Keywords: Serbatoi ad asse orizzontale, rischio sismico, risposta dinamica, sloshing, isolamento alla base

ABSTRACT I serbatoi cilindrici ad asse orizzontale, che spesso contengono materiali infiammabili, sono molto utilizzati negli impianti chimici e nelle raffinerie, ovvero in impianti a rischio d’incidente rilevante. Nel caso di serbatoi soggetti ad un’azione orizzontale quale quella sismica, la presenza della superficie libera del liquido, nel caso di un riempi-mento parziale, permette lo sviluppo di un moto relativo tra liquido e serbatoio; questo fenomeno prende il nome di “sloshing”. Nell’articolo sono illustrati due modelli semplificati per valutare la risposta ad azione sismica di serba-toi cilindrici ad asse orizzontale in presenza di sloshing. I modelli sono applicabili nel caso di azione agente in dire-zione trasversale e in direzione longitudinale, e permettono di calcolare le frequenze di sloshing relative ai singoli modi di vibrare della superficie libera del fluido, la massa del liquido che partecipa al moto di sloshing e l’azione prodotta sulle pareti del serbatoio e sui vincoli a terra. La validità dei risultati forniti dai modelli semplificati è con-fermata dall’analisi della risposta sismica di un serbatoio preso come esempio e modellato agli elementi finiti. Co-me strumento di riduzione del rischio, viene quindi proposto l’isolamento sismico alla base del serbatoio, il cui progetto è condotto proprio impiegando i risultati dei modelli semplificati.

1 INTRODUZIONE

I serbatoi di forma cilindrica ad asse orizzonta-le sono molto utilizzati nell’industria chimica e petrolifera e spesso contengono prodotti altamen-te infiammabili. Il collasso, in caso di evento si-smico, può quindi dare luogo ad un cosiddetto “incidente rilevante”.

Gli studi sulla risposta simica dei serbatoi si sono però concentrati sinora su quelli ad asse ver-ticale; lo studio illustrato nel seguito intende dare quindi un contributo alla diffusione dei metodi di analisi della risposta ad azione sismica dei serba-toi ad asse orizzontale (McIver 1989).

Nei serbatoi non in pressione e riempiti solo parzialmente, la presenza di una superficie libera permette, in caso di azione orizzontale, lo svilup-po di un moto relativo tra il liquido e il serbatoio

(Papaspyrou et al 2004a,b). Questo fenomeno prende il nome di “slo-

shing”. I suoi effetti dipendono dalle caratteristi-che geometriche del serbatoio e dalla direzione dell’azione sismica; una corretta valutazione di essi, e in particolare delle azioni indotte sulle pa-reti e alla base del serbatoio, è fondamentale per evitare collassi strutturali e la rottura delle selle di supporto.

Nel seguito sono illustrati, con riferimento ad un serbatoio scelto come esempio, i risultati che si ottengono dall’applicazione di due modelli semplificati nella valutazione della risposta ad una azione sismica agente in direzione trasversale o longitudinale. La qualità dei risultati è verificata attraverso il confronto con quelli dell’analisi di un modello tridimensionale agli elementi finiti.

Viene anche studiato l’isolamento alla base del serbatoio, come strumento utile a ridurne il ri-schio sismico.

Marco Risa, Marcello Ciampoli, Maurizio De Angelis Università di Roma “La Sapienza”, Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Via Eudossiana 18, 00184 Roma

Valutazione della risposta sismica di serbatoi ad asse orizzontale

2  

2 MODELLI SEMPLIFICATI

L’obiettivo di definire modelli semplificati per l’analisi della risposta ad azione sismica dei ser-batoi cilindrici ad asse orizzontale è quello di for-nire uno strumento semplice ma efficace per l’analisi degli effetti dello sloshing. In generale, si considerano due modelli piani: uno per l’analisi della risposta all’azione sismica trasversale, e uno per l’analisi della risposta all’azione sismica lon-gitudinale (Karamanos et al. 2006).

Lo studio svolto si propone di verificare che i modelli semplificati forniscano, rispetto ad un modello tridimensionale agli elementi finiti, risul-tati attendibili in termini sia di periodi propri dei modi di sloshing, sia di masse modali partecipan-ti. I valori dei periodi propri e delle masse parte-cipanti sono quindi utilizzati nella progettazione dell’isolamento alla base (cfr. §3.2).

Nelle valutazioni numeriche, si fa riferimento al serbatoio di Fig. 1, contenente al suo interno un liquido e soggetto ad azione sismica.

Figura 1. Schema del serbatoio preso come esempio.  

Il serbatoio è caratterizzato dal raggio R, dalla lunghezza L e dal grado di riempimento H (per rapporti L/R ≤ 10 il serbatoio può essere conside-rato indeformabile). Nell’esempio: L = 8.00 m; R = 1.00 m; H è assunto variabile tra 0 e 2R.

Il serbatoio è in acciaio con le seguenti caratte-ristiche meccaniche: modulo elastico E = 2.1·e11 N/m2; coefficiente di Poisson υ = 0.30; resistenza caratteristica fyk = 235 MPa; densità ρacciaio = 7830 kg/m3. Si ipotizza che il serbatoio sia riempito con acqua: la densità è ρacqua = 1000 kg/m3.

2.1 Modello piano: azione sismica trasversale

Le ipotesi di base del modello piano sono: fluido ideale; pareti del serbatoio indeformabili;

limitato innalzamento della superficie libera (Pat-kas e Karamanos 2005).

Figura 2. Sezione trasversale del serbatoio.  

L’azione sismica è descritta da una storia di spostamenti X(t) (Fig. 2); il moto del liquido è de-scritto dal flusso potenziale )t,y,x(φ e la sua ve-locità è rappresentata dal gradiente di ϕ:

φ∇=u (1)

Il flusso potenziale )t,y,x(φ soddisfa l’equa-zione di Laplace:

02

2

2

22 =

∂

φ∂+

∂

φ∂=φ∇

yx (2)

nel dominio Ω del fluido, con condizioni al con-torno (Fig. 2):

( )nexXn=

∂φ∂ sulla superficie bagnata B1 (3)

02

2=

∂φ∂

+∂

φ∂y

gt

sulla superficie libera B2 (4)

Nelle relazioni (3) e (4), xe è il versore della dire-zione x e n il vettore normale alla superficie B1, positivo se uscente.

Il potenziale può essere decomposto nel poten-ziale associato al moto uniforme uφ e nel poten-ziale di sloshing sφ che sono tali che:

( ) xtXu ⋅=φ (5)

02 =φ∇ s in Ω (6)

Le condizioni al contorno sono definite da:

0=∂∂nsφ in B1 (7)

2

2

2

2

tyg

tuss

∂∂

−=∂

+∂∂ φφφ su B2 (8)

La soluzione del problema (6)-(8) può essere ottenuta impiegando una funzione ammissibile

3  

( )y,x∗ϕ tale che:

( )∫ =Ωϕφ∇Ω

∗ 02 ds (9)

Usando il teorema di Green e le condizioni al contorno (7)-(8), l’equazione (9) può essere ri-scritta nella forma

                                                 

(1)

dove B2 descrive la linea della superficie libera dei due settori bidimensionali di Ω (Fig. 2).

Utilizzando il metodo di Galerkin, si ottiene:

( ) ( ) qN =∑=φ=

N~

nnns y,xNtq

1 (11)

( ) ∗

=

∗∗ =∑=ϕ qNy,xNq nN~

nn

1 (12)

dove: ( )y,xNn è una funzione assegnata; è la matrice delle funzioni ( )yxNn , ; q è il vettore co-lonna delle funzioni ( )tqn incognite; il punto indi-ca la derivata rispetto al tempo; ∗q è un vettore arbitrario; N~ è l’ordine della funzione approssi-mante. La funzione ( )y,xNn è definita come:

( ) θ=θ nsinr,rN nn (13)

Dalle equazioni precedenti si ricavano le se-guenti espressioni:

qB=∇φ (14)

(15)

essendo la matrice degli operatori. Sostituendo le equazioni (11)-(15) nella (10) e

considerando un vettore arbitrario ∗q si ottiene il sistema di equazioni differenziali del secondo or-dine:

X γKqqM −=+ (2)

dove:

∫=2

21B

T dBg

NNM (17)

∫ Ω=Ω

dTBBK (18)

∫=2

21B

TdBxg

Nγ (19)

essendo x lo spostamento in direzione trasversale. Il sistema di equazioni (2) può essere integrato

direttamente e fornisce la funzione ( )tqn . Le frequenze proprie di sloshing e i corrispon-

denti autovettori sono calcolati a partire dalla so-luzione del problema delle vibrazioni libere

, Nk ~,...,2,1= (3)

dove kω è la frequenza di sloshing corrisponden-te alla k-esima forma modale kψ .

Se per risolvere l’equazione (2) si utilizza l’analisi modale, le equazioni del moto vengono trasformate in un sistema di equazioni differen-ziali disaccoppiate. Ponendo:

∑==

NM

kkkY

1Ψq (4)

si ottiene infatti il sistema di equazioni differen-ziali

XYKYM kkkkk γ−=+ NM,...,,,k 321= (22)

dove NM è il numero di modi considerato, con N~NM ≤ , e, per NM,...,,,k 321= :

[ ] kTkkM ΨMΨ= (23)

[ ] kTkk KK ΨΨ= (24)

γΨTkk =γ (5)

Le frequenze relative ai modi di vibrare di slo-shing si calcolano con l’espressione

k

kk M

K=ω2 (26)

Si può anche includere lo smorzamento intro-ducendo un appropriato fattore kξ , tale che, per

NM,...,,,k 321=

( )XMYY kkkkkk γ−=ωξ+ 2 (27)

La pressione idrodinamica agente sulle pareti del serbatoio e associata al moto del liquido può essere calcolata direttamente dal potenziale ϕ at-traverso l’equazione di Bernoulli: φρ−= p .

La risultante dell’azione idrodinamica agente sulle pareti del serbatoio si ottiene per integrazio-ne della pressione sulla superficie bagnata del contenitore nella direzione dell’azione sismica:

4  

( )∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂φ∂

+∂φ∂

ρ−=1

1B

xsu dBtt

F ne (28)

La risultante dell’azione idrodinamica può es-sere vista come la somma di una forza associata al moto uniforme:

( )∫ −=∂φ∂

ρ−=1

1B

Lxu

u XMdBt

F ne (29)

con LM massa totale del liquido, e di una forza associata allo sloshing

( ) ∑−=∫∂φ∂

ρ−==

NM

kkk

Bx

ss YLdB

tF

11

1

ne (30)

dove

βΨTkkL ρ= NM,...,,,k 321= (6)

(7)

Utilizzando il cambio di variabili:

k

kkkMYaγ

= NMk ,...,3,2,1= (8)

Xau kk += NMk ,...,3,2,1= (9)

l’equazione del moto del fluido diventa

Xaaa kkkkkk −=ω+ωξ+ 22 (35)

ovvero

( ) ( ) 02 2 =−+−+ XuXuu kkkkkk ωωξ (36)

L’equazione (35) permette di valutare il moto relativo del liquido rispetto al serbatoio, mentre l’equazione (36) il moto assoluto del liquido.

La risultante dell’azione idrodinamica diventa

∑ −−==

NM

kLkkC XMaMF

1

(37)

dove kCM è la massa partecipante al modo di vi-brare

k

kkkC M

LM γ= (3810)

La forza F è quindi formata da due componen-ti, una impulsiva:

XMF II−= (39)

con:

∑−==

NM

kkCLI MMM

1 (40)

e una convettiva:

∑=

−=NM

kkCkC uMF

1

(41)

Le equazioni (38)-(41) permettono di dedurre che la massa totale è la somma: -­‐ delle masse convettive o “sloshing masses”

MkC, che corrispondono ai modi di sloshing, e quindi al moto del fluido dovuto all’innalza-mento della superficie libera;

-­‐ della massa impulsiva MI, che è la massa del fluido che segue il moto del serbatoio. A FC e FI si aggiunge la forza d’inerzia dovuta

alla massa del serbatoio: XMF serbserb−= (42)

In definitiva la forza totale agente sul serbatoio è data dalla somma di tre contributi:

serbICTOT FFFF ++= (43) Il problema è rappresentato dal modello mec-

canico equivalente semplificato, relativo al primo modo di sloshing, riportato in Fig. 3. ( )tXy =2 rappresenta l’input, e ( )tuy 11 = il moto assoluto della massa del fluido associata allo sloshing. La massa totale del liquido ML viene divisa in due parti m1 e m2, che corrispondono a y1 e y2 e rap-presentano la massa convettiva e la massa impul-siva. Se alla massa impulsiva MI si aggiunge quella del serbatoio Mserb, m2 =MI + Mserb.

Figura 3. Modello semplificato equivalente del serbatoio.  

2.2 Analisi modale

Il problema agli autovalori è stato risolto per valori crescenti del grado della funzione di forma n. La convergenza è monotona e rapida. I periodi propri di sloshing sono riportati in Tabella 1. Si rileva che: -­‐ per n = 6 si ottiene un valore del primo periodo

di sloshing in direzione trasversale sufficien-temente accurato;

-­‐ per n = 16 i primi tre periodi dei modi di slo-

5  

shing sono ben determinati; -­‐ aumentando il grado della funzione di forma i

risultati migliorano a spese di un calcolo più oneroso.

Tabella 1. Periodi propri dei modi di sloshing.

n T1 (s) T2 (s) T3 (s) 2 1.6939 - - 4 1.7222 0.6164 - 6 1.7229 0.8979 0.2439 8 1.7229 0.9287 0.5928 10 1.7229 0.9302 0.6995 12 1.7229 0.9302 0.7156 14 1.7229 0.9302 0.7173 16 1.7229 0.9302 0.7174 18 1.7229 0.9302 0.7174 20 1.7229 0.9302 0.7174

I risultati di un’analisi parametrica eseguita al

variare del rapporto H/2R per n = 12 sono riporta-ti in Tabella 2 e Tabella 3. La massa modale dei primi tre modi di vibrare è calcolata tramite l’espressione (3810). Si fa riferimento alla massa partecipante totale dovuta ai modi di sloshing e si assume: ∑= kCC MM

Tabella 2. Periodi propri del primo modo di sloshing.

H/2R 0.10 0.30 0.50 0.70 0.90 T1 (s) 1.96 1.86 1.72 1.52 1.15

Tabella 3. Massa modale partecipante allo sloshing (in %).

H/2R M1C /MC

M2C/MC

M3C /MC

M1C /ML

M2C /ML

M3C /ML

0.10 99.85 0.15 0.01 94.04 0.14 0.01 0.30 98.85 1.01 0.18 77.12 0.79 0.14 0.50 96.94 2.44 0.62 57.97 1.46 0.37 0.70 93.89 4.70 1.41 35.01 1.75 0.53 0.90 88.40 8.67 2.93 9.36 0.92 0.31

Tabella 4. Rapporti di massa convettiva e impulsiva al va-riare del grado di riempimento.

H/2R MC/ML MI/ML 0.10 93.18 6.82 0.30 78.04 21.96 0.50 59.80 40.20 0.70 37.29 62.71 0.90 10.59 89.41

Si vede come il primo modo di vibrare sia

quello che in termini di partecipazione di massa

modale ha la maggiore influenza. In Tabella 4 sono riportati i valori dei rapporti

tra le masse convettiva e impulsiva al variare del grado di riempimento. Si rileva che: -­‐ se il serbatoio è quasi pieno, la massa del li-

quido tende a comportarsi come una massa impulsiva e gli effetti dello sloshing tendono ad annullarsi;

-­‐ se il serbatoio è quasi vuoto, la massa del li-quido si comporta come una massa convettiva e gli effetti dello sloshing sono rilevanti;

-­‐ nel caso di serbatoio riempito a metà ci si tro-va in una situazione intermedia nella quale so-no riscontrabili gli effetti sia dello sloshing (per circa il 60%) sia della massa impulsiva (per circa il 40%).

2.3 Modello piano longitudinale

È stato dimostrato sperimentalmente (Kobaya-shi et al. 1989) che gli effetti dello sloshing in un serbatoio cilindrico soggetto ad un’azione sismica applicata in direzione longitudinale sono uguali a quelli che si manifestano in un serbatoio rettango-lare equivalente, che ha le stesse dimensioni della superficie libera del serbatoio cilindrico e che contiene lo stesso volume del liquido.

Inizialmente l’equivalenza è stata dimostrata per serbatoi cilindrici con altezza del fluido pari alla metà del diametro totale del cilindro (Papa-spyrou et al. 2004a); solo di recente è stata estesa ad altezze variabili del riempimento (Platyrrachos e Karamanos 2005).

Figura 4. Equivalenza tra serbatoio cilindrico e rettangolare.

Il criterio adottato è detto del ‘rettangolo equi-valente’. Per calcolare l’altezza Heq del rettangolo equivalente si fa riferimento alla Figura 4. Si ot-tiene la seguente espressione, funzione del raggio del serbatoio cilindrico R e del livello di riempi-mento H:

( ) ( )[ ]( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

π+−+−=

−

HRHRRHsinRRHHeq

22

221 12

(44)

Una volta stabilita l’equivalenza tra il serba-toio cilindrico e quello di forma rettangolare si

6  

possono usare le seguenti espressioni per calcola-re le frequenze di sloshing e le masse convettive corrispondenti:

)tanh(2

LHkLRk

gR

eqk ππ

ω⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ,...3,2,1=k (45)

( )( )( )3tanh8

π

π

kLHLHk

MM

eq

eq

L

kC = ,...3,2,1=k (46)

Figura 5. Schema del serbatoio rettangolare equivalente.

 Utilizzando la seguente espressione del moto

Zddd kkkkkk −=ω+ωξ+ 22 (47)

si può calcolare la forza totale TF

serbk

kkCLT FdMZMF +−−= ∑∞

= ,...3,2,1

(48)

essendo serbF calcolato come per il modello tra-sversale semplificato. Per il caso tipico 81=LR qui considerato, i valori di altezza equivalente Heq in funzione dell’altezza del liquido all’interno del serbatoio sono riportati in Tabella 5.

Tabella 5. Altezza equivalente in funzione del livello di riempimento.

H (m) 0.20 0.60 1.00 1.40 1.80 Heq (m) 0.14 0.43 0.79 1.28 2.48

Tabella 6. Periodo proprio e masse convettive e impulsive al variare del livello di riempimento.

H/2R Heq/2R T1 (s) MC/ML MI/ML 0.10 0.07 13.84 93.08 6.92 0.30 0.21 7.80 91.23 8.77 0.50 0.39 5.85 87.59 12.41 0.70 0.64 4.70 81.52 18.48 0.90 1.24 3.69 66.17 33.83

Le frequenze longitudinali del serbatoio sono calcolate tramite l’espressione (44) e riportate in Tabella 6 al variare del livello di riempimento.

In Tabella 7 sono riportate le masse modali re-lative ai primi tre modi di sloshing calcolate tra-mite l’espressione (46).

Tabella 7. Masse modali partecipanti (in %).

H/2R M1C /MC

M2C/MC

M3C/MC

M1C /ML

M2C /ML

M3C /ML

0.10 87.00 9.59 3.41 80.98 8.93 3.17 0.30 88.01 9.10 2.89 80.29 8.30 2.64 0.50 89.71 8.09 2.19 78.58 7.09 1.92 0.70 91.81 6.64 1.56 74.84 5.41 1.27 0.90 94.36 4.62 1.01 62.44 3.06 0.67

Analizzando i risultati riportati in Tabella 6 e

Tabella 7 si possono fare le seguenti considera-zioni: -­‐ se il serbatoio è quasi pieno, la partecipazione

di massa relativa ai modi di sloshing tende a diminuire;

-­‐ se il serbatoio è quasi vuoto, la massa del li-quido si comporta come una massa convettiva e gli effetti dello sloshing sono più accentuati;

-­‐ il primo modo di sloshing è sempre il più si-gnificativo in termini di massa modale parteci-pante.

3 MODELLO COMPLETO

Per verificare l’affidabilità dei risultati dei modelli semplificati si è analizzato un modello tridimensionale di serbatoio cilindrico ad asse orizzontale implementato in “Ansys 11”.

L’elemento utilizzato nella modellazione è il Solsh190, adatto per modellare superfici curvili-nee; lo spessore delle pareti è pari a 0.02 m.

Il liquido, rappresentato da acqua, è modellato mediante l’elemento Fluid80, utilizzato per rap-presentare l’interazione fluido-struttura.

I volumi ottenuti dall’unione di più superfici curvilinee sono discretizzati tramite una mesh di dimensioni 0.02 m, di tipo quadrilatera, adattabile agli elementi Fluid80 e Solsh190. Si fa riferimen-to ad un’altezza del liquido H = 1 m, quindi ad un rapporto H/2R = 0.5. In Figura 6 e in Figura 7 so-no riportate le mesh impiegate per modellare le pareti del serbatoio e il liquido.

Il serbatoio viene vincolato esternamente pri-ma delle calotte sferiche. I nodi al contatto tra li-quido e serbatoio sono modellati in modo da ri-spettare le condizioni al contorno: un nodo del fluido può scorrere sulla parete del serbatoio e

7  

può staccarsi da essa. I nodi nel fluido sono posi-zionati sui nodi della superficie libera in direzione verticale e sui nodi al contatto tra fluido e serba-toio in direzione ortogonale ai due elementi.

Le frequenze relative ai modi di sloshing sono calcolate tramite l’analisi modale con il metodo di riduzione. Questo metodo utilizza un numero ri-dotto di gradi di libertà per formulare la matrice di massa e di rigidezza del sistema.

Figura 6. Mesh rappresentativa delle pareti del serbatoio.

Figura 7. Mesh rappresentativa del riempimento.

Rispetto ai modelli bidimensionali, si indivi-duano nuove frequenze che non possono essere evidenziate dai modelli piani. Ad esempio, il pri-mo modo di vibrare con un periodo T = 11.11 s (cfr. Tabella 8) riguarda il moto del liquido nelle semisfere; la partecipazione di massa modale è comunque molto bassa, e quindi non incide sul risultato finale.

Si possono fare le seguenti considerazioni: -­‐ il primo modo di sloshing significativo in dire-

zione longitudinale è il secondo modo di vi-brare; il periodo corrispondente è pari a 6.25 s;

-­‐ il primo modo di sloshing in direzione trasver-sale è il sesto modo di vibrare; il periodo corri-spondente è pari a 1.69 s.

In Tabella 8 sono riportati i periodi e alcune caratteristiche dei primi dieci modi di vibrare di sloshing. Nelle Figure 8-10, si riportano deforma-te relative ai primi sei modi di vibrare di sloshing.

Tabella 8. Modi di vibrare di sloshing.

Modo di vibrare T (s) Direzione MCtrasv/

ML MClong/

ML 1 11.11 tors 1.24 0.00 2 6.25 long 0.00 80.98 3 3.23 long 0.04 2.01 4 2.27 long 0.00 7.10 5 1.82 long 0.08 0.00 6 1.69 trasv 53.11 0.00 7 1.67 tor 0.00 0.00 8 1.61 tor 4.00 0.00 9 1.59 long 0.00 4.47

10 1.54 tor 0.00 0.00

Come si può vedere gran parte della massa del

liquido, circa il 53.11%, partecipa nel sesto modo di vibrare, che ha T = 1.69 s, ed è il primo modo in direzione trasversale.

Nel modello tridimensionale, al moto in dire-zione trasversale partecipano una serie di modi di vibrare di tipo torsionale che non sono presenti nel modello semplificato; l’ottavo modo di vibra-re partecipa con una percentuale pari al 4.00%.

Nel modello trasversale semplificato, il primo modo di vibrare di sloshing ha un periodo di 1.72 s con una variazione rispetto al modello agli ele-menti finiti dell’1.76%. La partecipazione di mas-sa modale è del 58% contro il 53.11% con una variazione dell’8.43%.

Nel modello longitudinale semplificato, il pri-mo modo di vibrare di sloshing ha un periodo di 5.85 s con una variazione rispetto al modello agli elementi finiti del 6.40%. La partecipazione di massa modale è dell’87.59% contro l’80.98% con una variazione del 7.54 %.

Quindi, nel modello tridimensionale: -­‐ gli effetti di bordo producono una variazione

delle masse modali partecipanti; -­‐ la variazione è anche dovuta alla presenza di

modi di vibrare torsionali che partecipano al moto in direzione trasversale.

3.1 Valutazione della risposta sismica

Per valutare la risposta sismica è stata eseguita l’analisi considerando il serbatoio soggetto ad un accelerogramma registrato nel terremoto di El Centro (1940).

8  

Figura 8. Primo modo di vibrare di sloshing.

Figura 9. Secondo modo di vibrare di sloshing.

Figura 10. Terzo modo di vibrare di sloshing. Figura 11. Quarto modo di vibrare di sloshing.

Figura 8. Quinto modo di vibrare di sloshing. Figura 9. Sesto modo di vibrare di sloshing.

La forza totale alla base del serbatoio è riporta-

ta in Figura 14. La forza totale massima è pari a 50.31 kN e si manifesta all’istante t = 4.54 sec. Analizzando la deformata nell’istante in cui si raggiunge la forza totale massima (Fig. 15) si ri-leva che è simile a quella corrispondente al primo modo di vibrare.

L’andamento delle tensioni di Von Mises è ri-

portato in Figura 16. Come si può vedere la ten-sione massima si registra ai bordi del serbatoio, vicino agli appoggi, e vale 1.60 MPa. La zona meno sollecitata è la parte superiore. Per sfruttare meglio il materiale si potrebbe ridurre lo spessore del serbatoio, ma nel caso di materiali diversi dall’acqua si potrebbe andare incontro a fenomeni di corrosione.

9  

Figura 14. Andamento della forza totale agente alla base del serbatoio.

 Figura 10. Deformata a t = 4.54 s.  

 Figura 11. Tensioni massime nelle pareti del serbatoio.

3.2 Isolamento alla base

Per ridurre il rischio sismico del serbatoio, si sceglie di isolarlo alla base tramite degli isolatori HDRB, costituiti da strati alterni di acciaio e gomma. Si fissa un periodo di isolamento TIS = 3 s, con un coefficiente di smorzamento ξ = 10%. L’isolamento è progettato considerando l’intero sistema equivalente ad un sistema ad un grado di libertà, in quanto il primo periodo di sloshing è vicino al periodo di isolamento.

La massa utilizzata per il progetto è pari a:

MTOT = MI + Mserb + MC = 20846 kg. In relazione all’analisi modale si possono fare

le seguenti considerazioni: -­‐ il primo modo di vibrare trasversale, per il

modello isolato alla base, è il quinto modo e ha un periodo T = 2.33 s. Nel modello non isolato il periodo del primo modo in direzione trasver-sale è di T = 1.69 s;

-­‐ il primo periodo proprio di vibrare in direzione trasversale passa dal sesto modo del modello non isolato al quinto modo del modello isolato alla base;

-­‐ gli altri modi di vibrare non subiscono delle variazioni significative nei rispettivi periodi propri. Il serbatoio cilindrico isolato alla base viene

sottoposto all’accelerogramma di El Centro: si confrontano i risultati con quelli ottenuti per il modello non isolato. In particolare, in Figura 17 è rappresentata in blu la forza totale nel serbatoio a base fissa e in verde la forza totale nel serbatoio isolato alla base. La forza totale massima passa da 50.31 kN a 16.98 kN con una riduzione del 66.25%.

Si può quindi affermare che l’isolamento alla base è un buon metodo per contenere gli effetti dell’azione sismica anche nei serbatoi ad asse orizzontale.

In casi diversi da quello esaminato, rimarrebbe comunque da controllare l’entità del possibile in-cremento dell’altezza dell’onda di sloshing che si dovrebbe verificare per la vicinanza tra il periodo di isolamento e quello del primo modo di slo-shing.

 Figura 17. Forza totale del serbatoio a base fissa (in blu) e forza totale del serbatoio isolato alla base (in verde).

La stessa analisi è ripetuta considerando l’azione sismica agente in direzione longitudina-le. In questo caso la massa di progetto per l’isolamento non è data dalla somma dei tre con-tributi: infatti il primo periodo di sloshing (T = 6.25 s) è sufficientemente distante dal periodo di isolamento (TIS = 3 s) e non risulta particolarmen-

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te influenzato. I risultati delle analisi svolte, ana-loghi a quelli già illustrati, non sono qui riportati.

4 CONCLUSIONI

Sono stati esaminati due modelli piani per la valutazione della risposta sismica di un serbatoio ad asse orizzontale; l’azione sismica è applicata in direzione trasversale o in direzione longitudi-nale.

Per entrambi i modelli il primo modo di slo-shing è il più significativo in termini di massa partecipante; di conseguenza, in una prima analisi è possibile trascurare i modi superiori al primo, poco rilevanti.

Il ricorso ai modelli semplificati rappresenta una tecnica utile per individuare le caratteristiche dei singoli modi di sloshing e per una prima stima dell’intensità delle forze agenti sulle pareti e alla base del serbatoio.

L’isolamento sismico è uno strumento efficace per ridurre gli effetti del sisma, limitando i guasti e le perdite di funzionalità degli impianti.

Anche in questo ambito, poiché forniscono i valori dei periodi propri e le percentuali di massa convettiva e impulsiva, i modelli semplificati consentono un’analisi preliminare del problema, evitando l’impiego di modelli tridimensionali agli elementi finiti che sono onerosi da un punto di vi-sta computazionale.

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