[vnmath.com] de thi thu dh lan 1 thpt dao duy tu thanh hoa 2015
TRANSCRIPT
SỞ GD - ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ KSCL THEO TỔ HỢP CÁC MÔN TUYỂN SINH ĐH,CĐ LẦN 1, NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y x (m )x (m m)x 3 2 23 2 2 ( )1 , với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( )1 khi m 0 .
b) Tìm m để hàm số ( )1 có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x x (x x ) 1 2 1 26 4 0 .
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình sin3x sin x sin2x 0 . Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình log x log x log x 3
1 822
1 3 1 .
Câu 4 (1,0 điểm)
a) Trong một hộp đựng 8 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp trên. Tìm
xác suất để 4 viên bi được lấy ra có cả bi xanh và bi đỏ.
b) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của biểu thức x x x x 5 1021 2 1 3 .
Câu 5 (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, aSD 17
2, hình
chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của đoạn AB. Gọi K là trung
điểm của đoạn AD.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD theo a.
Câu 6 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có D( ; )4 5 .
Điểm M là trung điểm của đoạn AD, đường thẳng CM có phương trình x y8 10 0 . Điểm B
nằm trên đường thẳng x y2 1 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B và C, biết rằng điểm C có tung độ
y 2 .
Câu 7 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình xy y y x y x
(x, y )( y) x y (x ) ( x y ) y
2 3 1 3 5
1 2 2 1 2 1 .
Câu 8 (1,0 điểm) Cho các số thực dương a,b,c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Pa b ca b bc b (a c)
2 2
3 8 12 8 2 2 3
.
----------- Hết ----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh:..............................
www.VNMATH.com
SỞ GD - ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ KSCL THEO TỔ HỢP CÁC MÔN TUYỂN SINH ĐH, CĐ
LẦN 1, NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn: TOÁN
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
Câu Đáp án Điểm a. (1,0 điểm) Khi m 0 ta có y x x 3 23 2 * Tập xác định D * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y ' x x 23 6 , y ' x 0 0 hoặc x 2
0,25
- Khoảng đồng biến: ( ; )0 2 ; các khoảng nghịch biến ( ; ) 0 và ( ; )2 - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại CTx ; y 0 2 ; đạt cực đại tại CDx ; y 2 2 - Giới hạn:
x xlim y ; lim y
0,25
- Bảng biến thiên: x 0 2 y’ - 0 + 0 - y
2 -2
.
0,25
* Đồ thị:
0,25
b. (1,0 điểm) Ta có y ' x (m )x (m m) 2 23 2 3 2 . Hàm số có hai điểm cực trị y ' 0 có hai nghiệm phân biệt
0,25
m m 2 3 2 3 20 9 2 0
2 2 (*)
0,25
Ta có m m (m )x x ; x x
2
1 2 1 22 2 3
3 3; x x (x x ) m m 2
1 2 1 26 4 0 10 24 0 0,25
1
m 2 hoặc m 12 (loại). Vậy m 2 0,25
x
y
2
2
-2
O 1
www.VNMATH.com
(1,0 điểm) Pt đã cho 2cos2x.sinx 2sin x.cosx 0 0,25 22sinx(2cos x cosx 1)=0
0,25 s inx 0 x k cos x x k 1 2
0,25
2
cos x x k
1 22 3
Vậy, phương trình có các nghiệm là: x k ; x k2 (k )
3 .
0,25
(1,0 điểm) Điều kiện: x 1 3 0,25 Pt đã cho log (x ) log ( x) log (x ) 2 2 21 3 1 0,25 (x )( x) x 1 3 1 x x 2 4 0 0,25
3
x
1 172
hoặc x
1 172
(loại)
Vậy, phương trình có nghiệm là x
1 172
0,25
(1,0 điểm) a) Số cách lấy ra 4 viên bi từ hộp là: C 4
14 1001 4 viên bi lấy ra có cả xanh và đỏ, có 3 khả năng: 1viên đỏ + 3viên xanh; 2 viên đỏ + 2 viên xanh; 3 viên đỏ + 1viên xanh
0,25
Số cách lấy ra 4 viên bi có cả xanh và đỏ là: C .C C .C C .C 1 3 2 2 3 18 6 8 6 8 6 916
Vậy, xác suất cần tính P 916
1001.
0,25
b) Hệ số của 5x trong khai triển của 5x(1 2x) là 4 45( 2) .C
Hệ số của 5x trong khai triển của 2 10x (1 3x) là 3 3103 .C
0,25
4
Hệ số của 5x trong khai triển thành đa thức của 5 2 10x(1 2x) x (1 3x) là 4 45( 2) .C + 3 3
103 .C
Vậy hệ số của 5x trong khai triển là 4 45( 2) .C + 3 3
103 .C 3320 .
0,25
(2,0 điểm) 5 a)SH (ABCD) SH HD . Ta có SH SD HD SD (AH AD ) 2 2 2 2 2
SH a 3
S.ABCD ABCDaV SH.S
31 33 3
b) HK//BD HK//(SBD) d(HK,SD) d(HK,(SBD)) d(H,(SBD)) Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên BD và F là hình chiếu vuông góc của H trên SE. Ta có BD HE và BD SH nên BD (SHE) BD HF mà HF SE
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
K
H
CB
A D
S
E
F
www.VNMATH.com
do đó HF (SBD) . Suy ra d(H,(SBD)) HF
Ta có aHE HB.sin EBH 2
4
HS.HE aHFHS HE
2 2
35
. Vậy, ad(HK,SD) 35
0,25 0,25
(1,0 điểm) 6 Gọ H, K là hình chiếu vuông góc của B, D lên CM
.
DK( )
2 2
4 8 5 10 26651 8
Gọi I, G là giao điểm của BD với AC và CM G là trọng
tâm ACD ; BH BGDG GI BG DGDK DG
2 2 2
BH 5265
; b
B(b; b ) BH b
17 18 522 1 17 18 52
65 65
b
b (loai)
27017
(loại vì điểm B và D cùng phía với đường thẳng CM). Do đó ta có B( ; ) I( ; ) 2 5 3 0 C( c ; c)8 10 CD.CB ( c).( c) ( c)( c) 14 8 12 8 5 5 0
c c 265 208 143 0
c
c (loaido c )
1143 265
C( ; ) A( ; ) 2 1 8 1 .
Vậy A( ; ); B( ; ); C( ; ) 8 1 2 5 2 1
0,25 0,25 0,25 0,25
(1,0 điểm)
Điều kiện:
yx y x
y x yy x
02 1 5
1 2 103 5
(*)
0,25
Ta có phương trình (2) ( y)( x y ) ( x y )( y) 1 2 1 2 1 1 0
( y)( x y )( )x y y
1 11 2 1 0
2 1 1 (3)
Do x y y
1 1 0
2 1 1và y 1 0 nên phương trình (3) y x 2 1
0,25
Với y x 2 1. Phương trình (1) trở thành x x x x 22 4 2 5 1 (đk: x 2 4 ) Pt ( x ) ( x ) ( x x ) 22 1 4 1 2 5 3 0
(x )( x )x x
1 13 2 1 02 1 4 1
x
x ( )x x
31 1 2 1 42 1 4 1
0,25
7
Xét f (x)x x
1 12 1 4 1
và g(x) x 2 1 với x ; 2 4 , ta có g(x) g( ) 2 5
M
C
A
HD
B
K
G
I
www.VNMATH.com
f '(x) , x ;x ( x ) x ( x )
2 2
1 1 0 2 42 2 2 1 2 4 4 1
f(x) nghịch biến
f (x) f ( )
12 12 1
. Do đó f (x) g(x), x ; 2 4 hay phương trình (4) vô nghiệm
Vậy, hệ phương trình có nghiệm là ( ; )3 5 .
0,25
(1,0 điểm)
Ta có bc b. c b c 8 2 2 2 . Suy ra (a b c)a b bc
3 322 8
0,25
Mặt khác (a c) b (a c) b 2 22 2 . Suy ra a b c(a c) b
2 2
8 833 2 2
0,25
Do đó P(a b c) a b c a b c (a b c) a b c
3 8 1 1 8
2 3 2 3 (1)
Đặt a b c t, t 0 . Xét hàm số f (t)t t
1 82 3
với t 0 .
Ta có (t )( t )f '(t)t ( t) t ( t)
2 2 2 2
1 8 3 1 5 32 3 2 3
, suy ra f '(t) t 0 1
Bảng biến thiên: t 0 1 f’(t) - 0 + f(t)
32
0,25
8
Từ bảng biến thiên suy ra f (t) f ( ) 312
với mọi t 0 (2)
Từ (1) và (2) ta có P 32
. Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c a cb c
bb a c
1142
12
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 32
, đạt được khi a c , b 1 14 2
.
0,25
----------- Hết -----------
www.VNMATH.com