Über die darstellung einer klasse von stationären stochastischen prozessen durch gleitende mittel
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aber die Darstellung einer Klasse von stationaren stochastischen Prozessen durch gleitende Mittel
Von FRANZ SCHMIDT in Dresden
(Eingegangen am 25.1. 1971)
Einleitung
Von fundamentaler Bedeutung fur die Theorie der stationuren sto- chastischen Prozesse sind Aussagen uber die Darstellung solcher Prozesse durch gleitende Mittel, d. h. in der Form [8]
(0.1)
im Falle eines stationaren stochastischen Prozesses mit diskreter Zeit (z ( t ) } tEz bzw. in der Form
+m
x ( t ) = c a t - n Y b ) (t E 2) n= -Do
+- x ( t ) = j a(t - 8) y(ds) ( t E R)
-00
(0.2)
im Falle eines stationiiren stochastischen Prozesses mit stetiger Zeit {z (t)},ER. Dabei ist {y (t)jgEz ein stationarer stochastischer ProzeS mit I), 2)
__ (0.3) E Y ( d Y ( 0 ) = 4-k (7 €2) und {an},’:-m eine Folge komplexer Zahlen mit
ferner {y (D)}DE B(R) ein zufalliges Map auf den LEBEsauE-integrierbaren Teilmengen von R mit 3)
__ (0.5) E y (D’) y (D”) = 0 (D’ n D”) (D’, D” E 9 (R)) und a eine komplexwertige a-mefibare Funktion auf R mit
C r n 1 Ia.(s)12ds < 00. -ca
(0.6)
1) Mit Ez bezeichnen wir den Eruartungswert der ZufallsgroBe z.
2, Mit 6 .. bezeichnen wir das KRONECKER-Symbol, dij = (o (i i. j) 3, hfit u bezeichnen wir das LEBESQUE-MaB a u f R.
i (i =j) .
380 Schmidt, Dsrstellung cinw Klasse von stochastischen Prozesseii
Die JIenge aller stationaren stochastischell Prozesse {y ( t )JtEz mit der Eigeiischaft (0.3) bzw. die Neiige aller znfalligen MaBe {y (D)},,8(R) mit der Eigeiischaft (0.5) wird vernioge
4 - 0 0
Y a = ,r y(n) (u = {u-n};:-m€w
Yu, = J a ( - s )y (d .s )
n = -00
bzw . +=
( a E Y ’ ) -00
in eineindeutiger Weise auf die Menge aller isornetrischen Operatoren 1’ aus [I?, L’(f2, 93, P)] bzw. aus [P, L’(l2, 93, P)] abgebildet. Bezeichnet inan fur a = {a-n},’-m-30 E 12 bzw. CG E 2‘2 mit a(t) die durch
df) : = {at - n}ir- ~ (t E 2)
u y - s ) := a ( t - s) (s, t ER) bzw.
definierteii Vektoren aus 12 bzw. 2 ’ 2 , so lassen sich die Darstelluiigen (0.1) bzw. (0.2) auf die gemeinsame Form
(0.7)
bringen. Bekannt’lich ist der ProzeB { ~ ( t ) } ~ , ~ (T = 2 bzw. T = R) geneu dann
regular. wenn er eine Darstellung durch einseitige gleitende Mittel (d. h. eine Darstellung der Forin (0.1) bzw. (0.2) mit
~ ( t ) = Y u(‘) ( t E 2 bzw. t E R)
(0.8) C L - , , = 0 ( n = i , 2, . . .)
([8, 151) bzw.
(0.9) u ( - .s) = 0 ( s > 0)
([S, $1)) gestattet. Ferner ist bekannt, da13 jeder in der Form (0.1) bzw. (0.2) darstellbare
stationare stochastische ProzeB ( ~ ( t ) } ~ ~ ~ (T = 2 bzw. T = R) ein 0- ubsolutstetiges SpektrulrnuJ mit der Dichte
Schmidt, Darstelliing einer Klitsse voii stochastischen Prozessen 281
besitzt uiid daS sich umgekehrt jeder stationiire stochastische ProzeS (x ( t ) } t e mit o-absolutstetigem SpektralmaB und einer o-fast fiberall positiven Dichte der Form (0.10) bzw. (0.11) durch gleitende Mittel (0.1) bzw. (0.2) darstellen laBt ( [ I l l , I. Theorem 9.1).
Einige dieser Resultate wurden in [2] bzw. [3] auf homogene zufullige Felder, d. h. stationare stochastische Prozesse (x ( t ) } a z ~ ~ bzw. (x(t)},,,m, iibertragen. Verallgemeinerungen auf mehrdimensionale stationgre sto- chastische Prozesse mit diskreter Zeit wwrden in [II, 141 und auf solche mit stetiger Zeit in [5, 111 angegeben. SchlieIjlich wurde ein Teil der von den zuletzt genannten Autoren erhaltenen Ergebnisse fur verallgemeinerte stationare stochastische Prozesse uber einem HILBERT-Raum formuliert, und zwar in [4, 91 fur den Fall diskreter und in [ lo ] fur den Fall stetiger Zeit.
In der vorliegenden Arbeit befassen wir uns mit verallgemeinerten stationaren stochastischen Prozessen (im Sinne von [13], 1.2.) auf dem Pro- clukt G = G+ x G- einer lokalbikompakten HAusDoRFFschen ABmschen Gruppe Gf und einer beliebigen ABELschen Gruppe G-. Einige der im voran- gehenden referierten Aussagen werden auf eine Darstellung iibertragen, die als naheliegende Verallgemeinerung von (0 .7) auf die genannte Klasse von Prozessen anzusehen ist und die wir deshalb ebenfalls als Darstellung durch gleitende Mittel bezeichnen.
Die Arbeit besteht aus drei Kapiteln. Nachdem zunachst in Kapitel 1 eiiiige Hilfsmittel aus der Theorie der quadratisch integrierbaren Funktionen mit Werten in einem HrLBERT-Raum bereitgestellt worden sind, beweisen wir in den Kapiteln 2 und 3 einige Satze uber die Darstellung von Pro- zessen der hier betrachteten Klasse durch gleitende Mittel. In Kapitel 2 werden solche Darstellungen unter den bereits genannten Voraussetzungen studiert ; in Kapitel 3 wird zusatzlich vorausgesetzt, daS Gf eine vollstandig geordnete Gruppe ist, und es werden Darstellungen durch einseitige gleitende Mittel betrachtet. In beiden Kapiteln 2 und 3 wird auch untersucht, welche zusatzlichen Aussagen man erhalt, wenn G- eine topologische oder eine lokal- bikompakte HAUSDORFFSChe Gruppe ist ; ferner wird auf den Spezialfall einer diskreten Gruppe G+ ausfiihrlich eingegangen.
Die in [I 33 ejngefiihrten Bezeichnungen werden in der vorliegenden Arbeit ohne naheren Kommentar verwendet. Insbesondere bezeichen wir mit % (T) (T : topologischer Raum) die o-Algebra aller BoRELscheii Teil- mengen von T, mit U (G, X) (G: B B E L ~ C ~ ~ Gruppe, X: komplexer HILBERT- Raum) clie Klasse aller unitiiren Darstellungen von G iiber X und mit G(G, 3) (G: ABELsche Gruppe, 3: komplexer BANACH-Raum) die Klasse aller verallgemeinerten stntionuren stochastischen Prozesse auf G uber 3 ([13], 1.2.).
282 Schmidt, Daratellung einer Hlasse von stochastischen Proeessen
1. Einige Hilfsmittel aus der Theorie der quadratisch integrierbaren Funktionen
mit Werten in einem &r.6ERT-R8Um
1.1. Es seien T ein lokalbikompnkter HAusDoRPF-Raum und z einpositives ( R s ~ o ~ s c h e s ) J fuJ auf T (s. [I]. 3.2.2., 3.2.4.). TT‘eiter seienX ein (kom- plexer) HILBERT- Ra~nz und {yj ij E J } ein vollsfuindiges Orthonormalsystem in X.
Definition. ([I], 4.3.4., 4.5.6.). Die auf T definierte Funktion v mit m’erten in X heil3t (beziiglich z) quudratisch integrierbar, falls die folgenden Bedingungen erfiillt sind :
1 . Fiir jedes y EX ist die skalarwertige Funktion x --+ (v (x), y ) (x E T ) z-mel3bar.
2. Zu jeder kompakten Menge K T existiert eine z-Nullmenge N,(v) & K sowie eine abziihlbare Menge J,(w) E J , SO dal3 das Bild von K \N=(W) vermoge v in den1 von { y j ( j E JI;(v)} aufgespannten Teilraum vonX liegt.
3. Es gilt
~ l l ~ ( ~ ) I / w w < cm. T
Wir schreiben P ( T ) = 2’3 ( T , z) bzw. 2”(X, T) = P ( X , T , z) fur den HILBERT-Raum ([I], 4.3.4.) aller (z-Aquivalenzklassen von ) auf T de- finierten und beziiglich z quadratisch integrierbaren Funktionen mit kom- plexen Werten bzw. Werten in X; das Skalarprodukt in diesem Raum ist durch -
[v , t 0 ] 2 = J” W(Z) W ( X ) T (dx) (w, 20 E D ( T , z)) T
bzw. (v, w)? = J (~(x), ~ ( 5 ) ) z (dx) (w, w E Iz((x, T , z))
T
gegeben; die zugehorigen Normen bezeichnen wir rnit \ . I 2 bzw. 1 1 - \ 1 2 . Fur v E YZ(T) und y EX bezeichnen wir Init v o y die durch
( v o y ) (2) := v ( 2 ) y (z ET)
(2’0 yJ, 2 0 0 x ) 2 = [V! zcll(y, x ) ( V ! w E W T ) , y , x EX).
definierte Funktion am 2’2 (X, T ) . Offensichtlich gilt dann
(1.1)
22 (T). I m folgenden sei {u,\i E I } stets ein collstdndiges Orthonormalsystem in
Hilfssatz 1.1.1. Dns Orthononnulsystem {ui 0 qj\i E 1 , j E J } ist in 2 ’ 2 ( X , T ) vollsttindig.
Schmidt, Darstellung einer Klasse voii stocha.stischen Prozessen 283
Beweis. Es sei v eine Funktion aus P ( X , T) mit
(v,uioqj)?- = 0 ((i,j) E I X J ) ,
f (+& Q3j) %(XI z (ax) = 0 ((i,j) E I X J ) .
d. h. ~-
T (1.2)
Wegen der Vollstandigkiet von {uiji E I } in L?(T) folgt aus (1.2) die Existenz von z-Nullmengen Nj(v) (j E J ) , so dalj
(1.3)
gilt. Weiter gibt es zu jeder kompakten Menge K & T eine z-Nullmenge N&(w) 5 K und eine abzahlbare Menge J E ( v ) & J , so dafi die Beziehung
(v(x), Q3j) = 0 (x E T \Nj (%j E J )
(1.4) (v (4 , Vj) = 0 (2 E K\N:,(v),j E J\J,(v)) besteht. Mit N , (w) : = N i (v) U erhalt man aus (1.3) und (1.4)
wegen der Vollstandigkeit von {I& I j E J } i n X
(1.5) V(Z) = 0 (. EK\N,(v)).
Nun gibt es ([I], 4.5.6.) eine Folge von kompakten Mengen Kn(w) E T ( n = 1, 2, . . .) und eine z-Nullmenge N'(v), so daD
(1.6)
gilt. Mit N ( u ) := N'(v) U ( u NKn(v) (v)) ergibt sich aus (1.5) und (1.6) m
n- 1
(1.7) v(2) = 0 (2 € T \ N ( V ) ) .
N ( w ) ist eine z-Nullmenge, (1.7) besagt also nichts anderes als v = 0. Damit ist der Hilfssatz bewiesen.
Folgerung 1.1. Die Menge aller Summen der Form
N
, J J u i , o yn
,JJv,o yn ( v l E w T ) ' y ? t E X tn = 1, - . - 7 NI)
(y, EX, i, E I [n = 1, . . . , N ] ) n=l
bzw. N
l k - i
l iegt in 22 (X, T) dicht. Jedem Q E [XI wird durch
(Q- V) (x) : = Q [v (x) ] (2 E T, v E P ( X , T))
2 81 Schmidt, Dsrstrllung einer Klasse V O I ~ storhastischen Prozessen
in eineindeutiger ITeise eiii Operator Q- E [ P ( X , T)] zugeordnet. Offen- sichtlich gilt
(1.8)
(1.9)
(1.10)
( Z C , $“ v)? = f ( w ( x ) , Q v ( x ) ) z ( d ~ )
( ~ C O X I Q - ( v o YI)), = [w, ~ 1 2 ( x , Q W ) ( V , W E Yz(T) , W, x EX)
(UpO %, &-(up0 y))z = 6,,p(x: Q y ) ( y , x EX, i‘, i” E I ) .
(v, 20 E Y*( ’ X , T ) ) T
,411s eineiii bekannten Satz fiber bilineare Funktionale erhalt man unter Be- achtung der Folgerung 1. I . den
Hilfssatz 1.1.2. D e r Operator Q- E [ P ( X , T ) ] ist d u r c h j e d e der Be- ziehungen (1 .S), (1.9) u n d (1.10) eindeutig best immt.
1.2. Es sei 3 ein (komplexer) BAXACH-RUU?~. Fur A E [3, -?‘Z(X, T)] und v E 2 ’ z ( T) bezeichnen wir mit A [w] den durch
( A [ V ) f , y): = (Af, 2, 0 y). (f E 3, y EX) definierteii Operator aus [3, XI.
Fur A E [3, P ( X , T)] und Q E [XI erhalt man mit B = &-A
(1.11) B [ V ] = QA[Vl ( V E Y ? ( T ) ) ,
inan hat niimlich
(Bf) (x) = (Q-Jf) (2) = Q [ ( A f ) (2)l
( B [ ~ l f , y ) = (Bj, v o Y!). = (Af, ~0 Q*w)z
= (A “t’lf, &* y ) = (&A [ W l f , w) (f E 3, y E X ) .
(a E T , f E 3) und damit
Hilfssatz 1.2.1. Fur beliebige Operatoren A , B E [3, Yz(X, T)] besteht die Beziehuiag
(1.12)
dubei Lonoergiert die Re ihe u u f der rechten Seite von (1.12) absolut.
(4 Bg), = c (A[u!I f , B[uilsl) (f> 9 E 31, i E I
Beweis. Aus Hilfssatz 1.1.1. folgt
(1.13) CA.lf: B g ) , = C (A!, ~ i o q j ) 2 ( u i o pj, Bg),, i E I i€ J
dabei konvergiert die’ Reihe auf der rechteii Seite voii (1.13) absolut. Daraus ergibt sich
(1.14) C-df, &I), = c C (-d j , ui 0 ~ j ) ? (ui o ~ j , Bg), . i E I j € J
Schmidt, Dsrstelluiig eiiier Klasse von stochastischen Prozessen 285
Nun ist
= ( A [uiIf, B[uJ 9) (i E I ) . AUS (1.14) und (1.15) erhslt man die Richtigkeit von (1.12).
Operatoren Ai E [ 3 , X ] (i E I ) mit der Eigenschaft Wir schreiben Zi(3,X) fur den Raum aller Familien (Ai 1 i E I } von
C l I A i f l P < O0 ( f E 3).
( A [Ui] I i E I } E Jl(3,X)
i E I
Hilfssatz 1.2.2. Fiir j e d e n Operator A E [3, Y2 ( X , T ) ] gilt
Umgekehrt gibt es zu jeder Familie {Ai I i E I } E 1;(3,X) genuu einen Operator A E [3, Yl(X, T ) ] , der der Beziehung (1.16) A [ u ~ ] = (i E I ) geniigt. Dieser Operator ist gegeben durch
(1.17) Af= c u p Aif ( f E 31, iEI
dabei konvergiert d ie Reihe auf der rechten Seife von (1.17) im Sinne der Normtopologie in Y2(X, T) .
Beweis. Die erste Aussage des Hilfssatzes ergibt sich unmittelbar aus (1.12). Fur den weiteren Beweis bezeichne $’(I) das (bezuglich der Relation C - nach oben) gerichtete System der endlichen Teilmengen von I . Fur {Ail i E I } E Zi(3,X) setzen wir
A ( I ‘ ) f : = C u i ” A i f ( f €3 ,1 ’€ !$ ’ (1 ) ) . iEI’
Auf Grund von (1.1 ) gilt (1.18) llA(I’) f - A(I”) f I / ; = c IIAJlp ( f € 3 , I ’ , I” E $’ ( I ) ) .
i€I‘ AI”
Aus (1.18) folgt die Konvergenz der MOORE- SMITH-FOlge { A (1’) f}IrE
(f E 3) - d. h. der Reihe auf der rechten Seite von (1.17) - im Sinne der Normtopologie in P ( X , T ) . Wir setzen
Af: = lim A ( I ’ ) f ( = z u i o A i f ) ( f ~ 3 ) . I’E ’B‘(I) tEI
Tiliegeii A (1’) E [3, P ( X , T ) ] (I’ E V ’ ( I ) ) gilt A E [S, Y?(3C, 271. Aus
( A [ U i l f , Y’) = (4, u, O W ) 2 = I,$I) (-4 (1’) f, ui W)? ( f E 9, y E X , i €1)
und der aus (1.1) reaultierenden Beziehung
( A ( I ’ ) f , “ i l ly)? = (Aif, y ) (f E ,7, y EX, i E I’ € 2.77))
286 Schmidt, Darstellung eincr Nassc von stochastischcn Prozcssen
schliel3t man auf die Gultigkeit yon (1.16). - DarJ der hier defiiiierte Ope- rator A der einzige Operator aus [X, Y ? ( X , T)] mit der Eigenschaft (1.16) ist, ergibt sich unmittelbar aus Hilfssat’z 1. I .I., aus
d ( ’ ) [ U i ] = A(?)[UJ (= Si) (i E I) folgt niiinlich
(d“)f , U ~ C pj): = (A‘”[ui]f, vj) = (A‘2’ [~J f , pj) = (A‘2’f, U ~ O pi)^ (f E 3, i E I , j E J )
wid somit A‘’) = A(?). Aus dem Hilfssatz 1.2.2. zieht inan die
Folgerung 1.2. F u r jeden Operator A E [3, P ( X , T ) ] giZt
(1.19) A f = cup A [ u J f ( f E 3), iiI
dabei konvergiert die Reihe ciuf der rechten Seite von (1.19) im S inne der iiornatopologie in P ( X , T ) .
1.3. Es seien T uiid T‘ Zokalbikompakte HAusDoRFF-Raume und z bzw. z’ positive JIaJe auf T bzw. T’. Wir setzen voraus, darJ die Beziehung
(1.20)
besteht. v --+ v’ sei eine isoveetrische Abbildung von F( T , z) auf Yz(T‘, 7‘).
Hilfssatz 1.3. Es gibt genau eine eineindeutige Abbildung A -+ A’ VON
d i m P ( T , z) = dimYq(T’, r’)
[3, Y2(X, T)] auf [3,Y’ ( X , T’)] mit der Eigenschaft (1.21) A”v’] = A[*] ( v EY”’z)).
Beweis. Aus (1.1) erhalt man
( V ’ O W , W ’ O x)q = ( V O W , w o x)? ( E , w EYF’(T),y, x EX).
Folglich gibt es auf Grund der Folgerung 1 . I . genau eine isometrische Ab- bildung T i von B ( X , T) auf P ( X , T’) init der Eigenschaft
(1.22)
Durch A’ := V A wird dann eine eineindeutige Abbildung A --+ A’ von [3, Yq(X, T)] auf [3, P ( X , T’)] definiert, die wegen
T’(V0 y ) = v’o y ( v E .P(T) , y E X ) .
(-4’ [O’l f , y ) = (A’f, 0’ y)3 = (Af, v O y)2 = ( A Ilv3 f , w ) (f E 3, w E X )
der Beziehung (1.21) geniigt. Umgekehrt folgt aus (1.21)
(L4’f, 21‘0 V ) l = ( A f , vo y).? (f E 3, y E X ) und daraus - auf Grund von (1.22) uiid Folgerung 1.1. - A’ = VA.
Schmidt, Darstellung einer Klasse von stochastischen Prozessen 287
1.4. Es sei nun G+ eine lokalbikompukte HAUsDoRFFsChe ABELsche Gruppe rnit dem HAARschen MaJ CT. Wir bezeichnen fur v E Yz(G+) nnd t+ E G+ mit v(€+) die durch
V ( ' ' ) ( X ) : = V ( X + t+) ( X E G+)
definierte Funktion aus Yz(G+) und fur A E [3, Yz(X, G+)] und t+ E G+ mit A(€+) den durch
(A"+)f) (x) := (Af) (X + t+) definierten Operator aus [3, Yz(X, G+)]. Dann gilt
(X E G+,f E 3)
(1.23) A'*+)[v] = A [v(-*+)] (t+ E G + ) ,
man hat namlich auf Grund der Invarianz des HuRschen MaBes
(A '€+)[v] f , y ) = (A(€+$ v 0 9 ) 2 = (Af, v( - f+ )o y)z
= ( A [w(-5+) l f, y ) (f E 3, y E X ) . 1% bezeichnen mit G+ die Charaktergruppe von G+ und mit { l ,+[+}
den Wert des Charakters E + EG+ auf dem Element E + E 0'. Die Gruppe G+ ist selbst ABELsch, HAUsDoRPFsCh und lokalbikompakt ([12], 1.2.6.), und bei geeigneter Normierung des HAaRschen MaBes 8 von G+ ist die inverse FOURIER-PLANCHEREL-Transformation 4 , v -+ 5 eine isometrische Abbildung von P ( G + , CT) auf Y2(G+, 8 ) ([12], 1.5.1., 1.6.l.).
Die (inverse) FOURIER-PLANCHEREL-Transformierte @+ ) von ?I(€+)
v E P ( G + ) , l+ E G+) ist durch ~ _ _
(1.24) = {t+, [ + } 5 ( [ + ) ( l+ CG+) (gegeben ([12], 1.2.4.).
A + A von [3, Y2(X, G+)] auf [ 3 , 9 ( X , 6 + ) ] rnit der Eigenschaft Auf Grund von Hilfssatz 1.3. gibt es genuzc eine eineindeutige Abbildung
(1.25) A[5] = A[w] (W EY' (G+)) .
Fur A E [ 3 , 2 ' 2 ( X , G+)] und Q E [XI erhalt man mit B = Q-A (1.26) B[5] = QA[8] (5 E P ( G + ) ) , man hat namlich auf Grund von (1.11) und (1.25)
B[5] = B[v] = Q A [v] = QA[G] (W EYZ(G2)).
Fur A E [ 3 , l 2 ( X , a+)] und 5+ EG+ bezeichnen wir mit A(S+) den durch
(A'"''f) (5') := { F F T ( A f ) (E') ( E + EG+, f E 3)
4) Fur v E F(P) n P ( G t ) hat diese Transformation die Form
."(?) = J {z,g+} v(2) d ( d r ) (3 E @+). c+
288 Schniidt . Darstcllung einer Klssse von stochastischen Prozesseii
definierten Operator aus [3. 2" (X, c+)]. Dann gilt (1.27) A"+'[5] = &_i"-'f) ] ( P E G+, ij E Y2(GL)); man hat iiainlich
(A(."'[63f.yq = ( * 4 ( E + ) f . L;. = S { E + : ~ } ( ( ~ f ) ( ~ + ) : y l ) ~ ~ a ( d E + ) Q'
- (*4f,f'-:+'"y)2 = (AI]e'-'+']f,y) (f E X : y EX). Aus (1 .23) , (1.25) und (1.27) folgt nun die Richtigkeit von (1.28) A($+) [a] = A(:+) [w] (5" E G+, t t E P ( G c ) ) .
Fiir A E [5. k ' ( X , G")] und Q [.XI besteht die Beziehung (1 2 9 ) f ( ( A f ) (21, Q(4) (a + E - 1 ) o ( W
@+
= [ {t + . -J E - >((-4f) (?) ,&(Ag) ([+))*(@&) (5' € G + , f , g € x), G ;
man hat niimlich auf Grund 1'011 (1.8), ( l . l l ) , (1.12), (1.25), (1.26) und (1.28)
J ((Af) (x), &(Ag) (x + 6')) 0 ( d z ) = C ( A [tdf , QA'""[~ilg) G+ & I
1.5. Es sei nun G - eine d i she te (ABELsche) Gruppe und es bezeichne CT das durch die Beziehung (1.30) ~ ( ( 0 ) ) = 1
normierte HAAnsche MaB auf G+ (das sog. Zahlma@).
v = {v, 1 y E G + } komplexer Zahlen vU (y E G+) mit der Eigenschaft Der HILIIERT-R~UIX P ( G + , a) ( = ?;+) besteht aus allen Pamilieii
das Skalarprodnkb [. , .I2 hat die Form
[w, 1012 = 2 vy Eu (v, 21' E li+). U E G+
{u(-,) 1 x E G+) bezeichne das dnrch u p := b,, (a E GT)
definierte Orthonormalsystem in li+.
standig ; d i ~ s Funktionensystem Bsmerkug. Das Orthonorrnalsysteiii {u(-') 1 z E GT> ist in Zi+ voll-
( U ( - ' ) O y 1 a E G', y EX) spannt also den Rauiii Y ' ( X , G+) auf.
Schmidt, Darstellung einer Klasse von stochastischen Prozesseii 289
Es gilt
(1.32) [v , Z C ( - ~ ) ] ~ = V , ( X E G+, v E Zi+) und
(1.33) (u ( -z ) ) ( - t t ) = u(-(z+t+)) (x, f + E G + ) .
Beziehung Auf Grund von (1.23) und (1.33) besteht fur A E [3, Yz(X,G+)] die
(1.34) A(Ct)[u(-2)] = A [u(-(z+W) 1 (2, E + E G + ) . Aus (1.28) und (1.34) folgt (1.35) A(E+)[,$-z)] = A [c(-(z+t+))] (x, E+ E G + ) .
Ferner gilt fur jeden Operator A E [3, Y2 (X, G + ) ]
(1.36)
man hat namlich A [d-”’If = (Af) (x) (X E G+,f E 3),
( A [u(-z)l f, w) = (At? u ( - % ) o w)z = ( ( A t ) (z), y ) (y EX). Vermoge
(1.37) (Af) (Y) (Y E G+,f E 3) laBt sich also der Raum [3,2‘2(X, G+)] mit dem Raum Zi+ ( S , X ) aller Familien A , = ( A , I y E G + } von Operatoren A , E [ 3 , X ] (y E G’) mit der Eigenschaft
(1.38) c llA,fIP < 00 (f E 3) VE G+
identifizieren (s. Hilfssatz 1.2.2.). Offensichtlich gilt dann
(1.39)
Aus (1.34)
(1.40)
Fur A (1.12) und
(1.41)
A [u‘-”’] = A, (X E G’) .
und (1.39) erhiilt man sofort AG+) = A
E 13, Y2 (X, G’)] und Q E [XI besteht auf Grund von ( l . i l ) , (1.40) die Beziehung
2 s+t+ ($3 E + E G + ) .
s ((Af) (4, &(Ag) (z + E + ) ) a(d4 G+
daraus ergibt sich mit Hilfe von (1.29)
(1.42) j- { E + , E + } ((&I ( E + ) , &(& G+)) WE’) 6+
19 Math. Nachr. 1971, Bd. 51, H. 1-6
290 Schmidt, Darstellung einer Iilasse von stochastischen Prozessen
1.6. Es sei nun G' eine vollstandig geordnete (lokalbikompakte HAUS- DORFFSChe ABELsChe) Gruppe mit dem Ha-mschen Mafi 0. Wir bezeichnen rnit Yt (G+) bzw. U'? (G+) den abgeschlossenen linearen Teilraum aller Funk- tionen v E Y?(G+) mit der Eigenschaft5)
w ( 5 ) = 0 (Z E "G+ bzw. x E oG+, 0-f. ii.)
und mit . Y i (X, G+) den von den1 Funktionensystem
(v 0 y' jv E Yi (G+), y EX} aufgespannten abgeschlosseiien linearen Teilraum von P ( X , G + ) . Danii gilt
(1.43)
(1.44)
P ( G T ) = 2: (a+) @ 2: (G+)
U? (X, G + ) = 2'; (X, GT) @ (X, G+) . Wir bezeichnen fur v E YJ(GT) bzw. 2' E P ( X , G+) mit v* bwz. v* die
orthogonale Projektion \-on v bzw. v auf 2': - (G+) bzw. fi ( X , G+) und fur A E [S, F ( X , G+)] mit A, - den durch
d, f := (At)* (f E 3) definierten Operator aus [ 3 , Y $ (X, G+)].
Fur A E [3, P (X, G+)] g i l t
(1.45) ( A , f ) (z) = {yf) (') (x OGt)} (f E 3) (x E und
Aus (1.43), (i.~), (1.46) und (1.46) folgt (1.4'7) A + - [v] = A [v+] (V E P ( G + ) ) .
Fur A E [S, 3: (X, Gt)] gilt ferner
+ ( E L EG;), (1.48) -A(:+) = A(:+)
man hat niimlich auf Grund voii (1.45)
= ( A " + ) f ) (x) (Z E G+,f E 3). Schliefilich bezeichneii wir mit 2; (e+) den abgeschlossenen linearen
Teilraum aller Funktionen aus 3'2 (G+), die (inverse) FOURIER-PLANCHEREL-
5 ) Wir bezeichnen mit GO' bzw. &'+ die Halbgruppe {?I+ E G+Iq+ 5 0 ) bzw. (q+ E G+Iq+ 2 0 )
und mit GO' bzw. op die Halbgruppe G + \ GO' bzm. G+ \ oG+
Schmidt, Darstellung einer Klasse von stochitstischeii Prozesseii 291
Transformierte von Funktionen aus 2’; (G+) sind, und mit 2’: (X, G’+) den von dem Funktionensystem
- -
( G o y I fi EYi(G+), y EX} aufgespannten abgeschlossenen linearen Teilraum von 2’2 (X, Q+).
[ 3 , Y i (X, G+)] iiber in [3, 2’; (X,G+)]. Bei der Abbildung A + A von [3: P ( X , G+)] auf [3, dPz(X, G+)] geht
1.7. Es sei nun G+ eine vollstandig geordnete diskrete (ABELsche) Gruppe.
Bemerkung 1. Der Teilraum 2’: (G+) bzw. 2’: (G+) von 2’2(G+) (= Zi+) besteht genau aus den v E lt+ mit der Eigenschaft
(1.49) V e Y = 0 (y EG,+) bzw.
(1.50) v Y = 0 (Y E Bemerkung 2. Das Orthonormalsystem {u(-”) I x E ,,G+} bzw. (u@) 1 x EC,’}
ist in 2’: (G+) bzw. 2’: (G+) vollstandig; das Funktionensystem
{u( - ’ )o y I x E oG+, y € X > bzw. { u L r n ) o y I x EG,+, y EX} spannt also den Raum 2’; ( X , G+) bzw. 2’: (X, G+) auf.
Wir identifizieren den Raum [3, P ( X , G+)] gemaB Abschnitt 1.5. mit
Bemerkung 3. Dem Teilraum [3,2’: ( X , a+)] bzw. [3, (X, G+)] von [3, .Y”z(X, G+)] entspricht genau der Teilraum aller A , E Z,?,+ ( 3 , X ) mit der Eigenschaft
(1.51) A _ , = 0 (z E @ ) bzw.
1;+ ( 3 , X ) .
(1.52) A, = 0 (X E oG+).
2. Darstellung von verallgemeinerten stationlren stochastischen Prozessen durch gleitende Mittel
2.1. Es sei nun G das Produkt 6’ x G- der lokalbikompakten HAUS DoRFFschen ABmschen Gruppe G+ mit dem HAARschen MaB 0 und der ABELsChen Gruppe G-. Ferner sei x ein komplexer HILBERT-Raunz.
Fur Y E G (G-, P ( X : G + ) ) wird durch
y r v 1 ( E - ) y := Y(E-) ( v o y ) ( E - E G - , y EX) 19”
292 Schmidt, Darstellung einer Klasse von stochastischen Prozcssen
ein System ( Y [v] j v E P ( G + ) } von paarweise stutionar miteinunder wer- bundenenc) Prozessen Y [v] E G(G- ,X) definiert.
Man uberzeugt sich leicht davon, daB die Beziehung
(2.1) ujpIvl(t-) = uy(5-) ( ~ p [ q (6- EG- , 21 EY’(G+)) besteht.
Durch das System {Y[’u] I u E P ( G + ) } (und sogar schon durch das System ( Y [ u i ] I i C I } ? ) ivird der ProzeB Y E G(G-, PZ(X, G c ) ) eindeutig bestimmt.
Dehition. Der ProzeB Y E G (G-, P 2 ( X , G+)) heiBt fundamental, falls seine Kovarianzfunktion ry die Forms)
( 2 . 2 ) r y ( E - ) = (r; ( E - 1 ) - (6- E G - ) besitzt, wobei TGeine auf G- definierte Funktion mit Werten in [XI ist, die der Beziehung
(2.3) r; (0) = I~~ geniigt.
Wir bezeichnen mit % ( G , X ) die Klasse aller fundamentalen Prozesse aus G (G-, 9 ( X , G+)) ; rk heiBt Pra-Kovurianzficnktion von Y E%(G,X).
Fiir jeden ProzeD Y E %(G,X) gilt a d Grund von (1.8) und (1.9) fur beliebige 6-, 7- E G-
(2.4) ___
E ( Y(rl-1 w) (Y(E-)w) = J (“), rat- - r-) +4) o(d4 G+
(e, 20 E Tz(X, a+)) (2 .5) Y[WI (V-)* Y C ~ I (t-) = [v, 0 i 2 r;(t- - 7-) (u, E P ~ ( G + ) ) .
Aus Hilfssatz 1.1.2. folgt der
Hilfssatz 2.1. Es seien Y ein ProzeJ? uus G (G- , Y’(X, G+)) und r‘ eine azcf G- definierte Punktion ?nit Werten i n X und der Eigenschaft
(2.6) r ‘ (0) = Ix. Ist dann f u r jedes 5- E G- irgendeine der Beziehungen
____ a( J W w ) ( Y ( t - ) n) = J (w(4 , r(E-) W)) o ( d 4
Q+ (2.7)
(v, w € y 2 ( X , Gt))
(2-8) Y[u’.,] (0)” Y[u] ( 5 - ) = [ u , w]p Y(6-) (v, w E -f’p(G+))
(2.9) Y [Ui’] (0)” Y [up] ( E - ) = 6iti” r‘([-) (i‘, i” E I )
Yi (7-1 *Y2(E-) = Y, (Q *Yz(E- - ?I-) (t-, 7- E Q-1 gilt.
~~ ~
6 ) Die Prozesse Pi, Y2 E G (G-, X ) heiBen stationur miteinunder verbunden, falls
7) Wie oben bezeichne (ui I i E I } ein vollstandiges Orthonormalsystem in P(G+). 8) Erklkung des Symbols - s. Abschnitt 1.1.
Schmidt, Dnrstellung einer Klasse von stochastischen Prozesscn 293
e+llb, so gilt Y E W(G,X) und
(2.10) T k ( t - ) = T‘(t-) (6- E G-). Satz 2.1. Die uuf G- definierte Funktion f’ mit Werten in [XI ist genau
dann Pra-Kovuriunzfunktion eines Prozesses aus 9% (G,X), wenn (2.6) gilt und uberdies fur jede endliche Indexmenge I’ die Bexiehung
besteht . Beweis. Die Notwendigkeit von (2.11) ergibt sich unmittelbar daraus,
daIJ die Pra-Kovarianzfunktion r; des Prozesses Y E % ( G , X ) auf Grund von (2.5) gleichzeitig die Kovarianzfunktion des Prozesses Y [v] E G (G-,X) (v E P ( G + ) , (v ( ? = 1) ist (s. [13], Satz 1.2.). - Es sei nun r‘ eine auf G - definierte Funktion mit Werten in [XI uild den Eigenschaften (2.6) und (2.11). Wir setzen
r(t-) := (r(c-))- (5 - EG-) . ( z L ~ } ~ ~ ~ bezeichne ein vollstkndiges Orthonormalsystem in YZ(Gf): ferner seien 6; , yn bzw. in (n I’ = {I, . . . , N } ) beliebige Elemente aus G - , X bzw. I uncl v, die durch
(2.12) v , ~ := uino y9z (n E I ’ )
definierten Funktionen aus 2’2(X, G+). Die Indexmenge I’ lafit sich dann in disjunkte Teilmengen 11, . . ., 1; ( I 5 p 5 iV) zerlegen, so dal3 m, n E I’ genau dann zur gleichen Teilmenge gehoren, wenn in = i, gilt. Mit Hilfe von (1.9) folgert man aus (2.11)
= C C ( ~ m , r ( E i - 6 i ) Y n ) Z o - r - 1 m,nEIi
Die Beziehung .V
(2.13) C (urn, r(E, - E ; ) v n ) 2 0 m,n- 1
besteht also, falls alle vn (n = 1, . . . , N ) die Form (2.12) besitzen. Da das System aller endlichen Summen von Funktionen der Form (2.12) auf Grund von Folgerung 1.1. in Y2(X, G + ) dicht liegt, besteht die Beziehung (2.13) fur beliebige Funktionen wn E P ( X , G + ) (n = 1, . . ., N). Somit (s. [13], Satz 1.2.) ist r die Kovarianzfunktion eines Prozesses aus G (G-, YZ(X, G + ) ) . Anf Grund von Hilfssatz 2.1. gehort dieser ProzeB zu 93 (G,X) und besitzt die Pra-Kovarianzfunktion f’.
294 Schmidt, Darstellung einer Klasse von stochastischen Prozevsen
2.2. Fiir den ProzeS Y E % (G, X) G(G-, P ( X , G+)) bezeichnen wir in Aiialogie zu den in [13], Abschnitt 1.3. eingefuhrten Symbolen mit XI, die bezuglich der R'ormtopologie in Q(Q, 23, P ) abgeschlossene liiieare Hulle der Menge
H , : = { Y (q - ) (W 0 X) I q- E G-, 20 E U'(G+), x €X} und mit U , die durch
(2.14) U y ( 5 - ) Y ( 0 ) = Y(5-1 (5 - EG-) gemaI3 [13], Satz 1.3.1. eindeutigdefinierteunitareDarstellungaus lJ(G-,X,).
Satz 2.2. Zu jedenz ProzeJ Y E 8 (G.X) gibt es genau eine unitlire Dur- stellung lJ; E lI(G, Xy), die der Bezdehung
(2.15) & ( E l Y ( 0 ) ( v o y ) = Y ( 5 - ) (@+) 0 y ) (5 E G, v E UZ(Gf), y EX) genugt.
Beweis. Fur jedes 5 E G a i rd durch
c;(5) Y ( q - ) ( U ' o x ) = P(5- + 77-) (W($+)O x) (q- E G-, w E -P(G+) , x E X )
auf H I , eine isometrische Abbilduiig U > ( [ ) defiiiiert; man hat iianilich auf Grund von (2.5)
- ~ ~p
(Y(E- + q-) WE+) 0 x ) ) ( Y ( E - + 5 - ) (v(€+)o y ) ) - - [W([+) , d~+)]:! (x, r;([- - q-) y )
= [w, VI? ( x , m- - 7-1 y )
= W V - ) (wDX))(Y(c-)(wOW)) (C-, 71- E G-, v, w E Y'(G+), y, x EX).
Weiter verlauft der Beweis mie der des Satzes 1.3.1. aus [13].
Folgerung 2.2.1. Fur jede.lt Operator A E [3 ,Y?(3C, a+)] gi l t
(2.16) U ; ( t ) Y ( 0 ) A = Y ( t - ) Ate+) (5 E G).
vj,n E YD2(GL) und yi,n EX ( j = 1, . . ., n ; 7% = 1, 2, . . .) mit
lim C vi,% 0 y j = Af.
Beweis. Fur jedes f E 3 g i b t es auf Grund von Folgerung 1.1. Elemente
n
3 = i n-oo n
also lim n-- j - i
queiiz am (2.15).
w j f i ) o yi,n = A"')f. Daniit ist (2.16) eine unmittelbare Konse-
Folgerung 2.2.2. Es gi l t
(2.17) (rk)-(E-) = C,-(Ep) (6- E G - ) .
Schmidt, Darstellung einer Klasse von stochastischen Prozessen 295
Beweis. Es ist
(U;)-(E-) Y ( 0 ) = UI((0, E - ) ) Y ( 0 ) = I'(E-1 = uy(5-) Y ( 0 ) (5- EG-),
daraus folgt auf Grund der Eindeutigkeitsaussage von [13], Satz I .3.1. die Richtigkeit von (2.17).
Hilfssatz 2.2. Die unitare Darstellung ( U l ) + E U(G+, Xy) ist stetig.
Beweis. Es seien E: ein beliebiges Element aus G+ und {E: [ n E IT} konvergente MOORE-SMITR-Folge. Fur v E B ( G + ) gilt eine in G+ gegen
dann (5. [12], 1.1.5.)
(im Sinne der Normtopologie in S ( G + ) ) , also
(im Sinne der Normtopologie in D ( X , G+)). Daraus folgt
= (a;)+ ( 5 ; ) Y(rl-1 ( v o w) (q- E G - , v E f2(G+), y E X ) .
Unter Benutzung des BANACH-STEImuus-Theorems schliel3t man nun auf
lig (a;)+ ( E ; ) = (27;)' (5;) 9
also auf die Stetigkeit von (U&)+.
2.3. In der Einleitung haben wir gezeigt, daB jede Darstellung eines stationken stochastischen Prozesses durch gleitende Mittel auf die , ,ab- strakte" Form (0.7) gebracht werdeii kann. Eine entsprechende abstrakte Formulierung liiljt sich auch fur die von den in der Einleitung zitierten Autoren behandelten Darstellungen angeben. Als naheliegende Verallge- nieinerung aller dieser Darstellungen auf Prozesse der Klasse (5 (G, 3) erhalt man die im folgenden Satz untersuchte Darstellung (2.18).
Satz 2.3.1. Es seien Y ein ProzeJ CGUS % ( G . X ) und A ein Operntor u'us [S, 2'2 ( X , G + ) ] . Dunn wird durch
(2.18) X ( t ) := Y ( 5 - ) A('+) (5 E G)
296 Schmidt, Darstellung eiiier Klasse von stochastischen Prozrssen
e i n P r o z ~ J 3 S E S ( G , 3) clefiniert. Es bestehen d ie Bez iehungen
(2.19) C T X L Z ' y
(2.20) (2.21) 0 , ( 5 ) = G ( 5 ) 13,
l'x(t) = d' Ty(E-) A($+) \ (5 € G ) .
Beweis. Auf Grund von (2.16) gilt
(2.22) C;(E)S(O) = C;(E) Y ( 0 ) A = P(5-)A"+' = S(5) ( E E G ) .
Mit Hilfe des Satzes 1.3.2. aus [I31 schliel3t man aus (2.22) darauf, da13 X zu S (G, 5) gehort (die Richtigkeit von (2.19) und (2.20) ist dann sofort klar) und daB die Beziehung (2.31) besteht.
Eine Darstellung des Prozesses X E (3 (G, 3) in der Form (2.18) wird als Dwsstellung clurch gleitende X i t t e l bezeichnct.
Hilfssatz 2.3. D e r zu dena durch (2.18) def in ier ten ProzeJ3 S E C5 (G, 3) gehorige RandprozeJ X+ E E (G+, 3) ist s fe t ig .
Bemeis. Aus (2.21) und [I31 (1.9) folgt
Gx+(E+) = ceir(EL)[xx+ (uir)L(E+)\xx+ ( E + E G + ) .
Die Aussage des Hilfssatzes ergibt sich somit unmittelbar aus Hilfssatz 2.2. und [13], Satz 1.5.1.
Der folgende Satz stellt eine Verallgenieiiier~iiig einer in der Einleitung (Text vor den Beziehungen (0.10) und (0.ll))referierten Aussage auf Pro- zesse der Klasse S (#, 3) dar.
Sntz 2.3.2. Es seien Y ein ProzeJ ctus 91 (G, X) u n d A e i n Operntor nus [S, P (X, G-)] uncl es bezeichne S deli d w c h (2.18) dpfinierten PiozeJ uus S (G, 3). Dcima bestehen dic Beziehungen
(2.23) (f. T x ( 5 ) 9) = J ( ( A f ) ( x ) , WE-) (&) (x + 5 ' ) ) (3 (ax ) G+
(6 E G,f, 9 E 3) u n d
(2.24) (f, 3$-'(4+) g) = J ( ( - 4 f ) ( P ) , ri-(t-) (Ag) ([+)) 8 ( d P ) A +
(5 - E G - . A+ E % (@),f , g E 3).
Bcweis. -411s (2.2) und (2.20) erhdt inan tinter Benntzung von (1.8)
' f , T,(E) g j = ('Zf, r y ( t - ) - g ( q 7 ) 2
= /- ((-4.f) (x). Ti-(;-) ( d y ) (fc + E - ) ) c7 (Clx). Gi.
Schmidt, Darstellung eiiier Klasse voii stochostischen Prozessen 207
2.4. Es sei nun G- eine topologische (ABELsche) Gruppe.
Hilfssatz 2.4.1. N i t Y E X ( G , X ) & G (G-, 2 '2 ( X , (7.)) ist nuch jeder Proze$? Y [v] E G ( G - , X ) (v E 2" (G")) stetig.
Beweis. Die Aussage des Hilfssatzes ergibt Rich unmittelbur aus (2.1) uiid [13], Satz 1.5.1.
Hilfssatz 2.4.2. Der PyozeJ Y E 3 (G, X) evweist sich genau dann als stetig, uwnn die unitare Dnrstellung ( U b ) - E lt (G-, ,X,) stetig ist .
Beweis. Die Aiissage des Hilfssatzes ergibt sicli unmittelbar am (2.17) und [13], Satz 1.5.1.
Folgerung 3.4. Der ProzeJ I' E 9i (G, X ) wweist sich gennu dann uls stetig, wenn die zugehorige unitare Dnrstellung V & E 11 (G, Xy) stetig ist.
Beweis. Man sieht leicht, da13 U ; genau dann stetig ist, wenn die unitlren Darstellungen (Uh)' und (i7;)- beide stetig sind. Die Aussage der Folgerung ergibt sich dann aus Hilfssatz 2.2. und Hilfssatz 2.4.2.
Hilfssatz 2.4.3. Hit dem ProzeJ Y E X (G, X ) ist uuch der dtbrch (2.18) definicrte ProzeJ X E G (G, 3) stetig.
Beweis. Die Aussage des Hilfssatzes ergibt sich unmittelbar ;tiis (2.21), Folgerung 2.4. und [13], Satz 1.5.1.
S..;. Es sei nun G- eine lolcnlbikompnkte HlnsDoRFFsche (ABELsche) Gruppe.
14% eriiiiierri damn, dal3 die Kova~ioiizf~ii7ktioii ry des stetigen Pro- zesses Y E % (G,X) & G (G-, P ( X , a+)) eine Spektraldarstellung der Form
(2.25) rr(t-) = J {t-, t - } F y ( & ) ( E - E G-)
gestitttet (s. [13], (2.3)); dabei konvergiert das Integral enf der rechten Seite von (9.25) im Sinne der gleichmlfiigen Operatorentopologie.
Nun ist, aber auf Gruiid von Folgerung 2.4. init I' ouch jeder Prozen Y [v] (v E P ( G i ) ) stetig, fiir die zugehorige Iioverianzfunktion I'-l-[vl erhdlt
c-
298 Schmidt, Darstellung einer Klasse ron stochastischen Prozessen
man also eiiie Spekt,raldarstelluiig der Form
(2.36) ~~~~~~~~
rl-fV] ( 5 - ) =-j { F . l-1 FYLe] (d:-) (6- E G-) . G -
A4uf Grund von (2 .5) ist iiun
(2.27)
Folglicli gestattet F; eine Spektraldarstellnng der Form .7'yLvj(t-) = Fir([-) (6- E G-, 2, E -P (G+) , 12112 = I).
(2.28) I';-(t-) =-J {t-, l-1 Fk(~7; - ) ( E - E G - ) ; G-
dabei ist Fi. - da.s Pru-Spek tra lmuf i von P - durch
Pk(A-) := PriUj(A-) ( A - E 93 (&), w E Y?(G+), j w I 2 = I )
defiiiiert, und das Integral auf der rechteii Seite von (2.28) konvergiert im Siniie der gleichmafiigen Operatoreiitopologie.
Hilfssatz 2.5.1. Fur j e d e n s te f igen P r o x ~ f i Y E % (G, X) gilt (2.29) FIT(.&) = ( F > ( A - ) ) - ( A - E ?I3 (G-)).
Bemeis. Auf Gruiid \-on (1.9), (2.2), (2.25) und (2.28) ist
[{t-, ( 2 ~ 0 1: J'y(dc-) ( V O W ) ) ? = ( ~ 0 X, FI-( t - ) ( V O y ) )? 6-
= [w VI , (X . G4t-) y) = [ZL' , r 1 2 j {t-, c-} (x, I q d E - ) y ) 8 -
(6- E G-: w, z c E Yx(G+), y , x EX). Daraus ergibt sich die Richtigkeit T - O ~
( 1 1 ' 0 X , FY(.iJ-) ( V O W ) ) ? = [ t ~ , w]? ( x , F;-(A-)y) ( A - E % (&), w, '/!I E P ( G T ) : y . x E X )
(s. [ la ] . 1.3.6.) nnd hieraus unt,er Benutzuiig voii Hilfssatz 1.1.2. die von (2.29).
Durch die Beziehung (2 .28) ivird das Prii-SpektralmaB des Prozesses Y E 3 (G, X ) eindez&g bestimmt . Teiter gilt der folgende
Satz 3.5.1. Dccs u,uf '$3 (G-) defin.ie,rte J1ciJ F' mit TVerten in [XI ist gerhaze d u n n P i . a , - S ~ e ~ t r c i . l ~ ~ ~ ~ J e inrs Pwzesses ~ i u s 8 (G, X ) , w e n n die Bez iehungen
(2.30) F ' ( G - ) : 1~ 2tn.d
(2.31)
beste hen. (y, lf"(d-)y) 2 0 ( A - E '$3 (G-). y1 E X )
Beweis. Die Kotn-endigkeit' voii (2.30) ergibt sich unmittelbar aus (2.3), die voii (2 .3 1 ) unter Beriic1;Eicliti~mig der Definition voli F durch Au
Schmidt, Darstellung ciner Klasse von stochastischen Prozessen 299
wendung von Satz 2.1.2. aus [13]. - Geniigt F' den Beziehungen (2.30) und (2.31), so erfiillt die durch
r' ( 5 - ) : = .J it-, E - } F'(dt-1 (5 - E G-) C-
definierte Funktion r' die notwendigen und hinreichenden Bedingungen (2.6) und (2.11) aus Satz 2.1. (Die Richtigkeit von (2.6) ist eine unmittelbare Konseqnenz aus (2.30), von der Richtigkeit von (2.11) uberzeugt man sich, indem man jede der Funktionen (5; , .} durch eine auf G- gleichmaBig kon- vergente Folge , ,einfacher" Funktionen approximiert.) Also ist r' die Pra- Kovarianzfunktion - und somit F' das Pra-SpektralmaB - eines Pro- zesses aus % (G, X ) .
Hilfssatz 2.5.2. Zwischen dem Spelctrulma@ F , des stetigen Prozesses Y E % (G, X ) und dem partiellen nichtzufalligen SpektralmaJ3 F$+) des durch (2.18) definierten Prozesses X E G (G, 3) besteht der Zusammenhang
(2.32) Fy)(k) = A * F, (A-)A(€+) ( E + EG+, A - E '23 (G-)). Beweis. Auf Grund von (2.17) und (2.21) gilt
ui(t-) = uy(t-) [x,y (t- E G-) ; daraus folgt
(2.33)
Aus (2.33) und [13], (2.15) erhalt man
E - ( A - ) = Euy(A- ) 1x1 ( A - E % (G-)). OX
@ + ) ( A - ) = x (0)"E - ( d - ) X + ( $ + ) OX
= A * Y(0)*Eul,(d-) Y(O)A"+' = A*F,(A-)A'"+'.
Der folgende Satz stellt eine Verallgemeinerung einer in der Einleitung (Text vor den Beziehungen (0.10) und (0.11)) referierten Aussage auf Pro- zesse der Klasse G (G, 3) dar.
Satz 2.5.2. Es seien Y ein stetiger ProzeJ aus '8 (G, X ) und A ein Operator u.us [3,2'2 ( X , G')] und es bezeichne X den durch (2.18) definierten ProzeJ a m 6 (G, 3). B a n n bestehen die Beziehungen
( E + E G + , 3 - E % (&).f, g E ,T) und
300 Schmidt, Darstellung einer Klasse von stocliastischen Prozessen
Beweis. 14us (2.29) nnd (2.32) erhalt nian unter Benutzung von (1.8)
f , F't+'(d-) g) = ( A f , F & - ) A"+)g) , = /- ((Af) (x), G(J-) ( A g ) (x + E + ) ) CT (W.
J { E - , E + } ( f , F,(dET x d-) g ) = (f . W W - ) g )
= J ( ( A f ) (x), F;-(J-) (Ag) (x + E L ) ) 0 (W
G.L'
Darnit ist (2.34) bewiesen. - Ans (1.29), (2.31) und [13], (2.14) folgt
G+
G+
= J { E - , ?] ((-4f) F ; , ( A - ) (Ag) (:+)) 8 (a[+) ( E + E G'). 6+
Daraus ergibt sich die Richtigkeit r o n (2.35) (s. [13], 1.3.6.) .
2.6. Es seieii nun G + eine di.sl;rete (BBELsche) und G- eine bebiebige
Nit E' (G, X) bezeichnen wir die Klasse aller Prozesse P f G (G, X), ( ,k~E~sche) Gruppe.
deren Kovarianzfunktion clie Form
(2.36) r y ( E ) = dol+rr-(E-) ( 5 E G ) besitzt, wobei r,- (die Kovariaiizfuiiktion cles Prozesses Y- E 6 (G-,X)) der Beziehiuig
(2.37) Tr-(O) = I x genugt.
Hilfssatz 2.6. Dwch die Zuordiaung y 3 4 (2.38) Y (77) := I' [ U ( O + ) ] (7/-) (11 E G )
wird die lilasse !)I (G, 36) e i u e i n d e u t i g i i thf die Klnsse G' (G, X ) abgebildet Die inverse Abbi ldung ist d u r c h
(3.39) ( ( ? I - , 5 - ) ) y
gegeben; f e r r w r gilt
(2.40) Tp(E-) = Ti.(E-) ( E - € G - ) .
Y(E-) ( ~ ( ' " 0 y ) = (7' E a+, E - f G-, w EX)
Bemeis. Es sei Y ein beliebiger Prozelj aus 'ill (G; X ) und es werde Y durch (2.38) definiert. D a m gilt auf Grund von (2.5)
(2.41) F(71)*Y(E) = a;+,]+r;-(E- - ? I - ) ( 5 , E G ) . Aus (2.41) folgt Y E E (0, X) u n c l - n-egen (2 .3) - die Richtigkeit voii (2.36), (2.37) (d.h. T E G'(G,X)) imd (3.40). - Aus Y I , Y , E % ( G , X ) uiid y,(q) = Y,(f1) ( 9 1 E G) schlieljt mati auf die Richtigkeit von Y , ( T I - ) : (7- ) (71- f G-), man hat dabei nur zu beachten, dalj das Funktionen- system ( u ( ~ + ) o y I q+ fa+. y E.X) in P ( X , G+) total ist (s. Bemerkuiig
Schmidt, Darstellung einer Klasse von stochastischen Prozessen 30 1
aus 1.5.). - Es sei nun Y ein beliebiger ProzelJ aus G' ( G , X ) . Dann wird durch
auf dem gemalj Bemerkung aus 1.5. in P ( X , G+) totalen Funktionen- system (u(V+) 0 y I q+ E G+, y EX} eine isometrische Abbildung Y ; (0 ) mit Wert.en in X y definiert; man hat niinilich auf Grund von ( l . l ) , (2.36) und (2.37)
Y ; (0) (Q,(v+) o y ) : = Y + ( ? I + ) y (q+ E G+, w EX)
~~
E (F+(q+) y ) (Y+(E+) x) = ( y , x)6,,+ = (u( ,+)o y, u ( b + ) o x)z ( E + , q+ E G+, y , x E X ) .
Y ; (0) l&Bt sich zu einem isometrischen Operator Y , (0 ) E [Y2(X, G+), Xr] fortsetzen. Gemiilj [13], Satz 1.3.2. wird dann durch
Yi (5 - ) := UG (C) Y , (0) (t- E G-) ein ProzeB Yi E G (G-, 2'2(X, G+)) definiert. Man uberzeugt sich leicht von der Giiltigkeit von
Aus (2.36) und (2.42) folgt (2.42) Y , [u(")] (ye) = P(7) (7 E G ) .
Yi [u""] (q-)* Yi [U(€+)] ( E - ) = Tp(E -q) = ae+,+rP-(t- - q- ) (5, q E G),
auf Grund von (2.37) und Hilfssatz 2.1. ist also Yi E $!I (G, X), und &us (2.38) nnd (2.42) ergibt sich Pi ( r ] ) = Y ( r ] ) ( r ] E G) und damit - wegen der bereits bewiesenen Eindeutigkeit von Y --f P - die Richtigkeit von (2.39).
Folgerung 2.6.1. Es sei Y ein ProzeJ aus $!I (G, X ) and es bezeichne 7 d e n durch (2.38) definierten ProxeJ aus G' (G, X ) . D a n n gilt
(2.44) Uh(5) = u,(E) ( E EG). Beweis. Die Richtigkeit von (2.43) ist eine unmittelbare Konsequenz
aus der Tatsache, daB das Funktionensystem ( u ( ~ + ) 0 ~ l q + E G+, y EX} in 2'2(X, G+) total ist (s. Bemerkung aus 1.5.). Auf Grund von (1.33), (2.15) und (2.38) gilt weiter
(2.43) X y =X,
u;(f )y(o)y = Y ( 0 ) ( u o y ) = Y(E-1 ( u ( € + ) o y )
= m y = U Y ( E ) m y ( f EG,y E X ) , daraus folgt auf Grund von (2.43) und der Eindeutigkeitsaussage von [13], Satz 1.3.1. die Richtigkeit von (2.44).
Folgerung 2.6.2. Piir Y E $!I (G, X ) und A E [3, P ( X , G+)] besteht die Beziehung (2.45) Y(t-)A"+) = 2 Y((., f-))AE+-= (5 E G ) ,
xE G+
303 Schniidt, Darstellung riner Klasse Ton stochastischen Prozessen
dabei konvergievt die Reihe auf der rechfen Seite von (2.45) irn Sinne der storken Operatorentopologie ; ist durch (2.38) und A , durch (1.37) definiert.
Beweis. Auf Grund von (1.39), (1.40) und Folgerung 1.2. gilt
(2.46) A‘”+’f = C U ( ~ ) O A ; + - , ~ (5’ E G+, f E 3) XE G+
(im Sinne der Sorrritopologie in 3 2 (X. G + ) ) . Aus (2.38) und (2.46) folgt die Richtigkeit voii (2.45).
Aus Satz 2.3.1., Hilfssatz 2.6. , Folgerung 2.6.1. uiid Folgerung 2.6.2. erhalt man deli
Satz 2.6. Fiir 7 E‘ ( G , X ) zlnd A , E l i+ ( 3 , X ) u i r d durch
(2.47) X ( E ) := C ((2, t-))AE+-z ( 5 E G )
ein Proze j X E 6 (G, 3) definiert; dabei konvevgiert die Reihe auf der rechten Seite uon (2.47) im S i n n e der starken Operatorentopologie. - Es bestehen die Beziehungen
(2.48) xz C _ X ,
XE G+
(2.49) Lr,(E) = U y ( E ) IZz ( 5 E G ) .
B e m e r k u n g . Aus Hilfssatz 2.6. uiid Folgerung 2.6.2. folgt, daB der ProzeB X E G (G, 3) genau dann in der Form (2.47) darstellbar ist, wenn (2.18) gilt; Y bzm. A((+) bezeichnet dabei den durch (2.39) defiiiierten ProzeB aus % ( G , X ) bzw. den durch (2.46) definierten Operator aus [3, 2’2 (X, G+)J. Damit sind wir berechtigt, (2.47) als Darstellung des Pro- zesses X € (5 (G, 3) durch gleitende MitteE zu bezeichiien.
Folgerung 2.6.3. Es bezeichne X den durch (2.47) definierten Prozefl. D a n n gilt
(2.50) r.(E) = C A:rp-(5-)Az+t+ (5 E G ) , ZE G+
(2.51) (f, F ~ ( A + ) 9 ) = J ( ( A j ) (?). r&-) (As) ( P I ) 5 (a [+) A+
( 5 -E G-, A + E ‘B(Q+), f , g E 3), dabei konvergiert die Reihe uuf der rechtm Seite von (2.50) im S inne der schwachen Operutorentopologie.
Beweis. Die Richtigkeit von (2.50) bzw. (2.51) ergibt sich unmittelbar
Es sei iiuii G- eine topologische (ABELsche) Gruppe.
Folgerung 2.6.4. Der ProzeJ 1’ E W (G.3L’) ist gennu d a n n stetig. wenn der
aus (1.41), (2.23) und (2.40) bzw. (2.24) uiid (2.40).
durch (2.38) definierte ProzeJ E E’(G, X) stetig ist .
Schmidt, Darst,ellung einer Klasse von stochastischen Prozessrn 303
Beweis. Die Aussage ergibt sich unmittelbar aus (2.44) durch An-
Folgerung 2.6.5. M i t dem Prozefi Y E G'(G, X ) ist auch der durch (2.47)
Beweis. Die Aussage ergibt sich unmit'telbar ails Hilfssatz 2.4.3. und
Es sei nun G - HAUSDORFFsCh iind lokalbikompakt.
Folgerung 2.6.6. Es sei Y ein stetiger ProzeJ aus % (G, X ) und es be-
wendung von Folgerung 2.4. und [13], Satz 1.5.1.
definierte ProzeJ X E G (G, 3) stetig.
Folgerung 2.6.4.
zeichne y den dwrch (2.38) definierten Prozefi aus 6' (G.X). Dann gilt
(2.52) F p - (A- ) = F;(A-) ( A - E % (Q-)). Beweis. Auf Grund von (2.28), (2.40) und [13], (2.3) ist
= J{t- ,5-)(x ,F;(dc-)W) ( t - E G - , y , x E X ) . 6 -
Daraus folgt die Richtigkeit von (2.53) (s. [12], 1.3.6.).
Folgerung 2.6.7. Es bezeichne X den durch (2.47) definierten Prozefi. D a n n gilt unter der Voraussetxung der Stetigkeit von Y (2.53)
und
(2.54)
P$+)(d-) = C A ~ P p - ( d - ) A z + ~ + (5' E G+, A - E 93 (Q-)) %EB+
Cf72 iX (A+xA- )g ) = J ( ( A f ) ( E + ) : F,-(A-) (Ag) ([+I) a(dg+) d l
('4' E % cQ*),f: g E 3), dabei konvergiert die Reihe auf der rechten Seite von (2.53) im S inne der schuiachen Operutoren fopobogie. .
aus (1.41), (2.34) und (2.52) bzw. (2.35) und (2.52). Beweis. Die Richtigkeit von (2.53) bzw. (2.54) ergibt sich unmittelbar
3. Darstellung von verallgemeinerten stationiiren stoehastischen Prozessen durch einseitige gleitende Mittel
3.1. Es seien nun G+ eine vollstandig geordnete (1okaEbikompu.kte HAUS-
DoRmsche ABELsche) Gruppe und G- eine beliebige ( ABELsche) Gruppe. Fur den Prozel3 Y E % (G,X) & G (G-: Y'2 (X, G + ) ) bezeichnen wir mit Xy (0) die bezuglich der Normtopologie in L2 (SZ, 23, P) abgeschlossene lineare
304 Schmidt, Darstellung einer Klasse Ton stochastischen Prozessen
Hulle der Menge
H y ( 0 ) : = { Y(77-) (ZCO x) Iq- E G-, w E 2'; (G+), x EX} und mit P, (0) den Operator der orthogonalen Projektion von XI, auf JY (0).
Hilfssatz 3.1.1. Es gilt
(3.1) P,(O)Y(E-) ( ~ 0 ~ 1 ) = Y(5-1 (v+oy) (E-EG-,v E - Y ' 2 ( G + ) , ~ E X ) . Beweis. Zundchst gilt I' (t-) (v+ 0 y ) EZ, (O) , ferner hat man auf
Grund von (1.43) und (2.5)
(Wr) ( L C O XI) (Y(6-1 ( V O w)) = [w, ~ 1 2 ( X , W f - - q - ) w )
= [ ~ ~ , ? - L 1 2 ( x , ~ ; * ( t - - f I - ) y ) = E ( Y ( q - ) ( W O x ) ) ( Y ( t - ) @+ow))
(v- E G-, w E Yt (G+), x E X ) . Folgerung 3.1. F u r jeden Operator A E [3, I?(X, G+)] gilt
Beweis. Fur jedes f E Sgib t es auf Grund von Folgerung 1.1. Elemente (3.2) Py(0) Y(6- )A = Y ( t - ) A + (6- E G - ) .
vj,,, E Y? (GT) und yj,,l EX ( j = 1, . . ., n ; n = 1, 2, . . .) mit
71
also lim 2 v ~ , ~ ( + ) 0 yj,n = A + f . Damit ist (3.2) eine snmittelbare Kon- n-=== j= i
sequenz aus (3.1).
Hilfssatz 3.1.2. Es seien Y e i n PvozeJ aus % (G, X ) und A e in Operator aus [3, 2': ( X , G+)] und es bezeichne X den durch (2.18) definierten ProxeJ am (5 (G, 3). D a n n gilt
(3.3) xx (0) G x, (0) . Beweis. Aus (1.48) und (3.2) folgt
Pk-(0) X ( q ) = P y ( 0 ) Y(q-)A'"" = Y(q-)A$+) = Y(q-)A(q+) (q E G,' x G - ) . = X(v)
Daraus ergibt sich die Richtigkeit von (3.3). Eine Darstellung des Prozesses X E 6 (G, 5) in der Form (2.18) mit
A E [3, Y: ( X , G')] wird als Darstellung durch einseitige gleitende Mittel be- zeichnet.
Es sci A E [S, 2'2 ( X , G+)] und f E 9. Fur jede Menge D E $3 (Q+) ist die Funkt,iong)
Schmidt, Darstellung einer Klasse von stochmtischen Prozessen 305
nichtnegativ und beziiglich des HAARsChen Mal3es u integrierbar ([I], 4.5.6.). Mit YY) bezeichnen wir das Produkt ([I], 5.5.2.) des (positiven) MaBes CT mit der F'unktion z --+ [I (Af) ( ~ ) 1 \ ~ (x E G+), d. h., wir setzen ([I], 5.5.3.)
t y ) ( D ) := J ID(%) vj8)(dx) := ! I D ( % ) ( j (Af) (z)\\: o ( d ~ ) G+ G+
(D E %(G+)). Dann gilt
y j A ) ( g G + + t+) = 1 Il(A""f)+(x)lj'o(dx) ( E + E Gt), G+
(3.4)
man hat niimlich auf Grund von
IoG++e+(x) = - 5') (x E G f ) und (1.45)
y Y ) ( o G + f 5') = J la@+ (3 - 1 1 (Af) (3) / I 2 0 ( d x ) G+
Hilfssatz 3.1.3. Es seien Y ein ProxeJ3 uus 8 (G, X ) und A e in Operator aus [ X , Y: ( X , G+)] und es bezeichne X den durch (2.18) definierten ProzeJ aus G (G, 3). Dunn gilt
(3.5) I PX(0) X + ( E + ) f I - ' = < [ da) f (0 G+ + [')I* ( E + E G+, f E 3).
Beweis. A u s (3.2) folgt
PY(O) X + ( t + ) = PY(O) Y(O)A"+' = Y(0)AT'
I PY (0) x+ ( E * ) f l2 = J I1 (A"+)f)+ ( 4 1 1 2 o w .
und daraus mit Hilfe von (2.3) und (2.4)
G+ (3.6)
Aus (3.3), (3.4) und (3.6) ergibt sich die Richtigkeit von (3.5).
3.2. Es sei nun G+ eine ARCHIMEDESSC~ geordnete (lokalbikompakte HAusDoRFFsche ABELsche) Gruppe. Die Sat,ze 3.2.1., 3.2.2. und 3.2.3. sind als Verallgemeinerungen der in der Einleitung (Text zu den Beziehungen (0.8)-(0.11)) referierten Aussagen auf Prozesse der Klasse G (G, 3) an- zusehen.
Satz 3.2.1. Jeder durch einseitige gleitende Mittel darstellbare ProzeJ aus (5 (G, 3) ist regular.
Beweis. Es sei X(E) = Y(t-)Act+) (t E G) mit Y E 8 (G, X) und
A C [S,Y"",(x, a+)]. Fur jedes q+ E oGf init q+ =I= 0 gilt n (oG++.n q+) = 0, Do
a - I 20 Math. Nachr. 1971, Bd. 51. H. 1-6
306 Schmidt, Darstcilung einer Klasse von stochastischen Prozessen
also ([l], 4.4.5 )
(3.7)
Aus (3.5) und (3.7) folgt
liin YY)(~G- + ? a ? ] ' ) = 0 ( f ~ 3). 11- cc
l i n i E l P , ( O ) , y r ( ? ~ ? I + ) f l ' = 0 ( f E 3 ) , 11- co
zu jedem E > 0 und jedein f E 3 gibt es also ein 5' E "G+ mit E I P x ( 0 ) X - ( t + ) f 12 < ~ 2 , d. h., S ist rein indeterministisch und damit nach [13], Satz 3.2.1. regular.
Satz 3.2.2. Die Kovurianzfuwktion r, des Prozesses X E G (G, 3) ge- statte eixe Dnrstelluwg der Form
(3.8) (f. r,(E) 9) = j ((W (z), r ' k - 1 (Bg) (x + 5 + ) ) 0 ( d x ) 6+
( 5 E G,f , 9 E 3); rlnbei sei r' eine a u f G- de f in iu t e Funktio?L mit Werten in [XI , die der Be- ziehung (2.1 1) geniigt und fur die r' (0) invertierbar ist, B sei ein Operator aus [S. 2': ( X , Gr)]. Dnnn ist X regular.
Beweis. Aus den Voranssetzurigeii uber r' folgt, da13 (I" (0))-*'2 als positiver selbstad jungierter Operator in [XI existiert. Wir setzeii
(3.9) Ti ( 5 - ) := (F'(O))-'!*r'(5-) (F(0))-''2 ( E - EG-) .
Auf Grund von Satz 2 1. ist Pri-Iiovarianzfunktion eines Prozesses Y E 3 ( G , X ) . (3.10) r;r(t-) = r; ( E - ) ( 5 - E G-).
(3.11) d := [ ( r ' ( o ) p ] - ~
Durch
wird nun ein Operator d E [3, 3: (X, G - ) ] defiiiiert. Aus (3.8), (3.9), (3.10) und (3.11) folgt das Bestehen von (2.23), d. h.. die Kovarianzfunktion T, stimmt mit der Kovarianzfunktion TB0 dcs durch X , ( 5 ) : = Y ( 5 - ) A(5+) ( 5 E G) definierteii - auf Gnind von Satz 3.2.1. regularen - Prozesses X0 € G (G, 3) uberein. Deshalb ist auch X regular.
Satz 3.2.3. Das partielle niciitxufullige SpeEtralnza& Ff-) des- Prozesses S E (G, 3) gestntte eine Dnrstellung dcr Foini,
(3.19) i f 3, ( e - ) ( A+ ) 9: = ./. ((Bf) (W. T ' ( t - ) (47) (€+)) 8 (d") A +
(t- E G - , A + E 23 (G'),f. g E 3); dcibei ge?Liige T r dcii g le ic l ien T70ruucsctzungen w i e in Sa t z 3 2 2., B sei ein Operritoi u u s [ 7 2 ; (X, G-)]. Dtrnn id S regular.
Schmidt, Darstellung einer Klasse von stochastischen Prozessen 307
Beweis. Unter Benutzung von (1.29) und [13], (2.14) erhiilt man aus (3.12)
(f, Tx(5) s> = J @+, [+I (f, Fg-)(dE+) g> 8+
8+ = J {l+, t+} ((Bf) (i+), r‘(5-1 (Bg) ( l + ) ) 8 (@+I
= j- ((Bf 1 (4, r‘(t-) (Bg) (z + 5 ” ) ) 0 (ax) G+
( t E G , f , g E 3 ) , d. h., r, lafit sich in der Form (3.8) darstellen. Somit ergibt sich die Richtig- keit des Satzes 3.2.3. unmittelbar aus der des Satzes 3.2.2.
3.3. Es seien nun G’, G- lokalbikompakte H a u s ~ o R ~ ~ s c h e (ABELsche) Gruppen, G+ sei uberdies A R C H I M E D E S S C h geordnet. Die Satze 3.3.1. und 3.3.2. sind als Verallgemeinerungen der in der Einleitung (Text zu den Beziehungen (0.8) - (0.11)) referierten Aussagen auf Prozesse der Klasse C5 (G, 3) anzusehen.
Satz 3.3.1. Das partielle nichtxufallige SpektralmaJ F P ) des stetigen Prozesses X E C5 (G, 3) gestatte eine Darstellung der Form (3.13) (f, @+)(d-) s> = J ( ( B f ) (4 3‘V-I (Bg) (3 + t+))
o+ (E’ EG+, A - E y (Q-),f, 9 E 3);
dabei sei 3’ e in auf 23 (Q-) definiertes MaJ mit Werten in [XI , das der Be- xiehung (2.31) geniigt und fur das F’(G-) invertierbar ist, B sei e in Operator aus [3, Y2 ( X , G+)]. Dann ist X regular.
Beweis. Aus den Voraussetzungen iiber F’ folgt, daB (F’(G-) ) - ‘ ’2 als positiver selbstadjungierter Operator in [XI existiert. Wir setzen
(3.14)
y E (G,X),
FA (d-) .- .- (F’(Q-))-’’Z.F’(d-) (F’(G-))-’’Z (d- E % (Q-)). Auf Grund von Satz 2.5.1. ist FA Pra-SpektralmaB eines Prozesses
(3.15) F; ( A - ) = Fh (d-) ( A - E 8 (G-)). Durch
(3.16) A := [(F’(G-))1’2]-B wird nun ein Operator A E [3, Yt (X, G+)] definiert. Bus (3.13), (3.14), (3.15) und (3.16) folgt das Bestehen von (2.34), d. h., das paytielle nicht- zufiillige SpektralmaIj F$+) stimmt mit dem partiellen nichtzufalligen SpektralmaB F K ) des durch X o ( 5 ) : = Y ( [ - )A( . ’+) (5 E G) defiriierten - auf Grund von Satz 3.2.1. regularen - Prozesses X o uberein. Deshalb ist auch X regular. 20*
308 Schmidt,, Darstellung einer Klasse yon stochastischen Prozessen
Satz 3.3.2. Dns saichtzufcillige SpektyaEmc/3 F , des stetigen Proxesses S E G ((7, 9) gesfatte eine Darstellung d e i Fovnz
(3.17) (f, F,(d+ xd- ) g ) = J((Bf) (:T), F’(d- ) (Bg) ([+)) (@+) A+
( A * E 23 (G*).f, g E 3); dabei genugc F’ den gleichen Voraussetzungen wie in Satz 3.3.1., B sei ein Operator aus [3, U?, ( X , G+)]. Dnnn ist X regular.
Beweis . Unter Benutzung von (1.29) und [13], (2.26) erhalt man aus (3.17)
(f. P$+)(J-) 9) = J- ( E + , EL} (f, F,(d6+ xd-) 9) 6+
c+ = j- {t+, $- } ((Bf) (6+), F’(d-1 (Bg) ( E + ) ) 5 (dEf)
= J ( (W) (2). P’(d-1 (Bg) (z + t+)) 0 ( d 4 G+
( E + E a+, A - f 93 (W, f, g f 3 1 , d. h., F$+) IiiBt sich in der Form (3.13) darstellen. Somit ergibt sich die Richtiglieit des Satzes 3.3.2. unmittelbar aus der des Satzes 3.3.1.
3.4. Es sei nun Gf eine vollsttindig geordnete diskrete (ABELsChe) und G- eine beliebige (ABELsche) Grnppe.
Folgerung 3.4. Es sei Y ein PiozeJ aus 8 (G ,X) und es bezeichne P den durch (2.38) definierten Prozej nus G‘ (a, X ) . Dann gilt (3.18) XY(0) = XF(0) .
Beweis. Die Richtigkeit voii (3.18) ist eine unmittelbare Konsequenz aus der Tatsache, da13 das Funktionensystem {u(~+) 0 y I q + f 0:) w E X ) in Y: (X, G+) total ist (s. Benierkung 2 aus 1.7.).
Aus Bemerkung 3 in 1.7., Hiifssatz 2.6., Folgerung 2.6.2., Hilfssatz 3.1.2. und Folgerung 3.4. folgt der
Hilfssatz 3.4. Es seien Y G’ (G, X) iuid A , E Zi+ ( 3 , X ) und es be- zeichne S den durch
(3.19) S(t) : = C Y ((3, F ) ) (5 E 0) - t i c p +
’ 0
definierten ProzeB aus C5 (G, 5). Dann gilt
(3.20) TcTX(0) s J e y ( 0 ) .
Bemerkung. Aus Bernerkung 3 in 1.7., Hilfssatz 2.6. und Folgerung 2.6.2. folgt, daD der ProzeD S E G (G, 3) geiiau dann in der Form (3.19) darstellbar ist, wenil (2.18) init A E [J, 2’: ( X , G+)] gilt; Y bzw. A(:+) bezeiclinet dabci den durch (2.39) definierten ProzeB aus 3 (G, X) bzw.
Schmidt, Darstellung einer Klassc von stochastischen Prozessen 309
den dnrch (2.46) definierten Operator aus [3, Yz (X, G+)]. Damit sind wir berechtigt, (3.19) als Darstellung des Prozesses X E (5 (G, 3) durch ein- seitige gleitende Mittel zu bezeichnen.
3.5. Es sei nun G+ eine ARCHIMEDESSC~ geordnete (diskrete ABELsche) Grnppe.
Aus Satz 3.2.1. und der Bemerkung aus 3.4. folgt der
Satz 3.5.1. Jeder in der Form (3.19) darstellbare Proxep X E G(G, 3)
Satz 3.5.2. Die Kovarianxfunktion rx des Prozesses X E G(G, 3) ge-
,ist regulur.
stutte eine Darstellung der Form
(3.21) Tx(5) = C BB P ( F ) Bx+e+ ( 5 EG) xEoG+
x + E+EoG+
mit B, E l ; + ( X > X ) ; dabei geniige r' d e n gleichen Voraussetzungen wie in Satz 3.2.2. Dann ist X regulir.
Beweis. Die Aussage ist eine unmittelbare Konsequenz aus (1.41),
Es sei nun G- HAUSDORFFsch und bokalbikompakt.
Satz 3.5.3. Das partielle nichtzufdlige Spektralmap P$') des stetigen
Bemerkung 3 aus 1.7. und Satz 3.2.2.
Prozesses X E G(G, 3) gestatte eine Darstellung der Form
(3.22) P F ) ( k ) = C B: F' (A-) BX+:+ (5' EG+, A - E B(Q-))
mit B, E lG:(Y,X), dabei genuge F' den gleichen Vorazcssetzungen wie in Satz 3.3.1. Dann ist X regulir.
xEoC+ x + S+EOC+
B ewe i s. Die Aussage ist eine unmittelbare Konsequenz aus (1.41), Bemerkung 3 aus 1.7. und Satz 3.3.1.
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