UNIDAD 2 ENERGIA ELECTROSTTICA. POTENCIAL ELECTRICO.- Unidad Temtica 2.Energa electrosttica. Potencial elctrico Energaelectrostticadeunacargapuntual.Diferenciade potencialypotencialelctrico.Potencialdecargaspuntuales,de undipoloydedistribucionescontinuasdecargasElcampo elctricocomogradientedepotencialelctrico.Superficies equipotenciales.EcuacionesdePoissonydeLaplace.Energa potencial de un grupo de cargas puntuales. Energa Potencial electrosttica Encondicionesestticas,todalaenergadeunsistemadecargas existeenformadeenergapotencialdenominadaenerga electrosttica.-Laenergapotencialestasociadaauncampodefuerzas conservativo, por lo tanto el campo elctrico es conservativo, por lo tanto el potencial electrosttico es una funcin escalar que depende de la posicin.- Enmecnicamuchosproblemassesimplificanhaciendo consideracionesdeenerga,lomismoocurreparalossistemas elctricos.- El trabajo elemental sera: Potencial elctrico de una carga Puntual.- l d r E q l d F dW = = ) (rA rB r-F F q E A B Q dl } } = =BABAABl d r E q l d F W ) (El trabajo de A a B: El campo para una carga puntual: 2004) (rr Qr Etc=ro reemplazando } } = =BABAABrl d r qQl d r E q Woo .4) ( tcPotencial elctrico de una carga Puntual.- rA rB r-F F q E A B Q dl dr ro Como: dr dl l d ro = = u cos .dr dl l d ro = = u cos .((

= =}A B oBAABr rqQrdr qQWo1 14 4 tc tcEste resultado indica que el trabajo que se realiza en un campo electrosttico depende de la posicin inicial y final, no depende de la trayectoria. Este resultado se puede generalizar permitiendo asegurar que el campo electrosttico es conservativo.- DIFERENCIA DE POTENCIAL ELECTRICO Es el trabajo por unidad de carga que debe realizar una fuerza externa para llevar una carga de prueba en contra del campo desde el punto A al B, sin que cambie la energa cintica.- } = = BAABA Bl d r EqWV V ). (Es una integral curvilnea que solo depende dela posicin de los puntos A y B Unidades: | || || |voltcoulombJouleqWV VABA B= = = Para una carga puntual la diferencia de potencial entre A y B ser: ((

= = = }A B oBAABA Br rQrdr QqWV Vo1 14 4 tc tcEsta diferencia de potencial se calcula siempre tomando un punto como referencia, en este caso el punto A, si llevamos este punto al infinito tenemos: ((

= = }1 14 4 B oBA BrQrdr QV Vo tc tcEl potencial del punto A es cero.- El potencial del punto B ser: ((

=B oBrQV14tcTodos los puntos que estn a la misma distancia rB tienen el mismo potencial VB.- Vemoseltrabajorealizadoporlafuerzaelctricacuandouna carga, qose mueve en el campo creado por otra carga puntual Q El camino es un arco centrado en la carga puntual desde el puntoA hasta el punto B.- BAEl drrq0q0 90 cos00= = }BAEdl q W0 = WE q F .0=} }= =BABAl xd E q l xd F W0Los puntos A y B estan al mismo potencial A B A B Q rA rB El trabajo en contra del campo elctrico creado por la carga q recorra una trayectoria cerrada, es: Empleando la definicin de potencial ( ) ( ) ( ) ( ) A A A B B B B A A A ABB V V q V V q V V q V V q W + + + = ' ' ' ' ' '0 ' ' ' ' ' ' = = + + + = AB AB A A A B BB AB A A ABB W W W W W W W( ) ( ) ( ) ( ) A A A B B B B A A A ABB V V q V V q V V q V V q W + + + = ' ' ' ' ' 'Expresando en funcin del Campo Elctrico 0 . . . . .'''' ' ' = = =} } } } }cAAABBBBAA A ABB l d E q l d E q l d E q l d E q l d E q W Como la carga q0 , es nula la integral cerrada.- Consecuencia de que el campo es conservativo, es decir que el trabajo calculado no depende de la trayectoria sino de la posicin inicial y final.-Se cumple entonces: 0 . =}cl d E Aunque esto fue obtenido para cargas puntuales puede generalizarse para todos los casos de campos electrostticos.-0 . =}cl d E Si consideramos el teorema de Stokes, resulta: | | 0 . .}} }= . V =s cS d E l d E Se puede escribircomo: 0 = . V E0 = . V Ere-escribiendo: Se dice entonces que el campo electrosttico es irrotacional por tener su rotor igual a cero. Esto se extiende a cualquier campo conservativo Calculo del potencial elctrico creado por un hilo recto cargado con densidad lineal , muy largooorrr Etc2) ( =oBAoA B rrdrV V} = tc2.((

= BAoA BrrV V ln2tc} = BAA B dr r E V V ). (Potencial elctrico creado por un conjunto de cargas puntuales.- qn q1 q2 q3 r1 r2 r3 rn x y z P np P P P V V V V + + + = ... 2 1== + + + =nio o o oBriqirnqnrqrqV122114141...4141tc tc tc tcPotencial elctrico creado por una distribucin de cargas continuas.- }=RoPrdqVtc 41rdqdVoPtc 41=}}}=voPrdvV.41 tcGradiente de Potencial Existe una relacin estrecha entre el campo elctrico y el PotencialAhora. Se puede obtener el valor del campo a partir del potencial? Escribiendo E y dl en funcin de sus componentesSuponiendo que el desplazamiento es paralelo al eje de las x, entonces: Donde se muestra que el potencial varia solo en la direccin x Representa la derivada parcial de V respecto de x.- Haciendo el mismo anlisis con los otros ejes tenemos:Si escribimos E en trminos de vectores unitarios En notacin vectorial sera: V E . V = El trminorepresenta el gradiente de potencial.- En cada punto, el gradiente de potencial apunta en la direccin en la queVaumentaconmasrapidezconuncambiodeposicin.Por consiguiente,encadapuntoladireccindeEesladireccinenla queVdisminuyemasrpidamenteysiemprees perpendicularala superficie equipotencial.- Superficies equipotenciales Unasuperficieequipotencialesunasuperficieenlaqueel potencialtieneelmismovalorentodossuspuntos.Enunpunto dondeunalneadecampocruzaunasuperficieequipotencial, ambossonperpendiculares.Cuandotodaslascargasestnen reposo.Lasuperficiedeunconductoressiempreunasuperficie equipotencial y todos los puntos del interior del conductor estan al mismo potencial.- Ecuacin de Poisson y de Laplace Elcampoelctricoparadistribucionesdecargasenreposo satisface las siguientes propiedades.- 0.c= V E1 2 V E . V = Es posible reunir estas dos propiedades Que se conoce como ecuacin de Poisson y se puede escribir como:( )0.c = V V V0.c= VV0c=cc+cc+cczVyVxV0c=cc+cc+cczVyVxVSi en la regin no hay carga la expresin se reduce a la Ec. De Laplace.- 0 . = VVEn coordenadas cartesianas sera: ozVyVxV=cc+cc+ccVamos a obtener la ecuacin en diferencia finita equivalente a la de Laplaceendosdimensiones.Paraellosuponemosquelafuncin potencialelctricopuedeserdesarrolladaenseriedeTaylor alrededor de un punto (x,y) entoncessumando (1) y (2) y agrupando, obtenemosde igual manera se obtiene la derivada segunda para ysumando ahora la (3) y la (4) resultade donde se despeja la funcin potencial(x,y) resultandoEl potencial en un punto es el promedio de los potenciales en los puntos circundantes.