Trayectorias en el espacio-tiempo de Schwarzschild

Líneas geodésicas de la métrica

Introducción Las ecuaciones geodésicas para una partícula prueba se

pueden obtener aplicando el método lagrangiano al principio variacional de

acción mínima

∫ ∫√| | ∫√|

|

donde es un parámetro afín de la curva geodésica (tiempo propio en el

caso de una geodésica temporal de una partícula material), el punto indica

la derivación total respecto a . Dada esta expresión definimos el

lagrangiano de la formulación lagrangiana en la forma

∫ √| |

Dado que es una cantidad no negativa, el proceso de minimización dará

el mismo resultado tanto para como para su cuadrado . Haciendo uso

de esto, podremos definir un nuevo lagrangiano, más sencillo de manejar,

que da lugar al mismo valor extremal de la acción para la geodésica dada,

solución de la ecuación de Euler-Lagrange correspondiente

(

)

Tenemos que tener en cuenta que realmente no hemos introducido un valor

concreto de la masa de la partícula prueba, aunque actuaría como una

mera constante de proporcionalidad , o incluso

, en analogía con el valor clásico

. Tomando este último valor, para la masa unitaria, el momento de la

partícula está dado por

Geodésicas para la métrica de Schwarzschild Partimos de la expresión

concreta del lagrangiano en este caso, con ⁄ ,

(

) (

)

donde

Realizando las ecuaciones de Euler-Lagrange, obtenemos el conjunto de

ecuaciones geodésicas para las cuatro coordenadas del sistema. Para la

variable temporal obtenemos

(

)

(

)

dado que

(

)

Para las tres coordenadas espaciales obtenemos

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

La conservación de las dos constantes se sigue del hecho que el

lagrangiano es independiente de y .

Analizando la ecuación para la variable angular , vemos que se satisface

idénticamente en cuando ⁄ , (que resulta ser el plano o plano

ecuatorial). Por tanto, en dicho plano está contenida una geodésica del

movimiento. Dada la simetría esférica espacial de la métrica, cualquier

geodésica puede localizarse, mediante una adecuación rotación, en este

plano ecuatorial. Por tanto, sin pérdida de generalidad, podemos reducir el

estudio al movimiento de aquellas partículas que se mueven en dicho

plano. En este caso, las ecuaciones de la geodésica se escriben

(

)

(

)

(

)

ecuaciones válidas para las geodésicas temporales y nulas, que admiten una

constante adicional que puede utilizarse en lugar de la ecuación para la

coordenada para simplificar el análisis. En particular, para la geodésica

temporal, al ser ,

el vector velocidad de la partícula, se satisface

mientras que para la geodésica nula

Antes de pasar a discutir los dos tipos de geodésicas, es importante

considerar el significado de las dos constantes . Si en un cierto suceso

un observador con velocidad observa una partícula que tiene momento ,

medirá una energía de la partícula dada por

Por ejemplo, si el observador está en reposo en el infinito, ,

tendremos

que es una cantidad conservada a lo largo de la trayectoria de la partícula.

Para la cantidad constante , comprobamos que es el momento angular en

torno al eje , por unidad de masa o para una masa unitaria.

Trayectorias de las partículas materiales

En este caso, las ecuaciones a resolver son, en el plano ecuatorial

(

)

(

) (

)

donde hemos sustituido la ecuación de la coordenada por la ecuación para

la norma de la velocidad , y hemos tomado el parámetro afín

como el tiempo propio . Sustituyendo la primera y la tercera ecuación en

la segunda obtenemos la ecuación de la energía para la coordenada

(

)

Confirmamos que en el infinito , con , tenemos el valor

correcto de la energía de la partícula

La ecuación de la órbita de la partícula en el plano del movimiento

⁄ , se obtiene directamente con el cambio

de la misma manera que el análisis newtoniano. Tomando además la

variable usual

obtenemos la ecuación de la órbita en la forma

(

)

Podemos dar un paso más eliminando el término dependiente de la energía,

derivando respecto a con el resultado

En la gravedad newtoniana se satisface la ecuación tomando , por lo

que el último término está ausente. Por otro lado en la relatividad general la

coordenada no representa la distancia desde el centro de coordenadas,

como en la física newtoniana. De los movimientos posibles de la partícula

prueba, son especialmente interesantes el movimiento radial y el

movimiento circular.

Movimiento radial En este tipo de movimiento, la coordenada es

constante, lo que implica que . Con esto, la ecuación de la energía

para la coordenada queda escrita en la forma

y derivando de nuevo respecto al tiempo, la ecuación de movimiento en la

dirección radial es

que tiene precisamente la misma forma que la ecuación correspondiente de

la gravedad newtoniana. No obstante, recordamos que no es la distancia

en la dirección radial, y además la derivación se realiza respecto al tiempo

propio, y no respecto al tiempo absoluto newtoniano.

Movimiento circular Para el movimiento circular en el plano ecuatorial

tenemos , y la ecuación de la órbita se reduce a

con la solución

( √

)

Potencial efectivo

Recordatorio newtoniano En la dinámica newtoniana la ecuación de

movimiento de una partícula de masa unidad en un potencial central se

escribe

donde es el potencial efectivo, y la energía total de la partícula.

Para una órbita alrededor de un cuerpo esférico de masa , el potencial

efectivo es

y como se muestra en la figura la presencia del potencial centrífugo

posibilita que la partícula tenga distintos tipos de órbita en función del

valor de la energía.

En particular, para la órbita circular la condición es ,

de forma que son posibles todas las posiciones radiales, en función del

valor de .

En la relatividad general, a partir de la ecuación de la energía para la

coordenada radial, se deduce que el potencial efectivo para una masa

unidad está dado por

(

)

que contiene un término adicional proporcional a respecto a la

expresión newtoniana. En la figura se muestra el perfil del potencial

efectivo en función del parámetro

Los puntos indican las posiciones de las órbitas circulares estables, que

aparecen en el mínimo local del potencial. Los máximos locales

corresponden a las órbitas circulares inestables.

Con un cálculo sencillo se demuestra que los extremos del potencial se

sitúan en las posiciones

( √

)

Apuntamos en particular que si √ sólo existe un extremo,

que es estable, y que para valores inferiores de las órbitas no tienen

punto de retroceso. El significado de este resultado es que la órbita estable

más interna se sitúa en la posición

en clara diferencia con el caso newtoniano. La existencia de esta cota

inferior a para una órbita circular tiene unas implicaciones astrofísicas

enormes, ya que determina que la materia por debajo de ese valor se verá

absorbida por el cuerpo masivo central. En este sentido, considerando la

aceleración radial de la partícula

vemos que los dos últimos términos deben dar cuenta de la fuerza

centrífuga, y se escriben

(

)

y por tanto, la fuerza cambia de signo, y se dirige radialmente hacia el

interior en la región .

Trayectoria de la luz

La trayectoria de un fotón o de cualquier otra partícula de masa nula, es una

geodésica nula, por lo que debemos utilizar el parámetro afín sobre la

geodésica, en lugar del tiempo propio . Consideramos de nuevo el

movimiento sobre el plano ecuatorial, y reemplazamos la ecuación de

movimiento para la coordenada radial, por la expresión . Por tanto,

tenemos las ecuaciones de las geodésicas

(

)

(

) (

)

y de forma análoga, sustituyendo la primera y tercera ecuación en la

segunda, obtenemos la ecuación de la energía para la coordenada

(

)

La ecuación de la órbita de la partícula en el plano del movimiento

⁄ , se obtiene directamente con el cambio

de la misma manera que el análisis newtoniano. Tomando además la

variable usual

obtenemos la ecuación de la órbita en la forma

(

)

Podemos dar un paso más eliminando el término dependiente de la energía,

derivando respecto a con el resultado

Movimiento radial Para el movimiento radial, , la ecuación para la

coordenada se reduce a

(

) (

)

(

)

que tras una integración da lugar a las leyes de movimiento

|

|

para los fotones que se dirigen radialmente hacia afuera, y

|

|

para los fotones que inciden radialmente sobre el cuerpo masivo. Sus líneas

de mundo tienen pendientes cuando , formando el cono de luz de

la relatividad especial, mientras que a medida que se acerca a el

cono se va estrechando progresivamente, y cuando la pendiente

tiende a .

Esta estructura de conos de luz nos permite entender por qué una partícula

tarda un tiempo coordenado infinito en alcanzar el horizonte , como

muestra la figura.

La curva sólida es la línea de mundo de una partícula material, liberada

desde el reposo por un observador fijo en . Ya que esta línea de

mundo debe estar confinada en el interior del cono de luz, el

estrechamiento progresivo de los conos fuerza a que las líneas de mundo se

hagan más verticales a medida que . Por tanto, virtualmente la

partícula alcanzará la posición sólo después de un tiempo infinito.

En este caso, las coordenadas resultan inadecuadas para estudiar lo

que sucede en y dentro de .

Movimiento circular Para el movimiento circular, , y aplicándo la

ecuación de la órbita, vemos que sólo es posible un único valor de la

coordenada

Por tanto, un cuerpo masivo tiene un efecto muy considerable sobre las

trayectorias posibles de la luz.

Potencial efectivo La fórmula más sencilla del potencial efectivo

corresponde a un reescalado del parámetro afín a lo largo de la geodésica

(

)

que se muestra en la figura adjunta.

Como vemos tiene un único extremo en , que resulta ser un

máximo, con valor , de forma que la única órbita circular

posible es inestable.

Parámetro de impacto Cuando analizamos la trayectoria de un fotón que

incide sobre el cuerpo masivo desde una distancia lejana es aconsejable

caracterizar la órbita en función del parámetro de impacto . Dicho

parámetro viene determinado por la trayectoria rectilínea que describe el

fotón a una distancia . Como muestra la figura

la cantidad esta relacionada con las coordenadas polares en el

plano del movimiento definidas para la métrica plana a grandes distancias

del cuerpo masivo:

dependiendo de la situación del eje polar. Y físicamente está dado por

siendo el momento lineal del fotón, con lo que podemos reescribir la

ecuación de la energía en la forma

La naturaleza de la órbita del fotón dependerá del valor relativo de .

Considerando fotones que incidan sobre el cuerpo masivo desde el infinito,

de forma que es decreciente inicialmente, vemos que cuando

esto es, cuando √ , existe un único punto de retroceso de la órbita

, donde se produce el máximo acercamiento al cuerpo masivo, para

alejarse después de nuevo al infinito. Cuando √ , siempre es un

cantidad positiva, no hay punto de retroceso, y el rayo de luz será

capturado, tras realizar un movimiento en espiral hacia el cuerpo masivo.

Problemas resueltos

1) Considerar una partícula prueba que se libera en el infinito desde el

reposo. Obtener la ley del movimiento para su caída libre en el seno del

campo gravitatorio de Schwarzschild, en la forma , y .

Determinar el tiempo necesario para que alcance la posición .

Determinamos en primer lugar su energía en función de los datos iniciales,

cuando . Obtenemos

y la ecuación de movimiento se reduce a

√

donde tomamos el signo menos al ser en el movimiento de caída. Esta

ecuación tiene la integral directa

√ ( )

donde hemos elegido la constante de integración tal que , cuando ,

valor arbitrario. Por tanto, el tiempo propio de caída está dado por, para ,

√

También podemos parametrizar la línea de mundo de la partícula en función

del tiempo coordenado en lugar del tiempo propio . Para ello, hacemos uso

de

√

√

(

)

Teniendo en cuenta el valor de la energía de la partícula, obtenemos

√

(

)

que tiene una integral directa, aunque algebraicamente complicada. Una vez

obtenida dicha solución, se demuestra que el tiempo coordenado en el

movimiento de caída satisface

Por tanto, la partícula tarda un tiempo propio finito en alcanzar , pero

respecto a un observador estático a gran distancia del cuerpo masivo (cuyo

tiempo propio será el tiempo coordenado), tardará un tiempo infinito en

alcanzar la posición .

2) Demostrar que las órbitas circulares de una partícula material cuyo

radio satisface son órbitas ligadas, al ser la energía de la partícula

menor que su energía en reposo, y por tanto existir una energía

gravitacional de enlace o ligadura no nula.

Las órbitas circulares satisfacen , y por tanto,

expresión que relaciona el momento angular con la coordenada radial de la

órbita

Substituyendo este valor en la ecuación de la energía, dado que ,

obtenemos

√

Para que la órbita sea ligada es necesario que , lo que no lleva a

la condición

cuya solución para la coordenada radial de la órbita es

3) Explicar que fracción de energía pierde una partícula que viniendo del

infinito pasa a tener una órbita ligada. Comparar con el límite newtoniano.

Hemos visto que la energía para la órbita ligada de radio está dada por

√

Por tanto, la fracción de energía que debe perder la partícula (mediante

emisión de radiación) para pasar del infinito a la órbita ligada es

√

Por ejemplo, en el caso de la órbita estable más interna con , esta

fracción de energía tiene el valor

√

cantidad enormemente importante, comparada por ejemplo con la emisión de

radiación de la conversión nuclear del hidrógeno en helio (menos del 1%).

En el límite newtoniano, , para una masa unitaria, la energía de la

partícula está dada por

√

(

)

suma de la energía en reposo, , y la energía de ligadura que proviene de la

suma de energía cinética y energía potencial de la órbita circular

Por tanto, la fracción de energía perdida es

en el caso de la órbita .

4) Demostrar que cualquier partícula material con energía se verá

atraída hacia cuando √

.

Partimos de la ecuación de la energía para la coordenada

(

)

que escribimos

(

)

Para que la partícula material alcance la posición , no debe ser nulo,

lo que implicaría la existencia de un punto de retroceso. Por tanto, la energía

debe satisfacer

siendo suficiente que

siendo el valor máximo del potencial efectivo. Lo determinamos en la forma

(

)

con la solución

( √

)

donde ⁄ . El signo positivo corresponde al mínimo, y el signo negativo

al máximo. La condición necesaria para la existencia del máximo y del mínimo

es

√

El valor máximo es

(

)

El valor nulo corresponde al punto máximo en , y por tanto,

( √

)

Por tanto, para la energía , la partícula alcanzará la posición ,

siempre que

√

5) Una partícula en el infinito en la métrica de Schwarzschild se mueve

radialmente hacia el interior con velocidad coordenada . Demostrar que

la velocidad coordenada en está dada por

(

)

(

)

[

(

)]

donde es un parámetro por determinar. Obtener la velocidad de la

partícula relativa a un observador estacionario situado en , y hallar su

valor límite cuando .

Debemos resolver las ecuaciones geodésicas para un movimiento radial con la

condición de contorno

teniendo en cuenta que

De la ecuación de conservación de la energía en la coordenada radial .

despejamos

(

) (

(

)

)

siendo

(

)

Reuniendo ambas expresiones, encontramos la velocidad coordenada en

función de la energía de la partícula

(

)

(

)

(

(

))

expresión que coincide con la propuesta al tomar

que será función de la velocidad coordenada en el infinito, que satisface

(

)

(

)

Por otra parte, para un observador estático situado en la coordenada , el

intervalo de tiempo propio y de distancia radial propia están dado por

√ (

)

√ (

)

y por tanto, en su vecindad medirá una velocidad coordenada tal que

(

)

(

)

(

)

(

(

))

que tiene el valor , en , independientemente del valor de la

velocidad coordenada en el infinito.

Ejercicio de autoevaluación

1) Para la solución de Schwarzschild en el espacio vacío y en presencia

de una constante cosmológica

(

) (

)

demostrar que las órbitas de las partículas materiales tienen distinta

apariencia respecto al caso , pero que las órbitas de los fotones sí

mantienen su forma.