wim van dooren center for instructional psychology and technology universidad católica de lovaina,...

Wim Van DoorenCenter for Instructional Psychology and TechnologyUniversidad Católica de Lovaina, Bélgica

Entendiendo los obstáculosEntendiendo los obstáculos

en el razonamiento matemático

Understanding Obstacles Quito 2014

Agradecimientos

Lieven Verschaffel, Dirk Janssens, Dirk De Bock, Fien Depaepe, Xenia Vamvakoussi, Mirjam Ebersbach, An Hessels, Ellen Gillard, Marleen Evers, Jo Van Hoof, Stephanie Lem, Tinne Dewolf, Ana Acevedo Nistal, Lore Saenen, …


“Para dibujar un cuadrado que duplique su área es necesario duplicar sus lados.” (El esclavo)

Understanding obstacles Leuven 2012

Del Menón, Diálogos de Platón



NCTM (1989)

“… la mayoría de los estudiantes entre 5º y 8º grados cree errónamente que si los lados de una figura se duplican para producir una figura similar, el área y el volumen de la figura también se duplicarán.”


Geometría

“Si se agranda una figura k veces, el área y volumen se agranda k veces también.”

11

k2k k3k

El área se agranda k² vecesEl volumen k³ veces

x

Understanding obstacles Leuven 2012Understanding Obstacles Quito 2014

Carl necesita 8 bolsas de semillas para poner hierba en un cuadrado de césped cuyos lados miden 200m.

¿Cuántas bolsas de semilas de hierba necesita aproximadamente para un cuadrado de césped cuyos lados miden 600m?

Geometría



Geometría

Casi todos los niños de 12 años: 200x3 = 600 m 8x3 = 24 bolsas

Más del 80% de los chicos de 16 años.

De Bock et al., 2002, 2003, 2007, Van Dooren et al., 2003, 2004

Carl necesita 8 bolsas de semillas para poner hirba en un cuadrado de césped cuyos lados miden 200 m.

¿Cuántas bolsas de semilas de hierba necesita

aproximadamente para un cuadrado de césped cuyos lados miden 600 m?

The linear imperative Oxford 2012Understanding Obstacles Quito 2014


Según estudios de seguimiento, no hay casi ninguna acción para:

• enseñar a hacer dibujos.

• proveer dibujos de figuras pequeñas y grandes.

• proveer dibujos en un papel cuadrado.

• alertar al comienzo de la prueba.

Geometría


Proportional Correct

Ellen y Kim corren alrededor de una pista. Los dos corren igualmente rápido, pero Ellen empezó más tarde. Cuando Ellen ha corrido 5 vueltas, Kim ha corrido 15 vueltas. Cuando Ellen ha corrido 30 vueltas, ¿cuántas ha corrido Kim?

+ 25

+ 10

30

40 15 + 25

+ 10

5

6

3

30

90 15 6

3

5

0102030405060708090

100

3th 4th 5th 6th 7th 8th

correct proportional

Problema de adición en palabras

Van Dooren et al. 2005

Cardano (1501-1576)

Para un 50% de probabilidad de sacar un “doble seis”, se necesita lanzar dos dados por lo menos 18 veces.

Cf. Székely (1986)

Probabilidad


Cardano (1501-1576)

Para un 50% de probabilidad de sacar un “doble seis”, se necesita lanzar dos dados por lo menos 18 veces.

Un lanzamiento: 1/36 probabilidades para un “doble seis”

18 x 1/36 = 18/36 = 50% Cf. Székely (1986)

Probabilidad


Probabilidad

La probabilidad de obtener por lo menos 3 caras en 5 lanzamientos de moneda es

mayor que / igual a / menor que

la probabilidad de obtener por lo menos 300 caras en 500 lanzamientos de moneda.

E.g., Kahneman & Tversky (1972); Fischbein & Schnarch (1997)Van Dooren et al. (2003)



mayor que / igual a / menor que



Más del 80% de chicos de 16 años.La mayoría de adultos que ha recibido educación.

Probabilidad


Casos de razonamiento lineal / proporcional

K veces A, K veces B

aplicaciones de f(x) = ax

¿Explicaciones?

10 600

× 8 × 8

80 ?


La linealidad es una propiedad de las relaciones tan sugestiva, que uno se rinde fácilmente a la seducción de tratar cada relación numérica como si fuese lineal.

(Freudenthal, 1983)

Sobre utilización de la linealidad


Sobre utilización de la linealidad


¡Aquí hay otra pelota de hilo!

Doblemente divertido

MATEMÁTICAS

EDUCACIÓN

MENTE

¿Explicaciones?


MATE carencia de conocimiento

matemático

EDUCACIÓN

MENTE

¿Explicaciones?


- Problemas de área:

Deficiencias en el conocimiento matemático

Se necesitan 6 ml de pintura

Altura:56 cm

Altura:168 cm

¿Cuánta pintura se necesita?


- Problemas de área: :

-“Las figuras irregulares no tienen área.”

-“El aumento es diferente para los cuadrados, etc.”

-“Este es un problema de pintura. Tiene que ver con mililitros, es decir, con volumen.”

De Bock et al. 2002

Se necesitan 6ml de pintura

Altura:56 cm

Altura:168 cm

¿Cuánta pintura?




mayor que / igual que / menor que


Existe dificultad para calcular probabilidades exactas.

Se requiere agudeza para la ley de los números mayores.




Probabilidad

- Relaciones matemáticas muy complejas- Comprobación concreta difícil- Razonamiento abstracto

Bien conocido por su aparición de errores, falsas ideas e intuicionesHistorial de mucha gente haciendo errores, incluso matemáticos.

(Shaughnessy, 1992; Tversky & Kahneman, 1972)



•China: crecimiento económico del 14% anual

• Príncipe Filip: “Sus habitantes han doblado sus ingresos en 7 años.”

(14 % x 7 = 98 %)



• China: crecimiento económico del 14% anual

• Príncipe Filip: “Sus habitantes han doblado sus ingresos en 7 años.”

(14 % x 7 = 98 %)

•Suponga que el ingreso anual en el año 1 = 50.000 EUR

• 50.000 x 1.14n = 100.000 EUR

cuando n = 5.2935



Pero NO se puede explicar

- por qué se cometen los errores LINEALES



MATE carencia de conocimientos

matemáticos

conceptos matemáticos en sí mismos

EDUCACIÓN

MENTE

¿Explicaciones?


“A nivel muy básico intuitivo, los dos esquemas comparten la misma raíz, es decir, una intuición que llamamos intuición de frecuencia relativa.”

Fischbein (1975)

La materia de Matemáticas

Probabilidad y proporciones


2

5

4

10

!

Probabilidad y proporciones







mayor que / igual que / menor que


El área es un concepto de dos dimensionespero es tratado como un concepto unidimensional.


Geometría


Geometríax 3

X 3x 3?



“El principio que gobierna la ampliación (o reducción) de las figuras geométricas es altamente fundamental en matemáticas y ciencia, por lo que merece nuestra mayor atención, tanto desde el punto de vista fenomenológico como didáctico.”

Freudenthal, 1983

Geometría ¡Ampliación lineal!



“Las fórmulas para el perímetro y el área del círculo, así como para el área y volumen de la esfera son didácticamente y prácticamente eclipsadas por el conocimiento de su comportamiento en la ampliación y la reducción, que se aplica en un gran campo no cubierto por las fórmulas.”

Freudenthal, 1983

Geometría ¡Ampliación lineal!



Las deficiencias en el conocimiento matemático y en la materia de Matemáticas NO pueden explicar:

- por qué los estudiantes dan más soluciones complejas a problemas simples.

- por qué el número de respuestas lineales aumenta con la edad.

PERO




+ 25

+ 10

30

40 15 + 25

+ 10

5

6

3

30

90 15 6

3

5

0102030405060708090

100






matemáticos


EDUCACIÓN mal enfoque didáctico

MENTE

¿Explicaciones?


El rol de la educación

• Amplia atención al razonamiento proporcional

• Mayor enfoque en ciertos momentos

• Numerosas aplicaciones

Inevitable


Correct

4 cajas de lápices cuestan 8 euros. Nuestro profe quiere comprar una caja para cada alumno. Tiene que comprar 24 cajas. ¿Cuánto tiene que pagar?

0102030405060708090

100

3rd 4th 5th 6th 7th 8th

correct other

Problema de proporciones



+ 25

+ 10

30

40 15 + 25

+ 10

5

6

3

30

90 15 6

3

5

0102030405060708090

100






• “Enseñar a discriminar” nunca ocurre.

inevitable


Enseñar a discriminar

• 74 alumnos en 6º grado

• Convirtieron un ejercicio de resolución en un ejercicio de clasificación

Van Dooren et al., 2011


Grupo SC Resolver Clasificar

Grupo CS Clasificar Resolver

¿Por qué?


• Ejercicio de resolución

Clasificar primero ayuda a resolver después

Grupo SC Resolver

Grupo CS Resolver




• Ejercicio de clasificación

Resolver primero dificulta la clasificación después.

Grupo SC Clasificar

Grupo CS Clasificar






• Utilizar indicaciones superficiales es exitoso

• Formulación del valor faltante

Inevitable


Problema de valor faltante

Carl necesita 8 bolsas de semillas para poner césped en un cuadrado de césped cuyos lados miden 200m.

¿Cuántas bolsas de semilas de césped necesita aproximadamente para un cuadrado de césped cuyos lados miden 600m?

Geometría


Problema de valor faltante

Carl necesita 8 bolsas de semillas para poner hierba en un cuadrado de césped cuyos lados miden 200 m.

¿Cuántas bolsas de semilas necesita aproximadamente para un cuadrado de césped cuyos lados miden 600 m?

Problema de comparación

Carl puso hierba en un cuadrado de césped.

Mañana, él pondrá hierba en un cuadrado de césped cuyos lados son tres veces más grandes.

¿Cuántas semillas de hierba más necesitará para hacer eso?

Geometría


CONDICIÓNÍtems

proporcionalesÍtems

proporcionales

Comparación 68% 41%

Valor a encontrar 87% 23%

Geometría

De Bock et al. 2002





• Formulación del valor faltante

• Números en los problemas

Inevitable


Manipulación de números:

16


32

48 ?

x3

x2

Integer version


Manipulación de números

16


24

36 ?

x2.25

x1.5

Non-integer version


THE LINEAR IMPERATIVE Turku 2007

Resultados

0

20

40

60

80

100

General 4th 5th 6th0

20

40

60

80

100

General 4th 5th 6th

integer version non-integer version


• “La “enseñanza en discriminación” nunca ocurre.


• Formulación de valor faltante

• Números en los problemas

Inevitable


La consecuencia


Η Έλεν και ο Kim τρέχουν γύρω από ένα κομμάτι. Τρέχουν εξίσου γρήγορα, αλλά η Ellen ξεκίνησε αργότερα. Όταν η Έλεν έχει τρέξει 4 γύρους, ο Kim έχει τρέξει 8 γύρους.

Όταν η Έλεν έχει τρέξει 16 γύρους, πόσα έχει Κιμ τρέξει?


Η Έλεν και ο Kim τρέχουν γύρω από ένα κομμάτι. Τρέχουν εξίσου γρήγορα, αλλά η Ellen ξεκίνησε αργότερα. Όταν η Έλεν έχει τρέξει 4 γύρους, ο Kim έχει τρέξει 8 γύρους.

Όταν η Έλεν έχει τρέξει 16 γύρους, πόσα έχει Κιμ τρέξει?

20% de alumnos de 5º grado y 39% de 6º responde “32”


La atención que se le da al tema de la proporcionalidad en la educación NO puede explicar:

- por qué la sobre utilización de la linealidad es extremadamente persistente y resistente a la ayuda.

-por qué los errores ocurren mucho menos en la vida real.

PERO


El problema del pescado de Piaget

A

B

C

« Tres pescados de 5, 10 y 15 cm de largo. Puesto que es necesario tener en cuenta solo una dimensión (…), el pescado B comerá el doble de lo que come el pescado A, y el pescado C tres veces esa cantidad. » Piaget, 1951


Lave (1992)

“ El ejercicio de resolver problemas textuales y problemas de contenidos textuales en la escuela no es igual a los ‘mismos’ ejercicios o contenidos implícitos en otros tipos de ejercicios en otras partes de la vida.”


Ejemplos

« Falta de sentido »

- Una tienda vende 312 tarjetas de Navidad en diciembre. ¿Cuántas venderá en enero, febrero y marzo?

- El mejor tiempo que John hace corriendo es de 100 m en 17 segundos. ¿Cuánto le tomará correr 1 km?

(Greer, 1993, Verschaffel et al., 1994, 2000)



Mamá cuelga 3 toallas en el tendedero. Después de 12 hours están secas. Los vecinos tienen 6 toallas en su tendedero. ¿Después de cuántas horas estarán secas?

2

4

6

24 12 2

4

3

6

12 12

Cte

3

Cte 0102030405060708090

100

2nd 3th 4th 5th 6th 7th 8th

other correct proportional

Un problema constante


y… otro problema constante

Un grupo de 5 músicos tocan una pieza de música en 10 minutos. Otro grupo de 35 músicos tocarán la misma pieza de música. ¿Cuánto tiempo les tomará a este grupo tocarla?

0102030405060708090

100


correct proportional “1.4 minutes”


Influencia del contexto

Problema típico escolar

Traditional school problem

+ drawing

Tarea auténtica

24 24

Problema típico escolar

+ dibujo

24



Necesité 4 baldosas para cubrir un piso cuadrado de una casa de muñecas, cuyos lados miden 12 cm.

¿Cuántas baldosas necesité para cubrir otro piso cuadrado de una casa de muñecas cuyos lados miden 36 cm?

12 cm 36 cmVan Dooren et al., 2006



Problema

típico escolar

Problema

típico escolar

+ dibujo

Authentic task

24 24

Tarea

Auténtica

24




12 cm

36 cmVan Dooren et al., 2006



Problema

típico escolar

21 prop

Problema

típico escolar

+ dibujo

8 prop

Tarea

auténtica

2 prop

24 24 24




Problema típico

+ dibujo

Tarea auténtica

Más errores proporcionales

Mucho tiempo para encontrar la respuesta correcta

Duda acerca de la respuesta correcta

Menos errores proporcionales

Respuesta correcta encontrada rápidamente / inmediatamente

Firme convicción de la respuesta correcta




Problema

típico escolar

21 prop

Problema

típico escolar

+ dibujo

8 prop

Tarea auténtica

2 prop

24 24 24

Test posterior



Problema

típico escolar

21 prop

Problema

típico escolar

+ dibujo

8 prop

Tarea auténtica

2 prop

24 24 24

Test posterior 20 prop 22 prop 19 prop




matemáticos



contexto educativo

MENTE

¿Explicaciones?



matemáticos



contexto educativo

MENTE razonamiento “descuidado”

¿Explicaciones?


La mente como explicación

• El razonamiento humano (también en mate) a menudo es dirigido por la heurística / intuiciones.

• Inconsciente, casi automático, evidente en sí mismo

• A menudo correcto (= origen)

• Escondiendo errores profundamente arraigados

Work on intuitions by Fischbein (1987,1999)

Intuitive rules theory (e.g. Tirosh & Stavy, 2000)

Dual process theories of reasoning (Evans, 2003; Kahneman, 2002)


La teoría del proceso dual(Dual process theory - DPT)

Sistema 1 o ‘sistema heurístico’Sistema 1 o ‘sistema heurístico’

- Automático, inconsciente

- Asociativo

- Poca exigencia de esfuerzo / demanda de la capacidad de memoria de trabajo

- Rápido

- Respuestas basadas en similaridad con prototipos almacenados

Sistema 2 o ‘sistema analítico’Sistema 2 o ‘sistema analítico’

- Conscientemente controlado

- Deliberado

- Total esfuerzo/ demanda de la capacidad de memoria de trabajo

- Utilización de tiempo

- Opera en representaciones ‘decontextualizadas’

S1 S2


Ejercicio de selección de Wason

Si una carta tiene una E en un lado, tiene un 5 en el otro lado.’

¿Cuáles cartas hay que voltear para determinar si esto es cierto o no?

E C 5 2


La teoría del proceso dual

• Conformidad S1-S2: S1 (rápido y poco exigente) provee respuestas correctas.

• Conflicto S1-S2 : S1 y S2 inducen a diferentes respuestas

S2 necesita invalidar la respuesta S1

Error al proveer la respuesta normativamente correcta: omnipresencia de S1 y no intervención de S2 (Stanovich & West, 2000)


DPT y el sobre uso de la proporcionalidad

• El razonamiento proporcional se vuelve S1 heurístico

• Provocado por características contextuales salientes

• Contexto / entorno: solución de problemas de palabras

• Tarea: problemas de valor faltante

• provee respuestas proporcionales de una manera rápida, casi sin esfuerzo

• Predicciones

• Respuestas proporcionales que se dan de manera más rápida

• Respuestas proporcionales que se dan más a menudo bajo la memoria de trabajo limitada.


Estudio de tiempo de reacción

(Gillard et al., 2009)

Correcto Incorrecto


34 764 ms 21 456 ms

Problema de proporcionalidad en palabras

22 908 ms


Carga de la memoria de trabajo


Condición de carga



Estudio de la carga de la memoria de trabajo

(Gillard et al., 2009)


¿No se supone que los estudiantes deben pensar analíticamente en clases de Matemáticas?

• Un acercamiento superficial funcionará muy a menudo.

• Además de la exactitud, se valora la velocidad.

• Los estudiantes no suelen estar cognitivamente comprometidos del todo con las tareas que deben realizar.

El proceso intuitivo es inherentemente adaptado.

“racionalidad ecológica” (Todd & Gigerenzer, 2000)

Razonamiento intuitivo


MATE carencia de conocimientos matemáticos



contexto educativo

MENTE razonamiento “descuidado”

interferencia del conocimiento previo

¿Explicaciones?


Conexión con la teoría del cambio conceptual

La linealidad es experimentada desde muy temprana edad

+ continuamente confirmada todos los días de la vidaAprendizaje en el aula: Ideas fortalecidas y enriquecidas

Nuevos contextos y representaciones, procedimientos abreviados

Panacea para una variedad de ejercicios matemáticos

« teoría marco » / presuposición atrincherada :

« las relaciones son proporcionales »


Stacey (1989)

“Los estudiantes están, desde muy temprana edad, intuitivamente familiarizados con las relaciones que se dan en proporción directa.”



De Bock et al. (2002)

- Método elegido de manera muy rápida

- Convicción MUY fuerte (incluso en equivocaciones)

- Incapaz de justificar, explicar.

Uso de la linealidad insconsciente y obvia



• Los alumnos pueden asimilarla con estructuras conceptuales existentes

• El viejo conocimiento continuará teniendo influencia, incluso en adultos instruidos.

Cuando nueva (incompatible) información se encuentra con conocimientos previos

Lo que fue aprendido anteriormente puede estar en la vía del conocimiento adquirido que vendrá.



• La comprensión temprana del número como “número de conteo”

• el número sigue una línea de manera individual

• cada número tiene un sucesor

• entre más dígitos, mayor es el número

• la multiplicación lo hace mayor

Analogía al concepto de número

• El concepto que se adquiere del número racional

•La línea de números es densa

• La noción de la sucesión no tiene sentido

• 0.25698 < 0.3

• la multiplicación puede reducirlo (Vamvakoussi et al, 2004)



• La interpretación a primera vista es muy poco suficiente.

• Entre más profundo se busca, más explicaciones saltan a la superficie.

• Pero buscar explicaciones también está cambiando el fenómeno.

Los errores lineales como un microcosmos para investigar el pensamiento y el aprendizaje matemático.

Conclusiones


• Tomar el concepto matemático elegido para la investigación de manera seria.

•Algunos conceptos matemáticos pueden parecer lógicos para un experto, pero no para los estudiantes.

•Tomar en cuenta el conocimiento previo (a veces obstructivo) de los estudiantes.

Lecciones de investigación aprendidas (1)


• Tomar en cuenta cuántos estudiantes fueron capacitados

• (y cuidarse a veces de efectos muy sutiles de la formulación de problemas y su contexto)

• El pensamiento y la resolución de problemas se dan en un contexto sociocultural con reglas, expectativas …

(¡Esto también aplica para la recolección de datos!)



• Tener en cuenta que no somos muy buenos en el racionamiento analítico.

• y que los estudiantes no lo harán siempre bien cuando usted espera que lo hagan.



Entonces, como investigadores en educación de las matemáticas, debemos ser:

• Matemáticos

• Psicólogos cognitivos y del desarrollo

• Maestros

• …

Para evitar que termine en



¡Gracias!

[email protected]

Pueden encontrar mis artículos en:

https://lirias.kuleuven.be/cv?u=U0034796


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