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Dynamik
Gymnasium Untere Waid
INHALTSVERZEICHNIS 1
Inhaltsverzei hnis
1 Trägheitssatz (1. Newton-Axiom) 3
2 Masse 6
2.1 Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Di hte (bei Bedarf) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Kraft (2. Newton-Axiom: Aktionsprinzip) 8
4 Überlagerungsprinzip 12
4.1 Kraft als Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Überlagerungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 Beispiele von Kräften 16
5.1 S hwerkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2 Normalkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.3 Reibungskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3.1 Gleitreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3.2 Haftreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.3.3 Rollreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.4 Federkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6 Reaktionsprinzip (3. Newton-Axiom) 47
6.1 Ein Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
INHALTSVERZEICHNIS 2
In der Kinematik haben wir uns mit der Bes hreibung der Bewegung von Objekten
befasst. Ursa hen der Bewegung haben uns ni ht interessiert. Die Dynamik su ht
na h den Zusammenhängen der Kräfte, die auf einen Körper wirken und den Bewe-
gungen, die er ausführt.
Eine Basis hierfür bilden die drei Newtons hen Axiome. Diese Axiome werden
dur h Experimente nahegelegt, sind aber mathematis h ni ht beweisbar. Der engli-
s he Physiker Isaa Newton hat sie in seinem Werk Philosophiae Naturalis Prin ipia
Mathemati a 1687 verö�entli ht.
1 TRÄGHEITSSATZ (1. NEWTON-AXIOM) 3
1 Trägheitssatz (1. Newton-Axiom)
Aristoteles (384-322 v. Chr.) lehrte, dass jeder Körper, auf den keine Kraft wirkt,
mit der Zeit zur Ruhe komme. Diese Ansi ht war fast 2000 Jahre lang Lehrmeinung.
Experiment: Ein auf einer Tis hplatte anges hubstes Bu h kommt bald zur Ruhe.
Besonders s hnell kommt das Bu h zur Ruhe, wenn die Tis hober�ä he rauh ist.
Würde man die Tis hober�ä he feiner s hleifen (mit S hleifpapier), käme das Bu h
später zum Stillstand (weil die Reibung zwis hen Tis h und Bu h abnehmen wür-
de). Würde man die ges hli�ene Tis hplatte zusätzli h mit Oel bestrei hen, käme
das Bu h no h später zum Stillstand. Könnte si h das Bu h auf einem Luftkissen
über den Tis h bewegen (wie ein Luftkissenboot), käme es längere Zeit ni ht zum
Stillstand. Könnte man die Reibung vollständig auss halten, hat unsere Vorstel-
lungskraft kein Mühe mit dem Gedanken, dass das Bu h ewig weitergleiten würde
(bei einem unendli h langen Tis h).
Dur h ähnli he Überlegungen kam Galileo Galilei (1564-1642) zur folgenden Er-
kenntnis, wel he tiefer gründet als obige von Aristoteles:
Trägheitssatz (1. Axiom): Ein Körper, auf
den keine Kraft wirkt, verharrt im Zustand
der Ruhe oder der glei hförmigen Bewegung
längs einer Geraden.
Der Gedanke eines kräftefreien Körpers ist re ht abstrakt, denn kräftefreie Kör-
per gibt es ni ht: Wir werden später im Skript Planetenbewegung und Gravitation
sehen, dass jeder Körper im Universum auf jeden anderen eine Kraft ausübt. Bei
sehr grossen Abständen der beiden betre�enden Körper wird diese Kraft sehr klein
(vers hwindet aber nie). Kräftefreie Körper gibt es also näherungsweise:
Beispiel: Auf einen Kometen, der weit weg vom nä hsten Himmelskörper dur h
das Weltall �iegt, wirken fast keine Kräfte. Also bewegt er si h fast glei hförmig
längs einer Geraden.
Ein Komet
Beispiel 1 Warum spürt der Autofahrer beim Bes hleunigen eine Kraft des Sitzes
auf seinen Rü ken?
Der Fahrer wird bes hleunigt. Also muss
na h dem Trägheitssatz eine Kraft auf ihn
wirken. Diese Kraft übt der Sitz auf ihn aus.
1 TRÄGHEITSSATZ (1. NEWTON-AXIOM) 4
Aufgaben 1: Trägheitssatz
Aufgabe 1 (Autofahrer)
Warum wird ein Autofahrer
a) während des Bremsens zur Winds hutzs heibe hingezogen?
b) beim Dur hfahren einer Kurve na h aussen gedrü kt?
Aufgabe 2 (Eisenbahnwagen)
S hliessen oder ö�nen si h die Türen des Eisenbahnwagens
a) beim Anfahren?
b) beim Bremsen?
Bewegungsri htung
A B
Aufgaben wie Nr.1 und Nr. 2 werde i h an der Prüfung ni ht stellen, da die Ant-
worten s hwierig zu bewerten sind. Die nä hste Aufgabe könnte i h aber stellen.
Aufgabe 3 (Gesteinsbro ken im Weltall)
Ein Gesteinsbro ken ist im Weltall unterwegs, weit weg von allen Himmelkörpern
(wie Sonnen, Planeten, Monden, ...).
a) Wel he Form hat seine Bahn und warum?
b) Zu einem bestimmten Zeitpunkt sei er mit der Ges hwindigkeit v = 100m/sunterwegs. Wie s hnell ist er eine Stunde später unterwegs und warum?
1 TRÄGHEITSSATZ (1. NEWTON-AXIOM) 5
Lösungen 1: Trägheitssatz
Aufgabe 1
a) Das Auto wird langsamer, der Autofahrer wegen des Trägheitssates ni ht,
ausser er wird von Gurten, Sitz, seinen Armen, ... zurü kgehalten.
b) Das Auto bewegt si h ni ht längs einer Geraden, der Fahrer s hon, ausser er
wird von den Gurten, den Türen, seinen Armen, ... daran gehindert, wel he
ihn dann na h innen drü ken. Der Fahrer fühlt si h na h aussen gedrü kt.
Aufgabe 2
a) Beim Anfahren: A ö�net si h, B s hliesst si h.
b) Beim Bremsen: A s hliesst si h, B ö�net si h.
Aufgabe 3
a) Seine Bahn ist eine Gerade. Wegen des Trägheitssates.
b) Seine Ges hwindigkeit ist unverändert v = 100m/s. Wegen des Trägheitssates.
2 MASSE 6
2 Masse
2.1 Masse
Wir messen die Masse von Objekten gewöhnli h mit Waagen. Beispielsweise wiegt
jemand 60 kg. Auf dem Mond würde die Waage bei derselben Person aber nur etwa
10 kg anzeigen (siehe später im Skript Planetenbewegung und Graviation). Wir wol-
len den Begri� der Masse so de�nieren, dass ihre Messung unabhängig vom Messort
im Weltall ist.
Experiment: Ein Wagen wird mit einer Federwaage auf waagre htem Boden ge-
zogen.
Die Federwaage soll eine konstan-
te Dehnung aufweisen, dur h einen
Stri h markiert.
Beoba htung: Unter dem Ein�uss einer konstanten Kraft
1
führt der Wagen eine
glei hmässig bes hleunigte Bewegung aus.
Wir beladen den Wagen jetzt mit einem zweiten, identis hen Gewi hststü k:
Die Federwaage soll die glei he Deh-
nung aufweisen wie im ersten Ver-
su h.
Ist die Wagenmasse im Verglei h zu den Gewi htsstü ken verna hlässigbar klein,
ma ht man folgende
Beoba htung: Ist a die Bes hleunigung mit einem Gewi htsstü k, so misst man
bei zwei Gewi htsstü ken die Bes hleunigung
a
2Mit drei Gewi htsstü ken misst man die Bes hleunigung
a
3Mit einem halben Gewi htsstü k misst man
2aund so weiter (immer den Kehrwert bilden).
Man kann nun theoretis h irgend einen Körper als �Urkilogramm� auswählen (ziem-
li h willkürli h), seine Masse als 1 kg de�nieren und die Masse jedes anderen Körpers
dur h Messen der Bes hleunigung bestimmen. Na h der Länge und der Zeit de�-
nieren wir so die dritte Basisgrösse der Physik, die Masse, und glei hzeitig ihre
Einheit:
1
Mit konstanter Kraft ist gemeint, dass die Federwaage eine konstante Dehnung aufweisen soll.
Den physikalis hen Begri� der Kraft führen wir erst im nä hsten Kapitel ein.
2 MASSE 7
Def: 1 Kilogramm ist die Masse des Platin-
Iridium-Zylinders, der in Paris aufbewahrt
wird.
Formelzei hen:m
Einheit: kg
Beispiel: Das Urkilogramm hat die Massem = 1 kg.Die Masse ist ein Mass für den Widerstand, den der Körper einer bes hleunigenden
Kraft entgegensetzt, ein Mass für seine Trägheit. Man spri ht deshalb au h von der
Trägemasse.
2.2 Di hte (bei Bedarf)
Wer mit dem Begri� der Di hte vertraut ist, kann diesen Abs hnitt überspringen.
Die Di hte eines Körpers gibt an, wieviel Masse, gemessen in kg, in einem Kubik-
meter des Körpers enthalten ist. Beispielsweise ist in einem Volumen von V = 1m3
Wasser die Masse m = 1000 kg enthalten, V = 2m3enthält m = 2000 kg usw. Beim
Wasser ist der Quotient ρ := mV = 1000 kg
1m3 = 2000 kg2m3 = ... = 1000 kg
m3 o�ensi htli h
konstant, d.h. unabhängig vom betra hteten Volumen und heisst die Di hte des
Wassers. Allgemein de�niert man:
Def: Die Di hte eines Körpers ist als Masse
pro Volumen de�niert:
ρ :=m
V
Einheit: [ρ] = 1 kgm3 . ρ (spri h �rho�) ist ein grie his her Bu hstabe.
Bemerkung:DieDi hte ist keine neue Basisgrösse, sondern eine abgeleitete Grösse,
da sie mithilfe der (Basis-)Grösse Masse und der (abgeleiteten) Grösse Volumen
(siehe Skript Kinematik) de�niert wurde.
3 KRAFT (2. NEWTON-AXIOM: AKTIONSPRINZIP) 8
Beispiel 2 (Masse einer Holzkugel)
Holz hat etwa die Di hte ρ = 500 kg/m3. Wel he Masse hat eine Holzkugel mit
Radius r = 0.5m?
Kugelvolumen:
V =4
3πr3 =
4
3π(0.5m)3 = 0.52m3
Masse:
ρ =m
V| aufloesen nach m
m = ρV
= 500kg
m3· 0.52m3
= 261.80 kg
3 Kraft (2. Newton-Axiom: Aktionsprinzip)
Wir haben den Begri� der Kraft no h gar ni ht de�niert (obwohl wir oben einen in-
tuitiven Begri� verwendet haben, um die Masse zu de�nieren). Wir erwarten von ihr
si her die beiden folgenden Eigens haften. Erstens: Je stärker ein Körper bes hleu-
nigt werden soll, desto grösser die aufzuwendende Kraft. Zweitens: Je grösser die
Masse des Körpers, desto grösser die aufzuwendende Kraft (bei fest vorgegebener
Bes hleunigung). Die folgende De�nition erfüllt diese beiden Erwartungen.
Aktionsprinzip (2. Axiom): Bewegt si h ein
Körper der Masse m mit der Bes hleuni-
gung a, so wirkt auf ihn die Kraft
F := ma
Der englis he Physiker Isaa Newton de�nierte die Kraft dur h diese Glei hung.
Isaa Newton (1642-1727)
Einheit: [F ] = 1 kg ms2= 1N (1 Newton).
Zur Verans hauli hung: 1N ist z. B. die Kraft, die einen Körper der Masse
m = 1 kg mit a = 1 ms2 bes hleunigt.
3 KRAFT (2. NEWTON-AXIOM: AKTIONSPRINZIP) 9
Bemerkungen:
a) Die Kraft ist keine neue Basisgrösse, sondern eine abgeleitete Grösse, da sie
mithilfe der (Basis-)Grösse Masse und der (abgeleiteten) Grösse Bes hleuni-
gung de�niert wurde.
b) Die abgeleitete Einheit kg ms2 der Kraft ist mit relativ viel S hreibaufwand
verbunden. Deshalb, und weil der Kraftbegri� sehr oft gebrau ht wird (und
natürli h zu Ehren Newtons) verwendet man meistens die Einheit N (New-
ton). Bei neuen abgeleiteten Einheiten werden wir no h oft so verfahren.
Beispiel 3 (Wagen ziehen)
Du ziehst einen Wagen der Masse m = 8 kg auf horizontaler, reibungsfreier Unter-
lage, so dass er mit a = 3m/s2 bes hleunigt. Mit wel her Kraft ziehst du?
F = ma = 8 kg · 3ms2
= 24N
Messung von Kräften
Kräfte misst man mit Federwaagen. Mit Bes hleunigungsexperimenten wie im Ab-
s hnitt 2 kann man Federwaagen skalieren (d. h. eine Skala anbringen), indem man
z.B. Körper der Massen 1 kg, 2 kg, 3 kg, ... mit a = 1m/s2 bes hleunigt und für
jedes Newton einen Stri h auf die Federwaage zei hnet.
Eine Federwaage, die bis 300 N skaliert ist.
Da Newton die Kraft mithilfe der Bes hleunigung de�niert hat, könnte man den
fals hen Eindru k erhalten, dass si h ein unter Kraftein�uss stehender Körper zwangs-
läu�g bes hleunigt bewegen müsse. Das ist aber ni ht so: Man kann zwar eine Fe-
derwaage mithilfe eines bes hleunigten Körpers skalieren. Na hdem sie aber einmal
skaliert ist, kann man mit ihr au h an Gegenständen ziehen (z.B. an einer Wand,
Lokomotive, ...), ohne eine Bes hleunigung auszulösen. Au h in diesem Fall zeigt
die Federwaage den Betrag der ausgeübten Kraft an.
Ob ein Körper unter Kraftein�uss bes hleunigt wird oder ni ht, untersu ht man mit
dem Überlagerunsprinzip (siehe nä hstes Kapitel).
3 KRAFT (2. NEWTON-AXIOM: AKTIONSPRINZIP) 10
Aufgaben 2: De�nition der Kraft
Aufgabe 4 (Handball Abs huss)
Ein Handballer wirft den Ball mit 110 km/h aus dem Stand, indem er ihn auf einem
1.5m langen Weg bes hleunigt.
a) Bere hne die Bes hleunigung des Balls.
b) Mit wel her Kraft bes hleunigt der Handballer den Ball der Masse m = 450 g?
Aufgabe 5 (Handball Pfostens huss)
Der Handball aus obiger Aufgabe tri�t auf den Pfosten des Tors und wird bis zum
Stillstand abgebremst, indem er auf drei Viertel seines Dur hmessers (d = 19 cm)
zusammengedrü kt wird (siehe Abbildung).
a) Bere hne die Bes hleunigung des Balls.
b) Mit wel her Kraft wird der Ball vom Pfosten abgebremst?
Aufgabe 6 (Velo)
Du bes hleunigst mit dem Velo in 5 s aus dem Stillstand auf die Ges hwindigkeit
20 km/h.
a) Bere hne deine Bes hleunigung.
b) Wel he Kraft muss du aufwenden, wenn deine Masse zusammen mit dem Velo
m = 75 kg ist?
Aufgabe 7 (Sprint)
Der Sprinter Usain Bolt legt die ersten 20 m na h dem Starts huss in 2.89 s inklu-
sive Reaktionszeit 0.146 s zurü k.
a) Bere hne seine Bes hleunigung.
b) Wel he Kraft muss er (m = 94 kg) dafür aufbringen?
Aufgabe 8 (Fallende Uhr)
Eine Uhr der Masse m = 150 g fällt aus 1.5m Höhe auf den Boden. Beim Aufprall
wird sie auf einer Stre ke von 0.5mm (infolge vorübergehender Deformation von
Boden und Uhr) zur Ruhe gebra ht.
a) Bere hne ihre Bes hleunigung während des Aufpralls.
b) Wel he Kraft wirkt während des Aufpralls auf die Uhr?
3 KRAFT (2. NEWTON-AXIOM: AKTIONSPRINZIP) 11
Lösungen 2: De�nition der Kraft
Aufgabe 4
a) v = 1103.6 m/s = 30.56m/s⇒ a = v2
2s = (30.56m/s)2
2·1.5m = 311.21m/s2
b) F = ma = 0.45 kg · 311.21m/s2 = 140.05N
Aufgabe 5
a) Der Bremsweg ist ein Viertel des Balldur hmessers, also
s =19 cm
4= 4.75 cm = 0.0475m.
Damit erhält man seine Bes hleunigung
a =v2
2s=
(30.56m/s)2
2 · 0.0475m = 9827.81m/s2
b) F = ma = 0.45 kg · 9827.81m/s2 = 4422.51N
Aufgabe 6
a) Die errei hte Endges hwindigkeit in m/s ist
v =20
3.6m/s = 5.56m/s2.
Die zugehörige Bes hleunigung ist
a =v
t=
5.56m/s
5 s= 1.11m/s2.
b) F = ma = 75 kg · 1.11m/s2 = 83.33N
Aufgabe 7
a) Die Bes hleunigungsszeit ist t = (2.89−0.146) s = 2.744 s, also seine Bes hleu-nigung
a =2s
t2=
2 · 20m(2.744 s)2
= 5.31m/s2
b) F = ma = 94 kg · 5.31m/s2 = 499.37N
Aufgabe 8
a) Die Uhr errei ht den Boden na h dem freien Fall mit der Ges hwindigkeit
v =√2as =
√
2gs =√2 · 9.81 · 1.5m = 5.42m/s.
Dur h Deformation von Boden und Uhr wird die Uhr auf dem Weg s =0.5mm = 0.0005m von dieser Ges hwindigkeit bis zum Stillstand mit der
Bes hleunigung
a =v2
2s=
(5.42m/s)2
2 · 0.0005m = 29′376.4m/s2
abgebremst.
b) F = ma = 0.15 kg · 10′849.88m/s2 = 4406.46N
4 ÜBERLAGERUNGSPRINZIP 12
4 Überlagerungsprinzip
4.1 Kraft als Vektor
Das Verhalten eines Körpers hängt ni ht nur vom Betrag der auf ihn wirkenden
Kraft, sondern au h von ihrer Ri htung ab. Es ist deshalb oft sehr zwe kmässig,
Kräfte als Vektoren darzustellen.
Beispiel: Curlingstein
~F1 ~F2
Unter der Wirkung der Kraft
~F1 wird si h der Curlingstein
anders bewegen als unter der Kraft
~F2.
Dabei gibt die Ri htung des Vektors die Ri htung der Kraft an und seine Länge den
Betrag der Kraft (mit vereinbartem Massstab, z. B. 1 cm ≡ 1N)
4.2 Überlagerungsprinzip
Oft wirken auf einen Körper mehr als nur eine Kraft. Wie verhält er si h dann?
Überlagerungsprinzip (Zerlegungssatz):
Greifen an einem Körper mehrere Kräfte
~F1, ... ,~Fn an, so kann man sie dur h ihre
Vektorsumme
~F := ~F1 + ... + ~Fn
ersetzen.
~F heisst die Resultierende der
Kräfte
~F1, ... ,~Fn.
Damit ist gemeint: Greifen an einem Körper mehrere Kräfte
~F1, ..., ~Fn an, so ver-
hält si h der Körper genau glei h wie wenn nur die einzige Kraft
~F angreifen würde.
Bemerkung: Das Überlagerungsprinzip wird oft als das 4. Newton-Axiom bezei h-
net. Man kann es ni ht beweisen.
Insbesondere folgt aus dem Überlagerungsprinzip folgende wi htige Erkenntnis:
Im 2. Newton-Axiom F = ma ist F im-
mer der Betrag der Resultierenden aller am
Körper angreifenden Kräfte.
4 ÜBERLAGERUNGSPRINZIP 13
Beispiel 4 (Curling)
Zwei Personen s hieben glei hzeitig eine gewisse Zeit lang an einem Curlingstein
(m = 18.16 kg), die eine Person mit der Kraft F1 = 10N , die andere re htwinklig
dazu mit F2 = 20N , wie in der Zei hnung darstellt.
~F1
~F2
Curlingstein
a) Unter wel hem Winkel zu
~F2 bewegt si h der Stein?
~F1
~F2
~Fα
tanα =F1
F2
=10N
20N=
1
2α = 26.6◦
b) Bere hne die Resultierende des Curlingsteins.
F =√
F 21+ F 2
2=√
(10N)2 + (20N)2 = 22.36N
) Bere hne die Bes hleunigung des Curlingsteins.
a =F
m=
22.36N
18.16 kg= 1.23
m
s2
Beispiel 5 (Seilziehen)
Ziehen beide Parteien glei h stark an einem Seil, d.h. mit der Kraft
~Z bzw. −~Z, soist die Resultierende
~F = ~Z + (−~Z) = ~0
~Z −~ZSeil
Wegen des Überlagerungsprinzips bewegt si h das Seil so, als ob an ihm nur die
einzige Kraft
~F = ~0 angreifen würde, also keine. Deshalb bewegt si h das Seil wegen
des Trägheitssatzes (oder au h wegen des Aktionsprinzips F = ma) ni ht.
Die am Ende des letzten Kapitels 3 aufgeworfene Frage, wann si h ein unter Kraftein-
�uss stehender Körper bes hleunigt bewegt und wann ni ht, können wir nun mithil-
fe des Überlagerungsprinzips beantworten: Er bewegt si h ni ht bes hleunigt, wenn
die Vektorsumme aller an ihm angreifenden Kräfte null ist, andernfalls bes hleu-
nigt. Da si h die am Ende von Kapitel 3 erwähnte Lokomotive ni ht bewegt, wenn
man mit einer Federwaage an ihr zieht, müssen o�ensi htli h no h andere Kräfte
auf sie einwirken: Diese Kräfte bespre hen wir im nä hsten Kapitel. (Es sind die
Gravitationskraft, die Normalkraft und die Reibungskraft).
4 ÜBERLAGERUNGSPRINZIP 14
Aufgaben 3: Überlagerungsprinzip
In allen Aufgaben verna hlässigen wir die Reibungskraft (siehe später) zwis hen Eis
und Curlingstein.
Aufgabe 9 (Curling, re hneris h)
Zwei Personen s hieben mit der Kraft F1 = 2N bzw. mit
der Kraft F2 = 3N eine gewisse Zeit an einem Curling-
stein (m = 18.16 kg), wie in der Zei hnung dargestellt.
Die beiden Kräfte stehen senke ht aufeinander.
a) Bere hne den Betrag der resultierenden Kraft.
b) Unter wel hem Winkel zu
~F2 bewegt si h der Stein?
) Bere hne die Bes hleunigung des Steins.
~F1
~F2
Aufgabe 10 (Curling, graphis h)
Drei Personen s hieben mit den Kräften
~F1 bzw.
~F2
bzw.
~F3 eine gewisse Zeit an einem Curlingstein (m =18.16 kg), wie in der Zei hnung dargestellt. Der Kräfte-
massstab ist 1 cm ≡ 10N .
a) Ermittle den Betrag der resultierenden Kraft zei h-
neris h.
b) Unter wel hem Winkel zu
~F2 bewegt si h der Stein?
(Miss den Winkel mit dem Transporteur. An der
Prüfung musst du keinen Transporteur dabeihaben.)
) Bere hne die Bes hleunigung des Steins aus dem
Resultat von a).
~F1
~F2
~F3
Aufgabe 11 (Curling, graphis h)
Fünf Personen drü ken mit der Kraft
~F1 bzw.~F2 bzw.
~F3
bzw.
~F4 bzw.
~F5 eine gewisse Zeit auf einen Curlingstein,
wie in der Zei hnung dargestellt.
a) Ermittle die resultierende Kraft zei hneris h.
b) Bewegt si h der Stein glei hförmig oder glei hmäs-
sig bes hleunigt?
~F1~F2
~F3
~F4
~F5
4 ÜBERLAGERUNGSPRINZIP 15
Lösungen 3: Überlagerungsprinzip
Aufgabe 9
~F1
~F2
~F
α
a) Pythagoras: F =√
F 21 + F 2
2 =√
(2N)2 + (3N)2 =√13N2 = 3.61N
b) Trigonometrie: α = tan−1(23 ) = 33.69◦
) Aktionsprinzip: a = Fm = 3.61N
18.16 kg = 0.19N
Aufgabe 10
~F2
~F1
~F3
~F
α
a) Dur h Aneinanderhängen der Vektoren
~F1,
~F2,~F3 erhält man zei hneris h die Resultie-
rende
~F (siehe Zei hnung links). Mit dem
Massstab misst man ihre Länge: a. 2 cm.
Also ist die Resultierende
F = 20N
b) Mit dem Transporteur (=Winkelmesser)
misst man den Winkel
α = 76◦
) Au�ösen des Aktionsprinzips F = ma na h a liefert
a =F
m=
20N
18.16 kg= 1.10m/s2
Bemerkung zu a): Es spielt keine Rolle, in wel her Reihenfolge man die Vektoren
aneinanderhängt: Man erhält immer das glei he
~F (du kannst es ausprobieren).
Aufgabe 11
~F1
~F2
~F3
~F4
~F5
a) Hängt man alle Vektoren aneinander, liegt der
Spitz des letzten Vektors (hier
~F5) beim An-
fang des ersten (hier
~F1), deshalb ist die Re-
sultierende der Nullvektor:
~F = ~0
b) Wegen des Überlagerunsprinzips bewegt si h
der Stein wegen
~F = 0 so, als ob keine Kraft anihm angreifen würde. Wegen des Trägheitssat-
zes bewegt si h der Stein daher glei hförmig.
(Falls er anfangs in Ruhe ist, bleibt er das.)
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 16
5 Beispiele von Kräften
Die meisten Kräfte, mit denen wir uns bis hierhin bes häftigt haben, wurden von
Mens hen ausgeübt. (Ausser in den Aufgaben: Beim Pfostens huss beim Handball
und bei der am Boden aufprallenden Uhr.) In der Natur sind aber die meisten Kräfte
ni ht von Mens hen erzeugt.
5.1 S hwerkraft
Erinnerung (Kinematik): Alle Körper fallen mit der glei hen Bes hleunigung g :=9.81m/s2 zum Boden. Auf einen Körper der Masse m wirkt na h dem Aktions-
prinzip also die Kraft G = mg. Diese Kraft wirkt au h dann, wenn der Körper am
Fallen gehindert wird.
Beispiel: Blumenvase auf Tis h
~G
S hwerpunkt
G = mg
Auf einen Körper der Masse m wirkt die
S hwerkraft G = mg. ~G zeigt zum Erdmit-
telpunkt und greift im S hwerpunkt an.
Synonyme zum Begri� S hwerkraft: Statt S hwerkraft sagt man au h Gravita-
tionskraft, Gewi htskraft oder kurz Gewi ht.
A htung: In der Umgangsspra he sind die Begri�e Gewi ht und Masse Synonyme,
in der Physik ni ht: Die Masse (siehe Kapitel 2) ist ein Mass für die Trägheit eines
Körpers und ist unabhängig vom Ort im Weltall, das Gewi ht ist die Kraft, mit
der die Erde, der Mond, ... diese Masse an si h zieht (siehe später) und hängt vom
Himmelskörper (Erde, Mond, ...) ab. Dazu folgendes Beispiel:
Beispiel 6 (Gewi htsunters hied auf Erde und Mond)
Wel he Kraft zeigt die Federwaage auf der Erde bzw. auf dem Mond an? (Gravita-
tionsbes hleunigung auf dem Mond: gM = 1.64m/s2)
m = 1 kg
~G
Erde: G = mg = 1 kg · 9.81 ms2
= 9.81NMond: G = mg = 1 kg · 1.64 m
s2= 1.64N
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 17
5.2 Normalkraft
Wäre die Gewi htskraft die einzige an der Vase angreifenden Kraft im obigen Bei-
spiel, so wäre die Vase ni ht in Ruhe, denn wegen des Trägheitssatzes muss die
Vektorsumme aller angreifenden Kräfte auf ein ruhendes Objekt
~0 sein.
Beispiel 7 (No hmals Blumenvase auf Tis h)
Zei hne alle Kräfte ein, die auf die Blumenvase wirken.
~G
~NNormalkraft
Gewi htskraft
Es ist die Tis hplatte, die diese Normalkraft auf die Vase ausübt. Sie greift an der
unteren Flä he der Vase an, ist glei h lang wie
~G und zeigt in die entgegengesetzte
Ri htung wie
~G. Die Vektorsumme, die Resultierende, ist der Nullvektor:
~G+ ~N = ~0.
Def: Jede Kraft, die senkre ht auf eine Flä-
he wirkt, heisst Normalkraft.
Beispiel 8 (Skifahrerin bergab)
Eine Skifahrerin (m = 60 kg) fährt reibungsfrei einen Hang mit Neigungswinkel
α = 20◦ hinunter.
a) Zei hne alle Kräfte ein, die auf sie wirken.
~G
~N Normalkraft
b) Bere hne den Betrag der Resultierenden.
Wir zerlegen
~G in eine Kraft
~G|| parallel
zum Boden und
~G⊥ senkre ht dazu:
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 18
~G
α ~G⊥
~G‖
~N
α
~G⊥ und
~N müssen glei h lang sein. (Die
Skifahrerin versinkt ni ht im Boden und
sie s hwebt ni ht davon.) Deshalb ist die
Resultierende
~F = ~G‖ + ~G⊥ + ~N︸ ︷︷ ︸
~0
= ~G‖
Ihr Betrag ist (Trigonometrie):
F = G‖ = G · sinα = mg · sinα= 60 kg · 9.81m
s2· sin 20◦
= 201.31N
) Bere hne die Bes hleunigung der Skifahrerin.
Aktionsprinzip: a = Fm = 201.31N
60 kg = 3.36 ms2
Zum Verständnis von Teil b): Wir haben
~G künstli h in zwei Kräfte
~G⊥,~G‖
zerlegt, deren Summe
~G ist, und dann
~G dur h
~G⊥,~G‖ ersetzt. Das darf man wegen
des Zerlegungssatzes. Genau genommen müsste man dana h
~G aus der Zei hnung
entfernen (weshalb sie nur no h gestri helt gezei hnet ist): Es greifen nun die drei
Kräfte
~G, ~G⊥,~G‖ an der Kiste an.
Der Zwe k dieser Zerlegung ist, die Resultierende auf einen Bli k erkennen zu
können (nur zei hneris h), in diesem Fall
~G‖.
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 19
Aufgaben 4: S hwerkraft und Normalkraft
Aufgabe 12 (Skifahrer am Hang bergauf)
Ein Skifahrer (m = 60 kg) fährt reibungsfrei einen Hang mit Neigungswinkel α =10◦ hinauf (ni ht hinunter, wie im Theorie-Beispiel).
a) Zei hne alle Kräfte ein, die auf den Skifahrer wirken.
b) Bere hne den Betrag der Resultierenden.
) Bere hne die Bes hleungiung des Skifahrers.
d) Wie weit kommt der Skifahrer bis er stillsteht, wenn er am Anfang die Ge-
s hwindigkeit v = 54 km/h hat.
Aufgabe 13 (Curlingstein)
Ein Curlingstein (m = 18.16 kg) gleitet reibungsfrei über die Eis�ä he.
a) Zei hne alle Kräfte ein, die auf den Stein wirken.
b) Wie gross ist der Betrag der Resultierenden?
) Wie gross ist die Bes hleunigung des Steins?
d) Wie gross ist seine Ges hwindigkeit na h 7 s, wenn er anfangs die Ges hwin-
digkeit 2m/s hat?
e) Mit wel her Kraft muss man ihn abbremsen, damit er innerhalb eines Meters
zum Stillstand kommt?
Aufgabe 14 (Federwaage auf vers hiedenen Himmelkörpern)
m = 3 kg
Ein Stein (m = 3 kg) hängt wie abgebildet an einer Feder-
waage.
a) Zei hne alle Kräfte ein, die auf den Stein wirken.
b) Wel he Kraft zeigt die Federwaage auf der Erde (gE =9.81m/s2), dem Mars (gM = 3.72m/s2), dem Neptun
(gN = 11.15m/s2) und dem Jupiter (gJ = 24.79m/s2)an?
Aufgabe 15 (Lift)
Eine Liftkabine (m = 1000 kg) in einem Wohnhaus fährt
a) mit konstanter Ges hwindigkeit na h oben.
b) mit der Bes hleunigung a = 0.5m/s2 na h oben (beim Anfahren).
) mit der Bes hleunigung a = 0.5m/s2 na h unten (beim Anfahren).
d) mit der Bes hleunigung a = 9.81m/s2 na h unten (beim Anfahren).
Zei hne für jeden der vier Fälle alle Kräfte ein, die auf die Kabine wirken und
bere hne die Kraft, mit der das Seil an der Kabine ziehen muss.
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 20
Lösungen 4: S hwerkraft und Normalkraft
Aufgabe 12
a) Es sind die glei hen Kräfte wie in Beispiel 8:
~G
~N Normalkraft
b) Um die Resultierende zu bere hnen, zerlegen wir die Gewi htskraft
~G wie im
Beispiel 8 (was man wegen des Zerlegungsatzes darf):
~G
α ~G⊥
~G‖
~N
α
~G⊥ und
~N müssen glei h lang sein. (Die Skifahrerin versinkt ni ht im Boden und
sie s hwebt ni ht davon.) Deshalb ist die Resultierende
~F = ~G‖ + ~G⊥ + ~N︸ ︷︷ ︸
~0
= ~G‖
Ihr Betrag ist (Trigonometrie):
F = G‖ = G · sinα = mg · sinα
= 60 kg · 9.81 m
s2· sin 10◦
= 102.21N
) Die Bes hleunigung erhält man aus dem Aktionsprinzip F = ma:
a =F
m=
102.21N
60 kg= 1.70m/s2
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 21
d) Na h der entspre henden Formel im Kinematik-Skript ist
s =v2
2a=
(15m/s)2
2 · 1.7m/s2= 66.18m.
Aufgabe 13
a)
~N
~G
b) Der Betrag F der Resultierenden ist
F = N −G = 0
) Da die Resultierende Null ist, ist die Bes hleunigung wegen des Trägheitssat-
zes au h Null:
a = 0.
(Statt mit dem Trägheitssatz kann man das au h mit dem Aktionsprinzip
erklären: Setzt man in F = ma für die Kraft F = 0 ein und löst na h a auf,
erhält man a = Fm = 0
m = 0)
d) Wegen a = 0 ist die Ges hwindigkeit v konstant, also ist au h na h 7 s
v = 2m/s
e) Na h der entstpre henden Formel im Kineamatik-Skript muss der Stein mit
der Bes hleunigung
a =v2
2s=
(2m/s)2
2 · 1m = 2m/s2
abgebremst werden, also mit der Kraft
F = ma = 18.16 kg · 2m/s2 = 36.32N
gemäss dem Aktionsprinzip.
Aufgabe 14
a)
~G
~F
F und G sind glei h lang.
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 22
b) Erde: GE = mgE = 3 kg · 9.81m/s2 = 29.43N
Mars: GM = mgM = 3 kg · 3.72m/s2 = 11.16N
Neptun: GN = mgN = 3 kg · 11.15m/s2 = 33.45N
Jupiter: GJ = mgJ = 3 kg · 24.79m/s2 = 74.37N
Aufgabe 15
a) Wegen des Trägheitssatzes muss
~Z glei h gross sein wie
~G, also
Z = G = mg = 1000 kg · 9.81 m
s2= 9810N
~G
~Z
b) Damit der Lift na h oben bes hleunigt, muss die Zugkraft
~Z des Seils an
der Kabine grösser sein als
~G (siehe Zei hnung). Die Resultierende ist
F = Z −G.
Für diese gilt bekanntli h (siehe Kap. 4.2) das Aktionsprinzip
F = ma = 1000 kg · 0.5 m
s2= 500N.
Also ist (obige Glei hung na h Z au�ösen und das F einsetzen)
Z = F +G
= F +mg
= 500N + 1000 kg · 9.81m/s2
= 10′310N
~G
~Z
) Damit der Lift na h unten bes hleunigt, muss die Zugkraft
~Z des Seils
an der Kabine kleiner sein als
~G (siehe Zei hnung). Die Resultierende ist
F = G− Z.
Für diese gilt bekanntli h (siehe Kap. 4.2) das Aktionsprinzip
F = ma = 1000 kg · 0.5 m
s2= 500N.
Also ist (obige Glei hung na h Z au�ösen und das F einsetzen)
Z = G− F
= mg − F
= 1000 kg · 9.81m/s2 − 500N
= 9310N
~G
~Z
d) Das Seil darf ni ht mehr an der Kabine ziehen, d. h. es ist Z = 0.
~G
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 23
5.3 Reibungskraft
In allen bisherigen Beispielen haben wir Reibungskräfte ausser A ht gelassen. Selbst
beim ges hobenen Culingstein wirken aber Reibungskräfte zwis hen Stein und Eis-
�ä he, sonst würde er ni ht zur Ruhe kommen. Man unters heidet drei Typen von
Reibungskräften: Gleitreibung, Haftreibung, Rollreibung.
5.3.1 Gleitreibung
Aus der Alltagserfahrung wissen wir: Ein über eine Tis hplatte gleitender Holzqua-
der kommt bald zur Ruhe, wenn niemand s hiebt oder zieht. Wegen des Trägheits-
satzes ist damit klar, dass die Gewi hts- und die Normalkraft ni ht die einzigen
Kräfte sein können, die auf das Quader wirken. Tatsä hli h wirkt eine dritte Kraft,
die Gleitreibungskraft
~RG, die von der Unterlage ausgeübt wird:
~G
~N
~RG ~G
~N
~RG
~v ~v
Die Gleitreibungskraft
~RG ist unabhängig
von der Grösse der
Au�age�ä he und der
Ges hwindigkeit.
Die Gleitreibungskraft
~RG wirkt entgegen-
gesetzt zur Bewegungsri htung und greift
an der au�iegenden Flä he des Körpers an.
Experimente zeigen:
Die Gleitreibungskraft ist nahezu unabhängig von (siehe obige Zei hnung)
• Ges hwindigkeit
• Grösse der Au�age�ä heDie Gleitreibungskraft hängt aber ab von
• Material (→ Tabelle)
• Ober�ä henbes ha�enheit (rauh oder glatt)
von Körper und Unterlage. Was die Materialabhängigkeit betri�t, hat man exmeri-
mentell einen Zusammenhang mit der Normalkraft gefunden:
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 24
RG = µGN
~N
~RG
Zum Verständnis: In der Zei hnung re hts ist
~RG etwa ein Viertel so gross wie
~N , also ist etwa µG = 0.25. Würde jemand den Klotz auf die Unterlage pressen, so
dass die Normalkraft
~N doppelt so gross würde, so würde si h au h die Reibungs-
kraft
~RG verdoppeln usw. Die Länge der Reibungskraft ist aber immer der glei he
Bru hteil der Länge der Normalkraft, ist hier also immer ein Viertel so gross wie
die Normalkraft. Man sagt, die Reibungskraft sei proportional zur Normalkraft.
Def. µG heisst Gleitreibungszahl. Sie ist ma-
terialabhängig (→ Tabelle).
Material Gleitreibungszahl µG Haftreibungszahl µH
Stahl auf Stahl, tro ken 0.1 ... 0.25 0.15 ... 0.3
Stahl auf Stahl, mit Fett 0.02 ... 0.08 0.1
Glas auf Glas 0.4 0.9
Stahl auf Eis, mit Wasser 0.014 0.03
Gummi auf Asphalt, tro ken 0.8 0.9
Gummi auf Beton, tro ken 0.6 0.65
Tabelle: Einige Gleit- und Haftreibungszahlen (Haftreibung siehe später). U.a. weil µG au h von
der Ober�ä henbes ha�enheit abhängt, unters heiden si h die Literaturwerte teilweise sehr.
Modell zur Entstehung der Gleitreibung:
Mikroskop
Selbst glatteste Flä hen sind mikroskopis h betra htet ziemli h rauh.
A htung: In vielen Fällen ist die Normalkraft glei h gross wie die Gewi htskraft,
oft aber au h ni ht, wie z.B. im folgenden Beispiel oder in Aufgabe 19.
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 25
Beispiel 9 (Skifahrerin von Beispiel 8: diesmal mit Reibung)
Eine Skifahrerin (m = 60 kg) fährt einen Hang mit Neigungswinkel α = 20◦ hinun-
ter. Der Gleitreibungskoe�zient sei µG = 0.06.
a) Zei hne alle Kräfte ein, die auf sie wirken.
~G
~N Normalkraft
~RG Gleitreibungskraft
b) Bere hne den Betrag der Resultierenden.
Wir zerlegen
~G in eine Kraft
~G|| parallel
zum Boden und
~G⊥ senkre ht dazu:
~G
α ~G⊥
~G‖
~N
~RG
α
Resultierende:
~F = ~G‖ + ~RG + ~N + ~G⊥︸ ︷︷ ︸~0
= ~G‖ + ~RG
Betrag von
~F : F = G‖ −RG
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 26
G‖ = G · sinα = mg · sinα= 60 kg · 9.81m
s2· sin 20◦
= 201.31N
RG = µGN = µGG⊥ (Da N = G⊥)
= µGG cosα = µGmg cosα (G⊥ = G cosα)
= 0.06 · 60 kg · 9.81ms2
cos 20◦
= 33.19N
Einsetzen:
F = G‖−RG = (201.31−33.19)N = 168.13N
) Wird die Skifahrerin s hneller oder langsamer?
G‖ > RG ⇒ s hneller.
d) Bere hne die Bes hleunigung der Skifahrerin.
Aktionsprinzip: a = Fm= 168.13N
60 kg= 2.80 m
s2
e) Hängt die Bes hleunigung von der Masse der Skifahrerin ab?
a =F
m=
G‖ −RG
m=
mg sinα− µGmg cosα
m
=mg(sinα− µG cosα)
m= g(sinα− µG cosα)
⇒ Nein
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 27
Aufgaben 5: Gleitreibung
Aufgabe 16 (Deine Bes hleunigung als Skifahrer am Hang)
Du (m = 60 kg) fährst auf den Skis einen Hang mit Neigungswinkel α = 5◦ hin-
unter. Die Gleitreibungszahl sei µG = 0.1. (Für Interessierte: Die Gleitreibungszahlist bei kaltem S hnee grösser als bei wärmerem.)
a) Zei hne alle Kräfte ein, die auf di h wirken.
b) Bere hne den Betrag der Resultierenden.
) Wirst du langsamer oder s hneller?
d) Bere hne deine Bes hleunigung.
Aufgabe 17 (Bestimmung von µG deiner S hlitts huhe auf Eis)
Du stehst mit den S hlitts huhen auf dem Eisfeld.
a) Wie könntest du (m = 70 kg) die Gleitreibungszahl µG zwis hen deinen Kufen
und dem Eis bestimmen, wenn du eine Federwaage dabei hast?
b) Ein Freund zieht di h mit der Federwaage mit der Kraft F = 13N mit kon-
stanter Ges hwindigkeit über das Eis. Bere hne die Gleitreibungszahl µG.
Aufgabe 18 (Auslaufen auf den S hlitts huhen)
Du ziehst eine Freundin (m = 55 kg) auf den S hlitts huhen, bis sie die Ges hwin-
digkeit v = 10 km/h hat.
a) Wie weit fährt sie, na hdem du sie loslässt, wenn sie si h ni ht bewegt? (µG =0.02)
b) Fährt eine mollige oder eine dünne Freundin weiter? (Den Luftwiderstand
berü ksi htigen wir ni ht.)
Aufgabe 19 (Zubringer-Skilift über gefrorenen See: Bestimmung von µG)
Ein Bügel-Skilift führt über einen zuge-
frorenen See. Das Zugseil des Liftbügels
bildet mit der See�ä he den Winkel α =40◦, während es di h auf den Skis über
den See zieht.
a) Zei hne alle Kräfte ein, die auf di h wirken.
b) Mit einer Federwaage misst du, dass di h (m = 70 kg) der Lift mit der KraftF = 50N zieht (in Seilri htung). Bere hne die Normalkraft, die der Boden
auf deine Skis ausübt.
) Bere hne die Gleitreibungskraft RG, die der Boden auf deine Skis ausübt.
d) Bere hne die Gleitreibungszahl µG.
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 28
Lösungen 5: Gleitreibung
Aufgabe 16
a)
~G
~N Normalkraft
~RG Gleitreibungskraft
b) Wir zerlegen
~G in eine Kraft
~G|| parallel zum Boden und
~G⊥ senkre ht dazu:
~G
α ~G⊥
~G‖
~N
~RG
α
Resultierende:
~F = ~G‖ + ~RG + ~N + ~G⊥︸ ︷︷ ︸
~0
= ~G‖ + ~RG
Betrag von
~F : F = G‖ −RG
G‖ = G · sinα = mg · sinα= 60 kg · 9.81 m
s2· sin 5◦
= 51.30N
RG = µGN = µGG⊥ (Da N = G⊥)
= µGG cosα = µGmg cosα (G⊥ = G cosα)
= 0.1 · 60 kg · 9.81 m
s2cos 5◦
= 58.64N
Einsetzen:
F = RG −G‖ = (58.64− 51.30)N = 7.34N
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 29
) RG > G‖ ⇒ langsamer.
d) Aktionsprinzip: a = Fm = 7.34N
60 kg = 0.12 ms2
e) Aus dem Aktionsprinzip F = ma folgt
a =F
m|Teil b) : F = G‖ −RG
=G‖ −RG
m|Teil b) : G‖ = mg sinα, RG = µGmg cosα
=mg sinα− µGmg cosα
m|mg ausklammern
=mg(sinα− µG cosα)
m| kuerzen
= g(sinα− µG cosα)
Der letzte Term enthält m ni ht mehr. ⇒ Nein
Aufgabe 17
a) Du kannst di h von jemandem mit konstanter Ges hwindigkeit mit der Feder-
waage ziehen lassen und die Kraft ablesen. So hast du alle Daten, um µG zu
bere hnen (siehe Teil b)
b) RG = µGN ⇒ µG = RG
N = RG
G = RG
mg = 13N70·9.81m/s2 = 0.019
Aufgabe 18
a) Die Resultierende ist die Gleitreibungskraft
RG = µGN = µGG = µGmg = 0.02 · 55 kg · 9.81m/s2 = 10.79N.
Aus dem Reaktionsprinzip F = ma (mit F = RG) folgt die Bes hleunigung
a =RG
m=
10.79N
55 kg= 0.20m/s2.
Mit der betre�enden Formel aus der Kinematik erhält man den Bremsweg
s =v2
2a=
(10 : 3.6m/s)2
2 · 0.20m/s2= 19.66m
b) Wir führen die glei he Re hnung dur h wie in a), aber allgemeiner, ohne Zah-
len:
Die Resultierende ist die Gleitreibungskraft
RG = µGN = µGG = µGmg
Aus dem Reaktionsprinzip F = ma (mit F = RG) folgt die Bes hleunigung
a =RG
m=
µGmg
m= µGg
Mit der betre�enden Formel aus der Kinematik erhält man den Bremsweg
s =v2
2a=
v2
2µGg.
Dieses Ergebnis hängt ni ht von der Masse ab, also fahren mollige und dünne Freundinnen glei h weit.
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 30
Aufgabe 19
a)
~N
~G~RG
~Z
Damit die Grössenverhältnisse der
Kräfte stimmen, sollte man die
Zugkraft
~Z des Seils in Gedan-
ken in eine Komponente
~Z‖ parallel
zum Boden und in eine Komponen-
te
~Z⊥ senkre ht zum Boden zerle-
gen (siehe Zei hnung in b): Wegen
des Trägheitssatzes muss dann
~Z‖
glei h gross sein wie
~RG und
~Z⊥
zusammen mit
~N so gross wie
~G.~N ist also ein biss hen kürzer als
~G.
b)
~N
~G~RG
~Z‖
~Z⊥α
Für die Bere hnung von N erset-
zen wir
~Z dur h die oben bes hrie-
benen Komponenten
~Z‖ und
~Z⊥.
(Das darf man wegen des Zerle-
gungssatzes.) Man sieht, dass
~N
und
~Z⊥ zusammen glei h gross sein
müssen wie
~G. Also: N + Z⊥ = G.Wir lösen die Glei hung na h Nauf:
N = G− Z⊥ |G = mg
= mg − Z⊥ |Z⊥ = Z sinα (sieheZeichnung)
= mg − Z sinα
= 70 kg · 9.81 m
s2− 50N · sin 40◦
= 654.56N
) Wegen des Trägheitssatzes ist RG = Z‖:
RG = Z‖ |Z‖ = Z cosα (sieheZeichnung)
= Z cosα
= 50N · cos 40◦
= 38.30N
d) Aus der de�nierenden Glei hung RG = µGN für den Gleitreibungskoe�zien-
ten µG folgt
µG =RG
N|Resultate von b) und c) einsetzen
=38.30N
654.56N= 0.059
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 31
5.3.2 Haftreibung
Experiment: Zieht man an einem Klotz mit kleiner Kraft
~F , so bleibt er in Ruhe.
Grund: Die Unterlage übt eine Reibungskraft
~RH auf den Klotz aus.
~RH
~F
~G
~N
~RH
~F
~G
~N
~RHmax
~Fmax
~G
~N
~RG
~F
~G
~N
Zur Abbildung: Nur die Kiste ganz re hts bewegt si h und es ist RHmax> RG.
Solange si h der Körper ni ht bewegt, spri ht man von einer Haftreibungskraft:
Def.
~RH heisst Haftreibungskraft.
Vergrössert man die Kraft
~F ein wenig, und damit
~RH , bleibt der Körper weiterhin
in Ruhe usw. Es gibt eine maximale Kraft
~RHmax, bei der der Klotz gerade no h in
Ruhe bleibt.
Def.
~RHmax heisst maximale Haftreibungskraft.
Zieht man stärker als mit dem Betrag RHmax, beginnt si h der Klotz mit einem
Ru k zu bewegen und man beoba htet:
RHmax > RG. Maximale Haftreibung ist
grösser als Gleitreibung.
Ähnli h wie bei der Gleitreibung �ndet man mit Experimenten:
Die Haftreibungskraft ist nahezu unabhängig von
• Grösse der Au�age�ä he
Sie hängt aber ab von
• Material (→ Tabelle Kap. 5.3.1)
• Ober�ä henbes ha�enheit
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 32
Au h was die Materialabhängigkeit betri�t, ist die maximale Haftreibung analog
zur Gleitreibung (siehe Kapitel 5.3.1) proportional zur Normalkraft:
RHmax = µHN
~N
~RHmax
Def. µH heisst Haftreibungszahl. Sie ist ma-
terialabhängig (→ Tabelle Kap. 5.3.1).
Beispiel 10 (Skis am Hang)
Vreni (m = 70 kg) steht am Hang auf ihren Skis, die gegen das Tal zeigen. Der
Hang hat den Neigungswinkel α = 10◦ und die Haftreibungszahl zwis hen Ski und
S hnee sei µH = 0.1.
a) Bleibt sie stehen, wenn sie keinen Ru k gibt?
b) Hängt die Antwort in a) von Vrenis Masse ab?
) Löse Aufgabe a) ohne Verwendung der Masse.
~G
α ~G⊥
~G‖
~N
~RHmax
α
a)
RHmax = µHN
= µHG⊥= µHG cosα
= µHmg cosα
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 33
= 0.1 · 70 kg · 9.81ms2
cos 10◦
= 67.63N
G‖ = G sinα
= mg sinα
= 70 kg · 9.81ms2
sin 10◦
= 119.24N
G‖ > RHmax ⇒ Sie bleibt ni ht stehen.
b) G‖?
> RHmax
mg sinα?
> µHmg cosα | : mg
sinα?
> µH cosα | : cosα
⇒ Nein.
)
sinα
cosα
?
> µH | trigon.Identitaet
tanα?
> µH
tan 10◦?
> 0.1
0.18 > 0.1√
⇒ G‖ > RHmax ⇒ Sie bleibt ni ht stehen.
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 34
Modell zur Entstehung der Haftreibung (freiwillig): Das Modell ist das
glei he wie bei der Gleitreibung (Kapitel 5.3.1). Es bleibt zu erklären, warum die
Haftreibungskraft grösser ist als die Gleitreibungskraft: Der betre�ende Körper hat
die Tendenz, si h an die Unterlage zu pressen (z.B. aufgrund seines Gewi hts oder
weil ihn jemand gegen die Unterlage drü kt, usw.). Die Gleitbewegung wirkt die-
ser Tendenz entgegen, da die Unebenheiten wie Rampen wirken, an denen si h der
Körper von der Unterlage wegstösst. Der mittlere Abstand des gleitenden Körpers
von der Unterlage ist deshalb ein biss hen grösser als der des ruhenden. Um einen
Körper in Bewegung zu setzen, muss also zuerst dieser Abstand vergrössert werden
und das brau ht zusätzli h Kraft.
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 35
Aufgaben 6: Haftreibung
Aufgabe 20 (Lieferwagen: Möbel auf Lade�ä he)
Du zügelst ein Möbelstü k und stellst es, ohne es anzubinden, auf die Lade�ä he
eines Lieferwagens. Dann fährst du los und bes hleunigst mit 2m/s2. Der Haftrei-bungskoe�zient zwis hen dem Möbelstü k und der Lade�ä he ist µH = 0.2 (was einbiss hen klein ist).
a) Zei hne alle Kräfte ein, die auf das Möbel wirken, falls der Lieferwagen na h
links bes hleunigt.
b) Ruts ht das Möbelstü k na h hinten?
Aufgabe 21 (ABS: Antibo kiersystem
2
)
Zwei Autos fahren auf einer Teststre ke mit der Ges hwindigkeit 100 km/h neben
einander her. Dann ma hen sie glei hzeitig eine Vollbremsung. Das eine Auto ist
mit ABS ausgerüstet, das andere ni ht. Bere hne die Bremswege der beiden Autos.
(µG = 1.05, µH = 1.2)
Aufgabe 22 (Gleit- und Haftreibung)
Eine Kiste (m = 10 kg) steht auf horizontalem Boden (µH = 0.4, µG = 0.3).Bere hne die Reibungskraft zwis hen Kiste und Boden, wenn du die Kiste mit einer
horizontalen Kraft mit dem Betrag
a) F = 0N
b) F = 10N
) F = 38N
d) F = 40N
ziehst.
Verständnisfrage
Aufgabe 23 (Passfahrt im Winter)
Viele Mer edes der C-Klasse haben He kantrieb (=Hinterradantrieb), Volvo haben
hingegen Frontantrieb. Du willst bei s hneebede kter Strasse über den Brünig-Pass
fahren.
a) Wel hes Auto würdest du wählen?
b) Wie würdest du di h ents heiden, wenn du die Wahl zwis hen einem VW
Käfer und einem Mer edes der C-Klasse hättest?
2
In modernen Autos regelt das ABS bei einer Vollbremsung den Bremsvorgang so, dass die Rä-
der ni ht blo kieren. Damit wird errei ht, dass zwis hen Pneus und Strassenbelag Haftreibung und
ni ht Gleitreibung wirkt. Dies verkürzt den Bremsweg, da Haftreibung grösser ist als Gleitreibung.
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 36
Lösungen 6
Aufgabe 20
a)
~G
~N
~RH
~v
b) Damit das Möbel ni ht ruts ht, muss es mit der glei hen Bes hleunigung a =2m/s2 bes hleunigen wie der Lieferwagen. Die Resultierende aller auf das
Möbel wirkenden Kräfte ist die Haftreibungskraft RH , die die Lade�ä he auf
das Möbel ausübt (siehe Zei hnung in a)), also ist dies die bes hleunigende
Kraft, d.h. im Aktionsprinzip F = ma ist RH einzusetzen für F :
RH = ma.
RH kann hö hstens auf RHmaxanwa hsen, d.h. das Möbel ruts ht ni ht, wenn
RHmax
?≥ ma |RHmax
= µHN
µHN?≥ ma |N = mg
µHmg?≥ ma | : (mg) (Nach µH aufloesen)
µH
?≥ a
g|Zahlen einsetzen
0.2?≥ 2m/s2
9.81m/s2
0.2?≥ 0.203 | falsch
⇒ Das Möbel ruts ht.
Aufgabe 21
• Auto ohne ABS: Bei diesem Auto blo kieren die Räder, also ist die Gleitreibungs-
kraft RG die Resultierende Kraft auf das Auto. (Gewi htskraft und Normalkraft
heben si h auf.) Im Aktionsprinzip F = ma ist daher RG einzusetzen für F :
RG = ma.
Aufösen na h a liefert die Bes hleungiung
a =RG
m|RG = µGN
=µGN
m|N = G = mg
=µGmg
m|m kuerzen
= µGg |Zahlen einsetzen
= 1.05 · 9.81m/s2
= 10.30m/s2
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 37
Diese setzen wir in die entspre hende Formel der Kinematik ein, um den Bremsweg
s zu bere hnen:
s =v2
2a=
(100 : 3.6m/s2)2
2 · 10.30m/s2= 37.46m
• Auto mit ABS: Bei diesem Auto blo kieren die Räder ni ht, also ist die Haft-
reibungskraft RH die Resultierende Kraft auf das Auto. (Gewi htskraft und Nor-
malkraft heben si h auf.) Im Aktionsprinzip F = ma ist daher RH einzusetzen für
F :RH = ma.
Aufösen na h a liefert die Bes hleungiung
a =RH
m|RH = µGN
=µHN
m|N = G = mg
=µHmg
m|m kuerzen
= µHg |Zahlen einsetzen
= 1.2 · 9.81m/s2
= 11.77m/s2
Diese setzen wir in die entspre hende Formel der Kinematik ein, um den Bremsweg
s zu bere hnen:
s =v2
2a=
(100 : 3.6m/s2)2
2 · 11.77m/s2= 32.77m
Aufgabe 22
Die maximale Haftreibung ist
RHmax= µHN |N = G = mg
= µHmg |Zahlen einsetzen
= 0.4 · 10 kg · 9.81m/s2
= 39.24N
a) F = 0N ⇒ Es wirkt keine Reibungskraft.
b) 10N < 39.24N ⇒ Die Kiste bewegt si h ni ht. Wegen des Trägheitssatzes ist
deshalb RH = 10N .
) 30N < 39.24N ⇒ Die Kiste bewegt si h ni ht. Wegen des Trägheitssatzes ist
deshalb RH = 30N .
d) 40N > 39.24N ⇒ Die Kiste bewegt si h und deshalb wirkt Gleitreibung.
Also
RG = µGN
= µGmg
= 0.3 · 10 kg · 9, 81m/s2
= 29.43N
(Zum Verständnis: Die Kiste bewegt si h in d) bes hleunigt, obwohl sie mit
der kleineren Kraft gezogen wird als in der Situation in ), in der die Kiste
stillsteht!)
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 38
Aufgabe 23
a) Sowohl beim Mer edes als au h beim Volvo liegt der Motor vorne (unter der
Motorhaube, etwa auf der Höhe der Vorderräder), wel her sehr viel Masse hat. Die
Normalkraft auf die Vorderräder ist daher deutli h grösser als die Normalkraft auf
die Hinterräder und deshalb wegen RHmax= µHN au h die maximale Haftreibungs-
kraft. Wer es no h genauer wissen will:
~RH
~Nvorne
~Nhinten
~G⊥
~G‖
Volvo: Die Normalkraft auf das ange-
briebene Vorderrad ist gross und daher
au h die Haftreibungskraft
~RH , wel he
deshalb bei Bes hleunigungsbedarf grösser
werden kann als die Parallelkomponente
~G‖
der Gewi htskraft, wel he den Volvo na h
hinten zieht.
(Zur Resultierenden: Es gilt Nvorne +Nhinten = G⊥, d.h. die Resultierende auf
den Volvo ist RH − G‖. Sie zeigt na h vor-
ne.)
~RH
~Nvorne
~Nhinten
~G⊥
~G‖
Mer edes: Die Normalkraft auf das ange-
briebene Hinterad ist klein und daher au h
die Haftreibungskraft
~RH , wel he deshalb
bei Bes hleunigungsbedarf ni ht so gross
werden kann wie die Parallelkomponente
~G‖ der Gewi htskraft, wel he den Mer edes
na h hinten zieht.
(Zur Resultierenden: Es gilt Nvorne +Nhinten = G⊥, d.h. ist die Resultierende auf
den Mer edes ist G‖ − RH . Sie zeigt na h
hinten.)
b) Der VW Käfer hat He kantrieb und der Motor liegt hinten, also ist er dem Mer-
edes vorzuziehen.
Bemerkung zur Aufgabe 23: Die Rollreibungskraft, die im nä hsten Kapitel
bespro hen wird, haben wir hier ni ht berü ksi htigt.
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 39
5.3.3 Rollreibung
Au h wenn ein runder Körper (Rad, Kugel, Zylinder ..) auf einer ebenen Unterlage
rollt, treten Reibungskräfte auf. Analog zu den anderen Reibungstypen gilt:
RR = µRN
~N
~RR
Die Erfahrung lehrt: Rollreibung ist wesentli h kleiner als Gleitreibung. Insgesamt
ist also:
µR < µG < µH
Überbli k Reibungstärken
Keine Tabelle zu µR : Die Rollreibungszahl µR hängt ebenfalls von Material und
Ober�ä henbes ha�enheit ab. Im Unters hied zur Gleit- und Haftreibung hängt sie
aber no h von einem weiteren Faktor ab: vom Radius des Rollkörpers. (Bekanntli h
fährt es si h mit einem Velo mit grossen Rädern lei hter als mit kleinen.) Deshalb
ist hier keine Tabelle mit µR-Werten eingefügt.
Beispiel 11 (Wagen ziehen)
Du ziehst einen Wagen (m = 70 kg) auf horizontaler Strasse (µR = 0.1) mit derKraft Z = 100N in horizontaler Ri htung. Wie gross ist die Bes hleunigung des
Wagens?
~Z
~RR ~G
~N
Rollreibungskraft:
RR = µRN = µG = µmg
= 0.1 · 70 kg · 10ms2
= 70N
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 40
Resultierende:
F = Z −RR
= 100N − 70N
= 30N
Bes hleunigung:
a =F
m=
30N
70 kg= 0.43
m
s2
Modell zur Entstehung der Rollreibung:
Erstens: Beim Abrollen werden Roll-
körper und Unterlage ständig defor-
miert. (Ein biss hen vereinfa ht ge-
sagt, fährt der Rollkörper ständig
einen Hang bergauf, der von der vor-
deren Hälfte der Berührungs�ä he ge-
bildet wird.) Dazu ist eine Kraft nö-
tig, um den Körper in Bewegung zu
halten.
Zweitens: Zwis hen den Ober�ä henmolekülen der Unterlage und des Rollkörpers
wirken (elektris he) Anziehungskräfte. Damit si h der Körper vorwärts bewegen
kann, muss er si h von der hinteren Hälfte der Au�age�ä he lösen und dort diese
zwis henmolekularen Kräfte überwinden.
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 41
Aufgaben: Rollreibung
Aufgabe 24 (Vorteil Rollreibung)
Eine Holzkiste (mK = 30 kg) wird einmal auf einem Wagen (µR = 0.02,mW =10 kg) transportiert und einmal direkt über den Boden gezogen (µG = 0.3). Wel he
Masse m dürfte die Kiste haben, damit man si h beim Ziehen mittels Wagen ni ht
mehr anstrengen muss als beim direkten Ziehen über den Boden (in beiden Fällen
mit konsanter Ges hwindigkeit)?
Verständnisfrage
Aufgabe 25 (Velo: Hart oder wei h pumpen?)
a) Ist es deiner Erfahrung gemäss mit hart gepumpten oder mit nur wei h ge-
pumpten Pneus anstrengender beim Velofahren?
b) Su he eine Erklärung mithilfe des Models für die Rollreibung im Kapitel 5.3.3.
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 42
Lösungen: Rollreibung
Aufgabe 24
Die Gleitreibungskraft beim über den Boden s hleifen der Kiste ist
RG = µGN = µGG = µGmKg.
Die Rollreibungskraft beim über den Boden Rollen mit der Kiste auf dem Wagen
ist
RR = µRN = µRG = µR(m+mW )g.
(Dabei haben wir in der ersten Glei hungskette die glei hen Symbole N , G benützt
wie in der zweiten, obwohl sie für unters hiedli he Kräfte stehen.)
Bei glei her Anstrengung sind diese Reibungskräfte glei h gross:
RR = RG | obige Gleichungen einsetzen
µGmKg = µR(m+mW )g
Diese Glei hung müssen wir na h m au�ösen. Wir dividieren als Erstes dur h g:
µGmK = µR(m+mW ) | ausmultiplizieren
µGmK = µRm+ µRmW | − µRmW
µGmK − µRmW = µRm | : µR
µGmK − µRmW
µR= m |Zahlen einsetzen
m =0.3 · 30 kg − 0.02 · 10 kg
0.02= 440 kg
Aufgabe 25
a) Mit wei h gepumpten Pneus.
b) Beim Abrollen auf dem Boden wird der Pneu ständig deformiert, der wei-
he Pneu stärker als der harte. Diese �Deformationsarbeit� muss der Velo-
fahrer verri hten. (Den pyhsikalis hen Begri� der Arbeit bespre hen wir erst
im Skript Energie, die Begründung sollte aber intuitiv einleu hten.) Oder mit
dem vereinfa hten Bild des Modells: Mit wei hem Pneu fährt man am steileren
�Hang� als mit hartem.
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 43
5.4 Federkraft
Betra htet man eine bestimmte Feder, stellt man experimentell fest: Um die um sEinheiten gedehnte Feder gespannt zu halten, ist die Kraft F = ks nötig, wobei keine feste Zahl ist und von Feder zu Feder variieren kann. Sie heisst Federkonstante.
F
s s
~F
F
entspannte Feder
gespannte Feder
Man sagt, F sei proportional zu s:
Hooks hes Gesetz: Die Federkraft F ist pro-
portional zur Auslenkung s:
F = ks
k heisstFederkontante.
Einheit: [k] = 1 Nm. Je härter die Feder, desto grösser k.
Verbindung zum Mathematikunterri ht: Lineare Funktionen haben die Form
y = mx + q. F = ks ist also eine lineare Funktion mit q = 0 (die jeder Dehnung
s die nötige Kraft F zuordnet), d.h der Graph ist eine Gerade und verläuft dur h
den Ursprung. (Lineare Funktionen mit q = 0 heissen au h Proportionen.)
Beispiel 12 (Feder spannen)
Du willst eine Feder dehnen (k = 800N/m) und weisst, dass
du maximal mit der Kraft F = 200N ziehen kannst pro
Hand. Wie weit kannst du die Feder dehnen?
F = ks ⇒s =
F
k=
200N
800N/m= 0.25m
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 44
Aufgaben 7: Federkraft
Aufgabe 26 (Gewi ht an hängender Feder)
An eine Feder mit der Federkonstanten k = 10N/m wird die Masse m = 60 ggehängt. Um wie viel wird die Feder gedehnt
a) auf der Erde?
b) auf dem Mond? (gM = 1.64m/s2)
Aufgabe 27 (Gewi ht an hängender Feder)
Hängt man an eine Feder 50 g, so wird sie um 5 cm länger.
a) Um wie viel ist die Feder insgesamt gedehnt, wenn sie mit 80 g belastet ist?
b) Wie viele Gramm hängen an der Feder, wenn sie um 3 cm gedehnt ist?
Aufgabe 28 (Gewi ht an hängender Feder)
Eine Feder ist mit 50 g belastet. Hängt man weiter 20 g daran, dehnt sie si h um
weitere 3 cm. Bere hne die Federkonstante.
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 45
Lösungen 7: Federkraft
Aufgabe 26
a) Die an der Feder ziehende Gewi htskraft G hängt mit der Auslenkung s na hdem Hooks hen Gesetz gemäss
G = ks
zusammen. Au�ösen na h s:
s =G
k|G = mg
=mg
k
=0.06 kg · 9.81m/s2
10N/m
= 0.0589m
≈ 6 cm
b) Analog zu a) ist
s =G
k|G = mgM
=mgMk
=0.06 kg · 1.64m/s2
10N/m
= 0.0098m
≈ 1 cm
Aufgabe 27
a) Wir bere hnen zuerst die Federkonstante. Na h dem Hooks hen Gesetz ist
G = ks. Au�ösen na h k:
k =G
s|G = mg
=mg
s
=0.05 kg · 9.81m/s2
0.05m= 9.81N/m.
Wieder aus G = ks erhält man dur h Au�ösen na h s und Einsetzen des
gerade bere hneten k:
s =G
k|G = mg
=mg
k
=0.08 kg · 9.81m/s2
9.81N/m
= 0.08m
= 8 cm
5 BEISPIELE VON KRÄFTEN 46
b) Setzt man in G = ks für die Gewi htskraft G = mg ein, erhält man
mg = ks.
Au�ösen na h m:
m =ks
g
=9.81N/m · 0.03m
9.81m/s2
= 0.03 kg
= 30 g
Aufgabe 28
Wir setzen ins Hookss he Gesetz G = ks wieder G = mg ein und erhalten die
Glei hung
mg = ks.
Für die Belastung mit 50 g = 0.05 kg gilt die Glei hung
0.05 · 9.81 = ks.
Leider sind k, s beide unbekannt. Da wir es also mit zwei Unbekannten zu tun
haben, müssen wir ein zweite Glei hung �nden: Für die Belastung mit weiteren
20 g = 0.02 kg, also mit 0.07 kg gilt die Glei hung
0.07 · 9.81 = k(s+ 0.03).
(Die Feder wird jetzt ni ht um s, sondern um s+0.03 Meter gedehnt.) Wir müssen
also das (ni ht lineare) Glei hungssystem
∣∣∣∣
0.05 · 9.81 = ks0.07 · 9.81 = k(s+ 0.03)
∣∣∣∣
in den beiden Variablen k, s lösen. Dazu darfst du den Tas henre hner verwenden,
wenn du di h auskennst. Wir lösen es hier ohne Tas henre hner. Dazu formen wir
die re hte Seite der zweiten Glei hung zuerst um, indem wir k ausmultiplizieren.
Das Glei hungssystem wird dann
∣∣∣∣
0.05 · 9.81 = ks0.07 · 9.81 = ks+ k · 0.03)
∣∣∣∣
Wir subtrahieren die erste von der zweiten Glei hung (Additionsverfahren) und
erhalten
0.02 · 9.81 = 0.03 · k.Au�ösen na h k liefert s hliessli h
k = 6.54N/m
6 REAKTIONSPRINZIP (3. NEWTON-AXIOM) 47
6 Reaktionsprinzip (3. Newton-Axiom)
Für das physikalis he Verständnis ist au h das 3. Newtons he Axiom von grundle-
gender Bedeutung.
6.1 Ein Experiment
~F −~FDie beiden Rollbrettfahrer haben die glei-
hen Massen und stehen zunä hst still. Zieht
der Fahrer re hts mit der Kraft
~F (via Seil)
am Fahrer links, so fahren sie aufeinander
zu und tre�en si h in der Mitte.
Der Fahrer links übt o�ensi htli h, au h wenn er ni ht �aktiv� zieht, die entgegen-
gesetzt glei h grosse Kraft − ~F (via Seil) auf den re hten Fahrer aus.
Unabhängig von der Natur der Kräfte (Seilkraft, Reibungskraft, Gravitationskraft,
...) fand Isaa Newton das folgende Gesetz:
Raktionsprinzip (3. Newton-Axiom): Übt
ein Körper auf einen zweiten Körper die
Kraft
~F aus, so übt der zweite Körper die
entgegengesetzt glei h grosse Kraft −~F auf
den ersten Körper aus.
Man kann dieses Gesetz kurz dur h den lateinis hen Satz �a tio est rea tio� ha-
rakterisieren.
6.2 Beispiele
Beispiel (Normalkraft)
~N
− ~N
Die Kiste fällt ni ht na h unten, weil der Bo-
den die Kiste (an ihrer Au�age�ä he) mit
der Normalkraft
~N na h oben drü kt. We-
gen des Reaktionsprinzips drü kt die Kiste
mit der entgegengesetzten Kraft− ~N auf den
Boden zurü k.
Beispiel (Gewi htskraft)
−~G
~G Die Erde zieht einen Apfel mit der Kraft
~G an. Wegen des Reaktionsprinzips zieht
au h der Apfel die Erde mit der Kraft − ~Gan.
6 REAKTIONSPRINZIP (3. NEWTON-AXIOM) 48
Beispiel (Fortbewegung dur h Rü kstosskräfte: Rakete)
~N − ~N Vreneli wirft über das He k Steine aus dem
Boot. Dabei übt ihre Hand eine Kraft
~N(Normalkraft) auf den betre�enden Stein
aus. Wegen des Reaktionsprinzips wirkt der
Stein mit der Kraft − ~N auf ihre Hand. − ~Ns hiebt Vreneli zusammen mit dem Boot
voran.
Freiwillig: Na h dem glei hen Rü kstossprinzip funktioniert der Raketenantrieb.
Raketen stossen si h an ihren eigenen Verbrennungsgasen ab. So können sie si h
au h im Luftleeren Weltall fortbewegen, was gewöhnli he Flugzeuge ni ht können
(da sie si h an ihrer Umgebungsluft abstossen, die es im Weltall ni ht gibt).
Beispiel (Fortbewegung dur h Reibungskräfte: Fussgänger)
~RH
−~RH
Übt ein Fussgänger die Haftreibungskraft
~RH auf den Boden aus, übt der Boden we-
gen des Reaktionsprinzips die Haftreibungs-
kraft − ~RH auf den Fussgänger aus, wel he
ihn vorwärts s hiebt.
Beispiel (Fortbewegung dur h Reibungskräfte: Auto)
~RH
−~RH
Der Automotor bringt das Rad zum Drehen.
Das Rad übt deshalb eine Haftreibungskraft
~RH auf den Boden aus. Wegen des Reakti-
onsprinzips übt der Boden die Haftreibungs-
kraft − ~RH auf das Rad aus. − ~RH s hiebt
das Auto vorwärts.
6 REAKTIONSPRINZIP (3. NEWTON-AXIOM) 49
Beispiel 13 (Sprungturm im S hwimmbad)
Eine Frau der Masse 100 kg springt vom einem Springturm ins Wasser. Sie fällt
na h unten, weil sie von der Erde angezogen wird.
a) Mit wel her Kraft wird sie von der Erde angezogen?
b) Na h dem Reaktionsprinzip muss au h die Erde von der Frau angezogen wer-
den. Wie gross ist diese Kraft?
) Mit wel her Bes hleunigung fällt die Erde auf die Frau zu? (Masse Erde: M =6 · 1024 kg)
d) Wie würdest du die kleine Bes hleunigung in ) in Worten begründen?
a) G = mg = 100 kg · 10 ms2= 1000N
b) G = 1000N
) Aktionsprinzip: F = ma. ⇒
a =F
m
=G
M
=1000N
6 · 1024 kg= 1.6 · 10−22
m
s2
d) Auf die Erde wirkt zwar die glei h grosse
Kraft wie auf die Frau. Die Erde hat aber
eine sehr viel grössere Masse und ist deshalb
sehr viel Träger als die Frau.
6 REAKTIONSPRINZIP (3. NEWTON-AXIOM) 50
Aufgaben 8: Reaktionsprinzip
Aufgabe 29 (Sprungturm im S hwimmbad)
Eine 100 kg s hwere Frau springt im S hwimmbad vom 10m-Turm.
a) Mit wel her Bes hleunigung fällt die Erde der Frau entgegen während ihres
Sprungs? (Masse Erde: M = 6 · 1024 kg)
b) Bere hne die Fallzeit der Frau.
) Wie viele mm �iegt die Erde der Frau entgegen, bis sie ins Wasser eintau ht?
Aufgabe 30 (Gewi htskraft)
Fritz steht auf der Waage und sie zeigt 60 kg an.
a) Wie gross ist sein Gewi ht?
b) Mit wel her Kraft zieht er die Erde an si h?
Aufgabe 31 (Gewi ht anheben)
Vreni (m = 55 kg) hat unendli h viel
Kraft und will eine Kiste (m = 35 kg)anheben, indem sie horizontal am Seil
zieht (siehe Zei hnung). Der Haftrei-
bungskoe�zient zwis hen ihren S hu-
hen und dem Boden ist µH = 0.6.
a) Zei hne alle Kräfte ein, die auf die Kiste und auf Vreni wirken würden, wenn
sie die Kiste mit konstanter Ges hwindigkeit na h oben ziehen würde.
b) S ha�t es Vreni überhaupt?
Verständnisfragen
Aufgabe 32 (No hmals das Auto vom obigen Beispiel)
Das Auto habe Vorderradantrieb und sei am
Bes hleunigen. Zei hne alle Reibungskräfte
ein, die zwis hen dem Vorderrad und der
Strasse bzw. zwis hen dem Hinterrad und
der Strasse wirken.
Berü ksi htige dabei bei der Wahl der Kräfteverhältnisse, dass der s hwere Motor
vorne liegt im Auto.
Aufgabe 33 (Frontalkollision Lastwagen mit Sportwagen)
Ein Lastwagen kollidiert frontal mit einem kleinen Sportwagen.
a) Wel hes Fahrzeug erfährt die grössere Aufprallkraft?
b) Wel hes Fahrzeug erfährt die grössere Bes hleunigung?
) Wer wird mit der grösseren Kraft abgebremst, der Lastwagen hau�eur oder
Sportwagenlenker? (Nimm an, dass die Fahrzeuglenker die glei he Masse ha-
ben und die glei he Bes hleunigung erfahren wie ihr Fahrzeug.)
Aufgabe 34 (Sumpf)
Warum kann man si h ni ht an den eigenen Haaren aus dem Sumpf ziehen?
6 REAKTIONSPRINZIP (3. NEWTON-AXIOM) 51
Aufgabe 35 (S hlitten ziehen)
Du ziehst einen S hlitten aus dem Stillstand, der dadur h glei hmässig bes hleunigt
werde.
~Z−~Z
a) Die Kraft
~Z, die du auf den S hlitten ausübst hat na h dem Reaktionsprinzip
die Reaktionskraft −~Z zur Folge (siehe Zei hnung). Die Vektorsumme dieser
beiden Kräfte ist o�ensi htli h Null. Müsste der S hlitten ni ht stehen bleiben
gemäss dem Trägheitssatz?
b) Zei hne alle Kräfte ein, die auf di h wirken. Dabei sollen die Angri�spunkte
stimmen und die Längenverhältnisse realistis h sein.
) Drü ke deine Bes hleunigung dur h die in b) eingezei hneten Kräfte aus (und
natürli h dur h deine Masse m).
6 REAKTIONSPRINZIP (3. NEWTON-AXIOM) 52
Lösungen: Reaktionsprinzip
Aufgabe 29
a) Aus dem Aktionsprinzip G = Ma mit der Gewi htskraft G der Frau und
Erdmasse M folgt
a =G
M|G = mg (m = Masse der Frau)
=mg
M
=100 kg · 9.81m/s2
6 · 1024 kg= 1.635 · 10−22 m/s2
b) Mit der betre�enden Formel
t =
√
2s
a
der Kinematik erhält man mit der Bes hleunigung a = g = 9.81m/s2 und der
Fallhöhe s = 10m
t =
√
2s
a=
√
2 · 10m9.81 m
s2= 1.43 s
) Wieder aus der entspre henden Formel
s =a
2t2
der Kinematik folgt mit der in a) bere hneten Bes hleunigung a und der in
b) bere hneten Fallzeit t
s =a
2t2 =
1.635 · 10−22 m/s2
2· (1.42 s)2 = 1.67 · 10−22m = 1.67 · 10−19mm
(Dieser Weg ist etwa 100'000 mal kleiner als der Dur hmesser des Kerns eines
Wassersto�atoms.)
Aufgabe 30
a) G = mg = 60 kg · 9.81m/s2 = 588.6N
b) Na h dem Reaktionsprinzip ebenfalls mit G = 588.6N .
6 REAKTIONSPRINZIP (3. NEWTON-AXIOM) 53
Aufgabe 31
a) Damit si h die Kiste mit konstanter Ges hwin-
digkeit na h oben bewegt, muss die Zugkraft
~Zdes Seils (na h oben) glei h gross sein wie die
na h unten ziehende Gewi htskraft
~GK der Ki-
ste (wegen des Trägheitssatzes). Vreni muss al-
so mit einer glei h grossen Kraft (sie ist ni ht
eingezei hnet) am Seil na h links ziehen. (Ihre
Kraft wird an der Seilrolle umgelenkt und er-
zeugt so
~Z an der Kiste.) Wegen des Reaktions-
prinzips zieht das Seil mit der entgegengesetzt
glei h grossen Kraft
~F an Vreni na h re hts. Damit
Vreni ni ht na h re hts ruts ht, muss der Boden
auf ihren S huhsohlen die entgegengesetzt glei h
grosse Reibungskraft
~RG = − ~F na h links aus-
üben (Trägheitssatz). Und s hliessli h müssen die
Normalkraft
~N und die Gewi htskraft
~G auf Vreni
glei h gross sein.
~Z
~GK
~N
~RH
~F
~G
b) Vreni brau ht minimale Kraft, wenn sie den Stein mit konstanter Ges hwin-
digkeit na h oben zieht. (Eine Bes hleunigung brau ht zusätzli h Kraft.) Es gelten
also die in a) eingezei hneten Kräfte. Da die Zugkraft von Vreni auf das Seil (sie
ist ni ht eingezei hnet) immer glei h gross ist wie die Haftreibungskraft des Bodens
auf Vrenis S huhsohlen, kann sie hö hstens mit der maximalen Haftreibungskraft
ziehen:
F = RHmax
= µHN
= µHG
= µHmg
= 0.6 · 55 kg · 9.81m/s2
= 323.73N
Diese Kraft ist kleiner als die Gewi htskraft
G = mg = 35 kg · 9.81m/s2 = 343.35 kg
der Kiste. ⇒ Sie s ha�t es ni ht
Aufgabe 32
~RH
−~RH~RR
−~RR
~RR
−~RR
Erklärung: Zum Vorderrad: Der Motor
bringt das Vorderrad zum Drehen. Da-
dur h übt es die Haftreibungskraft
~RH auf
den Boden aus und dieser na h dem Re-
aktionsprinzip die Haftreibungskraft − ~RH
auf das Vorderrad. Sobald das Auto in
Bewegung ist, wirkt die Rollreibung
~RR
auf das Vorderrad, entgegengesetzt zur
Bewegungsri htung, und deshalb übt das
Rad, wegen des Reaktionsprinzips, die
Rollreibungskraft − ~RR auf den Boden aus.
(Die Minuszei hen sind bei den Kräftepaa-
ren wie immer vertaus hbar; siehe Bemer-
kung unten.)
6 REAKTIONSPRINZIP (3. NEWTON-AXIOM) 54
Zum Hinterrad: Hier gilt für die Rollreibung das glei he wie bei den Vorderrädern:
Der Boden übt auf das Hinterrad die Rollreibungskraft
~RR aus und als Reaktion
das Rad auf den Boden die Rollreibungskraft − ~RR.
Zu den Kräfteverhältnissen: Erstens: Da der Automotor vorne montiert ist, ist die
Normalkraft
~N auf die Vorderräder grösser als auf die Hinterräder und deshalb we-
gen RR = µRN au h die Rollreibungskraft, wel he daher hinten kürzer gezei hnet
werden soll als vorne. Zweitens: Die resultierende Kraft auf das Auto erhält man,
indem man von RH die Rollreibungskraft der Vorderräder und der Hinterräder sub-
trahiert. Also muss RH grösser sein als diese beiden Rollreibungskräfte zusammen.
(Andernfalls würde das Auto ni ht vorwärts fahren.)
Bemerkung zur Wahl des Vorzei hens bei Reaktionskräftepaaren: In der
obigen Aufgabe mit dem Auto wurde mit
~RH die Reibungskraft bezei hnet, die der
Pneu auf die Strasse ausübt und mit − ~RH die Reaktionskraft, die die Strasse auf den
Pneu ausübt. Die Verteilung der Vorzei hen wurde willkürli h so gewählt und dür-
fen au h umgekehrt gewählt werden. Und das gilt allgemien bei Reaktionskräften.
Anders ausgedrü kt: Wel he Kraft als Aktionskraft und wel he als Reaktionskraft
angesehen wird, ist Ansi htsa he, immer.
Aufgabe 33
a) Die beiden Aufprallkräfte sind glei h gross wegen der Reaktionsprinzips.
b) Formal:Aufgrund der kleinerenMasse erfährt das Auto die grössere Bes hleunigung
wegen des Aktionsprinzips F = ma: Ist mL die Masse des Lastwagens und mS
die des Sportwagens, und bezei hnet F die Aufprallkraft auf den Sportwagen
aus Teil a), also au h die Aufprallkraft auf den Lastwagen (wegen a), so ist
die Bes hleunigung
aS =F
mS
des Sportwagens grösser als die Bes hleunigung
aL =F
mL
des Lastwagens, da mL > mS .
Intuitiv: Man kann das au h ohne Glei hungen, intuitiv verstehen, indem
man si h eine Extremsituation vorstellt: Satt des Sportwagens kollidiere eine
Mü ke mit dem Lastwagen. Das wird die Ges hwindigkeit des Lastwagens
überhaupt ni ht beein�ussen, d.h. seine Bes hleunigung ist null. Die Mü ke
aber wird, sobald sie auf den Lastwagen prallt, innert extrem kurzer Zeit von
ihrer Ges hwindigkeit auf die des Lastwagens gebra ht und damit eine riesige
Bes hleunigung erfahren.
) Bezei hnen m, aS die Masse und die Bes hleunigung des Sportwagenlenkers
und m, aL die Masse und die Bes hleunigung des Lastwagen hau�eurs, so ist
wegen des Aktionsprinzips die Kraft
FS = maS
auf den Sportwagenlenker grösser als die Kraft
FL = maL
auf den Lastwagenlenker, da aS > aL ist wegen b).
6 REAKTIONSPRINZIP (3. NEWTON-AXIOM) 55
Aufgabe 34
Zieht mit der Hand mit einer Kraft
~F an seinen Haaren na h oben, so üben die
Haare wegen des Reaktionsprinzips die Kraft − ~F na h unten auf die Hand aus und
damit auf den Körper.
Aufgabe 35
a) Nein. Der Trägheitssatz handelt von den Kräften, die an ein und demselben
Körper angreifen. Die beiden Kräfte
~Z und −~Z greifen ni ht am glei hen
Körper an:
~Z greift am S hlitten an (und wird von dir ausgeübt) und −~Zgreift an dir an (vom S hlitten ausgeübt).
b)
~G
−~RH
~N−~Z
Erklärung: Die Gewi htskraft
~G ist klar, sie wirkt auf jeden Körper. Die
Normalkraft
~N hindert di h daran, na h unten zu fallen und muss glei h gross
sein wie
~G. Die Zugkraft −~Z ist die Reaktionskraft des S hlittens auf deine
Zugkraft
~Z, mit der du an ihm ziehst. Die Haftreibungskraft
~RH ist die Reak-
tionskraft des Bodens auf die Haftreibungskraft − ~RH , die du auf ihn ausübst,
um di h an ihm abzustossen. (− ~RH ist ni ht eingezei hnet. Ausserdem spielt
es spielt keine Rolle, wel he der beiden Kräfte
~RH , − ~RH man mit einem Minus
versieht; siehe obige Bemerkung.)
) Da si h
~N und
~G aufheben, ist der Betrag der Resultierenden die Di�erenz
F := RH − Z.
Setzt man dieses F in das Aktionsprinzip
F = ma
ein (2. Newton-Axiom), und löst na h a auf, erhält man
a =F
m=
RH − Z
m.
6 REAKTIONSPRINZIP (3. NEWTON-AXIOM) 56
Aufgaben 9: Vermis hte Aufgaben
Aufgabe 36 (S hlitts huhläufer ziehen)
Du ziehst einen S hlitts huhläufer (m = 70 kg, µG = 0.02) mit der konstanten ho-
rizontalen Kraft F = 30N vorwärts.
a) Zei hne alle Kräfte ein, die auf den S hlitts huhläufer wirken.
b) Bere hne seine Bes hleunigung.
Aufgabe 37 (Zugfestigkeit Seil)
Du ziehst eine Kiste der Masse m = 50 kg an einem Seil bes hleunigt senkre ht
na h oben.
a) Zei hne alle Kräfte ein, die auf die Kiste wirken.
b) Mit wel her Bes hleunigung kann die Kiste maximal gehoben werden, damit
das Seil ni ht reisst, wenn die Zugfestigkeit des Seils 1000N ist?
Aufgabe 38 (Obere Bes hleunigungsgrenze Auto)
Angenommen, es gäbe ein Auto mit unbegrenzter Motorenleistung.
a) Könnte es dann beliebig stark bes hleunigen?
b) Ist die Bes hleunigung des Autos maximal, wenn der Fahrer das Gaspedal so
bedient, dass die Räder �dur hdrehen� oder so, dass sie knapp ni ht dur hdre-
hen?
) Bere hne die maximale Bes hleunigung
3
, falls µH = 1.2 und µR = 0.02.
Aufgabe 39 (Strassenlampe)
a) Zei hne alle Kräfte ein, die auf die Lampe wir-
ken.
b) Die beiden Seilstü ke sind je um 4◦ gegen die
Horizontale geneigt. Bere hne die Seilkraft.
m = 5 kg
3
Wir nehmen an, dass das Auto Allradantrieb hat. Denn andernfals müsste man berü ksi h-
tigen, dass auf den Vorderrädern das grössere Gewi ht lastet als auf den Hinterrädern, weil der
s hwere Motor meistens vorne eingebaut ist. Ausserdem verna hlässigen wir den Luftwiderstand,
was bei kleinen Ges hwindigkeiten au h realistis h ist.
6 REAKTIONSPRINZIP (3. NEWTON-AXIOM) 57
Lösungen 9
Aufgabe 36
a)
~G
~Z~N
~RG
b) N , G heben si h auf, die Resultierende F ist also
F = Z −RG
= Z − µgN |N = G
= Z − µGG |G = mg
= Z − µGmg
= 30N − 0.02 · 70 kg · 9.81 m
s2
= 16.27N
Diese Resultierende F setzen wir zusammen mit der Masse m = 70 kg in das
Aktionsprinzip F = ma ein und lösen na h a auf:
16.27N = 70 kg · aa = 0.22
m
s2
Aufgabe 37
a)
~G
~ZDamit die Kiste bes hleunigt, muss die Resultierende na h oben
zeigen, deshalb muss
~Z grösser sein als
~G.
b) Der Betrag der Resultierenden ist F = Z −G. Diesen setzen wir in das Akti-
onsprinzipt F = ma ein und lösen na h a auf:
Z −G = ma | : mZ −G
m= a |G = mg
Z −mg
m= a |Maximale Zugkraft : Z = 1000N
6 REAKTIONSPRINZIP (3. NEWTON-AXIOM) 58
a =1000N − 50 kg · 9.81 kgm/s2
50 kg
a = 10.19m/s2
Aufgabe 38
a) Nein: Übt der Motor eine zu grosse Kraft auf die Räder aus, drehen sie dur h.
In diesem Fall ist die Gleitreibungskraft RG zwis hen Pneu und Strasse die
Kraft, wel he das Auto vorwärtss hiebt und diese ist ni ht beliebig gross (son-
dern dur h RG = µGN gegeben).
b) Die Räder sollen knapp ni ht dur hdrehen, weil dann zwis hen Pneu und Bo-
den Haftreibung wirkt, wel he grösser ist als Gleitreibung, die bei dur hdre-
henden Rädern wirksam ist.
) Folgende vier Kräfte wirken auf das Auto: Gewi htskraft
~G (na h unten),
Normalkraft
~N (na h oben, glei h gross wie
~G), Rollreibungskraft ~RG (na h
hinten), Haftreibungskraft
~RH( na h vorne, grösser als
~RG). (RH ist die Re-
aktionskraft auf die Haftreibung, die die Räder auf den Boden na h hinten
ausüben.)
Der Betrag der Resultierenden ist F = RH − RG und sie zeigt na h vorne.
Wir setzen ihn in das Aktionsprinzip F = ma ein und lösen na h a auf:
RH −RG = ma |RH = µHN, RG = µGN
µHN − µGN = ma |N = G = mg
µHmg − µGmg = ma |mg ausklammern
mg(µH − µG) = ma | : ma = g(µH − µG)
a = 9.81m/s2(1.2− 0.02)
a = 11.57m/s2
Aufgabe 39
a) ~S1~S2 ~G
Zu den Kräfteverhältnissen:
Die Summe von
~S1 und
~S2
zeigt senkre ht na h oben und
muss glei h gross sein wie
~G.
b) Wegen des Trägheissatzes muss die Summe der drei Kräfte null sein:
~S1
~S2
~G
Im zugehörigen glei hs henkligen Dreie k zei hnen wir die Höhe ein,
S1
S2
G α
6 REAKTIONSPRINZIP (3. NEWTON-AXIOM) 59
wel he au h Seitenhalbierende ist. Im grauen re htwinkligen Dreie k gilt na h
De�nition des Sinus folgende Glei hung, die wir na h S1 au�ösen:
sinα =G/2
S2| · S2 : sinα
S2 =G/2
sinα|G = mg
S2 =mg/2
sinα
S2 =5 kg · 9.81 m
s2 /2
sin 4◦
S2 = 351.58N