univerzitet u ni²u departman za fiziku · kosmologiji prvi put se pojavljuje 1981. godine sa...

Univerzitet u Ni²u

Prirodno - matemati£ki fakultet

Departman za fiziku

Izra£unavanje parametara inacije umodelima sa tahionskim poljem

Master rad

Student:

Marko D. Stojanovi¢

Mentor:

Prof. dr Goran D- orevi¢br. indeksa 15

Ni², oktobar 2015.

Sadrºaj

1 Uvod 3

2 Standardni kosmolo²ki model (SKM) 42.1 Pokretni koordinatni sistem i metrika u SKM-u . . . . . . . . . . . . 42.2 Ajn²tajnove jedna£ine za idealan uid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Opservabilni parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Fridmanovi modeli Svemira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4.1 Model Svemira u kome dominira radijacija . . . . . . . . . . . 82.4.2 Model Svemira u kome dominira materija . . . . . . . . . . . 8

2.5 Problemi u teoriji Velikog praska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5.1 Problem ravnog Svemira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5.2 Problem horizonta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Kosmolo²ka inacija 123.1 Inatorna ekspanzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Inacija voena skalarnim poljem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.1 Aproksimacija sporog kotrljanja . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Modeli sa malim i velikim vrednostima polja . . . . . . . . . . . . . . 153.4 Period nakon inacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5 Re²enje problema ravnog Svemira i problema horizonta u okviru inacije 17

4 Tahioni 184.1 Tahioni u teoriji polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2 Tahioni u teoriji struna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 Tahionski potencijali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Inatorni modeli sa tahionskim poljem 245.1 Neperturbovana tahionska evolucija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.2 Parametri sporog kotrljanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.3 Parametri inacije za modele sa razli£itim tahionskim potencijalima . 285.4 Dinamika modela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6 Zaklju£ak 34

Literatura 34

2

Glava 1

Uvod

Inacija je jedna od aktuelnih tema savremene kosmologije. Kao nova ideja ukosmologiji prvi put se pojavljuje 1981. godine sa ciljem da re²i probleme u teorijiVelikog praska. Inacija ne predstavlja zamenu za ina£e veoma uspe²nu teorijuVelikog praska ve¢ je dodatna ideja koja bi trebalo da bude primenjena tokom vrloranog perioda ekspanzije Svemira.

U ovom radu ¢e biti obraena tema inacije sa posebnim akcentom na ina-torni model sa tahionskim poljem. Najpre ¢emo se osvrnuti na osnovne elementeStandardnog kosmolo²kog modela (elemente Op²te teorije relativnosti, Ajn²tajnovejedna£ine i Fridmanove modele). Zatim ¢emo se pozabaviti motivacijom koja jedovela do ideje o inaciji, i objasniti ²ta se pod konceptom inacije podrazumeva.

U tre¢oj glavi bi¢e opisan model inacije sa skalarnim poljem i uvedena apro-ksimacija sporog kotrljanja.

etvrta glava se odnosi na tahione. Nakon razmatranja vezanih za tahione uteoriji polja, bi¢e re£i o tahionima u teoriji struna i njihovoj ulozi u inatornimmodelima.

Na kraju ¢e detaljno biti analizirani inatorni modeli sa tahionskim poljem zarazli£ite oblike potencijala.

Rad se zavr²ava zaklju£kom i spiskom kori²¢ene literature.

3

Glava 2

Standardni kosmolo²ki model (SKM)

2.1 Pokretni koordinatni sistem i metrika u SKM-u

Na osnovu posmatra£kih podataka uo£eno je da se Svemir na velikim skalamaubrzano ²iri, tj. da se rastojanje izmeu objekata uve¢ava sa vremenom. To zna£ida izmeu zi£kog rastojanja x i rastojanja u pokretnom koordinatnom sistemu1 r(comoving koordinate) postoji veza oblika [1]

x = a(t)r, (2.1)

gde je a(t) veli£ina koja se naziva faktor skale (scale factor).

Slika 2.1: Izgled comoving koordinatnog sistema u razli£itim trenucima ekspanzije. Rastojanjeizmeu objekata se menja, ali njihov poloºaj u koordinatnom sistemu ostaje isti.

Zbog toga ²to se comoving koordinata ne menja moºemo diferencirati navedeni izrazpo vremenu2. Dobija se

x =a

ar. (2.2)

Odavde se moºe izvesti zaklju£ak da je brzina kojom se objekat pribliºava (udaljava)proporcionalna rastojanju na kome se on nalazi od posmatra£a. Ova relacija jeeksperimentalno ustanovljena od strane Edvina Habla3 1929. godine, pa se u njegovu

1Pokretni ili comoving koordinatni sistem.2Ta£ka iznad veli£ine ozna£ava izvod po vremenu.3Edwin Hubble.

4

Standardni kosmolo²ki model (SKM) 5

£ast naziva Hablov zakon. Pogodno je denisati Hablov prametar kao

H ≡ a

a. (2.3)

Moderna kosmologija zasnovana je na Ajn²tajnovoj4 Op²toj teoriji relativnosti(OTR) i bazira se na ideji da je Svemir na velikim skalama homogen i izotropan.Zbog pomenutih osobina u kosmologiji se naj£e²¢e koristi FRLW5 metrika [1]

ds2 = −dt2 + a2(t)( dr2

1− kr2+ r2(dθ2 + sin2θdϕ)

), (2.4)

gde su r, θ, φ koordinate prostornog tipa, t vremenska koordinata a vrednosti pa-rametra k = 0,±1 odgovaraju meri krivine prostora. Ravnom prostoru odgovarak = 0 dok k = ±1 opisuje prostor sa neeuklidovom geometrijom. Prostor Min-kovskog6 je 4-dimenzioni prostor sa jednom vremenskom i tri prostorne dimenzije.Uvode¢i 4-vektore (nulta komponenta vektora je vremenska koordinata a preostaletri su prostorne) metriku u prostoru Minkovskog moºemo zapisati preko kovarijant-nog7 metri£kog tenzora ηµν

ds2 =3∑

µ,ν=0

ηµνdxµdxν ≡ ηµνdx

µdxν . (2.5)

U ovoj notaciji vr²i se sumiranje po ponovljenom indeksu (µ = 0, 1, 2, 3) a signaturusmo izabrali u obliku8

ηµν = diag(−,+,+,+). (2.6)

2.2 Ajn²tajnove jedna£ine za idealan uid

Dinamika u OTR se opisuje Ajn²tajnovim jedna£inama, koje krivinu prostorapovezuju sa njenim izvorom - masom i energijom materije. Ove jedna£ine se moguzapisati u obliku [2]

Rµν −1

2Rgµν =

1

M2Pl

Tµν , (2.7)

gde su: Rµν Rimanov tenzor, R Ri£ijev skalar a Tµν tenzor energije-impulsa. Ko-nstanta MPl = (8πG)−1/2 uvedena je zbog konciznijeg zapisa. Tenzor energije-impulsa opisuje raspodelu materije u svakoj ta£ki prostor-vremena. Homogeno ra-sporeena materija u prostoru moºe se smatrati idealnim uidom. To je uid kojise u potpunosti moºe opisati zadavanje njegovog pritiska P i ρ gustine. Pokazuje se

4Albert Einstein.5FRLW-Friedmann, Robertson, Lamaitre, Walker.6Hermann Minkowski.7Podsetimo da sa kovarijantnog na kontravarijantni zapis (i obrnuto) vr²i podizanjem i spu²ta-

njem indeksa metri£kim tenzorom na osnovu relacije gµνxµ = xν .8Signatura se moºe uzeti i u obliku ηµν = diag(+,−,−,−), izbor je proizvoljan.


da za idealan uid tenzor energije-impulsa ima oblik [2]

Tµν = diag(ρ, P, P, P ). (2.8)

Ovaj tenzor se moºe zapisati i u obliku

Tµν = (ρ+ P )uµuν − Pηµν , (2.9)

gde je uµ 4-vektora brzine uµ, denisan preko skalarnog polja φ kojim se opisujematerija9

uµ =∂µφ

(−∂µφ∂νφ)1/2. (2.10)

Zakon odrºanja energije-impulsa reprezentovan je relacijom

∂µTµν = 0. (2.11)

U 4-dimenzionom prostor-vremenu ηµν ima 10 nezavisnih komponenti tako da uOTR imamo 10 nezavisnih jedna£ina polja. U slu£aju metrike oblika (2.4) sistem£ine tri jedna£ine [2]

H2 =ρ

3M2Pl

− k

a2, , (2.12)

a

a= − 1

6M2Pl

(ρ+ 3P ), (2.13)

ρ+ 3H(ρ+ P ) = 0. (2.14)

Prve dve jedna£ine, Fridmanova jedna£ina i jedna£ina za ubrzanje, su meusobnonezavisne. Tre¢a jedna£ina, jedna£ina kontinuiteta, moºe se dobiti diferenciranjemjedna£ine (2.12) po vremenu uz kori²¢enje ρ iz jedna£ine (2.14). Odnos izmeupritiska i gustine uspostavlja se jedna£inom stanja

P = f(ρ) = ωρ. (2.15)

Veli£ina ω naziva se parametar stanja. Naglasimo da jedna£ine (2.12),(2.13) i (2.15)£ine potpuno zatvoren sistem. Jedna£inama (2.12)-(2.15) se mogu modelovati jed-nostavni kosmolo²ki modeli.

2.3 Opservabilni parametri

Pod terminom materija, u kosmolo²kom kontekstu, podrazumeva se nerelativi-sti£ka materija kojoj se moºe pripisati nulta vrednost pritiska [3]. Za razliku odnerelativisti£ke materije £estice koje se kre¢u relativisti£kim brzinama na osnovuteorije zra£enja ispoljavaju radijacioni pritisak P = ρ/3. U zavisnosti od odnosa ovedve komponente parametar stanja moºe imati vrednost

0 ≤ ω ≤ 1

3. (2.16)

9Za parcijalni izvod ∂/∂xµ uvedena je koncizna oznaka ∂µ.


Iz Fridmanove jedna£ine je lako uo£iti da vrednost gustine odreuje zakrivljenostprostora. Uvedimo veli£inu koja se zove kriti£na gustina. Kriti£na gustina, u oznaciρc, predstavlja gustinu materije u Svemiru sa ravnom geometrijom (k = 0). Naosnovu re£enog proizilazi

ρc(t) = 3H2M2Pl. (2.17)

Naglasimo da se kriti£na gustina menja sa vremenom jer se menja i Hablov para-metar. Trenutna10 vrednost Hablovog parametra je H0 = 100hkms−1Mpc−1 (h =0.72± 0.08) ²to zna£i da kriti£na gustina ima vrednost ρc,0 = 1.88h2× 10−26kgm−1.Uvedimo parametar gustine Ω kao odnos gustine neke komponente materije u sve-miru (nerelativisti£ke materije, radijacije, bariona) i kriti£ne gustine

Ω ≡ ρ

ρc. (2.18)

Fridmanova jedna£ina zapisana preko parametra gustine dobija oblik

Ωtotal − 1 =k

a2H2. (2.19)

U zavisnosti od vrednosti parametra krivine parametar stanja moºe imati razli£itevredosti

k = −1 Ω < 1, (2.20)k = 0 Ω = 1, (2.21)k = +1 Ω > 1. (2.22)

Na osnovu vrednosti Hablovog parametra mogu se doneti zaklju£ci vezani zapromenu faktora skale. Ukoliko je H > 0 Svemir se ²iri i obrnuto. Uvodi se jo²jedan parametar kojim se opisuje promena faktora skale, parametar ubrzanja q0.Ako faktor skale a = a(t) razvijemo u red u okolini ta£ke t0 dobijamo

a ≈ a(t0) +da

dt

∣∣∣∣t=t0

(t− t0) +d2a

dt2

∣∣∣∣t=t0

(t− t0)2. (2.23)

Navedena jednakost moºe se zapisati i kao11

a(t)

a(t0)≈ 1 +H0(t− t0)− 1

2q0H

20 (t− t0)2, (2.24)

gde je

q0 ≡ −(

a

aH2

)t=t0

= − a0

a0H20

. (2.25)

10Trenutne vrenosti ozna£ava¢emo indeksom nula.11Izostavljeni £lanovi u razvoju nemaju zi£kog smisla.


2.4 Fridmanovi modeli Svemira

U ovom odeljku nave²¢emo neke od jednostavnijih modela koji se mogu dobitina osnovu jedna£ina (2.12)-(2.15).

2.4.1 Model Svemira u kome dominira radijacija

Neka je Svemir ravan (k = 0,Ω = 1) i u njemu dominantna komponenta materija.Ako se jedna£ina kontinuiteta (2.14) zapi²e u obliku u kome guri²e parametar stanja[2]

ρa3(1+ω) = ρ0a3(1+ω)0 , (2.26)

za navedeni slu£aj vaºiρa4 = ρ0a

40. (2.27)

Kako bi na²li jedna£inu koja opisuje kako se menja faktor skale sa vremenom uvr-stimo dobijeni izaz za ρ u Fridmanovu jedna£inu. Dobija se

a2 = α2 1

a2, (2.28)

gde je α2 =ρ0a403M2

Pl. Re²enje ove jedna£ine ima oblik

a(t) = (2α)1/2 t1/2, (2.29)

i na osnovu njega vidi se da se Hablov parametar menja po zakonu

H =a

a=

2

3t. (2.30)

Zaklju£ak je da se Svemir sa radijacijom kao dominantnom komponentom besko-na£no ²iri.

2.4.2 Model Svemira u kome dominira materija

Za modele svemira u kojima je dominantna komponenta materija jedna£ina(2.13), za trenutak vremena t0, ima oblik

a0

a0

= − ρ0

6M2Pl

. (2.31)

Na osnovu ove jedna£ine, koriste¢i izraz za kriti£nu gustinu, moºe se pokazati da usvim modelima kod kojih je P = 0

Ω0 = 2q0. (2.32)

Jedna£ina (2.26) u ovom slu£aju postaje

ρa3 = ρ0a30. (2.33)


Dobijena jednakost omogu¢ava da se Fridmanova jedna£ina zapi²e kao

a2 =β2

a− k, (2.34)

gde je β =ρ0a303M2

Pl. Re²enja ove jedna£ine zavisi¢e od geometrije Svemira. Navedimo

ovde oblike re²enja, bez upu²tanja u detalje izvoenja koji se mogu na¢i u referenci[4].

• Ravan Svemir (k = 0)

Faktor skale se menja sa vremenom

a ∝ t2/3. (2.35)

• Svemir sa pozitivnom krivinom (k = 1)

Za vremenski period t α2, fakotor skale se menja po zakonu

a ∝ t2/3. (2.36)

Nakon perioda u kome faktor skale raste nastupa period u kome faktor skaleopada sa vremenom. Model se naziva i zatvoreni Svemir iz o£iglednog razloga.

• Svemir sa negativnom krivinom (k = −1)

Ako je ispunjen uslov t β2 faktor skale se uve¢ava po zakonu

a ∝ t2/3. (2.37)

U slu£aju da je t β2

a ∝ t. (2.38)

Re²enje je rastu¢a funkcija sa vremenom, tj. Svemir se uvek ²iri pa se zbog toganaziva i otvoreni Svemir. Na slede¢oj slici prikazana je zavisnost faktora skala odvremena za sva tri modela.

Slika 2.2: Parametar skale u funkciji od vremena za tri Fridmanova modela.


2.5 Problemi u teoriji Velikog praska

Iz navedenih kosmolo²kih modela vidimo da u po£etnom trenutku faktor skaleima nultu vrednost. Na osnovu jedna£ine za ubrzanje moºe se izvesti zaklju£ak da utom trenutku vrednosti pritiska i gustine teºe beskona£nosti. Ova £injenica podsta-kla je razvoj ideje o teoriji Velikog praska po kojoj je Svemir nastao ekplozijom nara£un energije vakuuma. U prilog ispravnosti ove teorije ide detekcija mikrotalasnogpozadinskog zra£enja (CMB),

Iako je teorija Velikog praska dala odgovore na mnoga pitanja vezana za nastanaki evoluciju Svemira postoje problemi koji se ne mogu re²iti u okviru ove teorije. Ovde¢emo navesti neke od njih, a ne²to kasnije predstaviti na£in na koji se mogu re²iti.

2.5.1 Problem ravnog Svemira

Analizom Fridmanove jedna£ine zapisane u obliku u kome guri²e parametargustine

Ωtotal − 1 =k

a2H2, (2.39)

gde Ωtotal ozna£ava zbir parametara gustine za svaku komponentu pojedina£no, moºese do¢i do zaklju£ka da se parametar gustine ne menja sa vremenom samo u slu£ajuako je njegova vrednost jednaka jedinici. Predpostavimo da je Ωtotal 6= 1 neposrednopo nastanku Svemira. Faktor u imeniocu na desnoj strani jedna£ine menja se u vre-menu i to u zavisnosti koja komponenta materije dominira u svemiru, nerelativisti£kamaterija (P = 0) ili radijacija (p = ρ/3). Kada je dominantnija nerelativisti£ka ma-terija a2H2 ∝ t−2/3 dok je u drugom slu£aju a2H2 ∝ t−1. Na osnovu navedenogmoºemo zaklju£iti da u oba slu£aja Ωtotal−1 raste sa vremenom. Kako se na osnovuposmatra£kih podataka zna da je Svemir veoma blizu ravnog u trenutku njegovognastanka parametar gustine morao bi biti vrlo blizu jedninice. U protivnom i maloodstupanje od ovog uslova veoma brzo bi dovelo do Svemira sa velikom krivinomprostora. Navedeni rezultat nije prihvatljiv iz razloga ²to ne postoji zi£ki razlogkoji odreuje tako uzak domen za po£etnu vrednost parametra gustine. Potrebnanam je teorija koja za po£etne uslove pruºa ²iri spektar vrednosti.

2.5.2 Problem horizonta

Problem horizonta je veoma vaºan u teoriji Velikog praska. Iz £injenice da sesvetlost kre¢e kona£nom brzinom i da Svemir ima kona£nu starost moºemo zaklju£itida je od nastanka Svemira svetlost pro²la kona£no rastojanje. Rastojanje kojuje svetlost pre²la od nastanka Svemira odreuje oblast koja se naziva opservabilniSvemir. Ova oblast je kona£na i ne zavisi od toga da li je Svemir kona£an. Procenimopolupre£nik opservabilnog Svemira na osnovu Hablove relacije

RH0 =c

H0

= 4200± 200Mpc ' 1.3 · 1026m. (2.40)

Spektar CMB-a koji se danas opservira je identi£an spektru apsolutnog crnogtela koje zra£i na temperaturi od 2.72±0.001K. Kako je poznato da se ovaj spektar


mora formirati kada se sredina nalazi u stanju termodinami£ke ravnoteºe moºemozaklju£iti da su sve regije bile u meusobnoj interakciji. Meutim, ovaj zaklju£akse ne moºe primeniti na regije koje se nalaze na granici opservabilnog Svemira izrazloga ²to nije proteklo dovoljno vremena da ove dve oblasti interaguju. Dodatniproblem predstavlja £injenica da u CMB zra£enje nije potpuno izotropno. TeorijaVelikog praska ne daje obja²njenje zbog £ega se javljaju ova odstupanja i za²to sutako mala.

Glava 3

Kosmolo²ka inacija

3.1 Inatorna ekspanzija

Uloga inacije je da obezbedi mehanizam koji ¢e za kratko vreme pro²iriti Sve-mir do velikih skala. To ¢e re²iti problem horizonta i ravnog Svemira, ali i ostaleprobleme koji se sre¢u u teoriji Velikog praska.

Da bi se re²io problem ravnog Svemira potrebno je da £lan aH u jedna£ini (2.19)raste sa vremenom [3]

d

dt(aH) = a > 0. (3.1)

Odavde vidimo da se inacija moºe denisati kao period evolucije Svemira u komese faktor skale uve¢avao ubrzano

INFLACIJA⇐⇒ a(t) > 0. (3.2)

Ovo odgovara veoma brzoj ekspanziji Svemira. Na osnovu jedna£ine za ubrzanje

a

a= − 1

6M2Pl

(ρ+ 3P ), (3.3)

imaju¢i u vidu da je gustina veli£ina koja je uvek pozitivna, moºemo zaklju£iti daje za period inacije potrebno prisustvo materije koja poseduje negativan pritisak

P < −ρ3. (3.4)

Navedimo inatorni model koji prisustvo materije sa negativnim pritiskom opi-suje kosmolo²kom konstantom1 Λ. Fridmanova jedna£ina, za model sa kosmolo²komkonstantom, ima oblik

ρ

3MPl

− k

a2+

Λ

3. (3.5)

Kako doprinos prva dva £lana tokom evolucije Svemira postaje zanemarljiv (jer uslu£aju kada Svemirom dominira nerelativisti£ka materija ili radijacija doprinos prvadva £lana opada sa vremenom) u odnosu na tre¢i £lan koji ima konstantnu vrednost,

1Kosmolo²ku konstantu uveo je Ajn²tajn da bi dobio stati£an Svemir. Ona je povezana sagustinom energije vakuuma (praznog prostora).

12

Kosmolo²ka inacija 13

jedna£inu moºemo prepisati u obliku(a

a

)2

= H2 =Λ

3, (3.6)

odakle sledi da je vrednost Hablovog parametra tokom inacije konstantna. Re²enjejedna£ine (3.6) ima oblik

a(t) = exp

√Λ

3t = exp(Ht). (3.7)

Moºemo izvesti zaklju£ak da ukoliko je Hablov parametar konstantan tokom inacijefaktor skale se menja po eksponencijalnom zakonu. Odredimo koliko se nakon ina-cije uve¢ao faktor skale. Neka je inatorno ²irenje Svemira zapo£elo u vremenskomtrenutnu ti i trajalo do trenutka tf . Za to vreme faktor skale se uve¢ao za faktor

a(tf )

a(ti)= eN , (3.8)

gde je N broj e-foldova (e-foldings)

N(t) ≡∫ tf

ti

H(t)dt. (3.9)

U ovakvom modelu inacija traje beskona£no dugo jer kosmolo²ka konstanta imakonstantnu vrednost. Za realisti£niji model potrebno je uvesti kriterijume za zavr-²etak inacije.

3.2 Inacija voena skalarnim poljem

Pokazano je da se inatorni model moºe dobiti iz Fridmanovog modela Svemirauvoenjem dodatnog £lana u Fridmanovu jedna£inu. U tom slu£aju prosec inacijenije bio rezultat teorije. U teoriji polja inacija se moºe dobiti [2]:

• Modikacijom Ajn²tajn-Hilbertovog dejsta za gravitaciju (f(R) teorije);

• Uvoenjem skalarnog polja koje obezbeuje proces inacije, odnosno uvoe-njem dodatnog £lana u dejstvo.

Na osnovu oblika izraza za dejstvo izdvaja se nekoliko inatornih modela. Unastavku ¢e biti vi²e re£i o inaciji sa skalarnim poljem.

Izloºimo osnovne ideje kod inacije koja je voena skalarnim poljem φ sa poten-cijalom V (φ). Lagranºijan skalarnog polja ima oblik

Lφ =1

2∂µφ∂

νφ− V (φ). (3.10)

Kod ovog tipa inacije polje je minimalno kuplovano sa gravitacijom, tako dejstvo


ima oblik

S =

∫d4x√−g[M2

Pl

2R +

1

2∂µφ∂

νφ− V (φ)

]. (3.11)

Polje odgovorno za inaciju naziva se inaton. Za dati lagranºijan tenzor energije-impulsa ima oblik2

Tµν =1

2∂µφ∂νφ− ηµνLφ, (3.12)

odakle se, na osnovu (2.8), mogu odrediti pritisak i gustina u funkciji polja. Ukolikose koristi FRLW metrika, uz uslov da je polje homogeno φ(t, ~x) = φ(t), dobijamo

ρ =1

2φ2 + V (φ), (3.13)

P =1

2φ2 − V (φ). (3.14)

3.2.1 Aproksimacija sporog kotrljanja

Fridmanova jedna£ina i jedna£ina kontinuiteta se u ovom slu£aju mogu zapisatikao

H2 =1

3M2Pl

(1

2φ2 + V (φ)), (3.15)

φ+ 3Hφ+ V ′ = 0. (3.16)

Potreban uslov za inaciju (3.4), koji obezbeuje ubrazno ²irenje, dobija oblik

φ2 < V (φ). (3.17)

Sistem jedna£ina (3.15) i (3.16), u zavisnosti od oblika potencijala, naj¢e²¢e nemaanaliti£ko re²enje. Dati sistem moºemo pojednostaviti uvoenjem aproksimacije dase proces inacije odvija na ra£un potencijalne energije a da se kineti£ki £lan moºezanemariti

φ2 V (φ). (3.18)

Koriste¢i pomenutu aproksimaciju Fridmanova jedna£ina se svodi na oblik

H2 =1

3M2Pl

V (φ). (3.19)

Kako je evolucija polja odreena diferencijalnom jedna£inom drugog reda uslovφ2 V (φ) ne¢e biti dovoljan da obezbedi uvek proces inacije (posebno u slu£ajukada je re²enje oscilatorno). Zbog toga se uvodi i dodatni uslov koji se izvodi izpomenutog diferenciranjem po vremenu

|φ| |V ′|. (3.20)

Jedna£inu za ubrzanje sada moºemo zapisati kao

3Hφ = −V ′, (3.21)

2Jednakost se moºe pokazati na osnovu izraza Tµν = ∂L∂(∂µφ)∂νφ− ηµνL.


gde je V ′ ≡ ∂V/∂φ. Odavde vidimo da je brzina inacije proporcionalna izvodupotencijala i da je inacija mogu¢a u slu£aju kada u jedna£ini kontinuiteta dominirafrikcioni £lan

|φ| |3Hφ|. (3.22)

Da bi frikcioni £lan bio dominantan mora da vaºi V ′ V , ²to zna£i da je potencijalna po£etku inacije skoro ravan.

Slika 3.1: Izgled potencijala u slu£aju sporokotrljaju¢e inacije.

Na osnovu izgleda potencijala ova aproksimacija se naziva aproksimacija sporogkotrljanja (slow-roll). Kako se potencijal malo menja tokom inacije, iz jedna£ine(3.19) se vidi da Hablov parametar ima konstantu vrednost. To nam daje za pravoda broj e-foldova ra£unamo po relaciji (3.9).

Pogodnije je da se umesto navedenih uslova koriste parametri koji odreuju reºimsporog kotrljanja [2]

ε ≡ M2Pl

2

(V ′

V

)2

, η ≡M2Pl

V ′′

V. (3.23)

Inacija traje sve dok su zadovoljene nejednakosti

ε 1, |η| 1. (3.24)

Parametar ε se moºe izvesti iz Fridmanove jedna£ine i uslova da je kineti£ka energijamnogo manja od potencijalne. Parametar η se odnosi na uslov (3.20).

3.3 Modeli sa malim i velikim vrednostima polja

Dinamika inatornog polja odreena je oblikom potencijala. Neka je ∆φ razlikavrednosti polja u trenutku kreiranja CMB uktuacija φCMB i polja na kraju inacijeφend. U modelima sa malim vrednostima polja ∆φ < MPl, polje evoluira iz nestabil-nog stanja u stanje sa minimalnom potencijalnom energijom (Slika 3.1). Ispravnostovog modela je potkrepljena £injenicom da oni predviaju postojanje gravitacionihtalasa £ija je amplituda mala pa se, iz tog razloga, ne mogu detektovati. Generalno,


potencijal za modele sa malim poljem ima oblik

V (φ) = V0

[1−

(φ

µ

)p]+ . . . , (3.25)

gde ta£ke reprezentuju £lanove vi²eg reda. Jednostavan primer je model sa Higsovim3

potencijalom

V (φ) = V0

[1−

(φ

µ

)2]2

. (3.26)

Istorijski najpoznatiji inatorni potencijal je [2]

V (φ) = V0

[(φ

µ

)4(ln

(φ

µ

)− 1

4

)+

1

4

]2

. (3.27)

Kod tzv. modela sa velikim vrednostima polja na po£etku inacije polje ima velikuvrednost. Tokom inacije polje evoluira ka svom minimumu koji se nalazi u nuli,pri £emu je ∆φ > MPl. Prototip, modela je haoti£na inacija gde u potencijaludominira £lan

V (φ) = λpφp. (3.28)

Slika 3.2: Infacija sa velikim poljem.

3.4 Period nakon inacije

Prema inatornom scenariju, period inacije zapo£inje (sporim) kotrljanjem in-atona ka minimumu potencijalne energije. Svemir se ²iri i hladi. Kada kineti£kaenergija polja postane uporediva sa potencijalnom energijom inacija se zavr²ava. Utom slu£aju nije mogu¢e primeniti aproksimaciju sporog kotrljanja, pa se jedna£ina

3Peter Higgs.


kojom se opisuje dinamika polja mora uzeti u obliku

φ+ 3Hφ+ V ′ = 0. (3.29)

Neka se u blizini minimuma vrednost polja moºe aproksimirati izrazom V = 1/2m2φ2.Nakon inacije vrednost polja osciluje oko minimuma potencijala. U ovom procesunastaje sva materija. Zbog frikcionog £lana u jedna£ini kretanja amplituda oscila-cija vremenom opada i skalarno polje i²£ezava a njegova energija se tro²i na pove¢anjetemperature. Ova etapa ozna£ava se kao period ponovnog zagrevanja (reheating).

3.5 Re²enje problema ravnog Svemira i problema

horizonta u okviru inacije

Pokaºimo sada kako se u okviru teorije inacije moºe re²iti problem ravnog Sve-mira i problem horizonta. Kao ²to smo rekli do problema ravnog Svemira dovodi£lan aH koji se javlja u imeniocu na desnoj strani jedna£ine (2.39). U inatornojepohi aH raste sa vremenom

d

dt(aH) > 0, (3.30)

pa se Ωtotal pribliºava jedinici. U slu£aju Fridmanovog modela sa kosmolo²komkonstantom gde se faktor skale uve¢ava prema izrazu (3.7)

|Ωtotal − 1| ∝ exp

(−√

4Λ

3t

). (3.31)

Cilj je da nakon inacije parametar gustine ima vrednost koja je vrlo blizu jedinice.To ¢e omogu¢iti da tokom evolucije Svemir zadrºi ravnu geometriju ²to je u skladusa opservacijama.

Proces inacije znatno uve¢ava veli£inu Svemira. To zna£i da se neka malaoblast Svemira, koja je bila u stanju termodinami£ke ravnoteºe, moºe uve¢ati dodimenzija koje su ve¢e od dimenzije opservabilnog Svemira. Iz razloga ²to je preinacije postojala termodinami£ka ravnoteºa CMB zra£enje je sa velikim stepenomhomogenosti i izotropnosti. Da bi se re²io problem ravnog Svemira i horizontapotrebno je da broj e-foldova na kraju inacije ima vrenost N ≈ 60 [1].

Glava 4

Tahioni

Re£ tahion poti£e od gr£ke re£i "ταχισ” ²to u prevodu zna£i brz, lagan, hitar.Ideja o tahionima, £estici koja se kre¢e sa brzinom ve¢om od brzine svetlosti, prviput se pominje u radu Arnolda Zomerfelda1 1904. godine. Postojanje ovakve £esticenije u suprotnosti sa Specijalnom teorijom relativnosti (STR). U STR postoji samoograni£enje da £estice koje se kre¢u brzinom manjom od brzine svetlosti u vakuumune mogu ubrzati do brzine ve¢e od nje. Isto tako, tahioni se ne mogu usporitido brzine koja je manja od brzine svetlosti. Zbog toga se postavlja pitanje kakodetektovati ove £estice ukoliko postoje. Jedan od na£ina je indirektno, odnosnopreko efekta koji je uzrokovan ve¢om brzinom £estice koja prolazi kroz dielektrik odfazne brzine elektromagnetnog talasa u njemu - erenkovljevo2 zra£enje.

Na osnovu relativisti£kog izraza za enegiju

E =mc2√1− v2

c2

, (4.1)

izvodi se zaklju£ak da £esticama koje se kre¢u brzinom ve¢om od brzine svetlostiodgovara vrednost kvadrata mase

m2 < 0. (4.2)

Na prvi pogled ovo deluje zaista cudno, jer je intuitivno jasno da masa mora bitirealna i pozitivna veli£ina. U nastavku ¢e biti dato jedno drugo poimanje mase uteoriji polja.

4.1 Tahioni u teoriji polja

Posmatrajmo skalarno polje Φ = Φ(x) sa potencijalom V (Φ). Neka je Φ0 ta£kalokalnog ekstremuma (maksimuma ili minimuma). Ako se u razvoju funkcije u red

1Arnold Sommerfeld.2Pavel Cherenkov.

18

Tahioni 19

u okolini ta£ke ekstremuma zadrºe prva tri £lana dobija se

V ≈ V (Φ0) +dV

dΦ

∣∣∣∣Φ=Φ0

Φ +d2V

dΦ2

∣∣∣∣Φ=Φ0

Φ2. (4.3)

Ukoliko je potencijal u ta£ki ekstremuma jednak nuli u razvoju preostaje samo tre¢i£lan (drugi £lan je jednak nuli iz uslova ekstremuma). U formalizmu teorije polja, uslu£aju kada se lagranºijan polja moºe zapisati kao razlika kineti£ke i potencijalneenergije (lagranºijani u standardnom obliku), konstanta koja mnoºi kvadrat poljapredstavlja kvadrat mase £estice koju to polje opisuje [5]

m2 =d2V

dΦ2

∣∣∣∣Φ=Φ0

. (4.4)

Sada je jasnije da se masi polja moºe pridruºiti i kompleksna vrednost jer desnastrana u izrazu (4.4) moºe biti negativna. Neka je potencijal oblika

V (Φ) =1

2m2Φ2 +

1

4λΦ4. (4.5)

Slika 4.1: Izgled potencijala V (Φ) u zavisnosti od vrednosti konstante m, a) m2 > 0, b) m2 < 0.

Parametar λ je slobodan parametar teorije, pozitivan, nenulti3. Kada je u (4.5)λ = 0 lagranºijan (3.10) predstavlja lagranºijan za slobodno skalarno polje. Jedna-£ina slobodnog skalarnog polja, kojim se opisuje nenaelektrisana £estica bez mase ispina, ima oblik [5] (

− ∂2

∂t2+∇2

)Φ = 0. (4.6)

Re²enje ove jedna£ine je

Φ(x) =1

(2π)3

∫d3~k√2E~k

[a+(~k)eikx + a−(~k)e−ikx

]. (4.7)

3Uslov koji sledi iz kvantne mehanike [6].

Tahioni 20

U jedna£ini a+ i a− su operatori podizanja i spu²tanja. Njihov komutator je oblika

[a+(~x), a−(~y)] = iδ(~x− ~y). (4.8)

Za λ 6= 0 ne postoje ograni£enja na vrednost za m tako da razlikujemo dva slu£aja.U teoriji polja osnovno stanje naziva se vakuum, a ekscitovana stanja odgovaraju£esticama [6]. Sva vi²a stanja dobijaju se kao perturbacija osnovnog stanja. Na tajna£in dolazimo do spektra teorije. Za slu£aj da je m2 > 0 iz izraza (4.5) lako sepokazuje da u konguraciji Φ = 0 potencijal ima minimum i to je stanje sa najniºomenergijom. U procesu kvantizacije ovakvog stanja dobila bi se skalarna £estica sapozitivnim kvardatom mase [5]

m2 =d2V (Φ)

dΦ2

∣∣∣∣Φ=Φ0

> 0. (4.9)

Interesantnija situacija je u slu£aju kada je m2 < 0. Tada u konguraciji Φ = 0potencijal ima maksimum, a minimumi se nalaze u

Φ0 = ±|m|λ. (4.10)

Konguracija Φ = 0 je vrlo nestabilna i pri malim perturbacijama lako prelazi ustanje minimuma. Kvantovanjem ovakvog stanja dobila bi se tahionska £estica

m2 =d2V (Φ)

dΦ2

∣∣∣∣Φ=Φ0

< 0. (4.11)

Pojava tahionskog stanja pri kvantizaciji skalarnog polja obja²njava se time daje izvr²en razvoj potencijala V (Φ) u ta£ki njegovog maksimuma, a ne minumuma(pogre²an vakuum). Korektan na£in kvantovanja bi bio da se najpre pronae ta£kaglobalnog minimuma oko koje bi se izvr²io razvoj potencijala i tako dobio spektaru kome ne postoje tahionska stanja (kvadrat mase skalarne £estice je pozitivan).Ukoliko redeni²emo polje

Φ −→ Φ + Φ0, (4.12)

u lagranºijanu ¢e se javiti maseni £lan oblika

m2Φ = 3λΦ2

0 +m2. (4.13)

U minimumu potencijala vrednost ovog £lana je

m2Φ = −2m2 > 0, (4.14)

jer jem2 < 0. Na ovaj na£in dobili smo korektan znak uz maseni £lan u lagranºijanu,ali se promenila masa £estice. Re²enje jedna£ine (4.6) u ovom slu£aju ima oblik

Φ(x) = Φ0 +1

(2π)3

∫d3~k√2E~k

[a+(~k)eikx + a−(~k)e−ikx

]. (4.15)

Tahioni 21

Izvedimo na kraju veoma bitan zaklju£ak. Razvoj potencijala oko pogre²nogvakuuma, odnosno pojava tahionskih stanja, dovodi do promene znaka masenog£lana u lagranºijanu. To je na£in da se iz same teorije generi²e masa £estice. Lakose moºe proveriti da po£etni lagranºijan i lagranºijan koji se dobija nakon uvoenjasmene (4.12) nemaju istu simetriju. Simetrija je naru²ena izborom vakuuma okokoga se vr²i perturbacioni razvoj. Situacija kada vakuum nema istu simetriju kao ipo£etni lagranºijan naziva se spontano naru²enje simetrije. Ovaj novi fenomen imaveliku ulogu u teoriji polja.

4.2 Tahioni u teoriji struna

U ovom odeljku navedimo neke od rezultata teorije struna koji su u vezi saproblematikom u ovom radu. Kvantovanjem struna (otvorenih ili zatvorenih) kaorezultat dobijamo beskona£an broj stanja koja se mogu okarakterisati momentom ~pi kvantnim brojem n. Na osnovu relativisti£kog izraza koji povezuje energiju i masuimamo da vaºi [8]

E =√~p2 +m2

n, (4.16)

gde je mn masa koja se u na²em slu£aju moºe pridodati stanju odreenog kvantnimbrojem n. Pri kvantovanju struna veli£ina m2

n se moºe javiti kao negativna pa se tastanja karakteri²u kao tahionska.

Pored jednodimenzionih objekata teorija struna sadrºi i vi²edimenzione kompo-zitne objekte poznate kao D-brane4. U p dimenzionom prostoru brane su objektina kojima su lokalizovano krajevi struna. Dp-brane su p+ 1 dimenzioni objekti sa pprostornih i jednom vremenskom dimenzijom. Brane poseduju energiju i ta£no odre-enu dinamiku. Prou£avaju¢i konguracije Dp-brana Sen5 je do²ao do zaklju£ka dase kod nestabilnih konguracija brana javljaju tahionska stanja [8]. Primer nesta-bilne konguracije jeste sistem od dve Dp-brane i otvorene strune £iji je po£etakprika£en na jednoj brani a kraj na drugoj. Pokazuje se da je u situaciji kada sedve brane nalaze dovoljno blizu jedna drugoj osnovno stanje tahionsko. Takav si-stem prelazi na stabilan sistem ²to predstavlja proces tahionske kondenzacije. Kakoje dinamika brana sloºena za analizu, osobine brana se odreuju indirektno pro-u£avaju¢i dinamiku otvorenih struna, tj. uvoenjem efektivne teorije. U slu£ajutahionske ekscitacije otvorenih srtruna pokazano je da je pogodno uvesti efektivnuteoriju skalarnog tahionskog polja T sa nestandardnom lagranºijanom (potencijal ta-hionskog polja V (T ) se javlja kao multiplikativni £lan u lagranºijanu). Op²ti obliknestandarnih lagranºijana dat je izrazom [8]

LT (T, ∂µT ) = −V (T )F (∂µT ). (4.17)

Razmatranje tahionskih stanja moºe se pro²iriti i na teoriju superstruna. Postojepet konzistentnih teorija superstruna. U ovim teorijama se deni²u i anti D-brane(D) kao objekti suprotne orijentacije u odnosu na D-branu. U po£etku je izgledaloda su sve teorije superstruna li²ene tahiona. Za razli£it broj dimenzija brane imaju

4D-poti£e od Dirihleovih grani£nih uslova.5Ashoke Sen.

Tahioni 22

razli£ite osobine. Navedimo neke katakteristike brana u teoriji superstruna tipa IIA[8]

• Za paran proj p, Dp-brana je orijentisana i zbog osobina koje poseduje na-ziva se jo² i PBS6 D-brana. Za ovu branu, masa po jedinici zapremine up-dimenzionalnom prostoru, odnosno napon (zategnutost) brane, dat je izra-zom

λ =Mp+1

s

(2π)pgs(4.18)

gde je gs konstanta kuplovanja aMs masa strune. Maseni spektar brane sadrºi£estice sa m ≥ 0.

• Za neparno p, Dp-brana nije orjentisana (non-PBS). Napon brane dat je izra-zom

λ =

√2Mp+1

s

(2π)pgs. (4.19)

Interesantno je da kod ovog tipa u masenom spektru postoje tahionska stanja,tj. £estice sa negativnom masom.

Kod superstruna tipa IIB za neparan broj p brana je orijentisana a za neparnop brana nema orjentaciju. Senovim pretpostavkama [8] tahioni i tahionska stanjaponovo su vra¢ena u ºiºu interesovanja istraºiva£a u ovoj oblasti ali i kosmologa,posebno onih koji se bave inacionom teorijom i uzrocima inacije.

4.3 Tahionski potencijali

U okviru kosmolo²kih razmatranja tahionske potencijale je pogodno razvrstatiu klase [9]. Podela se vr²i na osnovu asimptotskog pona²anja parametra λ koji seza modele lagranºijana tahionskog tipa deni²e relacijom λ ≡ − MPl

V 3/2(T )

dV (T )dT

. Naosnovu asimptotskog pona²anja osnovu parametra λ, kada vrednost polja T teºibeskonana£nosti, tahionski potencijali su razvrstani u tri klase: λ=const, λ → 0 i|λ| → ∞.

1) λ=const.

Tipi£an predstavnik ove klase je inverzni kvadrati£ni potencijal

V (T ) = M2T−2. (4.20)

2) λ→ 0 (kada T →∞)

Ovoj klasi pripada nekoliko tipova tahionskih potencijala:

V (T ) = M4−nT−n, 0 < n < 2, (4.21)V (T ) = V0e

1/(µT ), (4.22)

V (T ) = V0e12M2T 2. (4.23)

6Prasad-Bogomolny-Sommereld.

Tahioni 23

3) λ→∞ (kada T →∞)

Pomenimo tipove:

V (T ) = M4−nT−n, n > 2, (4.24)V (T ) = V0e

−µT , (4.25)

V (T ) = V0e12M2T 2. (4.26)

Tahionski potencijali koji ¢e biti razmatrani u ovom radu poseduju slede¢e karak-teristike: imaju pozitivnu vrednost za T = 0, monotono opadaju i teºe nuli ubeskona£nosti [7]

V (0) > 0, V ′(T > 0) < 0, V (T →∞)→ 0. (4.27)

Potencijali koji zadovoljavaju navedene uslove prikazani su na slede¢oj slici.

Slika 4.2: Neki od potencijala koji se zbog svojih osobina mogu uvrstiti u kategoriju tahionskih.

Glava 5

Inatorni modeli sa tahionskimpoljem

Rezultati teorije struna motivisali su primenu nestandardnih lagranºijana DBI1

tipa [8]L = −V (T )

√1 + gµν∂µT∂νT , (5.1)

gde je T tahionsko polje, a V (T ) potencijal koji zadovoljava uslove (4.27). Razmo-trimo modele £ija je dinamika odreena dejstvom [7]

S =M2

Pl

2

∫d4x√−gR + ST , (5.2)

gde je ST dejstvo tahionskog tipa dato izrazom

ST = −∫d4x√−gV (T )

√1 + gµν∂µT∂νT . (5.3)

U procesu tahionske kondenzacije, pomenutog u odeljku 4.2, re£eno je da je to proceskojim se sistem prevodi iz nestabilnog u stabilno stanje. Zbog toga se taj mehanizammoºe uzeti kao inicijator inatornog procesa. Inacija je mogu¢a za energije redaλ1/4, sa T ∼ T0 gde je T0 ∼M−1

s , a λ dato izrazom (4.18) [7]. Iz prakti£nih razloga,koji ¢e biti vidljivi u nastavku, uvedimo bezdimenzionu konstantu

X20 ≡

λT 20

M2Pl

. (5.4)

5.1 Neperturbovana tahionska evolucija

Koriste¢i izraz za lagranºijan (5.1) tenzor energije-impulsa dobija oblik

Tµν = −V (T )gµν√

1 + gµν∂µT∂νT +V (T )√

1 + ∂αT∂αT∂µT∂νT. (5.5)

1Dirak-Born-Infeld.

24

Inatorni modeli sa tahionskim poljem 25

Za metriku oblika ds2 = −dt2 + a(t)2d~x2, uz uslov da je polje prostorno homogenoi izotropno, lagranºijan se svodi na oblik

L = −V (T )√

1− T 2. (5.6)

Na osnovu (2.8) i (5.5) dolazi se do izraza za gustinu i pritisak uida u funkciji odpolja T

ρ =V (T )

(1− T 2)1/2,

P = −V (T )(1− T 2)1/2. (5.7)

Fridmanova jedna£ina se sada moºe zapisati u obliku

H2 =1

3M2Pl

V

(1− T 2)1/2. (5.8)

Iz jedna£ine kontinuiteta dobija se jedna£ina koja odreuje vremensku evolucijupolja, tj. jedna£ina kretanja2

T

1− T 2+ 3HT + (lnV )

′= 0. (5.9)

Parametrar stanja, koji predstavlja odnos pritiska i gustine, iznosi ω = −1 + T 2.Kako je za inatorno ²irenje potrebno da parametar stanja ima negativnu vrednost(ω < −1/3) i da inaton sporo evoluira uslov sporokotrljaju¢e inacije se moºezapisati u obliku

T 1. (5.10)

5.2 Parametri sporog kotrljanja

Inacija traje dovoljno dugo ukoliko je u jedna£ini kretanja (5.9) £lan T manjiod frikcionog £lana

T < 3HT . (5.11)

Inacija ¢e biti u reºimu sporog kotrljanja ukoliko su zadovoljeni uslovi

T 3HT , T 2 1. (5.12)

Na osnovu jedna£ine (5.9) sledi

T ∼ −(lnV )′

3H, (5.13)

H2 ∼ V

3M2Pl

. (5.14)

2U klasi£noj mehanici jedna£ina koja odreuje vremensku evoluciju sistema naziva se jedna£inakretanja iz razloga ²to se njenim re²avanjem dobija jedna£ina trajektorije.


Koriste¢i jedna£inu za ubrzanje dobija se potreban uslov za inaciju (a>0)

a

a= − 1

6M2pl

(ρ+ 3P ) =1

3M2pl

V

(1− T 2)1/2

(1− 3

2T 2

)> 0. (5.15)

Odavde se vidi da inacija traje sve dok vazi

T 2 <2

3. (5.16)

Ovaj rezultat se razlikuje od uslova dobijenog u teoriji inacije sa klasi£nim poljem(izraz (3.17)) iz razloga ²to u slu£aju inacije sa tahionskim poljem parametar stanjane zavisi od potencijala. Na osnovu jedna£ine za ubrzanje i izraza

a

a= H +H2, (5.17)

dobija se

H ′ = −3

2H2T . (5.18)

Koriste¢i (5.13) broj e-foldova se moºe zapisati u funkciji polja (Te = T (te))

N(T ) =1

M2Pl

∫ T

Te

V 2

V ′dT. (5.19)

Iz iste relacije sledi veza

dT =2

3

H ′

H3dN. (5.20)

Deni²imo sada uslove sporog kotrljanja kojima se obezbeuje dovoljno sporaevolucija inatona. Postoji nekoliko na£ina da se deni²u ovi parametri u tahionskojinaciji. Opredelimo se ovde za horizont-ow parametre [10]

ε0 ≡ H∗/H, (5.21)

εi+1 ≡d ln |εi|dN

, i ≥ 0. (5.22)

gde je H∗ vrednost Hablovog parametra u izabranom trenutku vremena. Na osnovunavedenih denicija, koriste¢i izraze (5.18) i (5.20), mogu se izra£unati parametrisporog kotrljanja u funkciji polja

ε1 =3

2T 2, (5.23)

ε2 = 2T

HT, (5.24)


ili u funkciji potencijala (koriste¢i (5.13) i (5.14))

ε1 =M2

Pl

2

V ′2

V 3,

ε2 = M2Pl

(−2

V ′′

V 2+ 3

V ′2

V 3

). (5.25)

Izraz (5.17) moºe se zapisati u funkciji od ε1

a

a= H2(1− 3

2T 2) = H2(1− ε1) > 0. (5.26)

Inacija traje sve dok je parametar ε1 manji od jedinice i prestaje kada je ε1 ≈ 1.Tvrenje je ekvivalentno slede¢em: inacija traje sve dok je parametar stanja manjiod −1/3. Ovo dobija iz relacije

ε1 =3

2(ω + 1). (5.27)

Parametri sporog kotrljanja su povezani sa opservabilnim parametrima relacijama

r = 16ε1, (5.28)n = 1− 2ε1 − ε2, (5.29)

gde je r tensor-scalar ratio i n scalar spestral index (primordial tilt). Za potencijalekoji zadovoljavaju uslov (4.27) na osnovu vrednosti parametara sporog kotrljanjainacija se moºe odvijati po jednom od tri modela [11]

(1) Inacija sa malim poljem

V ′′ ≤ 0, 6ε1 ≤ ε2, (5.30)

(2) Haoti£na inacija

0 < V ′′ < V ′2/V, 2ε1 < ε2 < 6ε1, (5.31)

(3) Hibridna inacijaV ′2/V ≤ V ′′, ε2 ≤ 2ε1. (5.32)

Koriste¢i dobijene odnose izmeu parametara sporog kotrljanja i veze ovih parame-tara sa opservabilnim parametrima n i r ((5.28) i (5.29)) na graku (n, r) moguse izdvojiti tri oblasti koje odgovaraju razli£itim reºimima inacije. Granice ovihoblasti su prave £ije su jedna£ine

r = 2(1− n), r = 4(1− n). (5.33)


5.3 Parametri inacije za modele sa razli£itim tahi-

onskim potencijalima

Analizirajmo tahionske modele sa lagranºijanom (5.1) za razli£ite oblike poten-cijala V (T ). Sprovedimo standarnu proceduru: [7]

1) Za dati oblik potencijala izra£unavamo parametre sporog kotrljanja (ε1 i ε2) ibroj e-foldova u funkciji od polja T ;

2) Odreujemo vrednost polja na kraju inacije Te iz uslova da se proces inacijezavr²ava kada je ε1(Te) ≈ 1, a zatim za zadatu vrednost e-foldova (i konstanteX0) izra£unavamo vrednost polja na po£etku inacije;

3) Izra£unavamo vrednost opservabilnih parametara n i r.

Razmatrajmo samo slu£aj kada je T > 0. Konstanta X0 denisana izrazom (5.4)odreuje za koje vrednosti polja model daje rezultate koji se slaºu sa merenjima.Uvedimo smenu

x = T/T0. (5.34)

Ukoliko potencijal zapi²emo u obliku

f(x) = V/λ, (5.35)

izrazi za parametre sporog kotrljanja (5.25) i broj e-foldova (5.19) dobijaju oblik

ε1 =1

2X20

f ′2

f 3, (5.36)

ε2 =1

X20

(−2

f ′′

f 2+ 3

f ′2

f 3

), (5.37)

N∗ = X20

∫ xe

x∗

f 2

|f ′|dx. (5.38)

Prikaºimo oblike re²enja parametara sporog kotrljanja i broja e-foldova za neketahionske potencijale.

• Potencijal f(x) = 1/ cosh(x)

Ovo je potencijal preuzet iz teorije struna. Na osnovu (5.36)-(5.38) dobija se

ε1 =1

2X20

sinh2 x

coshx, (5.39)

ε2 =1

X20

cosh2 x+ 1

coshx, (5.40)

N∗ = X20

∫ xe

x∗

1

sinhxdx = X2

0

[ln

(ex∗ + 1

ex∗ − 1

)− ln

(exe + 1

exe − 1

)]. (5.41)


• Potencijal f(x) = 1/ exp(x)

Analiti£ki izrazi za parametre sporog kotrljanja i broj N foldova imaju oblik

ε1 =ε22

=1

2X20

ex, (5.42)

N∗ = X20 (e−x∗ − e−xe). (5.43)

• Potencijal f(x) = 1/(1 + x4)

U modelu sa ovim potencijalom takoe se mogu na¢i analiti£ka re²enja zaparametre sporog kotrljanja i broj N foldova

ε1 =8x6

X20 (1 + x4)

, (5.44)

ε2 =8x2(x4 + 3)

X20 (1 + x4)

, (5.45)

N∗ =X2

0

8

(1

x2∗− 1

x2e

). (5.46)

• Potencijal f(x) = (1 + x)/ exp(x)

U ovom slu£aju dobija se

ε1 =x2ex

2X20 (1 + x)3

, (5.47)

ε2 =(2 + x2)ex

X20 (1 + x)3

, (5.48)

N∗ = X20

∫ xe

x∗

(1 + x)2

xexdx. (5.49)

Parametri sporog kotrljanja mogu se odrediti i numeri£ki na osnovu jedna£ina(5.36) i (5.37). Na slede¢oj slici prikazani su graci zavisnosti parametara sporogkotrljanja u funkciji polja.


Slika 5.1: Parametri sporog kotrljanja. Za vrednost konstante uzeto je X0 = 5 u slu£aju pote-ncijala f(x) = 1/ cosh(x) i f(x) = 1/ exp(x), a X0 = 7 u preostala dva slu£aja.

Iz uslova da se inacija zavr²ava kada je ε1(xe) ≈ 1 sledi jedna£ina

f ′2(xe)− 2X0f3(xe)− 1 ≈ 0. (5.50)

Iz ove jedna£ine primenom bisekcionog metoda [12] numeri£ki se moºe na¢i vrednostxe ≡ Te/T0. Ukoliko pretpostavimo broj N-foldova (N∗) i vrednost konstante X0

na osnovu jedna£ine (5.38) odredi¢emo vrednost polja na po£etku inacije, odnosnox∗. U stvari, treba na¢i donju granicu u odreenom integralu ako je poznata gornjagranica i vrednost integrala. Ovaj problem se moºe re²iti primenom neke od metodaza numeri£ku integraciju i sistemati£nim nabrajanjem svih mogu¢ih vrednosti zax∗ (brute-force search), po£ev²i od x∗ = xe. Vrednosti opservabilnih parametara,izra£unavaju se na osnovu relacija (5.28) i (5.29), pri vrednosti polja x = x∗ [7].Rezultati su prikazani na slede¢im gracima.


Slika 5.2: Poreenje izra£unatih i izmerenih vrednosti (rezultati Planck misije [13]) opservabilnihparametara. Vrednosti parametara su dobijeni na osnovu unapred zadate vrednosti za N i X0

(40 ≤ N ≤ 70 i 3 ≤ X0 ≤ 10).

5.4 Dinamika modela

Dinamika polja odreena je jedna£inom kretanja (5.9). Koriste¢i re²enje ovejedna£ine moºemo odrediti veli£ine karakteristi£ne za inatorni proces u funkciji odvremena (parametre sporog kotrljanja, parametar stanja, gustinu i pritisak). Ovujedna£inu re²ava¢emo takoe numeri£ki primenom metode Runge-Kuta [12]. Kako bidobili oblik jedna£ine koji je zgodan za numeri£ko izra£unavanje potrebno je izmenitioblik jedna£ine koriste¢i smenu za polje (5.34) i redenisati vremensku koordinatuizrazom τ = t/T0. Uz napomenu da moramo zameniti i izvode polja

T =dx

dτ, (5.51)

T =1

T0

d2x

dτ 2, (5.52)


dobijamo jedna£inu kretanja u obliku

d2x

dτ 2+√

3X0

√√√√f(x)

(1−

(dx

dτ

)2)3/2

x+1

f(x)

df(x)

dx

(1−

(dx

dτ

)2)

= 0. (5.53)

Ovo je diferencijalna jedna£ina drugog reda i da bi na²li njena re²enja (x = x(t))potrebno je zadati po£etne uslove: x(t0) = x0 i x(t0) = x0.

Na slede¢im gracima prikazane su zavisnosti polja i potencijala od vremena kojisu dobijeni iz jedna£ine kretanja.

Slika 5.3: Zavisnost polja i potencijala od vremena. Vrednost po£etnih uslova iznosi x(t0) = 0.001i x(t0) = 0.05. Sa graka se vidi da je potencijal na po£etku inacije skoro ravan, ²to je u skladusa aproksimacijom sporog kotrljanja.


Iz jedna£ine (5.38) se vidi da broj e-foldova zavisi od vrednosti konstante X0.Numeri£ki dobijena zavisnost u slu£aju potencijala f(x) = 1/ cosh(x) data je naslede¢em graku.

Slika 5.4: Zavisnost broja e-foldova od vrednosti konstate X0. Sa graka se vidi da model dajedobre rezultate (N ≈ 60) za vrednost konstante X0 & 3.

Kao ²to je re£eno u poglavlju 5.2 na osnovu vrednosti parametara n i r mogu¢eje izdvojiti razli£ite modele inacije.

Slika 5.5: Modeli inacije: (1) inacija sa malim poljem, (2) haoti£na inacija, (3) hibridnainacija.

Glava 6

Zaklju£ak

U ovom radu dotakli smo veliki broj oblasti i pojmova u modernoj zici visokihenergija i kosmologiji. Posebnu paºnju smo posvetili tahionskim poljima i njiho-voj primeni u kosmologiji, ta£nije tahionskoj inaciji vezanoj za DBI lagranºijane idejstva. U poslednjoj glavi do²li smo do veoma sli£nih rezultata sa onima prezento-vanim u referenci [7]. Primenom standardnih numeri£kih metoda naena su re²enjaparametara sporog kotrljanja i opservabilnih parametara. Izra£unate vrednosti zaopservabilne parametare (n i r) dobrim delom se slaºu sa izmerenim vrednostima,²to opravdava ispravnost modela. U nastavku smo prikazali orginalne rezultate jed-na£ine kretanja koji ¢e biti podvrgnuti dodatnim proverama i ocenama.

Rezultati teorije struna omogu¢ili su razvoj kosmolo²kih ideja i primenu lagran-ºijana tahionskog tipa u modelima vezanim za proces inacije.

Na osnovu sprovedenih razmatranja zasigurno moºemo zaklju£iti da je jednatakva teorija kao ²to je inacija neophodna kao dodatak teoriji Velikog praska. Ta-hionska polja se mogu iskoristiti za opisivanje ranog perioda inacije i kao izvorinacije procesom spontanog nare²enja simetrije. Kako je minimum tahionskog po-tencijala u beskona£nosti kreacija materije u procesu oscilovanja inatona u okolinita£ke minimuma nije mogu¢a.

34

35

Literatura

[1] Barbara Ryden, Introduction to Cosmology, The Ohio State University, (2006).

[2] Daniel Baumann, TASI Lectures on Ination, [arXiv:0907.5424].

[3] Andrew Liddle, An Introduction to Modern Cosmology, Wiley, (2003).

[4] Komissarov S. S, Cosmology, (lecture notes), (2012).

[5] Dragoljub Dimitrijevi¢, Tahioni u klasi£noj i kvantnoj mehanici, Magistarskateza, Univerzitet u Ni²u, (2009).

[6] Dragan Popovi¢, Teorija elektroslabih interakcija, SANU, (1995).

[7] D. A. Steer, F. Vernizzi, Tachyon ination: tests and comparison with singlescalar eld ination, Phys. Rev. D70 (2004).

[8] Ashoke Sen, Tahyon Dinamics in Open String Theory, Int. J. Mod. Phys. A20:5513-5656, (2005).

[9] Dragoljub Dimitrijevi¢, Dinamika tahionskih polja u klasi£noj i kvantnoj kosmo-logiji, Doktorska disertacija, (2015).

[10] Dominik J. Schwarz, Cesar A. Terrero-Escalante, Alberto A. Garcia, Higher or-der corrections to primordial spectra from cosmological, Phys. Lett. B517, (2001).

[11] Andrew R. Liddle, David H. Lyth, Cosmological Ination and Large-ScaleStructure, Cambridge University Press, (2008).

[12] William H. Press, Saul A. Teukolsky, Numerical recipes, Cambridge UniversityPress, (2007).

[13] Planck Collaboration, Planck 2015 results. XIII. Cosmological parameters,[arXiv:1502.01589].

univerzitet u ni²u departman za fiziku · kosmologiji prvi put se pojavljuje 1981. godine sa...

Documents