1

phßng gi¸o dôc ®µo t¹o q7tr êng thcs nguy ễ n h ữ u th ọ

���s¸ng kiÕn kinh nghiÖm

tªn ®Ò tµi: “ Một số phương pháp giúp các em học sinh lớp 8

giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử”.

gi¸o viªn : Nguyễn Thị Hiền

A/. MÔÛ ÑAÀUA/. MÔÛ ÑAÀU1. Lyù do choïn ñeà taøi:

2

To¸n häc lµ m«n khoa häc tù nhiªn g©y nhiÒu høng thó cho häc sinh, nã lµ m«n häc rÊt quan träng kh«ng thÓ thiÕu trong qu¸ tr×nh häc tËp, nghiªn cøu vµ c¶ cuéc sèng hµng ngµy. Mét nhµ to¸n häc vµ sư ph¹m næi tiÕng ®· nãi: ” To¸n häc ®îc xem lµ mét khoa häc chøng minh”. Nhưng ®ã chØ lµ mét khÝa c¹nh, to¸n häc ph¶i ®îc tr×nh bµy díi h×nh thøc hoµn chØnh. Muèn vËy ngêi häc ph¶i n¾m v÷ng c¸c kiÕn thøc to¸n häc tõ thÊp ®Õn cao, ph¶i häc to¸n thêng xuyªn liªn tôc, biÕt quan s¸t , dù ®o¸n phèi hîp vµ s¸ng t¹o, ph¶i tù lùc tiÕp thu kiÕn thøc qua ho¹t ®éng ®Ých thùc cña b¶n th©n. Ngµy nay häc sinh lu«n ®îc tiÕp cËn víi nhiÒu kiÕn thøc khoa häc tiªn tiÕn ,víi nhiÒu m«n häc míi l¹i ®Çy hÊp dÉn nh»m hoµn thiÖn vµ b¾t kÞp c«ng cuéc ®æi míi , ph¸t triÓn toµn diÖn cña ®Êt níc. Trong c¸c m«n häc ë trêng phæ th«ng, to¸n häc ®ưîc xem lµ m«n häc c¬ b¶n, lµ nÒn t¶ng ®Ó c¸c em ph¸t huy n¨ng lùc cña b¶n th©n trong viÖc tiÕp thu vµ häc tËp c¸c m«n khoa häc kh¸c. Tuy nhiªn ®Ó häc sinh häc tËp tèt m«n to¸n th× gi¸o viªn ph¶i cung cÊp ®Çy ®ñ lîng kiÕn thøc cÇn thiÕt, cÇn ®æi míi c¸c ph¬ng ph¸p d¹y häc, lµm cho c¸c em trë nªn yªu thÝch to¸n häc h¬n, v× cã yªu thÝch míi dµnh nhiÒu thêi gian ®Ó häc to¸n. Tõ ®ã c¸c em tù ý thøc trong häc tËp vµ ph©n bæ thêi gian hîp lý ®¶m b¶o yªu cÇu häc tËp cña thêi ®¹i míi.Trong viÖc n©ng cao chÊt lîng d¹y to¸n häc ë trêng phæ th«ng,viÖc c¶i tiÕn ph¬ng ph¸p d¹y häc cã ý nghÜa rÊt quan träng.Sù ph¸t triÓn nhanh nh vò b·o cña khoa häc kü thuËt ®ang ®Æt ra cho ngêi thÇy nhiÒu yªu cÇu vÒ ph¬ng ph¸p d¹y häc.Trong nh÷ng n¨m qua nhiÒu GV ë trêng phæ th«ng ®· cã nhiÒu cè g¾ng c¶i tiÕn ph¬ng ph¸p d¹y häc to¸n theo c¸c ph¬ng ph¸p : “tinh gi¶n,v÷ng ch¾c” “võa gi¶ng võa luyÖn” “ph¸t huy trÝ lùc cña HS” “g¾n víi ®êi sèng vµ lao ®éng s¶n xuÊt”.......Häc sinh häc to¸n,mét khoa häc rÊt s¸ng t¹o vµ hÊp dÉn ®ßi hái HS ph¶i tÝch cùc chñ ®éng tiÕp cËn kiÕn thøc míi díi sù híng dÉn cña GV.ChÝnh v× vËy trong qu¸ tr×nh d¹y t«i ®· cè g¾ng d¹y cho HS c¸ch ®Þnh híng ph¬ng ph¸p gi¶i bµi tËp tríc mçi d¹ng bµi. phân tích đa thức thành nhân tử là 1 mảng kiến thức khó đối với học sinh,dạng bài tập này đòi hỏi người Giáo viên phải có kinh nghiệm và có sự kiên trì thì mới giúp các em nắm rõ được các dạng bài tập này ,đó là lý do Tôi chọn đề tài “ Một số phương pháp giúp các em học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử” 2.Ñoái töôïng nghieân cöùu:

Các em học sinh lớp 83. Phaïm vi nghieân cöùu:

3

Ñeà taøi nghieân cöùu trong phaïm vi hoïc sinh lôùp 83 cuûa tröôøng THCS Nguyễn Hữu Thọ, naêm hoïc 2014 - 2015.

B/.B/. NOÄI DUNGNOÄI DUNG1. Cô sôû lyù luaän

Muèn ®¹t kÕt qu¶ cao trong häc tËp m«n to¸n, ngoµi sù tËp trung chó ý trong nghe gi¶ng, tÝch cùc ph¸t biÓu ý kiÕn, hoc sinh cßn cÇn ph¶i ch¨m chØ häc bµi vµ lµm bµi ë nhµ. B¸c Hå ®· d¹y” häc ph¶i ®i ®«i víi hµnh” . NÕu ta chØ häc tËp trªn líp mµ kh«ng «n bµi, kh«ng vËn dông kiÕn thøc ®· häc ®Ó gi¶i bµi tËp còng nh liªn hÖ víi thùc tiÔn cuéc sèng th× tríc hÕt lµ t duy kÐm ph¸t triÓn ¶nh hëng rÊt lín ®Õn viÖc h×nh thµnh nh©n c¸ch con ngêi . Do ®ã vÊn ®Ò häc bµi vµ lµm bµi tËp ë nhµ trë thµnh v« cïng quan träng ®èi víi tÊt c¶ häc sinh. HiÖn nay, do thay ®æi chư¬ng tr×nh vµ phư¬ng ph¸p gi¶ng d¹y nªn vÊn ®Ò häc bµi vµ lµm bµi tËp ë nhµ cÇn ph¶i ®Æt lªn vÞ trÝ hµng ®Çu. VÊn ®Ò nµy trë thµnh mét chuyªn môc mµ nhiÒu thÇy c« gi¸o ph¶i quan t©m. Nhưng häc bµi vµ lµm bµi tËp ë nhµ như thÕ nµo cho ®¹t ®ược kÕt qu¶ cao trong häc tËp l¹i lµ mét viÖc lµm kh«ng ®¬n gi¶n. Bëi v× nã lµ mét vÊn ®Ò träng t©m mang tÝnh chÊt tæng hîp l¹i phô thuéc nhiÒu yÕu tè kh¸ch quan còng nh chñ quan. Kh«ng thÓ ¸p dông m¸y mãc cho tÊt c¶ c¸c bµi häc, bµi tËp hay c¸c ®èi tîng mµ ph¶i linh ho¹t, uyÓn chuyÓn theo néi dung kiÕn thøc cÇn truyÒn thô, theo träng t©m yªu cÇu cña tõng bµi gi¶ng ®Ó phï hîp víi c¸ch häc nh»m ®¹t hiÖu qu¶ tèt nhÊt. Vieäc hoïc toaùn khoâng phaûi chæ laø hoïc nhö SGK, khoâng chæ laøm nhöõng baøi taäp do Thaày, Coâ ra maø phaûi nghieân cöùu ñaøo saâu suy nghó, tìm toøi vaán ñeà, toång quaùt hoaù vaán ñeà vaø ruùt ra ñöôïc nhöõng ñieàu gì boå ích. Daïng toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû laø moät daïng toaùn raát quan troïng cuûa moân ñaïi soá 8 ñaùp öùng yeâu caàu naøy, laø neàn taûng, laøm cô sôû ñeå hoïc sinh hoïc tieáp caùc chöông sau naøy, nhaát laø khi hoïc veà ruùt goïn phaân thöùc ñaïi soá, quy ñoàng maãu thöùc nhieàu phaân thöùc vaø vieäc giaûi phöông trình, … Tuy nhieân, vì lyù do sö phaïm vaø khaû naêng nhaän thöùc cuûa hoïc sinh ñaïi traø maø chöông trình chæ ñeà caäp ñeán boán phöông phaùp cô baûn cuûa quaù trình phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû thoâng qua caùc ví duï cuï theå, vieäc phaân tích ñoù laø khoâng quaù phöùc taïp vaø khoâng quaù ba nhaân töû.

4

Vaán ñeà ñaët ra laø laøm theá naøo ñeå hoïc sinh giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû moät caùch chính xaùc, nhanh choùng vaø ñaït hieäu quaû cao. Ñeå thöïc hieän toát ñieàu naøy, ñoøi hoûi giaùo vieân caàn xaây döïng cho hoïc sinh nhöõng kó naêng nhö quan saùt, nhaän xeùt, ñaùnh giaù baøi toaùn, ñaëc bieät laø kó naêng giaûi toaùn, kó naêng vaän duïng baøi toaùn, tuyø theo töøng ñoái töôïng hoïc sinh, maø ta xaây döïng caùch giaûi cho phuø hôïp treân cô sôû caùc phöông phaùp ñaõ hoïc vaø caùc caùch giaûi khaùc, ñeå giuùp hoïc sinh hoïc taäp toát boä moân.

2. Cô sôû thöïc tieãn Toàn taïi nhieàu hoïc sinh yeáu trong tính toaùn, kó naêng

quan saùt nhaän xeùt, bieán ñoåi vaø thöïc haønh giaûi toaùn, phaàn lôùn do maát kieán thöùc caên baûn ôû caùc lôùp döôùi, nhaát laø chöa chuû ñoäng hoïc taäp ngay töø ñaàu chöông trình lôùp 8, do chay löôøi trong hoïc taäp, yû laïi, trong nhôø vaøo keát quaû ngöôøi khaùc, chöa noã löïc töï hoïc, töï reøn, yù thöùc hoïc taäp yeáu keùm.

Giaùo vieân chöa thaät söï ñoåi môùi phöông phaùp daïy hoïc hoaëc ñoåi môùi chöa trieät ñeå, ngaïi söû duïng ñoà duøng daïy hoïc, phöông tieän daïy hoïc, vaãn toàn taïi theo loái giaûng daïy cuõ xöa, xaùc ñònh daïy hoïc phöông phaùp môùi coøn mô hoà.

Phuï huynh hoïc sinh chöa thaät söï quan taâm ñuùng möùc ñeán vieäc hoïc taäp cuûa con em mình nhö theo doõi, kieåm tra, ñoân ñoác nhaéc nhôû söï hoïc taäp ôû nhaø.3. Noäi dung vaán ñeà3.1. Nhöõng giaûi phaùp môùi cuûa ñeà taøi Ñeà taøi ñöa ra caùc giaûi phaùp môùi nhö sau:- Saép xeáp baøi toaùn theo caùc möùc ñoä, nhöõng daïng

toaùn cô baûn.- Xaây döïng caùc phöông phaùp giaûi cô baûn veà phaân tích

ña thöùc thaønh nhaân töû. Ñoái vôùi hoïc sinh yeáu, keùm: Cuûng coá kieán thöùc

cô baûn + Phöông phaùp Ñaët nhaân töû chung+ Phöông phaùp Duøng haèng ñaúng thöùc+ Phöông phaùp Nhoùm nhieàu haïng töû

Ñoái vôùi hoïc sinh ñaïi traø: Vaän duïng vaø phaùt trieån kyõ naêng

5

+ Phoái hôïp nhieàu phöông phaùp (caùc phöông phaùp treân)- Chöõa caùc sai laàm thöôøng gaëp cuûa hoïc sinh trong giaûi

toaùn.- Cuûng coá caùc pheùp bieán ñoåi cô baûn vaø hoaøn thieän

caùc kó naêng thöïc haønh.- Tìm toøi nhöõng caùch giaûi hay, khai thaùc baøi toaùn.- Giôùi thieäu hai phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh

nhaân töû (Naâng cao). Ñoái vôùi hoïc sinh khaù, gioûi: Phaùt trieån tö duy (giôùi thieäu hai phöông phaùp)

+ Phöông phaùp taùch moät haïng töû thaønh nhieàu haïng töû khaùc.+ Phöông phaùp theâm vaø bôùt cuøng moät haïng töû.

3.2. Caùc phöông phaùp thöôøng gaëp � Cuûng coá kieán thöùc cô baûn Caùc phöông phaùp cô baûn:

I/ Phöông phaùp ñaët nhaân töû chungPhöông phaùp chung: - Tìm nhaân töû chung cuûa caùc heä soá (ÖCLN cuûa caùc

heä soá).- Tìm nhaân töû chung cuûa caùc bieán (moãi bieán chung

laáy soá muõ nhoû nhaát ).Nhaèm ñöa veà daïng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D).

� Chuù yù: Nhieàu khi ñeå laøm xuaát hieän nhaân töû ta caàn ñoåi daáu caùc haïng töû.vd:a-b=-(b-a) Ví duï : Phaân tích ña thöùc 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thaønh nhaân töû. (BT-39c)-SGK-tr19)Giaùo vieân gôïi yù:

- Tìm nhaân töû chung cuûa caùc heä soá 14, 21, 28 trong caùc haïng töû treân ?

(Hoïc sinh traû lôøi laø: 7, vì ÖCLN(14, 21, 28 ) = 7 )- Tìm nhaân töû chung cuûa caùc bieán x2 y, xy2, x2y2 ? (Hoïc

sinh traû lôøi laø xy )- Nhaân töû chung cuûa caùc haïng töû trong ña thöùc ñaõ

cho laø 7xy.Giaûi: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy

= 7xy.(2x – 3y + 4xy)

6

Ví du: Phaân tích ña thöùc 10x(x – y) – 8y(y – x) thaønh nhaân töû. (BT-39e)-SGK-tr19)Giaùo vieân gôïi yù:

- Haõy thöïc hieän ñoåi daáu tích – 8y(y – x) ñeå coù nhaân töû chung (x – y)?

Ñoåi daáu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y)Ưu tiên đặt nhân tử chung là ngoặc,tiếp tục đặt nhân tử chung trong ngoặc nếu vẫn có thể.

Giaûi: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = (x-y)(10x+8y) = 2(x – y)(5x + 4y)

Ví duï: Phaân tích ña thöùc 9x(x – y) – 10(y – x)2 thaønh nhaân töû.Lôøi giaûi sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2

(ñoåi daáu sai ) = (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai töø treân) = (x – y)(19x – 10y) (keát quaû sai )

Sai laàm cuûa hoïc ôû ñaây laø: Thöïc hieän ñoåi daáu sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2

Lôøi giaûi ñuùng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x)

Qua ví duï treân, giaùo vieân cuûng coá cho hoïc sinh:Caùch tìm nhaân töû chung cuûa caùc haïng töû :ưu tiên nhân tử

chung là ngoặcTrong quá trình phaân tích lưu ý đổi dấu để có các ngoặc giống nhau.

Sau đó đưa ra hàng loạt bài tập mang tính chất tương tự để các em làm a.b. c.d.e. f.g.

7

h. i.j.k.l.m.

II/ Phöông phaùp duøng haèng ñaúng thöùcPhöông phaùp chung:Söû duïng baûy haèng ñaúng thöùc ñaùng nhôù döôùi “daïng

toång hoaëc hieäu” ñöa veà “daïng tích” 1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

2. A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 3. A2 – B2 = (A – B)(A + B) 4. A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 5. A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 6. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)7. A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)Giáo viên đưa ra môt loạt các hằng đẳng thức tứ đến 7 dạng cơ bản để các

em nhận dạng:a) x2 – 2x + 1b) x2 – 9y2

c) x2 +4x + 4d) 27x3 –9 e) x3+3x2+3x+1f)

g)Ví duï: Phaân tích ña thöùc (x + y)2 – (x – y)2 thaønh nhaân töû. (BT- 28a)-SBT-tr6)Gôïi yù: Ña thöùc treân coù daïng haèng ñaúng thöùc naøo ? (HS: coù daïng A2 – B2 )Lôøi giaûi sai: (x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thieáu daáu ngoaëc)

= 0.(2x) = 0 (keát quaû sai)Sai laàm cuûa hoïc sinh ôû ñaây laø: Thöïc hieän thieáu daáu ngoaëcLôøi giaûi ñuùng: (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)]

8

= (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy

Caùc sai laàm hoïc sinh deã maéc phaûi:- Quy taéc boû daáu ngoaëc, laáy daáu ngoaëc vaø quy taéc

daáu - Pheùp bieán ñoåi, kó naêng nhaän daïng haèng ñaúng thöùc

hieäu hai bình phöông, bình phöông cuûa moät hieäu. Khai thaùc baøi toaùn: Ñoái vôùi hoïc sinh khaù gioûi, giaùo vieân coù theå cho caùc em laøm baøi taäp döôùi daïng phöùc taïp hôn.

* Neáu thay muõ “2” bôûi muõ “3” ta coù baøi toaùnPhaân tích (x + y)3 – (x – y)3 thaønh nhaân töû (BT-44b)-

SGK-tr20) * Ñaët x + y = a, x – y = b, thay muõ “3” bôûi muõ “6” ta coù

baøi toaùn Phaân tích a6 – b6 thaønh nhaân töû (BT-26c)-SBT-

tr6)

a6 – b6 = = (a3 – b3 )( a3 + b3 )Ví duï: Phaân tích a6 – b6 thaønh nhaân töû (BT-26c)-SBT-tr6)

Giaûi: a6 – b6 = = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) = (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2)

Giaùo vieân cuûng coá cho hoïc sinh:Caùc haèng ñaúng thöùc ñaùng nhôù, kó naêng nhaän daïng

haèng ñaúng thöùc qua baøi toaùn, döïa vaøo caùc haïng töû, soá muõ cuûa caùc haïng töû maø söû duïng haèng ñaúng thöùc cho thích hôïp.

III/Phöông phaùp nhoùm nhieàu haïng töûPhöông phaùp chungLöïa choïn caùc haïng töû “thích hôïp” ñeå thaønh laäp

nhoùm nhaèm laøm xuaát hieän moät trong hai daïng sau hoaëc laø ñaët nhaân töû chung, hoaëc laø duøng haèng ñaúng thöùc.

1) Nhoùm nhaèm xuaát hieän phöông phaùp ñaët nhaân töû chung: Ví duï : Phaân tích ña thöùc x2 – xy + x – y thaønh nhaân töû. (Baøi taäp 47a)-SGK-tr22)

Caùch 1: nhoùm (x2 – xy) vaø (x – y)

9

Caùch 2: nhoùm (x2 + x) vaø (– xy – y )

Lôøi giaûi sai: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)= x(x – y) + (x – y)= (x – y)(x + 0) (keát quaû daáu sai vì boû soùt soá 1)

Sai laàm cuûa hoïc sinh laø: boû soùt haïng töû sau khi ñaët nhaân töû chung(HS cho raèng ôû ngoaëc thöù hai khi ñaët nhaân töû chung (x – y) thì coøn laïi laø soá 0) Lôøi giaûi ñuùng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)

= x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1)

Đưa ra 1 loạt bài tập để các em rèn luyệna)

b)c)d)e)f)

2) Nhoùm nhaèm xuaát hieän phöông phaùp duøng haèng ñaúng thöùc: Ví duï : Phaân tích ña thöùc x2 – 2x + 1 – 4y2 thaønh nhaân töû. Giaûi: x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2

= (x – 1)2 – (2y)2 = (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y)

Một số dạng bài để rèn luyệna.

b.c.d.e.f.g.h.

3) Nhoùm nhaèm söû duïng hai phöông phaùp treân: Ví duï 8: Phaân tích ña thöùc x2 – 2x – 4y2 – 4y thaønh nhaân töû.

10

Lôøi giaûi sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (ñaët daáu sai)

= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai töø treân) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (keát quaû daáu sai)

Sai laàm cuûa hoïc sinh laø: Nhoùm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (ñaët daáu sai ôû ngoaëc thöù hai) Lôøi giaûi ñuùng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y )

= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2)

Bài tập tương tựa)b)

Qua caùc ví duï treân, giaùo vieân löu yù cho hoïc sinh:Caùch nhoùm caùc haïng töû vaø ñaët daáu tröø “ – ” hoaëc

daáu coäng “ + ” ôû tröôùc daáu ngoaëc, phaûi kieåm tra laïi caùch ñaët daáu khi thöïc hieän nhoùm.

Trong phöông phaùp nhoùm thöôøng daãn ñeán söï sai daáu, vì vaäy hoïc sinh caàn chuù yù caùch nhoùm vaø kieåm tra laïi keát quaû sau khi nhoùm.Löu yù: Sau khi phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû ôû moãi nhoùm thì quaù trình phaân tích thaønh nhaân töû khoâng thöïc hieän ñöôïc nöõa, thì caùch nhoùm ñoù ñaõ sai, phaûi thöïc hieän laïi.

� Vaän duïng vaø phaùt trieån kyõ naêngIV/ Phoái hôïp caùc phöông phaùp thoâng thöôøngPhöông phaùp chungLaø söï keát hôïp nhuaàn nhuyeãn giöõa caùc phöông phaùp

nhoùm nhieàu haïng töû, ñaët nhaân töû chung, duøng haèng ñaúng thöùc. Vì vaäy hoïc sinh caàn nhaän xeùt baøi toaùn moät caùch cuï theå, moái quan heä cuûa caùc haïng töû vaø tìm höôùng giaûi thích hôïp.

Ta thöôøng ưu tiên theo thứ tự các pp:Ñaët nhaân töû chung ? Duøng haèng ñaúng thöùc ? Nhoùm nhieàu haïng töû ?

Ví duï: Phaân tích ña thöùc x4 – 9x3 + x2 – 9x thaønh nhaân töû. (BT- ?2 -SGK-tr22)

11

Gôïi yù phaân tích: Xeùt töøng phöông phaùp: Ñaët nhaân töû chung ?

Duøng haèng ñaúng thöùc ?Nhoùm nhieàu haïng töû ?

Caùc sai laàm hoïc sinh thöôøng maéc phaûiLôøi giaûi chöa hoaøn chænh:

a) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phaân tích chöa trieät ñeå)b) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)

= x3(x – 9) + x(x – 9 ) = (x – 9)(x3 + x ) (phaân tích chöa trieät ñeå)

Lôøi giaûi ñuùng: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) Ñaët nhaân töû chung

= x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)] = x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)]= x(x – 9)(x2 + 1)

Bài tập tương tựa.

b.c.

V/ Phöông phaùp taùch moät haïng töû thaønh nhieàu haïng töû khaùcVí duï : Phân tích ña thöùc – 6x2 + 7x – 2 thaønh nhaân töû Gôïi yù ba caùch phaân tích: Khi dạy,Giáo viên chỉ cần dạy cách 1 còn cách 2 và 3 các em sẽ tự nghiên cứu thêm ở sách giáo khoa.Caùch 1 (taùch haïng töû giữa: – 8x)

Ta coù: a = – 6 ; b = 7 ; c = – 2 Böôùc 1: ac = (–6).(–2) = 12Böôùc 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1Böôùc 3: b = 7 = 4 + 3

Khi ñoù ta coù lôøi giaûi: – 6x2 + 7x – 2 = – 6x2 + 4x + 3x – 2= (– 6x2 + 4x) + (3x – 2)

12

= –2x(3x – 2) + (3x – 2) = (3x – 2)(–2x + 1)

Caùch 2 (taùch haïng töû cuối : 4) 3x2 – 8x + 4 = 3x2

– 12 – 8x + 16 = 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2) = 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2) = (x – 2)(3x + 6 – 8) = (x – 2)(3x – 2)

Caùch 3 (taùch haïng töû đầu: 3x2) 3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2

= (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 – x)( 2x – 2 + x)= (x – 2)(3x – 2)

Một số bài tập mang tính chất tương tựa)b) 3 x2+10 x+8

c) 2 x2+x−6

d)e)f) x2+7 xy+10 y2

g) x2−6 xy+5 y2

h)i) n3 – 7n + 6 j) x4 – 30x2 + 31x – 30

Hướng dẫn giaûi e: n3 – 7n + 6 = n3 – n – 6n + 6

= n(n2 – 1) – 6(n – 1)= n(n – 1)(n + 1) – 6(n – 1) = (n – 1)[n(n + 1) – 6] = (n – 1)(n2 + n – 6)= (n – 1)(n2 – 2n + 3n – 6) = (n – 1)(n(n – 2) + 3(n – 2)) = (n – 1)(n – 2)(n + 3)

Hướng dẫn giaûi f Ta coù caùch taùch nhö sau: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30Giaûi: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30

= x(x3 + 1) – 30(x2 – x + 1) = x(x + 1)(x2 – x + 1) – 30(x2 – x + 1)

13

= (x2 – x + 1)(x2 + x – 30) = (x2 – x + 1)(x – 5)(x + 6)

VI/ Phöông phaùp thêm bớt hạng tử

Vd:Ta xem như x4 là a2,64 là b2,thêm bớt để đưa về thành hdt số 3,nên ta thêm +2a.b và -2a.b,tức là =(x2)2+82

=(x2)2+82+2.x2.8-2.x2.8

=(x2+8)2-(4x)2

=…………………………

Tới đây đưa về hằng đẳng thức số 3(Giáo viên cho Học sinh lên bảng làm tiếp)

Một số bài tập mang tính chất tương tựa)b)c) 81 x4+1d) x4 + 64y4

VII/ Phöông phaùp khácVí duï : Phaân tích ña thöùc A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thaønh nhaân töû.

(Baøi taäp 57- SBT-tr 9 toaùn 8 taäp 1Trong ví duï naøy coù nhieàu caùch giaûi, hoïc sinh caàn

phaûi linh hoaït löïa choïn caùch giaûi phuø hôïp nhaát, goïn nhaát. AÙp duïng haèng ñaúng thöùc: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A +

B)Suy ra heä quaû sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B).

Giaûi: A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3

= (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 – y3 – z3 = [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z) = 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 ) = 3(x + y)( xy + xz + yz + z2) = 3(x + y)(y + z)(x + z)

14

Khai thaùc baøi toaùn: 1) Chöùng minh raèng A chia heát cho 6 vôùi moïi x, y, z

nguyeân.2) Cho x + y + z = 0. Chöùng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz (Baøi

taäp 38-SBT-tr7) Höôùng daãn:

Duøng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) vaø x + y + z = 0 x + y = – z

3) Phaân tích ña thöùc x3 + y3 + z3 – 3xyz thaønh nhaân töû (Baøi taäp 28c)-SBT-tr6)

Höôùng daãn: Duøng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)

Ví duï : Phaân tích ña thöùc x4 + x2 + 1 thaønh nhaân töû.Ta coù phaân tích:

- Taùch x2 thaønh 2x2 – x2 : (laøm xuaát hieän haèng ñaúng thöùc)

Ta coù x4 + x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 – x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 - Theâm x vaø bôùt x: (laøm xuaát hieän haèng ñaúng thöùc

vaø ñaët nhaân töû chung)Ta coù x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1 = (x4 – x) + (x2 + x +

1) Giaûi: x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1

= (x4 – x) + (x2 + x + 1)= x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)= (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)

Ví duï : Phaân tích ña thöùc x5 + x4 + 1 thaønh nhaân töû.Caùch 1: Theâm x3 vaø bôùt x3 (laøm xuaát hieän haèng ñaúng thöùc vaø ñaët nhaân töû chung)Giaûi: x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + 1

= (x5 + x4 + x3 )+ (1 – x3 )= x3(x2+ x + 1)+ (1 – x )(x2+ x + 1)= (x2+ x + 1)(x3 – x + 1 )

Caùch 2: Theâm x3, x2, x vaø bôùt x3, x2, x (laøm xuaát hieän ñaët nhaân töû chung)Giaûi: x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + 1

= (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1)= x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)= (x2 + x + 1)(x3 – x + 1 )

15

� Chuù yù: Caùc ña thöùc coù daïng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4

+ 1, x7 + x5 + 1,….; toång quaùt nhöõng ña thöùc daïng x3m+2 + x3n+1 + 1 hoaëc x3 – 1, x6 – 1 ñeàu coù chöùa nhaân töû x2 + x + 1.

3.3. Bieän phaùp vaø keát quaû thöïc hieän Bieän phaùpÑeå thöïc hieän toát kó naêng phaân tích ña thöùc thaønh

nhaân töû neâu treân thaønh thaïo trong thöïc haønh giaûi toaùn, giaùo vieân caàn cung caáp cho hoïc sinh caùc kieán thöùc cô baûn sau:

Cuûng coá laïi caùc pheùp tính, caùc pheùp bieán ñoåi, quy taéc daáu vaø quy taéc daáu ngoaëc ôû caùc lôùp 6, 7.

Ngay töø ñaàu chöông trình Ñaïi soá 8 giaùo vieân caàn chuù yù daïy toát cho hoïc sinh naém vöõng chaéc kieán thöùc veà nhaân ñôn thöùc vôùi ña thöùc, ña thöùc vôùi ña thöùc, caùc haèng thöùc ñaùng nhôù, vieäc vaän duïng thaønh thaïo caû hai chieàu cuûa caùc haèng ñaúng thöùc.

Khi gaëp baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû, hoïc sinh caàn nhaän xeùt:

Quan saùt ñaëc ñieåm cuûa baøi toaùn:Nhaän xeùt quan heä giöõa caùc haïng töû trong baøi toaùn

(veà caùc heä soá, caùc bieán) Nhaän daïng baøi toaùn:Xeùt xem baøi toaùn ñaõ cho thuoäc daïng naøo?, aùp duïng

phöông phaùp naøo tröôùc, phöông phaùp naøo sau (ñaët nhaân töû chung hoaëc duøng haèng ñaúng thöùc hoaëc nhoùm nhieàu haïng töû, hay daïng phoái hôïp caùc phöông phaùp)

Choïn löïa phöông phaùp giaûi thích hôïp:Töø nhöõng cô sôû treân maø ta choïn löïa phöông phaùp

cho phuø hôïp vôùi baøi toaùn� Löu yù: Kinh nghieäm khi phaân tích moät baøi toaùn thaønh nhaân töû

Trong moät baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû

- Neáu ôû böôùc 1, ñaõ söû duïng phöông phaùp ñaët nhaân töû chung thì böôùc tieáp theo ñoái vôùi bieåu thöùc coøn laïi trong ngoaëc, thöôøng laø thu goïn, hoaëc söû duïng phöông phaùp nhoùm hoaëc duøng phöông phaùp haèng ñaúng thöùc

- Neáu ôû böôùc 1, ñaõ söû duïng phöông phaùp nhoùm caùc haïng töû thì böôùc tieáp theo ñoái vôùi caùc bieåu thöùc ñaõ nhoùm thöôøng söû duïng phöông phaùp ñaët nhaân töû chung hoaëc duøng phöông phaùp haèng ñaúng thöùc

16

- Neáu ôû böôùc 1, ñaõ söû duïng phöông phaùp duøng haèng ñaúng thöùc thì böôùc tieáp theo cuûa baøi toaùn thöôøng söû duïng phöông phaùp ñaët nhaân töû chung hoaëc duøng haèng ñaúng thöùc

� Chyù yù: Phöông phaùp ñaët nhaân töû chung khoâng theå söû duïng

lieân tieáp nhau ôû hai böôùc lieànPhöông phaùp nhoùm khoâng theå söû duïng lieân tieáp nhau

ôû hai böôùc lieànPhöông phaùp duøng haèng ñaúng thöùc coù theå söû duïng

lieân tieáp nhau ôû hai böôùc lieàn* Trong phöông phaùp ñaët nhaân töû chung hoïc sinh thöôøng

hay boû soùt haïng töû* Trong phöông phaùp nhoùm hoïc sinh thöôøng ñaët daáu sai

Vì vaäy, giaùo vieân nhaéc nhôû hoïc sinh caån thaän trong khi thöïc hieän caùc pheùp bieán ñoåi, caùch ñaët nhaân töû chung, caùch nhoùm caùc haïng töû, sau moãi böôùc giaûi phaûi coù söï kieåm tra. Phaûi coù söï ñaùnh giaù baøi toaùn chính xaùc theo moät loä trình nhaát ñònh, töø ñoù löïa choïn vaø söû duïng caùc phöông phaùp phaân tích cho phuø hôïp.

Xaây döïng hoïc sinh thoùi quen hoïc taäp, bieát quan saùt, nhaän daïng baøi toaùn, nhaän xeùt ñaùnh giaù baøi toaùn theo quy trình nhaát ñònh, bieát löïa choïn phöông phaùp thích hôïp vaän duïng vaøo töøng baøi toaùn, söû duïng thaønh thaïo kyõ naêng giaûi toaùn trong thöïc haønh, reøn luyeän khaû naêng töï hoïc, töï tìm toøi saùng taïo. Khuyeán khích hoïc sinh tham gia hoïc toå, nhoùm, hoïc saùng taïo, tìm nhöõng caùch giaûi hay, caùch giaûi khaùc.

Keát quaû Keát quaû aùp duïng kó naêng naøy ñaõ goùp phaàn naâng

cao chaát löôïng hoïc taäp cuûa boä moân ñoái vôùi hoïc sinh ñaïi traø.

Cuï theå keát quaû kieåm tra veà daïng toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû ñöôïc thoâng keâ qua caùc giai ñoaïn ôû hai lôùp 83 naêm hoïc 2013 – 2014 nhö sau:

Thôøi gian Ñaàu hoïc kyø I ñeán giöõa

hoïc kyø II

TSHS

Trung bình trôû leân Soá

löôïngTæ leä

(%)Keát quaû 48 48 100%

17

* Nhaän xeùt: Hoïc sinh naém vöõng chaéc caùc kieán veà phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû, vaän duïng thaønh thaïo kyõ naêng bieán ñoåi, phaân tích, bieát döïa vaøo caùc baøi toaùn ñaõ bieát caùch giaûi truôùc ñoù, linh hoaït bieán ñoåi vaø vaän duïng haèng ñaúng thöùc vaø ñaõ trình baøy baøi giaûi hôïp lyù hôn coù heä thoáng vaø logic.

Hoïc sinh tích cöïc tìm hieåu kó phöông phaùp giaûi, phaân loaïi töøng daïng toaùn, chuû ñoäng lónh hoäi kieán thöùc, coù kó naêng giaûi nhanh caùc baøi toaùn coù daïng töông töï, ñaët ra nhieàu vaán ñeà môùi, nhieàu baøi toaùn môùi.

� Toùm laïi: Töø thöïc teá giaûng daïy khi aùp duïng phöông phaùp naøy

toâi nhaän thaáy hoïc sinh naém vöõng kieán thöùc hôn, hieåu roõ caùc caùch giaûi toaùn ôû daïng baøi taäp naøy. Kinh nghieäm naøy ñaõ giuùp hoïc sinh trung bình, hoïc sinh yeáu naém vöõng chaéc veà caùch phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû trong chöông trình ñaõ hoïc, ñöôïc hoïc vaø reøn luyeän kó naêng thöïc haønh theo höôùng tích cöïc hoaù hoaït ñoäng nhaän thöùc ôû nhöõng möùc ñoä khaùc nhau thoâng qua moät chuoãi baøi taäp. Beân caïnh ñoù coøn giuùp cho hoïc sinh khaù gioûi coù ñieàu kieän tìm hieåu theâm moät soá phöông phaùp giaûi khaùc, caùc daïng toaùn khaùc naâng cao hôn, nhaèm phaùt huy taøi naêng toaùn hoïc, phaùt huy tính töï hoïc, tìm toøi, saùng taïo cuûa hoïc sinh trong hoïc toaùn.

C/. KEÁT LUAÄNC/. KEÁT LUAÄN Baøi hoïc kinh nghieäm

Thoâng qua vieäc nghieân cöùu ñeà taøi vaø nhöõng kinh nghieäm töø thöïc tieãn giaûng daïy, cho pheùp toâi ruùt ra moät soá kinh nghieäm sau:

Ñoái vôùi hoïc sinh yeáu keùm: Laø moät quaù trình lieân tuïc ñöôïc cuûng coá vaø söûa chöõa sai laàm, caàn reøn luyeän caùc kyõ naêng ñeå hoïc sinh coù khaû naêng naém ñöôïc phöông phaùp vaän duïng toát caùc phöông phaùp phaân tích cô baûn vaøo giaûi toaùn, cho hoïc sinh thöïc haønh theo maãu vôùi caùc baøi taäp töông töï, baøi taäp töø ñôn giaûn naâng daàn ñeán phöùc taïp, khoâng neân daãn caùc em ñi quaù xa noäi dung SGK.

Ñoái vôùi hoïc sinh ñaïi traø: Giaùo vieân caàn chuù yù cho hoïc sinh chæ naém chaéc caùc phöông phaùp cô baûn, kó naêng bieán ñoåi, kó naêng thöïc haønh vaø vieäc vaän duïng

18

töøng phöông phaùp ña daïng hôn vaøo töøng baøi taäp cuï theå, luyeän taäp khaû naêng töï hoïc, gôïi söï suy meâ höùng thuù hoïc, kích thích vaø khôi daäy oùc tìm toøi, chuû ñoäng chieám lónh kieán thöùc.

Ñoái vôùi hoïc sinh khaù gioûi: Ngoaøi vieäc naém chaéc caùc phöông phaùp cô baûn, ta caàn cho hoïc sinh tìm hieåu theâm caùc phöông phaùp phaân tích naâng cao khaùc, caùc baøi taäp daïng môû roäng giuùp caùc em bieát môû roäng vaán ñeà, cuï theå hoaù vaán ñeà, töông töï hoaù vaán ñeà ñeå vieäc giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû toát hôn. Qua ñoù taäp cho hoïc sinh thoùi quen töï hoïc, töï tìm toøi saùng taïo, khaùc thaùc caùch giaûi, khai thaùc baøi toaùn khaùc nhaèm phaùt trieån tö duy moät caùch toaøn dieän cho quaù trình töï nghieân cöùu cuûa caùc em.

Ñoái vôùi giaùo vieân: Giaùo vieân thöôøng xuyeân kieåm tra möùc ñoä tieáp thu vaø vaän duïng cuûa hoïc sinh trong quaù trình cung caáp caùc thoâng tin môùi coù lieân quan trong chöông trình ñaïi soá 8 ñaõ ñeà caäp ôû treân.

Giaùo vieân phaûi ñònh höôùng vaø vaïch ra nhöõng daïng toaùn maø hoïc sinh phaûi lieân heä vaø nghó ñeán ñeå tìm höôùng giaûi hôïp lyù nhö ñaõ ñeà caäp, giuùp hoïc sinh naém vöõng chaéc hôn veà caùc daïng toaùn vaø ñöôïc reøn luyeän veà nhöõng kó naêng phaân tích moät caùch töôøng minh trong moãi daïng baøi taäp ñeå tìm höôùng giaûi sau ñoù bieát aùp duïng vaø phaùt trieån nhanh trong caùc baøi taäp toång hôïp, kó naêng vaän duïng caùc phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû moät caùch ña daïng hôn trong giaûi toaùn. Ñoàng thôøi taïo ñieàu kieän ñeå hoïc sinh ñöôïc phaùt trieån tö duy moät caùch toaøn dieän, gôïi söï suy meâ höùng thuù hoïc taäp, tìm toøi saùng taïo, kích thích vaø khôi daäy khaû naêng töï hoïc cuûa hoïc sinh, chuû ñoäng trong hoïc taäp vaø trong hoïc toaùn.

Neáu thöïc hieän toát phöông phaùp treân trong quaù trình giaûng daïy vaø hoïc taäp thì chaát löôïng hoïc taäp boä moân cuûa hoïc sinh seõ ñöôïc naâng cao hôn, ñaøo taïo ñöôïc nhieàu hoïc sinh khaù gioûi, ñoàng thôøi tuyeån choïn ñöôïc nhieàu hoïc sinh gioûi caáp tröôøng, caáp thành phố.

Ngày 10/3/2015Người viết đề tài

Nguyễn Thị Hiền

19