tres octavos simpson

1

TEMA 8:

DERIVACION E INTEGRACION Numérica

Métodos Numéricos

DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

�Polinomio de interpolación es aplicable para la resolución de problemas de diferenciación, en general y el cálculo de derivadas, en particular.

�Dada una tabla de valores de la función f(x) para diversos valores de x, se puede determinar el polinomio de interpolación que, satisfaciendo a los valores dados, represente con cierto grado de aproximación a f(x).

�De acuerdo a lo anterior, es posible calcular, de manera más o menos precisa, la derivada f'(x), de la función en cuestión.

�Se puede hallar en general y por única vez, las derivadas sucesivas de la fórmula de interpolación y aplicarlas a cada caso particular.

2

ETSII-UPM

Derivación numérica (1/2)� Se trata de evaluar numéricamente la derivada de una función f(x) a

partir de valores numéricos de dicha función.

� Se puede comenzar con una aproximación intuitiva y geométrica – De la definición de derivada como límite, se puede aproximar la derivada: ––– Geométricamente se pueden considerar tres variantes: –

x x+h

f(x)

f(x+h)

xx−h

f(x)

f(x−h)

f(x+h)

xx−h

f(x−h)

x+h

f(x)

fórmula avanzada fórmula atrasada fórmula centrada

ETSII-UPM

Derivación numérica (2/2)� En el cálculo numérico de derivadas se cometen errores importantes

– En principio, parece evidente que al disminuir h se reduce el error. – Ejemplo: derivada de ex en x=1 (valor exacto 2.71828182845905) ––––––––––––– El error disminuye con h al principio, pero hay un momento en que aumenta. – El error mínimo se produce aproximadamente cuando h=log10(eps)/2.

0.053746569358672.664535259100380.000000000000032.718281828459071e-14

0.004896756275162.713385072183880.000000000000272.718281828459321e-13

0.000011774966812.718270053492230.000000000002722.718281828461761e-12

0.000011774966812.718270053492230.000000000027182.718281828486231e-11

0.000002893182622.718278935276430.000000000271832.718281828730871e-10

0.000000228647362.718281599811690.000000002718282.718281831177331e-09

0.000000051011672.718281777447370.000000027182822.718281855641861e-08-0.000000135505802.718281963964840.000000271828202.718282100287241e-07

-0.000001358527482.718283186986530.000002718283192.718284546742231e-06

-0.000013591453262.718295419912310.000027182954202.718309011413241e-05

-0.000135918619442.718417747078480.000271841774712.718553670233751e-04

-0.001359594073742.719641422532780.002719641422532.721001469881581e-03

-0.013636827328032.731918655787080.027319186557872.745601015016921e-02

-0.140560126414832.858841954873880.285884195487393.004166023946431e-01

errorf'(x)f(x+h)-f(x)f(x+h)h

3

ETSII-UPM

Análisis del error� Fórmulas avanzadas

– Se pueden obtener a partir del desarrollo en serie de Taylor:

�

y en este caso se dice que el error es de orden 1 óorden h: O(h).

� Para la fórmula centrada – Se realiza el desarrollo en serie de Taylor en x+h y en x−h:–––– Restando miembro a miembro y suponiendo que f''' es continua:

�

de donde se llega finalmente a: ––– La fórmula centrada es de orden 2 y por tanto más precisa que las otras dos.

2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2! 2!

f f x h f x ff x h f x f x h h f x h

h

ζ ζ′′ ′′+ −′ ′+ = + + ⇒ = −

2 31( ) ( )( ) ( ) ( ) +

2! 3!

f x ff x h f x f x h h h

ζ′′ ′′′′+ = + +

2 32( ) ( )( ) ( ) ( )

2! 3!

f x ff x h f x f x h h h

ζ′′ ′′′′− = − + −

( )3 3

1 2( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )3! 3!

h hf x h f x h hf x f f hf x fζ ζ ζ′ ′′′ ′′′ ′ ′′′+ − − = + + = +

22( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 3! 2

f x h f x h h f x h f x hf x f O h

h hζ+ − − + − −′ ′′′= + = +

DERIVACION MEDIANTE FORMULAS DE INTERPOLACION

La metodología descripta implica el uso de cualquiera de las fórmulas de interpolación estudiadas. Se desarrolla un caso particular.

La fórmula de NEWTON-GREGORY Ascendente, en la cual se ha hecho la transformación x=x0 +hu, para facilitar su uso:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +−∆+∆+=+=!2

10

2000

uuxfuxfxfuhxfxf

( ) ( )( )K+−−∆+

!3

210

3 uuuxf (8.1)

4

DERIVACION MEDIANTE FORMULAS DE INTERPOLACION (2)

Derivando respecto de la variable u, se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( ) K++−∆+−∆+∆=+′6

263

2

12 2

03

02

00

uuxf

uxfxfuhxfh

y para x=x0 ; vale decir, para u=0, resulta la ecuación:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+∆−∆+∆−∆=′ 04

03

02

00 4

1

3

1

2

1xfxfxfxfxfh (8.2)


Análogamente, para la derivada segunda se obtiene la expresión:

( ) ( ) ( )( ) ( ) K++−∆+−∆+∆=+′′12

111861

2

04

03

02

02 uu

xfuxfxfuhxfh

y para x=x0 ; o sea, haciendo u=0, resulta la ecuación:

( ) ( ) ( ) ( ) K−∆+∆−∆=′′ 04

03

02

02

12

11xfxfxfxfh (8.3)

Este procedimiento puede ser iterado tantas veces como se necesite, para obtener derivadas de mayor orden.

5


Si se parte de la fórmula de NEWTON-GREGORY Descendenteo, de

las de GAUSS, LAGRANGE, BESSEL, etc., se encontraran, nuevas

fórmulas de derivación para cada caso en particular, las que, ofrecerán

mayor o menor precisión según la posición relativa del valor de la

variable para el cual se desea calcular las derivadas


La aplicación de idéntico criterio para la fórmula de NEWTON-GREGORY Descendente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) K+∇+++∇++∇+=+ nnnnn xfuuu

xfuu

xfuxfuhxf 32

!3

21

!2

1

da como resultado derivando con respecto a u e igualando a cero:

( ) ( ) ( ) ( ) K+∇+∇+∇=′ nnnn xfxfxfxfh 32

3

1

2

1(8.4)

como así también:

( ) ( ) ( ) ( ) K+∇+∇+∇=′′ nnnn xfxfxfxfh 4322

12

11(8.5)

6

ALGORITMO DE HORNER

�Otro método idóneo para determinar el valor de las derivadas sucesivas, en el especial caso de que la función en cuestión sea una expresión algebraica, es el denominado MÉTODO o ALGORITMO DE HORNER

�Este método, tiene la ventaja adicional que permite calcular el valor de la función para el valor de la variable en el cual se pretende determinar sus derivadas y, además, de ser de muy sencilla aplicación:

INTRODUCCION

En ocasiones es necesario determinar el valor numérico de una función algebraica polinómica, de la forma:

( ) nnnnn axaxaxaxaxP +++++= −

−−1

22

110 K (8.6)

Será estudiado a continuación el caso de tener que calcular el valor de la función en un punto α.

Todos los desarrollos que siguen tienen validez tanto para valores de αreales, como complejos, pero se entenderá que el número de operaciones a efectuarse solo es válido en el campo real.

7

INTRODUCCION (2)

Si se calculara directamente su valor reemplazando el de x por el de α, resulta:

(8.7)

Se deben calcular α2 ; α3 ;...; αn ; es decir, n-1 multiplicaciones.

Después deben ser formados los productos a0 αn ; a1 αn-1 ;...; an-1 α ; o sea, n multiplicaciones más.

En total se deben realizar 2n-1 multiplicaciones y n adiciones para calcular el valor de P(α) a partir de la expresión (8.6), haciendo uso directo de la fórmula (8.7).

( ) nnnn aaaaP ++++= −

− αααα 11

10 K

INTRODUCCION (3)

Una alternativa dada por HORNER, permite disminuir prácticamente

a la mitad el número de operaciones, con la posibilidad adicional de

calcular también sus derivadas sucesivas en el mismo punto α:

P'(α); P"(α);...; P(n)(α).

8

CALCULO DEL VALOR DEL POLINOMIO

Una manera recurrente de escribir la expresión (8.7) es la siguiente

( ) nn aaaaaaP ++++++= − αααααα ))))(((( 13210 KK

(8.8)que puede obtenerse directamente haciendo uso del algoritmo

b0 = a0b1 = b0 α + a1b2 = b1 α + a2 . . . . . . . . .bn-1 = bn-2 α + an-1

P(α) =bn = bn-1 α + an

El valor de bn es el de P(x) cuando x=α; vale decir, el de P(α). En total son necesarias n multiplicaciones y n adiciones, para lograr el resultado anterior

Ejemplo (i):

� Extrayendo factor común x en los primeros 4 términos, luego en los 3 primeros,

� y finalmente en los 2 primeros términos, se tiene:

2 x, 8 - x 4 2x - x3 x4 p(x) 0234 =++=

8 -4)x 2)x - x 3) x ((4 ( p(x)

; 8 -4)x 2)x - x 3 x((4 p(x)

; 8 -4)x 2x - x3 x(4 p(x)2

23

++=++=

++=

9

Algoritmo de Horner� Algoritmo:� E1) Ingresar n (grado polinomio); ai (coeficientes); x0

valor para el cual se evalúa p(x)

� E2) Asignar: bn ← an

� E3) Para k = n-1, n-2, ... , 0 hacer :

� E4) Imprimir: “Valor de P(x0) = “; b0 ;

k01kk axb b +← +

Ejemplo (ii):

� Evaluamos ahora los paréntesis de esta última expresión de p(x), desde el más interior, (4x+3), para

� x0=2 y así siguiendo, hasta el último:

80 es 2en x 8-(44)x 4)

44 es 2en x 4(20)x 3)

20 es 2en x 2-(11)x 2)

11 a igual es 2en x 44x 1)

==+=

=+

10

Ejemplo (iii):

� Por lo tanto: p(2) = 80

� El algoritmo de Horner para este ejemplo donde grado p(x) es 4 y los coeficientes ai permite escribir:

01234 a )x a )x a )x a x a ((( p(x) ++++=

Ejemplo (iV):

Nota:

� Ventaja importante el ahorro de operaciones, disminuyendo así los efectos de la propagación de errores.

� Obsérvese en el ejemplo que el método usual necesita 10 multiplicaciones y 4 sumas (restas); en cambio, con la regla de Horner, se efectúan 4 multiplicaciones y 4 sumas.

11

CALCULO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS

Para calcular las derivadas sucesivas de P(x) en el punto x=α, es necesario utilizar un simple artificio. La expresión:

dado que se puede reconstruir la (8.6) a partir de la (8.9); realizando las operaciones indicadas, resulta:

P(x) = b0 xn - α b0 x

n-1 + b1 xn-1 - α b1 x

n-2 + ... + + bn-2 x

2 - α bn-2 x + bn-1 x - α bn-1 + bn= b0 x

n + (b1 - α b0 ) xn-1 + (b2 - α b1 ) xn-2 + ... ++ (bn-1 - α bn-2 ) x + (bn - α bn-1 )

P(x) = (x-α) [b0 xn-1 + b1 x

n-2 + ... + bn-2 x + bn-1 ] + bn (8.9)

( ) nnnnn axaxaxaxaxP +++++= −

−−1

22

110 K (8.6) se puede

escribir

CALCULO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS (2)

Comparando esta última expresión con la (8.6) e igualando sus coeficientes homólogos se pueden despejar los b j de la siguiente manera:

a0 = b0 ⇒ b0 = a0 a1 = b1 - α b0 ⇒ b1 = a1 + α b0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an-1 = bn-1 - α bn-2 ⇒ bn-1 = an-1 + α bn-2 an = bn - α bn-1 ⇒ bn = an + α bn-1

como se quería demostrar.

12


Llamando Q1 (x) al polinomio encerrado dentro del corchete de la siguiente expresión:

Puede escribirse P (x) = (x - a) Q1 (x) + bn(8.10)

donde el resto bn es constante e igual a P(α), como ya se ha visto.Derivando respecto de x la expresión (8.10), resulta:

P’(x) = Q1 (x) + (x - a) Q1’ (x) (8.11)

de la que es posible inferir que:

P’(α) = Q1 (α) (8.12)

P(x) = (x-α) [b0 xn-1 + b1 x

n-2 + ... + bn-2 x + bn-1 ] + bn (8.9)


Expresión, que puede ser escrita en forma recurrente y similar a la (8.8), de la manera siguiente:

( ) 113210 ))))(((( −− ++++++=′ nn bbbbbbP αααααα KK

cuyo algoritmo resolutorio, es: c0 = b0

c1 = b1 + α c0 c2 = b2 + a c1

. . . . . . . . .P’(α) = cn-1 = bn-1 + α cn-2 = Q

Se definen los coeficientes c i de modo que al final del proceso se obtenga el valor buscado en: Q1 (α ) = P’(α)

13


Para determinar las siguientes derivadas sucesivas del polinomioP(x)en el punto x=α, es necesario hacer las siguientes consideraciones.

1. Escribiendo el polinomio P(x) en términos de la fórmula del desarrollo en serie de Taylor, resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ααααααα )(2

!!2n

n

Pn

xP

xPxPxP

−++′′−+′−+= K


bn=P(α), se puede escribir que:

( ) ( ) ( )α

α−−=

x

PxPxQ1

3. Teniendo en consideración estas dos últimas expresiones, resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ααααααα )(12

1 !!3!2n

n

Pn

xP

xP

xPxQ

−−++′′′−+′′−+′= K

4. Sacando factor común x-α, se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−++′′′−+′′

−+′=−

ααααααα )(2

1 !!3!2n

n

Pn

xP

xPxPxQ K

2. De P (x) = (x - a) Q1 (x) + bn y considerando que

14


5. Llamando, finalmente, Q2 (x) al polinomio encerrado dentro del corchete, resulta:

Q1 (x) = P’(α) + (x - α) Q2 (x)

Derivando esta última expresión se obtiene

Q1’ (x) = Q2 (x) + (x - α) Q2’ (x)

que, en el punto x=α, vale:

Q1’ (x) = Q2 (x) (8.13)


Derivando la siguiente expresión respecto de x, se obtiene:

P” (x) = 2 Q1’ (x) + (x - a) Q1” (x)

la cual, a su vez, en el punto x=α, toma el valor:

P” (α) = 2 Q1’ (α) (8.14)

Considerando las expresiones (8.13) y (8.14), se obtiene en definitiva

P” (α) = 2 Q2 (α) (8.15)

P’(x) = Q1 (x) +(x - a) Q1’ (x) (8.11)

Q1’ (x) = Q2 (x)(8.13 )

15


Con mayor grado de generalización, es posible calcular las siguientes derivadas sucesivas de P(x), en el punto x=α.

Iterando el procedimiento descripto anteriormente, se puede escribir, en general:

( ) ( ) ( ) ( )xQxk

PxQ k

k

k αα −+−

=−

− )!1(

)1(

1(8.16)

de donde:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ααααα )()1(

1

!!1!n

knk

kk

k Pn

xP

k

x

k

PxQ

−+

+ −+++

−+= K (8.17)


Derivando la (8.16) con respecto a x, se deduce que:

Qk-1’ (x) = Qk (x) + (x - α) Qk’ (x)

en la cual, haciendo x=α, resulta:

Qk-1’ (α) = Qk (α)

Considerando la expresión (8.17), se obtiene:

Qk

( )( )!k

P k α=

16


Con mayor grado de generalización, es posible calcular las siguientes derivadas sucesivas de P(x), en el punto x=α.

En definitiva, es posible deducir que, en general, la derivada de orden k-ésimoresulta:

P(k)(α) = k! Qk (α) (8.18)

que representa la expresión general de la derivada de orden k, de un polinomio P(x), en el punto x=α.

ETSII-UPM

Introducción a la integración numérica� Planteamiento del problema

– Se trata de evaluar la integral definidade una función mediante un sumatoriode valores de esa función en ciertos puntos llamados nodos, multiplicados por unos coeficientes de ponderación llamados pesos:

�

– Esta expresión implica la sustitución de un sumatorio infinito (la integral) por un sumatorio finito, por lo que se producirá un error de truncamiento.

– Se llama grado de precisiónde la fórmula de integración al máximo grado de los polinomiosque son integrados exactamentepor dicha fórmula.

– Para deducir las fórmulas de integración numérica la función f(x) se suele sustituir por el polinomio de interpolaciónp(n)(x) y realizar la integración exacta de este polinomio.

– Si un polinomio de grado n es integrado exactamente es de esperar que el error en la integración numérica de la función f(x) dependa de la derivada de orden (n+1) de dicha función en un punto perteneciente al intervalo de integración.

– La integración numérica es un proceso más estable y precisoque la derivación numérica vista previamente.

1 1 2 21

( ) ( ) ...nb

i i n nai

f x dx w f x w f w f w f=

= = + + +∑∫

17

ETSII-UPM

Fórmulas de Newton-Cotes (1/4)� Se basan en el polinomio de interpolación de Newton con

argumentos igualmente espaciados (fórmula de diferencias finitas).

� Algunas fórmulas de Newton-Cotes:

�

�

�

�

––

� Observaciones: – En estas fórmulas se supone xk=x0+kh. – Los errores dependen de potencias elevadas de h. – La fórmula de Simpson tiene una alta relación precisión/coste. – No se suelen utilizar fórmulas de orden muy grande porque aparecen

coeficientes negativos que dan lugar a problemas numéricos.

( )

( )

( )

1

0

2

0

3

0

4

0

3

0 1

5( )

0 1 2

5( )

0 1 2 3

Regla trapezoidal ( ) ( )2 12

Regla de Simpson ( ) 4 ( )3 90

3 3 3Regla de Simpson ( ) 3 3 ( )

8 8 80

2Regla de Boole ( )

x

x

x iv

x

x iv

x

x

x

h hf x dx f f err f

h hf x dx f f f err f

h hf x dx f f f f err f

hf x dx

ζ

ζ

ζ

′′≈ + = −

≈ + + = −

≈ + + + = −

≈

∫

∫

∫

∫ ( )7

( )0 1 2 3 4

87 32 12 32 7 ( )

45 945vih

f f f f f err f ζ+ + + + = −

ETSII-UPM

Fórmulas de Newton-Cotes (2/4)� Deducción de la regla de Simpson 3/8

– Se parte del polinomio de interpolación de Newton en diferencias finitas: ––– Haciendo el cambio de variable ––– Se llega a:

�

–

�

�

– Teniendo en cuenta que

se obtiene finalmente, después de reordenar términos:

2 3( ) 0 0

0 0 0 0 1 0 1 22 3

1( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

2! 3!n y y

p x y y x x x x x x x x x x x xh h h

∆ ∆= + ∆ − + − − + − − −

0 0

1 1

2 2

( )

( 1) ( ) ( 1)

( 2) ( ) ( 2)

x x sh x x sh

x x s h x x s h

x x s h x x s h

= + − == + − − = −= + − − = −

L

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) 2 30 0 0 0

0 1 0 2 1 1 0 3 2 2 1 2 1 1 0

0 1 0 2 1 0 3 2 1 0

( 1) ( 1)( 2)( )

2! 3!( 1) ( 1)( 2)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2! 3!

( 1) ( 1)( 2)( ) 2 ) 3 3

2! 3!

n s s s s sp s y s y y y

s s s s sy s y y y y y y y y y y y y y y

s s s s sy s y y y y y y y y y

− − −= + ∆ + ∆ + ∆ =

− − −= + − + − − − + − − − − − − − =

− − −= + − + − + + − + −

( )3

0

3(3) (3)0 1 2 30

3( ) ( ) 3 3

8

x

x

hp x dx h p s ds y y y y= = + + +∫ ∫

3 3 3

0 0 0

9 1 9 1 3; ( 1) ; ( 1)( 2)

2 2! 4 3! 8sds s s ds s s s ds= − = − − =∫ ∫ ∫

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ETSII-UPM

Fórmulas de Newton-Cotes (4/4)� El cálculo de los errores de las restantes fórmulas de Newton-Cotes

es bastante laborioso y no se incluye en estas trasparencias.

� Interpretación gráfica de la regla trapezoidal y las dos reglas de Simpson:

31( )

12E f hξ′′= − 51

( )90

ivE f hξ= − 53( )

80ivE f hξ= −

ETSII-UPM

Fórmulas abiertas y cerradas� Concepto de fórmula de integración abierta

– Se llama abiertaa una fórmula de integración numérica que no evalúa la función integrando en uno o en los dos extremos del intervalo.

– Las fórmulas abiertas son útiles cuando no se conoce la función en un extremo o tiene un valor infinito (integrales impropias).

– Un caso de gran interés práctico son las fórmulas de Adams, que utilizan npuntos, pero sólo desean calcular la integral en el último tramo (ver figuras)

Adams

abierta cerrada

Newton-Cotes

abierta cerrada

19

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

�Dentro del campo analítico, perteneciente a la matemática pura, se desconoce la primitiva de la mayor parte de las funciones que ella estudia o si esta se conoce, su aplicación es larga y compleja, para utilizarla con provecho en la resolución de una integral.

�Incluso, es posible que se desconozca la expresión analítica de la función sobre la cual se desea integrar.

�Consecuentemente, y en términos generales, es posible asegurar que la gran mayoría de los problemas que se presentan en la práctica, carecen de solución dentro del campo analítico.

INTEGRACIÓN NUMÉRICA (2)

Resumiendo, la imposibilidad, o la inconveniencia, de la aplicación de métodos tradicionales está dada, fundamentalmente, por :

I.- Que no se conozca ninguna primitiva de aquella función que es necesario integrar,

II.- Que aún conociéndose una función primitiva, su aplicación resulte excesivamente compleja o extensa,

III.- Que, directamente, se desconozca la expresión analítica de la función que debe ser integrada.

20

INTRODUCCION

Cuando el problema en cuestión consiste en calcular la integral definida de una determinada función f(x), dada por:

( )∫=b

adxxfI (8.19)

y se conoce una función F(x), primitiva de f(x), es decir, F' (x) = f(x), se aplica la regla de BARROW:

( ) ( ) ( )aFbFdxxfIbx

ax

−== ∫=

=

(8.20)

INTRODUCCION (2)

�Cuando no se conoce ninguna primitiva de la función , resulta necesario apelar a métodos de cálculo aproximados. Igual proceder debe adoptarse si, aún conociéndose una primitiva, resulta poco práctico aplicarla, por su complejidad.

�En ocasiones se cuenta solamente con una tabla de alguno de susvalores, proveniente de resultados experimentales; en cuyo caso,tampoco es posible aplicar la regla de BARROW.

�Considerando que la integral dada por (8.19) equivale a determinar el valor del área bajo la curva de la función f(x), es posible desarrollar diversos métodos aproximados para lograr dicho objetivo.

21

FORMULA DE LOS TRAPECIOS

Supónganse conocidos los n+1 valores x0 ; x1 ;...; xn deducidos de la función f(x), conocida, que cumplen con la condición:

xk - xk-1 = h para k = 1; 2; ... ; n

Una primera aproximación al valor del área a calcular, limitada por los puntos x0 ; A0 ; A1 ; ... ; An ; xn se obtiene considerando la suma de las áreas de los trapecios inscriptos en cada una de las superficies parciales limitadas por los puntos,

x0 ; A0 ; A1 ; x1x1 ; A1 ; A2 ; x2. . . . . . . . .xn-1 ; An-1 ; An ; xn

FORMULA DE LOS TRAPECIOS (2)

Figura 8.1.

0

0A1A

2A1-nA nA

0X 1X 2X 1-nXnX

0Y 1Y 2Y1-nY nY

( )xf

h h h

22


En consecuencia, resulta:

área (x0 ; A0 ; A1 ; x1 ) ≈ 1 / 2 ( y0 + y1 ) hárea (x1 ; A1 ; A2 ; x2 ) ≈ 1 / 2 ( y1 + y2 ) h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .área (xn-1 ; An-1 ; An ; xn) ≈ 1 / 2 ( yn-1 + yn ) h

Sumando las expresiones de las áreas así obtenidas, resulta

( ) ( )nn

x

xyyyy

hdxxf

n ++++≅ −∫ 110 2220

K (8.21)


�La fórmula de los trapecios tiene una precisión suficientemente buena cuando se trata de aplicarla a determinaciones que no requieran una aproximación de orden elevado.

�En el caso de haberse sustituido la curva, dada por la función continua f(x), mediante la poligonal inscripta, descripta mediante los puntos dados o calculados, el modelo realizado puede clasificarse como una Discretización; y no satisface plenamente cuando se trata de obtener gran precisión.

23

FORMULA DE SIMPSON (1)

�Basado en la utilización de segmentos de parábola para aproximar los arcos de curva, en lugar de emplear segmentos de recta;es decir utilizar curvas en lugar de una poligonal, se obtiene una mayor precisión en el cálculo de integrales definidas.

�Primeramente se considerará el caso de la parábola de segundo grado, a partir del que se deducirá la expresión analítica de la fórmula de SIMPSON.


0

0A1A

2A

0X

1X

2X

0Y 1Y

2Yh

Y

h−

Figura 8.2

24


El primer paso consiste en determinar el área comprendida entre el eje de las x, la parábola de eje vertical que pasa por los tres primeros puntos dados y sus ordenadas extremas.

Llamando A0 ; A1 ; A2 a los puntos mencionados y suponiendo que tienen abscisas equidistantes; es decir, que:

x1 - x0 = x2 - x1 = h

Considerando, además que, haciendo pasar el eje y por el punto intermedio A1 no se pierde generalidad (ver figura 8.2).


Dadas estas condiciones y teniendo en cuenta que, en general, laparábola de segundo grado es:

y = a x2 + b x + c

pero, como debe pasar por los tres puntos A0 ; A1 ; A2 , es posible escribir:

y0 = a x02 + b x0 + c = a (-h)2 + b (-h) + c = a h2 - b h +c

y1 = a x12 + b x1 + c = c

y2 = a x22 + b x2 + c = a h2 + b h + c = a h2 + b h +c

25


Sumando y restando la primera y la última de estas expresiones, y directamente de la segunda, se obtienen los siguientes valores:

102

2012 ;

2;

2

2yc

h

yyb

h

yyya =−=+−=

Valores que serán empleados para reemplazarlos en la expresión de la integral


Por otra parte, del análisis sabemos que la expresión analítica del área buscada vale:

( ) hchaxcx

bx

adxcxbxadxyIh

h

h

h

h

h2

3

2

233

232 +=

++=++==

−−− ∫∫

Reemplazando en esta última los valores de a y c anteriormente obtenidos, resulta:

( ) ( )210101213

2012 4

362

32

2

2

3

2yyy

hyyyy

hhyh

h

yyyI ++=++−=++−=

El conocimiento de tres ordenadas es suficiente para determinar el área limitada por el arco de parábola cuadrática que pasa por los puntos correspondientes.

26


En el caso de que la curva se encuentre descripta mediante una tabla compuesta de n+1 puntos A0 ; A1 ; ...; An , siendo n un número par y con abscisas x0 ; x1 ; ...; xn equidistantes, es posible aplicar la metodología expuesta, cada tres puntos (A0 ; A1 ; A2 ); (A2 ; A3 ; A4 ); etc. y, de este modo, obtener la expresión:

( ) ( ) ( )nnn

x

xyyy

hyyy

hyyy

hdxxfI

n +++++++++≅= −−∫ 12432210 43

43

43

)(0

K


De donde, considerando a los operadores E, P, I con idéntico significado al establecido en el punto anterior, se obtiene:

( ) ( )PIE 2430

++≅= ∫h

dxxfInx

x(8.23)

Esta última expresión es la conocida e importante FORMULA DE SIMPSON, muy utilizada para determinaciones expeditivas.

27

REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON

�Como es fácil apreciar, la fórmula de SIMPSON, solo es válida y utilizable en el caso en que se haya subdividido el intervalo deintegración en un número de franjas tal, que la cantidad de puntos resultantes; vale decir, los que describen la curva y = f(x), sea impar.

�Esto sucede cuando el número de franjas aludido es par.

�El mismo Simpson ha desarrollado una fórmula utilizable en el caso que el número n de franjas sea impar.

REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON (2)

23

H−

2

H−2

H2

3H

0Y 1Y 2Y 3Y

0A1A

2A 3AY

0

Figura 8.3

28


La deducción de la correspondiente fórmula es similar a la realizada para la de SIMPSON, excepto que, para la determinación de las áreas parciales, es necesario utilizar parábolas de tercer grado que conecten cuatro puntos consecutivos de la curva en cuestión.

La forma general de la ecuación de tercer grado representada por una parábola cúbica es:

y = a x3 + b x2 + c x + d (8.24)


Para determinar los valores de los parámetros a; b; c; des necesario imponer a la expresión (8.24), la condición que pase por los cuatro puntos A0 ; A1 ; A2 ; A3 y ubicar el eje de las y como se indica en la figura 8.3, lo cual no hace perder generalidad al razonamiento; con ello el intervalo de integración resulta:

2

3

2

3

hx

h ≤≤−

29


Se puede calcular el área buscada mediante la expresión:

( )∫−−

=

+++=+++= 2

3

23

23

23234

23423

h

h

h

h

xdxcxbxa

dxdxcxbxaI

=+−+−+++=2

3

2

3

2.3

3

2.4

3

2

3

2

3

2.3

3

2.4

33

22

3

33

4

44

3

22

3

33

4

44 hdhchbhahdhchbha

de donde:

2

3.2

2.3

3.23

33 hdhb +=I


Y, realizando las operaciones indicadas, resulta:

hdhb

I 32

32

32

+= (8.25)

Para calcular los valores de las constantes que intervienen en el cálculo es necesario hacer:

dh

ch

bh

ay

dh

ch

bh

ay

dh

ch

bh

ay

dh

ch

bh

ay

+

+

+

=

+

+

+

=

+

−+

−+

−=

+

−+

−+

−=

2

3

2

3

2

3

222

222

2

3

2

3

2

3

23

3

23

2

23

1

23

0

30


Resolviendo, por cualquier método, el conjunto de ecuaciones simultáneas y reemplazando sus valores en la expresión (8.25):

( ) ( ) ( ) ( )[ ]302122130

3

916

3

8

22

4

9yyyy

h

h

yyyyhI +−++

+−+=

de lo que, en definitiva, resulta:

( ) ( )∫− +++== 23

23 3210 33

8

3h

hyyyy

hdxxfI

que es la expresión analítica de la denominada REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON.

(8.26)


�Al quitarle tres franjas a una zonificación dada por una cantidad impar de ellas, da como resultado una cantidad par, a la que puede aplicarse la fórmula de SIMPSONya estudiada.

�Por ejemplo, si se estuviera frente al problema de calcular el área subdividida en 47 franjas, la REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSONse podría utilizar para aproximar el área bajo la curva ocupada por las tres primeras franjas. El área bajo las 44 franjas restantes, luego de ser calculada mediante la fórmula de Simpson, se sumaría a la de las tres anteriores.

31

FORMULA DE EULER-MACLAURIN

�Mediante el agregado de términos complementarios que corrigen otras fórmulas elementales como la de los TRAPECIOS o SIMPSON, es posible obtener un sin número de expresiones elementales de fórmulas de integración.

�Una de las más comunes es la que muestra a continuación. La misma propone adicionar una serie de términos a la fórmula de los TRAPECIOS, aumentando de este modo, su precisión.

( ) ( )nn

xn

xyyyy

hdxxf ++++≅ −∫ 110 22

20

K

FORMULA DE EULER-MACLAURIN (2)

Considérese que F(x) es una primitiva de f(x); vale decir que, F’ (x)=f(x), del mismo modo que, F” (x)=f’ (x); etc.

Aplicando la fórmula del desarrollo en serie de TAYLOR a la función primitiva F, resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+′′′+′′+′+=+ xFh

xFh

xFhxFhxF!3!2

32

32


Transponiendo el primer término del segundo miembro, al primer miembro y tomando, sucesivamente, x=x0 ; x=x1 ; ...; x=xn-1 , resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+′′+′+=− oxfh

xfh

xfhxFxF!3!2

3

0

2

001

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+′′+′+=− 1

3

1

2

112 !3!2xf

hxf

hxfhxFxF

M

M MM M

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+′′+′+=− −−−− 1

3

1

2

11 !3!2 nnnnn xfh

xfh

xfhxFxF


La suma miembro a miembro de estas ecuaciones da como resultado en el primer miembro F(xn )-F(x0 ), pero, como F(x) es una primitiva de f(x), es lícito aplicar la Regla de BARROWal primer miembro, siendo:

( ) ( ) ( ) ( ) K+′′+′+= ∑∑∑∫−

=

−

=

−

=

1

0

31

0

21

0 !3!20

n

ii

n

ii

n

ii

x

xxf

hxf

hxfhdxxf

n

(8.27)

33


Expresiones análogas a la anterior se obtienen considerando, sucesivamente, las funciones f ’(x); f ” (x); etc., resultando:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+′′+′=−=′ ∑∑∫−

=

−

=

1

0

21

00 !20

n

ii

n

iin

x

xxf

hxfhxfxfdxxf

n (8.28)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+′′′+′′=′−′=′′ ∑∑∫−

=

−

=

1

0

21

00 !20

n

ii

n

iin

x

xxf

hxfhxfxfdxxf

n (8.29)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K++′′′=′′−′′=′′′ ∑∑∫−

=

−

=

1

0

21

00 !20

n

ii

IVn

iin

x

xxf

hxfhxfxfdxxf

n

(8.30)


Sumando a la expresión (8.27) la (8.28) multiplicada por C1 h; la (8.29) multiplicada por C2 h

2; la (8.30) multiplicada por C3 h3, etc., se obtiene:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =+′′−′′+′−′+−+∫ K03

302

2010

xfxfhCxfxfhCxfxfhCdxxf nnn

x

x

n

( ) ( ) ( ) +

++′′+

+′+= ∑∑∑−

=

−

=

−

=2

11

0

31

1

0

21

0 !2!3

1

!2

1C

CxfhCxfhxfh

n

ii

n

ii

n

ii

( ) K+

+++′′′+ ∑−

=3

211

0

4

!2!3!4

1C

CCxfh

n

ii

34


Es necesario determinar ahora, los valores que deben tomar los coeficientes Ci de modo que se anulen los corchetes que figuran en el segundo miembro. En consecuencia, se obtiene:

0!2

11 =+ C

0!2!3

12

1 =++ CC

0!2!3!4

13

21 =+++ CCC

0!2!3!4!5

14

321 =++++ CCCC

2

11 −=C

12

12 =C

03 =C

720

14 −=C

.......................... .............

⇒

⇒

⇒

⇒


Así siguiendo se calculan los demás coeficientes.Sustituyendo estos valores en la última expresión de la integral, se obtiene la FORMULA DE EULER-MACLAURIN :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −

−+++= −∫ nn

x

xxfxfxfxfdxxf

h

n

2

1

2

11110

0

K

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]−′′′−′′′+′−′− 0

3

0 72012xfxf

hxfxf

hnn

( ) ( )[ ] K+−− 0

5

30240xfxf

h Vn

V (8.31)

35

FORMULA DE GREGORY

Una fórmula que utiliza solamente los valores de la función y de las

correspondientes diferencias sucesivas, interiores al intervalo (x0 ; xn)

es la denominada FORMULA DE GREGORY , la cual

será deducida a partir de la ya estudiada expresión de EULER-

MACLAURYN.

FORMULA DE GREGORY (2)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+∆−∆+∆−∆=′ 04

03

02

00 4

1

3

1

2

1xfxfxfxfxfh

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+∇+∇+∇+∇=′ nnnnn xfxfxfxfxfh 432

4

1

3

1

2

1

Si en la citada fórmula, las derivadas son reemplazadas por las expresiones correspondientes en términos de las diferencias; que son:

36


( ) ( ) ( ) ( ) K−∆+∆−∆=′′′ 05

04

03

03

4

7

2

3xfxfxfxfh

( ) ( ) ( ) ( ) K+∇+∇+∇=′′′ nnnn xfxfxfxfh 5433

4

7

2

3

( ) ( ) ( ) K+∆−∆= 06

05

05

2

5xfxfxfh V

( ) ( ) ( ) K+∇+∇= nnnV xfxfxfh 655

2

5


Resulta la FORMULA de GREGORY :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −

++++= −∫ nn

x

xxfxfxfxfdxxf

h

n

2

1

2

11110

0

K

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]−∆−∇−∆−∇− 022

0 24

1

12

1xfxfxfxf nn

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]−∆−∇−∆−∇− 044

033

360

3

720

19xfxfxfxf nn

( ) ( )[ ] K−∆−∇− 055

60480

863xfxf n

37

METODOS COMBINADOS

•En algunas ocasiones resulta interesante combinar algunos de losmétodos analizados anteriormente para resolver satisfactoriamente algunos problemas. •Supongamos dada f(x) en un intervalo (a,b) Cerrado, sobre el cual se desea obtener la integral de dicha función. Supóngase también que se dispone de 5 segmentos de recta. •Una opción seria aplicar el método de Trapecios. No obstante debido al enorme error por Truncamiento resulta aconsejable combinar las reglas de Simpson de 1/3 y 3/8 para atacar el problema. Asíla regla de Simpson 1/3 seria aplicada a los dos 1eros segmentos ( 3 puntos ) mientras que para los otros 3 segmentos restantes se recurre a la regla de Simpson 3/8. Así se obtiene una estimación del error de tercer orden para todo el intervalo.

METODOS COMBINADOS

Ejercicio: Aplicar esta idea para calcular la integral de la función:f(x) = 300 x5 – 800 x4+ 600 x3 – 200 x2 + 25 x – 0.2 sobre el intervalo ( 0.05, 0.25) con 5 segmentos sobre dicho intervalo. Efectuar un análisis comparativo y analizar el error aplicando distintos métodos.

Ejercicio: Aplicar a un ej. practico formulas de trapecios, Euler MacLaurin y Gregory, comparar resultados y extraer conclusiones.

tres octavos simpson

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