utilidad de las derivadas
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ESCUELA: CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN
PONENTE:
APLICACIONES DE LA DERIVADA
CICLO:
Ing. Diana A. Torres G.
OCTUBRE 2009 – FEBRERO 2010
BIMESTRE: II Bimestre
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EXTREMOS DE UN INTERVALO
Definición de Extremos.- Sea f definida sobre un intervalo f que contiene a c: f(c) es el f(c) es el máximo demáximo de f en f en II si f(c) ≤ f(x) si f(c) ≤ f(x)
para toda x en Ipara toda x en I f(c) es el f(c) es el mínimo demínimo de f en f en II si f(c) ≥ f(x) si f(c) ≥ f(x)
para toda x en Ipara toda x en I
Los mínimos y máximos se conocen como valores extremos o extremos o mínimo absoluto o máximo absoluto.
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EXTREMOS DE UN INTERVALO
Teorema del Valor Extremo: si f es continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces tiene un mínimo y un máximo en ese intervalo
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EXTREMOS DE UN INTERVALO
Definición de extremos relativos: si hay un intervalo abierto que contiene a c en el cual f(c) es:
1. Un máximo, entonces f(c) recibe el nombre de máximo relativo de f, o se podría afirmar que f tiene un máximo relativo en (c, f(c)).
2. Un mínimo, entonces f(c) recibe el nombre de mínimo relativo de f, o se podría afirmar que f tiene un mínimo relativo en (c, f(c)).
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EJEMPLOEncontrar el valor de La Derivada en los Extremos Relativos:
3
2 )3(9)(
x
xxf
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Definición de un número o punto críticoSea f definida en c. si f’(c)=0 o si f no es derivable en c, entonces c es un punto crítico de f
Teorema: Los extremos relativos ocurren solo en números o puntos críticos:Si f tiene un mínimo relativo o un máximo relativo en x = c, entonces c es un punto crítico de f.
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Determinación de extremos en un intervalo cerrado
1. Se encuentran los punto críticos de f en (a,b)
2. Se evalúa f en cada punto crítico en (a,b)
3. Se evalúa en f en cada punto extremo de [a,b]
4. El más pequeño de estos valores es el mínimo y el más grande es el máximo
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EJEMPLO
Determinación de los extremos en un intervalo cerrado:
Determinar los Extremos de f(x) = 3x4 – 4x3 en el Intervalo [-1,2]
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9
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El Teorema de Rolle
Proporciona las condiciones que garantizan la existencia de un valor extremo en el interior de un intervalo cerrado.Sea f continua en el Intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b).Si
f(a) = f(b)
entonces existe al menos un número c en (a,b) tal que f’(c)=0
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EJEMPLO
Ilustración del Teorema de Rolle
Encontrar las dos Intersecciones en x de
f(x) = x2 – 3x + 2
y demostrar que f’(x) = 0 en algún punto entre las dos intersecciones en x
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12
f’(3/2)=0 Tangente Horizontal
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El Teorema del valor Medio
Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el Intervalo Abierto (a,b) entonces existe un número c en (a,b) tal que
ab
afbfcf
)()(
)('
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EJEMPLO
Determinación de una Recta Tangente
Dada f(x) = 5 – (4/x), determinar todos los valores de c en el intervalo abierto (1,4) tales que:
14
)1()4()('
ff
cf
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Funciones Crecientes y Decrecientes
Definición de Funciones Crecientes y DecrecientesUna función es creciente sobre un intervalo si para cualquiera de dos números x1 y x2 en el intervalo, x1 < x2 implica f(x1) < f(x2)
Una función es decreciente sobre un intervalo si para cualquiera de dos números x1 y x2 en el intervalo, x1 > x2 implica f(x1) > f(x2)
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Funciones Crecientes y Decrecientes
Criterio para las Funciones Crecientes y DecrecientesSea f una función que es continua ene l intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b)1. Si f’(x) > 0 para todo x en (a,b), entonces f
es creciente en [a,b]2. Si f’(x) < 0 para todo x en (a,b), entonces f
es decreciente en [a,b]3. Si f’(x) = 0 para todo x en (a,b), entonces f
es constante en [a,b]
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EJEMPLO
Intervalos sobre los cuales f es creciente y decreciente
Determinar los Intervalos abiertos sobre los cuales f(x) es creciente o decreciente:
23
2
3)( xxxf
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18
Cre
cien
te
Crec
ient
e Decreciente
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Criterio de la Primera Derivada1. Si f’(x) cambia de negativa a positiva en c,
entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).
2. Si f’(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)).
3. Si f’(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni mínimo o máximo.
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EJEMPLO
Aplicación del criterio de la primera derivada.
Encontrar los extremos relativos de
3/22 )4()( xxf
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21Mínimo Relativo Mínimo Relativo
Máximo Relativo
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Concavidad y Criterio de la Segunda Derivada
Al localizar los Intervalos en los que f’ es creciente o decreciente puede utilizarse para determinar donde la gráfica de f se curva hacia arriba o hacia abajo.
Definición de la ConcavidadSea f derivable en un Intervalo I. la gráfica es cóncava hacia arriba sobre I si f’ es creciente en el Intervalo y cóncava hacia abajo en I si f’ decreciente en el Intervalo
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Teorema: Criterio de la Concavidad
Sea f una función cuya segunda derivada existe en un Intervalo abierto I:
1. Si f’’(x) > 0 para todo x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I.
2. Si f’’(x) < 0 para todo x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en I.
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EJEMPLO
Determinar la Concavidad
Determinar los Intervalos Abiertos en los cuales la gráfica de f(x) es cóncava hacia arriba o hacia abajo
3
6)(
2 x
xf
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25
f’’(x)> 0Cóncava
hacia arriba
f’’(x)> 0Cóncava
hacia arribaf’’(x)> 0Cóncava
hacia abajo
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Puntos de Inflexión
Sea f una función que es continua en un intervalo abierto y sea c un punto en ese intervalo. Si la gráfica de f tiene una recta tangente en este punto (c,f(c)), entonces este punto es un punto de inflexión de la gráfica de f si la concavidad de f cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa en ese punto.
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Teorema: Punto de Inflexión
Si (c,f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de entonces:
f’’(c)=0ó
f’’(c) no existe en x = c
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EJEMPLO
Determinación de los Puntos de Inflexión
Determinar los Puntos de Inflexión y analizar la concavidad de la gráfica de f(x).
34 4)( xxxf
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29
Puntos de Inflexión
Cóncava hacia arriba
Cóncava hacia abajo
Cóncava hacia arriba
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Asíntotas Verticales
La recta Y = L es una asíntota horizontal de la gráfica de f si:
Lxfx
)(lim
Lxfx
)(lim
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Teorema: Límites al Infinito
Si r es un número racional positivo y c es cualquier número real, entonces:
Además, si xr se define cuando x < 0, entonces
0lim
rx x
c
0lim
rx x
c
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EJEMPLO
Determinación del límite al Infinito
Encontrar el límite:
2
25lim xx
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EJEMPLO
Determinación del límite al Infinito
Encontrar el límite:
1
12lim
x
x
x
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y = 2 es una asíntota horizontal
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Estrategia para determinar límites en ± ∞ de funciones racionales
1. Si el grado del numerador es menormenor que el grado del denominador, entonces el límite de la función racional es 0.
2. Si el grado del numerador es igualigual que el grado del denominador, entonces el límite de la función racional es el cociente de los coeficientes dominantes.
3. Si el grado del numerador es mayormayor que el grado del denominador, entonces el límite de la función racional no existe.
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Ejemplos: Determinar cada límite
013
522lim
x
x
x
3
2
13
522
2
lim
x
x
x
313
522
3
lim
x
x
x
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Análisis de la Gráfica de una Función
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Estrategia para Analizar la gráfica de una Función
1. Determinar el Dominio y rango de una función
2. Determinar las intersecciones, asíntotas y simetría de la Gráfica
3. Localizar los valores de x para los cuales f’(x) y f’’(x) son cero o no existen.
Usar los resultados para determinar extremos relativos y puntos de inflexión
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EJEMPLO
Dibujo de la Gráfica de una Función racionalAnalizar y Dibujar la Gráfica de f(x)
4
)9(2)(
2
2
x
xxf
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40
Mínimo Relativo
Asíntota Horizontal
y = 2
Asíntota Verticalx = -2
Asíntota Verticalx = 2
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Problemas de Aplicación de Máximos y Mínimos
Una aplicación del cálculo implica la Determinación de los Valores Máximo y Mínimo.
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Estrategia para resolver problemas aplicados de mínimos y Máximos
1. Identificar todas las cantidades dadas y las que se van a determinar. Elaborar dibujo.
2. Escribir una ecuación primaria3. Reducir la Ecuación Primaria a una que
tenga una sola variable independiente.4. Determinar el dominio admisible de la
ecuación primaria5. Determinar el valor máximo o mínimo
deseado mediante las técnicas de cálculo.
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EJEMPLODeterminación de la Distancia Mínima¿Qué puntos sobre la gráfica de y = 4 – x2 son más cercanos al punto (0,2)?
(x,y)d
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Método de NewtonSea f(c) = 0, donde f es derivable en un intervalo abierto que contiene a c. Entonces para aproximar a c, se sigue:
1. Se efectúa una estimación inicial x1 que es cercana a c (Una gráfica es útil).
2. Se Determina una nueva aproximación
3. Si |xn – xn+1|esta dentro de la precisión deseada, dejar xn+1 sirva como la aproximación final. Sino volver al paso 2 y calcular una nueva aproximación (iteración)
)('
)(1
n
nnn xf
xfxx
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EJEMPLOAplicación del Método de NewtonCalcular tres iteraciones del Método de Newton para aproximar un 0 de f(x) = x2 – 2
Utilizar x1 = 1 como la estimación inicial
xxf
xxf
2)('
2)( 2
n
nnn
n
nnn
x
xxx
xf
xfxx
2
2
)('
)(
2
1
1
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46
n xn f(xn) f’(xn) f(xn)f’(xn)
xn -f(xn) f’(xn)
1 1.000000 -1.00000 2.00000 -0.50000 1.50000
2 1.500000 0.250000 3.00000 0.083333 1.416667
3 1.426667 0.006945 2.833334 0.002452 1.414216
4 1.424216
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Diferenciales
Definición de Diferenciales Considerar que y = f(x) representa una
función que es derivable en un intervalo abierto que contiene a x
La diferencial de x (dx) es cualquier número real distinto de 0
La diferencial de y (dy) es
dxxfdy )('
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Fórmulas Diferenciales
Sean u y v funciones diferenciables de x:
2:
][:Pr
][:
][:tan
v
udvvdu
v
udCociente
vduudvuvdoducto
dvduvuddiferenciaoSuma
duccudteConsMúltiplo
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EJEMPLODeterminación de Diferenciales
y = x2
y = 2 sen x
y = sen 2x
y = 1/x
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BIBLIOGRAFÍA
CÁLCULO OCTAVA EDICIÓN: LARSON HOSTLER EDWARDS.
CAPÍTULO 3 APLICACIONES DE LA DERIVADA
50
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