Unidad 1. Integrales

Presentación de la unidad

En esta unidad empezarás a desarrollar los fundamentos matemáticos para construir el cálculo integral.

Verás que para calcular el área de una función, partirás del hecho de sumar las áreas de rectángulos bajo una gráfica y el eje x, situación que te conducirá al concepto de sumas de Riemann y al concepto de integral definida.

Abordarás algunas propiedades importantes de la integral definida que te permitirán desarrollar tus habilidades a la hora de evaluar una integral y te darás cuenta que el cálculo integral y diferencial están ligados por un eslabón muy importante: el teorema fundamental del cálculo, que es una herramienta muy poderosa para evaluar integrales de manera muy práctica.

Al igual que existen integrales definidas, también existen integrales indefinidas, mostraremos cuál es esa pequeña diferencia. Empezarás a calcular integrales no tan complicadas mediante el uso de tabla de integrales y mediante sustitución. Por último, revisarás algunas reglas de simetría que algunas integrales poseen, ya que esto permitirá ahorrarte trabajo cuando integres ciertas funciones.

Propósitos de la unidad

En esta unidad desarrollarás tu habilidad para calcular integrales mediante sumas de Riemann y el teorema fundamental del cálculo, además de calcular volúmenes y promedios. También, estudiarás las integrales definida e indefinida.

Competencia específica

Describir el proceso de integración para calcular áreas entre curvas, volúmenes, así como el valor promedio de una función a través de la integral definida e indefinida y el teorema fundamental del cálculo con base en sus definiciones, modelos y reglas.

1.1. Integral definida

Es posible que, en ocasiones te veas ante la necesidad de tener que calcular el área de alguna región de forma irregular; por ejemplo, puede que requieras calcular el área de un terreno de forma irregular para saber el valor monetario en función del precio por metro cuadrado.

En esta sección verás el desarrollo para llegar al concepto de integral definida y de algunas de sus propiedades que te ayudarán a resolver ese tipo de situaciones. También empezarás a evaluar algunas integrales sencillas mediante las Sumas de Riemann.

1.1.1. Área de una región

Seguramente desde que ibas a la primaria escuchaste hablar del concepto de área, quizá recuerdes que un área es la región limitada por ciertas fronteras, como pueden ser líneas rectas, como el caso del cuadrado, o bien, líneas curvas, como el caso de un círculo.

En esta ocasión, y debido a que se hará uso de este concepto durante el curso, conviene repasar un poco más al respecto, para hacerlo, da clic en palabra Área y recuerda los principales conceptos, fórmulas para definir y calcular el área de una región.

Áreas regulares

Algunas personas tienen la idea intuitiva de lo que es área. Se sabe que es fácil calcular las áreas de ciertas figuras simplemente con saber la forma y su fórmula.

Es posible que te venga a la mente que el área limitada por un cuadrado es la multiplicación de su lado por lado A= l x l.

El área de un rectángulo es lado por su altura A = l x h

El área de un triángulo es la multiplicación de su base por su altura A = b x h . Así sucesivamente se pueden citar muchas figuras con sus respectivas fórmulas para calcular sus áreas.

Áreas irregulares

Ahora te enfrentas a calcular el área de una figura que tiene forma irregular. Piensa en un terreno. Por lo general, algunos terrenos no tienen una forma muy bien definida, observa el siguiente ejemplo:

Suponiendo que se conocen los lados del terreno, la pregunta es:

¿Cuál es el área?

La solución es sencilla, únicamente hay que dividirlo en triángulos, calcular el área de cada triangulo y sumar las áreas de todos los triángulos para encontrar el área total del terreno.

Así que el área total de este terreno es:

Analiza una figura un poco más compleja ¿cómo se hallaría el área para la siguiente figura?

La respuesta es, inscribir repetidamente el área de una figura geométrica cuya área es conocida, y para ello escogemos el cuadrado. El área de cada cuadrado representa 1 unidad de área. La figura quedaría así:

El área aproximada de la figura es de 33 unidades de área. Se podría ser más preciso, y para ello se tendrían que hacer más pequeños los cuadrados.

Definición de área

El área, entonces, es la región limitada por ciertas fronteras, como puede ser líneas rectas, como el caso del cuadrado, o bien, por líneas curvas, como el caso de un círculo

Actividad 1. ¿Qué es área?

Esta actividad está diseñada para que trabajes en conjunto con tus compañeros(as) de grupo. Para ello, se ha diseñado un foro con dos entradas en las que deberás participar puntualmente.

Para comenzar:

• Ingresa al foro de esta actividad y da clic sobre la entrada “Presentación”, en ella, agrega un nuevo comentario y preséntate con cada uno (una) de los (las) integrantes del grupo, puedes comentar acerca de tus intereses académicos, profesionales o personales, así como responder a las aportes de los (las) demás.

Una vez que te hayas presentado, ingresa a la entrada “¿Qué es área?” y responde en nuevo comentario las siguientes preguntas:

• ¿Qué esperas de la asignatura de Cálculo integral?Esta materia es fundamental en toda ingeniería. Se dice que las matemáticas describen al mundo y al universo. Las matemáticas nos permiten conocer el mundo de manera más analítica,

• ¿Cuál crees que sea el significado de área? Explícalo con tus propias palabras.Superficie incluida dentro de una figura cerrada, medida por el número de unidades cuadradas necesarias para cubrir la superficie. El área de una figura plana cerrada delimitada por líneas rectas siempre se puede determinar subdividiéndola en triángulos y calculando el área de cada triángulo. El área de cualquier otro tipo de figuras se puede encontrar ya sea por aproximación, utilizando figuras geométricas básicas, o mediante el proceso de integración.

• ¿Qué es más fácil, obtener el área de una figura geométrica regular o de una irregular? ¿Por qué? Yo creo que calcular áreas irregulares es más laborioso ya que no existen fórmulas para realizar estos cálculos como las hay para los cálculos de las áreas regulares. Sin embargo, cuando se dominan las fórmulas para las áreas regulares es totalmente relativo su cálculo.

• Comparte tus conclusiones con tus compañeros(as). • Participa al menos dos veces y recuerda ser respetuoso(a) con tus compañeros(as). Tu Facilitador(a)

retroalimentará tu participación.

Consulta la Rúbrica general de participación en foros, que se encuentra en la sección Material de apoyo.

1.1.2. Área mediante suma de rectángulos infinitesimales

En este subtema obtendrás el área bajo una curva por aproximación de rectángulos, como se muestra en la figura de la izquierda. Posteriormente se tomará el límite de estos rectángulos.

Para conocer el procedimiento, da clic en el siguiente enlace:

Área mediante suma de rectángulos infinitesimales

Considera el siguiente desarrollo. Sea la función . Halla el área bajo la curva en la región comprendida entre 0 y 1 del eje x.

Puedes hallar el área aproximadamente, inscribiendo rectángulos debajo de la curva descrita por en la región comprendida entre 0 y 1. El área de la región está dada por la suma de todos los rectángulos inscritos en la región S.

Divide el segmento [0,1] en 10 partes iguales, esto significa que las bases de cada rectángulo es igual a 1/10. La altura para cada rectángulo es tomada del lado derecho de cada rectángulo, es decir, las alturas los rectángulos son los valores de la función en los puntos extremos de la derecha.

Considerando de la imagen que para cada número x de las abscisas, existe un valor para y, se cumple la función

La altura para el primer rectángulo es:

Para el segundo

Para el tercero

De manera análoga se calcula las demás alturas para cada uno de los rectángulos. Así que podemos escribir las alturas de los rectángulos de la siguiente manera:

La suma de las áreas de todos los rectángulos es la suma aproximada debajo de la curva comprendida entre 0 y 1:

Realiza la suma de todas las fracciones:

Esta es el área aproximada de la región S, sin embargo, los rectángulos sobresalen por encima de la gráfica, lo cual quiere decir que el área que has calculado es mayor que el área A de la región S.

Para tener una mejor estimación del área A bajo la curva, lo que tendrás que hacer es, considerar un incremento de rectángulos, y así, las bases de los rectángulos serán cada vez más pequeñas. Al calcular la suma total de rectángulos infinitesimales, obtienes mejores estimaciones para el área de la región S.

Si incrementas infinitamente el número de rectángulos n, de tal forma que el ancho de cada uno de ellos se hiciera muy pequeño, verás que la suma de todos los rectángulos superiores se aproxima al área Abajo la curva

De manera similar al desarrollo anterior, Rn es la suma de n rectángulos de la figura de arriba, aquí el ancho de cada rectángulo vale 1/n y las alturas las obtendrás al evaluar los puntos 1/n , 2/n , 3/n, ... hasta n/n

en la función entonces, las alturas son:

Así sucesivamente hasta:

El área total está dada por la suma de las áreas de todos los rectángulos.

Factoriza:

La suma de cuadrados tiene una expresión general dada por:

Sustituye la expresión en nuestro desarrollo anterior.

Ahora aplicas el límite cuando el número de rectángulos tiende a ser infinito n → ∞ debajo de la curva

Recuerda algunos términos:

Recuerda que Evalúa los límites de:

Por lo tanto, el área de la región S es:

Con la misma metodología se puede calcular el área de la región S, usando rectángulos inscritos cuyas alturas fueran los valores de f en los puntos extremos izquierdos de los subintervalos. Llegarías al mismo resultado cuando aplicas el límite de infinitos rectángulos debajo de la función.

Esto quiere decir que no importa donde se tome la altura de los rectángulos, ya sea que pongas rectángulos superiores o rectángulos inferiores, siempre vas a llegar al mismo resultado, los límites son iguales

El ancho del intervalo [a,b] es b-a, por lo tanto, el ancho para cada rectángulo es:

Los puntos extremos de la derecha de los subintervalos son:

Para un i-ésimo rectángulo que tiene un ancho y una altura f (xi), que es el valor de f en los puntos extremos de la derecha, tiene un área igual a . Observa detenidamente la figura de abajo.

El área bajo la curva delimitada por el intervalo [a,b] es aproximadamente la suma de las áreas de todos los rectángulos.

Nota: Cuando decimos “i-ésimo” hacemos referencia a un elemento que se encuentra en la posición “i”, así que, si estamos hablando de rectángulos nos referimos a la posición i que tiene un rectángulo sobre el eje x. Puedes asignar valores para n, recuerda que n es el número de rectángulos que divide el intervalo [a,b]. Esta aproximación va a mejorar a medida que se incrementa la cantidad de rectángulos bajo la curva, es decir,

cuando n → ∞.

Una vez analizado el caso general para un área aproximada, puedes definir el área A de la región S.

Definición. El área A de una región S que se encuentra debajo de una función continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación:

Nota: Para que el límite exista se está suponiendo una función f continua.

Frecuentemente se usa la notación sigma para escribir de manera compacta las sumas que contienen muchos términos. Por ejemplo:

En la notación sigma se identifican las siguientes partes.

i=m, indica que debemos comenzar con i=m,

n indica terminar con el elemento n,

y el símbolo indica sumar.

Por lo tanto, la definición anterior se puede escribir de la siguiente manera:

Se tiene el mismo valor de área cuando se escogen los puntos extremos a la izquierda.

Si en lugar de usar los puntos extremos izquierdos o derechos, se toma la altura del i-ésimo rectángulo como el valor de f en cualquier número xi* en el i-ésimo subintervalo [xi-1,xi]

Los números x1*,x2*,…xn* reciben el nombre de puntos muestra. La figura muestra los rectángulos de aproximación cuando se eligen puntos muestra diferentes a los puntos de los extremos

La expresión más general para el área bajo la gráfica de la función f es:

1.1.3. Integral definida

En el subtema anterior se obtuvo un límite de la forma limite cuando ene tiende a infinito de la Sumatoria desde i igual a uno hasta ene de la función de equis elevada subíndice iesima menos uno por el incremento de equis cuando se calculó el área bajo una curva. Hablando de manera más general, este tipo de límite se presenta en varias situaciones, incluso cuando la función f no es positiva, por tal motivo, a este tipo de límite se le da un nombre y una notación especial: la integral definida de a a be de la función equis diferencial equis

El signo ∫ se llama signo de integral y corresponde a una S alargada, debido a que una integral es un límite de sumas.

Las letras a y b son los límites de integración, a es el límite inferior y b es el límite superior de la integral.

A f (x) se le llama integrando. dx no tiene significado, sin embargo denota con respecto a qué variable se está integrando, y en

cálculo diferencial es identificado como un diferencial.

Al procedimiento para calcular una integral se le llama integración.

Ejemplos de integral definida son:

Actividad 2. Concepto de integral

Ingresa a la Wiki Concepto de integral, y en colaboración con todos(as) tus compañeros(as) realiza lo que se solicita a continuación:

1. Construye el concepto de integral con base en los temas estudiados hasta el momento.Proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada. Es decir, la operación opuesta de la derivada así como la suma es a la resta.Por conveniencia se introduce una notación para la anti derivada de una función

Si F’(x) = f(x), se representa: ∫ fx dx = fx + C

A este grafo ∫ se le llama símbolo de la integral y a la notación ∫f x dx se le llama integral indefinida de f(x) con respecto a x. La función f(x) se denomina integrando, el proceso recibe el nombre de integración. Al número C se le llama conste de integración esta surge por la imposibilidad de la constante derivada. Así como dx denota diferenciación son respecto a la variable x, lo cual indica la variable derivada.

∫f x dxEsto se lee integral de fx del diferencial de x

2. Da ejemplos de integral y sus aplicaciones en la vida cotidiana y profesional.La integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc., lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. En física, su empleo es constante, al Estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad.

3. Se respetuoso con las aportaciones de los(as) demás y proporciona al menos dos ejemplos. La idea es mejorar y enriquecer las definiciones.

1.1.4. Suma de Riemann

A la suma que está mostrada en la parte derecha de la definición de integral definida se le conoce con el nombre de suma de Riemann

Esta sumatoria representa la suma de áreas de los rectángulos de aproximación

La gráfica muestra la representación geométrica de la suma de Riemann de la función f(x)

Con este ejemplo podemos ver que la suma de Riemann es:

Si es positiva, la suma de Riemann puede interpretarse como una suma de áreas de los rectángulos de aproximación cuyas áreas son positivas. Por otra parte, los términos con

signo negativo son inversos aditivos de áreas y surgen de las particiones o rectángulos que quedan debajo del eje x, ya que en ese tramo

De la relación de la definición de integral definida y sumas de Riemann tenemos que:

Si la integral definida es el área bajo la curva desde a hasta b

Si f(x) adquiere tanto valores positivos como negativos la integral definida es la diferencia de áreas

Donde representa el área de la región por arriba del eje x y debajo de la gráfica f(x) ; y representa la región debajo del eje x y arriba de la gráfica f(x)

Observa los videos La suma de Riemann que muestran un ejemplo de cómo hallar el área bajo una curva aplicando el concepto de sumas de Riemann y el concepto de integral definida. Da Play en cada video para reproducirlo.

Veamos un ejemplo:

Expresa limite cuando ene tiende a infinito de la sumatoria de i igual a uno hasta ene de equis elevada a la quinta potencia subíndice i más equis subíndice i del seno de equis subíndice i por el incremento de equis como una integral en el intervalo [0, π].

Solución:

De acuerdo a la definición de integral definida, el límite siempre existe y da el mismo valor. No importa cómo se elijan los puntos muestra Xi

*, se puede remplazar tomando como puntos muestra los puntos extremos derechos, por lo tanto, el límite se puede escribir como:

Comparando el límite de la función dada en la definición de integral definida con la integral de nuestra función, se identifica que:

En consideración de lo anterior, se puede escribir la solución de la siguiente manera:

1.1.5. Evaluación de integrales

Identidades y reglas

Antes de continuar con el procedimiento para calcular integrales definidas a través de sumas, es necesario que conozcas las siguientes identidades y reglas sencillas para trabajar con sumatorias

Ejemplos:

Evaluar la suma de Riemann para , en el intervalo [3,5]. Solución:

Estaba dado por:

Sustituimos a y b:

Para la i-ésima partición o rectángulo:

La suma de Riemann está dada por:

Recuerda que la función f(x) es , así que sustituimos xi y

Sacamos de las sumas los términos que no dependan de i y sustituimos el valor de la sumatoria correspondiente, según las fórmulas que dimos al principio de la sección:

Finalmente tenemos el n-ésimo término de la suma de Riemann:

Evaluar:

Actividad 3. Sumas de Riemann

Realiza en un documento de Word lo que se pide en cada punto:

1. Expresa como una integral en el intervalo [0,π].

2. Expresa el límite como una integral en el intervalo [3,9].

3. Expresa el limite como una integral en el intervalo [0,3].

4. Evalúa las siguientes sumas de Riemann:

a) Evalúa la suma de Riemann para: b) Evalúa

En el intervalo [2,5].

a) Evalúa la suma de Riemann para: b) Evalúa

En el intervalo [3,4].

a) Evalúa la suma de Riemann para: b) Evalúa

En el Intervalo [-2,1].

5. Calcula la integral definida mediante sumas de Riemann.

6. Calcula la integral definida mediante sumas de Riemann.

7. Guarda tu tarea con la siguiente nomenclatura CIN_U1_A3_XXYZ.

8. Envía el archivo a tu Facilitador(a) a la sección de Tareas para que la revise y te retroalimente en los siguientes días.

Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB.

1.1.6. Regla del punto medio

Anteriormente, el punto medio de un rectángulo era xi, cuyo valor arbitrario, podía estar entre xi-1 y xi. Sin embargo, como cualquier suma de Riemann es una aproximación a una integral, por ello, es conveniente usar puntos medios denotados por ẋi.

Observa la siguiente regla:

1.1.7. Propiedades de la integral definida

En este subtema, encontrarás las propiedades de la integral, las cuales son de gran utilidad para evaluar integrales. Considera que las funciones f y g son continuas.

1.2. Teorema fundamental del cálculo

En este tema, conocerás el Teorema fundamental del cálculo (TFC), así como su importancia en cálculo para integrar y/o derivar.

Recuerda que el teorema fundamental del cálculo establece la conexión entre las dos ramas del cálculo, el diferencial y el integral.

En otras palabras, la diferenciación y la integración son procesos inversos: dan la relación precisa entre la derivada y la integral.

1.2.1. Teorema fundamental del cálculo

Primera Parte

Segunda Parte

Actividad 4. Resolución de problemas TFC

Ha llegado la hora de resolver algunos problemas que servirán para comprobar tu aprendizaje sobre el tema. Realiza en un documento de Word lo que se pide en seguida:

1. Evalúa la integral

2. Calcula el área bajo la curva desde 0 a 1

3. Calcula

4. Halla la integral de

5. Calcula

6. Evalúa la función en x=0

7. Halla la derivada de

8. Guarda tu tarea con la siguiente nomenclatura CIN_U1_A4_XXYZ. Envíale tu documento a tu Facilitador(a) para que la revise y te retroalimente en los siguientes días.

*Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB.

1.2.2. Derivación e integración como procesos inversos

Después de ver la importancia que tiene el teorema fundamental del cálculo, se puede notar claramente que la integración y la derivación son procesos inversos.

El teorema fundamental queda establecido de la siguiente manera:

Actividad 5. Teorema fundamental del cálculo

Ingresa al foro que lleva el nombre de la actividad, y realiza lo que se te solicita:

1. Responde las siguientes preguntas y compártelas en un nuevo comentario: ¿Qué ventajas proporciona el teorema fundamental del cálculo?

¿Qué consecuencias habría de no existir el teorema fundamental del cálculo?

2. Lee las participaciones de tus compañeros(as), al menos de dos diferentes, y comenta sus aportes. Recuerda ser respetuoso(a) al externar tus opiniones.

3. Tu Facilitador(a) retroalimentará tu participación para apoyar tu proceso de aprendizaje.

1.3. Integral indefinida

Una consecuencia del teorema fundamental del cálculo es la integral indefinida, la cual se puede entender como el proceso contrario a la derivación:

Cuando quieras conocer una integral sin tener que evaluarla, deberás tener en mente esta imagen, te permitirá hallar de manera sencilla la integral de una función. Las tablas de integrales resumen estos procesos inversos, por lo que te serán de gran ayuda.

1.3.1. Integral indefinida

De las secciones precedentes se había llegado a dos puntos muy importantes del teorema fundamental del cálculo:

Sin embargo, por practicidad, es precisa una notación para las antiderivadas. Por lo tanto, a la integral

Se le llama integral indefinida.

Veamos un ejemplo:

1.3.2. Tabla de Integrales Indefinidas

La siguiente es una lista de antiderivadas de funciones (o integrales indefinidas):

De manera similar con lo hecho en la sección anterior, puedes derivar la función del lado derecho para verificar que se obtiene el integrando. Observa:

Actividad 6. Integral indefinida

1. Calcula las siguientes integrales indefinidas y verifica su resultado por derivación.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

2. Guarda tu actividad con la siguiente nomenclatura CIN_U1_A6_XXYZ.3. Envíala a tu Facilitador(a) para que la revise y espera su retroalimentación.

*Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB.

1.4. Regla de sustitución

Has visto cómo evaluar algunas integrales; sin embargo, si te presentan una integral de la forma:

De seguro te surgirán las siguientes preguntas:

La respuesta las encontrarás aquí: El radical

Aparentemente el radical te la hace complicada, pero verás que es una alternativa interesante para calcular integrales que contengan radicales, verás que el método de sustitución es ideal para resolver este tipo de integrales.

1.4.1. Regla de sustitución

Material Apoyo\OA_CIN_U1_08 - Regla de sustitucion.pdf

Actividad 7. Integración usando reglas de sustitución

1. Realiza en un documento de Word lo que se pide en cada punto.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

2. Guarda tu tarea con la siguiente nomenclatura CIN_U1_A7_XXYZ y envíala mediante la sección de Tareas. Tu Facilitador(a) la revisará y posteriormente te retroalimentará.

*Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB.

1.4.2. Integrales definidas

Material Apoyo\OA_CIN_U1_09 - Integrales definidas.pdf

Actividad 8. Resolución de problemas de integrales definidas

1. Evalúa las siguientes integrales definidas en un documento de texto.

a. .

b. .

c. .

d. .

e. .

f. .

g. .

h. .

i. .

j. .

2. Guarda tu archivo con la nomenclatura CIN_U1_A8_XXYZ.3. Envíala a tu Facilitador(a) y atiende sus comentarios al respecto.

Si consideras que te faltan elementos para realizar los ejercicios, puedes repasar los temas previos o consultar a tu Facilitador(a).

1.4.3. Simetría

En algunas integrales es posible simplificar los cálculos, poniendo atención a sus propiedades. En cálculo diferencial revisaste las propiedades de simetría de una función.

Considera lo siguiente:

Gráficamente son representados los casos:

El caso i) ilustra que f es positiva y por, por lo tanto, el área bajo la curva descrita por f(x) es el doble de área desde 0 hasta a, debido a que f(x) es simétrica. Lo puedes ver en la siguiente gráfica.

f(x) es par, y se puede hacer

En el caso ii) al tratar con una función impar. Las áreas se van a cancelar, ya que se trata de una diferencia de áreas.

F(x) es par y se puede hacer

Observa el siguiente video y verifica las funciones pares e impares:

Actividad integradora

Evidencia de aprendizaje. Desarrollo de integración

¡Felicidades!, has llegado al final de la unidad y es momento de que demuestres lo que has aprendido. Pero no te preocupes, que la tarea es muy sencilla, solamente tendrás que calcular el área de tu jardín o el patio de tu casa (si no dispones del espacio solicitado, pídele a un(a) vecino(a) o familiar que te ayude con el suyo). Es importante que lo consigas, ya que de ello dependerá tu evaluación.

Una vez que hayas conseguido el espacio a calcular, descarga el siguiente documento en donde se contienen las instrucciones de la Evidencia de Aprendizaje:

Da clic en el icono para descargar las Instrucciones.

1. Guarda tu reporte con la siguiente nomenclatura CIN_EA_U1_XXYZ.2. Envíalo a tu Facilitador(a) a través del Portafolio de Evidencias y espera la retroalimentación

correspondiente.

Es importante que atiendas las observaciones del (de la) Facilitador(a) para mejorar tu evidencia de aprendizaje antes de volverla a enviar.

3. Descarga la Escala de evaluación para conocer los criterios de evaluación de la evidencia de aprendizaje.

Da clic en el icono para descargar el documento Escala de evaluación.

Además de enviar el archivo anterior, debes agregar tu Autorreflexión de la unidad. Para hacerlo, ingresa al foro Preguntas de Autorreflexión y lee las preguntas que formuló tu Facilitador(a), a partir de ellas, realiza tu autorreflexión en un documento de texto, guárdalo con el nombre CIN_ATR_U1_XXYZ y envíalo mediante la sección Autorreflexiones.

*Recuerda que tu documento no debe pesar más de 4Mb.

Cierre de la unidad

Has concluido el estudio de esta unidad y con ello aprendiste los conceptos fundamentales del cálculo de integrales que se realiza por medio de la suma de Riemann y el Teorema fundamental del cálculo, el cual establece una conexión entre el cálculo diferencial y el cálculo integral, ya que relaciona la integral con la derivada.

También conociste, que el proceso de integración para calcular áreas entre curvas y volúmenes, así como el valor promedio de una función, se realiza aplicando los valores para la integral definida y la integral indefinida.

Si todos los conceptos hasta aquí vistos los has comprendido con claridad, estás listo(a) para cursar la Unidad 2. Aplicaciones de la integración, donde aprenderás a calcular, mediante los métodos de aproximación y de integración, cualquier área delimitada entre curvas. De lo contrario, vuelve a repasar el contenido de esta unidad hasta que consigas dominarlo.

¡Enhorabuena!

Fuentes de consulta

Apóstol, T. M. (2008). Calculus. España: Reverté. Larson, R. E. (2005). Cálculo. México: Mc Graw Hill. Stewart, James. (2008). Cálculo. Trascendentes tempranas. México: CengageLearning.