variace bez opakovÁnÍ i.část
DESCRIPTION
12. září 2012VY_32_INOVACE_110203_Variace_bez_opakovani_I.cast_DUM. VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ I.část. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Daniel Hanzlík. Obchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Daniel Hanzlík.Obchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace.
Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám,registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.
VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍI.část
12. září 2012 VY_32_INOVACE_110203_Variace_bez_opakovani_I.cast_DUM
Pojem variace bez opakování
V kombinatorice se pojem variace bez opakování definuje následovně:
k-členná variace z n prvků je každá uspořádaná k-tice (tj. k-tice, v níž záleží na pořadí prvků) vytvořená pouze z těchto n prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje nejvýše jednou.
obr.1
Vzorec pro počet variací pomocí faktoriálu:
Poznámka 1:
Označení V(k,n) čteme: „variace k-té třídy z n prvků“
Poznámka 2:
n-faktoriál se definuje jako:
!
( , )!
nV k n
n k
! ( 1) ( 2 ) . . . ( 1)n n n n n k
obr.1
2. vzorec pro počet variací
Pro k,n N0; k n platí:
( , ) ( 1) ( 2) ... 1V k n n n n n k
obr.1
Variace bez opakování
Objevuje se otázka:
V jakých matematických úlohách lze
s variacemi pracovat ?
obr.3
Variace bez opakování
Na tuto otázku lze odpovědět:
Jedná se o široký rozsah matematických úloh – na úpravu výrazů s variacemi, na rovnice s variacemi, na úlohy o přirozených číslech i na úlohy z praktického života.
Tato prezentace pojednává v kostce o využití variačního vzorce v šesti kombinatorických úlohách.
obr.1
Úloha 1
Napište všechny variace třetí třídy ze 4 prvků:
♥,□,●, ♪ a určete jejich počet.
obr.2
Řešení úlohy 1 Při určování počtu všech variací třetí třídy z uvedených 4 prvků si
všechny tyto variace zapíšeme:
♥, □, ●, ♪ □, ♥, ●, ♪ ●, ♥, □, ♪ ♪, ♥, □, ●
♥, □, ♪, ● □, ♥, ♪, ● ●, ♥, ♪, □ ♪, ♥, ●, □
♥, ●, □, ♪ □, ●, ♥, ♪ ●, □, ♥, ♪ ♪, □, ♥, ●
♥, ●, ♪, □ □, ●, ♪, ♥ ●, □, ♪, ♥ ♪, □, ●, ♥
♥, ♪, □, ● □, ♪, ♥, ● ●, ♪, ♥, □ ♪, ●, ♥, □
♥, ♪, ●, □ □, ♪, ●, ♥ ●, ♪, □, ♥ ♪, ●, □, ♥Každý ze 4 znaků je ve variaci uvedený nejvýše jednou.
Po sečtení všech uspořádaných čtveřic docházíme k výsledku 24.
Řešení úlohy 1
K vyřešení úlohy 1 lze taky využít oba vzorce pro počet variací:
Podle 1. vzorce s využitím faktoriálu:
n=4
k=3
Podle 2. vzorce:
4! 24
(3, 4) 244 3 ! 1
V
(3 , 4 ) 4 3 2 2 4V
obr.1
Úloha 2
Pět kamarádů si slíbilo, že si vzájemně předají o Vánocích dárky. Kolik dárků bylo mezi nimi rozdáno?
obr.5
obr.4
Řešení úlohy 2
Každý z pěti kamarádů předává dárek dalším čtyřem, tj. dává 4 dárky.
Úloha se dá řešit logicky: 5 . 4 = 20 dárků
S využitím variačního vzorce se úloha řeší následovně:
n= 5 (počet prvků = kamarádů),
k =2 (ozn. třídy = dvojice kamarádů)
( 2 , 5 ) 5 4 2 0V
obr.1
Úloha 3
Vypočtěte:
a rozhodněte, zda řešení je:a) - 180b) - 156c) - 24d) 0
2 (2,4) 3 (3,5)V V
obr.2
Řešení úlohy 3
S využitím 2. variačního vzorce výraz upravíme a vypočítáme:
Správná možnost: b
2 (2 , 4 ) 3 (3, 5 ) 2 4 3 3 5 4 3 24 180 156V V
obr.1
Úloha 4
Vypočtěte:
a rozhodněte, zda řešení je:a) 81b) 61c) 51d) 31
(4,4) (2,3) 3 (1,7)V V V
obr.2
Řešení úlohy 4
S využitím 2. variačního vzorce výraz upravíme a vypočítáme:
Správná možnost: c
(4, 4) (2,3) 3 (1,7) 4 3 2 1 3 2 3 7
24 6 21 51
V V V
obr.1
Úloha 5
Řešte rovnici:
(2, 4) 6V x
obr.2
Řešení úlohy 5
Levou stranu rovnice si nejprve upravíme podle vzorce:
Z Viétových vzorců dostaneme řešení kvadratické rovnice:
(2, 4) 6V x 4 5 6x x
2
2
9 20 6
9 14 0
x x
x x
1 2
1 2
14
9
x x
x x
1 27; 2x x
obr.1
Řešení úlohy 5
O správnosti řešení se přesvědčíme zkouškou:
Pro n = - 2 nejsou variace definovány.
Kořen nevyhovuje.
Řešení rovnice je:
(7) (2,7 4) (2,3) 3 2 6
(7) 6
(7) (7)
(2) (2,2 4) (2, 2)
L V V
P
L P
L V V
2 2x
7x
obr.1
Úloha 6
Řešte rovnici:
(2, 2) 90V x
obr.2
Řešení úlohy 6
Levou stranu rovnice si nejprve upravíme podle vzorce:
Z Viétových vzorců dostaneme řešení kvadratické rovnice:
(2, 2) 90V x
( 2) 1 90x x 2
2
3 2 90
3 88 0
x x
x x
1 2
1 2
88
3
x x
x x
1 28; 11x x
obr.1
Řešení úlohy 6
O správnosti řešení se přesvědčíme zkouškou:
Pro n = - 15 nejsou variace definovány.
Kořen nevyhovuje.
Řešení rovnice je:
(8) (2,8 2) (2,10) 10 9 90
(8) 90
(8) (8)
( 11) (2, 11 4) (2, 15)
L V V
P
L P
L V V
11x
8x
obr.1
Variace bez opakování
Další využití variací bez opakování je možné v kombinatorických úlohách o počtu různých přirozených čísel bez opakování číslic nebo v příkladech na počet prvků, ze kterých se variace tvoří.
O tom všem pojednává výukový materiál:
VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ – 2.část
Citace zdrojů
Použitá literatura 1) HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z
matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s. r. o., 2000, s. 197, 200. ISBN 80-7196-165-5.
Citace zdrojůPoužité obrázky 1) People - Stick Figures - Stick sm 010 - Public Domain Clip Art [online]. [cit.
2012-09-12]. Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/albums/People__Stick_Figures/Stick_sm_010.png
2) People - Stick Figures - Stick sm 005 - Public Domain Clip Art [online]. [cit. 2012-09-12]. Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=93&pos=32
3) People - Stick Figures - Stick sm 012 - Public Domain Clip Art [online]. [cit. 2012-09-12]. Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/albums/People__Stick_Figures/Stick_sm_012.png
4) Holiday - Christmas - christmas Carolers 6 - Public Domain Clip Art [online]. [cit. 2012-09-12].. Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/albums/Holiday_and_Celebration__Christmas/christmas_Carolers_6.png
5) Holiday - Christmas - christmas Ornaments005 - Public Domain Clip Art [online]. [cit. 2012-09-12]. Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/albums/Holiday_and_Celebration__Christmas/christmas_Ornaments005.png
Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint 2010.
Konec prezentace.
Děkuji Vám za pozornost.
Mgr. Daniel Hanzlík