vit chap17
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8/13/2019 Vit Chap17
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C h a p t e r 1 7
V i t e r b i D e c o d e r s : H i g h
P e r f o r m a n c e A l g o r i t h m s a n d
A r c h i t e c t u r e s
H e r b e r t D a w i d O l a f J . J o e r e s s e n H e i n r i c h M e y r
S y n o p s y s , I n c . N o k i a M o b i l e P h o n e s A a c h e n U n i v e r s i t y
D S P S o l u t i o n s G r o u p R & D C e n t e r G e r m a n y o f T e c h n o l o g y
K a i s e r s t r . 1 0 0 M e e s m a n n s t r . 1 0 3 I S S 6 1 1 8 1 0
D - 5 2 1 3 4 H e r z o g e n r a t h D - 4 4 8 0 7 B o c h u m D 5 2 0 5 6 A a c h e n
G e r m a n y G e r m a n y G e r m a n y
d a w i d @ s y n o p s y s . c o m O l a f . J o e r e s s e n m e y r @ e r t .
@ n m p . n o k i a . c o m r w t h - a a c h e n . d e
1 7 . 1 I n t r o d u c t i o n
V i t e r b i D e c o d e r s V D s a r e t o d a y w i d e l y u s e d a s f o r w a r d e r r o r c o r r e c t i o n
F E C d e v i c e s i n m a n y d i g i t a l c o m m u n i c a t i o n s a n d m u l t i m e d i a p r o d u c t s i n c l u d i n g
m o b i l e c e l l u l a r p h o n e s v i d e o a n d a u d i o b r o a d c a s t i n g r e c e i v e r s a n d m o d e m s . V D s
a r e i m p l e m e n t a t i o n s o f t h e V i t e r b i A l g o r i t h m V A u s e d f o r d e c o d i n g c o n v o l u t i o n a l
o r t r e l l i s c o d e s
1
.
T h e c o n t i n u i n g s u c c e s s o f c o n v o l u t i o n a l a n d t r e l l i s c o d e s f o r F E C a p p l i c a t i o n s
i n a l m o s t a l l m o d e r n d i g i t a l c o m m u n i c a t i o n a n d m u l t i m e d i a p r o d u c t s i s b a s e d o n
t h r e e m a i n f a c t o r s :
T h e e x i s t e n c e o f a n o p t i m u m M a x i m u m L i k e l i h o o d d e c o d i n g a l g o r i t h m t h e
V A w i t h l i m i t e d c o m p l e x i t y w h i c h i s w e l l s u i t e d f o r i m p l e m e n t a t i o n .
T h e e x i s t e n c e o f c l a s s e s o f g o o d c o n v o l u t i o n a l a n d t r e l l i s c o d e s s u i t e d f o r
m a n y d i e r e n t a p p l i c a t i o n s .
1
O t h e r i m p o r t a n t a p p l i c a t i o n s o f t h e V A a r e e . g . e q u a l i z a t i o n f o r t r a n s m i s s i o n c h a n n e l s w i t h
m e m o r y l i k e m u l t i p a t h - f a d i n g c h a n n e l s a n d n u m e r o u s a p p l i c a t i o n s a p a r t f r o m d i g i t a l c o m m u n i -
c a t i o n s l i k e p a t t e r n , t e x t a n d s p e e c h r e c o g n i t i o n a s w e l l a s m a g n e t i c r e c o r d i n g . D u e t o l a c k o f
s p a c e , o n l y V i t e r b i d e c o d i n g i s c o n s i d e r e d h e r e .
1
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8/13/2019 Vit Chap17
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2 C h a p t e r 1 7
T h e a d v a n c e s i n d i g i t a l s i l i c o n t e c h n o l o g y w h i c h m a k e t h e i m p l e m e n t a t i o n o f
t h e V A p o s s i b l e e v e n f o r s o p h i s t i c a t e d c o d e s a n d h i g h b i t r a t e a p p l i c a t i o n s .
T h e c o a r s e s y s t e m l e v e l b l o c k d i a g r a m s h o w n i n F i g . 1 7 . 1 i l l u s t r a t e s t h e u s e o f
V D s i n d i g i t a l c o m m u n i c a t i o n s y s t e m s . T h e w e l l k n o w n d i s c r e t e t i m e m o d e l w i t h
t h e d i s c r e t e t i m e i n d e x k i s u s e d h e r e i n o r d e r t o m o d e l t r a n s m i t t e r c h a n n e l a n d
r e c e i v e r .
Signal Source Source CoderConvolutional orTrellis Coder &Mapper
Modulator
Channel
Viterbi DecoderSource Decoder DemodulatorSignal Sink
information bits channel symbols ck
received symbols yk
decoded bits
F i g u r e 1 7 . 1 V i t e r b i D e c o d e r s i n d i g i t a l c o m m u n i c a t i o n s y s t e m s .
T h e s i g n a l s e m i t t e d b y t h e s i g n a l s o u r c e a r e r s t c o m p r e s s e d i n a s o u r c e e n -
c o d e r e . g . a s p e e c h a u d i o o r v i d e o e n c o d e r . T h e c o m p r e s s e d i n f o r m a t i o n b i t s t h e n
e n t e r a c o n v o l u t i o n a l e n c o d e r o r t r e l l i s e n c o d e r w h i c h i n t r o d u c e s c h a n n e l c o d i n g .
W h i l e t h e s o u r c e e n c o d e r r e m o v e s r e d u n d a n t a n d i r r e l e v a n t i n f o r m a t i o n f r o m t h e
s o u r c e s i g n a l i n o r d e r t o r e d u c e t h e t r a n s m i s s i o n r a t e t h e c h a n n e l e n c o d e r d e l i b e r -
a t e l y i n t r o d u c e s t h e r e d u n d a n c y n e c e s s a r y t o c o m b a t t r a n s m i s s i o n i m p a i r m e n t s b y
f o r w a r d e r r o r c o r r e c t i o n F E C . C o d e d s y m b o l s f r o m a p r e d e n e d a n d s o m e t i m e s
m u l t i d i m e n s i o n a l s y m b o l a l p h a b e t a r e g e n e r a t e d b y t h e e n c o d e r a n d m a p p e d o n t o
c o m p l e x c h a n n e l s y m b o l s w h i c h e n t e r t h e m o d u l a t o r . H e r e t h e s i g n a l i s m o d u l a t e d
a c c o r d i n g t o a c h o s e n m o d u l a t i o n s c h e m e a n d c a r r i e r f r e q u e n c y . A f t e r t r a n s m i s s i o n
o v e r t h e c h a n n e l t h e r e c e i v e d s i g n a l i s r s t d e m o d u l a t e d . F o l l o w i n g t h e d e m o d u -
l a t e d r e c e i v e d s y m b o l s e n t e r t h e V D . T h e s o f t q u a n t i z e d c h a n n e l s y m b o l s a v a i l a b l e
i n t h e d e m o d u l a t o r c a n v e r y a d v a n t a g e o u s l y b e u s e d b y t h e V D . H e n c e r a t h e r t h a n
g e n e r a t i n g h a r d s y m b o l d e c i s i o n s t h e d e m o d u l a t o r d e l i v e r s a s o f t d e c i s i o n i n p u t
t o t h e V D
2
. T h e c o r r e c t e d i n f o r m a t i o n b i t s a r e n a l l y d e c o m p r e s s e d i n t h e s o u r c e
d e c o d e r .
1 7 . 1 . 1 V i t e r b i D e c o d i n g A p p l i c a t i o n s
A m o n g t h e n u m e r o u s a p p l i c a t i o n s o f V i t e r b i d e c o d i n g w e c o n s i d e r t h r e e a r e a s
t o b e m o s t i m p o r t a n t . T h e c o m p l e t e l y d i e r e n t c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e s e a p p l i c a t i o n s
e m p h a s i z e t h e w i d e s p r e a d u s e o f V i t e r b i d e c o d e r s i n a l m o s t a l l m o d e r n t e l e c o m m u -
n i c a t i o n s t a n d a r d s .
2
S o f t d e c i s i o n V i t e r b i d e c o d i n g l e a d s t o a n i n c r e a s e i n c o d i n g g a i n o f a b o u t 2 d B c o m p a r e d t o
h a r d d e c i s i o n V i t e r b i d e c o d i n g 9 .
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8/13/2019 Vit Chap17
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V i t e r b i D e c o d e r s 3
1 . M o b i l e C e l l u l a r P h o n e s :
F o r m o b i l e o r c e l l u l a r p h o n e a p p l i c a t i o n s t h e t r a n s m i s s i o n c h a n n e l s a r e s u b -
j e c t t o v a r i o u s i m p a i r m e n t s l i k e f a d i n g . C h a n n e l c o d i n g i s e s s e n t i a l i n o r d e r t o
o b t a i n t h e d e s i r e d t r a n s m i s s i o n q u a l i t y . M a n y c o m m u n i c a t i o n s t a n d a r d s l i k e
t h e G l o b a l S y s t e m f o r M o b i l e C o m m u n i c a t i o n s G S M s t a n d a r d t h e I S 5 4
d i g i t a l c e l l u l a r p h o n e s t a n d a r d a n d t h e I S 9 5 C D M A s t a n d a r d s p e c i f y t h e u s e
o f c o n v o l u t i o n a l c o d e s .
2 . V i d e o a n d A u d i o B r o a d c a s t i n g R e c e i v e r s :
C h a n n e l c o d i n g u s i n g c o n v o l u t i o n a l c o d e s i s e s s e n t i a l f o r a l m o s t a l l s a t e l l i t e
c o m m u n i c a t i o n s t a n d a r d s a m o n g t h e m t h e r e c e n t D i g i t a l V i d e o B r o a d c a s t i n g
D V B - S s t a n d a r d f o r s a t e l l i t e t r a n s m i s s i o n 8 t h e D S S s t a n d a r d a s w e l l a s
t h e t e r r e s t r i a l D i g i t a l A u d i o B r o a d c a s t i n g D A B s t a n d a r d .
3 . M o d e m s :
M o d e m s r e p r e s e n t a n a p p l i c a t i o n a r e a w h e r e v e r y a d v a n c e d c h a n n e l c o d i n g
t e c h n i q u e s a r e u s e d . V i t e r b i d e c o d i n g f o r c o n v o l u t i o n a l a n d t r e l l i s c o d e d
m o d u l a t i o n c o d e s i s e . g . e m p l o y e d i n m o d e m s a c c o r d i n g t o t h e r e c e n t 3 2 k b p s
a n d 5 4 k b p s m o d e m s t a n d a r d s . S o f t w a r e D S P i m p l e m e n t a t i o n s a r e c o m m o n l y
u s e d d u e t o t h e r e l a t i v e l y l o w b i t r a t e .
F o r l o w b i t r a t e a p p l i c a t i o n s V i t e r b i d e c o d i n g i s i m p l e m e n t e d i n s o f t w a r e o n
d i g i t a l s i g n a l p r o c e s s o r s D S P s . T h e b i t r a t e r e q u i r e d b y m o d e r n h i g h q u a l i t y
s p e e c h t r a n s m i s s i o n r e p r e s e n t s t h e c u r r e n t l i m i t f o r V D s o f t w a r e i m p l e m e n t a t i o n s
d u e t o t h e h i g h c o m p u t a t i o n a l r e q u i r e m e n t s i m p o s e d b y t h e V A . H y b r i d D S P a r -
c h i t e c t u r e s w e r e d e v e l o p e d w i t h s p e c i a l d a t a p a t h s s u p p o r t i n g t h e p a r t i c u l a r V A
p r o c e s s i n g r e q u i r e m e n t s . W e f o c u s h e r e o n h i g h e r b i t r a t e a p p l i c a t i o n s w h e r e t h e
V D i s i m p l e m e n t e d i n V e r y L a r g e S c a l e I n t e g r a t i o n V L S I t e c h n o l o g y a s a s e p a r a t e
h a r d w a r e u n i t .
1 7 . 2 T h e V i t e r b i a l g o r i t h m
I n o r d e r t o i n t r o d u c e t h e V A 1 2 a n d t h e u s e d n o t a t i o n w e e x e m p l a r i l y
d i s c u s s t h e s i m p l e c o n v o l u t i o n a l e n c o d e r s h o w n i n F i g . 1 7 . 2 .
T h e i n p u t s t r e a m o f i n f o r m a t i o n b i t s i s m a p p e d o n t o k - b i t i n f o r m a t i o n s y m -
b o l s u
k
w h i c h a r e i n p u t t o a n i t e s t a t e m a c h i n e F S M g e n e r a t i n g n k c o d e d
b i t s f r o m t h e i n f o r m a t i o n s y m b o l s . T h e r a t i o k = n h e r e 1 = 2 i s c a l l e d t h e c o d e r a t e .
T h e l a r g e r t h e c o d e r a t e t h e s m a l l e r t h e a m o u n t o f r e d u n d a n c y i n t r o d u c e d b y t h e
c o d e r . W i t h k = 1 o n l y c o d e r a t e s 1 = n a r e p o s s i b l e . H i g h e r r a t e c o d e s a r e k n o w n
f o r k 1 . A l t e r n a t i v e l y h i g h e r r a t e c o d e s c a n b e c r e a t e d b y u s i n g a 1 = n b a s e o r
m o t h e r c o d e a n d o m i t t i n g p u n c t u r i n g a p a r t o f t h e c o d e d b i t s a f t e r e n c o d i n g a s
s p e c i e d b y a g i v e n p u n c t u r i n g p a t t e r n o r p u n c t u r e m a s k 1 2 1 3 1 4 . I t i s s h o w n
i n 1 2 1 3 t h a t t h e r e s u l t i n g p u n c t u r e d c o d e s l e a d t o r e d u c e d d e c o d i n g c o m p l e x i t y
c o m p a r e d t o s t a n d a r d c o d e s w i t h t h e s a m e c o d e r a t e a n d k 1 a t n e g l i g i b l e p e r -
f o r m a n c e l o s s e s . T o d a y k = 1 h o l d s f o r v i r t u a l l y a l l p r a c t i c a l l y r e l e v a n t b a s e c o d e s
6 t h e r e f o r e w e c o n s i d e r o n l y t h i s c a s e .
T h e n c o d e d b i t s b
i ; k
w i t h i 2 f 1 ; : : : ; n g r e p r e s e n t t h e c o d e s y m b o l s b
k
=
P
n
j = 1
b
j ; k
2
j , 1
o f a g i v e n s y m b o l a l p h a b e t : b
k
2 f 0 ; : : : ; 2
n
, 1 g . I f t h e e n c o d e r
F S M h a s a m e m o r y o f b i t s t h e c o d e s y m b o l s a r e c a l c u l a t e d f r o m K = + 1 b i t s
t h e F S M m e m o r y a n d t h e c u r r e n t i n p u t b i t r e s p e c t i v e l y . K i s c a l l e d t h e c o n s t r a i n t
-
8/13/2019 Vit Chap17
4/42
4 C h a p t e r 1 7
l e n g t h o f t h e c o d e . T h e k t h e n c o d e r s t a t e c a n b e c o n v e n i e n t l y w r i t t e n a s a n i n t e g e r
n u m b e r :
x
k
=
, 1
X
j = 0
x
j ; k
2
j
w i t h x
k
2 f0 ; : : : ; 2
,1
g; x
j ; k
2 f0 ; 1
g 1
V i r t u a l l y a l l c o m m o n l y u s e d c o n v o l u t i o n a l c o d e r s e x h i b i t a f e e d f o r w a r d s h i f t
r e g i s t e r s t r u c t u r e . A d d i t i o n a l l y i n c o n t r a s t t o s y s t e m a t i c c o d e s w h e r e t h e s e q u e n c e
o f i n p u t s y m b o l s a p p e a r s u n c h a n g e d a t t h e o u t p u t t o g e t h e r w i t h t h e a d d e d r e d u n -
d a n c y t h e s e c o n v o l u t i o n a l c o d e s a r e n o n s y s t e m a t i c c o d e s N S C s . T h e c o d e r i s
d e s c r i b e d b y a c o n v o l u t i o n o f t h e s e q u e n c e o f i n p u t b i t s w i t h p o l y n o m i a l s G
i
o v e r
G F 2
b
i ; k
=
X
j = 0
g
i ; j
u
k , j
; G
i
=
X
j = 0
g
i ; j
2
j
2
T h e g e n e r a t o r p o l y n o m i a l s G
i
a r e o f d e g r e e a n d a r e u s u a l l y n o t w r i t t e n a s p o l y -
n o m i a l s b u t a s n u m b e r s i n o c t a l n o t a t i o n a s s h o w n i n E q . 2 . H e r e g
i ; j
a r e
t h e b i n a r y c o e c i e n t s o f t h e g e n e r a t o r p o l y n o m i a l G
i
. F o r t h e r a t e 1 = 2 = 2
c o d e r i n F i g . 1 7 . 2 t h e g e n e r a t o r p o l y n o m i a l s a r e G
0
= 7 j
o c t a l
= 1 1 1 j
b i n a r y
a n d
G
1
= 5 j
o c t a l
= 1 0 1 j
b i n a r y
. T h e r e f o r e t h e s t r u c t u r e o f t h e e n c o d e r a s s h o w n i n
F i g . 1 7 . 2 r e s u l t s
3
.
T h e c o d e s y m b o l s g e n e r a t e d b y t h e e n c o d e r a r e s u b s e q u e n t l y m a p p e d o n t o
c o m p l e x v a l u e d c h a n n e l s y m b o l s a c c o r d i n g t o a g i v e n m o d u l a t i o n s c h e m e a n d a
p r e d e n e d m a p p i n g f u n c t i o n . I n g e n e r a l t h e c h a n n e l s y m b o l s c
k
a r e t u p l e s o f
c o m p l e x v a l u e d s y m b o l s . A s a n e x a m p l e i n F i g . 1 7 . 2 t h e s y m b o l c o n s t e l l a t i o n
a c c o r d i n g t o B P S K b i n a r y p h a s e s h i f t k e y i n g i s s h o w n . H e r e e a c h c o d e s y m b o l
i s m a p p e d o n t o a t u p l e o f t w o s u c c e s s i v e B P S K s y m b o l s .
T h e c o n c a t e n a t i o n o f m o d u l a t o r c h a n n e l a n d d e m o d u l a t o r a s s h o w n i n
F i g . 1 7 . 1 i s m o d e l e d b y a d d i n g c o m p l e x v a l u e d w h i t e n o i s e n
k
t o t h e c h a n n e l
s y m b o l s c
k
4
. H e n c e f o r t h e r e c e i v e d s y m b o l s y
k
y
k
= c
k
+ n
k
3
h o l d s . T h i s m o d e l i s a d e q u a t e f o r a n u m b e r o f t r a n s m i s s i o n c h a n n e l s e . g . i n s a t e l l i t e
a n d d e e p s p a c e c o m m u n i c a t i o n . E v e n i f a g i v e n t r a n s m i s s i o n c h a n n e l c a n n o t b e
d e s c r i b e d b y a d d i t i v e w h i t e n o i s e e . g . i n t h e c a s e o f f a d i n g c h a n n e l s t h e o r y 7
s h o w s t h a t t h e o p t i m u m d e m o d u l a t o r o r i n n e r r e c e i v e r h a s t o b e d e s i g n e d i n a w a y
t h a t t h e c o n c a t e n a t i o n o f m o d u l a t o r c h a n n e l a n d d e m o d u l a t o r a p p e a r s a g a i n a s
a n a d d i t i v e w h i t e n o i s e c h a n n e l . S o m e t i m e s i f s u c c e s s i v e d e m o d u l a t o r o u t p u t s a r e
c o r r e l a t e d e . g . i f e q u a l i z a t i o n i s e m p l o y e d i n t h e d e m o d u l a t o r o r i f n o i s e b u r s t s
o c c u r a n i n t e r l e a v e r i s i n t r o d u c e d i n t h e t r a n s m i t t e r a t t h e c o d e r o u t p u t a n d t h e
3
I f n o t a l l k b i t s o f t h e i n f o r m a t i o n s y m b o l s u
k
e n t e r t h e c o d e r , p a r a l l e l s t a t e t r a n s i t i o n s o c c u r
i n t h e t r e l l i s : T h e p a r a l l e l t r a n s i t i o n s a r e i n d e p e n d e n t o f t h e b y p a s s e d b i t s . H e n c e , a s y m b o l - b y -
s y m b o l d e c i s i o n h a s t o b e i m p l e m e n t e d i n t h e r e c e i v e r f o r t h e b y p a s s e d b i t s . T h i s s i t u a t i o n c a n
b e f o u n d i n t r e l l i s e n c o d e r s f o r t r e l l i s c o d e d m o d u l a t i o n T C M 1 0 c o d e s .
4
N o t e t h a t , b e l o w , b o l d l e t t e r s d e n o t e c o m p l e x v a l u e d n u m b e r s , a n d c a p i t a l l e t t e r s d e n o t e
s e q u e n c e s o f v a l u e s i n m a t h e m a t i c a l e x p r e s s i o n s .
-
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5/42
V i t e r b i D e c o d e r s 5
c o r r e s p o n d i n g d e i n t e r l e a v e r i s i n t r o d u c e d p r i o r t o V i t e r b i d e c o d i n g . I n t e r l e a v i n g
r e d u c e s t h e c o r r e l a t i o n s b e t w e e n s u c c e s s i v e d e m o d u l a t o r o u t p u t s .
T h e b e h a v i o r o f t h e e n c o d e r i s i l l u s t r a t e d b y d r a w i n g t h e s t a t e t r a n s i t i o n s
o f t h e F S M o v e r t i m e a s s h o w n i n F i g . 1 7 . 2 . T h e r e s u l t i n g s t r u c t u r e t h e t r e l l i s
d i a g r a m o r j u s t t r e l l i s i s u s e d b y t h e V i t e r b i d e c o d e r t o n d t h e m o s t l i k e l y s e q u e n c e
o f i n f o r m a t i o n s y m b o l s i n d i c a t e d b y t h e t h i c k l i n e s i n F i g . 1 7 . 2 g i v e n t h e r e c e i v e d
s y m b o l s y
k
. I n t h e t r e l l i s a l l p o s s i b l e e n c o d e r s t a t e s a r e d r a w n a s n o d e s a n d
t h e p o s s i b l e s t a t e t r a n s i t i o n s a r e r e p r e s e n t e d b y l i n e s c o n n e c t i n g t h e n o d e s . G i v e n
t h e i n i t i a l s t a t e o f t h e e n c o d e r F S M t h e r e e x i s t s a o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c e o f
t h e F S M s t a t e s e q u e n c e t o t h e s e q u e n c e o f i n f o r m a t i o n s y m b o l s U = f u
k
g w i t h
k 2 f 0 ; : : : ; T , 1 g .
0 k k+1 T
x
0
1
2
3
ss0,k 0,k+1
s s3,k 3,k+1
z-1
z-1
+
+
uk
codesymbols
Mapper
channelsymbols
modulo 2addition
xx1,k 0,k
ky
known startstate X =00 T
additivewhitenoise n
CONVOLUTIONAL CODER
VITERBI DECODER
CHANNEL
kinformationbits
uk-1
uk-2
T-1
BPSK
kc
kb
kb = 1
i
kb = 0
i
Survivor Memory
known endstate X =0
decoded bits
decisions
F i g u r e 1 7 . 2 C o n v o l u t i o n a l C o d e r a n d T r e l l i s d i a g r a m .
T h e n u m b e r o f t r e l l i s s t a t e s i s N = 2
= 2
K , 1
a n d t h e n u m b e r o f b r a n c h e s
m e r g i n g i n t o o n e s t a t e i s c a l l e d M w h e r e M = 2
k
i s e q u a l t o t h e n u m b e r o f p o s s i b l e
i n f o r m a t i o n s y m b o l s u
k
. F o r b i n a r y s y m b o l s M = 2 h o l d s a s s h o w n i n F i g . 1 7 . 2 .
T h e t r e l l i s n o d e s r e p r e s e n t i n g s t a t e x
k
= i a t t i m e k a r e d e n o t e d a s s
i ; k
.
A p o s s i b l e s t a t e t r a n s i t i o n i s a b r a n c h i n t h e t r e l l i s a n d a p o s s i b l e s t a t e
s e q u e n c e r e p r e s e n t s a p a t h t h r o u g h t h e t r e l l i s .
I n o r d e r t o o p t i m a l l y r e t r i e v e t h e t r a n s m i t t e d i n f o r m a t i o n o n e s e a r c h e s f o r t h e
c h a n n e l s y m b o l s e q u e n c e
C w h i c h h a s m o s t l i k e l y g e n e r a t e d t h e r e c e i v e d s y m b o l
-
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6/42
6 C h a p t e r 1 7
s e q u e n c e Y . T h i s a p p r o a c h i s c a l l e d M a x i m u m L i k e l i h o o d S e q u e n c e E s t i m a t i o n
M L S E . M a t h e m a t i c a l l y t h i s c a n b e s t a t e d a s f o l l o w s . G i v e n t h e r e c e i v e d s e q u e n c e
Y o n e s e q u e n c e
C i s s e a r c h e d w h i c h m a x i m i z e s t h e v a l u e o f t h e l i k e l i h o o d f u n c t i o n
P Y j C :
C = a r g f m a x
a l l s e q u e n c e s C
P Y j C g 4
S i n c e t h e n o i s e s a m p l e s i n E q . 4 a r e s t a t i s t i c a l l y i n d e p e n d e n t a n d t h e u n d e r l y i n g
s h i f t r e g i s t e r p r o c e s s i s a M a r k o v p r o c e s s t h e s e q u e n c e l i k e l i h o o d f u n c t i o n c a n b e
f a c t o r i z e d 2 :
P Y j C =
T , 1
Y
k = 0
P y
k
j c
k
5
H e r e P y
k
j c
k
i s t h e c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n P D F o f o n e r e c e i v e d
s a m p l e y
k
g i v e n c
k
. I n o r d e r t o e x p r e s s P y
k
j c
k
t h e P D F o f t h e n o i s e h a s t o b e
k n o w n .
S i n c e t h e l o g a r i t h m i s a m o n o t o n i c f u n c t i o n w e c a n e q u a l l y w e l l m a x i m i z e :
C = a r g f m a x
a l l s e q u e n c e s C
T , 1
X
k = 0
l o g P y
k
j c
k
g 6
T h e l o g l i k e l i h o o d f u n c t i o n l o g P y
k
j c
k
i s g i v e n t h e n a m e b r a n c h m e t r i c o r t r a n -
s i t i o n m e t r i c
5
.
W e r e c a l l t h a t t o e v e r y b r a n c h i n t h e t r e l l i s s e e F i g . 1 7 . 2 t h e r e c o r r e s p o n d s
e x a c t l y o n e t u p l e o f c h a n n e l s y m b o l s c
k
. W e t h e r e f o r e a s s i g n a b r a n c h m e t r i c
m ; i
k
t o e v e r y b r a n c h i n t h e t r e l l i s .
m ; i
k
d e n o t e s t h e b r a n c h m e t r i c o f t h e m - t h b r a n c h
l e a d i n g t o t r e l l i s s t a t e s
i ; k
w h i c h i s e q u a l t o t h e e n c o d e r s t a t e x
k
= i . I n s t e a d o f
u s i n g
m ; i
k
w h i c h e x p r e s s e s t h e b r a n c h m e t r i c a s a f u n c t i o n o f t h e b r a n c h l a b e l
m a n d t h e c u r r e n t s t a t e x
k
= i i t i s s o m e t i m e s m o r e c o n v e n i e n t t o u s e
i j ; k
w h i c h d e n o t e s t h e b r a n c h m e t r i c o f t h e b r a n c h f r o m t r e l l i s s t a t e s
j ; k
t o t r e l l i s s t a t e
s
i ; k + 1
. T h e u n i t c a l c u l a t i n g a l l p o s s i b l e b r a n c h m e t r i c s i n a V i t e r b i d e c o d e r i s c a l l e d
t r a n s i t i o n m e t r i c u n i t T M U .
A s a n i m p o r t a n t e x a m p l e w e c o n s i d e r z e r o m e a n c o m p l e x v a l u e d a d d i t i v e
w h i t e G a u s s i a n n o i s e A W G N w i t h u n c o r r e l a t e d i n p h a s e a n d q u a d r a t u r e c o m p o -
n e n t s a n d c h a n n e l s y m b o l s c
k
c o n s i s t i n g o f a s i n g l e c o m p l e x v a l u e . W e o b t a i n f o r
t h e b r a n c h m e t r i c :
P y
k
j c
k
=
1
2
e x p
j y
k
, c
k
j
2
2
7
a n d
l o g P y
k
jc
k
jy
k
,c
k
j
2
8
w h e r e
2
i s t h e v a r i a n c e o f t h e c o m p l e x v a l u e d g a u s s i a n r a n d o m v a r i a b l e n
k
. F r o m
E q . 8 w e o b s e r v e t h e i m p o r t a n t f a c t t h a t t h e b r a n c h m e t r i c i s p r o p o r t i o n a l t o
t h e E u c l i d e a n d i s t a n c e b e t w e e n t h e r e c e i v e d s y m b o l y
k
a n d t h e c h a n n e l s y m b o l c
k
.
T h e s u m i n E q . 6 r e p r e s e n t s t h e a c c u m u l a t i o n o f t h e b r a n c h m e t r i c s a l o n g a g i v e n
p a t h t h r o u g h t h e t r e l l i s a c c o r d i n g t o t h e s e q u e n c e C . I t i s c a l l e d p a t h m e t r i c . T h e
5
T h e a d v a n t a g e o f u s i n g t h e l o g a r i t h m f o r t h e b r a n c h m e t r i c s w i l l s o o n b e c o m e a p p a r e n t .
-
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7/42
V i t e r b i D e c o d e r s 7
p a t h m e t r i c f o r a p a t h l e a d i n g t o s t a t e s
i ; k
i s c a l l e d
m ; i
k
w h e r e m 2 f 0 ; : : : ; M , 1 g
d e n o t e s t h e p a t h l a b e l o f o n e o f t h e M p a t h s l e a d i n g t o s t a t e s
i ; k
.
C o n c e p t u a l l y t h e m o s t l i k e l y s e q u e n c e
C c a n b e f o u n d b y a n e x h a u s t i v e s e a r c h
a s f o l l o w s . W e c o m p u t e t h e p a t h m e t r i c f o r e v e r y p o s s i b l e s e q u e n c e C h e n c e f o r
e v e r y p o s s i b l e p a t h t h r o u g h t h e t r e l l i s . T h e m a x i m u m l i k e l i h o o d p a t h w h i c h i s t h e
p a t h w i t h t h e s m a l l e s t E u c l i d e a n d i s t a n c e c o r r e s p o n d s t o
C :
C = a r g f m i n
a l l s e q u e n c e s C
T , 1
X
k = 0
j y
k
, c
k
j
2
g 9
H e n c e m a x i m i z i n g t h e l o g l i k e l i h o o d f u n c t i o n a s i n E q . 6 i s e q u i v a l e n t t o m i n i -
m i z i n g t h e E u c l i d e a n d i s t a n c e a s i n E q . 9 .
S i n c e t h e n u m b e r o f p a t h s i n c r e a s e s e x p o n e n t i a l l y a s a f u n c t i o n o f t h e l e n g t h
o f t h e s e q u e n c e t h e c o m p u t a t i o n a l e o r t t h e n a l s o i n c r e a s e s e x p o n e n t i a l l y . F o r -
t u n a t e l y t h e r e e x i s t s a m u c h m o r e c l e v e r s o l u t i o n t o t h e p r o b l e m w h i c h c a r r i e s
t h e n a m e o f i t s i n v e n t o r t h e V i t e r b i a l g o r i t h m 1 . W h e n u s i n g t h e V A t h e c o m -
p u t a t i o n a l e o r t i n c r e a s e s o n l y l i n e a r l y w i t h t h e l e n g t h o f t h e t r e l l i s h e n c e t h e
c o m p u t a t i o n a l e o r t p e r t r a n s m i t t e d b i t i s c o n s t a n t .
T h e V A r e c u r s i v e l y s o l v e s t h e p r o b l e m o f n d i n g t h e m o s t l i k e l y p a t h b y u s i n g a
f u n d a m e n t a l p r i n c i p l e o f o p t i m a l i t y r s t i n t r o d u c e d b y B e l l m a n 5 w h i c h w e c i t e
h e r e f o r r e f e r e n c e :
T h e P r i n c i p l e o f O p t i m a l i t y : A n o p t i m a l p o l i c y h a s t h e p r o p e r t y t h a t w h a t e v e r t h e
i n i t i a l s t a t e a n d i n i t i a l d e c i s i o n a r e , t h e r e m a i n i n g d e c i s i o n s m u s t c o n s t i t u t e a n
o p t i m a l p o l i c y w i t h r e g a r d t o t h e s t a t e r e s u l t i n g f r o m t h e r s t d e c i s i o n .
I n t h e p r e s e n t c o n t e x t o f V i t e r b i d e c o d i n g w e m a k e u s e o f t h i s p r i n c i p l e a s f o l l o w s .
I f w e s t a r t a c c u m u l a t i n g b r a n c h m e t r i c s a l o n g t h e p a t h s t h r o u g h t h e t r e l l i s t h e
f o l l o w i n g o b s e r v a t i o n h o l d s : W h e n e v e r t w o p a t h s m e r g e i n o n e s t a t e o n l y t h e m o s t
l i k e l y p a t h t h e b e s t p a t h o r t h e s u r v i v o r p a t h n e e d s t o b e r e t a i n e d s i n c e f o r a l l
p o s s i b l e e x t e n s i o n s t o t h e s e p a t h s t h e p a t h w h i c h i s c u r r e n t l y b e t t e r w i l l a l w a y s
s t a y b e t t e r : F o r a n y g i v e n e x t e n s i o n t o t h e p a t h s b o t h p a t h s a r e e x t e n d e d b y t h e
s a m e b r a n c h m e t r i c s . T h i s p r o c e s s i s d e s c r i b e d b y t h e a d d - c o m p a r e - s e l e c t A C S
r e c u r s i o n : T h e p a t h w i t h t h e b e s t p a t h m e t r i c l e a d i n g t o e v e r y s t a t e i s d e t e r m i n e d
r e c u r s i v e l y f o r e v e r y s t e p i n t h e t r e l l i s . T h e m e t r i c s f o r t h e s u r v i v o r p a t h s f o r s t a t e
x
k
= i a t t r e l l i s s t e p k a r e c a l l e d s t a t e m e t r i c s
i ; k
b e l o w .
I n o r d e r t o d e t e r m i n e t h e s t a t e m e t r i c
i ; k
w e c a l c u l a t e t h e p a t h m e t r i c s f o r
t h e p a t h s l e a d i n g t o s t a t e x
k
= i b y a d d i n g t h e s t a t e m e t r i c s o f t h e p r e d e c e s s o r
s t a t e s a n d t h e c o r r e s p o n d i n g b r a n c h m e t r i c s . T h e p r e d e c e s s o r s t a t e x
k , 1
f o r o n e
b r a n c h m o f t h e M p o s s i b l e b r a n c h e s m 2 f 0 : : : M , 1 g l e a d i n g t o s t a t e x
k
= i i s
d e t e r m i n e d b y t h e v a l u e r e s u l t i n g f r o m e v a l u a t i o n o f t h e s t a t e t r a n s i t i o n f u n c t i o n
Z : x
k , 1
= Z m ; i .
m ; i
k
=
Z m ; i ; k , 1
+
m ; i
k
; m
2 f0 ; : : : ; M
,1
g 1 0
T h e s t a t e m e t r i c i s t h e n d e t e r m i n e d b y s e l e c t i n g t h e b e s t p a t h :
i ; k
= M a x f
0 ; i
k
; : : : ;
M , 1 ; i
k
g 1 1
A s a m p l e A C S r e c u r s i o n f o r o n e s t a t e a n d M = 2 i s s h o w n i n F i g . 1 7 . 3 . T h i s
-
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8/42
8 C h a p t e r 1 7
Max { , }(1,i)
k
survivor path
competing path
=(1,i)
k
Z(0,i),k-1
Z(1,i),k-1
(1,i)
k
=i,k
d = 1i,k =
(1,i)
k
(0,i)
k
+
Z(0,i),k-1
(0,i)
k =
(0,i)
k+
Z(1,i),k-1
F i g u r e 1 7 . 3 A C S r e c u r s i o n f o r M = 2
A C S r e c u r s i o n i s p e r f o r m e d f o r a l l N s t a t e s i n t h e t r e l l i s . T h e c o r r e s p o n d i n g u n i t
c a l c u l a t i n g t h e A C S r e c u r s i o n f o r a l l N s t a t e s i s c a l l e d A C S u n i t A C S U .
D e s p i t e t h e r e c u r s i v e c o m p u t a t i o n t h e r e a r e s t i l l N b e s t p a t h s p u r s u e d b y
t h e V A . T h e m a x i m u m l i k e l i h o o d p a t h c o r r e s p o n d i n g t o t h e s e q u e n c e
C c a n b e
n a l l y d e t e r m i n e d o n l y a f t e r r e a c h i n g t h e l a s t s t a t e i n t h e t r e l l i s . I n o r d e r t o
n a l l y r e t r i e v e t h i s p a t h a n d t h e c o r r e s p o n d i n g s e q u e n c e o f i n f o r m a t i o n s y m b o l s
u
k
e i t h e r t h e s e q u e n c e s o f i n f o r m a t i o n s y m b o l s o r t h e s e q u e n c e s o f A C S d e c i s i o n s
c o r r e s p o n d i n g t o e a c h o f t h e N s u r v i v o r p a t h s f o r a l l s t a t e s i a n d a l l t r e l l i s s t e p s k
h a v e t o b e s t o r e d i n t h e s u r v i v o r m e m o r y u n i t S M U a s s h o w n i n F i g . 1 7 . 2 w h i l e
c a l c u l a t i n g t h e A C S r e c u r s i o n . T h e d e c i s i o n f o r o n e b r a n c h m o f M = 2
k
p o s s i b l e
b r a n c h e s i s r e p r e s e n t e d b y t h e d e c i s i o n b i t s d
i ; k
= m .
S o f a r w e c o n s i d e r e d o n l y t h e c a s e t h a t t h e t r e l l i s d i a g r a m i s t e r m i n a t e d
i . e . t h e s t a r t a n d e n d s t a t e s a r e k n o w n . I f t h e t r e l l i s i s t e r m i n a t e d a n a l d e c i s i o n
o n t h e o v e r a l l b e s t p a t h i s p o s s i b l e o n l y a t t h e v e r y e n d o f t h e t r e l l i s . T h e d e c o d i n g
l a t e n c y f o r t h e V A i s t h e n p r o p o r t i o n a l t o t h e l e n g t h o f t h e t r e l l i s . A d d i t i o n a l l y t h e
s i z e o f t h e S M U g r o w s l i n e a r l y w i t h t h e l e n g t h o f t h e t r e l l i s . F i n a l l y i n a p p l i c a t i o n s
l i k e b r o a d c a s t i n g a c o n t i n u o u s s e q u e n c e o f i n f o r m a t i o n b i t s h a s t o b e d e c o d e d
r a t h e r t h a n a t e r m i n a t e d s e q u e n c e i . e . n o k n o w n s t a r t a n d e n d s t a t e e x i s t s .
F o r t u n a t e l y e v e n i n t h i s c a s e c e r t a i n a s y m p t o t i c p r o p e r t i e s a l l o w a n a p p r o x -
i m a t e m a x i m u m l i k e l i h o o d s e q u e n c e e s t i m a t i o n w i t h n e g l i g i b l e p e r f o r m a n c e l o s s e s
a n d l i m i t e d i m p l e m e n t a t i o n e o r t . T h e s e a r e t h e a c q u i s i t i o n a n d t r u n c a t i o n p r o p -
e r t i e s 3 o f t h e V A . C o n s i d e r F i g . 1 7 . 4 : t h e V A i s p u r s u i n g N s u r v i v o r p a t h s
3,k
1,k+
11,k
+13,k
k-D
max
t/T
final survivor path
survivor depth D
k
F i g u r e 1 7 . 4 P a t h t r a j e c t o r i e s f o r t h e V A a t a n i n t e r m e d i a t e t r e l l i s s t e p k
-
8/13/2019 Vit Chap17
9/42
V i t e r b i D e c o d e r s 9
a t t i m e i n s t a n t k w h i l e d e c o d i n g a c e r t a i n t r e l l i s d i a g r a m . T h e s e p a t h s m e r g e
w h e n t r a c e d b a c k o v e r t i m e i n t o a s i n g l e p a t h a s e x e m p l a r i l y s h o w n b y t h e p a t h
t r a j e c t o r i e s i n F i g . 1 7 . 4 . T h i s p a t h i s c a l l e d t h e n a l s u r v i v o r b e l o w . F o r t r e l -
l i s s t e p s s m a l l e r t h a n k , D t h e p a t h s h a v e m e r g e d i n t o t h e n a l s u r v i v o r w i t h
v e r y h i g h p r o b a b i l i t y . T h e s u r v i v o r d e p t h D w h i c h g u a r a n t e e s t h i s b e h a v i o r d e -
p e n d s s t r o n g l y o n t h e u s e d c o d e . S i n c e a l l N p a t h s a t t r e l l i s s t e p k m e r g e i n t o
t h e n a l s u r v i v o r i t i s s u c i e n t t o a c t u a l l y c o n s i d e r o n l y o n e p a t h . H e n c e i t i s
p o s s i b l e t o u n i q u e l y d e t e r m i n e t h e n a l s u r v i v o r p a t h f o r t h e t r e l l i s s t e p s w i t h i n -
d e x s m a l l e r t h a n k , D a l r e a d y a f t e r p e r f o r m i n g t h e A C S r e c u r s i o n f o r t r e l l i s s t e p
k . T h i s p r o p e r t y e n a b l e s d e c o d i n g w i t h a x e d l a t e n c y o f D t r e l l i s s t e p s e v e n f o r
c o n t i n u o u s t r a n s m i s s i o n . A d d i t i o n a l l y t h e s u r v i v o r m e m o r y c a n b e t r u n c a t e d : T h e
S M U h a s t o s t o r e o n l y a x e d n u m b e r o f d e c i s i o n s d
i ; j
f o r i 2 f 0 ; : : : ; N , 1 g a n d
j 2 f k , D ; k , D + 1 ; : : : ; k , 1 ; k g .
I f t h e o v e r a l l b e s t p a t h t h e p a t h w i t h t h e b e s t s t a t e m e t r i c a t t r e l l i s s t e p
k i s u s e d f o r d e t e r m i n i n g t h e n a l s u r v i v o r t h e v a l u e o f D g u a r a n t e e i n g t h a t t h e
n a l s u r v i v o r i s a c q u i r e d w i t h s u c i e n t l y h i g h p r o b a b i l i t y i s t h e s u r v i v o r d e p t h .
T h i s p r o c e d u r e i s c a l l e d b e s t s t a t e d e c o d i n g 1 5 1 6 . S o m e t i m e s a n a r b i t r a r y p a t h
i s c h o s e n i n s t e a d i n o r d e r t o s a v e t h e c o m p u t a t i o n a l e o r t r e q u i r e d i n o r d e r t o
d e t e r m i n e t h e o v e r a l l b e s t p a t h w h i c h i s c a l l e d x e d s t a t e d e c o d i n g . T h e p r o p e r t i e s
o f t h e s e d e c o d i n g s c h e m e s w i l l b e d i s c u s s e d i n s e c t i o n 1 7 . 5 . 4 .
A p h e n o m e n o n v e r y s i m i l a r t o t h e j u s t d e s c r i b e d t r u n c a t i o n b e h a v i o r o c c u r s
w h e n t h e d e c o d i n g p r o c e s s i s s t a r t e d i n m i d s t r e a m a t t r e l l i s s t e p k w i t h a n u n k n o w n
s t a r t s t a t e . D u e t o t h e u n k n o w n s t a r t s t a t e t h e A C S r e c u r s i o n i s s t a r t e d w i t h e q u a l
s t a t e m e t r i c s f o r a l l s t a t e s . H o w e v e r t h e d e c o d i n g h i s t o r y w h i c h i s n e c e s s a r y f o r
r e l i a b l e d e c o d i n g o f t h e s u r v i v o r p a t h i s n o t a v a i l a b l e f o r t h e i n i t i a l t r e l l i s s t e p s .
W h a t h a p p e n s i f w e p e r f o r m t h e A C S r e c u r s i o n a n d t r y t o d e c o d e t h e b e s t p a t h ?
A s i n d i c a t e d i n F i g . 1 7 . 5 t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e n a l s u r v i v o r p a t h d i e r s f r o m
t h e c o r r e c t p a t h i s t h e n m u c h l a r g e r t h a n f o r d e c o d i n g w i t h a k n o w n s t a r t s t a t e .
F o r t u n a t e l y t h e s a m e d e c o d i n g q u a l i t y a s f o r d e c o d i n g w i t h k n o w n s t a r t s t a t e i s
a c h i e v e d a f t e r p r o c e s s i n g a n u m b e r o f i n i t i a l t r e l l i s s t e p s . T h e n u m b e r o f t r e l l i s
s t e p s w h i c h a r e r e q u i r e d h e r e i s c a l l e d a c q u i s i t i o n d e p t h . I t c a n b e s h o w n t h a t t h e
a c q u i s i t i o n d e p t h i s e q u a l t o t h e s u r v i v o r d e p t h D 3 1 7 1 8 . T h i s i s a l s o i n d i c a t e d
i n F i g . 1 7 . 5 w h e r e t h e m e r g i n g o f t h e p a t h s t a k e s p l a c e a t t r e l l i s s t e p k + D .
kt/T
correct path
k+D
final survivor path
ACS recursion starting with trellis step k
acquisition depth D survivor depth D
F i g u r e 1 7 . 5 P a t h t r a j e c t o r i e s f o r a c q u i s i t i o n .
S u m m a r i z i n g t h e t h r e e b a s i c u n i t s o f a V D a r e d e p i c t e d i n F i g . 1 7 . 6 . T h e
b r a n c h m e t r i c s a r e c a l c u l a t e d f r o m t h e r e c e i v e d s y m b o l s i n t h e T r a n s i t i o n M e t -
-
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10/42
1 0 C h a p t e r 1 7
r i c U n i t T M U . T h e s e b r a n c h m e t r i c s a r e f e d i n t o t h e a d d c o m p a r e s e l e c t u n i t
A C S U w h i c h p e r f o r m s t h e A C S r e c u r s i o n f o r a l l s t a t e s . T h e d e c i s i o n s g e n e r a t e d
i n t h e A C S U a r e s t o r e d a n d r e t r i e v e d i n t h e S u r v i v o r M e m o r y U n i t S M U i n o r d e r
t o n a l l y d e c o d e t h e s o u r c e b i t s a l o n g t h e n a l s u r v i v o r p a t h . T h e A C S U i s t h e
o n l y r e c u r s i v e p a r t i n a V D a s i n d i c a t e d b y t h e l a t c h . T h e b r a n c h m e t r i c c o m p u -
t a t i o n i s t h e o n l y p a r t w h i c h d i e r s s i g n i c a n t l y i f t h e V A i s u s e d f o r e q u a l i z a t i o n
i n s t e a d o f d e c o d i n g .
TMU ACSU SMU
Latch
channelsymbols y
k
branchmetrics
statemetrics
k
decisionbits
decodedbits u
F i g u r e 1 7 . 6 V i t e r b i D e c o d e r b l o c k d i a g r a m .
F o l l o w i n g w e s t a t e a c o m p u t a t i o n a l m o d e l f o r t r a n s m i t t e r A W G N c h a n n e l
a n d r e c e i v e r t h a t w i l l b e u s e d i n t h e s u b s e q u e n t s e c t i o n s . T h e m o d e l i s s h o w n i n
F i g . 1 7 . 7 .
k input bits
n > k output bits b
ku
informationsymbol
Transmitter
one orseveralchannelsymbolsck
k
(i)
code symbol bk
FiniteStateMachine
Mappertocomplexchannelsymbols
PuncturingUnit E
S
Viterbi
Decoder
Depuncturing
Unit
ky
additivewhitenoise n
k
AutomaticGain Control,here: 1
ES
Analog-to-digitalConversion
ReceiverChannel
F i g u r e 1 7 . 7 C o m p u t a t i o n a l m o d e l f o r t r a n s m i t t e r , A W G N c h a n n e l a n d r e c e i v e r .
I n o u r m o d e l w e a s s u m e t h a t t h e c h a n n e l s y m b o l s h a v e e n e r g y n o r m a l i z e d
t o u n i t y a f t e r l e a v i n g t h e m a p p e r f o r r e a s o n s o f s i m p l i c i t y . V a r y i n g t r a n s m i s s i o n
c o n d i t i o n s a r e m o d e l e d b y c h a n g i n g t h e s i g n a l e n e r g y t o n o i s e r a t i o E
s
= N
o
. E
s
i s
t h e s i g n a l e n e r g y a n d N
o
i s t h e o n e s i d e d p o w e r s p e c t r a l d e n s i t y o f t h e n o i s e . S i n c e
t h e a d d i t i v e n o i s e i s a s s u m e d t o h a v e a c o n s t a n t v a r i a n c e i n t h e m o d e l c h a n g e s i n
E
s
= N
o
a r e m o d e l e d b y c h a n g i n g t h e g a i n i n t h e s c a l i n g b l o c k a t t h e t r a n s m i t t e r
o u t p u t :
p
E
s
. I n t h e r e c e i v e r a u n i t i m p l e m e n t i n g a u t o m a t i c g a i n c o n t r o l A G C i s
n e c e s s a r y i n f r o n t o f t h e a n a l o g t o d i g i t a l c o n v e r t e r A D C . I n o u r c o m p u t a t i o n a l
-
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11/42
V i t e r b i D e c o d e r s 1 1
m o d e l t h e A G C j u s t i m p l e m e n t s a x e d s c a l i n g b y
1
p
E
s
i n o r d e r t o n o r m a l i z e
t h e e n e r g y o f t h e r e c e i v e d d e m o d u l a t e d s y m b o l s y
k
t o u n i t y a g a i n w h i c h i s j u s t
a m a t t e r o f m a t h e m a t i c a l c o n v e n i e n c e . T h e r e f o r e t h e r e f e r e n c e s y m b o l s i n t h e
d e c o d e r h a v e t h e s a m e m a g n i t u d e a n d e n e r g y a s i n t h e e n c o d e r . S e v e r a l i s s u e s
r e l a t e d t o A G C a n d A D C a r e d i s c u s s e d i n s e c t i o n 1 7 . 3 . F o r a c t u a l V i t e r b i d e c o d e r
s y s t e m d e s i g n a n d a s s e s s m e n t o f t h e p e r f o r m a n c e i m p a c t o f a l l p a r a m e t e r s a n d
q u a n t i z a t i o n e e c t s s y s t e m d e s i g n a n d s i m u l a t i o n t o o l s l i k e C O S S A P
T M
4 a r e
i n d i s p e n s a b l e .
1 7 . 2 . 1 E x a m p l e : K = 3 C o n v o l u t i o n a l C o d e w i t h B P S K
A s a n i m p l e m e n t a t i o n e x a m p l e w e w i l l u s e t h e K = 3 r a t e 1 = 2 c o d e w i t h
g e n e r a t o r p o l y n o m i a l s 7 ; 5 w i t h t h e t r e l l i s s h o w n i n F i g . 1 7 . 2 . F o r B P S K t h e
n = 2 c o d e d b i t s f o r a s t a t e t r a n s i t i o n i n t h e e n c o d e r a r e m a p p e d o n t o t w o c o m p l e x
v a l u e d B P S K s y m b o l s c
k
= c
1 ; k
; c
2 ; k
a c c o r d i n g t o t h e m a p p i n g f u n c t i o n :
c
1 ; k
= 1 , 2 b
1 ; k
= e x p i b
1 ; k
c
2 ; k
= 1
,2 b
2 ; k
= e x p i b
2 ; k
I f t h e a d d i t i v e n o i s e i s g a u s s i a n t h e c h a n n e l i s A W G N a n d t h e l i k e l i h o o d
f u n c t i o n P y
k
jc
k
f o r t h e t w o s u c c e s s i v e r e c e i v e d c o m p l e x v a l u e d s y m b o l s y
k
=
y
1 ; k
; y
2 ; k
c o r r e s p o n d i n g t o a t r e l l i s t r a n s i t i o n i s g i v e n b y :
P y
k
j c
k
= P y
1 ; k
j c
1 ; k
P y
2 ; k
j c
2 ; k
=
r
E
s
N
o
e x p ,
E
s
N
o
j y
1 ; k
, c
1 ; k
j
2
r
E
s
N
0
e x p ,
E
s
N
o
j y
2 ; k
, c
2 ; k
j
2
1 2
H e n c e t h e c o r r e s p o n d i n g b r a n c h m e t r i c i s g i v e n b y :
m ; i
k
= ,
E
s
N
o
j y
1 ; k
, c
1 ; k
j
2
+ j y
2 ; k
, c
2 ; k
j
2
+ 2 l n
r
E
s
N
o
1 3
T h e t e r m 2 l n w h i c h i s c o m m o n f o r a l l b r a n c h m e t r i c s c a n b e n e g l e c t e d
s i n c e t h i s d o e s n o t a e c t t h e p a t h s e l e c t i o n . S i n c e t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e c h a n -
n e l s y m b o l s i s a l w a y s z e r o t h e i m a g i n a r y p a r t y
i ; k ; i m
o f t h e r e c e i v e d s y m b o l s
y
i ; k
= y
i ; k ; r e
+ i y
i ; k ; i m
o n l y l e a d s t o a n a d d i t i v e v a l u e w h i c h i s c o m m o n f o r a l l
b r a n c h m e t r i c s a n d c a n b e n e g l e c t e d . F u r t h e r m o r e i f t h e q u o t i e n t o f s i g n a l e n e r g y
a n d n o i s e p o w e r s p e c t r a l d e n s i t y i s c o n s t a n t o v e r t i m e t h e f a c t o r
E
s
N
o
c a n a l s o b e
n e g l e c t e d :
m ; i
k
,
y
1 ; k ; r e
,c
1 ; k ; r e
2
+ y
2 ; k ; r e
,c
2 ; k ; r e
2
1 4
T h i s c a l c u l a t i o n o f t h e b r a n c h m e t r i c s i s p e r f o r m e d i n t h e t r a n s i t i o n m e t r i c
u n i t T M U .
I n o r d e r t o c a l c u l a t e t h e A C S r e c u r s i o n i n t h e A C S u n i t w e h a v e t o d e n e
t h e s t a t e t r a n s i t i o n f u n c t i o n f o r t h e u s e d K = 3 c o d e . F o r f e e d f o r w a r d s h i f t r e g i s t e r
c o d e r s t h i s f u n c t i o n i s g i v e n b y
Z m ; x
k
= Z m ; f x
K , 2 ; k
; : : : ; x
0 ; k
g = f x
K , 3 ; k
; : : : ; x
0 ; k
; m g 1 5
-
8/13/2019 Vit Chap17
12/42
1 2 C h a p t e r 1 7
i f t h e b r a n c h l a b e l m i s c h o s e n t o b e e q u a l t o t h e b i t s h i f t e d o u t o f t h e e n c o d e r f o r
t r e l l i s s t e p k .
F o r t h e r e s u l t i n g t r e l l i s w i t h N = 2
3 , 1
= 4 s t a t e s s e e F i g . 1 7 . 2 t h e A C S
r e c u r s i o n i s g i v e n b y :
0 ; k + 1
= M a x
0 ; k
+
0 ; 0
k + 1
;
1 ; k
+
1 ; 0
k + 1
1 ; k + 1
= M a x
2 ; k
+
0 ; 1
k + 1
;
3 ; k
+
1 ; 1
k + 1
2 ; k + 1
= M a x
0 ; k
+
0 ; 2
k + 1
;
1 ; k
+
1 ; 2
k + 1
3 ; k + 1
= M a x
2 ; k
+
0 ; 3
k = 1
;
3 ; k
+
1 ; 3
k + 1
1 6
A g e n e r a l i z a t i o n t o m o r e c o m p l e x c o d e s i s o b v i o u s .
1 7 . 3 T h e t r a n s i t i o n m e t r i c u n i t T M U
I n t h e T M U o f a V i t e r b i d e c o d e r t h e b r a n c h m e t r i c s
m ; i
k
a r e c o m p u t e d
w h i c h a r e u s e d i n t h e A C S U t o u p d a t e t h e n e w s t a t e m e t r i c s
i ; k
. T h e n u m b e r
o f d i e r e n t b r a n c h m e t r i c s d e p e n d s o n t h e n u m b e r o f c o d e d b i t s t h a t a r e a s s o c i -
a t e d w i t h a b r a n c h o f t h e t r e l l i s . F o r a c o d e o f r a t e
k
n
2
n
d i e r e n t b r a n c h m e t r i c s
n e e d t o b e c o m p u t e d f o r e v e r y t r e l l i s s t e p . S i n c e t h e A C S U u s e s o n l y d i e r e n c e s o f
p a t h m e t r i c s t o d e c i d e u p o n s u r v i v o r s e l e c t i o n a r b i t r a r y c o n s t a n t s c a n b e a d d e d
t o t h e b r a n c h m e t r i c s b e l o n g i n g t o a s i n g l e t r e l l i s s t e p w i t h o u t a e c t i n g t h e d e c i -
s i o n s o f t h e V i t e r b i d e c o d e r . C h o o s i n g t h e s e c o n s t a n t s a p p r o p r i a t e l y c a n s i m p l i f y
i m p l e m e n t a t i o n s c o n s i d e r a b l y .
A l t h o u g h t h e T M U c a n b e q u i t e c o m p l e x i f c h a n n e l s y m b o l s o f h i g h c o m -
p l e x i t y e . g . 6 4 - Q A M e t c n e e d t o b e p r o c e s s e d i t s c o m p l e x i t y i s u s u a l l y s m a l l
c o m p a r e d t o a c o m p l e t e V i t e r b i d e c o d e r . W e r e s t r i c t t h e d i s c u s s i o n h e r e t o t h e
c a s e o f B P S K m o d u l a t i o n r a t e 1 2 c o d e s a n d a d d i t i v e w h i t e g a u s s i a n n o i s e . W e
u s e y
i ; k
i n s t e a d o f y
i ; k ; r e
a n d c
i ; k
i n s t e a d o f c
i ; k ; r e
c f E q . 1 4 i n o r d e r t o s i m p l i f y
t h e n o t a t i o n
6
.
S t a r t i n g f r o m E q . 1 4 w e w r i t e t h e b r a n c h m e t r i c s a s
m ; i
k
= C
0
y
2
1 ; k
, 2 y
1 ; k
c
1 ; k
+ c
1 ; k
2
+ y
2
2 ; k
, 2 y
2 ; k
c
2 ; k
+ c
2 ; k
2
+ C
1
1 7
w i t h C
0
; C
1
b e i n g c o n s t a n t s .
S i n c e c
1 ; k
a n d c
2 ; k
2 f , 1 ; 1 g h o l d s a n d t h e s q u a r e d r e c e i v e d s y m b o l s a p p e a r i n
a l l d i e r e n t b r a n c h m e t r i c s i n d e p e n d e n t l y o f t h e c h a n n e l s y m b o l s t h a t a r e a s s o c i a t e d
w i t h t h e b r a n c h e s t h e s q u a r e d t e r m s a r e c o n s t a n t f o r a s e t o f b r a n c h m e t r i c s a n d
c a n b e r e m o v e d w i t h o u t a e c t i n g t h e d e c o d i n g p r o c e s s
7
. T h u s w e c a n w r i t e t h e
a c t u a l l y c o m p u t e d b r a n c h m e t r i c s a s
m ; i
k
0
= C
2
f , y
1 ; k
c
1 ; k
, y
2 ; k
c
2 ; k
g + C
3
w i t h c o n s t a n t s C
2
0 ; C
3
1 8
6
N o t e t h a t e x t e n s i o n t o Q P S K q u a t e r n a r y p h a s e s h i f t k e y i n g i s o b v i o u s . T h e n , y
1 ; k
a n d y
2 ; k
d e n o t e t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t o f a s i n g l e r e c e i v e d c o m p l e x v a l u e d s y m b o l , r e s p e c t i v e l y . c
1 ; k
a n d c
2 ; k
d e n o t e t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t o f a s i n g l e c o m p l e x v a l u e d Q P S K c h a n n e l s y m b o l .
7
T h e t e r m s c
x ; k
2
a r e n o t c o n s t a n t f o r e v e r y m o d u l a t i o n s c h e m e e . g . f o r 1 6 - Q A M a n d t h u s
c a n n o t b e n e g l e c t e d g e n e r a l l y .
-
8/13/2019 Vit Chap17
13/42
V i t e r b i D e c o d e r s 1 3
I n E q . 1 8 C
3
c a n b e c h o s e n i n d e p e n d e n t l y f o r e v e r y t r e l l i s s t e p k w h i l e C
2
m u s t
b e c o n s t a n t f o r d i e r e n t k t o a v o i d d e t e r i o r a t i o n o f t h e d e c o d i n g p r o c e s s . F o r
h a r d w a r e i m p l e m e n t a t i o n s C
3
i s a d v a n t a g e o u s l y c h o s e n s u c h t h a t
m ; i
k
0
i s a l w a y s
p o s i t i v e . T h i s e n a b l e s t h e u s e o f u n s i g n e d a r i t h m e t i c i n t h e A C S U f o r p a t h m e t r i c
c o m p u t a t i o n s . F o r S W i m p l e m e n t a t i o n s i t i s o f t e n a d v a n t a g e o u s t o c h o s e C
3
= 0
s i n c e t h e n
0 ; i
k
0
= ,
1 ; i
k
0
h o l d s f o r a l l g o o d r a t e 1 2 c o d e s . T h i s c a n b e u s e d t o
r e d u c e t h e c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y o f t h e A C S c o m p u t a t i o n s .
1 7 . 3 . 1 B r a n c h m e t r i c q u a n t i z a t i o n
W h i l e t h e T M U u s u a l l y h a s o n l y a m i n o r i m p a c t o n t h e c o m p l e x i t y o f a
V i t e r b i d e c o d e r t h e A C S U i s a m a j o r p a r t . T h e c o m p l e x i t y o f t h e A C S U d e p e n d s
s t r o n g l y o n t h e w o r d l e n g t h o f t h e b r a n c h m e t r i c s . I t i s t h u s i m p o r t a n t t o r e d u c e
t h e b r a n c h m e t r i c w o r d l e n g t h t o t h e r e q u i r e d m i n i m u m .
I t i s w e l l k n o w n f o r a l o n g t i m e t h a t a w o r d l e n g t h o f w = 3 b i t s i s a l m o s t
o p t i m u m f o r t h e r e c e i v e d s y m b o l s i n t h e c a s e o f B P S K m o d u l a t i o n 6 . H o w e v e r
t h i s r e q u i r e s v i r t u a l l y i d e a l g a i n c o n t r o l b e f o r e t h e V i t e r b i d e c o d e r . T h u s l a r g e r
w o r d l e n g t h s a r e o f t e n u s e d i n p r a c t i c e t o p r o v i d e s o m e m a r g i n f o r g a i n c o n t r o l .
F o r a c t u a l d e t e r m i n a t i o n o f t h e w o r d l e n g t h s i n t h e p r e s e n c e o f a g i v e n g a i n c o n t r o l
s c h e m e a n d a n a l o g t o d i g i t a l c o n v e r s i o n s y s t e m s i m u l a t i o n h a v e t o b e p e r f o r m e d
w h i c h c a n b e d o n e e a s i l y u s i n g t o o l s l i k e C O S S A P
T M
4 .
T o c o m p u t e t h e b r a n c h m e t r i c s c o r r e c t l y i t m u s t b e k n o w n h o w t h e o r i g i n a l "
i n p u t v a l u e i s q u a n t i z e d t o t h e i n p u t v a l u e o f t h e T M U c o n s i s t i n g o f w b i t s . A s
i s p o i n t e d o u t a l r e a d y i n 6 t h e q u a n t i z a t i o n s t e p s d o n o t n e c e s s a r i l y h a v e t o b e
e q u i d i s t a n t l y s p a c e d . H o w e v e r o n l y s u c h l i n e a r " s c h e m e s a r e c o n s i d e r e d h e r e .
S t e p a t z e r o q u a n t i z a t i o n
P r o b a b l y t h e m o s t w i d e l y u s e d q u a n t i z a t i o n c h a r a c t e r i s t i c i s a s y m m e t r i c a l i n -
t e r p r e t a t i o n o f a w - b i t 2 ' s c o m p l e m e n t n u m b e r b y a d d i n g i m p l i c i t e l y 0 : 5 . F i g . 1 7 . 8
s h o w s t h e c h a r a c t e r i s t i c o f s u c h a q u a n t i z e r f o r 2 b i t s o u t p u t w o r d l e n g t h . Q i s t h e
2 ' s c o m p l e m e n t o u t p u t v a l u e o f t h e q u a n t i z e r o n t h e x - a x i s t h e n o r m a l i z e d i n p u t
v a l u e i s g i v e n a n d o n t h e y - a x i s t h e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e o u t p u t v a l u e Q w h i c h
a c t u a l l y i s Y = Q + 0 : 5 .
T a b l e 1 7 . 1 s h o w s r a n g e a n d i n t e r p r e t a t i o n a g a i n f o r a 3 - b i t i n t e g e r o u t p u t
v a l u e o f s u c h a q u a n t i z e r .
2 ' s c o m p l e m e n t q u a n t i z e r o u t p u t v a l u e - 4 . . . - 1 0 . . . 3
i n t e r p r e t a t i o n d u e t o q u a n t i z e r c h a r a c t e r i s t i c - 3 . 5 . . . - 0 . 5 0 . 5 . . . 3 . 5
T a b l e 1 7 . 1 S t e p a t z e r o q u a n t i z e r o u t p u t v a l u e i n t e r p r e t a t i o n
C l e a r l y t h e q u a n t i z e r i n p u t v a l u e 0 n e e d s t o b e t h e d e c i s i o n t h r e s h o l d o f
t h e q u a n t i z e r b e t w e e n t h e a s s o c i a t e d n o r m a l i z e d i n t e g e r v a l u e s , 1 a n d 0 t h a t a r e
i n t e r p r e t e d a s , 0 : 5 a n d 0 : 5 r e s p e c t i v e l y . T h u s t h e v a l u e z e r o c a n n o t b e r e p r e s e n t e d
a n d t h e a c t u a l r a n g e o f a 2
w
- l e v e l q u a n t i z e r i s s y m m e t r i c . E v e n w i t h a v e r y l o w
a v e r a g e s i g n a l l e v e l b e f o r e t h e q u a n t i z e r t h e s i g n o f t h e i n p u t s i g n a l i s s t i l l r e t a i n e d
b e h i n d t h e q u a n t i z e r . T h u s t h e w o r s t c a s e p e r f o r m a n c e u s i n g s u c h a q u a n t i z e r
c h a r a c t e r i s t i c i s e q u i v a l e n t t o h a r d d e c i s i o n d e c o d i n g . U s i n g t h i s i n t e r p r e t a t i o n
a n d c h o s i n g C
2
= 1 i n E q . 1 8 a n d w = 3 t h e r e s u l t i n g r a n g e o f t h e i n t e g e r
-
8/13/2019 Vit Chap17
14/42
1 4 C h a p t e r 1 7
Q=-2
Q=-1
Q=0
Q=1 saturation
saturation
-2
-1
1
2
normalizedinputlevel
Interpretation
1 2-1-2
F i g u r e 1 7 . 8 C h a r a c t e r i s t i c o f a 2 - b i t s t e p - a t - z e r o q u a n t i z e r .
v a l u e d b r a n c h m e t r i c s i s
M i n
m ; i
k
= C
3
,3 : 5
,3 : 5 = C
3
,7 1 9
M a x
m ; i
k
= C
3
+ 7
t h u s w + 1 b i t s a r e s u c i e n t f o r t h e b r a n c h m e t r i c s a n d C
3
= 2
w
, 1 c a n b e c h o s e n
t o o b t a i n a l w a y s p o s i t i v e b r a n c h m e t r i c s .
D e a d z o n e q u a n t i z e r
A s e c o n d q u a n t i z a t i o n a p p r o a c h i s t o t a k e t h e u s u a l 2 ' s c o m p l e m e n t v a l u e
w i t h o u t a n y o s e t . F i g . 1 7 . 9 s h o w s t h e c h a r a c t e r i s t i c o f a 2 - b i t d e a d z o n e q u a n t i z e r .
Q=-2
Q=-1
Q=0
Q=1 saturation
saturation
-2
-1
1
2
normalizedinputlevel
Interpretation
1 2-1-2
saturation (symmetric)
F i g u r e 1 7 . 9 C h a r a c t e r i s t i c o f a 2 - b i t d e a d z o n e q u a n t i z e r .
I n t h i s c a s e t h e v a l u e 0 i s o u t p u t o f t h e q u a n t i z e r f o r a c e r t a i n r a n g e a r o u n d
i n p u t v a l u e 0 n o m i n a l l y f o r , 0 : 5 x 0 : 5 . I n c o n t r a s t t o s t e p a t z e r o q u a n t i -
z a t i o n v e r y l o w a v e r a g e s i g n a l l e v e l s b e f o r e q u a n t i z a t i o n w i l l u l t i m a t e l y r e s u l t i n
-
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15/42
V i t e r b i D e c o d e r s 1 5
l o o s i n g t h e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e i n p u t s i g n a l c o m p l e t e l y e v e n t h e s i g n s i n c e t h e
q u a n t i z e r t h e n o u t p u t s z e r o v a l u e s o n l y . W h e n u s i n g t h i s q u a n t i z e r c h a r a c t e r i s t i c
i t i s a d v a n t a g e o u s t o c o m p u t e t h e b r a n c h m e t r i c s a s
m ; i
k
0
= C
3
+
1
2
f y
1 ; k
c
1 ; k
+ A b s y
1 ; k
+ y
2 ; k
c
2 ; k
+ A b s y
2 ; k
g 2 0
T h i s c h o i c e i s l e g a l s i n c e A b s y
1 ; k
+ A b s y
2 ; k
i s c o n s t a n t f o r e v e r y t r e l l i s
s t e p a n d t h u s d o e s n o t i n u e n c e t h e s e l e c t i o n d e c i s i o n s o f t h e A C S U . B y c h o o s i n g
C
3
= 0 t h e r a n g e o f t h e b r a n c h m e t r i c s i s n o w
0
m ; i
k
0
2 M a x A b s y
k
2 1
I t i s e a s i l y s h o w n t h a t t h e b r a n c h m e t r i c s a r e s t i l l i n t e g e r v a l u e s i f c o m p u t e d a c -
c o r d i n g t o E q . 2 0 . F o r a u s u a l w - b i t i n t e g e r w i t h r a n g e f , 2
w , 1
; : : : ; 2
w , 1
, 1 g t h e
r e s u l t i n g b r a n c h m e t r i c r a n g e i s 0 ; : : : ; 2
w
w h i c h r e q u i r e s w + 1 - b i t b r a n c h m e t r i c s .
H o w e v e r b y m a k i n g t h e q u a n t i z e r o u t p u t r a n g e s y m m e t r i c a l i . e . c o n s t r a i n i n g y
1 ; k
a n d y
2 ; k
t o t h e i n t e r v a l f , 2
w , 1
+ 1 ; : : : ; 2
w , 1
, 1 g t h e b r a n c h m e t r i c r a n g e b e c o m e s
f 0 ; : : : ; 2
w
, 1 g w h i c h c a n b e r e p r e s e n t e d w i t h w - b i t u n s i g n e d b r a n c h m e t r i c s c f
1 9 . S i n c e s y m m e t r y i s a n y w a y a d v a n t a g e o u s t o a v o i d a b i a s e d d e c o d i n g p r o c e s s
t h i s i s t h e o p t i o n o f c h o i c e .
W i t h t h i s a p p r o a c h w e c a n e i t h e r r e d u c e t h e b r a n c h m e t r i c w o r d l e n g t h b y
o n e b i t a n d r e d u c e t h e q u a n t i z a t i o n l e v e l s b y o n e e . g . f r o m 8 l e v e l s t o 7 l e v e l s
f o r a 3 - b i t i n p u t v a l u e o r i n c r e a s e t h e i n p u t w o r d l e n g t h b y o n e b i t a n d t h e r e b y
p r o v i d e m o r e m a r g i n f o r n o n - i d e a l g a i n c o n t r o l . T h u s t h e a p p r o a c h e i t h e r l e a d s t o
d e c r e a s e d A C S U c o m p l e x i t y o r b e t t e r p e r f o r m a n c e a t e q u a l c o m p l e x i t y s i n c e t h e
T M U c o m p l e x i t y i s i n m o s t c a s e s s t i l l m a r g i n a l .
1 7 . 3 . 2 S u p p o r t o f p u n c t u r e d c o d e s
S i n c e p u n c t u r e d c o d e s a r e d e r i v e d f r o m a b a s e c o d e b y d e l e t i n g s o m e c o d e
b i t s p r i o r t o t r a n s m i s s i o n t h e d e c o d e r o f t h e b a s e c o d e c a n b e u s e d i f t h e T M U
c a n c o m p u t e t h e b r a n c h m e t r i c s s u c h t h a t t h e m i s s i n g i n f o r m a t i o n d o e s n o t a e c t
t h e d e c i s i o n s o f t h e r e m a i n i n g d e c o d e r . A s s u m i n g w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y t h a t
t h e s e c o n d r e c e i v e d v a l u e y
2 ; k
i n t h e e x a m p l e a b o v e i s m i s s i n g t h e T M U h a s t o
c o m p u t e t h e b r a n c h m e t r i c s s u c h t h a t t h e t e r m s
y
2 ; k
c
2 ; k
r e s p e c t i v e l y y
2 ; k
c
2 ; k
+ A b s y
2 ; k
2 2
e v a l u a t e t o a c o n s t a n t f o r a l l d i e r e n t b r a n c h m e t r i c s . T o a c h i e v e t h i s i t i s p o s s i b l e
t o e i t h e r r e p l a c e y
2 ; k
w i t h 0 o r t o m a n i p u l a t e t h e m e t r i c c o m p u t a t i o n s u c h t h a t
c
2 ; k
i s c o n s t a n t f o r a l l c o m p u t e d b r a n c h m e t r i c s w h i c h i s e q u i v a l e n t t o r e l a b e l i n g
p a r t o f t h e b r a n c h e s o f t h e t r e l l i s w i t h d i e r e n t c o d e s y m b o l s .
C l e a r l y t h e r s t a p p r o a c h i s a p p l i c a b l e o n l y i f o n e o f t h e q u a n t i z e d v a l u e s
i s a c t u a l l y i n t e r p r e t e d a s 0 a s f o r t h e D e a d z o n e q u a n t i z e r d i s c u s s e d a b o v e s i n c e
y
2 ; k
= 0 c a n e a s i l y b e c h o s e n . F o r s t e p a t z e r o q u a n t i z a t i o n w h e r e t h e q u a n t i z e d
v a l u e s a r e i n t e r p r e t e d w i t h a n i m p l i c i t o s e t o f 0 . 5 m a n i p u l a t i n g t h e b r a n c h l a b e l s
i s t h e b e t t e r c h o i c e s i n c e a r e p l a c e m e n t v a l u e o f 0 i s n o t s t r a i g h t f o r w a r d l y a v a i l a b l e .
-
8/13/2019 Vit Chap17
16/42
1 6 C h a p t e r 1 7
1 7 . 4 T h e A d d C o m p a r e S e l e c t U n i t
G i v e n t h e b r a n c h m e t r i c s t h e A C S U c a l c u l a t e s t h e s t a t e m e t r i c s a c c o r d i n g
t o t h e A C S r e c u r s i o n w h i c h r e p r e s e n t s a s y s t e m o f n o n l i n e a r r e c u r r e n c e e q u a t i o n s .
S i n c e t h e A C S o p e r a t i o n i s t h e o n l y r e c u r s i v e p a r t o f t h e V i t e r b i a l g o r i t h m t h e
a c h i e v a b l e d a t a a n d c l o c k r a t e o f a V L S I i m p l e m e n t a t i o n i s d e t e r m i n e d b y t h e
c o m p u t a t i o n t i m e o f t h e A C S r e c u r s i o n . D u e t o t h e r e p e a t e d a c c u m u l a t i o n o f
b r a n c h m e t r i c s t o s t a t e m e t r i c s t h e m a g n i t u d e o f t h e s e m e t r i c s i s p o t e n t i a l l y u n -
b o u n d e d . H e n c e m e t r i c n o r m a l i z a t i o n s c h e m e s a r e n e c e s s a r y f o r a x e d w o r d l e n g t h
i m p l e m e n t a t i o n .
1 7 . 4 . 1 M e t r i c n o r m a l i z a t i o n s c h e m e s
I n o r d e r t o p r e v e n t a r i t h m e t i c o v e r o w s i t u a t i o n s a n d i n o r d e r t o k e e p t h e
r e g i s t e r e o r t a n d t h e c o m b i n a t o r i a l d e l a y f o r t h e a d d a n d c o m p a r e o p e r a t i o n s i n
t h e A C S U a s s m a l l a s p o s s i b l e m e t r i c n o r m a l i z a t i o n s c h e m e s a r e u s e d .
S e v e r a l m e t h o d s f o r s t a t e m e t r i c n o r m a l i z a t i o n a r e k n o w n w h i c h a r e b a s e d
o n t w o f a c t s 2 0 :
1 . T h e d i e r e n c e s
k
b e t w e e n a l l s t a t e m e t r i c s a t a n y t r e l l i s s t e p k a r e b o u n d e d
i n m a g n i t u d e b y a x e d q u a n t i t y
M a x
i n d e p e n d e n t o f t h e n u m b e r o f A C S
o p e r a t i o n s a l r e a d y p e r f o r m e d i n t h e t r e l l i s .
2 . A c o m m o n v a l u e m a y b e s u b t r a c t e d f r o m a l l s t a t e m e t r i c s f o r a n y t r e l l i s s t e p
k s i n c e t h e s u b t r a c t i o n o f a c o m m o n v a l u e d o e s n o t h a v e a n y i m p a c t o n t h e
r e s u l t s o f t h e f o l l o w i n g m e t r i c c o m p a r i s o n s .
C o n s i d e r a l l p a t h s s t a r t i n g f r o m a g i v e n s t a t e s
i ; k
i n t h e t r e l l i s c o r r e s p o n d i n g
t o t h e s t a t e x
k
= i i n t h e e n c o d e r . A f t e r a c e r t a i n n u m b e r n o f t r e l l i s s t e p s a l l
o t h e r s t a t e s c a n b e r e a c h e d s t a r t i n g w i t h x
k
= i . S i n c e o n e b i t i s s h i f t e d i n t o t h e
e n c o d e r s h i f t r e g i s t e r f o r e v e r y t r e l l i s s t e p n i s o b v i o u s l y e q u a l t o K , 1 . I n o t h e r
w o r d s a f t e r K , 1 s t e p s a n a r b i t r a r y s h i f t r e g i s t e r s t a t e i s p o s s i b l e i n d e p e n d e n t
o f t h e i n i t i a l s t a t e . H e n c e t h e i n t e r v a l n e n s u r e s c o m p l e t e c o n n e c t i v i t y f o r a l l
t r e l l i s s t a t e s . I n t h e t r e l l i s t h e r e a r e N d i s t i n c t p a t h s f r o m t h e s t a r t i n g s t a t e t o
a l l o t h e r s t a t e s s
j ; k + n
j 2 f 0 ; : : : ; N , 1 g . A n u p p e r b o u n d o n t h e s t a t e m e t r i c
d i e r e n c e
M a x
c a n b e f o u n d a s s u m i n g t h a t f o r o n e o f t h e s e p a t h s t h e a d d e d
b r a n c h m e t r i c
m ; i
k
w a s m i n i m u m f o r a l l n t r a n s i t i o n s a n d f o r a n o t h e r o f t h e s e
p a t h s t h e b r a n c h m e t r i c w a s a l w a y s m a x i m u m . H e n c e a n u p p e r b o u n d o n t h e
m a x i m u m m e t r i c d i e r e n c e i s g i v e n b y
M a x
= n
m a x
m ; i
k
,m i n
m ; i
k
w i t h n = K , 1 a n d m a x
m ; i
k
a n d m i n
m ; i
k
b e i n g t h e m a x i m u m a n d m i n -
i m u m m e t r i c v a l u e p o s s i b l e u s i n g t h e c h o s e n b r a n c h m e t r i c q u a n t i z a t i o n s c h e m e .
T h e w o r d l e n g t h n e c e s s a r y t o r e p r e s e n t
M a x
i s t h e m i n i m u m w o r d l e n g t h r e q u i r e d
f o r t h e s t a t e m e t r i c s
8
. H o w e v e r d e p e n d i n g o n t h e c h o s e n n o r m a l i z a t i o n s c h e m e a
l a r g e r w o r d l e n g t h h a s a c t u a l l y t o b e u s e d i n m o s t c a s e s . W e n o w s t a t e t w o n o r m a l -
i z a t i o n s c h e m e s :
8
E v e n t i g h t e r b o u n d s o n t h e s t a t e m e t r i c d i e r e n c e s w e r e d e r i v e d i n 2 1 .
-
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17/42
V i t e r b i D e c o d e r s 1 7
1 . S u b t r a c t i n g t h e m i n i m u m S t a t e M e t r i c
A f t e r a g i v e n n u m b e r o f t r e l l i s s t e p s t h e m i n i m u m s t a t e m e t r i c i s d e t e r m i n e d
a n d s u b t r a c t e d f r o m a l l o t h e r s t a t e m e t r i c s . T h i s s c h e m e l e a d s t o t h e m i n i m u m
s t a t e m e t r i c w o r d l e n g t h a s d e r i v e d a b o v e i f i t i s p e r f o r m e d f o r e v e r y t r e l l i s s t e p .
T h e r e s u l t i n g a r c h i t e c t u r e f o r a s i n g l e A C S p r o c e s s i n g e l e m e n t P E u s i n g t h i s
n o r m a l i z a t i o n s c h e m e i s s h o w n i n F i g . 1 7 . 1 0 .
I f a n o r m a l i z a t i o n i s p e r f o r m e d o n l y a f t e r a c e r t a i n n u m b e r o f t r e l l i s s t e p s a n
i n c r e a s e d w o r d l e n g t h o f t h e s t a t e m e t r i c s h a s t o b e t a k e n i n t o a c c o u n t .
adder
adder
comparator mux
i,k
subtractor
normalizedstatemetric
ACS Processing Element for State i
Z(1,i),k-1
(1,i)
k
i,k
Z(0,i),k-1
(0,i)
k
(1,i)
k
(0,i)
k
minimumstatemetric
decisiond
F i g u r e 1 7 . 1 0 A C S p r o c e s s i n g e l e m e n t a n d m i n i m u m s t a t e m e t r i c s u b t r a c t i o n .
T h e a d d i t i o n a l c o m p u t a t i o n a l e o r t i n v o l v e d w i t h t h i s s c h e m e i s r e l a t i v e l y
l a r g e : r s t t h e m i n i m u m s t a t e m e t r i c h a s t o b e d e t e r m i n e d s e c o n d a s u b t r a c t i o n
h a s t o b e p e r f o r m e d i n a d d i t i o n t o t h e u s u a l a d d c o m p a r e s e l e c t o p e r a t i o n . H o w -
e v e r i t m a y b e s u i t e d f o r l o w t h r o u g h p u t a r c h i t e c t u r e s a n d s o f t w a r e a p p l i c a t i o n s .
T h e m i n i m u m s t a t e m e t r i c c a n t h e n b e d e t e r m i n e d s e q u e n t i a l l y w h i l e s u c c e s s i v e l y
c a l c u l a t i n g t h e n e w s t a t e m e t r i c s f o r a t r e l l i s t r a n s i t i o n a n d t h e e o r t f o r t h e a d -
d i t i o n a l s u b t r a c t i o n d o e s n o t p o s e a s i g n i c a n t p r o b l e m .
2 . O n t h e y " N o r m a l i z a t i o n s c h e m e s
F o r h i g h t h r o u g h p u t a p p l i c a t i o n s t h e A C S r e c u r s i o n i s i m p l e m e n t e d w i t h a d e d -
i c a t e d A C S P E p e r t r e l l i s s t a t e . I n t h i s c a s e N n e w s t a t e m e t r i c s a r e c a l c u l a t e d
i n p a r a l l e l f o r a l l s t a t e s . D e t e r m i n i n g t h e m i n i m u m o f t h e s e m e t r i c s w o u l d r e q u i r e
m u c h m o r e p r o c e s s i n g d e l a y t h a n t h e A C S c a l c u l a t i o n i t s e l f h e n c e m o r e e c i e n t
w a y s h a v e t o b e f o u n d f o r n o r m a l i z a t i o n .
A v e r y e c i e n t n o r m a l i z a t i o n s c h e m e c a n b e f o u n d a g a i n e x p l o i t i n g t h e u p p e r
b o u n d o n t h e m e t r i c d i e r e n c e
M a x
. T h e i d e a i s s i m p l y t o s u b t r a c t a x e d v a l u e
f r o m a l l s t a t e m e t r i c s i f t h e s t a t e m e t r i c s e x c e e d a c e r t a i n t h r e s h o l d t . S i m u l t a n e -
o u s l y i t h a s t o b e g u a r a n t e e d t h a t n o o v e r o w s o r u n d e r o w s o c c u r f o r a l l s t a t e
m e t r i c s . T h e v a l u e o f t h e t h r e s h o l d t c a n b e c h o s e n s u c h t h a t t h e d e t e c t i o n o f a
t h r e s h o l d e x c e s s a n d t h e n e c e s s a r y s u b t r a c t i o n c a n b e i m p l e m e n t e d a s e c i e n t l y
a s p o s s i b l e w h i l e k e e p i n g t h e s t a t e m e t r i c w o r d l e n g t h a s s m a l l a s p o s s i b l e . I n t h e
f o l l o w i n g o n e o f t h e p o s s i b l e s o l u t i o n s f o r u n s i g n e d b r a n c h a n d s t a t e m e t r i c s i s
p r e s e n t e d :
T h e u n s i g n e d b r a n c h m e t r i c s a r e q u a n t i z e d t o b b i t s l e a d i n g t o a m a x i m u m b r a n c h
m e t r i c v a l u e o f 2
b
, 1 = m a x
m ; i
k
. T h e u n s i g n e d s t a t e m e t r i c s a r e q u a n t i z e d w i t h
p b i t s c o r r e s p o n d i n g t o a m a x i m u m v a l u e o f 2
p
, 1 . O f c o u r s e
M a x
2
p
, 1
-
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1 8 C h a p t e r 1 7
m u s t h o l d . I f t h e n u m b e r o f b i t s p i s c h o s e n s u c h t h a t
M a x
2
p , 2
a v e r y e c i e n t n o r m a l i z a t i o n w i t h o u t a d d i t i o n a l s u b t r a c t i o n c a n b e d e r i v e d . I t i s
n o w s u c i e n t t o o b s e r v e j u s t t h e v a l u e o f t h e m o s t s i g n i c a n t b i t M S B . I f a n y
s t a t e m e t r i c v a l u e g e t s e q u a l t o o r e x c e e d s t h e v a l u e t = 2
p , 1
i t i s s i m u l t a n e o u s l y
k n o w n t h a t a l l o t h e r s t a t e m e t r i c s a r e e q u a l t o o r l a r g e r t h a n 2
p , 2
b e c a u s e o f t h e
l i m i t e d s t a t e m e t r i c d i e r e n c e . H e n c e i t i s p o s s i b l e t o s u b t r a c t t h e v a l u e o f 2
p , 2
f r o m a l l s t a t e m e t r i c s w h i l e g u a r a n t e e i n g t h a t a l l s t a t e m e t r i c s r e m a i n p o s i t i v e .
B o t h t h e t e s t o f t h e M S B a n d t h e s u b t r a c t i o n o f 2
p , 2
c a n b e i m p l e m e n t e d
u s i n g v e r y s i m p l e c o m b i n a t o r i a l l o g i c i n v o l v i n g o n l y t h e t w o M S B s a n d a f e w c o m -
b i n a t o r i a l g a t e s .
T h e i n s p e c t i o n o f t h e M S B s f o r a l l s t a t e m e t r i c s s t i l l r e q u i r e s g l o b a l c o m m u -
n i c a t i o n b e t w e e n a l l A C S P E s . T h i s d r a w b a c k c a n b e r e m o v e d b y u s i n g m o d u l o
a r i t h m e t i c f o r t h e s t a t e m e t r i c s a s p r o p o s e d i n 2 0 . M e t r i c v a l u e s e x c e e d i n g t h e
r a n g e j u s t w r a p a r o u n d a c c o r d i n g t o t h e m o d u l o a r i t h m e t i c s c h e m e h e n c e n o g l o b a l
d e t e c t i o n o f t h i s s i t u a t i o n i s n e c e s s a r y . H o w e v e r t h e s t a t e m e t r i c w o r d l e n g t h h a s
a l s o t o b e i n c r e a s e d t o a v a l u e l a r g e r t h a n t h e m i n i m u m g i v e n b y
M a x
. D e t a i l s
c a n b e f o u n d i n 2 0 .
D u e t o t h e r e c u r s i v e n a t u r e o f t h e A C S p r o c e s s i n g t h e c o m b i n a t o r i a l d e l a y
t h r o u g h t h e A C S P E d e t e r m i n e s t h e c l o c k f r e q u e n c y a n d h e n c e t h e d e c o d e d b i t
r a t e o f t h e w h o l e V i t e r b i d e c o d e r . A r i t h m e t i c a n d l o g i c o p t i m i z a t i o n o f t h e A C S
P E i s t h e r e f o r e e s s e n t i a l . M a n y p r o p o s a l s e x i s t f o r o p t i m i z i n g t h e a r i t h m e t i c i n t h e
A C S . E v e r y c o n v e n t i o n a l a d d i t i o n s c h e m e s u e r s f r o m t h e f a c t t h a t t h e c o m b i n a -
t o r i a l d e l a y i s s o m e f u n c t i o n o f t h e w o r d l e n g t h s i n c e a c a r r y p r o p a g a t i o n o c c u r s .
R e d u n d a n t n u m b e r s y s t e m s a l l o w c a r r y f r e e o r l i m i t e d c a r r y p r o p a g a t i o n a d d i t i o n
2 2 2 3 . H o w e v e r t h e m a x i m u m s e l e c t i o n c a n n o t b e s o l v e d s t r a i g h t f o r w a r d l y i n
r e d u n d a n t n u m b e r s y s t e m s . N e v e r t h e l e s s a m e t h o d w a s p r o p o s e d a l l o w i n g t o u s e
t h e r e d u n d a n t c a r r y s a v e n u m b e r s y s t e m f o r t h e A C S p r o c e s s i n g w h i c h c a n b e
v e r y b e n e c i a l i f l a r g e w o r d l e n g t h s h a v e t o b e u s e d 1 7 1 8 .
1 7 . 4 . 2 R e c u r s i v e A C S A r c h i t e c t u r e s
W e r s t c o n s i d e r t h e c a s e t h a t o n e s t e p o f t h e A C S r e c u r s i o n h a s t o b e c a l -
c u l a t e d i n o n e c l o c k c y c l e a n d l a t e r b r i e y d i s u s s l o w e r t h r o u g h p u t a r c h i t e c t u r e s .
I f a d e d i c a t e d A C S P E i s u s e d f o r e v e r y s t a t e i n t h e t r e l l i s t h e r e s u l t i n g n o d e p a r -
a l l e l a r c h i t e c t u r e w i t h a t h r o u g h p u t o f o n e t r e l l i s s t e p p e r c l o c k c y c l e i s s h o w n i n
F i g . 1 7 . 1 1 . F o r r e a s o n s o f s i m p l i c i t y t h e s t a t e m e t r i c n o r m a l i z a t i o n i s n o t s h o w n i n
t h i s p i c t u r e . A c o m p l e t e v e c t o r o f d e c i s i o n s d
i ; k
i s c a l c u l a t e d f o r e v e r y c l o c k c y c l e .
T h e s e d e c i s i o n s a r e s t o r e d i n t h e S M U i n o r d e r t o f a c i l i t a t e t h e p a t h r e c o n s t r u c t i o n .
O b v i o u s l y a l a r g e w i r i n g o v e r h e a d o c c u r s s i n c e t h e s t a t e m e t r i c s h a v e t o b e f e d
b a c k i n t o t h e A C S P E s . T h e f e e d b a c k n e t w o r k i s a s h u e e x c h a n g e n e t w o r k . T h e
p o s s i b l e s t a t e t r a n s i t i o n s f o r t h e s t a t e s x
k
=
P
, 1
j = 0
x
j ; k
2
j
a r e g i v e n b y a c y c l i c s h i f t
p e r f e c t s h u e x
0 ; k
; x
, 2 ; k
; : : : ; x
1 ; k
a n d a n e x c h a n g e x
0 ; k
; x
, 2 ; k
; : : : ; x
1 ; k
. w h e r e
x
0 ; k
d e n o t e s i n v e r s i o n o f x
0 ; k
. M a n y p r o p o s a l s e x i s t f o r o p t i m u m p l a c e m e n t a n d
r o u t i n g o f t h i s t y p e o f i n t e r c o n n e c t i o n n e t w o r k s e e e . g . 2 4 .
F o r l o w e r t h r o u g h p u t a p p l i c a t i o n s s e v e r a l c l o c k c y c l e s a r e a v a i l a b l e f o r a s i n -
g l e A C S r e c u r s i o n . H e r e t h e f a c t c a n b e e x p l o i t e d t h a t t h e t r e l l i s d i a g r a m f o r
n o n r e c u r s i v e r a t e 1 = n c o d e s i n c l u d e s b u t t e r y s t r u c t u r e s a s k n o w n f r o m F F T p r o -
-
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V i t e r b i D e c o d e r s 1 9
(0,i)
k
Shuffle-ExchangeNetwork
0,k
1,k
N-1,k
(1,i)
k
ACS
ACS
ACS
0
1
N-1
TMU
Register
SMU
decisionsdec(i,k)
F i g u r e 1 7 . 1 1 N o d e p a r a l l e l A C S a r c h i t e c t u r e .
c e s s i n g . S i n c e f o r r a t e 1 = n c o d e s j u s t a s i n g l e b i t i s s h i f t e d i n t o t h e e n c o d e r F S M
t h e t r a n s i t i o n f u n c t i o n s p e c i f y i n g t h e t w o p r e d e c e s s o r s t a t e s f o r a c u r r e n t s t a t e
x
k
= f x
K , 2 ; k
; : : : ; x
0 ; k
g i s g i v e n b y Z m ; x
k
= f x
K , 3 ; k
; : : : ; x
0 ; k
; m g a s s t a t e d i n
E q . 1 5 . T h e s e t w o p r e d e c e s s o r s t a t e s Z 0 ; x
k
a n d Z 1 ; x
k
h a v e e x a c t l y t w o s u c -
c e s s o r s t a t e s : f x
K , 2 ; k
; : : : ; x
0 ; k
g a n d f x
K , 2 ; k
; : : : ; x
0 ; k
g w i t h x
K , 2 ; k
d e n o t i n g b i t
i n v e r s i o n . T h i s r e s u l t s i n t h e w e l l k n o w n b u t t e r y s t r u c t u r e a s s h o w n i n F i g . 1 7 . 1 2 .
ACS
ACS
ACS
Path metricmemory
ACS
0,k
1,k
3,k
2,k
ACS
ACS
0,k+1
2,k+1
3,k+1
1,k+1
0,k
1,k
3,k
2,k
MUX
MUX
MUX
MUX
oldstatemetrics
newstatemetrics
F i g u r e 1 7 . 1 2 B u t t e r y t r e l l i s s t r u c t u r e a n d r e s o u r c e s h a r i n g f o r t h e K = 3 , r a t e
1 2 c o d e .
-
8/13/2019 Vit Chap17
20/42
2 0 C h a p t e r 1 7
I n o r d e r t o c a l c u l a t e t w o n e w s t a t e m e t r i c s c o n t a i n e d i n a b u t t e r y o n l y t w o
p r e d e c e s s o r s t a t e m e t r i c s a n d t w o b r a n c h m e t r i c s h a v e t o b e p r o v i d e d . H e n c e a
s e q u e n t i a l s c h e d u l e f o r c a l c u l a t i n g a l l A C S o p e r a t i o n s i n t h e t r e l l i s i s g i v e n b y a
s e q u e n t i a l c a l c u l a t i o n o f t h e b u t t e r i e s . T h i s i s s h o w n o n t h e r i g h t h a n d s i d e o f
F i g . 1 7 . 1 2 : t w o A C S P E s c a l c u l a t e s e q u e n t i a l l y t h e t w o A C S o p e r a t i o n s b e l o n g i n g
t o a b u t t e r y h e n c e a c o m p l e t e t r e l l i s s t e p t a k e s t w o c l o c k c y c l e s h e r e . T h e A C S
o p e r a t i o n s a c c o r d i n g t o t h e t h i c k b u t t e r y a r e c a l c u l a t e d i n t h e r s t c l o c k c y c l e
a n d t h e r e m a i n i n g A C S o p e r a t i o n s a r e c a l c u l a t e d i n t h e s e c o n d c l o c k c y c l e .
I n F i g . 1 7 . 1 2 a p a r a l l e l A C S a r c h i t e c t u r e w i t h f o u r A C S P E s a n d a r e s o u r c e
s h a r e d a r c h i t e c t u r e w i t h t w o A C S P E s a r e s h o w n f o r t h e K = 3 c o d e . A s s h o w n
i n F i g . 1 7 . 1 2 i t s e e m s t o b e n e c e s s a r y t o d o u b l e t h e m e m o r y f o r t h e s t a t e m e t -
r i c s c o m p a r e d t o t h e p a r a l l e l A C S a r c h i t e c t u r e s i n c e t h e s t a t e m e t r i c s
i ; k + 1
a r e
c a l c u l a t e d w h i l e t h e o l d m e t r i c s
i ; k
a r e s t i l l n e e d e d . I t w a s s h o w n i n 2 5 h o w -
e v e r t h a t a n i n p l a c e m e m o r y a c c e s s f o r t h e s t a t e m e t r i c s i s p o s s i b l e w i t h a c y c l i c
m e t r i c a d d r e s s i n g s c h e m e . H e r e o n l y t h e s a m e a m o u n t o f m e m o r y i s n e c e s s a r y
a s f o r t h e p a r a l l e l A C S a r c h i t e c t u r e . S e v e r a l p r o p o s a l s f o r r e s o u r c e s h a r e d A C S U
i m p l e m e n t a t i o n s c a n b e f o u n d i n 2 6 2 7 2 8 2 9 .
1 7 . 4 . 3 P a r a l l e l i z e d A C S A r c h i t e c t u r e s
T h e n o n l i n e a r d a t a d e p e n d e n t n a t u r e o f t h e r e c u r s i o n e x c l u d e s t h e a p p l i c a t i o n
o f k n o w n p a r a l l e l i z a t i o n s t r a t e g i e s l i k e p i p e l i n i n g o r l o o k - a h e a d p r o c e s s i n g w h i c h
a r e a v a i l a b l e f o r p a r a l l e l i z i n g l i n e a r r e c u r s i o n s 3 0 . I t w a s s h o w n 3 1 1 8 3 2 t h a t a
l i n e a r a l g e b r a i c f o r m u l a t i o n o f t h e A C S r e c u r s i o n c a n b e d e r i v e d w h i c h t o g e t h e r
w i t h t h e u s e o f t h e a c q u i s i t i o n a n d t r u n c a t i o n p r o p e r t i e s o f t h e V i t e r b i a l g o r i t h m
a l l o w s t o d e r i v e p u r e l y f e e d f o r w a r d a r c h i t e c t u r e s 3 1 . A d d i t i o n a l l y t h e l i n e a r a l -
g e b r a i c f o r m u l a t i o n r e p r e s e n t s a v e r y c o n v e n i e n t w a y t o d e s c r i b e a v a r i e t y o f A C S
a r c h i t e c t u r e s .
B e l o w t h e a l g e b r a i c m u l t i p l i c a t i o n d e n o t e s a d d i t i o n a n d t h e a l g e b r a i c a d d i -
t i o n d e n o t e s m a x i m u m s e l e c t i o n . T h e r e s u l t i n g a l g e b r a i c s t r u c t u r e o f a s e m i r i n g
d e n e d o v e r t h e o p e r a t i o n s a n d c o n t a i n s t h e f o l l o w i n g n e u t r a l e l e m e n t s :
n e u t r a l e l e m e n t c o n c e r n i n g m a x i m u m s e l e c t i o n : Q = , 1
n e u t r a l e l e m e n t c o n c e r n i n g a d d i t i o n : 1 = 0
U s i n g t h e s e m i r i n g a l g e b r a t h e A C S r e c u r s i o n f o r t h e K = 3 r a t e 1 2