones electrnicastransfieran parte de la energa a losmuelles inicos que se pondrn aoscilar. Es decir, la energa de la ondaincidente se transferir a la red delmedio material en forma de vibracionesde baja frecuencia. La energaelectromagntica se habr convertido

irreversiblemente en energa cintica delos iones vibrando en torno a suposicin de equilibrio. Se dice entonces,

que la onda ha sido absorbida.


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a 24

La onda dentro del medio, (si despreciamos prdidas por reflexin), se obtendr sin ms que cambiar el vector de

propagacin de la onda en el vaco k, por kn, es deciro bien

El significado es claro: dentro del medio material, la onda se propaga a la velocidad de fase que depende de la partereal del ndice de refraccin,

mientras que su amplitud va disminuyendo exponencialmente a medida que se propaga en el medio a un ritmo quedepende de la parte compleja del ndice de refraccin. Despus de recorrer una distancia y, la irradiancia de la ondavaldr:

donde

representa la constante de absorcindel material.

En la figura de la izquierda se muestra el espectro de transmisin de los diferentes medios oculares. Obsrvese cmoel cristalino absorbe el ultravioleta por encima debajo de 350 nm. En el visible todos los medios presentan una altatransmitancia. Por otra parte, en la figura de la derecha se muestra la absorbancia de diferentes pigmentos de la retina.La oxihemoglobina absorbe gran parte de la radiacin azul, por lo que se suele utilizar un lser de Argn que emite en476 nm para cauterizar vasos sanguneos. Tambin un lser de Krypton que emite en el amarillo, en 568 nm es muyabsorbido por la oxihemoglobina y la melanina.

Ar Kr

kyknti

eykn

e RI EE oM

=

r

yeI

ykneI I

=

ooM

2I

RR n

c

kn==

fv

2222

00

2

)(2

+=

m

NekknI

( ) ( ) )(IR

ninn =k

kytie EE

oI

=

r

kyinnkti

e IR )(

EEoM

r


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a 25

En la fotografa se muestra la accin de un lser de Arsobre los vasos sanguneos de una retina. Se puedenobservar los impactos del laser y la cauterizacin de

vasos.

Abajo se muestra la transmitancia de lentes tintadas.


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a 26

3.6 Interaccin con medios conductores.El modelo de Lorenzt tambin permite explicar algunas de las propiedades ms generales de la interaccin de unaonda con un medio conductor. Una de las caractersticas ms relevante de los medios conductores es la presencia decargas libres que pueden moverse en el conductor largas distancias. Por ello, estos materiales, como el cobre, el

aluminio, la plata, el oro, entre otros, pueden conducir la corriente elctrica. Podemos entonces imaginar que en unconductor, al contrario de lo que sucede en los medios dielctricos, los electrones susceptibles de moverse librementeno estn sometidos a fuerza restauradora alguna, es decir, la frecuencia de resonancia 0es nula. En este caso, elndice de refraccin se podr poner como

Ya que para frecuencias pticas


27/39

a 27

que da lugar a una frecuencia de plasma del orden de p= 8.9x1015radianes/s 0 bien p= 1.42x1015Hz. Estafrecuencia de plasma correspondera a la longitud de onda de una radiacin electromagntica de p= 212 nm. Porlo que es de esperar que los metales reflejen muy eficientemente el visible e infrarrojo. En la grfica adjunta semuestra la reflectancia de pelculas de oro, y la plata. Se puede observar cmo el oro transmite la regin verde delespectro visible mientras que la plata y el aluminio presentan una reflectancia casi unidad en el visible e infrarrojo.

La ionosfera de la tierra es una capa situada a altitudes por encima de 70 km y est formada de plasma ionizado, estoes partculas cargadas (iones, electrones). Su densidad vara segnsi el sol est iluminando o no una determinada zona de ella, ya que elnmero de ionizaciones, debido a la radiacin ultravioleta del sol,fundamentalmente, cambiar. En general, su densidad media es delorden de N = 1011tomos/m3, lo que da una frecuencia de plasma delorden de p= 1.78x107radianes/s o bien p= 2.84x106Hz. As, lasondas electromagnticas con frecuencias por debajo e 3 MHz, sernreflejadas por la ionosfera y se podrn usar para comunicar dospuntos de la tierra.


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a 28

3.7 Ecuaciones de Fresnel.En esta seccin vamos a analizar qu sucede cuando una onda electromagntica incide en la superficie de separacinde dos medios materiales, dielctricos e istropos. Cada uno de los medios est caracterizado por su ndice derefraccin y consideraremos que la frecuencia de la onda incidente est muy alejada de la frecuencia de resonancia de

los tomos o molculas del material. Por lo tanto ste es transparente y podemos despreciar la absorcin. Estamosinteresados en saber qu porcentaje de la irradiancia incidente se refleja y cul es el porcentaje que se transmite. Lasituacin fsica se muestra en la figura.

Los vectores de propagacin de la onda incidente,reflejada y transmitida son ki kr, y kt, respectivamente,y forman ngulos i, ryt, con la normal a la superficie,m.Estos ngulos satisfacen las leyes de la reflexin y de larefraccin:

Estas leyes establecen las direcciones de los vectores depropagacin de las ondas reflejada y refractada,respectivamente.

El plano que contiene a la normal a la superficie en elpunto de incidencia y al vector k i, se denominaplano deincidencia.Por otra parte, cada onda lleva asociado un campoelctrico que ser perpendicular a la direccin depropagacin. En lo que sigue descompondremos el

vector elctrico de la onda correspondiente en dos componentes perpendiculares entre s, una paralela al plano deincidencia y otra perpendicular. De esta forma, si el vector elctrico incidente EIforma un ngulo con el plano deincidencia, se podr poner

donde p y s se refieren a la componente paralela al plano de incidencia y la componente perpendicular,respectivamente.

ti

ri

sennsenn ti ==

senEE

EE

i

i

s

i

i

p

=

= cos

Plano de incidenciani

nt


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a 29

Las frmulas de Fresnel establecen la relacin entre las componentes paralela y perpendicular de los haces reflejado ytransmitido con las componentes respectivas de haz incidente. Comenzaremos por definir los coeficientes de reflexinparalelo y perpendicular:

Las frmulas de Fresnel relacionan adems estos coeficientes con los ngulos de incidencia y refraccin y los ndicesde los medios. En particular, los coeficientes de reflexin estn dados por:

En la figura se representa la variacin de loscoeficientes de reflexin respecto del ngulo deincidencia para un caso de incidencia del vaco a unvidrio de ndice nt = 1.5. Como puede verse, el coeficiente de reflexin perpendicular es siempre negativo, lo queindica que la componente perpendicular del campo en el haz reflejado tiene sentido opuesto a la componenteperpendicular del haz incidente, o lo que es lo mismo, ha experimentado un cambio de fase de . Por otra parte, existeun ngulo de incidencia p,para el cual, el coeficiente de reflexin paralelo se anula, como puede verse en la figura. Eneste caso, el campo reflejado carece de componente paralela, es decir est polarizado perpendicularmente al plano deincidencia. Podemos calcular ese ngulo, denominado ngulo de Brewster, a partir de la expresin de rp

Como adems se tienen que cumplir la ley de la refraccin

De las dos ecuaciones se llega a que

itti

tiit

i

p

r

p

pnn

nn

E

Er

coscos

coscos

+

=

=

ttii

ttii

i

s

rs

snn

nn

E

Er

coscos

coscos

+=

=

0-1

-0.5

0

0.5

1

/4 p

r

r

=

=

i

s

r

ss

ip

r

p

p

E

Er

E

Er

0coscos0 == tiitp nnr

ttii sennsenn =

i

tB

n

n=tan


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a 30

Para el caso de la figura

El campo reflejado tiene componenteperpendicular al plano de incidencia, y por lotanto la onda reflejada est totalmentepolarizada.

En la figura de abajo se muestra cmo se ve la luz reflejada por una superficie de agua si el observador mira a travsde un polarizador que, como veremos ms adelante, elimina la componente del campo que vibra en una ciertadireccin. Como la luz reflejada en ngulo de Brewster est totalmente polarizada, esta luz se podr eliminar sicolocamos el polarizador de tal manera que su eje de transmisin sea perpendicular a la direccin de vibracin. De estamanera se eliminan los reflejos y se aumenta el contraste.

06,561

5.1tan == BB

ki

kr

E ||i

E||r

plano deincidencia

i

r

E

i

Er

Vidrio(n)t

ni


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a 31

De igual modo se definen los coeficientes de transmisin paralelo y perpendicular :

Ejemplo. Calcular los coeficientes de reflexin y transmisin en incidencia normal desde el vaco a un mediode ndice n = 1.5.

En este caso = = 0. Por lo tanto, sustituyendo en la ecuaciones, se llega fcilmente a

=

=

i

s

t

ss

i

p

t

p

p

E

Et

E

Et

2.0

15.1

15.1

coscos

coscos=

+

=

+

=

+

=

=

ti

it

itti

tiit

i

p

r

p

p

nn

nn

nn

nn

E

Er

2.05.11

5.11

coscos

coscos=

+

=+

=+

=

=

ti

ti

ttii

ttii

i

s

rs

snn

nn

nn

nn

E

Er

itti

ii

i

p

t

p

pnn

n

E

Et

coscos

cos2

+

==

ttii

ii

i

s

t

s

snn

n

E

Et

coscos

cos2

+

==

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 /4

t

t

96.02

=+

==ti

i

i

p

t

p

pnn

n

E

Et 96.0

2=

+==

ti

i

i

s

t

ss

nn

n

E

Et


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a 32

3.7.1. Reflectancia y transmitancia.Los coeficientes de Fresnel nos permiten obtener una magnitud de mayor inters desde un punto de vista prctico,como es conocer el porcentaje de irradiancia que se refleja o se transmite cuando un haz incide sobre un mediodielctrico. En efecto, supongamos la situacin de la figura en la que un haz de irradiancia Ii y seccin transversal Ai ,

incide sobre la superficie de separacin de dos medios materiales:

Si no hay absorcin, la potencia incidente del hazse reparte entre el haz reflejado y el haztransmitido:

En trminos de las irradiancias de cada haz,

Como

Si dividimos la igualdad entre IiAi, se obtiene

Definimos la Reflectancia (R) y la transmitancia (T) del haz como el cociente entre la irradiancia del haz reflejado y delhaz transmitido respecto de la irradiancia del haz incidente en la direccin normal a la superficie de separacin:respectivamente

y, evidentemente, se cumple que R+T=1.

Ai

A

tri PPP +=

ttrrii AIAIAI +=

i

t

i

t

ri

A

A

AA

cos

cos=

=

ii

tt

i

r

I

IT

I

IR

cos

cos==

ii

tt

i

r

ii

tt

i

r

I

I

I

I

AI

AI

I

I

cos

cos1 +=+=


33/39

a 33

Estas cantidades son de sumo inters y en lo que sigue, vamos a obtenerlas en funcin de los coeficientes deFresnel, con lo que podremos calcularlas a partir de los ndices de los medios y los ngulos de incidencia y refraccin.

Es decir,

En la figura se muestra la Reflectancia en funcin del ngulo de incidencia sobre el material. Puede verse claramentecomo la Reflectancia aumenta a medida que lo hace el ngulo de incidencia.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 /4

R

R

p

2

2

2

2

2

2

2

0

22

2

00

2

00cos sen

E

E

E

E

E

EE

Ec

Ec

I

IR

is

r

s

ip

r

p

i

r

s

r

p

i

r

i

r +=+

===

2222 cos senrrR sp +=


34/39

a 34

Por otro lado, la transmitancia podr ponerse como

+=

+===

22

2

2

2

2

2

0

22

2

00

2

00cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cossen

E

E

E

E

n

n

E

EE

n

n

Enc

Enc

I

IT

i

s

t

s

i

p

t

p

ii

tt

i

t

s

t

p

ii

tt

i

i

i

t

r

t

ii

tt

[ ]

2222 coscos

cossentt

n

nT sp

ii

tt +=

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 /4

T

T


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a 35

Ejemplo. Estimar la transmitancia, en incidencia normal de una lente oftlmica de ndice de refraccin n = 1.5.En el ejemplo anterior obtuvimos los coeficientes de transmisin de aire a vidrio

La transmitancia en la primera cara ser

La transmitancia en la segunda cara (ahora la luz pasa del vidrio al aire)

La transmitancia total ser el producto de las transmitancias:

Se transmite el 92 por ciento de la irradiancia incidente.

pA

ttii

iisA tnnn

nt ==+=+ = 96.01 2coscos cos2

pB

ttii

iis

B tn

n

nn

nt ==

+=

+

= 2.11

2

coscos

cos2

[ ]

+=+=

2

)()(1cos

cos

cos22

2222

2

B

s

B

p

sp

ii

tt tt

nsentt

n

nT

[ ]

+=+=

2

)()(

1cos

cos

cos22

2222

1

A

s

A

p

sp

ii

tt ttnsentt

n

nT

92.01

2

1

2

2

)()(

2

)()( 222222

21 =

+

+=

+

+

== nn

n

tttt

TTT

B

s

B

p

A

s

A

p

A B


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a 36


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a 37

APENDICE 3.1 Deduccin de las ecuaciones de Fresnel.


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a 38


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traba de materiales

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