vibracion libre

VIBRACIÓN LIBRE

Detalles

Pág

.Sistema de un solo grado de

libertad........................................................................................3

Movimiento armónico.............................................................................................................. 4Ecuación del movimiento - frecuencia

natural.........................................................................5

Péndulo simple......................................................................................................................... 11Péndulo compuesto o péndulo

físico........................................................................................13

Combinación de resortes.......................................................................................................... 16En paralelo................................................................................................................................ 16En serie..................................................................................................................................... 18Método de la energía................................................................................................................ 24Método Newton........................................................................................................................ 27Método de Rayleigh................................................................................................................. 28Vibración forzada sin

amortiguamiento...................................................................................41

Tipos de

amortiguamiento........................................................................................................46

Vibración libre

amortiguada.....................................................................................................47

Sistema con amortiguamiento crítico....................................................................................... 48Movimiento sub-

amortiguado..................................................................................................50

Movimiento sobre-

amortiguado...............................................................................................52

Sistema de un solo grado de libertad.

Muchos sistemas pueden vibrar en más de una manera y dirección. Si un sistema está restringido

a vibrar de una manera o necesita solo una coordenada independiente para determinar por

“Vibración Libre” Página: 3

Facultad de Ciencias y TecnologíaIngeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas

completo la localización geométrica de las masas del sistema en el espacio, este es un sistema de

un solo grado de libertad.

Por Ej.:

Movimiento armónico.

El movimiento oscilatorio puede repetirse a si mismo regularmente, como es el caso de un

balancín de reloj o desplegar considerable irregularidad, como es el casos de los movimientos

sísmicos.

Cuando el movimiento se repite a intervalos de tiempo “t”, se le llama PERIÓDICO donde “τ” es

el periodo de oscilación.

Si se designa el movimiento por x(t), todo movimiento periódico debe satisfacer la relación:

x(t) = x(t + τ)

El movimiento periódico más simple es el MOVIMIENTO ARMÓNICO. Este movimiento

puede ilustrarse por medio de una masa suspendida de un resorte liviano (Ver Fig.) Si la masa se

desplaza de su posición de reposo y se la libera, oscilará hacia arriba y abajo; si se coloca una

fuente de luz en la masa, su movimiento puede ser registrado en una tira de película sensible a la

luz que es movida a velocidad constante.

Este movimiento registrado en la película

puede representarse por medio de la ecuación:

τπ t

Asenx 2=



m

K c

x F

senw

t0

J

K

m

x

K

m

K

t

xA

Donde :

A = Amplitud de oscilación, medida desde

su posición de equilibrio.

τ = Periodo y se repite cuando τ=t

Ecuación del movimiento – frecuencia natural.

El sistema oscilatorio más simple consta de una masa y un resorte (Fig.). Se supone despreciable

la masa del resorte cuya rigidez es K (N/m). Note que el sistema tiene un grado de libertad, ya

que su movimiento está descrito por una coordenada “x”.

Cuando se pone en movimiento, la oscilación tendrá lugar a la frecuencia natural que es una

propiedad del sistema.

La segunda ley de Newton es la primera base para examinar el movimiento del sistema.

La posición del equilibrio estático:

mgK =δ (1)

Si se desplaza un “x” a partir del equilibrio estático, las fuerzas que actúan son:

En el resorte ( )xK +δ

Debido al peso mgW =

Si se toma a “x” como positivo hacia abajo, entonces todas las cantidades, fuerza, velocidad y

aceleración son también positivas por estar dirigidas hacia abajo.

( ) xmxKmg =+− δ

xmKxKmg =−− δ

Según (1) mgK =δ



m

K

m

m

x

0,7

1

K

mg

mg

K(G + x)

Posición de

Equilibrio estáticoesforzada

Posición no

x x

xmKxKgm =−//−//⇒ δ

Por tanto: 0Kxxm =+ (2)

Note que el hecho de haber elegido como referencia la posición de equilibrio estático a la medida

“x”, ha eliminado a la fuerza debida a la gravedad ( )mgW = y a la fuerza estática del resorte

( )δKF = de la ecuación del movimiento (Ver ecuación (2)) y la fuerza resultante es solamente

debida al desplazamiento “x”.

0Kxxm =+ [ ]m÷

0xm

Kx =+ (3)

La frecuencia natural circular 2nω será:

m

K2n =ω

La ecuación (3) queda por tanto:

0xx 2n =+ ω (4)

El movimiento definido por la ecuación (4) se llama “Movimiento Armónico Simple” y se

caracteriza porque la aceleración es proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto.

Note que tcos,tsen ωω satisfacen la ecuación; por tanto constituyen soluciones particulares.

La solución a esta ecuación es de la forma:

stex = (5)

Derivando dos veces:stsex = (6)

st2esx = (7)

Reemplazando (5) y (7) en (4)

0ees st2st2 =+ ω

( ) 0se 22st =+ ω

is0s 22 ωω ±=⇒=+

Como: ti2

ti1 eses ωω −=∧= son soluciones linealmente independientes

Entonces ti22

ti11 eCseCs ωω −=∧= también son soluciones

Y también será: ti2

ti1 eCeCx ωω −+= (8)



Pero: tsenitcose ti ωωω += (9)

tsenitcose ti ωωω −=− (10)

(9) y (10) en (8)

( ) ( )tsenitcosCtsenitcosCx 21 ωωωω −++=

tsenCtcosCtseniCtcosCx 2211 ωωωω −++=

( ) ( ) tcosCCtseniCiCxB

21

A

21 ωω

++−=

tcosBtsenAx ωω += (11)

Donde: A, B son constantes a determinarse por condiciones de contorno.

Suponiendo que:

0=tp

0xx = Condiciones de contorno

0=tp

0xx = o Condiciones iniciales

Derivando (11)

tsenBtAx ωωωω −= cos (12)

Reemplazando las condiciones de contorno en (11) y (12) se obtiene las cts.. A y B

En (11) 00 0cos0 xBBAsenx =⇒+=

En (12)ω

ωω 00 00cos

xAsenBAx

=⇒−=

Reemplazando las cts. A y B en (11)

txtsenx

x ωωω

cos00 +=

Dondem

K=ω frecuencia natural circular

El periodo natural de oscilación es:

=

t

θω pero: τπθ =⇒= t2

Por tanto:ωπτπωτ 2

2 =⇒= o también: K

mπτ 2=

La frecuencia natural: ff n =

⇒=τ1

f



m

Kf

π2

1=

Estas cantidades pueden expresarse en función a la deflexión o deformación estática δ ya que:

δδ mg

KmgK =⇒=

Reemplazando en estas últimas ecuaciones:

* Frecuencia natural circular:δ

ωδω g

m

m g

=⇒=

* Periodo natural:g

δπτωπτ 2

2 =⇒=

* Frecuencia natural: δπτg

ff2

11 =⇒=

La solución general también puede obtenerse multiplicando las dos soluciones particulares

ttsen ωω cos∧ por cts.. arbitrarias y sumándolas, es decir:

tBtAsenx ωω cos+= (a)

tsenBtAx ωωωω −= cos (b)

tBtsenAx ωωωω cos22 −= (c)

(a) y (c) en (4)

0coscos2

2222 =++−− xx

tBtAsentBtsenAω

ωωωωωωωω

Cumple la igualdad, por tanto es solución de (4) la ecuación (a)

Como esta expresión contiene 2 cts. arbitrarias A y B, la solución obtenida (a) es la solución

general y A y B dependen de las condiciones iniciales.



t

Xm

x

t

Xm

wt wt

B

P

A

O

Las expresiones del desplazamiento velocidad y aceleración obtenidas para una partícula, pueden

escribirse en forma más compacta si nota que (a) expresa el desplazamiento x = OP como la suma

de las componentes en “x” de los vectores A y B respectivamente.

Note que la magnitud de OQ es igual a la amplitud mx

El M.A.S. de “P” a lo largo del eje “x” puede obtenerse proyectando sobre este eje el movimiento

de un punto “Q” que describe un círculo de radio mx con una velocidad angular constante “ω ”.

Representando por “φ” el ángulo formado por los vectores OQ y A, se escribe:

( )φω += tOQsenOP

Que conduce a otras formas de expresión del desplazamiento, velocidad y aceleración.

( )φω += tsenxx m

( )φωω += txx m cos

( )φωω += tsenxx m2

Ejm. Una masa de ¼ Kg. está suspendida de un resorte, cuya rigidez es 0.1533 N/mm. Determine

su frecuencia natural en ciclos por segundo. Calcule la deflexión estática y verifique la frecuencia

natural.

=

=

m

N3.153

m1

mm1000

mm

N1533.0K

a) Frecuencia natural Kg25.0

mN3.153

2

1

m

K

2

1f

ππ== [ ]Hz

seg

ciclos94.3f =

b) La deflexión estática mgK =δ 3.153

81.925.0

K

mg ∗==δ [ ]m016.0=δ

[ ] [ ]mm981.15m015981.0 ==δ

Ejm. Determinar la frecuencia natural de la masa “M” en el extremo de un voladizo de masa

despreciable.

Primero se encuentra la deformación de la viga en el extremo (Donde está la carga).



m

y

LM

P

x

M = PL

( )LxPPLPxdx

ydEI

2

2

−=−=

( ) 12 CLx

2

P

dx

dyEI +−=

( ) 213 CxCLx

6

PEIy ++−=

Por condiciones de contorno:

0x

P = y = 0( )

2

3

C6

LP0 +−= 3

2 PL6

1C =

0x

P = 0dx

dy = ( ) 12 CLP

2

10 +−= 2

1 PL2

1C =

Por tanto la deformación es: ( ) 323 PL6

1xPL

2

1LxP

6

1EIy +−−=

La deformación máxima ocurre en x = L

33 PL6

1PL

2

10EI +−=δ

EI3

PL3

−=δ

Como δKP = siendo δ la deformación, entonces la ecuación (*) se adecua a:

3L

EI3PK ==

δ

Se sabe que la frecuencia natural circular es: m

K

2

1f

π=

Entonces.

mL

EI3

2

1f

3

π= 3mL

EI3

2

1f

π=

1. Si la masa de la viga es despreciable comparada con la masa m, derive una expresión para la

frecuencia de la masa.



m y

Según tablas: La deformación en el centro de la viga doblemente empotrada (Donde está m)

viene dada por:

EI192

PLy

3

=

Adecuando a nuestro caso:

y

PK = ⇒

3L

EI192K =

Se sabe que la frecuencia natural está dada por:

m

K=ω

Entonces:

mL

IE192

3

=ω ⇒

Péndulo simple.

El péndulo simple se compone de una masa puntual “m” que cuelga en el extremo inferior de un

hilo resistente de longitud “L” de peso despreciable.



3mL

EI192=ω

seg

Rad

L

T

mg

mg

Ft

FN

Tm

Desplazada la partícula de la posición de equilibrio en un ángulo “ mθ ”y luego liberada, el

péndulo oscila en un plano vertical a lo largo del arco de circunferencia de centro “O” y radio

“L”, bajo la influencia de la fuerza restauradora “ tF ”que es la componente del peso “W” en la

dirección tangencial.

Para un tiempo cualquiera “t”, la cuerda forma un ángulo “ θ” con la vertical y el sistema de

fuerzas que actúa sobre la partícula lo constituyen el peso “W” y la tensión “T” en la cuerda.

Por la segunda ley de Newton para el movimiento circular se tiene:

tmasenmg =− θ

Donde Ra t α= θθα ===2

2

dt

dnangularaceleració

Radio de la curva =R L

Entonces: θθ mLsenmg =−

θθ Lseng =−

0sengL =+ θθ

0senL

g =+ θθ

Comparando con la ecuación del M.A.S.

=+ 0x

m

Kx se ve que el movimiento del péndulo no

es M.A.S.; sin embargo, Si la amplitud de oscilación es pequeña:

θθ ≅sen (En radianes)

Luego puede escribirse:

0L

g =+ θθ (Solución aproximada)

Por comparación se tiene que la frecuencia natural circular está dada por:

L

g

L

g2 =⇒= ωω

Llegando a la conclusión que el péndulo simple es un M.A.S. para pequeñas oscilaciones.

Su periodo está dado (Fórmula de HUYHENS):

ωπτθω 2

t=⇒=

g

L2πτ =



Ejm. Suponiendo que el péndulo de un reloj sigue la teoría del péndulo simple. ¿Cuál será la

longitud si tiene el periodo de un segundo?

Se sabe que el periodo está dado por: g

L2πτ =

Despejando: 2

222

4

gL

g

L4

πτπτ =⇒=

Trabajando en [pies]

Péndulo compuesto o péndulo físico.

Un cuerpo rígido que puede oscilar libremente

alrededor de un punto en suspensión que es su

centroide, constituye un péndulo compuesto.

Los distintos puntos materiales del rígido,

constituyen otros tantos péndulos simples que si

están a diferentes distancias del eje de giro

tendrían que oscilar con periodos distintos.

Pero como se trata de un péndulo físico, este se

mueve con un periodo propio de oscilación

Si el péndulo compuesto es desplazado de su posición de equilibrio, esta vuelve por efecto del

momento de su peso “W” respecto al eje.

mgbM −=

pero θsenLb =

θsenmgLM −=



.lgP78.9L =

L

T

mg

b

Ox

θθsenmgl

dt

dI

2

2

−=

donde:

Momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación I= 2mr

Radio de giro r

Aceleración angular αθ =2

2

dt

d

Para oscilaciones pequeñas θθ ≅sen [Rad]

Ordenando (1) y teniendo en cuenta lo dicho:

0mglI =+ θθ I÷

0I

mgl =+ θθ como 2mrI =

0r

gL0

mr

mgl22

=+⇒=+ θθθθ (2)

Analizando esta fórmula (2), se nota que para oscilaciones pequeñas, el movimiento oscilatorio

del péndulo físico es M.A.S. siendo:

2

2

r

gL=ω Frecuencia natural circular

y su periodo de oscilación es:

Ejm. Una chapa cuadrada homogénea de lado “L” (Pies) y masa “m” está suspendida del punto

medio de uno de sus lados. Encuentre su frecuencia de oscilación.



G

L

L G

mg

L/2x'

gL

r 2

2πτ =

[ ]∑ = θIM

θθ Isen2

Lmg =

−

Para oscilaciones pequeñas:

θθ ≅sen

0mgL2

1I =+θ (1)

Donde I = Momento de inercia respecto al eje de giro

De tablas se tiene que: ( )

+= 22

x cbm12

1I

El momento respecto al eje X es:

( ) ( )222x L2m

12

1LLm

12

1I =+=

2x mL

6

1I =

En este caso la rotación es respecto al eje X por tanto según STEINER

[ ]2xx mdII +=

22x

2

2x mL

4

1mL

6

1I

2

LmmL

6

1I +=⇒

+=

2x mL

12

5I = (2)

Reemplazando (2) en (1)

0mgL2

1mL

12

5 2 =+ θθ

0gL6

5 =+ θθ

0L5

g6 =+ θθ



L5

g6=ω

G

y

x

x'

c

b

Combinación de resortes.

Cuando la deformación de la masa vibratoria implica a más de un resorte. Para facilitar el cálculo

de la frecuencia natural, es necesario determinar la constante del resorte equivalente.

En paralelo.

Las características son:

- Todos los resortes tienen la misma deformación

δδδδ === 321 (1)

- La fuerza total es la suma de todas las fuerzas en los resortes ( )∑ = 0Fv ; es decir:

.....PPPP 321 +++= (2)

- Se sabe que: δKP = adecuando a (2) según (1) se tiene:

.....KKKK 321eq +++= δδδδ [ ]δ÷

∑=

=+++=n

1ii321eq K.....KKKK

Ahora bien: El sistema mostrado en la sgt. Figura también representa un sistema en paralelo.



K1 K2 K3

m

P1 P2 P3

P

- Considerando la masa “m” descompuesta en dos partes “ 1m ” y “

2m ” tales que

21 mmm += (1)

- Sean las frecuencias naturales de cada una:

1

121 m

K=ω

2

222 m

K=ω (2)

Estas frecuencias deben ser iguales, ya que se trata de una sola masa.

Por tanto:

222

21 ωωω == (3)

(2) en (3) 2

2

1

1eq

m

K

m

K

m

K==

mK

Km

eq

11 = (4)

mK

Km

eq

22 = (5)

(4) y (5) en (1) mK

Km

K

Km

eq

2

eq

1 +=

∗

m

K eq



21eq KKK +=

K 2

m

K 1

m 1m 2

En serie.

El sistema mostrado representa un sistema vibratorio en serie y tiene las sgts. Características:

- La fuerza o peso es la misma en todos los resortes, ya que se supone despreciable la masa de

los resortes; es decir:

.....PPPP 321 ==== (1)

- El desplazamiento total es la suma de los desplazamientos.

.....321 +++= δδδδ (2)

Pero: K

PKP =⇒= δδ

Teniendo en cuenta (1) reemplazamos en (2)

.....K

P

K

P

K

P

K

P

321eq

+++= P÷

Ejm. Determine la frecuencia natural del vibración del bloque, si sabe que los resortes están

inicialmente comprimidos.

Por la figura, se puede decir que el sistema está en paralelo, por tanto:



∑=

=+++=n

1i i321eq K

1......

K

1

K

1

K

1

K

1

K1

K2

m

K3

m

K

KK

K

rR

C

R

mg

KKKKK eq +++=

K4K eq =

Luego la figura se reduce a :

xmKx4 =−

0xm

K4x0Kx4xm =+⇒=+

donde: m

K42 =ω pero f2πω =

ππω

2m

K4

2f ==

Ejercicios:

1. Un disco homogéneo semi-circular de radio “r” y masa “m” está pivotado en su centro y gira

libremente alrededor de este. Determine su frecuencia natural de oscilación para desplazamientos

pequeños.

∑ = αIM

θθ IsenmgR =−

Para oscilaciones pequeñas: θθ ≅sen

0mgRI =+ θθ I÷

I = Momento de inercia del cuerpo respecto al eje de giro. 0I

mgR =+ θθ



m

K1f

π=

m

m

x

Kx

x

K

rxm

mg

Grr

A

To+

Extrayendo de tablas: π3

r4R = 2mr

2

1I =

Reemplazando: 0mr

2

13

r4mg

2

=+ θπθ

0r3

g8 =+ θπ

θ

2. Un cilindro homogéneo de masa “m” está suspendido por un resorte de constante “K” [lb/Plg]

y una cuerda inextensible. Encuentre la frecuencia natural de vibración del cilindro.

D.C.L. para la posición de equilibrio estático:

[ ]∑ = 0Fv 0mgTK 0 =−+δ

[ ]∑ = 0M A 0mgrrK2 =−δ (1)

D.C.L. para un desplazamiento x:

( ) θδ AImgrxrK2 =++−

( )θδ 2G mrImgrrKx2rK2 +=+−−



r3

g8

πω =

seg

Rad

mg

K

Gr

+

rA

FRx

Donde: 2G mr

2

1I = Para un cilindro

Según (1)

θδ

+=+−− 22 mrmr

2

1mgrrKx2rK2

θ2mr2

3rKx2 =−

Ordenando ( ) 0r2rK2mr2

3 2 =+ θθ (2)

0Kr8mr3 22 =+ θθ

0m3

K80K8m3 =+⇒=+ θθθθ

3. Una varilla rígida de peso despreciable está restringida a oscilar en un plano vertical.

Determine la frecuencia natural de la masa “m”.

En la posición que se ve en la fig. note que el resorte ya tiene deformación 0x , por tanto en su

equilibrio estático:

[ ]∑ = 0M 0

LKx4

1mgL

4

30= (1)

Cuando se desplaza un “x”, la sumatoria de momentos será:



m3

K8=ω

KO

m

3/4L 1/4L

3/4L 1/4L

mgK (xo + x)

O

[ ]∑ = αIM 0

( ) θIL4

1xxKL

4

3mg 0 =

+−

Pero 2mrI =

Donde L4

3r =

θ2

0 L4

3mKLx

4

1KLx

4

1mgL

4

3

=−− (2)

Según (1) queda:

θ2mL16

9KLx

4

1 =− (3)

Pero θrx = donde en este caso θL4

1xL

4

1r =⇒=

(4) en (3)

θθ 2mL16

9L

4

1KL

4

1 =

−

0KL16

1mL

16

9 22 =+ θθ

∗

2L

16

0Km9 =+ θθ

0m9

K =+ θθ

seg

rad

4. Una varilla delgada tiene una masa despreciable y soporta una masa de 5 Kg. En su extremo.

Determine el periodo natural de vibración.



m9

K=ω

200 mm.

100

mm

.

K = 400 N/m.

5 Kg.C

A

B

Inicialmente para estar en esa posición, el resorte debe estar comprimido.

Equilibrio estático:

[ ]∑ =0M ( )2.0mgK1.0 =δ (1)

Si se desplaza un cierto ángulo θ o distancia x

[ ]∑ = θIM ( ) ( )( ) θδ I1.0xK2.0mg =+−

( ) ( ) ( ) θδ 2mL1.0Kx1.0K2.0mg =−−

Según (1)

( ) ( ) 0Kx1.04002.0m 2 =+θ

Pero θ1.0x =

( ) ( )( ) 01.04001.052.0 2 =+ θθ

042.0 =+ θθ 2.0÷

=⇒=+

22

seg

rad20020 ωθθ

ωπτ

τπω 22 =⇒=

20

2πτ =



( )seg4.1=τ

m g

0.2 m .

0.1 m .0.2 m .

mg

0.1 m.

K K( + x)

Método de la energía.

El movimiento armónico simple de un cuerpo es generado solo por las fuerzas gravitacionales y

elásticas de restauración que actúan sobre el cuerpo. Estas fuerzas son del tipo conservativos.

Entonces la conservación de la energía puede usarse para determinar la ecuación diferencial de

movimiento y a partir de esta hallar la frecuencia natural o el periodo de vibración del cuerpo.

Para vibraciones libres sin amortiguamiento, la energía total es parte cinética y parte potencial.

La energía cinética “T” es almacenada en la masa en virtud de la velocidad, mientras que la

energía potencial “V” es almacenada en forma de energía elástica de deformación o de trabajo

realizado en un campo de fuerza gravitacional.

Coma la energía total se mantiene constante, su rata de cambio es cero, es decir:

.ctteVT =+

( ) 0VTdt

d =+

Como el interés se limita a la frecuencia natural del sistema, se puede plantear:

2211 VTVT +=+

Donde (1) es el instante en que la masa está pasando por su posición de equilibrio estático(por

tanto 0V1 = ) (Ya que el N. R. Está ahí).

Sea (2) el instante en que ocurre el máximo desplazamiento de la masa ( )0T2 =

21 V00T +=+

Sin embargo, si el sistema está experimentando un movimiento armónico, 1T y 2V son valores

máximos y por tanto:

maxmax VT =

que conduce de inmediato a la frecuencia natural.



Ejm. Considerando el bloque y el resorte (fig.). Hallar la frecuencia natural, cuando el bloque se

desplaza una cantidad arbitraria “x” desde su posición de equilibrio.

La energía cinética es: 2xm2

1T =

La energía potencial es: 2Kx2

1V =

Según la conservación de la energía .ctteVT =+

.ctteKx2

1xm

2

1 22 =+

El movimiento del bloque puede obtenerse diferenciando esta ecuación respecto a “t”:

0xKxxxm =+ Factorizando x

( ) 0Kxxmx =+

0Kxxm =+

0xm

Kx =+

m

K2 =ω

Si se escribe la ecuación de energía para “Un sistema de cuerpos conectados”, también puede

determinarse la frecuencia natural o ecuación del movimiento por medio de la derivación.

(Este método permite determinar “Directamente” la frecuencia circular “ ω ”)

Procedimiento para el análisis.

1. Trazar un dibujo del cuerpo cuando se desplaza una pequeña distancia “x” desde la posición

de equilibrio estático. (L. R.)



Km

2. Formule la ecuación de energía para el cuerpo .ctteVT =+ , recordando que la energía

cinética es para traslación y rotación, es decir: 2G

2G I

2

1xm

2

1T ω+= y la energía potencial es:

eg VVV += (Gravitacional y elástica).

3. Se procede a la derivación y se factoriza los términos comunes.

4. La ecuación resultante representa la ecuación del movimiento para el sistema.

Ejm. Un cilindro sólido homogéneo de masa “m” se sujeta por medio de un resorte de constante

“K” lb/plg y reposa sobre un plano inclinado. Si el cilindro rueda sin deslizar; demostrar que la

frecuencia es: m3

K2

seg

rad.

Por el método energético

2G

2G I

2

1mV

2

1T ω+=

Pero θrVG = ; 2G mr

2

1I = ; θω =

Por tanto: ( ) 222mr

2

1

2

1rm

2

1T θθ

+=

2222 mr4

1mr

2

1T θθ += (1)

La energía potencial

2e Kx

2

1V = Pero: θrx =

22e Kr

2

1V θ= (2)



Kx

mr

( ) 0VTdt

d =+

0Krmr2

1mr 222 =++ θθθθθθ

0Km2

1m =+

+ θθ

0Km2

3 =+ θθ

÷ m

2

3

0m3

K2 =+ θθ

Método Newton:

ESTÁTICA DINÁMICA



m3

K2=ω

mg

A

K+ +

K ( + x)

A

mg

Estática:

[ ]∑ = 0M A 0rKrsenmg =− δβ (1)

Dinámica:

[ ]θ∑ = AA IM ( ) θδβ

+=+− 22 mrmr2

1rxKrsenmg

θδβ 2mr2

3KxrrKrsenmg =−− (2)

Reemplazando (1) en (2) y ordenando

0Kxrmr2

3 2 =+θ

Como no existe deslizamiento

θrx =

0Krmr2

3 22 =+ θθ

∗

m3

2

0m3

K2 =+ θθ

Método de Rayleigh:

El método de energía, puede ser usado para sistemas con masas concentradas o distribuidas,

siempre que el movimiento de cada punto del sistema sea conocido.

En sistemas donde las masas están unidas por conectores rígidos, palancas o engranajes, el

movimiento de las diferentes masas puede expresarse en términos del movimiento “x” de algún

punto específico y el sistema es simplemente de un solo grado de libertad.

La energía cinética puede escribirse como:

2ef xm

2

1T =

Masa efectiva o equivalente, concentrada en un punto específico.= efm



m3

K2=ω

m

K

x

dy

y

L

Ahora bien, si la rigidez “K” de este punto es también conocida, la frecuencia natural puede

calcularse por:

efm

K=ω

En sistemas con masas distribuidas, como resortes y vigas, es necesario primero conocer la

distribución de la amplitud de vibración antes de calcular la energía cinética “RAYLEIGH”.

1. Determinar el efecto de la masa del resorte en la frecuencia natural del sistema.

Sea “ x ” la velocidad de la masa “M”

Se supone que la velocidad de cualquier punto del resorte en “y” varía linealmente.

=

V

dt x

L

yy

y

x

y

L

=⇒=

La energía cinética del sistema puede ser ahora:

dyyL

m

2

1T 2∫=

Masa por unidad de longitud= L

m

∫∫ =⇒

=

L

0

2

3

22L

0

dyyL

xm

2

1Tdyx

L

y

L

m

2

1T

23

3

2

x3

m

2

1TL

3

1

L

xm

2

1T

=⇒

/

/=



Se concluye que el efecto de la masa del resorte sobre la masa “M” es 1/3m; es decir:

m3

1mef =

Añadiendo esto a la masa concentrada “M”, la frecuencia natural será:

2. Una viga simplemente apoyada de masa “m” tiene una masa concentrada “M” en el centro de

la luz. Determine la masa efectiva del sistema en el centro de la luz y halle su frecuencia.

Primero se halla la variación de la amplitud (Deformación) con respecto a “x” según tablas:

La ecuación de la elástica y la flecha máxima están dadas por:

−= 22 xL

4

3

12

PxEIy Para

2

Lx0 <<

δ==EI48

PLy

3

máx

Operando en la ecuación de la elástica se tiene:

[ ]2222

x4L3EI48

Pxy

4

x4L3

EI12

Pxy −=⇒

−=

−=⇒

−

=

33

3

332

L

x4

L

x3

EI48

PLy

L

Lx4

L

LxL3

EI48

Py

Por tanto:

−

=

3

máx L

x4

L

x3yy



m3

1M

K

+=ω

y

Mm

O

LK

h

x

a

La energía cinética será:

dxL

x4

L

x3y

L

m2

2

1Tdx

L

x4

L

x3y

2

Lm

2

1T

2

3

3

máx

2L

0

2

3

3

máx

−=⇒

−

= ∫∫

∫∫

+−

=⇒

−

=

2L

06

6

4

4

2

22máx

22L

03

32máx dx

L

x16

L

x24

L

x9y

L

m2

2

1Tdx

L

x4

L

x3y

L

m2

2

1T

( )

//

+

//

−

//

=128

L

L7

16

32

L

L5

24

8

L

L

3ym2

2

1T

7

7

5

5

3

3

2máx

( ) ( ) 2máx

2máx ym4857.0

2

1T

896

16

160

24

8

3ym2

2

1T =⇒

+−=

De donde la masa efectiva es:

Por tanto la frecuencia es:

+

=efmM

Kω

Pero se sabe que: δ

δ PKKP =⇒=

33 L

EI48K

EI48

PL

PK =⇒=

3. La masa de la varilla delgada de sección uniforme es pequeña comparada con la masa que

tiene colocada en su extremo. Calcule la frecuencia natural de oscilación de la masa, suponiendo

que la oscilación es pequeña.



⇒

+−

=

2L

0

6

7

4

5

2

32máx

L

x

7

16

L

x

5

24

L

x3y

L

m2

2

1T

m4857.0m ef =

( )m4857.0ML

EI483 +

=ω

La energía potencial es la gravitacional y la elástica:

mghVg = Pero: θcosLLh −=

( )θcos1mgLVg −= (1)

2e Kx

2

1V = Pero: θatagx = Para oscilaciones pequeñas θθ≈tag

( ) 22e

2e Ka

2

1VaK

2

1V θθ =⇒= (2)

La energía cinética es de traslación:

2mV2

1T = Pero: ωθ LLV ==

( ) 222mL

2

1TLm

2

1T θθ =⇒= (3)

La derivada temporal [ ]0VVT eg =++

( ) 0mLKasenmgL 22 =/+/+/ θθθθθθ

( ) 0KamgLmL 22 =++ θθ

0mL

KamgL2

2

=++ θθ

4. Una esfera homogénea de radio “r” y masa “m” puede rodar libremente sin deslizar sobre una

superficie esférica de radio “R”. Si el movimiento de la esfera se restringe al plano vertical.

Determine la frecuencia natural de oscilación de la esfera.



2

2

mL

KamgL +=ω

hr

R R - r

AB

VG

La energía potencial es: [ ]mghV =

( ) ( )[ ] ( )( )θθ cos1rRmgVcosrRrRmgV −−=⇒−−−=

La energía cinética es de traslación y rotación

+= 2

G2G I

2

1mV

2

1T ω

2G1 mV

2

1T = donde: ( )θrRVG −= (Respecto del punto “O”)

( )[ ] ( ) 221

2

1 rRm2

1TrRm

2

1T θθ −=⇒−=

2G2 I

2

1T ω= Pero: 2

G mr5

2I = (Considerando A centro instantáneo)

( )r

rR

r

VG θωω−=⇒=

( ) 2

2

22

2

22

2r

rRrm

5

1T

r

rRmr

5

2

2

1T θθ

/−

/=⇒

−

=

( ) 222 rRm

5

1T θ−=

Por tanto: ( ) 0TTVdt

d21 =++

( )( ) ( ) ( ) 0rRm5

2rRmsenrRmg 2 =/−+/−+/− θθθθθθ

( ) ( ) ( ) 0senrRmgrRm5

2rRm 22 =−+

−+− θθ Pero: θθ ≅sen

( ) ( ) ( ) 0rRmgrR5

7rRm =−+

−− θθ



10

K K

( )0

rR5

7g =

−+ θθ

5. Un disco homogéneo circular tiene un momento de inercia alrededor de su centro igual a 10 lb-

plg-seg2. En la posición de equilibrio estático ambos resortes están estirados 1 plg.. Encuentre la

frecuencia natural angular de oscilación del disco, cuando se le da un pequeño desplazamiento

angular y se le deja en libertad. K=10 lb/plg.

La energía cinética:

= 2I

2

1T ω

2GI

2

1T θ= (1)

La energía potencia elástica:

= 2K

2

1V δ

21 VVV +=

( ) ( )1xK2

11xK

2

1V 22 ++−=



( )rR7

g5

−=ω

222 KxK2

1Kx

2

1K

2

1Kx

2

1V =++−=

Como: ( ) 222 KrVrKVrx θθθ =⇒=⇒= (2)

Pero: ( ) 0VTdt

d =+

0KrI2

1

dt

d 222 =

+ θθ

0Kr2I 2 =/+/ θθθθ

0Kr2I 2 =+ θθ I÷

0I

Kr2 2

=+ θθ

Reemplazando valores:

( )0

10

10102 2

=⋅⋅+ θθ

2000200 2 =⇒=+ ωθθ

6. Un cilindro homogéneo de masa “m” está suspendido por un resorte “K” y una cuerda

inextensible. Encuentre la frecuencia natural de vibración del cilindro.



=

seg

rad14.14ω

K

xm

rVG

A

Energía cinética:

212

G2

G TTTI2

1mV

2

1T +=⇒+= ω

θrVG =

( ) 222

1 mr2

1rm

2

1T θθ ==

22222 mr

4

1mr

2

1

2

1T θθ =

=

Por tanto: 222222 mr4

3Tmr

4

1mr

2

1T θθθ =⇒+=

Energía potencial:

2Kx2

1V = Pero: θr2x =

( ) 222 Kr2r2K2

1V θθ ⇒=

( ) 0VTdt

d =+ 0Kr2mr4

3

dt

d 2222 =

+ θθ

0rK4rm2

3 22 =//+// θθθθ

0K4m2

3 =+ θθ2

m3÷

0m3

K8 =+ θθ

7. El disco tiene una masa de 8 Kg. Determine su frecuencia natural de vibración “f” si los

resortes están originalmente no estirados.



m3

K8=ω

K = 400 N/m

m100 mm.

x

xK = 400 N/m

Energía cinética:

2G

2G I

2

1I

2

1T θω ==

Pero: 2G mr

2

1I =

2222 mr4

1Tmr

2

1

2

1T θθ =⇒

= (1)

Energía potencial (Elástica solamente):

= 2Kx

2

1V 21 VVV +=

22 Kx2

1Kx

2

1V += pero: θrx =

222 KrVKxV θ=⇒= (2)

( ) 0TVdt

d =+ 0mr4

1Kr

dt

d 2222 =

+ θθ

0rm2

1rK2 22 =//+// θθθθ

0K2m2

1 =+ θθ2

m÷

m

K2

m

K40

m

K4 2 =⇒=⇒=+ ωωθθ

Se sabe que: 2m

K2

2ff2

/

/==⇒=

πωπω

8

4001

m

K1f

ππ==



( )Hz25.2f =

8. Determine La ecuación diferencial de movimiento del carrete de 3 Kg., suponiendo que no se

desliza en la superficie de contacto a medida que oscila. El radio de giro del carrete en torno de

su centro de masa es .mm125K G =

R = 100 mm. = 0.1 m.

R = 200 mm. = 0.2 m.

GK = 125 mm. = 0.125 m.

Energía cinética (Traslación y rotación):

= 2

Gt mV2

1T Pero: 22

tG mr2

1TrV θθ =⇒= (1)

= 2

Gr I2

1T ω pero: 22

Gr2GG mK

2

1TmKI θθω =⇒=∧= (2)

Energía potencial (Elástica solamente):

= 2Kx

2

1V Pero: ( ) ( ) 22RrK

2

1VRrx θθ +=⇒+= (3)

( ) 0RrK2

1mK

2

1mr

2

1

dt

d 2222G

22 =

+++ θθθ

( ) 0RrKmKmr 22G

2 =+++ θθθθθθ θ÷

( ) ( ) 0RrKmKmr 22G

2 =+++ θθ

Reemplazando valores:

( ) ( ) 02.01.0400125.0301.3 222 =++⋅+ θθ

036077.0 =+ θθ ( )077.0÷



0468 =+ θθ

K = 400 N/m

200 mm.

100 mm.VG

x

G

r 3r

rr

r

K1

K2

9. Para ángulos pequeños de oscilación, encuentre la frecuencia de oscilación del sistema.

Por el método de la Energía

2G

2G

2G I

2

1TI

2

1Vm

2

1T θω =⇒+/=

222

211

2 xK2

1xK

2

1VhmgKx

2

1V +=⇒/+=

Pero θrx1 =

θθθ r4r3rx2 =+=

2G mr

2

1I =

Reemplazando

( ) ( ) 0r4K2

1rK

2

1mr

2

1

2

1 22

21

22 =++

θθθ

( ) 0r16K2

1rK

2

1mr

4

1 222

221

22 =++ θθθ

Derivando

0rK16rKmr2

1 22

21

2 =++ θθθθθθ θ2r÷

0K16Km2

121 =++ θθθ

0m

K32K2 21 =

+

+ θθ



10. Hallar la ecuación del movimiento de un péndulo invertido que está restringido por un

resorte, cuya constante es “K”. Se supone que la masa del péndulo está concentrada a una

distancia “L” del punto de apoyo y que el resorte es lo suficientemente rígido para que el péndulo

sea estable.

= 2mV

2

1T Pero θ Lx = = velocidad

( ) 222 mL2

1Lm

2

1T θθ ==

= 2

E K2

1V δ Pero θδ a=

( ) Ka2

1aK

2

1V 222

E θθ ==

[ ]mghVG =

( )1cosmglmgLcosmgLVG −=−= θθ

( ) ( )

−++⇒=++ 1cosmgLKa

2

1mL

2

1

dt

d0VVT

dt

d 2222GE θθθ

0senmglKamL 22 =/−+/ θθθθθθ Pero θθ ≈sen

( ) 0mgLKamL 22 =−+ θθ ( )2mL÷



m

K32K2 21 +=ω

m

K

m x

1

2

a

L

Vibración forzada sin amortiguamiento.

Para este caso la ecuación diferencial tiene la forma siguiente:

tsenPKxxm o ω=+ (1)

Este tipo de ecuaciones tiene dos soluciones: pc xxx +=

a) Solución a-transitoria complementaria: Cuando la ecuación es homogénea, es

decir:

0Kxxm =+

La cual tiene como solución:

tcosBtsenAx ωω +=

b) Solución estacionaria o particular: Cuando la ecuación es:

tsenPKxxm o ω=+

Su solución es del tipo:

( ) tsenGtx ω= (2)

Derivando dos veces:

( ) tcosGtx ωω=

( ) tsenGtx 2 ωω−= (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1)

( ) ( ) ts e nPts e nGKts e nGm o2 ωωωω =+−

tsenPtsenKGtsenmG o2 ωωωω =+− ( )ts e nω÷

o2 PKGmG =+− ω ( )K÷



0L

g

mL

Ka2

2

=

−+ θθ

K

PG

K

mG o2

=+− ω

Factorizando G y ordenando

K

PG

K

m1 o2 =

− ω Pero:

m

K2 =ω

K

PG1 o

2

2

=

−

ωω

Sea: 2

2

ωωβ =

( )K

PG1 o2 =−β

( )2o

1K

PG

β−= (4)

Reemplazando (4) en (2)

( ) ( ) tsen1K

Ptx

2o

p ωβ−

= (Solución particular)

Como la solución general es del tipo:

( ) pc xxtx +=

Entonces: ( ) ( ) tsen1K

PtcosBtsenAtx

2o ωβ

ωω−

++= (5)

Las constantes A y B se determinan por las condiciones de contorno

Si ( ) 00x0t =⇒= (a)

Si ( ) 00x0t =⇒= (b)

Reemplazando (a) en (5)

( )o

2ooo 0sen

1K

P0cosB0senA0

β−++=

0B =

Derivando (5)

( ) ( ) tcos1K

PtsenBtcosAtx

2o ω

βω

ωωωω−

+−= (6)

Reemplazando (b) en (6)

( )o

2ooo 0cos

1K

P0senB0cosA0

βω

ωω−

+−=



2

3

4

5

6

21 3

( ) ( ) ωω

ββω

ω2

o2

o

1K

PA

1K

PA0

−−=⇒

−+=

Pero ( )2o

2

2

1K

PA

ββ

ωωβ

−=⇒=

Reemplazando las constantes A y B en (5)

( ) ( ) ( ) tsen1K

Ptsen

1K

Ptx

2o

2o ω

βω

ββ

−+

−−=

(7)

Donde:

=oP Amplitud de la fuerza externa

=K Rigidez del resorte

=ω Frecuencia circular del movimiento

=ω Frecuencia circular de carga

Si se analiza la ecuación (7), se nota que:

Si 1=β , es decir; ωω = entonces el factor ( ) 01 2 =−β lo que implica que al estar en el

denominador se hace infinita la expresión. Esta situación se llama RESONANCIA.

La solución particular para el caso ωω = tiene la forma:

( ) tsentGtx 1p ω=

Donde : ωm2

PG o

1 =



( ) ( ) ( )ts e nts e n1K

Ptx

2o ωβω

β−

−=

( )

− 2

0

1 βK

P

22

2

βωω =

=K

P0

Esta expresión muestra que la amplitud crece ilimitadamente con el tiempo.

Ejm. Un bloque de masa “m” está soportado por un resorte de ctte. “K” el cual está montado

sobre una base de peso despreciable que tiene un movimiento armónico tsenAo ω hacia

arriba y hacia abajo. Determine el movimiento del bloque.

( ) xmyxK =−−

xmKyKx =+−

tsenKAKxxm o ω=+



( ) tsentm2

Ptx o

p ωω

=

A s

enw

t0

x

K

K (x - y)

m

t

Solución complementaria tcosBtsenAxc ωω +=

Solución particular:

Por uno de los métodos abreviados, se tiene que la solución es de la forma:

( ) ( ) ( ) ( )baxsenaF

1baxsen

DF

1y

22+

−=+= : ( ) 0aF 2 ≠−

Por tanto en este caso, la ecuación diferencial será:

Sea xDx 2=

( ) tsenKAxKmD o2 ω=+

tsenKAKmD

1x o2p ω

+=

tsenKAKm

1x o2p ω

ω +−=

tsenKA

m

Km

1

x o2

p ωω +−

= Pero m

K2 =ω

( ) tsenm

KAx

22o

p ωωω −

=

( )tsen

Ax 2

2

222

op ωω

ωωωω

−

=

tsen

1

Ax

2

2o

p ω

ωω−

=

Por tanto la solución general es:



tsen

1

AtcosBtsenAx

2

2o ω

ωω

ωω−

++=

Tipos de amortiguamiento.

a) Amortiguamiento viscoso. Para cuerpos que se mueven con velocidad moderada a

través de fluidos.

cVF −= =c Ctte. De proporcionalidad

=V Velocidad

b) Amortiguamiento turbulento. Ocurre cuando la rapidez con que se mueve un

cuerpo dentro un fluido es alta.2bVF −= =b Ctte. De proporcionalidad

=V Velocidad

c) Amortiguamiento Coulombiano. Cuando una superficie seca se desliza sobre otra

superficie.

NF µ= =µ Coeficiente de roce cinético

=N Fuerza normal



m

K

c

x

K( + x)

mg

mg

FR Fa

cxx

Vibración libre amortiguada.

En la situación de equilibrio estático (caso b) no actúa todavía la amortiguación

mgK =δ (1)

En la situación (c) se tiene:

[ ]∑ = xmF

( ) xmmgxcxK =+−+− δ

xmmgxcKxK =+−−− δ Según (1)

xmxcKx =−−

Ordenando: 0Kxxcxm =++ (2)

Si Dxdt

dx = y xDdt

xd 22

2

=

0KxcDxxmD 2 =++ (3)

Dividiendo entre “m” la ecuación (3)

0m

KD

m

cD2 =++ (4)

Resolviendo cual si fuese una ecuación de segundo grado.

2m

K4

m

c

m

c

D2

2

−±−=

Como m

K2 =ω



2

4m4

c4

m

c

D

22

2

ω−±−=

22

m2

c

m2

cD ω−

±−=

Analizando el discriminante, se ve tres situaciones posibles:

Si ⇒=−

0m2

c 2

2

ω El sistema tiene amortiguamiento CRITICO

Si ⇒<−

0m2

c 2

2

ω El sistema es SUB-AMORTIGUADO

Si ⇒>−

0m2

c 2

2

ω El sistema está SOBRE-AMORTIGUADO

Sistema con amortiguamiento crítico.

Como ωωω =⇒=

⇒=−

m2

c

m2

c0

m2

c 2

2

2

2

De ahí ωm2Cc = =cC Amortiguamiento

crítico

Por tanto la raíz de la ecuación (4) son iguales y serán:

m2

m2

m2

CD

2

4m

c

m

c

D c

0

2

2

2

////−=−=⇒

−±−= ω

ω

Por tanto la solución de la ecuación (4) tendrá la forma:

( ) Dt2

Dt1 teGeGtx += Donde =21 G,G Ctts. a determinar

Factorizando ( ) ( ) Dt21 etGGtx +=

Como ω−=D ( ) ( ) t21 etGGtx ω−+= (5)



ω−=D

( ) ( ) tm2

c

21 etGGtx−

+= (5´)

Conforme ∞→t se tiene que 0et

m2

c

→− más rápidamente que t se aproxima a ∞ ; el

movimiento se disipa exponencialmente.

De hecho, el caso de amortiguamiento crítico es el caso límite de sobre-amortiguamiento.

“El amortiguamiento crítico, representa una condición en la que e tiene el valor mínimo

necesario para hacer que el sistema sea NO VIBRATORIO”

Para hallar las constantes 21 G,G de la ecuación (5) se realiza según condiciones de contorno.

Se sabe que: tsenhtcoshe t ωωω −=− (6)

(6) en (5)

( ) ( ) ( )tsenhtcoshtGGtx 21 ωω −+=

( ) tsenhtGtcoshtGtsenhGtcoshGtx 2211 ωωωω −+−= (7)

( ) ( )0xtx0t

P =⇒= Reemplazando en (7)

( ) ( ) ( ) o2

o2

o1

o1 0senh0G0cosh0G0senhG0coshG0x −+−=

( )0xG1 =

Derivando (7)

( ) tsenhGtcoshtGtcoshGtsentGtcoshGtsenhGtx 222211 ωωωωωωωωωω −−+−−−=

( ) ( )0xtx0t

P =⇒=

( ) ( ) ( ) o2

o2

o2

o2

o1

o1 0senhG0cosh0G0coshG0sen0G0coshG0senhG0x ωωωωωωωωωω −−+−−−=

( ) 21 GG0x +−= ω

( ) ( ) ( )ωω 0x0xGG0xG 212 +=⇒+=

Reemplazando las constantes 1G y 2G en (5)



( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] tet0x0x0xtx ωω −++=

Ordenando:

Movimiento sub-amortiguado.

Esta situación ocurre cuando:

0m2

c 2

2

<−

ω

Que implica tener un discriminante negativo, por tanto tendrá soluciones imaginarias.

Sea =ξ Razón de amortiguamiento

ωξξξ m2CCCC

Cc

c

=⇒=⇒=

Reemplazando en: 22

m2

c

m2

cD ω−

±−=

( ) ( ) 22

m2

m2

m2

m2D ωωξωξ −

////±

////−=

1DD 2222 −±−=⇒−±−= ξωξωωωξξω

21iD ξωξω −±−=

Sea: 20 1 ξωω −= Velocidad angular amortiguado

Frecuencia de oscilaciones amortiguadas



( ) ( )( ) ( )[ ] tet0xt10xtx ωω −++=

t

X(0)

X(0)>0

X(0)=0

X(0)<0

0iD ωξω±−= (a)

La solución a la ecuación diferencial tendrá la forma:

( ) tD2

tD1

21 eGeGtx += (b)

Reemplazando (a) en (b)

( ) ( ) ( ) ti2

ti1

00 eGeGtx ωξ ωωξ ω −−+− +=

( ) tit2

tit1

00 eeGeeGtx ωξωωξω −−− +=

( ) ( )ti2

ti1

t 00 eGeGetx ωωξ ω −− += (c)

Como: tsenitcose 00ti 0 ωωω +=

tsenitcose 00ti 0 ωωω −=−

Reemplazando en (c)

( ) ( ) ( )[ ]tsenitcosGtsenitcosGetx 002001t ωωωωξω −++= −

( ) [ ]tseniGtcosGtseniGtcosGetx 02020101t ωωωωξω −++= −

( ) ( ) ( )

−++= − tsenGGitcosGGetx 0

B

210

A

21t ωωξω

( ) ( )tsenBtcosAetx 00t ωωξω += − (d)

Para ( ) ( )0xtx0t =⇒=

( ) ( ) ( )0xA0senB0cosAe0x oo0 =⇒+= ⋅−ξω

Derivando (d):

( ) ( ) ( ) ( )tsenBtcosAetcosBtsenAetx 00t

0000t ωωξωωωωω ξωξω +−++−= −−

Para ( ) ( )0xtx0t =⇒=

( ) ( ) ( )oo0o0

o0

0 0senB0cosAe0cosB0senAe0x +−+−= ξ ωωω

( ) AB0x 00 ξωω −= Pero ( )0xA =

( ) ( ) ( ) ( )0

000

0x0xB0xB0x

ωξω

ξωω+

=⇒−=



( ) ( ) ( ) ( )

++= − tsen

0x0xtcos0xetx 0

0

00

t ωωξω

ωξω

Movimiento sobre-amortiguado.

Esto ocurre cuando:

0m2

c 2

2

>−

ω

=ξ Razón de amortiguamiento

ωξξξ m2CCCC

Cc

c

=⇒=⇒=

Reemplazando en: 22

m2

c

m2

cD ω−

±−=

1D 2 −±−= ξωξω

( )ωξξ 1D 2 −±−= (a)

La solución a la ecuación diferencial es del tipo:

( ) tDtD 21 BeAetx += (b)

Reemplazando (a) en (b)

( ) t1t1 22

BeAetxωξξωξξ

−−−

−+−

+= (c)

Derivando (c)

( ) ( ) ( ) t12

t12

22

e1Be1Atxωξξωξξ

ωξξωξξ

−−−

−+−−−−+−+−= (d)

Las condiciones de contorno son:



x sen

x

wt

txe ξω−

Para: 0t = ; ( ) ( )0xtx = ; ( ) ( )0xtx =

Reemplazando en (c)

( ) ( ) B0xABeAe0x 00 −=⇒+= (*)

Reemplazando en (d)

( ) ( ) ( ) 0202 e1Be1A0x ωξξωξξ −−−+−+−= (**)

Reemplazando (*) en (**)

( ) ( )( )( ) B1B1B0x0x 22 ωξξωωξξ ⋅−−−−+−−=

( ) ( ) ( ) B1BB1B0x10x0x 222 ωξωξωξωξωξξω ⋅−−///−⋅−−///+⋅−+−=

( ) ( ) ( )0x0x0x1B12 22 −−⋅−=⋅− ξωξωξω

( ) ( ) ( )12

0x0x1B

2

2

−

−−−=

ξω

ωξξ

Reemplazando en (*)

( ) ( ) ( ) ( )12

0x0x10xA

2

2

−

−−−−=

ξω

ωξξ

( ) ( ) ( ) ( )12

0x0x0x10x12A

2

22

−

++−−−=

ξω

ξωξωξω

( ) ( ) ( )12

0x10xA

2

2

−

+−+=

ξω

ωξξ*****

El

movimiento es una función exponencialmente decreciente con el tiempo y se la clasifica como



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t1

2

2t1

2

2 22

e12

0x0x1e

12

0x10xtx

ωξξωξξ

ξω

ωξξ

ξω

ωξξ

−−−

−+−

−

−−−+

−

+−+=

wt

A

O

B

( ) tAe ωξξ 12 −−−

m

cKx

L.R.t = 0

h

APERIODICA.

Ejm. Si el sistema mostrado en la figura, se suelta desde una altura “h” sobre una superficie dura.

¿Cuál será el movimiento resultante de la masa “m”?

La ecuación diferencial para este sistema es:

0Kxxcxm =++ m÷

0xm

Kx

m

cx =++ (1)

La expresión se puede escribir como:

0m

KD

m

cD2 =++

La solución de esta ecuación es:

22

m2

c

m2

cD ω−

±−= (2)

Como CC

c=ξ y ωξω m2cm2CC =⇒=

Reemplazando en (2)

( ) ( ) 22

m2

m2

m2

m2D ωωξωξ −

////±

////−=

1DD 2222 −±−=⇒−±−= ξωξωωωξξω

Cambiando el orden del discriminante; este se hace negativo, por tanto imaginario:

21iD ξωξω −±−=



Sea: 20 1 ξωω −=

0iD ωξω±−=

La solución a la ecuación (1) es de la forma:

( ) tD2

tD1

21 eGeGtx +=

( ) ( ) ( ) ti2

ti1

00 eGeGtx ωξ ωωξ ω −−+− +=

( ) ( )ti2

ti1

t 00 eGeGetx ωωξ ω −− +=

Como: tsenitcose 00ti 0 ωωω +=

tsenitcose 00ti 0 ωωω −=−

Reemplazando y simplificando:

( ) ( )tsenBtcosAetx 00t ωωξω += − (3)

Derivando (3)


0000t ωωξωωωωω ξωξω +−++−= −− (4)

Considerando el nivel de referencia (L.R) del gráfico, se tiene las consideraciones de contorno

0tP = ; 0x = ; gh2x =

Reemplazando en (3) y (4) Se determina las constantes.

( ) tsenegh2

tx 0

tm2

c

0

ωω

ωω

//−

= En (3)

( ) 0A0senB0cosAe0 oo0 =⇒+=

En (4)

( ) ( )oo0o0

o0

0 0senB0cosAe0cosB0senAegh2 +−+−= ξωωω

00

gh2BBgh2

ωω =⇒=

Reemplazando en (3)

( )

= − tsen

gh2tcos0etx 0

00

t ωω

ωωξ

( ) tsenegh2

tx 0t

0

ωω

ωξ−= Pero ω

ξm2

c=



Kx

m

c

( ) tsenegh2

tx 0

tm2

c

0

ωω

ωω

//−

=

1. Una masa de 50 lb. Reposa sobre un resorte de 35 lb/Plg.y un amortiguador de 075 lb-seg/Plg..

Si se aplica una velocidad de 4 Plg/seg a la masa en su posición de reposo. ¿Cuál será el

desplazamiento al final del primer segundo?.

La ecuación diferencial para este caso es:

0Kxxcxm =++ m÷

0xm

Kx

m

cx =++

La solución o primitiva de esta ecuación es:

( ) ( )tsenBtcosAetx 00t ωωξω += − (a)

20 1 ξωω −=

ωξ

m2

c=

0tP = ; ( ) 0tx = ; ( ) 40x = [Plg/seg] (b)

Reemplazando en (a)

( ) 0A0senB0cosAe0 oo0 =⇒+=

Derivando (a)



( ) tsenegh2

tx 0

tm2

c

0

ωω

−=


0000t ωωξωωωωω ξωξω +−++−= −−

( ) ( )oo0o0

o0

0 0senB0cosAe0cosB0senAe4 +−+−= ξ ωωω

AB4 0 ξωω −= Pero 0

4B0A

ω=⇒=

Reemplazando en (a)

( ) ( ) tsene4

txtsen4

etx 0t

00

0

t ωω

ωω

ωξωξ −− =⇒

= (c)

Pero

=⇒

∗

==

seg

rad86.13

seg

lgp384

lb

lgp/lb

50

25

m

K2

2 ωω

( )( ) 21.086.13502

288

m2

c

seg

lgp384

lgp

seglb75.0c

2=⇒==⇒

∗

⋅= ξω

ξ

( )

=⇒−=−=

seg

rad55.1321.0186.131 0

220 ωξωω

Por tanto estos valores reemplazado en (c)

( ) ( ) ( )[ ]155.13sene55.13

41x 186.1321.0−=

2. Un péndulo simple está pivotado en “0”. Si la masa de la varilla es despreciable y las

oscilaciones pequeñas; encuentre la frecuencia natural amortiguada del péndulo.



( ) [ ]lgp0013.01x =

K

m

L

L2

L1

c

O

[ ]∑ = αIM donde θ∑ =⇒= 22 mLMmLI

θθ 22211 mLsenmgLLxcLKx =−−− (1)

pero θ11 Lx =

θθ 2222 LxLx =⇒=

Reemplazando en (1)

θθθθ 222

21 mLmgLcLKL =−−−

Ordenando

( ) 0mgLKLcLmL 21

22

2 =+++ θθθ (2)

0mL

mgLKL

mL

cL2

21

2

22 =+++ θθθ

La solución de esta ecuación de segundo grado es:

( )

+−

±−=

2

21

2

2

22

2

22

mL

mgLKL14

mL

cL

2

1

2mL

cL

D

+−

±−=

2

21

2

2

22

2

22

mL

mgLKL4

mL2

cL2

2

1

mL2

cLD

+−

±−=

2

21

2

2

22

2

22

mL

mgLKL

mL2

cL

mL2

cLD

De aquí, la frecuencia circular amortiguada es la raíz, pero cambiando los términos:



2

2

22

2

21

mL2

cL

mL

mgLKL

−

+=ω

vibracion libre

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