un estudio del proceso de enseÑanza-aprendizaje de …
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2017. En IV Coloquio de Doctorado del Departamento de Matemática Educativa,
Cinvestav (vol. 1, págs. 113-124). México.
UN ESTUDIO DEL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA DERIVADA
construcción de un Modelo Teórico Local Blanca Rosa Pérez Aráoz
Estudiante de doctorado del Departamento de Matemática Educativa
CINVESTAV
En este trabajo se presenta el avance de la investigación hasta el momento
realizada, sobre cómo los estudiantes adquieran el concepto de derivada. Primero se
revisó cual es el tratamiento que se da al concepto de derivada en el plano histórico, los
planes de estudio y los libros de texto de educación media superior y superior, señalando,
esencialmente, tres tipos. A partir de este análisis, se planteó una serie de actividades con
un enfoque constructivista para cada uno de los tres tipos de tratamientos encontrados.
Palabras claves: cálculo diferencial, derivada, mediación por tecnología.
Introducción
El proyecto tiene como objetivo general investigar los conceptos y
procesos que siguen los estudiantes para construir el concepto de derivada a
través de actividades diseñada con el apoyo de tecnología y no solamente
repitiendo algoritmos sin significado. Con esto no se pretende eliminar el uso de
algoritmos y su mecanización, sino que se desarrollen conjuntamente. a través
de la mediación con un tercero o un sistema computacional.
Antecedentes
En los planes y programas de educación media superior en el área de
físico-matemáticas y en los programas de ingeniería, ciencias básicas y economía
de la educación superior encontramos que el aprendizaje del Cálculo diferencial
es fundamental. Muchos estudiantes al finalizar su educación básica cuentan con
conocimientos matemáticos muy limitados: en la mayoría de los casos no se tiene el
conocimiento y fundamento algebraico para iniciar el trabajo con el Cálculo Diferencial
(Cortés, Ibarra, & Núñez, s.f.)
Las deficiencias de la preparación en matemáticas de los estudiantes en
la educación superior dan lugar a la revisión de los diseños curriculares,
provocando la reducción o aplazamiento de algunos contenidos (Pluvinage &
Marmolejo, 2012).
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Señalan Gil y De Guzmán (1993) que la mayoría de los investigadores
coinciden en que las preconcepciones de los estudiantes se forman a través de su
experiencia cotidiana, incluyendo, tanto sus experiencias físicas como las
sociales, constituyéndose en un conocimiento precientífico fuertemente
arraigado.
Por ejemplo, a partir del análisis de resultados obtenidos en diversas
investigaciones sobre la manera en que los alumnos coordinan los modos de
representación (Sánchez-Matamoros, 2008), se concluye que:
Los estudiantes resuelven problemas aplicando por separado los contextos
gráficos y algebraicos
Los estudiantes de cálculo construyen sus conexiones basados en su experiencia
previa
Hay una gran inconsistencia entre las representaciones, particularmente, entre
comprensión y procedimientos.
Vivier (2010) plantea la necesidad de enseñar la noción de tangente para,
después, usarla para introducir la noción de derivada. En sus investigaciones
detectó varias concepciones en la enseñanza del cálculo:
Una recta que sólo tiene un punto de intersección con el círculo
Una recta perpendicular al radio en un punto de la circunferencia
Límite de las rectas secantes en un punto de la curva
Recta que pasa por un punto de la curva, cuya pendiente es el valor de la
derivada.
Las dos primeras definiciones se encuentran en el marco geométrico y las
dos últimas en el marco analítico, sin que se trabaje en algún momento el
vínculo entre ellas. En particular, se omite que la nueva noción de derivada
generaliza la definición de tangente a un círculo. Orts, Llinares, Boigues (2016)
enfatizan que, según Vivier, parece existir una desconexión entre las
concepciones geométricas y analíticas.
Los estudios de Sierpinska (1985) y de Castela (1995), citados por Vivier
(2010), mostraron una gran disparidad de concepciones, en especial la
percepción global de que intersecta en un solo punto, basada en la tangente al
círculo, es frecuente y tenaz.
Según Maschietto (2002,2004) citado por Vivier (2010), el juego entre lo
local y lo global es esencial para entender la noción de tangente y en general el
cálculo.
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Vivier (2010) señala que la perspectiva histórica puede ayudar a delimitar
una propuesta alternativa para la enseñanza de las tangentes y de la derivación.
Diseño de la investigación
La clase de matemáticas involucra a varios actores, con emociones y
conocimientos previos, interactuando para dar lugar a la construcción y
acomodación del conocimiento matemático, por lo que se determinó utilizar el
marco teórico y metodológico denominado Modelos Teóricos Locales
desarrollado por Eugenio Filloy (1999, citado por Fernández L. & Puig E., 2002).
Para el planteamiento de un Modelo Teórico Local es necesario tomar en
cuenta cuatro componentes: Modelo de Competencia Formal, Modelo de
Enseñanza, Modelo para los Procesos Cognitivos y Modelo de Comunicación
La presente investigación tuvo dos etapas: la elaboración del Modelo
Teórico Local Inicial (MTLI) y la experimentación.
Modelo Teórico Local Inicial
Se trabajó en el diseño del MTLI y la elaboración de sus cuatro
componentes, que son:
1. Modelo de competencia formal.
2. Modelo de enseñanza
3. Modelo de los procesos cognitivos.
4. Modelos de comunicación.
Modelo de Competencia Formal
En primer lugar, se hizo una investigación y análisis histórico (Ponce-
Campuzano, 2015), poniendo especial énfasis en la motivación y enfoque que se
tuvo para la definición de la derivada. (Grabiner, 1983). Posteriormente se
revisó la definición formal de derivada. (Apostol, 1976) (Spivak, 1978).
Históricamente la formalización del concepto de derivada abarca un
largo periodo de tiempo, podríamos decir que cerca de doscientos años.
Primero, Fermat utilizó la derivada de manera implícita. Después, Newton y
Leibniz la descubrieron. Más tarde Taylor, Euler y Maclaurin, entre otros, la
desarrollaron. Lagrange la nombró y la caracterizó. Solo hasta el final de este
largo periodo de desarrollo, Cauchy y Weierstrass la definieron. (Grabiner,
1983).
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Los problemas que motivaron el descubrimiento del cálculo fueron
esencialmente:
5. Encontrar la tangente a una curva en un punto
6. Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad
7. Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un
sólido,
8. Encontrar la velocidad y la aceleración de un cuerpo en cualquier instante y a
la inversa.
Definiciones
A continuación se expone la definición de derivada tomada de Spivak,
1915.
La función es derivable en a si existe:
0
( ) ( )lim .h
f a h f a
h
En este caso el límite se designa por y recibe nombre de derivada de
en a. (Decimos también que f es derivable en a para toda a del dominio de f).
Observaciones:
Definimos la tangente a la gráfica de f en (a, f(a)) como la recta que pasa
por (a, f(a)) y tiene por pendiente f’(a). Esto quiere decir que la tangente en (a,
f(a)) solo está definida si f es derivable en a.
Para cualquier función f designamos como f’ a la función cuyo dominio
es el conjunto de todos los números a, tales que f es derivable en a, y cuyo valor
para el número a es:
La interpretación física de la derivada. Consideremos una partícula que
se mueve a lo largo de una recta sobre la cual se ha elegido un origen O, y una
dirección en la cual la distancia a O será positiva y en la otra será negativa. El
cociente
Tiene una interpretación física natural. Es la velocidad media de la
partícula durante el intervalo de tiempo entre a y a+h.
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La única definición razonable de velocidad instantánea en el tiempo (la
llamada velocidad instantánea) es el límite
Definimos la velocidad (instantánea) de la partícula en a como s’(t).
Modelo de enseñanza
Continuamos la elaboración del MTLI con el Modelo de Enseñanza. Se
hizo un análisis del tratamiento que se da a los contenidos de cálculo diferencial
en los planes de estudio de educación media superior y superior y en especial
con qué enfoque se trabaja. También se incorporó un análisis de diferentes libros
de texto utilizados en los cursos de cálculo.
El Cálculo Diferencial representa una herramienta fundamental para el
tratamiento de varios contenidos de Ingeniería y Economía, los cursos de física,
microeconomía, resistencia de materiales y muchos más requieren de su uso.
Por ello se empieza a trabajar con termas de cálculo desde los últimos semestres
de la Educación Media Superior (bachillerato) es una de las primeras materias
de matemáticas en la Universidad.
En los lineamientos oficiales que se plasman en los planes y programas
de estudio, se puede obtener información sobre las directrices, secuenciaciones y
acercamientos metodológicos resultado de la política educativa existente.
Para ubicar cuál es el tratamiento que se da a los contenidos de Cálculo
Diferencial, se revisaron los planes de estudio de Educación Media Superior y
Educación Superior, para determinar cómo están y, en especial, si se trabaja con
la recta tangente.
A nivel medio superior se revisaron los programas de Bachillerato
General y del Colegio de Ciencias y Humanidades de la UNAM. En los dos
programas se trabaja la derivada con una interpretación geométrica pero no se
menciona explícitamente el trabajo con rectas tangentes y posteriormente se
sugiere trabajar fuertemente en la resolución de problemas de razón de cambio.
A nivel de educación superior se revisó el currículo de las carreras de la
División de Ciencias Básicas e Ingeniería, en la UAM Unidades Iztapalapa y
Azcapotzalco, y de las carreras de matemático, físico, actuario y licenciado en
ciencias de la computación. En este nivel se sugiere empezar a trabajar con
problemas de aplicación, dejando el trabajo con recta tangente para el capítulo
de graficación. El cambio que se observa respecto a lo planteado para educación
media superior es la formalización
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Para Gómez (Gómez, 2006), investigador en didáctica de las matemáticas,
el análisis de los libros de texto es una fuente privilegiada de información ya
que nos da información sobre la evolución curricular y pedagógica, la política
educativa, el desarrollo histórico de los contenidos y los problemas de
enseñanza aprendizaje de las matemáticas.
Se revisaron 6 libros de texto utilizados en los cursos de Cálculo
Diferencial, se hizo la selección de los libros a revisar tomando en cuenta la
bibliografía sugerida por los programas de estudio.
Se seleccionaron tres clásicos: 1) Cálculo Diferencial e Integral de
Granville (2009), muy usado en el bachillerato, encontrándose una publicación
en español de 1952 y en francés de 1936. 2) El Cálculo de Leithold (1998) en el
nivel de licenciatura, con una 7a edición de 21,000 ejemplares, su primera
edición fue en 1968 y 3) Calculus. Cálculo Infinitesimal de Spivak (1978). Uno
novedoso por su enfoque en competencias 4) Cálculo diferencial para cursos con
enfoque en competencias Gil Sevilla y Díaz (2013), primera edición. Dos de los
más usados a nivel licenciatura y que cuentan con una versión para bachillerato:
5) Cálculo de una Variable. Trascendentes Tempranas de Stewart (2012) y
Cálculo de Larson (2010).
En la revisión que se hizo de los libros actuales que se usan para la
enseñanza del Cálculo, se observó que la manera como se trabajan los
contenidos de cálculo se puede caracterizarse esencialmente en tres tipos:
1. La introducción de la derivada se apoya en el uso de la recta tangente a una
curva en un punto.
2. La introducción de la derivada se apoya en que la recta la
es la mejor aproximación lineal de la función f
en una vecindad de x0.
3. La introducción de la derivada se plantea a través del problema de
determinar razones de cambio “locales” o “instantáneas”.
De los libros revisados todos los autores trabajan con los tipos 1 y 3, pero
solamente Larson (2010) trabaja con la aproximación lineal de una función.
En cuanto al uso de la TIC’s, solamente dos de los 6 libros que se
revisaron, con ejercicios especialmente diseñados para el aprendizaje de los
contenidos expuestos. Cabe Mencionar que el libro de Leithold ya sugiere el uso
de una calculadora para el cálculo de Derivadas numéricas.
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Modelo de los procesos cognoscitivos
La tercer componente del MTLI que se desarrolló fue el de los procesos
cognoscitivos. Se hizo una investigación empírica sobre las actuaciones de los
estudiantes, las actividades fueron diseñadas con base en el modelo cognitivista
de Jean Piaget (Pozo, 1993) y en la teoría de Vygotsky. (Vygotsky, 1986).
A lo largo del tiempo ha habido una preocupación del hombre por
entender cómo es que se genera el conocimiento y cómo se aprende. Ha habido
diversas teorías que han tratado de dar una explicación a esta interrogante,
coincidiendo muchos autores en que es un proceso interno que lleva a cabo el
estudiante y en el que se involucran varios actores. La presente investigación se
fundamente en los trabajos realizados por Piaget (1983) y Vigotsky (1986).
Piaget hace énfasis en el trabajo intuitivo previo a la formalización de los
contenidos matemáticos. Considera que la intuición matemática es
esencialmente operatoria y que la esencia de las estructuras operatorias consiste
precisamente en la disociación de forma y contenido, preparando el camino para
la formalización (Citado en Pozo, 1993).
Piaget (1983) sugiere que los maestros deben tener presente en todos los
niveles lo que el alumno es capaz de “hacer” y de “comprender en acción”
mucho más de lo que expresa verbalmente. Es decir, una buena parte de las
estructuras que emplea cuando intenta resolver de modo activo un problema
permanece inconsciente. El sujeto tiene más poderes de lo que es capaz de
teorizar o simplemente describir. Por lo que es función del maestro con
conocimiento de las estructuras subyacentes del educando, ayudarle a tomar
conciencia de ellas, bien sea mediante discusiones adecuadas o la organización
de trabajos en equipo con compañeros de su edad, lo que favorecerá la
verbalización y toma de conciencia.
Para Vygotsky los elementos mediadores son básicos para que se logre el
aprendizaje. (Vygotsky, 1986) Plantea la importancia de la relación maestro-
alumno, asociada a la Zona de Desarrollo Próximo, como fundamento de los
procesos de aprendizaje.
La Zona de Desarrollo Próximo es el espacio en el que una persona
adquiere una competencia nueva gracias a la interacción con otra persona y que
no podría obtener individualmente. Para Vygotsky es en esta zona en donde se
pueden producir nuevas estructuras de pensamiento y acceder a nuevos
conocimientos modificando los adquiridos, gracias a la mediación con otra
persona.
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La teoría de Vygotsky puede resumirse esencialmente en: el empleo del
método evolutivo, los procesos psicológicos superiores tienen su origen en
procesos sociales y los procesos mentales pueden entenderse sólo mediante la
comprensión de los instrumentos y signos que actúan como mediadores
(Contini, 2006)
Vygotsky afirma que para aprender conceptos se necesitan problemas, el
hecho de memorizar palabras y vincularlas con objetos no lleva por si mismo, a
la formación de conceptos; para que el proceso se inicie, debe surgir un
problema que no pueda ser resuelto por el estudiante sin mediar la formación
de nuevos conceptos. (Vygotsky, 1986).
Modelo de comunicación
La introducción del concepto de derivada puede hacerse geométrica o
analíticamente. En la presente investigación se trabajó con los dos modelos de
representación. Es importante que el alumno los relacione y no los utilice
aisladamente. Por otro lado, el avance tecnológico existente en la actualidad nos
permite llevar al aula experiencias que anteriormente requerían de mucho
tiempo y recursos. El diseño de las actividades está apoyado fuertemente por el
uso de la computadora y el programa Geogebra (Geogebra 5.0, 2017).
En el tratamiento de la derivada se detectaron en los libros de texto tres
tipos de tratamiento: tabular, geométrico y analítico.
En el tratamiento tabular se pide al estudiante trabajar con datos
numéricos, se puede apreciar su uso especialmente cuando se trabaja con
incrementos. Para el tratamiento gráfico se trabaja principalmente con la gráfica
de la función y en el analítico con la definición algebraica y demostraciones. Es
importante que el alumno identifique que la definición algebraica y la gráfica de
una función son lo mismo, con diferente representación.
Se han realizado diversas investigaciones para determinar el rol que
desempeñan las representaciones en la comprensión de la derivada. En 2008
Sánchez-Matamoros hace un análisis sobre la manera en que los alumnos
coordinan los modos de representación (Sánchez-Matamoros, 2008), lo que lo
llevó a determinar que:
Los estudiantes pueden considerar a los contextos gráficos y algebraicos como
modos separados donde se aplican algoritmos sin relación para resolver
problemas.
Los estudiantes de cálculo construyen sus conexiones, influidos por su
experiencia previa.
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Hay grandes inconsistencias entre representaciones, particularmente en ítems
procedimentales y comprensión de conceptos.
Diseño de la experimentación
A partir del Modelo Teórico inicial elaborado se diseñó la
experimentación, que comprende actividades pensadas en un marco
constructivista, que fomentan el intercambio de ideas y el manejo de distintas
representaciones tanto con lápiz y papel y como el uso del sistema Geogebra.
Se seleccionó Geogebra porque cuenta con una ventana con vista
geométrica, una con vista algebraica y una con CAS, lo que nos permitió trabajar
con varios ambientes y distintos tipos de ejercicios. Además, que es un software
libre de uso generalizado en diferentes instituciones educativas.
Los estudios realizados fueron:
Primer estudio: concepción espontanea de los estudiantes acerca de la recta
tangente a una curva,
Segundo estudio: recta tangente a curvas que no necesariamente son gráficas de
funciones,
Tercer estudio: relación entre la recta tangente a la gráfica de una función y la
derivada como razón de cambio.
Cuarto estudio; relación entre la recta tangente a la gráfica de una función y la
mejor aproximación lineal de la función
Resultados obtenidos hasta la fecha
El objetivo de este trabajo es detectar cómo los estudiantes se relacionan
con el concepto de derivada, qué significado le dan a partir de sus
conocimientos previos. En este sentido se buscó interactuar con estudiantes de
distintos niveles e intereses, aprovechando la experiencia que se tiene como
docente.
Para el primer estudio se seleccionó el concepto de recta tangente y a
partir de los resultados reportados Vivier (2010) se planteó una actividad
exploratoria, la cual se aplicó a dos grupos de estudiantes de Educación
Superior.
No se detectaron problemas en la actividad atribuibles a su diseño. Se
observó que en los dos grupos se considera a la recta tangente en relación con la
gráfica completa y no localmente. En el Grupo 1, 11 estudiantes, curso
avanzado, los alumnos se dieron cuenta que no se podía trazar la recta tangente
por una la limitación del programa, dadas las características de la gráfica. En
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cambio, en el Grupo 2, 20 estudiantes, curso propedéutico, trataron de modificar
la gráfica y no el deslizador.
Para el segundo estudio se siguió trabajando con el concepto de recta
tangente, pero se incluyeron curvas que no eran funciones de los reales en los
reales (círculos). El instrumento se aplicó a un grupo de 13 alumnos de un curso
de Prerrequisito de Ingeniería Mecánica y Eléctrica e Ingeniería de Negocios y
Sistemas. En general, los alumnos mostraron un mayor interés por las
actividades en Geogebra 4 que en lápiz y papel. Se observó que los alumnos
consideran la recta tangente en relación con la gráfica completa y no localmente.
El tercer estudio se aplicó a un grupo de 40 estudiantes de un curso de
cálculo del Tronco Común de las carreras de Ciencias Biológicas y de la Salud,
Se observó que los alumnos tuvieron un mejor desempeño con cálculos
numéricos que algebraicos. En general, pudieron contestar correctamente las
preguntas, pero, no así justificar su respuesta. Se siguió observando en las
respuestas, que el alumno no considera la recta tangente localmente.
El cuarto estudio se aplicó a 2 grupos de Preparatoria que cursan el
bachillerato general y a 2 grupos de educación superior de las carreras de
Ingeniería Industrial e Ingeniería Aeronáutica, el análisis de la información está
en proceso.
Conclusiones
En general los alumnos prefieren el trabajo con Geogebra al trabajo con
lápiz y papel. El concepto de recta tangente representa una dificultad adicional,
que se ve acrecentada cuando se trabaja con curvas que no son funciones de los
reales en los reales (círculos). Se pueden observar confusiones entre la
concepción local y la global. Establecer la relación entre el concepto de tangente
y la definición de derivada no es sencillo y cuesta mucho trabajo al estudiante.
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