DET GYLNE SNITTTemadag 10A 21/8 -09

Leonardo da Vinci (1452-1519) åpnet en av sine bøker med følgende utsagn: "La ingen som ikke er matematiker lese mitt arbeid!"

Mål:

- Du skal vite hva det gylne snitt er - Du skal kunne konstruere det gylne snitt- Du skal kunne beskrive og konstruere gyllent rektangel og pentagram- Du skal kunne forklare oppbygningen av Fibonaccis tallrekke- Du skal kunne konstruere en Fibonacci-spiral

Før oppgavene ryddig og pent.

1. Husker du Fibonacci?

Leonardo Fibonacci levde fra 1175 til 1230. Han har gitt navn til en tallrekke som han kom fram til da han undersøkte hvor fort kaniner formerer seg. (Tallrekken ble i virkeligheten oppdaget av indiske matematikere lenge før hans tid.)

Tallrekken starter slik:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …

Skriv de neste ti tallene i rekken.

2. Undersøk brøker:

, , , , ….

Telleren er et ledd i Fibonacci-rekken.

Nevneren er tallet foran telleren i Fibonacci-rekken.

Skriv de neste tre brøkene.

3. Finn verdien av brøkene som desimaltall.

4. Fibonacci-spiral

a) Tegn to små kvadrater som har en felles side, ved siden av hverandre. La sidene i kvadratene være 1 cm.

b) Tegn et kvadrat inntil og under de to første. Dette kvadratet har side = 2 cm (summen av de to første).

c) Tegn et nytt kvadrat inntil og til høyre for de tre første.d) Fortsett på samme måte til du ikke har mer plass på arket.e) Still opp lengden av sidene i kvadratene som en tallrekke.f) Spiralen tegner du slik:

Slå kvartsirkler i kvadratene.Radien i hver kvartsirkel er lik lengden av siden i kvadratet.

En slik spiral finner vi igjen i tverrsnittet hos et Nautilus-skjell:

Deler du to tall ved siden av hverandre i Fibonacci-rekken på hverandre får du det gylne snitt.

Eksempel: 55:34 = 1,617647 som igjen forkortes til 1,618 eller 1,6.

Dette forholdet mellom to tall, kalles altså "det gylne snitt". Alle tallene i Fibonacci-rekken har dette gylne forholdet til nabotallet.

Det gylne snitt finnes i naturen, og brukes innen arkitektur, kunst og design.

Over: Den originale skulpturen (Doryphoros av Polykleitos) vises her i midten. Denne skulpturen bygger på det gylne snitt (1:1.618). De to modifiserte versjonene på sidene er manipulerte og har fått andre innbyrdes mål. Den venstre varianten har fått kortere ben og høyere overkropp. Den til høyre har fått motsatte endringer: lengre ben og kortere overkropp. Den med ”regelbundet” proporsjon blir av de fleste ansett om vakker, mens de to andre blir rangert som ”stygge”.

5. Ifølge Leonardo da Vinci skulle forholdet høyden fra navlen og ned og høyden fra navlen og opp være lik det gylne snitt. Det betyr at en person på 150 cm skal ha en navlehøyde på ca 93 cm.

93 cm ∙ 1,618 = 150,474 cm.

Du kan regne ut navlehøyden slik: 150 cm ∙ 0,618 = 92,7 cm.

Regn ut din navlehøyde.

Sjekk om den stemmer med virkeligheten!

6. Finner du andre forhold i kroppen som tilsvarer det gylne snitt?

7. Venus fra Milo

Venus fra Milo er en 2000 år gammel gresk statue. Den er et av de mest verdsatte og kopierte kunstverkene i verden.

- Mål avstanden fra issen til navlen = A. Mål avstanden fra navlen til fotsålene på statuen = B. - Regn ut A : B.- Mål høyden på hele statuen = C. - Regn ut B : C.- Hvilken sammenheng finner du?

8. Michelangelos David

Finn ut om Michelangelo brukte det gylne snitt

i sin statue av kong David:

9. Det gylne snitt bygger på en harmonisk inndeling av et linjestykke. Snittet deler linjestykket slik at forholdet mellom den lengste og den korteste delen er like stort som forholdet mellom hele linjestykket og den lengste delen av det.

Matematisk kan det uttrykkes slik: =

Mål på figuren, regn ut og sjekk om det stemmer.

10. Det gylne snitt =

Regn ut. Skriv svaret med tre desimaler.

11. Pentagram:

Mål lengden av de ulike linjestykkene på figuren.

Regn ut: =

Hvilke andre linjestykker har forhold som blir det gylne snitt?

12. Konstruksjon av det gylne snitt

a) Trekk AB = 10 cm.

b) Lag en normal til AB i B.

c) Konstruer midtnormalen på AB.

d) Sett av punktet C på normalen i B, slik at BC = ½ AB.

e) Trekk AC.

f) Slå en bue om C med BC som radius. Kall skjæringspunktet med AC for D.

g) Slå en bue om A med AD som radius. Kall skjæringspunktet med AB for E.

h) Mål AE og EB.

i) Regn ut AE : EB.

j) Regn ut AB : AE.

13. Konstruksjon av det gylne rektangel

a) Konstruer et kvadrat ABCD med side = 8 cm.

b) Opprett midtnormalen på AB. Denne skjærer AB i E.

c) Trekk EC.

d) Forleng grunnlinjen i kvadratet.

e) Bruk diagonalen EC som radius, og slå en bue om E ned på forlengelsen av grunnlinjen til høyre for B. Da får du F.

f) Opprett en normal i F.

g) Forleng DC, slik at du får et rektangel.

h) Mål AF. Regn ut AF : AB.

14. Parthenon-tempelet på Akropolis

Mål og regn ut forhold mellom ulike sider.

Hvor finner du det gylne rektangel?

15. Grafisk design

Gylne rektangler brukes mye i grafisk design.

Mål lengder og bredder, og regn ut forhold mellom dem:

16. Let etter det gylne snitt og det gylne rektangel!

Bruk ukeblader og magasiner.

Klipp ut noen annonser.

Bruk også bildene under.

Finn det gylne snitt og gylne rektangler i oppbygningen av annonsene.

17. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden på denne fyrstikkesken:

18. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden på et bankkort.

19. Mål andre gjenstander og forsøk å finne igjen det gylne snitt!

20. Brett et pentagon i papir

Klipp en smal strimmel papir:

4-5 cm bred, 50 cm lang.

Lag enkel knute,

ikke stram for hardt.

Smøy og brett til du får et pentagon.

21. Det gylne triangel

Det gylne triangel er en likesidet trekant hvor forholdet mellom bena og grunnlinjen er lik det gylne snitt.

Regn ut mulige lengder.

Tegn en av løsningene.

22. Fibonacci i botanikken

Hvor mange spiraler går mot venstre?

Hvor mange spiraler går mot høyre?

Finnes disse tallene i Fibonacci-rekken?

23. Gjør det samme med denne solsikken:

24. Og med denne blomkålen:

25. Primtall og Fibonacci-tall

Skriv opp ti Fibonacci-tall større enn 8.

Skriv de naturlige tallene som kommer rett før og rett etter tallene.

Er noen av disse primtall?

26. Se tilbake på Fibonacci-spiralen i oppgave 4.

På tilsvarende måte kan vi bygge opp kvadrater der sidene er Fibonacci-tall:

Arealene vil følge dette systemet:

12 + 12 = 1 * 2

12 + 12 + 22 = 2 * 3

12 + 12 + 22 + 33= 3 * 5

Fortsett rekken for resten av figuren.

27. Mer arkitektur!

Let etter det gylne snitt og det gylne rektangel i arkitektur i nærmiljøet.

Lag en presentasjon.