4.1 อนกรมเทเลอร และ ฟงกชนในการคำานวณ

ลมตเปนกระบวนการพนฐานของการคำานวณ ตวอยางเชน การอนพนธ

เปนลมตของผลตาง ของผลหาร ททงตวเศษและตวสวน เขาใกล 0 อนกรมเทเลอร มกระบวนการของลมตทแตกตางจากประเภทอน ในกรณน

ตาราง 4.1 อนกรมเทเลอร ขยายใหเหนไดชดในตวอยาง ฟงกชนรวมดงน

สำาหรบ x ทงหมด

สำาหรบ x ทงหมด

สำาหรบ x ทงหมด

สำาหรบ

จำานวนอนนตของพจนจะถกบวกรวมเขาดวยกนโดยการใสลมตเขาไปในผลรวมยอย สงทมความสำาคญคอ การใชตวแทนฟงกชนเบองตน เชน Sin (x) , Cos (x) , , ln (x)

ตารางท 4.1 แสดงใหเหนถงการขยายของอนกรมเทเลอรรวมหลายแบบดวยกน ผลรวมยอยนนสามารถทจะใชสะสมจนกระทงนำาไปประมาณคา ซงจะไดคาทแมนยำาตามทกำาหนดไว โดยสวนใหญวธการแกปญหาอนกรมมกจะถกนำาไปใชในสาขาวศวกรรมศาสตร และ ฟสกส

ดงนนเราจงตองการทจะเรยนรถงผลรวมจำากดวาสามารถทจะนำาไปประมาณคาผลรวมอนนตไดดเพยงใดจากภาพประกอบ เราจะใชอนกรม

Exponential ในตารางท 4.1 เพอทำาการคำานวณจำานวน

ซงเปนคาพนฐานของฟงกชน ลอการทม และ เอกโปเนนเชยล โดยเราจะเลอกให x=1 และใชอนกรมดงน

คำาจำากดความสำาหรบผลรวมของอนกรมอนนตในสวนท 1.1 คอตองการทจะใหผลรวมยอย มแนวโนมไปเปนลมต โดยคาของผลรวมนแสดงอยในตารางท 4.2

หากคดถงเครองหมายกำาลงของอนกรมของฟงกชน คอ การขยายลมตของ Polynomial ใหมระดบเพมมากขน ถาในพจนนนมการเพมทมากพอแลวกจะไดรบการประมาณคาทแมนยำา นจงเปนจดประสงคทจะตองหาวาระดบใดทมความถกตองแมนยำาในการนำาไปประมาณคา Polynomial

และวธการอยางไรในการคำานวณหาคาสมประสทธของกำาลง x ในการประมาณคาของ Polynomial โดยบทแทรกท 4.1 มคำาตอบของคำาถามน

ตาราง 4.2 ผลรวมยอย ทใชหาคา e

n

0 1.01 2.02 2.53 2.666666666666…4 2.708333333333…5 2.716666666666…6 2.718055555555…7 2.718253968254…8 2.718278769841…9 2.718281525573…

10 2.718281801146…11 2.718281826199…12 2.718281828286…13 2.718281828447…14 2.718281828458…15 2.718281828459…

ทฤษฏ 4.1 (การประมาณคา Taylor Polynomial)

สมมตให คา และ คอคาคงท ถา แลว

(1) ทนำาไปใชในการประมาณคา :

(2)

คา error หาไดจาก

(3)

สำาหรบคา จะมคาอยระหวาง X และ

จากสมการท (2) แสดงใหเหนวธการคำานวณคาสมประสทธของ Taylor Polynomial ในขณะทการหาคา error ในสมการท (3) ความสมพนธของสตรจะมลกษณะคลายกน สงเกตไดวา หาคาจากคา C ซงขนอยกบคาของ x ดงนนเราจงไมนยมหาคา

ซงคา จะถกนำาไปใชเพอใชในการตดสนใจวาการประมาณคามความแมนยำามากนอยเพยงใด

ตวอยางท 4.1 แสดงใหเหนวาทง 15 พจนมการประมาณคาอยท e = 2.718281828459 ดงตารางท 4.2

ใหขยาย ใน Taylor Polynomial ในลำาดบท 15 โดยคาคงท และ อนพนธทตองการคอ โดย 15 อนพนธแรกจะถกนำาไปใชเพอคำานวณ คาสมประสทธ

(4)

กำาหนดให x=1 ในสมการท (4) และใหผลรวมยอย สวนทเหลอจะเปนสวนทแสดงถงความแมนยำาของการประมาณคา

(5)

เนองจากกำาหนดให และ แลวคา C จะอยระหวาง (0 < C < 1 ) จะมความหมายวา

< สงเกตจากผลรวมจากตาราง 4.2 เปนขอบเขตทมคาเกน 3

ประกอบดวย การไมเทาของสองคา < 3 ทใชในการคำานวณสมการตอไปน

<

เพราะฉะนน ตำาแหนงคาประมาณทไดจะเทากบ ซงเปนคาทถกตอง เพราะเปนคา error แทจรง จะตองมคานอยกวา 2 ใน เลขทศนยม 13 ตำาแหนง

นอกจากจะใชทฤษฏ 4.1 เพอใชในการประมาณคาแลวผอานสามารถคนควารายละเอยดเพมเตม ในหนงสออางองมาตรฐาน เรอง Calculus เบองตน จากภาพประกอบเราสามารถใชฟงกชนน และคา จากหลกการ Calculus เบองตน เราสามารถทราบวาความชนของเสนโคง ทจด

คอ เพราะฉะนน จะไดความชนทจด (0,1) เปน เปนเสนสมผสวง

ทจด (0,1)กจะไดสมการ y = 1 + x นเปนสตรทไดมา ถาเราใช N=1 ในทฤษฏท 4.1 นนคอ

เพราะฉะนน เปนสมการของเสนสมผสเสนโคง กราฟทไดจะเปนดงรป 4.3

สงเกตวา คาการประมาณของ เปนคาทดเนองจากเขาใกลกบจดศนยกลาง โดยระยะหางระหวางเสนโคงกลายเปน x ซงเคลอนไปจาก 0

สงเกตวาความชนของเสนโคงท (0,1) ในหลกการ Calculus เราทราบวา อนพนธอนดบ 2 จะมเสนโคง ทเวาขนหรอเวาลง จากการศกษาเรองความโคง แสดงใหเหนวา ถาเสนโคงทง 2 วง

และ มคณสมบตดงน และ, แลวเสนโคงทง 2 วงจะมความโคงทเหมอนกนท

นคอรปแบบของการหา คาประมาณ Polynomial Fuction f(x) ผลลพธ จากตาราง 4.1 แสดงใหเหนวา Talor Polynomial มรปแบบ

รปท 4.3 เปนกราฟของ และ

บทแทรก ท 4.1 ถา คอ Taylor Polynomial ของลำาดบท n ในทฤษฏท 4.1 แลวกจะไดสมการ

(6) โดย k = 0 , 1 ,…, N.

ถากำาหนดให ในสมการท (2) และ (3) แลวผลทไดคอ

ในสมการท (6) เปนจรง เนองจาก k=0 ดงนนสามารถทจะแยกดานขวาของสมการท (2) ได

และไดสมการ

(7)

กำาหนดให ในสมการท (7) เพอใหได ใหสมการท (6) เปนจรง เนองจากคา k=1 และแทนคาในสมการท (7) ตามลำาดบ

จากการประยกตใชในบทแทรก 4.1 จะเหนไดวา ซงมรปแบบ , , และ ; ดงนนกราฟจงมความโคงทมลกษณะเดยวกนท จากตวอยาง สมมตให

และ

จากกราฟจะแสดงใหเหนในภาพท 4.4 และจะเหนไดวาเสนโคงทง 2 เสน โคงขนในทศทางเดยวกนท (0,1)

ในทฤษฎของการประมาณคาการหาคาการประมาณ Polynomial ทแมนยำากเพอใชในการวเคราะหฟงกชน f(x) นอกเหนอ [a , b] ความแมนยำาของ Taylor Polynomial จะเพมขนเมอ N มขนาดใหญ ในทางตรงกนขามความแมนยำาจะลดลง เมอคาของ x เคลอนออกจากจดศนยกลางของ x ดงนนควรเลอก N ทมขนาดใหญ และตองจำากดคาสงสดของ ซงจะ

ทำาใหคา error ไมเกนขอบเขตทกำาหนดไว ถาเราเลอกใชชวงความกวางเปน 2R และคา เปนศนยกลาง ตวอยาง ( )

รปท 4.4 เปนกราฟของ และ

ตารางท 4.3 ขอบเขตของคา error ใชประมาณคา สำาหรบ

คา absolute ของคา error จะเปนไปตามสมการ

(8) ]

R=2.0 R=1.5 R=1.0 R=0.5

0.656804990.187658570.046914640.01042548

0.070901720.015193230.002848730.00047479

0.003775390.000539340.000067420.00000749

0.000035780.000002560.000000160.00000001

เมอ ถาขอบเขตของอนพนธสอดคลองกนขอบเขตของคา error ในสมการท 8 จะเปนคาเหมาะสมท และลดคาคงท R เมอ N มขนาดใหญ หรอ กำาหนดให N คงท เมอ R เขาใกล 0 ในตาราง 4.3 แสดงใหเหนวา การเลอกคาตวแปรทง 2 ตวกมผลตอความแมนยำาในการประมาณคา เกนระดบชวง คา error จะเลกลงอยางมาก เมอ N มขนาดใหญ และ R กเลกลงเชนกน กราฟแสดง และ ในกราฟ 4.5

ตวอยางท4.2 กำาหนดใหขอบเขตของคา error ในการประมาณ ในแตละชวงของ และ

ถา แลวให R=1.0 และ ในสมการท 8 จะไดวา

ตวอยางท 4.3 ถา แสดงวา N=9 ซงเปนจำานวนทนอยทสด

ดงนน โดย x อยในชวง [-1,1] ดงนน สามารถทจะนำาไปใชในการประมาณคา ซงจะเปนคาทถก

ตองแมนยำาในทศนยม 6 ตำาแหนง

ตองการทจะหา N ทเปนจำานวนเตมนอยทสด ดงนน

ในตวอยางท 4.2 เราเหนวา N=8 เปนคาทนอยเกนไป ดงนนเราจงให N=9 และพบวา

คานเปนคาทมากกวาทตองการ ดงนนจงเปนไปไดวา จะเลอก N=10 แตเราใช ซงเปนการประมาณทหยาบในการหาขอบเขตของคา error ดงนน 0.000000749 จงเปนคา error ทถกตองมากกวา จากรปท 4.6 แสดงกราฟของ สงเกตไดวาชวงเสนตงฉากทมากทสดประมาณ และเกดขนบรเวณจดสนสดทางดานขวา จรงๆแลวชวงของคา error ทมากทสดคอ

ดงนน N=9 จงไดรบการพสจนแลววาถกตอง

วธการคำานวณ Polynomial

ในการหาคา Polynomial นนมวธการหลายวธ ทางคณตศาสตรซงจะใหผลลพธทเทากน จากตวอยางใชฟงกชน

(8) การหาคาของ f จะใชฟงกชน exponential หรอ สตร binomial ทสามารถนำาไปใชขยาย f(x) ในกำาลงของ x:

(9)

วธของ Horner’s method (ดในสมการท 1.1) วธของ Horner หรอเรยกวา nested multiplication สามารถใชในการหาคาของ Polynomial ในสมการท (10) เมอใชสตรในสมการ (10) สามารถนำามาเขยนเปนสมการของ nested multiplication ไดดงน

(10)การหาคา f(x) จะตองใชตวคณถง เจดพจน และในแตละพจน

จะมการบวกหรอลบกนตามสมการท (11) สงสำาคญของการใชฟงกชน Exponential เพอหาคา Polynomial ทจะถกขจดไป

ในบทนสนสดดวยบทแทรกทเกยวของกบอนกรม Taylor ในตารางท 4.1 และ Taylor Polynomial ของบทแทรก 4.1

บทแทรก 4.2 (Taylor Series)

สมมตวา f(x) คอการวเคราะหในชวง (a,b) ประกอบดวย โดยสนบสนน

Taylor Polynomial ในสมการท (2) วามแนวโนมไปตามขอบเขต

(12)

แลว f(x) มสวนขยายของอนกรม Taylor

(13)

จากการศกษาการอธบาย การลเขาของอนกรมในสวน 1.1

เงอนไขของ limit กคอคา error จะตองเปน 0 ในขณะท N เปนจำานวนอนนต ดงนน เงอนไขสำาคญดงแสดงในสมการท

(14)

โดย C ขนกบคา N และ x

แบบฝกหด อนกรมเทเลอร และการคำานวณฟงกชน

1. ให f(x) = sin(x) และประยกตใช ทฤษฎท 4.1

(a) ใช และหาคา และ

วธทำา

จากสตร หรอ

ท โดย f(X) = sin (x) ,

จะได

ตอบ

จากสตร หรอ

จะได

ตอบ

จากสตร หรอ

จะได

ท โดย f(X) = sin (x) ,

ท โดย f(X) = sin (x) ,

ตอบ

( b ) จงแสดงวา ถา เมอมคาประมาณ

โดยมคา error ทขอบเขต

จากสตร

ตอบ

( c ) ใหใช และหา โดยเกยวของกบกำาลงของ

จากสตร หรอ

ตอบ

2. ให f(x) = cos(x) และประยกตใช ทฤษฎท 4.1

(a) ใช และ หา และ

จากสตร หรอ

จะได

ท โดย f(X) = cos (x) ,

ตอบ

จากสตร หรอ

จะได

ตอบ

จากสตร หรอ

จะได

ท โดย f(X) = cos (x) ,

ท โดย f(X) = cos (x) ,

ตอบ

( b ) จงแสดงวา ถา เมอมคาประมาณ

โดยมคา error ทขอบเขต

จากสตร

ตอบ

( c ) ใหใช และหา โดยเกยวของกบกำาลงของ

จากสตร หรอ

ตอบ

3. ให มอนกรมเทเลอร โดยใช หรอไม ใหแสดงคำาตอบทถกตอง

จากสตร หรอ

[ ท , เราจะหาถง ]

จากสตร

แทนคา

ตอบ

[ ท , เราจะหาถง ]

จากสตร

แทนคาจะได

ตอบ

4. ( a ) หาคา Taylor Polynomial ท N = 5 สำาหรบฟงกชน โดยให

จากสตร

แทนคาจะได

ตอบ

( b ) หาคา error ในเทอม ของ Polynomial ในขอ a

ตอบ

( 5 ) หาคาประมาณ Taylor Polynomial ท N = 3 โดยให โดยให

จากสตร หรอ

แทนสตร

จะได ตอบ