u.gasparini, fisica i1 centro di massa g di un sistema di punti materiali p i : g x y z r cm y cm...

U.Gasparini, Fisica I 1

“Centro di massa” G di un sistema di punti materiali Pi :

G

x

y

z

rCM

yCM

massa totale del sistema

O

P1

OG rm OP

m

m r

MCM

i ii

ii

i ii

r1

xM

m x

yM

m y

zM

m z

CM i ii

CM i ii

CM i ii

1

1

1

Esempio: CM di un sistema di 3 punti materiali di egual massa mposti ai vertici di un triangolo equilatero di lato l :

y

x

xm

mx mx mxm

m

ym

my my mym

m

CM

CM

1

3

1 1 2

3 2

1

3

3 2

33 6

1 2 3

1 2 3

( )( / )

( )/

/

0

0 h 2 2 4 3 2/ /

hG

“Centro di massa”

P2

P3

zCM

xCM

2/

P1 P2

P3


v tdr t

dt

d

dt Mm r t

Mm

dr t

dtCMCM

i ii ii

i( )

( )( )

( )

1 1

v t

dr t

dt Mm vCM

CMi ii

( )( )

1

v1

v2

vCM

Accelerazione del CM :

a tdv t

dt

d

dt Mm v t

Mm

dv t

dtCMCM

i ii ii

i( )

( )( )

( )

1 1

a t

dv t

dt Mm aCM

CMi ii

( )( )

1

La quantità di moto totale di un sistema di punti materiali può essere espressa da:

P p m v Mvi

ii i CM

i

Velocità e accelerazione del CM


Per ogni punto materiale Pi di massa m i :

m a F F F F Fi i itot

iE

iI

iE

ijj i

risultante delle forze esterne al sistema agenti su Pi

risultante delle forze interneagenti su Pi forza interna che

il punto Pj

esercita su Pi

P1

P2

F12

F21 = - F12

F1E

(es.: m1g )

Ma m a F F F

F F F F F

CM i ii

itot

iiE

ijii

iE

i

12 13 14 21....... ...

F F F F12 21 12 12 0 RE

legge diNewton

legge di azione e reazioneMa RCM

E

risultante delle forze esterneche agiscono sul sistema

accelerazione del CMin un sistema di riferimento inerziale

Teorema del moto del centro di massa

CM


Considerando la quantità di moto totale del sistema : P MvCM dP

dtM

dv

dtMaCM

CM

dP

dtR E

Esempio:il CM di un sistema di punti materiali in moto sotto l’azione della forza pesocompie il moto parabolico di un punto materiale soggetto all’accelerazione g :

Ma R m g m gCME

ii

ii

a gCM

In particolare, per un sistema isolato o per il quale la forzarisultante di tutte le forze esterne sia nulla :

dP

dt

0 P = costante

la quantità di moto totale si conserva.

Quantità di moto totale del sistema


- il momento risultante delle forze peso agenti sul sistema di punti materiali rispetto ad un polo O é uguale al momento della forza peso totale applicata nel centro di massa del sistema

O

G

mi g

M g

ri

M M OP m g

m OP g M OG g OG Mg

Otot

ii

ii

i

i ii

Pi

M OG MgO

tot

- l’energia potenziale della forza peso per un sistema di punti materiali è uguale all’energia potenziale di un punto materiale di massa uguale alla massa totale del sistema e coincidente col centro di massa :

E E m gz g m zp ip

i iii

i ii

E Mgzp CM

MzCM

Proprietà del centro di massa

mi


Dato un insieme di forze paralleleapplicate nei punti Pi , esiste un punto C, detto

“centro delle forze parallele”:

F F ui i

tale che il momento risultante delle forze Fi rispetto ad un

generico polo O sia uguale al momento rispetto ad O della risultanteapplicata in C. Infatti:

OC rF r

FC

i ii

ii

R Fii

Fi

ri

C

Pi

O

R

M M OP F

OP F u F OP u

F OP

FF u OC R

Otot

ii

ii

i

ii i i ii

i ii

ii

ii

( )

Se il sistema delle forze parallele è costituito dalle forze peso:

F m g m gui i i z il centro delle forze peso, o “baricentro”, è:

rm gr

m g

m r

mG

i ii

ii

i ii

ii

e coincide col centro di massa.

Proprietà dei sistemi di forze parallele


Un sistema di forze Fi applicate in n punti Pi ha un momento risultante che in generale dipende dal polo considerato:

M OP F M O P FO ii

i O ii

i

' '

OO’

Pi FiOPi

O’Pi

M O P F O O F OP FO i

ii

ii i

i' ' '

O’O

= O’O + OPi= M O

Si ha:

O O F Mii

O'

M O O R MO O' '

risultante del sistema di forze

In particolare un sistema di forze a risultante nulla ha un momento che non dipende dal polo considerato

Momento risultante di un sistema di forze


Sistema di due forze di egual modulo e direzione e di verso opposto ( R 0 ) .Il momento di una coppia di forze è indipendente dal polorispetto al quale viene calcolato; prendendo come polo il punto A:

A B- F

F

“braccio”: b= ABsin(= distanza tra le due rette d’azione)

M = AB F

M AB F Fb sin

Per la legge di azione e reazione, le forze interne di un sistemacostituiscono un insieme di coppie di braccio nullo .

Coppia di forze :


Momento angolare di un sistema di punti materiali

L L r m vO ii ii i i

L r m v r r m v v

r m v r m v r m v v

O ii i i G i i G ii

G i Gi G i ii i i G ii

( ' ) ( ' )

' ' ( ' )

MvG

MvG

' 0

r Mv r m v r m v

r Mv r m v m r v

G G i i ii i i Gi

G G i i ii i ii

G

' ' '

' ' '

L G’ MrG

' 0

L r Mv r m v

r Mv L

O G G i i ii

G G G

' '

'O

Pi

G

ri = ri’

rGvG

vi = vi’ + vG

ri’ +rG

Teorema di Koenig del momento angolare:


Moto traslatorio:

vG = v1 = v2

v1

v2

v1’ = v2’ = 0

nel sistema di riferimento del CM:

L r m vG i i i

i

' ' ' 0

L r Mv r m vO G G 1 1 1' '

G

Or2

r1

Moto roto-traslatorio:

Quantità di moto totale: P MvG

G

v2

v1

v2’

v1’

vG

rG

rG

r2’

r1’

O

Quantità di moto totale:

P MvG

r m v2 2 2' '

L r MvO G G

Teorema di Koenig del mom.angolare: esempi:


Teorema del momento angolare per un sistema di punti materiali( “ 2a equazione cardinale” della dinamica):

dL

dtM v MvO

OE

O G

( )

momento totale delle forze esterne rispetto al polo O

velocità del polo Onel sistema di riferimentoinerziale nel quale i puntimateriale hanno le velocità vi

che entrano nella definizionedi LO :

L r m vO i i i

C

O

sistema inerziale

v GG

v i

vO

r i

dL

dt

d

dtr m v

dr

dtm v r m

dv

dt

Oi i i

ii i i i

i

v vi O

m a F

F F

i i i

iI

iE

( ) ( )

v m v v m v r F Fi i i O i i i i

Ii

E( )( ) ( )

= 0

MvG

massa totale del sistema

Teorema del momento angolare

Infatti:


dL

dtv Mv r F r FO

O G i iE

i iI

( ) ( )

M MOiE

OE( ) ( ) = 0

r F r F r F r F

r F r F r r F

i iI

i ijj ii

( ) ...

... .... ( ) ....

1 12 1 13

2 21 2 23 1 2 12

F12 = 0

poichè le forze interne costituiscono coppie di forze a braccio nullo :

O

m1

m2

r1

r2

F12

F21 = - F12

r r r F1 2 21 12 / /

r12

( ) r r F1 2 12 0

Pertanto: dL

dtv Mv MO

O G OE

( )

Infatti, il momento risultante delle forze interne è nullo:

Teorema del momento angolare (II)


Se il polo O è fisso nel sistema inerziale nel quale sono misurate le velocità vi dei punti materiali:

dL

dtMO

OE

( )vO 0

Se il sistema é isolato o il momento risultante delle forze esterneagenti sul sistema è nullo : dL

dtO

0

LO = costante

Il momento angolare totale di un sistema isolato si conserva

Momento angolare (III)

Una galassia è conottima approssimazione un esempio di sistemacon momento angolarecostante


Il collasso gravitazionale (e la successiva esplosione) di una “supernova” avviene conservando il momento angolare della stella originaria.Al centro dei resti della Supernova della nebulosa del Granchio (esplosione osservata da astronomi cinesi nel 1054) vi è una “pulsar” (oggetto compatto che emette un fascio di radiazione e.m. ruotando con un periodo Tpulsar= 33 ms )

I Istella stella pulsar pulsar L = costante

MRstella2 MRpulsar

2

R R RT

Tpulsar stellastella

pulsarstella

pulsar

stella

Assumendo, come

ordine di grandezza: R R kmstella Sole 106

25 Solestella TT R R kmpulsar Sole 10 105

La pulsar è una “stella di neutroni”(distanze internucleari 1 fm)

“pulsar”

La Supernova della nebulosa del Granchio

Dalla conservazione del momento angolare [per un oggetto sferico rotante, come la stella iniziale prima dell’esplosione o la“pulsar” finale: L= I, dove I=5MR2/2(vedi più avanti, lezioni sul corpo rigido),dove M=massa dell’oggetto e R è il suo raggio ]si ha allora:

giorni


Se viene scelto come polo il centro di massa del sistema:

O G , v MvG G 0

v vO G dL

dtMG

GE

( )

dove: L r m vG ii i i

vettori posizionerispetto al polo G

velocità dei punti materialinel sistema inerziale: v vi i '

velocitàrispetto a GApplicando il teorema di Koenig del momento angolare:

L r Mv LO G G G '

r m vii i i' '

r m vii i i vettore posizionedi G rispetto ad O

al caso in cui O=G :rG 0

L LG G '

e quindi: dL

dtMG

GE

' ( )

L r m vG ii i i' ' '

ossia calcolato utilizzando sia le posizioni ri’ che le velocità vi’ rispetto al centro di massa G.

i

Momento angolare rispetto al centro di massa

dove è il momento angolare relativo al sistema del CM,


E E m vk ik

i i ii 1

22

Energia cinetica di un sistema di punti materiali:

O

G

ri = ri’

rG

vi = vi’ + vG

Pi

ri’ +rG

E m v v

m v m v m v v

Mv m v v m v

k i G ii

i Gi i ii i G ii

G i ii G i ii

1

21

2

1

21

2

1

2

2

2 2

2 2

( ' )

' '

' '

MvG

' 0energia cineticaassociata al moto del CM energia cinetica EK’

associata al motorelativo al CM

E Mv m vk G i ii 1

2

1

22 2

'

1

22Mv EG k

'

Teorema di Koenig per l’energia cinetica:

vG

U.Gasparini, Fisica I

Teorema dell’energia cinetica per un sistema di punti materiali :

E E E W Wk kf

ki

i fI

i fE

( ) ( )

lavoro delle forze internetra gli istanti iniziale e finale

lavoro delleforze esterneal sistema

dsj

Il lavoro infinitesimo dW di tutte le forzeagenti sul sistema quando ciascun puntomateriale si sposta del vettore infinitesimo dsj è:

Fj

dW F ds m a ds m a dsjj j j j jj j Tj jj

mdv

dtds m dv v d mv

d E d E dE

jj

j j j j jj jj

jk

j jk

j k

1

22

Integrando su spostamenti finiti:W dW F ds

dE E E

i f

i

f

j j

i

f

j

jk

i

f

j jk

kj

F Fj

Ij

E( ) ( )

posizione finale di ciascun punto Pj

posizione iniz.

Teorema dell’energia cinetica


Nel calcolo del lavoro, si deve tener conto sia delle forze interne che di quelle interne;il lavoro delle forze interne non è, in generale, nullo :

dW F dr F dr

F dr F dr F dr

Ij

Ijj jkk jj j

( ) ( )

... ....

12 1 13 1 21 2

F dr dr F dr dr12 1 2 13 1 3( ) ( ) ....

F12

F dr dr F dr dr

F d r r F d r r F drjk jkk j

j

12 1 2 13 1 3

12 1 2 13 1 3 0

( ) ( ) ....

( ) ( ) ....

O tempo ttempo t +dt

dr dr dr 12 1 2

r t

r t r t12

1 2

( )

( ) ( )

r t dt12 ( )

r t2 ( )

r t1( )

r12

F12

F12

0 F dr12 12 0

dr1

dr2

12

1

2

Lavoro delle forze interne ed esterne

u.gasparini, fisica i1 centro di massa g di un sistema di punti materiali p i : g x y z r cm y cm...

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