Universidad Nacional Experimental

Francisco de Miranda

rea Ciencia de la Salud

Programa Ingeniera Biomdica

Unidad Curricular Introduccin a la Ingeniera Biomdica

MODELOS MATEMATICOS

T.S.U.:

Casaa, Luis

C.I: 19.511.019

INTRODUCCION

El modelo es la forma que utiliza el ser humano para realizar una

referencia o imitar la realidad, as poder entender y explicar de esta

manera fenmenos que guardan cierta relacin. Desde hace muchos

aos los modelos matemticos se han considerado una forma ms simple

de estudiar sistemas biolgicos, as como desde el inicio de la teora de

Fibonacci de crecimiento de poblaciones de conejos, a la teora del caos.

Los sistemas biolgicos son una clase muy particular de sistemas fsicos

que presentan gran complejidad en sus diversos niveles, es casi

imposible realizar todas las mediciones deseadas para el estudio y

muchas veces los sistemas dinmicos deben ser considerados como

estticos, y los no lineales como lineales.

La rpida actualizacin del software matemtico a que los modelos

sean ms utilizados, debido a que pueden realizarse de una manera fcil

para el diseador. Es importante mencionar que un modelo matemtico

no es completamente exacto con problemas de la vida real, de hecho, se

trata de una idealizacin. De acuerdo a la proveniencia de la informacin

en que se basa el modelo, podemos distinguir entre modelo heurstico,

que se apoya en las definiciones de las causas o los mecanismos

naturales que originan el fenmeno en cuestin, y modelo emprico,

enfocado en el estudio de los resultados de la experimentacin. En el

siguiente trabajo se explica el modo de realizacin de un modelo

matemtico, as como su clasificacin y utilizacin en las ciencias

biomdicas.

MODELOS MATEMATICOS

Un Modelo Matemtico se define como una descripcin desde el

punto de vista de las matemticas de un hecho o fenmeno del mundo

real, desde el tamao de la poblacin, hasta fenmenos fsicos como la

velocidad, aceleracin o densidad. El objetivo del modelo es entender

ampliamente el fenmeno y tal vez predecir su comportamiento en el

futuro [1]. En ciencias aplicadas, un modelo matemtico es uno de los

tipos de modelos cientficos que emplea algn tipo de formulismo

matemtico para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de

hechos, variables, parmetros, entidades y relaciones entre variables y/o

entidades u operaciones para estudiar comportamientos de sistemas

complejos ante situaciones difciles de observar en la realidad.

El desarrollo de las computadoras ha sido impulsador del modelaje

matemtico y la simulacin computacional, ya que todo lo que se puede

concebir se puede modelar en un corto periodo de tiempo. Esto hace del

modelaje y la simulacin una parte inseparable e importante de las

ciencias biomdicas.

En la medicina se realizan modelos clnicos o artculos de estudios,

modelos moleculares donde se indica la interaccin de molculas, redes

neurales, ecuaciones estructurales que son mediciones clnicas que

representan algo como la medicin de la masa corporal, recopilando una

versin simplificada de la realidad.

El proceso para elaborar un modelo matemtico es el siguiente:

o Encontrar un problema del mundo real.

o Formular un modelo matemtico acerca del problema, identificando

variables (dependientes e independientes) y estableciendo

hiptesis lo suficientemente simples para tratarse de manera

matemtica.

o Aplicar los conocimientos matemticos que se posee para llegar a

conclusiones matemticas.

o Comparar los datos obtenidos como predicciones con datos reales.

Si los datos son diferentes, se reinicia el proceso.

o Es importante mencionar que un modelo matemtico no es

completamente exacto con problemas de la vida real, de hecho, se

trata de una idealizacin.

o Hay una gran cantidad de funciones que representan relaciones

observadas en el algebraicamente como grficamente.

Tericamente describe un objeto que existe fuera del campo de las

matemticas. Las previsiones del tiempo y los pronsticos econmicos,

por ejemplo, estn basados en modelos matemticos. Su xito o fracaso

depende de la precisin con la que se construya esta representacin

numrica, la fidelidad con la que se concreticen hechos y situaciones

naturales en forma de variables relacionadas entre s.

Bsicamente un modelo matemtico tiene 3 fases:

o La construccin, proceso en el que se convierte el objeto a

lenguaje matemtico.

o El anlisis o estudio del modelo confeccionado;

o La interpretacin de dicho anlisis, donde se aplican los resultados

del estudio al objeto del cual se parti.

MODELAJE DE UN SISTEMA

P (t) R (t)

S1 (t)

Sistema

Modelo

Matemtico

Algoritmo

de Ajuste

Criterio del

investigador

v

C (t)

E (t)

Sa (t)

I (t)

Para encontrar los parmetros ptimos del modelo matemtico y del

sistema fisiolgico ambos son excitados con la misma entrada I (t).

Las dos salidas S1 (t) y S (2), se comparan y la diferencia entre las

dos, la seal de error E (t), se usa para formar la funcin de criterio C

(t). El algoritmo de ajuste cambia iterativamente los valores de los

parmetros hasta que la funcin criterio es minimizada [1]. Se

pueden seguir los pasos apropiados para considerar el ruido R (t)

que introducen los aparatos de medida y las acciones de otros

sistemas P (t).

Parmetro

De Ajuste A (t)

MODELAJE DE SISTEMAS BIOMEDICOS

En las ciencias biomdicas el propsito de la investigacin es

comprender las funciones del cuerpo humano, en conjunto a la

investigacin surgen problemticas donde se evala si esta puede ser

probada en seres humanos, si afectara al sistema biolgico o no. En estos

casos es utilizado un modelo animal donde la seleccin de la especie

depende de la naturaleza del estudio y de la capacidad del modelo para

dar la informacin requerida. Estos modelos se utilizan frecuentemente

con la finalidad de extrapolar los resultados al comportamiento humano.

En el modelo animal, existe la preparacin in vitro en la cual parte de un

organismo se estudia bajo condicin artificial [1], una de sus ventajas es

que se tiene la posibilidad de usar tcnicas experimentales como el

registro con microelectrodos intracelulares. Una desventaja, es la

separacin del rgano o tejido de sus interacciones con otras partes del

cuerpo.

Figura 1: Ejemplo de modelo animal.

Sin embargo, an en estos modelos, es casi imposible realizar

todas las medidas deseadas y tambin es muy difcil simular en un

modelo fsico todos los detalles de un sistema biolgico. Muchas

situaciones muy distintas, como pueden ser la actividad cerebral, el

electrocardiograma, la dinmica de poblaciones, el desarrollo embrionario,

la evolucin de las enfermedades, son escenarios muy difciles de

modelar a travs de modelos elementales. Sin embargo, podemos realizar

las simplificaciones convenientes que expliquen parcialmente el

comportamiento del sistema o bien aplicar unas nuevas herramientas

matemticas, como es el uso de la geometra fractal, para explicar la

variabilidad de la frecuencia del corazn (Ver figura 2).

Figura 2: Estructura general E-S de un sistema [2].

La mayora de los sistemas biolgicos no pueden estudiarse

formalmente en forma directa, por ello es necesario extraer del sistema

real, sus caractersticas ms importantes.

Tal extraccin se denomina abstraccin, reduccin o modelo de la

realidad. El proceso del modelaje no es lineal sino recursivo e iterativo, en

la mayora de los casos. Este proceso se puede describir como un

sistema de retroalimentacin negativa [1], cuando el resultado de la

comparacin genera una seal de error pequea, Montero y Morn (Op.

Cit, p. 213) sostienen que:

Las mismas hiptesis de partida y los mecanismos postulados nos dan

informacin de la naturaleza y el porqu del comportamiento del sistema en

estudio. Evidentemente, esto representa un conocimiento mayor de dicho sistema,

de ah el planteamiento de la modelizacin como va de acceso al conocimiento

de la realidad.

Figura 3: Retroalimentacin Negativa [2].

OBJETIVOS DE UN MODELO MATEMATICO

Segn el objetivo del modelo, podemos describir lo siguiente:

1) Alcanzar una mejor comprensin de dichos sistemas.

2) Formular cuantitativamente los fenmenos.

3) Predecir el comportamiento del sistema sobre la base de pocos

parmetros.

4) Seleccionar adecuadamente suposiciones simplificadoras que no

distorsionen los resultados del montaje.

H

Gd+

-

X Y

REQUISITOS DEL MODELO MATEMATICO

1) Usar trminos de parmetros significativos y mensurables en el

sistema fisiolgico.

2) Tener informacin completa sobre el sistema fisiolgico a modelar.

3) Debe ser simple para evaluar de manera fcil el comportamiento e

influencia de los componentes individuales.

4) Permitir alteraciones en las suposiciones y parmetros del sistema.

5) Debe manipularse ms fcil que el sistema fisiolgico.

6) Debe servir como gua para el investigador.

7) Debe tener capacidad de prediccin.

8) Debe ser un sustituto del sistema real.

TIPOS DE MODELOS MATEMATICOS

Los modelos matemticos se pueden clasificar, atendiendo a

diversos criterios:

1) Segn el grado de profundidad con que se contempla el sistema.

a) De simulacin directa: presentan el comportamiento del

sistema como un todo, sin entrar en detalles (sin fijarse en

mecanismos particulares de las partes).

b) De enfoque sistmico: llamados tambin casuales, mantiene

la presentacin del comportamiento como un todo pero

considera la interaccin y evolucin de las partes.

c) De anlisis cintico: se basan en las ecuaciones de

evaluacin de las partes.

Figura 4: Tipos de Modelos.

PRUEBAS DEL MODELO MATEMATICO (SIMULACION)

La simulacin es la operacin de un modelo con el propsito de

validarlo y comprender las variaciones que ocurrirn en el sistema cuando

se modifiquen uno o ms parmetros. Se confrontan los resultados con

los obtenidos por la experimentacin con el sistema real con la utilizacin

de simulaciones computacionales con el modelo matemtico.

Computador analgico. Simulacin analgica.

Las variables de entrada u operandos (cantidades que van a ser

operadas o procesadas), son capaces de variar continuamente en ciertos

rangos, por esto, esta clase de mquinas se denomina mquinas de

modo continuo. Realmente, las variables de entrada pueden presentarse

en una forma discreta, pero esta discretitud no es de naturaleza

fundamental sino que depende del diseo de la mquina. La precisin de

las variables de entrada y de salidas es baja, lo cual restringe las

posibilidades de simulacin.

Un computador analgico es un arreglo conveniente de circuitos

electrnicos ms u panel de control que habilita al operador para

interconectarlos de tal manera que las relaciones cuantitativas entre ellos

son idnticas a las del sistema real que est siendo analizado. La

simulacin analgica es la operacin o puesta en marcha de un modelo

utilizando aquellos computadores analgicos que representan un anlogo

fsico.

Figura 5: Sensor detector de la seal Electromiografica, ejemplo de un

computador Analgico.

Computador digital. Simulacin digital.

Los computadores digitales son mquinas que representan en

notacin digital a las variables matemticas y las diversas operaciones

con esas variables se realizan por medio de operaciones matemticas

entre dgitos.

Computadores hbridos.

Estos computadores poseen caractersticas de los dos anteriores.

Estn constituidos por un computador digital que procesa informacin

analgica por lo cual usa tarjetas convertidoras (interfaces) analgicas-

digitales.

Computador

Digital

Conversin

Analgica-Digital

Sistema

Experimental

Sensor

Actuador

CONCLUSION

Muchas personas huyen de las matemticas estudiando otro tipo

de carrera pensando que no trabajaran con ellas, pero esto no es real

para todo se requiere de las matemticas y a partir de esto se generan

modelos que ayudan a entender mejor fenmenos existentes en la vida

cotidiana. Desde que el hombre aprendi a analizar cuenta y crea la

matemtica que hoy en da conocemos El hombre aprendi primero a

contar y luego escribir. En las ciencias Biomdicas es necesario crear

modelos y definirlos en forma matemtica para los diferentes diseos de

equipos mdicos, prtesis humanas, biomateriales, y procesamiento de

seales fisiolgicas as como para la el acondicionamiento y presentacin

de esta, los modelos como su nombre lo indica imita a la realidad mas no

es real, solo nos ayuda a estudiar y analizar de una manera ms sencilla

los sistemas biolgicos existentes en el cuerpo humano que durante el

transcurso del tiempo cambia, el modelo no es el modelo, siempre estar

actualizndose a mejor.

BIBLIOGRAFA

1. D` Alessandro Martnez, W. Bracamonte Barn y A. Sutil Rosas.

MODELOS MATEMTICOS EN LA INVESTIGACIN BIOMDICA.

2. Prof. Rafael Gonzlez. DIAPOSITIVAS. Introduccin a los Sistemas

de Medida.

3. Dr. Juan Carlos Lpez Alvarenga, Dr. Jos Antonio Garca Garca,

Dra. Mara Elena Romero Ibargengoitia. www.youtube.com.

Sesin General Modelos Matemticos Aplicados en la Medicina.

http://www.youtube.com/